人教版八年级数学上册课堂练习 第十三章 13.3 等腰三角 第三课时

2018年秋八年级数学上册第十三章《轴对称》13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形13.3.1.2 等腰三角形的判定课时作业（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋八年级数学上册第十三章《轴对称》13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形13.3.1.2 等腰三角形的判定课时作业（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第2课时等腰三角形的判定知识要点基础练知识点1等腰三角形的判定1.在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为(B）A。

70° B.35°C.110°或35°D.110°2.下面几个三角形中，不可能是等腰三角形的是(B）A.有两个内角分别为75°和75°的三角形B.有两个内角分别为110°和40°的三角形C。

有一个外角为100°,一个内角为50°的三角形D。

有一个外角为80°，一个内角为100°的三角形3.如图,把一张对边平行的纸条如图折叠,重合部分是等腰三角形.知识点2等腰三角形的性质与判定的综合运用4。

如图,AD⊥BC,D为BC的中点,以下结论正确的有(D）①△ABD≌△ACD;②AB=AC;③∠B=∠C;④AD是△ABC的角平分线。

八年级数学上册第十三章轴对称13.3等腰三角形13.3.1等腰三角形第1课时等腰三角形的性质练习1（新版）新人教版第1课时等腰三角形的性质一．选择题（共8小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A． BD=CE B． AD=AE C． DA=DE D． BE=CD2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80° B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A． 20或16 B． 20 C． 16 D．以上答案均不对4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是（）A．60°B．70°C．75°D．80°5．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（）A． 8 B． 9 C． 10或12 D． 11或136．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°7．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A． 7 B．11 C． 7或11 D． 7或108．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120° C． 60°或150° D．60°或120°二．填空题（共10小题）9．已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是_________ ．10．如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD=_________ ．第10题第11题第12题第13题11．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外角∠DAC=130°，则∠B=_________ °．12．如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A=________°．13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=_________ ．14．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC=_________°．第14题第15题第16题第17题第18题15．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE=10cm，则AB+BD= _________ cm．16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为_________．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C=_________ ．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=_________ 度．三．解答题（共5小题）19．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：AD=AE．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：（1）△ABD≌△ACD；（2）BE=CE．21．如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．22．如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC？（用序号写出所有的情形）（2）选择（1）小题中的一种情形，说明AB=AC．23．（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？（2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想．13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质一、CBBCDCCD二、9、50°，50°或80°，20°；10、44；11、65；12、40；13、3；14、69；15、10；16、72；17、70；18、50三、19、证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ODB=∠OEC=90°．∵O是底边BC上的中点，∴OB=OC，在△OBD与△OCE中，∴△OBD≌△OCE（AAS）．∴BD=CE．∵AB=AC，∴AB﹣BD=AC﹣CE．即AD=AE．20、证明：（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△A BD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）；…（4分）（2）由（1）知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE （SAS），∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）．（其他正确证法同样给分）…（4分）21、解：OE⊥AB．证明：在△B A C和△ABD中，，∴△BAC≌△ABD（SAS）．∴∠OBA=∠OAB，∴OA=OB．又∵AE=BE，∴OE⊥AB．答：OE⊥AB．22、（1）答：有①③、①④、②③、②④共4种情形．（2）解：选择①④，证明如下：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，又∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AC=AB．②④理由是：在△BEO和△CDO中∵，∴△BEO≌△CDO，∴∠EBO=∠DCO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，23、解：（1）成立；∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠4．∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6．∴∠1=∠3，∠6=∠5．根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF，EF=CE．∴DE=DF+EF=BD+CE．故成立．（2）∵BF分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC．∵DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC．∴∠ABF=∠DFB，∴BD=DF．∵CF平分∠AC G，∴∠ACF=∠FCG．∵DF∥BC，∴∠DFC=∠FCG．∴∠ACF=∠DFC，∴CE=EF．∵EF+DE=DF，即DE+EC=BD．。

人教版八年级上册数学习题13.3 答案1．(1) 35 度， 35°；(2)解：当 80°的角是等腰三角形的一个底角时，那么等腰三角形的另一个底角为 80°，根据三角形的内角和定理可以求出顶角为 180°-80 °-80 °=20°；当80°的角是等腰三角形的顶角时，那么它的两个底角相等，均为1/2〔 180°-80 °〕=50°．综上，等腰三角形的另外两个角是20°，80°或 50°，50°．2.3．解：∵五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，∴每个底角的度数是1/2 ×〔180°- 36 〕°=72°．∴∠ AMB=180° -72 °108°．4．5．证明： CE//DA, ∴∠ A=∠ CEB.6.7．8．：如图 13 -3-29 所示，点 P 是直线 AB 上一点，求作直线CD ，使 CD ⊥AB 于点 P.作法： (1)以点 P 为圆心作弧交 AB 于点 E，F,(2)分别以点 E，F 为圆心，大于 1/2EF 的长为半径作弧，两弧相交于点 C，过C， P 作直线 CD，那么直线 CD 为所求直线．9．解：他们的判断是对的．理由：因为等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合．10．11.作法： (1)以点 P 为圆心作弧交 AB 于点 E，F,(2)分别以点 E，F 为圆心，大于 1/2EF 的长为半径作弧，两弧相交于点 C，过C， P 作直线 CD，那么直线 CD 为所求直线．9．解：他们的判断是对的．理由：因为等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合．10．11.作法： (1)以点 P 为圆心作弧交 AB 于点 E，F,(2)分别以点 E，F 为圆心，大于 1/2EF 的长为半径作弧，两弧相交于点 C，过C， P 作直线 CD，那么直线 CD 为所求直线．9．解：他们的判断是对的．理由：因为等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合．10．11.作法： (1)以点 P 为圆心作弧交 AB 于点 E，F,(2)分别以点 E，F 为圆心，大于 1/2EF 的长为半径作弧，两弧相交于点 C，过C， P 作直线 CD，那么直线 CD 为所求直线．9．解：他们的判断是对的．理由：因为等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合．10．11.作法： (1)以点 P 为圆心作弧交 AB 于点 E，F,(2)分别以点 E，F 为圆心，大于 1/2EF 的长为半径作弧，两弧相交于点 C，过C， P 作直线 CD，那么直线 CD 为所求直线．9．解：他们的判断是对的．理由：因为等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合．10．11.作法： (1)以点 P 为圆心作弧交 AB 于点 E，F,(2)分别以点 E，F 为圆心，大于 1/2EF 的长为半径作弧，两弧相交于点 C，过C， P 作直线 CD，那么直线 CD 为所求直线．9．解：他们的判断是对的．理由：因为等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合．10．11.作法： (1)以点 P 为圆心作弧交 AB 于点 E，F,(2)分别以点 E，F 为圆心，大于 1/2EF 的长为半径作弧，两弧相交于点 C，过C， P 作直线 CD，那么直线 CD 为所求直线．9．解：他们的判断是对的．理由：因为等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合．10．11.。

《13．3．1 等腰三角形》课时练一、选择题1．已知下列各组数据，可以构成等腰三角形的是（ ）A ． 1，2，1B ． 2，2，1C ． 1，3，1D ． 2，2，52．如图，在下列三角形中，若AB AC =，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )A ．(1)(2)(3)B ．(1)(2)(4)C ．(2)(3)(4)D ．(1)(3)(4)3．下列能判定ABC 为等腰三角形的是( )A ．40,50AB ∠=︒∠=︒B ．270A B ∠=∠=︒C ．40,70A B ∠=︒∠=︒D ．3,6,AB BC ==周长为144．如图，在ABC 中，,AB AC D =是BC 的中点，下列结论不正确的是( )A ．2AB BD = B ．AD BC ⊥ C ．AD 平分BAC ∠ D ．B C ∠=∠5．如图，在ABC 中，,105AC DC DB ACB ==∠=︒，则B ∠的大小为( )A ．15°B ．20°C ．25°D ．40°6．下列能断定△ABC 为等腰三角形的是（ ）A ． ∠A=30°，∠B=60°B ． ∠A=50°，∠B=80°C．AB=AC=2，BC=4D．AB=3，BC=7，周长为137．下列说法中：（1）顶角相等，并且有一腰相等的两个等腰三角形全等；（2）底边相等，且周长相等的两个等腰三角形全等；（3）腰长相等，且有一角是50°的两个等腰三角形全等；（4）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．已知：如图，下列三角形中，AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A．①③④B．①②③④C．①②④D．①③二、填空题9．如图，△ABC是等腰三角形，且AB=AC，BM，CM分别平分∠A BC，∠ACB，DE经过点M，且DE∥BC，则图中有_______个等腰三角形．10．在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是_________．11．在△ABC中，∠A=100°，当∠B=_________°时，△ABC是等腰三角形．12．如图，在△ABC中AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1=_________度，图中有_________个等腰三角形．13．如图，,36,AB AC C AC =∠=︒的垂直平分线MN 交BC 于点D ，则DAB ∠=___________．14．如图，在ABC 中，,AB AC AD =为BAC ∠的平分线．若4cm,AD ABC =的周长为16cm ，则ABD 的周长是______________cm ．三、简答题15．已知：如图，OA 平分∠BAC ，∠1=∠2．求证：△ABC 是等腰三角形．16．如图，△ABC 中，∠A=36°，AB=AC ，CD 平分∠ACB ，试说明△BCD 是等腰三角形．参考答案9．510．80°或50°或20°11．40度12．72，3；13．72°14．1215．解答：证明：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ， ∵AO 平分∠BAC ， ∴OE=OF （角平分线上的点到角两边的距离相等）． ∵∠1=∠2，∴OB=OC ．∴Rt △OBE ≌Rt △OCF （HL ）．∴∠5=∠6．∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB ．∴AB=AC ．∴△ABC 是等腰三角形．16．解：△ABC 中∵AB=AC ，∠A=36°∴∠B=∠ACB=（180°﹣∠A ）=72° ∵CD 平分∠ACB∴∠DCB=∠ACB=36° 在△DBC 中∠BDC=180°﹣∠B ﹣∠DCB=72°=∠B ∴CD=CB即△BCD 是等腰三角形．2121。

