2018-2019学年北师大版必修2直线与圆的位置关系作业

直线与圆1.本单元知识点本单元的学习重点包括：直线的斜率、直线的方程、直线与直线的位置关系，圆的方程、圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，直线与圆的距离问题，其中直线与圆的位置关系是高考热点.2.典型例题选讲例1. 过点M （0,1）作直线，使它被两直线082:,0103:21=-+=+-y x l y x l 所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线的方程.说明：直线方程有三种基本形式：点斜式、两点式、一般式，求直线方程时应根据题目条件灵活选择，并注意不同形式的适用范围. 如采用点斜式，需要注意讨论斜率不存在的情况. 例2.已知圆0822:221=-+++y x y x C 与圆024102:222=-+-+y x y x C 交于A,B 两点.（1）求直线AB 的方程；（2）求过A 、B 两点且面积最小的圆的方程.说明：应用两圆相减求两圆公共弦的方法，可避免通过求两个交点再求公共弦方程. 另外，在求解与圆有关的问题时，应注意多利用圆的相关几何性质，这样利于简化解题步骤.例3.若过点A （4,0）的直线l 与曲线1)2(22=+-y x 有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围. （一题多解）说明：直线与圆的位置关系问题，可以从几何和代数两方面入手. 相切问题应抓住角度问题求斜率；相交问题应抓住半径r 、弦心距d 、半弦长2l 构造的直角三角形使问题简化. 例4.设定点M （－3,4），动点N 在圆422=+y x 上运动，以OM ，ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹.说明：轨迹方程在必修2第122页有例题，求动点的轨迹方程要特别注意考虑轨迹与方程间的等价性，有时求得方程后还要添上或去掉某些点.3.自测题选择题：1.过点A （1，-1）且与线段)11(0323≤≤-=--x y x 相交的直线的倾斜角的取值范围是（ ）A. ]2,4[ππ B. ],2[ππ C. ],2[]4,0(πππ D.),2[]4,0[πππ2.若直线02)1(2=-++ay x a 与直线012=++y ax 垂直，则=a （ ）A.-2B.0C.-1或0D.222±3.若P （2,1）为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ）A. 03=--y xB.032=-+y xC.03=-+y xD.052=--y x4.已知圆1)3()2(:221=-+-y x C ，圆9)4()3(:222=-+-y x C ，M ，N 分别是圆上的动点，P 为x 轴上的动点，则PN PM +的最小值为（ ）A. 425-B.117-C.226-D.175.已知)3,0(),0,3(B A -，若点P 在0222=-+x y x 上运动，则PAB ∆面积的最小值为（ ）A.6B. 26C. 2236+D.2236-6.曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A. )125,0(B.),125(+∞C. ]43,31(D.]43,125(填空题：7.圆心在直线02=-y x 上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦长为32，则圆C 的标准方程为______________8.若圆422=+y x 与圆)0(06222>=-++a ax y x 的公共弦长为32，则=a _______9.设圆05422=--+x y x 的弦AB 的中点为P(3,1),则直线AB 的方程为_____________10.已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PA 、PB 是圆012222=+--+y x y x 的两切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 的面积的最小值为__________解答题：11. 在ABC ∆中，)1,3(-A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为059106=-+y x ，B ∠的平分线BT 的方程为0104=+-y x .(1)求顶点B 的坐标； (2)求直线BC 的方程.12.已知点)3,2(--P ，圆9)2()4(:22=-+-y x C ，过P 点作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B.(1)求过P 、A 、B 三点的圆的方程；(2)求直线AB 的方程.。

专题：直线与圆的方程探究点一：直线的倾斜角和斜率 例1：设直线l 的方程是210x By α+-=，倾斜角； （1）试将B α表示为的函数；（2）若263ππα<<，试求B 的取值范围；（3）若B ∈(,2)(1)α-∞-∞，+，求的取值范围。

［规律方法］在已知斜率或倾斜角之中任一个量的取值范围，来求另一个量的取值范围时，首先要注意斜率不存在与2a π=的特殊情况对解题的影响，然后要注意利用正切函数来帮助确定相应的范围。

练习：1：设直线的斜率为k ，且k <则直线的倾斜角α的取值范围为________2．直线sin 10x y α-+=的倾斜角的变化范围为（ ）A ．2π（0，）B ．π（0，）C ．44ππ（-,）D ．30,)44πππ[,][ 3．若直线l 的方程为tan 2y x α=+，则（ ） A ．l α一定是直线的倾斜角 B ．l α一定不是直线的倾斜角C ．l πα-一定是直线的倾斜角D ．l α不一定是直线的倾斜角4．已知直线(1,2)(2,3),(3,0)l P A B ---过点且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为__________［规律与方法］（1）要注意倾斜角的取值范围是［0,180)︒︒（2）一般地，知斜率的范围求倾斜角范围时一定要借助于正切函数的图象，以增强直观性；反之知倾斜角求斜率，有如下规律：“含垂线取两边，不含垂线取中间。

”探究点二：直线的方程及两直线的位置关系例2：210ABC BC x y A∆-+=∠中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为y=0，若点B的坐标为（1，2），求点A 和点C的坐标。

