高中数学论文“新定义”高考新题型的新宠儿

摘要：随着我国新高考改革的深入推进，数学试卷作为评价学生数学素养和能力的工具，其设计和命题也发生了显著变化。

本文以2024年高考数学全国卷为例，分析新高考数学试卷的特点、趋势和影响，探讨其对中学数学教学和高考改革的启示。

一、引言新高考改革旨在全面提高学生的综合素质，推动基础教育改革，培养学生的创新精神和实践能力。

数学作为基础学科之一，其试卷设计也发生了相应变化。

本文通过对2024年高考数学全国卷的分析，探讨新高考数学试卷的特点、趋势和影响。

二、新高考数学试卷特点1. 强化核心素养：新高考数学试卷更加注重考查学生的数学思维能力、创新意识和实践能力，引导学生关注现实问题和中华优秀传统文化。

2. 突出关键能力：试卷在考查基础知识的基础上，更加注重考查学生的逻辑推理、数学建模、数据分析、空间想象等关键能力。

3. 适度创新：试卷在题型设计、情境创设等方面进行适度创新，引导学生关注新情境、新问题，提高解题能力。

4. 优化题量与难度：试卷在保证题量充足的同时，适度调整题目难度，使考生在有限的时间内完成考试，减轻考试压力。

三、新高考数学试卷趋势1. 知识点覆盖面广：试卷涵盖《普通高中数学课程标准（2017年版）》中的必修课程和选择性必修课程内容，体现全面性。

2. 知识点综合性强：试卷注重考查学生综合运用知识解决问题的能力，引导学生关注数学知识的内在联系。

3. 题型多样化：试卷在题型设计上保持多样化，包括选择题、填空题、解答题等，使考生在考试中充分展示自己的数学素养。

4. 重视实际问题：试卷注重考查学生运用数学知识解决实际问题的能力，引导学生关注现实生活。

四、新高考数学试卷影响1. 对中学数学教学的影响：新高考数学试卷的特点和趋势促使中学数学教学更加注重培养学生的核心素养和关键能力，提高教学质量。

2. 对高考改革的影响：新高考数学试卷的设计和命题有助于推动高考改革，促进教育公平，提高学生综合素质。

五、结论新高考数学试卷在考查学生数学素养和能力的方面取得了显著成效。

变换背景出新题――关于高考数学新题型特征的探索近几年高考数学新题型中，有一类试题是通过变换问题的背景而得到的，背景的变换有三种形式：一是在传统的问题中，创设新背景；二是在传统的背景下，提出新问题；三是在新的背景中，提出新问题。

变换背景而得到的试题新颖、别致，突出考察了学生的综合素质和创新能力，是高考命题由“知识立意”向“能力立意”转化的产物。

为了使考生适应这种新题型，本文将分类进行解析，以供大家在复习备考中参考.一、在传统的问题中，创设新背景§1.1静态问题，创设动态背景【例1】（′04·浙江）点P从（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动2π3弧长到达Q点，则Q的坐标为（）A．（－12，32）B．（－32，12）C．（－12，－32）D．（－32，-12）解析：本题创设了“点沿单位圆运动”这一动态背景，去求圆上点的坐标。

由Q点落在θ=23π的角终边上，得Q（cos23π，sin23π），即为Q（－12，32），故选A．【例2】（′03·北京春）如图1，在正三角形ABC中，图1D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．0°解析：求“三棱锥侧面上两条异面直线所的角”是一个静态问题，这里通过“展平与翻折”这一互动过程，图2更有效地考察了学生的空间想象能力。

比照翻折前后的图形（如图2），容易得到∠ADF为GH与IJ所成的角，而∠ADF=60°，故选 B.§1.2平面问题，创设空间背景【例3】（′04·天津）如图3，图3定点A和B都在平面α内，定点P��α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC.那么，动点C在平面α内的轨迹是（）A．一条线段，但要去掉两个点B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点D．半圆，但要去掉两个点解析：本题是在空间背景中研究平面轨迹问题。

例谈近几年高考题中的新题型江苏省泰州市民兴实验中学丁益民（225300）综观这两年各地高考数学试题便会发现几乎每份试卷,都有一定量的新定义题.这类题目的特点是命题者通过文字或图表等给出了中学数学内容中没有遇到过的新知识,这些新知识可以是新概念、新定义、新定理、新规则或新情境,并且这些解题的信息有可能不是直接给出的,要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移,即读懂新概念,理解新情境,获取有用的新信息,然后运用这些有用的信息进一步演算和推理,从而考察学生在新的情景下,独立获取和运用新信息的能力,综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力.就这两年高考题型的走势来看，高考新题型的结构形式大约有以下的7种。

