1.3.2函数的极值与导数教学设计

3.3.2 函数的极值与导数教学教法分析(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．过程与方法通过对具体问题的观察、分析来增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，及灵活运用类比、归纳、化归等数学方法的能力．3．情感、态度与价值观通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动．通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立、自强的优良心理品质．通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度．●重点、难点重点：函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤．难点：函数在某点取得极值必要条件和充分条件．观察图象特征、自主探究、小组合作总结归纳出求极值方法步骤，并了解极值存在的充分条件和必要条件，从而突破重点、难点．教学方案设计(教师用书独具)●教学建议本节课力在突出“以学生为主体”的教学理念．以问题探究为主要形式，依照学生的认知规律，采用自主学习与合作探究相结合的模式．教师在整堂课中引导着学生探索出函数的极值与导数的关系．对于检验学生学习的效果，采用问题和练习的形式给予检查和纠正．本着“学生是教学活动出发点，也是教学活动的落脚点”的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，让学生真正的参与到知识的成长过程．主要从以下几个方面对学生进行指导：(1)引导学生观察图象，产生认知冲突．极值好像是最值，又不是最值．(2)激发探究欲望．学生产生疑问之后，指导学生思考怎样解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力．(3)指导学生合作探究，小组讨论并得出结论．●教学流程创设问题情境，引出问题：在x＝a b点附近，函数值有何特点？⇒引导学生结合给出图象，观察、比较、分析，导出问题答案，给出极值概念.⇒通过引导学生回答所提问题，理解极大值与极小值大小的辩证关系.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求函数极值的步骤和方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握已知函数的极值求参数的方法.⇒通过例3及其变式训练，理解极值的含义，并学会通过极值解决综合问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学(对应学生用书第58页)课标解读1.理解极值的定义．(难点)2．掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3．会根据函数的极值求参数的值．(难点)知识点极值点与极值【问题导思】函数y＝f(x)的图象如图所示．1．函数在x＝a点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？【提示】函数在点x＝a的函数值比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小 . 2．f′(a)为多少？在点x＝a附近，函数的导数的符号有什么规律？【提示】f′(a)＝0，在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.3．函数在x ＝b 点处的情况呢？【提示】 函数在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.1．极小值点与极小值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0.则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．2．极大值点与极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．【问题导思】函数的极大值一定大于极小值吗？【提示】 不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.课堂互动探究 (对应学生用书第58页)类型1求函数的极值例题1 求下列函数的极值点和极值． (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝3x ＋3ln x .【思路探究】原函数――→求导导函数―→f ′x ＝0的点x 0――→判断两侧符号极值【自主解答】 (1)f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1，如下表所示：x (－∞，－1)－1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )极大值143极小值－6∴f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.(2)函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3x －1x 2， 令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋f (x )极小值3因此当x ＝1 规律方法1．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求f ′(x )＝0的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．2．函数极值和极值点的求解步骤： ①确定函数的定义域； ②求方程f ′(x )＝0的根；③用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； ④由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况． 变式训练求函数y ＝2x ＋8x的极值．【解】 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． y ′＝2－8x 2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表： x (－∞，－2)－2 (－2,0) (0,2) 2 (2，＋∞) y ′＋－－＋y －8 8由表知：当x ＝－2时，y 极大值＝－8； 当x ＝2时，y 极小值＝8.类型2由函数的极值求参数例题2 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值，且f (－1)＝32，求a 、b 、c 的值．【思路探究】 (1)函数在x ＝1和x ＝－23时都取得极值，说明f ′(1)与f ′(－32)的结果怎样？(2)你能由已知条件列出方程组求解a 、b 、c 吗？【自主解答】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎨⎧1－23＝－23a ，1×－23＝b3.解得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－23)－23 (－23，1) 1 (1，＋∞) f ′＝(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x )2227＋c－32＋c由上表知，函数在x ＝1与－23处取得极值．∴a ＝－12，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1. 规律方法已知函数的极值情况，逆向应用来确定参数或求解析式时应注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证． 变式训练已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1和x ＝3处有极值，求a 、b 的值． 【解】 由f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b . 又f (x )在x ＝－1和x ＝3处有极值， ∴f ′(－1)＝3＋b －6a ＝0，① f ′(3)＝27＋18a ＋b ＝0.②联立①②，得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－9.∴f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)． 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下：∴a ＝－1，b ＝－9符合题意.例题3 直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．【思路探究】 (1)能否由已知条件求出a 值，确定f (x )？(2)直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点的含义是什么？如何用数形结合求出m 的范围？【自主解答】 ∵f (x )在x ＝－1处取得极值， ∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当x ＞1时，f ′(x )＞0.∴由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，又f(－3)＝－19＜－3，f(3)＝17＞1，结合f(x)的单调性可知，m的取值范围是(－3,1)．规律方法1．解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用．在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．变式训练已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？【解】(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)a－2a＋2由表可知函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．易错易误辨析 (对应学生用书第60页)因未验根而致误典例 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a 、b 的值． 【错解】 因为f (x )在x ＝－1时有极值0且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎨⎧ f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.【错因分析】 解出a ，b 值后，未验证x ＝－1两侧函数的单调性而导致产生增根致误． 【防范措施】 可导函数在x 0处的导数为0是该函数在x 0处取得极值的必要不充分条件，而并非充要条件，故由f ′(x )＝0而求出的参数需要检验，以免出错．【正解】 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b .∴⎩⎨⎧ f ′1＝0，f －1＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0， 解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f (x )为增函数； 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数． 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值， 因此a ＝2，b ＝9.课堂小结1．极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小．极值是不唯一的，极大值与极小值之间也无确定的大小关系．2．极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点，极小值点可以看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点．3．可导函数f(x)求极值的一般步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格；(4)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.当堂双击达标(对应学生用书第60页)1．下列说法正确的是()A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B．函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C．函数f(x)＝|x|只有一个极小值D．函数y＝f(x)在区间(a，b)上一定存在极值【解析】函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，单调函数在区间(a，b)上没有极值，故A、B、D错误，C正确，函数f(x)＝|x|只有一个极小值为0.【答案】 C2．函数f(x)的定义域为区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图3－3－5所示，则函数f(x)在(a，b)内的极小值的个数为()图3－3－5A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 在(a ，b )内，f ′(x )＝0的点有A 、B 、O 、C .要为函数的极小值点，则在该点处的左、右两侧导函数的符号满足左负右正，只有点B 符合．【答案】 A3．函数y ＝f (x )是定义在R 上的可导函数，则f ′(x 0)＝0是x 0为函数y ＝f (x )的极值点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 f ′(x 0)＝0⇒/ y ＝f (x )在x 0处有极值，但y ＝f (x )在x 0处有极值⇒f ′(x 0)＝0，应选B.【答案】 B4．求函数y ＝x ＋1x的极值．【解】 y ′＝1－1x 2＝x 2－1x 2，令y ′＝0解得x ＝±1，而原函数的定义域为{x |x ≠0}，∴当x变化时，y ′，y 的变化情况如下表： x (－∞，－1)－1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞) y ′ ＋ 0 － － 0 ＋y极大值极小值极大值极小值课后知能检测 (对应学生用书第111页)一、选择题1．已知函数f (x )，x ∈R ，有唯一极值，且当x ＝1时，f (x )存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0【解析】f(x)在x＝1时存在极小值，则当x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，应选C.【答案】 C图3－3－62．(2013·青岛高二检测)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图3－3－6所示，则函数f(x)的极小值是()A．a＋b＋c B．3a＋4b＋cC．3a＋2b D．c【解析】由f′(x)的图象可知，当x＝0时，函数取得极小值，f(x)极小值＝c.【答案】 D3．函数f(x)＝x3－3x2＋3x()A．x＝1时，取得极大值B．x＝1时，取得极小值C．x＝－1时，取得极大值D．无极值点【解析】f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立．∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，f(x)无极值．【答案】 D4．(2013·临沂高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x＋5在x＝－3时取得极值，则a＝()A．2B．3C．4D．5【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意：f′(－3)＝27－6a＋3＝0∴a＝5.应选D.【答案】 D5．如图3－3－7所示是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的大致图象，则x 21＋x 22等于( )图3－3－7A.23B.43C.83D.123【解析】 函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 图象过点(0,0)，(1,0)，(2,0)，得d ＝0，b ＋c ＋1＝0,4b ＋2c ＋8＝0，则b ＝－3，c ＝2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ＝3x 2－6x ＋2，且x 1，x 2是函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的两个极值点，即x 1，x 2是方程3x 2－6x ＋2＝0的实根，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.【答案】 C 二、填空题6．若函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值为13，则实数m 等于________． 【解析】 y ′＝－3x 2＋12x ＝－3x (x －4)． 令y ′＝0得x 1＝0，x 2＝4. 列表可知y 极大＝f (4)＝32＋m ＝13. ∴m ＝－19. 【答案】 －197．若f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是________． 【解析】 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， 由题意f ′(x )＝0有两个不等的实根，故Δ＝(6a )2－4×3×3(a ＋2)＞0，解之得a ＞2或a ＜－1. 【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)8．(2013·昆明高二检测)如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图3－3－8所示，给出下列判断：图3－3－8(1)函数y ＝f (x )在区间(－3，－12)内单调递增；(2)函数y ＝f (x )在区间(－12，3)内单调递减；(3)函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； (4)当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； (5)当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断中正确的是________． 【解析】 由导函数的图象知：当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(2,4)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(4，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 在x ＝－2时，f (x )取极小值； 在x ＝2时，f (x )取极大值； 在x ＝4时，f (x )取极小值； 所以只有(3)正确． 【答案】 (3) 三、解答题9．求下列函数的极值．(1)f (x )＝x 3－12x ；(2)f (x )＝2xx 2＋1－2.【解】 (1)函数f (x )的定义域为R . f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：时，函数有极大值，且f (－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16； 当x ＝2时，函数有极小值，且f (2)＝23－12×2＝－16. (2)函数的定义域为R . f ′(x )＝2x 2＋1－4x 2x 2＋12＝－2x －1x ＋1x 2＋12.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞) f ′(x ) － 0 ＋ 0 －f (x ) 极小值 －3极大值 －1且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值； 且f (1)＝22－2＝－1.10．设x ＝1与x ＝2是函数f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x 的两个极值点． (1)试确定常数a 和b 的值；(2)判断x ＝1，x ＝2是函数f (x )的极大值点还是极小值点，并说明理由． 【解】 (1)因为f (x )＝a ln x ＋bx 2＋x ， 所以f ′(x )＝ax＋2bx ＋1.由极值点的必要条件可知：f ′(1)＝f ′(2)＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋1＝0，a 2＋4b ＋1＝0，解方程组得a ＝－23，b ＝－16.(2)由(1)知f (x )＝－23ln x －16x 2＋x (x ＞0)．f ′(x )＝－23x －1－13x ＋1.当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(1,2)时，f ′(x )＞0；当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＜0.故在x ＝1处函数f (x )取得极小值56，在x ＝2处函数取得极大值43－23ln 2.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点，x ＝2是函数f (x )的极大值点． 11．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 【解】 (1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时f ′(x )、f (x )变化情况如下表：所以f (x )的极大值是f ⎝⎛⎭⎫－13＝527＋a ， 极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知x 取足够大的正数时有f (x )＞0，x 取足够小的负数时有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个交点．因此若y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，应有527＋a ＜0或a －1＞0.所以当a ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点. 教师备课资源 (教师用书独具)备选例题已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0，求证：当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点． 【证明】 ∵f (x )＝ax 2＋b ln x (ab ≠0) ∴f (x )的定义域为(0，＋∞)f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋bx当ab ＞0时，若a ＞0，b ＞0，则f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递增的；若a ＜0，b ＜0，则f ′(x )＜0，f (x )在(0，＋∞)上是单调递减的．∴当ab ＞0时，函数f (x )没有极值点． 备选变式已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，其中ab ≠0，求函数有极值时a 、b 满足的条件． 【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax ＋b x ＝2ax 2＋bx.若函数f (x )有极值，首先f ′(x )＝0，即2ax 2＋b ＝0在(0，＋∞)上有根． 因为ab ≠0，x 2＝－b2a ，所以当ab ＜0时，2ax 2＋b ＝0在(0，＋∞)上有根x ＝－b 2a. 又当a ＞0，b ＜0时，f ′(x )在x ＝－b2a两侧的符号是左负右正，此时函数f (x )在x ＝－b2a取得极小值； 当a ＜0，b ＞0时，f ′(x )在x ＝－b2a两侧的符号是左正右负，此时函数f (x )在x ＝－b 2a取得极大值．综上，函数f (x )＝ax 2＋b ln x (ab ≠0)有极值时，a ，b 所满足的条件是ab ＜0.。

