【知识梳理与自测】人教A版(文科数学)《9.5椭 圆》 第1课时

§9.5椭圆知识梳理：1．椭圆的概念把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质－a≤x≤a －b≤x≤b[00(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2<1. (2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b 2>1.课前检测：1．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．12 答案 C2．(2013·广东)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( ) A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 答案 D 3．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则△PF 1F 2的周长为________．答案 164．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1、F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________． 答案 3－1应用示例：题型一 椭圆的定义及标准方程例1 (1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，且点N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为________________．(3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________．思维点拨 (1)主要考虑椭圆的定义； (2)要分焦点在x 轴和y 轴上两种情况； (3)可以用待定系数法求解．答案 (1)B (2)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1 (3)x 29＋y 23＝1解析 (1)点P 在线段AN 的垂直平分线上， 故|P A |＝|PN |， 又AM 是圆的半径， ∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．(2)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∵椭圆过P (3,0)，∴32a 2＋02b 2＝1，即a ＝3， 又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．∵椭圆过点P (3,0)．∴02a 2＋32b 2＝1，即b ＝3. 又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(3)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )． ∵椭圆经过点P 1、P 2，∴点P 1、P 2的坐标适合椭圆方程．则⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1， ①3m ＋2n ＝1， ② ①、②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )的形式．(1)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．(2)(2014·安徽)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左，右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________________． 答案 (1)y 220＋x 24＝1 (2)x 2＋32y 2＝1题型二 椭圆的几何性质例2 (2014·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C . (1)若点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．思维点拨 (1)根据椭圆的定义，建立方程关系即可求出a 、b 的值． (2)求出C 的坐标，利用F 1C ⊥AB 建立斜率之间的关系，解方程即可求出e 的值． 解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c,0)，F 2(c,0)．(1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝⎛⎭⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1，解得b 2＝1. 故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)因为B (0，b )，F 2(c,0)在直线AB 上，所以直线AB 的方程为x c ＋yb＝1.解方程组⎩⎨⎧x c ＋yb＝1，x 2a 2＋y2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b (c 2－a 2)a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b .所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b (c 2－a 2)a 2＋c 2.又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b (a 2－c 2)a 2＋c 2.因为直线F 1C 的斜率为b (a 2－c 2)a 2＋c2－02a 2c a 2＋c 2－(－c )＝b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3， 直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ， 所以b (a 2－c 2)3a 2c ＋c 3·⎝⎛⎭⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2. 故e 2＝15，因此e ＝55.思维升华 求椭圆的离心率的方法： (1)直接求出a 、c 来求解e ，通过已知条件列方程组，解出a 、c 的值； (2)构造a 、c 的齐次式，解出e ，由已知条件得出a 、c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出离心率．(1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．2 2(2)(2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|AF |＝6，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率e ＝________.答案 (1)C (2)57题型三 直线与椭圆位置关系的相关问题例3 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点为B (0,4)，离心率e ＝55，直线l 交椭圆于M ，N 两点． (1)若直线l 的方程为y ＝x －4，求弦|MN |的长． (2)如果△BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点F ，求直线l 方程的一般式．思维点拨 直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般可以直接联立方程，“设而不求”，把方程组转化成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求解． 解 (1)由已知得b ＝4，且ca ＝55，即c 2a 2＝15，∴a 2－b 2a 2＝15，解得a 2＝20，∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.则4x 2＋5y 2＝80与y ＝x －4联立，消去y 得9x 2－40x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝409，∴所求弦长|MN |＝1＋12|x 2－x 1|＝4029.(2)椭圆右焦点F 的坐标为(2,0)，设线段MN 的中点为Q (x 0，y 0)，由三角形重心的性质知 BF →＝2FQ →，又B (0,4)，∴(2，－4)＝2(x 0－2，y 0)，故得x 0＝3，y 0＝－2，即得Q 的坐标为(3，－2)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝－4，且x 2120＋y 2116＝1，x 2220＋y 2216＝1，以上两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)20＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)16＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－45·x 1＋x 2y 1＋y 2＝65，故直线MN 的方程为y ＋2＝65(x －3)， 即6x －5y －28＝0.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．(2014·课标全国Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； (2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .课堂小结： 1．椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况． 2．求椭圆方程的方法，除了直接根据定义外，常用待定系数法．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为x2m ＋y2n ＝1 (m>0，n>0，且m≠n)可以避免讨论和烦琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1 (A>0，B>0，且A≠B)，这种形式在解题中更简便． 3．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种： (1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca 求得； (2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b2＝a2－c2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解． 课后作业：。