一、情境新颖型新的立意，新的背景，新的表述，新的设问都能创设试题的新颖情境.【例1】（2020年全国卷Ⅲ）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F十进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=【】A.6EB.72C.5FD.B0【点示】情境新颖有三：（1）数符新颖，除熟悉的0，1，…，9这10个数字之外，还有新数字A、B、C、D、E、F. （2）数制新颖，16进制. （3）数意新颖，16进制中的数11，如果说个位数上的1与10进制中的1“数意”相同的话，那么十位数上的1则是另外一种“数意”了；自然，F1这个数在10进制中已经不是两位数了.【解答】我们用符号［x］(10) ，［y］ (16) 分别表示10进制和16进制中的数. 依题意，有［16］(10)=［10］(16)则有A×B=［10×11］(10) =［110］(10)=［6×16+14］(10)=［6×10+E］(16) =6E.答案为A.二、研究学习型【例2】(2020年江苏卷)相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A）1个（B）2个（C）3个（D）无穷多个【点示】研究有三：（1）正方体内接几何体的空间模型；（2）截面图形；（3）新课标要求的三视图.【解答】法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个.法二：通过计算，显然两个正四棱锥的高均为12，考查放入正方体后，面ABCD 所在的截面，显然其面积是不固定的，取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭，所以该几何体的体积取值范围是11,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭答案为D.三、开放探究型开放题在这几年高考中比较多见,有的有明确的条件而无明确的结论，甚至连结果存在与否还不知道，有的有明确结论而无明确的条件，甚至连条件是否存在还不知道.【例3】(2020年北京卷)在数列n a 中，若 a 1，a 2 是正整数，且12n n n a a a --=-,n =3，4，5，…，则称n a 为“绝对差数列”.（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）若“绝对差数列”n a 中，203a =,210a =，数列n b 满足12n n n n b a a a ++=++ ,n =1，2，3，…，分虽判断当n →∞时, n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.【点示】 开放有三：（1）答案不唯一，a 1、a 2可“任意”设置；（2）极限是否存在，不知道；（3）“任何”、“总会”、“无穷个0”都是开放词.【解答】 （Ⅰ）解：12345673,1,2,1,1,0,1a a a a a a a =======,89101,0, 1.a a a === （答案不惟一）（Ⅱ）解：因为在绝对差数列{}n a 中203a =,210a =.所以自第 20 项开始，该数列是203a =,210a =,2222242526273,3,0,3,3,,a a a a a a o ======⋅⋅.⋅即自第 20 项开始.每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当n →∞时，n a 的极限不存在.当20n ≥时, 126n n n n b a a a ++=++=,所以lim 6n n b →∞= （Ⅲ）证明：根据定义，数列{}n a 必在有限项后出现零项.证明如下假设{}n a 中没有零项，由于12n n n a a a --=-,所以对于任意的n ，都有1n a ≥,从而 当12n n a a -->时, 1211(3)n n n n a a a a n ---=-≤-≥;当 12n n a a --<时, 2121(3)n n n n a a a a n ---=-≤-≥即n a 的值要么比1n a -至少小1，要么比2n a -至少小1.令212122212(),(),n n n n n n n a a a C a a a --->⎧=⎨<⎩1,2,3,,n =⋅⋅⋅ 则101(2,3,4,).A n C C n -<≤-=⋅⋅⋅由于1C 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 10C <，这与0n C >(1,2,3,,n =⋅⋅⋅) 矛盾. 从而{}n a 必有零项.若第一次出现的零项为第n 项，记1(0)n a A A -=≠，则自第n 项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，A , A , 即331320,,0,1,2,3,,,n k n k n k a a A k a A +++++=⎧⎪==⋅⋅⋅⎨⎪=⎩所以绝对差数列{}n a 中有无穷多个为零的项.四、时代信息型在应用题中, “时代信息题”就显得尤为鲜明：（1）反映生活；（2）联系生产；（3）服务实际；（4）展示科技等等。