练习：5．过点P（2，3）且在两轴上的截距相等的直线方程为___________。

6．过点22(1,1A x y=-+=作圆的切线，则切线方程为__________。

7．已知A（3，1），B（—1，2），若ACB∠的平分线在1y x=+，则AC所在的直线方程是_________。

第10课时直线和圆的位置关系1.理解直线与圆的位置关系的种类.2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.3.会用方程思想(判别式法)或点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.一艘船在沿直线返回港口的途中,接到台风预报:台风中心位于船正西70千米处,受影响的X围是半径为30千米的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40千米处,如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台风影响?这个问题可归结为直线和圆是否有公共点的问题,也是我们这节课研究的对象.问题1:直线与圆的位置关系有三种:、、.判断直线与圆的位置关系有两种方法:(1)代数法:联立直线方程与圆的方程消去x或y整理成一元二次方程后,计算判别式Δ,当判别式Δ<0时,直线和圆;当判别式Δ=0时,直线和圆 ;当判别式Δ>0时,直线和圆.(2)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:d<r⇒,d=r⇒,d>r⇒.问题2:过一定点是否都存在圆的切线?如果存在,如何求圆的切线方程?(1)若点在圆内,此时直线和圆相交,不存在圆的切线.(2)若点在圆上,则过该点的切线只有,切线方程求法如下:①直接法,先求该点与圆心的连线的直线的斜率,再利用垂直关系求出切线斜率,最后用点斜式求出切线方程.②设元法,先设出切线方程(注意斜率不存在时的讨论),再利用圆心到切线的距离等于半径,求出所设参数.③公式法,设A(x0,y0)是圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的一点,则过点A的切线方程为:(x-a)(x0-a)+(y-b)·(y0-b)=r2,特别地,当圆心在原点时,即:A(x0,y0)是圆x2+y2=r2上一点,则过点A的切线方程为:.(3)若点在圆外,则过该点的切线有,切线方程求法如下:首先分析斜率不存在是否满足条件,再分析斜率存在时:设斜率为k,写出切线方程,利用圆心到切线的距离等于半径求出斜率,从而求出切线方程.问题3:计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何法:运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.(2)代数法:运用韦达定理及两点距离公式有|AB|= .问题4:用直线与圆的知识解决实际问题的步骤(1)仔细审题,理解题意;(2)引入,建立;(3)用直线与圆的知识解决已建立的数学模型;(4)用结果解释.1.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是( ).2.自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线,则切线长为().A. B.3 C.3.若直线y=kx+2与圆(x-2)2+(y-3)2=1有两个不同的交点,则k的取值X围是.4.过原点作圆x2+y2-2x-2y+1=0的切线,求切线方程.圆的切线方程已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.求圆的弦长求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长.利用圆的方程求最值已知实数x,y满足(x-2)2+y2=4,求3x2+4y2的最值.求过点P(4,5)的圆(x-2)2+y2=4的切线方程.已知圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0.当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=2时,求直线l的方程.已知点P(x,y)在圆x2+(y-1)2=1上运动,则的最大值为;最小值为.1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是().2.圆C:x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为().A.x+y-2=0B.x+y-4=0C.x-y+4=0D.x-y+2=03.直线x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于.4.已知圆x2+y2=8内一点P(-1,2),过点P的直线l的倾斜角为135°,直线l交圆于A、B两点,求AB的长.(2012年·卷) 直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为.考题变式(我来改编):第10课时直线和圆的位置关系知识体系梳理问题1:相交相切相离(1)相离相切相交(2)相交相切相离问题2:(2)一条③x0x+y0y=r2(3)两条问题3:(2)·|x A-x B|=问题4:(2)数学符号数学模型(4)实际问题基础学习交流1.A∵d==1<4,∴直线与圆的位置关系是相交.2.B因为过圆外一点作圆的切线,两条切线长相等,故切线长为=3,或2-(-1)=3.3.(0,)依题意有<1,解得0<k<,∴k的取值X围是(0,).4.解:已知圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,所以圆与坐标轴相切,所以切线方程为x=0或y=0.重点难点探究探究一: 【解析】(法一)当点M不在坐标轴上时,设切线的斜率为k,半径OM的斜率为k1,∵圆的切线垂直于过切点的半径,∴k=-.∵k1=,∴k=-.∴经过点M的切线方程是y-y0=-(x-x0),整理得x0x+y0y=+.又∵点M(x0,y0)在圆上,∴+=r2.∴所求的切线方程是x0x+y0y=r2.当点M在坐标轴上时,可以验证上面的方程同样适用.(法二)设P(x,y)为所求切线上的任意一点,当P与M不重合时,△OPM为直角三角形,OP为斜边,∴OP2=OM2+MP2,即x2+y2=++(x-x0)2+(y-y0)2,整理得x0x+y0y=r2.可以验证,当P与M重合时同样适合上式,故所求的切线方程是x0x+y0y=r2.(法三)设P(x,y)为所求切线上的任意一点(M与P不重合),当点M不在坐标轴上时,由OM⊥MP得k OM· k MP=-1,即·=-1,整理得x0x+y0y=r2.可以验证,当点M在坐标轴上时,同样适合上式;当P与M重合时亦适合上式.故所求的切线方程是x0x+y0y=r2.【小结】(1)求圆的切线方程一般有三种方法:①设切线斜率,利用判别式,但过程冗长,计算复杂,易出错,通常不采用此法,但该法却是判断直线和曲线相切的通法,以后会经常用到;②设切线斜率,利用圆心到直线的距离等于半径;③设切点,利用过圆心和切点的直线与切线垂直.前两种方法要验证斜率是否存在.(2)过圆外一点可作圆的两条切线.探究二:【解析】(法一)直线x-y+2=0和圆x2+y2=4的公共点坐标就是方程组的解.根据x-y+2=0得y=x+2,代入x2+y2=4得x2+x=0,解得或∴公共点坐标为(-,1)和(0,2),直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为=2.(法二)如图,设直线x-y+2=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,弦AB的中点为M,则OM⊥AB(O为坐标原点),所以OM==,所以AB=2AM=2=2=2.【小结】在本题的两种方法中,前一种方法是代数法,后一种方法是几何法.在处理与直线和圆相交形成的弦的有关问题时,我们经常用到如下解法:(1)设弦的两个端点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),代入圆的方程后寻求坐标与弦的关系,然后加以求解;(2)涉及圆的弦长问题时,为了简化运算,常利用垂径定理或半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形进行运算.探究三:【解析】由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2,所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64,故3x2+4y2在x=8时有最大值64,没有最小值.[问题]在圆的方程中变量x的取值X围是R吗?[结论]将x=8代入圆方程(x-2)2+y2=4,得y2=-32,矛盾,所以上述解法是错误的.因为y2=4-(x-2)2≥0,所以x的取值X围不是R.于是,正确解答如下:由(x-2)2+y2=4得y2=4x-x2≥0,得0≤x≤4,所以3x2+4y2=3x2+4(4x-x2)=-x2+16x=-(x-8)2+64(0≤x≤4),所以当x=y=0时,3x2+4y2取得最小值0;当x=4,y=0时,3x2+4y2取得最大值48.【小结】确定圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的变量的取值X围的方法:先配方,再根据平方项非负来确定.圆的方程中变量的X围一般是以隐含条件的形式出现在试题中,因此在解题时注意挖掘出这个隐含条件.思维拓展应用应用一:把点P(4,5)代入(x-2)2+y2=4,得(4-2)2+52=29>4,即点P在圆(x-2)2+y2=4外.设切线斜率为k,则切线方程为y-5=k(x-4),即kx-y+5-4k=0,又圆心坐标为(2,0),r=2,由圆心到切线的距离等于半径,得=2,解得k=.将k代入所设方程得此时切线方程为21x-20y+16=0.当直线的斜率不存在时,还有一条切线是x=4.因此切线方程为x=4或21x-20y+16=0.应用二:将圆C的方程x2+y2-8y+12=0配方后得到标准方程x2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为C(0,4),半径为2.(法一)过圆心C作CD⊥AB交AB于点D,则根据题意和圆的性质,得即:+2=4.解得a=-7或a=-1.即直线l的方程为7x-y+14=0或x-y+2=0.(法二)联立方程组消去y,得(a2+1)x2+4(a2+2a)x+4(a2+4a+3)=0.Δ=-16(4a+3)>0,即a<-,设此方程的两根分别为x1,x2,由韦达定理知x1+x2=-,x1x2=.由AB=2=,可求出a=-7或a=-1,所以直线l的方程是7x-y+14=0或x-y+2=0.应用三:-因为表示的几何意义是圆上的动点与(2,1)连线的斜率,所以设=k,即kx-y+1-2k=0,当直线与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=1,解得k=±.所以的最大值为 ,最小值为-.基础智能检测1.B因为圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离d=<1,故直线与圆相交,又(0,0)不在直线上,所以直线不过圆心.2.D因为点P在圆C上,k PC=-,所以切线的斜率为,所以切线方程为y-=(x-1),即x-y+2=0.3.-3或由题设知圆心坐标为(1,0),因为直线与圆相切,所以d==r=,解得m=或-3.4.解:k AB=-1,直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.故圆心(0,0)到AB的距离d==,从而弦长|AB|=2 =.全新视角拓展2本题考查直线和圆的位置关系以及简单的平面几何知识.(法一)几何法:圆心到直线的距离为d==,圆的半径r=2,所以弦长为l=2×=2=2;(法二)代数法:联立直线和圆的方程消去y可得x2-2x=0,所以直线和圆的两个交点坐标分别为(2,2),(0,0),弦长为=2.。

