最新人教版高中数学必修1第三章用二分法求方程的近似解1

课题：§用二分法求方程的近似解
教学目标：
知识与技能 通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用． 过程与方法 能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
情感、态度、价值观 体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．
教学重点：
重点 通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．
难点 恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
教学程序与环节设计：
由二分查找及高次多项式方程的求问题引入． 体会函数零点的意义，明确二分法的适用X 围． 初步应用二分法解
． 二分法为什么可以逼近零点的再分析； ． 追寻阿贝尔和伽罗瓦．。

用二分法求方程的近似解我今天说课的课题是方程的根与函数的零点，下面我从教材的分析、教法和学法、教学过程三个方面进行说课，首先我们来进行教材分析。

一、教材分析1、教材地位和作用方程的根与函数的零点是高中数学人教版必修1第三章第一节的内容，本节课是高中新课程的新增内容，它是求方程近似解的常用方法，体现了函数的思想以及函数与方程的联系。

在内容上衔接了上节函数的零点与方程的根的联系，并为数学3中算法内容的学习做了铺垫。

2、教学目标根据新课标标准要求及结合学生已有的认知结构，我确定本节课的教学目标为：（1）知识目标了解二分法的基本思想，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解（2）能力目标：通过对生产、生活实例的介绍，使学生体验逼近的思想和二分法的思想（3）情感目标：通过二分法的生活实例，使学生体会的数学的应用价值。

3、教学重点与难点本节课的教学重点是：理解二分法基本思想，掌握用二分法求方程近似解的步骤难点：对二分法概念的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解。

二、教学与学法本节课我采用情境教学法和自主探究法，并充分利用多媒体辅助教学.通过教师在教学过程中的点拨，启发学生通过主动观察、主动思考、自主探究来达到对知识的发现和学习。

本节课的内容是需要学生实际操作，因此，在学法上采用教师引导，学生自主探究，在实践中发现问题、理解问题和解决问题。

三、教学过程整个教学的流程分为创设情境，引入新课；发现问题，探求新知；示例练习，加深理解；巩固新知，反馈调控；归纳小结，布置作业6大块：1、创设情境，引入新课教师：(手拿一款手机)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？学生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价；学生2：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价，教师可以给学生评价，第一种方法比较慢，第二种方法比较好，那我们把这种方法运用到求一些特殊方程的近似解，引出课题。

