18连续数问题

[全]小学奥数18个解题方法解析（含例题）解题方法1--分类分类是一种很重要的数学思考方法，特别是在计数、数个数的问题中，分类的方法是很常用的。

例1：可分为这样几类：（1）以A为左端点的线段共4条，分别是：AB，AC，AD，AE；（2）以B为左端点的线段共3条，分别是：BC，BD，BE；（3）以C为左端点的线段共2条，分别是：CD，CE；（4）以D为左端点的线段有1条，即DE。

一共有线段4+3+2+1=10（条）。

还可以把图中的线段按它们所包含基本线段的条数来分类。

（1）只含1条基本线段的，共4条：AB，BC，CD，DE；（2）含有2条基本线段的，共3条：AC，BD，CE；（3）含有3条基本线段的，共2条：AD，BE；（4）含有4条基本线段的，有1条，即AE。

例2：有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（单位：厘米）的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。

如果所围成的三角形的一条边长为11厘米，那么，共可围成多少个不同的三角形？提示：要围成的三角形已经有一条边长度确定了，只需确定另外两条边的长度。

设这两条边长度分别为a，b，那么a，b的取值必须受到两条限制：①a、b只能取1～11的自然数；②三角形任意两边之和大于第三边。

1、11 ；一种2、11 ；2、10；二种3、11；3、10；3、9 ；三种4、11；4、10；4、9；4、8 ；四种5、11；5、10；5、9；5、8；5、7 ；五种6、11；6、10；6、9；6、8；6、7；6、6；六种7、11；7、10；7、9；7、8；7、7；五种8、11；8、10；8、9；8、8；四种9、11；9、10；9、9；三种10、11；10、10；二种11、11；一种总计：1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36种解题方法2--化大为小找规律对于一些较复杂或数目较大的问题，如果一时感到无从下手，我们不妨把问题尽量简单化，在不改变问题性质的前提下，考虑问题最简单的情况（化大为小），从中分析探寻出问题的规律，以获得问题的答案。

