高三数学一轮复习 第五章第1课时知能演练轻松闯关 新人教版

1．在△ABC 中，sin(C －A )＝1，sin B ＝13. (1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．解：(1)由sin(C －A )＝1，得C －A ＝π2，又C ＋A ＝π－B ， ∴A ＝π4－B 2， ∴sin A ＝sin(π4－B 2)＝22(cos B 2－sin B 2)， ∴sin 2A ＝12(1－sin B )＝13， 又sin A >0，∴sin A ＝33. (2)由正弦定理得AC sin B ＝BCsin A ， ∴BC ＝AC sin A sin B ＝6×3313＝32， 又sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×223＋63×13＝63， ∴S △ABC ＝12AC ·BC ·sin C ＝12×6×32×63＝3 2. 2．已知向量a ＝(－1，sin α2)与向量b ＝(45，2cos α2)垂直，其中α为第二象限角． (1)求tan α的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若b 2＋c 2－a 2＝2bc ，求tan(α＋A )的值．解：(1)∵a ＝(－1，sin α2)，b ＝(45，2cos α2)，a ⊥b ， ∴a ·b ＝－45＋2sin α2cos α2＝0，即sin α＝45. ∵α为第二象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，tan α＝sin αcos α＝－43. (2)在△ABC 中，∵b 2＋c 2－a 2＝2bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4，tan A ＝1， ∴tan(α＋A )＝tan α＋tan A 1－tan αtan A ＝－17. 3．(2011·高考福建卷)设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f (θ)的值； (2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1x ≤1y ≤1，上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值． 解：(1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2.(2)作出平面区域Ω(即图中阴影部分)如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤π2. 又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π6)， 且π6≤θ＋π6≤2π3， 故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2； 当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1. 4．(2011·高考浙江卷)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A >0,0<φ<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值． 解：(1)由题意得T ＝2ππ3＝6. 因为P (1，A )在y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ的图象上， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )． 由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ＝A 2＋9＋A 2－9＋4A 22A ·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3.又A >0，所以A ＝ 3.5．已知函数f (x )＝2cos(x ＋π3)[sin(x ＋π3)－3cos(x ＋π3)]．(1)求f (x )的值域和最小正周期；(2)若对任意x ∈[0，π6]，使得m [f (x )＋3]＋2＝0恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )＝2sin(x ＋π3)cos(x ＋π3)－23cos 2(x ＋π3)＝sin(2x ＋2π3)－3[cos(2x ＋2π3)＋1]＝sin(2x ＋2π3)－3cos(2x ＋2π3)－3＝2sin(2x ＋π3)－ 3. ∵－1≤sin(2x ＋π3)≤1.∴－2－3≤2sin(2x ＋π3)－3≤2－3，T ＝2π2＝π， 即f (x )的值域为[－2－3，2－3]，最小正周期为π.(2)当x ∈[0，π6]时，2x ＋π3∈[π3，2π3]，故sin(2x ＋π3)∈[32，1]，此时f (x )＋3＝2sin(2x ＋π3)∈[3，2]．由m [f (x )＋3]＋2＝0知，m ≠0，且f (x )＋3＝－2m ，∴3≤－2m ≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋3≤02m ＋2≥0，解得－233≤m ≤－1.即实数m 的取值范围是[－233，－1]．。

2021年高考数学 第五章第1课时 知能演练轻松闯关 新人教A 版一、选择题1．数列23，－45，67，－89，…的第10项是( ) A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223解析：选C.所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，咱们能够把每一部份进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式，a n ＝(－1)n ＋12n2n ＋1，故a 10＝－2021. 2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，那么a 3a 5的值是( )解析：选C.由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝12， ∴12a 4＝12＋(－1)4，∴a 4＝3， ∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23， ∴a 3a 5＝12×32＝34. 3．(2021·嘉兴模拟)已知数列{a n }知足a 1＝1，a n ＋1a n ＝2n (n ∈N *)，那么a 10＝( )A ．64B ．32C ．16D ．8 解析：选B.因为a n ＋1·a n ＝2n ，因此a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n ＝2.又a1a2＝2，a1＝1，因此a2＝2，则a10a8·a8a6·a6a4·a4a2＝24，即a10＝25＝32.应选B.4．已知数列{a n}的通项a n＝nanb＋c(a，b，c都是正实数)，那么a n与a n＋1的大小关系是( )A．a n≥a n＋1B．a n<a n＋1C．a n＝a n＋1D．不能确定解析：选＝nanb＋c＝ab＋c n .∵y＝cn是减函数，∴y＝ab＋cn是增函数，∴a n<a n＋1.5．(2021·西安模拟)已知S n是数列{a n}的前n项和，S n＋S n＋1＝a n＋1(n∈N*)，那么此数列是( )A．递增数列B．递减数列C．常数列D．摆动数列解析：选C.∵S n＋S n＋1＝a n＋1，∴当n≥2时，S n－1＋S n＝a n.两式相减得a n＋a n＋1＝a n＋1－a n，∴a n＝0(n≥2)．当n＝1时，a1＋(a1＋a2)＝a2，∴a1＝0，∴a n＝0(n∈N*)，应选C.二、填空题6．已知数列3，7，11，15，…，那么53是数列的第________项．解析：易知数列的一个通项公式为a n＝4n－1.令4n－1＝53，即4n－1＝75，∴4n－1＝75，故n＝19.答案：197．已知数列{2n －1·a n }的前n 项和S n ＝9－6n ，那么数列{a n }的通项公式是________． 解析：当n ＝1时，20·a 1＝S 1＝3，∴a 1＝3；当n ≥2时，2n －1·a n ＝S n －S n －1＝－6，∴a n ＝－32n －2. ∴通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 n ＝1－32n －2 n ≥2. 答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 n ＝1－32n －2 n ≥2 8．(2021·连云港调研)在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝3，当n ≥2时，a n ＋1是a n ·a n －1的个位数，那么 a 2 013＝________.解析：数列{a n }的前几项依次是2,3,6,8,8,4,2,8,6,8,8，…，去掉前两项，组成一个周期为6的数列，2 013＝2＋335×6＋1，∴a 2 013＝6.答案：6 三、解答题9．已知a n ＝a n －1＋1n n －1(n ≥2)，a 1＝1. (1)写出那个数列的前5项；(2)由(1)中前5项推测数列的通项公式并证明．解：(1)a 1＝1，a 2＝a 1＋11×2＝32， a 3＝a 2＋12×3＝53，a 4＝a 3＋13×4＝74，a 5＝a 4＋14×5＝95.(2)猜想a n ＝2n －1n.证明如下： 由已知得a 2－a 1＝12×1， a 3－a 2＝13×2， … a n －a n －1＝1n n －1， 因此a n －a 1＝11×2＋12×3＋…＋1n n －1.从而a n ＝1＋1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝2－1n ＝2n －1n .10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的通项公式．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝22－2＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－(2n －2)＝2n ＋1－2n ＝2n ；因为a 1也适合此等式，因此a n ＝2n .(2)因为b n ＝a n ＋a n ＋1，且a n ＝2n ，a n ＋1＝2n ＋1，因此b n ＝2n ＋2n ＋1＝3·2n .一、选择题1．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，那么此数列最大项的值是( )A ．103B ．10818C ．10318D ．108解析：选D.依照题意结合二次函数的性质可得：a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n 2－292n )＋3＝－2(n －294)2＋3＋29×298.∴n ＝7时，a n ＝108为最大值．2．关于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的()A ．必要不充分条件B ．充分没必要要条件C ．必要条件D．既不充分也没必要要条件解析：选B.当a n＋1＞|a n|(n＝1,2，…)时，∵|a n|≥a n，∴a n ＋1＞a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，假设该数列为－2,0,1，那么a 2＞|a 1|不成立，即知：a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)不必然成立．故综上知，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分没必要要条件．二、填空题3．数列{a n }中，a 1＝1，对所有的n ≥2都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，那么那个数列n ≥2的通项公式是__________．解析：当n ＝1时，a 1＝1，当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2，①a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，②两式作商，得a n ＝n 2n －12. 答案：a n ＝n 2n －124．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，那么知足a nn≤2的正整数n 的集合为________． 解析：因为S n ＝2a n －1，因此当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，因此{a n }是公比为2的等比数列．又因为a 1＝2a 1－1，因此a 1＝1，故a n ＝2n －1，而a nn ≤2，即2n －1≤2n ，因此有n ∈{1,2,3,4}．答案：{1,2,3,4}三、解答题5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }知足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n＝T2n＋1－T n.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)判定数列{c n }的增减性． 解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1n n ≥223n ＝1.(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＜0， 即c n ＋1＜c n ，∴{c n }是递减数列．。

1．已知圆M 的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆M 的切线PA ，PB ，切点为A 、B . (1)若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；(2)若P 点的坐标为(2,1)，过P 作直线与圆M 交于C ，D 两点，当|CD |＝2时，求直线CD 的方程．解：(1)设P (2m ，m )，由题可知|MP |＝2，所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解之得m ＝0或m ＝45.故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. (2)由题意易知k 存在，设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)，由题知圆心M 到直线CD 的距离为22，所以22＝|－2k －1|1＋k 2，解得，k ＝－1或k ＝－17， 故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0. 2．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R.(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′，问直线l ′与抛物线C ：x 2＝4y 是否相切？说明理由．解：(1)法一：依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径r ＝|MP |＝2－02＋0－22＝22，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.法二：设所求圆的半径为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2. 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )， 则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝2 2.所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8. (2)因为直线l 的方程为y ＝x ＋m ， 所以直线l ′的方程为y ＝－x －m . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －m ，x 2＝4y ，得x 2＋4x ＋4m ＝0. Δ＝42－4×4m ＝16(1－m )．当m ＝1，即Δ＝0时，直线l ′与抛物线C 相切； 当m ≠1，即Δ≠0时，直线l ′与抛物线C 不相切．综上，当m ＝1时，直线l ′与抛物线C 相切；当m ≠1时，直线l ′与抛物线C 不相切．3．(2011·高考山东卷节选)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k >0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )．(1)求m 2＋k 2的最小值；(2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k >0)，由题意知t >0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意知Δ>0，所以3k 2＋1>t 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt 3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E ＝－13k.所以OE 所在直线方程为y ＝－13kx .由题意知D (－3，m )在直线OE 上，得m ＝1k，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由Δ>0得0<t <2，因此当m ＝k ＝1且0<t <2时，m 2＋k 2取最小值 2.(2)证明：由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13kx ，将其代入椭圆C 的方程，并由k >0，解得G ⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1. 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝⎛⎭⎪⎫－3，1k ，由距离公式及t >0得|OG |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1， |OD |＝ －32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝9k 2＋1k ，|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1，由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ，因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 所以直线l 恒过定点(－1,0)．4．P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左，右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC →＝λOA →＋OB →，求λ的值．解：(1)由点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，有x 20a 2－y 20b2＝1. 由题意有y 0x 0－a ·y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2， e ＝c a ＝305. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c ，得4x 2－10cx ＋35b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5c2，x 1x 2＝35b24.①设OC →＝(x 3，y 3)，OC →＝λOA →＋OB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2.又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2.化简得λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2.② 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.5．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足|PF 2|＝|F 1F 2|.(1)求椭圆的离心率e ；(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且|MN |＝58|AB |，求椭圆的方程．解：(1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为|PF 2|＝|F 1F 2|，所以a －c2＋b 2＝2c .整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＝0，得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3x －c .消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .得方程组的解⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ，B (0，－3c )，所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫85c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫335c ＋3c 2＝165c . 于是|MN |＝58|AB |＝2c .圆心(－1，3)到直线PF 2的距离d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16. 整理得7c 2＋12c －52＝0.得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y 212＝1.6．(2012·烟台调研)已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3. (1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 23＋y 2＝1得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0.∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点，∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2＋1，①∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m 3k 2＋1，∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk.又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2.由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12.综上可得，m 的取值范围是12<m <2.。