数学新题型的定义数学新题型是近年来出现的一种新型的数学考试题型，它与传统数学题型相比，更加注重考察学生的创新思维和解题能力。

本文将从题型背景、题型特点、题型内容、题型解法和题型评价五个方面，对数学新题型进行定义。

一、题型背景数学新题型是在数学考试中逐渐发展出来的一种新型题型，它的出现主要是为了适应当前教育改革和人才培养的需要。

与传统数学题型相比，数学新题型更加注重考察学生的创新思维和解题能力，同时也能够更好地评估学生的数学水平和综合素质。

二、题型特点数学新题型的特点主要表现在以下几个方面：1.创新性：数学新题型的设计通常具有创新性，它不会简单地重复传统题型的模式，而是通过设计新颖的问题情境和解题方式来考察学生的创新思维和解题能力。

2.实用性：数学新题型的设计通常与实际生活和实际问题密切相关，它能够让学生通过解题来了解数学在实际生活中的应用，同时也能够提高学生的应用意识和实践能力。

3.综合性：数学新题型的设计通常涉及多个知识点和解题方法，它能够全面地考察学生的数学水平和综合素质，同时也能够引导学生注重知识点的综合应用和系统性的思考。

4.探究性：数学新题型的设计通常具有一定的探究性，它能够引导学生通过观察、分析、猜想和验证等方法来进行探究式学习，同时也能够提高学生的探究能力和创新能力。

三、题型内容数学新题型的题型内容非常丰富，它可以包括代数、几何、概率、统计等多个方面，也可以结合当前科技发展和社会热点问题进行设计。

具体来说，数学新题型的题型内容可以分为以下几类：1.开放性问题：开放性问题是指那些答案不唯一的问题，它能够引导学生从多个角度来思考问题，从而培养学生的创新思维和解决问题的能力。

2.操作性问题：操作性问题是指那些需要学生进行实际操作的问题，它能够让学生通过动手操作来加深对知识点的理解和应用，同时也能够提高学生的实践能力和创新意识。

3.探究性问题：探究性问题是指那些需要学生进行探究式学习的问题，它能够引导学生通过观察、分析、猜想和验证等方法来进行探究式学习，同时也能够提高学生的探究能力和创新能力。

关于高考数学新题型特征的探索研究（十堰市第一中学王欢）在高考中数学占很重要的地位，教师为了提高学生的数学成绩，使学生能够考上理想的大学，总是尽心尽力的上好每一节课，寻找各种新题型让学生做，推荐经典的复习资料让学生练习。

但是，每年考试结束后，许多学生感慨平时练习的都成了无用功，反观新课改实施以来的高考，好的创新试题层出不穷，高三复习最有效的方法是准确把握课程标准、吃透考试说明，以不变应万变。

本文通过对近几年全国各省的高考真题及模拟题的解析，探索高考数学新题型的特征，与大家共勉。

高考命题由“知识立意”向“能力立意”转化，数学高考题中，有几类新题型，一种是通过变换问题背景得到的，一种是变换问题结构得到的，还有一种是探索性问题。

1通过变换背景得到的新题型1.1以社会热点问题为背景高考中，通常会有此类题型，以目前的社会热点问题如环保、物价、工作报告等内容为背景进行出题，以2011年四川理科第18题为例，可以直观的表明这一点。

例：（2011年高考四川理科卷第18题）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。

有人独立来该租车点则车骑游。

各租一车一次。

设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为11,42；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过四小时。

（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ；解析：（1）所付费用相同即为0,2,4元。

设付0元为1111428P =⋅=，付2元为2111248P =⋅=，付4元为31114416P =⋅= 则所付费用相同的概率为123516P P P P =++=(2)设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,8()810==ζP ()165212141412=⋅+⋅==ζP ()1654121412141414=⋅+⋅+⋅==ζP ()163412141416=⋅+⋅==ζP ()16141418=⋅==ζP84822E ξ=+++= 1.2 以其它学科知识为背景近年来，高考题中以其他学科为载体考查数学知识的情况越来越多，以此题为例，虽然考查的知识相对简单，但也不容忽视。

浅析高考数学中的“新定义型”试题作者：谢玉龙来源：《新教育时代·教师版》2018年第24期摘要：高考数学考察的是学生分析问题，解决问题的能力，数值计算的能力以及空间想象的能力。