1．把1至6分别填入图18-1的各方格中，使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等．[分析与解]记横行的中间一个数为a，则有1+2+3+…+6+a＝21+a＝2倍对应和，所以a 可以填奇数，即1，3，5，对应和为11，12，13，下面给出几种填法：其中的每个图形的横行左右可调换位置，每个竖列的后三个数字位置任意排列．2．把l0至20这11个数分别填入图18-2．的各圆圈内，使每条线段上3个圆内所填数的和都相等．如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法．请写出所有可能的填法．[分析与解]设中间圆圈内的数为a，有a被加了5次，而其他位置圆圈内的数字在计算5次和是都只被加了1次，所以有5个和＝(10+11+…+19+20)+4a＝165+4a，因为5个和，165都是5的倍数，所以4a也应该是5的倍数，则a应是5的倍数，所以a可取10，15，20．当a为10时，有5个和＝165+4×10＝205，所以每条线段上的和为205÷5＝41，如下左图；当a＝15时，有5个和＝165+4×15＝225，所以每条线段上的和为225÷5＝45，如下中图；当a＝20时，有5个和＝165+4×20＝245，所以每条线段上的和为245÷5＝49，如下右图．3．请分别将l，2，4，6这4个数填在图18-3的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15．[分析与解]在计算3个圆圈内的数字和时，已经填出的3个数字各计算了2次，中间的数字计算了3次，另外3个位置只计算了1次，中间的数字较另外3个位置多计算了2次．设中间那个数为a，有2a+2×(5+7+3)+(1+2+4+6)＝15+15+15，即2a+43＝45，有a＝1．于是得到下图：4．在图18-4的7个圆内填入7个连续自然数，使得每两个相邻圆内所填数的和都等于连线上的已知数．那么标有*的圆内填的数是多少?[分析与解]我们知道在计算图中所有线段两端数字的和时，每个圆圈内的数字都被加了2次，于是有这7个连续自然数和的2倍为10+6+9+12+8+11+14＝70，即这7个连续自然数的和为35，则中间数为35÷7＝5，于是这7个数为2，3，4，5，6，7，8．能得到14的只有6+8，如果*填8那么和为14的线段另一端为6，则和为11的线段另一端为5，和为8的另一端为3，则和为12的线段另一端无法填出；所以，*只能填6，可以如上分析得到填完的下图：5．图18-5的6条线分别连接着9个圆圈，其中一个圆圈里的数是6．请你选9个连续自然数(包括6在内)填入圆圈内，使每条线上各数的和都等于23．[分析与解]当六条线上的数分别相加时，数6只加了1次，其余各数分别加了两次．又已知每条对角线上各数之和都等于23，所以这九个连续自然数之和应是(6×23+6)÷2＝72．于是九个数的中间数是72÷9＝8，由此可知这九个连续自然数是4，5，6，7，8，9，10，11，12．其中显然只有11+12＝23，故x＝11，y＝12和x=12，y＝11．首先考虑x＝11，y＝12的情况．注意7若不与x或y在一条线上，则23－7＝16，只能表示成10+6，而过7的线段却有两条，所以必须f＝7，于是c ＝4，d＝5，再由a+b＝23－6＝17，可知a、b均不为10，e＝10，a＝8，b ＝9，于是得到下图：当x＝12，y＝11时，同理可得：6．将1，2，3，…，9，10这10个数分别填入图18-6中的圆圈内，使得每条线段两端的数相乘的积，除以13都余2．问这5个商数的和是多少?[分析与解]在2～90中被13除余2的数有2，15，28，41，54，67，80．其中可以被分解成1～10中两数乘积的有：2＝1×2，15＝3×5，28＝4×7，54＝6×9，80＝8×10，正好1～10中每个数字出现了一次，因此可得如下的结果，当然将下图对称变换，旋转变换得到的图形仍然符合题意．有2×1÷13＝0……2；3×5÷13＝1……2；4×7÷13＝2……2；6×9÷13＝4……2；8×10÷13＝6……2．这些商的和为0+1+2+4+6＝13．7．在图18-7的中间圆圈内填一个数，计算每一线段两端的两数之差(大减小)，然后算出这3个差数之和．那么这个差数之和的最小值是多少?[分析与解]中间数只要在19与65之间，19和65与它的差数(大数减小数)之和都是65－19＝46，所以中间的数填48，三个差数之和最小．那么差数之和为65－48+48－48+48－19＝65－19＝46．8．请在图18-8中的7个小圆圈内各填入一个自然数，使得图中给出的每个数都是相邻两个圆圈中所填数的差(大数减小数)，并且所填的7个数之和是1997．[分析与解]设1左边圈内的数为a，则从a开始顺时针依次对给出的七个差做加法或减法运算，最后结果仍等于a，也就是说，加上的数的和应等于减去的和．又1+2+3+4+5+6+7+8＝28，于是给出的七个数应当分成和为14的两组．