1．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax .若f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，得a ＞－19. 所以当a ＞－19时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间． 即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间时，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 2．已知函数f (x )＝axx 2＋b在x ＝1处取得极值2.(1)求函数f (x )的表达式；(2)当m 满足什么条件时，函数f (x )在区间(m,2m ＋1)上单调递增？解：(1)因为f ′(x )＝a x 2＋b －ax 2x x 2＋b 2，而函数f (x )＝axx 2＋b在x ＝1处取得极值2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b －2a ＝0，a1＋b＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，所以f (x )＝4x1＋x2即为所求．(2)由(1)知f ′(x )＝4x 2＋1－8x2x 2＋12＝－4x －1x ＋11＋x22. 令f ′(x )＝0得x 1＝－1，x 2＝1， 则f (x )x (－∞，－1) (－1,1) (1，＋∞)f ′(x ) － ＋ － f (x ) ↘↗ ↘可知，f (x )所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－12m ＋1≤1⇒－1＜m ≤0，m ＜2m ＋1所以当m ∈(－1,0]时，函数f (x )在区间(m,2m ＋1)上单调递增．3．(2012·北京海淀区检测)已知函数f (x )＝x 2＋2a 3x＋1，其中a ＞0.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1平行，求a 的值； (2)求函数f (x )在区间[1,2]上的最小值．解：f ′(x )＝2x －2a 3x 2＝2x 3－a3x 2，x ≠0.(1)由题意可得f ′(1)＝2(1－a 3)＝0，解得a ＝1，此时f (1)＝4，在点(1，f (1))处的切线为y ＝4，与直线y ＝1平行．故所求的a 值为1.(2)由f ′(x )＝0可得x ＝a ，a ＞0，①当0＜a ≤1时，f ′(x )＞0在(1,2]上恒成立， 所以y ＝f (x )在[1,2]上递增，所以f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝2a 3＋2. ②当1＜a ＜2时，x (1，a ) a (a,2) f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) ↘ 极小值 ↗由上表可得y ＝f (x ③当a ≥2时，f ′(x )＜0在[1,2)上恒成立， 所以y ＝f (x )在[1,2]上递减．所以f (x )在[1,2]上的最小值为f (2)＝a 3＋5. 综上讨论，可知：当0＜a ≤1时，y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝2a 3＋2；当1＜a ＜2时，y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (a )＝3a 2＋1；当a ≥2时，y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (2)＝a 3＋5.4．已知函数f (x )＝x 2＋a ln x .(1)当a ＝－2时，求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若g (x )＝f (x )＋2x在[1，＋∞)上是单调增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x ，f ′(x )＝2x －2x＝2x ＋1x －1x.当x 变化时，f x (0,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ f (x ) 递减 极小值 递增由上表可知，极小值是f (1)＝1.(2)由g (x )＝x 2＋a ln x ＋2x，得g ′(x )＝2x ＋a x －2x2.若函数g (x )为[1，＋∞)上的单调增函数，则g ′(x )≥0在[1，＋∞)上恒成立，即不等式2x －2x 2＋a x ≥0在[1，＋∞)上恒成立．也即a ≥2x－2x 2在[1，＋∞)上恒成立．令φ(x )＝2x －2x 2，则φ′(x )＝－2x2－4x .当x ∈[1，＋∞)时，φ′(x )＝－2x2－4x ＜0，∴φ(x )＝2x－2x 2在[1，＋∞)上为减函数，∴φ(x )max ＝φ(1)＝0.∴a ≥0，即a 的取值范围为[0，＋∞)．5．(2012·烟台调研)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3. (1)求函数f (x )在[t ，t ＋2](t ＞0)上的最小值；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围；(3)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x成立．解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．①当0＜t ＜t ＋2＜1e 时，f (x )没有最小值；②当0＜t ＜1e ＜t ＋2，即0＜t ＜1e 时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ； ③当1e ≤t ＜t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .所以f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0＜t ＜1e t ln t ，t ≥1e.(2)2x ln x ≥－x 2＋ax －3，则a ≤2ln x ＋x ＋3x，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x ＞0)，则h ′(x )＝x ＋3x －1x2，①当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减，②当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，所以a ≤h (x )min ＝4.(3)证明：问题等价于证明x ln x ＞x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，由(1)可知f (x )＝x ln x (x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e 时取到，设m (x )＝xex －2e (x ∈(0，＋∞))，则m ′(x )＝1－x e x ，易知m (x )max ＝m (1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有ln x ＞1e x －2e x成立．。

1．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34解析：选B.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝25a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263d ＝－43，所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.2．(2011·高考大纲全国卷)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5解析：选 D.∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，∴k ＝5. 3．等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项和S 9等于________． 解析：∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴3a 4＝39,3a 6＝27，∴a 4＝13，a 6＝9，则S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 4＋a 6)＝92×(13＋9)＝99.答案：994．(2012·荆州质检)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n.若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n . 解：a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32.解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16.d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28.所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n －16＋12n －282＝6n 2－22n .一、选择题1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 8＝30，S 4＝7，则a 4的值等于( ) A.14 B.94 C.134 D.174解析：选C.由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧8a 1＋8×8－1d2＝304a 1＋4×4－1d2＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14d ＝1，故a 4＝a 1＋3＝134，故选C.2．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 4＋a 5＋a 6＝π4，则cos S 9的值为( )A.12B.22C ．－12D ．－22解析：选D.由等差数列的性质可知，a 4＋a 6＝2a 5，故a 5＝π12，所以S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝9π12＝3π4，所以cos S 9＝cos 3π4＝－22，故选D. 3．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝an 2＋n (a ∈R)，则下列关于数列{a n }的说法正确的是( ) A ．{a n }一定是等差数列B ．{a n }从第二项开始构成等差数列C ．a ≠0时，{a n }是等差数列D ．不能确定其是否为等差数列解析：选A.由等差数列的前n 项和公式S n ＝na 1＋n n －1d 2＝(a 1－d 2)n ＋d 2n 2可知，该数列{a n }一定是等差数列．4．在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为( ) A ．9 B ．12 C ．16 D ．17解析：选A.S 4＝1，S 8－S 4＝3，而S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16成等差数列， 即各项为1,3,5,7,9，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝9.故选A. 5．已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( ) A ．11 B ．19 C ．20 D ．21解析：选B.∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值， ∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0，∴S 19＝19a 1＋a 192＝19·a 10>0，S 20＝20a 1＋a 202＝10(a 10＋a 11)<0，故使得S n >0的n 的最大值为19. 二、填空题6．(2011·高考湖南卷)设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.解析：设等差数列的公差为d .由a 1＝1，a 4＝7，得3d ＝a 4－a 1＝6，故d ＝2，∴a 5＝9，S 5＝5a 1＋a 52＝25. 答案：257．(2011·高考广东卷)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.解析：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9－S 4＝0，即a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0,5a 7＝0，故a 7＝0.而a k ＋a 4＝0，故k ＝10. 答案：108．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝________.解析：∵点(n ，a n )在定直线l 上，∴数列{a n }为等差数列．∴a n ＝a 1＋(n －1)d . 将(5,3)代入，得3＝a 1＋4d ＝a 5.∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝3×9＝27.答案：27 三、解答题9．已知等差数列{a n }中，a 2＝8，前10项和S 10＝185.求数列{a n }的通项公式a n . 解：设数列{a n }的公差为d ， 因为a 2＝8，S 10＝185，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝810a 1＋10×92d ＝185，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝5d ＝3，所以a n ＝5＋(n －1)×3＝3n ＋2， 即a n ＝3n ＋2.10．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S n n，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k k －12·d ＝2k ＋k k －12×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)由(1)得S n ＝n 2＋2n 2＝n (n ＋1)，则b n ＝S nn＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n 2＋n ＋12＝n n ＋32.11．(2012·金华联考)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列{1a n a n ＋1}的前n 项和，若T n ≤λa n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．解：(1)设公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，a 1＋2d 2＝a 1a 1＋6d ，联立解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a 1＝2，故a n ＝n ＋1.(2)1a n a n ＋1＝1n ＋1n ＋2＝1n ＋1－1n ＋2，∴T n ＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n2n ＋2.∵T n ≤λa n ＋1，∴n2n＋2≤λ(n＋2)．∴λ≥n2n＋22.又n2n＋22＝12n＋4n＋4≤124＋4＝116.∴λ的最小值为116.。