疱丁巧解牛知识·巧学·升华一、二分法对于在区间［a,b ］上连续不断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)·f(b)＜0的函数，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.（1）函数零点的性质：所谓函数的零点，从“数”的角度看，就是求f(x)=0的点；从“形”的角度看，就是函数f(x)的图象同x 轴的交点.特别地，若函数f(x)的图象在x=x 0处与x 轴相切，则零点x ，通常叫做不变号零点.若曲线在x=x 0处与x 轴相交，则零点x 0叫做函数的变号零点.用二分法求近似值的零点都是指变号零点.例如：函数f(x)=3x-6的零点x=2是变号零点；函数f(x)=x 2-x-12的两个零点x=-3,x=4都是变号零点；函数f(x)=x 2-2x+1的零点x=1是不变号零点；函数f(x)=x 2+1不存在零点.（2）怎样判断一个函数在给定的区间上存在零点呢？如果函数f(x)在给定区间［a,b ］上是连续不间断的且在两个端点处的函数值满足f(a)·f(b)＜0，那么该函数在给定区间上至少存在一个变号零点.那么，若f(a)·f(b)＞0，是不是就不存在变号零点呢？二、二分法的理论依据如果y=f(x)是连续的，并且f(a)及f(b)的符号相反，则存在一个根在a 与b 之间，如下图所示.基本方法：首先找一个包含根的区间，然后在包含根之处多次减少区间一半，直至根落在要求的区域.我们用中间数2b a +去缩减区间(b,a)的一半，因此，我们有两个区间(b, 2b a +)和(2b a +,a)，其中一个区间一定包含根.如果f(2b a +)是正数及f(b)是负数，我们便知道(b, 2b a +)包含根，不断重复相似步骤，根最终跌落在要求的区间.三、给定精确度ε用二分法求零点近似值的步骤如下：1.确定区间［a,b ］⊆D ，使f(a)·f(b)＜0.令a 0=a,b 0=b.2.取区间［a 0,b 0］的中点，x 0=21(a 0+b 0)，计算f(x 0)与f(a 0). 一般规律：（1）如果f(x 0)=0，则x 0就是f （x ）的零点，计算终止；（2）如果f(a 0)·f(x 0)＜0，则零点位于区间［a 0,x 0］中，令a 1=a 0,b 1=x 0；（3）如果f(a 0)·f(x 0)＞0，则零点位于区间［x 0,b 0］中，令a 1=a 0,b 1=b 0.3.取区间［a 1,b 1］的中点，则该中点的横坐标为x 1=21(a 1+b 1)，计算f(x 1). （1）若f(x 1)=0，则x 1就是f(x)的零点，计算终止；（2）如果f(a 1)·f(x 1)＜0，则零点位于区间［a 1,x 1］上，令a 2=a 1,b 2=x 1；（3）如果f(a 1)·f(x 1)＞0，则零点位于区间［x 1,b 1］上，令a 2=x 1,b 2=b 1；……4.判断是否达到精确度ε，即若|a-b|＜ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复步骤2—4.问题·思路·探究问题 1 如何找一个包含根的区间，然后在包含根之处多次减少区间一半，直至根落在要求的区域，找到它的零点近似值？思路：利用二分法思想，逐步逼近.探究：通过根的存在性定理.根据变号零点的性质，逐步逼近，不断“压缩”区间长度直到达到精确度要求.在确定初始变方区间［a ，b ］时，|b-a|的长度越短，越容易找到它的零点近似值.问题 2 通过二分法了解算法这一数学思想，用二分法求零点近似值，如何给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值？思路：算法是指按照一定的程序使计算一步步地进行下去，直到找到问题结果为止的求解过程.区间［a n ，b n ］的长度|b n -a n |越小，2n n b a +就越接近它的零点值. 探究：用二分法求函数零点的近似值，首先要选好选准计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要尽量使其长度小；其次要依据给定的精确度及时检验计算中得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算.通过不断地求中点，变换存在零点近似值的区间，直到它的长度|b n -a n |＜2ε为止，此时x n =2n n b a +即为所求. 典题·热题·新题例1 求函数f(x)=x 3+x 2-2x-2的一个为正数的零点（精确到0.1）.思路解析：一般地，对于高次多项式函数及其他的一些函数，不适宜作具体计算，有必要寻求其零点的近似解的方法.解：函数f(x)=x 3+x 2-2x-2的图象如右图，由于f(0)=-2＜0，f(2)＞0，可取区间［0,2］作为计算的初始区间.由上表的计算可知，区间［1.375，1.438］的长度小于0.1，所以这个区间的中点x6≈1.406 5可作为所求函数的一个正实数零点的近似值.拓展延伸注意此处空半格利用函数的图象和性质，用二分法求方程的近似解，这种方法简单有效，仅仅要求函数f(x)在某一区间\[a,b\]内连续，并且在此区间端点的函数值异号.但是用它不能求偶次重根，只能求实根.但是由于计算量较大，通常我们要借助计算器或计算机来完成计算和分析.例2 使用计算器或计算机，用二分法求函数f(x)=x5-x3-5x2+5的无理零点（精确到0.01）. 思路解析:求函数的无理零点或求方程的无理根问题可以通过因式分解，发现其有理根，然后转化为求另一函数的无理零点的问题，再利用二分法求其零点的近似值.解：因为x5-x3-5x2+5=x3(x2-1)-5(x2-1)=(x+1)(x-1)(x3-5)，所以已知函数的零点是-1，1，35，其中x=35是它的一个无理零点.不妨设g(x)=x3-5，由于g(1)=-4＜0,g(2)=3＞0，可取区间［1,2］作为计算的初始区间，由上表计算可知，区间［1.703 2，1.711］的长度小于0.01，所以该区间的中点x8≈1.71，即为函数f（x）=x3-5的一个无理零点近似值.