北师大版八年级数学下册4.2提公因式法公开课优质PPT课件(9)

小试牛刀：
• 将下列各式分解因式 1） 3a2-9ab 2） 3x+6y 3） 24xm2-16xm3 4） 3x3-9x2+3x 5） 32013 +6×32012－32014
例3 把－2n3－8n2＋6n分解因式
分析：如果多项式的第一项系数是负数， 一般要先提出“－”号。 解： －2n3－8n2＋6n
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
的字母。 定指数：相同字母的指数取各项中最小的
一个，即字母最低次幂。
例: 找 2 x 2 – 4 xy 的公因式。
2
定系数
x
1
定指数
定字母
所以，公因式是 2 x 。 思考：如何确定各项提公因式后剩余的因式？
用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式
例1：把 3a2-9ab分解因式.
解：原式 =3a•a-3a•3b =3a(a-3b)
3、已知a+b=12,ab=20,求a2b+ab2的值。
4、已知x²+3x=2,试求2x³+6x²-4x的值。
小结与反思
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法：

在提出“-”号时，多项式的各项都要变号.
新知导入
2.（1）多项式 2x2 中6x，3 各项的公因式是什么？
最大公因式
2
1.系数：多项式各项系数的最大公因数； 2.字母：多项式各项中相同字母； 3.指数：相同字母的指数取最低次幂
新知导入
2.（2）你能尝试将多项式 2x2 因6x式3 分解吗？
提公因数法
项式的各项都要变号.
想一想
提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？
多项式
提公因式法因式分解 整式乘法
单项式乘多项式
提公因式法因式分解和单项式乘多项式是互逆运算
学以致用 你知道小明这么做的理由吗？
结论：一对相反数的偶次幂，符号相同，奇次幂符号相反 系数：多项式各项系数的最大公因数；
把下列各式因式分解 特别注意：提取公因式后，多项式余下的各项
多项式各项都含有的a相同因式，叫做这个多项式各x项的公因式．
b
字母：多项式各项中相同字母；
特别注意：提取公因式后，多项式余下的各项
用提公因式法将下列多项式因式分解
将结多论项 ：式公化因成式整可多式以项乘是积单式的项形式各式也项可以都是多含项有式 的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．
特别注意：提取公因式后，多项式余下的各项
温故知新
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公 因式提取出来进行因式分解，这种分解因式的方法叫做提取 公因式法。
步骤：找到多项式各项的最大公因式，再逆用乘法分配律分解因式
温故知新
用提公因式法将下列多项式因式分解
思考：多项式 的公因式一定 是单项式吗？
结论：公因式可以是单项式 也可以是多项式
课堂小结
提公因 式法

•
15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月上午11时48分21.9.811:48September 8, 2021
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16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021年9月8日星期三11时48分5秒11:48:058 September 2021
（7）（y-x）³=___－___（x-y）³ （ 8）（-p-q）²=___＋_____（p+q）³
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.821.9.8Wednesday, September 08, 2021
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。11:48:0511:48:0511:489/8/2021 11:48:05 AM
ห้องสมุดไป่ตู้
（C ）
A.8（7a-8b）（a-b）
B．2（7a-8b）²
C．8（7a-8b）（b-a）
D．－2（7a-8b）
前置学习
3. 请在下面各式等号的右边的括号前填入“+”或“-”使等式成立： （1）x-y= － （y-x） （2）（x-y）²= ＋ （y-x）² （3）（x-y）³= － （y-x）³ （4）（x-y）4 = ＋ （y-x）4
强化训练
1. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1+x+x（x+1）+x（x+1）²=（1+x）[1+x+x（1+x）]=（1+x）²[1+x]=（1+x）³. （3）请用以上的方法分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）² +…+x（x+1）n（n为 正整数），必须有简要的过程. 解：原式=（1+x）[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）（n﹣1）] =（1+x）2[1+x+x（1+x）+…+x（1+x）（n﹣2）] =（1+x）n（1-x） =（1+x）n+1.

