当前位置：文档之家 › 三重积分的柱面坐标计算法_陈传峰

三重积分的柱面坐标计算法_陈传峰

  • 格式：pdf
  • 大小：109.43 KB
  • 文档页数：2

与 的取值范围可以通过分析积分区域 在 面上的投影区 里的“先一后二法”转换成二重积分后，再用极坐标法解出，例
域，按照极坐标计算二重积分的方法确定，这样柱面坐标下三 如上面的例 2 有下面的解法。
次积分的各个积分限就能确定，进而计算三重积分。
（下转第 205 页）
2013 年 9 月（上） 科 教 导 刊 197
科技创新
3.1 女装产品分析 本文以一款女套装上衣为例应用智尊宝纺自动打板模块 进行制作。如图 6 所示。 （1）款式分析：X 型廓形，四面构成，肩缝公主线，蟹钳领， 圆装弯袖、两片袖。 （2）规格设计（单位：cm）：衣长（50）；胸围 B（B*+8=92）； 腰围 W（W*+10=76）；臀围 H（H*+8=96）；肩宽 S（39）；底领高 （3）；翻领高（4）；袖长（56）；袖肥（32）；袖口宽（22）。 （3）结构设计要点：袖窿深同原型袖窿深；后片减 0.5cm, 前片减 1.5 cm；前袖窿省分别转移为适量的袖窿松量、公主分 割线、侧缝，后袖窿省分别转移为适量的袖窿松量、公主分割 线、侧缝。 3.2 女装产品制作 采用原型法进行参数化制图，其制作方法如下。 3.2.1 参数设定、数值输入 打开东华原型文件，进入“号型设置对话框”，在原东华原 型的 2 个参数变量中加入腰围、臀围、衣长、袖肥、袖口宽、袖 长 6 个参数；以 160/84A 为基本码，输入具体的尺寸，即身高 （160cm），胸围（84cm），腰围（66cm），臀围（88cm），衣长 （50cm），袖长（56cm），袖肥（32cm），袖口宽（22cm）。 3.2.2 绘制步骤 调用东华原型，对原型进行加放衣长、增减胸围，转移前 后袖窿省，设计分割线、衣领、衣袖。具体步骤如下（单位：cm）。 （1）调用东华原型； （2）后片减 0.5、前片减 1.5，取衣长为 50，腰线上提 2； （3）后片原型省道量：部分转移至后领口线（10%）； （4）腰省量分配：后腰省量 a=45%（B-W）/2，后侧缝省量 b=前侧缝省量 c=15%（B-W）/2，前腰省量 d=25%（B-W）/2； （5）臀围处省量变化：后臀省量 a′=45%（B-H）/2，后侧缝 省量 b′= 前侧缝省量 c′=-0.5+15% (B-H)/2, 前腹省量 d ′=1+25%(B-H)/2； （6）绘制前、后公主分割线及侧片；
科技创新
三重积分的柱面坐标计算法
陈传峰
（广东外语外贸大学南国商学院 广东·广州 510545）
摘 要 三重积分的计算是高等数学的难点，本文分析了三重积分的柱面坐标计算法，研究在柱面坐标系下如何确定
积分限，从而计算三重积分。
关键词 三重积分 柱面坐标 积分区域 投影
中图分类号：O172.2
文献标识码：A
{0≤ ≤2 ,0≤ ≤2, 4 ≤ ≤ 5 2}，
此类问题时，我们仍要按照直角坐标法计算三重积分的思想
2
2
52
2
来考虑，即确定积分区域 的上边界曲面 = （2 , ）与下边界
所以 =
0
0
=2 （ 5 2
2
0
曲面 = （1 , ），用极坐标变换公式 =
，=
将其 （5 5 4）。
4
2
） 4
=
2 3
转化为 = （1
上的投影是 2 + 2≤1，写成极坐标为 0≤ ≤2 ，0≤ ≤1。 解：积分区域 可以表示为
1 柱面坐标系下积分限的确定 掌握三重积分柱面坐标法的计算要用到许多其它的知识， 如空间解析几何里的曲面辨识和草图描绘及空间区域在坐标 面上的投影、积分里的凑微分法与分部积分法、二重积分里的 极坐标法，还有就是三重积分直角坐标法，这些内容的掌握熟 练程度极大地影响柱面坐标法的学习，学生在学习中感到困 难，或许与这些内容的掌握程度有关。在文献[1,2]中，当某个 三重积分适宜用柱面坐标法计算时，其积分区域 往往是圆锥
（7）后片袖窿省量分配：转移至分割线（90%），其余留作袖 窿松量（10%）；前片袖窿省量分配：转移至分割线（95%），其余 留作袖窿松量（5%）；
（8）增加侧缝的外翘，修正侧缝线和下摆线； （9）前后衣领部分的三维造型模拟图绘制：前后横开领开 大 0.3； （10）袖山框线绘制：使 AB=前 AH-0.4,AC=后 AH+0.5； （11）确定袖山弧线顶部凸起量及袖山弧线拐转位置； （12）依据各辅助点绘制袖山弧线，绘制大、小袖片，完成 衣袖的设计； （13）衣片结构图完成，如图 7 所示。 3.2.3 自动生成 先设置好各种规格的参数值。再进入打板界面，选用“显 示所有号型”功能就能自动生成各种规格的女装上衣样板，如 图 8 所示。 智尊宝纺服装 CAD 自动打板系统能实现原型和女装样 板自动生成，为服装企业对款式多变女装产品实施 MTM 生 产方式成为可能，提高服装生产效率和效益。但是，智尊宝纺 服装 CAD 自动打板还是需要根据不同款式采用人工绘制一 个号型的服装纸样，通过变更参数值来实现不同号型纸样的 自动生成。纸样自动生成还不能根据服装款式图直接生成结 构样板图，其智能化还有待进一步的提高。
