【高中数学选修二】2.3.2双曲线的简单几何性质 ((公开课同课异构)

2.3.2 双曲线的简单几何性质●三维目标1.知识与技能(1)使学生理解和掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质．(2)理解渐近线的证明方法．(3)理解离心率和双曲线形状间的变化关系．2．过程与方法培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法．3．情感、态度与价值观培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物．●重点、难点重点：由方程导出性质及其应用．难点：渐近线的理解．从学生的认知水平来看，对渐近线分析方法的理解和掌握有一定的困难．同时渐进线概念如何顺应学生思维的自然呈现，是教法中的一个困惑．因此，将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难点．为突破该难点，从“如何画双曲线草图”入手，分析作草图必须的条件，以“双曲线的走向”为切入口，通过复习反比例函数图象，以旧引新，使双曲线的概念自然呈现．并通过学生讨论与交流，充分暴露思维过程，完成分析和证明过程．●教学建议本节课宜采用的教学方法和手段：类比、启发、探索相结合的教学方法，体现学生的主体地位．●教学流程提出问题：类比椭圆的几何性质，你能得到双曲线的哪些几何性质？⇒引导观察双曲线图形，分析其几何性质，导出范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.⇒通过引导学生回答所提问题，引出渐近线的概念，理解渐近线的特征.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握已知双曲线方程求几何性质的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握由几何性质求双曲线标准方程的方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误!类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的哪些几何性质？【提示】 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线．椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？ 【提示】 双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大.1.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．2．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e ＝ 2. 课堂探究例题1 求双曲线25y 2－4x 2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．【思路探究】【自主解答】 双曲线的方程25y 2－4x 2＋100＝0可化为x 225－y 24＝1.∴实半轴长a ＝5，虚半轴长b ＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)． 由c ＝a 2＋b 2＝29，焦点坐标为(29，0)，(－29，0)． 离心率e ＝c a ＝295，渐近线方程y ＝±25x .规律方法1．已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a 、b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．2．写渐近线方程时要特别注意焦点在x 轴上还是在y 轴上，以免写错． 变式训练求双曲线16x 2－9y 2＝－144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．【解】 把方程16x 2－9y 2＝－144化为标准方程得y 242－x 232＝1，由此可知，实轴长2a ＝8，虚轴长2b ＝6，c ＝a 2＋b 2＝5. 焦点坐标为(0，－5)，(0,5)． 离心率e ＝c a ＝54.顶点坐标为(0，－4)，(0,4)．渐近线方程为：y ＝±43x .双曲线的方程例题2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x ；(3)求与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．【思路探究】 (1)双曲线的焦点位置确定了吗？如果不确定该怎么办？(2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线有什么特点？如何设出方程？【自主解答】 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32且a ＝3得b ＝92.∴所求双曲线标准方程为x 29－4y 281＝1.当焦点在y 轴上时，由a b ＝32且a ＝3得b ＝2.∴所求双曲线标准方程为y 29－x 24＝1.(3)设与双曲线x 22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x 22－y 2＝k ，将点(2，－2)代入得k＝222－(－2)2＝－2， ∴双曲线标准方程为y 22－x 24＝1.规律方法1．利用待定系数法求双曲线方程应先“定形”(确定标准方程的形式)，再“定量”(求出a ，b 的值)．由于双曲线的标准方程有两种形式，因此，根据相关几何特征确定焦点的位置是很重要的，其次，在解题过程中应熟悉a ，b ，c ，e 等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用．2．若已知双曲线的渐近线方程为Ax ±By ＝0，为避免讨论，可设双曲线方程为A 2x 2－B 2y 2＝λ(λ≠0)或x 2B 2－y 2A2＝λ(λ≠0)的形式，从而使运算更简捷．3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．变式训练已知双曲线的一条渐近线方程是x －2y ＝0，且双曲线过点P (4,3)，求双曲线的标准方程． 【解】 法一 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0，当x ＝4时，y ＝2＜y P ＝3. ∴双曲线的焦点在y 轴上．从而有a b ＝12，∴b ＝2a .设双曲线方程为y 2a 2－x 24a 2＝1，由于点P (4,3)在此双曲线上， ∴9a 2－164a 2＝1，解得a 2＝5. ∴双曲线方程为y 25－x 220＝1.法二 ∵双曲线的一条渐近线方程为x －2y ＝0， 即x 2－y ＝0，∴双曲线的渐近线方程为x 24－y 2＝0. 设双曲线方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，∵双曲线过点P (4,3)，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x 24－y 2＝－5，即y 25－x 220＝1.