力学振动补充题

1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动）和非线性振动；确定性振动和（随机振动）；（自由振动）和强迫振动。

2、周期运动的最简单形式是（简谐运动），它是时间的单一（正弦）或（余弦）函数。

3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。

4、简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应）和（稳态响应）组成。

5、工程上分析随机振动用（数学统计）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、（自相关函数）和（互相关函数）。

6、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和系统的（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。

二、简答题（本题40分）1、什么是机械振动？振动发生的内在原因是什么？外在原因是什么？ （7分）答：机械振动是指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。

（3分）振动发生的内在原因是机械或结构具有在振动时储存动能和势能，而且释放动能和势能并能使动能和势能相互转换的能力。

（2分）外在原因是由于外界对系统的激励或者作用。

（2分）2、从能量、运动、共振等角度简述阻尼对单自由度系统振动的影响。

（12分）答：从能量角度看，阻尼消耗系统的能力，使得单自由度系统的总机械能越来越小；（2分）从运动角度看，当阻尼比大于等于1时，系统不会产生振动，其中阻尼比为1的时候振幅衰减最快（4分）；当阻尼比小于1时，阻尼使得单自由度系统的振幅越来越小，固有频率降低，阻尼固有频率d ωω=（2分）共振的角度看，随着系统能力的增加、增幅和速度增加，阻尼消耗的能量也增加，当阻尼消耗能力与系统输入能量平衡时，系统的振幅不会再增加，因此在有阻尼系统的振幅并不会无限增加。

（4分）3、简述无阻尼多自由度系统振型的正交性。

（7分）答：属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量和刚度矩阵为权正交。

其数学表达为：如果当s r ≠时，s r ωω≠，则必然有⎩⎨⎧==0}]{[}{0}]{[}{r T s r T s u K u u M u 。

力学练习题弹簧振子的频率与振幅力学练习题：弹簧振子的频率与振幅弹簧振子是力学中常见的基本模型，它的频率与振幅之间存在一定的关系。

通过练习题的形式，我们将深入探讨弹簧振子的频率与振幅之间的关系，并通过计算来验证这一关系。

一、理论基础弹簧振子是由弹簧和质点组成，当质点在弹簧的作用下发生振动时，我们考虑弹簧的力学性质。

弹簧受到的力可以表示为：F = -kx其中，F为弹簧受到的力，k为弹簧的弹性系数，x为弹簧的伸长或压缩量。

根据胡克定律，弹簧的弹性系数k可以表达为：k = (F/x)其中，F为给定的力，x为弹簧的压缩或伸长量。

二、练习题1. 弹簧振子的频率与弹性系数k之间存在何种关系？根据振动的理论，弹簧振子的频率与弹性系数k之间的关系可以用如下公式表示：f = (1/2π) * √(k/m)其中，f为弹簧振子的频率，k为弹簧的弹性系数，m为质点的质量。

2. 请计算以下情况下弹簧振子的频率：（1）弹簧的弹性系数k为10 N/m，质点的质量为0.5 kg；（2）弹簧的弹性系数k为20 N/m，质点的质量为1 kg；（3）弹簧的弹性系数k为30 N/m，质点的质量为2 kg。

根据上述公式，我们可以依次计算出这三种情况下的频率：（1）f₁ = (1/2π) * √(10/0.5) = 1.13 Hz（2）f₂ = (1/2π) * √(20/1) = 2.26 Hz（3）f₃ = (1/2π) * √(30/2) = 2.68 Hz三、结论通过计算可以发现，弹簧振子的频率与弹性系数k之间存在正相关关系，即弹性系数k增大时，频率也会增大。

