2013年湖州市初三数学竞赛试题

浙江省2013年初中毕业生学业考试（湖州市）数学试题卷试卷满分120分，考试时间120分钟参考公式：抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标是（ab2-，a b ac 442-）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 实数π，51，0，-1中，无理数是 A. π B. 51C. 0D. -12. 计算236x x ⋅的结果是A. x 6B. 56x C. 66x D.96x3. 若正比例函数kx y =的图象经过点（1，2），则k 的值是A. 21-B. -2C. 21D. 24. 如图，已知直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=60°，则∠2的度数为A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°5. 在开展“爱心捐助雅安灾区”的活动中，某团支部8名团员捐款的数额（单位：元）分别为：6，5，3，5，6，10，5，5，这组数据的中位数是A. 3元B. 5元C. 6元D. 10元6. 在正三角形、等腰梯形、矩形、平行四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A. 正三角形B. 等腰梯形C. 矩形D. 平行四边形 7. 在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型它的底面半径为1，高为22，则这个圆锥的侧面积是A. 4πB. 3πC. 22πD. 2π8. 一个布袋里装有6个只有颜色可以不同的球，其中2个红球，4个白球。

从布袋中任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为A.21 B. 61 C. 32D. 319. 如图，已知四边形ABCD 是矩形，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连结DE ，若DE:AC=3:5，则ABAD的值 A.21B. 33C.32D. 2210. 如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。