但是在新课改下，更加注重了学生的思维能力与创新能力。

要能够将所学的知识进行灵活的运用，将原来的知识意识转变为能力意识。

本文主要对高考数学中的“新定义型”的题型进行分析。

关键词：高考数学新题型高考数学在高考中占有很重要的地位，无论是文科还是理科，数学都是高考的必考科目，在高考分数中占有很大的比重，掌握高考数学讯息与动态对于高考取得优异的成绩是极其重要的，尤其是新课程改革下，许多省份已经统一更换试卷的类别，并且考试题型也有所变动，这对于应届的考生来说极其重要。

[1]一、高考数学的背景以及“新定义题型”的来源从高考的数学试题的题源来分析，我们高中的教材、课本是试题的主要来源，也是高考命题的主要依据。

所以我们要重视高中数学课本，以课本为出发点，制定有效的复习方案，课本是一切试题的基础，很多高考数学内容源于课本又超越课本，即使超越了课本他也是在课本的基础之上，所以我们要打好基础，必须重视基础，重视课本的内容，必须熟练课本定义、例题和习题等内容。

虽然我们要重视课本，但是在进行系统的复习时，不能照本宣科，完全依赖课本，数学毕竟是需要用题目来熟练课本的内容和规律，要把数学课本知识不断的进行整合，这样可以有效转化目前的一些知识。

例如，在做数学代数，证明相关不等式时，可以利用一些方法有效的把题目进行转化，例如可以用放缩法来求解不等式，也可以利用函数的相关性质来证明不等式，更可以利用三角函数，解析几何的方法来证明不等式，这些方法都是在进行系统复习时，可以有效的把知识进行归类和整合，让课本的作用最优化，也能积极的促进高中数学教育。