这是因为弹性系数越大，弹簧对质点的恢复力越大，振动的速度也会更快，从而导致频率的增大。

在实际应用中，弹簧振子的频率与振幅、质量等因素也有关系，但本练习题仅考虑了弹性系数k和质量之间的关系。

为了更全面地了解弹簧振子的特性，可以进一步研究振幅、阻尼等因素对频率的影响。

结语：通过这个练习题，我们深入探讨了弹簧振子的频率与振幅之间的关系，通过计算验证了频率与弹性系数k之间存在正相关关系。

机械振动课后习题答案机械振动是力学中的一个重要分支，研究物体在受到外力作用后的振动特性。

在学习机械振动的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。

本文将为大家提供一些机械振动课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一知识。

1. 一个质量为m的弹簧振子在无阻尼情况下振动，其振动方程为mx'' + kx = 0，其中x为振子的位移，k为弹簧的劲度系数。

试求振动的周期。

解答：根据振动方程可知，振子的振动是简谐振动，其周期T与振子的质量m和弹簧的劲度系数k有关。

根据简谐振动的周期公式T = 2π√(m/k)，可得振动的周期为T = 2π√(m/k)。

2. 一个质量为m的弹簧振子在受到外力F(t)的作用下振动，其振动方程为mx''+ kx = F(t)，其中F(t) = F0cos(ωt)。

试求振动的解析解。

解答：根据振动方程可知，振子的振动是受迫振动，其解析解可以通过求解齐次方程和非齐次方程得到。

首先求解齐次方程mx'' + kx = 0的解xh(t)，得到振子在无外力作用下的自由振动解。

然后根据外力F(t)的形式，假设其特解为xp(t) = Acos(ωt + φ)，其中A为振幅，φ为相位差。

将特解xp(t)代入非齐次方程，求解得到A和φ的值。

最后，振动的解析解为x(t) = xh(t) + xp(t)。

3. 一个质量为m的弹簧振子在受到阻尼力和外力的作用下振动，其振动方程为mx'' + bx' + kx = F(t)，其中b为阻尼系数。

试求振动的稳定解。

解答：根据振动方程可知，振子的振动是受到阻尼力和外力的作用，其稳定解可以通过求解齐次方程和非齐次方程得到。

首先求解齐次方程mx'' + bx' + kx = 0的解xh(t)，得到振子在无外力和阻尼作用下的自由振动解。

然后根据外力F(t)的形式，假设其特解为xp(t) = Acos(ωt + φ)，其中A为振幅，φ为相位差。

动力学与振动控制考试试题在本文中，将为您提供一份关于动力学与振动控制考试试题的详细解析。

本文将按照试题的难度逐步展开，力求为您提供全面且易于理解的解答。

请仔细阅读以下内容，以便更好地理解与掌握动力学与振动控制领域的知识。

1. 引言动力学与振动控制是研究物体运动规律以及如何控制物体振动的学科。

它在工程学、物理学等领域有着广泛的应用。

本次考试试题旨在检验学生对动力学与振动控制基本概念的理解和能力。

2. 单项选择题请从以下选项中选择正确答案，并简要解释你的选择：1) 简谐振动是指：A) 振幅不变、频率不变的周期振动B) 振幅不变、频率可变的周期振动C) 振幅可变、频率不变的周期振动D) 振幅可变、频率可变的周期振动选择：A解析：简谐振动是指振幅和频率都保持不变的周期振动。

选项A描述了简谐振动的特点，符合定义。

2) 动力学是研究：A) 物体静止状态的学科B) 物体运动状态的学科C) 物体力学特性的学科D) 物体的质量和重力的学科选择：B解析：动力学是研究物体运动及其原因的学科，选项B准确地描述了动力学的研究对象。

3) 过阻尼振动与欠阻尼振动相比，其特点是：A) 振幅变大B) 振幅变小C) 无阻尼振动D) 振幅不变选择：B解析：过阻尼振动是指振幅随时间的推移逐渐减小到零，并且响应速度较慢。

相比之下，欠阻尼振动具有振幅变大的特点。

3. 简答题请简要回答以下问题：1) 什么是自由振动？解析：自由振动是系统在受到外界干扰后释放能量，并在无干扰的情况下以自身固有的频率振荡。

系统在自由振动过程中不受外力的影响。

2) 动力学方程有哪些常见形式？解析：动力学方程是通过质点或物体的运动学信息推导出来的方程。

常见的动力学方程形式有牛顿第二定律、欧拉-拉格朗日方程、哈密顿方程等。

4. 计算题请根据所给条件进行计算：一根长为L的均匀细绳的一端固定，另一端系有质量为m的物体。

当其受到外力作用后，发生简谐振动。

已知细绳所受拉力为T，求该物体的振动周期T。

《振动力学》2015春节学期作业一、无阻尼自由振动1、如图所示，T型结构可绕水平轴O作微小摆动，已知摆动部分的质量为w,机构绕O轴的转动惯量为J，两弹簧的弹簧系数均为k，且当①=0时（即机构处于平衡位置时），两弹簧无伸缩，试求该机构的摆动频率。