经分析可知仅有4种不同的分法：①7+6+1＝2+3+4+5，②7+5+2＝1+3+4+6，③7+4+3＝1+2+5+6，④7+4+2+1=3+5+6．其中①又可以分为两种情况：☆加上2、3、4、5，减去7、6、1，这时七个数的总和时7a+32，★加上7、6、1，减去2、3、4、5，这时七个数的总和时7a－32．同样②③④也都分两种情况．②的第一种情况就是加上1、3、4、6，减去7、5、2，七个数的和时7a+16．因为1994＝7×285+2，所以①的两种情况都无法使总和为1994，这是因为32－2与32+2都不是7的倍数，而②的第一种情况满足，此时a＝283(1994＝7×283+16)，具体填法如下：9．图18-9是奥林匹克的五环标志，其中a，b，c，d，e，f，g，J，h，i 处分别填入整数l至9．如果每一个圆环内所填的各数之和都相等，那么这个相等的和最大是多少，最小是多少？[分析与解]设每个圆内的数字之和为k，则五个圆圈内的数字之和时5k，它等于1~9的和即45，再加上两两重叠处的四个数之和．而两两重叠处的四个数之和最小是1+2+3+4＝10，最大是6+7+8+9＝30，所以，有5k在(45+10＝)55～75(＝45+30)之间的，那么k在11～15之间．验证，当k＝11，13，14时对应有如下填法，当时当k＝12，15时无解．所以，这个相等的和最大是14，最小为11．评注：这道题，同学往往只是计算到k在11～15之间，然后说最大为15，最小为11，但是没有进一步去验证是否存在这样的填法，导致错误，所以同学们以后在自己认为已经解决问题时，不妨验证一下，对于有些问题，不妨深究深究．[分析与解]10个连续自然数中，9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11．图中三个2×2的正方形中四数之和相等，所以2+3+…+11再加上两个重复的数，和倍3整除．因为2+3+…+11＝65，要使和数最小，两个重复数的和应最小，这两个数可以取2与5，或3与4．这和数是24．和数为24是可能的，如下两图：[分析与解]图中十个数点和为45，除去中心圆圈中的数后是3的倍数，因此中心圆圈只可能为0，3，6，9．当中心为0时，每个阴影三角形三顶点和为15．考虑包括中心圆圈的三个阴影三角形中，除0以外另两个数和为15．而0～9中这样的数组只有(6，9)，(7，8)两组，因此中心为0时没有正确填图；当中心为9时，同理可知也不存在正确的填图；当中心为3时，阴影三角形三顶点和为14，含3的三个阴影三角形中另两个数和为11，这样的数组只有(2，9)，(4，7)，(5，6)．简单尝试可知中心为3时也没有正确的填图；当中心填6时，经尝试有如下的结果：13．如图18-13，大三角形被分成了9个小三角形．试将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形3条边的每5个数相加的和相等．问这5个数的和最大可能是多少?[分析与解]1~9和为45．设3个只属于一条边的数和为3k，则每条边上五个数字和为(45×2－3k)÷30＝30－k．3k最小时，取3k＝1+2+3＝6，一条边上的和为30－6÷3＝28；3k最大时，取3k＝9+8+7＝24，一条边上的和为30－24÷3＝22．因此这个和最大为28，最小为22．以和为28为例，此时三边中间的小三角形内的数为1，2，3，有上方两个三角形和+1+左边两个三角形和＝28；左边两个三角形和+3+右边两个三角形和＝28；右边两个三角形和+2+上方两个三角形和＝28；于是有2倍(上方两个三角形和+左边两个三角形和+右边两个三角形和)+1+3+2＝28+28+28，即上方两个三角形和+左边两个三角形和+右边两个三角形和＝39．可得上方两个三角形和为14，左边两个三角形和为13，右边两个三角形和为12．下面我们给出一种填法：每边和为22时，同理可得，我们给出一种填法：14．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数分别填入图l8-14的8个空格中，使四边正好组成加、减、乘、除4个正确的等式．[分析与解]除式只有4种可能：8÷4＝2，6÷3＝2，8÷2＝4和6÷2＝3，其中后两种情况乘法式子将无法满足，前两种情况对应着如下两种填法：15．图18-15包括6个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使6个算式都成立．那么最右边的圆圈中的数最少是多少?[分析与解]如下图所示，设最左边的四个数为a，b，c，d，则第一组数算式计算结果为a+b，c+d，a+c，b+d．而最右边圆圈内数为，a+b+c+d，也就是四个数的和，因此我们可以重新理解题目为找到四个自然数，使它们两两相加的四个和与它们自身全不相等，求它们和的最小值．最小的四个数(1，2，3，4)易知不符合题意，同样(1，2，3，5)也不成立，当这四个数为(1，2，3，6)时有正确填图如下，因此最右边的数最小为12．。

