重庆市第七中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题Word版含解析

xx 学年度宜兴市周铁学区期中考试试卷 2019-2020年七年级下学期期中考试数学试题 Word 版含答案(II) 一、选择题：(本大题共有10小题，每小题3分，共30分．)1．下列计算正确的是 （ ）A ．a 2＋a 2＝2a 4B ．a 2 • a 3＝a 6C ．(－3x) 3÷(－3x)＝9x 2D ．(－ab 2) 2＝－a 2b 42. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是 （ ）A.八边形B.九边形C.十边形D.十二边形3．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是 （ ）A ．(a ＋1)(a －1)＝a 2－1B ．a 2－6a ＋9＝(a －3) 2C ．x 2＋2x ＋1＝x(x ＋2)＋1D ．－18x 4y 3＝－6x 2y 2•3x 2y4．如图，已知AB ∥CD ，BC 平分∠ABE ，∠C ＝35°，则∠BED 的度数是( )A ．70°B ．68°C ． 60°D ．72°5. 若x 、y 满足0)2(12=++++-y x y x ，则 ( )A ．1B ．2C ．–1D ．–26．如图，有以下四个条件：①∠B ＋∠BCD ＝180°，②∠1＝∠2，③∠3＝∠4，④∠B ＝∠5．其中能判定AB ∥CD 的条件的个数有… （ ）A ．1B ．2C ．3D ．47. 如果a ＝(－xx) 0、b ＝(－110)-1、c ＝(－53)2，那么a 、b 、c 的大小关系为( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b8．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE 的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝68°，则∠AED 的度数 （ ）A ．88°B ．92°C ．98°D ．112°9. 若a m ＝2，a n ＝3，则a 2m-n 的值是 （ ）A ．1B ．12C ．34D ．4310．为求1＋2＋22＋23＋…＋2xx 的值，可令S ＝1＋2＋22＋23＋…＋2xx ，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋2xx ，因此2S －S ＝2xx －1，所以1＋2＋22＋23＋…＋2xx＝2xx －1．仿照以上推理计算出1＋3＋32＋33＋…＋3xx 的值是( ）A ．3xx －1B ． 3xx －1C ．D ．二、填空题：(本大题共8小题，每空2分，共18分.)(第4题) (第8题)(第6题)第16题 第15题11．甲型H7N9流感病毒的直径大约为0.000 000 08米，用科学记数法表示 米．12. 因式分解：m 2－16＝ ；2x 2－8xy ＋8y 2＝ ．13．一个三角形的两边长分别为3 cm 、5 cm ，且第三边为偶数，则这个三角形的周长为______________ cm ．14．若，，则15. 如图，BC ⊥ED 于O ，∠A ＝45°，∠D ＝20°，则∠B ＝________°.16．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝23度，那么∠2＝ 度．17. 如图，将一个长方形纸条折成如图所示的形状，若已知∠2＝65°，则∠1＝__________。

数学试题一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．）在每小题的下面，都给出了A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的正确答案所在的方框涂黑．1. 在实数，0，，，，中，无理数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：B解析：解：在实数，0，，，，中，，是无理数，共2个故选：B．2. 下列方程中，是二元一次方程的是（）A. B.C. D.答案：C解析：解：A. ，不是整式方程，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；B. ，含有3个未知数，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；C. ，是二元一次方程，故该选项正确，符合题意；D. ，次数为，不是二元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．3. 下面所示的图案中，可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的是（）A. B.C. D.答案：C解析：解：A、不可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项不符合题意；B、不可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项不符合题意；C、可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项符合题意；D、不可以看成是由图案自身的一部分经过平移得到的，故本选项不符合题意；故选：C4. 已知：如图，直线，将一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点落在直线上．若，则的度数为（）A. B. C. D.答案：A解析：解：如图：，，，，，故选：A．5. 估计的值在（）A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间答案：B解析：解：∵，∴，∴，故选：B．6. 下列说法正确的是（）A. 在同一平面内，，，则B. 8的立方根是C. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D. 平方根等于它本身的数只有0答案：D解析：解：A. 在同一平面内，，，则，故该选项不正确，不符合题意；B. 8的立方根是，故该选项不正确，不符合题意；C. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项不正确，不符合题意；D. 平方根等于它本身的数只有0，故该选项正确，符合题意；故选：D．7. 《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？现有一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出15元，则多了6元；如果每人出13元，则少了8元，问组团人数和物价各是多少？若设人参与组团，物价为元，则以下列出的方程组正确的是（）A. B.C. D.答案：B解析：解：设人参与组团，物价为元，由题意可得，．故选：B．8. 用大小完全相同的长方形在直角坐标系中摆成如图所示图案，已知点A的坐标为，则点B的坐标是（）A. B. C. D.答案：D解析：设长方形纸片的长为x，宽为y，由题意得：，解得：，∴，∴点B的坐标为，故选：D．9. 如图，在平面直角坐标系内原点第一次跳动到点，第二次从点跳动到点，第三次从点跳动到点，第四次从点跳动到点，……，按此规律下去，则点的坐标是（）A. B. C. D.答案：B解析：解：∵，，，，，，，，…，∴可知（n为正整数），∵，∴，∴，故选：B．10. 对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，则下列结论正确的有（）①，；②若，则；③若，则m，n有且仅有2组整数解；④若无论取何值时，的值均不变，则；⑤若对任意有理数，都成立，则．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个答案：C解析：解：，，解得，故（1）正确；，，，，，故（2）正确；、均取整数，，，，∴，，（舍去），（舍去），（舍去），（舍去）∴m，n有2组整数解，故（3）正确；∵，无论取何值时，的值均不变，，∴或，故（4）不正确；，，，对任意有理数、都成立，，故（5）正确；综上所述：（1）（2）（3）（5）正确，故选：C．二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．）在每小题中，请将答案直接填写在答题卡中对应题目的横线上．11. 25的平方根是_____．答案：±5解析：∵（±5）2=25，∴25的平方根是±5．12. 若是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为_________．答案：解析：解：依题意，解得：故答案为：．13. 在平面直角坐标系中，已知点，，且轴，则位于第_____象限．答案：二解析：解：∵点，，且轴，∴，∴，∴，∴，即位于第二象限，故答案为：二．14. 如图，把沿着射线方向平移得到，，，则________．答案：解析：解：由平移的性质可得，∵，∴，故答案为：．15. 若实数，满足，则的算术平方根是________．答案：解析：解：∵，又∵，，∴可有，解得，∴．的算术平方根是，故答案为：．16. 若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于m，n的二元一次方程组的解是___________．答案：解析：解：令，则方程组即为，∵关于x，y的二元一次方程组的解是，∴关于s，t的二元一次方程组的解是∴，∴，故答案为：．17. 如图①，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点，分别落在，的位置，再沿折叠成图②，若，则________．答案：##度解析：解：，，，即，，．，．由折叠可得：，．故答案为：．18. 若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称该数为“一干二净数”，例如3253、6597都是“一干二净数”．将一个四位正整数M的百位和十位交换位置后得到四位数N，．（1）最小的“一干二净数”为__________．（2）若T为“一干二净数”，且T能被13整除，则满足条件的所有中，的最大值为________．答案：①. ②.解析：解：（1）一个四位正整数（各个数位均不为0），千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，要使得这个数最小，则千位数字为2，则百位数字为，十位数字为，个位数为则这个最小的“一干二净数”为故答案为：．（2）设∵T能被13整除，∴能被整除，且当时，无整数解，当时，当，当，当时，无整数解，当时,当，当时，无整数解，当时，，不合题意，综上所述，的最大值为故答案为：．三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，20-26每小题10分，共78分．）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19. 计算（1）（2）答案：（1）（2）解析：小问1：解；；小问2：解：．20. 解下列方程组（1）（2）答案：（1）（2）解析：小问1：解：将②代入①得，解得：，将代入②得，∴方程组的解为：小问2：解：方程组整理，得，得，解得：，将代入①得，，解得：∴21. 已知：如图，四边形中，，，为延长线上一点．（1）用三角板和直尺按要求画图：过点画于，并延长交延长线于；（2）在以上条件下，求证：，请补全证明过程．证明：∵∴①又∵∴②∴∴（③）∵于O∴∴④（等量代换）∴⑤∵∴⑥答案：（1）见解析（2）；；两直线平行，同位角相等；；；解析：小问1：解：如图所示，小问2：证明：∵∴又∵∴∴∴（两直线平行，同位角相等）∵于O∴∴（等量代换）∴∵∴故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；；．22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格的格点上，点B的坐标为．（1）请直接写出点A、C的坐标：A（），C（）；（2）把向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，且点A，B，C对应点分别是，，，画出平移后的；若线段上有一点经过上述平移后的对应点为，则的坐标为（）；（3）若点P为y轴上一动点，且，则符合条件的点P的坐标为．答案：（1）；（2）画图见解析，（3）或解析：（3）先利用割补法求出，进而得到，据此求解即可．小问1：解；由题意得，点A的坐标为，点C的坐标为，故答案为：；；小问2：解：如图所示，即为所求；∵把向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度得到，点平移后的对应点为，∴的坐标为；小问3：解：，，∴，∴，∴，解得或，∴点的坐标为或．23. 如图，四边形中，，，E为线段延长线上一点，连接，，F为射线上一点，过点E作．（1）直线与有怎样的位置关系？请说明理由；（2）若，求的度数．答案：（1），理由见解析（2）解析：小问1：解：，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴；小问2：解：∵，，∴，∵，，∴，∴．24. 病魔无情人有情，大爱无边暖人心．今年4月初，綦江中学有一名同学患了白血病，因家庭经济困难，无法筹集昂贵的医疗费，学校了解情况后，团委立即向全校师生发出倡议书，很快收到师生的捐款共计28万余元．七年级（6）班通过微信捐款和现金捐款共计4200元，且微信捐款比现金捐款的2倍还多600元．（1）求该班微信捐款和现金捐款各多少元？（2）在此次捐款活动中，七年级（13）班的微信捐款比七年级（6）班微信捐款多元，而现金捐款比七年级（6）班少，故七年级（13）班的总捐款比七年级（6）班的总捐款多240元，求的值．答案：（1）该班微信捐款3000元，现金捐款1200元（2）解析：小问1：设该班微信捐款元，现金捐款元，根据题意得解得：答：设该班微信捐款元,现金捐款元小问2：解：依题意得，解得：25. 阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得（x，y为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：x为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为．问题：（1）请你直接写出方程的正整数解；（2）若为负整数，直接写出满足条件的整数x的值为；（3）若关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，求出整数k的值，并求出此时方程组的解．答案：（1）（2）0或（3）当时；当时解析：分析：本题主要考查了解二元一次方程组和解二元一次方程：（1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解；（2）根据为负整数，，可得或或或，再根据x为整数即可得到答案；（3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或，从而得到k取0或1，即可求解．小问1：解：∵，∴，解得：，∵、为正整数，∴是3的倍数，且，∴只有，满足题意，∴方程的正整数解为；故答案为：；小问2：解；∵为负整数，，∴或或或，解得或（舍去）或或（舍去）；故答案为：0或；小问3：解：，得：，解得，把代入①得：，解得，∴方程组的解为∵关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，∴都是正整数，∴当为正整数时，或或或；当为正整数数，或，∴只有当或时都是正整数，∴或，∴当时，；当时，。

