2019-2020学年天津市部分区高二(上)期末数学试卷

第2讲常用逻辑用语复习题I本章知识思维导图 2 II典型例题 3题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用 3题型二：全称量词命题与存在量词命题 4题型三：应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围) 6题型四：充要条件的证明或探求 9题型五：命题的否定 11题型六：与全称(存在)量词命题有关的参数问题 12 III模块三：数学思想方法 15①分类讨论思想 15②转化与化归思想 17③方程思想 181本章知识思维导图I23II 典型例题题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判断及应用【例1】(天津市和平区2023-2024学年高二期末质量调查数学试卷)已知a ∈R ，则“1a≥1”是“0≤a ≤1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】不等式1a≥1⇔0<a ≤1，显然(0,1]Ü[0,1]，所以“1a ≥1”是“0≤a ≤1”的充分不必要条件.故选：A【例2】(重庆市主城四区2023-2024学年高二期末高中学生学业质量调研测试数学试题)若xy ≠0，则“x +2y =0”是“x y +y x =-52”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当x +2y =0时，x y +y x =-2y y +y -2y =-2-12=-52，当x y +y x =-52时，即2x 2+5xy +2y 2=0，即x +2y 2x +y =0，则有x +2y =0或2x +y =0，故“x +2y =0”是“x y +y x =-52”的充分不必要条件.故选：B .【例3】(2024·江苏扬州·模拟预测)已知集合A =0,a 2 ,B =1,a +1,a -1 ，则“a =1”是“A ⊆B ”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当a =1时，A ={0,1},B ={0,1,2}，则A ⊆B ；反之，当A ⊆B 时，a +1=0或a -1=0，解得a =-1或a =1，若a =-1，A ={0,1},B ={0,1,-2}，满足A ⊆B ，若a =1，显然满足A ⊆B ，因此a =-1或a =1，所以“a =1”是“A ⊆B ”的充分不必要条件.故选：B【例4】(2024·天津河北·二模)设x ∈R ，则“1<x <2”是“x -2 <1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由x-2<1可得-1<x-2<1，解得1<x<3，所以由1<x<2推得出x-2<1，故充分性成立；由x-2<1推不出1<x<2，故必要性不成立，所以“1<x<2”是“x-2<1”的充分不必要条件.故选：A【例5】(2024·高一·江苏连云港·开学考试)若不等式x <a的一个充分条件为0<x<1，则实数a的取值范围是()A.0,1B.0,1C.1,+∞D.1,+∞【答案】C【解析】由x <a，得到-a<x<a，又不等式x <a的一个充分条件为0<x<1，所以a≥1，故选：C.【例6】(2024·高一·江苏无锡·阶段练习)不等式x2-x-m>0在x∈R上恒成立的一个必要不充分条件是()A.m≤-14 B.m<-14 C.m<-12 D.-1<m<-12【答案】A【解析】不等式x2-x-m>0在R上恒成立，即一元二次方程x2-x-m=0在R上无实数解∴Δ=-12-4×-m<0，解得：m<-1 4，易见B选项是充要条件，不成立；A选项中，m<-14可推导m≤-14，且m≤-14不可推导m<-14，故m≤-14是m<-14的必要不充分条件，A正确；C选项中，m<-14不可推导出m<-12，C错误；D选项中，m<-14不可推导-1<m<-12，D错误，故选：A.题型二：全称量词命题与存在量词命题【例7】(2024·高一·河南安阳·阶段练习)下列命题是真命题的是()A.∀x∈R,x2=xB.∃x∈Q,x2=3C.∀x∈Z,|x|∈ND.∃x∈R,x2-2x+3=0【答案】C【解析】当x=-1时，x2≠x.故选项A判断错误；由x2=3可得，x=± 3.故选项B判断错误；∀x∈Z,|x|∈N.故选项C判断正确；由x2-2x+3>0，可得选项D判断错误.故选：C4【例8】(2024·高一·广东广州·阶段练习)下列命题中真命题的个数是()①∃x∈R,x2≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；③∀x∈{x|x是无理数}，x是无理数．A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】对于①，当x=0时，x2=0≤0，故①正确；对于②，由1是整数，且它既不是合数，也不是素数，故②正确；对于③，假设∀x∈{x|x是无理数}，x是有理数，则可设x=pq,p,q∈Z，则x=p2q2，p2,q2∈Z，故x为有理数，而与题设矛盾，故③正确，故选：D.【例9】(2024·高一·北京通州·期中)给出下面四个命题：①∀x∈R，x +1≥1；②∀x∈R，x +x≥0；③∃x∈R，x2的个位数字等于3；④∃x∈R，x2-x+1=0.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】对于①，因为x ≥0，所以∀x∈R，x +1≥1，所以①对；对于②，当x≥0时，x +x=2x≥0，当x<0时，x +x=0≥0，所以∀x∈R，x +x≥0成立，所以②对；对于③，设x=10a+b，b∈0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，x2=1010a2+2ab+b2，x2的个位数字等于b2的个位数字，所以x2的个位数字都不等于3，所以③错；对于④，因数Δ=-12-4×1×1=-3<0，所以方程x2-x+1=0无实数解，所以④错.故选：B.【例10】(2024·高一·全国·课后作业)以下四个命题中，既是存在量词命题又是真命题的是A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x，使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x，使x2≤0【答案】B【解析】逐一考查所给的命题：A选项为全称量词命题，且所给的命题为假命题；B选项为存在量词命题，且所给的命题为真命题；C选项为全称量词命题，取x1=2+3,x2=2-3，则x1+x2=4为有理数，所给的命题为假命题；D选项为存在量词命题，若x<0，则x2>0，所给的命题为假命题.故选B.【例11】(2024·高一·湖南长沙·阶段练习)下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是()A.至少有一个x∈Z，使得x2<3成立B.菱形的两条对角线长度相等56C.∃x ∈R ，x 2=xD.对任意a ，b ∈R ，都有a 2+b 2≥2(a +b -1)【答案】D【解析】AC 为存在量词命题，BD 为全称量词命题，菱形的两条对角线长度不一定相等，B 选项错误，对任意a ，b ∈R ，都有a 2+b 2-2(a +b -1)=a 2-2a +1+b 2-2b +1=(a -1)2+(b -1)2≥0，即a 2+b 2≥2(a +b -1)，D 选项正确.故选：D【例12】(2024·高一·河北·阶段练习)下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是()A.每一个命题都能判断真假B.存在一条直线与两条相交直线都平行C.对任意实数a ,b ，若a <b ，则a 2<b 2D.存在x ∈R ，使x 2-x +1=0【答案】A【解析】对于A ，“每一个命题都能判断真假”是全称量词命题，命题都能判断真假，A 是真命题，符合题意；对于B ，“存在一条直线与两条相交直线都平行”是存在量词命题，不符合题意；对于C ，该命题是全称量词命题，当a =-2,b =-1时，a 2>b 2，C 中命题是假命题，不符合题意；对于D ，该命题是存在量词命题，不符合题意，故选：A .题型三：应用充分条件、必要条件、充要条件求参数值(范围)【例13】(2024·高一·海南海口·阶段练习)若“|x |>2”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为．【答案】-2【解析】x >2，得x >2或x <-2，若“|x |>2”是“x <a ”的必要不充分条件，得x x <a Ü{x x >2 或x <-2}，所以a ≤-2，即a 的最大值为-2.故答案为：-2【例14】(2024·高一·河北石家庄·阶段练习)已知p :4x -m ≤0,q :1≤3-x ≤4，若p 是q 的一个必要不充分条件，则实数m 的取值范围为.【答案】m ≥8【解析】由p :4x -m ≤0,q :1≤3-x ≤4，得p :x ≤m4,q :-1≤x ≤2，因为p 是q 的一个必要不充分条件，则p 不能推出q ，但q 能推出p ，则2≤m4，即m ≥8.故答案为：m ≥8【例15】(2024·高一·江西南昌·期末)在①A ∩B =B ；②“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件；③B ∩∁R A =∅这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解答．间题：已知集合A ={x ∈R ∣(x -1)(x +2)>0},B ={x ∈R ∣y =x +a ,y ∈R }．(1)当a =1时，求A ∩∁R B ；(2)若，求实数a 的取值范围．【解析】(1)由不等式(x -1)(x +2)>0，解得x <-2或x >1，可得A ={x |x <-2或x >1}，当a =1时，可得B ={x ∈R ∣y =x +1,y ∈R }={x |x ≥-1}，7则∁R B ={x ∣x <-1}，所以A ∩∁R B ={x ∣x <-2}．(2)由集合A ={x |x <-2或x >1}和B ={x |x ≥-a }，若选择①：由A ∩B =B ，即B ⊆A ，可得-a >1，解得a <-1，所以实数a 的取值范围为(-∞,-1)；若选择②：由“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，可得B ⊆A ，可得-a >1，解得a <-1，所以实数a 的取值范围为(-∞,-1)；若选择③：由A ={x |x <-2或x >1}，可得∁R A ={x |-2≤x ≤1}，要使得B ∩∁R A =∅，则-a >1，解得a <-1，所以实数a 的取值范围为(-∞,-1).【例16】(2024·高一·山东菏泽·期中)设全集U =R ，集合A =x -2<x ≤3 ，B =x m -1≤x ≤2m ．(1)若m =3，求集合∁U A ∩B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”必要条件，求实数m 的取值范围．【解析】(1)当m =3时，B =x 2≤x ≤6 ，又∁U A =x x ≤-2 或x >3 ，所以∁U A ∩B =x 3<x ≤6 ．(2)“x ∈A ”是“x ∈B ”必要条件，故B ⊆A ．当B =∅时，m -1>2m ，所以m <-1，符合题意；当B ≠∅时，需满足m -1≤2m-2<m -12m ≤3，解得-1<m ≤32，综上所述，m 的取值范围为m <-1或-1<m ≤32．【例17】(2024·高一·福建莆田·期中)已知p ：关于x 的方程x 2-2ax +a 2+a -1=0有实数根，q ：2m -1≤a≤m +2．(1)若命题¬p 是真命题，求实数a 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【解析】(1)因为命题是¬p 真命题，则命题p 是假命题，即关于的方程x 2-2ax +a 2+a -1=0无实数根，因此，Δ=4a 2-4a 2+a -1 <0，解得a >1，所以实数的取值范围是1,+∞ ，(2)由(1)知，命题p 是真命题，即p :a ≤1，因为命题p 是q 的必要不充分条件，则a 2m -1≤a ≤m +2 Üa a ≤1 ，当2m -1>m +2即m >3时，a 2m -1≤a ≤m +2 =∅，满足题意，当2m -1≤m +2即m ≤3时，则m ≤3m +2≤1⇒m ≤-1，所以实数m 的取值范围是{m m ≤-1或m >3}．【例18】(2024·高一·河北保定·期中)已知集合A =x 2m -1≤x ≤m +1 ，B =x 12≤x <2 ．(1)若m =12，求A ∩∁R B ；(2)若x ∈B 是x ∈A 的必要条件，求实数m 的取值范围．【解析】(1)由B=x12≤x<2，则∁R B={x|x<12或x≥2}，若m=12，则A=x0≤x≤32，所以A∩∁R B=x0≤x<1 2．(2)若x∈B是x∈A的必要条件，则A⊆B．当2m-1>m+1时，即m>2时，A=∅，符合题意；当2m-1≤m+1时，即m≤2时，A≠∅，要满足A⊆B，可得12≤2m-1≤m+1<2，解得34≤m<1；综上，实数m的取值范围为34≤m<1或m>2．【例19】(2024·高一·湖北襄阳·期中)已知集合A=x|-2≤x≤5，B=x|m+1≤x≤2m-1．(1)若A∩B=∅，求实数m的取值范围；(2)若x∈A是x∈B的必要条件，且集合B不为空集，求实数m的取值范围.【解析】(1)当B=∅时，由m+1>2m-1，得m<2，符合题意；当B≠∅时，可得2m-1≥m+12m-1<-2或2m-1≥m+1m+1>5，解得m>4．综上，实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}．(2)由题意可知B⊆A且B≠∅.可得2m-1≥m+1，m+1≥-2，2m-1≤5，解得2≤m≤3，综上，实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}．.【例20】(2024·高一·云南红河·阶段练习)已知命题p：方程x2+tx+t=0没有实数根，若p是真命题，实数t 的取值集合为A．(1)求实数t的取值集合A；(2)集合B=t1-a<t<2a-1，若t∈B是t∈A的必要条件，求a的取值范围．【解析】(1)若p是真命题，则t2-4t<0，解得0<t<4，所以A=t|0<t<4；(2)若t∈B是t∈A的必要条件，则A⊆B，又A=t|0<t<4，所以B≠∅，所以2a-1≥41-a≤02a-1>1-a，解得a≥52.【例21】(2024·高一·辽宁·阶段练习)已知集合A=x|-2≤x-1≤5，B=x|m+1≤x≤2m-1.(1)若A∩B=∅，求实数m的取值范围；(2)设p:x∈A;q:x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【解析】(1)因为A={x∣-2≤x-1≤5}，所以A={x∣-1≤x≤6}，又A∩B=∅，分类讨论如下：①当B=∅时，m+1>2m-1解得m<2;8②当B=∅时，m+1≤2m-1 m+1>6或m+1≤2m-12m-1<-1，解得m>5；综上所述：实数m的取值范围为{m∣m<2或m>5}.(2)因为p是q的必要不充分条件，所以B是A的真子集，①当B=Æ时，m+1>2m-1，解得m<2;②当B¹Æ时，m+1≤2m-1 m+1≥-12m-1≤6(等号不能同时成立)，解得2≤m≤7 2；综上所述：实数m的取值范围为m∣m≤7 2.题型四：充要条件的证明或探求【例22】(2024·高二·全国·专题练习)已知两个关于x的一元二次方程mx2-4x+4=0和x2-4mx+4m2-4m-5=0，两方程的根都是整数的充要条件为．【答案】m=1【解析】因为mx2-4x+4=0是一元二次方程，所以m≠0．又另一方程为x2-4mx+4m2-4m-5=0，且两方程都要有实根，所以Δ1=16-16m≥0,Δ2=16m2-44m2-4m-5≥0，解得m∈-54,1．因为两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，所以4m∈Z4m∈Z4m2-4m-5∈Z，所以m为4的约数．又m∈-54,1，所以m=-1或1．当m=-1时，第一个方程x2+4x-4=0的根为非整数；而当m=1时，两方程的根均为整数，所以两方程的根都是整数的充要条件是m=1．【例23】设n∈N+，一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=【答案】3或4【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．x=4±16-4n2=2±4-n，因为x是整数，即2±4-n为整数，所以4-n为整数，且n≤4，又因为n∈N+，取n=1,2,3,4，验证可知n=3,4符合题意；反之n=3,4时，可推出一元二次方程有整数根．【例24】(2024·高一·广东珠海·阶段练习)设a，b，c∈R，求证：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.【解析】证明：①充分性：即证明关于x的方程ax2+bx+c=0的系数满足a-b+c=0⇒方程有一个根为-1；由a-b+c=0，得b=a+c，代入方程得ax2+a+cx+c=0，得ax+cx+1=0，所以，x=-1是方程ax2+bx+c=0的一个根.②必要性：即证明若x=-1是方程ax2+bx+c=0的根⇒a-b+c=0；910将x =-1代入方程ax 2+bx +c =0，即有a -b +c =0.综上由①②可知，故关于x 的方程ax 2+bx +c =0有一个根为-1的充要条件是a -b +c =0.【例25】(2024·高一·全国·专题练习)当m ,n ∈Z 时，定义运算⊗：当m ,n >0时，m ⊗n =m +n ；当m ,n <0时，m ⊗n =m ⋅n ；当m >0,n <0或m <0,n >0时，m ⊗n =m +n ；当m =0时，m ⊗n =n ；当n =0时，m ⊗n =m ．(1)计算-2 ⊗-3 ⊗-7 ；(2)证明，“a =0,b =-2或a =-2,b =0”是“a ⊗b =-2”的充要条件．【解析】(1)-2 ⊗-3 ⊗-7 =6⊗-7 =6-7 =1.(2)先证充分性：当a =0,b =-2或a =-2,b =0时，则a ⊗b =-2，即a =0,b =-2或a =-2,b =0是a ⊗b =-2的充分条件；再证必要性：当a ⊗b =-2时，显然当ab >0时，a ⊗b >0，当ab <0时，a ⊗b ≥0，即ab >0与ab <0均不合题意，当a =0时，由a ⊗b =-2，则b =-2，当b =0时，由a ⊗b =-2，则a =-2，即“a =0,b =-2或a =-2,b =0”是“a ⊗b =-2”的必要条件，综上，命题得证．【例26】(2024·高一·江苏苏州·阶段练习)求证：方程mx 2-2x +3=0m ≠0 有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.【解析】先证明充分性：若0<m <13，设方程的两个实根为x 1，x 2，则x 1+x 2=2m >0，x 1⋅x 2=3m>0，Δ=4-12m >0，故方程mx 2-2x +3=0(m ≠0)有两个同号且不相等的实根；再证明必要性：若方程mx 2-2x +3=0(m ≠0)有两个同号且不相等的实根，令y =mx 2-2x +3(m ≠0)，当m >0时，其图象是开口方向朝上，且以x =1m为对称轴的抛物线若关于x 的方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根则必有两个不等的正根，则函数f (x )=mx 2-2x +3，有两个正零点，则2m >03m >0Δ=4-12m >0，解得0<m <13；当m <0时，其图象是开口方向朝下，且以x =1m为对称轴的抛物线若关于x 的方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根则必有两个不等的负根，则函数y =mx 2-2x +3，有两个负零点，则2m <03m >0Δ=4-12m >0，无解；故关于x 的方程mx 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根，则m 的取值范围是0<m <13；∴方程mx2-2x+3=0(m≠0)有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m<13．【例27】(2024·高一·湖北武汉·阶段练习)设a，b，c分别是三角形ABC的三条边长，且a≤b≤c，请利用边长a，b，c给出△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明之．【解析】a2+b2>c2.证明如下：充分性：∵a2+b2>c2，∴ △ABC不是直角三角形，假设△ABC是钝角三角形，∵a≤b≤c，∴ ∠C最大，即∠B<90°，∠C>90°，过点A作BC的垂线，交BC的延长线于点D，由勾股定理，得c2=AD2+BD2=AD2+(CD+a)2=AD2+CD2+a2+2⋅CD⋅a=AC2+a2+2⋅CD⋅a=b2+a2+2⋅CD⋅a>a2+b2，与已知a2+b2>c2矛盾，∴△ABC为锐角三角形.必要性：∵△ABC为锐角三角形，∴∠B<90°，∠C<90°°，过点A作BC的垂线，垂足为D，由勾股定理知，得c2=AD2+BD2=AD2+(a-CD)2=AD2+CD2+a2-2⋅CD⋅a=b2+a2-2⋅CD⋅a<a2+b2.综上，△ABC为锐角三角形的一个充要条件为a2+b2>c2.题型五：命题的否定【例28】(2024·高一·云南昆明·期末)命题p:∀x∈Z,x2+x>0的否定是()A.∀x∈Z,x2+x≤0B.∃x0∈Z,x02+x0>0C.∀x∈Z,x2+x=0D.∃x0∈Z,x02+x0≤0【答案】D【解析】命题p:∀x∈Z,x2+x>0的否定是“∃x0∈Z,x20+x0≤0”.故选：D.【例29】(2024·高一·江苏·假期作业)命题“∃x0∈R,2x0≤0”的否定是()A.不存在x0∈R,2x>0B.∃x0∈R,2x0≥0C.∀x∈R,2x≤0D.∀x∈R,2x>0【答案】D【解析】命题“∃x 0∈R ,2x 0≤0”为存在量词命题，其否定为“∀x ∈R ,2x >0”.故选：D .【例30】(2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习)命题“∃x ≤0,2x 2<5x -1”的否定是()A.∀x >0,2x 2<5x -1B.∃x >0,2x 2≥5x -1C.∀x ≤0,2x 2≥5x -1D.∃x ≤0,2x 2>5x -1【答案】C【解析】命题“∃x ≤0,2x 2<5x -1”的否定是“∀x ≤0,2x 2≥5x -1”.故选：C【例31】(2024·高一·四川成都·阶段练习)命题“∀x ∈0,1 ，x 3<x 2”的否定是()A.∀x ∈0,1 ，x 3>x 2B.∀x ∉0,1 ，x 3≥x 2C.∃x 0∈0,1 ，x 30≥x 20D.∃x 0∉0,1 ，x 30≥x 20【答案】C【解析】命题“∀x ∈0,1 ，x 3<x 2”的否定是∃x 0∈0,1 ，x 30≥x 20.故选：C .【例32】(2024·高三·湖北黄冈·期末)若p ：所有实数的平方都是正数，则¬p 为()A.所有实数的平方都不是正数B.至少有一个实数的平方不是正数C.至少有一个实数的平方是正数D.有的实数的平方是正数【答案】B【解析】由全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“所有实数的平方都是正数”的否定为：“至少有一个实数的平方不是正数”．故选：B题型六：与全称(存在)量词命题有关的参数问题【例33】(2024·高一·湖北·期中)已知集合A =x -2≤x ≤5 ，B =x m +1≤x ≤2m -1 ．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)命题q ：∃x ∈A ，x ∈B 是真命题，求实数m 的取值范围．【解析】(1)当B =∅时，m +1>2m -1，解得m <2；当B ≠∅时，m +1≤2m -1m +1≥-22m -1≤5，解得2≤m ≤3.综上，实数m 的取值范围为-∞,3(2)由题意A ∩B ≠∅，所以B ≠∅即m ≥2，此时m +1≥3.为使A ∩B ≠∅，需有m +1≤5，即m ≤4.故实数m 的取值范围为2,4【例34】(2024·高一·山东淄博·阶段练习)设全集U =R ，集合A =x 1≤x ≤5 ，集合B =x -1-2a ≤x ≤a -2 ．(1)若A ∩B =A ，求实数a 的取值范围；(2)若命题“∀x ∈B ，则x ∈A ”是真命题，求实数a 的取值范围．【解析】(1)因为A ∩B =A ，所以A ⊆B ，所以a -2≥-1-2a a -2≥5-1-2a ≤1，即a ≥7，所以实数a 的取值范围是a |a ≥7 .(2)命题“∀x ∈B ，则x ∈A ”是真命题，所以B ⊆A .当B =∅时，-1-2a >a -2，解得a <13；当B ≠∅时，-1-2a ≥1a -2≤5-1-2a ≤a -2，解得a ≤-1a ≤7a ≥13，所以a ∈∅.综上所述，实数a 的取值范围是a a <13.【例35】(2024·高一·河北石家庄·阶段练习)已知集合A =x -2≤x ≤5 ，B =x m +1≤x ≤2m -1 .(1)若“命题p ：∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，求m 的取值范围.(2)“命题q ：∃x ∈A ，x ∈B ”是假命题，求m 的取值范围.【解析】(1)因为命题p :∀x ∈B ,x ∈A 是真命题，所以B ⊆A ，当B =∅时，m +1>2m -1，解得m <2，当B ≠∅时，则m +1≤2m -1m +1≥-22m -1≤5，解得2≤m ≤3，综上m 的取值范围为-∞,3 ；(2)因为“命题q ：∃x ∈A ，x ∈B ”是假命题，所以A ∩B =∅，当B =∅时，m +1>2m -1，解得m <2，当B ≠∅时，则m +1≤2m -1m +1>5或m +1≤2m -12m -1<-2 ，解得m >4，综上m 的取值范围为-∞,2 ∪4,+∞ .【例36】(2024·高一·山东菏泽·阶段练习)已知命题p :∀x ∈R ，ax 2-4x -4≠0，若p 为假命题，求a 的取值范围.【解析】由题意p 为假命题，即∃x ∈R ，ax 2-4x -4=0，即方程ax 2-4x -4=0有解，(1)当a =0时，-4x -4=0有解x =-1成立；(2)当a ≠0时，Δ=16+16a ≥0，即a ≥-1且a ≠0；综上a ≥-1.【例37】(2024·高一·黑龙江牡丹江·阶段练习)已知集合A =x -2≤x ≤5 ，B =x m -1≤x ≤2m -3 ．(1)若命题p :∀x ∈B ，x ∈A 是真命题，求实数m 的取值范围；(2)若命题q :∃x ∈A ，x ∈B 是真命题，求实数m 的取值范围．【解析】(1)因为命题p :∀x ∈B ，x ∈A 是真命题，所以B ⊆A ．当B =∅时，满足B ⊆A ，此时m -1>2m -3，解得m <2；当B ≠∅时，由B ⊆A ，可得m -1≤2m -3m -1≥-22m -3≤5，解得2≤m ≤4．综上，实数m 的取值范围为(-∞,4]．(2)因为q :∃x ∈A ，x ∈B 是真命题，所以A ∩B ≠∅，所以B ≠∅，则m -1≤2m -3即m ≥2，所以m -1≥1，要使A ∩B ≠∅，仍需满足m -1≤5，即m ≤6．综上，实数m 的取值范围为[2,6]．【例38】(2024·高一·湖南长沙·阶段练习)已知集合A =x -3≤x <1 ，B =x 2m -1≤x ≤m +1 ．(1)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．(2)命题“r ：∃x ∈A ，使得x ∈B ”是真命题，求实数m 的取值范围．【解析】(1)①当B 为空集时，m +1<2m -1，即m >2，原命题成立；②当B 不是空集时，∵B 是A 的真子集，所以2m -1≥-3m +1<1m ≤2，解得-1≤m <0；综上①②，m 的取值范围为-1≤m <0或m >2.(2)∃x ∈A ，使得x ∈B ，∴B 为非空集合且A ∩B ≠∅，所以m +1≥2m -1，即m ≤2，当A ∩B =∅时2m -1≥1m ≤2 或m +1<-3m ≤2，所以1≤m ≤2或m <-4，∴m 的取值范围为[-4,1)．【例39】(2024·高一·吉林长春·阶段练习)已知集合A ={x ∣2≤x ≤7},B ={x ∣-3m +4≤x ≤2m -1}，且B ≠∅.(1)若q :“∃x ∈B ,x ∈A ”是真命题，求实数m 的取值范围.【解析】B ≠∅，则-3m +4≤2m -1，解得m ≥1，“∃x ∈B ,x ∈A ”是真命题，则A ∩B ≠∅，若A ∩B =∅，则2m -1<2或-3m +4>7，解得m <32，因为m ≥1，所以1≤m <32，所以当A ∩B ≠∅，m ≥32，综上所述m ≥32.III 数学思想方法①分类讨论思想【例40】(2024·高一·江苏南通·期中)已知集合A =x x 2-4= 0 ，B =x ax -2=0 ，若x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，则实数a 的所有可能取值构成的集合为．【答案】-1,0,1【解析】依题意，A =x |x 2-4=0 =2,-2 ，若a =0，则B =∅，满足x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件.当a ≠0时，B =x x =2a，由于x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件，所以2a =2或2a=-2，解得a =1或a =-1，综上所述，a 的所有可能取值构成的集合为-1,0,1 .故答案为：-1,0,1【例41】(2024·高一·江西南昌·期中)已知集合A =x |x 2-ax -2a 2<0 ，集合B =x x -3 ≤1 ．(1)若a =1，求∁R A ∪B ；(2)若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求a 的取值范围．【解析】(1)A =x |x 2-ax -2a 2<0 ，可得x -2a x +a <0，当a =1时x -2 x +1 <0解得-1<x <2，则A =-1,2 ，可得∁R A =-∞,-1 ∪2,+∞ ，又B =x x -3 ≤1 ，x -3 ≤1可得-1≤x -3≤1，即2≤x ≤4，可得B =2,4 ，所以∁R A ∪B =-∞,-1 ∪2,+∞ ，(2)因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件所以B ⊂≠A ,集合A 中x -2a x +a <0，当a >0时解为-a <x <2a ，又B ÜA ，可得-a <22a >4 解得a >2，当a <0时解为2a <x <-a ，又B ÜA ，可得-a >42a <2解得a <-4，当a =0时无解，集合A 为空集，又B ÜA ，所以不合题意舍去，综上可得：a <-4或a >2.【例42】已知集合A ={x |a 2-1≤x ≤2a +6}，B ={x |0≤x ≤4}，全集U =R .(1)当a =1时，求A ∩(∁U B ):(2)若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】(1)当a =1时，集合A ={x |0≤x ≤8}，∁U B ={x |x <0或x >4}，故A ∩(∁U B )={x |4<x ≤8};(2)由题知：B⊊A，即B⊆A且B≠A，当B⊆A时，a2-1≤0 2a+6≥4，解得-1≤a≤1；当B=A时，a2-1=0 2a+6=4，解得a=-1，由B≠A得，a≠-1，综上所述：实数a的取值范围为(-1,1].【例43】设集合A=x|x2+4x=0，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}.(1)若-1∈B，求a的值；(2)设条件p：x∈A，条件q：x∈B，若q是p的充分条件，求a的取值范围．【解析】(1)∵-1∈B，∴1-2a-2+a2-1=0，解得a=1±3；(2)∵A=0,-4，依题意B⊆A，①若B=∅,∴Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,∴a<-1；②若B=0 或B=-4时，∴Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，∴a=-1，此时B=0 ,B≠-4；③若B=0,-4Δ>00+(-4)=-2a-20×(-4)=a2-1，解得a=1，综上：a的取值范围是(-∞,-1]∪1 .【例44】已知集合A={x|a-1≤x≤2a+1}，B={x|-2≤x≤4}.在①A∪B=B;②"x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．(1)当a=3时，求∁R(A∩B);(2)若，求实数a的取值范围．【解析】(1)当a=3时，A={x|2≤x≤7}，而B={x|-2≤x≤4}，所以A∩B={x|2≤x≤4}，∁R(A∩B)={x|x<2或x>4}(2)选①，由A∪B=B可知：A⊆B，当A=∅时，则a-1>2a+1，即a<-2，满足A⊆B，则a<-2，当A≠∅时，a≥-2，由A⊆B得：a-1≥-2 2a+1≤4，解得-1≤a≤32，综上所述，实数a的取值范围为a<-2或-1≤a≤3 2选②，因“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⊊B，当A=∅时，则a-1>2a+1，即a<-2，满足A⊊B，则a<-2，当A≠∅时，a≥-2，由A⊊B得：a-1≥-2 2a+1≤4，且不能同时取等号，解得-1≤a≤32.综上所述，实数a的取值范围为a<-2或-1≤a≤3 2选③，当A=∅时，则a-1>2a+1，即a<-2，满足A∩B=∅，则a<-2，当A≠∅时，a≥-2由A∩B=∅得：2a+1<-2或a-1>4，解得a<-32或a>5，又a≥-2，所以-2≤a<-32或a>5.综上所述，实数a 的取值范围为a <-32或a >5②转化与化归思想【例45】(2024·高三·全国·竞赛)设a ,b ∈R ，集合A =a ,a 2+1 ,B =b ,b 2+1 ．则“A =B ”是“a =b ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为A =a ,a 2+1 ,B =b ,b 2+1 ，当A =B 时，则有a =b a 2+1=b 2+1 ，或a =b 2+1a 2+1=b ，若a =ba 2+1=b 2+1，显然解得a =b ；若a =b 2+1a 2+1=b ，则b 2+1 2+1=b ，整理得b 2-b +1 b 2+b +2 =0，因为b 2-b +1=b -12 2+34>0，b 2+b +2=b +12 2+74>0，所以b 2-b +1 b 2+b +2 =0无解；综上，a =b ，即充分性成立；当a =b 时，显然A =B ，即必要性成立；所以“A =B ”是“a =b ”的充分必要条件.故选：C .【例46】(2024·高一·江西景德镇·期中)已知p :3x -1>512<x <8 ，q :x ≥3k +1或x ≤3k -3．(1)若p 是q 的充分不必要条件，求实数k 的取值范围；(2)若p 是¬q 的必要不充分条件，求实数k 的最大值．【解析】(1)∵p ：3x -1>512<x <8 ，故p ：2<x <8，又因为p 是q 的充分不必要条件，所以3k +1≤2或3k -3≥8，解得k ≤13或k ≥113，故实数k 的取值范围为k k ≤13 或k ≥113.(2)¬q :3k -3<x <3k +1，又p 是¬q 的必要不充分条件，因为3k -3<3k +1，所以¬q 对应的集合不是空集，所以3k -3≥23k +1≤8，解得53≤k ≤73，故实数k 的最大值为73.【例47】(2024·高一·全国·课后作业)已知M =x ,y y 2=2x ，N =x ,y x -a 2+y 2=9 ，求M ∩N ≠∅的充要条件.【解析】M ∩N ≠∅的充要条件是方程组y 2=2xx -a 2+y 2=9 至少有一组实数解，即方程x 2+21-a x +a 2-9=0至少有一个非负根，方程有根则Δ=41-a 2-4a 2-9 ≥0，解得a ≤5.上述方程有两个负根的充要条件是x 1+x 2<0且x 1x 2>0，即-21-a <0a 2-9>0 ，∴a <-3.于是这个方程至少有一个非负根的a 的取值范围是-3≤a ≤5.故M ∩N ≠∅的充要条件为-3≤a ≤5.③方程思想【例48】已知p :∀x ∈R ，m <x 2-1，q :∃x ∈R ，x 2+2x -m -1=0，若p ，q 都是真命题，求实数m 的取值范围．【解析】p :∀x ∈R ，m <x 2-1，若p 真，可得m <(x 2-1)min ，而y =x 2-1≥-1，x =0时，取得最小值-1，则m <-1；q :∃x ∈R ，x 2+2x -m -1=0，若q 真，可得Δ=4+4(m +1)≥0，解得m ≥-2.若p ，q 都是真命题，可得m <-1m ≥-2，则-2≤m <-1.故实数m 的取值范围是-2≤m <-1.【例49】已知，命题p :∀x ∈R ,2x +a +2≥0，命题q :∃x ∈-3,-12，x 2-a +1=0.(1)若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题q 为真命题，求实数a 的取值范围．【解析】(1)∵命题为真命题，即a ≥-2x -2，又-2x -2≤-2，∴实数a 的取值范围为a ≥-2;(2)∵命题q :∃x ∈-3,-12，x 2-a +1=0为真命题，即x 2-a +1=0亦即x 2+1=a 在-3,-12上有解，又当x ∈-3,-12 求得二次函数的范围54≤x 2+1≤10，即二次函数y =x 2+1最大值为10，最小值是54，∴实数a 的取值范围为：54,10 .【例50】已知m ∈Z ，关于x 的一元二次方程①mx 2-4x +4=0和②x 2-4mx +4m 2-4m -5=0，求方程①和②的根都是整数的充要条件．【解析】解∵mx 2-4x +4=0是一元二次方程，∴m ≠0.另一方程为x 2-4mx +4m 2-4m -5=0，两方程都要有实根，∴Δ1=16(1-m )≥0,Δ2=16m 2-4(4m 2-4m -5)≥0,解得m ∈-54,1.∵两根为整数，故和与积也为整数，∴4m∈Z4m∈Z4m2-4m-5∈Z，∴m为4的约数，∴m=-1或1，当m=-1时，第一个方程x2+4x-4=0的根为非整数，不符合题意；而当m=1时，两方程均为整数根，∴两方程的根均为整数的充要条件是m=1.【例51】已知m∈R，命题p:存在x∈[0,1]，不等式2x-2≥m2-3m成立，若p为真命题，求m的取值范围．【解析】∵存在x∈[0,1]，不等式2x-2≥m2-3m成立，∴(2x-2)max≥m2-3m，又函数y=2x-2在x∈[0,1]时的最大值为0，即m2-3m≤0.解得0≤m≤3.因此，若p为真命题时，m的取值范围是0,3.。

