《立体几何中的向量方法(一)》课例点评-最新教育文档

对高中数学“立体几何中的向量方法”一节例题教学的建议——浅谈法向量在立体几何中的应用人民教育出版社课程教材研究所与中学数学课程教材研究开发中心编著的《普通高中课程标准实验教科书选修2-1》第三章空间向量与立体几何，第2小节立体几何中的向量方法一节，教科书通过安排了“思考”、“探究”等栏目，讨论用向量表示空间中的点、直线与平面的位置，介绍了直线的方向向量与平面的法向量，以及用向量表示空间中直线、平面平行、垂直及夹角等，在此内容之后配套了相关的练习，为用向量方法解决立体几何问题作了铺垫.教科书接下来通过四个逐步深入展开的例题讨论本节主题，即立体几何中的向量方法，其中例1、例2直接利用向量运算，例3、例4把向量方法与坐标方法相结合，最后以框图形式引导学生进行小结，使学生对本节内容主题的认识进一步深化，提高抽象概括能力.本节内容能很好使学生理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法（三步曲）.但笔者认为，教科书本节内容中的例题4，在教学中可以更好地加以整合及补充，以进一步提高学生解决空间几何问题的能力.以下就例题4及其相关的建议及整合补充进行说明：Ⅰ 例题4再现 例4 如图1，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，点E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F . ⑴求证：PA //平面EDB ； ⑵求证：⊥PB 平面EFD ；⑶求二面角D PB C --的大小. 解：如图2所示建立空间直角坐标系，点D 为坐标原点， 设1=DC . ⑴证明：连接AC ，AC 交BD 于点G ，连接EG .依题意得 ()0,0,1A ，()1,0,0P ，⎪⎭⎫⎝⎛21,21,0E .因为底面ABCD 是正方形，所以点G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛0,21,21，且()1,0,1-=PA ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,0,21EG .所以2=，即PA //EG .而⊂EG 平面EDB ，⊄PA 平面EDB ，因此PA //平面EDB⑵证明：依题意得()0,1,1B ，()1,1,1-=, 又⎪⎭⎫⎝⎛=21,21,0，故021210=-+=•, 所以DE PB ⊥ 由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，所以⊥PB 平面EFD .⑶解：已知EF PB ⊥，由⑵可知DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角D PB C --的平面角， 设点F 的坐标为()z y x ,,，则()1,,-=z y x .因为PB k PF =，所以()()()k k k k z y x -=-=-,,1,1,11,,，即k x =，k y =，k z -=1，ABC DPE F 图1因为0=•，所以()()01311,,1,1,1=-=+-+=-•-k k k k k k k ， 所以31=k ，点F 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31,31， 由点E 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21,0，所以⎪⎭⎫⎝⎛--=61,61,31，因为213161366632,31,3161,61,31cos ==⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛---•⎪⎭⎫ ⎝⎛--==∠EFD ， 所以︒=∠60EFD ，即二面角D PB C --的大小为︒60.Ⅱ 关于例4的建议自2004年以来，全国轰轰烈烈进行着高中新课程改革，向量是此次新课程增加的基础内容之一.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角.它的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.例4的三个小问，分别涉及证明直线与平面平行、垂直，计算二面角的大小，这三个方面的问题都可以利用向量解决.前两问的证明教材使用坐标法，由向量表示转到有关判定定理.该问在教学时教师可以组织学生讨论如何利用已知条件适当建立空间直角坐标系，展示向量方法与坐标方法相结合的优越性.第⑶小问教科书采用了先找出所求二面角的平面角，再用向量方法通过求平面角的大小来求二面角的大小.但笔者在教学的过程中，发现对于求二面角的第⑶个小问，学生不容易由第⑵问得到EFD ∠就是二面角的平面角，而且该问如果没有第⑵小问做铺垫，学生不容易找出该二面角的平面角.笔者认为，本小节前面教科书花了较大篇幅介绍并学习了直线的方向向量及平面的法向量，这两种向量的利用在解决一些问题时能够把复杂的问题简单化，尤其是在解决有关二面角的问题时，平面的法向量的利用能让许多不擅长分析证明，擅长计算的学生多了一种解题的选择，因为用法向量去求二面角的大小可以不用找出或构造出二面角的平面角并证明求解，它只需通过计算并观察就可求出二面角的大小，所以如果教师在教学时就适当给学生补充利用法向量解题的例子，学生可以在掌握之后并加以使用必能提高解题效率.