(完整版)椭球体和圆锥体知识点复习整理
椭球体和圆锥体知识点复整理
椭球体的定义和特点
- 椭球体是一种三维几何图形，形状类似于一个稍微变形的球体。

- 它由一条固定的闭合曲线（称为椭圆）绕着其中心轴旋转形成。

- 椭球体具有两个焦点，椭圆上的任意一点到两个焦点的距离
之和是一个常数。

- 与球体不同，椭球体的三条主轴（长轴、短轴和轴）长度不
一定相等。

圆锥体的定义和特点
- 圆锥体是一种三维几何图形，形状类似于一个圆顶和一个基
底相连接的尖锐物体。

- 它由一条固定的闭合曲线（称为圆）绕着其中心轴旋转形成。

- 圆锥体具有一个顶点和一个基底。

- 与圆柱体不同，圆锥体的侧面是一个由顶点到基底的扇形。

椭球体和圆锥体的区别
1. 形状：椭球体形状更接近于一个稍微变形的球体，而圆锥体
形状则类似于一个圆顶和一个基底相连接的尖锐物体。

2. 轴和焦点：椭球体有三个轴（长轴、短轴和轴）和两个焦点，而圆锥体只有一个轴和一个顶点。

3. 侧面：椭球体没有侧面，而圆锥体的侧面是一个扇形。

4. 曲线：椭球体是由椭圆绕其中心轴旋转形成的，圆锥体是由
圆绕其中心轴旋转形成的。

以上是椭球体和圆锥体的基本定义和特点，希望对复习有所帮助。

【即学即练1】（2023秋·四川南充高二四川省南充高级中学校考期末）设定点P 满足条件125PF PF ，则点P 的轨迹是（）A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段【答案】A【详解】因为 10,2F ， 20,2F ，所以4 ，所以5PF PF F F ，所以点的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆.1(,0)F c ，2(,0)F c 1(0,)F c ，2(0,)F c 22023秋·广东广州·高二广州市第八十六中学校考期末）已知ABC 的周长为20，且顶点，则顶点A 的轨迹方程是（）故选：D【变式1】（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）的左、右焦点为12(1,0),(1,0)F F ，且过点【答案】22143x y 【详解】由题知：1c ，①3①当且仅当P 、M 、1F 三点共线时，等号成立，在2PNF 中可得：22PF PN PF 当且仅当P 、N 、2F 三点共线时，等号成立，由① ②得：123PF PF PM 由椭圆方程2212516x y 可得：225a ，即由椭圆定义可得：12210PF PF a 22435MF MF ，则8AF AF ，..题型05【典例1】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆上一点， 2,1B ，则1AB AF A ．7B ．8【详解】设椭圆的半焦距为c ，则 22,0F ，3a ，如图，连接2AF ，则12AB AF AB a AF 221AF BF ，当且仅当2,,A F B 共线且1AF 的最大值为7.由M 为椭圆C 上任意一点，则MF 又N 为圆2:3222E x y ∴ 124MN MF MN MF 当且仅当M 、N 、E 、2F 共线时等号成立故答案为：1,2101【变式1】（2023·全国·高三专题练习）则PA PF 的最小值为【答案】62 /26【变式2】（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）(1,22)A ，则||||PA PF 的最大值为【答案】423 /234【详解】设椭圆的左焦点为 1F【详解】由题意，当椭圆焦点在x轴上，设椭圆方程为：由题意知22x所以曲线C的方程为【变式3】（2023秋·高二课时练习）已知定圆定圆1C外切和圆2C内切，求动圆圆心【典例2】（2023·长的最大值为（A ．4【答案】D【详解】解：设1F 则由椭圆的定义可得：AF BF AB 【典例3】（2023·全国·高二专题练习）设1F ,F 的直线交椭圆E 于,A B ，113AF BF ，若AB 【答案】5【详解】113AF BF ，AB 4 ，可得1AF 2ABF 的周长为16，则2AB AF 根据椭圆定义可得，121AF AF BF 16，4a ，218F AF A ，AFBF为平行四边形，则1△的周长为AF BF AB AFABF当A，B为椭圆上下顶点时等号成立故选：C【变式3】（2023·北京·101中学校考三模）已知【详解】2F 的内切圆半径为r ，112PF r，2212MPF S PF 122MF F MPF mS S △△1221122r m F F r PF r【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知若1212PF PF PF PF12，则12F PF △的面积为（A ．33B ．23【答案】A【详解】设椭圆221259x y 的长半轴为则5,3a b ，224c a b ，即1228F F c .设12,F P m F P n ，所以由椭圆的定义可得：因为121212PF PF PF PF，所以由数量积的公式可得：121cos 2,PF PF ，所以12,PF PF 在12F PF △中12π3F PF，所以由余弦定理可得：2264m n 由①②可得：12mn ，所以12F PF S 故选：A.【典例2】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知12,F F 分别是椭圆22:194x y C 的左、右焦点，圆C 在第一象限内的一点，若12PF PF ，则12tan PF F ．【答案】12/0.5【详解】由椭圆方程得：3a ，2b ，225c a b ，12225F F c ；【典例4】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆则2||PF ，12F PF 的大小为【答案】2120【详解】∵29a ，22b ，∴22927c a b ，∴1227F F ，又1||4PF ，1||PF则PQF △的周长为PQ PF QF 故选：C.故选：C7．（2023秋·高二课时练习）的最大值为（）A．2B．【答案】D可知124525,55PF c PF c，又知所以2221212PF PF F F ，则1F 由题意，点P 恰好在C 上，根据椭圆定义则122,1,1,2P PF PF a 所以1260F PF ，故B 错；1PFQ △的周长为48a ，A 正确；设21,4F Q m FQ m ，四、解答题13．（2023·全国·高三对口高考）且12F PF ．(1)求PF PF 的最大值和最小值；14．（2023·全国·高二专题练习）椭圆椭圆于,P Q 两点，且PQ PF 【答案】2214x y 【详解】由椭圆的定义得12222a PF PF 1PF ，所以有21PF PF ，2221212PF PF F F ，2222224c ，解得2c∴1．（2023春·四川达州·高二统考期末）椭圆轨迹为圆：2222x y a b ，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆得过点P 能作椭圆2213y x 的两条相互垂直的切线，则12121||||sin(π21||||sin 2DABPF F AD BD S S PF PF 椭圆22:143x y C 中，|F所以2211222F PQ PF Q F PF所以12122MPQ F PF ，所以2F PQ MPQ ，则PM PF 所以1162OQ F M，又Q 为椭圆外的动点，设椭圆的标准方程为2222x y a b。