深化升华注意此处空半格用二分法求函数零点的近似值，首先要选好选准计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要尽量使其长度小；其次要依据给定的精确度及时检验计算中得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算.例3 借助计算器或计算机，用二分法求方程x+log 3x=3在（1，3）内的近似解.（精确到0.1） 思路解析:构造一个函数，从而借助计算器或计算机列出x 与f （x ）的对应值表或图象，确定零点所在的大致区间，进而用二分法求解，从中体会函数与方程之间的联系.解：原方程即x+log 3x-3=0.x 0.取区间（2，3）的中点x 1=2.5，用计算器可算得f （2.5）≈0.34.因为f （2）·f （2.5）＜0，所以x 0∈（2，2.5）再取（2，2.5）的中点x 2=2.25，用计算器可算得f （2.25）≈-0.01，因为f （2.25）·f （2.5）＜0，所以x 0∈（2.25，2.5）.同理可得x 0∈（2.25，2.375），x 0∈（2.25，2.312 5），由于|2.312 5-2.25|=0.062 5＜0.1，此时区间（2.25，2.312 5）的两个端点精确到0.1的近似值都是2.3，所以原方程精确到0.1的近似解为2.3.深化升华 注意此处空半格二分法是求函数零点近似值的一种方法，根据题目精确度的要求，只需进行有限次的重复运算便可得解.可从“数”“形”两个角度去体会函数零点的意义，掌握常见函数零点的求法.例4 （经典回放）已知函数f （x ）=a x +12+-x x （a ＞1）. （1）求证：f （x ）在（-1，+∞）上为增函数；（2）若a=3，求方程f （x ）=0的正根（精确到0.01）.思路解析:问题（1）可依据增函数定义通过作差通分来求证，问题（2）可以通过用二分法，根据题目精确度的要求，只需进行有限次的重复运算便可得解，求出方程f （x ）=0的正根.（1）证明：任取x 1、x 2∈（-1，+∞），且x 1＜x 2，则x 2-x 1＞0，12x x a-＞1，且a x1＞0， ∴)1(22111-=--x x x x x a a a a ＞0，又∵x 1+1＞0，x 2+1＞0，∴1222+-x x -1211+-x x =)1)(1()(32112++-x x x x ＞0， 于是f （x 2）-f （x 1）=12x x a a -+1222+-x x -1211+-x x ＞0，故函数f （x ）在（-1，+∞）上为增函数.（2）解：由（1）知，当a=3时，f （x ）=3x +12+-x x 也在（-1，+∞）上为增函数，故在（0，+∞）也单调递增，因此f （x ）=0的正根仅有一个，以下用二分法求这一正根.由于f （0）=-1＜0，f （1）=5＞0，取［0，1］为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：由于区间［0.273 43，0.281 25］的长度为0.007 82＜0.01，所以这一区间的两个端点的近似值0.28就是方程的根的近似值，即原方程的正根是0.28.拓展延伸 注意此处空半格若所求函数的零点被界定在某一区间上，可直接判断求解；若没有界定区间，可通过分析题目条件，尽量缩短区间的长度.例5 某电器公司生产A 种型号的家庭电器.1996年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.1997年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低.2000年平均每台A 种型号的家庭电脑尽管出厂价仅是1996年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效率.求：（1）2000年每台电脑的生产成本；（2）以1996年的生产成本为基数，用二分法求1996—2000年生产成本平均每年降低的百分数（精确到0.01）.思路解析:这是一个降低成本提高效率的问题.注意：这里“以纯利润20%标定出厂价”指成本的20%.成本+利润=出厂价；利润=成本×利润率.解：（1）设2000年每台电脑的成本为p 元，根据题意，得p(1+50%)=5 000×(1+20%)×80%，解得p=3 200（元）.（2）设1996—2000年间每年平均生产成本降低的百分率为x ，根据题意，得5 000(1-x)4=3 4观察上表，可知f(0)·f(0.15)＜0，说明此函数在区间（0，0.15）内有零点x 0， 取区间（0，0.15）的中点x 1=0.075，用计算器可算得f(0.075)≈460，因为f(0.075)·f(0.15)＜0，所以x 0∈(0.075,0.15)再取（0.075，0.15）的中点x 2=0.112 5，用计算器可算得f(0.112 5)≈-98，因为f(0.075)·f(0.112 5)＜0，所以x 0∈(0.075,0.112 5).同理，可得x 0∈(0.009 375,0.112 5)，x 0∈(0.103 125,0.112 5)，x 0∈(0.103 125,0.107 812 5),x 0∈(0.105 468 75,0.107 812 5).由于|0.107 812 5-0.105 468 75|=0.002 343 75＜0.01，此时区间（0.105 468 75，0.107 812 5）的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11，所以原方程精确到0.01的近似解为0.11. 答：（1）2000年每台电脑的生产成本为3 200元；（2）1996—2000年生产成本平均每年降低的百分数为11%.深化升华注意此处空半格在第（2）问中所要解的方程5 000（1-x）4=3 200(0＜x＜1)要求用二分法来解，主要目的是熟悉二分法的解题步骤，虽然比较繁杂，但是能让学生体会到“逐步逼近”的数学思想.。