数字推理八大解题方法【真题精析】例，5，8，11，14，( )A．15 B．16 C．17 D．18[答案]C[解析]数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先采用逐差法。

差值数列是常数列。

如图所示，因此，选C。

【真题精析】例1、(2006·国考A类)102，96，108，84，132，( )A．36 B．64 C．70 D．72[答案]A[解析]数列特征明显不单调，但相邻两项差值的绝对值呈递增趋势，尝试采用逐差法。

差值数列是公比为-2的等比数列。

如图所示，因此，选A。

【真题精析】例1.(2009·江西)160，80，40，20，( )A． B．1 C．10 D．5[答案]C[解析]数列特征明显单调且倍数关系明显，优先采用逐商法。

商值数列是常数列。

如图所示，因此，选C【真题精析】例1、2，5，13，35，97，( )A．214 B．275 C．312 D．336[答案]B[解析]数列特征明显单调且倍数关系明显，优先采用逐商法。

商值数列是数值为2的常数列，余数数列是J2-I：h为3的等比数列。

如图所示，因此，选B。

【真题精析】例1、(2009·福建)7，21，14，21，63，( )，63A．35 B．42 C．40 D．56[答案]B[解析]数列特征明显单调且倍数关系明显，优先采用逐商法。

商值数列是以为周期的周期数列。

如图所示，因此，选B。

【真题精析】例1． 8，8，12，24，60，( )A．90 B．120 C．180 D．240[答案]C[解析]逐商法，做商后商值数列是公差为的等差数列。

【真题精析】例1. -3，3，0，3，3，( )A．6 B．7 C．8 D．9[答案]A[解析]数列特征：(1)单调关系不明显；(2)倍数关系不明显；(3)数字差别幅度不大。