所以，笔者在上述教材分析之后，补充了该小问法向量的教学，其解法如下：依题意，有()10,0C ，()01,0P ，()10,1B ，()0,0,0D 则()1,1,1-=，()1,1,0-=，()1,0,0-= 设()z y x ,,=为平面PBD 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=•=•00 即⎩⎨⎧=-+=00z y x z 解得⎩⎨⎧=-=0z y x ,令1=x ，得()0,1,1-=为平面PBD 的一个法向量. 同法可求平面PBC 的一个法向量为()1,1,0=n .∴21221-=⋅-==， 根据图形可观察得到二面角D PB C --是锐二面角，∴二面角D PB C --的大小为︒60.总之，设、分别是二面角βα--l 的两个面α、β的法向量，则=就是二面角的平面角或其补角.Ⅲ关于例题4的补充在笔者随机翻阅的07、08两年共38套的高考题中，有22套高考题均有考核二面角的大小或其三角函数.所以教师应在平时多给学生时间练习有关二面角的习题，对学生在考试中立体几何方面多拿分将有所帮助.此外，38套高考题中，均有不同程度地考核到求线面角、点面距等有关问题.故笔者认为，继第⑶小问之后，教师可以补充以下几个小问，即：⑷求面DEF 与面ABCD 所成角的余弦值.该问求的是面与面所成的角，传统的解法是通过在两个相交平面的交线取点做平面角来求面面角.但该问题中的两个平面即面DEF 与面ABCD 无交线，通过找出两平面的平面角来解决问题比较困难，所以它是利用法向量解决面面所成角问题的一个很好的例子.其解法如下：由已知⊥PD 底面ABCD ，可得PD 为面ABCD 的一个法向量， 由⑵可知PB 为面EFD 的一个法向量， ∵()1,0,0-=，()1,1,1-=，∴33311=⨯=， 即面DEF 与面ABCD 所成角的余弦值为33 总之，两平面所成角的大小与二面角的大小均可以通过构造所成角的平面角来求，但当构造平面角较难时，就可以利用平面的法向量来求.但要注意的是两个平面所成的角一定是不大于︒90的角，而二面角是两个半平面所成的角，其取值范围是[]︒︒180,0，有时不易判断两半平面法向量的夹角的大小是与二面角的大小是相等的还是互补的，但由于二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的，所以我们完全可以根据图形观察得到结论.由上可见，用向量法求面面夹角可大大降低思维难度，用法向量求角的大小又可以省去烦琐的作图过程，最终把抽象的空间想象全部转化为代数运算.⑸求直线CE 与面DEF 所成的角的余弦值.该问是求线面所成的角，求线面角的传统方法是要先在平面上做出斜线在平面内的射影，斜线与射影所成的角就是该直线与平面所成的角.而用向量法求直线与平面所成的角，可避开找角的困难，只要计算上不失误就可以正确求出角的大小.该问用向量法的解题过程如下：由⑷知是面DEF 的一个法向量，且()1,1,1-=， 又∵⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21,21,0，∴()3626121321121101-=-=⨯⨯-+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+⨯==，设直线与平面DEF 所成角为θ，则36sin==θ，∴33321sin1cos2=-=-=θθ，∴直线与面DEF所成角的余弦值为33.总之，用向量法解线面角问题时有这样的结论：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为ϕ，则有=ϕθcossin或ϕθsincos=.⑹求点C到面DEF的距离.该问是求点到平面的距离，这类问题传统的解决方法是过该点做平面的垂线段，垂线段的长度即为所求的点到平面的距离.而用法向量求点到平面的距离，垂线段常常不必作出来，只需设出垂线段对应的向量或平面的法向量，利用公式即可求解.该问的解答如下：∵⎪⎭⎫⎝⎛-=21,21,0CE，()1,1,1-=PB，∴点C到面DEF的距离3331==d.总之，用向量法求点面距的一般求法是，先求出该平面的一个法向量，然后找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量，最后求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.即设n是平面α的法向量，AB是α的一条斜线，α∈A，则点B到平面的距离d=.求直线与平面的距离时，如图，直线a//平面α，因直线a上任一点到平面α的距离与直线a到平面α的距离相等.故直线a与平面α的距离为d=，其中A为直线a上任一点，B为平面α内任一点，为平面α的法向量.求平面与平面的距离类似以上分析.总之，直线和平面的距离与两平行平面的距离可转化为点到平面的距离来求.随着新教材的推广使用，利用向量解决立体几何一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点.在笔者翻阅的07、08年的高考题中，立体几何题均不同程度考核到了有关证明线线、线面、面面垂直与平行，求二面角的大小（或其三角函数值），求线面角、异面直线所成的角等问题，这类问题均可以利用空间向量解决.可见空间向量的引入，为解决立体几何中某些用综合法解决时技巧性较大、随机性较强的问题提供了一些通法.所以，教师更应在课堂教学中加强法向量的应用.选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按ctrl 点击打开)选校网（）是为高三同学和家长提供高考选校信息的一个网站。