2019-2020学年天津市部分区高二(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共30.0分）1. 已知全集U =R ，集合M ={x|x +2a ≥0}，N ={x|log 2(x −1)<1}，若集合M ∩(∁U N)={x|x =1或x ≥3}，那么a 的取值为( )A. a =12B. a ≤12C. a =−12D. a ≥12 2. 若a 、b 为实数，则ab(a −b)<0成立的一个充分不必要条件是( )A. 0<1a <1bB. 0<1b <1aC. 1a <1bD. 1b <1a 3. 已知f(x)={(3−a)x +1 x <1a x (a >0且a ≠1) x ≥1，在(−∞,+∞)上是增函数，那么a 的取值范围是( ) A. (1,3)B. (1,2]C. [2,3)D. (1,+∞) 4. 若函数f(x)的导函数的图象关于y 轴对称，则f(x)的解析式可能为( )A. f(x)=2cosxB. f(x)=x 3+x 2C. f(x)=sinx ⋅cosx +1D. f(x)=e x +x 5. 已知函数f(x)=alnx +x 2−(a +2)x 恰有两个零点，则实数的取值范围是( )A. (−1,0)B. (−1,+∞)C. (−2,0)D. (−2,−1) 6. 在三角形ABC 中，∠B =π3，AB =1，BC =2，点D 在边AC 上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈R ，若BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则λ=( )A. 13B. 12C. √33D. 23 7. 已知函数，则( ) A.B. C. D. 8. 两人同时向一敌机射击，甲的命中率为15，乙的命中率为14，则两人中恰有一人击中敌机的概率为( )A. 720B. 1220C. 121D. 220 9. (2x −1)5=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 5(x −1)5则a 3=( )A. 40B. 40C. 80D. −8010. 已知f(x)是定义在(−∞,+∞)上的偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，若a =f(log 47)，b =f(log 123)，c =f(0.20.4)则a 、b 、c 的大小关系是( ) A. c <b <a B. b <a <c C. c <a <b D. a <b <c二、单空题（本大题共5小题，共15.0分）11. 甲和乙等六名志愿者参加进博会A ，B ，C ，D ，E 五个不同的岗位服务，每个人一个岗位，且每个岗位至少一人，且甲和乙不在同一岗位服务，则不同的参加方法的种类为______ .(结果用数字表示)12. 命题“∃x ∈Q ，x 2−2=0”的否定是______ ．13. 曲线y =sinx 在点A 处的切线方程为________．14. 某人射击一次击中目标的概率为23，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为______．15. 在梯形ABCD 中，AB//CD ，AB =2CD ，E 为BC 中点，若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y =______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）16. 已知函数f(x)=log a x−2x+2的定义域为[α,β]，值域为[log a a(β−1),log a a(α−1)]，并且f(x)在[α,β]上为减函数． (1)求a 的取值范围； (2)求证：2<α<4<β；(3)若函数g(x)=log a a(x −1)−log a x−2x+2，x ∈[α,β]的最大值为M ，求证：0<M <1． 17. (1)已知全集U =R ，集合A ={x|x <−4，或x >1}，B ={x|−3≤x −1≤2}，求A ∩B 、(∁U A)∪(∁U B)；(2)求值：若x >0，求(2x 14+332)(2x 14−332)−4x −12(x −x 12)．18. 求二项式(1+2x)500的展开式中项系数最大的项．19. 彩票的中奖率是13，每次抽1张，有放回地随机抽取3张．计算至少抽中1张的概率．20. 已知函数f(x)=−x 3+x 2+x +a ，g(x)=2a −x 3(x ∈R,a ∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间．(2)求函数f(x)的极值．(3)若任意x∈[0,1]，不等式g(x)≥f(x)恒成立，求a的取值范围．【答案与解析】1.答案：C解析：解：由题意可知：∵log2(x−1)<1，∴x−1>0且x−1<2，即1<x<3，∴N={x|1<x<3}，∴C u N={x|x≤1或x≥3}又∵M={x|x+2a≥0}={x|x≥−2a}，而M∩(∁∪N)={x|x=1，或x≥3}，∴−2a=1，∴a=−12故选C．此题考查的是集合的交并补运算问题，在解答的时，应先将集合的元素具体化，然后再逐一利用交并补运算即可获得参数的结果．此题考查的是集合的交并补运算问题，在解答的过程当中充分体现了解不等式的知识、交并补运算的知识以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．2.答案：B解析：解：当a−b<0，即a<b时，ab>0，此时a<b<0或0<a<b，当a−b>0，即a>b时，ab<0，此时b<0<a，即ab(a−b)<0的等价条件为a<b<0或0<a<b或b<0<a，A.由0<1a <1b得0<b<a为既不充分也不必要条件，B.由0<1b <1a得0<a<b，为充分不必要条件C.由1a <1b得0<b<a或b<a<0或a<0<b，为既不充分也不必要条件，D.由1b <1a得0<a<b或a<b<0或b<0<a，为既不充分也不必要条件，故选：B．根据不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及倒数的性质求出不等式的等价条件是解决本题的关键．3.答案：C解析：解：当x<1时，f(x)=(3−a)x+1递增，则3−a>0，即a<3；当x≥1时，f(x)=a x递增，则a>1；由于f(x)在R上递增，则3−a+1≤a，解得a≥2，则有2≤a<3．故选C．运用一次函数和指数函数的单调性，注意x=1的情况，即3−a+1≤a，解出它们，再求交集即可得到．本题考查分段函数的运用，考查函数的单调性，考查一次函数和指数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．4.答案：C解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，f(x)=2cosx，其导数f′(x)=2sinx，其导数为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意；对于B，f(x)=x3+x2，其导数f′(x)=3x2+2x，其导数不是偶函数，不符合题意，对于C，f(x)=sinx⋅cosx+1，其导数f′(x)=cos2x，其导数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)=e x+x，其导数f′(x)=e x+1，其导数不是偶函数，不符合题意，故选：C．根据题意，依次计算选项中函数的导数，判定导函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查导数的计算，涉及导数的计算公式以函数奇偶性的判定，属于基础题．5.答案：A解析：解：由alnx+x2−(a+2)x=0得a=x2−2xx−lnx令g(x)=x2−2xx−lnx ，则g′(x)=(x−1)(x+2−2lnx)(x−lnx)2，g(x)=x2−2xx−lnx，在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，所以g(x)min=g(1)=−1，又当x∈(0,1)时，x2−2x<0，g(x)=x2−2xx−lnx<0，所以实数的取值范围是(−1,0)．故选：A ．通过分离变量，构造函数，利用函数的单调性，求解函数的最小值，结合数形结合求解即可． 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查数形结合的应用有解计算能力． 6.答案：A解析：解：如图，∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且∠B =π3，AB =1，BC =2，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =[(1−λ)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ]⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(1−λ)|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°+λ|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=1×2×12(1−λ)+4λ=2， 解得λ=13．故选：A ．利用向量的加减法法则及平面向量基本定理把BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 和BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后结合BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，列式求得λ值．本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积间的关系，训练了平面向量基本定理的应用，是中档题． 7.答案：C解析：试题分析：因为，，所以，，，故选C ．考点：指数函数、对数函数，分段函数．8.答案：A解析：解：设A 为“甲命中“，B 为“乙命中“，则P(A)=15，P(B)=14，∴两人中恰有一人击中敌机的概率：p =P(AB +AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=15×(1−14)+(1−15)×14=720．故选：A ．设A 为“甲命中“，B 为“乙命中“，则P(A)=15，P(B)=14，由此能求出两人中恰有一人击中敌机的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件同时发生的概率计算公式的求法． 9.答案：C解析：解：∵(2x −1)5=a 0+a 1(x −1)+a 2(x −1)2+⋯+a 5(x −1)5，令x −1=t ，则x =t +1， ∴(2t +1)5=a 0+a 1t +a 2t 2+⋯+a 5t 5．(2t +1)5展开式的通项为：T r+1=C 5r (2t)5−r 1r ， 令5−r =3，求得r =2，所以，T 3=C 52(2t)3=80x 3，即a 3=80，故选：C ．由题意，利用二项展开式的通项公式，求得a 3的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 10.答案：B解析：解：∵f(x)是定义在(−∞,+∞)上的偶函数，且在(−∞,0]上是增函数，∴在[0,+∞)上为减函数，3)=f(log23)，则f(log 12∵log23=log49>log47>1，0<0.20.4<1，∴log23>log47>0.20.4>0，∴f(log23)<f(log47)<f(0.20.4)，即b<a<c．故选：B．根据对数的运算，结合函数单调性和奇偶性的关系分别进行判断即可．本题主要考查函数单调性和奇偶性的应用，根据对数的运算法则计算对数的大小是解决本题的关键．11.答案：1680解析：解：根据题意，先不考虑限制条件，将6人分为5组，安排到五个不同的岗位服务，有C62A55=1800种安排方法，若甲乙安排在同一岗位服务，有A55==120种安排方法，则有1800−120=1680种安排方法，故答案为：1680．根据题意，用间接法分析，先计算没有限制条件时的安排方法数目，再计算其中“甲乙安排在同一岗位服务”的安排方法数目，分析可得答案．本题考查排列组合的应用，利用间接法分析，可以避免分类讨论，属于基础题．12.答案：∀x∈Q，x2−2≠0解析：解：“∃x∈Q，x2−2=0”属于特称命题，它的否定为全称命题，即命题“∃x∈Q，x2−2=0”的否定是∀x∈Q，x2−2≠0．故答案为：∀x∈Q，x2−2≠0．因为特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定￢p：∀x∈M，￢p(x)，即可得答案本题考查命题的否定，解题的关键是掌握命题的否定的书写规则，本题主要是掌握住特称命题的否定是全称命题．13.答案：x−2y+−=0解析：y′=cosx，y′|x==，所以曲线在A点处的切线方程为y−=.即x−2y+−=0．14.答案：49 解析： 本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式的基础知识，是基础题． 利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率计算公式直接求解．解：某人射击一次击中目标的概率为23，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为：p =C 32(23)2(13)=49． 故答案为：49． 15.答案：54解析：由题意作图辅助，从而利用平面向量的线性运算化简即可．本题考查了平面向量的线性运算的几何表示与数形结合的思想应用．解：由题意作图如右图，∵AB//CD ，AB =2CD ，∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵E 为BC 中点，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x =12，y =34， 故x +y =54故答案为54． 16.答案：解：(1)按题意得log a α−2α+2=f(x)max =log a a(α−1)，∴{α−2α+2>0α−1>0即α>2，又log aβ−2β+2=f(x)min=log a a(β−1)，∴关于x的方程log a x−2x+2=log a a(x−1)在(2,+∞)内有两个不等实根x=α、β，⇔关于x的二次方程ax2+(a−1)x+2(1−a)=0在(2,+∞)内有两个异根α、β，，解得0<a<19，故0<a<19.(2)令Φ(x)=ax2+(a−1)x+2(1−a)，则Φ(2)⋅Φ(4)=4a⋅(18a−2)=8a(9a−1)<0．∴2<α<4<β.(3)∵g(x)=log a(x−1)(x+2)x−2+1，g′(x)=1lna⋅x−2(x−1)(x+2)⋅(2x+1)(x−2)−(x2+x−2)(x−2)2=1lna ⋅x(x−4)(x+2)(x−1)(x−2)．∵lna<0，∴当x∈(α,4)时，g′(x)>0；当x∈(4,β)是g′(x)<0．又g(x)在[α,β]上连接，∴g(x)在[α,4]上递增，在[4,β]上递减．故M=g(4)=log a9+1=log a9a.∵0<a<19，∴0<9a<1．故M>0．若M≥1，则9a=a M．∴9=a M−1≤1，矛盾．故0<M<1.解析：本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，导数的运算，利用导数求闭区间上函数的最值，其中(1)的关键是根据函数的单调性将问题转化为关于x 的方程log a x−2x+2=log a a(x −1)在(2,+∞)内有两个不等实根α、β.并由此构造关于a 的不等式组，(2)的关键是构造函数Φ(x)=ax 2+(a −1)x +2(1−a)，将问题转化为函数零点判断问题，(3)的关键是利用导数法，判断出M =g(4)．(1)由已知中f(x)在[α,β]上为减函数函数f(x)=log a x−2x+2的定义域为[α,β]，值域为[log a a(β−1),log a a(α−1)]，我们可得log a α−2α+2=f(x)max =log a a(α−1)，根据对数式中底数及真数的限制条件，可得α>2，同理β>2，故关于x 的方程log a x−2x+2=log a a(x −1)在(2,+∞)内有两个不等实根α、β.由此构造关于a 的不等式组，解不等式组即可求出a 的取值范围；(2)令Φ(x)=ax 2+(a −1)x +2(1−a)，我们易得Φ(2)⋅Φ(4)<0，进而根据零点存在性定理，结合(1)中的结论，得到答案；(3)由已知中函数g(x)=log a a(x −1)−log a x−2x+2，x ∈[α,β]的解析式，我们利用导数法，可以判断出函数的单调性，进而得到M =g(4)=log a 9+1，结合(1)中a 的取值范围，即可得到答案．17.答案：解：(1)∵B ={x|−3≤x −1≤2}={x|−2≤x ≤3}，集合A ={x|x <−4，或x >1}，∴A ∩B ={x|1<x <3}，∴∁U A ={|−4≤x ≤1}，∁U B ={x|x <−2，或x >3}，∴(C U A)∪(C U B)={x|x ≤1，或x >3}(2)原式=(4x 12−33)−4x 12+4=−23解析：(1)求出集合B ，然后直接求A ∩B ，通过(C U A)∪(C U B)C U (A ∩B)求解即可；(2)根据指数幂的运算性质即可求出．本题考查集合的基本运算，转化思想与分类讨论思想的应用，考查计算能力．18.答案：解：根据题意，(1+2x)500的展开式的通项为T r+1=C 500r (2x)r ，其系数为2r ×C 500r ， 设第n 项的系数最大，则有{2r C 500r ≥2r−1C 500r−12r C 500r ≥2r+1C 500r+1， 解可得：10003≤r ≤334，故当r =334时，展开式中项系数最大，则有T 335=C 500r 2334x 334；即系数最大的项为T 335=C 500r 2334x 334．解析：根据题意，求出(1+2x)500的展开式的通项，求出其系数，设第n 项的系数最大，则有{2r C 500r ≥2r−1C 500r−12r C 500r ≥2r+1C 500r+1，解可得n 的值，代入通项中计算可得答案． 本题考查二项式定理的应用，注意项的系数与二项式系数的区别，属于基础题．19.答案：解：彩票的中奖率是13，每次抽1张，有放回地随机抽取3张，则每次抽取时的中奖概率都是13，则这三张都没有中奖的概率为(1−13)3=827，故至少抽中1张的概率为1−828=1927．解析：由题意根据相互独立事件的概率，等可能事件的概率求出这三张都没有中奖的概率，可得结论．本题主要考查相互独立事件的概率，等可能事件、对立事件的概率，属于基础题． 20.答案：解：(1)f (x )=−x 3+x 2+x +a ，f′(x )=−3x 2+2x +1，令f′(x )=−3x 2+2x +1=0，得x 1=−13 ，x 2=1．令f′(x )>0，得−13<x <1．.·.函数f(x)的单调递增区间为(−13,1)，令f ′(x )<0，得x <−13，或x >1．单调递减区间为(−∞,−13)与(1,+∞).(2)由(1)可知当x =−13时，函数f(x)取得极小值，函数的极小值为f (−13)=a −527当x =1时，函数f(x)取得极大值，函数的极大值为f(1)=a +1，(3)若任意x ∈[0,1]，不等式g(x)≥f(x)恒成立，即对于任意x ∈[0,1]，不等式a ≥x 2+x 恒成立，设ℎ(x)=x 2+x ，x ∈[0,1]，则ℎ′(x)=2x +1，∵x ∈[0,1]，∴ℎ′(x)=2x +1>0恒成立，∴ℎ(x)=x 2+x 在区间[0,1]上单调递增，∴[ℎ(x )]max =ℎ(1)=2∴a≥2，∴a的取值范围是[2,+∞)解析：(1)利用导数来求出函数的单调区间．(2)利用导数来求出函数的极值，利用(1)的结论．(3)不等式g(x)≥f(x)恒成立转化为不等式a≥x2+x恒成立，ℎ(x)=x2+x，x∈[0,1]，利用导数，求出ℎ(x)的最大值，问题得以解决．本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值、函数恒成立问题等知识点，属于中档题．。