优先采用加和法。

【真题精析】例1、(2008·湖北B类)2，3，5，10，20，( )A．30 B．35 C 40 D．45[答案]C[解析]数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先做差后得到结果选项中不存在；则考虑数列特征：(1)倍数关系不明显；(2)数字差别幅度不大，采用加和法。

专题18函数中的新定义问题一、单选题1．x R ∀∈，[]x 表示不超过x 的最大整数，十八世纪，函数[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则[][]4.8 3.5--=（）A ．0B ．1C ．7D ．8【解析】由题意可知[][]4.8 3.5--=4－(－4)＝8.故选：D.2．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数[]2,1,2y x x =∈与函数[]2,2,1y x x =∈--即为“同族函数”．请你找出下面哪个函数解析式也能够被用来构造“同族函数”的是（）A ．y x=B ．3y x =-C ．1y x=D ．1y x =+【解析】对于选项AD ，函数都为单调递增的，故不满足，因此AD 都错；对于选项C ，1y x=在区间(),0-∞和()0,∞+上都是单调递减的，且在两个区间上y 的取值一正一负，故不满足，因此C 错；对于选项B ，函数3y x =-，[]2,3x ∈和函数3y x =-，[]3,4x ∈即为“同族函数”，故满足，因此B 正确.故选：B.3．已知函数()M f x 的定义域为实数集R ，满足()1,=0,M x Mf x x M ∈⎧⎨∉⎩（M 是R 的非空子集），在R 上有两个非空真子集A ，B ，且A B =∅ ，则()()()()11A B A B f x F x f x f x +=++ 的值域为（）A ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．{}1C ．12,,123⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】当()R x A B ∈⋃ð时，()0A B f x ⋃=，()0A f x =，()0B f x =，()1F x ∴=同理得：当x B ∈时，()1F x =；当x A ∈时，()1F x =；故()()R 1,1,1,x A F x x B x A B ⎧∈⎪=∈⎨⎪∈⋃⎩ð，即值域为{1}．故选：B4．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer ），简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x 存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点函数”，下列为“不动点函数”的是（）A ．()2x f x x =+B ．2()3f x x x =-+C ．221,1()2,1x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩D ．1()2=+f x x x【解析】对于A ，由()f x x =，得2x x x +=，即20x =，方程无解，所以A 不符合题意，对于B ，由()f x x =，得23x x x -+=，即230x +=，方程无解，所以B 不符合题意，对于C ，由()f x x =，得当1x ≤时，221x x -=，即2210x x --=，解得1x =或12x =-，所以此函数为“不动点函数”，所以C 正确，对于D ，由()f x x =，得12x x x+=，即210x +=，方程无解，所以D 不符合题意，，故选：C5．四参数方程的拟合函数表达式为()01ba d y d x x c -=+>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如1y x -=），还可以是一条S 形曲线，当4a =，1b =-，1c =，1d =时，该拟合函数图象是（）A ．类似递增的双曲线B ．类似递增的对数曲线C ．类似递减的指数曲线D ．是一条S 形曲线【解析】依题意可得拟合函数为1311y x -=++，()0x >，即()31333 114111x x y x x x +--=+==++++，()0x >，由3y x-=()1x >向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到3 41y x -=++，()0x >，因为3y x-=在()1,+∞上单调递增，所以拟合函数图象是类似递增的双曲线；故选：A6．在函数()f x 区间D 上的导函数为()f x '，()f x '在区间D 上的导函数为()g x .若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()f x 在区间D 上为“凸函数”.已知实数m 为常数，()4323126x mx f x x =--，若对满足1m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，则b a -的最大值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【解析】由题设，32()632x mx f x x '=--，则2()6g x x mx =--，∴对任意||1m ≤，在(,)a b 上有2()60g x x mx =--<恒成立，令2()60h m mx x =-+-<在11m -≤≤上恒成立，∴22(1)60(1)60h x x h x x ⎧-=+-<⎨=--<⎩，可得22x -<<，∴2,2a b ≥-≤，故b a -的最大值为4.故选：A7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其姓名命名的“高斯函数”为[]y x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，例如][3.54,2.12⎡⎤-=-=⎣⎦，已知函数()11xxe f x e -=+，令函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，则()g x 的值域为（）A ．()1,1-B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-【解析】因为11xe +>，所以2021xe <<+，所以12()1(1,1)11x x xe f x e e -==-∈-++，则()[()]g x f x =的值域{}0,1-．故选：C ．8．已知函数()y f x =，若在定义域内存在实数x ，使得()()f x kf x -=-，其中k 为整数，则称函数()y f x =为定义域上的“k 阶局部奇函数”，若()()2log f x x m =+是[]1,1-上的“1阶局部奇函数”，则实数m 的取值范围是（）A ．⎡⎣B ．(C ．⎡⎣D ．⎡-⎣【解析】由题意，函数()()[]2log ,,11f x x m x =+-∈，满足0x m +>，解得1m >，因为函数()()2log f x x m =+是[]1,1-上的“1阶局部奇函数”，即关于x 的方程()()f x f x -=-在[]1,1-上有解，即()()22log log 0x m x m -+++=在[]1,1-上有解，可得[]221,1,1m x x -=∈-，所以221m x =+在[]1,1x ∈-有解，又由21[1,2]x +∈，因为1m >，所以212m <≤，解得1m <≤实数m 的取值范围是(.故选：B.9．