高三数学一轮复习 第五章第3知能演练轻松闯关 新人教版1．(·兰州质检)正项等比数列{a n }中，若log 2(a 2a 98)＝4，则a 40a 60等于() A ．－16 B ．10 C ．16 D ．256 解析：选C.由log 2(a 2a 98)＝4，得a 2a 98＝24＝16， 则a 40a 60＝a 2a 98＝16.2．(·高考辽宁卷)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n，则公比为() A ．2 B ．4 C ．8 D ．16解析：选B.由a n a n ＋1＝16n，知a 1a 2＝16，a 2a 3＝162，后式除以前式得q 2＝16， ∴q ＝±4.∵a 1a 2＝a 21q ＝16>0， ∴q >0，∴q ＝4.3．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝()A ．(－2)n －1B ．－(－2n －1)C ．(－2)nD ．－(－2)n解析：选A.设等比数列{a n }的公比为q . ∵|a 1|＝1，∴a 1＝1或a 1＝－1.∵a 5＝－8a 2＝a 2q 3， ∴q 3＝－8，q ＝－2.又a 5>a 2，即a 2q 3>a 2， ∴a 2<0.而a 2＝a 1q ＝a 1·(－2)<0，∴a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.一、选择题1．(·秦皇岛质检)设数列{(－1)n}的前n 项和为S n ，则对任意正整数n ，S n ＝()A.n [－1n －1]2B.－1n －1＋12C.－1n ＋12D.－1n－12解析：选 D.因为数列{(－1)n} 是首项与公比均为－1的等比数列，所以S n ＝－1－－1n ×－11－－1＝－1n－12.2．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝() A ．9 B ．10 C ．11 D ．12解析：选C.根据题意可知：a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝q ·q 2·q 3·q 4＝q 10＝a 1q 10，因此有m ＝11.3．(·太原调研)若数列{a n }满足a n ＝q n (q >0，n ∈N *)，则以下命题正确的是()①{a 2n }是等比数列；②{1a n}是等比数列；③{lg a n }是等差数列；④{lg a 2n }是等差数列．A ．①③B ．③④C ．①②③④D ．②③④解析：选C.∵a n ＝q n (q >0，n ∈N *)， ∴{a n }是等比数列，因此{a 2n }，{1a n}是等比数列，{lg a n }，{lg a 2n }是等差数列．4．(·高考天津卷)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为() A ．－110 B ．－90 C ．90 D ．110解析：选 D.∵a 3＝a 1＋2d ＝a 1－4，a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12，a 9＝a 1＋8d ＝a 1－16，又∵a 7是a 3与a 9的等比中项，∴(a 1－12)2＝(a 1－4)·(a 1－16)，解得a 1＝20.∴S 10＝10×20＋12×10×9×(－2)＝110.5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是() A ．13 B ．12 C ．11 D ．10解析：选B.设该等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，则由已知得a 1·a 2·a 3＝3，a n －2·a n －1·a n ＝9，(a 1·a n )3＝3×9＝33，∴a 1·a n ＝3，又T n ＝a 1·a 2·…·a n －1·a n ，T n ＝a n ·a n －1·…·a 2·a 1，∴T 2n ＝(a 1·a n )n ，即7292＝3n，∴n ＝12. 二、填空题6．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.解析：由a 2＝2，a 4－a 3＝4得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 2q 2－a 2q ＝4，∴q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1.又{a n }是递增等比数列，故q ＝2. 答案：27．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：n ≥2时，∵a n －2a n －1＝0，∴a n ＝2a n －1，∴q ＝2.∴S n ＝2×1－2n1－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－28．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝________.解析：由等比数列的性质知，a 1a 2a 3＝(a 1a 3)a 2＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝(a 7a 9)a 8＝a 38＝10，所以a 2a 8＝5013.所以a 4a 5a 6＝(a 4a 6)a 5＝a 35＝(a 2a 8)3＝(5016)3＝5 2.答案：5 2 三、解答题9．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)求数列{2a n }的前n 项和S n . 解：(1)由题设知公差d ≠0.由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列， 得1＋2d 1＝1＋8d 1＋2d，解得d ＝1，或d ＝0(舍去)．所以{a n }的通项公式为： a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)知2a n ＝2n，由等比数列前n 项和公式得S n ＝2＋＋23＋ (2)＝21－2n1－2＝2n ＋1－2.10．数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，且{a n a n ＋1}是以3为公比的等比数列，记b n ＝a 2n －1＋a 2n (n ∈N *)．(1)求a 3，a 4，a 5，a 6的值； (2)求证：{b n }是等比数列．解：(1)∵{a n a n ＋1}是公比为3的等比数列，∴a n a n ＋1＝a 1a 2·3n －1＝2·3n，∴a 3＝2·32a 2＝6，a 4＝2·33a 3＝9，a 5＝2·34a 4＝18，a 6＝2·35a 5＝27.(2)证明：∵{a n a n ＋1}是公比为3的等比数列， ∴a n a n ＋1＝3a n －1a n ，即a n ＋1＝3a n －1，∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…与a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…都是公比为3的等比数列．∴a 2n －1＝2·3n －1，a 2n ＝3·3n －1，∴b n ＝a 2n －1＋a 2n ＝5·3n －1. ∴b n ＋1b n ＝5·3n 5·3n －1＝3， 故{b n }是以5为首项，3为公比的等比数列．11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1.当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列．因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 11－3n 1－3＝12a 1·3n －12a 1，b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n.要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2.所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．。

1．设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ＝23(b n －1)，若a 2＝b 1，a 5＝b 2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)∵S 1＝23(b 1－1)＝b 1.∴b 1＝－2，又S 2＝23(b 2－1)＝b 1＋b 2＝－2＋b 2，∴b 2＝4，∴a 2＝－2，a 5＝4.∵数列{a n }为等差数列，∴公差d ＝a 5－a 23＝63＝2，即a n ＝－2＋(n －2)·2＝2n －6.(2)∵S n ＋1＝23(b n ＋1－1) ①，S n ＝23(b n －1) ②，①－②得S n ＋1－S n ＝23(b n ＋1－b n )＝b n ＋1，∴b n ＋1＝－2b n ，∴数列{b n }是等比数列，公比q ＝－2，b 1＝－2，即b n ＝(－2)n.∴S n ＝23[(－2)n－1]．2．(2011·高考福建卷)已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．解：(1)由q ＝3，S 3＝133得a 11－331－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3.因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1.又0<φ<π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 3．(2011·高考江西卷)已知两个等比数列{a n }，{b n }，满足a 1＝a (a ＞0)，b 1－a 1＝1，b 2－a 2＝2，b 3－a 3＝3.(1)若a ＝1，求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{a n }唯一，求a 的值． 解：(1)设{a n }的公比为q ，则b 1＝1＋a ＝2，b 2＝2＋aq ＝2＋q ，b 3＝3＋aq 2＝3＋q 2，由b 1，b 2，b 3成等比数列得(2＋q )2＝2(3＋q 2)，即q 2－4q ＋2＝0，解得q 1＝2＋2，q 2＝2－ 2.所以{a n }的通项公式为a n ＝(2＋2)n －1或a n ＝(2－2)n －1.(2)设{a n }的公比为q ，则由(2＋aq )2＝(1＋a )(3＋aq 2)，得aq 2－4aq ＋3a －1＝0(*)．由a ＞0得Δ＝4a 2＋4a ＞0， 故方程(*)有两个不同的实根．由{a n }唯一，知方程(*)必有一根为0，代入(*)得a ＝13.4．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1＋2a 2＝3a 3. (1)求q 的值；(2)设{b n }是首项为2，公差为q 的等差数列，其前n 项和为T n .当n ≥2时，试比较b n 与T n 的大小．解：(1)由已知可得a 1＋2a 1q ＝3a 1q 2， 因为{a n }是等比数列，所以3q 2－2q －1＝0.解得q ＝1或q ＝－13.(2)①当q ＝1时，b n ＝n ＋1，T n ＝n 2＋3n2，所以，当n ≥2时，T n －b n ＝n 2＋n －22>0.即当q ＝1时，T n >b n (n ≥2)．②当q ＝－13时，b n ＝2＋(n －1)(－13)＝7－n3，T n ＝n 2(2＋7－n 3)＝13n －n 26，T n －b n ＝－n －1n －146，所以，当n >14时，T n <b n ； 当n ＝14时，T n ＝b n ； 当2≤n <14时，T n >b n .综上，当q ＝1时，T n >b n (n ≥2)．当q ＝－13时，若n >14，T n <b n ；若n ＝14，T n ＝b n ；若2≤n <14，T n >b n .5．已知等比数列{a n }中，公比q ∈(0,1)，a 2＋a 4＝54，a 1a 5＝14，设b n ＝12na n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由题意知：a 2·a 4＝a 1·a 5＝14，联立方程得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 4＝54a 2·a 4＝14.∵q ∈(0,1)，∴a 2>a 4， ∴解方程组得a 2＝1，a 4＝14，∴q ＝12，a 1＝2，∴a n ＝2×(12)n －1＝(12)n －2.(2)由(1)知：a n ＝(12)n －2，所以b n ＝n (12)n －1.∴S n ＝1×(12)0＋2×(12)1＋3×(12)2＋…＋(n －1)·(12)n －2＋n (12)n －1，①12S n ＝1×(12)1＋2×(12)2＋…＋(n －2)(12)n －2＋(n －1)·(12)n －1＋n (12)n ，② ∴①－②得：12S n ＝(12)0＋(12)1＋(12)2＋…＋(12)n －2＋(12)n －1－n (12)n＝1×[1－12n]1－12－n (12)n，∴S n ＝4－(12)n －2－n (12)n －1＝4－(n ＋2)(12)n －1.6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m 、k (k >m ≥2，m ，k ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m 、k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －12d .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210.即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝112a 1＋19d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n (n ∈N *)．(2)假设存在m 、k (k >m ≥2，m ，k ∈N *)，使得b 1、b m 、b k 成等比数列，则b 2m ＝b 1b k .因为b n ＝a n a n ＋1＝n n ＋1， 所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝kk ＋1.所以(m m ＋1)2＝12×kk ＋1.整理，得k ＝2m2－m 2＋2m ＋1.以下给出求m 、k 的方法：因为k >0，所以－m 2＋2m ＋1>0， 解得1－2<m <1＋ 2.因为m ≥2，m ∈N *， 所以m ＝2，此时k ＝8. 故存在m ＝2，k ＝8，使得b1、b m、b k成等比数列．。

【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习 第五章 第5讲 知能训练轻松闯关1．(2015·山西省四校联考)设等差数列{a n }和等比数列{b n }首项都是1，公差与公比都是2，则ab 1＋ab 2＋ab 3＋ab 4＋ab 5＝( )A ．54B ．56C ．58D ．57解析：选 D.由题意，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，∴ab 1＋…＋ab 5＝a 1＋a 2＋a 4＋a 8＋a 16＝1＋3＋7＋15＋31＝57.2．已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为( )A ．{4，5}B ．{4，32}C ．{4，5，32}D ．{5，32}解析：选C.a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，当a n 为偶数时，3a n ＋1，当a n 为奇数时，注意递推的条件是a n (而不是n )为偶数或奇数．由a 6＝1一直往前面推导可得a 1＝4或5或32.3．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0解析：选C.设b n ＝2a 1 a n ，则b n ＋1＝2a 1 a n+1 ，由于{2 a 1 a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2 a 1a n >2 a 1 a n+1 .∵y ＝2x是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0.4．在数列{a n }中，若a 1＝－2，a n ＋1＝a n ＋n ·2n，则a n ＝( )A ．(n －2)·2nB ．1－12nC.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14nD.23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n解析：选A.因为a n ＋1＝a n ＋n ·2n ，所以a n ＋1－a n ＝n ·2n，所以a n －a 1＝(a n －a n －1)＋(a n－1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)． 设T n ＝(n －1)×2n －1＋(n －2)×2n －2＋…＋2×22＋1×21(n ≥2)，则2T n ＝(n －1)×2n＋(n －2)×2n －1＋(n －3)×2n －2＋…＋2×23＋1×22，两式相减得T n ＝(n －2)·2n＋2(n ≥2)，所以a n ＝(n －2)·2n ＋2＋a 1＝(n －2)·2n (n ≥2)．又n ＝1时，上式成立，所以选A.5．(2015·湖南澧县一中等三校联考)在等比数列{a n }中，0<a 1<a 4＝1，则能使不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≤0成立的最大正整数n 是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等比数列，其公比为1q，因为0<a 1<a 4＝1，所以q >1且a 1＝1q3.又因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≤0，所以a 1＋a 2＋…＋a n≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n，即a 1（1－q n ）1－q≤1a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1q n 1－1q，把a 1＝1q3代入，整理得q n ≤q 7，因为q >1，所以n ≤7，故选C.6．(2013·高考江西卷)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64，27＝128.则n ＋1≥7，即n ≥6.答案：6 7．在等比数列{a n }中，若a n >0，且a 1·a 2·…·a 7·a 8＝16，则a 4＋a 5的最小值为________．解析：由等比数列性质得，a 1a 2…a 7a 8＝(a 4a 5)4＝16，又a n >0，∴a 4a 5＝2.再由基本不等式，得a 4＋a 5≥2a 4a 5＝2 2.∴a 4＋a 5的最小值为2 2.答案：2 28．设S n 是数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称数列{a n }为“和等比数列”．若数列{2b n}是首项为2，公比为4的等比数列，则数列{b n }__________(填“是”或“不是”)“和等比数列”．解析：数列{2b n }是首项为2，公比为4的等比数列，所以2b n ＝2·4n －1＝22n －1，b n ＝2n －1.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n 2，T 2n ＝4n 2，所以T 2nT n＝4，因此数列{b n }是“和等比数列”．答案：是9．在等比数列{a n }(n ∈N *)中，a 1>1，公比q >0，设b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5＝6，b 1b 3b 5＝0.(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求{b n }的前n 项和S n 及{a n }的通项公式a n . 解：(1)证明：∵b n ＝log 2a n ，∴b n ＋1－b n ＝log 2a n ＋1a n＝log 2q 为常数， ∴数列{b n }为等差数列且公差d ＝log 2q .(2)设数列{b n }的公差为d ，∵b 1＋b 3＋b 5＝6，∴b 3＝2. ∵a 1>1，∴b 1＝log 2a 1>0. ∵b 1b 3b 5＝0，∴b 5＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝2，b 1＋4d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝－1.∴S n ＝4n ＋n （n －1）2×(－1)＝9n －n22.∵⎩⎪⎨⎪⎧log 2q ＝－1，log 2a 1＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝16.∴a n ＝25－n (n ∈N *)．10．(2014·高考浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…·a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n . 解：(1)由题意知a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6， 知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n （n ＋1）2＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)， 所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)．②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n ≥5时，c n ＝1n （n ＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤n （n ＋1）2n －1， 而n （n ＋1）2n －（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1＝（n ＋1）（n －2）2n ＋1>0， 得n （n ＋1）2n ≤5×（5＋1）25<1， 所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.。