1.3.2 函数的极值与导数学习目标：1、理解函数极值的概念，掌握利用导数求函数极值的方法。

2、培养学生观察、归纳的能力；学会运用数形结合的方法解决问题。

教学重难点：学会用导数求函数极值的方法，并能灵活运用。

教学过程一、复习回忆：1.函数的单调性与导数的关系：一般地，设函数y =f (x )在某个区间(a ，b )内有导数，如果在这个区间内f '(x )>0，那么函数y =f (x )为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f '(x )<0，那么函数y =f (x )为这个区间内的减函数.如果在某个区间内恒有f '(x )=0，则y =f (x )为常数。

2.函数f (x )=2x 3－6x 2+7，求f (x )的单调区间,并画出其图象; 二、讲授新课：a b y=f (x ) x o y y=f (x ) xo y a b观察画出函数f (x )=2x 3－6x 2+7的图象，答复下面问题：问题1：在点x =0附近的图象有什么特点？问题2：函数在x =0处的函数值和附近函数值之间有什么关系？问题3：在点x =0附近的导数符号有何变化规律？问题4：函数在x =0处的导数是多少？思考1 分析讨论函数在x =0附近的变化规律：你能尝试给出极大值的定义吗？ 函数极大值的定义设函数y =f (x )在x =x 0及其附近有定义假设x 0满足1. f (x 0)＞f (x )；f '(x 0)=0.x 0的两侧的导数异号，满足“左正右负〞，我们就说f (x 0)是函数y =f (x )的一个极大值，点x 0叫做函数y =f (x )的极大值点。

思考2 你能尝试给出函数在x=2处的结论吗？函数极小值的定义设函数y =f (x )在x =x 0及其附近有定义，假设x 0满足：1. f (x 0)＜f (x )；f '(x 0)=0.x 0的两侧的导数异号，满足“左负右正〞，我们就说f (x 0)是函数y =f (x )的一个极小值，点x 0叫做函数y =f (x )的极小值点。