9.5椭圆必备知识预案自诊知识梳理1.椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.已知集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数.(1)若a c,则点M的轨迹为椭圆;(2)若a c,则点M的轨迹为线段;(3)若a c,则点M不存在.2.椭圆的标准方程及性质(1)过椭圆x2a2+y2b2=1上一点M(x0,y0)的切线方程为x0xa2+y0yb2=1.(2)若点P(x0,y0)在椭圆x2a2+y2b2=1外,过点P作椭圆的两条切线,切点为P1,P2,则切点弦P1P2所在的直线方程是x0xa2+y0yb2=1.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.()(2)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.()(3)关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.()(4)椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距相同.()(5)椭圆上一点P与两个焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).()2.设F1,F2分别是椭圆x 225+y216=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则点P与椭圆左焦点间的距离为()A.4B.3C.2D.53.(2020江西南昌三中期末)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为√33,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为4√3,则椭圆C的方程为()A.x 23+y22=1 B.x23+y2=1C.x 212+y28=1 D.x212+y24=14.“0<m<2”是“方程x 2m +y22-m=1表示椭圆”的条件(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”).5.(2020天津河北区线上测试,12)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,焦距为2√3,则椭圆的方程为.关键能力学案突破考点椭圆的定义及应用【例1】(1)已知F1,F2分别是椭圆E:x 225+y29=1的左、右焦点,P为椭圆E上一点,直线l为∠F1PF2的外角平分线,过点F2作l的垂线,交F1P的延长线于点M,则|F1M|=()A.10B.8C.6D.4(2)(2020山东东营联考)设F1,F2是椭圆x 24+y2b2=1(0<b<2)的左、右焦点,过F1的直线l交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|最大值为5,则椭圆的离心率为()A.12B.√22C.√5-12D.√32?解题心得常利用椭圆的定义求解的问题:(1)求解问题的结论中含有椭圆上动点到焦点的距离;(2)求解问题的条件中含有椭圆上动点到焦点的距离.对点训练1(1)过椭圆x 225+y216=1的中心任作一直线交椭圆于P,Q两点,F是椭圆的一个焦点,则△PFQ的周长的最小值为()A.12B.14C.16D.18(2)已知点P(x,y)在椭圆x 236+y2100=1上,F1,F2是椭圆的两个焦点,若△PF1F2的面积为18,则∠F1PF2的余弦值为.考点椭圆的标准方程及应用【例2】(1)(2020福建福州三模,理10)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2,右顶点为A.过原点与x轴不重合的直线交椭圆C于M,N两点,线段AM的中点为B,若直线BN经过椭圆C的右焦点,则椭圆C的方程为()A.x 24+y23=1 B.x26+y25=1C.x 29+y28=1 D.x236+y232=1(2)椭圆的离心率为√22,F为椭圆的一个焦点,若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称,则椭圆的方程为.(3)已知方程x 2|m|-1+y22-m=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围?利用该方法应注意些什么?解题心得1.求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定形,再定量,即首先确定焦点所在位置,然后根据条件建立关于a,b的方程组.2.若椭圆的焦点位置不确定,则要分焦点在x轴上或在y轴上两种情况求解,有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式,避免讨论.3.椭圆的标准方程的两个应用:(1)椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆x2a2+y2b2=λ(a>b>0,λ>0)有相同的离心率.(2)与椭圆x 2a2+y2b2=1(a>b>0)共焦点的椭圆系方程为x2a2+k+y2b2+k=1(a>b>0,b2+k>0).恰当运用椭圆系方程,可使运算简便.4.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤.(1)作判断:根据条件判断椭圆的焦点在x轴上,还是在y轴上,还是两个坐标轴都有可能;(2)设方程:根据上述判断设椭圆标准方程为x 2a2 +y2 b2=1(a>b>0)或y2a2+x2b2=1(a>b>0);(3)找关系:根据已知条件,建立关于a,b的方程组;(4)得方程:解方程组求出a,b,即可得到椭圆的标准方程.对点训练2(1)(2020山东聊城调研)过点(3,2)且与椭圆3x2+8y2=24有相同焦点的椭圆方程为()A.x 25+y210=1 B.x210+y215=1C.x 215+y210=1 D.x225+y210=1(2)如图,中心在坐标原点,焦点分别在x轴和y轴上的椭圆C1,C2都过点A(0,-√2),且椭圆C1,C2的离心率相等,以椭圆C1,C2的四个焦点为顶点的四边形面积为2√2,则椭圆C1的标准方程为.(3)(2020湖南郴州二模)已知椭圆E的中心为原点,焦点在x轴上,椭圆上一点到焦点的最小距离为2√2-2,离心率为√2,则椭圆E的方程为.考点椭圆的几何性质及应用【例3】(1)(2020安徽合肥一中等六校检测)已知椭圆C :x 22+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点为F ,短轴的一个端点为P ,直线l :4x-3y=0与椭圆相交于A ,B 两点.若|AF|+|BF|=6,点P 到直线l 的距离不小于65,则椭圆离心率的取值范围为( )A.(0,95] B.(0,√32] C.(0,√53] D.(13,√32] (2)设F 1,F 2是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=2a 上一点,△F 2PF 1是底边为PF 1的等腰三角形,且直线PF 1的斜率为13,则椭圆E 的离心率为( )A.1013B.58C.35D.23(3)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,且|F 1F 2|=2c ,若椭圆上存在点M使得在△MF 1F 2中,sin∠MF 1F 2a =sin∠MF 2F 1c,则该椭圆离心率的取值范围为( )A.(0,√2-1)B.(√22,1)C.(0,√22)D.(√2-1,1)?解题心得求离心率常见的方法有三种:①求出a ,c ,代入公式e=ca ;②由a 与b 的关系求离心率,利用变形公式e=√c 2a 2=√a 2-b 2a 2=√1-b 2a2求解;③只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).