1．如图，在三棱锥P －ABC 中，已知PC ⊥平面ABC ，点C 在平面PBA 内的射影D 在直线PB 上．(1)求证：AB ⊥平面PBC ；(2)设AB ＝BC ，直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，求异面直线AP 与BC所成的角的大小．解：(1)证明：因为PC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥PC ，因为点C 在平面PBA 内的射影D 在直线PB 上，所以CD ⊥平面PAB ，又因为AB ⊂平面PBA ，所以AB ⊥CD .又因为PC ∩CD ＝C ，所以AB ⊥平面PBC .(2)因为PC ⊥平面ABC ，所以∠PAC 为直线PA 与平面ABC 所成的角，于是∠PAC ＝45°，设AB ＝BC ＝1，则PC ＝AC ＝ 2. 以B 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则B (0,0,0)，A (0,1,0)，C (1,0,0)，P (1,0，2)，AP →＝(1，－1，2)，BC →＝(1,0,0)，因为cos 〈AP →，BC →〉＝AP →·BC →|AP →|·|BC →|＝12， 所以异面直线AP 与BC 所成的角为60°.2．一个四棱锥的直观图和三视图如图所示．(1)设PB 的中点为M ，求证：CM ∥平面PDA ；(2)在BC 边上是否存在异于B 、C 两点的点Q ，使得二面角A PD Q 为120°？若存在，确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．解：根据三视图和直观图，可以得BC ，BA ，BP 两两垂直，以B 为原点，分别以BC 、BA 、BP 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,2,0)，P (0,0,1)，C (1,0,0)，D (1,1,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12，AP →＝(0，－2,1)，AD →＝(1，－1,0)． (1)证明：设平面PDA 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·AD →＝0且m ·AP →＝0，即(x ，y ，z )·(1，－1,0)＝0且(x ，y ，z )·(0，－2,1)＝0，即x －y ＝0且－2y ＋z ＝0，令z ＝2得x＝y ＝1，故平面PDA 的一个法向量为m ＝(1,1,2)．又向量CM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12，所以m ·CM →＝0，即直线CM 的方向向量垂直平面PAD 的法向量，故CM ∥平面PDA .(2)假设BC 边上存在点Q ，使得二面角A PD Q 为120°，设Q (x 0,0,0)，其中x 0∈(0,1)，平面PDQ 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则n ·PD →且n ·PQ →＝0，因为PD →＝(1,1，－1)，PQ →＝(x 0,0，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋y 1－z 1＝0，x 0x 1－z 1＝0，令z 1＝1，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，1－1x 0，1，∴|cos 〈n ，m 〉|＝|3|⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 02＋1×12＋12＋22＝|－cos120°|＝12，解得x 0＝12，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0.故点Q 为BC 的中点时，使二面角A PD Q 为120°.3．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ACB＝90°，EA ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，AB ＝2EF .(1)若M 是线段AD 的中点，求证：GM ∥平面ABFE ；(2)若AC ＝BC ＝2AE ，求二面角A BF C 的大小．解：(1)证明：法一：因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB＝90°.所以∠EGF ＝90°，△ABC ∽△EFG .由于AB ＝2EF ，因此BC ＝2FG .连接AF ，由于FG ∥BC ，FG ＝12BC ，在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM ∥BC ，且AM ＝12BC ，因此FG ∥AM 且FG ＝AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM ∥FA .又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM ∥平面ABFE .法二：因为EF ∥AB ，FG ∥BC ，EG ∥AC ，∠ACB ＝90°，所以∠EGF ＝90°，△ABC ∽△EFG .由于AB ＝2EF ，所以BC ＝2FG .取BC 的中点N ，连接GN ，因此四边形BNGF 为平行四边形，所以GN ∥F B.在▱ABCD 中，M 是线段AD 的中点，连接MN ，则MN ∥A B.因为MN ∩GN ＝N ，所以平面GMN ∥平面ABFE .又GM ⊂平面GMN ，所以GM ∥平面ABFE .(2)因为∠ACB ＝90°，所以∠CAD ＝90°.又EA ⊥平面ABCD ，所以AC ，AD ，AE 两两垂直．分别以AC ，AD ，AE 所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设AC ＝BC ＝2AE ＝2，则由题意得A (0,0,0)，B (2，－2,0)，C (2,0,0)，E (0,0,1)，所以AB →＝(2，－2,0)，BC →＝(0,2,0)．又EF ＝12AB ， 所以F (1，－1,1)，BF →＝(－1,1,1)．设平面BFC 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则m ·BC →＝0，m ·BF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＝0，x 1＝z 1， 取z 1＝1，得x 1＝1，所以m ＝(1,0,1)．设平面向量ABF 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则n ·AB →＝0，n ·BF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y 2，z 2＝0， 取y 2＝1，得x 2＝1，则n ＝(1,1,0)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝12. 因此二面角A BF C 的大小为60°.4．在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝DA＝DC ＝BE ＝2，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在∠ABC 的平分线上．(1)求证：DE ∥平面ABC ；(2)求多面体ABCDE 的体积；(3)求二面角E BC A 的余弦值．解：(1)证明：由题意知，△ABC ，△ACD 都是边长为2的等边三角形，取AC 的中点O ，连接BO ，DO ，则BO ⊥AC ，DO ⊥AC .∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC 交平面ABC 于点F ，∴EF ∥DO ，根据题意，点F 落在BO 上，∴∠EBF ＝60°，易求得EF ＝DO ＝ 3.∴四边形DEFO 是平行四边形，∴DE ∥OF .∵DE ⊄平面ABC ，OF ⊂平面ABC ，∴DE ∥平面ABC ，(2)∵平面ACD ⊥平面ABC ，OB ⊥AC ，∴OB ⊥平面ACD ，又∵DE ∥OB ，∴DE ⊥平面DAC .∴三棱锥E －DAC 的体积V 1＝13S △ADC ·DE ＝13×3×(3－1)＝3－33. 又∵三棱锥E －ABC 的体积V 2＝13S △ABC ·EF ＝13×3×3＝1， ∴多面体ABCDE 的体积为V ＝V 1＋V 2＝6－33.(3)依题意建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则C (－1,0,0)，B (0，3，0)，E (0，3－1，3)，可求得平面ABC 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)，设平面BCE 的一个法向量为n 2＝(x 1，y 1，z 1)，BC →＝(－1，－3，0)，BE →＝(0，－1，3)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC →＝0n 2·BE →＝0，即⎩⎨⎧－x 1－3y 1＝0－y 1＋3z 1＝0， 取z 1＝1，则平面BCE 的一个法向量为n 2＝(－3，3，1)，所以cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝1313.结合图形可知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角E BC A 的余弦值为1313.。