§1.3.2 函数的极值与导数（2 课时） 课题：1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程与设计： 详细过程一．创设情景 观察图 3.3-8，我们发现，t  a 时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数 h(t ) 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规 律？ 放大 t  a 附近函数 h(t ) 的图像，如图 3.3-9．可以看出 h( a ) ；在 t  a ，当 t  a 时， 函数 h(t ) 单调递增， h(t )  0 ；当 t  a 时，函数 h(t ) 单调递减， h(t )  0 ；这就说明，在 ．这样，当 t 在 a 的 t  a 附近，函数值先增（ t  a ， h(t )  0 ）后减（ t  a ， h(t )  0 ） 附近从小到大经过 a 时， h(t ) 先正后负，且 h(t ) 连续变化，于是有 h(a)  0 ．教学目标：教学重点： 教学难点：对于一般的函数 y  f  x  ，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就 函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值 点的关键是这点两侧的导数异号 二．新课讲授 1 ． 问 题 ： 图 3.3-1 （ 1 ） ，它表示跳水运动中高度 h 随时间 t 变化的函数王新敞奎屯 新疆h(t )  4.9t 2  6.5t  10 的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度 v 随时间 t 变化的函数 v(t )  h (t )  9.8t  6.5 的图像．'运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：（1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度 h 随时间 t 的增加而增加，即 h(t ) 是增 函数．相应地， v(t )  h' (t )  0 ． （2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度 h 随时间 t 的增加而减少，即 h(t ) 是减 函数．相应地， v(t )  h' (t )  0 ． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图 3.3-3 ，导数 f ' ( x0 ) 表示函数 f ( x ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的切线的斜率．在 x  x0 处，f ' ( x0 )  0 ，切线是“左下右上”式的，这时，函数 f ( x) 在 x0 附近单调递增；在 x  x1 处， f ' ( x0 )  0 ，切线是“左上右下”式的，这时，函数 f ( x) 在 x1 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系' 在某个区间 ( a , b) 内，如果 f ( x)  0 ，那么函数 y  f ( x) 在这个区间内单调递增；如果f ' ( x)  0 ，那么函数 y  f ( x) 在这个区间内单调递减．' 说明： （1）特别的，如果 f ( x)  0 ，那么函数 y  f ( x) 在这个区间内是常函数．3．求解函数 y  f ( x) 单调区间的步骤： （1）确定函数 y  f ( x) 的定义域； （2）求导数 y  f ( x) ；' '（3）解不等式 f ( x)  0 ，解集在定义域内的部分为增区间；'（4）解不等式 f ( x)  0 ，解集在定义域内的部分为减区间．'三．典例分析 例 1．已知导函数 f ( x) 的下列信息：' 当 1  x  4 时， f ( x)  0 ； '当 x  4 ，或 x  1 时， f ( x)  0 ；'当 x  4 ，或 x  1 时， f ( x)  0'试画出函数 y  f ( x) 图像的大致形状．解：当 1  x  4 时， f ' ( x)  0 ，可知 y  f ( x) 在此区间内单调递增； 当 x  4 ，或 x  1 时， f ' ( x)  0 ；可知 y  f ( x) 在此区间内单调递减； 当 x  4 ，或 x  1 时， f ' ( x)  0 ，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点” ． 综上，函数 y  f ( x) 图像的大致形状如图 3.3-4 所示． 例 2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间． （1） f ( x)  x3  3x ； （2） f ( x)  x2  2x  3（3） f ( x)  sin x  x x  (0,  ) ； （4） f ( x)  2x3  3x2  24 x  1 解： （1）因为 f ( x)  x  3x ，所以， f ( x)  3x  3  3( x  1)  03 ' 2 2因此， f ( x)  x  3x 在 R 上单调递增，如图 3.3-5（1）所示．3（2）因为 f ( x)  x2  2x  3 ，所以， f ' ( x)  2x  2  2  x 1 当 f ( x)  0 ，即 x  1 时，函数 f ( x)  x  2x  3 单调递增；' 2当 f ( x)  0 ，即 x  1 时，函数 f ( x)  x  2x  3 单调递减；' 2函数 f ( x)  x  2x  3 的图像如图 3.3-5（2）所示．2 ' （3） 因为 f ( x)  sin x  x x  (0,  ) ，所以， f ( x)  cos x  1  0因此，函数 f ( x)  sin x  x 在 (0,  ) 单调递减，如图 3.3-5（3）所示． （4） 因为 f ( x)  2x  3x  24 x  1 ，所以3 2．2当 f ( x)  0 ，即'时，函数 f ( x)  x  2x  3 时，函数 f ( x)  x  2x  32 2； ；当 f ( x)  0 ，即' 3函数 f ( x)  2x  3x  24 x  1 的图像如图 3.3-5（4）所示． 注： （3） 、 （4）生练 例3 如图 3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同 的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图像． 分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得 慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上， （A）符合上述变化情况．同理可知其它三种 容器的情况．解： 1   B ,  2   A , 3   D ,  4  C  思考：例 3 表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结 合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？ 一般的， 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大， 那么函数在这个范围内变化的快， 这时，函数的图像就比较“陡峭” ；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图 3.3-7 所示， 函数 y  f ( x) 在  0 , b  或  a , 0 内的图像“陡峭” ，在  b ,   或   , a  内的图像“平 缓” ． 例4 求证：函数 y  2x3  3x2 12 x  1 在区间  2,1 内是减函数．' 2 2 证明：因为 y  6 x  6 x  12  6 x  x  2  6  x  1 x  2 当 x   2,1 即 2  x  1 时， y'  0 ，所以函数 y  2x3  3x2 12 x  1 在区间  2,1 内 是减函数． 说明：证明可导函数 f  x  在  a , b  内的单调性步骤： （1）求导函数 f '  x  ； （2）判断 f '  x  在  a , b  内的符号； （3）做出结论： f '  x   0 为增函数， f '  x   0 为减函数． 例5 已知函数 f ( x)  4 x  ax 22 3 x ( x  R ) 在区间 1,1 上是增函数，求实数 a 的取 3'值范围． 解 ： f ( x)  4  2ax  2 x ， 因 为 f  x  在 区 间  1,1 上 是 增 函 数 ， 所 以 f ( x)  0 对' 2x 1,1 恒成立，即 x2  ax  2  0 对 x 1,1 恒成立，解之得： 1  a  1所以实数 a 的取值范围为  1,1 ． 说明： 已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型， 常利用导数与函数单调性关 系：即“若函数单调递增，则 f ( x)  0 ；若函数单调递减，则 f ( x)  0 ”来求解，注意此' '时公式中的等号不能省略，否则漏解． 四．课堂练习 1．求下列函数的单调区间 1.f(x)=2x －6x +73 22.f(x)=1 +2x x4. y=xlnx3. f(x)=sinx , x  [0,2 ]2．课本 P101 练习 五．回顾总结 （1）函数的单调性与导数的关系 （2）求解函数 y  f ( x) 单调区间 （3）证明可导函数 f  x  在  a , b  内的单调性 六．布置作业。