2、如图所示，长度为L的刚性杆件，在O点铰支，自由端固定一质量为m的小球。

在距离铰支端a处，由两个刚度系数为k/2的弹簧将刚性杆件支持在铅垂面内。

求该系统的固有频率。

（忽略刚性杆件和弹簧的质量）（答案：①喈喘一D）（答案：①=)3、如图所示，悬臂梁长为L,截面抗弯刚度为EI,梁的自由端有质量为m 的质量块，弹簧刚 度为k ，求系统的固有频率。

4、如图所示，半径为R 的均质半圆柱体，在水平面内只作滚动而不滑动的微摆动，求其固有 角频率。

（答案：①）君篇5、如图所示，抗弯刚度为EI = 30义106（N ・m 2）的梁AB ，借弹簧支撑于A,B 两点处，弹簧系数均为k = 300（N / m ）。

忽略梁的质量，试求位于B 点左边3m 处，重量为W = 1000（N ）的物块自由振动的周期。

（答案:T=0.533s ）借助四根端点嵌固的竖置管柱支撑着。

每根柱子的长为L,抗弯刚度为 EI 。

试求该水箱顺水平方向自由振动的周期。

（管柱的质量忽略不计） 6、一个重W 的水箱， （答案：）（答案：T = 2)1、如图所示，库伦曾用下述方法测定液体的粘性系数c '：在弹簧上悬挂一薄板A ,先测出薄板在空气中 的振动周期J 然后测出在待测粘性系数的液体中的振动周期「设液体对薄板的阻力等于2A c ′ -其 中2A 为薄板的表面面积，v 为薄板的速度。

如薄板重W ，试有测得的数据T 和T 2，求出粘性系数c 。

空 气对薄板的阻力不计。

»2 冗 W 二~~—（答案：C ’二祈口22 一 T ：）12（答案：196Ns/m ）3、挂在弹簧下端的物体，质量为1.96kg ，弹簧常数k=0.49N/cm,阻尼系数c=0.196Ns/cm 。

《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。

求系统的固有频率。

图E1.1解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得：()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。

求系统的固有频率。

图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得：()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。

求系统的固有频率。

图E1.3解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222121212121θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。

请打双面习题与综合训练 第一章2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。

求该房屋作水平方向振动时的固有频率。

解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。

等效弹簧系数为k则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ =则 k =324EJ h设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "m x kx =-所以固有频率3n 24mh EJ p =2-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。

试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理： ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12c o s s i n ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222=== 2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 和3k ，悬臂梁的质量忽略不计。

解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。

k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。

k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。

即为21211k k k k k +='，212132k k kkk k++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=2-4 求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。

请打双面习题与综合训练 第一章2-1 一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。

求该房屋作水平方向振动时的固有频率。

解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。

等效弹簧系数为k则 mg k δ=其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知δ=324mgh EJ =则 k =324EJ h设静平衡位置水平向右为正方向，则有 "m x kx =-所以固有频率3n 24mh EJ p =2-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。

试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理： ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12c o s s i n ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222=== 2-3 求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是1k 和3k ，悬臂梁的质量忽略不计。

解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。

k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。

k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。

即为21211k k k k k +='，212132k k kkk k++='，4241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=)(42412132314214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++=2-4 求题2-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。

振动力学_上海交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.对于任意初始激励，二自由度系统的响应都是两个主振型的叠加。

答案:正确2.如图所示的系统中，四个物体的质量均为m，由三根刚度系数均为k的弹簧连接，系统的刚度矩阵为：【图片】答案:3.如图所示两自由度系统，系统的固有频率分别为【图片】和【图片】。

系统的模态矩阵为：【图片】答案:4.如图所示两自由度系统，系统的固有频率分别为【图片】和【图片】，系统的模态矩阵为【图片】，系统存在初始条件【图片】和【图片】。

系统的响应分别为：【图片】答案:5.如图所示柔性悬臂梁，梁两端的物理边界条件为：【图片】答案:左端挠度为零、截面转角为零，右端弯矩为零、剪力为零6.一个无阻尼单自由度弹簧质量系统，在【图片】时间间隔内受到如图所示的突加的矩形脉冲力作用【图片】，已知系统的固有频率为【图片】。