人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形课时训练一、选择题1. 以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是()A．1，1，2 B．1，1，3C．2，2，1 D．2，2，52. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则AD 与BD的长度之比为()A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶13. 如图，在等腰三角形中，若∠1＝110°，则∠2的度数为()A．35°B．70°C．110°D．35°或55°4. 如图，已知直线l垂直平分线段AB，P是l上一点，已知P A＝1，则PB()A．等于1 B．小于1C．大于1 D．最小为15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是()A．2 B．5.2 C．7.8 D．86. 具备下列条件的三角形为等腰三角形的是链接听P27例1归纳总结() A．有两个角分别为20°，120°B．有两个角分别为40°，80°C．有两个角分别为30°，60°D．有两个角分别为50°，80°7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是()A．20°B．35°C．40°D．70°8. 如图，AC＝AD，BC＝BD，则有()A．CD垂直平分ABB．AB垂直平分CDC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB9. 下列条件不能得到等边三角形的是()A．有两个内角是60°的三角形B．有一个角是60°的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形D．有两个角相等的等腰三角形10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题11. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，则△ABC的面积等于________．12. 等腰三角形的两边长分别为6 cm，13 cm，其周长为________ cm.13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，BD⊥AC，垂足为D.若∠EAD ＝20°，则∠ABD＝________°.14. 如图所示，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC ＝4，则PD＝________.15. 如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，△ABD的周长为18 cm，则△ABC的周长为.三、解答题16. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.17. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F.求证：△CEF是等腰三角形．18. 如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°.(1)求海岛B到灯塔C的距离；(2)这条船继续向正北方向航行，在什么时间小船与灯塔C的距离最短？19. 已知:如图所示，锐角三角形ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ，且OB=OC.(1)求证:△ABC 是等腰三角形;(2)判断点O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由.20. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，H .易证PE ＋PF ＝CH .证明过程如下： 连接AP .∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB ·PE ，S △ACP ＝12AC ·PF ，S △ABC ＝12AB ·CH . 又∵S △ABP ＋S △ACP ＝S △ABC ， ∴12AB ·PE ＋12AC ·PF ＝12AB ·CH . ∵AB ＝AC ，∴PE ＋PF ＝CH .如图②，若P 为BC 延长线上的点，其他条件不变，PE ，PF ，CH 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形课时训练-答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】B[解析] ∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，∴2BD＝BC，2BC＝AB.∴AB＝4BD.∴AD∶BD＝3∶1.3. 【答案】A4. 【答案】A5. 【答案】B[解析] 根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于6.6. 【答案】D7. 【答案】B8. 【答案】B9. 【答案】D[解析] 有两个内角是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形，腰和底相等的等腰三角形均可以得到等边三角形，而有两个角相等的等腰三角形不能得到等边三角形．10. 【答案】D[解析] ∵∠BAC＝72°，∠C＝36°，∴∠ABC＝72°.∴∠BAC＝∠ABC.∴CA＝CB.∴△ABC是等腰三角形．∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴△ACD 是等腰三角形．∵∠ADB ＝∠CAD ＋∠C ＝72°，∴∠ADB ＝∠B.∴AD ＝AB. ∴△ADB 是等腰三角形．二、填空题11. 【答案】36[解析] 过点B 作BD ⊥AC 于点D.∵∠A ＝30°，AB ＝12，∴在Rt △ABD 中，BD ＝12AB ＝12×12＝6. ∴S △ABC ＝12AC·BD ＝12×12×6＝36.12. 【答案】32[解析] 由题意知，应分两种情况：(1)当腰长为6 cm 时，三角形的三边长为6 cm ，6 cm ，13 cm ，6＋6＜13，不能构成三角形；(2)当腰长为13 cm 时，三角形的三边长为6 cm ，13 cm ，13 cm ，能构成三角形，周长＝2×13＋6＝32(cm)．13. 【答案】50[解析] ∵AB ＝AC ，E 为BC 的中点，∴∠BAE ＝∠EAD ＝20°.∴∠BAD ＝40°，又∵BD ⊥AC ，∴∠ABD ＝90°－∠BAD ＝90°－40°＝50°.14. 【答案】2[解析] 过点P 作PE ⊥OB 于点E.∵∠AOP ＝∠BOP ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴PE ＝PD.∵∠BOP ＝∠AOP ＝15°，∴∠AOB ＝30°. ∵PC ∥OA ，∴∠BCP ＝∠AOB ＝30°. ∴在Rt △PCE 中，PE ＝12PC ＝12×4＝2. ∴PD ＝PE ＝2.故答案是2.15. 【答案】28 cm三、解答题16. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.17. 【答案】证明：∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB.∵∠EAB＋∠B＝∠CEF，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF. ∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形．18. 【答案】解：(1)∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝30°.∴AB＝BC.∵AB＝15×2＝30(海里)，∴BC＝30 海里，即从海岛B到灯塔C的距离为30海里．(2)过点C作CP⊥AB于点P，则线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离．∵∠NBC＝60°，∠BPC＝90°，∴∠PCB＝90°－60°＝30°.∴PB＝12BC＝15海里．∵15÷15＝1(时)，∴这条船继续向正北方向航行，在上午11时小船与灯塔C 的距离最短．19. 【答案】解:(1)证明:∵OB=OC ， ∴∠OBC=∠OCB.∵锐角三角形ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ， ∴∠BEC=∠CDB=90°.∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°， ∴180°-∠BEC-∠BCE=180°-∠CDB-∠DBC ， ∴∠ABC=∠ACB ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形. (2)点O 在∠BAC 的平分线上.理由:连接AO 并延长交BC 于点F .在△AOB 和△AOC 中，∴△AOB ≌△AOC (SSS)，∴∠BAF=∠CAF ， ∴点O 在∠BAC 的平分线上.20. 【答案】解：PE ＝PF ＋CH.证明如下： 连接AP.∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB·PE ，S △ACP ＝12AC·PF ，S △ABC ＝12AB·CH.∵S △ABP ＝S △ACP ＋S △ABC ， ∴12AB·PE ＝12AC·PF ＋12AB·CH. ∵AB ＝AC ，∴PE ＝PF ＋CH.。