分析：积分区域的上边界曲面是 = 2 2 2，写成极坐
积分计算可行和运算简捷，与球面坐标法不同，柱面坐标法解 标形式是 = 2 2，下边界曲面是 = 2 + 2，写成极坐标形式
题的思维方式与直角坐标法的思维方式相似。本文拟探讨文 是 = 2，所以 的取值范围是 2≤ ≤ 2 2，积分区域在 面
献 [1,2] 中柱面坐标法下的三重积分计算，分析适宜用柱面坐 标法解决的问题及处理方法。
Calculation of Triple Integral in the Cylindrical Coordinate System
CHEN Chuanfeng
(South China Business College, Guangdong University of Foreign Studies, Guangzhou, Guangdong 510545)
注释
① 徐春阳.特殊体型数字化服装定制系统[D].东华大学,2012. ② 王利君,唐洁芳,马银军.基于 MTM 的男西装接单系统的设计与开发[J].浙
江理工大学学报,2007:24(4):395-398. ③ 张鸿志,赵锘平,谢朝.服装纸样计算机辅助设计[M].北京:中国纺织出版社,
2002:8-18. ④ 曹文丽. 基于图论的服装纸样参数化设计模型 [J]. 北京服装学院学报,
=
=
52
2
= （5
+2 2
2
2
2+
2
）
4
4
2
=
2
（5
2
2
）
4
= 23（5 5 4）。
0
0
从上面的实例可以看出，只要掌握柱面坐标法的基本方
法以及应用柱面坐标法时要应用到的与之有关的知识，柱面
坐标法是完全可以学好的，另一方面通过柱面坐标法的学习 可以反过来更清晰地理解二重积分的极坐标法和三重积分的 直角坐标法。
Abstract The calculation of triple integral is the difficulty in Higher Mathematics. In this paper, we analyses method of calculation of triple integral in the cylindrical coordinate system, study how to determine the limits of integration in the cylindrical coordinate system, and then calculate the triple integral. Key words triple integral; cylindrical coordinate; integration area; projection
{0≤ ≤2 ,0≤ ≤1, 2≤ ≤ 2 2}，
2
1
22
所以 =
0
0
2
例 2 求上半球面 =
1
=2
12（2
2
4）
=
7 12
。
0
5 2 2与旋转抛物面 2 + 2 = 4
所围立体的体积。
分析：所围立体的上边界曲面 = 5 2 2，写成极坐标
形式是 = 5 2，下边界曲面 2 + 2 = 4 ，写成极坐标形式是
2
2
= 4 ，所以 的取值范围是 4 ≤ ≤ 5 2，积分区域在 面
面、旋转抛物面、球面或者垂直于 轴的平面所围成的立体，这 上的投影是 2 + 2≤4，写成极坐标为 0≤ ≤2 ,0≤ ≤2。
些曲面的共同特征是含有 2 + 2，而被积函数形如 （ 2 + 2），
解：积分区域 可以表示为
2
积分区域 在 面上的投影是圆域或是圆域的一部分，求解
2008.28(1):13-17. ⑤ 张文斌.服装结构设计[M].北京:中国纺织出版社,2006:45. ⑥ 刘咏梅.服装结构平面解析基础篇[M].上海:东华大学出版社,2010:14-15. ⑦ 叶招彩.基于 MTM 的女子原型技术的探讨[J].科教导刊,2011(11 下):89.
（上接第 197 页）
参考文献
[1] 同济大学应用数学系.高等数学(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2007. [2] 孔繁亮.高等数学[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2011.
2013 年 9 月（上） 科 教 导 刊 205
0 引言
2 实例分析
三重积分的计算是高等数学学习中的难点，计算三重积 分即要将它化为三次积分，其基本方法有直角坐标法、柱面坐