课后作业(二十五)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．直线3x ＋4y －25＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．相离或相切[解析] ∵圆心到直线的距离d ＝|25|32＋42＝5>3，∴直线与圆相离．[★答案☆] C2．过圆x 2＋y 2＝4上的一点(1，3)的圆的切线方程是( ) A ．x ＋3y －4＝0 B.3x －y ＝0 C ．x ＋3y ＝0D ．x －3y －4＝0[解析] 过圆心与点(1，3)的直线的斜率为3，所以过点(1，3)的圆的切线方程的斜率为－33，所以切线方程为y －3＝－33(x －1)，即x ＋3y －4＝0.[★答案☆] A3．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x －y －1＝0上截得的弦长为2 2，那么这个圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝16[解析] 圆心到直线的距离d ＝|2＋1－1|2＝ 2.R 2＝d 2＋(2)2＝4，∴R ＝2. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4. [★答案☆] A4．圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2[解析] 由题意可知，圆的圆心坐标为(1,3)，半径为10，且点E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝210－(12＋22)＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝210，且AC ⊥BD ，因此四边形ABCD 的面积等于12|AC|·|BD|＝12×210×25＝10 2.[★答案☆] B5．若直线a x ＋b y －3＝0和圆x 2＋y 2＋4x －1＝0相切于点P(－1,2)，则ab 的值为( )A ．－3B ．－2C ．2D ．3[解析] 圆x 2＋y 2＋4x －1＝0化为标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝5，圆心坐标为(－2,0)．因为直线a x ＋b y －3＝0和圆x 2＋y 2＋4x －1＝0相切于点P(－1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－0－1＋2＝b a ，－a ＋2b －3＝0，解得a ＝1，b ＝2，所以ab 的值为2.[★答案☆] C6．已知P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝2}，那么P ∩Q 为________．[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x ＋y ＝2，得x ＝y ＝1.∴P ∩Q ＝{(1,1)}． [★答案☆] {(1,1)}7．圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P(1，3)处的切线方程为____________________________．[解析] 先由圆心与P 的连线与切线的垂直关系求得切线斜率为33，则过(1，3)切线方程为x －3y ＋2＝0.[★答案☆] x －3y ＋2＝08．P(3,0)为圆C ：x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0内一点，过P 点的最短弦所在的直线方程是________________．[解析] 过P 点最短的弦，应为与PC 垂直的弦，先求斜率为－1，则可得直线方程为x ＋y －3＝0.[★答案☆] x ＋y －3＝09．已知圆C 经过点A(5，－2)和B(3,2)，且圆心C 在直线l 1：x －y －2＝0上．(1)求圆C 的标准方程；(2)已知过点M(－3，－3)的直线l 2被圆C 所截得的弦长为8，求直线l 2的方程．[解] (1)AB 的垂直平分线方程为y －0＝12(x －4)， 即x －2y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4＝0，x －y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2，∴圆心C(0，－2)． 又r 2＝|CA|2＝25，∴圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋2)2＝25.(2)当l 2的斜率不存在时，l 2：x ＝－3满足题意； 当l 2的斜率存在时，设l 2：y ＋3＝k(x ＋3)， 即k x －y ＋3k －3＝0.∵直线l 2被圆C 所截得的弦长为8.∴圆心C 到直线l 2的距离d ＝|3k －1|k 2＋1＝25－42＝3，解得k ＝－43.∴l 2的方程为4x ＋3y ＋21＝0.综上所述，l 2的方程为x ＝－3或4x ＋3y ＋21＝0.10．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A(3，1)，点B 是x 轴上一点，AB ⊥OA ，△OAB 的外接圆为圆C.(1)求圆C 的方程；(2)求圆C 在点A 处的切线方程．[解] (1)设B(a,0)，由k OA ·k AB ＝－1，得a ＝433，∴圆C 以OB 为直径，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，0，r ＝233， ∴圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2332＋y 2＝43. (2)k AC ＝13－233＝3，∴切线方程为y －1＝－33(x －3)， 即x ＋3y －23＝0.应试能力等级练(时间25分钟)11．从点P(x ,3)向圆(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1作切线，切线长度最短为( )A ．4B ．2 6C ．5D.112[解析] 由题可得切线长l ＝(x ＋2)2＋(3＋2)2－12＝(x ＋2)2＋24，当x ＝－2时，切线长的最小值为24＝26，故选B. [★答案☆] B12．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2，点P(a ，b)(ab ≠0)是圆O 内一点，过点P 的圆O 的最短弦所在的直线为l 1，直线l 2的方程为a x ＋b y ＋r 2＝0，那么( )A ．l 1∥l 2，且l 2与圆O 相离B ．l 1⊥l 2，且l 2与圆O 相切C ．l 1∥l 2，且l 2与圆O 相交D ．l 1⊥l 2，且l 2与圆O 相离[解析] ∵点P(a ，b)在圆O 内部，∴a 2＋b 2<|r |.由题意知，当l 1⊥OP 时，过点P 的弦最短，此时kl 1＝－1k OP ＝－ab .而l 2的斜率kl 2＝－a b ，∴l 1∥l 2.又∵圆心到直线l 2的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2|r |＝|r |，∴l 2与圆O 相离． [★答案☆] A13．已知直线a x ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a)2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.[解析] 圆心C(1，a)到直线a x ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB|＝|BC|＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22，解得a ＝4±15.[★答案☆] 4±1514．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．[解] 设圆心坐标为(3m ，m )，∵圆C 和y 轴相切，∴圆C 的半径为3|m |. ∵圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |，由半径、弦心距、半弦长的关系，得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1.∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.15．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对任意m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点； (2)设l 与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝17，求直线l 的倾斜角．[解] (1)证明：由已知得直线l ：y －1＝m (x －1)， 所以直线l 恒过定点P (1,1)， 因为12＝1<5， 所以点P 在圆C 内，所以直线l 与圆C 总有两个不同的交点． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(y －1)2＝5，mx －y ＋1－m ＝0，消去y 得(m 2＋1)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，则x 1，x 2是一元二次方程的两个实根，x 1＋x 2＝2m 2m 2＋1，x 1x 2＝m 2－5m 2＋1.因为|AB |＝1＋m 2|x 1－x 2|＝1＋m 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，即17＝1＋m 2·16m 2＋201＋m 2，所以m 2＝3，m ＝±3，所以直线l 的倾斜角为60°或120°.。