[2]高中数学课本的一些基本问题与内容本身为“新定义题型”提供了很多的想法与思路，为能够有效的考查学生数学能力的高考数学提供了很多的题源。

高考题中的新“主角”—导数导数是高中数学新课程中的新增内容，它是微积分的初步知识，是研究函数、解决实际问题的有力工具．从近几年高考来看，对导数这部分内容的考查力度逐年加强，是新增内容的主要得分点．命题的热点主要是：①考查导数的几何意义；②考查利用导数解决有关函数的单调性问题；③考查利用导数解决有关函数的极值问题；④考查利用导数解决有关函数的最值问题；⑤考查导数在实际问题中的应用；⑥考查导数与其它知识相融合的综合问题．基于以上认识，下文通过例题加以详述．一、考查导数的几何意义【例1】（05·北京卷·理12）过原点作曲线x e y =的切线，则切点的坐标为 ；切线的斜率为 ．解：设切点为),(00x e x ，则切线的斜率为00x x x e y k ='==，切线方程是)(000x x e e y x x -=- ∵切线过原点，∴ )0(0000x e e x x -=- ∴10=x ，从而切点为),1(e ，切线斜率是e ． 点评：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率，切线方程是))((000x x x f y y -'=-．注意：切点既在．．切线上，又在．．曲线上． 二、考查利用导数解决有关函数的单调性问题【例2】（05·福建·19）已知函数bx ax x f +-=26)(的图象在点))1(,1(--f M 处的切线方程为 052=++y x . (1)求函数)(x f y =的解析式；(2)求函数)(x f y =的单调区间.解：(1)略解．由点M 在切线上可得 2)1(-=-f ∴ 216-=+--ba ① 又∵ 222)()6(2)()(b x ax x b x a x f +--+=' 且21)1(-=-'f ∴ 21)1()6(2)1(2-=++-+b a b a ② 由①②得2=a ，3=b ，所以所求的函数解析式为 362)(2+-=x x x f ．(2) 222)3(6122)(+++-='x x x x f 由0)(>'x f 得，323323+<<-x ；由0)(<'x f 得，323-<x 或323+>x ． ∴ 函数)(x f 的递增区间是)323,323(+- 递减区间是)323,(--∞和),323(+∞+．【例3】（05·湖南卷·理21）已知函数x x f ln )(=，bx ax x g +=221)(，0≠a ． (1)若2=b ，且函数)()()(x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围．解：当2=b 时，x ax x x h 221ln )(2--= )0(>x ，则 xx ax x h 12)(2-+-='． ∵ 函数)(x h 存在单调递减区间 ∴ 0)(<'x h 有解又∵ 0>x ，则0122>-+x ax 有0>x 的解．①当0>a 时，122-+=x ax y 为开口向上的抛物线，0122>-+x ax 总有0>x 的解； ②当0<a 时，122-+=x ax y 为开口向下的抛物线，而0122>-+x ax 有0>x 的解，则044>+=∆a ，且方程0122=-+x ax 至少有一正根．此时，01<<-a ．综上述，a 的取值范围为),0()0,1(+∞⋃-．点评：导数的引进为解决某些复杂函数．．．．的单调性问题提供了有效途径．对于区间D 内的可导函数)(x f ，(1)若D x ∈时，都有0)(>'x f ，则)(x f 在D 内是增函数；若D x ∈时，都有0)(<'x f ，则)(x f 在D 内是减函数．(2)若函数)(x f 在D 内是增函数，则D x ∈时，恒有0)(≥'x f ；若)(x f 在D 内是减函数，则D x ∈时，恒有0)(≤'x f ．(注意此结论成立的前提条件是：在区间D 的任何子区间内)(x f '不恒为．．．零) 三、考查利用导数解决有关函数的极值问题【例3】（05·重庆卷·理19）已知R a ∈，讨论函数)1()(2+++=a ax x e x f x 的极值点的个数．解：)]12()2([)(2++++='a x a x e x f x ，令0)(='x f ，得 012)2(2=++++a x a x ①当0)4(4)12(4)2(22>-=-=+-+=∆a a a a a a ，即0<a 或4>a 时，方程0)(='x f 有两个不同的实数根1x 、2x ．不妨设21x x <．因为当1x x <时，0)(>'x f ；当21x x x <<时，0)(<'x f ；当2x x >时，0)(>'x f ∴ 函数)(x f 有两个极值点．②当0=∆即0=a 或4=a 时，方程0)(='x f 有两个相同的实数根21x x =，于是21)()(x x e x f x -='，故当1x x <时，0)(>'x f ；当2x x >时，0)(>'x f ，因此函数)(x f 无极值．