若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”。

浙江省2013年初中毕业生学业考试（湖州市）数学试题参考答案与评分标准一、选择题（每小题3分，共30分）二、填空题（每小题4分，共24分）11．1 12．15.5 13．135 14．5.8 15． 85 16．22 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17. （本小题6分）解：)(2222y x m my mx -=- ……3分))((y x y x m -+=． ……3分18. （本小题6分）解：⎩⎨⎧--.10,3)1(2x x x ＜＞由①得：25＞x ， ……2分由②得：5＜x ， ……2分则原不等式组的解：525＜＜x ． ……2分19. （本小题6分）解：（1）解法一：∵抛物线c bx x y ++-=2经过点A （3，0），B （－1，0），∴⎩⎨⎧=+--=++-.01,039c b c b ……2分解得：⎩⎨⎧==32c b ，∴抛物线解析式为：322++-=x x y ……2分解法二：抛物线的解析式为 )1)(3(+--=x x y ， ……2分 即322++-=x x y ． ……2分 （2）抛物线的顶点坐标为（1，4）． ……2分①②20. （本小题8分）（1）解：连结 OB ，∵弦AB ⊥OC ，弧AB 的度数为120°，∴∠COB =60°， ……2分 又 ∵OC = OB ，∴△OBC 是正三角形， ……1分 ∴BC =OC =2． ……1分（2）证明：∵BC = CP ，∴∠CBP =∠CPB ，∵△OBC 是正三角形，∴∠OBC =∠OCB =60°，∴∠CBP =30°，∴∠OBP =∠CBP +∠OBC =90°， ……2分 ∴OB ⊥BP ，∵点B 在⊙O 上， ∴PB 是⊙O 的切线． ……2分21. （本小题8分）解：（1）李老师得到的教师票数是：4)867(25=++-． ……1分补全的条形统计图 如图所示评分意见：条形统计图补全正确给2分．（2）设王老师得到的学生票数是x ，李老师得到的学生票数是y ，由题意得：⎩⎨⎧+==+.203,500y x y x ……2分解得 ⎩⎨⎧==120380y x ． ……1分答：王老师得到的学生票数是380，李老师得到的学生票数是120．（3）总得票数情况如下：王老师：380+5×7=415，赵老师：200+5×6=230，李老师：120+5×4=140，陈老师：300+5×8=340，推选到市里的是王老师和陈老师． ……2分22. （本小题10分）解：（1）小张种植每亩蔬菜的工资是 140 元， ……1分小张应得的工资总额是 2800 元； ……1分 此时，小李种植水果 10 亩， ……1分 小李应得的报酬是 1500 元． ……1分教师代表投票结果条形统计图 候选人王老师 赵老师 李老师 陈老师 （第21题）（2）当 10＜n ≤30时，z 关于n 的函数图象经过点（10，1500），（30，3900）， 设b kn z +=，则⎩⎨⎧=+=+.390030,150010b k b k ……2分 解得 ⎩⎨⎧==300120b k ，∴300120+=n z （10＜n ≤30）． ……2分（3）当 10＜m ≤30时，1802+-=m y ，∵30=+n m ，又∵当 0＜n ≤10时，n z 150=；当 10＜n ≤20时，300120+=n z ， ∴当 10＜m ≤20时，10＜n ≤20，∴W 300)30(120)1802(300120)1802(+-++-=+++-=m m m n m m39006022++-=m m ． ……1分∴当 20＜m ≤30时，0＜n ≤10，∴W 4500302)30(150)1802(150)1802(2++-=-++-=++-=m m m m m n m m ．……1分∴W 与m 之间的函数关系式为：⎪⎩⎪⎨⎧≤++-≤++-=).3020(4500302);2010(390060222m m m m m m W ＜＜23. （本小题10分）（1）证明：∵PB =PD ， ∴∠PBD =∠2，∵AB =BC ，∠ABC =90°，∴∠C =45°，∵BO ⊥AC 于点O ，∴∠1=45°， ∴∠1=∠C =45°， ……1分 ∵∠3=∠PBD －∠1，∠4=∠2－∠C ，∴∠3=∠4， ……1分又 ∵BO ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠BOP =∠PED =90°， ……1分∵PB =PD ，∴△BPO ≌△PDE ． ……1分（2）由（1）可得∠PBO =∠DPE ，∵BP 平分∠ABO ， ∴∠ABP =∠PBO ，∴∠ABP =∠DPE ， ……2分 又 ∵∠A =∠C ，PB =PD ， ∴△ABP ≌△CPD ， ……1分 ∴AP =CD ． ……1分 （3）CD ′与AP ′的数量关系是：CD ′=32AP ′． ……2分24. （本小题12分）解：（1）过点A 作AH ⊥OB 于H ，∵sin 54=∠AOB ，OA =10， ∴AH =8，OH =6， ……2分 ∴A 点坐标为（6，8），根据题意：68k=，可得：k =48， ∴反比例函数的解析式为：xy 48=)0(>x ． ……2分 （2）设OA =a （a ＞0），过点F 过FM ⊥x 轴于M ，∵sin 54=∠AOB ，∴AH =a 54，OH =a 53，∴S △AOH =2256535421a a a =⋅⋅， ∵S △AOF =12， ∴S □AOBC =24，∵F 为BC 的中点，∴S △OBF =6 ， ∵BF =a 21，∠FBM =∠AOB ， 同理可得：FM =a 52，BM =a 103， ∴S △BMF =2503103522121a a a FM BM =⋅⋅=⋅ ∴S △FOM = S △OBF + S △BMF =6+2503a ∵点A ，F 都在xk y =的图像上，∴S △AOH = S △FOM =k 21∴225036256a a +=，∴3310=a ，∴OA =3310 ， ……2分 ∴AH =338，OH =32， ∵S □AOBC =AH OB ⋅=24，∴OB =AC =33， ∴C （35，338）． ……2分 （3）存在三种情况：当∠APO =90°时，在OA 的两侧各有一点P ，分别为：P 1（338，334）， ……1分 P 2（332-，334）； ……1分 当∠P AO =90°时，P 3（3934，334）； ……1分 当∠POA =90°时，P 4（3916-，334）． ……1分 （第24题）图①。

2007年湖州市”期望杯”初三数学竞赛试卷(考试时间120分钟 满分120分) 2007.12一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分。

以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填在题后的括号里，不填、多填或错填均得零分） 1．正实数,x y 满足1xy =,那么4411x y+的最小值为（ ） (A)12(B)2 (C)1 (D)2 2．将三粒均匀的分别标有1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为,,a b c ，则,,a b c 正好是直角三角形三边长的概率是（ ）（A ）1216 （B ）172 （C ）136 （D ）1123．已知，如图1，点G 是BC 中点，点H 在AF 上，动点P 以每秒2厘米的速度沿图1的边线运动，运动路径为：GCDEFH ，相应的三角形ABP 的面积y （平方厘米）关于运动时间t （s ）的图象如图2，若AB=6厘米，则下列四个结论中正确的个数有（ ） ①图1中的BC 长是8厘米; ②图2中的M 点表示第4秒时y 的值为24; ③图1中的CD 长是4厘米; ④图2中的N 点表示第12秒时,y 的值为18. （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个4．回文数是指这个数字由左向右读起来与由右向左读起来数值都相同，例如：电子时钟上显示的时间 02:20 ，23:32就是回文数。