对点训练3(1)(2020河南洛阳一模)已知椭圆x 211-m +y 2m -3=1的长轴在y 轴上,且焦距为4,则m 等于( )A.5B.6C.9D.10 (2)设F 是椭圆E :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点,A 是椭圆E 的左顶点,P 为直线x=3a 2上一点,△APF 是底角为30°的等腰三角形,则椭圆E 的离心率为( )A.34 B.23C.12D.13(3)设椭圆x 22+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆上运动,|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为m ,PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为n ,且m ≥2n ,则该椭圆的离心率的取值范围为 .考点直线与椭圆的综合问题(多考向探究)考向1 与弦长有关的问题【例4】已知椭圆M :x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√63,焦距为2√2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ,B.(1)求椭圆M 的方程;(2)若k=1,求|AB|的最大值;(3)设点P (-2,0),直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ,若点C ,D 和点Q (-74,14)共线,求k 的值.?如何设直线的方程能减少计算量?解题心得与椭圆中点弦有关的问题应用椭圆中点弦的斜率公式k AB ·k OM =-b 2a 2,即k AB =-b 2xa 2y 0比较方便快捷,其中点M 的坐标为(x 0,y 0).解决此类问题常用方法是“韦达定理”和“点差法”.这两种方法的前提都是必须保证直线和椭圆有两个不同的公共点.对点训练4(2020山东菏泽一模,21)已知椭圆C :x 22+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,以M (-a ,b ),N (a ,b ),F 2和F 1为顶点的梯形的高为√3,面积为3√3.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设A,B为椭圆C上的任意两点,若直线AB与圆O:x2+y2=12相切,求△AOB面积的取值范围.考向2中点弦、弦中点问题【例5】已知椭圆x 22+y2=1.(1)求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程;(2)求过点P12,12且被点P平分的弦所在直线的方程.思考如何快捷求解弦中点、中点弦的问题?点差法应用于何种题型?解题心得直线方程的设法,根据题意,如果需要讨论斜率不存在的情况,则设直线方程为x=ty+m,避免讨论;若所研究的直线的斜率存在,则可设直线方程为y=kx+b的形式,若平行于坐标轴的直线都包含,则不要忘记斜率不存在的情况的讨论.对点训练5(2020山西太原五中3月摸底)若过椭圆x 216+y24=1内一点P(3,1)的弦被该点平分,则该弦所在的直线方程为()A.3x+4y-13=0B.3x-4y-5=0C.4x+3y-15=0D.4x-3y-9=0 考向3直线与椭圆的综合【例6】(2020北京,20)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(-2,-1),且a=2b.(1)求椭圆C的方程;(2)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q,求|PB||BQ|的值.?什么是设而不求思想?解题心得求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想,即根据题意,列出有关的方程,利用代数的方法求解.为减少计算量,在代数运算中,经常运用设而不求的方法,即把题目中涉及的点的坐标利用未知量设出来,但不需求出这些未知量,只需联立方程,判别式Δ>0,然后根据韦达定理列出x1+x2,x1x2的关系式,利用弦长公式|AB|=√k2+1|x1-x2|=√k2+1√(x1+x2)2-4x1x2=√1+1k2|y1-y2|=√1+1k2√(y1+y2)2-4y1y2=√k2+1√Δ|a|,选好公式能减少计算量.对点训练6(2020北京西城一模)设椭圆E:x 2+y2=1,直线l1经过点M(m,0),直线l2经过点N(n,0),直线l1∥直线l2,且直线l1,l2分别与椭圆E相交于A,B两点和C,D两点.(1)若M,N分别为椭圆E的左、右焦点,且直线l1⊥x轴,求四边形ABCD的面积;(2)若直线l2的斜率存在且不为0,四边形ABCD为平行四边形,求证:m+n=0;(3)在(2)的条件下,判断四边形ABCD能否为矩形,说明理由.9.5椭圆必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)>(2)=(3)<考点自诊1.(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2.A 由题意知,OM 是△PF 1F 2的中位线,所以|OM|=1|PF 2|,所以|PF 2|=6,所以|PF 1|=2a-|PF 2|=10-6=4.3.A 因为△AF 1B 的周长为4√3,且△AF 1B 的周长=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=2a+2a=4a ,所以4a=4√3,则a=√3,又因为c a=√33,解得c=1,所以b=√a 2-c 2=√2,故椭圆C 的方程为x 23+y 22=1. 4.必要不充分方程x 2m+y 22-m =1表示椭圆,即{m >0,2-m>0,m ≠2-m ,解得0<m<2,且m ≠1,所以“0<m<2”是“方程x 2m +y 22-m=1表示椭圆”的必要不充分条件.5.x 24+y 2=1 由题意,椭圆的焦距2c=2√3,所以c=√3,又离心率e=ca =√32,所以a=2,所以b=√a 2-c 2=1,所以椭圆C的方程为x 24+y 2=1.关键能力·学案突破例1(1)A (2)A (1)(1)如图,由直线l 为∠F 1PF 2的外角平分线,l ⊥F 2M ,可得|PM|=|PF 2|.而在椭圆E :x 225+y 29=1中,a=5,2a=|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PM|=|F 1M|=10.故选A.(2)因为x 24+y 2b 2=1,则a=2,由0<b<2可知,焦点在x 轴上.因为过点F 1的直线l 交椭圆于A ,B 两点,则|BF 2|+|AF 2|+|BF 1|+|AF 1|=2a+2a=4a=8, 所以|BF 2|+|AF 2|=8-|AB|, 当AB 垂直于x轴时|AB|最小,|BF 2|+|AF 2|值最大,此时|AB|=2b 2a ,又a=2,所以5=8-b 2,解得b=√3,则椭圆的离心率e=c a=√1-b 2a 2=12.对点训练1(1)D (2)35 (1)由椭圆的对称性可知,P ,Q 两点关于原点对称.设F'为椭圆另一焦点,则四边形PFQF'为平行四边形,由椭圆定义可知|PF|+|PF'|+|QF|+|QF'|=4a=20.又|PF|=|QF'|,|QF|=|PF'|,∴|PF|+|QF|=10.又PQ 为椭圆内过原点的弦,∴|PQ|min =2b=8,∴△PFQ 的周长的最小值为10+8=18.故选D .(2)椭圆x 2+y 2=1的两个焦点为F 1(0,-8),F 2(0,8),由椭圆的定义知|PF 1|+|PF 2|=20,两边平方得|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=202,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos ∠F 1PF 2=|F 1F 2|2=162,两式相减得2|PF 1||PF 2|(1+cos ∠F 1PF 2)=144.