高中数学复习学(教)案(第77讲)复合函数的导数

东平高级中学高二年级学案
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目标要求
1熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则
2了解复合函数的求导法则 会求某些简单函数的导数
知识点归纳
2．要能正确求导，必须做到以下两点：
（1）熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则
（2）对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导
3．求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：
（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；
（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；
（3）把中间变量代回原自变量（一般是x ）的函数
题型讲解
例1 求下列函数的导数：
(1)82)21(x y +=, （2）y =
例2 求下列函数的导数：
（1）),(cos 2b ax y += （2）x x
y 2sin 12sin 1+-=
例3 求下列函数的导数：
（1）11
ln +-=x x y )1(>x （2）x y 1
sin 22=
例4 求下列函数的导数：
（1） x x e y ln sin ⋅= , （2）1ln 24
+=x x y
小结：
1复合函数的求导，一定要抓住“中间变量”这一关键环节，然后应用法则，由外向里一层层求导，注意不要漏层就可以得出结果，熟练以后，可以摆脱引入中间变量的字母，只要心中记住就行，这样可以使书写简单 2求复合函数的导数的方法步骤：
（1）分清复合函数的复合关系，选好中间变量
（2）运用复合函数求导法则求复合函数的导数，注意分清每次是哪个变量对哪个变量求导数
（3）根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求出各函数的导数，并把中间变量换成自变量的函数 当堂检测 1函数y =2
)13(1
-x 的导数是 A 36 B 26
C －3)13(6-x
D －2)13(6-x
2已知y =21
sin2x +sin x ,那么y ′是 A 仅有最小值的奇函数 B 既有最大值，又有最小值的偶函数 C 仅有最大值的偶函数 D 非奇非偶函数 3函数y =sin 3(3x +
4
π)的导数为 A 3sin 2(3x +4π)cos(3x +4π) B 9sin 2(3x +4π)cos(3x +4
π) C 9sin 2(3x +4π) D －9sin 2(3x +4π)cos(3x +4π) 4函数y =cos(sin x )的导数为 A －［sin(sin x )］cos x B －sin(sin x ) C ［sin(sin x )］cos x D sin(cos x ) 5函数y =(1+sin3x )3是由___________两个函数复合而成 6曲线y =sin3x 在点P （3
π,0）处切线的斜率
课下训练 1函数y =cos2x +sin x 的导数为 A －2sin2x +x
x
2cos B 2sin2x +x x 2cos C －2sin2x +x x 2sin D 2sin2x －x x
2cos 2过曲线y =11
+x 上点P （1，21
）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为 A 2y －8x +7=0 B 2y +8x +7=0 C 2y +8x －9=0 D 2y －8x +9=0 3函数y =x sin(2x －2π)cos(2x +2
π)的导数是 4函数y =)32cos(π
-x 的导数为 5函数y =cos 3x 1的导数是___________ 6已知函数y =(x )是可导的周期函数，试求证其导函数y =f ′(x )也为周期函数
7若可导函数f (x )是奇函数，求证：其导函数f ′(x )是偶函数。