四川省成都市第七中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．22(1i)(1i)+--=（ ） A ．0B ．4C ．4i -D ．4i2．把余弦曲线cos y x =上所有的点向左平移13个单位长度，得到图像对应函数为（ ）A ．πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．1cos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．1cos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭3．若1πsin cos ,π2222θθθ-=<<，则cos θ=（ ）A ．BC ．34-D ．344．在ABC V 中，π,26A a b ==，则B 大小为（ ） A ．π3或2π3B ．π4或3π4C ．π3D ．π45．以下等式错误的是（ ）A ．()()22m n m n m n +⋅-=-r r r r r r B ．222()2m n m m n n +=+⋅+r r r r r r C ．22m n m n m n +-=-r r r r r rD ．222()2m n m m n n -=-⋅+r r r r r r6．若长方体的长、宽、高分别为2,2,4，则长方体外接球的表面积为（ ）A ．24πB ．C ．48πD ．7．已知()()()()0,0,1,2,3,1,2,1O A B C --，则四边形OABC 的面积为（ ）A ．B ．5C ．D ．108．如图，正方形ABCD 的边长为2,,,P M N 分别为边,,AB AD BC 上的点，则以下错误的是（ ）A ．若,PM PN AP PB ⊥=，则以P 为圆心，半径为1的圆与MN 相切B ．若60,MPN AP PB ∠=︒=，则MPN △面积的取值范围是(6522⎤⎥⎥⎣⎦ C ．若点N 与点C 重合，APM △周长为4，则45PNM ∠=︒ D ．MPN ∠不可能小于45︒9．复数()()12i z m m =-+-在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m 的值可能是（ ） A ．2B ．32C ．43D ．1二、多选题10．下列正确的是（ ）A ．在任意四边形ABCD 中，,E F 分别为,AD BC 的中点，则2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u rB ．复数1i(i 1iz +=-是虚数单位)，则2320240z z z z ++++=L C ．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体D ．直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积 11．ABC V 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，下列命题中正确的有（ ）A．若45,3c B b ==︒=，则三角形唯一确定 B ．若π2,2a b C ==∠=，则ABC V 外接圆面积为π C ．若6,4,2a c A C ===，则5b =D ．若cos2cos2cos21A B C +-<，则ABC V 为锐角三角形12．在直三棱柱111ABC A B C -中，12,2,4AA AB BC AC ====，下列说法正确的是（ ）A．直三棱柱体积为B．直三棱柱侧面积为12+C ．ABC V 沿边AC 旋转一周形成的几何体的体积为6πD ．若F 为11AC 的中点，E 为1BB 的中点，过,,A EF 三点作该直三棱柱111ABC A B C -的三、填空题13．已知()()4,,,1a b λλ==r r ，若a b rr P ，则λ的值为. 14．已知π11,0,,sin ,cos 232αβαβ⎛⎫∈== ⎪⎝⎭，则()sin αβ-=.15．已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为4和8，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为π2，则该圆台的体积为.16．ABC V 中，150,C D ∠=︒为线段AB 上一点，1CD =，且0DC AC ⋅=u u u r u u u r，则ABC V 面积的最小值为.四、解答题17．已知函数()2cos cos f x x x x m =++，在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为52.(1)求常数m 的值；(2)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间.18．如图，正方形ABCD 边长为6,E 是AB 的中点，1,3BF BC AF =与DE 交于点M ，记A F a =u r r ，DE b u u u r r =.(1)求a r 与b r夹角的余弦值；(2)若EC ma nb =+u u u r r r，求m n +的值.19．在复数范围内有关于x 的方程210x x ++=. (1)求该方程的根； (2)求()1x x -的值；(3)有人观察到()()2110x x x -++=，得31x =，试求20242024111x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭的值.20．如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米.(1)求该漏斗的表面积；(2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点A '爬到点P ，求它爬过的最短路径的长；(3)将图中正方形ABB A ''水平放置，在由斜二测画法得到的水平放置的直观图中，求线段A B '的长.21．成都天府绿道专为骑行而建，以绿道为线，串联上百个生态公园，一路上树木成荫、鸟语花香，目前已然成为成都新的城市名片．成都市政府为升级绿道沿途风景，计划在某段全长200米的直线绿道AB 一侧规划一个三角形区域ABC 做绿化，如图，已知π3CAB ∠=，为提升美观度，设计师拟将绿化区设计为一个锐角三角形．(1)若100AC =米，求BC 的长； (2)求绿化区域ABC V 面积的取值范围；(3)绿化完成后，某游客在绿道AB 的另一侧空地上寻找最佳拍照打卡点，该游客从A 到D ，再从D 到B ，然后从B 到D ，最终返回D 点拍照．已知π3ADB ∠=，求游客所走路程的最大值．22．边长为4的正方形ABCD 的中心为O ，以O 为圆心的单位圆O 上有两动点,P Q 满足0OP OQ ⋅=u u u r u u u r.若点M 为正方形ABCD 边AB 上的一个动点.(1)求DC DB DC AC ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的值；(2)求MP MQ ⋅u u u r u u u u r的最小值；(3)若()0,,,R aPA bPB cPC a b c ++=∈u u u r u u u r u u u r r ，求b c a +的最大值.。

重庆市2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题（答案在最后）注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一、单选题(本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分)1.复数z 满足(2i)43i z -=+(i为虚数单位)，则z =（）A.2i- B.2i+ C.2i 55- D.2i 55+2.已知,,a b c 分别表示ABC 中内角A ，B ，C 所对边的长，其中2,60,ABC a B S ︒=== ，则ABC 的周长为（）A.6B.8C.6+D.6+3.已知向量2,4,2a b a b ==-=，则a 在b 上的投影向量为（）A.b- B.bC.14bD.14b- 4.已知直线,m n 和平面α，则（）A.若//,m m n α^，则n α⊥B.若,m m n α⊥⊥，则//n αC.若,m n αα⊥⊂，则m n⊥ D.若//,//m n αα，则//m n5.如图，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线//MN 平面ABC 的是（）A. B. C. D.6.已知向量(,1),(2,)x a y b ==，向量x 与y u r 为同向向量，则x y ⋅ 的最小值为（）A.2B.3C.4D.57.在正三棱锥A BCD -中，侧面与底面所成二面角的正切值为6BC =，则这个三棱锥的内切球半径为（）A.1B.32C.2D.528.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，1AA =P ，Q 分别是棱BC 和11C D 上的两个动点，且2PQ =，则PQ 的中点E 到1CC 的距离为（）A.2B.2C.3D.12二、多选题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.下列命题为真命题的是（）A.若22i z =+，则22i z =-+B.复数2i -在复平面内对应的点在第四象限C.2024i i 2i +=D.若()()242i,R z m m m =-+-∈为纯虚数，则2m =-10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，,F M 分别是,AD CD 的中点，则下列结论中正确的是（）A.11//FM A C B.当E 为11A C 中点时，BE FM ⊥ C.三棱锥B CEF -的体积为定值D.直线BE 到平面1ACD 的距离为3211.在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos c b b A =+，则下列结论正确的有（）A.2A B= B.B 的取值范围为ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭C.a b的取值范围为 D.112sin tan tan A B A -+的取值范围为,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)12.已知正四棱锥P ABCD -的底边长为2，过棱PA 上点1A 作平行于底面的截面1111D C B A ，截面1111D C B A 边长为11,2AA =，则截得的台体1111ABCD A B C D -的体积为_______________．13.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60,4A a b ︒===，则ABC 的面积为______________．14.已知平面非零向量,,a b c满足:4,2,()a b a b b ==-⊥ ，且b 与c 的夹角为30︒，则在所有的情况中，||a c -的最小值为______________．四、解答题(本大题共5个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15.在ABC 中，、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，且满足sin sin 2a B b A =．（1）求A ∠;（2）点D 在线段AC 的延长线上，且π2ABD ∠=，若2,a BD ==，求ABC 的面积．16.如图，四边形ABCD 是矩形，2,1,AD DC AB ==⊥平面,,1BCE BE EC EC ⊥=.（1）求证:平面DCE ⊥平面ABE ;（2）求直线AC 和直线BE 所成角的余弦值．17.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且外接圆半径为1，求2b c +的取值范围．18.如图，P 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AC 为底面直径，ABD △为底面圆O 的内接正三角形，E 在母线PC 上，且1AE CE ==．（1）求证://PO 平面BDE;（2）求二面角E AB D --平面角的正弦值;（3）若点M 为线段PO 上的动点，当直线DM ⊥平面ABE 时，求AM 与平面ABE 所成的角的正弦值．19.我们知道，一个一元一次方程最多有一个根，一个一元二次方程最多有两个根，这些都是代数基本定理的简单表示，代数基本定理可以表述为：一元n 次多项式方程最多有n 个不同的根．由代数基本定理可以得到如下推论：若一个一元n 次方程有不少于1n +个不同的根，则必有各项的系数均为0．已知函数32()3f x x x =+，函数()f x 的图象上有四个不同的点A 、B 、C 、D ．利用代数基本定理及其推理回答下列问题：（1）解关于x 的方程2()6680f x x x --+=；（2）是否存在实数,m n ，使得关于x 的方程(2)()2f m x f x n -+=有三个以上不同的解，若存在，求出m n 、的值，若不存在，请说明理由；（3）若ABCD 按逆时针方向顺次构成菱形，设(,()),(,())A a f a B b f b ，求代数式()(2222aa b +-+22)b -的值．重庆市2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0．5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．一、单选题(本大题共8个小题，每题只有一个选项正确，每小题5分，共40分)【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、多选题(本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】ABC【11题答案】【答案】ACD三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)【12题答案】【答案】6【13题答案】【14题答案】【答案】2四、解答题(本大题共5个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)【15题答案】【答案】（1）π3A =（2）S =【16题答案】【答案】（1）证明见解析（2）5【17题答案】【答案】（1）π3（2）【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）7（3）17【19题答案】【答案】（1）2x =-或1x =或4x =（2）存在，1,2m n =-=（3）1-。