采用杜哈梅积分所求得的系统响应为：【图片】答案:7.如图所示等截面梁，长度为l，弹性模量为E，横截面对中性轴的惯性矩为I，梁材料密度为【图片】。

集中质量为m，卷簧刚度为【图片】，直线弹簧刚度为【图片】。

【图片】为梁x位置的截面在t时刻的振动位移。

写出系统的动能和势能表达式：动能为（），势能为（）。

【图片】答案:_8.只有一个机械系统的全部元件即弹簧、质量块和阻尼都是非线性的，这个系统的振动才是非线性振动答案:错误9.单自由度线性振动系统有可能会有两个及以上的固有频率。

答案:错误10.粘性阻尼系统的运动微分方程是非线性的。

答案:错误11.无阻尼单自由度系统的振幅随时间变化答案:错误12.对于一个单自由度振动系统，假定系统受到简谐外部激励的作用，如下说法正确的是答案:系统的稳态响应是以外部激励的频率为振动频率进行振动的13.叠加原理适用于线性振动系统分析，也适用于非线性振动系统分析。

答案:错误14.如下说法是否正确：柔性悬臂梁的固有频率和模态函数可以通过梁的动力学方程求得。

《振动力学》习题集（含答案）质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。

求系统的固有频率。

图解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。

求系统的固有频率。

图解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn = 和U T =可得：()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。

求系统的固有频率。

图解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222121212121θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn = 和U T =可得：()()3232132k k J k k k k k n +++=ω在图所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。

《振动力学》习题集（含答案）质量为 m 的质点由长度为 l 、质量为 m 1 的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。

求系统的固有频率。

lxm 1m图解：系统的动能为：T1m xl 21 Ix 222其中 I 为杆关于铰点的转动惯量：l m 1 2lm 1 21 2Ildx xlx dxm 1l3则有：T1 ml2 x 2 1m 1l 2 x213m m 1 l 2 x 226 6系统的势能为：U mgl 1 cosx m 1gl 1 cosx21mglx 21m 1glx 2 1 2m m 1 glx 224 4利用 x n x 和T U 可得：n3 2m m 1 g 2 3m m 1 l质量为 m、半径为 R的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a的 A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。

求系统的固有频率。

k A kaCR图解：如图，令为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：T 1I B21mR2 1 mR2 23 mR2 2 2224U 21k R a2k R a 2 22利用n和 T U可得：4k R a2R a4kn3mR2R3m转动惯量为 J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为k 1 ， k 2 和 k 3 的轴约束，如图所示。

求系统的固有频率。

Jk 1 k 2图解：系统的动能为：T1 J2 2k 2 和 k 3 相当于串联，则有：k 323 ,k2 2k3 3以上两式联立可得：2k 3 ,3k 2k 3k 3k 2k 2系统的势能为：U1k 1 21k 2 221k 3 32 1 k 1 k 2 k 3 k 2k 3 2222 2k 2 k 3 利用n 和 TU 可得：nk 2k 3 k 1 k 2 k 3J k 2 k 3在图所示的系统中，已知k i i 1,2,3 , m, a 和 b ，横杆质量不计。

求固有频率。

x1k1k 2F1bmga a bbk3m图a x0bx2xmg aF2amgb答案图解：对 m进行受力分析可得：mg k3 x3mg ，即 x3k3如图可得：x1F1mgb,x2F2mgak1k2 a b k2a b k1a x2x1a2k1b2 k2x0 x1x x1 a b a b 2 k1k2mgx x0x3a2k1b2 k21mg1mg a b 2 k1k2k3k0则等效弹簧刚度为：2k1k2k3 k e a b2k1k3 b2k2k32a ab k1k2则固有频率为：k e k1k2k3 a b 2nm k1k2 a b 2k3 k1a2k2b2m质量 m1在倾角为的光滑斜面上从高h 处滑下无反弹碰撞质量m2，如图所示。

《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。

试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。

解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。

试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。

解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。

试求其摆动的固有频率。

图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。

1、四个振动系统中,自由度为无限大的就是( )。

A、单摆;B、质量-弹簧;C、匀质弹性杆;D、无质量弹性梁;2、两个分别为c1、c2的阻尼原件,并连后其等效阻尼就是( )。

A、c1+c2;B、c1c2/(c1+c2);C、c1-c2;D、c2-c1;3、( )的振动系统存在为0的固有频率。

A、有未约束自由度;B、自由度大于0;C、自由度大于1;D、自由度无限多;4、多自由度振动系统中,质量矩阵元素的量纲应该就是( )。

A、相同的,且都就是质量;B、相同的,且都就是转动惯量;C、相同的,且都就是密度;D、可以就是不同的;5、等幅简谐激励的单自由度弹簧-小阻尼-质量振动系统,激励频率( )固有频率时,稳态位移响应幅值最大。