2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 2．下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（）A．B．y＝sin x C．y＝x3D．y＝lnx3．函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（）A．（4，5）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sinα的值为（）A．B．C．D．5．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c6．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．B．C．D．8．若α、β都是锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝﹣，则sinβ的值是（）A．B．C．D．9．下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∃x∈R，使得2x≥x2”B．若a＞b，c＜0，则C．若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则k≤2D．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件10．已知函数在区间上单调递增，且存在唯一使得f（x0）＝1，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题11．幂函数f（x）的图象经过（2，4），则f（3）＝．12．函数的定义域为．13．已知lga+lg（2b）＝1，则a+b的最小值是．14．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数t的值为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}．（1）求A∪B，A∩B；（2）已知集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．16．已知函数．（1）在给出的直角坐标系中，画出y＝f（x）的大致图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间；（3）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集．17．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（0，）．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求tan（2β+）的值．18．已知函数．（1）判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．19．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若关于x的不等式mf（x）+3m≥f（x）在R上恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.第I卷（选择题共40分）1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，∴∁U B＝{2，5，8}，则A∩∁U B＝{2，5}．故选：A．2．下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（）A．B．y＝sin x C．y＝x3D．y＝lnx【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可．解：A．f（x）是奇函数，在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，不满足条件．B．f（x）是奇函数，则R上不是单调函数，不满足条件．C．f（x）是奇函数，在R上是增函数，满足条件．D．函数的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．故选：C．3．函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（）A．（4，5）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）＝lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）、f（3）的值，发现f（2）•f（3）＜0，即可得到零点所在区间．解：∵f（x）＝lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝ln2﹣1＜0，f（3）＝ln3＞0∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（2，3）故选：C．4．在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sinα的值为（）A．B．C．D．【分析】利用三角函数定义直接求解．解：在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，∴，r＝＝1，∴sinα＝＝．故选：D．5．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．解：∵a＝log20.3＜0，b＝20.3＞1，0＜c＝0.30.2＜1，∴b＞c＞a．故选：B．6．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【分析】由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：∵y＝sin（2x﹣）＝sin[2（x﹣）]，∴将函数y＝sin2x的图象上所有的点向右平移个单位，即可得到函数y＝sin（2x﹣）的图象．故选：C．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，∴若，则不等式f（2x﹣1）＜0等价为f（|2x﹣1|）＜f（），即|2x﹣1|＜，即﹣＜2x﹣1＜，得＜x＜，即不等式的解集为（，），故选：A．8．若α、β都是锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝﹣，则sinβ的值是（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数间的关系式的应用，可求得sin（α+β）与cosα的值，再利用两角差的正弦函数，可求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值．解：∵cos（α+β）＝﹣，α、β都是锐角，∴sin（α+β）＝＝；又sinα＝，∴cosα＝＝，∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝×﹣（﹣）×＝．故选：A．9．下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∃x∈R，使得2x≥x2”B．若a＞b，c＜0，则C．若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则k≤2D．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件【分析】A由命题的否命题，既要对条件否定，也要对结论否定，注意否定形式，可判断；B由条件，注意举反例，即可判断；C由二次函数的图象，即可判断；D先求出不等式x2﹣5x+6＞0的解集，再由充分必要条件的定义，即可判断．解：对于A，命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∀x∈R，使得2x≥x2”，故A错误；对于B，由条件知，比如a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，则＝﹣＜＝，故B错误；对于C，若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则≤1或≥4，故k≤2或k≥8，故C错误；对于D，x2﹣5x+6＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，故“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件，正确．故选：D．10．已知函数在区间上单调递增，且存在唯一使得f（x0）＝1，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由函数f（x）在[﹣，]上单调递增求出0＜ω≤，再由存在唯一使得f（x0）＝1求出≤ω＜3；由此求得ω的取值范围．解：由于函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在[﹣，]上单调递增；x∈[﹣，]，ωx+∈[﹣ω+，ω+]，﹣≤﹣ω+且ω+≤，解得ω≤且ω≤，所以0＜ω≤；又存在唯一使得f（x0）＝1，即x∈[0，]时，ωx+∈[，ω+]；所以≤ω+＜，解得≤ω＜3；综上知，ω的取值范围是[，]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共20分.11．幂函数f（x）的图象经过（2，4），则f（3）＝9 ．【分析】设幂函数f（x）＝x a，由幂函数f（x）的图象经过（2，4），解得f（x）的解析式，由此能求出f（3）．解：设幂函数f（x）＝x a，∵幂函数f（x）的图象经过（2，4），∴2a＝4，解得a＝2，∴f（x）＝x2，∴f（3）＝32＝9．故答案为：9．12．函数的定义域为（﹣1，4）．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0且对数式的真数大于0联立不等式组求解．解：由，得﹣1＜x＜4．∴函数的定义域为（﹣1，4）．故答案为：（﹣1，4）．13．已知lga+lg（2b）＝1，则a+b的最小值是2．【分析】利用对数运算性质可得ab，再利用基本不等式的性质即可得出．解：∵lga+lg（2b）＝1，∴2ab＝10，即ab＝5．a，b＞0．则a+b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时取等号．因此：a+b的最小值是2．故答案为：2．14．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数t的值为 5 （参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）【分析】100ml血液中酒精含量达到60ml，由题意得则60（1﹣20%）t＜20由此利用对数的性质能求出整数t的值．解：某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，则100ml血液中酒精含量达到60ml，在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则60（1﹣20%）t＜20，∴0.8t＜，∴t＞＝﹣＝﹣＝≈＝4.8．∴整数t的值为5．故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}．（1）求A∪B，A∩B；（2）已知集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∪B，A∩B．（2）当C＝∅时，a≥2a+1，a≤﹣1，当C≠∅时，，由此能求出实数a的取值范围．解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}＝{x|x＞3或x＜﹣2}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}＝{x|1＜x＜5}，∴A∪B＝{x|x＜﹣2或x＞1}，A∩B＝{x|3＜x＜5}．（2）∵集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，C⊆B，∴当C＝∅时，a≥2a+1，a≤﹣1，当C≠∅时，，解得1≤a≤2，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．16．已知函数．（1）在给出的直角坐标系中，画出y＝f（x）的大致图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间；（3）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集．【分析】根据各段函数的解析式作图即可解：（1）如图，（2）由图可知f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，1）；单调递减区间为（﹣2，0），（1，+∞）；（3）由图可知f（x）＞0时，x∈（﹣4，﹣1）．17．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（0，）．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求tan（2β+）的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得结果．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，求得结果．解：（1）∵已知sinα＝，α∈（，π），∴cosα＝﹣＝﹣．∵cosβ＝，β∈（0，），∴sinβ＝＝，∵cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣•+•＝＝﹣．（2）由以上可得tanβ＝＝2，∴tan2β＝＝＝﹣，tan（2β+）＝＝＝﹣．18．已知函数．（1）判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．解：（1）函数的定义域为R，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣﹣+＝﹣＝＝，∵x1＜x2，∴＜，则﹣＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），即函数f（x）为增函数．（2）f（x）＝＝，则f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函数．19．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若关于x的不等式mf（x）+3m≥f（x）在R上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据f（x）＝sin（2x﹣）可求最小正周期；（2）利用x∈以及正弦函数单调区间即可求出最大最小值；（3）令t＝sin（2x﹣），将不等式化成m≥＝1﹣对∀t∈[﹣1，1]恒成立，即可求出m取值范围．解：f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），（1）T＝＝π，即f（x）的最小正周期为π；（2）当x∈时，则2x﹣∈[﹣，π]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，所以f（x）∈[﹣，2]，即f（x）最大值为2，最小值为﹣；（3）mf（x）+3m≥f（x）即2m sin（2x﹣）+3m≥2sin（2x﹣），令t＝f（x）＝sin（2x﹣），则t∈[﹣1，1]，所以2t+3∈[1，5]根据题意得2mt+3m≥2t对∀t∈[﹣1，1]恒成立，即有m≥＝1﹣对∀t∈[﹣1，1]恒成立，因为1﹣最大为1﹣＝，所以m≥．。

天津市部分区2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为（）A. （﹣3，0），（3，0）B. （0，﹣3），（0，3）C. （﹣，0），（，0）D. （0，﹣），（0，）【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的标准方程干脆计算。

【详解】由双曲线﹣y2＝1可得：，则所以双曲线﹣y2＝1的焦点坐标为：（﹣，0），（，0）故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的简洁性质，属于基础题。

2.命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是（）A. ∃x0∈（0，+∞），使得B. ∃x0∈（0，+∞），使得C. ∀x∈（0，+∞），均有e x＞xD. ∀x∈（0，+∞），均有e x≥x【答案】D【解析】【分析】由特称命题的否定干脆写出结果即可推断。

【详解】命题“∃x0∈（0，+∞），使得＜”的否定是：“x∈（0，+∞），使得”故选：D【点睛】本题主要考查了特称命题的否定，属于基础题。

3.若复数（为虚数单位），则的共轭复数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，应选答案B。

4.设R，则“＞1”是“＞1”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件5.设公比为﹣2的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝，则a4等于（）A. 8B. 4C. ﹣4D. ﹣8【答案】C【解析】【分析】由S5＝求出，再由等比数列通项公式求出即可。

【详解】由S5＝得：，又解得：，所以故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式及等比数列通项公式，考查计算实力，属于基础题。

6.已知函数f（x）＝lnx﹣，则f（x）（）A. 有微小值，无极大值B. 无微小值有极大值C. 既有微小值，又有极大值D. 既无微小值，又无极大值【答案】B【解析】【分析】求出，对的正负分析，即可推断函数的极值状况。