2.2.2　对数函数及其性质课后篇巩固提升基础巩固1.y=2x与y=log2x的图象关于( )A.x轴对称B.直线y=x对称C.原点对称D.y轴对称y=2x与y=log2x互为反函数,故函数图象关于直线y=x对称.2.函数y=ln(1-x)的图象大致为( )(-∞,1),且函数在定义域上单调递减,故选C.3.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,且a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1y=log a (x+c )的图象是由y=log a x 的图象向左平移c 个单位长度得到的,结合题图知0<c<1.根据单调性易知0<a<1.4.已知a>0且a ≠1,函数y=log a x ,y=a x ,y=x+a 在同一坐标系中的图象可能是( )函数y=a x 与y=log a x 的图象关于直线y=x 对称,再由函数y=a x 的图象过(0,1),y=log a x 的图象过(1,0),观察图象知,只有C 正确.5.已知a=,b=log 2,c=lo ,则( )2-1313g 1213A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b0<a=<20=1,b=log 2<log 21=0,c=lo >lo =1,∴c>a>b.故选D .2-1313g 1213g 12126.若对数函数f (x )的图象经过点P (8,3),则f = .(12)f (x )=log a x (a>0,a ≠1),则log a 8=3,∴a 3=8,∴a=2.∴f (x )=log 2x ,故f =log 2=-1.(12)1217.将y=2x 的图象先 ,再作关于直线y=x 对称的图象,可得到函数y=log 2(x+1)的图象( )A.先向上平移一个单位长度B.先向右平移一个单位长度C.先向左平移一个单位长度D.先向下平移一个单位长度,可求出解析式或利用几何图形直观推断.8.已知函数f (x )=直线y=a 与函数f (x )的图象恒有两个不同的交点,则a 的取值范围{log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,是 .f (x )的图象如图所示,要使直线y=a 与f (x )的图象有两个不同的交点,则0<a ≤1.9.作出函数y=|log 2x|+2的图象,并根据图象写出函数的单调区间及值域.y=log 2x 的图象,如图甲.再将y=log 2x 在x 轴下方的图象关于x 轴对称翻折到x 轴上方(原来在x 轴上方的图象不变),得函数y=|log 2x|的图象,如图乙;然后将y=|log 2x|的图象向上平移2个单位长度,得函数y=|log 2x|+2的图象,如图丙.由图丙得函数y=|log 2x|+2的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1),值域是[2,+∞).10.已知对数函数y=f(x)的图象经过点P(9,2).(1)求y=f(x)的解析式;(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范围.(3)若函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称,求y=g(x)的解析式.设f(x)=log a x(a>0,且a≠1).由题意,f(9)=log a9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.又因为a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.(2)因为3>1,所以当x∈(0,1)时,f(x)<0,即f(x)的取值范围为(-∞,0).g1(3)因为函数y=g(x)的图象与函数y=log3x的图象关于x轴对称,所以g(x)=lo x.3能力提升1.函数y=log a(x+2)+1(a>0,且a≠1)的图象过定点( )A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-1,1)x+2=1,得x=-1,此时y=1.2.若函数f (x )=log 2x 的反函数为y=g (x ),且g (a )=,则a=( )14A.2 B.-2 C. D.-1212,得g (x )=2x .∵g (a )=,∴2a =,∴a=-2.14143.若函数f (x )=log 2(x 2-ax-3a )在区间(-∞,-2]上是减函数,则实数a 的取值范围是( )A.(-∞,4)B.(-4,4]C.(-∞,4)∪[2,+∞)D.[-4,4)t (x )=x 2-ax-3a ,则由函数f (x )=log 2t 在区间(-∞,-2]上是减函数,可得函数t (x )在区间(-∞,-2]上是减函数,且t (-2)>0,所以有-4≤a<4,故选D .4.已知函数f (x )=a x +log a (x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值等于( )A. B.2 C.3D.1213y=a x 与y=log a (x+1)在[0,1]上的单调性相同,所以f (x )在[0,1]上的最大值与最小值之和为f (0)+f (1)=(a 0+log a 1)+(a 1+log a 2)=a ,整理得1+a+log a 2=a ,即log a 2=-1,解得a=.故选A .125.已知a=log 23.6,b=log 43.2,c=log 43.6,则a ,b ,c 的大小关系为 .a==2log 43.6=log 43.62,又函数y=log 4x 在区间(0,+∞)上是增函数,3.62>3.6>3.2,log 43.6log 42∴log 43.62>log 43.6>log 43.2,∴a>c>b.6.已知a>0且a ≠1,则函数y=a x 与y=log a (-x )在同一直角坐标系中的图象只能是下图中的 (填序号).方法一)首先,曲线y=a x 位于x 轴上方,y=log a (-x )位于y 轴左侧,从而排除①③.其次,从单调性考虑,y=a x 与y=log a (-x )的增减性正好相反,又可排除④.故只有②满足条件.(方法二)若0<a<1,则曲线y=a x 下降且过点(0,1),而曲线y=log a (-x )上升且过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件.若a>1,则曲线y=a x 上升且过点(0,1),而曲线y=log a (-x )下降且过点(-1,0),只有②满足条件.(方法三)如果注意到y=log a (-x )的图象关于y 轴的对称图象为y=log a x 的图象,又y=log a x 与y=a x 互为反函数(两者图象关于直线y=x 对称),则可直接选②.7.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )=lg x ,则满足f (x )>0的x 的取值范围是 .f (x )的解析式为f (x )=其图象如右图所示.{lg x ,x >0,0,x =0,-lg (-x ),x <0,由函数图象可得不等式f (x )>0时,x 的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).-1,0)∪(1,+∞)8.设函数f (x )=ln(ax 2+2x+a )的定义域为M.(1)若1∉M ,2∈M ,求实数a 的取值范围;(2)若M=R ,求实数a 的取值范围.由题意M={x|ax 2+2x+a>0}.由1∉M ,2∈M 可得{a ×12+2×1+a ≤0,a ×22+2×2+a >0,化简得解得-<a ≤-1.{2a +2≤0,5a +4>0,45所以a 的取值范围为.(-45,-1](2)由M=R 可得ax 2+2x+a>0恒成立.当a=0时,不等式可化为2x>0,解得x>0,显然不合题意;当a ≠0时,由二次函数的图象可知Δ=22-4×a×a<0,且a>0,即化简得解得a>1.{4-4a 2<0,a >0,{a 2>1,a >0,所以a 的取值范围为(1,+∞).9.已知函数f (x )=log 2(a 为常数)是奇函数.1+ax x -1(1)求a 的值与函数f (x )的定义域;(2)若当x ∈(1,+∞)时,f (x )+log 2(x-1)>m 恒成立,求实数m 的取值范围.∵函数f (x )=log 2是奇函数,1+axx -1∴f (-x )=-f (x ).∴log 2=-log 2.1-ax -x -11+ax x -1即log 2=log 2,∴a=1.ax -1x +1x -11+ax 令>0,解得x<-1或x>1.1+x x -1所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}.(2)f (x )+log 2(x-1)=log 2(1+x ),当x>1时,x+1>2,∴log 2(1+x )>log 22=1.∵x ∈(1,+∞),f (x )+log 2(x-1)>m 恒成立,∴m ≤1.故m 的取值范围是(-∞,1].。

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。

第1课时 并集、交集1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集．(重点、难点)2．能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点)[基础·初探]教材整理1 并集阅读教材P 8～P 9“交集”以上部分，完成下列问题．1．并集的定义A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个集合的并集中元素的个数一定多于这两个集合中元素个数之和．( )(2){1,2,3,4}∪{0,2,3}＝{1,2,3,4,0,2,3}．( )(3)若A ∪B ＝A ，则A ⊆B .( )【解析】 (1)×.当两个集合没有公共元素时，两个集合的并集中元素的个数等于这两个集合中元素个数之和．(2)×.求两个集合的并集时，这两个集合的公共元素在并集中只能出现一次，需要满足集合中元素的互异性．(3)×.若A ∪B ＝A ，则应有B ⊆A .【答案】 (1)× (2)× (3)×教材整理2 交集阅读教材P 9“思考”以下～P 10“补集”以上部分，完成下列问题．1．交集的定义A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ⊆A .1．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，C ＝{2,3,4}，则(A ∩B )∪C ＝( )A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{2,3,4}D ．{1,2,3,4} 【解析】 ∵集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，∴A ∩B ＝A ＝{1,2}，又∵C ＝{2,3,4}，∴(A ∩B )∪C ＝{1,2,3,4}．【答案】 D2．已知集合A ＝{x |－3≤x ＜4}，B ＝{x |－2≤x ≤5}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－3≤x ≤5}B ．{x |－2≤x ＜4}C ．{x |－2≤x ≤5}D ．{x |－3≤x ＜4}【解析】 ∵集合A ＝{x |－3≤x ＜4}，集合B ＝{x |－2≤x ≤5}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ＜4}，。

姓名，年级：时间：2.3 映射的概念1、下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是（ )①;:,,M N R f x y x M y N ==→=∈∈1x。

②2;:,,M N R f x y x x M y N ==→=∈∈ ③|:,,|;M N R f x y x M y N +==→=∈∈1x x。

④3;:,,M N R f x y x x M y N ==→=∈∈.A.①② B 。

②③ C.①④ D 。

②④2、已知:f A B →是集合A 到B 的映射，又A B ==R ，对应法则2:23,f x y x x k B →=+-∈且k 在A 中没有原象，则k 的取值范围是（ ）A 。

(),4-∞-B 。

(1,3)-C 。

[),?-+∞4D 。

(,1)(3,)-∞-⋃+∞3、已知集合A 中元素(),x y 在映射f 下对应B 中元素(),x y x y +-,则B 中元素()4,2-在A 中对应的元素为( ） A. ()1,3 B 。

(1,6) C 。

()2,4 D 。

()2,64、设集合{|02},{|12}A x x B y y =≤≤=≤≤，下列图中能表示从集合A 到集合B 的映射的是（ ）A 。

B.C. D 。

5、下列对应不是映射的是( ）A. B 。

C 。

D 。

6、图中各图表示的对应能构成映射的个数有（ )A.3个 B 。

4个 C 。

5个 D 。

6个 7、在下列各对集合M 和Y 中，使对应法则21:1f x x →-可以作为集合M 到Y 的映射的是（ ) A 。

{}111,3,5,0,,824M Y ⎧⎫=---=⎨⎬⎩⎭B.{}1113,5,7,0,,,82448M Y ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭C 。

{}111,2,3,0,,38M Y ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭D 。

{}110,2,4,6,1,,315M Y ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭8、下列对应关系不是映射的是（ )A 。

B. C. D.9、集合{04},{02}A x x B y y =≤≤=≤≤，下列不表示从A 到B 的函数的是（ ) A.1:2f x y x →=B.1:3f x y x →= C.2:3f x y x →=D.:f x y x →=10、已知映射:,f A B →其中,A B R ==对应法则221:().3xxf x y +→=若对实数,m B ∈在集合A 中存在元素与之对应,则m 的取值范围是（ ) A 。

2020-2021学年高一数学下学期期中联考试题一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项的代号填在答题卷相应的位置上．1.按数列的排列规律猜想数列中的项，数列2，3，5，8，13，x，34，55，…则x的值是( )．A.19B.20C.21D.222．数列{}na中，11nnnaaa+=+，11a=，则4a=( )．A．13B．14C．15D．163.下列平面图形中，通过围绕定直线l旋转可得到如图所示几何体的是( )4.在△ABC 中，角,,A B C所对的边为,,a b c，已知1a=，2b=，45B=,则A=( )．A．30 B．60 C．150 D．30或1505.已知a，b，c，d∈R，则下列不等式中恒成立的是( )．A.若a b>，c d>，则ac bd> B. 若a b>，则22ac bc>C.若0a b>>，则()0a b c-> D.若a b>，则a c b c->-6．已知等比数列{}n a中，31320a a=，64a=，则10a的值是( )．A．16 B．14 C．6 D．57．在△ABC中，若sin sin sina Ab Bc C+<，则△ABC的形状是( )．A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定8．一个正方体的表面积和它的外接球的表面积之比是( )．A.3πB.4πC.2πD．1π9．等差数列{}n a 中其前n 项和为n S , 51012,48,S S ==则15S 为( )．A ．84B ．108C ．144D ．15610．设0,0a b >>，若3是3a 与3b 的等比中项，则14a b+的最小值为( )． A. 9 B. 3 C.7 D.41 11．已知数列{}n a 的前项和为n S ，满足2=31n n S a -，则通项公式n a 等于( )．A ．12n n a -=B ．2n n a =C ．13n n a -=D ．3n n a =12．不等式22253x x a a -+≥-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )．A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．在答题卷相应题目的答题区域内作答．13. 在△ABC 中，7,3a c ==，60A =，则b = ．14.一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形，矩形的长和宽分别为5cm ，4cm ，则该棱柱的侧面积为________2cm .15. 在明朝程大位《算术统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从上往下数第二层有___________盏灯．16.给出下列语句：①若,a b 为正实数，33,a b a b ≠+则＞22a b ab +；②若,,a m n 为正实数，a ＜b ，则a mb m ++＜a b ③若2ac ＞2b c，则a ＞b ； ④当(0,)2x π∈时，2sin sin x x+的最小值为22，其中结论正确的是___________． 三、解答题：本大题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．在答题卷相应题目的答题区域内作答．17．（本小题满分8分）已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且24420a ==，S ．（1）求数列{}n a 的通项；（2）若72n S =，求n 的值.18. （本小题满分8分）据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．（1）试计算出图案中球与圆柱的体积比；（2）假设球半径10r cm =．试计算出图案中圆锥的体积和表面积.19. （本小题满分8分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c .已知ABC ∆面积3,120,ABC S A ∆==︒（1）若2,c =求b 的值；（2）若32b c +=，求a 的值.20. （本小题满分8分）已知函数2()28f x x x =--（1）解不等式()0f x ≥；（2）若对一切0x >，不等式()9f x mx ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．21. （本小题满分10分）如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，测量者在河岸边选定两点C ，D ，测得32CD km =，同时在C ，D 两点分别测得45ACB α∠==，60ACD β∠==，30BDC γ∠==,30ADB δ∠==．（1）求B ，C 两点间的距离；（2）求A ，B 两点间的距离．22. （本小题满分10分）已知数列{a n }满足11a =，121n n a a +=+，*n N ∈.（1）求证数列{1}n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设221log (1)n n b a +=+，数列{11n n b b +}的前n 项和T n ，求证：11156n T ≤<．xx 第二学期三明市三地三校联考期中考试协作卷高一数学参考答案一、选择题1-5 CBBAD 6-10 DCCBA 11-12 CA二、填空题13. 8 14. 60 15. 6 16. ①③三、解答题17．解：（１）设数列{}n a 的公差为d ，由214144620a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩． 又22(1)2n a n n =+-=∴．…………………………………………………4分（2）由222722n n S n n n +==+=得8n =.……………………………………8分 18.解：（1）32423==23r V V r r ππ球圆柱…………………………………3分 （2）由题意得，2312000=233V R R cm ππ=锥………………………………5分 圆锥的母线长22(2)5105l R R R cm =+==……………………………6分23=+1001005100(15)S r rl cm πππππ=+=+表……………………………8分19.解：（1）1sin 32ABC S bc A ∆==，又2,120.c A ==︒ 12sin12032b ∴⨯⨯=，解得 2b =.…………………………………………4分 （2）13sin ,12022ABC S bc A A ∆===，1sin1203,42bc bc ∴=∴= 又32b c +=，22222()218,10b c b bc c b c ∴+=++=∴+= 由余弦定理得22212cos 1024()142a b c bc A =+-=-⨯⨯-=解得14a = ……………………………………8分20解：（1）∵2()28f x x x =--≥0可化为(2)(4)0x x +-≥………………………(2分)∴所求不等式解集为：(][),24,-∞-+∞…………(3分)（2）法一：∵()9f x mx ≥-可化为2289x x mx --≥-即221x x mx -+≥ ………………………………………………………..(4分)又0x > ∴221x x m x-+≤对任意的0x >恒成立。

