F13_有限元建模的基本原则
- 格式：pdf
- 大小：198.44 KB
- 文档页数：12
2.计算误差 用计算机对模型进行数值计算时产生的误差(计算时产生)。 1）舍入误差。计算机字长有限，只能表示有限位数据。
π 3.14159265
2 1.414213562
π 3.1415927
2 1.4142136
2）截断误差。计算机只能完成有限次运算，对无穷过程需截断
2 3 x x ex 1 x 2! 3!
Ax b
i 1
xi 0.1000E+01 0.1000E+01 0.9976E+00 0.1029E+01 0.8507E+00 0.9739E+00 0.4907E+01 -0.1921E+02 0.5305E+02 -0.7642E+02 0.7321E+02 -0.5789E+02 0.5397E+02 0.1464E+01 -0.8129E+02 0.4917E+02 0.9441E+02 -0.1500E+03 0.8476E+02 -0.1600E+02
ri -0.4441E-15 -0.1776E-14 -0.4441E-15 0.1332E-14 0.2220E-15 0.2442E-14 0.1554E-14 0.8882E-15 0.1776E-14 -0.4441E-15 -0.2220E-15 -0.6661E-15 0.3331E-15 -0.1110E-15 0.3331E-15 -0.3331E-15 -0.8882E-15 -0.1110E-14 -0.3331E-15 -0.1110E-15
1/( n 1) 1/(2n 1) 1/ n
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
A Hn bi aij (i =1,2, ,n ,1
T
余量
二、降低模型规模的措施 1．模型简化和变换 降维处理、细节简化、等效变化、对称性利用、划分局部结 构等。 2．子结构 复杂结构分割为若干相对简单的子结构，先对子结构分析， 再组集成整体结构。 3．分步计算 先忽略细节粗网格计算，再对细节局部精算，其中以前一步 结果作边界条件。 4．带宽和波前优化 节点和单元编号优化，可减少储存和求解时间(规模？) 5．主从自由度 选取主从自由度，将结构方程缩减到主自由度上，降低规模
x 3 x 5 x7 sin x x 3! 5! 7!
大量运算中误差可能大量积累。若算法对误差的传播有抑制作 用，原始误差不会积累得越来越大，则称算法是数值稳定的。
二、提高精度的措施 有些误差是程序设计人员在软件开发中需要考虑的，有些是分析 人员在建模时应该考虑和控制的。 1．提高单元阶次 阶次高，真实场函数逼近好；曲线曲面边界离散误差小。 2．增加单元数量 单元增加，单元尺寸减小，向真解收敛。但收敛速度与单元 阶次有关，且若前后两次差别不大，则不宜再增加单元数。 3．划分规则的单元形状 规则形状精度较好，畸变则精度下降 4．建立与实际相符的边界条件 边界条件不同计算结果不同，可结合实验调整。 5．减少模型规模 规模大，精度可能下降。 6．避免出现“病态”方程组 病态方程组对原始误差敏感。当各部分刚度差别大，矩阵元 素值相差大时，可能病态。
一、误差分析 二、提高精度的措施
一、误差分析 有限元误差主要两方面：模型误差、计算误差
离散误差 模型误差 有限元误差 计算误差 舍入误差 截断误差 边界条件误差 单元形状误差
物理离散误差 几何离散误差
1.模型误差 将实际问题抽象为有限元模型时产生的误差(建模时产生)。 1）离散误差。由有限元离散处理引起的原理性误差： a)物理离散误差：插值函数与真实函数间的差异。 与单元尺寸和插值函数阶次有关：E=O(hp+1-m) 与真实函数的性态也有很大关系。 b)几何离散误差：离散后的组合体与原结构在几何形状上的差 异。如边界单元对曲线或曲面边界的近似表示。 2）边界条件误差。边界条件与实际情况的差异。如压力、温度 的测量误差、支承简化、载荷移置等。 3）单元形状误差。单元形状不规则引起精度下降。主要影响单 元内部和相邻单元(?)。
第13章 有限元建模的基本原则
有限元建模考虑的因素很多，且不同问题侧重点也不同，但都应 考虑两个基本原则：保证计算精度和控制模型规模。 13.1 13.2 保证精度原则 控制规模原则
一、误差分析 二、提高精度的措施 一、规模对计算过程的影响 二、降低模型规模的措施
13.1
保证精度原则
保证精度是建模时首要考虑的问题，否则有限元分析就失去了意 义。
|| x ~ x || 1 || x || 2
1 1.5 x x 2 0.5 x
|| δb || 1 10000 || b || 20000
例：
1.00 0.99 x1 1 0.99 1.00 x 0 2 1.00 0.991 x1 1 0.991 1.00 x 0 2
x1 50.25 x x2 49.75 1 55.81 x x x 55.31 2
系数小扰动：
例：Hilbert 矩阵
1/ 2 1 1/ 2 1/ 3 Hn 1/ n 1/( n 1)
2.0002 1.9998 x1 4 例： 1.9998 2.0002 x2 4
x1 1 x x2 1
右端项小扰动：
δb [0.0002, 0.0002]
x1 4.0002 2.0002 1.9998 ~ 1.9998 2.0002 ~ x 3 . 9998 2
r b Ax
19 20
13.2
控制规模的原则
规模：模型的大小，可用结点数和单元数衡量。具体还与节点自 由度数、节点和单元编号(?)等有关。
一、规模对计算过程的影响 二、降低模型规模的措施
一、规模对计算过程的影响 1．计算时间 单元数增加，单刚计算和总装时间增加；结点数增加，方 程组求解时间增加，如O(n3)或O(nB2) 2．存储容量 规模大，储存需求大，如O(n2)或O(nB)；若要虚拟储存则 内外存交换时间增加 3．计算精度 规模大，累积误差大，可能失真。 4．其他 规模大，网格划分、模型修改、后处理等时间也会增加。 在保证计算精度的前提下，尽量控制或减小规模。