如图所示的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们把这样的曲线叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它每过相同的间隔振幅就变化一次，且过点33,42M π⎛⎫⎪⎝⎭，其对应的方程为12||2|sin |2x y x ωπ⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎣⎦⎝⎭（0x ≥，其中[]x 为不超过x 的最大整数，13ω<<）．若该葫芦曲线上一点N 的横坐标为43π，则点N 的纵坐标为（）A ．13±B．C ．12±D．【解析】由曲线过33,42M π⎛⎫ ⎪⎝⎭知，3231342sin 224ππωπ⎛⎫⎡⎤⨯ ⎪⎢⎥⎛⎫=- ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭，即3sin 14πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，则3(Z)42k k ππωπ=+∈，解得42(Z)33k k ω=+∈，又13ω<<，则2ω=，若该葫芦曲线上一点N 的横坐标为43π，即43x π=，代入曲线方程得到42143||2sin 223y πππ⎛⎫⎡⎤⨯ ⎪⎢⎥⎛⎫=-⨯=⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭ ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭，则y =N的纵坐标为．故选：D 10．设函数()f x 的定义域为D ，若函数()f x 满足条件：存在[]a b D ⊆，，使()f x 在[]a b ，上的值域为22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则称()f x 为“倍缩函数”.若函数()()2log 2xf x t =+（其中0t ≥）为“倍缩函数”，则t 的取值范围是（）A ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．()01，C ．102⎛⎤⎥⎝⎦，D ．14⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【解析】由已知可得，()f x 在[]a b ，上是增函数；22log (2)2,log (2)2a b a t b t ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩即222222aabb t t ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，a ∴，b 是方程2220x x t -+=的两个根，设22xm ==0m >，此时方程为20m m t -+=即方程有两个不等的实根，且两根都大于0；2(1)400t t ⎧-->∴⎨>⎩，解得：104t <<，∴满足条件t 的范围是104⎛⎫ ⎪⎝⎭，.故选：A二、多选题11．具有性质：()1f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是（）A ．()22x f x x =-B ．()1f x x x=-C ．()1f x x x=+D ．(),01,0,1,1,1x x f x x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩【解析】对于A 选项，x ＝0在定义域内，不满足“倒负”变换；对于B 选项，()111f x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，满足“倒负”变换；对于C 选项，()155,2222f f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()122f f ⎛⎫≠- ⎪⎝⎭，不满足“倒负”变换；对于D 选项，当01x <<时，11x>，此时()111f x f x x x⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭；当x ＝1时，11x=，此时()()101f f ==-；当1x >时，101x<<，此时()11f f x x x⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()f x 满足“倒负”变换．故选：BD.12．对于函数()y f x =，若()00f x x =，则称0x 是()f x 的不动点：若()11f f x x ⎡⎤=⎣⎦，则称1x 是()f x 的稳定点，则下列函数有稳定点的是（）A ．()1f x x-=-B ．()21f x x =+C ．()31,02112x x f x x ⎧<<⎪⎪=≤<D ．()2121,12x f x x x <<=⎨⎪≤<⎪⎩【解析】A ：函数1()f x x=-的定义域为{}0x x ≠，假设存在稳定点1x ，则111()f x x =-，1111[()](f f x f x x =-=，所以对{}0x x x ∀∈≠，均有[()]f f x x =，故A 有稳定点；B ：函数2()1f x x =+的定义域为R ，假设存在稳定点1x ，则211()1f x x =+，2421111[()](1)22f f x f x x x =+=++，而4211122x x x ++=在R 上无解，故B 无稳定点；C ：()3102112x x f x x ⎧<<⎪⎪=≤<，，，当12x =时，12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，故31122f f f ⎫⎡⎤⎛⎫===⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎭，故C 有稳定点；D：212()112x f x x x <<=⎨⎪≤<⎪⎩，，当12x =时，2111(()224f ==，而11(0,42∈，故111[()]()242f f f ===，故D 有稳定点.故选：ACD.13．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.()f x 是定义在R上的函数，对于x ∈R ，令1()(123)n n x f x n -== ，，，，若存在正整数k 使得0k x x =，且当0<j <k 时，0j x x ≠，则称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点.若122()12(1)2x x f x x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩，，，下列各值是()f x 周期为2的周期点的有（）A ．0B ．13C ．23D ．1【解析】A ：00x =时，()100x f ==，周期为1，周期为2也正确，故A 正确；B ：013x =时，1231222233333n x f x f x x ⎛⎫⎛⎫======= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，，所以13不是()f x 的周期点.故B 错误；C ：023x =时，1223n x x x ==== ，周期为1，周期为2也正确.故C 正确；D ：01x =时，()()1201000x f x f x ====≠，，1∴不是()f x 周期为2的周期点，故D 错误.故选：AC.14．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列说法中正确的有（）A ．对于一个半径为1的圆，其“优美函数”仅有1个B ．函数()3f x x =可以是某个圆的“优美函数”C ．