1.1.3　集合的基本运算第1课时　并集和交集课后篇巩固提升基础巩固1.已知集合M={x|-3<x≤5},N={x|x<-5,或x>4},则M∪N=( )A.{x|x<-5,或x>-3}B.{x|-5<x<4}C.{x|-3<x<4}D.{x|x<-3,或x>5}M和N,如图所示,则M∪N={x|x<-5,或x>-3}.2.(2018全国3高考,理1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.3.已知集合A={x|x=2n-3,n∈N},B={-3,1,4,7,10},则集合A∩B中元素的个数为( )A.5B.4C.3D.2,当n=0时,2n-3=-3;当n=2时,2n-3=1;当n=5时,2n-3=7.所以A∩B={-3,1,7}.故选C.4.若A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则图中阴影部分表示的集合为( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由题意可知,阴影部分即为A∩B,故A∩B={2}.5.已知集合S={直角三角形},集合P={等腰三角形},则S∩P= .∩P表示集合S和集合P的公共元素组成的集合,故S∩P={等腰直角三角形}.等腰直角三角形}6.已知集合A={1,2,3},B={2,m,4},A∩B={2,3},则m= .A∩B={2,3},则3∈B,又B={2,m,4},则m=3.7.已知集合A={x|x≤1},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是 .A,B,如图所示,因为A∪B=R,则在数轴上实数a与1重合或在1的左边,所以a≤1.≤18.已知集合A=,集合B={x|2x-1<3},求A ∩B ,A ∪B.{x |{3-x >0,3x +6>0}得-2<x<3,{3-x >0,3x +6>0,即A={x|-2<x<3}.解不等式2x-1<3,得x<2,即B={x|x<2},在数轴上分别表示集合A ,B ,如图所示.则A ∩B={x|-2<x<2},A ∪B={x|x<3}.9.已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x 2-3x+m=0},(1)当m=2时,求M ∩N ,M ∪N ;(2)当M ∩N=⌀时,求实数m 的取值范围.由题意得,M={2},当m=2时,N={x|x 2-3x+2=0}={1,2},则M ∩N={2},M ∪N={1,2}.(2)M={2}≠⌀,则2不是方程x 2-3x+m=0的解,所以4-6+m ≠0,即m ≠2.所以实数m 的取值范围为m ≠2.能力提升1.设集合A={1,2,4},B={x|x 2-4x+m=0}.若A ∩B={1},则B=( )A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}A ∩B={1},∴1∈B.∴1-4+m=0,即m=3.∴B={x|x 2-4x+3=0}={1,3}.故选C .2.已知集合A={x|-3≤x ≤8},B={x|x>a },若A ∩B ≠⌀,则a 的取值范围是( )A.a<8B.a>8C.a>-3D.-3<a ≤8{x|-3≤x ≤8},B={x|x>a },要使A ∩B ≠⌀,借助数轴可知a<8.3.设A ,B 是非空集合,定义A*B={x|x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B },已知A={x|0≤x ≤3},B={x|x ≥1},则A*B 等于( )A.{x|1≤x<3}B.{x|1≤x ≤3}C.{x|0≤x<1或x>3}D.{x|0≤x ≤1或x ≥3},A ∪B={x|x ≥0},A ∩B={x|1≤x ≤3},则A*B={x|0≤x<1或x>3}.4.已知集合M={(x ,y )|x+y=2},N={(x ,y )|x-y=4},那么集合M ∩N= .解得{x +y =2,x -y =4,{x =3,y =-1.∴M ∩N={(3,-1)}.-1)}5.已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a ≤x ≤b },且A ∪B=R ,A ∩B={x|5<x ≤6},则2a-b= .,可知a=1,b=6,2a-b=-4.46.若集合A={x|3ax-1=0},B={x|x 2-5x+4=0},且A ∪B=B ,则a 的值是 .B={1,4},A ∪B=B ,∴A ⊆B.当a=0时,A=⌀,符合题意;当a ≠0时,A=,{13a }∴=1或=4,13a 13a ∴a=或a=.13112综上,a=0,.13,1120,13,1127.设集合A={x|-1≤x ≤2},B={x|x 2-(2m+1)x+2m<0}.(1)当m<时,化简集合B ;12(2)若A ∪B=A ,求实数m 的取值范围.x 2-(2m+1)x+2m<0,得(x-1)(x-2m )<0.(1)当m<时,2m<1,12∴集合B={x|2m<x<1}.(2)若A ∪B=A ,则B ⊆A ,①当m<时,B={x|2m<x<1},12此时-1≤2m<1,解得-≤m<;1212②当m=时,B=⌀,有B ⊆A 成立;12③当m>时,B={x|1<x<2m },12此时1<2m ≤2,解得<m ≤1.12综上所述,所求m 的取值范围是.{m |-12≤m ≤1}8.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有多少人?A ,B ,C ,同时参加数学和化学小组的有x 人,由题意可得如图所示的Venn 图.由全班共36名同学参加课外探究小组可得(26-6-x )+6+(15-10)+4+(13-4-x )+x=36,解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人.。

