二次根式的性质(1)[下学期]--浙教版1www.

二次根式的概念和性质（基础）知识讲解【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简.3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 2.代数式：形如5，a ，a+b ，ab ，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式. 要点二、二次根式的性质1、； 2.； 3.. 要点诠释：1.二次根式(a ≥0)的值是非负数。

一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2(0a a =≥）.2要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2中a ≥0a 为任意值。

2).a ≥0时，2a ；a <0时，2a -.要点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.要点四、同类二次根式1. 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式【典型例题】类型一、二次根式的概念1.当x ，，，属二次根式的有____ 个.【答案】 3【解析】这三个式子满足无论x 取何值，被开方数都大于等于零.【总结升华】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 举一反三：【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）（1（2； （3）（4）； （5；（61x >） A ．2 B.3 C.4 D.5【答案】B【：：381279：二次根式及其乘除法（上）经典例题1】2. x 取何值时，下列函数在实数范围内有意义？（1）y = （2）y=2+x －x 23-；【答案与解析】 （1）1x -≥0，所以x ≥1. （2）2x +≥0,32x -≥0,所以2-≤x ≤32； 【总结升华】重点考查二次根式的概念：被开方数是正数或零.举一反三：【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（ ）【答案】B. 类型二、二次根式的性质3. 计算下列各式：(1)2- 【答案与解析】(1) 33=-2=-42⨯原式. (2) =3.14-=-3.14ππ原式.【总结升华】 二次根式性质的运用.举一反三【：：381279：二次根式及其乘除法（上）经典例题3】【变式】（1）2)252(-=_____________ （2）2)2(2a a ---=_____________【答案】(1) 10;(2) 0.4. （2015•蓬溪县校级模拟）已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a ﹣b|．【答案与解析】解：从数轴上a 、b 的位置关系可知：﹣2＜a ＜﹣1，1＜b ＜2，且b ＞a ，故a+1＜0，b ﹣1＞0，a ﹣b ＜0，原式=|a+1|+2|b ﹣1|﹣|a ﹣b|=﹣（a+1）+2（b ﹣1）+（a ﹣b ）=b ﹣3．【总结升华】本题主要考查了利用数轴比较两个数的大小和利用二次根式的性质进行化简，属于基础题.举一反三【变式】若整数m 1,m m =+<且则m 的值是___________. 【答案】m =0或m =-1.类型三、最简二次根式5.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7). 【答案与解析】和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是 最简二次根式.举一反三【变式】（2015•东莞二模）下列各式中,是最简二次根式的是（ ）A B C 【答案】C.类型四：同类二次根式6. （2016是同类二次根式的是( )B.【答案】 B.【解析】故选B.【总结升华】同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.举一反三：【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( ) A.a=2，b=1 B.a=1，b=2 C. a=1，b=-1 D. a=1，b=1【答案】 D.根据题意，得解之，得，故选D.。

1.2二次根式的性质 (1)【教学目标】1．经历二次根式的性质:()a a =2(a≥0), a a =2= ⎩⎨⎧-≥)0()0( a a a a 的发现过程,体验归纳,猜想的思想方法2．了解二次根式的上述两个性质.3．会运用上述两个性质进行有关的计算.【教学重点、难点】重点：本节的重点是二次根式性质：()a a =2(a≥0), a a =2 = ⎩⎨⎧-≥)0()0( a a a a 难点：a a =2 =⎩⎨⎧-≥)0()0( a a a a 【教学过程】一、 引入新课1） 提问：2的平方根是什么？什么数的平方是2？（2±） 得到：（2）2=2 （－2)2=22） 提问：（2)7=？（?)21?()2122=-=选三个中下游的学生回答，教师鼓励学生大胆发言。

二、 新课讲授1、 由上面的提问得到什么样的结论？()a a =22、那么对于上面的性质，a 能小于0吗？（不能，a 必须大于等于0） ()a a =2（a ≥0） 3、提问：?22=?2=?)5(2=-=-5？ ?0?02==请几个中游的学生回答。

（ 2，2 ；5，5 ；0，0 ）4、议一议：2a 与a 有什么关系？当a≥0时，2a =？当a ＜0时，2a =？经学生讨论后，指定一名学生（程度中下）回答，再指定一名学生（程度较好）点评。