3.1.2 用二分法求方程的近似解1．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．谈重点对二分法的理解(1)二分法就是不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．(2)二分法的理论基础是根的存在性定理．【例1－1】下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )A．y＝x＋7 B．y＝5x－1C．y＝log3x D．y＝12x⎛⎫⎪⎝⎭－x【例1－2】下列函数中，不能用二分法求零点的是( )解析：能否用二分法求函数的零点，关键是在零点附近是否存在x1，x2使f(x1)·f(x2)＜0，从直观上看，就是图象是否穿过x轴．答案：C点技巧判断能否用二分法求函数零点的依据判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点是变号零点(即零点两侧某区域内函数值异号)．因此用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用．2．二分法的步骤(1)使用二分法的前提条件是：如果函数y＝f(x)在选定的区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，才能用二分法去求函数的零点．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；a．若f(c)＝0，则c就是函数的零点；b．若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；c．若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε；即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②～④．谈重点用二分法求函数零点近似值的注意点(1)在第一步中要使：①区间[a，b]的长度尽量小；②f(a)，f(b)的值比较容易计算，且f(a)·f(b)＜0．(2)二分法仅对函数变号零点(即零点两侧某区域内函数值异号)适用．(3)利用二分法求函数的零点时，要随时进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算．【例2－1】用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________．以上横线上应填的内容为( )A．(0,0.5)，f(0.25)B．(0,1)，f(0.25)C．(0.5,1)，f(0.75)D．(0,0.5)，f(0.125)解析：二分法要不断地取区间的中点值进行计算，由f(0)＜0，f(0.5)＞0知x0∈(0,0.5)，再计算0与0.5的中点0.25处相应的函数值，以判断x0的更准确位置．答案：A【例2x．解析：∵由参考数据知f(1.562 5)≈0.003＞0，f(1.556 25)≈－0.029＜0，即f(1.562 5)·f(1.556 25)＜0，且1.562 5－1.556 25＝0.006 25＜0.01，∴函数f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.562 5．答案：1.562 5(答案不唯一)3．利用二分法求方程的近似解应用二分法求函数零点近似值的方法可以求某些方程的近似解或某些无理数的近似值，其方法是构造函数，转化为求函数零点近似值的问题．利用二分法求方程近似解的步骤是：(1)构造函数，利用图象确定方程的根所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；(2)利用二分法求出满足精确度的方程的根所在的区间M；(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．用二分法求方程的近似解要注意的问题：(1)要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束．(2)初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大．(3)在二分法的第四步，由|a－b|＜ε，便可判断零点近似值为a或b，即只需进行有限次运算即可．(4)用二分法求出的零点一般是零点的近似值，但并不是所有函数都可以用二分法求零点，必须满足在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值．例如，求方程lg x＝3－x的近似解(精确到0.1)．解析：使用计算器或计算机，最好使用几何画板软件，画出函数y＝lg x的图象，利用数形结合的方法估算出方程的解所在的一个区间．如图所示，由函数y＝lg x与y＝3－x的图象，可以发现，方程lg x＝3－x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2,3)内，设f(x)＝lg x＋x－3，用计算器计算，得f(2)＜0，f(3)＞0⇒x1∈(2,3)，f(2.5)＜0，f(3)＞0⇒x2∈(2.5,3)，f(2.5)＜0，f(2.75)＞0⇒x3∈(2.5,2.75)，f(2.5)＜0，f(2.625)＞0⇒x4∈(2.5,2.625)，f(2.562 5)＜0，f(2.625)＞0⇒x5∈(2.562 5,2.625)．因为2.625与2.562 5精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x5≈2.6．本题关键是应用数形结合，直观地寻求方程的近似解所在的区间(2,3)，并借助计算器等辅助工具．【例3－1】求方程lg x＝12x⎛⎫⎪⎝⎭－1的近似解(精确度0.1)．解析：可先作出函数y＝lg x和y＝12x⎛⎫⎪⎝⎭－1的图象，估算出方程的解所在的一个区间，再用二分法求解．解：如图所示，由函数y＝lg x与y＝12x⎛⎫⎪⎝⎭－1的图象可知，方程lg x＝12x⎛⎫⎪⎝⎭－1有唯一实数解，且在区间(0,1)内．设f (x )＝lg x －12x⎛⎫⎪＋1，f (1)＝12＞0，用计算器计算，列表如下：由于区间不超过0.1，所以函数f (x )的零点近似值为0.562 5，即方程lg x ＝12x⎛⎫⎪⎝⎭－1的近似解为x ≈0.562 5．析规律 利用二分法求方程的近似解的方法 (1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程的近似解，可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．(2)对于求形如f (x )＝g (x )的方程的近似解，可以通过移项转化为求形如F (x )＝f (x )－g (x )＝0的方程的近似解，即转化为求函数F (x )的零点近似值，利用二分法求解即可．【例3－2】求方程3x＋1xx +＝0的近似解(精确度0.1)． 解：原方程可化为3x －1x x +＋1＝0，即3x＝1x x +－1．在同一坐标系中，分别画出函数g (x )＝3x与h (x )＝1x x +－1的简图，如图所示：∵g (x )与h (x )的图象交点的横坐标位于区间(－1,0)且只有一个交点， ∴原方程只有一解x ＝x 0． 令f (x )＝3x＋1x x +＝3x－1x x +＋1，∵f (0)＝1－1＋1＝1＞0，f (－0.5)－2＋1＜0，∴x 0∈(－0.5,0)．用二分法求解，列表如下∵|－0.375－(－0.437 5)|＝0.062 5＜0.1，∴原方程的近似解可取为－0.375．4．二分法在生活中的应用我们知道，二分法是一种体现了现代信息技术与数学课程的结合，将数学学习与信息技术紧密结合在一起，渗透了算法思想和合理运用科学型计算器、各种数学教育技术平台的方法．二分法不仅仅可以用来求解函数的零点和方程的根，还在现实生活中也有许多重要的应用，可以用来处理一些实际应用问题．如在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用，当然在一些科学实验设计及资料的查询方面也有着广泛的应用．例如，中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖给选手．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了．选手紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？解：取价格区间[500,1 000]的中点750，如果主持人说低了，就再取区间[750,1 000]的中点875；否则取另一个区间[500,750]的中点；若遇到小数，则取整数，照这种方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例4－1】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段地查找，困难很大．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？解析：先检查中间一根电线杆，则将故障的范围缩小一半，再用同样方法依次检查下去．解：如图，维修工人首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD段中点去查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，要把故障可能发生的范围缩小到50 m至100 m，即一、两根电线杆附近．【例4－2】某电脑公司生产A种型号的笔记本电脑，2008年平均每台电脑生产成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价．从2009年开始，公司更新设备，加强管理，逐步推行股份制，从而使生产成本逐年降低，2012年平均每台A种型号的笔记本电脑尽管出厂价仅是2008年出厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高效益．(1)求2012年每台电脑的生产成本；(2)以2008年的生产成本为基数，用二分法求2008～2012年生产成本平均每年降低的百分率(精确到0.01)．解：(1)设2012年每台电脑的生产成本为P元，根据题意，得P(1＋50%)＝5 000×(1＋20%)×80%，解得P＝3 200(元)．故2012年每台电脑的生产成本为3 200元．(2)设2008～2012年生产成本平均每年降低的百分率为x，根据题意，得5 000(1－x)4＝4x0．取区间(0.1,0.15)的中点x1＝0.125，可得f(0.125)≈－269．因为f(0.125)·f(0.1)＜0，所以x0∈(0.1,0.125)．再取区间(0.1,0.125)的中点x2＝0.112 5，可得f(0.112 5)≈－98．因为f(0.1)·f(0.112 5)＜0，所以x0∈(0.1,0.112 5)．同理可得，x0∈(0.1,0.106 25)，x0∈(0.103 125,0.106 25)，x0∈(0.104 687 5，0.106 25)，x0∈(0.105 468 75,0.106 25)，由于|0.105 468 75－0.106 25|＜0.01，此时区间的两个端点精确到0.01的近似值都是0.11，所以原方程的近似解为0.11．故2008～2012年生产成本平均每年降低的百分率为11%．。