13.3 等腰三角形学校： 姓名： 班考号：( )A. 80°B. 80°或20°C. 80°或50°D. 20°2. 等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为( )A. 12B. 15C. 12或15D. 183.如图,在△ABC 中,AB=AC ,∠A=36°,BD ,CE 分别是△ABC ,△BCD 的角平分线,则图中的等腰三角形共有( )A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个4. 已知∠AOB=30°,点P 在∠AOB 内部,P 1与P 关于OB 对称,P 2与P 关于OA 对称,则P 1,O ,P 2三点所构成的三角形是( )A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形5. 在△ABC 中,∠ABC=∠ACB=75°,AB=2,则△ABC 的面积是( )A. 2B. 1C.1.5 D. 0.56. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1∶4,则这个等腰三角形顶角的度数为( )A. 20°或100°B. 120°C. 20°或120°D. 36°7. 如图,在△ABC中,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD.若△ADC的周长为10,AB=7,则△ABC的周长为()A. 7B. 14C.17 D. 208. 如图,在等腰△ABC中,∠BAC=120°,若EM和FN分别垂直平分AB和AC,垂足分别为E,F,M,N都在BC边上,且EM=FN=2,则BC的长度为()A. 6B. 8C.10 D. 129. 如图所示,在△ABC中,点D在AC上,且AB=AD,∠ABC=∠C+30°,则∠CBD等于()A. 15°B. 18°C.20° D. 22.5°10. 如图所示,已知△ABC与△CDE均是等边三角形,点B,C,E在同一条直线上,AE与BD交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接OC,FG,则下列结论:①AE=BD;②AG=BF;③FG∥BE;④∠BOC=∠EOC.其中正确的结论个数为()A. 1B. 2C.3 D. 4二、填空题ACB=100°,AC=AE,BC=BD,则∠DCE的度数为.12. 若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm,则它的周长为_________cm.13. 等腰三角形ABC的周长为32,且AB=AC,AD⊥BC于D,△ACD的周长为24,那么AD的长为.14. 如图2,在△ABC中,AB＝AC,∠B＝40°,则∠A＝________.15. 如图,在等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,且AD=CE,则∠BCD+∠CBE= °.16. 如图,在等边三角形ABC中,BD是中线,延长BC至E,使CE=CD,连接DE,则DE= .17. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(0,),点C在坐标平面内.若以A,B,C为顶点构成的三角形是等腰三角形,且底角为30°,则满足条件的点C共有个.三、证明题BDE均为等边三角形,点E在线段AD上.求证:BD+CD=AD.19. 如图,在△ABC中,BA=BC,点D是AB延长线上一点,DF⊥AC于点F,交BC于点E.求证:△DBE是等腰三角形.20. 已知,如图,延长△ABC的各边,使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F,得到△DEF为等边三角形.求证:(1)△AEF≌△CDE;(2)△ABC为等边三角形.21. 如图所示,在梯形ABCD中,DC∥AB,AD=BC,BD平分∠ABC,∠A=60°,过点D作DE⊥AB,过点C作CF⊥BD,垂足分别为点E,F,连接EF,求证:△DEF为等边三角形.参考答案1. 【答案】B【解析】由题意知,有两种情况,①当80°角是顶角时,两底角为50°,三角形的顶角为80°,②当80°角是底角时,则顶角为180°-80°×2=20°.综上所述,该等腰三角形的顶角度数为80°或20°.2. 【答案】B【解析】由题意可知分两种情况,①当3为为底边时,则两腰长均为6,可构成三角形,且周长为15;②当3为腰时,则底边为6,因为3+3=6,故不能构成三角形.故选B.3. 【答案】A【解析】由题意,可得∠ABC=∠ACB=∠CED=∠CDE=72°,∠ABD=∠DBC=∠BCE=∠DCE=36°,∴等腰三角形有:△ABC,△DAB,△BDC,△EBC,△CDE共5个.4. 【答案】D【解析】连接OP,由对称的性质可知, OP1=OP=OP2,∠P1OP2=2∠AOB=60°,∴△OP1P2是等边三角形.5. 【答案】B【解析】如图,过点B作BD⊥AC于点D, ∵∠ABC=∠ACB=75°,∴∠A=180°-75°-75°=30°,又∵AB=2=AC,∴在Rt△ABD中,BD=AB=1,∴S△ABC=×AC×BD=×2×1=1.6. 【答案】C【解析】设两内角的度数为x,4x.当等腰三角形的顶角为x时,x+4x+4x=180°,x=20°;当等腰三角形的顶角为4x时,4x+x+x=180°,x=30°,4x=120°.因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°.故选C.7. 【答案】C【解析】由题意可知MN是AB的垂直平分线,∴AD=BD.∵△ADC的周长为10,∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10.又∵AB=7,∴△ABC的周长为AC+BC+AB=10+7=17.8. 【答案】D【解析】由等腰三角形ABC中∠BAC=120°得∠B=∠C=30°.又∵EM和FN分别垂直平分AB和AC,∴AM=BM=2EM=4,AN=CN=2FN=4.又∠AMN=∠B+∠BAM=2∠B=60°,∴△AMN为等边三角形,则AM=MN=AN=4,BC=BM+MN+NC=12.故选D.9. 【答案】A【解析】∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=∠ADB+∠DBC,而∠ADB是△ABD的外角,∴∠ADB=∠C+∠DBC,∴∠ABC=∠C+2∠DBC=∠C+30°,∴∠DBC=15°,∴选A.10. 【答案】D【解析】由已知BC=AC,∠BCD=∠ACE=120°,CD=CE,得△BCD≌△ACE(SAS),∴AE=BD,∠FBC=∠GAC,①正确;又由BC=AC,∠BCF=∠ACG=60°,得△BCF≌△ACG,∴AG=BF,CF=CG,②正确;∵∠FCG=60°,∴∠CGF=∠CFG=∠FCG=60°,∴FG∥BE,③正确;如图所示,过C作CM⊥BD 于点M,CN⊥AE于点N,易证△BCM≌△ACN,∴CM=CN,∴∠BOC=∠EOC,④正确.所以正确的结论有四个，故选D.11. 【答案】40°12. 【答案】3513. 【答案】814. 【答案】100°15. 【答案】6016. 【答案】BD17. 【答案】618. 【答案】证明:∵△ABC和△BDE均为等边三角形,∴AB=BC,BE=BD∠ABC=∠DBE=60°.∴∠ABC-∠EBC=∠DBE-∠EBC,∴∠ABE=∠CBD,∴△EBA≌△DBC(SAS).∴AE=CD.又∵BD=DE,∴BD+CD=DE+AE=AD.19. 【答案】证明:在△ABC中,∵BA=BC,∴∠A=∠C.又∵DF⊥AC,∴∠A+∠D=90°,∠C+∠FEC=90°,∴∠D=∠FEC.又∵∠BED=∠FEC,∴∠BED=∠D.∴BE=BD,∴△DBE是等腰三角形.(1) 【答案】∵BF=AC,AB=AE,BF+AB=AC+AE，即FA=EC.∵△DEF是等边三角形,∴EF=DE.又∵AE=CD,∴△AEF≌△CDE(SSS).(2) 【答案】∵△AEF≌△CDE,∴∠FEA=∠EDC,∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF,∵△DEF是等边三角形,∴∠DEF=60°,∴∠BCA=60°,同理可得∠BAC=60°.∴在△ABC中,三角均为60°.∴△ABC是等边三角形.20. 【答案】证明:∵DC∥AB,AD=BC,∠A=60°,∴梯形ABCD是等腰梯形，∠ABC=∠A=60°.又∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°.∵DC∥AB,∴∠CDB=∠ABD=30°,∴∠CBD=∠CDB,则CB=CD.∵CF⊥BD,∴F为BD的中点.又DE⊥AB,∴DF=BF=EF.由∠ABD=30°,得∠BDE=60°,∴△DEF为等边三角形.。

1．一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（ ）A ．8B ．10C ．9D ．8或102．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30︒，则底角的度数为（ ）A ．60︒B ．120︒C ．60︒或120︒D ．60︒或30︒3．若等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则满足条件的形状不同的三角形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．等腰三角形补充下列条件后，一定不会成为等边三角形的是（ ）A ．有一个内角是60︒B ．有一个外角是120︒C ．其中一个角是另一个角的3倍D ．腰与底边相等5．如图所示，在等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，E 为AD 上一点，50CED ∠=︒，则ABE∠等于（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在线段BC 上，且30B ∠=︒，60ADC ∠=︒，BC =则BD 的长度为__________．课堂练习：基础版题量: 10题 时间: 20min13.3等腰三角形7．如图，60AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，如果射线OA 上的点E 满足OCE ∆是等腰三角形，那么OEC ∠的度数为__________．8．在ABC ∆中，40A ∠=︒，当C ∠=__________时，ABC ∆为等腰三角形．9．等腰三角形的腰长为17，底长为16，则其底边上的高为__________．10．如图，四边形ABCD 中，4AD =，1BC =，30A ∠=︒，90B ∠=︒，120ADC ∠=︒，求CD的长．【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】1．B2．D3．B4．C5．C6．7．120︒或75︒或30︒．8．40︒或70︒或100︒．9．1510．延长AD 、BC 交于E ，30A ∠=︒ ，90B ∠=︒，60E ∴∠=︒，120ADC ∠=︒ ，60EDC ∴∠=︒，EDC ∴∆是等边三角形，设CD CE DE x ===，4AD = ，1BC =，2(1)4x x ∴+=+，解得2x =，2CD ∴=．1．一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（ ）A ．8B ．10C ．9D ．8或102．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30︒，则底角的度数为（ ）A ．60︒B ．120︒C ．60︒或120︒D ．60︒或30︒3．若等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则满足条件的形状不同的三角形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．等腰三角形补充下列条件后，一定不会成为等边三角形的是（ ）A ．有一个内角是60︒B ．有一个外角是120︒C ．其中一个角是另一个角的3倍D ．腰与底边相等5．如图所示，在等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，E 为AD 上一点，50CED ∠=︒，则ABE∠等于（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在线段BC 上，且30B ∠=︒，60ADC ∠=︒，BC =则BD 的长度为__________．课堂练习：提升版题量: 10题 时间: 20min13.3等腰三角形7．（★）下列三角形：①有两个角等于60︒的三角形；②有一个角等于60︒的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①③D ．②③④8．（★）如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD ，CE 分别是ABC ∠，ACB ∠的平分线，且DE BC ，36A ∠=︒，则图中等腰三角形共有__________个．9．（★）如图，ABC ∆是等边三角形，沿图中的虚线剪去B ∠，则12∠+∠的度数等于__________．10．（★）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】1．B2．D 3．B 4．C5．C6．7．A 8．129．240︒10．已知，在Rt ABC ∆中，30A ∠=︒，90ACB ∠=︒．求证：12BC AB =．证明：证法一：如图所示，延长BC 到D ，使CD BC =，连接AD ，易证AD AB =，60BAD ∠=︒．ABD ∴∆为等边三角形，AB BD ∴=，12BC CD AB ∴==，即12BC AB =．证法二：如图所示，取AB 的中点D ，连接DC ，有12CD AB AD DB ===，30DCA A ∴∠=∠=︒，60BDC DCA A ∠=∠+∠=︒．DBC ∴∆为等边三角形，12BC DB AB ∴==，即12BC AB =．证法三：如图所示，在AB 上取一点D ，使BD BC =，60B ∠=︒ ，BDC ∴∆为等边三角形，60DCB ∴∠=︒，90906030ACD DCB A ∠=︒-∠=︒-︒=︒=∠．DC DA ∴=，即有12BC BD DA AB ===，12BC AB ∴=．证法四：如图所示，作ABC ∆的外接圆D ，90C ∠=︒，AB 为O 的直径，连DC 有DB DC =，223060BDC A ∠=∠=⨯︒=︒，DBC ∴∆为等边三角形，12BC DB DA AB ∴===，即12BC AB =．1．一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（ ）A ．8B ．10C ．9D ．8或102．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30︒，则底角的度数为（ ）A ．60︒B ．120︒C ．60︒或120︒D ．60︒或30︒3．若等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则满足条件的形状不同的三角形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．等腰三角形补充下列条件后，一定不会成为等边三角形的是（ ）A ．有一个内角是60︒B ．有一个外角是120︒C ．其中一个角是另一个角的3倍D ．腰与底边相等5．如图所示，在等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，E 为AD 上一点，50CED ∠=︒，则ABE∠等于（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在线段BC 上，且30B ∠=︒，60ADC ∠=︒，BC =则BD 的长度为__________．课堂练习：培优版题量: 10题 时间: 20min13.3等腰三角形7．（★★）如图，已知：30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ⋯⋯在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ⋯⋯在射线OM 上，△112A B A ，△223A B A ，△334A B A ⋯⋯均为等边三角形，若11OA =，则△778A B A 的边长为（ ）A ．64B ．32C ．16D ．1288．（★★）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点D 在BC 上，AB AC =，BD BA =，点E 在BC的延长线上，CA CE =，连接AE ，则DAE ∠=__________．9．（★★）如图，在1ABA ∆中，28B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A A C =，连接2A C ．完成下列问题：（1）12A A C ∠的度数等于__________度；（2）如果继续在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =，连接3A D ，⋯，依此进行下去，那么以n A 为顶点的锐角的度数等于__________度．10．（★★）如图，ABC ∆为等边三角形，AE CD =，AD 、BE 相交于点P ， BQ AD ⊥于点Q ，3PQ =，1PE =．（1）求证：AD BE =；（2）求AD 的长．【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】1．B2．D 3．B 4．C5．C6．7．A8．45︒9．（1）38；（2）1762n -．10．（1）证明：ABC ∆ 为等边三角形，AB CA BC ∴==，60BAE ACD ∠=∠=︒；在ABE ∆和CAD ∆中，60AB CA BAE ACD AE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，(SAS)ABE CAD ∴∆≅∆，AD BE ∴=；（2）解：ABE CAD ∆≅∆ ，CAD ABE ∴∠=∠，60BPQ ABE BAD BAD CAD BAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；BQ AD ⊥ ，90AQB ∴∠=︒，906030PBQ ∴∠=︒-︒=︒，3PQ = ，∴在Rt BPQ ∆中，26BP PQ ==，又1PE = ，617AD BE BP PE ∴==+=+=．。