（新课标）高考数学一轮复习 第五章 第4讲 知能训练轻松闯关【优化方案】（新课标）2016高考数学一轮复习 第五章 第4讲 知能训练轻松闯关1．在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n，n ∈N *，则S 60的值为( ) A ．990 B ．1 000 C ．1 100 D ．99解析：选A.n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，a n ＝2；n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，a n ＝n .故S 60＝2×30＋(2＋4＋…＋60)＝990.2．(2015·山东济南期末)已知{a n }为等差数列，a 10＝33，a 2＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 20－2S 10等于( )A ．40B ．200C ．400D ．20解析：选C.S 20－2S 10＝20（a 1＋a 20）2－2×10（a 1＋a 10）2＝10(a 20－a 10)＝100d .又a 10＝a 2＋8d ，∴33＝1＋8d ，∴d ＝4. ∴S 20－2S 10＝400.3．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5 C.3116 D.158解析：选C.设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且9（1－q 3）1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.4．(2015·皖西七校联考(一))已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan 225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2 016＝( )A ．2 016B ．－2 016C ．3 024D ．－3 024解析：选C.∵a 1＝tan 225°＝1，∴a 5＝13a 1＝13，则公差d ＝a 5－a 15－1＝13－14＝3，∴a n ＝3n －2，∴(－1)n a n ＝(－1)n(3n －2)，∴S 2 016＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＋…＋(a 2 016－a 2 015)＝1 008d ＝3 024.5．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前8项和为( )A ．－34B ．－815C.34D.815解析：选 B.设数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5， 解得a 1＝1，d ＝－1，故{a n }的通项公式为a n ＝2－n .所以1a 2n －1a 2n ＋1＝1（3－2n ）（1－2n ）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前8项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋116－3－116－1 ＝－815.6．数列a 1＋2，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有十项，且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10的值为________．解析：a 1＋...＋a k ＋...＋a 10 ＝240－(2＋...＋2k ＋ (20)＝240－（2＋20）×102＝240－110＝130.答案：1307．在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝________．解析：a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以q ＝－2；等比数列{|a n |}的公比为|q |＝2，则|a n |＝12×2n －1，所以|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝12(1＋2＋22＋…＋2n －1)＝12(2n －1)＝2n－1－12. 答案：－2 2n －1－128．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n . ∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－29．(2014·高考安徽卷)数列{an }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列{a n n }是等差数列；(2)设b n ＝3n·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)得a n n＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2. 从而b n ＝n ·3n.S n ＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1×32＋2×33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.② ①－②得，－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝3·（1－3n）1－3－n ·3n ＋1＝（1－2n ）·3n ＋1－32.所以S n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34.10．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1、a 5的等比中项为16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n<k 对任意n ∈N *恒成立．若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由． 解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16， ∵a 3－a 2＝8，则a 2＝8， ∴q ＝2.∴a n ＝2n ＋1.(2)∵b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n （n ＋3）4.∴1S n ＝4n （n ＋3）＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3.∴1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n ＋1－1n ＋2－1n ＋3<43⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13<229， ∴存在正整数k 的最小值为3.1．(2015·唐山市第一次模拟)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n＋1，则∑k ＝1na 2k ＝( )A.n （n ＋5）2 B.3n （n ＋1）2 C.n （5n ＋1）2 D.（n ＋3）（n ＋5）2解析：选B.当n ＝1时，3S 1＝a 1a 2，即3a 1＝a 1a 2，∴a 2＝3，当n ≥2时，由3S n ＝a n a n ＋1，可得3S n －1＝a n －1a n ，两式相减得：3a n ＝a n (a n ＋1－a n －1)，又∵a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝3，∴{a 2n }为一个以3为首项，3为公差的等差数列，∴∑k ＝1na 2k ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝3n ＋n （n －1）2×3＝3n （n ＋1）2.2．已知F (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－1是R 上的奇函数，a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝n －1B ．a n ＝nC ．a n ＝n ＋1D ．a n ＝n 2解析：选C.∵F (x )＋F (－x )＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋12＝2， 即若a ＋b ＝1，则f (a )＋f (b )＝2.于是，由a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f (1)，得2a n ＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋[f (1)＋f (0)]＝2n ＋2，∴a n ＝n ＋1.故选C.3．(2015·辽宁省五校上学期联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)na n ＝1.记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 60＝________．解析：依题意得，当n 是奇数时，a n ＋2－a n ＝1，即数列{a n }中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＝30×1＋30×292×1＝465；当n 是偶数时，a n ＋2＋a n ＝1，即数列{a n }中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 58＋a 60＝(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋…＋(a 58＋a 60)＝15.因此，该数列的前60项和S 60＝465＋15＝480.答案：4804．(2015·湖南长郡中学、衡阳八中等十二校联考)定义：称nx 1＋x 2＋…＋x n为n 个正数x 1，x 2，…，x n 的“平均倒数”，若正项数列{c n }的前n 项的“平均倒数”为12n ＋1，则数列{c n }的通项公式为c n ＝________．解析：由已知可得，数列{c n }的前n 项和S n ＝n (2n ＋1)，所以数列{c n }为等差数列，首项c 1＝S 1＝3，c 2＝S 2－S 1＝10－3＝7，故公差d ＝c 2－c 1＝7－3＝4，得数列的通项公式为c n ＝c 1＋(n －1)×4＝4n －1.答案：4n －15．(2015·广东广州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋pn ＋q (p ，q ∈R )，且a 2，a 3，a 5成等比数列．(1)求p ，q 的值；(2)若数列{b n }满足a n ＋log 2n ＝log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)法一：当n ＝1时， a 1＝S 1＝1＋p ＋q ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋pn ＋q －[(n －1)2＋p (n －1)＋q ]＝2n －1＋p .∵{a n }是等差数列，∴1＋p ＋q ＝2×1－1＋p ，得q ＝0. 又a 2＝3＋p ，a 3＝5＋p ，a 5＝9＋p ， ∵a 2，a 3，a 5成等比数列， ∴a 23＝a 2a 5，即(5＋p )2＝(3＋p )(9＋p )， 解得p ＝－1.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n .∵S n ＝n 2＋pn ＋q ，∴d 2＝1，a 1－d2＝p ，q ＝0. ∴d ＝2，p ＝a 1－1，q ＝0. ∵a 2，a 3，a 5成等比数列， ∴a 23＝a 2a 5，即(a 1＋4)2＝(a 1＋2)(a 1＋8)，解得a 1＝0. ∴p ＝－1.(2)由(1)得a n ＝2n －2. ∵a n ＋log 2n ＝log 2b n ，∴b n ＝n ·2a n ＝n ·22n －2＝n ·4n －1.∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1＋b n ＝40＋2×41＋3×42＋…＋(n －1)·4n －2＋n ·4n －1，①4T n ＝41＋2×42＋3×43＋…＋(n －1)·4n －1＋n ·4n，②①－②得－3T n ＝40＋41＋42＋…＋4n －1－n ·4n ＝1－4n 1－4－n ·4n＝（1－3n ）·4n－13.∴T n ＝19[(3n －1)·4n＋1]．6．(选做题)(2015·浙江杭州第一次质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n，其中n ∈N *.(1)设b n ＝22a n －1，求证：数列{b n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式；(2)设c n ＝4a n n ＋1，数列{c n c n ＋2}的前n 项和为T n ，是否存在正整数m ，使得T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a n －1－22a n －1＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2(常数)， ∴数列{b n }是等差数列． ∵a 1＝1，∴b 1＝2，因此b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，由b n ＝22a n －1，得a n ＝n ＋12n.(2)由c n ＝4a n n ＋1，a n ＝n ＋12n ，得c n ＝2n，∴c n c n ＋2＝4n （n ＋2）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<3，依题意要使T n <1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立，只需1c m c m ＋1≥3，即m （m ＋1）4≥3，解得m ≥3或m ≤－4，又m 为正整数，所以m 的最小值为3.。

一、选择题1．(2011·高考北京卷)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2C ．(1,0)D ．(1，π)解析：选B.由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2.2．(2010·高考北京卷)极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A ．两个圆 B ．两条直线 C ．一个圆和一条射线 D ．一条直线和一条射线 解析：选C.∵(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)， ∴ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)．ρ＝1表示圆心在原点，半径为1的圆，θ＝π(ρ≥0)表示x 轴的负半轴，是一条射线，故选C. 二、填空题3．(2011·高考江西卷)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 解析：∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝2y ＋4x ，即x 2＋y 2－2y －4x ＝0.答案：x 2＋y 2－2y －4x ＝04．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为________．解析：曲线C 1化为普通方程为圆：x 2＋(y －1)2＝1，曲线C 2化为直角坐标方程为直线：x －y ＋1＝0.因为圆心(0,1)在直线x －y ＋1＝0上，故直线与圆相交，交点个数为2. 答案：25．在极坐标系中，P ，Q 是曲线C ：ρ＝4sin θ上任意两点，则线段PQ 长度的最大值为________．解析：由曲线C ：ρ＝4sin θ得ρ2＝4ρsin θ，x 2＋y 2－4y ＝0，x 2＋(y －2)2＝4，即曲线C ：ρ＝4sin θ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ 长度的最大值是4. 答案：46．在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫3，π3、⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O 为极点)的面积为________．解析：结合图形(图略)，△AOB 的面积 S ＝12OA ·OB ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6＝3. 答案：37．在极坐标系中，直线θ＝π6截圆ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6(ρ∈R)所得的弦长是________． 解析：把直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别为y ＝33x 和⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.显然圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12在直线y ＝33x 上．故所求的弦长等于圆的直径的大小，即为2.答案：28．(2012·贵阳调研)已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，则点A (2，7π4)到这条直线的距离为________．解析：转化为直角坐标来解，直线方程化为x ＋y －1＝0，点A 化为(2，－2)，再用公式可求得点到直线的距离为22.答案：22三、解答题 9．在极坐标系中，已知三点M (2，53π)，N (2,0)，P (23，π6)．(1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在同一条直线上．解：(1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，∴M 的直角坐标为(1，－3)，N 的直角坐标为(2,0)，P 的直角坐标为(3，3)． (2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝3，∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在同一条直线上． 10．已知A 是曲线ρ＝3cos θ上任意一点，求点A 到直线ρcos θ＝1距离的最大值和最小值．解：将极坐标方程ρ＝3cos θ两边同乘以ρ得 ρ2＝3ρcos θ，所以x 2＋y 2＝3x ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，ρcos θ＝1，即x ＝1.直线与圆相交．所以点A 到直线的距离的最大值为(32－1)＋32＝2，最小值为0.11．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin(θ－π4)＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的极坐标．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin(θ－π4)＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1， 即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的极坐标为(1，π2)．12．在极坐标系中，如果A (2， π4)，B (2，5π4)为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ≥0,0≤θ ＜2π)．解：∵A (2，π4)，∴ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝ρcos θ＝2cos π4＝2，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝2，即A 点的直角坐标为(2，2)．同理可求B 点的直角坐标，x ＝2cos 54π＝－2，y ＝2sin 54π＝－2，即B (－2，2)．设C 点的直角坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝－1，x 2＋y 2＝12，解之得⎩⎨⎧x ＝6y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝6，即C 点的直角坐标为(6，－6)或(－6，6)．当x ＝6，y ＝－6，即C 在第四象限时， ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2＝12，tan θ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝23，θ＝74π.当x ＝－6，y ＝6，即C 在第二象限时， ⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2＝12，tan θ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝23，θ＝34π，即点C 的极坐标是(23，74π)或(23，34π)．13．(2012·兰州质检)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)ρ＝2⇒ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2，所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin(θ＋π4)＝22.14．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数． 证明：建立如图所示的极坐标系，设抛物线的极坐标方程为ρ＝p1－cos θ(p ＞0)．PQ 是抛物线的弦，若点P 的极角为θ，则点Q 的极角为π＋θ，因此有FP ＝p1－cos θ，FQ ＝p1－cos π＋θ＝p1＋cos θ.所以1FP ＋1FQ ＝1－cos θp ＋1＋cos θp＝2p(常数)．原命题得证．。