2019-2020学年天津市部分区高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知空间向量(1,1,0)a =-,(,1,1)b m =-,若a b ⊥,则实数m =（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2【答案】C【解析】根据a b ⊥时，0a b =，列方程求出m 的值． 【详解】解：向量(1,1,0)a =-，(,1,1)b m =-， 若a b ⊥，则()()111100m ⨯+⨯-+-⨯=， 解得1m =． 故选：C ． 【点睛】本题考查了空间向量的坐标运算与垂直应用问题，属于基础题． 2．在复平面内,复数1(1i i+是虚数单位)对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】直接由复数代数形式的除法运算化简复数11i +，求出复数11i+在复平面内对应的点的坐标，则答案可求． 【详解】 解：111111(1)(1)222i i i i i i --===-++-， ∴复数11i +在复平面内对应的点的坐标为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭， 位于第四象限． 故选：D ． 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．设x ∈R ,则“11||<22x -”是“0<<2x ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】求解绝对值不等式结合充分必要条件的判定方法得答案． 【详解】 解：由11||<22x -，得111<222x -<-， 解得01x <<．∴ “11||<22x -”是“0<<2x ”的充分不必要条件．故选：A ． 【点睛】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判定方法，考查绝对值不等式的解法，属于基础题．4．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了 6天后到达目的地. ”则该人最后一天走的路程为（ ） A ．20里 B ．10里C ．5 里D ．2.5 里【答案】C【解析】根据题意，设此人每天所走的路程数为数列{}n a ，其首项为1a ，分析可得{}n a 是以为1a 首项，12为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得6315S =，解可得1a 的值，即可得答案． 【详解】解：根据题意，设此人每天所走的程为数列{}n a ，其首项为1a ，即此人第一天走的路程为1a ，又由从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，则{}n a 是以为1a 首项，12为公比的等比数列，又由6315S =，即有161(1)2315112a -=-，解得：1160a =；111602n n a -∴⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭56116052a ∴⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭即此人第6天走了5里； 故选：C ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，关键是依据题意，建立等比数列的数学模型，属于基础题．5．若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线22143x y -=的一个焦点,则p =（ ）A ．2B ．10C D ．【答案】D【解析】先求出22143x y -=的左焦点，得到抛物线22y px =的准线，依据p 的意义求出它的值． 【详解】解：因为抛物线22(0)y px p =>焦点在x 轴上，开口为正方向，故准线在y 轴左侧，双曲线22143x y -=的左焦点为(，0)，故抛物线22y px =的准线为x =∴2p=p = 故选：D ． 【点睛】本题考查抛物线和双曲线的简单性质，以及抛物线方程22y px =中p 的意义．6．已知函数2ln ()xf x x=,'()f x 为()f x 的导函数,则'()f x =（ ） A ．3ln xx B ．31xC ．31ln x x -D ．312ln x x - 【答案】D【解析】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则计算可得. 【详解】 解：2ln ()xf x x=()()()22224321ln ln ln 1ln 22()x x xx x x xx x f x x x x '⋅⋅'∴=='-⋅-⋅-=故选：D . 【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，属于基础题.7．正方体1111ABCD A B C D -,点E ,F 分别是1BB ，11B C 的中点,则EF 与1DA 所成角的余弦值为（ ） A ．0 B ．15C ．14D ．13【答案】A【解析】连接1CB ，1BC ，证明1//EF BC ，11//DA CB ，再根据11BC CB ⊥，可得1EF DA ⊥即可得到EF 与1DA 所成角的余弦值.【详解】解：连接1CB ，1BC1111ABCD A B C D -是正方体,11//DA CB ∴且11BC CB ⊥因为点E ,F 分别是1BB ，11B C 的中点1//EF BC ∴ 1EF CB ∴⊥ 1EF DA ∴⊥即EF 与1DA 成直角，cos02π=则EF 与1DA 所成角的余弦值为0 故选：A【点睛】本题考查异面直线所成的角的计算，属于基础题. 8．曲线12y x =在点（1,1）处的切线方程为（ ） A ．210x y -+= B ．0x y -= C ．20x y +-= D ．210x y --=【答案】A【解析】求出曲线方程的导函数，把点()1,1的横坐标代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，由求出的斜率和点()1,1的坐标写出切线方程即可． 【详解】 解：12y x=，1212x y -'∴=则曲线过点()1,1切线方程的斜率11|2x k y =='=， 所以所求的切线方程为：()1112y x -=-，即210x y -+=． 故选：A ． 【点睛】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据斜率和一点坐标写出直线的方程，属于基础题．9．设双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线0x +=上,O 为坐标原点,若OF PF =且∆POF 的面积为则C 的方程为（ ）A ．2212x y -=B ．22142x y -=C ．22163-=x yD ．22184x y -=【答案】B【解析】根据双曲线的渐近线方程，设双曲线方程为22:1(>0)2x y C λλλ-=，表示右焦点F 的坐标，根据点到线的距离公式求出F 到渐近线的距离，根据OF PF =利用勾股定理求得OP ，利用12POF S OP d ∆=，得到方程，求得λ，得解. 【详解】解：20x y +=为双曲线2222:1(>>0)x y C a b a b-=的一条渐近线，故设双曲线方程为22:1(>0)2x y C λλλ-=则右焦点F 的坐标为)F20x y +=因为P 在0x +=上，且OF PF =则右焦点F 的坐标为)F到直线0x =的距离d ==OP ∴==1122POF S OP d ∆∴==⨯=2λ∴=故22:142x y C -=故选：B 【点睛】本题考查双曲线的性质，三角形面积公式，点到线的距离公式，属于中档题. 10．若函数1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+在区间(,)-∞+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-1,0] B ．[0,1) C ．(-1,1) D ．[-1,1]【答案】D【解析】先求导，换元可得2()23g t t at =-++，在[]1,1t ∈-时()0g t ≥恒成立，进而得到不等式组，解得即可. 【详解】解：1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+2()2cos 2cos 2cos cos 3f x x a x x a x '∴=-+=-++因为函数1()2sin 2sin 2f x x x a x =-+在区间(,)-∞+∞上单调递增 2()2cos cos 30f x x a x '∴=-++≥恒成立令cos t x =则[]1,1t ∈-2()23g t t at ∴=-++，在[]1,1t ∈-时()0g t ≥恒成立，(1)230(1)230g a g a -=--+≥⎧∴⎨=-++≥⎩解得11a -≤≤故选：D 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.二、填空题 11．i 是虚数单位,则21ii+-的值为_____.【解析】利用复数的运算法则计算出21ii+-，再根据求模的法则计算即可得出 【详解】 解：()()()()2121313111222i i i i i i i i ++++===+--+2131222i i i +∴=+==-故答案为：2【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.12．已知函数22(),'()f x x e f x =为()f x 的导函数,则'(1)f 的值为_____. 【答案】22e【解析】根据基本初等函数的求导公式及导数的运算法则求出()f x 的导函数，再代入求值即可. 【详解】 解：22()f x x e =2'()2f x e x ∴= 22'(1)212f e e ∴=⨯=故答案为：22e 【点睛】本题考查导数的计算，属于基础题.13．已知实数a 为函数32()3f x x x =-的极小值点,则a =_____. 【答案】2【解析】首先求出函数的导函数，求出函数的单调区间，即可求出函数的极小值点. 【详解】 解：32()3f x x x =-()2()3632f x x x x x '∴=-=-令()0f x '>解得2x >或0x <，即函数()f x 在(),0-∞和()2,+∞上单调递增； 令()0f x '<解得02x <<，即函数()f x 在()0,2上单调递减； 故函数()f x 在2x =处取得极小值. 即2a = 故答案为：2 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值点，属于基础题. 14．已知“21[2]102x ,,x mx ∃∈-+≤”是假命题,则实数m 的取值范围为________. 【答案】(,2)-∞【解析】求出命题的否定，由原命题为假命题，得命题的否定为真命题，参变分离得到1m x x <+，构造函数()1g x x x=+求()g x 在所给区间上的最小值.【详解】解：由题意可知，21[2]102x ,,x mx ∀∈-+>是真命题 1m x x ∴<+对1[2]2x ,∀∈恒成立， 令()1g x x x =+()211g x x'∴=-令()0g x '>则12x <≤；令()0g x '<则112x ≤<； 即()1g x x x =+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()1,2上单调递增； ()()min11121g x g ∴==+=2m <∴故答案为：(,2)-∞ 【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，关键是将问题进行转化，属于中档题.15．设0021a ,b ,a -b >>=,则22(4)(1)a b ab++的最小值为________.【答案】4【解析】将式子变形可得()22222244(4)(1)a b a b ab a b ab ab+-++++=，根据已知条件可得22(4)(1)54a b ab ab ab++=++利用基本不等式可得最小值.【详解】 解：()222222222244(4)(1)44a b a b ab a b a b a b ab abab+-+++++++==0021a ,b ,a -b >>=2222(4)(1)455444a b a b ab ab ab ab ab ++++∴==++≥=当且仅当5ab ab=时取等号，故最小值为4故答案为：4 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于中档题．三、解答题16．已知函数()()32,f x x ax b a b R =-+∈.(I)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为10x y +-=,求,a b 的值； (II)若0a >,求()f x 的单调区间. 【答案】（Ⅰ）2,1a b == （Ⅱ）()f x 在区间2(,0),(,)3a -∞+∞上单调递增,在区间20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【解析】（Ⅰ）求出函数的导函数，根据题意可得()()1110f f ⎧-⎪⎨='⎪⎩得到关于,a b 的方程组，解得；（Ⅱ）求出函数的导函数，解()0f x '>得函数的单调递增区间，解()0f x '<得函数的单调递减区间. 【详解】 解：（Ⅰ）32()(,)f x x ax b a b R =-+∈2()32f x x ax =-'∴因为函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为10x y +-=()()1321110f a f a b ⎧=-=-⎪∴⎨=-+='⎪⎩解得2,1a b == （Ⅱ）22()323()3af x x ax x x '=-=-． 令()0f x '=,得0x =或23a x = . 因为0a >,所以2(,0)(,)3ax ∈-∞+∞时，()0f x '> ；20,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<． 故()f x 在区间2(,0),(,)3a -∞+∞上单调递增,在区间20,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，属于基础题.17．如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,AD CD,AD //⊥4BC,BC ,=2PA AD CD ,===点E 为PC 的中点.(I) 证明：//DE 平面PAB ;(II)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ 【解析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，取PB 中点M ，可证//AM DE ，即可得到//DE 平面PAB .（Ⅱ）根据（Ⅰ）所建坐标系，求出平面PCD 的法向量以及直线PB 的方向向量，利用夹角公式解得. 【详解】（Ⅰ）证明： 取BC 中点F ,易知AFCD 是边长为2的正方形.依题意,可以建立以A 为原点,分别以AF ,AD ,AP 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直角坐标系（如图）,可得(0,0,0)A ,(2,0,0)F ,(2,2,0)B -,(2,2,0)C ,(0,2,0)D ,(0,0,2)P ,(1,1,1)E .取PB 中点M ,则(1,1,1)M -,即(1,1,1)AM =- 又(1,1,1)DE =-,可得//AM DE ,又因为直线DE ⊄平面PAB ,所以//DE 平面PAB .（Ⅱ）解：依题意,(0,2,2)PD =-u u u r,(2,0,0)CD =-,(2,2,2)PB =--设(,,)n x y z =为平面PCD 的法向量,则0,0,n PD n CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即220,20,y z x -=⎧⎨-=⎩ 不妨令1z =,可得(0,1,1)n =因此有cos ,PB n PB n PB n⋅<>==-⋅ . 所以直线PB 与平面PCD . 【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的计算问题，关键建立空间直角坐标系，利用空间向量解决立体几何中的问题，属于中档题.18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2n S n =,等比数列{}n b 满足124451,,()b a b a a n N *=-=+∈.(I)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (II)求数列{}n n a b 的前n 项和.【答案】（Ⅰ）*21()n a n n =-∈N ；*2()n n b n =∈N（Ⅱ）1*(23)26().n n n +-⨯+∈N【解析】（Ⅰ）根据1112n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得{}n a 的通项公式，根据{}n a 的通项公式，可计算1212b a =-=,44516b a a =+=，即可求出等比数列的公比，得到数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和. 【详解】解（Ⅰ）由2n S n =,得当1n =时,111a S ==当2n ≥时,221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-经检验1n =时也成立, 所以*21()n a n n =-∈N 即1212b a =-=,44516b a a =+= 记数列{}n b 的公比为q ,则3418b q b ==,所以2q = 即*2()n n b n =∈N（Ⅱ）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,由21n a n =-,2nn b =,有(21)2n n n a b n =-⨯ 故23123252(21)2nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ,23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L上述两式相减,得23112222222(21)2n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L1118(12)2(21)212(23)2 6.n n n n n -++⨯-=+--⨯-=--⨯- 得1(23)26n n T n +=-⨯+.所以,数列{}n n a b 的前n 项和为1*(23)26().n n n +-⨯+∈N【点睛】本题考查等差、等比数列通项的计算，等比数列前n 项和公式的应用，利用错位相减法求差比数列的前n 项和，属于中档题.19．已知椭圆2222:1(>>0)x y C a b a b +=的长轴长为4,.(I)求C 的方程；(II)设直线:l y kx =交C 于A,B 两点,点A 在第一象限,AM x ⊥轴,垂足为M , 连结BM 并延长交C 于点N .求证：点A 在以BN 为直径的圆上.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由长轴长为4，得到2a =，再由离心率为2，可求c 的值，根据222c a b =-计算出b 的值，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，表示出,A B 两点，通过证明AB AN ⊥，得到点A 在以BN 为直径的圆上. 【详解】解析 （Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ,依题意,24,c a a ==,又222a b c =+,可得2,a b c ===所以,椭圆的方程为22142x y +=.（Ⅱ）由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =,则(,),(,),(,0)A u uk B u uk M u --．于是直线BM 的斜率为2k ,方程为()2ky x u =- 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)N N N x y ,则u -和N x 是方程①的解,故22(32)2N u k x k +=+ ,由此得322N uk y k =+ 从而直线AN 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+ 所以AB AN ⊥,即点A 在以BN 为直径的圆上. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的计算问题，直线与圆锥曲线综合问题，属于难题. 20．已知函数()cos sin 1f x x x x =+-.(I)若(0,)x π∈,求()f x 的极值；(II)证明：当[0,]x π∈时,2sin cos x x x x -≥. 【答案】（Ⅰ）12π- （Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）求出函数的导函数，分析函数的单调性，即可得到函数的极值； （Ⅱ）构造函数()2sin cos g x x x x x =--，证明函数在[0,]x π∈时()0g x ≥恒成立. 【详解】 解（Ⅰ）()cos sin 1f x x x x =+-()cos f x x x '∴=,当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>；当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,()0f x '< 当x 变化时,(),()f x f x '的变化情况如下表：因此,当2x π=时,()f x 有极大值,并且极大值为()()122f x f ππ==-极大值 ，没有极小值.（Ⅱ）令函数()2sin cos g x x x x x =--,()cos sin 1()g x x x x f x '=+-= 由（Ⅰ）知()f x 在区间π(0,)2上单调递增,在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 又(0)0,()10,()2022f f f πππ==->=-<故()f x 在()0,π存在唯一零点.设为0x ,则00()()0g x f x '== 当()00,x x ∈时,()0g x '>；当()0,πx x ∈时,()0g x '<, 所以()g x 在区间()00,x 上单调递增,在区间()0,πx 上单调递减又(0)0,()0g g π== ,所以,当[0,π]x ∈时,()0g x ≥. 故2sin cos x x x x -≥. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，利用导数证明不等式恒成立问题，属于综合题.。

天津市部分区2019〜2020学年度第一学期期末考试高二数学第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量)0,1,1(-=，)1,1,(-=m ，若⊥，则实数=m(A) -2 (B) -1 (C)1 （D) 22.在复平面内，复数i i(11+是虚数单位)对应的点位于 (A)第一象限 （B)第二象限 (C)第三象限 （D)第四象限 3.设R x ∈，则“21|<21|-x ”是“2<<0x ”的 (A)充分不必要条件 （B)必要不充分条件(C)充要条件 （D)既不充分又不必要条件4.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百一十五里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还其大意为：“有一个人走315里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地. ”则该人最后一天走的路程为(A)20里 （B) 10里 (C) 5 里 （D) 2.5 里5.若抛物线0)>2px (p 2=y 的准线经过双曲线13422=-y x 的一个焦点，则=p (A) 2 (B) 10 (C)7(D) 72 6.已知函数2ln )(x x x f =，)('x f 为)(x f 的导函数，则=)('x f (A) 3ln x x (B) 31x (C) 3ln 1x x - （D)3ln 21x x - 7.正方体1111D C B A ABCD -，点E ，F 分别是的中点，则EF 与1DA 所成角的余弦值为(A) 0 (B) 51 (C) 41 （D) 31 8.曲线21x y =在点（1，1）处的切线方程为(A) 012=+-y x (B) 0=-y x (C) 02=-+y x (D) 012=--y x9.设双曲线)0>>(1:2222b a b y a x C =-的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线02=+y x 上，O 为坐标原点，若||||PF OF =且POF ∆的面积为22，则C 的方程为(A) 1222=-y x (B) 12422=-y x (C) 13622=-y x (D)14822=-y x 10.若函数x a x x x f sin 2sin 212)(+-=在区间),(+∞-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 (A)(-1,0] (B)[0,1) (C)(-1,1) (D)[-1,1]第Ⅱ卷（共80分) 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11.i 是虚数单位，则|12|i i -+的值为 . 12.已知函数)(',)(22x f e x x f =为)('x f 的导函数，则)1('f 的值为. 13.已知实数a 为函数233)(x x x f -=的极小值点，则=a .14.已知“01],2,21[2≤+-∈∃mx x x ”是假命题，则实数m 的取值范围为 . 15.设12b -0,>b 0,>=a a ，则ab b a )1)(4(22++的最小值为 .三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分）已知函数),()(23R b a b ax x x f ∈+-=.(I)若曲线)(x f y =在点))1(,0(f 处的切线方程为01=-+y x ,求b a ,的值；(II)若0>a ,求)(x f 的单调区间.17.(本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，BC=4，PA=AD=CD=2，点E 为 PC 的中点.(I) 证明：DE ∥平面PAB;(II)求直线与平面PCD 所成角的正弦值.18.(本小题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且2n S n =，等比数列{n b }满足)(,,154421*∈+=-=N n a a b a a .(I)求{n a }和{n b }的通项公式;(II)求数列{n n b a }的前n 项和.19.(本小题满分12分）已知椭圆)0>>(1:2222b a by a x C =+的长轴长为4，离心率为22. (I)求C 的方程；(II)设直线kx y l =:交C 于A ，B 两点，点A 在第一象限，x AM ⊥轴，垂足为M, 连结心并延长交C 于点N.求证：点A 在以BN 为直径的圆上.20.(本小题满分、12分）已知函数1sin cos )(-+=x x x x f .(I)若),0(π∈x ，求)(x f 的极值；(II)证明：当],0[π∈x 时，x x x x ≥-cos sin 2.。

天津市部分区2020-2021学年高二上学期期末语文试题一、选择题1．下列各句中，没有错别字且加点字的注音全都正确的一项是（）A．女人的手指振动了一下，想是叫苇眉子划破了手。

她把一个手指放在嘴里吮（shǔn）了一下。

B．长方形的、红砖墙严密地封琐着的工房区域，被一条水门汀的弄（nòng）堂划成狭长的两块。

C．至少，也当浸渍（zì）了亲族，师友，爱人的心，纵使时光流驶，洗成绯红，也会在微漠的悲哀中永存微笑的和蔼的旧影。

D．她们嘈杂起来，有的在公共自来水龙头边舀水，有的用断了齿的木梳梳掉执拗地粘（nián）在头发里的绵絮。

2．依次填入下面语段横线处的词语，最恰当的一组是（）八角坳离山有三十多里路，再加上要拐弯抹角地走小路，下半夜才赶到。

这庄子以前我来过，那时候在根据地里像这样大的庄子，每到夜间，田里的活儿干完了，老百姓开会啦，上夜校啦，_______，山歌不断，闹得可热火。

可是，现在呢，_______，连个火亮儿也没有，黑沉沉的，活像个乱葬岗子。

我_______地_______了庄子，按着政委告诉的记号，从东头数到第十七座窝棚，蹑手殴脚地走到窝棚门口。

A．锣鼓喧天鸦雀无声悄悄摸进B．沸反盈天风平浪静偷偷混进C．沸反盈天鸦雀无声悄悄混进D．锣鼓喧天风平浪静偷偷摸进3．下列各句中没有语病的一项是（）A．高速公路上交通事故的主要原因是司机违反交通规则或操作不当造成的，交通部门要加强安全宣传，提高司机的安全意识。

B．那时我在上海，也有一个唯一的不但敢于随便谈笑，而且还敢于托他办点私事的人，那就是送书去给白莽的柔石。

C．中国的哲学蕴含于人伦日用之中，中国建筑处处体现着人伦秩序与和而不同的东方智慧，五千年前的中华文明正是良渚大量建筑遗址的见证者。

D．在以后的一个多世纪中，包括彭定康在内的许多港督曾对港督府进行过大规模的装修、改建和扩建。

4．下列有关文学常识和名著阅读的表述，有错误的一项是（）A．孙犁，小说家、散文家，其作品文笔细腻婉约，浓郁的浪漫主义色彩和清新隽永的抒情诗风格，代表了“荷花淀派”的创作特色。

2020-2021学年天津市部分区高二（上）期末语文试卷1. 下列各句中，没有错别字且加点字的注音全都正确的一项是（）A. 女人的手指振动了一下，想是叫苇眉子划破了手。

她把一个手指放在嘴里吮．（shǔn）了一下。

B. 长方形的、红砖墙严密地封琐着的工房区域，被一条水门汀的弄．（nòng）堂划成狭长的两块。

C. 至少，也当浸渍．（zì）了亲族，师友，爱人的心，纵使时光流驶，洗成绯红，也会在微漠的悲哀中永存微笑的和蔼的旧影。

D. 她们嘈杂起来，有的在公共自来水龙头边舀水，有的用断了齿的木梳梳掉执拗地粘．（nián）在头发里的绵絮。

2. 依次填入下面语段横线处的词语，最恰当的一组是（）八角坳离山有三十多里路，再加上要拐弯抹角地走小路，下半夜才赶到。

这庄子以前我来过，那时候在根据地里像这样大的庄子，每到夜间，田里的活儿干完了，老百姓开会啦，上夜校啦，_______，山歌不断，闹得可热火。

可是，现在呢，_______，连个火亮儿也没有，黑沉沉的，活像个乱葬岗子。

我_______地_______了庄子，按着政委告诉的记号，从东头数到第十七座窝棚，蹑手蹑脚地走到窝棚门口。

A. 锣鼓喧天鸦雀无声悄悄摸进B. 沸反盈天风平浪静偷偷混进C. 沸反盈天鸦雀无声悄悄混进D. 锣鼓喧天风平浪静偷偷摸进3. 下列各句中，没有语病的一项是（）A. 高速公路上交通事故的主要原因是司机违反交通规则或操作不当造成的，交通部门要加强安全宣传，提高司机的安全意识。

B. 那时我在上海，也有一个唯一的不但敢于随便谈笑，而且还敢于托他办点私事的人，那就是送书去给白莽的柔石。

C. 中国的哲学蕴含于人伦日用之中，中国建筑处处体现着人伦秩序与和而不同的东方智慧，五千年前的中华文明正是良渚大量建筑遗址的见证者。

D. 在以后的一个多世纪中，包括彭定康在内的许多港督曾对港督府进行过大规模的装修、改建和扩建。

4. 下列有关文学常识和名著阅读的表述，有错误的一项是（）A. 孙犁，小说家、散文家，其作品文笔细腻婉约，浓郁的浪漫主义色彩和清新隽永的抒情诗风格，代表了“荷花淀派”的创作特色。