3x (3x-2y+z)
7x 3y2 –42x2y 3 把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式. 8 a 3 b2 –12ab 3 + ab 4a2 b – 2a b2 + 6abc
7x2y2
4a2 b – 2a b2 + 6abc 2ab
四 数学
四 数学
如果一个多项式的各项含有公 因式，那么就可以把这个公因式提 出来，从而将多项式化成两个因式 乘积的形式，这种分解因式的方法 叫做提公因式法。
余的项是1。 3、 当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，
使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项 都要变号。
四 数学
例1 把12a4b3+16a2b3c2分解因式．
公因式： 4a2b3
解：12a4b3+16a2b3c2
=4a2b3·3a2+ 4a2b3 ·4c2
= 4a2b3 (3a2 + 4c2)
注
意
提公因式后，另一个因式： ①项数应与原多项式的项数一样； ②不再含有公因式．
四 数学
例2 把2ac(b+2c)- (b+2c)分解因式．
解：2ac(b+2c) －(b+2c) = (b+2c)(2ac-1)
注 意
公因式可以是数字、字母，也可 以是单项式，还可以是多项式．
四 数学
例3、把下列多项式分解因式：
四 数学
例4、把－x3＋x2－x分解因式．
解：原式＝－(x3－x2＋x)
例3、把下列多项式分解因式：
＝－x(x －x＋1) = ab·8a2b - ab·12b2 c +ab·1

多项式ab+bc的各部分都含有相同的因式b。 多项式3x²+x的各部分都含有相同的因式x。
我们把多项式各项都含有的相同因
式，叫做这个多项式各项的公因式
知识回顾 知识探究 知识小结 练习提升
找出下列式子的公因式
2x²+6x³
x²
ma+mb
m
5y³+20y²
5y²
a²b-5ab+9b b
2a³+4a²+6a 2a
知识回顾 知识探究 知识小结 练习提升
1、公因式： 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的
公因式。
2、提公因式法： 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公 因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这 种因式分解的方法叫做提公因式法。
乘法分配律与提公因式法互逆。
八年级下册数学北师大版
第四章 因式分解
4.2 提公因式法
知识回顾 知识探究 知识小结 练习提升
尝试因式分解下列式子 ab+bc 3x²+x mb²+nb－b
因式分解：即 “和差化积”
ab+bc
3x²+x
mb²+nb－b
=b（a+c） =x（3x+1） =b（mb+n-1）
知识回顾 知识探究 知识小结 练习提升
（1）a（x-3）+2b（x-3）
（x-3）
（2）y（x+1）+y²（x+1）² y（1+x）
看作整体
解： （1）（x-3）（a+2b） （2）y（x+1）（xy+y+1）
知识回顾 知识探究 知识小结 练习提升

北师版初中数学八年级下册
第四单元
第二课
导入新课
1、分解因式的概念： 把一个多项式化为几个整式乘积的形式，
叫做把这个多项式分解因式.
2、整式的乘法与因式分解有什么关系吗？
分解因式与整式乘法是互逆运算. 3、口答：
(1)x(x+1)=_x_2_+_x__
(3)x2+x=_x_(_x_+_1_)_
(2)2x(3x+7)=_6_x_2_-_1_4_x__ (4)6x2-14x=_2_x_(_3_x_+_7_)
注意：把(x-3)看成一个整体.
新课学习
（2）y(x+1)+y2(x+1)2． 分析：多项式可看成y(x+1)与+y2(x+1)两项.
相同的部分是y(x+1)， 则公因式为y(x+1)
解：y(x+1)+y2(x+1)2 =y(x+1)[1+y(x+1)] =y(x+1)(xy+y+1 )
新课学习
ma+mb+mc=m(a+b+c) 提公因式法一般步骤： 1、找到该多项式的公因式； 2、将原式除以公因式，得到一个新多项式； 3、把它与公因式相乘．
新课学习
如何准确地找到多项式的公因式呢？
1、系数 所有项的系数的最大公因数； 2、字母 应提取每一项都有的字母，且字母的 ）a(x-y)+b(y-x) 分析：多项式可看成a(x-y)与+b(y-x)两项.
其中x-y与y-x互为相反数， 可将+b(y-x)变为-b(x-y)， 则a(x-y)与-b(x-y)的公因式为(x-y) 解：a(x-y)+b(y-x) =a(x-y)-b(x-y) =(x-y)(a-b) 注意：指数为奇数时，交换位置，要添加“-”

1、什么叫公因式、提公因式法？ 2、确定公因式的方法：
1)定系数 2)定字母 3)定指数 3、用提公因式法分解因式的步骤：
第一步，找出公因式； 第二步，提公因式； 第三步，把多项式化成两个因式乘积的形式。
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）公因式要提尽； （2）小心漏项; （3）首项为负与众不同。
3.把下列各式分解因式： （1）4kx-8ky
4k（x-2y）
（2）a2 b-2ab2 +ab
ab（a-2b +1）
（3）-3ma3 +6ma2 -12ma
-3ma（a2 -2a +4 ）
4.已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
a2b+ab2 =ab(a+b) =3×5 =15
课堂小结
定指数：相同字母的指数取各项中字母的 最低次幂。
例1、将下列各式分解因式：
（1） 3x+x3
解：原式 =x ·3+x ·x2
=x(3+x2)
用提公因式法分解因式的步骤： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ；
第三步， 将多项式化成两个 因式 乘积的形式。
（2）7x3 - 21x2 解：原式=7x2 ·x-7x2 ·3 =7x2(x-3)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10