1．集合P ＝{x |y ＝x ＋1}，集合Q ＝{y |y ＝x －1}，则P 与Q 的关系是( )A ．P ＝QB ．P QC ．P QD ．P ∩Q ＝∅解析：选B.依题意得，P ＝{x |x ＋1≥0}＝{x |x ≥－1}，Q ＝{y |y ≥0}，∴P Q .2．(2011·高考课标全国卷)已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个解析：选B.∵M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，∴M ∩N ＝{1,3}．∴M ∩N 的子集共有22＝4个．3．(2012·南京月考)已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝________.解析：A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．答案：{(0,1)，(－1,2)}4．设全集U ＝R ，A ＝{x |2x －10≥0}，B ＝{x |x 2－5x ≤0，且x ≠5}．求(1)∁U (A ∪B )；(2)(∁U A )∩(∁U B )．解：A ＝{x |x ≥5}，B ＝{x |0≤x ＜5}．(1)A ∪B ＝{x |x ≥0}，于是∁U (A ∪B )＝{x |x ＜0}．(2)∁U A ＝{x |x ＜5}，∁U B ＝{x |x ＜0或x ≥5}，于是(∁U A )∩(∁U B )＝{x |x ＜0}．一、选择题1．(2010·高考浙江卷)设P ＝{x |x ＜4}，Q ＝{x |x 2＜4}，则( )A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．P ⊆∁R QD ．Q ⊆∁R P解析：选B.集合Q ＝{x |－2＜x ＜2}，所以Q ⊆P .2．(2011·高考江西卷)若全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，M ＝{2,3}，N ＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A ．M ∪NB ．M ∩NC ．(∁U M )∪(∁U N )D ．(∁U M )∩(∁U N )解析：选D.∵∁U M ＝{1,4,5,6}，∁U N ＝{2,3,5,6}，∴(∁U M )∩(∁U N )＝{5,6}，∴选D.3．定义集合运算：A ⊙B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A ⊙B 的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．18解析：选D.当x ＝0时，z ＝0；当x ＝1，y ＝2时，z ＝6；当x ＝1，y ＝3时，z ＝12. 故集合A ⊙B 中的元素有如下3个：0,6,12.所有元素之和为18.4．(2012·贵阳质检)已知集合S ＝{x ||2x －1|＜1}，则使(S ∩T )⊇(S ∪T )的集合T ＝( )A ．{x |0＜x ＜1} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12＜x ＜1 解析：选A.由(S ∩T )⊇(S ∪T )可得T ＝S ＝{x ||2x －1|＜1}＝{x |0＜x ＜1}，故应选A.5．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B中的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D.∵(∁U A )∪(∁U B )(如图所示阴影部分)中有n 个元素，又∵U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B (如图所示空白部分)中有m －n 个元素．二、填空题6．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________.解析：∵∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}，∴0,3是方程x 2＋mx ＝0的两根，∴m ＝－3.答案：－37．已知集合A ＝{x |a －3＜x ＜a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞2}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为________．解析：由a －3＜－1且a ＋3＞2，解得－1＜a ＜2.也可借助数轴来解．答案：(－1,2)8．已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2 ，2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝________.解析：由A ∩B ＝A ∪B 知A ＝B ，又根据集合中元素的互异性，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a b ＝b2a ≠b或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b 2b ＝2aa ≠b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14b ＝12，故a ＝0或14. 答案：0或14三、解答题9．设A ＝{2，－1，x 2－x ＋1}，B ＝{2y ，－4，x ＋4}，C ＝{－1,7}，且A ∩B ＝C ，求x 、y的值．解：∵A ∩B ＝C ＝{－1,7}，∴必有7∈A,7∈B ，－1∈B .即有x 2－x ＋1＝7⇒x ＝－2或x ＝3.①当x ＝－2时，x ＋4＝2，又2∈A ，∴2∈A ∩B ，但2∉C ，∴不满足A ∩B ＝C ，∴x ＝－2不符合题意．②当x ＝3时，x ＋4＝7，∴2y ＝－1⇒y ＝－12. 因此，x ＝3，y ＝－12. 10．已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0＜x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围．(1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠∅.解：因为集合A 是函数y ＝2x －1(0＜x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＋3＞1，即－2＜a ≤－1， 故a 的取值范围是(－2，－1]．(2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4.故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1)．11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R }．(1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值；(2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝1m ＋2≥3，得m ＝3. (2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}．∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1.∴m >5或m <－3.。

2022年高三数学一轮复习专题一知能演练轻松闯关新人教版1．设f＝－错误!3＋错误!2＋在错误!上存在单调递增区间，求a的取值范围．解：f′＝－2＋＋2a＝－错误!2＋错误!＋2a当∈错误!时，f′的最大值为f′错误!＝错误!＋2a令错误!＋2a＞0，得a＞－错误!所以当a＞－错误!时，f在错误!上存在单调递增区间．即f在错误!上存在单调递增区间时，a的取值范围为错误!2．已知函数f＝错误!在＝1处取得极值21求函数f的表达式；2当m满足什么条件时，函数f在区间m,2m＋1上单调递增解：1因为f′＝错误!，而函数f＝错误!在＝1处取得极值2，所以错误!即错误!解得错误!所以f＝错误!即为所求．2由1知f′＝错误!＝错误!令f′＝0得1＝－1，2＝1，则f↘↗↘可知，f所以错误!所以当m∈－1,0]时，函数f在区间m,2m＋1上单调递增．3．2022·北京海淀区检测已知函数f＝2＋错误!＋1，其中a＞01若曲线＝f在点1，f1处的切线与直线＝1平行，求a的值；2求函数f在区间[1,2]上的最小值．解：f′＝2－错误!＝错误!，≠01由题意可得f′1＝21－a3＝0，解得a＝1，此时f1＝4，在点1，f1处的切线为＝4，与直线＝1平行．故所求的a值为12由f′＝0可得＝a，a＞0，①当0＜a≤1时，f′＞0在1,2]上恒成立，所以＝f在[1,2]上递增，所以f在[1,2]上的最小值为f1＝2a3＋2②当1＜a＜2时，↘↗由上表可得＝f在③当a≥2时，f′＜0在[1,2上恒成立，所以＝f在[1,2]上递减．所以f在[1,2]上的最小值为f2＝a3＋5综上讨论，可知：当0＜a≤1时，＝f在[1,2]上的最小值为f1＝2a3＋2；当1＜a＜2时，＝f在[1,2]上的最小值为fa＝3a2＋1；当a≥2时，＝f在[1,2]上的最小值为f2＝a3＋54．已知函数f＝2＋a n1当a＝－2时，求函数f的单调区间和极值；2若g＝f＋错误!在[1，＋∞上是单调增函数，求实数a的取值范围．解：1易知函数f的定义域为0，＋∞．当a＝－2时，f＝2－2n，f′＝2－错误!＝错误!当变化时，f′和f1＝12由g＝2＋a n＋错误!，得g′＝2＋错误!－错误!若函数g为[1，＋∞上的单调增函数，则g′≥0在[1，＋∞上恒成立，即不等式2－错误!＋错误!≥0在[1，＋∞上恒成立．也即a≥错误!－22在[1，＋∞上恒成立．令φ＝错误!－22，则φ′＝－错误!－4当∈[1，＋∞时，φ′＝－错误!－4＜0，∴φ＝错误!－22在[1，＋∞上为减函数，∴φma＝φ1＝0∴a≥0，即a的取值范围为[0，＋∞．5．2022·烟台调研已知f＝n，g＝－2＋a－31求函数f在[t，t＋2]t＞0上的最小值；2对一切∈0，＋∞，2f≥g恒成立，求实数a的取值范围；3证明：对一切∈0，＋∞，都有n＞错误!－错误!成立．解：1f′＝n＋1，当∈错误!时，f′＜0，f单调递减；当∈错误!时，f′＞0，f单调递增．①当0＜t＜t＋2＜错误!时，f没有最小值；②当0＜t＜错误!＜t＋2，即0＜t＜错误!时，f min＝f错误!＝－错误!；③当错误!≤t＜t＋2，即t≥错误!时，f在[t，t＋2]上单调递增，f min＝ft＝t n t所以f min＝错误!22n≥－2＋a－3，则a≤2n＋＋错误!，设h＝2n＋＋错误!＞0，则h′＝错误!，①当∈0,1时，h′＜0，h单调递减，②当∈1，＋∞时，h′＞0，h单调递增，所以h min＝h1＝4，对一切∈0，＋∞，2f≥g恒成立，所以a≤h min＝43证明：问题等价于证明n＞错误!－错误!∈0，＋∞，由1可知f＝n∈0，＋∞的最小值是－错误!，当且仅当＝错误!时取到，设m＝错误!－错误!∈0，＋∞，则m′＝错误!，易知m ma＝m1＝－错误!，当且仅当＝1时取到，从而对一切∈0，＋∞，都有n＞错误!－错误!成立．。

2013年高三数学一轮复习 第五章第1课时知能演练轻松闯关 新人教版1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是( )A.－1n＋12 B ．cos n π2C ．cos n ＋12πD ．cos n ＋22π解析：选D.令n ＝1,2,3，…逐一验证四个选项，易得D 正确． 2．(2012·保定质检)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝nn ＋1，则1a 5＝( ) A.56 B.65 C.130D ．30解析：选D.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1nn ＋1，所以1a 5＝5×6＝30. 3．已知数列{a n }满足a 1>0，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．不确定解析：选B.∵a n ＋1a n ＝12<1.又a 1>0， 则a n >0，∴a n ＋1<a n ， ∴{a n }是递减数列．4．(2010·高考辽宁卷)已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________． 解析：由a n ＋1－a n ＝2n ， 得a n －a n －1＝2(n －1)，a n －1－a n －2＝2(n －2)，…，a 2－a 1＝2. 将这n －1个式子累加得a n －a 1＝2n －11＋n －12＝n 2－n .∵a 1＝33，∴a n ＝n 2－n ＋33， ∴a n n ＝n 2－n ＋33n ＝n ＋33n－1.当n ＝6时，a n n 有最小值212.答案：212一、选择题1．下面有四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝n n ＋1；③数列的图象是一群孤立的点； ④数列1，－1,1，－1，…与数列－1,1，－1,1，…是同一数列．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A.①错误，如a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，a 1＝1就无法写出a 2；②错误，a n ＝n ＋1n ＋2；③正确，④错误，两数列是不同的数列．2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n 2－17n ，则当S n 取得最小值时n 的值为( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．4 D ．5解析：选C.由于S n ＝2n 2－17n ＝2(n －174)2－2898，而174＝4.25，且S 4＝－36，S 5＝－35， 所以当S n 取得最小值时n 的值为4.3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( ) A.1516B.158C.34D.38解析：选C.由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，∴a 4＝3， ∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34. 4．(2012·宁夏银川重点中学联考改编)设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n 项之积为Πn ，则Π2012的值为( )A ．－12B ．－1C.12D ．1 解析：选D.由a 1＝2，a 2＝12，a 3＝－1，a 4＝2可知，数列{a n }是周期为3的周期数列，从而Π2012＝2×12×(－1)670＝1.5．已知数列{a n }的通项a n ＝nanb ＋c(a ，b ，c 都是正实数)，则a n 与a n ＋1的大小关系是( ) A ．a n ≥a n ＋1 B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．不能确定解析：选B.a n ＝na nb ＋c ＝ab ＋cn， ∵y ＝c n是减函数， ∴y ＝ab ＋c n是增函数，∴a n <a n ＋1.二、填空题 6．已知数列{n 2n 2＋1}，则0.98是它的第________项．解析：n 2n 2＋1＝0.98＝4950，∴n ＝7. 答案：77．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a n n≤2的正整数n 的集合为________．解析：因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1， 整理得a n ＝2a n －1，所以{a n }是公比为2的等比数列， 又因为a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1，故a n ＝2n －1，而a n n≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ∈{1,2,3,4}． 答案：{1,2,3,4}8．(2012·开封调研)设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则其通项公式a n ＝________. 解析：由a n ＋1－a n ＝n ＋1，可得当n ≥2时，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n . 以上n －1个式子左、右两边分别相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝n ＋2n －12，∴a n ＝n n ＋12＋1.又n ＝1时，a 1＝2适合上式，∴a n ＝n n ＋12＋1.答案：n n ＋12＋1三、解答题9．分别写出下列数列的一个通项公式： (1)12，－34，58，－716，…； (2)7,77,777,7777，…；(3)a 1＝2，a n ＋1＝2－1a n.解：(1)可用(－1)n ＋1来调整各项的符号； 各项的分子加上1后为正偶数，为2n －1；而分母组成数列21,22,23， (2)，所以a n ＝(－1)n ＋12n －12n； (2)a n ＝79(10n－1)；(3)依题设，a 1＝2，a 2＝2－12＝32，a 3＝2－23＝43，a 4＝2－34＝54，…，故可归纳出通项a n ＝n ＋1n.10．已知数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)． 求数列{b n }的通项公式b n .解：n ≥2时，∵b n ＋1＝b n ＋(2n －1)，∴b 2－b 1＝1， b 3－b 2＝3，b 4－b 3＝5，…b n －b n －1＝2n －3，以上各式相加得b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝n －11＋2n －32＝(n －1)2.∴b n ＝n 2－2n (n ≥2)．∵n ＝1时，b 1＝－1适合b n ＝n 2－2n ，∴b n ＝n 2－2n .11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋pn ，数列{b n }的前n 项和为T n ＝3n 2－2n . (1)若a 10＝b 10，求p 的值；(2)取数列{b n }的第1项，第3项，第5项，…，构成一个新数列{c n }，求数列{c n }的通项公式．解：(1)由已知，a n＝S n－S n－1＝(n2＋pn)－[(n－1)2＋p(n－1)]＝2n－1＋p(n≥2)，b n＝T n－T n－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5(n≥2)．∴a10＝19＋p，b10＝55.由a10＝b10，得19＋p＝55，∴p＝36.(2)b1＝T1＝1，满足b n＝6n－5.∴数列{b n}的通项公式为b n＝6n－5.取{b n}中的奇数项，所组成的数列的通项公式为b2k－1＝6(2k－1)－5＝12k－11. ∴c n＝12n－11.。