1.3.2函数的极值与导数教学目标1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.知识链接在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题.但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？答以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在点x＝d的附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y ＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在点x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在点x ＝e附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.教学导引1.极值点与极值的概念(1)极小值点与极小值如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.2.求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值. 课堂讲义要点一 求函数的极值例1 求函数f (x )＝13x 3－4x ＋4的极值.解 由题意可知f ′(x )＝x 2－4. 解方程x 2－4＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 由f ′(x )＞0得x ＜－2或x ＞2； 由f ′(x )＜0得－2＜x ＜2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知：当x ＝－2时，f (x )有极大值f (－2)＝283.当x ＝2时，f (x )有极小值f (2)＝－43.规律方法 求可导函数f (x )的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测f ′(x )在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.跟踪演练1 判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由.(1)y ＝8x 3－12x 2＋6x ＋1； (2)y ＝x |x |； (3)y ＝1－(x －2)23.解 (1)∵y ′＝24x 2－24x ＋6， 令y ′＝0，即24x 2－24x ＋6＝0， 解得x ＝12，当x >12时，y ′>0；当x <12时，y ′>0.∴此函数无极值.(2)令y ＝x |x |＝0，则x ＝0，且y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x2x ≥0，－x 2x <0，当x >0时，y ＝x 2是单调增函数； 当x <0时，y ＝－x 2也是单调增函数. 故函数y ＝x |x |在x ＝0处无极值.另外，∵当x >0时，y ′＝2x ，y ′＝0无解； 当x <0时，y ′＝－2x ，y ′＝0也无解， ∴函数y ＝x |x |没有极值.(3)当x ≠2时，有y ′＝－23(x －2)31-.当x ＝2时，y ′不存在，因此，y ′在x ＝2处不可导. 但在点x ＝2处的左右附近y ′均存在， 当x <2时，f ′(x )>0；当x >2时，f ′(x )<0.故y ＝f (x )在点x ＝2处取极大值，且极大值为f (2)＝1. 要点二 利用函数极值确定参数的值例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)在x ＝±1处取得极值，且f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值；(2)判断x ＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值. 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c . ∵x ＝±1是函数f (x )的极值点， ∴x ＝±1是方程f ′(x )＝0的两根， 即x ＝±1是3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根， 由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2b3a ＝0，①c3a ＝－1 ②又f (1)＝－1， ∴a ＋b ＋c ＝－1. ③由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)由(1)知f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0， 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数， 在(－1,1)上是减函数，∴当x ＝－1时，函数取得极大值f (－1)＝1， 当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝－1.规律方法 (1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.跟踪演练2 已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1时有极值0，求常数a ，b 的值. 解 因为f (x )在x ＝－1时有极值0， 且f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去. 当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3). 当x ∈(－3，－1)时，f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )为增函数， 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值， 因此a ＝2，b ＝9.要点三 函数极值的综合应用例3 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R ). (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围. 解 (1)因为f (x )＝－x 3＋ax 2＋b ，所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3x (x －2a3).当a ＝0时，f ′(x )＝－3x 2≤0，函数f (x )没有单调递增区间；当a >0时，令f ′(x )>0，即－3x (x －2a 3)>0，解得0<x <2a 3，故函数f (x )的单调递增区间为(0，2a3)；当a <0时，令f ′(x )>0，即－3x (x －2a 3)>0，解得2a 3<x <0，故函数f (x )的单调递增区间为(2a3，0).(2)由(1)知，a ∈[3,4]时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2a 3)，单调递减区间为(－∞，0)和(2a3，＋∞).所以f (x )极大值＝f (2a 3)＝4a 327＋b ，f (x )极小值＝f (0)＝b . 由于对任意a ∈[3,4]，函数f (x )在R 上都有三个零点， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f x 极大值>0，f x 极小值<0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 327＋b >0，b <0，解得－4a 327<b <0.因为对任意a ∈[3,4]，b >－4a 327恒成立，所以b >(－4a 327)max ＝－4×3327＝－4.所以实数b 的取值范围为(－4,0).规律方法 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数. 跟踪演练3 设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝ 2.因为当x ＞2或x ＜－2时，f ′(x )＞0； 当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)； 单调递减区间为(－2，2).当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42；当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示. 所以，当5－42＜a ＜5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的实根. 所以，实数a 的取值范围是(5－42，5＋42). 当堂检测1.下列关于函数的极值的说法正确的是( ) A.导数值为0的点一定是函数的极值点 B.函数的极小值一定小于它的极大值 C.函数在定义域内有一个极大值和一个极小值D.若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数 【答案】D【解析】由极值的概念可知只有D 正确.2.已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A.－1＜a ＜2 B.－3＜a ＜6 C.a ＜－1或a ＞2 D.a ＜－3或a ＞6【答案】D【解析】f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)， 因为f (x )既有极大值又有极小值， 那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＞0， 解得a ＞6或a ＜－3.3.设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，则实数a 的值为________. 【答案】9【解析】f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a .由已知f ′(x 1)＝f ′(x 2)＝0，从而x 1x 2＝2a18＝1，所以a ＝9.。

《§1.3.2 函数的极值与导数》导教案课前部分编写人：审查：高二数学组【学习目标】1．知识与技术目标：（1）理解极大值、极小值的观点；（2）可以运用鉴别极大值、极小值的方法来求函数的极值；（3）掌握求可导函数的极值的步骤 .2．过程与方法目标：培育学生察看、剖析和归纳的能力，使学生进一步感觉数形联合思想.3.感情、态度与价值观目标进一步培育学生合作、沟通的能力和团队精神；激发学生踊跃主动地参加数学学习活动，养成优秀的学习习惯.【学习要点、难点】要点：极值的观点与求法.难点：函数在某点获得极值的必需条件和充足条件一、【复习回首】函数的单一性与其导函数正负的关系？二、【学习研究】问题：察看以下图，从图 2 中精选出与图 1 点a地点相像的点，函数y f ( x) 在这些点处的函数值与这些点邻近的函数值有什么大小关系？y f ( x) 在这些点的导数值是多少？在这些点左右双侧， y f ( x) 的导数的正负有什么规律？从图2中精选出与图1点 b 地点相像的点，并回答上述问题图 1图 2新知：极值的观点阅读教材 p27内容，自主学习函数极值的观点，回答以下问题.1.若函数 y f ( x) 在x0处存在导数，则x0左右双侧及x0处的导数知足哪些条件时x0才会是f (x)的极值点？2．函数的极值点能出此刻定义域区间的端点处吗?3．函数的极值是独一的吗？一个函数的极大值必定大于它极小值吗？提示：极值反应了函数在某一点邻近的函数值的大小状况，刻画的是函数的局部性质 . 做一做图 3 是导函数y f ( x) 的图象，函数y=f ( x)的极大值点有__, 极小值点有图 3思虑： 1. 可导函数y f (x) 在一点的导数值为0 是函数在这点取极值的什么条件？2.在导函数图象上怎么找极值点？三、【典型例题】四、【怀疑汇总】例 1求函数 y1x34x 4 的极值. 1. 我的迷惑？32. 小组合作研究后的迷惑你能总结出求极值的一般步骤吗？五、【自学总结】我的收获自我检测已知函数 f (x) 4x3ax2bx 5在 x 3与 x1时有极值，求函数的分析式.2《§1.3.2 函数的极值与导数》导教案 3 ．其余组展现的问题及成就：（评论与反省）课上部分编写人：审查：高二数学组【展现沟通】1.课上要解决的问题是：2．展现纲要：《§1.3.2 函数的极值与导数》导教案课后部分编写人：审查：高二数学组【课后反省】【课后作业】1.选修 2-2 p29练习 1、 22.第 9 课时卷子【高考链接】1.（2012 陕西 7 题 5 分）设函数 f ( x)xe x则（）A..x 1为f ( x)的极大值点B..x1为 f ( x)的极小值点C..x1为f (x)的极大值点D..x1为f ( x)的极小值点2（. 2012 重庆 8 题 5 分）设函数f ( x)在R上可导，其导数为 f ' ( x),且函数 y1 x f /x的图象如下图，则以下结论中必定建立的是（）A. 函数f x 有极大值f 2 和极小值 f 1B. 函数f x 有极大值 f2和极小值 f1C. 函数f x 有极大值f2和极小值 f2D. 函数f x 有极大值f2和极小值 f2达标检测 （限时独立达成）达标检测 （限时独立达成）．关于函数 f ( x ＝x 3－ x 2，给出命题： ．关于函数 f ( x ＝x 3－ x 2，给出命题：1 ) 3 1 ) 3 ①f ( x) 是增函数，无极值； ①f ( x) 是增函数，无极值； ②f ( x) 是减函数，无极值；②f ( x) 是减函数，无极值；③f ( x) 的递加区间为 ( －∞， 0) ，(2 ，＋∞ ) ，递减区间为 (0,2) ；③f ( x) 的递加区间为 ( －∞， 0) ， (2 ，＋∞ ) ，递减区间为 (0,2) ；④f (0) ＝0 是极大值， f (2) ＝－ 4 是极小值． ④f (0) ＝ 0 是极大值， f (2) ＝－ 4 是极小值． 此中正确的命题有 ( )此中正确的命题有 ( )A ．1 个B ．2 个A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个C ．3 个D ．4 个．函数 f ( x 的定义域为开区间 ( a ，b ，导函数 f ′(x ) 在 ( a ， b 内的图象如图所．函数 f x 的定义域为开区间 ( a ，b ，导函数 f ′(x 在 a ， b 内的图象如图所2 ) )) 2 ( ) )) ( )示，则函数f x 在开区间(a ，b 内有极小值点()示，则函数 f (x 在开区间(a ，b内有极小值点()( ))))A ．1 个B ．2 个A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个C ．3 个D ．4 个3 2 在 x3 时有极值 10，则 a 的值为3 2在 x3 时有极值 10，则 a 的值为3. 函数 f (x) xax 3x 9 3. 函数 f ( x) x ax 3x 9．已知函数 y ＝ x 3 ＋ax 2＋bx ＋ 27在 x ＝－ 1处有极大值，在 x ＝ 3处有极小值，则 ．已知函数 y ＝x 3＋ ax 2＋ bx ＋ 27在 x ＝－ 1处有极大值，在 x ＝ 3处有极小值，则44a ＝，b ＝________.a ＝，b ＝________.____________。