例题3 (1)双曲线的渐近线方程为y ＝±32x ；(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0＜a ＜b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c . 【思路探究】 (1)由渐近线方程能得到a 、b 、c 的关系吗？利用这种关系能求出离心率吗？(2)由题意你能得到关于a 、b 、c 的什么关系式？ 【自主解答】 (1)若焦点在x 轴上，则b a ＝32，∴e ＝b 2a 2＋1＝132； 若焦点在y 轴上，则a b ＝32，即b a ＝23，∴e ＝b 2a 2＋1＝133. 综上可知，双曲线的离心率为132或133. (2)依题意，直线l ：bx ＋ay －ab ＝0. 由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b2＝34c ， 即ab ＝34c 2，∴16a 2b 2＝3(a 2＋b 2)2， 即3b 4－10a 2b 2＋3a 4＝0， ∴3(b 2a 2)2－10×b 2a 2＋3＝0.解得b 2a 2＝13或b 2a 2＝3.又∵0＜a ＜b ，∴b 2a 2＝3.∴e ＝1＋b 2a2＝2. 规律方法求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a ，b ，c 的关系式，再根据c 2＝a 2＋b 2，直接求a ，c 的值．而在解题时常把c a 或b a 视为整体，把关系式转化为关于c a 或ba 的方程，解方程求之，从而得到离心率的值．在本题的(2)中，要注意条件0＜a ＜b 对离心率的限制，以保证题目结果的准确性．变式训练已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．【解】 设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a .∴|PF 1|＝b 2a.由双曲线对称性，|PF 2|＝|QF 2|且∠PF 2Q ＝90°. 知|F 1F 2|＝12|PQ |＝|PF 1|，∴b 2a＝2c ，则b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0，∴⎝⎛⎭⎫c a 2－2×ca－1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． ∴所求双曲线的离心率为1＋ 2.忽略点在双曲线上的位置致误典例 已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，双曲线的左支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，求a ＋b 的值．【错解】 ∵P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是 2. 故|a －b |2＝2，∴a －b ＝±2. 又∵a 2－b 2＝1，∴(a ＋b )(a －b )＝1，∴a ＋b ＝±12.【错因分析】 错解中忽略了点P 在双曲线的左支上，此时，a －b ＜0，∴a －b ＝－2. 【防范措施】 由于双曲线有两支，解题时要特别留意所给点是在哪一支上，以防因判断不准导致增根产生．【正解】 ∵点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离为2， 故|a －b |2＝2，∴a －b ＝±2. 又∵P 在双曲线的左支上，故a －b ＜0，则有a －b ＝－2. 又∵a 2－b 2＝1，即(a －b )(a ＋b )＝1，∴a ＋b ＝－12.课堂小结1．通过双曲线的方程可以讨论双曲线的几何性质，由双曲线的几何性质也可以得到双曲线的方程．2．双曲线的渐近线和离心率都可以描述其“张口”的大小、渐近线是双曲线特有的性质，应注意以下三点：(1)当焦点在x 轴上时，渐近线为y ＝±b a x ；当焦点在y 轴上时，渐近线为y ＝±ab x .(2)当渐近线为y ＝b a x 时，可设双曲线标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线标准方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．1．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 【解析】 由题意：a ＝5，b ＝3，且焦点不确定，应选B. 【答案】 B2．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94x【解析】 由题意，焦点在x 轴上，且a ＝2，b ＝3，故渐近线方程为y ＝±32x .【答案】 C3．下列曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 【解析】 选项B 双曲线中a ＝2，b ＝2，∴c ＝6，e ＝62. 【答案】 B4．若双曲线的顶点在x 轴上，两顶点的距离为8，离心率是54，求双曲线的标准方程．【解】 由题设，设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵2a ＝8，∴a ＝4， 由e ＝54＝ca ，得c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝52－42＝9.因此所求双曲线标准方程为x 216－y 29＝1.课后习题一、选择题1．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则它的标准方程是( ) A.y 218－x 218＝1 B.x 218－y 218＝1 C.x 28－y 28＝1 D.y 28－x 28＝1 【解析】 设等轴双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a ＞0)．∴a 2＋a 2＝62，∴a 2＝18. 故双曲线方程为x 218－y 218＝1.【答案】 B2．(2012·湖南高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 【解析】 由2c ＝10得c ＝5，∵点P (2,1)在直线y ＝b a x 上，∴2ba ＝1，又∵a 2＋b 2＝25，∴a 2＝20，b 2＝5，故双曲线的方程为x 220－y 25＝1.【答案】 A3．(2013·泰安高二检测)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62 D.52【解析】 ∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 又其一条渐近线过点(4，－2)，∴b a ＝24，∴a ＝2b . 因此c ＝a 2＋b 2＝5b .∴离心率e ＝c a ＝52. 【答案】 D4．(2013·天门高二检测)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝( )A. 3B ．2C ．3D ．6【解析】 双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r ，且r ＝|32＋0|2＋4＝ 3. 