第五章 弯曲应力

一正方形截面悬臂木梁的尺寸及所受荷载如图所示。木料的 许用弯曲应力 [ ] = 10MPa ,现需在梁的截面C上中性轴处钻一 直径为d的圆孔，试问在保证梁强度的条件下，圆孔的最大直 径d(不考虑圆孔处应力集中的影响)可达多大？
max =
M Wz [ ]
max
弯曲应力
②拉压强度不等材料： l ,max [ ]l ， c,max [ ]c 根据强度条件可进行三方面计算： 1、强度校核: max [ ]
M Wz max 2、截面设计: [ ]
3、确定梁的许可荷载 M max [ ]Wz
M max

20 103 3 = m 143cm3 140 106
(1)矩形
bh Wz = 6
2
20kN.m
h/b=2
A1 = 72cm2
(2)圆形 Wz =
d3
32
A2 100cm2
d≈11.3cm
(3)工字形 查型钢表，取16号工字钢
Wz = 141cm3
A3 = 26.1cm2
=
y

M y n1 m1
d
y m2
O2 a2 n2 M e2
m2 x y
= E = E
y

O1
a1
e1
L y-横截面上点到中性轴的距离。 n2
= E y
◆沿截面高度(y 轴)线性分布，同
一坐标y 处，正应力相等。中性轴 上正应力为零。 Z
◆中性轴将截面分为受拉、受压两
个区域。 ◆最大正应力发生在距中性轴最 远处。
M1 y 1 = 2 = Iz 60 60 = 105 = 61.7MPa 5.832
1
2 z
120 y
②最大正应力
1-1截面上的最大正应力
1max
M1 60 = = 10 4 = 92.6MPa Wz 6.48
全梁的最大正应力
max =
M max 67.5 = 10 4 = 104.2MPa Wz 6.48
c max = b = 70MPa [ c ]
最大拉应力：
t max = d = 35MPa = [ t ]
∴梁的弯曲正应力强度符合要求。
例4 两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，
但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两 者许可载荷之比 P1／P2＝？
P1 P2 P
中性层
中性轴
中性层与横截面的交线称为中性轴neutral axis 。 且根据外力、横截面形状及梁的物性的对称性可知， 中性轴应与横截面的对称轴正交。
II、弯曲正应力一般公式推导
m1 O1
中性层
弯曲应力
对称轴
m2 O2
e2
e1
1. 变形几何条件
纯弯曲中，纵向线应变为：
x
y
o
z
中性轴
y
a1 n1
dx
—抗弯截面模量
③分布规律： 沿截面高度(y 轴)线性分布，同一坐标y 处，正应力相等。中 性轴上正应力为零。中性轴将截面分为受拉、受压两个区域。 最大正应力发生在距中性轴最远处。 ④横截面上正 应力的画法：
min M min M
max
max
弯曲应力
5.公式适用范围： ①线弹性范围； ②精确适用于纯弯曲梁； ③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上 述公式的误差不大. III、三种典型截面对中性轴的惯性矩 3.截面为外径D、内 2.实心圆截面 1.矩形截面 径d(a=d/D)的空心圆:
P1 = h P2 b
例5.图示悬臂梁在自由端受集中力作用,P =20kN。
= 140MPa 试在下列三种截面形状下，比较所耗材
料：(1)高宽比h/b=2的矩形；(2)圆形；(3)工字钢。
解:作弯矩图
max
Wz
M max = Wz
P=20kN
l = 1m
2 2
b h =d
2 2
2
bh Wz = 6
2
b( d b ) = 6
d b= 3
b
h = 2 = 1.414 b
Wz d 2 b 2 = =0 b 6 2
由两根28a号槽钢组成的简支梁受三个集中力作用， 如图所示。已知该梁材料为Q235钢，其许用弯曲正应力为 [ ] = 170MPa 试求梁的许可荷载 F
1m
1
2m
(2)此截面上的最大正应力； (3)全梁的最大正应力； (4)已知 E = 200GPa，
180 30
1 2 z 120 y
求1-1截面的曲率半径。
1 A 1m 1
q=60kN/m
2m +
解: (1)外力分析 由对称性可知支反力 ql 60 3 FA = FB = = = 90kN B 2 2 (2)内力分析 画 M 图求有关弯矩 x
例3 外伸梁用铸铁制成，T形梁截面
I z = 4.0 107 mm4 , y1 = 140mm, y2 = 60mm
[ t ] = 35 MPa, [ c ] = 100 MPa
试校核梁的弯曲正应力强度。
P＝20kN
A q=10kN/m B 2m 2m D 2m E y2
C
y1
z
解:(1)梁的外力分析，确定梁的支反力 P＝20kN q=10kN/m A E B D 35kN 5kN
压应力
y2
M
M
C
压应力 B截面
拉应力
y1
D截面
危险点：a, b, d
(3)计算危险点应力 校核强度
拉应力
M
压应力
M
M B y2 a = = Iz = 30MPa（拉）
压应力
B截面
最大压应力：
拉应力 D截面
M B y1 b = Iz = 70MPa（压）
M d y1 d = Iz = 35MPa（拉）
d b b
a
M
1
1
2 2
II：物理方面 ①各纵向线段间互不挤压； M ②材料在线弹性范围内工作； M ③材料在拉伸和压缩时的弹性模量 相等。
梁在弯曲变形时，上面部分 纵向纤维缩短，下部分纵向
中性层
纤维伸长，必有一层纵向纤 维既不伸长也不缩短,保持 原来的长度，这一纵向纤维
层称为中性层neutral z surface 。
A
可知：中性轴通过截面形心
zE
A
y