2018-2019学年度八年级数学上册第13章轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形同步练习（新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年度八年级数学上册第13章轴对称13.3 等腰三角形13.3.2 等边三角形同步练习（新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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13.3。

2 等边三角形学校：___________姓名：___________班级：___________一．选择题（共12小题）1．如图，△AOB是边长为2的等边三角形,顶点A的坐标是（）A．（，) B．（，﹣1）C．（﹣1，）D．（，﹣1）2．平面上，若点P与A、B、C三点中的任意两点均构成等腰三角形,则称点P是A、B、C三点的巧妙点．若A、B、C三点构成三角形，也称点P是△ABC的巧妙点．则平面上等边△ABC的巧妙点有( )个．A．7 B．8 C．9 D．103．在△ABC中，AB=BC=AC=6，则△ABC的面积为( ）A．9 B．18 C．9D．184．下列几种三角形：①有一个角为60°的等腰三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的三角形；④有一外角为120°的等腰三角形．其中是等边三角形的有( ）A．4个B．3个C．2个D．1个5．等腰△ABC的顶角A为120°，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是( ）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰但非等边三角形6．如图,E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE的形状是( ）A．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．不能确定形状7．下面给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形;（3)一边上的高也是这边上的中线的三角形；(4）有一个角为60°的等腰三角形，其中是等边三角形的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．在下列结论中：（1）有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；(4）三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个9．已知：在△ABC中，∠A=60°,如要判定△ABC是等边三角形，还需添加一个条件．现有下面三种说法:①如果添加条件“AB=AC"，那么△ABC是等边三角形;②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC是等边三角形；③如果添加条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等边三角形．上述说法中，正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个10．如图，在△ABC中，AB=AC,D、E是△ABC内的两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°．若BE=6cm，DE=2cm，则BC的长为（)A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm11．如图，在四边形ABCD中，AB=AC，∠ABD=60°，∠ADB=78°,∠BDC=24°，则∠DBC=( ）A．18°B．20°C．25°D．15°12．在下列结论中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形;②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形;③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形．其中正确的个数是( ）A．4个B．3个C．2个D．1个二．填空题（共8小题）13．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD= ．14．将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B 表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，若将△ABC向右滚动，则x的值等于,数字2012对应的点将与△ABC的顶点重合．15．如图,∠MON=30°,点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上,△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1=1，则△A n B n A n+1的边长为．16．下列三角形:（1）有两个角等于60°;（2）有一个角等于60°的等腰三角形；（3)三个外角都相等的三角形；（4）一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有．17．在直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（0,）,B（﹣1，0），C（1，0）．(1）△ABC为三角形．（2)若△ABC三个顶点的纵坐标不变，横坐标分别加3，则所得的图形与原来的三角形相比，主要的变化是．18．如果三角形的三边a、b、c适合(a2﹣2ac）（b﹣a)=c2（a﹣b）,则a、b、c之间满足的关系是；有同学分析后判断△ABC是等边三角形，你的判断是．19．如图,AB=AC,DB=DC，若∠ABC为60°,BE=3cm,则AB= cm．20．如图是两块完全一样的含30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边的中点M转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点C．已知AC=5，则这块直角三角板顶点A、A′之间的距离等于．三．解答题（共5小题)21．已知:在△ABC中，AB=AC，∠A=60°,求：∠B、∠C的度数,△ABC是什么三角形？22．如图，在等边△ABC中,AC=6，点O在AC上，且AO=2，点P是AB上一动点,连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是多少？23．如图，在△ABC中,∠BAC=90°,BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，交BE于点G，AD平分∠MAC,交BC于点D，交BE于点F．（1）判断直线BE与线段AD之间的关系,并说明理由；（2）若∠C=30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．24．如图一，AB=AC，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB．问：（答题时，注意书写整洁）(1）图一中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明）（2)过D点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，如图二，图中现在增加了几个等腰三角形，选一个进行证明．（3）如图三,若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件不变,图中有几个等腰三角形？（写出来,不需要证明)线段EF与BE、CF有什么关系，并证明．25．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm,现有两点M、N分别从点A、点B同时出发,沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？（2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？(3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如存在，请求出此时M、N运动的时间．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题)1．解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，∵△AOB是等边三角形，∴AE⊥OB，∠OAE=30°，∴OE=OA=1，AE=．∵点A位于第二象限,∴（﹣1，）．故选：C．2．解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC、CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心，（2）点P在三角形外部时，一个对称轴上有三个点，如图：共有9个点符合要求，∴具有这种性质的点P共有10个．故选：D．3．解：如图，作AD⊥BC于D,∵AB=BC=AC=6,∵AD为BC边上的高，则D为BC的中点,∴BD=DC=3,∴AD=，∴等边△ABC的面积=BC•AD=×6×3=9．故选：C．4．解:因为有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，那么可由①，②，④推出等边三角形，而③只能得出这个三角形是等腰三角形．5．解：如图，∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠AEF=∠DEC=90°﹣∠C，∠F=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠F．又∠A=120°，∴∠FAE=60°．∴△AEF是等边三角形．故选:A．6．解：∵△ABC为等边三角形∴AB=AC∵∠1=∠2，BE=CD∴△ABE≌△ACD∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°∴△ADE是等边三角形．7．解:有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形,那么可由(1)，（2），（4）推出等边三角形,而（3）只能得出这个三角形是等腰三角形．故选：B．8．解：（1）:因为外角和与其对应的内角的和是180°，已知有一个外角是120°，即是有一个内角是60°，有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．(3)：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能保证该三角形是等边三角形．该结论错误．（4)若每一个角各取一个外角，则所有内角相等，即三角形是等边三角形；若一个顶点取2个的话，就不成立，该结论错误．故选:D．9．解：①若添加的条件为AB=AC，由∠A=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形;②若添加条件为∠B=∠C，又∵∠A=60°,∴∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C,则△ABC为等边三角形；③若添加的条件为边AB、BC上的高相等，如图所示：已知:∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且AE=CD，求证：△ABC为等边三角形．证明：∵AE⊥BC,CD⊥AB，∴∠ADC=∠AEC=90°,在Rt△ADC和Rt△CEA中，,∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），∴∠ACE=∠BAC=60°，∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，∴AB=AC=BC,即△ABC为等边三角形，综上，正确的说法有3个．故选:A．10．解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N,∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC,BN=CN,∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形,∴△EFD为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm，∴DM=4cm，∵△BEM为等边三角形,∴∠EMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=30°，∴NM=2cm，∴BN=4cm，∴BC=2BN=8cm．故选:C．11．解：如图延长BD到M使得DM=DC，∵∠ADB=78°，∴∠ADM=180°﹣∠ADB=102°,∵∠ADB=78°，∠BDC=24°,∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=102°,∴∠ADM=∠ADC，在△ADM和△ADC中，，∴△ADM≌△ADC，∴AM=AC=AB，∵∠ABD=60°，∴△AMB是等边三角形，∴∠M=∠DCA=60°,∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°,∴∠BAO=∠ODC=24°，∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∴24°+2(60°+∠CBD）=180°,∴∠CBD=18°,故选:A．12．解：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形，正确；②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；④有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确．故选：C．二．填空题（共8小题)13．解：∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC．又点D是边BC的中点,∴∠BAD=∠BAC=30°．故答案是：30°．14．解：∵将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，∴﹣4﹣（2x+1）=2x+1﹣(x﹣3）；∴﹣3x=9，x=﹣3．故A表示的数为：x﹣3=﹣3﹣3=﹣6，点B表示的数为：2x+1=2×（﹣3）+1=﹣5,即等边三角形ABC边长为1，数字2012对应的点与﹣4的距离为：2012+4=2016，∵2016÷3=672，C从出发到2012点滚动672周，∴数字2012对应的点将与△ABC的顶点C重合．故答案为：﹣3，C．15．解:∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°,∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1,∴A2B1=1,∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°,∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3,∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8,A5B5=16B1A2=16,以此类推:△A n B n A n+1的边长为 2n﹣1．故答案是：2n﹣1．16．解:（1）根据已知求出∠A=∠B=∠C,所以△ABC是等边三角形；（2）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；（3）由三个外角都相等,得出三角形的三个内角也相等，根据三角都相等的三角形是等边三角形；所以是等边三角形；（4）、∵AD=DC，BD⊥AC,∴AB=BC，∵AB=AC,∴AB=AC=BC，∴△ABC是等边三角形；故答案为（1)(2）（3）（4）．17．解：(1）如图，由题中条件可得，BC=2，OA=,OB=OC=1,∴AB=AC=2=BC，∴△ABC是等边三角形；（2）如上图，若将△ABC三个顶点的纵坐标不变,横坐标分别加3，则所得的图形与原来的三角形全等，只不过相当于将△ABC向右平移3．18．解：∵（a2﹣2ac）(b﹣a）=c2（a﹣b），∴a≠b，∴a2﹣2ac=﹣c2,∴(a﹣c）2=0，∴a=c，∴△ABC是等腰三角形，∴a、b、c之间满足的关系是a=c≠b，故答案为：a=c≠b,△ABC是等腰三角形．19．解：在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD．∴∠BAD=∠CAD．又∵AB=AC，∴BE=EC=3cm．∴BC=6cm．∵AB=AC，∠BAC=60°,∴△ABC为等边三角形．∴AB=6cm．故答案为：6．20．解:连接AA′，∵点M是线段AC、线段A′C′的中点,AC=5，∴AM=MC=A′M=MC′=2。