【答案】 A5．(2013·临沂高二检测)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解析】 双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a ，椭圆的离心率e 2＝m 2－b 2m，由e 1e 2＝1得(a 2＋b 2)(m 2－b 2)＝a 2m 2，故a 2＋b 2＝m 2，因此三角形为直角三角形．【答案】 B二、填空题6．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.【解析】 ∵2a ＝2,2b ＝2－1m ，∴ －1m＝2， ∴m ＝－14.【答案】 －147．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________，渐近线方程为________．【解析】 双曲线的焦点为(－4,0)，(4,0)，∴c ＝4，离心率e ＝c a＝2，∴a ＝2，∴b ＝c 2－a 2＝2 3. ∴双曲线方程为x 24－y 212＝1.令x 24－y 212＝0，得渐近线方程为3x ±y ＝0. 【答案】 (±4,0) 3x ±y ＝08．(2013·北京高二检测)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的取值范围为________．【解析】 由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a . 容易知道|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，即103a ≥2c ，∴e ≤53，又e ＞1，故e ∈(1，53]． 【答案】 (1，53] 三、解答题9．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)； (2)与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)． 【解】 (1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)， 则由题意可知－29－3216＝λ，解得λ＝14. ∴所求双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1. (2)设所求双曲线方程为x 216－k －y 24＋k＝1(16－k ＞0,4＋k ＞0)， ∵双曲线过点(32，2)，∴2216－k －224＋k＝1，解得k ＝4或k ＝－14(舍)．∴所求双曲线的标准方程为x 212－y 28＝1. 10．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞1，b ＞0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率的取值范围． 【解】 ∵l 的方程为：bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线距离公式且a ＞1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b a －a 2＋b 2， 点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b a ＋a 2＋b 2.s ＝d 1＋d 2＝2ab c ≥45c . 即5a c 2－a 2≥2c 2，即5e 2－1≥2e 2， ∴4e 4－25e 2＋25≤0，解得54≤e 2≤5， ∵e ＞1，∴52≤e ≤ 5. 即e 的取值范围为[52，5]． 11．若原点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，求OP →·FP →的取值范围．【解】 由双曲线方程x 2a2－y 2＝1(a ＞0)知b ＝1. 又F (－2,0)，∴c ＝2.∴a 2＋1＝c 2＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设双曲线右支上点P (x ，y )，且x ≥ 3.OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2＝43x 2＋2x －1＝43⎝⎛⎭⎫x ＋342－74. ∵x ≥3，∴当x ＝3时，上式有最小值3＋2 3.故OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞).(教师用书独具)备选例题已知双曲线x 2－y 2＝4，直线l ：y ＝k (x －1)，试讨论实数k 的取值范围，使直线l 与双曲线有两个公共点；直线l 与双曲线有且只有一个公共点；直线l 与双曲线没有公共点．【解】 由⎩⎨⎧ x 2－y 2＝4y ＝k x －消去y ，得(1－k 2)x 2＋2k 2x －k 2－4＝0.(*) (1)当1－k 2＝0，即k ＝±1时，直线l 与双曲线的渐近线平行，方程化为2x ＝5，故此时方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点，交点在双曲线右支上．(2)当1－k 2≠0，即k ≠±1时，Δ＝(2k 2)2－4(1－k 2)·(－k 2－4)＝4(4－3k 2)．①⎩⎨⎧4－3k 2＞0，1－k 2≠0，即－233＜k ＜233，且k ≠±1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点．②⎩⎨⎧ 4－3k 2＝0，1－k 2≠0，即k ＝±233时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线相交于一个公共点． 综上所述：当－233＜k ＜233，且k ≠±1时，直线l 与双曲线有两个公共点，当k ＝±1或k ＝±233时，直线l 与双曲线有且只有一个公共点，当k ＜－233或k ＞233时，直线l 与双曲线没有公共点．备选变式已知双曲线3x 2－y 2＝3，直线l 过右焦点F 2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A 、B 两点，试问A 、B 两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB 的长．【解】 双曲线3x 2－y 2＝3化为x 2－y 23＝1， 则a ＝1，b ＝3，c ＝2.∵直线l 过点F 2且倾斜角为45°，∴直线l 的方程为y ＝x －2，代入双曲线方程，得2x 2＋4x －7＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，∵x 1·x 2＝－72＜0， ∴A 、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上．∵x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝－72， ∴|AB |＝1＋12|x 1－x 2|＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝2·－2－－72＝6. 因此弦AB 的长为6.。