高中数学必修2 直线与圆的位置关系【一】、圆的定义及其方程．（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件） （2）圆的标准方程： ；圆心),(b a圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；圆心 ，半径为 ；【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）设),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ； ①P 在在圆C 外 ； ②P 在在圆C 内 ； ③P 在在圆C 上 ； 【三】、直线与圆的位置关系：设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，圆心C 到直线l 之距为d ，由直线l 和圆C 联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆，则它们的位置关系如下：相离 ；相切 ；相交 ； 注意：这里用d 与r 的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。

【四】、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。

（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r①两圆外离 ； ②两圆外切 ； ③两圆相交 ； ④两圆内切 ⑤两圆内含 ；（五）已知圆C ：(x-a)2+(y-b)2=r 2(r>0)，直线L ：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交；(2)△=0相切；(3)△<0相离。

判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)d<r相交；(2)d=r相切；(3)d>r相离。

2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系1.直线x+2y-1=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心解析:由题意知,圆心坐标为(1,12),半径r=√32,圆心到直线的距离为d=√55<r,所以直线与圆相交但直线不过圆心,故选C.答案:C2.过原点且倾斜角为60°的直线l被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为()A.√3B.2C.√6D.2√3解析:过原点且倾斜角为60°的直线l的方程是√3x-y=0,圆x2+y2-4y=0的圆心为C(0,2),半径r=2,则C到直线l的距离d=√3+1=1,所以截得的弦长为2√r2-d2=2√3.答案:D3.与圆(x-2)2+y2=1相切且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A.2条B.3条C.4条D.6条解析:与圆相切且在两坐标轴上截距相等的直线可分为两类:①截距为0时,可设直线方程为y=kx ,由|2k |√k +1=1,解得k=±√33;②截距不为0时,可设直线方程为x+y=a ,由|2-a |√2=1,解得a=2±√2.因此符合题意的直线共有4条.答案:C4.对任意的实数k ,直线y=kx+1与圆x 2+y 2=2的位置关系一定是( )A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心解析:直线y=kx+1过定点(0,1),而02+12<2,所以点(0,1)在圆x 2+y 2=2内部,则直线y=kx+1与圆x 2+y 2=2相交但直线不经过圆心,故选C .答案:C5.设点在圆x 2+y 2+2x+4y-3=0上,且到直线x+y+1=0的距离为√2,这样的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析:圆心为(-1,-2),半径r=2√2,而圆心到直线的距离d=√2=√2,故圆上有3个点满足题意.答案:C6.已知直线x-y+a=0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2x-4y-4=0相交于A ,B 两点,且AC ⊥BC ,则实数a 的值为 .解析:由题意,得圆心C 的坐标为(-1,2),半径r=3.因为AC ⊥BC ,所以圆心C 到直线x-y+a=0的距离d=√2=√22r=3√22,即|-3+a|=3,所以a=0或a=6.答案:0或6★7.若直线kx-y+1=0与圆x 2+y 2+2x-my+1=0交于M ,N 两点,且M ,N 关于直线y=-x 对称,则|MN|= .解析:由圆的几何性质可得直线kx-y+1=0与直线y=-x 垂直,且圆心(-1,m 2)在直线y=-x 上,由此可得k=1,m=2,即M ,N 所在直线的方程为x-y+1=0,圆心为(-1,1),圆的半径r=1,则圆心到直线MN 的距离d=√2=√22.故|MN|=2√r 2-d 2=2√12-(√22)2=√2.答案:√28.已知圆C 的方程为x 2+y 2-8x-2y+12=0,求过圆内一点M (3,0)的最长弦和最短弦所在直线的方程,并求这个最长弦和最短弦的长度.解圆C 的方程为(x-4)2+(y-1)2=5,∴圆心C (4,1),半径r=√5.∴最长弦所在直线的斜率k=1-04-3=1,最短弦所在直线的斜率k'=-1.∴最长弦所在的直线方程为y=x-3,最长弦长为2r=2√5;最短弦所在的直线方程为y=-x+3,圆心到最短弦所在直线的距离d=√2=√2,最短弦长为2√(√5)2-(√2)2=2√3.9.已知圆C :x 2+(y-1)2=5,直线l :mx-y+1-m=0.(1)求证:对任意m ∈R ,直线l 与圆C 总有两个不同的交点;(2)设l 与圆C 交于A ,B 两点,若|AB|=√17,求l 的倾斜角.(1)证明由已知直线l :y-1=m (x-1),知直线l 恒过定点P (1,1),因为12=1<5,所以P 点在圆C 内,所以直线l 与圆C 总有两个不同的交点.(2)解设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立方程组{x 2+(y -1)2=5,mx -y +1-m =0,消去y 得(m 2+1)x 2-2m 2x+m 2-5=0,则x 1,x 2是一元二次方程的两个实根,因为|AB|=√1+m 2|x 1-x 2|,所以√17=√1+m 2·√16m 2+201+m 2,所以m 2=3,m=±√3, 所以l 的倾斜角为π3或2π3.10.已知直线l 过点A (6,1)且与圆C :x 2+y 2-8x+6y+21=0相切.(1)求圆C 的圆心坐标及半径;(2)求直线l 的方程.解(1)∵圆C 的方程可化为(x-4)2+(y+3)2=4, ∴圆心坐标为(4,-3),半径r=2.(2)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-1=k (x-6),即kx-y-6k+1=0,则圆心到直线l 的距离为d=√k +1=√k +1=2.由此解得k=34,此时直线l 的方程为3x-4y-14=0; 当直线l 的斜率不存在时,方程为x=6,满足题意.故直线l 的方程为3x-4y-14=0或x=6.★11.设半径为5的圆C 满足条件:①截y 轴所得弦长为6;②圆心在第一象限,且圆心到直线l :x+2y=0的距离为6√55.(1)求这个圆的方程;(2)求经过P (-1,0)与圆C 相切的直线方程.解(1)由题意,设圆心C的坐标为(a,b)(a>0,b>0),半径r=5.因为截y轴所得弦长为6,所以a2+9=25,因为a>0,所以a=4.又由圆心C到直线l:x+2y=0的距离为6√55,所以d=√5=6√55,因为b>0,所以b=1,所以圆的方程为(x-4)2+(y-1)2=25.(2)当斜率k存在时,设切线方程为y=k(x+1),因为圆心C到直线y=k(x+1)的距离为√1+k=5.所以k=-125,所以切线方程为12x+5y+12=0.当斜率k不存在时,方程x=-1,也满足题意.综上所述,切线方程为12x+5y+12=0或x=-1.。