1.3.2 函数的极值与导数（第一课时）一、教学目标1、知识与技能1 结合函数图像，了解可导函数在某点取得极值的条件；2 理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值 ；3 掌握求可导函数的极值的步骤 2、过程与方法经历函数极值点的探究过程，总结用导数研究函数极值的方法 3、情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识，进一步体验导数的作用。

二、教学重点、难点重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及利用导数求可导函数的极值的步骤 难点：对极大、极小值概念的理解三、教学过程设计 （一）课前准备 合作预习1．通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？ 函数()y f x =在某个区间为可导函数，若()0,()f x f x '>⇒函数在这个区间上是增函数； 若()0,()f x f x '<⇒函数在这个区间上是减函数 2．用“导数法”求单调区间的步骤： ①求函数定义域；②求出函数的导函数()f x '；③解不等式()0>'x f ，求得其解集，再根据解集写出函数()x f 单调递增区间； 解不等式()0<'x f ，求得其解集，再根据解集写出函数()x f 单调递减区间注：单调区间不能以并集出现设计意图：回忆函数的单调性与导数的关系，同时也为本节课的学习做好铺垫3如图表示高台跳水运动员的高度h 随时间t 变化的函数()105.69.42++-=t t t h 的图像,a t =时，高台跳水运动员距水面的高度最大问题1 函数()t h 在a t =处的导数是多少？问题 2 函数()t h 在此点附近的图像有什么特点？导数符号有什么变化规律？问题3 函数()t h 在点a 处的函数值与点a 附近的函数值有什么关系 设计意图：用高台跳水的例子，与上节课形成呼应，引导学生提出和思考新的问题，发展学生的数学应用意识（二）预习反馈 （三）合作探究新知探究一：极值的定义 1、观察函数()x f y =的图像 问题：（1）函数 ()x f y =在点b x a x ==,的处函数值与它们附近所以各点处的函数值有什么关系（2）函数()x f y =在点b x a x ==,的导数值是多少（3）在点b x a x ==,附近, ()x f y =的导数的符号有什么规律 形成定义：函数()y f x =在点a x =的函数值()f a 在比它在点a x =附近其他点的函数值都小，()0f a '=，且在点a x =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值函数()y f x =在点b x =的函数值()f b 在比它在点b x =附近其他点的函数值都大，()0f b '=，且在点b x =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，把点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值yxa ob()y f x =(图一))(>'x f 0)(<'x f 0)(<'x f 0)(='a f 0)(='b f探究二、极值概念的理解 2、观察图二，回答以下问题： 问题1：找出图中的极值点，并说明哪些点为极大值点，哪些是极小值点？ 问题2：极大值一定大于极小值吗？问题3：函数在其定义域内的极大值和极小值具有唯一性吗？问题4：区间的端点能成为极值点吗？【关于极值概念的几点说明】1极值是一个局部概念,反映了函数在某一点附近的大小情况; 2极值点是自变量的值,极值指的是函数值;3函数的极大小值可能不止一个,而且函数的极大值未必大于极小值; 4函数的极值点一定在区间的内部,区间的端点不能成为极值点设计意图：通过对图二的观察使学生经历感知，观察发现、归纳类比的思维过程，理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法。

课题：1.3.2函数的极值与导数〖教材分析〗本节课是人教A版数学选修2-2教材中导数应用的第二节，通过第一节利用导数判断函数的单调性的学习，学生已经了解了导数在函数中的初步应用，为了培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，本节课将继续学习函数的极值与导数的关系，让学生了解极值点、极值的概念后探索取得极值的条件，并在此基础上重点学会如何求函数的极值. 是上节内容的延续和深化，也为下节利用导数知识求函数的最值做了铺垫，在本章起着承上启下的作用. 因此制定本节课的教学目标为：〖教学目标〗1、理解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质2、掌握利用导数求函数极值的方法以及求可导函数的极值的步骤3、经历导函数的零点与原函数的极值点并不等价的探究过程，并总结用导数研究函数极值的方法与注意事项4、感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，会借助导数去分析和思考问题，培养导数应用的意识5、培养学生的探索精神和严谨的科学态度〖学情分析〗学生进入高二下，学习紧迫感比高一强烈，理科学生动手动脑能力还是较强的，学生求知欲与表现欲也很强，大部分同学能很好做到课前预习后再听课，课上积极思考并踊跃发言，但思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学的视野的拓展，因此问题的铺设很关键. 学生在学习本节知识时，最容易出错的地方是将导函数的零点与原函数的极值点当作一回事，基于此，确立本节课的重难点为：〖教学重难点〗【重点】函数极值点的判断方法和求解步骤【难点】导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解〖教具教法〗多媒体课件，问题引导、探究发现式教学〖课堂模式〗设计学案，借助多媒体辅助教学，增强课堂教学的生动性与直观性，打造高效课堂。