高中数学人教A版选修2-1第二章《2.3.2 双曲线的简单几何性质》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.知识与技能
(1)给定双曲线方程,能正确写出有关几何元素,包括顶点、焦点、实轴虚轴长、离心率、渐近线方程等,认识相关元素的内在联系.
(2)给定相关几何元素,正确得出相应的双曲线方程.
(3)理解离心率、渐近线对双曲线张口大小的影响,能正确说出其中的规律.
2.过程与方法
(1)在经历一个较完整的数学问题探求过程中,提高学生的观察猜想和验证能力.
(2)在椭圆与双曲线性质的类比过程中,提高学生的归纳能力.
(3)在几何性质探求过程中,培养学生曲线方程思想和意识.
3.情感、态度与价值观
培养学生主动探求知识、合作交流的意识,改变学习方式,改善数学学习信念.
2学情分析
由曲线方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是解析几何所研究的主要问题之一,本课就是根据前节导出的双曲线标准方程来进一步研究它的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).
本节课的主要内容是由椭圆的几何性质通过类比联想,归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质,(这样,学生会感到容易接受).
3重点难点
双曲线的离心率对双曲线的刻画,渐近线的含义及离心率与渐近线斜率间的联系.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】1.创设情境，引入课题
师问1:首先请同学们回忆一下我们是从哪些方面研究椭圆的?。