有一个题次 一(1--8) 二(9--14)三 总分15 16 17 18 得分 评卷人第9题 ABDPC 第8题第12题 A C D A 1 B 1 C 1 D 1第13题 24时制的数字钟显示的范围从00:00到 23:59 。

请问在一天之中有多少次钟面显示的数字出现回文数？（ ）（A ）12 （B ）16 （C ）17 （D ）185．若关于x 的方程0tan 2222=∂++x x 有两个相等的实数根，且000180,<∂<那么∂等于（ ）（A ）045 （B ）060 （C ）030 （D ）0156．ΔABC 的三边长皆为整数,且24a bc b ca +++=,当ΔABC 为等腰三角形时,它的面积的答案有（ ）(A)1种 (B)2种 (C)3种 (D)4种7．四条直线y=x+10，y=-x+10，y=x-10，y=-x-10在平面直角坐标系中围成的正方形内（包括四边）整点的个数有（ ）个。

浙江省2013年初中毕业生学业考试(湖州市)数学试题卷友情提示：1．全卷分卷I 与卷Ⅱ两部分，考试时间为120分钟，试卷满分为120分．2．试题卷中所有试题的答案填涂或书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效．3．请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！4．参考公式：抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的顶点坐标是（2b a -，244ac b a -）．卷 I一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选、多选、错选均不给分．1．（2013浙江湖州，1，3分）实数π，15，0，－1中，无理数是 ·············································· （ ）A ．πB ．15 C ．0 D ．－l【答案】A2．（2013浙江湖州，2，3分）计算6x 3·x 2的结果是 ···································································· （ ）A ．6xB ．6x 5C ．6x 6D ． 6x 9【答案】B3．（2013浙江湖州，3，3分）若正比例函数y =kx 的图象经过点(1，2)，则k 的值为 ················ （ ）A ．12- B ．－2 C ． 12 D ．2【答案】D4．（2013浙江湖州，4，3分）如图，已知直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=60°，则∠2的度数为（） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°第4题 【答案】C5．（2013浙江湖州，5，3分）在开展“爱心捐助雅安灾区”的活动中，某团支部8名团员捐款的数额分别为（单位：元）：6，5，3，5，6，10，5，5，这组数据的中位数是 ····································· （ ）A ．3元B ．5元C ．6元D ．10元【答案】B6．（2013浙江湖州，6，3分）在正三角形、等腰梯形、矩形、平行四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ································································································································ （ ）A ．正三角形B ．等腰梯形C ．矩形D ．平行四边形【答案】C7．（2013浙江湖州，7，3分）在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为 ······································································ （ ）A ．4πB ．3πC ．D ．2π【答案】B8．（2013浙江湖州，8，3分）一个布袋里装有6个只有颜色可以不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是红球的概率为···································································· （ ）A ． 12B ．15C ． 23D ． 13【答案】D9．（2013浙江湖州，9，3分）如图，已知四边形ABCD 是矩形，把矩形沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，连结DE ．若DE ∶AC =3∶5，则AD AB的值为 ······································································· （ ）A ．12B ．C ． 23D ． 2第9题【答案】A10．（2013浙江湖州，10，3分）如图，在10×l 0的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交点之间的距离为．．．．．．．的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是····················································· （ ）A ．16B ．15C ．14D ． 