1．直线方程的几种基本形式及适用条件：(1)点斜式： ，注意斜率k 是存在的．(2)斜截式： ，其中b 是直线l 在 上的截距．(3)两点式： (x 1≠x 2且y 1≠y 2)，当方程变形为(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0时，对于一切情况都成立．(4)截距式： ，其中a ·b ≠0，a 为l 在x 轴上的截距，b 是l 在y 轴上的截距．(5)一般式： ，其中A 、B 不同时为0.1．判定两条直线的位置关系(1)两条直线的平行①假设l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔ 且 ，l 1与l 2重合⇔ .②当l 1，l 2都垂直于x 轴且不重合时，则有 .③假设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2≠B 2C 1，l 1与l 2重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝(2)两条直线的垂直①假设l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1⊥l 2⇔ . ②假设两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线 ．③假设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔ .(3)直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2相交的条件是 . 直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交的条件是 .自测题1．过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜斜角为45° ，则m 的值为2. 以下四个命题中真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)－(x －x 1)(y 2－y 1)＝0表示C ．不过原点的直线都可以用x a ＋y b ＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示3．假设三点A (2,3)，B (3，－2)，C (12，m )共线，则m 的值是________．4．已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为________．5．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于________．例题例1.已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求：(1)求直线AB 的斜率； (2)求直线AB 的方程；例2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是______例3.已知直线：l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)l 1⊥l 2时，求a 的值例4.已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使：(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2； (3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.练习题1．以下命题中，正确的选项是( )A ．假设直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是αB ．假设直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．假设直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D ．直线的倾斜角α∈[0，π2)∪(π2，π)时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增2.．假设直线l 1，l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7，则l 2的斜率是( ) A.7B ．－77 C.77 D ．－7 3.．两直线x m －y n ＝1与x n －y m ＝1的图像可能是图中的哪一个( )4.．假设点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a >0，b <0)三点共线，则a －b 的最小值等于______5.．过点M (1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，假设M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为______6.．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l 的方程．7.．已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得到的直线l ′的方程．8.．在△ABC 中，已知A (1,1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．9.．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)假设l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)假设l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．高中数学必修二直线和圆练习一、选择题1．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为〔 〕A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x2．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为〔 〕A ．0B ．8-C ．2D ．103．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过〔 〕A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 4．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，假设线段AB 的中点为 (1,1)M -，则直线l 的斜率为〔 〕A ．23B ．32C ．32-D ． 23-. 5. 圆C 1:x 2+y 2+4x-4y+7=0和圆C 2:x 2+y 2-4x-10y+13=0的公切线有( )条条条 D.以上均错6. 已知空间两点A(1,3,5)、B(-3,1,3),则线段AB 的中点坐标为( )A.(-1,2,4)B.(2,1,1)C.(1,0,4)D.(3,3,-1)7.假设直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为( )、、8.已知圆C ：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l ：x-y+3=0，当直线l 被圆C 截得的弦长为32时，则a 等于( ) A.2 B.22- C.12- D.12+二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2.经过点P(1,2)与圆x 2+y 2=1相切的直线方程为______________.3. 与两平行直线x+3y-5=0和x+3y-3=0相切,圆心在直线2x+y+3=0上的圆的方程是________.4. 已知圆x 2+y 2-4x+6y-12=0的内部有一点A(4，-2)，则以A 为中点的弦所在的直线方程为______________________.三、解答题1．求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。