2019-2020学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷题号 一 二 三 总分 得分第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共9小题，共36.0分）1. 在四面体O −ABC 中，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ,D为BC 的中点，为AD 的中点，则( )A. 12a +14b ⃗ +14c ⃗ B. 12a ⃗ +13b ⃗ −12c ⃗ C. 13a ⃗ +14b ⃗ +14c ⃗ D. 13a ⃗ −14b ⃗ +14c ⃗2. 设P 是椭圆x 216+y 210=1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|+|PF 2|等于( ) A. 4 B. √10C. 8D. 2√103. 已知抛物线y 2=2px 的准线方程是x =−2，则p 的值为( )A. 2B. 4C. −2D. −44. 已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，长轴长为8，则椭圆的标准方程为( )A. x 216+y24=1 B. x 24+y 2=1C. x 216+y212=1 D. x 24+y 23=1 5. 在三棱锥A −BCD 中，E 是CD 的中点，且BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. −13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 设双曲线mx 2+ny 2=1的一个焦点与抛物线y =18x 2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为( )A. 2B. √3C. 2√2D. 2√37. 已知平面α的一个法向量a ⃗ =(x,2y −1,−14)，又b ⃗ =(−1,2，1)，c ⃗ =(3,12,−2)且b ⃗ ，c ⃗ 在α内，则a ⃗ =( )A. (−952,−5326,−14) B. (−952,−2752,−14) C. (−952,126,−14)D. (−2752,−5326,−14)8. 已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点是F ，点M 是抛物线C 上的动点，点Q 是圆A ：(x −4)2+(y −1)2=1上的动点，则|MF|+|MQ|的最小值是( )A. 2B. 3C. 4D. 59. 双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)中，F 2为其右焦点，A 1为其左顶点，点B(0,b)在以A 1F 2为直径的圆上，则此双曲线的离心率为( )A. √2B. √3C. √3+12 D. √5+12第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10. 设向量m⃗⃗⃗ =(2,2s −2,t +2)，n ⃗ =(4,2s +1,3t −2)，且m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则实数s +t =__________． 11. 双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >b >0)右支上一点P 到左焦点的距离是到右准线距离的6倍，则该双曲线离心率的范围为________． 12. 若方程x 2a 2+y 2a=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是________．13. 在空间直角坐标系O −xyz 中，A(0,0，1)，B(m 2,0，0)，C(0,1，0)，D(1,2，1)，若四面体OABC 的外接球的表面积为6π，则异面直线OD 与AB 所成角的余弦值为______．14. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)经过点P(1,4)，直线PA ，PB 分别与抛物线C 交于点A ，B ，若直线PA ，PB 的斜率之和为零，则直线AB 的斜率为______． 15. 已知O(0,0，0)，A(1,2，3)，B(2,1，2)，P(1,1，2)，点Q 在直线OP 上运动，当QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值时，点Q 的坐标是________． 三、解答题（本大题共3小题，共34.0分）16. 已知双曲线方程9x 2−7y 2=63，求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程．17. 如图，在底面是正方形的四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA =AB =1，点E 在PD 上，且PE ：ED =2：1． (1)求二面角D −AC −E 的余弦值；(2)在棱PC 上是否存在一点F ，使得BF//平面ACE ．18. 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为2√23的椭圆过点(√2,√73)．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与y 轴的非负半轴交于点B ，过点B 作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点P ，Q 两点，连接PQ ，求△BPQ 的面积的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】 【分析】本题考查空间向量的加减法，考查学生计算能力，属于基础题．直接表示OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，表示AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，化简即可． 【解答】解：OE ⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14×(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ +14b ⃗ +14c ⃗ ． 故选：A ．2.【答案】C【解析】解：椭圆x 216+y 210=1中，a =4， ∵P 是椭圆x 216+y 210=1上的点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点， ∴由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a =8． 故选：C ．由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a ．本题考查椭圆的定义的应用，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质．3.【答案】B【解析】解：抛物线y 2=2px 的准线方程是x =−2，则p 的值：4． 故选：B ．利用抛物线的准线方程求出p ，即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．4.【答案】C【解析】 【分析】运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，求出a ，b ，即可得到椭圆方程． 本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率的公式和运用，属于基础题． 【解答】解：焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，长轴长为8， 即有ca =12，a =4，即为c =2，b =√a 2−c 2=2√3， 则椭圆方程为x 216+y 212=1．故选C ．5.【答案】C【解析】 【分析】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由E 是CD 的中点，且BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，即可得出． 【解答】 解：如图所示，∵E 是CD 的中点，且BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FE⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：C ．6.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查双曲线方程的求解，双曲线的渐近线方程，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．由题意可得双曲线的一个焦点为(0,2)，据此整理计算可得双曲线的渐近线方程为y 2−x 23=0，求得渐近线方程为x −√3y =0，结合点到直线距离公式求解焦点到渐近线的距离即可． 【解答】解：∵抛物线x 2=8y 的焦点为(0,2)， ∴mx 2+ny 2=1的一个焦点为(0,2)， ∴焦点在y 轴上， ∴a 2=1n ，，c =2，根据双曲线三个参数的关系得到4=a 2+b 2=1n −1m ， 又离心率为2，即41n=4，解得，∴此双曲线的渐近线方程为y 2−x 23=0，则双曲线的一条渐近线方程为x −√3y =0，则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为：d =√3|√1+3=√3．故选B ．7.【答案】C【解析】解：由题意可得{a ⃗ ⋅b ⃗ =0a ⃗ ⋅c ⃗ =0，即{−x +2(2y −1)−14=03x +12(2y −1)+12=0，解得x =−952，y =2752． ∴a ⃗ =(−952,126,−14)． 故选：C ．由题意可得{a ⃗ ⋅b ⃗ =0a ⃗ ⋅c ⃗ =0，即{−x +2(2y −1)−14=03x +12(2y −1)+12=0，解得即可． 本题考查了线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：根据题意，抛物线C的准线是l：x=−2，作MD⊥l于D，由抛物线的定义知|MF|=|MD|，所以要使|MF|+|MQ|最小，即|MD|+|MQ|最小，只要D，M，Q三点共线且M在D与Q之间即可，此时|MD|+|MQ|的最小值是：|AD|−1=6−1=5，故选：D．根据题意，求出抛物线的准线方程，作MD⊥l于D，由抛物线的定义知|MF|=|MD|，结合图形分析可得答案．本题考查抛物线的几何性质，关键是充分利用抛物线的定义分析．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．由题意，A1B⊥BF2，可得b2=ac，结合b2=c2−a2，即可得出结论．【解析】解：由题意，A1B⊥BF2，∴b2=ac，∴c2−a2=ac，∴e2−e−1=0，∵e>1，∴e=√5+1．2故选：D．10.【答案】172【解析】【分析】本题考查空间向量共线定理的应用．由m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，∴存在实数k ，使得m ⃗⃗⃗ =k n ⃗ ，解出方程组即可解出s 和t ． 【解答】解：∵m⃗⃗⃗ //n ⃗ ，∴存在实数k ，使得m ⃗⃗⃗ =k n ⃗ ，则{2=4k2s −2=k (2s +1)t +2=k (3t −2)， 解得k =12，s =52， t =6， ∴s +t =172．故答案为172．11.【答案】1<e ≤2或3≤e <6【解析】 【分析】本题考查双曲线的定义，考查双曲线的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 【解答】解：由题意，设P 到右准线距离为d ，则d ≥a −a 2c．根据第二定义，可得P 到右焦点的距离为ed ，∵右支上一点P 到左焦点的距离是到右准线距离的6倍， ∴P 到左焦点的距离为6d ， ∴6d −ed =2a ， ∴d =2a6−e (e <6)， ∴2a6−e ≥a −a 2c ，∴26−e ≥1−1e， ∴e 2−5e +6≥0， ∴e ≤2或e ≥3， ∵1<e <6，∴1<e ≤2或3≤e <6． 故答案为1<e ≤2或3≤e <6．12.【答案】(0,1)【解析】【分析】本题考查椭圆的标准方程及二次不等式的解法，属于基础题． 由题意得a >a 2>0，求解即可． 【解答】 解： 因为方程x 2a 2+y 2a=1表示焦点在y 轴上的椭圆，所以a >a 2>0，解得0<a <1． 故答案为(0,1)．13.【答案】√3030【解析】 【分析】本题主要考查几何体中外接球的计算、以及异面直线所成角的计算，熟记公式即可，属于基础题．先由题意得到四面体OABC 的外接球即是四面体所在长方体的外接球，再由外接球的表面积求出m 2，从而可得到向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 坐标，根据cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即可求出结果． 解：由题意易知OA ，OB ，OC 两两垂直，∴四面体OABC 的外接球即是四面体所在长方体的外接球，且外接球直接等于体对角线的长， 因此4π×12+12+m 44=6π，解得m 2=2，从而AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−1)， 则cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |√5×√6=√3030． ∴异面直线OD 与AB 所成角的余弦值为√3030．故答案为：√3030．14.【答案】−2【解析】解：因为抛物线C ：y 2=2px 经过点P(1,4)，∴p =8，∴抛物线C ：y 2=16x ， 设直线PA ：y −4=k(x −1)，并代入y 2=16x 消去x 并整理得k 2x 2+(8k −2k 2−16)xx +(4−k)2=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)依题意知1和x 1是以上一元二次方程的两个根，∴1⋅x 1=(4−k)2k 2，∴x 1=k 2−8k+16k 2，∴y 1=4−k +kx 1=4−k +k ⋅k 2−8k+16k 2=16k−4，同理得x 2=k 2+8k−16k 2，y 2=−16k−4，所以直线AB 的斜率为：y 1−y 2x 1−x 2=16k −4+16k+4k 2−8k+16−k 2−8k−16k 2=−2．故答案为：−2将P(1,4)代入y 2=2px 可解得p =8，得抛物线方程为y 2=16x ，在设出直线PA 的方程并与抛物线方程联立解得A 的坐标，同理解得B 的坐标，最后用斜率公式可求得AB 的斜率为定值−2．本题考查了直线与抛物线的综合，属难题．15.【答案】(43,43,83)【解析】 【分析】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，其中根据空间向量数量积的坐标运算公式，求出QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式，进而将问题转化为一个二次函数最值问题，是解答本题的关键． 可先设Q(x,y ，z)，由点Q 在直线OP 上可得Q(λ,λ,2λ)，则由向量的数量积的坐标表示可求QA ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后根据二次函数的性质可求，取得最小值时的λ，进而可求Q 点的坐标． 【解答】解：设Q(x,y ，z)，∵A(1,2，3)，(2,1，2)，P(1,1，2)，则由点Q 在直线OP 上可得存在实数λ使得OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ,2λ)， 则Q(λ,λ,2λ)，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ,2−λ,3−2λ)，QB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−λ,1−λ,2−2λ)， ∴QA ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)(2−λ)+(2−λ)(1−λ)+(3−2λ)(2−2λ)=2(3λ2−8λ+5)， 根据二次函数的性质可得当λ=43时，取得最小值−23， 此时Q 点的坐标为：(43,43,83). 故答案为(43,43,83).16.【答案】解：∵双曲线方程9x 2−7y 2=63，∴双曲线的标准方程为：x 27−y 29=1，∴a =√7，b =3，∴该双曲线的实轴长为2a =2√7， 虚轴长为2b =6， 离心率e =ca=4√77，渐近线方程为y =±3√77x.【解析】把双曲线方程化为标准方程，分别求出a ，b ，c ，由此及彼能求出此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质，是基础题，解题时要把双曲线方程转化为标准方程．17.【答案】解：(1)以A 为坐标原点，直线AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，则P(0,0，1)，C(1,1，0)，E(0,23,13)，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,23,13)， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面ABCD 的法向量， AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设平面ACE 的一个法向量为n ⃗ =(a,b ，c)， 得{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b =0n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23b +13c =0， 令c =2，则b =−1，a =1， ∴n ⃗ =(1,−1,2)．则cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=n⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63，即所求二面角的余弦值为√63．(2)设PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]， 则PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ,−λ)， ∵B(1,0，0)，P(0,0，1)， ∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，1)，BF⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−1,λ,1−λ)， 若BF//平面ACE ，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，即BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，则(λ−1,λ,1−λ)⋅(1,−1,2)=0， 解得λ=12，即存在满足题意的点，当F 是棱PC 的中点时，EF//平面ACE ．【解析】本题主要考查二面角的求解，以及线面平行的应用，建立空间直角坐标系，利用空间向量法是解决本题的关键．(1)建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求二面角D −AC −E 的余弦值； (2)根据线面平行的判定定理，设PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，建立条件关系，即可得到结论． 18.【答案】解：(Ⅰ)由题意可设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则{c a=2√232a 2+79b 2=1，故{a =3b =1， 所以，椭圆方程为x 29+y 2=1．(Ⅱ)由题意可知，直线BP 的斜率存在且不为o ．故可设直线BP 的方程为y =kx +1，由对称性，不妨设k >0， 由{y =kx +1x 2+9y 2−9=0，消去y 得(1+9k 2)x 2+18kx =0， 则|BP|=√1+k 218k 1+9k 2，将式子中的k >0换成−1k ， 得：|BQ|=18√1+k 2k 2+9． S △BPQ =12|BP||BQ|=12⋅18k√k 2+11+9k 2⋅18√k 2+1k 2+9 =12√k 2+118k 1+9k 2√1k 2+1181k 1+9k2=√k2+1√1k2+1162(1+9k2)(1+9k2)=(k+1k )16282+9(k2+1k2)，设k+1k=t，则t≥2．故S△BPQ=162t9t+64=1629t+64t≤2√9×64=278，取等条件为9t=64t即t=83，即k+1k =83，解得k=4±√73时，S△BPQ取得最大值278．【解析】(Ⅰ)设出椭圆的方程；利用椭圆的离心率，经过的点，求出a，b即可得到椭圆方程．(Ⅱ)直线BP的斜率存在且不为0.设直线BP的方程为y=kx+1，联立直线与椭圆方程，通过韦达定理以及弦长公式，表示三角形的面积，利用基本不等式转化求解最值即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．。

2020-2021学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷一、选择题：本卷共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝4B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝22．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1＝，若a1＝，则a10＝（）A．B．2C．1D．﹣13．（4分）已知双曲线的一个焦点在直线x+2y＝5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 4．（4分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0平行，则a＝（）A．2B．1C．D．5．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且有，则＝（）A．B．C．D．6．（4分）等比数列{a n}中，若a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，则a3的值为（）A．2B．±2C．D．±7．（4分）抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．58．（4分）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则实数a的值为（）A．B．C．D．9．（4分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5小题．每小题4分，共20分．10．（4分）抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是．11．（4分）设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1⊥l2，则实数m ＝．12．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．13．（4分）已知数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），则a n＝．14．（4分）若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是．三、解答题：本大题共4题，共44分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤．15．（10分）已知等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．16．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．17．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设左、右焦点分别为F1，F2，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若⊥，求直线l方程．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n，并证明：T n＜2．2020-2021学年天津市和平区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本卷共9小题，每小题4分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝4B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y+1）2＝4D．（x+1）2+（y﹣1）2＝2【解答】解：圆心为（1，﹣1），半径为2的圆的标准方程是：（x﹣1）2+（y+1）2＝4．故选：C．2．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1＝，若a1＝，则a10＝（）A．B．2C．1D．﹣1【解答】解：数列{a n}，满足a n+1＝，当a1＝时，解得a2＝2，当n＝2，解得，当n＝3时，解得，所以数列的周期为3．故．故选：A．3．（4分）已知双曲线的一个焦点在直线x+2y＝5上，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，而直线x+2y＝5与x轴交点为（5，0），则c＝5，进而有9+a2＝25，解可得a2＝16，则双曲线的方程为：，其渐近线方程为：y＝±x；故选：A．4．（4分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0平行，则a＝（）A．2B．1C．D．【解答】解：已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切，将点P（2，2）代入圆（x﹣1）2+y2＝5恒成立，则点P在圆上．即过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2＝5相切的切线只有一条，令过点P（2，2）的切线的方程为y﹣2＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+2＝0，由此切线与ax﹣y+1＝0平行，两直线的斜率相等且y轴截距不等，可得k＝a且﹣2k+2≠1；由圆心到切线的距离等于圆的半径，可得圆的半径r＝＝，k＝﹣，即a＝﹣；故选：C．5．（4分）已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且有，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：由等差数列的性质可得：＝＝＝＝．故选：C．6．（4分）等比数列{a n}中，若a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，则a3的值为（）A．2B．±2C．D．±【解答】解：由题意a2、a4是方程2x2﹣11x+8＝0的两根，故有a2a4＝4又{a n}为等比数列∴a2a4＝a32，∴a3＝±2．故选：B．7．（4分）抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y＝﹣1，∴点A到准线的距离为4+1＝5，根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，∴点A与抛物线焦点的距离为5，故选：D．8．（4分）已知圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0）的公共弦长为2，则实数a的值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝4和圆C2：x2+y2+2ay﹣6＝0（a＞0），则有，联立可得：y＝，即两圆公共弦所在直线的方程为y＝，圆C1：x2+y2＝4，其圆心为（0，0），半径r＝2，若公共弦的弦长为2，则圆C1的圆心C1到公共弦的距离d＝＝，又由a＞0，则有＝，解可得a＝，故选：A．9．（4分）设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设点P在x轴上方，坐标为，∵△F1PF2为等腰直角三角形∴|PF2|＝|F1F2|，即，即故椭圆的离心率e＝故选：D．二、填空题：本大题共5小题．每小题4分，共20分．10．（4分）抛物线y2＝﹣8x的焦点坐标是（﹣2，0）．【解答】解：∵抛物线方程y2＝﹣8x，∴焦点在x轴，p＝4，∴焦点坐标为（﹣2，0）故答案为（﹣2，0）．11．（4分）设直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，若l1⊥l2，则实数m＝．【解答】解：直线l1：x+my+6＝0和l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，由l1⊥l2，得3m+（m﹣2）＝0，即4m＝2，解得m＝．故答案为：．12．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为．【解答】解：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E为AB的中点，以D为原点，建立空间直角坐标系，如图∴B（1，2，0），C（0，2，0）E（1，1，0），D1（0，0，1），＝（0，1，0），＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，﹣1，1），设平面D1EC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，1，2），∴点B到平面D1EC的距离：d＝＝＝．故答案为：．13．（4分）已知数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），则a n＝2n﹣1．【解答】解：数列{a n}，a1＝1，a n+1＝a n+2n﹣1（n∈N*），所以，，…，，所以＝，所以．故答案为：2n﹣1．14．（4分）若直线y＝x+b与曲线y＝3﹣有公共点，则b的取值范围是[1﹣，3]．【解答】解：如图所示：曲线y＝3﹣，即y﹣3＝﹣，平方可得（x﹣2）2+（y﹣3）2＝4（1≤y≤3，0≤x≤4），表示以A（2，3）为圆心，以2为半径的一个半圆．由圆心到直线y＝x+b的距离等于半径2，可得＝2，∴b＝1+，或b＝1﹣．结合图象可得1﹣≤b≤3，故答案为：[1﹣，3]．三、解答题：本大题共4题，共44分，要求写出文字说明，解答过程或演算步骤．15．（10分）已知等差数列{a n}满足：a4＝7，a10＝19，其前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式a n及S n；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则，解得：a1＝1，d＝2，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，S n＝＝n2．（2）b n＝＝＝，∴数列{b n}的前n项和为T n＝+…+＝＝．16．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝2，E是PC的中点．（1）证明：P A∥平面BDE；（2）求平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值．【解答】解：（1）证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，∵ABCD为正方形，∴O是AC的中点，∵E是PC的中点，∴OE∥P A，∵P A⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴P A∥平面BDE．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，1，1），C（0，2，0），＝（2，2，0），＝（0，1，1），设平面BDE的法向量＝（x，y，z），则，设x＝1，则＝（1，﹣1，1），平面DEC的法向量＝（1，0，0），设平面BDE与平面DEC的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，∴平面BDE与平面DEC的夹角的余弦值为．17．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，过点（2，0）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设左、右焦点分别为F1，F2，经过右焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点，若⊥，求直线l方程．【解答】解：（Ⅰ）由e＝＝，且a＝2，则c＝1，b＝＝，故椭圆C的方程为+＝1；（Ⅱ）F1（﹣1，0），F2（1，0），设经过右焦点F2的直线l的方程为x＝my+1，与椭圆方程3x2+4y2＝12联立，可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，由⊥，即AF1⊥BF1，k•k＝•＝﹣1，即有（x1+1）（x2+1）+y1y2＝（my1+2）（my2+2）+y1y2＝（1+m2）y1y2+2m（y1+y2）+4＝（1+m2）•（﹣）+2m•（﹣）+4＝0，解得m＝±，则直线l的方程为x＝±y+1，即为y＝±（x﹣1）．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n，并证明：T n＜2．【解答】解：（1）数列{a n}的前n项和S n＝1﹣a n①．所以当n＝1时，．当n≥2时，S n﹣1＝1﹣a n﹣1②，①﹣②得：a n＝S n﹣S n﹣1＝a n﹣1﹣a n，整理得2a n＝a n﹣1，故（常数），所以数列{a n}是以为首项，为公比的等比数列；所以，首项符合通项，所以．证明：（2）设，所以①，②，①﹣②得：＝，所以．。