合集下载

三重积分在柱面及球坐标系下的计算

三重积分在柱面及球坐标系下的计算


= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？

例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
柱面坐标系求三重积分公式

柱面坐标系求三重积分公式

柱面坐标系求三重积分公式在数学和物理学中，三重积分是一种用于计算立体空间内某个数量的数学方法。

在柱面坐标系中求三重积分是一种常见且有效的方法，它可以帮助我们解决与立体空间相关的问题。

在本文中，我们将探讨柱面坐标系下如何计算三重积分，并推导出相应的公式。

首先，我们回顾一下柱面坐标系的定义。

在柱面坐标系中，一个点的位置由三个坐标确定：径向距离r、极角$\\theta$以及高度z。

与直角坐标系不同，柱面坐标系提供了一种更方便描述圆柱面内点的方式。

要计算柱面坐标系下的三重积分，我们需要了解如何表示微元体积和如何变换积分元素。

微元体积在柱面坐标系下的表示可以通过微元体积元素dV来描述。

在柱面坐标系中，微元体积dV可以表示为：$dV = r dz dr d\\theta$。

这个表示方式是基于极坐标系的性质推导出来的，通过将微小的径向、高度和角度方向上的长度相乘得到微元体积。

接下来，我们来推导柱面坐标系下的三重积分公式。

假设我们要计算函数$f(r, \\theta, z)$在柱面坐标系下的三重积分，积分区域为D。

那么，三重积分的表达式可以写成：$$\\iiint\\limits_D f(r, \\theta, z) dV = \\int\\limits_{\\alpha}^{\\beta}\\int\\limits_{h_1(r, \\theta)}^{h_2(r, \\theta)} \\int\\limits_{g_1(r)}^{g_2(r)} f(r, \\theta, z) r dz dr d\\theta$$在上式中，$\\alpha$和$\\beta$表示极角$\\theta$的取值范围，$h_1(r,\\theta)$和$h_2(r, \\theta)$表示高度z的取值范围，g1(r)和g2(r)表示径向距离r的取值范围。