2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系填一填1.直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离判断方法几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d<r d＝r d>r判断方法代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax＋By＋C＝0(x－a)2＋(y－b)2＝r2消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0判一判1.2．过一点作圆的切线有一条．(×)3．如果一条直线被圆截得的弦长最大，则该直线过圆心．(√)4．直线ax＋y＝1与圆x2＋(y－1)2＝1的位置关系与a有关．(×)5．若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离．(×)6．若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交．(√)7．若直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝a相切，则a等于4.(×)8．若直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于该圆的半径．(√)想一想1.提示：(1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系．(2)在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征尽可能简化运算．2．直线与圆的位置关系的判定有哪两种方法？提示：(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ<0，则相离．(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当d<r时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离．3．过一点的圆的切线方程的求法？提示：(1)点(x0，y0)在圆上．①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－1k，由点斜式可得切线方程．②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点(x0，y0)在圆外．①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．4．求弦长常用的方法有哪些？圆的性质利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋⎝⎛⎭⎫l22解题交点坐标若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长弦长公式设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2) [(x1＋x2)2－4x1x2]练一练1.圆(x－1)2＋(y－1)2A．相离B．相切C．相交且直线过圆心D．相交但直线不过圆心答案：C2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝()A．1 B. 2C. 3 D．2答案：D3．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝0答案：D4．若经过P(－1,0)的直线与圆x2＋y2＋4x－2y＋3＝0相切，则该直线在y轴上的截距是________．答案：15．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝________.答案：23知识点一 直线与圆位置关系的判断1.0000 ①若点P 在圆O 上，则直线l 与圆O 相切 ②若点P 在圆O 外，则直线l 与圆O 相离 ③若点P 在圆O 内，则直线l 与圆O 相交 ④无论点P 在何处，直线l 与圆O 恒相切．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：根据点到直线的距离公式有d ＝r 2x 20＋y 20，若点P 在圆O 上，则x 20＋y 20＝r 2，d ＝r ，相切；若点P 在圆O 外，则x 20＋y 20>r 2，d <r ，相交；若点P 在圆O 内，则x 20＋y 20<r 2，d >r ，相离，故只有①正确．故选A.答案：A2．若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1有两个不同交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定解析：由题意，圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝1a 2＋b2<1，所以有a 2＋b 2>1，即点P (a ，b )在圆C 外．答案：知识点二 直线与圆相切问题3.若圆C 方程是( )A ．(x －3)2＋⎝⎛⎭⎫y －732＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D.⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －1)2＝1 解析：设圆心为(a,1)，由已知得d ＝|4a －3|5＝1，由a >0，所以a ＝2.故选B.答案：B4．已知圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)过点P (2，2)作圆O 的切线，求切线l 的方程； (2)过点Q (2,4)作圆O 的切线，求切线l 的方程．解析：(1)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设切线方程为y －2＝k (x －2)即kx －y －2k ＋2＝0，由题意得，圆心到该切线的距离d ＝|－2k ＋2|1＋k 2＝2，得k ＝－1.故所求的切线方程为x ＋y －22＝0.(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)， 即kx －y ＋4－2k ＝0.由题意得d ＝|4－2k |k 2＋1＝2，得k ＝34.所以直线l 的方程为y －4＝34(x －2)即3x －4y ＋10＝0.5.是( )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：被圆截得的最长弦是直径，于是所求直线过圆心(1,0)及点P (0,1)，故直线方程是x ＋y －1＝0.答案：C6．直线x －y ＋3＝0被圆(x ＋2)2＋(y －2)2＝2截得的弦长等于( )A.62B. 3 C ．2 3 D. 6解析：圆心(－2,2)到直线x －y ＋3＝0的距离d ＝22，圆的半径r ＝2，解直角三角形得，半弦长为62，所以弦长等于 6.答案：7.这条直线与已知圆：(1)相交； (2)相切； (3)相离．并写出过点P 的切线方程．解析：设过点P 的直线的斜率为k (由已知k 存在)，则方程为y ＝k (x －4)．方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 2＋y 2＝8，消去y ，得x 2＋k 2(x －4)2＝8，即(k 2＋1)x 2－8k 2x ＋16k 2－8＝0，Δ＝(－8k 2)2－4(1＋k 2)(16k 2－8)＝32(1－k 2)． (1)令Δ>0，即32(1－k 2)>0，得－1<k <1.所以当k 的取值范围为(－1,1)时，直线与圆相交． (2)令Δ＝0，即32(1－k 2)＝0，得k ＝±1. 所以当k ＝±1时直线与圆相切，切线方程为x －y －4＝0或x ＋y －4＝0. (3)令Δ<0，即32(1－k 2)<0，得k >1或k <－1.所以当k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，直线与圆相离．方法二 设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|k ·0－0－4k |1＋k 2＝4|k |1＋k 2.(1)当d <r ，即4|k |1＋k2<8， 所以k 2<1，即－1<k <1.所以，当k 的取值范围为(－1,1)时，直线与圆相交．(2)d ＝r ，即4|k |1＋k2＝8， 所以k 2＝1，即k ＝±1.所以，当k ＝±1时，直线与圆相切，切线方程为x －y －4＝0或x ＋y －4＝0.(3)d >r ，即4|k |1＋k2>8，所以k 2>1，即k >1或k <－1. 所以，当k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，直线与圆相离． 8．设有一条光线从P (－2,43)射出，并且经x 轴上一点Q (2,0)反射． (1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为l 1，l 2)；(2)设动直线l ：x ＝my －23，当点M (0，－6)到l 的距离最大时，求l ，l 1，l 2所围成的三角形的内切圆(即圆心在三角形内，并且与三角形的三边相切的圆)的方程．解析：(1)因为k PQ ＝－3，所以l 1：y ＝－3(x －2)， 因为l 1，l 2关于x 轴对称，所以l 2：y ＝3(x －2)． (2)因为l 恒过点N (－23，0)，当MN ⊥l 时，M 到l 的距离最大，因为k MN ＝－3，所以m ＝3， 所以l 的方程为x ＝3y －23，设所求方程为(x －2)2＋(y －t )2＝r 2，所以r ＝|t |2＝|3t －23－2|2，得t ＝2，所以所求方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1.基础达标一、选择题1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( )A ．相切B ．相交但不过圆心C ．过圆心D ．相离解析：由于圆心(0,0)不满足直线方程，所以直线不过圆心，又圆心到直线的距离d ＝|1|2＝22<1，所以直线与圆相交，但不过圆心，故选B. 答案：B2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0截得的弦长为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．2 3解析：直线方程为3x －y ＝0，圆的圆心为(0,2)，半径为2，因为圆心到直线的距离为d ＝|－2|2＝1，所以所截弦长为222－12＝23，故选D.答案：D3．过原点且与圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0相切的直线方程是( )A ．y ＝34xB ．y ＝34x 或y ＝0C ．y ＝34x 或x ＝0D ．y ＝43x 或x ＝0解析：设切线方程为kx －y ＝0，由圆心(2，－1)到直线的距离等于半径2，得k ＝34，因此一条切线方程为y ＝34x ；画图可知，y 轴是符合条件的切线，方程为x ＝0，故选C.答案：C4．已知直线l ：y ＝3x ＋m 与圆C ：x 2＋(y －3)2＝6相交于A ，B 两点，若|AB |＝22，则实数m 的值等于( )A ．