A、等于;B、稍大于;C、稍小于 ;D、为0;6、自由度为n的振动系统,且没有重合的固有频率,其固有频率的数目(A )。

A、为n;B、为1;C、大于n;D、小于n;7、无阻尼振动系统两个不同的振型u(r)与u(s),u(r)T Mu(s)的值一定( )。

A、大于0;B、等于0;C、小于0;D、不能确定;8、无阻尼振动系统的某振型u(r),u(r)T Ku(r)的值一定( )。

A、大于0;B、等于0;C、小于0;D、不能确定;9、如果简谐激励力作用在无约束振动系统的某集中质量上,当激励频率为无限大时,该集中质量的稳态位移响应一定( )。

A、大于0;B、等于0;C、为无穷大;D、为一常数值;10、相邻固有频率之间的间隔呈近似无限等差数列的振动系统就是( )。

A、杆的纵向振动;B、弦的横向振动;C、一般无限多自由度系统;D、梁的横向振动;11、两个刚度分别为k1、k2串连的弹簧,其等效刚度就是( )。

A、k1+k2;B、k1k2/(k1+k2);C、k1-k2;D、k2-k1;12、 无阻尼振动系统两个不同的振型u (r )与u (s ),u (r )T Ku (s )的值一定( )。

A 、 大于0;B 、 等于0;C 、 小于0;D 、 不能确定;13、 无阻尼振动系统的某振型u (r ),u (r )T Mu (r )的值一定( )。

第02章 单自由度系统的振动2.1 一根抗弯刚度72=3610Ncm EI ⨯的简支架，两支承间跨度l 1=2m ，一端伸臂l 2=1m ，略去梁的分布质量，试求悬臂端处重为Q =2548 N 的重物的自由振动频率。

【提示：22123()EJ k l l l =+，2212()3st Ql l l EI δ+=，11.77n ω=L 1/s 】 2.2 梁AB 其抗弯刚度72=910Ncm EI ⨯，A 端与B 端由弹簧支承，弹簧刚性系数均为k =52.92 kN/m ，如图所示。

略去梁的分布质量，试求位于B 端点左边1米处，重为Q =4900 N 的物块自由振动的周期。

【解法1：通过计算静变形求解。

A ，B 弹簧受力为3Q 和23Q ，压缩量为3Q k 和23Q k ，则由弹簧引起的静变形为159Qk δ=；利用材料力学挠度公式求出梁变形引起的静变形222212(321)4619Q QEI EIδ⋅⋅--==⋅。

周期为：22 1.08nT πω===s 。

解法2：通过弹簧刚度的串并联计算总等效刚度求解。

A ，B 弹簧相对Q 处的等效刚度为（产生单位变形需要的力，利用解法1中计算的静变形结果）195k k =；利用材料力学挠度公式求出梁相对Q 处的等效刚度294EI k =；总等效刚度为：12111eq k k k =+。

周期为22 1.08nT πω===s 。

】 2.4 一均质刚杆重为P ，长度为L 。

A 处为光滑铰接，在C 处由刚性系数为k 的弹簧使杆在水平位置时平衡。

弹簧质量不计，求杆在竖直面内旋转振动时的周期。

【解：利用定轴转动微分方程：21()32st P l l P k a a g ϕϕδ=--&&，2st lk a P δ=， 得：22103P l k a gϕϕ+=&&，22n T πω===题 2-1 图BAQ题 2-2 图QkkAB 题 2-4 图2.8一个重为98 N的物体，由刚性系数为k=9.8 kN/m的弹簧支承着（简化为标准m-k-c振动系统），在速度为1 cm/s时其阻力为0.98 N。

《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。

求系统的固有频率。

图E1.1解：系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。

求系统的固有频率。

图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。

求系统的固有频率。

图E1.3解：系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。

第九章 振动一、简答题1、如果把一弹簧振子和一单摆拿到月球上去,它们的振动周期将如何改变? 答案：弹簧振子的振动周期不变，单摆的振动周期变大。

2、完全弹性小球在硬地面上的跳动是不是简谐振动，为什么？答案：不是，因为小球在硬地面上跳动的运动学方程不能用简单的正弦或余弦函数表示，它是一种比较复杂的振动形式。