又S △PF 1F 2=12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2=18,所以1+cos ∠F 1PF 2=2sin ∠F 1PF 2.解得cos ∠F 1PF 2=35.例2(1)C (2)x 218+y 29=1或y 218+x 29=1 (3)m<-1或1<m<32 (1)(方法1)设M (x 0,y 0),则N (-x 0,-y 0),因为A (a ,0)且线段AM 的中点为B ,所以B (a+x 02,y 02), 由B ,F ,N 三点共线,得F N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,依题意,F (1,0),故FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 0-1,-y 0),FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a+x02-1,y 02),即-(x 0+1)y02+(a+x 02-1)y 0=0,又y 0≠0,解得a=3,所以b 2=32-12=8,所以椭圆C 的标准方程为x 29+y 28=1.故选C.(方法2)设M (x 0,y 0),则N (-x 0,-y 0),依题意,A (a ,0),因为AO 和NB 是△AMN 的中线,所以F (1,0)为△AMN 的重心,故x 0-x 0+a3=1,解得a=3,所以b 2=32-12=8,所以椭圆C 的标准方程为x 29+y 28=1.故选C.(2)由题意知ca=√22,得a 2=2b 2=2c 2.当焦点在x 轴上时,设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),在椭圆上任取一点P (x 0,y 0),取焦点F (-c ,0),则PF 的中点M 为(x 0-c 2,y 02),根据条件可得y 02=x 0-c2+4,k PF =y 0x 0+c=-1,联立两式解得x 0=-4,y 0=4-c ,代入椭圆方程解得a=3√2,b=3.由此可得椭圆的方程为x 218+y 29=1,同理,当焦点在y 轴上时,椭圆的方程为y 218+x 2=1. (3)由x 2|m |-1+y 22-m =1表示焦点在y 轴上的椭圆,得2-m>|m|-1>0,解得m<-1或1<m<32. 对点训练2(1)C (2)x 24+y 22=1 (3)x 28+y 24=1(1)椭圆3x 2+8y 2=24化为x 28+y 23=1,它的焦点为(±√5,0),可得c=√5,设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),可得9a 2+4b2=1,又a 2-b 2=5,所以a=√15,b=√10,故所求的椭圆方程为x 2+y 2=1. (2)由题意可设椭圆C 1:x 2a 2+y 22=1,C 2:y 22+x 2b 2=1(a>√2,0<b<√2),由a 2-2a 2=2-b 22,得ab=2,由2√a 2-2·√2-b 2=2√2,可得(a 2-2)(2-b 2)=2,解得a=2,b=1,即椭圆C 1的标准方程为x 24+y 22=1.(3)因为椭圆上一点到焦点的最小距离为a-c ,所以a-c=2√2-2,因为离心率e=√22,所以c a=√22,解得a=2√2,c=2,则b 2=a 2-c 2=4, 所以椭圆E的方程为x 28+y 24=1.例3(1)C (2)A (3)D (1)设椭圆的左焦点为F',P 为短轴的上端点,连接AF',BF',如下图所示:由椭圆的对称性可知,A ,B 关于原点对称,则|OA|=|OB|, 又|OF'|=|OF|,∴四边形AFBF'为平行四边形,∴AF=BF', 又|AF|+|BF|=|BF|+|BF'|=2a=6,∴a=3, ∵点P (0,b )到直线l 距离d=|-3b |5≥65,∴b ≥2,∴22=√9-c 2≥2,即0<c ≤√5,∴e=ca ∈(0,√53].故选C.(2)由题意,因为△F 2PF 1是底边为PF 1的等腰三角形,所以|PF 2|=|F 2F 1|. 因为P 为直线x=2a 上一点,直线PF 1的斜率为13,△PDF 2是直角三角形,所以|PD|2+|DF 2|2=|PF 2|2,即(2a+c 3)2+(2a-c )2=4c 2,可得13e 2+16e-20=0,解得e=1013或e=-2(舍去). 故选A.(3)由正弦定理,可得|MF 1|sin∠MF2F 1=|MF 2|sin∠MF1F 2,结合题意可得|MF 1|c=|MF 2|a ,所以|MF 1|c=|MF 2|a=|MF 1|+|MF 2|a+c.根据椭圆的定义可得|MF 1|+|MF 2|=2a ,所以|MF 1|=2F c a+c ,|MF 2|=2a 2a+c ,易知|MF 2|>|MF 1|.因为M 为椭圆上一点,所以a-c<|MF 2|<a+c ,即a-c<2a 2a+c <a+c ,整理得c 2+2ac-a 2>0,所以e 2+2e-1>0,解得√2-1<e<1.故选D. 对点训练3(1)C (2)B (3)12,1 (1)由椭圆x 211-m +y 2m -3=1的长轴在y 轴上,且焦距为4,可得√m -3-11+m =2,解得m=9.故选C .(2)如图,设直线x=3a与x 轴的交点为C ,由△APF 是底角为30°的等腰三角形和椭圆性质可知PF=AF=a+c ,FC=OC-OF=3a2-c ,由题意可知∠PFC=60°,所以cos ∠PFC=FCPF =3a 2-ca+c=12,解得e=c a=23.故选B.(3)∵|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a ,∴|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2a-|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(a-c ≤|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤a+c ).∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |(2a-|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)=-|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2a|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-(|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-a )2+a 2.∵a-c ≤|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤a+c ,∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=-(|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |-a )2+a 2∈[b 2,a 2].∴|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值m=a 2. 设P (x ,y ),则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-c-x ,-y )·(c-x ,-y )=x 2+y 2-c 2=x 2+b 2a 2(a 2-x 2)-c 2=1-b 2a2x 2+b 2-c 2, ∵x ∈[-a ,a ],∴x 2∈[0,a 2],PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为n=b 2-c 2.