西南大学附中2023－2024学年度下期期中考试初一数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答．2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项．3．考试结束，由监考人员将试卷和答题卡收回．一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．1. 3的倒数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据倒数的定义可知．【详解】解：3的倒数是，故选：C【点睛】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2. 若有意义，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了零指数幂，由即可求解，掌握零指数幂是解题的关键．【详解】解：若有意义，则，∴，故选：．3. 直角三角板绕直角边旋转一周得到的立体图形是（ ）A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 圆台33-1313-13()03x +x 3x >-3x ≥-3x <-3x ≠-30x +≠()03x +30x +≠3x ≠-D【解析】【分析】根据面动成体的原理和圆锥的定义即可得出答案．本题考查了旋转体的定义和常见的几何体，掌握常见的几何体是解题的关键．【详解】解：直角三角板绕着它的一条直角边所在直线旋转一周可形成圆锥，故选：B ．4. 如图所示的几何体，其左视图是（ ）A.B. C. D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：从左边看是一个矩形的左上角去掉了一个小矩形，故选C ．考点：简单组合体的三视图．5. 如图是正方体的展开图，相对面的数字之和为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图找相对面，根据相对的两个面的两个数字之和为求出的值，然后代入式子中进行计算即可解答，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．【详解】解：由图可知，和相对，和相对，∴，，∴，，∴，62a b -2-3-656a b 、a 5b 256a +=26b +=1a =4b =22142a b -=⨯-=-6. 如图，已知在点处看位于南偏西的方向上，在点处看位于南偏东的方向上，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了方向角，利用角的的和差关系计算即可求解，掌握方向角的定义是解题的关键．【详解】解：由题意可得，，，∴，故选：．7. 下列计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了整式的运算，根据整式的运算法则和乘法公式分别计算即可判断求解，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键．【详解】解：、，该选项错误，不合题意；、，该选项错误，不合题意；、，该选项错误，不合题意；A P 60︒P B 70︒APB ∠130︒80︒50︒10︒1906030∠=︒-︒=︒2907020∠=︒-︒=︒12302050APB ∠=∠+∠=︒+︒=︒C 2441a a ÷=()3328x x -=()222x y x y -=-()()222x y x y x xy y +--=---A 244a a a ÷=B ()3328x x -=-C ()2222x y x xy y -=-+、，该选项正确，符合题意；故选：．8. 下列命题是假命题的是（ ）A. 若两直线平行，则一组同旁内角的角平分线所形成的夹角为B. 在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直C. 在同一平面内，两直线不相交必平行D. 平移前后对应点连接的线段平行且相等【答案】D【解析】【分析】本题考查了真假命题，根据平行线性质、垂线的性质、直线的位置关系、平行的性质逐项判断即可求解，掌握以上相关知识是解题的关键．【详解】解：、若两直线平行，则一组同旁内角的角平分线所形成的夹角为，该命题是真命题，不合题意；、在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直，该命题是真命题，不合题意；、在同一平面内，两直线不相交必平行，该命题是真命题，不合题意；、平移前后，对应点所连的线段平行或在同一直线上，该命题是假命题，符合题意；故选：．9. 的个位数字为（ ）A. 1B. 3C. 7D. 9【答案】D【解析】【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键．由题意知，，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可．【详解】解：由题意知，的D ()()()2222x xy x y x y x y y =-=-+-+---D 90︒A 90︒BCD D ()()()()246418313131319⨯+++⋅⋅⋅++()()()()246418313131319⨯+++⋅⋅⋅++()()()()246492313131311⎡⎤=⨯+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()()()()2464931313131311⎡⎤=-⨯+++⋅⋅⋅++⎣⎦1303=1234533393273813243=====，，，，1304322÷=+1303()()()()246418313131319⨯+++⋅⋅⋅++()()()()246492313131311⎡⎤=⨯+++⋅⋅⋅++⎣⎦()()()()()2464931313131311⎡⎤=-⨯+++⋅⋅⋅++⎣⎦……，∵，∴每4个3相乘为1个循环，∵，∴的个位数字为9，故选：D ．10. 若关于的不等式组有且仅有2个偶数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查解一元一次不等式组，解一元一次方程，理解一元一次不等式组的解集以及方程的根的定义是正确解答的前提，确定的取值范围是得出正确答案的关键．根据不等式组的解集以及偶数解的个数，确定的取值范围，再根据一元一次方程的根进一步确定的取值范围，再求出符合条件的整数的和即可．【详解】解：，由，解得，由，解得，，()()()()224649313131311⎡⎤=-++⋅⋅⋅++⎣⎦()1289311⎡⎤=-+⎣⎦12893=⨯212833=⨯1303=1234533393273813243=====，，，，1304322÷=+1303x ()421132x a x x x ⎧->-⎪⎨--≤⎪⎩y ()821y a ---=a 24-40-14-18-a a a ()421132x a x x x ⎧->-⎪⎨--≤⎪⎩()42x a x ->-83x a <-1132x x --≤85x ≥3858a x ∴-≤<根据解集有且仅有2个偶数解，∴这两个偶数解为2和4，，，又关于的方程的解为，根据解为非负整数，，解得：，综上可得：∴整数的值为，当时，，符合题意；当时，，不符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意；当时，，符合题意；符合条件的所有整数的和为，故选：A ．11. 如图，，点、点在上，点、点在上，，点在与之间，连接、，与交于点，且．是内部的一条射线，满足，已知，平分．下列说法错误的有（ ）个．；；；A. B. C. D. 8463a -∴<≤104a ∴-≤<-y ()821y a ---=62a y +=-602a ∴+-≥6a ≤-106a -≤≤-a 10,9,8,7,6-----10a =-10622y -+=-=9a =-96322y -+=-=8a =-8612y -+=-=7a =-76122y -+=-=6a =-6602y -+=-=∴a 108624---=-AB CD Q E AB P F CD 2BEP EPQ ∠=∠M AB CD FM EM EM PQ G FM PE ∥FN ∠MFC 13NFC MFC ∠=∠MK FN ∥MH EMF ∠①90AEM BEP ∠+∠=︒②AEP MFP ∠=∠③AQP BQP MFP ∠-∠=∠④254EGP NFC HMK∠-∠=∠1234【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质逐一判断即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键【详解】解：∵，∴，，∴，∴，故错误；∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故正确；∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，AB CD 180AEM MEP EPC ∠+∠+∠=︒BEP EPC ∠=∠180AEM MEP BEP ∠+∠+∠=︒180AEM BEP MEP ∠+∠=︒-∠①AB CD 180AEP EPC ∠+∠=︒FM PE ∥MFP EPD ∠=∠180EPD EPC ∠+∠=︒180MFP EPC ∠+∠=︒AEP MFP ∠=∠②180AQP BQP ∠+∠=︒180AQP BQP ∠=︒-∠1801802AQP BQP BQP BQP BQP ∠-∠=︒-∠-∠=︒-∠AB CD BEP EPC ∠=∠2BEP EPQ ∠=∠2EPC EPQ ∠=∠QPC EPQ ∠=∠FM PE ∥180MFP EPC ∠+∠=︒1801802MFP EPC EPQ ∠=︒-∠=︒-∠∵，∴，∴，故正确；∵，∴，因缺少条件，无法证明的结论，故错误；∴错误，共个，故选：．12. 关于的整式与，令，，下列说法正确的有（ ）个．①若是关于的二次整式，则的值共有3种不同的可能；②若，，为整式，则中除常数项外其余各项系数和为；③若，，，，，，则的最小值为；④若，，，，令，，且，，则共有项．A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项与系数等知识．熟练掌握多项式乘以多项式，多项式的项与系数是解题的关键．（1）由是关于的二次整式，可知至少有一个为2，然后分情况求解；进而可判定①的正误；由，可得，则，可求，即，由，可判断②的正误；由，，，，，，可得，，则，由，可得，进而可判断③的正误；由AB CD BQP QPC EPQ ∠=∠=∠1802MFP BQP AQP BQP ∠=︒-∠=∠-∠③13NFC MFC ∠=∠3NFC MFC ∠=∠④④①④2B ()0x x ≠m x ax b ++n x cx d ++m A x ax b =++n B x cx d =++A B +x m n +4m =()3A x C =-C C 134m =4a =0b =2n =1c =1d =4A B -8-1m =0a b ==2n =0c d ==1A A B =+1B A B =⨯11n n n A A B --=+()112n n n B A B n --=⨯≥88A B +89m n d A c B x ax b x x =++++++x m n ，4m =()()()()()()432432333333A x ax b x x mx nx c x m x n m x c n x c x C =++=-+++=+-+-+--=-3030m n m -=-=，39m n ==，3239C x x x c =+++13913++=4m =4a =0b =2n =1c =1d =44A x x =+21B x x =++()22428A B x -=--()2220x -≥()224288A B x -=--≥-，，，，可得，，然后根据题意，推导规律并作答即可．【详解】解：∵是关于的二次整式，∴至少有一个为2，当时，；此时值为；当时，；此时的值为；综上，的值共有3种不同的可能；①正确，故符合要求；∵，∴，∴，解得，，∴，∵，∴中除常数项外其余各项系数和为，②正确，故符合要求；∵，，，，，，∴，，∴，∵，∴，③正确，故符合要求；∵，，，，∴，，∴，，∴，共3项；∴，，∴，共项；∴，，∴，共项； 的1m =0a b ==2n =0c d ==A x =2B x =m n d A c B x ax b x x =++++++x m n ，2m =012n =，，m n +234，，2n =012m =，，m n +234，，m n +4m =()()()()()()432432333333A x ax b x x mx nx c x m x n m x c n x c x C =++=-+++=+-+-+--=-3030m n m -=-=，39m n ==，3239C x x x c =+++13913++=C 134m =4a =0b =2n =1c =1d =44A x x =+21B x x =++()()24242244414428A B x x x x x x x -=+-++=--=--()2220x -≥()224288A B x -=--≥-1m =0a b ==2n =0c d ==A x =2B x =21A A B x x =+=+31B A B x =⨯=1132x x x A B =+++21321x A B x x A ==+++54211B A B x x =⨯=+543222x x x x x A B =+++++523=+5324322A x x x x B x A =++=+++876523222B A B x x x x =⨯=+++87643352322x x x x A B x x x x =++++++++835=+……∴可推导，，共项；，共项；，共项；，共项；∴，共项．④正确，故符合要求；故选：D ．二、填空题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的橫线上．13. 若，则的补角为______度．【答案】【解析】【分析】本题考查了求一个角的补角，根据补角的定义直接计算即可求解，掌握补角的定义是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴补角为为，故答案为：．14. 若，，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算，由同底数幂除法的逆运算和幂的乘方的逆运算可得，代入已知条件计算即可求解，掌握同底数幂除法的逆运算和幂的乘方的逆运算是解题的关键．【详解】解：，故答案为：．15. 若是完全平方式，则的值是______．的44A B +1358=+55A B +21813=+66A B +341321=+77A B +552134=+88A B +893455=+8730A ∠=︒'A ∠92.58730A ∠=︒'1801808730923092.5A ''︒-∠=︒-︒=︒=︒A ∠92.5︒92.532m =35n =233m n -=4125()()23232333333m n m n m n -=÷=÷()()2323232343333325125m n m n m n -=÷=÷=÷=4125()2292x m xy y --+m【答案】或8【解析】【分析】本题主要考查完全平方式的概念，掌握完全平方式的形式特点是解题的关键．根据完全平方式的定义，可得，即可求出m 的值．【详解】解：∵，∴，解得或8，故答案为：或8．16. 如图，在同一直线上，已知，，点，点分别是、的中点，若，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了线段的和差关系，设，可得，；根据可得，再根据线段的中点得出，，结合计算即可求解；【详解】解：设，∴∴∵，∴，∴∴∵点是的中点，4-()322m -±-⨯=()2222(93)223x m xy x x y y y --±⨯+=+()322m -±-⨯=4m =-4-A B C D 、、、13AB AC =25BC CD =E F AC BD 3EF =CD =55CD x =225BC CD x ==7BD BC CD x =+=13AB AC =332AC BC x ==12BE x =72BF x =EF BF BE =-5CD x =225BC CD x ==7BD BC CD x=+=13AB AC =23BC AC =332AC BC x ==AB AC BC x=-=E AC∴∴∵点是的中点，∴∴∴∴故答案为：17. 若的结果不含的二次项和一次项，则的值为______．【答案】或【解析】【分析】本题考查了多项式乘以多项式结果不含某项的问题，先根据多项式的乘法法则将算式展开，再根据其结果不含的二次项和一次项，让的二次项和一次项系数分别为，求出和的值，代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式结果不含某项即该项得系数为是解题的关键．【详解】解：，∵的结果不含的二次项和一次项，∴，解得或，∴或，故答案为：或．18. 已知，则______．【答案】【解析】【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式．熟练掌握代数式求值，完全平方公式是解题的关键．1322AE AC x ==12BE AE AB x =-=F BD 1722BF BD x ==33EF BF BE x =-==1x =55CD x ==5()()214ax x bx --+-x 4a b -44-x x 0a b 0()()()()2322321444144ax x bx ax abx ax x bx ax ab x a b x --+-=-+-+-+=-++-++()()214ax x bx --+-x 1040ab a b +=⎧⎨+=⎩122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩122a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩44a b -=4-44-221x x +=4323293x x x x -+++=15由题意知，，由，将代入，计算求解即可．【详解】解：∵，∴，∴；将代入得，原式，故答案为：．19. 如图，四边形中，，点、点在上，将沿折叠，点落在点处，线段所在的直线平分，将沿折叠，点刚好落在线段上的点处，且两条折痕形成的，则______．【答案】##度【解析】【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，由折叠的性质可得，设，则由平行线的性质可得，再由角平分线的定义推出，进而由平角的定义得到，则由三角形内角和定理可得，解方程即可得到答案．212x x =-4323293x x x x -+++()22223293x x x x x =-⋅+++()21025x x =++221x x +=221x x +=212x x =-4323293x x x x -+++()22223293x x x x x =-⋅+++()()()21231212293x x x x x =---+-++221443612293x x x x x x =-+-++-++210205x x =++()21025x x =++221x x +=101515=⨯+=15ABCD AD BC ∥E F BC CD DE C C 'C E ''C G DEC ∠CD DF C DA C ''54FDE ∠=︒DGE ∠=108︒108ADF CDF DEC DEC EDC EDC ''===∠∠，∠∠，∠∠EDC EDC x '==∠∠180722C ADC x =︒-=︒-∠∠12DEG DEC '=∠120DEC ∠=︒120722180x x +︒+︒-=︒【详解】解：由折叠的性质可得，设，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为；．20. 五一假期即将到来，销售重庆特产的某商户准备继续推出去年较火的三种特产礼盒进行售卖．去年五一节期间，三种礼盒的销量比为，其中礼盒的售价为礼盒的售价的倍，且礼盒的销售额为礼盒的销售额的4倍．今年由于成本变化，礼盒售价上调，礼盒售价有一定提高，礼盒售价与去年保持不变，该商家预估今年礼盒和礼盒的销量也与去年保持不变，如果今年总的销售额上涨且礼盒与礼盒的销售额之比为，则今年礼盒与礼盒的售价之比为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．注意设而不求、方程思想的应用．