dA =
E
zydA =0
A
zydA = I yz = 0
A
截面对yz轴的惯性积为零 可知：梁在发生纯弯曲时，中性轴为形心主惯性轴。
M z = ydA =
A
E


2
A
y 2 dA = M
1
令：
I z = y dA 截面对z轴的惯性矩
A

=
M EI z
4.纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)： ①距中性层y处的应力
=
My Iz
②梁的上下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别为：
L max
My1 My2 = ， y max = Iz Iz
| |max =
M M = ( I z / ymax ) Wz
Wz = I z / ymax
截面B-B的弯矩为:
M B = F 0.4 = 6000N m
(2)确定截面几何性质 首先确定截面的形心位置 选参考坐标系z’oy如图示，将截面分解为I和II两部分，形心 C 的纵坐标为:
yc =
Ay A
i i
ci
=
0.12 0.02 0.01 0.02 0.120.02 0.06 = 0.045m 0.12 0.02 0.02 0.12
qLx qx 2 M1 = ( ) 2 2
x =1
= 60kNm
M
M1
qL 8 Mmax
2
M max = qL2 / 8 = 67.5kNm
(3)确定截面的几何性质
bh3 Iz = = 5.832 105 m 4 12
Wz = I z / ymax = 6.48 104 m3
①1-1截面上1、2 两点的正应力
工字形截面最省料，圆形截面最费料。 为什么？ 本题中，最大工作应力将略大于许用应力，但不超 过5%，在工程中是允许的。
例6 我国古代营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比 例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯 出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。 （如何使Wz最大?） 解:设圆木直径为d h
II 单位： mm
C
z
20
y
I z = I1Z I 2Z = 3.02106 5.0810-6 = 8.8410-6 m4
I
120
z 弯曲应力
20 120
yc
II 单位： mm
C
z
(3)计算最大弯曲正应力
20
y
在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压 应力，其值分别为：
h b (a) z b h (b)
l
z
解： max
M max1 Pl bh2 = = 1 [ ] P = 1 bh2 Wz1 6l 6
max
M max1 P2l hb2 = = 2 [ ] P2 = hb Wz 2 6l 6
两者许可载荷之比：
a
C
a
P
l
FS ≠0，M≠0
Pa
_ P
梁在发生纯弯曲时，横截面上只有正应力。