若函数()y f x =是“优美函数”，则函数()y f x =的图象一定是中心对称图形D ．函数32cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可以同时是无数个圆的“优美函数”【解析】对于A ，过圆心的任一直线都可以满足要求，故A 错误；对于B ，函数3()f x x =为奇函数，关于原点对称，可以是单位圆的“优美函数”，故B 正确；对于C ，函数y =f (x )的图象是中心对称图形，函数一定是“优美函数”，但“优美函数”不一定是中心对称函数，如图，故C 错误；对于D ，函数32cos 2sin 2y x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭关于原点对称，是圆222,02x y k k +=<≤，的“优美函数”，满足无数个，故D 正确.故选：BD.15．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为()1，=D x x 为有理数，()0D x x =，为无理数），关于函数()D x ，下列说法正确的是（）．A ．()D x 既不是奇函数，也不是偶函数B ．x ∀∈R ，()()1D D x =C ．()D x 是周期函数D ．,x y ∃∈R ，使得()()()D D y y D x x +=+【解析】因为有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，所以对x ∀∈R ，()()D x D x -=，故()D x 是偶函数，故A 错误；当x 为有理数时，()1D x =，当x 为无理数时，()0D x =，当x 为有理数时，()()()11D D x D ==，当x 为无理数时，()()()01D D x D ==，所以()()1D D x =恒成立，B 正确；若x 是有理数，T 是有理数，则x T +是有理数；若x 是无理数，T 是有理数，则x T +是无理数，所以任取一个不为0的有理数T ，()()D x T D x +=恒成立，即()D x 是周期函数，故C 正确；若x ，y 为无理数，则x y +也为无理数，所以()()()0x y x D D D y =+=+，故D 正确．故选：BCD16．函数()f x 满足条件：①对定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有()[()()]0a b f a f b -->；②对定义域内任意两个实数1x ，2x 都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭成立，则称为G 函数，下列函数为G 函数的是（）A ．()21f x x =-B ．()f x =C ．2()43f x x x =-+-，1x <D ．3()f x x =，0x >【解析】a ，b 恒有()[a b f -（a ）f -（b ）]0>，所以()f x 是增函数，因为对定义域内任意两个实数1x ，2x 都有1212()()()22x x f x f x f ++ 成立，所以()f x 为上凸函数，对于A ，函数()21f x x =-是增函数，且1212()()()22x x f x f x f ++=成立，所以函数为G 函数，故选项A 正确；对于B ，函数()f x =G 函数，故选项B 正确；对于C ，函数2()43f x x x =-+-，1x <是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以函数为G 函数，故选项C 正确；对于D ，函数3()f x x =，0x >是增函数，但是函数的图象是下凹函数，所以函数不是G 函数，故选项D 错误．故选：ABC ．17．已知函数()122,42,x x af x x x a x a -⎧<=⎨-++≥⎩，如果函数()f x 满足对任意()1,x a ∈-∞，都存在()2,x a ∈+∞，使得()()21f x f x =，称实数a 为函数()f x 的包容数，下列数中可以为函数()f x 的包容数的是（）A ．12-B ．1C ．4D ．8【解析】记()1f x 的值域为A ，()2f x 的值域为B ，由题意可知：A B ⊆；对于A ，当12a =-时，312224x --<=；2413x x -+-≤；则4A ⎛⎫=-∞ ⎪ ⎪⎝⎭，(],3B =-∞，满足A B ⊆，A 正确；对于B ，当1a =时，10221x -<=，2426x x -++≤；则(),1A =-∞，(],6B =-∞，满足A B ⊆，B 正确；对于C ，当4a =时，13228x -<=，2488x x -++≤；则(),8A =-∞，(],8B =-∞，满足A B ⊆，C 正确；对于D ，当8a =时，1722128x -<=；241616x x -++≤-；则(),128A =-∞，(],16B =-∞-，不满足A B ⊆，D 错误.故选：ABC.18．若正整数m ，n 只有1为公约数，则称m ，n 互质.对于正整数n ，()n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n互质的数的个数，函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：()32ϕ=，()76ϕ=，()96ϕ=，则下列说法正确的是（）A ．()()510ϕϕ=B ．()211nϕ-=C ．数列(){}3nϕ为等比数列D ．()()222n n ϕϕ+>，*n N ∈【解析】因为()()5104ϕϕ==，故A 正确；因为当4n =时，()151ϕ≠，故B 不正确；因为与3n 互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…，32n -，31n -，共有()1131323n n ---⋅=⋅个，所以()1323n n ϕ-=⋅.则数列(){}3nϕ为等比数列，故C 正确；因为()()462ϕϕ==，故D 不正确；故选：AC 三、填空题19．若存在常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立（或()F x kx b ≤+和()G x kx b ≥+恒成立），则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”．已知函数()()2x x x f =-∈R ，()()10g x x x=>，若函数()f x 和()g x 之间存在隔离直线3y x b =-+，则实数b 的取值范围是______．【解析】因为函数()f x 和()g x 之间存在隔离直线3y x b =-+，所以当23x x b -≤-+时，可得230x x b -+-≤对任意的x ∈R 恒成立，则23b x x ≥-+，即239(24b x ≥--+，所以94b ≥；当13x b x ≥-+时，对0x >恒成立，即13(0)b x x x≤+>恒成立，又当0x >时，13x x +≥13x x =即x =b ≤综上所述，实数b的取值范围是94b ≤≤.20．如果函数()y f x =在其定义域上有且仅有两个不同的数0x ，满足()()0000f x f x x x '=-，那么就称函数()y f x =为“单值函数”，则下列四个函数：①()322f x x x =+；②()e xf x x =；③()ln 010x x x f x x x x >⎧⎪=⎨+<⎪⎩，，；④()()sin 1f x x x =+.其中为“单值函数”的是______．