设去年礼盒的售价为x ，则礼盒B 的售价为，去年A ，B ，C 三个礼盒的销量分别为，去年的销售额分别为，，，得出C 的售价为，今年B 的售价为n ，A 的销量为m ，根据题意列ADF CDF DEC DEC EDC EDC ''===∠∠，∠∠，∠∠EDC EDC x '==∠∠AD BC ∥()180180254722C ADC x x ∠=︒-∠=︒-︒+=︒-'C G DEC ∠1122DEG DEC DEC '==∠∠180DEG DEC '+=︒∠∠60DEG ∠=︒120DEC ∠=︒120722180x x +︒+︒-=︒12x =︒1801260108DGE =︒-︒-︒=︒∠108︒、、A B C 、、A B C 1:2:3B A 1.5C A A 10%B C B C 516A B 6:7A B 8581925A 1.5x ,2,3a a a ax 3ax 4ax 43x式计算即可求解．【详解】解：设去年礼盒的售价为x ，则礼盒B 的售价为，去年A ，B ，C 三个礼盒销量分别为，，，∴去年的销售额分别为，，，∴C 的售价为，今年B 的售价为n ，A 的销量为m ，根据题意得到表格：去年售价x 去年销量a 去年销售额今年售价n 今年销量m 由表格以及题意得：，，得，代入解得：，∴今年礼盒与礼盒的售价之比为：故答案为： ．三、解答题：本大题共8小题，70分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．21. 计算．（1）（2）的A 1.5x a 2a 3a ax 3ax 4ax 4433ax x a =A B C1.5x 43x 2a 3a ax 3ax 4ax (110%)x +43x 2a 3a451.12(34)(1316mx an ax ax ax ax ++=++⨯+1.1:26:7mx an =127.7an m x =385156n x =A B 1.185********156x x =8581925()()0222575⎛⎫-+-⨯ ⎪⎝⎭432243x y z x y -÷（3）（4）【答案】（1）；（2）； （3）；（4）．【解析】【分析】（）利用零指数幂、乘方运算分别化简，再合并即可；（）根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可求解；（）先算乘方运算，再根据单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可；（）根据多项式乘以多项式、完全平方公式展开，再合并同类项即可；本题考查了有理数的混合运算、零指数幂和整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．【小问1详解】解：原式，；【小问2详解】解：原式；【小问3详解】解：原式；【小问4详解】解：原式，．()()22222422ab a b a ab --+⋅-()()()22432331x y x y x x y ----5-243x yz -3645441684a b a b a b --+6245931x y x y x -+-1234()212575=+-⨯()16=+-=5-()()()423243x x y y z =-÷÷÷243x yz =-()22224424ab a b a a b =--+⋅3645441684a b a b a b =--+()6234623629321x y x y x y x x y x y =--+--+6234623629321x y x y x y x x y x y =--+-+-6245931x y x y x =-+-22. 因式分解（1）（2）（3）【答案】（1） （2） （3）【解析】【分析】本题主要考查了分解因式：（1）提取公因式分解因式即可；（2）先提取公因数，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可；（3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：；【小问3详解】解：2422155a b a b +42242a a -+-()()()()2225393a b x y a b x y +++---()222315bb a +()()22211a a -+-()()()47629x y a b a b -++-225a b 2-()x y +2422155a b a b +()222351a b b =+42242a a -+-()42221a a =--+()2221a =--()()2211a a =-+-⎡⎤⎣⎦()()22211a a =-+-()()()()2225393a b x y a b x y +++---()()()2225393x y a b a b ⎡⎤=++--⎣⎦()()()()()53335333x y a b a b a b a b =+++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．23. 先化简，再求值：，其中．【答案】，．【解析】【分析】本题考查了了整式的混合运算化简求解，非负数的性质，先利用整式的运算法则对整式进行化简，再根据非负数的性质求出的值，把的值代入化简后的结果中进行计算即可求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．【详解】解：原式，，，，∵，∴，，∴，，∴原式．24. 如图，点、点在上，点、点、点在上，已知，，，与交于点，求证：．请完善下列证明过程．()()()1412418x y a b a b =++-+()()()47629x y a b a b =-++-()()()()()21233222422x y y x x y x y x y y ⎛⎫⎡⎤-+----⋅+÷- ⎪⎣⎦⎝⎭()2420x y -+-=2630y x -68--x y 、x y 、()()()()2222221232442742x y x xy y x xy y y ⎛⎫⎡⎤=---+---÷- ⎪⎣⎦⎝⎭()2222221492882742x y x xy y x xy y y ⎛⎫=--+--++÷- ⎪⎝⎭()2113152y xy y ⎛⎫=-+÷- ⎪⎝⎭211131522y y xy y ⎛⎫⎛⎫=-÷-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2630y x =-()2420x y -+-=40x -=20y -=4x =2y =26230468=⨯-⨯=-F D AB P E M AC ED AB ⊥MD PB ∥EDM BQF ∠=∠BP CF Q CF AB ⊥证明：（已知），（垂直的定义），（已知），______（两直线平行，同位角相等），（已知），______．（ ），（ ），，，______．（ ），______（ ），（垂直的定义）．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等．熟练掌握平行线的判定与性质，三角形内角和定理，对顶角相等是解题的关键．按照步骤作答即可．【详解】证明：（已知），（垂直的定义），（已知），（两直线平行，同位角相等），（已知），．（对顶角相等），（等量代换），，，ED AB ⊥ 90EDA ∴∠=︒MD PB ∥DME ∴∠=EDM BQF ∠=∠ EDM CQP ∴∠=∠180DEM EDM DME ∠=-∠-∠︒ 180QCP CQP QPC ∠=-∠-∠︒∴ED CF ∴∥∴CF AB ∴⊥ED AB ⊥ 90EDA ∴∠=︒MD PB ∥DME BPC ∴∠=∠EDM BQF ∠=∠ BQF CQP ∠=∠EDM CQP ∴∠=∠180DEM EDM DME ∠=-∠-∠︒ 180QCP CQP QPC ∠=-∠-∠︒∴．（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，同位角相等），（垂直的定义）．25. 如图，在四边形中，点在上，平分，，．（1）求证：；（2）若平分交的延长线于点，交于点，交于点，，，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键．（1）由，可得，由平分，可得，则，，进而可证；（2）由（1）知，则，由平分，可得，由，，可得，，如图，过作，则，，根据，计算求解即可．【小问1详解】证明：∵，∴，∵平分，∴，∴，DEM QCP ∠=∠ED CF ∴∥∴CFA EDA ∠=∠CF AB ∴⊥ABCD F AB DF ADB ∠DF DC ⊥BDC BCD ∠=∠AD BC ∥BE ABD ∠CD E DF H AD G 128BAD ∠=︒32DBC ∠=︒E ∠64︒DF DC ⊥90FDA ADE FDB BDC ∠+∠=︒=∠+∠DF ADB ∠FDA FDB ∠=∠ADE BDC ∠=∠ADE BCD ∠=∠AD BC ∥AD BC ∥20ABD ∠=︒BE ABD ∠10DBE ∠=︒AD BC ∥32DBC ∠=︒32ADB DBC ∠=∠=︒180742ADB BDC BCD ︒-∠∠=∠==︒E EM BC ∥42BEM ∠=︒106CEM ∠=︒BEC CEM BEM ∠=∠-∠DF DC ⊥90FDA ADE FDB BDC ∠+∠=︒=∠+∠DF ADB ∠FDA FDB ∠=∠ADE BDC ∠=∠∵，∴，∴；【小问2详解】解：由（1）知，∴，∵平分，∴，∵，，∴，，如图，过作，∴，，∴，∴的度数为．26. 百果园李老板在德昌旅游时发现这里的水果极其丰富，尤其是春节期间的草莓更是物美价廉．他在一家水果店前驻足观察到，一位客人买了斤中果草莓和斤大果草莓共花费元，另一位客人买了斤中果草莓和5斤大果草莓花费元．（1）请问在德昌中果草莓和大果草莓每斤各多少元？（2）在重庆，中果草莓每斤元，大果草莓每斤元，如果在德昌这个店购买然后运回重庆销售，有一定利润．经了解：重庆到德昌公里，一辆载重斤的卡车满载的时候运输费用为每公里元，现计划购买中果和大果草莓共斤，在运输以及销售过程中大果和中果草莓损耗各．如果大果购买重量与中果购买重量之差不超过斤，那么当总利润不低于元且水果重量均为整数时，请问有哪几种购买方案？BDC BCD ∠=∠ADE BCD ∠=∠AD BC ∥AD BC ∥18020ABD BAD DBC ∠=︒-∠-∠=︒BE ABD ∠1102DBE ABD ∠=∠=︒AD BC ∥32DBC ∠=︒32ADB DBC ∠=∠=︒180742ADB BDC BCD ︒-∠∠=∠==︒E EM BC ∥42BEM DBE DBC ∠=∠+∠=︒180106CEM BCD ∠=︒-∠=︒64BEC CEM BEM ∠=∠-∠=︒E ∠64︒3234676122070030005300020%5014000【答案】（1）在德昌中果草莓每斤元，大果草莓每斤元；（2）第一种：购买斤中果草莓，斤大果草莓；第二种：购买斤中果草莓，斤大果草莓；第三种：购买斤中果草莓，斤大果草莓．【解析】【分析】（）设在德昌中果草莓每斤元，大果草莓每斤元，根据题意，列出方程组即可求解；（）设购买了斤中果草莓，则购买了斤大果草莓，根据题意，列出不等式组求出的取值范围，再根据为整数即可求解；本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键．【小问1详解】解：设在德昌中果草莓每斤元，大果草莓每斤元，由题意可得，，解得，答：在德昌中果草莓每斤元，大果草莓每斤元；【小问2详解】解：设购买了斤中果草莓，则购买了斤大果草莓，由题意可得，，解得，∵为整数，∴或或，∴有三种购买方案：第一种：购买斤中果草莓，斤大果草莓；第二种：购买斤中果草莓，斤大果草莓；第三种：购买斤中果草莓，斤大果草莓．27. 材料一：若一个自然数除以3余数为，则该自然数的各数位上的数字之和除以3的余数也为．例如125除以3余数为2，则除以3的余数也为2．材料二：若一个自然数可以表示为一个整数的平方，那么该自然数称为完全平方数．例如681475152514761524147715231x y 2a ()3000a -a a x y 32346576x y x y +=⎧⎨+=⎩68x y =⎧⎨=⎩68a ()3000a -()()()()120%12120%300020683000700514000300050a a a a a a ⎧⎡⎤-⨯+--⨯-+--⨯≥⎪⎣⎦⎨--≤⎪⎩31475147711a ≤≤x 1475x =14761477147515251476152414771523x x 1258++=ab a，所以169是完全平方数．（1）证明：完全平方数除以8的余数为1．（其中为整数）（2）一个各位数字均不为0四位自然数，去掉的个位数字后形成的三位数除以3余1，去掉的千位数字后形成的三位数除以3余2，由的千位数字与百位数字构成的两位数记为，由的十位数字与个位数字构成的两位数记为，为完全平方数且为奇数．求出所有符合条件的自然数．【答案】（1）见详解 （2）2326，2623，4338，4635，4932，1368，1665，1962，8239，8536，8833，5269，5566，5863，2299，2596，2893，8386，8683【解析】【分析】（1）将展开为，即可求证，（2）结合材料1可得到，，根据、、、的范围，得到，且是完全平方数，得到，，，，，结合与的范围，分情况讨论，即可求解，本题考查了，十进制整数表示方法，完全平方数，解题的关键是：根据条件列式，分情况讨论．【小问1详解】证明：，∵为整数，∴能被8整除，∴完全平方数除以8的余数为1；【小问2详解】解：∵余数为1，余数为2，∴余数为1，余数为2，设，，其中，∴，，∵，，∵，，，，∴，，的216913=()243k +k m abcd =m m m s m t s t +m ()243k +()282311k k +++131a b c k ++=+232b c d k ++=+a b c d ()221018018198a c b d ≤+++≤+=()10a c b d +++=254981121169a c +b d +()()2222431624916248182311k k k k k k k +=++=+++=+++k ()28231k k ++()243k +()100103a b c ++÷()100103b c d ++÷()3a b c ++÷()3b c d ++÷131a b c k ++=+232b c d k ++=+1211k k ³³，()131b k a c =+-+()232c k b d =+-+10s a b =+10t c d =+19a ≤≤19b ≤≤19c ≤≤19d ≤≤218a c ≤+≤218b d ≤+≤∴，∵为完全平方数且为奇数，之间的奇数完全平方数有：，，，，，∴，，，，，当，时，，b 可取，，c 无值可取，当，时，，b 可取，，，c 可取，∴，或，∴，，当，时，，b 可取，，，，c 可取，，∴或，或或，∴，，，，，，当，时，，可取，，，，可取，，，∴或或，或或， ∴，，，，，，，，，当，时，，可取，，，可取，()221018018198s t a c b d ≤+=+++≤+=s t +22198 254981121169()10s t a c b d +=+++=2549811211692a c +=5b d +=()1113131231b k a c k k =+-+=+-=-2()()2223232531c k b d k k =+-+=+-=-4a c +=9b d +=()()1113131431b k a c k k =+-+=+-=-36()()22232329332c k b d k k =+-+=+-=-+222a c =⎧⎨=⎩36b d =⎧⎨=⎩63b d =⎧⎨=⎩2326m =26237a c +=11b d +=()()1113131732b k a c k k =+-+=+-=-369()()22232321133c k b d k k =+-+=+-=-3643a c =⎧⎨=⎩16a c =⎧⎨=⎩38b d =⎧⎨=⎩65b d =⎧⎨=⎩92b d =⎧⎨=⎩4338m =4635493213681665196211a c +=11b d +=()()111313111331b k a c k k =+-+=+-=--258()()22232321133c k b d k k =+-+=+-=-36983a c =⎧⎨=⎩56a c =⎧⎨=⎩29a c =⎧⎨=⎩29b d =⎧⎨=⎩56b d =⎧⎨=⎩83b d =⎧⎨=⎩8239m =8536883352695566586322992596289316a c +=9b d +=()()11131311635b k a c k k =+-+=+-=-36()()22232329321c k b d k k =+-+=+-=--8∴， 或， ∴，，故答案为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，．28. 如图，在直线上放置两块三角板，，，，．其中三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转．（1）如图，三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，且两块三角板同时从图的位置开始旋转，当与第一次相遇时，______；（2）如图，两块三角板转到图位置，此时，，点为延长线上一点，连接交于点，当且（，且）时，用等式表示与的数量关系，并说明理由．（3）三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，两块三角板同时从图的位置开始旋转，当线段转到处两块三角板同时停止旋转．在旋转过程中，射线平分，射线平分．设旋转时间为秒，当与垂直时，直接写出的值．【答案】（1）；（2），理由见解析；88a c =⎧⎨=⎩36b d =⎧⎨=⎩63b d =⎧⎨=⎩8386m =868323262623433846354932136816651962823985368833526955665863229925962893838686831MN BA AO ⊥45BOA ∠=︒CD OD ⊥30DOC ∠=︒AOB O 5︒1OCD O 10︒1OB OD DON ∠=22OB MN ⊥OA CD ∥F OB DB AF E 100AEB ∠=︒FDB EBA x ∠=∠=︒3580x <<45x ≠AFO ∠FDC ∠OCD O 10︒1OB OM OE BOD ∠CF DCO ∠t CF OE t 100︒2160FDC AFO ∠=∠+︒（3）或或．【解析】【分析】（）列出一元一次方程解答即可求解；（）由平行可得，由得，由三角形外角性质得，得到，，据此即可表示与的数量关系；（）分三种情况：重合前；第一次相交后；第二次相交后；画出图形解答即可求解；本题考查了一次一次方程的几何应用，平行线的性质，三角形内角和定理和外角性质，角平分线的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．【小问1详解】解：设经过秒重合，由题意可得，，解得，∴转过的度数为，∴，故答案为：；【小问2详解】解：，理由如下：∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，∵，∴，∴；【小问3详解】3t =275112BDO EBA x ∠=∠=︒100AEB ∠=︒80EAB x ∠=︒-︒35AFB x ∠=︒-︒35AFO x ∠=︒-︒290FDC x ∠=︒+︒AFO ∠FDC ∠3①OB OD 、②OB OD 、③OB OD 、t 5101804530t t +=--7t =OD 10770︒⨯=︒3070100DON ∠=︒+︒=︒100︒2160FDC AFO ∠=∠+︒OA CD ∥BDO EBA x ∠=∠=︒100AEB ∠=︒18010080EAB x x ∠=︒-︒-︒=︒-︒45AFB FAB ABO ∠+∠=∠=︒()45458035AFB FAB x x ∠=︒-∠=︒-︒-︒=︒-︒35AFO x ∠=︒-︒90290FDC FDB BDO ODC x x x ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒+︒()290235160FDC x x ∠=︒+︒=︒-︒+︒2160FDC AFO ∠=∠+︒解：分三种情况：重合前，如图，∵射线平分，∴，当时，，∴，∴，∵射线平分，∴，∴，∴；第一次相交后，如图，同可得，∴，∴；第二次相交后，如图，∴，∴；①OB OD 、CF DCO ∠11603022FCO OCD ∠=∠=⨯︒=︒CF OE ⊥90OFC ∠=︒60COF ∠=︒603030DOE ∠=︒-︒=︒OE BOD ∠260BOD DOE ∠=∠=︒510180456030t t +=︒-︒-︒-︒3t =②OB OD 、①60BOD ∠=︒510360601803045t t +=︒-︒+︒-︒-︒27t =③OB OD 、510360360601803045t t +=︒+︒-︒+︒-︒-︒51t =综上，当或或时，与垂直．3t 2751CF OE。