双曲线的简单几何性质教案一、学习目标知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。

能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、学习重点、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线.三、学习过程：（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。

那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 （二）新课：我们先来研究一下焦点坐标在x 轴上的双曲线的简单几何性质。

1双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的简单几何性质（1）范围从图形看，x 的取值范围是什么？ 师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈（2）对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？ 生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。

同理，若用x -代替原方程中的x ，若方程不变，则该曲线关于y 轴对称。

若用y x --,分别代替原方程中的y x ,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。

所以，双曲线是关于x 轴、y 轴和原点都是对称的。

x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。

（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。

由图形可以看到，双曲a x a x -≤≥或012222≥-=ax b y 2222,1a x ax≥≥∴即ax a x -≤≥∴或线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点有几个？顶点坐标是？(,0)a ± 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b ±标在图形上。

2.3.2 双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质内容标准学科素养1.掌握双曲线的简单几何性质．2.理解双曲线的渐近线及离心率的意义．3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.运用直观想象提升数学运算发展逻辑推理授课提示：对应学生用书第36页[基础认识]知识点双曲线的几何性质预习教材P56－58，思考并完成以下问题椭圆的简单几何性质有哪些？研究方法是什么？双曲线是否有类似的性质呢？提示：范围、对称性、顶点、离心率．研究方法是：通过方程来研究图形的几何性质．知识梳理(1)双曲线的几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)性质图形焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥ay∈R y≤－a或y≥ax∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b；实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±ba x y＝±ab x2.[自我检测]1．若点M (x 0，y 0)是双曲线y 24－x 225＝1上支上的任意一点，则x 0的取值范围是________，y 0的取值范围是________．答案：(－∞，＋∞) [2，＋∞)2．双曲线4x 2－2y 2＝1的实轴长等于________，虚轴长等于________，焦距等于________． 答案：1233．双曲线x 22－y 214＝1的离心率为________．答案：2 2授课提示：对应学生用书第37页探究一 根据双曲线方程研究几何性质[阅读教材P 58例3]求双曲线9y 2－16x 2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．题型：根据双曲线方程研究其几何性质． 方法步骤：(1)将方程化成标准方程的形式． (2)写出a 2、b 2，从而求出a 、b 、c 的值． (3)求出双曲线的几何性质．[例1] 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．[解析] 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1，∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 因此顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .方法技巧 1.已知双曲线的方程研究其几何性质时，若不是标准方程，则应先化为标准方程，确定方程中a ，b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c 值，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出它的几何性质．2．求双曲线的渐近线方程时要特别注意焦点在x 轴上还是在y 轴上，以免写错． 跟踪探究 1.求双曲线25y 2－4x 2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程．解析：双曲线的方程25y 2－4x 2＋100＝0可化为x 225－y 24＝1，所以焦点在x 轴上，所以a 2＝25，b 2＝4，因此实半轴长a ＝5，虚半轴长b ＝2，顶点坐标为(－5,0)，(5,0)．由c ＝a 2＋b 2＝29，得焦点坐标为(29，0)，(－29，0)．离心率e ＝c a ＝295，渐近线方程y ＝±25x .探究二 根据双曲线的几何性质求标准方程[阅读教材P 58例4]双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(图(1))，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高为55 m ．试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1 m)．题型：根据双曲线的几何性质求其标准方程．方法步骤：(1)根据双曲线的对称性，建立适当的坐标系． (2)设出标准方程．(3)求出方程中的a 2、b 2，进而求出c . [例2] 求满足下列条件的双曲线的方程：(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P (6，2)； (2)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为53，且经过点M (－3,23)；(3)若双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6. [解析] (1)设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵双曲线过点P (6，2)， ∵4a 2－6b2＝1. 由题意得⎩⎨⎧a b ＝23，4a 2－6b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝43，b 2＝3.故所求双曲线方程为3y 24－x 23＝1.(2)设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．