〖教学基本流程〗〖教学过程〗一、复习引入[师]：通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？ [生答]： 函数()y f x =在x 的定义域内的某个开区间内可导， 若'()0f x >⇒()f x 在这个区间上是增函数； 若'()0f x <⇒()f x 在这个区间上是减函数.【设计意图】回忆函数的单调性与导数的关系，同时也为本节课的学习做好铺垫.二、导入新课[师]：高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系为2()5510h t t t =-++. 此函数是二次函数，当12t =时，运动员距水面的高度最大. 问：（1）函数()h t 在此点处的导数值为多少？ （2）此点附近区域内的图象有什么特点？ （3）导数的符号有什么变化规律？[生答]：（1）函数h （t ）在此点处的导数值为0； （2）此点左边是增函数，右边是减函数；（3）当x 从小到大经过此点时，h ’（x ）的符号先正后负【设计意图】用高台跳水的例子，与上节课形成呼应，引导学生提出和思考新的问题，发展学生的数学应用意识三、共探新知〖探究一〗极值的定义[师]★问题1：对于这一事例是这样，更为一般的函数()y f x =，是否也有同样的性质呢？（图1） （图2）〖引导思考1〗如图1，函数()y f x =在a 点的函数值与它附近区域内的点的函数值之间有什么关系？在a 点处的导数值为多少？它附近区域导数的符号有什么变化规律？[生]答：函数y=f （x ）在a 点的函数值比它在点a 附近区域内其他点的函数值都小，f’（a ）=0，而且在点a 附近左侧f’（x ）<0，在点a 附近右侧f’（x ）>0.〖引导思考2〗函数()y f x =在b 点的函数值与它附近区域内的点的函数值之间有什么关系？在b 点处的导数值为多少？它附近区域导数的符号有什么变化规律？[生]答：函数y=f （x ）在b 点的函数值比它在点b 附近区域内其他点的函数值都大，f’（b ）=0，而且在点b 附近左侧f’（x ）>0，在点a 附近右侧f’（x ）<0.四、形成概念〖引导思考3〗如图2，图中c 、d 、e 、f 、g 、h 等点中哪些点与图1中a 点有相同的特征？ c 、e 、g ；哪些点又与图1中b 点有相同的特征？ d 、f 、h .〖引导思考4〗图1中的a 点是函数()y f x =的最小值点吗？为什么？ [生]：不是，没有最小值.[师]：如果在a 点附近很小的一个区间内，点a 是函数()y f x =的最小值点吗? [师生共同思考，形成新的概念]：图1中，把a 点叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；同理，把b 点叫做函数的极大值点， f(b) 叫做函数的极大值.注：极小值点、极大值点统称为 极值点 ，极大值与极小值统称为 极值 . 【设计意图】用两个例子使学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法. 两种情况分析一种，另一种鼓励学生用类比的方法自己归纳，通过思考与讨论，知道极值刻画的是函数的局部性质，进一步理解极值点和极值的含义.五、深化概念[师]★问题2：上述函数()y f x =在极点处的导数值有什么特征？ [生答]：导数值为0〖引导思考5〗所有函数的极值点处的导数都是0吗？ [生答]：不一定（举例y =|x |），注：高中阶段一般都是寻求可导函数的极值点[师]★问题3：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？为什么？ [生答]：不一定（举例y =x 3）对于可导函数，0'()0f x =是0x 为极值点的 必要不充分 条件.【设计意图】通过层层追问，引导学生从正反方向辨析极值的概念，突破难点，强化重点，同时培养学生的观察、概括及表达能力，帮助学生进一步了解极值点和极值的含义.〖探究二〗利用导数判别函数的极大（小）值[师]★问题4：若函数()y f x =在0x 处取得极值，如何知道0x 是极大值点还是极小值点？〖引导思考6〗极大值点附近区域的左右两边图象有什么特征？附近区域导数的符号有什么变化规律？[师生共同归纳]一般地，当函数f (x )在点x 0处光滑连续不断时，判别f (x 0)是极大（小）值的方法是： 解方程'()0f x =，当0'()0f x =时，（1）如果在x 0附近的左侧f’（x ）>0，右侧f’（x ）<0，那么f (x 0)是极大值； （2）如果在x 0附近的左侧f’（x ）<0，右侧f’（x ）>0，那么，f (x 0)是极小值.体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.六、范例解析【例一】 求函数31()443f x x x =-+的极值.〖点评〗求可导函数f (x )的极值的步骤： ⑴ 求导函数f '(x )；⑵ 求方程 f '(x )＝0在函数f (x )的定义域内的根； ⑶ 检查f '(x )在方程根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值； 如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 【设计意图】 通过对典型例题的板演，让学生明确求极值的方法，突出本节课的重点.培养学生规范的表达能力，形成严谨的科学态度.〖练习〗下面几种说法中正确的是__________（填写正确选项序号） ① 点（282,3-）函数31()443f x x x =-+的极大值点 ② 函数()f x 的极大、极小值是唯一确定的 ③ 函数()f x 的极大值一定大于它的极小值④ 函数()f x 的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点⑤ 函数()f x 是连续不断的光滑曲线，且有两个极大值点，则在两个极大值点之间一定有一个极小值点【例二】 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数'()f x 在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点共有( )AA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个〖引导思考7〗 从上图可以看出导函数的零点一定是原函数的极值点吗？什么样的零点才是极值点？ 答：不一定，导函数中 “相交型”（穿过型）的零点才是极值点，“（同侧）相切型”的零点不是极值点（拐点）.【例三】 函数322()f x x ax bx a =+++在1x =时有极值10，则a 的值为（ ）BA. -3或4B. 4C. -3D. 3或4【设计意图】 例二、例三两题重在易错点的梳理，给不同层次的学生提供了不同的收获，进一步分解本课的难点.【例四】已知函数32()335f x x ax bx =+++在x=2处有极值，且其图象在1x =处的切线与直线6250x y ++=平行.（1）求函数的单调区间；.（2）求函数()f x 的零点的个数.（3）若关于x 的方程()=f x m 有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.【设计意图】 通过例四，进一步突出重点.使学生从感性认识升华到理性认识.七、举一反三1、求下列函数的极值（1）3()612f x x x =+-；（2）()ln f x x x =-.2、若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取得极值，则a =__________.【设计意图】通过练习，进一步突出重点，使学生从感性认识升华到理性认识.八、小结提升[师问生答，师生共同回忆]1、口答：极值点是如何定义的？如何求极大、极小值点？2、可导函数的极值点一定是导函数的_______？反之也成立吗？3、你还可以通过其他方法判断导函数的零点是否为极（大、小）值点吗？（这一问是否太难了？）答：对导函数在零点处进行二次求导，若大于0，则是极小值；若小于0，则是极大值.(此条件不是充要的) 4、（带着此问题预习下一课时）极值与最值有关系吗？[板书设计]：通过板书，给同学们留下深刻的印象，帮助学生构建清晰的知识体系.备课反思本节课内容介绍极值的概念，学会求函数的极值，课时1课时.因为是初次接触极值概念，所以本节课重在极值概念的理解渗透，以及函数的极值点与导函数零点并不等价关系的探析，因此并没有涉及各种类型函数极值的求解以及过多强调极值的应用，这些内容将安排在最值概念讲解完后再深入学习.我们目前研究的基本都是可导函数的极值，因此求极值时第一步先求导函数的零点，再辨别此零点是否是原函数的极值点，或是极大极小值点.导函数的零点只是它成为极值点的必要条件，还必须具备“穿过x轴”这一特征，所以必须从零点的左右附近进行考量，这也是本节课的重点及难点所在.对于这个课题，最纠结的是本课如何引入？本设计选用开门见山式的复习导入，目的是为了直指问题核心，同时又能跟上节课“用导数研究函数的单调性”紧密结合，一气呵成.前面的问题1到引导思考4的安排尊重了教材的呈现方式，问题2与3的安排把教材的思考提前了，目的在于不打断思路，对概念进行正反辨析，加强概念深层次的理解，同时也引出对极大、极小值具体判断的深入——由图象特征再到导数规律.之后用例一巩固新知，并归纳求极值的一般步骤.例二、例三的安排是对本节课难点的突破，引导学生进一步理解为何导函数零点只是原函数的极值点的必要条件，并在导函数的图象上得到判别极值点的另一方法——二次求导.此方法在教材上没有出现，理解起来也有一定的难度，因此用例二和引导思考7与8进行了铺垫，给同学们以新的视角，激发导数应用意识.例四是对整节课的重难点的再次强化，第二问初步体现了极值的运用.整节课的备课过程中我们一直在思考以下一些问题：（1）课程顺序的安排是否妥当，重难点的处理是否符合学生的认知规律？（2）这堂课的备课整体上常规化，课堂引入的不足和课堂创新上没有带来耳目一新的感觉，使得本节课难有亮点，因此只能在课堂生成上出彩，这个风险性较大，如果借班上课必难有把握.（3）一直纠结问题3要不要问，课本上没有强调函数在极点处不可导的情况，我们参考了高等数学上的讲法，但怕偏离主题，这里仍然是值得商榷的.（4）例二、例三两题的选题和设置应该是很紧凑的，大家认为放在这很好，但是否有些冲淡重点主题？（5）本节课的小结仍然是学生归纳，老师补充并发问的形式，能否有更好的方法？（6）小结中的问3的设置是想激发学生的思维，如何设问是成败的关键，如果学生自己想不到二次求导，最后就变成教师自己说出来了，这样问题的设置也就失败了，所以怎么问呢？问4恰好又跟最值有关，作为下一节课的设问伏笔，这样安排应该比较妥当.教后反思（略）。