由m ≥2n ,得a 2≥2(b 2-c 2)=2(a 2-2c 2),∴a 2≤4c 2,解得e=ca ∈12,1.例4解(1)由题意,得2c=2√2,所以c=√2.又e=c a=√63,所以a=√3,所以b 2=a 2-c 2=1,所以椭圆M的方程为x 23+y 2=1.(2)设直线AB 的方程为y=x+m.由{y =x +m ,x 23+y 2=1消去y ,得4x 2+6mx+3m 2-3=0,则Δ=36m 2-4×4(3m 2-3)=48-12m 2>0,即m 2<4.设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=-3m 2,x 1x 2=3m 2-34,所以|AB|=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√6×√4-m 22,易得当m 2=0时,|AB|max =√6,故|AB|的最大值为√6.(3)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4),则x 12+3y 12=3,x 22+3y 22=3.又P (-2,0),所以可设k 1=k PA =y1x 1+2,直线PA 的方程为y=k 1(x+2).由{y =k 1(x +2),x 23+y 2=1消去y ,得(1+3k 12)x 2+12k 12x+12k 12-3=0,则x 1+x 3=-12k 121+3k 12,即x 3=-12k 121+3k 12-x 1.又k 1=y 1x1+2,代入上式可得x 3=-7x 1-124x 1+7,所以y 3=y 14x 1+7, 所以点C (-7x 1-124x 1+7,y14x 1+7).同理可得点D (-7x 2-124x 2+7,y 24x2+7). 故QC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 3+74,y 3-14),QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 4+74,y 4-14).因为Q ,C ,D 三点共线,所以(x 3+74)(y 4-14)-x 4+74(y 3-14)=0.将点C ,D 的坐标代入化简可得y 1-y2x 1-x 2=1,即k=1.对点训练4解(1)由题意,得b=√3,且2a+2c2·√3=3√3,所以a+c=3.又a 2-c 2=3,解得a=2,c=1. 所以椭圆C的方程为x 24+y 23=1.(2)如图,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).当圆O 的切线l 的斜率存在时,设l 的方程为:y=kx+m. 切点为H ,连接OH ,则OH ⊥AB.联立{y =kx +m ,x 24+y 23=1,整理得(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-12=0.所以x 1+x 2=-8k F 4k 2+3,x 1x 2=4m 2-124k 2+3.又直线l 与圆O :x 2+y 2=127相切, 所以OH=|m |√k +1=√127.所以m2=12(1+k 2)7.又|AB|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+k 2·√64k 2m 2-4(4m 2-12)(4k 2+3)(4k 2+3)2=√1+k 2·√48(3+4k 2-m 2)(4k 2+3)2=√37√(1+k 2)(9+16k 2)(4k 2+3)2 =√3√71+k 216k 4+24k 2+9. ①若k ≠0时, |AB|=√3√71+116k 2+24+9k2.因为16k 2+24+9k2≥2√16×9+24=48,当且仅当k=±√32时,等号成立.所以|AB|≤√3√7×√1+148=√3√7×4√3=√7,易知|AB|>√3√7,即√3√7<AB ≤√7. ②当k=0时,|AB|=√3√7. 所以√3√7≤|AB|≤√7. 又|OH|=√37,所以S △AOB =12|AB|·|OH|=√327|AB|∈[127,√3].当圆O 的切线斜率不存在时,则AB 的方程为x=√127,或x=-√127.此时A ,B 的坐标分别为√127,√127,√127,-√127或-√127,√127,-√127,-√127. 此时S △AOB =127.综上,△AOB 面积的取值范围为[127,√3].例5解设弦的两端点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),中点为M (x 0,y 0),则有x 122+y 12=1,x 222+y 22=1,两式作差,得(x 2-x 1)(x 2+x 1)2+(y 2-y 1)(y 2+y 1)=0, 因为x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,y 2-y 1x 2-x 1=k AB ,所以k AB =-x02y 0. ①(1)设弦中点为M (x ,y ),由①式,2=-x2y ,所以x+4y=0.故所求的轨迹方程为x+4y=0-43<x<43.(2)由①式及题意可知,弦所在的直线的斜率k=-x2y 0=-12,所以其方程为y-12=-12x-12,即2x+4y-3=0.对点训练5A 设弦的两端点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P 为AB 中点.A ,B在椭圆上,则x 1216+y 124=1,x 2216+y 224=1,两式相减,得x 12-x 2216+y 12-y 224=0,又因为x 1+x 2=6,y 1+y 2=2,可得y 1-y 2x 1-x 2=-34,则k=-34,直线AB 过点P (3,1),所以该弦所在的直线方程为y-1=-34(x-3),整理得3x+4y-13=0.故选A . 例6解(1)由题意可得{4a 2+1b2=1,a =2b ,解得{a 2=8,b 2=2,故椭圆C 的方程为x 28+y 22=1.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),直线MN 的方程为y=k (x+4),与椭圆方程x 28+y 22=1联立,可得x 2+4k 2(x+4)2=8,即(4k 2+1)x 2+32k 2x+(64k 2-8)=0,则x 1+x 2=-32k 24k 2+1,x 1x 2=64k 2-84k 2+1.直线MA 的方程为y+1=y 1+1x 1+2(x+2),令x=-4,可得y P =-2×y 1+1x 1+2-1=-2×k (x 1+4)+1x 1+2−x 1+2x 1+2=-(2k+1)(x 1+4)x 1+2,同理可得y Q =-(2k+1)(x 2+4)x 2+2.很明显y P y Q <0,且|PB ||BQ |=|yP y Q|,注意到y P +y Q =-(2k+1)x 1+4x 1+2+x 2+4x 2+2=-(2k+1)×(x 1+4)(x 2+2)+(x 2+4)(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2),而(x 1+4)(x 2+2)+(x 2+4)(x 1+2)=2[x 1x 2+3(x 1+x 2)+8]=264k 2-84k 2+1+3×(-32k 24k 2+1)+8=2×(64k 2-8)+3×(-32k 2)+8(4k 2+1)4k 2+1=0,故y P +y Q =0,y P =-y Q .从而|PB ||BQ |=|yP y Q|=1.对点训练6(1)解由题意可得M (-1,0),N (1,0),令x=-1,得y=±√22,所以|AB|=√2,因为|BC|=|MN|=2,且四边形ABCD 是矩形,所以四边形ABCD 的面积为S=|AB|·|BC|=2√2.