(1) xa b ya b
(3) 6p q2 12q p
5 2(y x)2 3(x y)
三、利用因式分解，化简求值
请两位同学上黑板，其余同学在练习本做。
P98 .2．先因式分解，再计算求值： （1） 4x(m－2)－3x(m－2)，其中x＝1.5，m＝6； （2） (a－2)2－6(2－a)，其中a＝－2.
(3) －x＋y＝_－__(x－y)
(4) －s2＋t2＝－__(s2－t2)．
(4) (x－y)3= － (y－x)3
(5) (x－y)5= － (x－y)5
【探究一】 例1 小组讨论2分钟，在横线上填“＋”或“－”
号，并总结规律。 (1) (x－y)2= ＋ (y－x)2 (2) (3－y)2= ＋ (y－3)2 (3) (3x－y)4= ＋ (y－3x)4 (4) (x－2y)12= ＋ (2y－x)12
二、自学例题
找出下列式子的公因式。 例2、（1）a(x－3)＋2b(x－3)
（2）yx 1 y2x 12
二、自学例题
有没有公因式，怎么办？ 例3、 (1)a(x y) b( y x);
(2)6(m n)3 12(n m)2;
【牛刀小试】 请三位同学上黑板，其余同学在练习本做。
P98 随堂练习
4.2.2 提公因式法
1、一个多项式中各项都含有的
因式，叫
做这个多项式各项的公因式．
2、找公因式的关键是看 、
、。
3、把下列各式因式分解：
（1）3x－4x2； （2）10a－5b；
学习目标
1．理解公因式可以是单项式，还可以是多项式。 2. 进一步掌握提公因式法．
【探究一】 1、下列各式中的公因式是什么？
规律总结

叫做这个多项式的公因式．
二 探索发现
因式分解：ma mb mc
解: ma mb mc m(a b c)
公因式
提公因式法
多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可 以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这
种因式分解的方法，叫做提取公因式法。
合作探究
用心观察，找到答案
多项式 8x+12y 8ax+12ay 8a3bx+12a2b2y
公因式
4 4a 4a2b
9x2-6xy+3x
3x
（2）多项式中的公因式是如何确定的？(合作交流探索）
例1: 找 3x2 – 6 x3y 的公因式。
3
定系数
x
定字母
2
定指数
所以，公因式是3x2 。
你知道吗？
药方：__7_a_b__1_4_a_b_x___49_a_b_y____7_a_b_(_1__2x 7y)
（4）4a2b 6ab2 8a 2ab(2a 3b) 8a
病因：提__取__部__分__公__因__式__后__，__式__子__不__是__乘积形式 药方：4_a_2_b___6_a_b_2 __8_a___2_a_(_2_a_b___3_b_2_ 4)
随堂练习
把下列各式因式分解： 1 (1)x(a＋b)＋y(a＋b)；
(2)3a(x－y)－(x－y)； (3)6(p＋q)2－12(q＋p)； (4)a(m－2)＋b(2－m)； (5)2(y－x)2＋3(x－y)； (6)mn(m－n)－m(n－m)2
解：(1)x(a＋b)＋y(a＋b)＝(a＋b)(x＋y)． (2)3a(x－y)－(x－y)＝(x－y)(3a－1)． (3)6(p＋q)2－12(q＋p)＝6(p＋q)(p＋q－2)． (4)a(m－2)＋b(2－m)＝a(m－2)－b(m－2)＝(m－2)(a－b)． (5)2(y－x)2＋3(x－y)＝2(x－y)2＋3(x－y)＝(x－y)[2(x－y)＋ 3]＝(x－y)(2x－2y＋3)． (6)mn(m－n)－m(n－m)2＝mn(m－n)－m(m－n)2＝m(m－n) [n－(m－n)]＝m(m－n)(n－m＋n)＝m(m－n)(2n－m)．