③当0<∆，即40<<a 时，恒有0)(>'x f ，故函数)(x f 为增函数，此时)(x f 无极值．综上述，当0<a 或4>a 时，函数)(x f 有两个极值点；当40≤≤a 时，函数)(x f 无极值．点评：对于可导函数)(x f ，把满足0)(='x f 的点称为函数)(x f 的驻点．切记两个结论：(1)可导函数．．．．的极值点一定是它的驻点；(2)可导函数的驻点不一定．．．是极值点．求可导函数)(x f 的极值法则：先求函数的驻点，再判断函数驻点左右两侧)(x f '的符号，若)(x f '的符号相反，则驻点是极值点；若)(x f '的符号相同，则驻点不是极值点.四、考查利用导数解决有关函数的最值问题【例4】（05·全国卷Ⅱ·理22）已知0≥a ，函数x e ax x x f )2()(2-=．(1)当x 为何值时，)(x f 取得最小值？证明你的结论．解：]2)1(2[)(2a x a x e x f x --+=' 令0)(='x f ，则02)1(22=--+a x a x ，解得1121+--=a a x ，1122++-=a a x ，从而有下表∴ )(x f 在1x 处取得极大值，2x 处取得极小值∵ 0≥a ∴ 11-<x ，02≥x ，当0<x 时，0)2()(>-=x e a x x x f而当0=x 时，0)(=x f ，且)(x f 在),(21x x 为减函数，在),(2+∞x 为增函数．∴ 当211a a x ++-=时，)(x f 取最小值．点评：连续函数)(x f 在闭区间],[b a 上必有最值．求函数)(x f y =在闭区间],[b a 上的最值可分两步进行：(1)求)(x f y =在),(b a 内的极值；(2)将极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．注意：利用导数求函数在开区间．．．上的最值时，一定要根据函数单调性、连续性以及函数值的符号来判断，一般最值在极值点取得．(如本题)五、考查导数在实际问题中的应用【例5】（04·福建·理16）如图1，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图2）．当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大．图1 图2解：设正六棱柱的底面边长为x ，则容器高为)1(23x h -= 容积 2324949)1(23233x x x x sh V +-=-== )10(<<x 由029427)(2=+-='x x x V ，得 32=x 当320<<x 时，0>'V ，32>x 时，0<'V 由实际问题的意义可知，当32=x 时，V 取最大值为31． 点评：解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数．把实际问题译为数学语言，抽象成数学问题，选择合适的数学方法求解，尤其要注意使用导数解决最优化的问题及即时速度、边际成本问题，可使复杂问题简单化．注意：在实际问题．．．．中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使0)(='x f 的情形，如果函数在这点有极值，那么极值就是最值．六、考查导数与其它知识相融合的综合问题【例6】（01·北京春季）在1与2之间插入n 个正数1a ，2a ，…，n a ，使这2+n 个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数1b ，2b ，…，n b ，使这2+n 个数成等差数列．记n n a a a A 21=，n n b b b B +++= 21．(1)求数列}{n A 和}{n B 的通项；(2)当7≥n 时，比较}{n A 和}{n B 的大小，并证明你的结论．解：(1)略解.n n n n n a a a a a a A 2)())((11212=⋅⋅=- ∴22n n A =n b b n B n n 232)(1=+= (2)构造函数x x f x232)(2-= (7≥x )，则 02212)7(27>-=f ． 又∵ 0)32(21)3ln 2(21)32ln 2(21)(25272>-=->-='e x f x ∴ )(x f 在),7[+∞上单调递增 ∴ 0)7()(>≥f x f∴ 0)(>n f 即n n2322>，也就是 n n B A >(7≥n )． 点评：导数的引进为不等式的证明提供了新途径，本题的关键在于构建函数． 另外，数列作为一种特殊函数，也经常可以通过导数来解决相关的问题，主要在于构造一个合理的函数，再根据函数的性质来研究数列问题．导数还可以与解析几何融合，体现了代数与几何的完美结合．注意：欲用导数，先构造函数．．．．． 小结：导数作为一类特殊函数，为研究函数的单调性、极值、最值、图象、曲线的切线等问题开辟了新的途径，成为勾通函数与数列、不等式、圆锥曲线等问题的一座桥梁；其重要性不言而喻，在近几年高考中，也得以充分体现．由导数引出的各类综合题必将会是今后高考的重点内容，在平时教学中应给予足够重视．。