∵e ＝53，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝259， ∴b a ＝43. 由题意得⎩⎨⎧b a ＝43，9a 2－12b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝94，b 2＝4.∴所求的双曲线方程为4x 29－y 24＝1.(3)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3.当λ>0时，λ4＝9，λ＝36，双曲线方程为x 29－y 24＝1；当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81，双曲线方程为y 29－4x 281＝1.故所求双曲线方程为x 29－y 24＝1或y 29－4x 281＝1.方法技巧 1.根据双曲线的几何性质求其标准方程时，常用的方法是先定型(确定焦点在哪个轴上)，后计算(确定a 2，b 2的值)．要特别注意c 2＝a 2＋b 2的应用，不要与椭圆中的关系混淆．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．跟踪探究 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0,13)，且离心率为135；(2)渐近线方程为y ＝±12x ，且经过点A (2，－3)．解析：(1)依题意可知，双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝13， 又c a ＝135，∴a ＝5，b ＝c 2－a 2＝12，故其标准方程为y 225－x 2144＝1.(2)法一：∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.① ∵点A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.②①②联立，无解．当焦点在y 轴上时，设所求方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③ ∵点A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④联立③④，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.法二：由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上，∴2222－(－3)2＝λ，即λ＝－8.∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.探究三 求双曲线的离心率[例3] (1)点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为________．[解析] (1)由题意得不妨设|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|成等差数列， 分别设为m －d ，m ，m ＋d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧m －(m －d )＝2a ，m ＋d ＝2c ，(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，解得m ＝4d ＝8a ，c ＝5d 2，∴离心率e ＝c a ＝5aa ＝5.故选D.(2)不妨设一个焦点F (c,0)，虚轴的一个端点B (0，b )，则k FB ＝b－c .又∵双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，∴－b c ·ba＝－1，即b 2＝ac ，c 2－a 2＝ac ，∴c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0， ∴e ＝1±52(舍负)，∴e ＝1＋52.[答案] (1)D (2)1＋52方法技巧 求双曲线离心率的方法 (1)若可求得a ，c ，则直接利用e ＝ca 得解；(2)若已知a ，b ，可直接利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2得解；(3)若得到的是关于a ，c 的齐次方程pc 2＋q ·ac ＋r ·a 2＝0(p ，q ，r 为常数，且p ≠0)，则转化为关于e 的方程pe 2＋q ·e ＋r ＝0求解．跟踪探究 3.已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q ＝90°，求双曲线的离心率．解析：设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b 2＝1，那么y ＝±b 2a .由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|，所以b 2a ＝2c ，所以b 2＝2ac ，所以c 2－2ac －a 2＝0， 所以⎝⎛⎭⎫c a 2－2×c a －1＝0， 即e 2－2e －1＝0，所以e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)， 所以双曲线的离心率为1＋ 2.授课提示：对应学生用书第38页[课后小结](1)通过双曲线方程可以讨论双曲线的几何性质，通过双曲线的几何性质也可以得到双曲线方程．(2)渐近线是双曲线特有的性质，渐近线和离心率都可以描述双曲线的“张口”大小．[素养培优]1．考虑问题不全面致误已知双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，求其离心率．易错分析 因为渐近线方程为y ＝±13x ，所以b a ＝13，即a ＝3b ，所以a 2＝9b 2，a 2＝9(c 2－a 2)， 即10a 2＝9c 2，c 2a 2＝109，所以e ＝103. 本解法忽视了该双曲线的焦点位置不确定，故13＝b a 或13＝ab 两种情况，考查直观想象、逻辑推理及数学运算的学科素养．自我纠正 由题意得b a ＝13或a b ＝13，故c 2－a 2a 2＝13或a 2c 2－a 2＝13， e 2－1＝13或e 2－1＝3，e ＝103或e ＝10. 2．解题缺乏依据致误点P 是双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)和圆C 2：x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，且有2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1，其中F 1，F 2是双曲线C 1的左、右两个焦点，求双曲线C 1的离心率．易错分析 因为圆的半径r ＝a 2＋b 2＝c ，又因为∠F 1PF 2＝90°，2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1，所以∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.在Rt△F1PF2中，|F1F2|＝2c，故|PF1|＝3c，|PF2|＝c.又点P在双曲线上，且在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝3c－c＝2a，所以e＝ca＝23－1＝3＋1.此解法步骤不严谨，解析缺乏依据．考查直观想象、逻辑推理．自我纠正因为圆的半径r＝a2＋b2＝c，所以圆过双曲线C1的焦点，即F1F2为圆的直径．所以∠F1PF2＝90°.因为2∠PF1F2＝∠PF2F1，所以∠PF1F2＝30°，∠PF2F1＝60°.在Rt△F1PF2中，|F1F2|＝2c.故|PF1|＝3c，|PF2|＝c.又点P在双曲线上，且在双曲线右支上，所以|PF1|－|PF2|＝3c－c＝2a，所以e＝ca＝23－1＝3＋1.。