3、由此，我们应怎样确定一个多项式各项的公因式呢？
(1)首先确定公因式的 系数 (找各项系数的最大公因数)
(2)找 相同 字母 (3)相同字母的指数取最
低
次幂
4找出下列多项式各项的公因式，填在括号里
(1)3x+x3 (2)7x3-21x2 (3)4m2n+12mn (4)2x3y2-4x2y2z+x2y
教学重点：因式分解的概念及提公因式法的应用。 教学难点：正确找出多项式中各项的公因式和当公因式是多
项式时的因式分解。
一、复习： 1、因式分解的定义：把一个 多项式 化为几个整式
的积的形式。
2、整式的乘法与因式分解的关系： 互为逆运算 .
3、做一做：以下由左边到右边的变形，是因式分解的是
（D ）
A.a(x+y)=ax+by
B.(y-3)2=y2-6y+9
C.a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1
D.10x2-5x=5x(2x-1)
4、将下列算式进行简便运算：
(1) 21×( 5 + 2 ) 73
(2) 33×2.8+33×7.2
二、引入：在上面算术(2)中，两个加数都有相同的因
数
,那么我们3就3 可以把
，其中
是它们的最大公因数.
(2)9a2-6ab+3a
解：(1)7x -21x 3 (1)求xz-yz的值，其中x=17.
2
-2x3+4x2-6x
=7x ·x-7x ·3 2 2 (2)2x2+6x3各项的公因式是
.
例如3a就是3a2+9a多项式各项的公因式
-12x3y2+9x2y2-3xy

课后作业
5.利用因式分解进行计算：5×34＋4×34＋9×32. 解：原式＝5×34＋4×34＋34 ＝(5＋4＋1)×34 ＝ 10×81 ＝810.
人生格言：
我们要知道别人能做到的事，只要自己有恒心，坚持努力， 就没有什么事是做不到的。在我们心里必须懂得： 1. 人生想学习一点东西，就应该先学会谦逊。 3. 没有伞的孩子必须努力奔跑。 4. 你不勇敢，没人替你坚强。 5. 好学而不勤问非真好学者。 6. 形成天才的决定因素应该是勤奋。 7. 一分耕耘，一分收获。一艺之成，当尽毕生之力。 8. 虚心使人进步，骄傲使人落后，我们应当永远记住这个真理。 9.读书不知要领，劳而无功。
2.公因式的系数取多项式中各项系数的最大公约数，公因式的字母因式取各项相 同字母的最低次幂的积.
3.提取公因式分解因式的依据就是乘法分配律的逆用. 4.当把某项全部提出来后余下的系数是1，不是0（提公因式后括号内多项式的项 数与原多项式的项数一致）.
课后作业
1．下列多项式中，能用提公因式法因式分解的是( B )
举一反三
1. 分解因式28x4－21x³＋7xy； 解： 28x4－21x³＋7xy
＝7x(4x3－3x2＋y)
举一反三
2. 利用分解因式计算： （-2）²ºº¹+（-2）²ºº²× 1
2
解：（-2）²ºº¹+（-2）²ºº²×12 =（-2）²ºº¹×[1-(-2) × 1 ]
2
=（-2）²ºº¹×0 =0
一个多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
活动探究
问题2：2x²+6x³中的公因式是什么？能将它分解因式吗？ 解：2x²+6x³ =2x²+2x²·3x =2x（1+3x）.

• 例3:把 -24x3-12x2+28x 分解因式
分析: 如果多项式的第一项系数是负数,一 般要先提出 “－”号 -24x³-12x²+28
解:原式= -(24x³+12x²-28x) = -( 4 x ·6x²+4 x ·3x- 4 x ·7) = - 4 x (6x²+3x-7)
口诀：首项负，提负号，要变号
思考题 1、分解因式计算 (-2)101+(-2)100 2、利用简便方法计算：
4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8
3、已知 a+b=3, ab=2, 求代数式 a2 b + 2 a2 b2 +a b2 的值。 4、把 9am+1 –21 am+7a m-1分解因式.
谈谈你的收获！
判断下列分解因式正确吗
2.3a²c-6a³c=3a²(c-2ac)
=2ab(4a²-6b²c+1)
我做得 对吗？
1.2x²+3x³+x=x(2x+3x²) X(2X+3X²+1) 3a²c(1-2a) 注意: 提取公因式后, (1)另一个因式不能再 含有公因式;(2)另一个因式的项数与原多项 式的项数一致.
分解因式：
⑴ ax2＋ax ⑵ 3mx－6nx2
⑶
2 2 4a b＋10ab－2ab
⑷ 12xyz－9x2y2－6y2z2
⑴添括号： 把一个多项式或者它的一部分加上 b-a= + (b-a) -m-n= - (m+n) ⑵添括号法则：
括号，而不改变这个多项式的值，叫做添括号。
括号前面是“+”，括到括号里的各项都不变号； 括号前面是“-”；括到括号里的各项都变号；