第13章《轴对称》同步练习（§13.3）班级 学号 姓名 得分一、填空题（每题3分，共30分）1．等腰三角形的一个角是110°,则它的底角为_______°．2．等腰三角形的腰长是6，则底边长3，周长为______________________．3．等腰三角形一个底角为50°，则此等腰三角形顶角为________________________． 4．在△ABC 中，AB =AC ，点D 在AC 边上，且BD =BC =AD ，则∠A = °．5．已知直线yy ′⊥xx ′，垂足为O ，则图形①与图形_____成轴对称 6．等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15㎝和12㎝，则这个三角形的底边长为 ㎝．7．腰长为12㎝，底角为15°的等腰三角形的面积为 ． 8．到三角形各顶点距离相等的点是三角形 的交点． 9．在直角坐标系内有两点A （-1，1）、B （2，3），若M 为x 轴上一点，且MA +MB 最小，则M 的坐标是________，MA +MB =________．10．等腰三角形的周长为13cm,其中一边长为5cm,则该等腰三角形的腰边长为_____cm.．二、选择题（每题3分，共24分）11．点M （1，2）关于原点对称的点的坐标为 （ ）A ．（—1，2）B ．（－1，－2）C ．（1，－2）D ．（2，－1）12．下列说法正确的是（ ）A ．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B ．顶角相等的两个等腰三角形全等C ．等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D ．等腰三角形的两个底角相等13．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 的内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P关于OA 对称，则P ，P 1，P 2三点构成的三角形是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形14．如图，DE 是∆ABC 中AC 边的垂直平分线，若BC =8厘米，AB =10厘米，则∆EBC 的周长为（ ）厘米 A ．16 B ．28 C ．26 D ．18 15．等腰三角形的对称轴，最多可以有（ ）A ．1条B ．3条C ．6条D ．无数条① y ′③②x ′Oxy （第5题）（第14题）E DABC16．下列判断不正确的是（ ）A ．等腰三角形的两底角相等B ．等腰三角形的两腰相等C ．等边三角形的三个内角都是60°D ．两个内角分别为120°、40°的三角形是等腰三角形 17．下列轴对称图形中对称轴最多的是（ ）A ．等腰直角三角形；B ．正方形；C ．有一个角为60°的等腰三角形；D ．圆18．如图，∠A =15°，AB =BC =CD =DE =EF ，则∠FEM =（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°三、解答题（共46分）19．（7分）已知，如图ΔABC 中，AB ＝AC ，D 点在BC 上，且BD ＝AD ，DC ＝AC ．将图中的等腰三角形全都写出来．并求∠B 的度数．20．（7分）如图，在⊿ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，过O 点作EF ∥BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，BE =5cm ，CF =3cm ，求EF 的长．21．（8分）如图，已知P 点是∠AOB 平分线上一点，PC，（1）∠PCD =∠PDC 吗？ 为什么？（2）OP 是CD 的垂直平分线吗？ 为什么？NMEFCBAD （第18题）BC D22．（8分）已知：如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，DB =DC ，求证：△ABC 是等腰三角形．23．（8分）如图，已知直线MN 与MN 同侧两点A 、B 求作：点P ，使点P 在MN 上，且∠APM ＝∠BPN24．（8分）如图，在⊿ABC 中，∠ACB =90，DE是AB 的垂直平分线，∠CAE ：∠EAB =4：1． 求∠B 的度数．D A C BEC参考答案一、填空题1．35 2．15 3．80°4．36°5．②6．7或11 7．36 8．线段中垂线9．)0,41(，5 10．5或4二、选择题11．B 12．D 13．D 14．D 15．B 16．D 17．D 18．C三、解答题19．⊿ABC，⊿ADB，⊿ADC ，∠B=36°20．EF=8㎝21．（1）利用角平分线性质得PC=PD，所以∠PCD=∠PDC （2）成立22．略23．略24．15°。

描述：初二数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形一、学习任务1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念．2. 掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理和判定定理，掌握 角的直角三角形的性质．二、知识清单等腰三角形 等边三角形三、知识讲解1.等腰三角形等腰三角形有两条边相等的三角形叫做等腰三角形（isosceles triangle ）．等腰三角形的性质① 等腰三角形的两个底角相等；② 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．三角形的边角对应关系在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边．构造等腰三角形的方法30∘都填上）∠ADE=∠AED=2∠BAD34DE△BDE接 ，试判断 的形状，并说明理由．∠DBC描述：例题：2.等边三角形等边三角形三边都相等的三角形叫做等边三角形（equilateral triangle ），也属于等腰三角形．等边三角形的性质三个内角都相等，并且每一个角都等于 ．等边三角形性质的推论在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．等边三角形的判定① 三个角都相等的三角形是等边三角形；② 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形．构造等边三角形的方法，．即 是等腰三角形．2∴∠DBC =∠E ∴BD =DE △BDE 60∘30∘60∘如图所示，在等边三角形 中， 和 的平分线相交于点 ，， 的垂直平分线分别交 于点 ，，求证： 是等边三角形．分析：根据垂直平分线的性质可知，，，由于 ， 是角平分线，所以 ，再由于外角和定理，，所以 是等边三角形．证明： ， 分别是 ， 垂直平分线上的点，ABC ∠ABC ∠ACB O BO OC BC E F △OEF OE =BE OF =F C OB OC ∠OBC =∠OCB =30∘∠OEF =∠OF E =60∘△OEF ∵EF BO OC值为（ ）32A△ABC。