(三)渐近线双曲线的范围在以直线by xa=和by xa=-为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势看，双曲线22221x ya b-=与直线by xa=±具有怎样的关系呢？根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线by xa=的关系。

双曲线在第一象限的部分可写成：当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于焦点在y轴上的双曲线方程是由焦点在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然前者渐近线方程也可由后者渐近线方程将x、y字这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向问题，从而可比较精再描几个点，就可以随后画出比较精确的双曲线．(四)离心率由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，指出：焦点在y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变． （五）例题讲解例1求双曲线22143x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程，并画出双曲线的草图。

分析：由双曲线的标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是ay x b=±． 例2 已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。

例3求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．分析：已知双曲线的渐近线求双曲线的标准方程：方法一按焦点位置分别设方程求解；方法二可直接设所求的双曲线的方程为()22,0169x y m m R m -=∈≠ 例4.如图，设(),M x y 与定点()5,0F 的距离和它到直线l ：165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹方程． 分析：若设点(),M x y ，则()225MF x y =-+，到直线l ：165x =的距离165d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．例5.双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到1m ）．练习反馈1．已知双曲线方程如下，求它们的两个焦点、离心率e 和渐近线方程． (1)16x 2－9y 2=144；(2)16x 2－9y 2=－144．限时训练 2．求双曲线的标准方程：(1)实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上； (2)焦距是10，虚轴长是8，焦点在y 轴上；曲线的方程．点到两准线及右焦点的距离．课堂小结作业布置提高。

2.3.2 双曲线的简单几何性质教学目标：知识与技能：1、熟悉双曲线的几何性质；2、能说明离心率的大小对双曲线形状的影响。

过程与方法：通过对双曲线几何性质的探究，培养学生研究曲线性质的基本方法。

情感态度与价值观：培养学生数形结合的思想，调动学生主动参与课堂教学的积极性，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感。

教学重点：1.数形结合思想的贯彻；2.运用曲线方程求性质。

教学难点：运用曲线方程求性质。

教学过程:一、 课前三分钟1．双曲线的定义：2．双曲线的标准方程（1）焦点在x 轴上：（2）焦点在y 轴上：3．双曲线中c b a ,,之间的关系二、新知探究 我们以双曲线的标准方程12222=-by a x ，来研究双曲线的几何性质。

1．范围（1）代数法：由2222222211b y a x b y a x =-⇒=-⇒122≥ax 22a x ≥⇒ 即：a x -≤，或a x ≥（2） 几何法：双曲线在不等式a x -≤，或a x ≥所表示的区域内.2．对称性在双曲线方程12222=-by a x 中， 以x -代x ，方程不变，说明双曲线关于y 轴对称；以y -代y ，方程不变，说明双曲线关于x 轴对称；以()y x --,代()y x ,，方程不变，说明双曲线关于原点对称；故：坐标轴是双曲线的对称轴；原点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心.3．顶点（与对称轴的交点坐标）令0=y ，得a x ±=，所以顶点坐标()()0,,0,21a A a A -；令0=x ，得2b y -=，这个方程没有实根，也把()()b B b B -,0,,021画在y 轴上.实轴：21A A ，长度a 2；虚轴：21B B ，长度b 2实半轴长：a ；虚半轴长：b4． 离心率（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比ac ，用e 表示。

即()1>=e ac e （2）双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据。