1.3.2函数的极值与导数一、教材分析《函数极值>>是高中数学人教版版新教材选修2-2第一章第三节，在此之前我们已经学习了导数，这为我们学习这一节起着铺垫作用。

二、教学目标 1. 教学目标（1） 知识技能目标：掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法及步骤；了解可导函数极值点0x 与)(0x f '=0的逻辑关系；培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力.（2）过程与方法目标：培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。

（3）情感与态度目标：培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神； 体会数学中的局部与整体的辨证关系. 2．教学重点和难点重点：掌握求可导函数的极值的一般方法. 难点： 0x 为函数极值点与)(0x f '=0的逻辑关系 3．教学方法与教学手段师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。

由于学生对极限和导数的知识学习还十分的有限（大学里还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明，教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥.利用多媒体辅助教学，直观形象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率.4、教学过程3 再观察再认识再观察跳水在波峰时的状态.寻找函数极值点与导数之间的关系.不难得出：(1)曲线在极值点处切线的斜率为0；(2)曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切复习可导函数在定义域上的单调性与函数极值的相互关系；教师引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系.给出寻找和判断可导函数的极值点的方法：(1) 如果在x附近的左侧()f x'﹥0，右侧()f x'﹤0,那么,)(xf'是极大值；(左正右负为极大)(2) 如果在x附近的左侧()f x'﹤0,右侧()f x'﹥0,那么,)(xf'是极小值.(右正左负为极小)根据大纲要求及学生的知识水平,此处突出直观性,降低理论性.4应用1 求函数)(xf=44313+-xx的极值.教师讲解与板书解题过程,学生回答教师提出的相关问题。

《函数的极值与导数》教案§1.3.2函数的极值与导数（1）【教学目标】1．理解极大值、极小值的概念．2．能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值． 3．掌握求可导函数的极值的步骤．【教学重点】极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤． 【教学难点】对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤． 【内容分析】对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明．并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的． 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法．判断极值点的关键是这点两侧的导数异号． 【教学过程】一、复习引入：1． 函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内/y >0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内/y <0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数．2．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间． 二、讲解新课：1．极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)．就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．请注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值． 5． 求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) ． (2)求方程f ′(x )=0的根．(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值三、讲解范例：例1求y =31x 3－4x +4的极值． 解：y ′=(31x 3－4x +4)′=x 2－4=(x +2)(x －2) ．令y ′=0，解得x 1=－2，x 2=2． 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表．∴当x =－2时，y 有极大值且y 极大值=328．当x =2时，y 有极小值且y 极小值=3例2求y =(x 2－1)3+1的极值．解：y ′=6x (x 2－1)2=6x (x +1)2(x －1)2令y ′=0解得x 1=－1，x 2=0，x 3=1．当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表．∴当x =0时，有极小值且极小值=0求极值的具体步骤：第一，求导数f ′(x )．第二，令f ′(x )=0求方程的根，第三，列表，检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值，如果左右都是正，或者左右都是负，那么f (x )在这根处无极值．如果函数在某些点处连续但不可导，也需要考虑这些点是否是极值点． 四、课堂练习：1．求下列函数的极值．(1)y =x 2－7x +6 (2)y =x 3－27x(1)解：y ′=(x 2－7x +6)′=2x －7令y ′=0，解得x =27．当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表．∴当x =27时，y 有极小值，且y 极小值=－425． (2)解：y ′=(x 3－27x )′=3x 2－27=3(x +3)(x －3)令y ′=0，解得x 1=－3，x 2=3．当x∴当x =－3时，y 有极大值，且y 极大值=54． 当x =3时，y 有极小值，且y 极小值=－54． 五、小结 ：函数的极大、极小值的定义以及判别方法．求可导函数f (x )的极值的三个步骤．还有要弄清函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续．可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号．函数的不可导点可能是极值点． 六、课后作业：§1.3.2函数的极值与导数（2）【课 题】函数的极值（2）【教学目标】熟练掌握求可导函数的极值的步骤，灵活应用．【教学重点】极大、极小值的判别方法，求可导函数的极值的步骤的灵活掌握． 【教学难点】求可导函数的极值． 【教学过程】1．用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数f ′(x )． ②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间．③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间．2．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点．3．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点．4．极大值与极小值统称为极值，注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（ⅱ）函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ．（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．5． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值． 6． 求可导函数f (x )的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x ) ； (2)求方程f ′(x )=0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值． 二、讲解范例：例1 对可导函数，在一点两侧的导数异号是这点为极值点的（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：C ． 充要条件．由极大、极小值的判别方法可以知道是充分条件． 由极大值点的定义，任意x ＜x 0，f (x )＜f (x 0)．所以左侧是增函数，所以f ′(x )＞0，任意x ＞x 0，f (x )＜f (x 0)． 所以右侧是减函数，所以f ′(x )＜0，所以x 0两侧的导数异号． 当x 0是极小值时，同样可以证明．例2下列函数中，x =0是极值点的函数是(B)A ．y =－x 3B ．y =cos 2xC ．y =tanx －xD ．y =x1 分析：做这题需要按求极值的三个步骤，一个一个求出来吗？不需要，因为它只要判断x =0是否是极值点，只要看x =0点两侧的导数是否异号就可以了．解：A ． y =－x 3，∵y ′=(－x 3)′=－3x 2，当x ＜0或x ＞0时，y ′＜0，∴x =0不是极值点．B ． y =cos 2x ． ∵y ′=(cos 2x )′=2cosx (－sinx )=－sin 2x ． 当x ＜0时，－sin 2x ＞0，y ′＞0． 当x ＞0时，－sin 2x ＜0，y ′＜0．∴x =0是y =cos 2x 的极大值点．C ．y =tanx －x ，y ′=(tanx －x )′=x2cos 1－1,当x ＜0或x ＞0时，0＜cos 2x ＜1，y ′＞0．∴x =0不是极值点．D ． y =x 1． y ′=(x 1)′=－21x, 当x ＜0或x ＞0时y ′＜0，∴x =0不是极值点，故选B ．例3 下列说法正确的是(C)A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大．B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值．C ．对于f (x )=x 3+px 2+2x +1，若｜p ｜＜6，则f (x )无极值．D ．函数f (x )在区间(a ，b )上一定存在最值．答案：C ．∵f (x )=x 3+px 2+2x +1．∴f ′(x )=3x 2+2px +2．∵Δ=4p 2－4×3×2=4(p 2－6)． 若｜p ｜＜6．则Δ＜0，∴f ′(x )=0无实根，即f ′(x )＞0， ∴f (x )无极值．选项A 、B 、D 可以通过举出反例说明是假命题． 例4 函数f (x )=asinx +31sin 3x 在x =3π处具有极值，求a 的值． 分析：f (x )在x =3π处有极值，根据一点是极值点的必要条件可知，f ′(3π)=0可求出a的值．解：f ′(x )=(asinx +31sin 3x )′=acosx +cos 3x ∵f ′(3π)=0，∴a ·cos3π+cos 3×3π=0，21a －1=0，∴a =2． 例5 y =alnx +bx 2+x 在x =1和x =2处有极值，求a 、b 的值． 解：y ′=(alnx +bx 2+x )′=xa+2bx +1．∵y ′｜x =1=0，y ′｜x =2=0． ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=++61320142012b a b a b a ． 例6 确定函数y =12+x x的单调区间，并求函数的极大、极小值． 解：y ′=222222222)1()1)(1()1(1)1(21)1(+-+=+-=+⋅-+='+x x x x x x x x x x x 令22)1()1)(1(+-+x x x ＞0，解得－1＜x ＜1．∴y =12+x x的单调增区间为(－1，1)．令22)1()1)(1(+-+x x x ＜0，得x ＜－1或x ＞1，∴y =12+x x减区间为(－∞，－1)与(1，+∞)．令y ′=22)1()1)(1(+-+x x x =0，解得x 1=－1，x 2=1． 当x 变化时，′，的变化情况如下表：∴当x =－1时，y 有极小值，且y 极小值=－21，当x =1时，y 有极大值，且y 极大值=21． 例7 求函数y =25431xx ++的极值与极值点．解：y ′=(25431xx ++)′232222)54(5125454210)31(543x x x x xx x +-=+++-+=，令y ′=0，解得x =512． x 变化时，y′，y 的变化情况如下表：∴当x =512时，y 有极大值，且y 极大值=10．例8 求函数y =x 2lnx 的极值．解：定义域为(0，+∞)，y ′=(x 2lnx )′=2xlnx +x 2·x1=2xlnx +x =x (2lnx +1)． 令y ′=0，得x =21-e．当x∴当x =21-e时，y 有极小值，且y 极小值=－e21． 三、课堂练习：求下列函数的极值．1．y =2x 2+5x ．解：y ′=(2x 2+5x )′=4x +5． 令y ′=0，解得x =－45． 当x 变化时，当x =－45时，y 有极小值，且y 极小值=－825．2．y =3x －x 3．解：y ′=(3x －x 3)′=3－3x 2=3(1+x )·(1－x )．令y ′=0，解得x 1=－1，x 2=1． 当x当x =极小值极大值四、小结 ：这节课主要复习巩固了求可导函数的极值的方法，以及有关极值问题的题目，注意极大、极小值与最大、最小值的区别 极值点的充分条件、必要条件． 五、课后作业：风，没有衣裳；时间，没有居所；它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且，还有诗和远方的田野。