《立体几何中的向量方法（一）》教课方案慈中书院余奇凯一、教材剖析本节课选自人教版《数学》选修 2-1 的第三章第二节，以前学生已经学习了空间向量及其运算，将向量由平面（二维）拓展到空间（三维），同时也具备了必定的空间想象能力，这为学生学习本节知识作了必需的铺垫。

本节课主要研究用空间向量来解决立体几何问题，立体几何中的向量方法既是前面内容的延展与深入，又是代数与几何知识的交汇点，产生了一种解决几何问题的新视角，为解决三维空间中图形的地点关系与度量问题供给了一个十分有效的工具。

二、教课目的（1）知识与技术认识点的地点向量的观点，理解直线的方向向量与平面的法向量的观点，能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系，掌握用向量法证明这些地点关系及其平面法向量的求法。

（2）过程与方法目标经过对详细问题的解决到解题方法的总结，能够培育学生的探究、操作和概括能力；用数学语言描绘几何知识，能够提升学生的数学表达和沟通能力，发展独立获得数学知识的能力，理解领会几何图像与向量之间的相互转变，学会用向量来解决空间中的详细问题。

（3）感情、态度与价值观目标：经过对峙体几何中的向量方法的学习过程，激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养学生优秀的学习习惯和思想质量，培育学生勇于探究、勤于思虑的科学精神，浸透唯物辩证法的思想，指引学生建立科学的世界观，提升学生的数学修养和综合素质。

三、教课要点、难点要点：方向向量与平面的法向量的观点、用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。

难点：线线、线面、面面的地点关系与向量之间的相互转变，法向量的求解四、教课策略本堂课中对多媒体的合适使用，我设计、制作选择合适于教课内容和教课对象的多媒体课件，并将自己的教课目的、教课思想有机的贯串于此中，学生在观看多媒体课件的过程中，激倡始大脑中对原有或已学过知识的回首和再现，同时惹起对新知识的兴趣、好奇、记忆和感情、进而产生主动学习的盼望。

五、教课过程1 、创建情境、引入新课经过近来很火的一档电视真人秀节目《荒原求生》，引出课题，经过一层层困难的设置（问题的设置），一次次的打破解决，给出空间中点、线、面的向量表示方法：问题 1：在分不清的方向的荒原中，怎样正确的向外界说出你详细所在的地点？问题 2：怎样对你走过的每一条路线进行标志？问题 3：怎样对你到过的每一个位子进行标志？引起学生思虑，相互议论，，引出本节课的新知。