人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。

2.3 幂函数1．通过实例了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数．(易混点)2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象，了解它们的变化情况．(难点) 3．能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较．(重点)[基础·初探]教材整理1 幂函数的概念阅读教材P 77至倒数第二自然段，完成下列问题．幂函数：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x－45是幂函数．()(2)函数y ＝2－x 是幂函数．( ) (3)函数y ＝－x 12是幂函数．( ) 【解析】 (1)√.函数y ＝x －45符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)×.幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数； (3)×.幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 12不是幂函数． 【答案】 (1)√ (2)× (3)× 教材整理2 幂函数的图象与性质阅读教材P 77倒数第二自然段至P 78“例1”以上部分，完成下列问题．幂函数的图象与性质：幂函数的图象过点(3, 3)，则它的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)【解析】 设幂函数为f (x )＝x α，因为幂函数的图象过点(3, 3)，所以f (3)＝3α＝3＝312，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.【答案】 B[小组合作型](1)在函数y ＝x －( ) A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2, 2)，则f (9)＝________.(3)幂函数f (x )＝(m 2－2m －2)xm ＋12m 2在(0，＋∞)上是减函数，则m ＝________. 【精彩点拨】 (1)结合幂函数y ＝x α的定义判断．(2)由幂函数的定义设出解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f (9)的值． (3)利用幂函数的概念可得到关于m 的关系式，解之即可．【自主解答】 (1)根据幂函数定义可知，只有y ＝x －2是幂函数，所以选B .(2)由题意，令y ＝f (x )＝x α，由于图象过点(2，2)，得2＝2α，α＝12，∴y ＝f (x )＝x 12，∴f (9)＝3.(3)∵f (x )＝(m 2－2m －2)xm ＋12m 2在(0，＋∞)上是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m2－2m －2＝1，12m2＋m<0，∴m ＝－1.【答案】 (1)B (2)3 (3)－1判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.[再练一题]1．若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________.【导学号：97030116】【解析】 设f (x )＝x α，因为f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13.【答案】 13(1)如图2-3-1所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )图2-3-1A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12(2)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m 5<(5－2a )－m5的a 的取值范围．【精彩点拨】 (1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象；(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m 的值，再利用幂函数的单调性求解关于a 的不等式．【自主解答】 (1)根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象当n >0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B.【答案】 B(2)因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m<3，又m ∈N *，所以m ＝1,2. 因为函数的图象关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1，则原不等式可化为(a ＋3)－15<(5－2a )－15.因为y ＝x －15在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋3>5－2a >0或5－2a <a ＋3<0或a ＋3<0<5－2a ，解得23<a <52或a <－3.解决幂函数图象问题应把握的两个原则1．依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．2．依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12或y ＝x 3)来判断．[再练一题]2．点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．【解】 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1. ∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知， (1)当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝1时，f (x )＝g (x )； (3)当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )． [探究共研型]探究1 幂函数y ＝x 【提示】 当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减．探究2 23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？【提示】 23.1和23.2可以看作函数f (x )＝2x 的两个函数值，因为函数f (x )＝2x 单调递增，所以23.1＜23.2.探究3 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 【提示】 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f (x )＝x －0.2的两个函数值，因为函数f (x )＝x －0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.比较下列各组中幂值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)212，1.813；(4)1.212，0.9－12，1.1.【精彩点拨】 构造幂函数或指数函数，借助其单调性求解． 【自主解答】 (1)∵函数y ＝3x 是增函数，且0.8＞0.7，∴30.8>30.7. (2)∵函数y ＝x 3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233. (3)∵函数y ＝x 12是增函数，且2＞1.8，∴212>1.812. 又∵y ＝1.8x 是增函数，且12>13， ∴1.812>1.813，∴212>1.813.(4)0.9－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10912，1.1＝1.112.∵1.2>109>1.1，且y ＝x 12在[0，＋∞)上单调递增， ∴1.212>⎝ ⎛⎭⎪⎫10912>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3(3)中的1.812.[再练一题]3．比较下列各组数的大小. 【导学号：97030117】【解】 (1)因为函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数．又3<3.1，所以3－52>3.1－52.1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A.14 B ．4 C.22D. 2【解析】 设幂函数为y ＝x α.∵幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，∴12＝4α，∴α＝－12，∴y ＝x －12，∴f (2)＝2－12＝22，故选C.【答案】 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )【导学号：97030118】A ．y ＝x 13 B ．y ＝x －12 C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23【解析】 A 中定义域和值域都是R ；B 中定义域和值域都是(0，＋∞)；C 中定义域和值域都是R ；D 中定义域为R ，值域为[0，＋∞)．【答案】 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3【解析】 当a ＝－1时，y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当a ＝1时，函数y ＝x 的定义域是R ，且为奇函数；当a ＝12时，函数y ＝x 12的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数；当a ＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R 且为奇函数．故选A.【答案】 A4．函数y ＝x 13的图象是( )【解析】 显然函数y ＝x 13是奇函数．同时当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 13＜x . 【答案】 B5．比较下列各组数的大小：【解】 (1) ，函数y ＝在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则从而因为函数在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以。