教师总结：2a ==a ⎩⎨⎧-≥)0()0( a a a a 5、提问：π-=-?)7(2=？？）（=-23π 三、讲解例题例1、计算（1）22)15()10(-- （2）[]222)2(22+∙-- 按教师提问，学生回答，教师板书解题过程交替进行的方式教学，问题设计：1） 应用哪一个性质？具体怎么算？2） 计算顺序应该怎样？第一题选择中下游学生回答，第二题选择中上游学生回答。

教师总结：计算时应看清符合哪一个性质？a 是大于0还是小于0？练习：1）（-222)2004()4()5-+-- 2）（2222)12()6()3-+-- 例2 计算3254)3253(2-+- 对于此题，学生可能会先算括号里的，讲解时可以把两种方法作比较，以体现二次根式的性质。

1.2二次根式的性质（第一课时）教学目标：1、经历二次根式的性质：()()02≥=a a a (0)-(0)a a a a a ≥⎧==⎨<⎩的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法。

2、了解二次根式的上述两个性质。

3、会运用上述两个性质进行有关计算。

重点与难点：本节教学重点：是理解二次根式的上述两个性质；教学难点：是灵活运用上述两个性质进行有关计算。

教学设想：在教学中首先是进一步梳理和巩固已生成的知识，引入二次根式的性质1与平方根的关系。

并从学生熟悉的知识出发先练习、再观察发现总结规律得出性质一。

先练习、再观察发现总结规律得出性质二。

再通过梳理知识使条理清楚，并及时练习巩固，运用二次根式的两个性质解决基础的运算问题。

其间还要求规范书写知道运算程序、强调性质运用的条件，二次根式运算顺序。

教学过程：1、动动脑筋：（利用教材中的例子）。

你能把一张三边分别为5、5、10的三角形纸片放入4×4方格内，使它的三个顶点都在方格的顶点上吗?2、利用教材中的填空：①图1中正方形的边长是_________。

（a ）②参考图2，完成以下填空：2=______；2=_________；2⎛ ⎝=_________。

（将教材中的直观图形[正方形]作适当拓展，启发诱导数形结合思想，目的是从熟悉的知识出发先练习、再观察发现总结规律得出性质一。

）你发现什么规律？归纳二次根式性质1：3、巩固新学知识，抢答：2___=；2____=；2(3)(____=；2(4)(____-=。

4、合作学习： 23____=；3____=。

2(5)____-=；5__-=。

20__=；0__=。

并猜想：2?a =此处的“合作学习”包含着两个过程：一是比较左右两边的式子的结果，得到基本形状2a =a 。

二是比较右边的式子，得到绝对值的解答结果。

你发现什么规律？对于学生不能回答回思路不明时，则如下点拨：比较2a 和a 有何关系？当a ≥0时，2a ＝_____；和a ﹤0，2a ＝_____。

初二数学浙教版下册二次根式的运算知识
点
知识点
二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减.
(1)二次根式的加减：
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数.
(2)二次根式的乘除：
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式.
(3)二次根式的混合运算：
先乘方(或开方)，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算.
注意：进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法
公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便.二次根式运算结果应尽可能化简.另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数.
课后练习
二次根式的运算知识点的全部内容就是这些，不知道大家是否已经都掌握了呢？预祝大家可以更好的学习，取得优异的成绩。

1.2 二次根式的性质课件(共17张PPT) 浙教版数学八年级下册(共17张PPT)1.2 二次根式的性质教学目标1．了解二次根式的上述两个性质.2．会运用上述两个性质进行有关的计算.教学难点在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力.二次根式有哪些性质新课导入664.4721359554.4721359550.750.751.2247448711.224744871比较左右两边的等式,你有什么发现能用字母表示你所发现的规律吗探究新知一般地,二次根式有下面的性质:文字表达：1、积的算术平方根等于算术平方根的积.2、商的算术平方根等于算术平方根的商.(1)错（2）错（3）错合作探究归纳概念(1)二次根式化简：①预备阶段：包括分解质因数；化带分数为假分数；处理好被开方数的符号；根号内分数的分子、分母同乘一个数，使分母成为一个整数的平方等等；②运用二次根式的性质化简．(2)对化简结果的要求：①根号内不再含有分母；②根号内不再含有开得尽方的因数或因式．例1 化简注意：一般地,二次根式化简的结果应使根号内的数是一个自然数,且在该自然数的因数中,不含有除1以外的自然数的平方数.典例精析例2 化简1.化简：巩固练习2.下列各式中，计算正确的是()C3.下列二次根式中，最简二次根式是()B1．积的算术平方根说明：积的算术平方根等于各个因式的算术平方根的积．注意：a，b的条件是a≥0，b≥0.2．商的算术平方根说明：商的算术平方根等于分子的算术平方根除以分母的算术平方根．注意：a，b的条件是a≥0，b＞0.课堂小结3．最简二次根式定义：在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式．注意：二次根式化简的结果应为最简二次根式．。