人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形同步课时训练一、选择题1. 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD的度数为()A．60°B．50°C．40°D．30°2. 在△ABC中，与∠A相邻的外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B 的度数是()A．70°B．55°C．70°或55°D．70°或55°或40°3. 已知：如图，直线PO与AB交于点O，P A＝PB，则下列结论中正确的是()A．AO＝BOB．PO⊥ABC．PO是线段AB的垂直平分线D．点P在线段AB的垂直平分线上4. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于()A．50°B．40°C．25°5. （2020·宜宾）如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B、C、D在一条直线上，连结BE、AD，点M、N分别是线段BE、AD上的两点，且BM＝13 BE，AN＝13AD，则△CMN的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不等边三角形6. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°7. （2020·烟台）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”．在一次数学活动课上，小明用边长为4cm的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品﹣﹣“奔跑者”，其中阴影部分的面积为5cm2的是（）A．B．C．D．8. 如图所示，在三角形纸片ABC中，∠B=2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的点E处，那么下列等式成立的是()A. AC=AD+BDB. AC=AB+CDC. AC=AD+CDD. AC=AB+BD二、填空题9. 如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是________．(把所有正确答案的序号都填写在横线上)①∠BAD＝∠ACD ②∠BAD＝∠CAD③AB＋BD＝AC＋CD ④AB－BD＝AC－CD10. 如图，在等边三角形ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，已知AB＝8，则BF的长为________．11. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，BD⊥AC，垂足为D.若∠EAD ＝20°，则∠ABD＝________°.12. （2020·宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）.测得的相关数据为：∠ABC= 60°，∠ACB= 60°，BC= 48米，则AC= 米．13. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．14. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．三、作图题15. 尺规作图：已知线段a(如图)，画一个底边长度为a，底边上的高也为a的等腰三角形．(保留作图痕迹，不写作法)16. 如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°.请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．(请你把所有不同的分割方法都画出来，只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数)四、解答题17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AD⊥AB交BC于点D，AD＝4 cm，求BC的长．18. 如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD 交EC′于点G.(1)求∠CEF的度数；(2)求证：△EFG是等腰三角形．19. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，连接AC交DE于点M.(1)求证：AD＝BE；(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；(3)△DBC是等腰三角形吗？说明理由．人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形同步课时训练-答案一、选择题1. 【答案】D[解析] ∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝12∠BAC＝30°.2. 【答案】D[解析] 由题意得，∠A＝70°，当∠B＝∠A＝70°时，△ABC为等腰三角形；当∠B＝55°时，可得∠C＝55°，∠B＝∠C，△ABC为等腰三角形；当∠B＝40°时，可得∠C＝70°＝∠A，△ABC为等腰三角形．3. 【答案】D4. 【答案】C[解析] ∵OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，∴∠AOM＝∠BOM＝25°，MA＝MB.∴∠OMA＝∠OMB＝65°.∴∠AMB＝130°.∴∠MAB＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.5. 【答案】C【解析】由△ABC和△ECD都是等边三角形，可得△BCE≌△ACD（SAS），∴∠MBC＝∠NAC，BE＝AD，∵BM＝13BE，AN＝13AD，∴BM＝AN，∴△MBC≌△NAC（SAS），∴MC＝NC，∠BCM＝∠ACN，∵∠BCM+∠MCA＝60°，∴∠NCA+∠MCA＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MCN是等边三角形．6. 【答案】D[解析] ∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC.∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC.∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°.∵∠CDE＋∠ODC＝180°－∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°－∠ODC＝80°.7. 【答案】最小的等腰直角三角形的面积42＝1（cm2），平行四边形面积为2cm2，中等的等腰直角三角形的面积为2cm2，最大的等腰直角三角形的面积为4cm2，则A、阴影部分的面积为2+2＝4（cm2），不符合题意；B、阴影部分的面积为1+2＝3（cm2），不符合题意；C、阴影部分的面积为4+2＝6（cm2），不符合题意；D、阴影部分的面积为4+1＝5（cm2），符合题意．故选：D．8. 【答案】D二、填空题②③④【解析】序号正误逐项分析①×△BAD与△ACD中，虽有两角和一边相等，但不是对应关系的角和边，所以不能判定两三角形全等，因而也就不能得出AB＝AC②√∠BAD＝∠CAD结合AD是△ABC的边BC上的高，可得∠B＝∠C，所以AB＝AC，因而△ABC是等腰三角形③√由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB＋BD＝AC＋CD ，得AB－BD＝AC－CD ，两式相加得2AB＝2AC，所以，AB＝AC，得△ABC是等腰三角形④√由于AD是△ABC的边BC上的高，所以∠ADB＝∠ADC＝90°，因而AB2－BD2＝AC2－CD2，于是(AB＋BD)(AB－BD)＝(AC＋CD)(AC－CD)，由AB－BD＝AC－CD ，得AB＋BD＝AC＋CD ，两式相加得2AB＝2AC，所以AB＝AC，得△ABC是等腰三角形10. 【答案】5[解析] ∵在等边三角形ABC中，D是AB的中点，AB＝8，∴AD ＝4，BC＝AC＝AB＝8，∠A＝∠C＝60°.∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，∴∠AED＝∠CFE＝90°.∴AE＝12AD＝2.∴CE＝8－2＝6.∴CF＝12CE＝3.∴BF＝5.11. 【答案】50[解析] ∵AB＝AC，E为BC的中点，∴∠BAE＝∠EAD＝20°.∴∠BAD＝40°，又∵BD⊥AC，∴∠ABD＝90°－∠BAD＝90°－40°＝50°.12. 【答案】48【解析】∵∠ABC=60°，∠ACB=60°，∴∠A=180°－60°－60°=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC，∵BC=48，∴AC=4813. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.14. 【答案】16[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.三、作图题15. 【答案】解：如图所示，△ABC即为所求．16. 【答案】解：如图所示：四、解答题17. 【答案】解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝30°. ∵AB⊥AD，AD＝4 cm，∴BD＝8 cm.∵∠ADB＝90°－∠B＝60°，∠C＝30°，∴∠DAC＝30°＝∠C.∴CD＝AD＝4 cm.∴BC＝BD＋CD＝8＋4＝12(cm)．18. 【答案】解：(1)∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC.∴∠BEG＝∠AGC′＝48°.由折叠的性质得∠CEF＝∠C′EF，∴∠CEF＝12(180°－48°)＝66°.(2)证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC.∴∠GFE＝∠CEF.由折叠的性质得∠CEF＝∠C′EF，∴∠GFE＝∠C′EF.∴GE＝GF，即△EFG是等腰三角形．19. 【答案】解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，∴∠ABD＋∠DBC＝90°.∵CE⊥BD，∴∠BCE＋∠DBC＝90°.∴∠ABD＝∠BCE.在△DAB和△EBC中，⎩⎨⎧∠ABD ＝∠BCE ，AB ＝BC ，∠DAB ＝∠EBC ＝90°，∴△DAB ≌△EBC(ASA)． ∴AD ＝BE.(2)证明：∵E 是AB 的中点，∴AE ＝BE. ∵BE ＝AD ， ∴AE ＝AD.∴点A 在线段ED 的垂直平分线上． ∵AB ＝BC ，∠ABC ＝90°， ∴∠BAC ＝∠BCA ＝45°. ∵∠BAD ＝90°， ∴∠BAC ＝∠DAC ＝45°. 在△EAC 和△DAC 中，⎩⎨⎧AE ＝AD ，∠EAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，∴△EAC ≌△DAC(SAS)． ∴CE ＝CD.∴点C 在线段ED 的垂直平分线上． ∴AC 是线段ED 的垂直平分线． (3)△DBC 是等腰三角形．理由：由(1)知△DAB ≌△EBC ，∴BD ＝CE. 由(2)知CE ＝CD. ∴BD ＝CD.∴△DBC 是等腰三角形．。

八年级上册数学《第十三章13.3等腰三角形》课后练习一、单选题1．若等腰三角形的周长为18cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边长为（）A．10B．7或10C．4D．7或42．已知等腰三角形的周长为10，一边长为4，则此等腰三角形的腰长为()A．2B．3C．4D．3或43．等腰三角形的腰长为5cm,底边长为6cm,则该三角形的面积是（）A．163B．24cm2C．323D．12cm24．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG⊥EF．正确结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个5．如图，△ABC的周长为32，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=12，则PQ的长为（）A．2B．3C．4D．56．如图，在∆ABC中，AB、BC的垂直平分线相交于三角形内一点O，下列结论中错误的是（）A．点O在AC的垂直平分线上B．∆AOB、∆BOC、∆COA都是等腰三角形C．∠OAB+∠OBC+∠OCA=900D．点O到AB、BC、CA的距离相等7．在等腰三角形中，两个内角的比为4:1，则顶角为（）A．360B．200C．360或1440D．200或1200二、填空题8．已知等腰三角形的底角是30°，腰长为23，则它的周长是_____．9．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80︒，则它的特征值k=__________．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A＝_____度．三、解答题11．如图，P、Q△是ABC边上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数.12．如图，在边长为l的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点（与点A、D不重合），射线PE与BC的延长线交于点Q．（1）求证：∆PDE≅∆QCE；F且（2）过点E作EF∥BC交PB于点F，连结AF，当PB=PQ时，①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．13．如图，图1中ΔABC是等边三角形，DE是中位线，是线段BC延长线上一点，CF=AE，连接BE，EF.图1图2(1)求证：BE=EF；(2)若将DE从中位线的位置向上平移，使点D、E分别在线段AB、AC上(点E与点A不重合)，其他条件不变，如图2，则(1)题中的结论是否成立？若成立,请证明；若不成立.请说明理由.14．如图，△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，点E、F同时分别从点B、A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC．（1）在点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由；（2）在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由；（3）连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由．15．如图，平行四边形ABCD中，AE、DE分别平分∠BAD、∠ADC，E点在BC上．，（1）求证：BC＝2AB；（2）若AB＝3cm，∠B＝60°一动点F以1cm/s的速度从A点出发，沿线段AD运动，CF交DE于G，当CF∥AE时：①求点F的运动时间t的值；②求线段AG的长度．16．如图，等边三角形ABC的边长是10cm，求：（1）高AD的长（2）S△ABC（结果保留根号）17．如图，在△ABC中,AB=AC,P为BC边上任意一点,PF⊥AB于F,PE⊥AC于E,若AC边上的高BD=a.(1)试说明PE＋PF=a;(2)若点P在BC的延长线上,其它条件不变,上述结论还成立吗?如果成立请说明理由;如果不成立,请重新给出一个关于PE,PF,a的关系式,不需要说明理由.18．已知:如图,BD是等边△ABC一边上的高,延长BC至E,使CE=CD.(1)试比较BD与DE的大小关系,并说明理由;(2)若将BD△改为ABC的角平分线或中线,能否得出同样的结论?19．（1）操作发现：如图①，点D是等边△ABC的边AB上一动点（点D与点B不重合），连接CD，以CD为边在CD上方作等边△CDE，连接AE，则AE与BD有怎样的数量关系？说明理由．（2）类比猜想：如图②，若点D是等边△ABC的边BA延长线上一动点，连接CD，以CD 为边在CD上方作等边△CDE，连接AE，请直接写出AE与BD满足的数量关系，不必说明理由；（3）深入探究：如图③，点D是等边△ABC的边AB上一动点（点D与点B不重合），连接CD，以CD为边分别在CD上方、下方作等边△CDE和等边△CDF，连接AE，BF则AE，BF与AB有怎样的数量关系？说明理由．20．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.(1)结合图形，请你写出你认为正确的结论；(2)过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系；(3)若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？若有，请写出所有的等腰三角形，若没有，请说明理由；线段EF、BE、FC之间，上面探究的结论是否还成立？②当AP=5答案1．C2．D3．D4．B5．C6．D7．D8．6+439．8或51410．3611．∠BAC=105°.12．解：（1）Q四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠ECQ=90︒，Q E是CD的中点，∴DE=CE，又Q∠DEP=∠CEQ，∴∆PDE≅∆QCE(ASA)；（2）①Q PB=PQ，∴∠PBQ=∠Q，∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD，Q∆PDE≅∆QCE，∴PE=OE，Q EF∥BQ，∴PF=BF，∴在Rt∆P AB中，AF=PF=BF，∴∠APF=∠PAF，∴∠PAF=∠EPD，∴PE∥AF，Q EF∥BQ∥AD，∴四边形AFEP是平行四边形；8时，四边形AFEP是菱形．设AP=x，则PD=1-x，若四边形AFEP是菱形，则PE=P A=x，Rt ∆PDE 中，由 PD 2 + DE 2 = PE 2 得 (1- x)2 + ⎪ 2 = x 2 ，Q CD = 1，E 是 CD 中点， ∴ DE = 1 2，在 ⎛ 1 ⎫ ⎝ 2 ⎭解得 x = 5 8， 5 即当 AP = 时，四边形 AFEP 是菱形． 813．解(1)证明：∵ΔABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB= 60o ，AB=BC=AC∵DE 是中位线，∴E 是 AC 的中点，∴BE 平分∠ABC ，AE=EC∴∠EBC= 1 2 ∠ABC= 30 o∵AE=CF ，∴CE=CF ，∴∠CEF=∠F∵∠CEF+∠F=∠ACB= 60o ，∴∠F= 30 o ，∴∠EBC=∠F ，∴BE=EF(2)结论仍然成立.∵DE 是由中位线平移所得；∴DE//BC ，∴∠ADE=∠ABC= 60o ，∠AED=∠ACB= 60o ，∴ΔADE 是等边三角形，∴DE=AD=AE ，∵AB=AC ，∴BD=CE ，∵AE=CF，∴DE=CF∵∠BDE=180o-∠ADE=120o，∠FCE=180o-∠ACB=120o，∴∠FCE=∠EDB，∴ΔBDE≌ΔECF，∴BE=EF14．解：（1）∠ECF不变为60°．理由如下：∵△ABC△和ADC都是边长相等的等边三角形，∴BC=AC=CD，∠B=∠DAC=60°，又∵E、F两点运动时间、速度相等，∴BE=AF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠ECB=∠FCA．所以∠ECF=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠BCA=60°；（2）不变化．理由如下：∵四边形AECF的面积=△AFC的面积+△AEC的面积，△BCE≌△ACF，∴△AEC的面积+△BEC的面积△=ABC的面积；（3）证明：由（1）知CE=CF，∠ECF=60°，∴△CEF为等边三角形，∵∠FCD+∠DFC=120°，∠AFE+∠DFC=120°，∴∠ECF-∠ACF=∠ACD-∠ACF，即∠AFE=∠FCD，所以∠ACE=∠FCD=∠AFE．15．解（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，同理：CE＝CD，∴BE＝CE＝AB，∴BC＝BE+CD＝2AB；（2）①由（1）知，CE＝CD＝AB，∵AB＝3cm，∴CE＝3cm，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AF＝CE＝3cm，∴点F的运动时间t＝3÷1＝3（秒）；②由（1）知AB＝BE，∵∠B＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，AE＝AB＝3cm，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠B＝60°，∴∠BCD＝120°，∵AE∥CF，∴∠ECF＝∠AEB＝60°，∴∠DCF＝∠BCD﹣∠ECF＝60°＝∠ECF，由（1）知，CE＝CD＝AB＝3cm，∴CF⊥DE，在△Rt CGE中，∠CEG＝90°﹣∠ECF＝30°，CG＝1BC•AD=⨯10cm⨯53cm=253cm2∴1∴∠CGE＝90°，3CE＝，22∴EG＝3CG＝33，2∵∠AEB＝60°，∠CEG＝30°，∴∠AEG＝90°，在△Rt AEG中，AE＝3，根据勾股定理得，AG＝AE2+EG2= 16．解∵等边三角形三线合一的性质，∴D为BC中点，BD=DC=5cm，∵AD⊥BC，∴AD=AB2-BD2=53cm，372．∴△ABC的面积为S=11 2217．解（1）如图，连接AP，则S△ABC =S△ABP+S△ACP，11AC•BD=AB•PF+AC•PE，222∵AB=AC，∴BD=PE+PF=a；（2）PF-PE=a，理由如下：连接AP，则S△ABC=S△ABP△-S ACP，∴111AC•BD=AB•PF-AC•PE，222∵AB=AC，∴BD=PF-PE=a．18．解（1）BD=DE，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∠ABC=∠ACB=60°，又∵BD是AC边上的高，∴∠1=∠2=12∠ABC=30°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED，又∵∠ACB=∠CDE+∠CED=60°，∴∠CDE=∠CED=30°，∴∠2=∠CED，∴BD=DE；（2）若将BD△改为ABC的角平分线或中线，能得出同样的结论．道理同（1），由于等腰三角形存在三线合一定理．19．解：（1）AE＝BD，理由如下：，，∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°∴∠ACB ﹣∠ACD ＝∠DCE ﹣∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 和△ACE 中，AC BC∠BCD ∠ACE ， CD CE∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴AE ＝BD ；（2）AE ＝BD ．理由如下：∵△ABC 和△DCE 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°∴∠ACB +∠ACD ＝∠DCE + ∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 和△ACE 中，AC BC∠BCD ∠ACE ， CD CE∴△BCD ≌△ACE （SAS ），∴AE ＝BD ；（3）AE +BF ＝AB ．证明如下：由（1）知，△BCD ≌△ACE （SAS ），∴BD ＝AE ，同理可证，△BCF ≌△DCA （SAS ），∴BF ＝AD ，∴AB ＝AD +BD ＝AE +BF ．20．解（1）结论：∠ABO= ∠CBO= ∠ACO= ∠BCO ，理由如下：∵AB=AC ，∴∠ABC= ∠ACB ．∵OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ，∴∠ABO=∠CBO=∠ACO=∠BCO．（2）等腰三角形有：△ABC△、AEF△，BEO△，COF△，BOC；EF、BE、FC之间的关系EF=BE+CF，理由如下：由（1）可得，△ABC△、BOC是等腰三角形；∵EF∥BC，∴∠ABC=∠AEF，∠AFE=∠ACB,∵∠ABC=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF,即AEF是等腰三角形；△∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC；∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∴∠EBO=∠EOB；∴EO=BE，∴△BEO是等腰三角形；同理可得OF=FC，∴△COF是等腰三角形；∴EO+OF=BE+FC，即EF=BE+CF．（3）图中的等腰三角形有：△BEO△，COF；结论仍然成立，理由如下：∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC；∵EF∥BC，∴∠OBC=∠EOB，∴∠EBO=∠EOB；∴EO=BE，∴△BEO是等腰三角形；同理可得OF=FC，∴△COF是等腰三角形；∴EO+OF=BE+FC，即EF=BE+CF．。