习题详解教科书P 108习题3.1A 组1.A 、C2.由x 、f （x ）的对应值表可得f （2）·f （3）＜0，f （3）·f （4）＜0，f （4）·f （5）＜0. 又根据“如果函数y =f （x ）在区间［a ，b ］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f （a ）·f （b ）＜0，那么函数y =f （x ）在区间（a ，b ）内有零点.”可知函数f （x ）分别在区间（2，3），（3，4），（4，5）内有零点.3.原方程即（x +1）（x －2）（x －3）－1=0，令f （x ）=（x +1）（x －2）（x －3）－1，可算得f （－1）=－1，f （0）=5，于是f （－1）·f （0）＜0.所以这个方程在区间（－1，0）内有一个解.下面用二分法求方程（x +1）（x －2）（x －3）=1在区间（－1，0）内的近似解.取区间（－1，0）的中点x 1=－0.5，用计算器可算得f （－0.5）=3.375.因为f （－1）·f （－0.5）＜0，所以x 0∈（－1，－0.5）.再取（－1，－0.5）的中点x 2=－0.75，用计算器可算得f （－0.75）≈1.58.因为f （－1）·f （－0.75）＜0，所以x 0∈（－1，－0.75）.同理可得x 0∈（－1，－0.875），x 0∈（－0.9375，－0.875）.由于|（－0.875）－（－0.9375）|=0.0625＜0.1，此时区间（－0.9375，－0.875）的两个端点精确到0.1的近似值都是－0.9，所以原方程精确到0.1的近似解为－0.9.4.原方程即0.8x －1－ln x =0，令f （x ）=0.8x －1－ln x ，f （0）没有意义，用计算器得f （0.5）≈0.59，f （1）=－0.2.于是f （0.5）·f （1）＜0，所以这个方程在区间（0.5，1）内有一个解.下面用二分法求方程0.8x －1=ln x 在区间（0，1）内的近似解.取区间（0.5，1）的中点x 1=0.75，用计算器可算得f （0.75）≈0.13.因为f （0.75）·f （1）＜0，所以x 0∈（0.75，1）.再取（0.75，1）的中点x 2=0.875，用计算器可算得f （0.875）≈－0.04.因为f （0.875）·f （0.75）＜0，所以x 0∈（0.75，0.875）.同理可得x 0∈（0.8125，0.875），x 0∈（0.8125，0.84375）.由于|0.8125－0.84375|=0.03125＜0.1，此时区间（0.8125，0.84375）的两个端点精确到0.1的近似值都是0.8，所以原方程精确到0.1的近似解为0.8.5.由题设有f （2）≈－0.31＜0，f （3）≈0.43＞0，于是f （2）·f （3）＜0，所以函数f （x ）在区间（2，3）内有一个零点.下面用二分法求函数f （x ）=ln x －x2在区间（2，3）内的近似解. 取区间（2，3）的中点x 1=2.5，用计算器可算得f （2.5）≈0.12.因为f （2）·f （2.5）＜0，所以x 0∈（2，2.5）.再取（2，2.5）的中点x 2=2.25，用计算器可算得f （2.25）≈－0.08.因为f （2.25）·f （2.5）＜0，所以x 0∈（2.25，2.5）.同理可得x 0∈（2.25，2.375），x 0∈（2.3125，2.375），x 0∈（2.34375，2.375），x 0∈（2.34375，2.359375），x 0∈（2.34375，2.3515625），x 0∈（2.34375，2.34765625）.由于|2.34375－2.34765625|=0.00390625＜0.1，此时区间（2.34375，2.34765625）的两个端点精确到0.1的近似值都是2.3，所以函数在区间（2，3）内精确到0.1的零点约为2.3.6.（1）盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y=（15－2x）2x，其定义域为{x|0＜x＜7.5}.（2）如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程（15－2x）2x=150.下面用二分法来求方程在（0，7.5）内的近似解.令f（x）=（15－2x）2x－150，函数图象如下所示：由图象可以看到，函数f（x）分别在区间（0，1）和（4，5）内各有一个零点，即方程（15－2x）2x=150分别在区间（0，1）和（4，5）内各有一个解.下面用二分法求方程的近似解.取区间（0，1）的中点x1=0.5，用计算器可算得f（0.5）=－52.因为f（0.5）·f（1）＜0，所以x0∈（0.5，1）.再取（0.5，1）的中点x2=0.75，用计算器可算得f（0.75）≈－13.31.因为f（0.75）·f（1）＜0，所以x0∈（0.75，1）.同理可得x0∈（0.75，0.875），x0∈（0.8125，0.875），x0∈（0.84375，0.875），x0∈（0.84375，0.859375），x0∈（0.84375，0.8515625），x0∈（0.84375，0.84765625）.由于|0.84375－0.84765625|=0.00390625＜0.1，此时区间（0.84375，0.84765625）的两个端点精确到0.1的近似值都是0.8，所以方程在（0，1）内精确到0.1的近似解为0.8.同理可得方程在区间（4，5）内精确到0.1的近似解为4.7.答：如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子时，截去的小正方形的边长大约是0.8 cm 或4.7 cm.教科书P109习题3.B组1.将系数代入求根公式x=a acb b24 2-±-，得x=22)1( 24)3(32⨯-⨯⨯--±=4173±，所以方程的两个解分别为x1=4173+，x2=4173-.下面用二分法求方程的近似解.取区间（1.775，1.8）和（－0.3，－0.275），令f（x）=2x2－3x－1在区间（1.775，1.8）内，用计算器可算得f（1.775）=－0.02375，f（1.8）=0.08.于是f（1.775）·f（1.8）＜0.所以，这个方程在区间（1.775，1.8）内有一个解.由于|1.8－1.775|=0.025＜0.1，此时区间（1.775，1.8）的两个端点精确到0.1的近似值都是1.8，所以方程在区间（1.775，1.8）内精确到0.1的近似解为1.8.同理可得，方程在区间（－0.3，－0.275）内精确到0.1的近似解为－0.3.所以方程精确到0.1的近似解分别是1.8和－0.3.2.原方程即x3－6x2－3x+5=0，令f（x）=x3－6x2－3x+5，函数图象如下所示.所以这个方程在（－2，0），（0，1），（6，7）内各有一个解.取区间（－2，0）的中点x1=－1，用计算器可算得f（－1）=1.因为f（－2）·f（－1）＜0，所以x0∈（－2，－1）.再取（－2，－1）的中点x2=－1.5，用计算器可算得f（－1.5）=－7.375.因为f（－1.5）·f（－1）＜0，所以x0∈（－1.5，－1）.同理可得x0∈（－1.25，－1），x0∈（－1.125，－1），x0∈（－1.125，－1.0625）.由于|（－1.0625）－（－1.125）|=0.0625＜0.1，此时区间（－1.125，－1.0625）的两个端点精确到0.1的近似值都是－1.1，所以原方程在区间（－2，0）内精确到0.1的近似解为－1.1.同理可得原方程在区间（0，1）内精确到0.1的近似解为0.7，在区间（6，7）内精确到0.1的近似解为6.3.3.（1）由题设有g（x）=2－［f（x）］2=2－（x2+3x+2）2=－x4－6x3－13x2－12x－2.（2）函数图象如下图所示.（3）由图象可知，函数g（x）在区间（－3，－2）和区间（－1，0）内各有一个零点.取区间（－3，－2）的中点x1=－2.5，用计算器可算得g（－2.5）=0.1875.因为g（－3）·g（－2.5）＜0，所以x0∈（－3，－2.5）.再取（－3，－2.5）的中点x2=－2.75，用计算器可算得g（－2.75）≈0.28.因为g（－3）·g（－2.75）＜0，所以x0∈（－3，－2.75）.同理可得x0∈（－2.875，－2.75），x0∈（－2.8125，－2.75）.由于|－2.75－（－2.8125）|=0.0625＜0.1，此时区间（－2.8125，－2.75）的两个端点精确到0.1的近似值都是－2.8，所以函数在区间（－4，－3）内精确到0.1的零点约为－3.5.同样可求得函数在区间（－1，0）内精确到0.1的零点约为－0.2.所以函数g（x）精确到0.1的零点约为－3.5或－0.2.4.设该基金会的平均年收益率为x，那么x；1年后，投资收益的一半为440×22年后，投资收益的一半为440（1+2x ）×2x ； ……50年后，投资收益的一半为440（1+2x ）49×2x ，由题意有440（1+2x ）49×2x =68. 用二分法解得x ≈0.0468.答：该基金会的年平均收益率约为6.48%.。