一、填空题 1.如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，DB ＝5，则AD 的长为________．解析：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴AC 2＝AB ·AD .设AD ＝x ，则AB ＝x ＋5，又AC ＝6， ∴62＝x (x ＋5)，即x 2＋5x －36＝0. 解得x ＝4或x ＝－9(舍去)， ∴AD ＝4. 答案：42．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝5，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且EF ∥AD ，若AE EB＝34，则EF 的长为________．解析：如图所示，延长BA 、CD 交于点P ，∵AD ∥BC ，∴PA PB ＝AD BC ＝25，∴PA AB ＝23，又∵AE EB ＝34，∴AE AB ＝37，∴PA AE ＝149，∴PA PE ＝1423.∵AD ∥EF ，∴AD EF ＝PA PE ＝1423，又AD ＝2， ∴EF ＝237.答案：2373.(2011·高考陕西卷)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________.解析：∵AC ＝4，AD ＝12，∠ACD ＝90°，∴CD 2＝AD 2－AC 2＝128， ∴CD ＝8 2.又∵AE ⊥BC ，∠B ＝∠D ， ∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝BE CD，∴BE ＝AB ·CD AD ＝6×8212＝4 2.答案：4 24．在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E ，则DE ＝________. 解析：由勾股定理得：BC ＝AB 2＋AC 2＝5，由射影定理得：CD ＝AC 2BC ＝95，由三角形面积相等得：AD ＝AB ·AC BC ＝125，又由三角形面积相等得：DE ＝AD ·DC AC ＝3625.答案：36255.(2010·高考广东卷)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB ＝AD ＝a ，CD ＝a2，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF ＝________.解析：连接DE (图略)，由于E 是AB 的中点， 故BE ＝a 2，又CD ＝a2，AB ∥DC ，CB ⊥AB ，∴四边形EBCD 是矩形． 在Rt △ADE 中，AD ＝a ，F 是AD 的中点，故EF ＝a2.答案：a26.如图，已知在梯形ABCD 中，上底长为2，下底长为6，高为4，对角线AC 和BD 相交于点P .(1)若AP 的长为4，则PC ＝________； (2)△ABP 和△CDP 高的比为________． 解析：(1)∵AB ∥CD ， ∴△APB ∽△CPD ， ∴AP CP ＝AB CD，即4CP ＝26，解得PC ＝12. (2)由(1)及△ABP 和△CDP 的高的比等于它们的相似比，得这两个三角形的高的比为1∶3. 答案：(1)12 (2)1∶3 二、解答题7.如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，求AE 的长．解：∵AE ∥BC ，D 为AC 的中点， ∴AE ＝CF ， AE BF ＝AG BG ＝13，设AE ＝x ，又BC ＝8， ∴x x ＋8＝13，3x ＝x ＋8，∴x ＝4.∴AE ＝4. 8.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F .求证：AE ·AB ＝AF ·AC . 证明：∵AD ⊥BC ，∴△ADB 为直角三角形，又∵DE ⊥AB ，由射影定理知，AD 2＝AE ·AB .同理可得AD 2＝AF ·AC ， ∴AE ·AB ＝AF ·AC .9.如图所示，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m ．已知小明的身高是1.6 m ，他的影长是2 m.(1)图中△ABC 与△ADE 是否相似？为什么？ (2)求古塔的高度． 解：(1)△ABC ∽△ADE ，∵BC ⊥AE ，DE ⊥AE ，∴∠ACB ＝∠AED ＝90°. ∵∠A ＝∠A ，∴△ABC ∽△ADE . (2)由(1)，得△ABC ∽△ADE .∴AC AE ＝BC DE.∵AC ＝2 m ，AE ＝2＋18＝20(m)，BC ＝1.6 m.220＝1.6DE，∴DE ＝16 m. 即古塔的高度为16 m.10.如图，在正三角形ABC 中，D ，E 分别在AC ，AB 上，且AD AC ＝13，AE ＝BE ，求证：△AED ∽△CBD .证明：∵三角形ABC 是正三角形， ∴AB ＝BC ＝AC ， ∴AE AB ＝AE BC ＝12， ∵AD AC ＝13，∴AD CD ＝12. ∴AD CD ＝AE BC.又∵∠A ＝∠C ＝60°， ∴△AED ∽△CBD .11.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 的延长线交AC 、CF于E 、F 两点，求证：PB 2＝PE ·PF .证明：如图，连接PC .易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP .∵CF ∥AB ， ∴∠F ＝∠ABP . 从而∠F ＝∠ACP .又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角， 从而△CPE ∽△FPC ，∴CP FP ＝PEPC.∴PC 2＝PE ·PF .又PC ＝PB ，∴PB 2＝PE ·PF ，命题得证．12.如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC.证明：由三角形的内角平分线定理得，在△ABD 中，DF AF ＝BDAB .①在△ABC 中，AE EC ＝ABBC，②在Rt △ABC 中，由射影定理知，AB 2＝BD ·BC ， 即BD AB ＝AB BC.③ 由①③得：DF AF ＝ABBC ，④由②④得：DF AF ＝AEEC.13.如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝10 cm ，腰AC 上的高BE ＝12 cm.(1)求证：AB BD ＝53；(2)求△ABC 的周长．解：(1)证明：在△ADC 和△BEC 中， ∵∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△ADC ∽△BEC ， ∴AC BC ＝AD BE ＝1012＝56. ∵AD 是等腰三角形ABC 底边BC 的高线， ∴BC ＝2BD ，又AB ＝AC ， ∴AC BC ＝AB 2BD ＝56，∴AB BD ＝53.(2)设BD ＝x ，则AB ＝53x ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝90°，根据勾股定理，得AB 2＝BD 2＋AD 2， ∴(53x )2＝x 2＋102， 解得x ＝7.5. ∴BC ＝2x ＝15，AB ＝AC ＝53x ＝12.5，∴△ABC 的周长为40 cm.14.如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE ＝∠C .(1)求证：△ABF ∽△EAD ；(2)若AB ＝4，∠1＝30°，AD ＝3，求BF 的长． 解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2.又∵∠BFE ＝∠C ，∠BFE ＋∠BFA ＝∠C ＋∠D ， ∴∠BFA ＝∠D . ∴△ABF ∽△EAD .(2)∵AE ＝4sin60°＝8 33，又BF AD ＝ABAE， ∴BF ＝AB AE ·AD ＝3 32.。

2021年高考数学一轮复习第五章第1讲知能训练轻松闯关1．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )A．1，12，13，14，…B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n解析：选C.根据定义，属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C、D，故同时满足要求的是选项C.2．(xx·海南三亚模拟)在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的第( )A．16项 B．24项C．26项 D．28项解析：选C.因为a1＝1＝1，a2＝2＝4，a3＝7，a4＝10，a5＝13，…，所以a n＝3n－2.令a n＝3n－2＝219＝76，得n＝26.故选C.3．数列{a n}满足a n＋a n＋1＝12(n∈N*)，a2＝2，S n是数列{a n}的前n项和，则S21＝( )A．5 B.7 2C.92D.132解析：选B.∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n＝⎩⎨⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋10×2＝72.故选B.4．(xx·吉林普通中学摸底)已知数列{a n }，a n ＝－2n 2＋λn ，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，6)B ．(－∞，4]C ．(－∞，5)D ．(－∞，3]解析：选B.数列{a n }的通项公式是关于n (n ∈N *)的二次函数，若数列是递减数列，则－λ2×（－2）≤1，即λ≤4.5．(xx·云南昆明一中开学考试)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是( )A ．a 100＝－1，S 100＝5B ．a 100＝－3，S 100＝5C ．a 100＝－3，S 100＝2D ．a 100＝－1，S 100＝2解析：选A.因为数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，所以a 3＝2，a 4＝－1，a 5＝－3，a 6＝－2，a 7＝1，a 8＝3，…，由此可知数列中各项满足a n＋6＝a n，且a n＋a n＋1＋…＋a n＋6＝0.故a100＝a4＝－1，S100＝a1＋a2＋a3＋a4＝5.6．在数列－1，0，19，18，…，n－2n2，…中，0.08是它的第________项．解析：令n－2n2＝0.08，得2n2－25n＋50＝0，即(2n－5)(n－10)＝0.解得n＝10或n＝52(舍去)．∴a10＝0.08.答案：107．已知数列{a n}满足a s·t＝a s a t(s，t∈N*)，且a2＝2，则a8＝________．解析：令s＝t＝2，则a4＝a2×a2＝4，令s＝2，t＝4，则a8＝a2×a4＝8.答案：88．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a n a n＋1a n＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积，已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．解析：依题意得数列{a n}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：289．已知a n＝a n－1＋1n（n－1）(n≥2)，a1＝1.(1)写出这个数列的前5项；(2)由(1)中前5项推测数列的通项公式并证明．解：(1)a1＝1，a2＝a1＋11×2＝32，a 3＝a2＋12×3＝53，a4＝a3＋13×4＝74，a5＝a4＋14×5＝95.(2)猜想a n＝2n－1n.证明如下：由已知得a2－a1＝12×1，a 3－a2＝13×2，…a n －a n－1＝1n（n－1），所以a n－a1＝11×2＋12×3＋…＋1n（n－1）.从而a n＝1＋1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝2－1n＝2n－1n.10．已知数列{a n}的前n项和S n＝2n＋1－2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n＋a n＋1，求数列{b n}的通项公式．解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n.因为a1也适合此等式，所以a n＝2n(n∈N*)．(2)因为b n＝a n＋a n＋1，且a n＝2n，a n＋1＝2n＋1，所以b n＝2n＋2n＋1＝3·2n.qr 33053 811D 脝33861 8445 葅39835 9B9B 鮛 37880 93F8 鏸-36987 907B 遻31713 7BE1 篡37156 9124 鄤30289 7651 癑28588 6FAC 澬M。