2020-2021学年天津市某校高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，在每个小题给出的4个选项中，只有一个是符合题目要求的）1. 若A，B，C，D为空间任意四个点，则+-＝（）A. B. C. D.2. 已知＝(2, −4, 2)，＝(1, a, 1)，且⊥，则a＝（）A.−3B.−2C.1D.23. 下列命题正确的是（）A.若与共线，与共线，则与共线B.若，，共面，则它们所在的直线共面C.若与平行，则存在唯一的实数λ，使得＝λD.零向量是模为0，方向任意的向量4. 在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，＝，＝，＝，E是BC的中点，用，，表示为（）A.+-B.+-C.--D.-+5. 已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为＝(1, −3, z)，向量＝(3, −2, 1)与平面α平行，则z等于（）A.3B.6C.−9D.96. 直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BCA=90∘，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC= CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A.1 10B.25C.√3010D.√227. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的余弦值为（）A.√63B.2√55C.√155D.√1058. 已知向量，，满足++＝，且||＝7，||＝5，||＝3，则与的夹角为（）A. B. C. D.9. 已知空间四个点A(−3, x, 3)，B(−2, −1, 4)，C(0, 3, 0)，D(1, 1, 1)在同个平面内，则实数x＝（）A.1B.−2C.0D.−1二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分）已知点P(1, 0, 2)，Q(1, −3, 1)，点M在y轴上，且M到P与到Q的距离相等，则M的坐标是________．已知A(1, −2, 5)，B(−2, 0, 3)，C(−1, 1, 0)，若＝2，则D的坐标为________．已知平面α，β的法向量分别为＝(−2, m, 1)，＝(n, 4, −2)，若α // β，则m−n＝________．已知，均为空间单位向量，且它们夹角为，则|4−5|＝________．已知＝(1, 5, −2)，＝(3, 1, c)，若＝(a, b, −7)，⊥，且⊥平面BCD，则＝________．已知三棱锥S−ABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为________．三、解答题（本大题共5个小题，满分0分.解答应写出文字说明.演算步骤或推理过程）如图所示的正四棱柱中，BC＝2，BB1＝4，M是棱CC1的中点．（1）求异面直线AM和CD所成的角的余弦值；（2）证明：平面ABM⊥平面A1B1M．如图所示的五面体中，A1A，B1B，C1C都与底面ABC垂直，且∠ABC＝120∘，A1A＝8，C1C＝2，AB＝BC＝B1B＝4．（1）证明：B1A⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面CBB1所成的角的正弦值．如图，正方形ABCD与梯形CDEF所在的平面互相垂直，CD⊥DE，CF // DE，CD＝CF＝2，DE＝4，G为AE的中点．（1）求证：FG // 平面ABCD；（2）求D点到平面FAE的距离；在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45∘，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．（1）求证：PB // 平面ACM；（2）求证：AD⊥平面PAC；（3）求二面角M−AC−D的正切值．在如图所示的多面体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC＝BC＝BD ＝2AE＝2，M是AB的中点．求证：CM⊥EM；(Ⅱ)求平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值；(Ⅲ)在棱DC上是否存在一点N，使得直线MN与平面EMC所成的角是60∘，若存在，指出点N的位置；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年天津市某校高二（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9个小题，每小题5分，在每个小题给出的4个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.【答案】A【考点】空间向量向量的线性运算性质及几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】C【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】A【考点】空间向量的基本定理及其意义空间向量的正交分解及其坐标表示【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】共线向量与共面向量【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】C【考点】异面直线及其所成的角【解析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BCA =90∘，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，设BC 的中点为O ，连结ON ，则MN = // 12B 1C 1=OB ， 则MNOB 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵ BC =CA =CC 1，设BC =CA =CC 1=2，∴ CO =1，AO =√5，AN =√5，MB =√B 1M 2+BB 12=√(√2)2+22=√6，在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO =AN 2+NO 2−AO 22AN⋅NO =62×√5×√6=√3010． 故选C .7.【答案】C【考点】直线与平面所成的角【解析】连接A1C1交B1D1于点O，连接BO，在长方体中由AB=BC=2，可得CO1⊥B1D1，由长方体的性质可证有OC1⊥BB1，且由直线与平面垂直的判定定理可得OC1⊥平面BB1D1D，则∠C1BO为则BC1与平面BB1D1D所成角在Rt△BOC1中，可求【解答】解：连接A1C1交B1D1于点O，连接BO由AB=BC=2，可得A1B1C1D1为正方形即CO1⊥B1D1由长方体的性质可知BB1⊥面A1B1C1D1，从而有OC1⊥BB1，且BB1∩B1D1=B1∴OC1⊥平面BB1D1D则∠C1BO为则BC1与平面BB1D1D所成角在Rt△BOC1中，OC1=√2，BC1=√5OB=√3∴cos∠OBC1=OBBC1=√3√5=√155故选C．8.【答案】B【考点】平面向量数量积坐标表示的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】A【考点】共线向量与共面向量【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分）【答案】(0, −1, 0)【考点】空间向量的夹角与距离求解公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】(−7, 5, −4)【考点】空间向量向量的线性运算性质及几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】−6【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】平面向量数量积坐标表示的应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】(11, −5, −7)【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】34【考点】直线与平面所成的角【解析】过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，由题设条件证出∠ABF即所求线面角．由数据求出其正弦值．【解答】解：过A作AE垂直于BC交BC于E，连接SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长2，∴AE=√3，AS=3，∴SE=2√3，AF=3，2∴sin∠ABF=3．4．故答案为：34三、解答题（本大题共5个小题，满分0分.解答应写出文字说明.演算步骤或推理过程）【答案】正四棱柱中，BC＝21＝4，M是棱CC1的中点．以A为原点，AB为x轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A(6, 0, 0)，2，2)，2，5)，2，0)，＝(8, 2, 2)，，5，0)，设异面直线AM和CD所成的角为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线AM和CD所成的角的余弦值为．证明：A(0, 2, 0)，0，3)，A1(0, 6, 4)，B1(4, 0, 4)，5，2)，＝(2, 4, 0)，，2，6)，，6，0)，，8，−2)，设平面ABM的法向量＝(x，y，则，取y＝1，得，6，−1)，设平面A1B3M的法向量＝(a，b，则，取b＝1，得，1，3)，∵＝01B5M．【考点】异面直线及其所成的角平面与平面垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明：∵∠ABC＝120∘，AB＝BC＝4，由勾股定理知，B1A2＝AB4+B1B2＝16+16＝32，＝AB4+＝16+16＝32，＝BC2+＝16+4＝20，＝AC2+＝48+4＝52，∴B7A2+＝64＝，B1A2+＝52＝，∴B1A⊥A2B1，B1A⊥B3C1，又A1B4∩B1C1＝B2，A1B1、B2C1⊂平面A1B4C1，∴B1A⊥平面A7B1C1．设点A到平面BCC7的距离为d，∵＝，∴CC1•AB⋅BC sin∠ABC＝BC⋅CC5，即d＝AB sin∠ABC＝，∴直线AC5与平面CBB1所成的角的正弦值为＝＝．【考点】直线与平面垂直直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明：取AD的中点H，连接GH，∵G，H分别是AE，∴GH // DE，GH＝，∵DE // CF，CF＝，∴GH // CF，GH＝CF，∴四边形GHCF是平行四边形，∴GF // CH，又GF⊄平面ABCD，∴GF // 平面ABCD．∵DE⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴DE⊥CD，DE⊥AD，∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又AD∩DE＝D，∴CD⊥平面ADE，∵CF // DE，CF⊄平面ADE，∴CF // 平面ADE，∴F到平面ADE的距离等于CD，故V F−ADE＝S△ADE⋅CD＝＝，连接AC，则AC＝，∴AF＝，AE＝，EF＝，∴AF8+EF2＝AE2，∴AF⊥EF，∴S△AEF＝＝5，设D到平面AEF的距离为ℎ，则V D−AEF＝＝，又V F−ADE＝V D−AEF，∴＝，解得ℎ＝，故D点到平面FAE的距离为．【考点】直线与平面平行点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】（1）证明：连接OM，BD，∵M，O分别为PD和AC中点，∴OM // PB，∵OM⊂平面ACM，PB⊄ACM平面，∴PB // 平面ACM…．（2）证明：由已知得PO⊥平面ABCD∴PO⊥AD，∵∠ADC=45∘，AD=AC=1，∴AC⊥AD，∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC，∴AD⊥平面PAC．…..（3）解：取DO中点N，连接MN，则MN // PO，∴MN⊥平面ABCD过点N作NE⊥AC于E，则E为AO中点，连接ME，由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M−AC−D的平面角，∵MN=1，NE=12∴tan∠MEN=2…..【考点】与二面角有关的立体几何综合题直线与平面平行的判定直线与平面垂直的判定【解析】（1）连接OM，BD，由M，O分别为PD和AC中点，知OM // PB，由此能够证明PB // 平面ACM．（2）由PO⊥平面ABCD，知PO⊥AD，由∠ADC=45∘，AD=AC=1，知AC⊥AD，由此能够证明AD⊥平面PAC．（3）取DO中点N，连接MN，由MN // PO，知MN⊥平面ABCD．过点N作NE⊥AC于E，由E为AO中点，连接ME，由三垂线定理知∠MEN即为所求，由此能求出二面角M−AC−D的正切值．【解答】（1）证明：连接OM，BD，∵M，O分别为PD和AC中点，∴OM // PB，∵OM⊂平面ACM，PB⊄ACM平面，∴PB // 平面ACM…．（2）证明：由已知得PO⊥平面ABCD∴PO⊥AD，∵∠ADC=45∘，AD=AC=1，∴AC⊥AD，∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC，∴AD⊥平面PAC．…..（3）解：取DO中点N，连接MN，则MN // PO，∴MN⊥平面ABCD过点N作NE⊥AC于E，则E为AO中点，连接ME，由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M−AC−D的平面角，∵MN=1，NE=12∴tan∠MEN=2…..【答案】证明：(Ⅰ)∵AC＝BC，M是AB的中点，又∵EA⊥平面ABC，CM⊥EA，∵EA∩AB＝A点，∴CM⊥平面AEM，∵EM⊂平面AEM，∴CM⊥EM．（2）如图，以M为原点，MC为x，建立如图所示的坐标系M−xyz，∴M(0, 0, 4)，，0)，0，1)，B（，0，0)，0，2)，＝（-，0，1)，，，0)，，，0)，＝(0, 6, 2)，设平面EMC的法向量＝(x，y，则，取x＝2，得，0，），设平面BCD的法向量＝(x，y，则，取x＝1，得，8，0)，设平面EMC与平面BCD所成的二面角的平面角为θ，则|cosθ|＝＝＝，sinθ＝＝．∴平面EMC与平面BCD所成的二面角的正弦值为．(Ⅲ)在棱DC上存在一点N，设N(x，y，且＝(5≤λ≤1)，∴(x−，y，z−6)＝λ(−），∴＝（，，y＝，∵直线MN与平面EMC所成角为60∘，∴cos<>＝，解得，∴存在点N符合条件，且N是棱DC的中点．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

2019-2020学年天津市部分区人教版四年级上册期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．看图写数。

写作：()写作：()2．地球表面海洋总面积约是362000000平方千米，省略亿位后面的尾数约是()亿平方千米。

3．6公顷＝()平方米10000公顷＝()平方千米4．一个等腰梯形的上底是8厘米，下底是6厘米，一条腰长7厘米，围成这个等腰梯形至少要()厘米长的铁丝。

5．我们呼吸需要的氧气大部分是绿色植物产生的。

一棵生长了50年的大树，每年可以产生960千克氧气，这棵树平均每个月可以产生()千克氧气。

6．复兴号动车组列车的速度最高可达350千米/时，如果以这样的速度行驶12小时，可以行驶()千米。

7．用一个正方形和一个三角形拼成一个梯形（如下图），如果∠1＋∠2＝130°，那么∠2＝()度。

8．跳远成绩是运动员落脚点到起跳线的距离。

丁丁跳了一次后，裁判员给他试量了三次，分别是118厘米、116厘米、121厘米，从中找到了丁丁的跳远成绩，丁丁的跳远成绩是()厘米。

9．王伯伯要把356千克苹果全部装进箱子里，每个箱子可以装18千克，他至少要准备()个箱子。

二、判断题11．要使45□999≈45万，□里可以填0、1、2、3、4这5个数字。

() 12．已知29÷5＝5……4，那么290÷50＝5……4。

()13．两条直线互相垂直，可以得到4个直角。

()14．如下图，已知a b ，则图中有2个梯形。

()15．125×35的积比125×25的积多了10个125。

()三、选择题16．下面各数中，一个零也不读的是（）。

A．70007000B．7000700C．7007000017．如果△÷○＝104，那么（△×2）÷○＝（）。

A．72B．104C．20818．下面的每组时刻中，钟面上的时针与分针组成的角大小不同的是（）。

天津市部分区2019-2020⼋年级上学期期末数学试卷及答案解析天津市部分区2019-2020⼋年级上学期期末数学试卷⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共36.0分）1. 下⾯四个图形中，属于轴对称图形的是( )A. B. C. D.2. 在△ABC 中，AB =5，AC =8，则BC 长可能是( )A. 3B. 8C. 13D. 143. 医学研究发现⼀种新病毒的直径约为0.000043毫⽶，则这个数⽤科学记数法表⽰为( )A. 0.43×10?4B. 0.43×104C. 4.3×10?4D. 4.3×10?5 4. 计算(23)2013×(?32)2014的结果是( )A. 23B. ?23C. 32D. ?32 5. 在式⼦3y x ，a π，3x+1，x+13，b 2b 中，分式有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，CE 平分∠ACD ，∠A =80°，∠B =40°，则∠ACE 的⼤⼩是( )A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°7. ⼀个多边形的内⾓和是外⾓和的2倍，这个多边形的边数为( )B. 6C. 7D. 88. 下列计算正确的是( )A. a 2?a 3=a 6B. (?2ab)2=4a 2b 2C. (a 2)3=a 5D. 3a 3b 2÷a 2b 2=3ab9. 如图，点E 、F 在AC 上，AD =BC ，AD//BC ，则添加下列哪⼀个条件后，仍⽆法判定△ADF≌△CBE 的是( )A. DF=BEB. ∠D=∠BC. AE=CFD.DF//BE10.如图，△ABC的⾯积为24，AD是BC边的中线，E为AD的中点，则△DCE的⾯积为()A. 5B. 6C. 7D. 811.如图，在长⽅形纸⽚ABCD中，AB=3，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在对⾓线AC上的点F处，若∠EAC=∠ECA，则AC的长是()A. 3√3B. 6C. 4D. 512.⼩明要到距家2000⽶的学校上学，⼀天⼩明出发8分钟后，他的爸爸从家出发，在距离学校200⽶的地⽅追上他，已知爸爸⽐⼩明的速度快80⽶/分，求⼩明的速度，若设⼩明的速度是x⽶/分，则根据题意所列⽅程正确的是()A. 1800x?80?1800x=8 B. 1800=8+1800x?80C. 1800x+80?1800x=8 D. 1800x=8+1800x+80⼆、填空题（本⼤题共6⼩题，共18.0分）13.在平⾯直⾓坐标系中，点A(1,?3)关于x轴的对称点的坐标为________．14.若分式x?12x+3有意义，则x的取值范围是______ ．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E，若CE=2，则AB的长为______16.(1)若m+n=10，mn=24，则m2+n2=____________．(2)若a?b=13，a2?b2=39，则(a+b)2=____________．17.如图，点D、E分别在等边△ABC的边BC、AC上，且AE=CD，AD与BE相交于点F，则∠BFD的度数为______ ．18.如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，△PMN 的周长最⼩值为______．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共46.0分）19.(1)分解因式：x3?x(2)分解因式：(x?2)2?2x+420.化简：(1)(4a?b)?(?2b)2(2)(x+2y?3)(x?2y+3)21.如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC=DE.求证：AB=CD．22.计算：m2?6m+9m2?4?m?2 3?m23.解分式⽅程：2x2?4?x2?x=1．24.某⼯⼚现在平均每天⽐原计划多⽣产50台机器，现在⽣产600台机器所需时间与原计划⽣产450机器所需时间相同，求该⼯⼚原来平均每天⽣产多少台机器？25.等腰Rt△ABC中，AC=AB，∠BAC=90°，点D、E是AC上两点且AD=CE，AF⊥BD于点G，交BC于点F，连接EF，求证：∠1=∠2-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A、不属于轴对称图形，故此选项错误；B、不属于轴对称图形，故此选项错误；C、属于轴对称图形，故此选项正确；D、不属于轴对称图形，故此选项错误；故选：C．根据轴对称图形的概念进⾏判断即可．本题考查的是轴对称图形的概念：如果⼀个图形沿⼀条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2.答案：B解析：本题考查了三⾓形三边的关系：三⾓形任意两边之和⼤于第三边；三⾓形的两边差⼩于第三边．根据三⾓形三边的关系得到3解：∵AB=5，AC=8，∴3故选：B．3.答案：D解析：本题考查⽤科学记数法表⽰较⼩的数，根据科学计数法的表⽰法则求解即可．解：0.000043=4.3×10?5，故选D.4.答案：C解析：解：原式=[23×(?32)]2013×(?32)=32．故选C．根据幂的乘⽅和积的乘⽅的运算法则求解．本题考查了幂的乘⽅和积的乘⽅，解答本题的关键是掌握幂的乘⽅和积的乘⽅的运算法则．5.答案：C解析：本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以aπ、x+13不是分式，是整式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．解：3yx ，3x+1，b2b是分式．故选C．6.答案：D解析：本题考查了三⾓形的外⾓性质及⾓平分线的定义，由三⾓形的外⾓性质可得∠ACD的度数，再根据⾓平分线性质即可求得∠ACE的⼤⼩．解：∵点D在△ABC边BC的延长线上，∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACD=120°∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=12∠ACD=60°，故答案选D．7.答案：B解析：解：设这个多边形是n边形，根据题意，得(n?2)×180°=2×360，解得：n=6．即这个多边形为六边形．故选：B．多边形的外⾓和是360°，则内⾓和是2×360=720°.设这个多边形是n边形，内⾓和是(n?2)?180°，这样就得到⼀个关于n的⽅程组，从⽽求出边数n的值．本题考查了多边形的内⾓与外⾓，熟记内⾓和公式和外⾓和定理并列出⽅程是解题的关键．根据多边形的内⾓和定理，求边数的问题就可以转化为解⽅程的问题来解决．8.答案：B解析：解：A、a2?a3=a5，故正确；B、正确；C、(a2)3=a6，故错误；D、3a2b2÷a2b2=3，故错误；故选：B．根据同底数幂的乘法、积的乘⽅、幂的乘⽅、整式的除法，即可解答．本题考查了同底数幂的乘法、积的乘⽅、幂的乘⽅、整式的除法，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法、积的乘⽅、幂的乘⽅、整式的除法的法则．9.答案：A解析：本题主要考查全等三⾓形的判定，掌握全等三⾓形的判定⽅法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL.由AD//BC可得∠A=∠C，再结合AD=BC，可再添加⼀组⾓相等，可添加AF=CE，可得出答案．解：∵AD//BC，∴∠A=∠C，且AD=BC，∴当DF=BE时，满⾜SSA，⽆法判定△ADF≌△CBE；当∠D=∠B时，满⾜ASA，可判定△ADF≌△CBE；当AE=CF时，可得AF=CE，满⾜SAS，可判定△ADF≌△CBE；当DF//BE时，可得∠AFD=∠BEC，满⾜AAS，可判定△ADF≌△CBE；故选A．10.答案：B解析：解：∵AD是BC边的中线，∴BD=CD，∵△ABC的⾯积为24，×S△ABC=12，∴S△ABD=S△ACD=12⼜∵E是AD中点，×S△ABD=6，∴S△ACE=S△DCE=12故选：B．×S△ABC=12，再由E是AD中点知S△ACE=S△DCE=由AD是BC边的中线知S△ABD=S△ACD=121×S△ABD=6．2本题考查了三⾓形的⾯积，主要利⽤了三⾓形的中线把三⾓形分成两个⾯积相等的三⾓形，原理为等底等⾼的三⾓形的⾯积相等．11.答案：B解析：本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质得到AF=AB，∠AFE=∠B=90°，根据等腰三⾓形三线合⼀的性质得到AF=CF，于是得到结论．解：∵将△ABE沿直线AE折叠，点B 恰好落在对⾓线AC上的点F处，∴AF=AB，∠AFE=∠B=90°，∴EF⊥AC，∵∠EAC=∠ECA，∴AE=CE，∴三⾓形ACE为等腰三⾓形，∴AF=CF，∴AC=2AB=6，故选B．12.答案：D解析：本题考查了由实际问题抽象出分式⽅程，分析题意后找到合适的等量关系是解决问题的关键．设⼩明的速度为x⽶/分，则爸爸的速度是(80+x)⽶/分，依据等量关系“⼩明⾛1800⽶的时间=爸爸⾛1800⽶的时间+8分钟”列出⽅程即可．解：设⼩明的速度为x⽶/分，则爸爸的速度是(80+x)⽶/分，依题意得：1800x =8+1800x+80．故选D．13.答案：(1,3)解析：解：点A(1,?3)关于x轴的对称点的坐标为：(1,3)．故答案为：(1,3)．直接利⽤关于x轴对称点的性质得出答案．此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．14.答案：x≠?32解析：【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义，则分母不等于零．根据分母不为零，得到关于x的不等式，即可求出x的取值范围．【解答】解：∵分式x?12x+3有意义，∴2x+3≠0．解得：x≠?32．故答案为：x≠?32．15.答案：4√3解析：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，ED⊥AB，∴∠A=∠EBA=30°，∴∠EBC=∠ABC?∠EBA=30°，⼜∵BC⊥AC，ED⊥AB，∴DE=CE=2．在直⾓三⾓形ADE中，DE=2，∠A=30°，∴AE=2DE=4，∴AD=√AE2?DE2=2√3，∴AB=2AD=4√3．故答案为：4√3．由ED是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线定理得到EA=EB，根据等边对等⾓可得∠A和∠ABE相等，由∠A的度数求出∠ABE的度数，得出∠EBC=∠EBA=30°，再由⾓平分线上的点到⾓的两边的距离相等得出DE=CE=2.由30°⾓所对的直⾓边等于斜边的⼀半，可得AE=2ED=4，由勾股定理求出AD，那么AB=2AD．此题考查了线段垂直平分线的性质，⾓平分线的性质，含30°⾓的直⾓三⾓形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握含30°⾓的直⾓三⾓形的性质，即在直⾓三⾓形中，30°⾓所对的直⾓边等于斜边的⼀半．16.答案：(1)52；(2)9．解析：本题考查了完全平⽅公式和平⽅差公式的应⽤，解题的关键是对公式正确的理解．(1)利⽤完全平⽅公式把条件整体代⼊整理即可求解．(2)利⽤平⽅差公式展开，求得a+b的值，再代⼊数据计算即可．解：(1)∵m+n=10，mn=24，∴m2+n2=(m+n)2?2mn=100?48=52；(2)：∵a2?b2=(a+b)(a?b)=13×(a+b)=39，∴a+b=3，∴(a+b)2=32=9．故本题答案为52；9．17.答案：60°解析：解：：∵△ABC是等边三⾓形，∴∠BAE=∠C=60°，AB=AC，在△ABE和△CAD中，{AB=CA∠BAE=∠C AE=CD，∴△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，∵∠BFD=∠ABE+∠BAF=∠CAD+∠BAF=60°，故答案为60°证明△ABE≌△CAD，推出∠ABE=∠CAD，由∠BFD=∠ABE+∠BAF=∠CAD+∠BAF=60°，即可解决问题．本题考查全等三⾓形的判定和性质、等边三⾓形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三⾓形解决问题，属于中考常考题型．18.答案：6解析：解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三⾓形，∴CD=OC=OD=6．∴△PMN的周长的最⼩值=PM+MN+PN=CM+MN+DN=CD=6，故答案为：6作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最⼩，证明△COD是等边三⾓形，即可解答．此题主要考查轴对称--最短路线问题，等边三⾓形的判定与性质，关键是做出对称点．19.答案：解：(1)原式=x(x2?1)=x(x+1)(x?1)；(2)原式=(x?2)2?2(x?2)=(x?2)(x?4)．解析：(1)⾸先提取公因式x，再利⽤平⽅差公式分解因式即可；(2)直接提取公因式(x?2)进⽽分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．20.答案：解：(1)原式=(4a?b)?4b2=16ab2?4b3；(2)原式=[x+(2y?3)][x?(2y?3)]=x2?(2y?3)2=x2?4y2+12y?9．解析：(1)先算乘⽅，再根据多项式乘以单项式法则算乘法即可；(2)先变形，再根据平⽅差公式进⾏计算，最后根据完全平⽅公式求出即可．本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进⾏化简是解此题的关键．21.答案：证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，∴∠ACE=∠ABC=∠CDE=90°，∴∠ACB+∠ECD=90°，∠ECD+∠CED=90°，∴∠ACB=∠CED．在△ABC和△CDE中，{∠ACB=∠CED BC=DE∠ABC=∠CDE，∴△ABC≌△CDE(ASA)，∴AB=CD．解析：证明△ABC≌△CDE(ASA)，可得出结论．本题考查了全等三⾓形的判定和性质；熟练掌握三⾓形全等的判定定理是解题的关键．22.答案：解：原式=(m?3)2(m+2)(m?2)×m?2(m3)=?m?3m+2．解析：先把分⼦、分母因式分解，再按分式乘法法则运算即可．本题考查了分式的乘法，理解和熟练运⽤分式的乘法法则是关键．注意分式运算的结果需化为整式或最简分式．23.答案：解：⽅程两边同乘(x2?4)，得2+x(x+2)=x2?4，整理得2+x2+2x=x2?4，2x=?6，x=?3，检验：当x=?3时，x2?4=5≠0，∴原⽅程的解为x=?3．解析：分式⽅程去分母转化为整式⽅程，求出整式⽅程的解得到x的值，经检验即可得到分式⽅程的解．此题考查了解分式⽅程，解分式⽅程注意要检验．24.答案：解：设该⼯⼚原来平均每天⽣产x台机器，则现在平均每天⽣产(x+50)台机器．根据题意得：600x+50=450x，解得：x=150．经检验知，x=150是原⽅程的根．答：该⼯⼚原来平均每天⽣产150台机器．解析：设原计划平均每天⽣产x台机器，则现在平均每天⽣产(x+50)台机器，根据⼯作时间=⼯作总量÷⼯作效率结合现在⽣产600台机器所需要时间与原计划⽣产450台机器所需时间相同，即可得出关于x的分式⽅程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式⽅程的应⽤，找准等量关系，正确列出分式⽅程是解题的关键．25.答案：证明：过点C作CH⊥AC，交AF的延长线于点H，⼜∵∠BAC=90°，∴∠HCA=∠DAB=90°，∵∠BAC=90°，AG⊥BD，∴∠DAG+∠1=90°，∠ABD+∠1=90°，∴∠ABD=∠CAH，⼜∵AB=CA，∠HCA=∠DAB，∴△ABD≌△CAH，∴AD=CH，∠1=∠H，⼜∵AD=CE，∴CH=CE，∵∠ACB=45°，∠ACH=90°，∴∠BCH=∠ACB=45°，⼜∵FC=FC，CH=CE，∴△ECF≌△HCF，∴∠2=∠H，⼜∵∠1=∠H，∴∠1=∠2．解析：本题主要考查的是等腰三⾓形的性质，全等三⾓形的判定及性质的有关知识，作辅助线构建全等三⾓形和直⾓三⾓形，证明△ABD≌△CAH，得AD=CH，∠1=∠H；得出CE=CH，所以继续证明△ECF≌△HCF，得∠2=∠H，从⽽得出结论．。