13.1轴对称一．选择题1．下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．三角形中，到三个顶点距离相等的点是（）A．三边垂直平分线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三条高线的交点3．如图，AC＝AD，BC＝BD，则下列判断正确的是（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若△ACD的周长为50，DE为AB的垂直平分线，则AC+BC＝（）A．25cm B．45cm C．50cm D．55cm5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF交AD 于G．下列结论：①AD垂直平分EF；②EF垂直平分AD；③AD平分∠EDF；④当∠BAC为60°时，AG＝3DG，其中不正确的结论的个数为（）A．1B．2C．3D．46．下列说法错误的是（）A．关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合B．线段是轴对称图形C．全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称D．轴对称图形的对称轴至少有一条7．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4cm8．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB（M，N不在AB上）的垂直平分线的是（）A．MA＝MB，NA＝NB B．MA＝MB，MN⊥ABC．MA＝NA，MB＝NB D．MA＝MB，MN平分AB9．下列图形中，对称轴的条数最少的图形是（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（）A．∠A的平分线B．AC边的中线C．BC边的高线D．AB边的垂直平分线二．填空题11．如图，在△ABC中，点D、E在直线AB上，且点D、E分别是线段AC、BC的垂直平分线上的点．若∠ACB＝30°，则∠DCE＝12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，边AB的垂直平分线DE交AC于D，若CD＝2cm，则AD＝cm．13．已知△ABC中，AB边的垂直平分线交BC边于点D，AC边的垂直平分线交BC边于点E，若AD＝5，AE＝7，DE＝3，则BC＝．14．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，∠C＝30°，∠BAD＝50°，则∠B＝．15．如图，AB＝AC，DE垂直AB于D，交AC于E，且AD＝BD，若△BEC的周长为20，BC＝6，那么△ABC的周长为．三．解答题16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD＝DE，已知AB+BD＝DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．17．已知甲村和乙村靠近公路a、b，为了发展经济，甲乙两村准备合建一个工厂，经协商，工厂必须满足以下要求：（1）到两村的距离相等；（2）到两条公路的距离相等．你能帮忙确定工厂的位置吗？18．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．19．如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．（1）求∠P AQ的度数；（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，且90°＜∠BAC＜180°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．①若∠BAC＝130°，则∠P AQ＝°，若∠BAC＝α，则∠P AQ用含有α的代数式表示为；②当∠BAC＝°时，能使得P A⊥AQ；③若BC＝10cm，则△P AQ的周长为cm．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：C．2．【解答】解：∵垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，∴到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．故选：A．3．【解答】解：在△ABC与△BDC中，，∴△ABC≌△ABD，∴∠CAB＝∠DAB，∴AB垂直平分CD，故选：A．4．【解答】解：∵DE为AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝50，故选：C．5．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°，在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE＝AF，∠ADE＝∠ADF，∴AD平分∠EDF；③正确；∵AD平分∠BAC，∵AE＝AF，DE＝DF，∴AD垂直平分EF，①正确；②错误，∵∠BAC＝60°，∴∠DAG＝30°，∴AG＝AE，AD＝AE，∴DG＝AE，∴AG＝3DG，④正确．故选：A．6．【解答】解：A、关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合，正确，故本选项错误；B、线段是轴对称图形，正确，故本选项错误；C、全等的两个三角形不一定关于某直线成轴对称，但关于某直线成轴对称的两个三角形一定，故本选项正确；D、轴对称图形的对称轴至少有一条，正确，故本选项错误．故选：C．7．【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，∴AN＝BN，∵△BCN的周长是7cm，∴BN+NC+BC＝7（cm），∴AN+NC+BC＝7（cm），∵AN+NC＝AC，∴AC+BC＝7（cm），又∵AC＝4cm，∴BC＝7﹣4＝3（cm）．故选：C．8．【解答】解：∵MA＝MB，NA＝NB，∴直线MN是线段AB的垂直平分线；∵MA＝MB，MN⊥AB，∴直线MN是线段AB的垂直平分线；当MA＝NA，MB＝NB时，直线MN不一定是线段AB的垂直平分线；∵MA＝MB，MN平分AB，∴直线MN是线段AB的垂直平分线，故选：C．9．【解答】解：A、有4条对称轴，故此选项错误；B、有3条对称轴，故此选项错误；C、有2条对称轴，故此选项正确；D、有4条对称轴，故此选项错误；故选：C．10．【解答】解：∵分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，∴DA＝DB，EA＝EB，∴点D，E在线段AB的垂直平分线上，故选：D．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：∵∠ACB＝30°，∴△ABC中，∠ABC+∠BAC＝150°，∵点D、E分别是线段AC、BC的垂直平分线上的点，∴EB＝EC，DC＝DA，∴∠E＝180°﹣2∠ABC，∠D＝180°﹣2∠BAC，∴△DCE中，∠DCE＝180°﹣（∠E+∠D）＝180°﹣（180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠BAC）＝180°﹣180°+2∠ABC﹣180°+2∠BAC＝2（∠ABC+∠BAC）﹣180°＝2×150°﹣180°＝120°．故答案为：120°．12．【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线DE交AC于D，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°．∵CD＝2cm，∴BD＝2CD＝4cm，∴AD＝4cm．故答案为：4．13．【解答】解：分两种情况：①如图，∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴BD＝AD＝5，CE＝AE＝7，∴BC＝BD+DE+CE＝5+3+7＝15；②如图，∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴BD＝AD＝5，CE＝AE＝7，∴BC＝BD﹣DE+CE＝5﹣3+7＝9；综上所述，BC的长为15或9．故答案为：15或9．14．【解答】解：∵DE是AC的中垂线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝30°，∴∠BAC＝80°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠C）＝70°，故答案为：70°．15．【解答】解：∵DE垂直AB于D，且AD＝BD，∴DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∵△BEC的周长为20，∴BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝20，∴AC＝20﹣BC＝14，∴△ABC的周长＝AC+AB+BC＝34，故答案为：34．三．解答题（共4小题）16．【解答】证明：∵AD是高，∴AD⊥BC，又∵BD＝DE，∴AD所在的直线是线段BE的垂直平分线，∴AB＝AE，∴AB+BD＝AE+DE，又∵AB+BD＝DC，∴DC＝AE+DE，∴DE+EC＝AE+DE∴EC＝AE，∴点E在线段AC的垂直平分线上．17．【解答】解：①以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交直线a、b于点A、B；②分别以A、B为圆心，以大于AB为半径画圆，两圆相交于点C，连接OC；③连接ED，分别以E、D为圆心，以大于ED为半径画圆，两圆相交于F、G两点，连接FG；④FG与OC相交于点H，则H即为工厂的位置．同法可得H′也满足条件，故点H或H′即为工厂的位置．18．【解答】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，∴DE＝CE，OE＝OE，∴Rt△ODE≌Rt△OCE，∴OD＝OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，∴∠AOE＝∠BOE＝30°，∵EC⊥OB，ED⊥OA，∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，∴∠EDF＝30°，∴DE＝2EF，∴OE＝4EF．19．【解答】解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP＝BP，AQ＝CQ，∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∵∠BAC＝130°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝50°，∴∠BAP+∠CAQ＝50°，∴∠P AQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝130°﹣50°＝80°；（2）①∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP＝BP，AQ＝CQ，∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∵∠BAC＝130°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝50°，∴∠BAP+∠CAQ＝50°，∴∠P AQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝130°﹣50°＝80°；∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP＝BP，AQ＝CQ，∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∵∠BAC＝α，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，∴∠BAP+∠CAQ＝180°﹣α，∴∠P AQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°；②当∠P AQ＝90°，即2α﹣180°＝90°时，P A⊥AQ，解得：α＝135°，∴当∠BAC＝135°时，能使得P A⊥AQ；③∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP＝BP，AQ＝CQ，∵BC＝10cm，即BP+PQ+CQ＝AP+PQ+AQ＝10cm，∴△P AQ的周长为10cm．故答案为：①80，2α﹣180°；②135；③10．13.2 画轴对称图形一、选择题（5道小题，每题7分，共35分）更正1、如图，在△ABC中，AB的中垂线交BC于点E，若BE=2则A、E两点的距离是（）.A.4B.2C.3D.122、如图，AB垂直平分CD，若AC=1.6cm，BC=2.3cm，则四边形ABCD的周长是（）cm.A.3.9B.7.8C.4D.4.63、如图所示，l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC，现给出下列结论：①AB∥CD；②AB=BC；③AB⊥BC；④AO=OC其中正确的结论有（）A．1个 B 2个 C 3个 D 4个4、下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5、在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）A、三角形三条角平分线的交点；B、三角形三条垂直平分线的交点；C、三角形三条中线的交点；D、三角形三条高的交点。