－7或－1B ．1或7C ．－1或7D ．－7或1解析：圆心(0,3)到直线l 的距离d ＝|0－3＋m |3＋1＝|m －3|2，故(m －3)24＋2＝6，解得：m ＝－1或m ＝7，故选C.答案：C5．曲线y ＝1＋4－x 2与直线kx －y －2k ＋4＝0有两个交点时，实数k 取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤512，34B.⎝⎛⎭⎫512，34C.⎝⎛⎦⎤13，34D.⎝⎛⎭⎫0，512 解析：曲线y ＝1＋4－x 2，因为x ∈[－2,2]，y ＝1＋4－x 2≥1，所以x 2＋(y －1)2＝4，表示圆心为M (0,1)，半径r ＝2的圆的上半部分．直线y ＝k (x －2)＋4表示过定点P (2,4)的直线，当直线与圆相切时，由圆心到直线kx －y ＋4－2k ＝0的距离d ＝|3－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝512.当直线经过点B (－2,1)时，直线PB 的斜率为k ＝34.所以要使直线与曲线有两个不同的公共点，则必有512<k ≤34.即实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤512，34. 答案：A6．若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是A (1,2)，则直线PQ 的方程是( ) A ．x ＋2y －3＝0 B ．x ＋2y －5＝0 C ．2x －y ＋4＝0 D ．2x －y ＝0解析：设圆的圆心是O ，由题意知，直线PQ 过点A (1,2)，且和直线OA 垂直，故其方程为y －2＝－12(x －1)，整理得x ＋2y －5＝0.故选B.答案：B7．若直线ax ＋by －3＝0和圆x 2＋y 2＋4x －1＝0相切于点P (－1,2)，则ab 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3解析：圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝5，直线与圆相切，则圆心到直线距离为5，所以|－2a －3|a 2＋b2＝5，整理得a 2－12a ＋5b 2－9＝0且直线过P (－1,2)，代入得2b －a －3＝0，两式联立，得a ＝1，b ＝2，所以ab ＝2，故选C.答案：C 二、填空题8．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：由题意可得，圆心为(2，－1)，r ＝2，圆心到直线的距离d ＝|2－2－3|12＋22＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝24－95＝2555.答案：25559．过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．解析：由条件易知直线l 的斜率必存在，设为k .圆心(1,1)到直线y ＋2＝k (x ＋1)的距离为|2k －3|k 2＋1＝22，解得k ＝1或k ＝177，即所求直线的斜率为1或177.答案：1或17710．已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P ，Q 两点．若|PQ |＝23，则直线l 的方程为________________．解析：当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由|PQ |＝23，则圆心C (0,3)到直线l 的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)．故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0. 答案：x ＝－1或4x －3y ＋4＝011．若直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切，则a 的值为________．解析：圆x 2＋(y －a )2＝1的圆心坐标为(0，a )，半径为1，又直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切，所以圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝r ，即|a |2＝1，解得a ＝±2.答案：±212．已知从圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝2外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，则当|PM |取最小值时点P 的坐标为________．解析：如图所示，圆心C (－1,2)，半径r ＝ 2.因为|PM |＝|PO |，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2(C 为圆心，r 为圆的半径)，所以x 21＋y 21＋2＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2，即2x 1－4y 1＋3＝0.要使|PM |最小，只要|PO |最小即可．当直线PO 垂直于直线2x －4y ＋3＝0时，即直线PO 的方程为2x ＋y ＝0时，|PM |最小，此时P 点即为两直线的交点，得P 点坐标⎝⎛⎭⎫－310，35. 答案：⎝⎛⎭⎫－310，35 三、解答题13．已知直线l ：y ＝x ＋m ，m ∈R .若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程．解析：方法一 依题意，点P 的坐标为(0，m )．因为MP ⊥l ，所以0－m2－0×1＝－1，解得m ＝2，即点P 的坐标为(0,2)．从而圆的半径长r ＝|MP |＝(2－0)2＋(0－2)2＝2 2. 故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.方法二 设所求圆的半径长为r ，则圆的方程可设为(x －2)2＋y 2＝r 2. 依题意，所求圆与直线l ：x －y ＋m ＝0相切于点P (0，m )，则⎩⎪⎨⎪⎧4＋m 2＝r 2，|2－0＋m |2＝r ，解得⎩⎨⎧m ＝2，r ＝22，所以所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.14．已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，求直线AB 的方程． 解析：(1)方法一 (几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线AB 的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0. 因为圆心为(0,0)，所以|OC |＝|－1|2＝22.因为r ＝22，所以|BC |＝8－⎝⎛⎭⎫222＝302，所以|AB |＝2|BC |＝30.方法二 (代数法) 当α＝135°时，直接AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8， 得2x 2－2x －7＝0.所以x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－72，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝30. (2)如图，当弦AB 被点P 平分时， OP ⊥AB ，因为k OP ＝－2，所以k AB ＝12，所以直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.能力提升15.已知圆C ：(x －1)2＋(y 1)y －7m －4＝0(m ∈R )． (1)证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 恒交于两点；(2)求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时m 的值． 解析：(1)直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋x ＋y －4＝0(m ∈R )，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，∴直线l 恒过点M (3,1)．又M 到圆心C (1,2)的距离为(3－1)2＋(1－2)2＝5<5， ∴点M (3,1)在圆内，∴不论m 取什么值，直线l 与圆C 恒交于两点．(2)∵过点M (3,1)的所有弦中，弦心距d ≤5，弦心距、半弦长和半径长r 构成直角三角形，∴当d ＝5时，半弦长的最小值为52－(5)2＝25， ∴弦长|AB |的最小值|AB |min ＝45，此时，k CM ＝1－23－1＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1.∵l ⊥CM ，∴12·2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－34.∴当m ＝－34时，直线l 被圆C 截得的线段最短，且最短长度为4 5.16．已知点P (x ，y )在圆C ：x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0上．(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值与最小值； (3)求x ＋y 的最大值与最小值．解析：方程x 2＋y 2－6x －6y ＋14＝0可化为(x －3)2＋(y －3)2＝4. (1)yx表示圆上的点P 与原点连线的斜率，如图(1)，显然PO (O 为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y ＝kx (由题意知，斜率一定存在)，即kx －y ＝0，由圆心C (3,3)到切线的距离等于半径长2，可得|3k －3|k 2＋1＝2，解得k ＝9±2145，所以yx 的最大值为9＋2145，最小值为9－2145. (2)x 2＋y 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋y 2＋2，它表示圆上的点P 到E (－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P 与点E 的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值．如图(2)，显然点E 在圆C 的外部，所以点P 与点E 距离的最大值为|CE |＋2，点P 与点E 距离的最小值为|CE |－2.又|CE |＝(3＋1)2＋32＝5，所以x 2＋y 2＋2x ＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.(3)设x ＋y ＝b ，则b 表示动直线y ＝－x ＋b 在y 轴上的截距，如图(3)，显然当动直线y ＝－x ＋b 与圆(x －3)2＋(y －3)2＝4相切时，b 取得最大值或最小值．此时圆心C (3,3)到切线x ＋y＝b 的距离等于圆的半径长2，则|3＋3－b |12＋12＝2，即|b －6|＝22，解得b ＝6±22，所以x ＋y的最大值为6＋22，最小值为6－2 2.由Ruize收集整理。