拓展延伸应用点一二分法的步骤【例1】用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈__________，第二次应计算__________，以上横线上应填的内容为()．A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25) C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.125) 思路分析：二分法要不断地取区间的中点值进行计算．由f(0)＜0，f(0.5)＞0知x0∈(0,0.5)．再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x0的更准确位置．答案：A某同学在求方程lg x＝2－x的近似解(精确到0.1)时，设f(x)＝lg x＋x－2，发现f(1)＜0，f(2)＞0，他用“二分法”又取了四个值，通过计算得到方程的近似解为x≈1.8，那么他所取的四个值中的第二个值为__________．应用点二方程根的分布问题【例2】(1)指出方程x5－x－1＝0的根所在的大致区间；(2)求证：方程x3－3x＋1＝0的一个根在区间(－2，－1)内，一个在区间(0,1)内，另一个在区间(1,2)内．思路分析：可先画出方程对应函数的图象或通过多次验证区间端点处的函数值符号，或两者结合，寻找到方程的根所在的区间．图3.1.2-3解：(1)方程x5－x－1＝0，即x5＝x＋1，令F(x)＝x5－x－1，y＝f(x)＝x5，y＝g(x)＝x＋1.在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图象如图3.1.2-3所示，显然它们只有1个交点．两函数图象交点的横坐标就是方程的解．又F(1)＝－1＜0，F(2)＝29＞0，∴方程x5－x－1＝0的根在区间(1,2)内．(2)令F(x)＝x3－3x＋1，它的图象一定是连续的，又F(－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0，F(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0，∴方程x3－3x＋1＝0的一个根在区间(－2，－1)内．同理可以验证F(0)·F(1)＝1×(－1)＝－1＜0，F(1)·F(2)＝(－1)×3＝－3＜0，∴方程的另两根分别在区间(0,1)和(1,2)内．若方程2ax2－x－1＝0，在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是()．A．a＜－1 B．a＞1 C．－1＜a＜1 D．0≤a＜1应用点三用二分法求函数的零点【例3】用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点．(精确度0.01)思路分析：要求函数的一个正零点，首先需要确定正零点所在的大致区间，然后利用计算器，借助二分法求出零点近似解．解：由于f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：∵|1.445 312 5－1.437 5|＝0.007 812 5＜0.01，∴x＝1.445 312 5可作为函数的一个正零点．求函数y ＝x 3－x －1在(1,1.5)内的零点．(精确度0.1) 应用点四 用二分法求方程的近似解【例4】证明方程6－3x ＝2x 在区间(1,2)内有唯一一个实数解，并求出这个实数解．(精确度0.1)思路分析：先构造函数f (x )＝2x ＋3x －6，检验f (1)·f (2)＜0是否成立，再根据函数的单调性，确定零点唯一性，最后用二分法求解．解：设函数f (x )＝2x ＋3x －6. ∵f (1)＝－1＜0，f (2)＝4＞0，又∵f (x )是增函数，∴函数f (x )＝2x ＋3x －6在区间(1,2)内有唯一的零点， 则方程6－3x ＝2x 在区间(1,2)上有唯一一个实数解． 设该解为x 0，则x 0∈(1,2)，取x 1＝1.5，f (1.5)≈1.33＞0， f (1)·f (1.5)＜0，∴x 0∈(1,1.5)．取x 2＝1.25，f (1.25)＝0.128＞0，f (1)·f (1.25)＜0， ∴x 0∈(1,1.25)．取x 3＝1.125，f (1.125)＝－0.44＜0，f (1.125)·f (1.25)＜0. ∴x 0∈(1.125,1.25)．取x 4＝1.187 5，f (1.187 5)＝－0.16＜0，f (1.187 5)·f (1.25)＜0， ∴x 0∈(1.187 5,1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5＜0.1，∴可取x 0＝1.25，则方程的一个实数解可取x 0＝1.25.求方程x 5－x 3－3x 2＋3＝0的无理根．(精确度0.01)迁移1.1.75 解析：由f (1)＜0，f (2)＞0知根在(1,2)上，按二分法的步骤，再计算f (1＋22)＝f (1.5)＜0，即有解区间为(1.5,2)， 所以再计算f (1.5＋22)＝f (1.75)．所以所取的第二个值为1.75.迁移 2.B 解析：令f (x )＝2ax 2－x －1，则由题意，知在(0,1)内函数只有一个零点，则f(0)·f(1)＜0，即－1×(2a－2)＜0，解得a＞1，故选B.迁移3.解：用二分法逐次计算，列表如下：由于|1.375－1.312 5|＝0.062 5＜0.1，所以函数的一个近似零点为x＝1.312 5.迁移4.解：令f(x)＝x5－x3－3x2＋3.f(x)＝(x2－1)(x3－3)＝(x＋1)(x－1)(x3－3)．显然－1,1是方程f(x)＝0的两个有理根．∴f(x)＝0的无理根是x3－3＝0的根．只需令g(x)＝x3－3，求出g(x)的零点即可．∵g(0)＝－3，g(1)＝－2，g(2)＝5，∴无理根在(1,2)内．用二分法求函数g(x)＝x3－3的零点，列表如下：由于|1.443 9－1.437 5|＝0.006 4＜0.01，所以1.443 9就是函数g(x)的一个零点的近似值，故原方程的无理根是1.443 9.。