第十三章轴对称13.3 等腰三角形一、选择题（本题包括7小题，每小题只有1个选项符合题意）1．若等腰三角形底角为72°，则顶角为 ( )．A．108°B．72°C．54°D．36°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，则∠C＝( )．（第2题图）A．72°B．60°C．75°D．45°3．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有( )．A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④4．如图所示，已知∠1＝∠2，要使BD＝CD，还应增加的条件是( )．①AB＝AC；②∠B＝∠C；③AD⊥BC；④AB＝BC.A．①B．①②C．①②③D．①②③④（第4题图）5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过D点，且EF∥BC，图中等腰三角形共有( )．（第5题图）A．2个B．3个C． 4个D．5个6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )．（第6题图）A．6 B．7 C．8D．97．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB＝AC＝BD，则∠1和∠2的关系是( )．（第7题图）A．∠1＝2∠2 B．∠1＋∠2＝90°C．180°－∠1＝3∠2 D．180°＋∠2＝3∠1二、填空题（本题包括3小题）8．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于点D，若AD＝2，则AB＝__________.（第8题图）9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于点A，BC＝4.2 cm，则AD＝__________.（第9题图）10．如图，若B、D、F在AN上，C、E在AM上，且AB＝BC＝CD，EC＝ED＝EF，∠A＝20°，则∠FED＝__________.（第10题图）三、解答题（本题包括5小题）11．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE相交于点O.(1)求证：AB＝DC.(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．（第11题图）12． (综合应用)如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，求PD 的长．（第12题图）13．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，且∠AEF＝∠AFE.求证：EF⊥BC.(第13题图)14．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，CH⊥BD，交BD的延长线于H，求证：BD＝2CH.(第14题图)15．如图，某船上午11时30分在A处观测岛B在东偏北30°，该船以10海里/时的速度向东航行到C处，再观测海岛在东偏北60°，且船距海岛40海里．(1)求船到达C点的时间；(2)若该船从C点继续向东航行，何时到达B岛正南的D处？（第15题图）参考答案一、选择题1．D 分析：等腰三角形两底角相等，所以顶角为36°，故选D.2．A 分析：设∠A＝x，由已知可知，∠BDC＝∠C＝∠ABC＝2∠A＝2x.因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，所以x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36°，所以∠C＝72°，故选A.3．D 分析：①②为判定定理，③每个外角都相等，则都是120°，所以每个内角都是60°，④一腰上的中线也是这条腰上的高，说明这条线段所在的直线是这条腰的垂直平分线，所以腰等于底，也是等边三角形，四个都成立，故选D.4．C 分析：①②说明△ABC为等腰三角形，由“三线合一”可知BD＝CD，由③能得到△ABD≌△ACD，所以BD＝CD，④不能得到BD＝CD，故选C.5．D 分析：由题意知，AB＝AC，AE＝AF，BE＝DE，CF＝DF，BD＝CD，所以所有的三角形都是等腰三角形，共有5个，故选D.6．C 分析：如图，共有8个格点．注意3和8也是，故选C.7．D 分析：因为AB＝BD，所以∠B＝180°－2∠1，∠C＝∠1－∠2.因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.所以180°－2∠1＝∠1－∠2，整理得180°＋∠2＝3∠1，故选D.二、填空题8．8 分析：由题意可知，在Rt△ACD和Rt△ABC中，∠ACD＝∠B＝30°，所以AC＝2AD，AB＝2AC.所以AB＝4AD＝4×2＝8.9．1.4 cm 分析：由已知可以推出∠B＝∠CAD＝∠C＝30°，AD＝DC，∠C＝30°，DA ⊥BA于A，所以BD＝2AD.所以BC＝3DC＝3AD＝4.2 (cm)．所以AD＝1.4 cm. 10．20°分析：运用一个外角等于和它不相邻的内角及等腰三角形两底角相等可求出∠FED＝20°.三、解答题11．(1)证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABF≌△DCE(AAS)．∴AB＝DC.(2)解：△OEF为等腰三角形.理由如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC.∴OE＝OF.∴△OEF为等腰三角形．12．解：如图，过P作PE⊥OB，垂足为E.（第12题图）∵∠AOP＝∠BOP＝15°，PD⊥OA，∴PD＝PE.∵PC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP＝15°.∴∠BCP＝∠BOP＋∠CPO＝30°，在Rt△CPE中，∠BCP＝30°，∴PE＝114 2. 22PC=⨯=.∴PD＝PE＝2.13．证明：如图，过A作AD⊥BC，垂足为D.（第13题图）∵AB ＝AC ，∴∠BAD ＝12BAC ∠.∵∠AEF ＝∠AFE ， ∠BAC ＝∠AEF ＋∠AFE ，∴∠EFA ＝12BAC ∠.∴∠EFA ＝∠BAD. ∴EF ∥AD ，∴EF ⊥BC.14．证明：如图，延长CH 、BA 相交于点E.（第14题图）∵CH ⊥BD ，BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠CHB ＝∠EHB ＝90°，∠CBH ＝∠EBH. 又∵BH ＝BH ，∴△CBH ≌△EBH. ∴CH ＝EH.∴CE ＝2CH.∵∠ACB ＝45°，∠CAB ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∴∠ACB ＝∠ABC.∴AC ＝AB. ∵∠CAB ＝∠CAE ＝90°， ∴∠E ＋∠ECA ＝90°.∵CH ⊥BD ，∴∠E ＋∠EBH ＝90°. ∴∠ECA ＝∠EBH.∴△ECA ≌△DBA.∴CE＝BD.∴BD＝2CH.15．解：(1)∵∠A＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝30°.∴∠A＝∠ABC.∴AC＝BC＝40(海里),40÷10＝4(时)．答：船到达C点的时间是15时30分．(2)在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴CD＝1122BC ×40＝20(海里),20÷10＝2(时)．答：该船在17时30分到达D处．。