13【答案】C卷 Ⅱ二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．（2013浙江湖州，11，4分）计算：111x x x +++= ▲ ． 【答案】112．（2013浙江湖州，12，4分）把l 5°30′化成度的形式，则15°30'= ▲ 度．【答案】15.513．（2013浙江湖州，13，4分）如图，已知在Rt △ACB 中，∠C =90°，AB =13，AC =12，则cosB 的值为 ▲．第13题 【答案】51314. （2013浙江湖州，14，4分）某市号召居民节约用水，为了解居民用水情况，随机抽查了20户家户家庭这个月的平均用水量是 ▲ 吨．15．（2013浙江湖州，15，4分）将连续的正整数按以下规律排列，则位于第7行、第七列的数x 是 ．第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第七列 …第1行 1 3 6 10 15 21 28第2行 2 5 9 14 20 27第3行 4 8 13 19 26 … 第4行 7 12 18 25 …第5行 11 17 24 …第6行16 23 …第7行22 (x)…【答案】85.16．（2013浙江湖州，16，4分）如图，已知点A是第一象限内横坐标为AC⊥x轴于点M，交直线y=－x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥P A，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是▲．第16题【答案】三、解答题（本题有8小题，共66分）17．（2013浙江湖州，17，6分）因式分解：mx2−my2．解：mx2−my2=m（x2−y2）= m（x+y）（x−y）．18．（2013浙江湖州，18，6分）解不等式组：()213,10.xx x->⎧⎪⎨<-⎪⎩解：()213,10.xx x->⎧⎪⎨<-⎪⎩①②解：由①得：52x>，由②得：5x<，∴元不等组组的解集为552x<<．19．（2013浙江湖州，19，6分）已知抛物线y=－x2+bx+c经过点A(3，0)，B(－l，0)．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．解：(1)解法一：∵抛物线y=－x2+bx+c经过点A(3，0)，B(－l，0)，∴930,10.b cb c-++=⎧⎨--+=⎩解得：23bc=⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为：y=－x2+2x+3．解法二：抛物线的解析式为y=－(x-3)(x+l)，即y=－x2+2x+3．（2）解法一：∵ y =－x 2+2x +3=－(x －1)2+4，∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．解法二：∵x =()2121-=⨯-，()()24132441y ⨯-⨯-==⨯-， ∴抛物线的顶点坐标为(1，4)．20．（2013浙江湖州，20，8分）如图，已知P 是⊙O 外一点，PO 交⊙O 于点C ，OC =CP =2，弦AB ⊥OC ，劣弧AB 的度数为120°，连结PB ．(1)求BC 的长；(2)求证：PB 是⊙O 的切线．第20题（1）解：连结OB ，∵弦AB ⊥OC ，劣弧AB 的度数为120°，∴∠COB =60°，又∵OC =OB ．∴△OBC 是正三角形，∴.BC =OC =2．（2）证明：∵BC =CP ，∴.∠CBP =∠CPB ，∵△OBC 是正三角形，∴∠OBC =∠OCB =60°．∴∠CBP =30°，∴∠OBP =∠CBP +∠OBC =90°，∴OB ⊥BP ，∵点B 在⊙O 上，∴PB 是⊙O 的切线．21．（2013浙江湖州，21，8分）为激励教师爱岗敬业，某市开展了“我最喜爱的老师”评选活动．某中学确定如下评选方案：由学生和教师代表对4名候选教师进行投票，每票选1名候选教师，每位候选教师得到的教师票数的5倍与学生票数的和作为该教师的总得票数．以下是根据学生和教师代表投票结果绘制的统计表和条形统计图（不完整）．（1）若共有25位教师代表参加投票，则李老师得到的教师票数是多少？请补全条形统计图．（画在答题卷相对应的图上）（2）王老师与李老师得到的学生总票数是500，且王老师得到的学生票数是李老师得到的学生票数的3倍多20票，求王老师与李老师得到的学生票数分别是多少？（3）在(1)、(2)的条件下，若总得票数较高的2名教师推选到市参评，你认为推选到市里的是哪两位老师？为什么？解： (1)李老师得到的教师票数是：25−(7+6+8)=4．补全的条形统计图如图所示，（2）设王老师得到的学生票数是x ，李老师得到的学生票数是y ，由题意得500,320.x y x y +=⎧⎨=+⎩ 解得380120x y =⎧⎨=⎩．答：王老师得到的学生票数是380，李老师得到的学生票数是120．（3）总得票数情况如下：王老师：380+5×7=415，赵老师：200+5×6=230，李老师：120+5×4=140，陈老师：300+5×8=340，推选到市里的是王老师和陈老师．22．（2013浙江湖州，22，10分）某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩．．蔬菜的工资y （元）与种植面积m （亩）之间的函数关系如图①所示；小李种植水果所得报酬z （元）与种植面积n （亩）之间的函数关系如图②所示．（1）如果种植蔬菜20亩，列小张种植每亩蔬菜的工资是 ▲ 元，小张应得的工资总额是 ▲ 元；此时，小李种植水果▲ 亩，小李应得的报酬是 ▲ 元．