2022-2023学年天津市河东区高二（上）期末数学试卷1. 双曲线x 23−y 22=1的焦点坐标是( )A. (±1,0)B. (±√5,0)C. (0,±1)D. (0,±√5)2. 抛物线y 2=−2x 的准线方程为( ) A. x =−1B. x =1C. x =−12 D. x =12 3. 等轴双曲线的一个焦点是F 1(−6,0)，则其标准方程为( ) A.x 29−y 29=1B.y 29−x 29=1C. y 218−x 218=1D. x 218−y 218=14. 已知抛物线x 2=2py(p >0)上一点M(m,1)到焦点的距离为32，则其焦点坐标为( ) A. (0,12)B. (12,0)C. (14,0)D. (0,14)5. 若点P(1,2)在双曲线x 2a 2−y 2=1(a >0))的一条渐近线上，则它的离心率为( ) A. √52 B. 2 C. √5 D. 2√56. 下列四个数中，哪个是数列{n(n +1)}中的一项( )A. 380B. 392C. 321D. 2327. 已知等比数列{a n }，满足log 2a 2+log 2a 13=1，且a 5a 6a 8a 9=16，则数列{a n }的公比为( )A. 2B. 12C. ±2D. ±128. 已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，若a 82−a 7−a 9=3，则S 15−a 8的值为( )A. 3B. 14C. 28D. 429. 九连环是一种流传于我国民间的传统智力玩具．它用九个圆环相连成串，以解开为胜．它在中国有近两千年的历史，《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．周邦彦也留下内关于九连环的名句“纵妙手、能解连环．”九连环有多种玩法，在某种玩法中：已知解下1个圆环最少需要移动圆环1次，解下2个圆环最少需要移动圆环2次，记a n (3≤n ≤9,n ∈N ∗)为解下n 个圆环需要移动圆环的最少次数，且a n =a n−2+2n−1，则解下8个圆环所需要移动圆环的最少次数为( )A. 30B. 90C. 170D. 34110. 设F 1，F 2为双曲线C ：x 29−y 24=1的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，且|PF 1|=4，则|PF 2|=______.11. 已知数列{a n }满足2a n =a n−1+a n+1(n ≥2,n ∈N ∗)，a 2+a 4+a 6=12，a 1+a 3+a 5=9，则a 2+a 5等于______.12. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n+1=2S n +1(n ∈N ∗)，则a 5=______. 13. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +3n (n ∈N ∗)，则{a n }的通项公式a n =______. 14. 设等差数列{a n }满足a 1=1，a n >0(n ∈N ∗)，其前n 项和为S n ，若数列{√S n }也为等差数列，则a n =______；S n+10a n2的最大值是______. 15. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)与圆O ：x 2+y 2=5交于A ，B 两点，且|AB|=4，直线l 过C 的焦点F ，且与C 交于M ，N 两点，给出下列命题： ①若直线l 的斜率为√33，则|MN|=8；②|MF|+2|NF|的最小值为3+2√2； ③若以MF 为直径的圆与y 轴的公共点为(0,√62)，则点M 的横坐标为32；④若点G(2,2)，则△GFM 周长的最小值为4+√5.其中真命题的序号为______(把所有正确命题的序号都填在横线上).16. 已知双曲线的方程为4x 2−y 2=4，写出它的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程．17. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点分别是F 1、F 2，左右顶点分别是A ，B.(1)若椭圆C 上的点M(1,32)到F 1，F 2两点的距离之和等于4，求此椭圆C 的方程；(2)若P 是椭圆C 上异于A ，B 的任一点，记直线PA 与PB 的斜率分别为k 1、k 2，且k 1⋅k 2=−12，试求椭圆C 的离心率．18. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，数列{b n }是公比为2的等比数列，a 2是a 1，a 5的等比中项，b 3−a 3=3，b 1=2a 1. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .19. 已知P(23,2√63)是椭圆C ：x 2a2+y 2b2=1(a >b >0)与抛物线E ：y 2=2px(p >0)的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F. (1)求椭圆C 及抛物线E 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上的两个不同点，若直线OA ，OB 的斜率之积为−34(注：O 为坐标原点)，点M 是线段OA 的中点，连接BM 并延长交椭圆C 于点N ，求|BM||MN|的值．20. 已知数列{a n}满足：a1=2，na n+1+(n+1)=(n+2)a n+(n+1)3.}是等差数列；(Ⅰ)证明：数列{a nn(n+1)(Ⅰ)设b n=n(n+2)，求数列{b n}的前n项和S n.2n+1a n答案和解析1.【答案】B【解析】解：由双曲线x 23−y22=1，可得c=√3+2=√5，∴焦点坐标是(±√5,0)，故选：B.由双曲线x 23−y22=1，可得c=√3+2，即可得出焦点坐标．本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵抛物线y2=−2x，∴抛物线的焦点在x轴上，开口向左，且p=1，∴准线方程是x=12故选：D.先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得准线方程．本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查根据抛物线的标准方程求准线方程，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：设等轴双曲线方程为x2−y2=a(a>0)，化成标准方程：x 2a −y2a=1，由标准方程得：c=√2a=6，∴a=18，∴所求的等轴双曲线方程为x2−y2=18，故选：D.设出等轴双曲线的方程，把双曲线经过的点的坐标代入方程，求出待定系数，进而得到所求的双曲线的方程．本题考查利用待定系数法求双曲线的方程、考查双曲线三参数的关系c2=a2+b2.4.【答案】A【解析】解：∵抛物线C：x2=2py(p>0)上的一点M(m,1)到焦点F的距离为32，∴1+p2=32，∴p=1，∴抛物线的焦点坐标为：(0,12).故选：A.根据抛物线的定义，可得1+p2=32，求出p，即可求抛物线C的焦点坐标；本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积是计算，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：双曲线x 2a2−y2=1的渐近线方程y=±xa，因为点P(1,2)在双曲线x 2a2−y2=1的一条渐近线上，所以2=1a ，所以a=12，它的离心率为ca =√(12)2+112=√5.故选：C.求出双曲线的渐近线方程，代入点的坐标，求解a，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．6.【答案】A【解析】解：由题意，令n(n+1)=380，解得n=19，故A正确，再令n(n+1)=392，n(n+1)=321，n(n+1)=232，均无整数解，故BCD都错误．故选：A.分别令选项中的数值为n(n+1)，求出n是自然数时的这一项，即可得到答案．本题考查数列的函数特性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】B【解析】解：设{a n}公比为q，∵log2a2+log2a13=log2(a2a13)=1=log22，∴a2a13=2且a2，a13>0，∴a13=a2q11>0，则q>0，∵a2a13=a6a9=2，a5a6a8a9=16，∴a5a8=8，∴a6a9 a5a8=a5q×a8qa5a8=q2=14，解得q=12.故选：B.根据已知条件，结合对数运算性质，以及等比数列性质，即可求解．本题主要考查对数运算性质，以及等比数列性质，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：正项等差数列{a n}，则a n>0，若a82−a7−a9=3，则a82=a7+a9+3=2a8+3，解得a8=3或a8=−1(舍)，则S15−a8=(a1+a15)×152−a8=2a8×152−a8=14a8=42.故选：D.根据等差数列的性质得a7+a9=2a8，则可由已知等式求a8的值，从而利用求和公式和等差数列性质求S15−a8得值．本题主要考查等差数列的前n项和，等差数列的性质，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意知：a8=a6+27，a6=a4+25，a4=a2+23=2+23=10，所以a8=2+23+25+27=170.故选：C.直接利用数列的递推关系式求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．10.【答案】10【解析】解：双曲线C：x 29−y24=1，可得a=√9=3，∵P为双曲线C上一点，且|PF1|=4<2a=6，∴P为双曲线C左支上一点，则|PF2|=|PF1|+2a=4+6=10，故答案为：10.双曲线C：x 29−y24=1，可得a=√9=3，根据P为双曲线C上一点，且|PF1|=4<2a=6，即可判断出点P的位置，再根据双曲线的定义即可得出结论．本题考查了双曲线的定义与标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】7【解析】解：∵数列{a n }满足2a n =a n−1+a n+1(n ≥2,n ∈N ∗)， ∴数列{a n }是等差数列， ∴a 6+a 1=a 3+a 4=a 2+a 5， ∵a 2+a 4+a 6=12，a 1+a 3+a 5=9， ∴3(a 2+a 5)=12+9，解得a 2+a 5=7. 故答案为：7.数列{a n }满足2a n =a n−1+a n+1(n ≥2,n ∈N ∗)，可得数列{a n }是等差数列，利用性质可得a 6+a 1=a 3+a 4=a 2+a 5，结合已知条件即可得出结论．本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】81【解析】解：∵a n+1=2S n +1(n ∈N ∗)，∴n ≥2时，a n =2S n−1+1，相减可得a n+1−a n =2(S n −S n−1)=2a n ， ∴a n+1=3a n ，∵数列{a n }是等比数列，因此n =1时也成立． ∴n =1时，a 2=3a 1=2a 1+1，解得a 1=1， 则a 5=34=81. 故答案为：81.a n+1=2S n +1(n ∈N ∗)，n ≥2时，a n =2S n−1+1，相减可得a n+1=3a n ，根据数列{a n }是等比数列，n =1时也成立．即可得出a 1，进而得出a 5.本题考查了数列的递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】3n −12【解析】解：∵数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +3n (n ∈N ∗)，即n ≥2时，a n −a n−1=3n−1， ∴a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+…+(a 2−a 1)+a 1 =3n−1+3n−2+…+32+3+1 =1−3n 1−3=3n −12， 故答案为：3n −12. 数列{a n }满足a 1=1，a n+1=a n +3n (n ∈N ∗)，即n ≥2时，a n −a n−1=3n−1，利用a n =(a n −a n−1)+(a n−1−a n−2)+…+(a 2−a 1)+a 1，及其等比数列的求和公式即可得出结论．本题考查了数列的递推关系、等比数列的求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.【答案】2n−1121【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=1，a n>0，∴d≥0，∴S1=1，S2=2+d，S3=3+3d，∵数列{√S n}也为等差数列，∴2√S2=√S1+√S3，即2√2+d=1+√3+3d，两边同时平方得，4(2+d)=1+3+3d+2√3+3d，即d+4=2√3+3d，两边同时平方得，d2+8d+16=4(3+3d)，即(d−2)2=0，故d=2；故a n=a1+(n−1)d=2n−1，S n+10=(n+10)(1+2(n+10)−1)2=(n+10)2，a n2=(2n−1)2，故S n+10a n2=(n+102n−1)2=(12+212(2n−1))2，故当n=1时，12+212(2n−1)取得最大值11，故S n+10a n2的最大值是121，故答案为：2n−1，121.设等差数列{a n}的公差为d，从而可得2√2+d=1+√3+3d，从而解得d=2；再代入化简即可求解．本题考查了等差数列的性质的应用，属于中档题．15.【答案】②③【解析】解：由圆和抛物线的对称性可知点(1,2)在抛物线C：y2=2px(p>0)上，所以4=2p，解得p=2，所以抛物线C：y2=4x，F(1,0)，设直线l：x=my+1，与y2=4x联立得y2−4my−4=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，所以y1+y2=4m，y1y2=−4，所以|MN|=√1+m2|y1−y2|=√1+m2√(y1+y2)2−4y1y2=4(1+m2)，当m=√3时，|MN|=16，①错误；1|MF|+1|NF|=1x 1+1+1x 2+1=x 1+x 2+2x 1x 2+x 1+x 2+1=4(y 1+y 2)+4(y 1y 2)216+m(y 1+y 2)+3=4m 2+44m 2+4=1，则|MF|+2|NF|=(|MF|+2|NF|)(1|MF|+1|NF|)=3+2|NF||MF|+|MF||NF|≥3+2√2，当且仅当|MF|=1+√2，|NF|=1+√22时等号成立，②正确；如图，过M 作准线的垂线，垂足为M′，交y 轴于M 1，取MF 中点为D ，过D 作y 轴的垂线，垂足为D 1， 则MM 1//OF ，DD 1为梯形OFMM 1的中位线，由抛物线的定义可得|MM 1|=|MM′|−|M 1M′|=|MF|−1， 所以|DD 1|=|OF|+|MM 1|2=1+|MF|−12=|MF|2，所以点(0,√62)为直径的圆与y 轴相切，所以点(0,√62)为圆与y 轴的切点，所以D 点的纵坐标为√62， 又D 为MF 中点，所以M 点纵坐标为√6，又点M 在抛物线上，所以M 点横坐标为32，③正确； 过G 作DH 垂直于准线，垂足为H ，所以△GFM 的周长为|MG|+|MF|+|GF|=|MG|+|MM′|+√5≥|GH|+√5=3+√5， 当且仅当点M 的坐标为(1,2)时取等号，④错误． 故答案为：②③．首先求出抛物线的解析式，设出M ，N 的坐标，联立进行求解，当m =√3时，|MN|=16进而判断①错误；再根据韦达定理和不等式求最小值后判断②；画出大致图像，过点M 作准线的垂线，垂足为M′，交y 轴于M 1，结合抛物线的定义判断③；过G 作GH 垂直于准线，垂足为H ，利用抛物线的性质判断④即可．本题主要考查了直线与抛物线相交的问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】解：双曲线的方程为4x 2−y 2=4，化为x 2−y 24=1，可得a =1，b 2=4，(b >0)，c =√a 2+b 2， 解得a =1，b =2，c =√5，∴顶点坐标为(±1,0)，焦点坐标为(±√5,0)，实半轴长为1，虚半轴长为2，渐近线方程为y =±2x. 【解析】双曲线的方程为4x 2−y 2=4，化为x 2−y 24=1，可得a =1，b 2=4，(b >0)，c =√a 2+b 2，解得a ，b ，c ，即可得出结论．本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.【答案】(1)解：椭圆C 上的点M(1,32)到F 1，F 2两点的距离之和等于4，由椭圆的定义可知，2a =4，所以a =2， 将点M(1,32)坐标代入方程x 24+y 2b2=1，得b 2=3，所以所求方程为x 24+y 23=1；(2)解：设点P 坐标为(x 0,y 0)，则x 02a 2+y 02b2=1，所以y 02=b2a 2(a 2−x 2)，又A(−a,0)，B(a,0)， ∴k 1⋅k 2=y 0x 0+a ⋅yx 0−a=y 02x 02−a 2=b 2a 2(a 2−x 2)x 022−a 2=−b2a2， 又k 1⋅k 2=−12，所以b 2a2=12，即a =√2b ，又a 2=b 2+c 2，所以c =b ， 所以椭圆的离心率e =ca =√2b=√22.【解析】(1)根据椭圆的定义先确定a 的值，再将点M 坐标代入方程得b 2，即可得到椭圆的标准方程；(2)设点P 坐标为(x 0,y 0)，化简得y 02=b 2a2(a 2−x2)，得到b2a 2=12，从而求出离心率．本题考查了椭圆的方程和离心率的计算，属于中档题．18.【答案】解：(1)根据题意可得{a 22=a 1a 5b 3−a 3=3b 1=2a 1，∴{(a 1+d)2=a 1(a 1+4d)4b 1−a 1−2d =3b 1=2a 1，解得{a 1=1b 1=2d =2，∴a n =1+(n −1)×2=2n −1，b n =2n ；(2)由(1)知a n b n =(2n −1)2n ，∴S n =1⋅2+3⋅22+⋅⋅⋅+(2n −1)⋅2n ，∴2S n =1⋅22+3⋅23+⋅⋅+(2n −3)⋅2n +(2n −1)⋅2n+1，两式相减可得−S n =2+2⋅22+2⋅23+⋅⋅⋅+2⋅2n −(2n −1)⋅2n+1，∴−S n =2+2[22(1−2n−1)1−2]−(2n −1)⋅2n+1=(3−2n)⋅2n+1−6，∴S n =(2n −3)⋅2n+1+6.【解析】(1)先根据题意建立方程组，从而解得a 1，d ，b 1，再根据等差数列与等比数列的通项公式即可求解；(2)根据错位相减法即可求解．本题考查方程思想，等差数列与等比数列的通项公式的应用，错位相减法求和，属中档题．19.【答案】解：(1)∵P(23,2√63)是抛物线E ：y 2=2px(p >0)上的点， ∴(2√63)2=2p ×23， ∴p =2，故抛物线E 的方程为y 2=4x ，F(1,0)，∴在椭圆C 中，a 2−b 2=1，又∵P(23,2√63)在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1上，∴49a 2+83b 2=1，即49(1+b 2)+83b 2=1，解得b 2=3，所以a 2=4，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1，抛物线E 的方程为y 2=4x.(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，N(x 3,y 3)，|BN||BM|=λ(λ>0)，∵点M 是线段OA 的中点，∴M(x 12,y 12)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 12−x 2,y 12−y 2)，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3−x 2,y 3−y 2)，BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(x 3−x 2,y 3−y 2)=λ(x 12−x 2,y12−y 2)，即{x 3=λ2x 1+(1−λ)x 2y 3=λ2y 1+(1−λ)y 2，所以N(λ2x 1+(1−λ)x 2,λ2y 1+(1−λ)y 2)， ∵点N(x 3,y 3)在椭圆C 上，∴[λ2x 1+(1−λ)x 2]24+[λ2y 1+(1−λ)y 2]23=1 ∴λ24(x 124+y 123)+(1−λ)2(x 224+y 223)+λ(1−λ)(x 1x 24+y 1y 23)=1，又点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)在椭圆C 上，OA ，OB 斜率之积为−34，∴x 124+y 123=1，x 224+y 223=1，x 1x 24+y 1y 23=0， ∴λ24+(1−λ)2=1，∴5λ2−8λ=0，∴λ=85或λ=0(舍)， ∴|BN||BM|=85，∴|BM||MN|=53. 【解析】(1)将P 点坐标代入抛物线的方程，求出p 的值，即可求出抛物线方程，求其焦点即可得c 的值，然后可得a 2−b 2=1，再将点P 代入椭圆方程即可求解；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),N(x 3,y 3),|BN||BM|=λ(λ>0)，然后利用向量用A 和B 点坐标表示出N 点坐标，并将N 点代入椭圆方程并化简整理，再结合OA ，OB 斜率之积为−34即可求解． 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．20.【答案】(Ⅰ)证明：依题意，由na n+1+(n +1)=(n +2)a n +(n +1)3，可得na n+1−(n +2)a n =(n +1)3−(n +1)=n(n +1)(n +2)，两边同时乘以1n(n+1)(n+2)， 可得a n+1(n+1)(n+2)−a n n(n+1)=1，∵a 11⋅2=22=1，∴数列{a n n(n+1)}是以1为首项，1为公差的等差数列． (Ⅰ)解：由(Ⅰ)，可得a n n(n+1)=1+1⋅(n −1)=n ，则a n =n 2(n +1)，故b n =n(n+2)2n+1a n =n(n+2)2n+1⋅n 2(n+1)=n+2n(n+1)⋅2n+1=1n⋅2n −1(n+1)⋅2n+1，∴S n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n=11⋅21−12⋅22+12⋅22−13⋅23+⋅⋅⋅+1n ⋅2n −1(n +1)⋅2n+1 =11⋅21−1(n +1)⋅2n+1=12−1(n+1)⋅2n+1.【解析】(Ⅰ)先将题干中的递推公式进行转化，再将等式两边同时乘以1n(n+1)(n+2)，进一步推导即可发现数列{a nn(n+1)}是以1为首项，1为公差的等差数列，从而证明结论成立；(Ⅰ)先根据第(Ⅰ)题的结果计算出数列{a nn(n+1)}的通项公式，以及数列{a n}的通项公式，再计算出数列{b n}的通项公式，最后运用裂项相消法即可计算出前n项和S n.本题主要考查数列由递推公式推导出通项公式，以及运用裂项相消法求前n项和问题．考查了整体思想，转化与化归思想，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．。