3、简述符合什么规律的运动是简谐运动答案：当质点离开平衡位置的位移`x`随时间`t`变化的规律，遵从余弦函数或正弦函数()ϕω+=t A x cos 时，该质点的运动便是简谐振动。

或：位移x 与加速度a 的关系为正比反向关系。

4、怎样判定一个振动是否简谐振动？写出简谐振动的运动学方程和动力学方程。

答案：物体在回复力作用下，在平衡位置附近，做周期性的线性往复振动，其动力学方程中加速度与位移成正比，且方向相反:x dtx d 222ω-= 或：运动方程中位移与时间满足余弦周期关系:)cos(φω+=t A x5、分别从运动学和动力学两个方面说明什么是简谐振动？答案：运动学方面：运动方程中位移与时间满足正弦或余弦函数关系)cos(φω+=t A x动力学方面：物体在线性回复力作用下在平衡位置做周期性往复运动，其动力学方程满足6、简谐运动的三要素是什么？答案： 振幅、周期、初相位。

7、弹簧振子所做的简谐振动的周期与什么物理量有关？答案： 仅与振动系统的本身物理性质：振子质量m 和弹簧弹性系数k 有关。

8、如果弹簧的质量不像轻弹簧那样可以忽略，那么该弹簧的周期与轻弹簧的周期相比，是否有变化，试定性说明之。

答案：该振子周期会变大，作用在物体上的力要小于单纯由弹簧形变而产生的力，因为单纯由形变而产生的弹力中有一部分是用于使弹簧产生加速度的，所以总体的效果相当于物体质量不变，但弹簧劲度系数减小，因此周期会变大。

9、伽利略曾提出和解决了这样一个问题：一根线挂在又高又暗的城堡中，看不见它的上端而只能看见其下端，那么如何测量此线的长度？答案：在线下端挂一质量远大于线的物体，拉开一小角度，让其自由振动，测出周期T ，便可依据单摆周期公式gl T π2=计算摆长。

振动力学简答题1. 什么是振动力学？振动力学是研究物体在作周期性振动时的力学规律和现象的科学。

它涉及物体弹性变形、能量转换、周期性运动等方面，是力学的一个重要分支。

2. 物体振动的基本特征有哪些？物体振动的基本特征包括频率、振幅、周期和相位。

- 频率：指单位时间内振动的次数，用赫兹（Hz）表示。

- 振幅：指物体在振动过程中离开平衡位置的最大距离。

- 周期：指振动完成一个完整循环所需的时间。

- 相位：指振动物体与某一参考点的位置关系。

3. 物体振动的能量如何转化？物体在振动过程中，能量可以在不同的形式之间转化。

主要的能量转化形式包括：- 动能转化：物体振动时，动能在平衡位置和极限位置之间转化，以及在不同方向的运动中相互转化。

- 势能转化：物体由于弹性势能而产生振动，振动过程中，弹性势能在物体振动的极限位置和平衡位置之间转化。

- 损耗能转化：由于物体振动时受到摩擦力或其他非弹性力的作用，能量会以热能等形式损耗。

4. 物体的共振现象是什么？共振是指当一个物体受到与其固有振动频率相同或接近的外界激励时，会发生极大振幅的现象。

共振现象在各种实际应用中都具有重要的意义，例如乐器演奏、建筑物抗震设计等。

共振现象也需要注意，因为过大的振幅可能导致结构破坏。

5. 振动力学在工程中的应用有哪些？振动力学在工程中有广泛的应用，包括但不限于：- 结构动力学：研究建筑物、桥梁、航空器等结构物的振动特性以及抗震设计。

- 振动控制：通过引入阻尼、调节振动频率等手段，减小结构或设备的振动幅度，提高系统的稳定性和可靠性。

- 振动检测：利用振动传感器等装置，对机械设备的振动状况进行监测和诊断，以预防故障和提高设备的使用寿命。

- 振动测试：通过振动台等设备对产品进行振动测试，以评估产品的可靠性和耐久性。

以上是关于振动力学的简答题回答，希望对您有所帮助。

如需进一步了解或有其他问题，请随时提问。