浙江版八年级数学下册第1章二次根式1.2二次根式的性质第1课时二次根式的性质（1）【知识清单】二次根式的性质：一般地，根据算术平方根的意义有①②⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a . 【经典例题】例题1、当a 2)5(-+a 的值是一个常数?【考点】二次根式的性质．【分析】分析：先根据二次根式的性质得到原式=|a 3|+|a 5|，然后讨论：①当a <3，②当3≤a ≤5，③当a >5时分别去掉绝对值进行计算即可得到答案．【解答】原式=|a 3|+|a 5|， 当a <3，原式=a +3a +5=2a +8； 当3≤a ≤5时，原式=a 3a +5=2； 当a >3时，原式=a 3+a 5=2a 8， 所以当3≤a ≤5时，原式=a 3a +5=2.a =；也考查了分类讨论的思想．例题2、在平面直角坐标系中，点A （a ,b ）. (1)用二次根式表示点A 到原点O 的距离；(2)求点B 到原点O 的距离.【考点】二次根式的简单应用.【分析】由点A 向x 轴作垂线，得到垂足D ，则点A 、D 、O 构成以，为直角边的直角三角形，问题即可解决．【解答】(1) 点A 到原点O(2) 点B 到原点O 336=+=.【点评】主要考查了二次根式的性质和勾股定理．【夯实基础】1.下列运算正确的是（ ）A. 6)6(2=-B.C. 8)22(2-=-D. 11)11(2-=- 2.下列等式中一定成立的是（ ）A. 171251251252222=+=+=+B. 23)23(2-=-C. D. 434111611=-=-1-=，则实数a 的取值范围是（ ） A. a ≥0 B. a ≤0 C. a >0 D. a<00=+x ，化简21x x --的结果是（ ） A. 12x B. 2x 1 C. 1 D. 15.已知P 是直角坐标系内一点，若点P 的坐标为，则它到原点的距离是 .6.若无意义，则直线y=ax +a 的图象不经过的象限是 .7.计算：（1）7777)7(2-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--； （2）2)31(25.091--；（3） （4）5432)7495(2-+-a -+5有意义，化简25104422+-++-a a a a【提优特训】a 4121-=，则a 的取值范围是（ ）A. a ≤3B. a ≥3C. a <3D. a ≠3x 的值为（ ）A. x =3B. x =3C. x >3D. x <311. 把根号外的因式移入根号内得（ ）A. B. C. D.4=，则(a 2)2的平方根是 .14.已知在数轴上的位置如图所示，化简：= .15.已知△ABC 的三边为a 、b 、c， 222)()()(b a c a c b b c a --+--+--+.第14题图16.设x 、y yy 2+的值.17. 阅读下面的文字后，回答问题：甲、乙两人同时解答题目：“化简并求值：，其中a=6．”甲、乙两人的解答不同；乙的解答是：=2)32(a a -+=a +3a 2=4a 2=22. （1）______的解答是错误的．（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：______．a +-a =3．【中考链接】19、2018浙江杭州3.下列计算正确的是（ ） A. 222= B. 222±= C. 242= D. 242±=20、2018杭州临安4．（3分）化简2)2(-的结果是（ ）A ．-2B ．±2C ．2D ．421、2018江苏宿迁6. 若实数m 、n 满足042=-+-n m ，且m 、n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是 （ ）A. 12B. 10C. 8D. 6 22、2018江苏苏州19．（5.00分）计算：2)22(921-+-．参考答案1、A2、C3、D4、D5、56、第三象限 9、C 10、B 11、D 12、±1613、 14、3m +n 19、A 20、C 21、B7.计算：（1）7777)7(2-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--； （2）2)31(25.091--； （3） （4）5432)7495(2-+- 解：(1)原式=777)77(-⋅-=777777-=--；915.0--=； (3)原式=；(4)原式=.a -+5有意义，化简25104422+-++-a a a a 解：∵a a -+-542有意义，∴2a 4≥0，5a ≥0，∴a 2≥0，5a ≥0.2)5(-+a =a 2+5a =3.15.已知△ABC 的三边为a 、b 、c ，222)()()(b a c a c b b c a --+--+--+.解：∵a 、b 、c 是△ABC 的三边，∴a +b >c ，b +c >a ，c +a >b ，222)()()(b a c a c b b c a --+--+--+=a +b +c +b +ca +c +ab +a +bc =2(a +b +c ).16.设x 、y yy 2+的值. a =6．”甲、乙两人的解答不同； 甲的解答是：=2)32(a a -+=a +23a =22a =10；乙的解答是：=2)32(a a -+=a +3a 2=4a 2=22.（1）______的解答是错误的．（2）错误的解答在于未能正确运用二次根式的性质：______．a +-a =3．解：（1）当a =6时，甲没有判断2-3a 的符号，错误的是：甲；a =a -=.2164025a a a +-+-=2)45(3a a -+-. ∵a =3，∴2a <0，54a <0， ∴原式=a 2+4a 5=5a 7=8．a a a =-+-2020，求a 20192的值.a a a =-+-2020，∴a ≥2020.a .=2019.∴a 20192=2020.22、2018江苏苏州19．（5.00分）计算：2)22(921-+-． 【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=21321-+=3 【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．。