《用二分法求方程的近似解》教材分析本节是人教A版《普通高中标准试验教科书·数学1（必修）》第三章“函数的应用”中第一节“函数与方程”的第二节课内容，是在学习了集合与函数概念、基本初等函数后，研究函数与方程关系的内容。

本节课的教学内容是：结合函数大致图象，能够借助计算器用二分法求出相应方程的近似解，理解二分法的思想及了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

本节内容是新教材中新增的内容。

在初中，学生学习了简单的一元一次方程和一元二次方程等简单方程的求根问题，但是实际问题中，有具体求根公式的方程是很少的。

对于这类方程，我们只能根据根的存在性定理判断根的存在，在利用二分法可以求出方程给定精确度的近似解。

经过本节内容的学习，将使学生更加深入理解函数与方程的数学思想。

教学目标【知识与能力目标】通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，会用二分法求解具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用，体会程序化解决问题的思想．【过程与方法】借助计算器求二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做准备．【情感、态度与价值观】通过探究体验、展示、交流养成良好的学习品质，增强合作意识。

通过体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重难点【教学重点】过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．【教学难点】恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．课前准备多媒体课件、教具等．教学过程一、问题引入实际问题：某个雷电交加的夜晚，医院的医生正在抢救一个危重病人，忽然电停了。

据了解原因是供电站到医院的某处线路出现了故障，维修工，如何迅速查出故障所在? (线路长10km ，每50m 一棵电线杆）如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多。

课题：3.1.2用二分法求方程的近似解（人教版必修①第三章）教学目标：（1）通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．（2）能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．（3）体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一．教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．教学方法：利用多媒体和图形计算器辅助教学，通过例题引导学生自主探究二分法的原理与步骤。

教学过程：一、复习引出问题1. 提问：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？零点概念：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x) 的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.2. 提出问题：解下列方程：2(1)210(2)ln260(3)2370xx xx xx-+=+-=+-=（教师根据学生的解答指出：解一元二次方程可用求根公式，但对于其它的某一些方程，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题。

）3. 探究：我们已经知道，函数()ln26f x x x=+-在区间（2，3）内有零点。

进一步的问题是，如何找出这个零点？我们来看一看下面的生活实例：如果府城的某条有线电视电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，你能找一个简便易行的方法吗？师生共同讨论：维修人员这样工作最合理：①先从中间位置接点查起：若用随身所带的仪器向两端测试，发现上半段正常，则可确定是下半段有故障；否则反之。

3.1.2 用二分法求方程的近似解问题导学一、用二分法求函数零点的近似值活动与探究1求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确度0.1)．迁移与应用x2．用二分法求方程f(x)＝0在[1,2]上的近似解时，经计算f(1.687 5)＜0，f(1.718 75)＞0，可得出方程的一个近似解为__________．(精确度0.1)3．用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.01)．(1)用二分法求函数零点的近似值，首先要选好选准计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要尽量使其长度小，其次要依据给定的精确度及时检验计算中得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算．(2)求方程f(x)＝0的近似解，可转化为求函数f(x)的零点，再按照二分法求函数零点近似值的步骤求解．二、二分法的综合应用活动与探究2求32的近似值．(精确度0.01) 迁移与应用求5的近似值(精确度0.1)．用二分法求一些无理数的近似值时，首先要将其转化为方程的解或函数的零点问题，再按求函数零点或方程解的方法求解．三、二分法的实际应用活动与探究3某县A地到B地的电话线路发生故障，这是一条10 km长的线路，每隔50 m有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？迁移与应用一物品的价格在0～100之间，如果让我们猜该物品的价格，最多猜多少次就可使误差小于2元？二分法的思想在实际生活中应用十分广泛，在电线线路、自来水管道、煤气管道等铺设线路比较隐蔽的故障排除方面有着重要的作用．方法是：每次取问题所在范围的中点，使范围减半，以达到快速解决问题的目的．当堂检测1．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()2．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A．[－2,1] B．[－1,0]C ．[0,1]D ．[1,2]3．用二分法求方程x 2＝⎝⎛⎭⎫12x －2的近似解时，所取的初始区间可以是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4325．一块电路板的线路AB 之间有64个串联的焊接点(如图所示)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．课前预习导学【预习导引】1．连续不断 f (a )·f (b )＜0 一分为二 逐步逼近零点预习交流1 提示：不能．一个函数能用二分法求其零点需满足两个条件：一是函数图象在零点附近是连续不断的，二是该零点左右的函数值异号．2．(1)f (a )·f (b )＜0 (3)①c 就是函数的零点 ②(a ，c ) ③(c ，b )预习交流2 (1)提示：根据方程f (x )＝0的解与函数y ＝f (x )的零点的关系，求方程f (x )＝0的近似解就是求函数y ＝f (x )的近似零点．所以可以按求函数y ＝f (x )的近似零点的步骤来求方程f (x )＝0的近似解．(2)提示：精确度ε是指零点所在区间[a ，b ]满足|a －b |＜ε，并不是零点近似值精确到ε. 课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：由于要求的是函数的一个正数零点，因此可考虑首先确定一个包含正数零点的区间，如f (0)＝－6＜0，f (1)＝－6＜0，f (2)＝4＞0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间(当然[0,2]也可以)，然后用二分法求零点．解：由于f (1)＝－6＜0，f (2)＝4＞0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐＜0.1，所以可将1.687 5作为函数零点的近似值．迁移与应用 1．1.562 5 解析：由参考数据知，f (1.562 5)＝0.003＞0，f (1.556 25)＝－0.029＜0，即f (1.562 5)·f (1.556 25)＜0，且1.562 5－1.556 25＝0.006 25＜0.01，∴f (x )＝3x －x －4的一个零点的近似值可取为1.562 5.2．1.687 53．解：经计算f (1)＜0，f (1.5)＞0，所以函数在[1,1.5]内存在零点x 0.取(1,1.5)的中点x 1＝1.25，经计算f (1.25)＜0，因为f (1.5)·f (1.25)＜0，所以x 0∈(1.25,1.5)．度为0.01的近似零点可取为1.328 125.活动与探究2 思路分析：32可以看作是方程x 3＝2的解，故可用二分法求出方程的近似解，即求函数f (x )＝x 3－2的零点，即为32的近似值．解：设x ＝32，则x 3＝2，即x 3－2＝0，令f (x )＝x 3－2，则函数f (x )的零点的近似值就是32的近似值，以下用二分法求其零点：由f (1)＝－1＜0，f (2)＝6＞0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．∵∴函数f (x )＝x 3－2的近似零点为1.257 812 5，即32的近似值为1.257 812 5.迁移与应用 解：设x ＝5，则x 2＝5，即x 2－5＝0，令f (x )＝x 2－5.因为f (2.2)＝－0.16＜0.f (2.4)＝0.76＞0，所以f (2.2)·f (2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x 0，取区间(2.2,2.4)的中点x 1＝2.3，则f (2.3)＝0.29.因为f (2.2)·f (2.3)＜0，∴x 0∈(2.2,2.3)再取区间(2.2,2.3)的中点x 2＝2.25，f (2.25)＝0.062 5.因为f (2.2)·f (2.25)＜0，所以x 0∈(2.2,2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.05＜0.1，所以5的近似值可取为2.25.活动与探究3 思路分析：可以利用二分法的思想查出故障所在．解：如图，可首先从中点C 开始查起，用随身携带的工具检查，若发现AC 段正常，断定故障在BC 段，再到BC 段的中点D 检查，若CD 段正常，则故障在BD 段，再到BD 段的中点E 检查，如此这般，每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半，经过7次查找，即可将故障范围缩小到50～100 m 之间，即可较快找到故障所在．迁移与应用 解：第一次取中点，误差最大为50；第二次再取物品价格所在区间的中点，误差最大为25；第三次取中点，误差最大为12.5；第四次取中点，误差最大为6.25，第五次取中点，误差最大为3.125，第六次取中点，误差最大为1.6，满足要求．所以最多猜六次即可达到要求．【当堂检测】1．A2．A 解析：∵f (－2)＝－8＋5＝－3＜0，f (1)＝1＋5＝6＞0，∴初始区间可为[－2,1]．3．B 解析：设f (x )＝x 2－⎝⎛⎭⎫12x －2，则f (0)＝－4＜0，f (1)＝1－2＝－1＜0，f (2)＝4－1＝3＞0，f (3)＝172＞0，f (4)＝634＞0，∴f (x )在(1,2)内有零点，即方程x 2＝⎝⎛⎭⎫12x －2的解在(1,2)内． 4．1.437 55．6 解析：第1次取中点把焊点数减半为642＝32(个)，第2次取中点把焊点数减半为644＝16(个)，第3次取中点把焊点数减半为648＝8(个)，第4次取中点把焊点数减半为6416＝4(个)，第5次取中点把焊点数减半为6432＝2(个)，第6次取中点把焊点数减半为6464＝1(个)，所以至多需要检测的次数是6.。