高中数学教案《立体几何中的向量方法》第一章：向量基础1.1 向量的定义与表示理解向量的概念，掌握向量的表示方法，如箭头表示和坐标表示。

学习向量的长度和方向，掌握向量坐标的计算方法。

1.2 向量的运算学习向量的加法、减法和数乘运算，掌握运算规则和性质。

理解向量的共线定理，掌握向量共线的判定方法。

第二章：向量在立体几何中的应用2.1 向量在空间点和平面的表示学习空间点的表示方法，如坐标表示和向量表示。

学习平面的表示方法，如法向量和方程表示。

2.2 向量与空间点和平面的关系学习向量与空间点的距离和向量与平面的夹角计算。

掌握向量与平面的点积和叉积运算，理解其几何意义。

第三章：向量在立体几何中的证明3.1 向量证明中的基本定理学习向量共线定理和向量垂直定理，掌握其证明方法。

理解向量平行和垂直的判定方法，学会运用这些定理进行证明。

3.2 向量证明中的应用学习利用向量方法证明立体几何中的线线、线面、面面平行和垂直的关系。

掌握向量证明的步骤和技巧，提高证明能力和解题效率。

第四章：向量在立体几何中的计算4.1 向量计算中的基本公式学习向量的长度、方向和夹角的计算公式。

掌握向量的点积和叉积的计算公式，理解其几何意义。

4.2 向量计算在立体几何中的应用学习利用向量计算求解立体几何中的体积、表面积等问题。

掌握向量计算的方法和技巧，提高解题能力和计算速度。

第五章：向量方法在立体几何综合题中的应用5.1 向量方法在立体几何证明题中的应用学习利用向量方法解决立体几何证明题，如证明线线、线面、面面平行和垂直。

掌握向量证明的思路和技巧，提高证明能力和解题效率。

5.2 向量方法在立体几何计算题中的应用学习利用向量方法解决立体几何计算题，如求解体积、表面积等问题。

掌握向量计算的方法和技巧，提高解题能力和计算速度。

第六章：向量方法在立体几何中的几何解释6.1 向量直观解释立体几何关系通过实物模型和图形，直观解释向量在立体几何中的作用，如线线、线面、面面的平行和垂直关系。

《立体几何中的向量方法（一）》教学设计慈溪中学岑光辉一、教材分析立体几何中的向量方法被安排在新课标《数学》选修2–1的第三章第二节，主要讨论的是用空间向量处理立体几何问题。

在此之前安排了空间向量及其运算这一节，将向量由二维拓展为三维，为学生学习本节知识作了必要的铺垫。

立体几何中的向量方法既是前面内容的延展与深化，又是代数与几何知识的交汇点，产生了一种解决几何问题的新视角，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。

同时它也体现了新课程标准中提出的“注重提高学生的数学思维能力”的课程基本理念。

二、教学目标（1）知识与技能了解点的位置向量的概念，理解直线的方向向量与平面的法向量的概念，能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系，掌握用向量法证明这些位置关系。

（2）过程与方法目标通过概念的理解和应用，可以提高学生感知和梳理知识的能力；由具体问题的解决到解题方法的总结，可以培养学生的探索、操作和归纳能力；用数学语言描述几何知识，可以提高学生的数学表达和交流能力，发展独立获取数学知识的能力。

（3）情感、态度与价值观目标：通过对立体几何中的向量方法的学习过程，激发学生对数学的好奇心和求知欲，培养学生良好的学习习惯和思维品质，培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神，渗透唯物辩证法的思想，引导学生树立科学的世界观，提高学生的数学涵养和综合素质。

三、学情分析通过《数学》必修2中的“立体几何”和《数学》选修2–1中“空间向量及其运算”的学习，学生已具备了一定的空间想象能力和代数运算能力，很自然就过渡到二者综合运用的层次；但也有部分学生的数学底子薄，数学思维能力有所欠缺，认知结构不太健全，会对向量和几何的综合运用产生畏惧感，担心学不好。

四、教学策略实施主体性教学，发挥学生的主动性。

让学生经历直观感知、自主探索、合作交流的过程，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的自信心。

这节课我设计制作了多媒体课件，形象、直观，再现了知识产生的过程，突破学生在旧知和新识形成过程的障碍，增大了教学容量，提高了教学效率，培养了学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

高中数学教案《立体几何中的向量方法》一、教学目标1. 让学生理解向量在立体几何中的作用和意义。

2. 培养学生运用向量方法解决立体几何问题的能力。

3. 加深对向量运算和立体几何概念的理解。

二、教学内容1. 向量在立体几何中的应用：向量在空间点、线、面的表示。

向量与空间点、线、面的位置关系。

2. 向量运算在立体几何中的应用：向量的加法、减法、数乘在立体几何中的意义。

向量点积、向量叉积在立体几何中的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：向量在立体几何中的应用，向量运算在立体几何中的意义。