(2)证明设l 1为y=k (x-m ),则{x 22+y 2=1,y =k (x -m ),故(2k 2+1)x 2-4k 2mx+2m 2k 2-2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 故{x 1+x 2=4k 2m2k 2+1,x 1x 2=2k 2m 2-22k 2+1,|AB|=√1+k 2|x 1-x 2| =√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+k 2√16k 2-8k 2m 2+82k 2+1,同理可得|CD|=√1+k 2√16k 2-8k 2n 2+82k 2+1,因为四边形ABCD 为平行四边形,所以|AB|=|CD|,故2√16k 2-8k 2m 2+82k 2+1=√1+k 2√16k 2-8k 2n 2+82k 2+1,即m 2=n 2,又m ≠n ,所以m+n=0.(3)解设AB 中点为P (a ,b ),则x 122+y 12=1,x 222+y 22=1,两式相减,得(x 1+x 2)(x 1-x 2)2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0,即a+2kb=0,同理可得CD 的中点Q (c ,d ),满足c+2kd=0,故k PQ =d -bc -a =d -b-2kd+2kb =-12k ≠-1k ,故四边形ABCD 不能为矩形.数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征.数学抽象主要表现为:获得数学概念和规则,提出数学命题和模型,形成数学方法与思想,认识数学结构与体系.在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用弦中点的斜率公式:一、问题的提出在研究直线与椭圆相交形成的弦中点的有关问题时,往往需要求出弦的斜率.如果已知直线l 与椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)相交于A 、B 两点,线段AB 的中点为M (x 0,y 0),请抽象出弦AB 的斜率公式并以结论的形式表达出来,然后给出结论的证明.结论:若M (x 0,y 0)是椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a>b>0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点,则有k AB =-b 2x0a 2y 0.A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则有k AB =y 1-y2x 1-x 2,{x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b2=1,两式相减,得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b2=0,整理得y 12-y 22x 12-x 22=-b2a2,即(y 1+y 2)(y 1-y 2)(x 12)(x 1-x 2)=-b 22(x 1≠-x 2).因为M (x 0,y 0)是弦AB 的中点,所以k OM =y 0=2y 0=y 1+y 212,所以k AB ·k OM =-b 2a 2即k AB =-b 2x0a 2y 0.当x 1=-x 2时,AB 平行于x 轴,此时x 0=0,k AB =0,k AB =-b 2x0a 2y 0也成立,综上,k AB =-b 2x0a 2y 0.二、定理的应用应用一 求椭圆的基本元素 【例1】已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),点F 为左焦点,点P 为下顶点,平行于FP 的直线l 交椭圆于A ,B 两点,且AB 的中点为M (1,1),则椭圆的离心率为( )A.√22B.12C.14D.√32A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵AB 的中点为M (1,12),∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=1,又A ,B 在椭圆上,∴x 12a 2+y 12b2=1,x 22a 2+y 22b 2=1.两式相减,得y 1-y 2x 1-x 2·y 1+y 2x 1+x 2=-b 2a 2,∵k AB =y 1-y 2x 1-x 2=k FP =-b c ,∴bc =2b2a 2,∴a 2=2bc.∴a 4=4(a 2-c 2)c 2,∴c 2a 2=12,∴c a=√22.故选A..中点弦斜率公式适用于有关椭圆的弦的中点问题.2.利用中点弦的斜率公式求离心率,就是根据中点弦斜率与椭圆方程中的a ,b ,c 之间的关系,利用椭圆的有关性质构造齐次方程,抽象转化为解关于a ,b ,c 的方程.应用二 求中点弦所在直线方程【例2】过椭圆x 216+y 24=1内一点M (2,1)画一条弦,使弦被点M 平分,则这条弦所在的直线A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (2,1)为AB 的中点,所以x 1+x 2=4,y 1+y 2=2,又A ,B 两点在椭圆上,则x 12+4y 12=16,x 22+4y 22=16,两式相减,得(x 12−x 22)+4(y 12−y 22)=0,所以y 1-y 2x 1-x 2=-x 1+x 24(y 1+y 2)=-12,即k AB =-12.故所求直线方程为x+2y-4=0. (方法2)设所求直线方程为y-1=k (x-2),代入椭圆方程并整理得,(4k 2+1)x 2-8(2k 2-k )x+4(2k-1)2-16=0.又设直线与椭圆的交点为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1,x 2是方程的两个根,于是 x 1+x 2=8(2k 2-k )4k 2+1,又M 为AB的中点,所以x 1+x22=4(2k 2-k )4k 2+1=2,解得k=-12,故所求直线方程为x+2y-4=0.(方法3)设所求直线与椭圆的一个交点为A (x ,y ),由于弦的中点为M (2,1),则另一个交点为B (4-x ,2-y ),因为A ,B 两点在椭圆上,所以{x 2+4y 2=16,(4-x )2+4(2-y )2=16,两式相减得x+2y-4=0,由于过A ,B 的直线只有一条,故所求直线方程为x+2y-4=0.,一般先利用椭圆中点弦斜率公式求得中点弦的斜率,再根据点斜式求得中点弦所在的直线方程.应用三 求曲线轨迹方程【例3】过椭圆x 2+y 2=1上一点P (-8,0)作直线交椭圆于Q 点,则PQ 中点的轨迹方程为 .+y 29=1(x ≠-8)方法1)设弦PQ 中点为M (x ,y ),弦端点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则有{9x 12+16y 12=576,9x 22+16y 22=576,两式相减得9(x 12−x 22)+16(y 12−y 22)=0,又因为x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y ,所以9×2x (x 1-x 2)+16×2y (y 1-y 2)=0,所以y 1-y 2x 1-x 2=-9x 16y ,而k PQ =y -0x -(-8),故-9x16y=yx+8.化简可得9x 2+72x+16y 2=0(x ≠-8).所以PQ 中点M的轨迹方程为(x+4)216+y 29=1(x ≠-8).(方法2)设弦中点M (x ,y ),Q (x 1,y 1),由x=x 1-82,y=y12可得x 1=2x+8,y 1=2y ,又因为Q 在椭圆上,所以x 1264+y 1236=1,即4(x+4)264+4y 236=1,所以PQ 中点M的轨迹方程为(x+4)216+y 29=1(x ≠-8).,一般利用椭圆中点弦斜率公式求得弦的斜率,再根据已知点与弦中点连线的斜率与已知直线的斜率相等求得轨迹方程,注意弦中点对方程的限制.