大题新定义题型继2024年九省联考的第19题考查了新定义问题，已有部分地区考试采用了该结构考试。

2024年的新高考试卷第19题极大可能也会考查新定义问题，难度较大。

新定义题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”“规定”等字眼，题目一般使用抽象的语言给出新定义、运算或符号，没有过多的解释说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义要求后马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。

题型一：集合的新定义问题题型二：函数与导数的新定义问题题型三：复数与不等式的新定义问题题型四：三角函数的新定义问题题型五：平面向量的新定义问题题型六：数列的新定义问题题型七：立体几何的新定义问题题型八：平面解析几何的新定义问题题型九：概率统计的新定义问题题型十：高等数学背景下的新定义问题题型一：集合的新定义问题1(2024·广东·惠州一中校联考模拟预测)已知集合A中含有三个元素x,y,z，同时满足①x<y<z；②x+y>z；③x+y+z为偶数，那么称集合A具有性质P.已知集合S n=1,2,3,⋯,2n(n∈N*,n≥4)，对于集合S n的非空子集B，若S n中存在三个互不相同的元素a,b,c，使得a+b,b+c,c+a均属于B，则称集合B是集合S n的“期待子集”.(1)试判断集合A=1,2,3,5,7,9是否具有性质P，并说明理由；(2)若集合B=3,4,a具有性质P，证明：集合B是集合S4的“期待子集”；(3)证明：集合M具有性质P的充要条件是集合M是集合S n的“期待子集”.集合新定义问题的方法和技巧：(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.1(2023·北京·北京四中校考模拟预测)已知集合M =1,2,3,⋯,n n ∈N * ，若集合A =a 1,a 2,⋯,a m ⊆M m ∈N * ，且对任意的b ∈M ，存在a i ，a j ∈A 1≤i ≤j ≤m ，使得b =λ1a i +λ2a j (其中λ1,λ2∈-1,0,1 )，则称集合A 为集合M 的一个m 元基底．(1)分别判断下列集合A 是否为集合M 的一个二元基底，并说明理由；①A =1,5 ，M =1,2,3,4,5 ；②A =2,3 ，M =1,2,3,4,5,6 ．(2)若集合A 是集合M 的一个m 元基底，证明：m m +1 ≥n ；(3)若集合A 为集合M =1,2,3,⋯,19 的一个m 元基底，求出m 的最小可能值，并写出当m 取最小值时M 的一个基底A ．2(2024·北京海淀·高三人大附中校考开学考试)设m 为正整数，集合A ⊆α∣α=t 1,t 2,⋯,t m ,t j ∈-1,1 ,j =1,2,⋯,m . 任取集合A 中的2n +1n ∈N *个元素(可以重复)α1=α1.1,α1.2,⋅⋅⋅,α1.m ，α2=α2.1,α2.2,⋅⋅⋅,α2.m ,⋅⋅⋅，α2n +1=α2n +1.1,α2n +1.2,⋅⋅⋅,α2n +1.m ，M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 =y 1,y 2,⋅⋅⋅,y m ，其中y j =α1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jα1.j +α2.j +⋅⋅⋅+α2n +1.jj =1,2,⋅⋅⋅,m .(1)若α1=1,-1,-1,-1 ,α2=-1,1,1,-1 ,α3=-1,-1,-1,1 ,α4=1,1,-1,1 ，α5=-1,-1,-1,1 ，直接写出M α1,α2,α3 ,M α1,α2,α3,α4,α5 ；(2)对于α，β，γ∈A ，证明：M α,⋯,αk 个 ,β,⋯,βk 个,γ=M α,β,γ ；(3)对于某个正整数n ，若集合A 满足：对于A 中任意2n +1个元素α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1，都有M α1,α2,⋅⋅⋅,α2n +1 ∈A ，则称集合A 具有性质P n . 证明：若∃n 0∈N *，集合A 具有性质P n 0 ，则∀n ∈N *，集合A 都具有性质P n .题型二：函数与导数的新定义问题1(2024·陕西安康·高三校联考阶段练习)记函数f x 的导函数为f x ，f x 的导函数为f x ，设D 是f x 的定义域的子集，若在区间D 上f x ≤0，则称f x 在D 上是“凸函数”.已知函数f x =a sin x -x 2.(1)若f x 在0,π2上为“凸函数”，求a 的取值范围；(2)若a =2，判断g x =f x +1在区间0,π 上的零点个数.函数新定义问题，命题新颖，常常考虑函数的性质，包括单调性，奇偶性，值域等，且存在知识点交叉，会和导函数，数列等知识进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决。

高考新定义题型探究近年来，中国大陆高考里加入了新的定义题型，以有利于考生把握范围广泛的思维能力。

这种新型的定义题型被称为“定义型题”，其特点是强调考生对概念的理解，要求考生把握一切相关知识，以达到题目要求。

由于这种新型定义题型的到来，有了让考生和教师面对新挑战，给准备高考参加考试的考生和教师带来了新的考验。

一、定义型题的特点定义型题的定义是：考察考生对概念的理解，要求考生把握一切相关知识，以达到题目要求。

这一题型的特点在于：首先该类题目多为重点知识点的测试，更能考察考生知识的厚度和广度；其次是考生要在一定的范围内牢牢把握重要知识点、理解概念，归纳出准确的定义；最重要的是，考生要依据题目要求，把定义和示例融汇贯通，形成解题思路，以表达准确的定义。

二、定义型题的优势定义型题的出现，旨在提高考生知识结构化能力，培养考生能够在文字表达中精准把握知识细节的能力。

它的优势主要体现在以下几点：（1）促进考生对知识的理解定义型题的出现，使考生不仅要求知识的熟练掌握，更要求考生把知识点连接起来，进而理解知识的本质，更深层次的理解知识，从而获得更直观的学习效果。

（2）拓宽考生视野定义型题的出现，也使考生在广泛的学习范围内理解知识，拓展考生思维边界，使考生进一步更新知识和理解问题，从而拓宽考生的学习视野。

（3）激发考生研究兴趣定义型题的出现，可以激发考生的研究兴趣，让考生在完成题目的过程中，更能系统学习，积极投入思考，不断挖掘更新的知识点，从而提高考生解决问题的能力。

三、定义型题的缺点定义型题也有一定的缺点，主要表现在以下几个方面：（1）考生容易偏向熟悉的知识点定义型题的出现，考生在定义时，会偏向熟悉的知识点，而忽略其他比较模糊的概念，从而影响到答题的准确性。

（2）对考生知识点的理解要求较高定义型题的出现，也会进一步提高对考生的知识点的理解要求，在一定程度上增加了考生的压力，容易导致考生出现心理压力，考试效果不尽如人意。