《两条直线的位置关系》同步测试题1、直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是2、两直线： 0cos sin =-+a y x θθ与0sin cos =--b y x θθ的位置关系是3、直线2x-4y+7=0和直线x-2y+5=0的关系4、 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a=5、若直线052=+-y x 与直线062=-+my x 互相垂直，则实数m 的值为6、已知两条直线01:1=-+y x l ，023:2=++ay x l 且21l l ⊥，则a =7、 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为8、若直线20mx y m +-=与直线(34)10m x y -++=垂直，则m 的值是9、过点(1,0)且与直线x-2y=0平行的直线方程是10、过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为11、直线过点（-1，2），且与直线2x-3y+4=0垂直，则直线的方程是12、直线l 过点（2,1），且与0132=+-y x 平行的直线方程是13、直线l 过点（2,1），且与0132=+-y x 垂直的直线方程是14、经过直线0323:,0532:21=--=-+y x l y x l 的交点且平行于直线032=-+y x 的直线方程15、直线x+m 2y+6=0与直线（m-2）x+3my+2m=0没有公共点，则实数m 的值为16、已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与平行，则k=17、1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=，当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝_____ _时1l ⊥2l ；当__________时1l 与2l 相交；当m ＝_______时1l 与2l 重合；18、直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与当k ＝_______时1l ∥2l ；当k ＝_______时1l ⊥2l ；19、要使直线l 1：m y m m x m m 2)()32(22=-+-+与直线l 2：x-y=1平行，求m 的值.20、直线l 1：a x +(1-a)y=3与直线l 2：(a-1)x +(2a+3)y=2互相垂直，求a 的值21、已知两条直线()1:3453l m x y m ++=-，()2:258l x m y ++=； 求m 为何值时，1l 与2l （1）相交；（2）平行；（3）垂直.。