§1.3.2函数的极值与导数（2课时）教学过程：一．创设情景观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大t a =附近函数()h t 的图像，如图3.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=．对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号二．新课讲授2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图 3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．（课本例4）求()31443f x x x =-+的极值 解： 因为()31443f x x x =-+，所以 ()'24(2)(2)f x x x x =-=-+。

§1．3．2函数的极值与导数（1课时）【学情分析】：在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。

在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。

【教学目标】：（1）理解极大值、极小值的概念.（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值.（3）掌握求可导函数的极值的步骤【教学重点】：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.【教学难点】：极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤教学环节教学活动设计意图创设情景观察图3.3-8，我们发现，t a=时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大t a=附近函数()h t的图像，如图3.3-9．可以看出()h a'；在t a=，当t a<时，函数()h t单调递增，()0h t'>；当t a>时，函数()h t单调递减，()0h t'<；这就说明，在t a=附近，函数值先增（t a<，()0h t'>）后减（t a>，()0h t'<）．这样，当t在a的附近从小到大经过a时，()h t'先正后负，且()h t'连续变化，于是有()0h a'=．对于一般的函数()y f x=，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号利用教材在§3.3.1中的例1引入函数的极值概念①观察y=f(x)的图像在x=1点的函数值f(1)与x=1附近的其他点的函数值的特征，并描述在x=1点及其附近导数的正负：f(1)在x=1点及其附近是最小——'(1)0f=；y=f(x)在x=1附近的左侧是单减的——'()0f x<；y=f(x)在x=1附近的右侧是单增的——'()0f x>；提问：y=f(x)在x=1处是否整个函数的最小值？不是，只是y=f(x)在x=1处附近的局部最小值②观察y=f(x)的图像在x=4点的函数值f(4)与x=4附近的其他点的函数值的特征，并描述在x=4点及其附近导数的正负：学生模仿完成考虑到极值与最值容易混淆，学生对已有知识的同化易接受，我们以§3.3.1中的例1引出极值的概念，具体直观，同时对极值与最值区分是一目了然的。

1.3.2 函数的极值与导数教学建议1.教材分析本节让学生结合实际,探索函数的极值与导数之间的关系,并用大量的函数图象,让学生直观感受函数在某些特殊点(极值点)的函数值与附近点函数值大小的关系,以及在这些点附近函数的增减情况和导数值的关系.本节的重点是求函数极值的方法,难点是函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.主要问题及教学建议(1)从函数的单调性到极值.建议教师利用实例并结合大量的函数图象,让学生观察,并感受在导数为0的点的两侧导数值与函数增减性的关系,并具体说明,给出极大值和极小值的概念.要强调极值反映的是函数在某点附近的性质,是局部性质,而且极大值不一定大于极小值.(2)函数极值的求法.建议教师在学生掌握极值的概念的基础上,建立极值和导数的联系,通过例子讲解归纳出求函数极值的方法和步骤.备选习题1.如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:(1)函数y=f(x)在区间内单调递增;(2)函数y=f(x)在区间内单调递减;(3)函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;(4)当x=2时,函数y=f(x)有极小值;(5)当x=-时,函数y=f (x)有极大值.则上述判断中正确的是.解析:由导函数的图象知:当x∈(-∞,-2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-2,2)时,f'(x) >0,f(x)单调递增;当x∈(2,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;在x=-2时,f(x)取极小值;在x=2时,f(x)取极大值;在x=4时,f(x)取极小值;所以只有(3)正确.答案:(3)2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-2处取得极值,并且它的图象与直线y=-3x+3在点(1,0)处相切,求a,b,c的值.解:因为f'(x)=3x2+2ax+b,所以f'(-2)=3×(-2)2+2a(-2)+b=0.所以12-4a+b=0.又f'(1)=3+2a+b=-3,所以a=1,b=-8.又f(x)过(1,0)点,所以13+a×12+b×1+c=0,所以c=6.3.已知a∈R,讨论函数f(x)=e x(x2+ax+a+1)的极值点的个数.解:f'(x)=e x(x2+ax+a+1)+e x(2x+a)=e x[x2+(a+2)x+(2a+1)].令f'(x)=0,得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.(1)当Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0,即a<0或a>4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个不同的实根x1,x2,不妨设x1<x2,∴f'(x)=e x(x-x1)(x-x2).当x变化时,f'(x),f(x)即此时f(x)有两个极值点.(2)当Δ=0,即a=0或a=4时,方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有两个相同的实根x1=x2, ∴f'(x)=e x(x-x1)2.∴当x<x1时,f'(x)>0;当x>x1时,f'(x)>0.∴f(x)无极值点.(3)当Δ<0,即0<a<4时,x2+(a+2)x+(2a+1)>0,f'(x)=e x[x2+(a+2)x+(2a+1)]>0,∴f(x)为增函数,此时f(x)无极值点.综上所述,当a>4或a<0时,f(x)有两个极值点;当0≤a≤4时,f(x)无极值点.。

§1.3.2函数的极值与导数（2课时）教学目标：1.理解极大值、极小值的概念；2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.教学过程：一．创设情景观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？放大t a =附近函数()h t 的图像，如图3.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=．对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号二．新课讲授2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图 3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x =处，'0()0f x <，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减． 结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x =单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x =的定义域；（2）求导数''()y f x =；（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．（课本例4）求()31443f x x x =-+的极值解： 因为()31443f x x x =-+，所以()'24(2)(2)f x x x x =-=-+。