2. 难点：向量点积、向量叉积的计算和应用。

四、教学方法1. 采用案例教学法，通过具体实例引导学生理解向量在立体几何中的应用。

2. 采用互动教学法，引导学生积极参与讨论，提高运用向量方法解决实际问题的能力。

五、教学准备1. 教学课件：包括向量在立体几何中的应用、向量运算等内容。

2. 教学案例：挑选具有代表性的立体几何问题，用于引导学生运用向量方法解决实际问题。

3. 练习题：针对本节课内容，设计相关练习题，巩固学生对向量方法在立体几何中的应用。

六、教学过程1. 引入新课：回顾上一节课的内容，引导学生思考向量在立体几何中的作用。

2. 讲解向量在立体几何中的应用：通过课件和案例，讲解向量在空间点、线、面的表示，以及向量与空间点、线、面的位置关系。

3. 讲解向量运算在立体几何中的应用：通过课件和案例，讲解向量的加法、减法、数乘在立体几何中的意义，以及向量点积、向量叉积在立体几何中的应用。

七、课堂练习1. 根据课件和案例，让学生独立完成一些简单的立体几何问题，巩固向量在立体几何中的应用。

2. 让学生分组讨论，合作解决一些较复杂的立体几何问题，培养运用向量方法解决实际问题的能力。

八、课堂小结1. 回顾本节课的主要内容，总结向量在立体几何中的应用和向量运算在立体几何中的意义。

2. 强调向量方法在解决立体几何问题中的重要性，鼓励学生在今后的学习中多运用向量方法。

3.2 立体几何中的向量方法（第一课时）教案一、教学目标知识与技能：1、能用向量方法描述点、线、面；2、理解直线的方向向量、平面的参数向量、平面的法向量；3、掌握用直线方向向量表示直线的平行、垂直和角度；4、掌握用平面的法向量表示平面的平行、垂直和二面角的大小；5、掌握用直线的方向向量和平面的法向量表示直线和平面的平行、垂直和角度；过程与方法：1、在空间向量数乘运算的基础上，使学生体会用向量表示直线，得到直线的方向方程；2、让学生经历从平面向量基本定理探究出平面的参数向量方程；3、探究平面的点法式表示，感受法向量的表示平面方向的合理性；4、让学生经历用直线的方向向量和平面的法向量探究空间立体几何的平行、垂直和角度问题；情感、态度与价值观1、领悟从立体几何的综合法过渡到向量法的思想——几何问题代数化2、体会用向量探究立体几何中的平行、垂直和角度问题的方法、发现用向量运算来表示线面、面面的角度。

二、重点难点重点：1、探究点、线、面的向量表示；2、探究线线、线面、面面的平行和垂直的向量表示；难点：1、线线、线面、面面所成的角。

2、把立体几何初步的方法“翻译”成对应的向量方法。

三、教学过程必修2立体几何初步与选修2-1立体几何初步对比必修2•概念的引入采用直观描述方法•以运动变化观点从直观上认识空间几何体•引导学生观察、猜想、说理，从合情推理层面说明其正确性•处理是横向的：空间线线关系，空间线面关系，空间面面关系；选修2-1•先讲清直线的方向向量与平面的法向量• 然后从线面关系（包括直线与直线、直线与平面、平面与平面）的判定，空间角（包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角、平面与平面所成的角）• 处理是纵向的：方向向量与法向量，线面关系的判定，空间角的计算教学程序框图1、点、线、面的向量表示点、线、面的向量表示，遵循从直观感知开始。

引导学生回忆立体几何初步是怎样表示点，线，面的，然后启发学生用向量的语言把这些基本几何元素“翻译”成对应的向量语言。

《立体几何中的向量方法》教学案例分析华阳中学 李灵《立体几何中的向量方法》的核心内容就是利用空间向量来解决立体几何问题，其一般方法是：先利用空间向量表示空间中点、直线、平面等元素，建立立体图形与空间向量的联系;进行空间向量运算;由向量运算所得结果解释几何结论。

此核心内容，就是整个教学过程中所涉及到的“三步曲”。

“三步曲”的给出，与平面向量在平面几何中的运用有类似的地方，是通过对比而得到的一种方法，也是平面向量的一种扩展。

本节内容的学习目标是利用向量的相关知识，表示直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系;用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）;用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