公开课教案课题：§3.1.2 用二分法求方程的近似解【教学目标】1. 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相对应方程的近似解；2. 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识. 【教学重难点】教学重点：通过用二分法求方程的近似解，体会函数的零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．教学难点：精确度概念的理解，求方程近似解一般步骤的概括和理解 【教学过程】 (一)问题提出如何求所给方程的实数根？ （2）237xx +=（函数有零点、方程有实数根、图像有交点三者的联系）（二）问题探究 1、猜价格游戏 思考：（1）如何才能以最快速度猜出它的价格？（2）利用猜价格的方法，你能否找出237xx +=的实数根？（持续的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点）2、新知借助计算器或计算机，利用二分法求方程237x x +=的近似解.（精确度0.1） 解析：如何进一步有效的缩小根所在的区间。

解：原方程即为0732=-+x x，令732)(-+=x x f x，用计算器或计算机作出对应的表格与图象（见课本90页）则0)1()2(<f f ，说明在区间)2,1(内有零点0x ，取区间)2,1(的中点5.1，用计数器计算得33.0)5.1(≈f ，因为0)5.1()1(<f f ，所以)5.1,1(0∈x .再取区间)5.1,1(的中点25.1，用计数器计算得87.0)25.1(-≈f ，因为0)5.1()1(<f f ，所以)5.1,25.1(0∈x .同理可得)5.1,375.1(0∈x )4375.1,375.1(0∈x 因为1.00625.04375.1375.1<=-，所以方程的近似解可取为.4375.1点评：利用同样的方法能够求方程的近似解。

（三）形成方法对于在区间[,]a b 上图像连续持续且()()f a f b <0的函数()y f x =，通过持续的把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).反思：给定精度ε，用二分法求函数()f x 的零点近似值的步骤如何呢？2(1)260x x --=①确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b <，给定精度ε； ②求区间(,)a b 的中点1x ；③计算1()f x ： 若1()0f x =，则1x 就是函数的零点； 若1()()0f a f x <，则令1b x =（此时零点01(,)x a x ∈）； 若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）；④判断是否达到精度ε；即若||a b ε-<，则得到零点零点值a （或b ）；否则重复步骤②~④．注意：研究二分法求方程的近似解问题，首先是通过估算，数形结合借助计算器、计算机等手段来确定一个零点所在的大致区间，区间长度应尽量小，否则会增加运算次数和运算量。

用二分法求方程的近似解教材分析： “用二分法求方程的近似解”是高中数学新课程人教社A 版《数学》必修1第三章3.1函数与方程的第2节课，是学生在学习了《方程的根与函数的零点》后，利用函数与方程关系来解决具体问题的一节课。

本课的主要内容是用“二分法”是求一些具体方程的近似解。

它以上节课的“连续函数的零点存在定理”为确定方程解所在区间的依据，从求方程近似解这个侧面来体现“方程与函数的关系”；求方程近似解其中隐含“逼进”的数学思想，并且运用“二分法”来逼近目标是一种普通而有效的方法； “二分法”还是一种程序化的方法，在“用二分法求函数零点的步骤”中渗透了算法的思想。

学习本课内容时，要让学生在学会用二分法求具体方程近似解的同时，进一步巩固数形结合的数学思想，感受无限逼近与算法的数学思想，为今后学习算法埋下伏笔。

二、学情分析学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备。

但学生仅是比较熟悉一元二次方程解与函数零点的关系，对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的联系的认识比较模糊，计算器的使用不够熟练，这些都给学生学习本节内容造成一定困难。

具体来讲，预计会出现如下困难：1、学生对确定方程022=-+x x近似解所在的初始区间存在障碍，其原因是学生对函数f (x )= 2x +x -2的图象无法顺利得到。

教材中利用计算器或计算机得到对应值表或图像，从而确定这个函数在区间（0，1）上有零点。

在教学中教师也可引导学生要充分运用已学的函数零点存在定理，可利用试值法去找两个值a ,b 并使f (a )·f (b )<0，则在[a ,b ]上至少存在一个零点；或将方程化为2x =2-x ，再利用函数y =2x 与y =2-x 的图象交点来估计方程根所在的区间。

2、精确度概念不易被学生理解，学生对精确度要求下，如何确定方程的近似解会遇到思维障碍。