应用四 求参数的范围【例4】已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),A ,B是椭圆上的两点,线段AB 的垂直平分线l 与x轴交于点P (x 0,0),求证:-a 2-b2a<x 0<a 2-b 2a.AB 的中点为M (x 1,y 1),由题设可知AB 与x 轴不垂直,∴y 1≠0.由椭圆的中点弦斜率公式,得k AB =-b 2a 2·x 1y 1,∴k l =a 2y 1b 2x 1.∴直线l 的方程为y-y 1=a 2y 1b 2x 1(x-x 1).把(x 0,0)代入得x 1=a 2a 2-b2x 0.∵|x 1|<a ,∴-a<a 2a 2-b2x 0<a ,即-a 2-b2a<x 0<a 2-b 2a.,写出弦所在直线的方程,并用弦中点的横坐标的范围抽象出不等式来求解参数范围.技巧一 巧用平面几何性质【例1】已知椭圆C :x 24+y 23=1的右焦点为F ,P 为椭圆C 上一动点,定点A (2,4),则|PA|-|PF|的最小值为 . 解析设椭圆C 的左焦点为F',则|PF|+|PF'|=4,所以|PF|=4-|PF'|,所以|PA|-|PF|=|PA|+|PF'|-4.如图,易知当点P 在线段AF'上时,|PA|+|PF'|取最小值|AF'|=√(2+1)2+(4-0)2=5.所以|PA|-|PF|的最小值为1.解题心得解决此类问题要熟练掌握平面几何的性质,利用数形结合,找到解题的关键.技巧二 设而不求,整体代换【例2】已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭圆E 于A ,B两点.若AB 的中点坐标为M (1,-1),则椭圆E 的标准方程为( )A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1 C.x 227+y 218=1 D.x 218+y 29=1A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1+x 2=2,y 1+y 2=-2,x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b2=1,两式相减得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2+(y 1+y 2)(y 1-y 2)b2=0, 所以k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2)=b2a 2. 又k AB =0+13-1=12,所以b 2a 2=12.又a 2-b 2=c 2=9,所以b 2=9,a 2=18. 所以椭圆E 的标准方程为x 218+y 29=1.解题心得本题设出A ,B 两点的坐标,却不求出A ,B 两点的坐标,巧妙地表达出直线AB 的斜率,通过将直线AB 的斜率“算两次”建立几何量之间的关系,从而快速解决问题.技巧三 巧用“根与系数的关系”,化繁为简【例3】已知椭圆x 24+y 2=1的左顶点为A ,过点A 作两条互相垂直的弦AM ,AN 交椭圆于M ,N 两点.(1)当直线AM 的斜率为1时,求点M 的坐标;(2)当直线AM 的斜率变化时,直线MN 是否过x 轴上的一个定点?若过定点,请给出证明,并求出该定点;若不过定点,请说明理由.当直线AM 的斜率为1时,直线AM 的方程为y=x+2,代入椭圆方程并化简得5x 2+16x+12=0,解得x 1=-2,x 2=-65.所以点M (-65,45).(2)由题意可知直线AM ,AN 的斜率存在,且不为0.设直线AM 的斜率为k (k ≠0),直线AM 的方程为y=k (x+2),直线AN 的方程为y=-1k (x+2).由{y =k (x +2),x 24+y 2=1,化简得(1+4k 2)x 2+16k 2x+16k 2-4=0, 则x A +x M =-16k21+4k2.又x A =-2, 所以x M =-x A -16k21+4k2=2-16k21+4k2=2-8k21+4k2.同理,可得x N =2k 2-8k 2+4.当x M =x N 时,2-8k21+4k2=2k 2-8k 2+4,解得k=±1.此时直线MN 的方程为x=-65,直线MN 过x 轴上的点(-65,0). 当x M ≠x N 时,k ≠±1,因为点M (2-8k21+4k 2,4k1+4k 2),N2k 2-8k 2+4,-4kk 2+4,所以k MN =4k1+4k 2+4k k 2+42-8k 21+4k 2-2k 2-8k 2+4=5k4-4k2,所以直线MN 的方程为y-4k1+4k2=5k4-4k2x-2-8k21+4k2.令y=0,得x=-65.所以直线MN 过x 轴上的点(-65,0). 综上所述,直线MN 过x 轴上的定点(-65,0).解题心得在圆锥曲线问题中,常设出直线与圆锥曲线的两个交点坐标,联立直线方程与圆锥曲线方程,消元得到一元二次方程,利用根与系数的关系,得到两个交点横坐标或纵坐标的关系.这是解决圆锥曲线问题的常用方法.通过设而不求,大大降低了运算量,体现了整体思想.技巧四 巧妙“换元”减少运算量【例4】如图,已知椭圆C 的离心率为√32,A ,B ,F 分别为椭圆的右顶点、上顶点和右焦点,且S △ABF =1-√32.(1)求椭圆C 的方程;(2)已知直线l :y=kx+m 与圆O :x 2+y 2=1相切,若直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点,求△OMN 面积的最大值.由已知得椭圆C 的焦点在x 轴上,设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0),则点A (a ,0),B (0,b ),F (c ,0),c=√a 2-b 2.由已知得e 2=c 2a 2=a 2-b 2a 2=34,所以a 2=4b 2,即a=2b ,则c=√3b.又S △ABF =12|AF||OB|=12(a-c )b=1-√32,所以12(2b-√3b )b=1-√32,解得b=1.所以a=2,c=√3.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)圆O 的圆心坐标为(0,0),半径r=1,由直线l :y=kx+m 与圆O :x 2+y 2=1相切,得|m |√1+k=1,故m 2=1+k 2.由{x 24+y 2=1,y =kx +m消去y ,得(1+4k 2)x 2+8kmx+4(m 2-1)=0.由题意可知k ≠0,所以Δ=16(4k 2-m 2+1)=48k 2>0. 设点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-8km4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1,所以|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(-8km 4k 2+1)2-4×4m 2-44k 2+1=√16(4k 2-m 2+1)(4k 2+1)2=√48k 2(4k 2+1)2,所以|x 1-x 2|=4√3|k |4k 2+1.所以|MN|=√1+k 2|x1-x 2|=√1+k 2·4√3|k |4k 2+1=4√3k 2(k 2+1)4k 2+1.所以△OMN 的面积S=12|MN|×1=2√3k 2(k 2+1)4k 2+1. 令t=4k 2+1,则t>1,k 2=t -14,所以S=2√3×t -14(t -14+1)t 2=√32√(t -1)(t+3)t 2=√32√t 2+2t -3t2=√32√-3t 2+2t +1=32√-(1t -13)2+49.当t=3,即4k 2+1=3,即k=±√22时,S 取得最大值,最大值为32×√49=1.解题心得圆锥曲线中的最值问题往往转化为函数的最值问题,可先根据已知条件建立目标函数,再求出函数的最值.在求函数的最值时,有时会利用换元,起到消除根号、降次等目的.。