重点：理解并掌握向量方法解决立体几何问题的一般方法。

难点：建立立体图形与空间向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。

一、向量方法的基础知识向量方法的综合运用，是在空间向量相关知识的基础上展开的。

这些知识包括：向量的概念、向量的加减运算、向量的数乘运算、向量数量积（内积）运算、向量平行（垂直）充要条件、向量基本定理、向量坐标表示及坐标运算等等。

而向量在立体几何中的运用，还必须利用空间向量决定空间点、直线、平面在空间中的位置。

在这些相应知识的前提下，我们归纳给出了以下几个有关直线、平面位置关系的结论：设直线l ，m 的方向向量分别为b a ，，平面βα，的法向量分别为r u ，，则0 |||| =•⇔⊥⇔⊥∈=⇔⇔b a b a m l Rk kb a b a m l 线线垂直，线线平行||||||cos ),20( ||||||cos ),20( ||||||cos ),20( 0|||| || || r u r u u a u a l b a b a m l r u r u Rk kr u r u Rk ku a u a l ou a u a l •=≤≤•=≤≤•=≤≤=•⇔⊥⇔⊥∈=⇔⇔∈=⇔⇔⊥=•⇔⊥⇔θπθθβαθπθθαθπθθβαβααα的夹角为，面面夹角的夹角为，线面夹角的夹角为，线线夹角面面垂直，面面平行，线面垂直线面平行 注意：（1）这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合。

人教版高中数学教案立体几何中的向量方法一、教学目标1. 让学生掌握向量的基本概念和性质，能够熟练运用向量表示点、线、面的位置关系。

2. 培养学生运用向量方法解决立体几何问题的能力，提高空间想象和思维能力。

3. 引导学生通过合作交流，探索向量在立体几何中的应用，培养团队协作和表达能力。

二、教学内容1. 向量的基本概念和性质2. 向量在立体几何中的应用3. 空间向量的坐标表示4. 向量与立体几何的运算5. 向量方法在立体几何问题中的应用三、教学重点与难点1. 重点：向量的基本概念和性质，向量在立体几何中的应用。

2. 难点：空间向量的坐标表示，向量与立体几何的运算。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题，探索向量在立体几何中的应用。

2. 利用多媒体辅助教学，展示向量图形，提高学生的空间想象力。

3. 组织小组讨论，鼓励学生发表自己的观点，培养团队协作和表达能力。

4. 采用循序渐进的教学方法，由浅入深，使学生能够逐步掌握向量方法解决立体几何问题。

五、教学过程1. 导入：通过展示实际问题，引导学生思考如何利用向量解决立体几何问题。

2. 知识讲解：讲解向量的基本概念和性质，向量在立体几何中的应用，空间向量的坐标表示，向量与立体几何的运算。

3. 例题讲解：分析并讲解典型例题，让学生掌握向量方法在立体几何问题中的应用。

4. 练习与讨论：布置适量练习题，组织学生进行小组讨论，共同解决问题。

6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识。

六、教学评价1. 通过课堂讲解、练习和小组讨论，评价学生对向量基本概念和性质的理解程度。

2. 通过解决立体几何问题，评价学生运用向量方法解决问题的能力。

3. 通过课后作业和小测验，评价学生对空间向量坐标表示、向量与立体几何运算的掌握情况。

七、教学资源1. 多媒体教学课件：包含向量图形、立体几何问题实例及解题过程。

2. 练习题库：包括不同难度的练习题，用于巩固课堂所学。

【自主解答】 以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D (12，0,0)，S (0,0,1)． (1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量．∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ，∴AD →＝(12，0,0)是平面SAB 的一个法向量． (2)在平面SCD 中，DC →＝(12，1,0)，SC →＝(1,1，－1)． 设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DC →，n ⊥SC →.所以 ⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DC →＝0n ·SC →＝0，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋y ＝0x ＋y －z ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y z ＝－y ， 令y ＝－1得x ＝2，z ＝1，∴n ＝(2，－1,1)．小结：求一个平面法向量的方法1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量．2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：(1)设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )．(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0. (4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量． 3．在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0有无数多个解，只需给x ，y ，z 中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．补充练习：正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1的中点，在如图3－2－3所示的空间直角坐标系中，求：图3－2－3(1)平面BDD 1B 1的一个法向量．(2)平面BDEF 的一个法向量．【解】 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)(1)连AC ，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量．(2)DB →＝(2,2,0)，DE →＝(1,0,2)．设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DB →＝0n ·DE →＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2y ＝0x ＋2z ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x z ＝－12x .令x ＝2得y ＝－2，z ＝－1. ∴n ＝(2，－2,1)即为平面BDEF 的一个法向量.活动四：归纳整理、提高认识（2分钟）1．在空间中，如何表示一个点？一条直线？一个平面？2．如何用直线的方向向量与平面的法向量判断直线与平面的位置关系？ 活动五：作业布置、提高巩固1． 书面作业：补充板书设计： 用向量方法研究立体几何一1、空间中点、直线、平面的表示 例1： 例2：2、用向量表示直线与平面位置关系3、平面法向量的求法教学后记：。