1.2 二次根式的性质1.下列各式中，是二次根式的有（ ）3)x ≥2)3x ≥)a b ＞.A.2个B.3个C. 4个D.5个2. ）A.a ≥0，且b ≥0B. a ≥0，且b ＞0C. ab ＞0 D.a b ≥03.当a ＜0，b ＞0 ）A.a ＋bB.－a －bC.a －bD.－a ＋b4.x 的取值范围是（ ）A. x ≠1B. x ≠0C. x ＞－1且x ≠0D.x ≥－1且x ≠05. ）A.－3B.3或－3C.9D.36.3a =-，则a 与3的大小关系是（ ）A.a ＜3B.a ≤3C.a ＞3D.a ≥3 7.下列函数中，自变量x 取值范围是x ≥3的是（ ）A. 13y x =- B. y = C.y ＝x －3 D.y =8.2()x y =+，则x －y 的值为（ ）A.－1B.1C.2D.39.已知a ）A.aB.－aC.－1D.010.已知10a+=，则a－b＝ .11.当x＝－2的值是 .12.把下列各式的实数范围内分解因式.（1）4a2－11；（2）4x2－x－1；（3）a4－7a2＋10.13.已知－2≤m≤214.已知x＜－8，化简4参考答案1.B[提示：根据二次根式的概念可知①④⑤是二次根式.要想判断一个式子是否为二次根式，必须满足以下两点：①根指数为2；②被开方数大于或等于零.]2.D[0.a b ≥] 3.D[.b a b a b =+=-+]4.D[提示：10,10.0,x x x x +⎧-⎨⎩≥∴≥且≠≠] 5.D[3.==]6.B[33,3a a a =-=--∴≥0,∴≤3.a ] 7.D[提示： A ，B 选项中，x 不能等于3.C 选项中，x 为任意实数.]8.C[提示：由二次根式的意义知1－x ≥0且x －1≥0，∴x ＝1，∴（x ＋y ）2＝0，∴y ＝－1，∴x －y ＝2.]9.D[提示：由：－a 2≥0，得a 2≤0,∴a ＝0，∴0.=]10.－9[提示：由1a +，得10,80,1,8,9.a b a b a b +=-==-=-=-∴∴] 11.5[提示：当x ＝－2= 5.==]12.解：（1）4a 2－11＝（2a ）2－=+-2(2a （2）22141416x x x x --=-+-2217111(2)(216444x x x =--=-+-- （3）a 4－7a 2＋10＝（a 2－2）（a 2－5）＝(.a a a a ++-13.解：∵－2≤m ≤2，∴5－2m ＞0，m ＋4＞0，524(52)(4)13.m m m m m =--+=--+=-14.解：∵x ＜－8,4＋x ＜0，∴[]x x x=-+=--+=++= 4444(4)44∵＜∴＜∴原式+-+=-+=--x x x x x8,8,80,(8)8.初中数学试卷。