【优化方案】2013年高考数学总复习 第五章第1课时知能演练+轻松闯关 文’ 1．(2011·高考江西卷)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝( ) A．1 B．9 C．10 D．55 解析：选A.Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1， S1＝1. 可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1， Sn＋1－Sn＝1. 即当n≥1时，an＋1＝1，a10＝1. 2．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为( ) A．{1,2} B．{1,2,3,4} C．{1,2,3} D．{1,2,4} 解析：选B.因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1，所以{an}是公比为2的等比数列，又因为a1＝2a1－1，解得a1＝1，故{an}的通项公式为an＝2n－1.而≤2即2n－1≤2n，所以有n＝1,2,3,4. 3．在数列{an}中，若a1＝，an＝(n≥2，nN*)，则a2012＝________. 解析：a1＝，an＝(n≥2，nN*)， a2＝2，a3＝－1，a4＝， {an}是以3为周期的数列． a2012＝a670×3＋2＝a2＝2. 答案：2 4．如图为一三角形数阵，它满足：第n行首尾两数均为n；图中的递推关系类似杨辉三角(三角形数阵中的数为其肩上两数之和)，则第n行(n≥2)第2个数是________. 12　23　4　34　7　7　45　11　14　11　56　16　25　25　16　6…　…　…　…　…　…解析：设第n行第2个数为an(n≥2)，由已知得an＝(n－1)＋an－1，an－an－1＝n－1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，…，an－an－1＝n－1，以上各式累加得an＝2＋2＋3＋4＋…＋(n－1)＝1＋1＋2＋3＋…＋(n－1)＝1＋＝. 答案： 一、选择题 1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是( ) A. B．cos C．cosπ D．cosπ 解析：选D.令n＝1,2,3，…逐一验证四个选项，易得D正确． 2．已知数列{an}满足a1>0，＝，则数列{an}是( ) A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不确定 解析：选B.＝0， 则an>0，an＋1b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选A.设an＋2＝bn＋1， (a－b)n＋1＝0， a>b，n>0， (a－b)n＋1＝0不成立． 5．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(nN*)，则数列{an}的通项公式是( ) A．2n－1 B．()n－1 C．n2 D．n 解析：选D.法一：由已知整理得(n＋1)an＝nan＋1， ＝，数列{}是常数列． 且＝＝1，an＝n. 法二：(累乘法)n≥2时，＝， ＝， … ＝，＝， 两边分别相乘得＝n. 又a1＝1，an＝n. 二、填空题 6．已知数列{}，则0.98是它的第________项． 解析：＝0.98＝，n＝7. 答案：7 7．数列{an}中，an＝，Sn＝9，则n＝________. 解析：an＝＝－， Sn＝(－)＋(－)＋…＋(－) ＝－1＝9， n＝99. 答案：99 8．已知数列{an}的前n项的乘积为Tn＝5n2，nN*，则数列{an}的通项公式为an＝________. 解析：当n＝1时，a1＝T1＝512＝5； 当n≥2时，an＝＝＝52n－1(nN*)． 当n＝1时，也适合上式， 所以当nN*时，an＝52n－1. 答案：52n－1(nN*) 三、解答题 9．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)，求an. 解：an＋1＝Sn， an＝Sn－1(n≥2)， an＋1－an＝(Sn－Sn－1)＝an(n≥2)， an＋1＝an(n≥2)． 又a1＝1，a2＝S1＝a1＝， {an}是从第二项起，公比为的等比数列， an＝ 10．已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)． (1)求a2，a3； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)由已知：{an}满足a1＝1，an＝an－1＋3n－2(n≥2)， a2＝a1＋4＝5， a3＝a2＋7＝12. (2)由已知：an＝an－1＋3n－2(n≥2)得： an－an－1＝3n－2，由递推关系， 得an－1－an－2＝3n－5，…，a3－a2＝7，a2－a1＝4， 累加得： an－a1＝4＋7＋…＋3n－2 ＝＝， an＝(n≥2)． 当n＝1时，1＝a1＝＝1， 数列{an}的通项公式为an＝. 11．(探究选做)已知二次函数f(x)＝x2－ax＋a(a>0，xR)有且只有一个零点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(nN*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设cn＝1－(nN*)，定义所有满足cm·cm＋10得a＝4， f(x)＝x2－4x＋4. Sn＝n2－4n＋4. 当n＝1时，a1＝S1＝1－4＋4＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－5. an＝ 由1－＝可知， 当n≥5时，恒有an>0. 又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－， 即c1·c2<0，c2·c3<0，c4·c5<0， 数列{cn}的变号数为3. 高考学习网： 高考学习网：。

2021年高三数学一轮复习 选修4-5第1课时知能演练轻松闯关 新人教版制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅……日期：2022年二月八日。

一、填空题1．|2x －1x|<3的解集是________． 解析：∵|2x －1x|<3，∴|2x －1|<3|x |， 两边平方得4x 2－4x ＋1<9x 2，∴5x 2＋4x －1>0.∴所求不等式的解集为{x |x <－1或者x >15}． 答案：(－∞，－1)∪(15，＋∞) 2．不等式|x ＋1|(2x －1)≥0的解集为________．解析：当x ＋1＝0即x ＝－1时，|x ＋1|(2x －1)≥0成立；当x ＋1≠0时，|x ＋1|>0，∴2x －1≥0，即x ≥12. 综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥12或者x ＝－1.答案：{x |x ＝－1或者x ≥12} 3．(2021·高考卷)不等式|x ＋3|－|x －2|≥3的解集为________．解析：当x ≥2时，原不等式化为x ＋3－(x －2)≥3，解得x ≥2；当－3<x <2时，原不等式化为x ＋3－(2－x )≥3，解得1≤x <2；当x ≤－3时，原不等式化为－x －3－(2－x )≥3，无解．综上，x 的取值范围为x ≥1.答案：[1，＋∞)4．(2021·高考卷)假设不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是________． 解析：令f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1x ≤－1，3－1＜x ＜2，2x －1x ≥2，∴f (x )≥3.∵|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，∴a ≤3.答案：(－∞，3] 5．假设不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －2|＋1对于一切非零实数x 均成立，那么实数a 的取值范围是________． 解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，∴|a －2|＋1<2， 即|a －2|<1，解得1<a <3.答案：(1,3)二、解答题6．(2021·高考卷)解不等式x ＋|2x －1|<3.解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋2x －1<3，或者⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1<0，x －2x －1<3.解得12≤x <43或者－2<x <12. 所以原不等式的解集是⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2<x <43.7．求不等式1<|x ＋1|<3的解集．解：由1<|x ＋1|<3，得1<x ＋1<3或者－3<x ＋1<－1，∴0<x <2或者－4<x <－2，∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．8．求不等式1－3|x |x>0的解集． 解：此题可去绝对值将不等式转化为等价的不等式组，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >01－3x x >0或者⎩⎪⎨⎪⎧ x <01＋3x x >0，分别解之然后取并集即得不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.9．(2021·高考卷)函数f (x )＝|x －2|－|x －5|.(1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集．解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3，所以－3≤f (x )≤3.(2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．10．(2021·质检)函数f (x )＝|x －4|－|x －2|.(1)作出函数y ＝f (x )的图象；(2)解不等式|x －4|－|x －2|>1.解：(1)依题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2 x >4，－2x ＋6 2≤x ≤4，2 x <2.那么函数y ＝f (x )的图象如下图．(2)由函数y ＝f (x )的图象容易求得原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，52. 11．如图，O 为数轴的原点，A 、B 、M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的一动点．设x 表示C 与原点的间隔 ，y 表示C 到A 间隔 的4倍与C 到B 间隔 的6倍的和．(1)将y 表示为x 的函数；(2)要使y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？解：(1)y ＝4|x －10|＋6|x －20|,0≤x ≤30.(2)依题意，x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 4|x －10|＋6|x －20|≤70，0≤x ≤30.解不等式组，其解集为[9,23]．所以要使y 值不超过70，x 的取值范围应为[9,23]．12．(2021·质检)设不等式|2x －5|≤5的解集为A .(1)求A ；(2)证明：当x ∈A 时，|x |＋|x －4|≤6.解：(1)由|2x －5|≤5得：－5≤2x －5≤5，0≤2x ≤10,0≤x ≤5，∴解集A ＝{x |0≤x ≤5}．(2)证明：法一：|x |＋|x －4|＝|x |＋|(x －5)＋1|≤|x |＋|x －5|＋1，∵0≤x≤5，∴|x|＋|x－5|＋1＝x＋(5－x)＋1＝6.∴|x|＋|x－4|≤6.法二：当0≤x≤4时，左边＝x＋(4－x)＝4<6当4<x≤5时，左边＝x＋(x－4)＝2x－4≤2×5－4＝6，综上，|x|＋|x－4|≤6.13．函数f(x)＝|x－3|－2，g(x)＝－|x＋1|＋4.(1)假设函数f(x)的值不大于1，求x的取值范围；(2)假设不等式f(x)－g(x)≥m＋1的解集为R，求m的取值范围．解：(1)由题意得f(x)≤1，即|x－3|－2≤1，得|x－3|≤3.因为|x－3|≤3⇔－3≤x－3≤3⇔0≤x≤6，所以x的取值范围是[0,6]．(2)f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6，因为x∈R，由绝对值三角不等式得f(x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6＝|3－x|＋|x＋1|－6≥|(3－x)＋(x＋1)|－6＝4－6＝－2，于是有m＋1≤－2，得m≤－3，即m的取值范围是(－∞，－3]．14．函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.(1)解关于x的不等式f(x)＋a－1>0(a∈R)；(2)假设函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围．解：(1)不等式f(x)＋a－1>0，即|x－2|＋a－1>0.当a＝1时，不等式的解集是(－∞，2)∪(2，＋∞)；当a>1时，不等式的解集是R；当a<1时，即|x－2|>1－a，即x－2<a－1或者x－2>1－a，即x<a＋1或者x>3－a，解集为(－∞，1＋a)∪(3－a，＋∞)．(2)函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m对任意实数x恒成立．由于|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，故只要m<5.所以m的取值范围是(－∞，5)．15．a，b，c是实数，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1.(1)证明：|c|≤1；(2)证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2；(3)设a>0，当－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)．解：(1)证明：∵当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1，∴取x＝0有|c|＝|f(0)|≤1，即|c|≤1.(2)证明：∵g(x)＝ax＋b的图象是一条直线，∴只需证明|g(－1)|≤2，且|g(l)|≤2.由|f(－1)|≤1，|f(l)|≤1，又由(1)知|c|≤1，∴|g(－1)|＝|－a＋b|＝|－f(－1)＋c|≤|f(－1)|＋|c|≤1＋1＝2.∴|g(－1)|≤2，且|g(1)|≤2.∴当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2.(3)∵a>0，∴g(x)在(－1,1)上是增函数．又∵当－1≤x≤1时，g(x)的最大值为2，∴g(1)＝2.∴a＋b＝f(1)－c＝2.∵－1≤c＝f(l)－2≤1－2＝－1，∴c＝f(0)＝－1.∵当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，∴由二次函数的性质得直线x＝0为二次函数f(x)的图象的对称轴．∴－b2a＝0，即b＝0.∴a＝2.∴f(x)＝2x2－1.制卷人：打自企；成别使；而都那。