2020-2021学年天津市滨海新区高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知直线x−√3y−2=0，则该直线的倾斜角为()A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.经过A(0,2)，B(1,0)两点的直线的方向向量为(1,k)，则k的值是()A. −1B. 1C. −2D. 23.抛物线x2=2y的焦点坐标是()A. (12 , 0) B. (0 , 12) C. (1,0) D. (0,1)4.等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5=8，S3=6，则S10−S7的值是()A. 24B. 48C. 60D. 725.已知等比数列{a n}中，a1=7，a4=a3a5，则a7=()A. 19B. 17C. 13D. 76.某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第一天只得到10元，之后采取了积极措施，从第二天起每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为()A. 15天B. 16天C. 17天D. 18天7.圆C1：x2+y2=9与圆C2：(x−1)2+(y+2)2=36的位置关系是()A. 相交B. 相离C. 内切D. 内含8.已知A为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为15，到y轴的距离为12，则p的值为()A. 3B. 6C. 9D. 129.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=10，公差d=−3.5，S n取得最大值时n的值为()A. 3B. 4C. 5D. 610.如图，在四面体OABC中，D是BC的中点，G是AD的中点，则OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于()A. 13OA⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC⃗⃗⃗⃗⃗B. 12OA⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC⃗⃗⃗⃗⃗C. 12OA⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC⃗⃗⃗⃗⃗D. 14OA⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16OC⃗⃗⃗⃗⃗11.已知⊙C：x2+y2−2x−2y−2=0，直线l：x+2y+2=0，M为直线l上的动点，过点M作⊙C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为()A. x+2y−1=0B. x+2y+1=0C. x−2y−1=0D. x−2y+1=012.已知F1、F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，且|F1F2|=2b2a，点P为双曲线右支一点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2成立，给出下列结论：①当PF2⊥x轴时，∠PF1F2=30°；②离心率e=1+√52；③λ=√5−12；④点I 的横坐标为定值a ． 上述结论正确的是( )A. ①②B. ②③C. ①③④D. ②③④二、单空题（本大题共8小题，共40.0分）13. 已知直线l 与平面α平行，直线l 的一个方向向量为u ⃗ =(1,3,z)，向量v ⃗ =(4,−2,1)与平面α垂直，则z =______ ．14. 若直线x =3与圆x 2+y 2−2x −a =0相切，则a =______． 15. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n =1+1a n−1(n ∈N ∗)，则a 4= ______ ．16. 已知方程x 2m+2−y 2m+1=1表示双曲线，则实数m 的取值范围为______ ．17. 在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，求点B 到直线AC 1的距离为______ ．18. 已知抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F ，并且经过点M(2,−2√2)，经过焦点F 且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则p = ______ ，线段AB 的长为______ ． 19. 已知数列{a n }为等比数列，a 1=32，公比q =12，若T n 是数列{a n }的前n 项积，则当n = ______ 时，T n有最大值为______ ． 20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F(c,0)，点P 在椭圆C 上，线段PF 与圆(x −c3)2+y 2=b 29相切于点Q ，且PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆C 的离心率为______ ．三、解答题（本大题共4小题，共50.0分）21. 已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点A(−3,0)，B(−1,2)．(Ⅰ)求圆C 的标准方程；(Ⅱ)过点P(0,2)斜率为34的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，求弦MN 的长．22. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，PD =DC ，F ，G 分别是PB ，AD 的中点． (Ⅰ)求证：GF ⊥平面PCB ；(Ⅱ)求平面PAB 与平面PCB 的夹角的大小； (Ⅲ)在线段AP 上是否存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30°？若存在，求出M 点坐标，若不存在，请说明理由．23.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若b n=3n−1，令c n=a n⋅b n+1a n⋅a n+1，求数列{c n}的前n项和T n．24.如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=12，左顶点为A(−4,0)，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E．(1)求椭圆C的方程；(2)已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存在说明理由；(3)若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求AD+AEOM的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】 【分析】设该直线的倾斜角为α，利用斜率与倾斜角的关系k =tanα即可得出． 本题考查了斜率与倾斜角的关系k =tanα，属于基础题． 【解答】解：设该直线的倾斜角为α，由直线x −√3y −2=0，变形为y =√33x −2√33． ∴tanα=√33， ∵α∈[0°,180°)， ∴α=30°． 故选：A ． 2.【答案】C【解析】解：经过A(0,2)，B(1,0)两点的直线的方向向量为(1,k)， ∴2−00−1=k1，解得：k =−2， 故选：C ．根据直线的斜率公式即可求出．本题考查了直线的斜率公式和直线的方向向量，属于基础题． 3.【答案】B【解析】解：根据抛物线的定义可得，x 2=2y 的焦点坐标(0,12) 故选B ．根据抛物线的定义可得，x 2=2py(p >0)的焦点坐标(0,p2)可直接求解 本题主要考查了抛物线的简单的性质，属于基础试题． 4.【答案】B【解析】 【分析】利用条件a 5=8，S 3=6，计算等差数列的首项，公差，进而可求S 10−S 7的值 本题以等差数列为载体，考查等差数列的通项，考查数列的和，属于基础题． 【解答】解：设等差数列的首项为a 1，公差为d ∵a 5=8，S 3=6，∴{a 1+4d =8a 1+a 1+d +a 1+2d =6 ∴{a 1=0d =2∴S 10−S 7=a 8+a 9+a 10=3a 9=3(a 1+8d )=48， 故选B ． 5.【答案】B【解析】解：等比数列{a n }中，a 1=7，由a 4=a 3a 5=a 42，解得a 4=1，a 4=0(舍去)， ∴a 4=a 1q 3， ∴q 3=17，∴a 7=a 1q 6=7×(17)2=17，故选：B ．先根据等比数列的性质求出a 4，再根据通项公式求出首项，即可求出a 7的值．本题考查了等比数列的性质和通项公式，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于基础题． 6.【答案】A【解析】解：由题意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元， 募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列， 根据题意，设共募捐了n 天，则1200=10n +n(n−1)2×10，解得n =15或−16(舍去)，所以n =15， 故选：A ．由题意可得募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，设共募捐了n 天，然后建立关于n 的方程，求出n 即可．本题考查了根据实际问题建立数学模型，涉及到等差数列的性质，属于基础题． 7.【答案】D【解析】解：由题知C 1(0,0)，r 1=3，C 2(1,−2)，r 2=6， 属于圆心距|C 1C 2|=√(1−0)2+(−2−0)2=√5， 因为r 2−r 1=3，所以|C 1C 2|<r 2−r 1， 所以圆C 1和圆C 2的位置关系是内含． 故选：D ．由两个圆的方程可得圆心坐标及半径，求出圆心距可得小于两个半径之差，可得两圆内含． 本题考查圆的位置关系的判断，属于基础题． 8.【答案】B【解析】解：根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等， 则有12+p2=15，解得p =6．故选：B ．直接利用抛物线的定义分析求解即可．本题考查了抛物线的应用，涉及了抛物线定义的运用，解题的关键是掌握抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等． 9.【答案】A【解析】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=10，公差d =−3.5， ∴a n =10+(n −1)×(−3.5)=13.5−3.5n ，故{a n }是一个单调递减的等差数列，故所有的正项的和最大． 令13.5−3.5n >0，求得n >277，故前3项为正数，从第四项开始为负数， S n 取得最大值时n 的值为3， 故选：A ．由题意利用等差数列的性质，等差数列的前n 项和，求得S n 取得最大值时n 的值． 本题主要考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和，属于基础题． 10.【答案】C【解析】解：在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点， 则OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). ∴OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +14OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：C ．在四面体OABC 中，D 是BC 的中点，G 是AD 的中点，可得OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ).即可得出．本题考查了空间向量运算性质、平面向量平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11.【答案】B【解析】解：⊙C ：x 2+y 2−2x −2y −2=0的标准方程为(x −1)2+(y −1)2=4， 则圆心C(1,1)，半径r =2．因为四边形MACB 的面积S =2S △CAM =|CA|⋅|AM|=2|AM|=2√|CM|2−4， 要使四边形MACB 面积最小，则需|CM|最小，此时CM 与直线l 垂直，直线CM 的方程为y −1=2(x −1)，即y =2x −1，联立{y =2x −1x +2y +2=0，解得M(0,−1).则|CM|=√5则以CM 为直径的圆的方程为(x −12)2+y 2=54，与⊙C 的方程作差可得直线AB 的方程为x +2y +1=0． 故选：B ．由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB 的面积S =2S △CAM =|CA|⋅|AM|=2|AM|=2√|CM|2−4，要使四边形MACB 面积最小，则需|CM|最小，此时CM 与直线l 垂直，求得以CM 为直径的圆的方程，再与圆C 的方程作差可得AB 所在直线方程． 本题主要考查直线与圆位置关系的应用，考查圆的切线方程及过圆两切点的直线方程的求法，属于中档题．【解析】解：当PF2⊥x轴时，可得|PF2|=b2a =c=12|F1F2|，此时tan∠PF1F2=12，故选项①错误；因为|F1F2|=2b2a，所以2c=2b2a =2c2−2a2a，整理可得c2−ac−a2=0，即e2−e−1=0，所以e=1+√52，故选项②正确；设△PF1F2的内切圆半径为r，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a，|F1F2|=2c，其中S△IPF1=12|PF1|⋅r，S△IPF2=12|PF2|⋅r，S△IF1F2=122c⋅r，因为S△IPF1=S△IPF2+λS△IF1F2，所以12|PF1|⋅r=12|PF2|⋅r+12⋅2c⋅λ⋅r，解得λ=|PF1|−|PF2|2c =ac=1e=√5−12，故选项③正确；设内切圆与PF1，PF2，F1F2的切点分别为M，N，T，可得|PM|=|PN|，|F1M|=|F1T|，|F2N|=|F2T|，因为|PF1|−|PF2|=|F1M|−|F2N|=|F1T|−|F2T|=2a，|F1F2|=|F1T|+|F2T|=2c，可得|F2T|=c−a，则点T的坐标为(a,0)，所以I点的横坐标为a，所以④正确；故正确的是②③④．故选：D．利用双曲线的定义、几何性质以及新定义对选项逐一分析判断即可．本题以命题的真假为载体考查了双曲线的应用，涉及了双曲线的定义、双曲线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握双曲线的图象和性质，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：∵直线l与平面α平行，直线l的一个方向向量为u⃗=(1,3,z)，向量v⃗=(4,−2,1)与平面α垂直，∴u⃗⋅v⃗=4−6+z=0，解得z=2．故答案为：2．推导出向量u⃗=(1,3,z)与向量v⃗=(4,−2,1)垂直，从而u⃗⋅v⃗=0，由此能求出z．本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解析】解：由x2+y2−2x−a=0，得(x−1)2+y2=a+1，则a+1>0，即a>−1．∵直线x=3与圆x2+y2−2x−a=0相切，∴圆心(1,0)到直线x=3的距离d=2=r=√a+1，即a=3．故答案为：3．化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由圆心到直线x=3的距离等于半径求解a值．本题考查直线与圆位置关系的应用，是基础的计算题．15.【答案】53【解析】解：由足a1=1，a n=1+1an−1(n∈N∗)，得a2=1+1a1=1+1=2，a3=1+1a2=1+12=32，a4=1+1a3=1+23=53．故答案为：53．由已知结合数列递推式直接求解即可．本题考查数列递推式，是基础的计算题．16.【答案】(−∞,−2)∪(−1,+∞)【解析】解：方程x2m+2−y2m+1=1表示双曲线，可得(m+1)(2+m)>0，解得m∈(−∞,−2)∪(−1,+∞)．故答案为：(−∞,−2)∪(−1,+∞)．利用方程表示双曲线，列出不等式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．17.【答案】√63【解析】解：如图，连接AC，则AC⊥BD，又CC1⊥底面ABCD，∴CC1⊥BD，而AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1，则BD⊥AC1，同理可得，A1B⊥AC1，而A1B∩BD=B，∴AC1⊥平面A1BD，设垂足为G，∵AB=AD=AA1，∴G为底面正三角形A1BD的中心，则△A1BD外接圆的半径r即为B到AC1的距离，由√2sin60°=2r，得r=√63．故答案为：√63．由题意画出图形，证明AC1⊥平面A1BD，把问题转化为求正三角形A1BD外接圆的半径即可．本题考查空间中的点、线、面间的距离计算，考查数学转化思想，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．18.【答案】2 8【解析】解：抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0)，∵抛物线C：y2=2px(p>0)经过点M(2,−2√2)，∴(−2√2)2=2p×2⇒p=2，设直线l的方程为y=x−p2，代入抛物线的方程可得x2−3px+p24=0，设A，B的横坐标分别为x1，x2，可得x1+x2=3p=6，则|AB|=x1+x2+p=3p+p=4p=8，故答案为：2，8．根据点在抛物线上求出p，再联立直线与抛物线方程求得弦长．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】5或6 32768【解析】解：根据题意，数列{a n}为等比数列，a1=32，公比q=12，则a n=a1q n−1=26−n，当n=6时，a n=1，当n<6时，a n>1，当n>6时，a n<1，若T n是数列{a n}的前n项积，当n≥2时，a n=T n Tn−1，则当n<6时，T nT n−1>1，则T n>T n−1，当n>6时，T nT n−1<1，则T n<T n−1，当n=6时，T nT n−1=1，则T n=T n−1，故当n=5或6时，T n有最大值，且其最大值T5=T6=32×16×8×4×2×1=32768，故答案为：5或6，32768．根据题意，由等比数列的通项公式可得a n=a1q n−1=26−n，结合T n的意义可得T n的变化规律，由此计算可得答案．本题考查等比数列的通项公式的应用，注意分析T n与a n的关系，属于基础题．20.【答案】√53【解析】解：设椭圆C 的左焦点为F′，作出图象如图所示， 则有EF =OF −OE =2c 3，所以EFEF′=2c 3c+13c =12， 根据PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =2QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可知PF′//QE ， 所以QE PF′=13，且PF′⊥PF ， 因为QE =b 3，所以PF′=b ，根据椭圆的定义可知，PF =2a −b ， 由勾股定理可得b 2+(2a −b)2=(2c)2， 化简可得b =2a 3，所以c =√a 2−b 2=√53a ，所以e =ca =√53．故答案为：√53．作出图象，设椭圆C 的左焦点为F′，利用PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =2QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可知PF′//QE ，再利用相似比、椭圆的定义、勾股定理进行分析，得到a 和b 的关系，从而求出离心率．本题考查了椭圆的几何性质，涉及了椭圆离心率的求解、椭圆定义的应用，解题的关键是利用条件构造基本量a ，b ，c 之间的关系．21.【答案】解：(Ⅰ)设AB 的中点为D ，则D(−2,1)， 由圆的性质得CD ⊥AB ，所以k CD ×k AB =−1，得k CD =−1，所以线段AB 的垂直平分线方程是y =−x −1，设圆C 的标准方程为(x −a)2+y 2=r 2，其中C(a,0)，半径为r(r >0)， 由圆的性质，圆心C(a,0)在直线CD 上，化简得a =−1，所以圆心C(−1,0)，r =|CA|=2，所以圆C 的标准方程为(x +1)2+y 2=4； (Ⅱ)因为直线l 过点P(0,2)斜率为34， 则直线l 的方程为y =34x +2， 圆心C(−1,0)到直线l 的距离为d =|2−34|√(34)2+1=1，所以MN =2√r 2−d 2=2√4−1=2√3．【解析】(Ⅰ)利用圆的几何性质，圆心在AB 的中垂线上，即可求出圆心，再利用圆心到圆上点的距离即为半径，从而得到圆的标准方程；(Ⅱ)先利用点斜式写出直线的方程，求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理分析求解即可．本题考查了圆的方程的求解、弦长的求解，涉及了圆的几何性质的应用、直线与圆位置关系的应用，解题的关键是掌握直线与圆位置关系的处理方法．22.【答案】(Ⅰ)证明：以D 为原点，DA 、DC 、DP分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0，0)，B(2,2，0)，C(0,2，0)，P(0,0，2)，G(1,0，0)，F(1,1，1)，∴GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−2),PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)， 设平面PCB 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y −2z =0m⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −2z =0，令z =1，则x =0，y =1，∴m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)，∴GF ⃗⃗⃗⃗⃗ //m ⃗⃗⃗ ，∴GF ⊥平面PCB ．(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，平面PCB 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,1,1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,−2),PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−2) 设平面PAB 的法向量为n⃗ =(a,b ，c)， 则{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y −2z =0n⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x −2z =0，令z =1，则x =1，y =0，∴平面PAB 的法向量n ⃗ =(1,0,1)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1√2×√2=12， 由图知平面PAB 与平面PCB 的夹角是钝角，∴平面PAB 与平面PCB 的夹角大小为120°．(Ⅲ)解：假设线段AP 上存在一点M ，设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，则M(2−2λ,0，2λ)， ∴DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2λ,0，2λ)，设平面ADF 的法向量为t =(p,m ，n)， DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1)则{t ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2p =0t⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =p +m +n =0，令m =−1，则p =0，n =1，∴t =(0,−1,1)， ∵DM 与平面ADF 所成角为30°，∴DM 与t所成角为60°， ∴cos60°=|cos <DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,t >|=|DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅t ⃗ ||DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|t ⃗ |=|2λ|√(2−2λ)2+4λ2√2，解得λ=12， 故在线段AP 上存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30°，点M 的坐标为(1,0，1)．【解析】(Ⅰ)以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明GF ⊥平面PCB ．(Ⅱ)求出平面PCB 的法向量和平面PAB 的法向量，利用向量法能求出平面PAB 与平面PCB 的夹角大小．(Ⅲ)假设线段AP 上存在一点M ，设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAP⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，则M(2−2λ,0，2λ)，求出平面ADF 的法向量为t=(p,m ，n)，利用向量法能求出在线段AP 上存在一点M ，使得DM 与平面ADF 所成角为30°，点M 的坐标为(1,0，1)．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查满足线面角的点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差为d ，则由S 4=4S 2,a 2n =2a n +1,n ∈N ∗可得{4a 1+6d =8a 1+4d,a 1+(2n −1)d =2a 1+2(n −1)d +1.解得{a 1=1,d =2.因此a n =2n −1，(n ∈N ∗)；(Ⅱ)由(Ⅰ)及b n =3n−1，知c n =(2n −1)⋅3n−1+1(2n−1)(2n+1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，T n =1×30+3×31+5×33+⋯+(2n −1)×3n−1+11×3+13×5+⋯+1(2n−1)(2n+1)，则令A =1×30+3×31+5×32+⋅⋅⋅+(2n −1)⋅3n−1,B =11×3+13×5+⋅⋅⋅+1(2n−1)(2n+1)=12(1−12n+1)=n 2n+1T n =A +B，A =1×30+3×31+5×32+⋅⋅⋅+(2n −1)⋅3n−1,3A =1×31+3×32+5×33+⋅⋅⋅+(2n −3)⋅3n−1+(2n −1)⋅3n，两式相减得， −2A =1+2×(31+32+33+⋯+3n−1)−(2n −1)×3n ，即：−2A =1+2×(3−3n )1−3−(2n −1)×3n =(2−2n)×3n −2，所以A =(n −1)⋅3n +1，综合知T n =A +B =(n −1)⋅3n +1+n 2n+1．【解析】(Ⅰ)利用等差数列的定义，等差数列前n 项和，可以直接求出通项公式；(Ⅱ)对数列进行分组求和，在分组里再进行错位相减，裂项求和．本题考查了数列求和，分组求和，裂项求和，错位相减求和，属于中档题．24.【答案】解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =12，左顶点为A(−4,0)， ∴a =4，又e =12，∴c =2.…(2分)又∵b 2=a 2−c 2=12，∴椭圆C 的标准方程为x 216+y 212=1.…(4分) (2)直线l 的方程为y =k(x +4)，由{x 216+y 212=1y =k(x +4)消元得，x 216+[k(x+4)]212=1． 化简得，(x +4)[(4k 2+3)x +16k 2−12)]=0，∴x 1=−4，x 2=−16k 2+124k 2+3.…(6分) 当x =−16k 2+124k 2+3时，y =k(−16k 2+124k 2+3+4)=24k 4k 2+3， ∴D(−16k 2+124k 2+3,24k 4k 2+3)．∵点P 为AD 的中点，∴P 的坐标为(−16k 24k 2+3,12k4k 2+3)， 则k OP =−34k (k ≠0).…(8分) 直线l 的方程为y =k(x +4)，令x =0，得E 点坐标为(0,4k)，假设存在定点Q(m,n)(m ≠0)，使得OP ⊥EQ ，则k OP k EQ =−1，即−34k ⋅n−4k m =−1恒成立，∴(4m +12)k −3n =0恒成立，∴{4m +12=0−3n =0，即{m =−3n =0， ∴定点Q 的坐标为(−3,0).…(10分)(3)∵OM//l ，∴OM 的方程可设为y =kx ，由{x 216+y 212=1y =kx ，得M 点的横坐标为x =√3√4k 2+3，…(12分) 由OM//l ，得AD+AE OM =|x D −x A |+|x E −x A ||x M |=x D −2x A |x M | =−16k 2+124k 2+3+84√32=√3⋅2√4k 2+3(14分) =√3(√4k 2+3+√4k 2+3≥2√2，当且仅当√4k 2+3=√4k 2+3即k =±√32时取等号， ∴当k =±√32时，AD+AE OM 的最小值为2√2. …(16分)【解析】(1)由椭圆的离心率和左顶点，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的标准方程．(2)直线l 的方程为y =k(x +4)，与椭圆联立，得，(x +4)[(4k 2+3)x +16k 2−12)]=0，由此利用韦达定理、直线垂直，结合题意能求出结果．(3)OM 的方程可设为y =kx ，与椭圆联立得M 点的横坐标为x =√3√4k 2+3，由OM//l ，能求出结果． 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，考查代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线垂直、椭圆性质的合理运用．。