成都七中2019~2020学年度下期高2022届半期考试高一数学试卷考试时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．(2020 七中高一下半期 1)sin105=( )A.B.C.D. 【答案】B【解析】1sin105sin(6045)sin 60cos 45cos60sin 45)22︒=︒+︒=︒︒+︒︒==, sin105∴︒=故选：B(2020 七中高一下半期 2)已知等差数列{}n a 中，4,774==a a ，则公差d 的值为( )A.12 B. 1 C. 1- D. 12- 【答案】C【解析】因为等差数列{}n a 中，47a =，74a =，所以417136a a d a a d =+⎧⎨=+⎩，解得1d =-， 故选：C(2020 七中高一下半期 3)已知21cos sin =-x x ，则x 2sin 的值为( )A.12 B. 14 C. 34D.【答案】C【解析】因为1sin cos 2x x -=， 所以221sin cos 2sin cos 4x x x x +-=， 所以3sin 24x =． 故选：C.(2020 七中高一下半期 4)若011<<ba ，则下列结论中不正确的是( ) A. 22ab < B. 2ab b < C.2b aa b+> D. a b a b +>+ 【答案】D 【解析】因为110a b<<，所以<<0b a ，所以： (A)22a b <正确；(B) 因为<0b ，所以在<b a 两边同时乘以b ，得2ab b <，正确‘ (C) 因为<<0b a ，0,0b aa b >>，所以2b a a b+>，正确； (D) 当=-4,=-1b a 时，a b a b +=+，故错误． 故选D.(2020 七中高一下半期 5)在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，且︒︒===45,1202C B b ，，则边c 的大小是( )A. B. C. 2 D. 【答案】D【解析】因为2b =，120B =︒，45C =︒，所以2sin sin cB C=,即2sin sin 3Cc B===, 故选：D(2020 七中高一下半期 6)等差数列{}n a 中，24010=S ，那么74a a +的值是( ) A. 60 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】D【解析】因为等差数列{}n a 中，110104710()2405()2a a S a a +===+,所以4748a a +=， 故选：D(2020 七中高一下半期 7)设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，161216a a =，则36S S 的值为( ) A.98 B. 9 C. 9或7- D. 98或87 【答案】D【解析】因为121616a a =，所以4121216a a q =，即214q =， 解得12q =或12q =-而6363319118S q q S q -==+=-或78， 故选：D(2020 七中高一下半期 8)化简22cos 5sin 5sin 40sin50︒︒︒︒-的结果为( )A. 1B. 12C. 2D. 1-【答案】C【解析】22cos 5sin5cos10cos102cos1021sin40sin50sin40cos40cos10sin802︒-︒︒︒︒====︒︒︒︒︒︒,故选：C(2020 七中高一下半期9)在31tantan,120==∆︒BACABC中，，则tan tanA B+的值为()A.B. C. D.【答案】B【解析】因为tan tantan()1tan tanA BA BA B++=-,所以tan tan3tan()tan(tan tan)1213A BC C A Bπ+-=-==+-,即tan tan3A B+=，故选：B(2020 七中高一下半期10)已知数列{}n a为各项均为正数的等比数列，n S是它的前n项和，若482=⋅aa，且21375=-aa，则5S的值为( )A. 64B. 62C. 60D. 58【答案】B【解析】因为数列{}n a为各项均为正数的等比数列且22854a a a⋅==，所以52a=，又57132a a-=，所以71 2a=，由4 51671212a a qa a q⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：1132,2a q==，所以515132(1)(1)32621112a qSq--===--，故选：B(2020 七中高一下半期11)有一块半径为2，圆心角为︒45的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形(矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上)，则这个内接矩形的面积最大值为( )A. 22+ B. 22- C. 222- D. 222+【答案】C【解析】如图：在Rt OCB中，设COBα∠=，则2cos,2sinOB BCαα==，在Rt OAD中，tan451DAOA︒==，所以2sinOA DAα==，2cos2sinAB OB OAαα∴=-=-，设矩形A BCD的面积为S，则()212cos2sin2sin4(sin2sin)2S AB BCααααα=⋅=-⋅=-2(sin 2cos2)2)24πααα=+-=+-，由于04πα<<，所以当8πα=时，2S 最大，故选：C(2020 七中高一下半期 12)实数c b a 、、满足221a a c b =+--且012=++b a ，则下列关系成立的是( )A. c b a ≥>B. c a b ≥>C. a c b >≥D. c a b >≥ 【答案】D【解析】由221a a c b =+--可得2(1)0a c b -=-≥，利用完全平方可得 所以c b ≥，由210a b ++=可得21a b =--，22131()024b a b b b ∴-=++=++>，b a ∴>，综上c b a ≥>， 故选：D二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共计20分(2020 七中高一下半期 13)已知直线l 斜率的取值范围是()1，则l 的倾斜角的取值范围是 .【答案】20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭【解析】因为直线l 斜率的取值范围是()， 所以当斜率01k ≤<时，倾斜角04πα≤<，当斜率0k <<时，倾斜角23παπ<<， 综上倾斜角的取值范围20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭， 故答案为：20,,43πππ⎡⎫⎛⎫⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭(2020 七中高一下半期 14)已知()απαπ-=⎪⎭⎫⎝⎛+cos 22cos ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-απ4tan . 【答案】13- 【解析】()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,sin 2cos αα∴-=-,即tan 2α=，tantan 1214tan 41231tan tan 4παπαπα--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+，故答案为：13-(2020 七中高一下半期 15)不等式()0622≥---x x x 的解集是 .【答案】{2x x =-或3}x ≥【解析】因为(20x -≥，所以22060x x x -≥⎧⎨-->⎩或260x x --=，即23x x ≥⎧⎨>⎩或22x x ≥⎧⎨<-⎩或2x =-或3x =解得2x =-或3x ≥， 故答案为：{2x x =-或3}x ≥(2020 七中高一下半期 16)已知正数y x ,满足2=+y x ，若2122+++≤y y x x a 恒成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为2x y +=，所以2222(1)2(1)1(2)4(2)41212x y x x y y x y x y +-+++-+++=+++++ 1414122411212x y x y x y =++-+++-=-++++++， 而14114124(1)19(12)()1()11251251255y x x y x y x y x y +++=++++=++≥+⨯=++++++， 当且仅当24(1)12y x x y ++=++，即24,33x y ==时等号成立， 所以22149411121255x y x y x y +=-++≥-+=++++， 故知45a ≤， 故答案为：4,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤． (2020 七中高一下半期 17)解关于x 的不等式 ()R a ax x ∈>++,0222【解析】对于方程2220x ax ++=,其判别式()()21644a a a ∆=-=+-,①当>0∆时,即4a >或4a时,方程2220x ax ++=的两根为11(4x a =- ,21(4x a =-∴原不等式的解集为11|((44x x a x a ⎧⎫<->-+⎨⎬⎩⎭②当0∆=时,即4a =±,当4a =时,方程有两个相等实根,121x x ==-,∴原不等式的解集为{}|1x x ≠-；当4a =-时,方程有两个相等实根,121x x ==, ∴原不等式的解集为{}|1x x ≠③当∆<0时,即44a -<<时,方程无实根,∴原不等式的解集为R 综上,当4a >或4a时原不等式的解集为11|((44x x a x a ⎧⎫<-->-+⎨⎬⎩⎭；当4a =时,原不等式的解集为{}|1x x ≠-；当4a =-时,原不等式的解集为{}|1x x ≠；当44a -<<时原不等式的解集为R(2020 七中高一下半期 18)在ABC ∆内，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、且()B a c B c A b cos cos cos -=-(1)求角B 的大小；(2)若ABC ∆的面积为33，13=b ，求c a +的值． 【答案】(1)3B π=(2)7【解析】(1)∵()cos cos cos b A c B c a B -=-.∴由正弦定理，得()sin cos sin cos sin sin cos B A C B C A B -=-. ∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B C B +=.()sin 2sin cos A B C B ∴+=.又A B C π++=，∴()sin sin A B C +=. 又∵0C π<<，1cos 2B ∴=.又()0B π∈，，3B π∴=.(2)据(1)求解知3B π=，∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-.①又1sin 2S ac B ==12ac =，② 又13b =，∴据①②解，得7a c +=.(2020 七中高一下半期 19)在等差数列{}n a 中，38,269573-=+-=+a a a a . (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n n b a +是首项为1，公比为t 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S【答案】(1)32n a n =-+(2)232n n nS += 【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差是d ，由已知()5937412a a a a d +-+==-，3d ∴=-，3712826a a a d ∴+=+=-，得11a =-， ∴数列{}n a 的通项公式为32n a n =-+．(2)由数列{}n n a b +是首项为1，公比为t 的等比数列，1n n n a b t -+=，1132n n n n b t a n t --=-=-+，()()()22121314732112n n n n nS n t t tt t t ---=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦．当1t ≠时，23121nn n n t S t --=+-． 当1t =时，223322n n n n nS n -+=+=． (2020 七中高一下半期 20)已知函数()()0cos 2cos sin 322>+=ωωωωx s x x x f 的周期为3π(1)求函数()x f 的单调递增区间和最值;(2)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈6,0πx 时，函数()()12+-=m x f x g 恰有两个不同的零点，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)(),39318k k k z ππππ⎛⎫-+∈⎪⎝⎭．()min 1f x =-．()max 3f x =．(2)3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【解析】(1)()2cos 2cos 21cos 22sin 216f x x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭又因为周期为3π， 所以2263πωπ==，3ω=，()2sin 616f x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭， 令262,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈, 解得,39318k k x k Z ππππ-≤≤+∈ 故其单调递增区间为(),39318k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭． 当()318k x k z ππ=+∈时，()max 3f x =． 当()39k x k z ππ=-∈时，()min 1f x =-． (2)0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 76666x πππ∴≤+≤． 令76,666t x t πππ=+≤≤，则72sin ,[,]66y t t ππ=∈，由函数()()21g x f x m =-+恰有两个不同的零点， 得函数72sin ,[,]66y t t ππ=∈的图像与直线22y m =-恰有两个不同的交点，如图：结合图像可知1222m ≤-<，即322m ≤<，综上，实数m 的取值范围是3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭．(2020 七中高一下半期 21)已知数列{}n a 满足λ+==+n n a a a 3,111(λ为常数)．(1)试探究数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+λ21n a 是否为等比数列，并求n a ；(2)当2=λ时，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛+λ21n a n 的前n 项和n T ．【答案】(1)数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112λ+为首项，3为公比等比数列．1111322n n a λλ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．(2)11322n n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【解析】(1)13n n a a λ+=+，111322n n a a λλ+⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭，又11a =，所以当2λ=-时，1102a λ+=，数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭不是等比数列． 此时1102n n a a λ+=-=，即1n a =； 当2λ≠-时，1102a λ+≠，所以102n a λ+≠． 所以数列12n a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以112λ+为首项，3为公比的等比数列． 此时1111322n n a λλ-⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即1111322n n a λλ-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． (2)由(1)知1231n n a -=⋅-，所以()1123n n n a n -+=⨯，121222323323n n T n -=+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯①， 2332322323323n n T n =⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯②， -①②得：()122223+3323n n n T n -=++⋅⋅⋅+-⨯ ()1313222313n n n --=+-⨯- 所以11322n n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． (2020 七中高一下半期 22)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*∈=+N n a S n n ,413(1)求{}n a 的通项公式;(2)求证：15141433221->+++++n S S S S S S S S n n 【答案】(1)134n n a -=⋅，n *∈N ．(2)见解析【解析】(1)当1n =时，()11314a a +=，解得13a =； 当2n ≥时，334n n S a +=，11334n n S a --+=；两式相减得1344n n n a a a -=-，即()142n n a a n -=≥， 所以数列{}n a 是公比为4，首项为3的等比数列 134n n a -=⋅，n *∈N ．(2)由1知41n n S =- 故()1114113414441n n n n n S S +++-==--- 又因为()()144115444154440n n n n n +-=⨯+-≥⨯-≥ 那么()()13154441n n n N *+≤∈⨯- 111454n nn S S +≥-⨯ 所以122231111145444n n n S S S n S S S +⎛⎫++⋅⋅⋅+≥-++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭ 1111111441145415441514n n n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⋅=-->- ⎪⎝⎭-．。

重庆市2023-2024学年高一（下）期中数学试卷（答案在最后）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知复数，则的虚部是（）A．﹣i B．﹣1C．i D．12．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α，则n∥αB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n3．（5分）在△ABC中，b＝6，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为（）A．9B．9πC．36D．36π4．（5分）已知向量满足，向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．5．（5分）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（）A．B．2C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF中点，则＝（）A．B．C．D．7．（5分）嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔．如图，为测量塔的总高度AB，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD＝30°，∠BDC＝45°，CD＝32m，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔的总高度为（）A．B．C．D．8．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝4，侧棱，若P为B1C1的中点，则过B，D，P三点截面的面积为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

（多选）9．（3分）已知复数z＝2﹣3i，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的模等于13B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的共轭复数为﹣2﹣3iD．若z（m+4i）是纯虚数，则m＝﹣6（多选）10．（3分）设向量，，则下列叙述错误的是（）A．若与的夹角为钝角，则k＜2且k≠﹣2B．的最小值为2C．与共线的单位向量只有一个为D．若，则或（多选）11．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝2AB＝2BB1＝6，点E为棱BC上靠近点C的三等分点，点F是长方形ADD1A1内一动点（含边界），且直线B1F，EF与平面ADD1A1所成角的大小相等，则（）A．A1F∥平面BCC1B1B．三棱锥F﹣BB1E的体积为4C．存在点F，使得A1F∥B1ED．线段A1F的长度的取值范围为[，]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。