通过这个公式，我们可以将柱面坐标系下的三重积分问题转化为累次积分的计算问题，便于我们进行计算。

三重积分柱面坐标变换公式

三重积分柱面坐标变换公式

三重积分柱面坐标变换公式在进行三重积分运算时，柱面坐标变换是一种常用的方法，可以简化积分的计算过程。

柱面坐标通常用于描述空间中的圆柱体或圆锥体问题，因此对于涉及到这些几何形状的三重积分问题，柱面坐标的应用是非常有用的。

柱面坐标的定义柱面坐标是一种三维坐标系，其中一个点的位置由径向距离、极角和高度三个参数决定。

在柱面坐标系中，通常用（ρ，φ，z）表示一个点的位置，其中ρ 表示点到 z 轴的距离，φ 表示点在 xy 平面上的极角，z 表示点在 z 轴上的高度。

三重积分的柱面坐标变换公式假设在三维空间中有一个函数f(ρ, φ, z)，我们要计算其在柱面坐标系下的三重积分。

此时，需要进行坐标变换以便在柱面坐标系下进行积分计算。

三重积分的柱面坐标变换公式如下：$$ \\iiint f(ρ, φ, z) dV = \\iiint f(ρ, φ, z) ρ dz dρ dφ $$其中，dV 表示体积元素，ρ 从 0 到ρ，φ 从 0 到2π， z 的范围由具体问题决定。

柱面坐标变换公式的应用举例举一个简单的例子来说明柱面坐标变换的应用。

假设有一个函数f(ρ, φ, z) =ρ^2，我们要计算其在半径为 1，高度为 2 的圆柱体内的体积。

根据柱面坐标变换公式，可以得到：$$ \\iiint f(ρ, φ, z) dV = \\int_{0}^{2π} \\int_{0}^{1} \\int_{0}^{2} (ρ^2) ρ dz dρ dφ $$经过计算可得最终结果为8π/3。

结语柱面坐标变换公式在处理涉及柱面形状的三重积分问题时具有重要作用，能够简化积分计算过程，提高计算效率。

熟练掌握柱面坐标变换公式对于解决相关数学问题是非常有帮助的。

希望本文所介绍的柱面坐标变换公式能够对你的数学学习有所帮助。

柱面坐标求三重积分

柱面坐标求三重积分

柱面坐标求三重积分引言积分在数学和科学中起着非常重要的作用，它可以帮助我们求解曲线、曲面和体积等问题。

在三维空间中，我们经常遇到需要求解三重积分的情况。

本文将介绍柱面坐标系下求解三重积分的方法和步骤。

什么是柱面坐标系柱面坐标系是一种常用的三维坐标系，它使用极径r、极角θ和z轴坐标z来描述空间中的点。

在柱面坐标系中，一个点的坐标可以表示为(r,θ,z)，其中r表示点到z轴的距离，θ表示点在x-y平面上的极角，z表示点在z轴上的高度。

柱面坐标系下的坐标变换在求解柱面坐标系下的三重积分之前，我们需要了解柱面坐标系和直角坐标系之间的坐标变换关系。

根据几何关系可以得到以下变换公式：•x=rcos(θ)•y=rsin(θ)•z=z这些公式可以帮助我们将直角坐标系下的积分问题转换为柱面坐标系下的积分问题。

柱面坐标系下的积分元素在柱面坐标系下，积分元素可以表示为dV=r dr dθ dz，其中r表示点到z轴的距离，dr表示r的微小变化量，θ表示点在平面上的极角，dθ表示θ的微小变化量，dz表示z轴坐标的微小变化量。

柱面坐标系下的三重积分使用柱面坐标系求解三重积分的步骤如下：1.确定积分区域：首先需要确定积分区域，可以通过图形来确定。

在柱面坐标系下，积分区域可以使用极坐标和直角坐标的关系来表示。

2.写出被积函数：根据问题的具体要求，将被积函数用柱面坐标系下的变量表示。

3.确定积分限：根据积分区域的几何性质，确定积分区域的上下限。

4.变量代换：根据柱面坐标系和直角坐标系之间的坐标变换关系，将被积函数和积分元素用柱面坐标表示。

5.进行积分计算：根据确定的积分限和变量代换，进行积分计算。

柱面坐标系下的应用举例例子1：求解柱面体的体积柱面体是由一个半径为R的圆在z轴上从z=a到z=b旋转一周形成的立体。

我们希望求解柱面体的体积。

1.积分区域：由于柱面体是由圆旋转形成的，因此积分区域可以用圆的极坐标来表示：0≤r≤R,0≤θ≤2π,a≤z≤b。