（2）当l 0<n ≤30时，求z 与n 之间的函数关系式；（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为W （元），当l 0<m ≤30时，求W 与m 之间的函数关系式． 第22题解：（1）小张种植每亩蔬菜的工资是l 40元，小张应得的工资总额是2800元；小李种植水果10亩，小李应得的报酬是1500元．（2）当l 0<n ≤30时，z 关于n 的函数图象经过点（10，1500），(30，3900)，设z =kn +b ，则101500,303900.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得120300k b =⎧⎨=⎩，∴z =120n +300(10＜n ≤30)．（3）当10＜m ≤30时，y =－2m +180，∵m +n =30，又∵当0<n ≤10时，z =150n ；当l 0<n ≤20时，z =120n +300，∴当l 0<m ≤20时，l 0<n ≤20，∴W =m （－2m +180）+120n +300=m (－2m +180)+120(30−m )+300=－2m 2+60m +3900.当20<m ≤30时，0<n ≤10，∴W =m (－2m +180)+150n =m (－2m +180)+150(30−m )=－2m 2+30m +4500．∴W 与m 之间的函数美系式为：W =()()22260390010202304500200m m m m m m ⎧-++<⎪⎨-++<⎪⎩≤≤3．23．（2013浙江湖州，23，10分）第一节数学课后，老师布置了一道课后练习：如图，已知在Rt △ABC 中，AB =BC ，∠ABC =90°，BO ⊥AC 于点O ．点P ，D 分别在AO 和BC 上，PB =PD ，DE ⊥AC 于点E ．求证：△BPO ≌△PDE .（1）理清思路，完成解答本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．要证 △BPO ≌△PDE PB =PD （已知）∠BOP =∠PED ∠3=∠4 BO ⊥AC ， DE ⊥AC （已知） ∠3=∠PBD −∠1 ∠4=∠2−∠C ∠1=∠C =45° ∠PBD =∠2 已知条件（2）特殊位置，证明结论若BP 平分∠ABO ，其余条件不变．求证：AP =CD ．（3）知识迁移，探索新知若点P 是一个动点，当点P 运动到OC 的中点P ′时，满足题中条件的点D 也随之在直线BC 上运动到点D '，请直接写出CD ′与AP ′的数量关系．（不必写解答过程）图① 图② 图③第23题（1）证明：∵PB =PD ，∴∠PBD =∠2，∵AB =BC ，∠ABC =90°，∴∠C =45°，∵BO ⊥AC 于点O ，∴∠1=45°，∴∠1=∠C =45°，∵∠3=∠PBD −∠1，∠4=∠2−∠C ，∴∠3=∠4，又∵BO ⊥AC ，DE ⊥AC ，∴∠BOP =∠PED =90°，∵PB =PD ，∴△BPO ≌△PDE .（2）由（1）可得∠3=∠4，∵BP 平分∠ABO ，∴∠ABP =∠3，∴∠ABP =∠4，又∵∠A =∠C ，PB =PD ，24．（2013浙江湖州，24，12分）如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形， sin ∠AOB =45，反比例函数y =k x（k >0）在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ． （1）若OA =10，求反比例函数的解析式；（2）若点F 为BC 的中点，且△AOF 的面积S =12，求OA 的长和点C 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点F 作EF ∥OB ，交OA 于点E （如图②），点P 为直线EF 上的一个动点，连结P A ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P ，O ，A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出．．．．所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图① 图②第24题解：（1）过点A 作AH ⊥OB 于H ，∵sin ∠AOB =45，OA =l 0，∴AH =8，OH =6． ∴A 点坐标为(6，8)，根据题意：8=6k ，可得：k =48，∴反比例函数的解析式为：y =48x(x >0)．（2）设OA =a (a >0)，过点F 作FM ⊥x 轴于M ，∵sin ∠AOB =45．∴AH =45a ，OH =35a ， ∴S △AOH =2143625525a a a ∙∙=，∵S △AOF =12，S □AOBC =24，∵F 为BC 的中点，∴S △OBF =6， ∵BF =12a ，∠FBM =∠AOB ，∴FM =25a ，BM =310a ，S △BMF =12BM FM ∙∙=21233251050a a a ∙∙=， ∴S △FOM = S △OBF +S △BMF =6＋2350a ，∵点A ，F 都在y =k x 的图象上， S △AOH =S △FOM =12k ， ∴226362550a a =+，1033a =OA 103，∴AH 833OH =23S □AOBC =OB ·AH =24，∴DB =AC 3C （3833． （3）存在三种情况：当∠APO =90°时，在OA 的两侧各有一点P ，分别为：P l 833，433，P 2(233433；当∠P AO =90°时，P 33439433；当∠POA =90°时，P 4（1639433．。