(写出所有符合题意的函数的序号)【解析】①()()322234f x x x f x x x ='=++，，()()2221234202102f x f x x x x x x x x x x x x =-⇒+=+-⇒+=⇒+=⇒=-'，方程只有一个解，故该函数不为“单值函数”；②()()e e e x x xf x x f x x ==+'，，()()e e e e 10x x x x f x f x x x x x x=-⇒-⇒='=+⇒=，∵x ≠0，故方程无解，该函数不是“单值函数”；③()ln 010x x x f x x x x >⎧⎪=⎨+<⎪⎩，，，当0x >时，()ln 1f x x ='+，()()ln ln 110f x f x x x x x x x=-⇒=-⇒='+>；当0x <时，()211f x x '=-，()()32221121120f x f x x x x x x x x x x'=-⇒+=--⇒=-⇒=-⇒=<，故f (x )在其定义域上有且仅有两个不同的数0x ，满足()()0000f x f x x x '=-，故该函数为“单值函数”；④()()()sin 1sin 1cos f x x x f x x x x '=+=++，，()()sin 1sin 1cos cos 1f x f x x x x x x x x x=-⇒+=++-⇒='20x k k k π⇒=≠∈Z ，，，方程有无数个解，故该函数不是“单值函数”﹒故选：③．21．若函数()f x 的定义域为D ，且满足如下两个条件：①()f x 在D 内是单调递增函数；②存在[],m n D ⊆，使得()f x 在[],m n 上的值域为[]2,2m n 那么就称函数()f x 为“希望函数”，若函数()()()log 0,1x a f x a t a a =->≠是“希望函数”，则实数t 的取值范围为___________.【解析】∵函数()()()log 0,1xa f x a t a a =->≠是“希望函数”，∴()()22f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()2f x x =有两个解，∴m ，n 是方程()20x x a a t +=-的两个不等的实根，设x y a =，则0y >，∴方程等价为20y y t -+=的有两个不等的正实根，即1212140010t y y t y y =-⎧⎪=⎨⎪+=⎩ ＞＞＞，∴140t t ⎧<⎪⎨⎪>⎩，解得104t <<，故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.22．若函数()f x 在区间A 上，对,,a b c A ∀∈，()f a ，()f b ，()f c 为一个三角形的三边长，则称函数()f x 为“三角形函数”.已知函数()ln f x x x m =+在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“三角形函数”，则实数m 的取值范围为____【解析】1()ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+，令()0f x '>，得1e x >，令()0f x '<，得10ex <<，所以()f x 在211,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,e e ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，所以min 1()()e f x f =11ln e e m =+1em =-，因为222111((e)ln eln e e e e f f m m -=+--22e 0e =--<，所以max ()(e)e f x f m ==+，所以()f x 在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,e e m m ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，因为函数()ln f x x x m =+在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是“三角形函数”，所以11e e e m m m -+->+，解得2e em >+.四、解答题23．函数()f x 的定义域为()0,∞+，且存在唯一常数0k >，使得对于任意的x 总有()()1f kx f x k=+，成立．(1)若()10f =，求()1f k f k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)求证：函数()ln g x x =符合题设条件．【解析】(1)因为()()1f kx f x k=+，所以()()11f k f k =+，又()10f =，所以()1f k k =，又()1111f f k f k k k⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅=+，所以11f k k ⎪⎝⎭=-⎛⎫，所以()1110f k f k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-+=(2)因为()ln g x x =的定义域为()0,∞+，假设存在常数00k >满足()()001g k x g x k =+，即()001ln ln k x x k =+，所以001ln k k =，设()1ln h x x x =-，显然()h x 在()0,∞+上单调递增，又()11ln1101h =-=-<，()11e ln e 10e eh =-=->，所以存在唯一的常数()01,e k ∈使得()0001ln 0h k k k =-=，即存在唯一的常数()01,e k ∈使得函数()ln g x x =符合题设条件；24．已知函数()f x 和()g x 的定义域分别为1D 和2D ，若对任意的01x D ∈，都恰好存在n 个不同的实数122,,,n x x x D ∈ ，使得()()0i g x f x =（其中*1,2,,,N i n n =⋅⋅⋅∈），则称()g x 为()f x 的“n 重覆盖函数”.(1)判断下面两组函数中，()g x 是否为()f x 的“n 重覆盖函数”，并说明理由；①()()cos 04g x x x π=<<，()()11f x x x =-<<，“4重覆盖函数”；②()()22g x x x =-≤≤，()()1sin f x x x R =+∈，“2重覆盖函数”；(2)若()1sin x g x xπ-=，()0,x ∈+∞为()1f x x =，(),x s t ∈()0s t <<的“9重覆盖函数”，求t s -的最大值.【解析】(1)①：当11x -<<时，()11f x -<<，根据余弦函数的图象可知，()g x 是()f x 的“4重覆盖函数”；②：由1sin 1x -≤≤可知：()02f x ≤≤，函数()()22g x x x =-≤≤的图象如下图所示：当3π2x =时，3π3π1sin 022f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，当()00g x x x ==⇒=，所以()g x 不是()f x 的“2重覆盖函数”；(2)因为(),x s t ∈，所以()1f x t s<<，因为0sin 1x π≤≤，所以当()0,x ∈+∞时，()0g x ≥，当1(0,]2x ∈时，()1sin 1sin πx x g x x xπ--==，函数1sin πy x =-和函数1y x=都是单调递减函数，故该函数单调递减，当1(,1]2x ∈时，()1sin 1sin πx x g x x xπ--==，函数1sin πy x =-是单调递增函数，函数1y x=是单调递减函数，而函数1sin πy x =-递增的速度快于函数1y x=递减的速度，所以函数单调递增，而函数1sin πy x =-的最小正周期为：12π12π⨯=，因此函数()1sin xg x xπ-=，()0,x ∈+∞的图象如下图所示：因此要想()1sin x g x xπ-=，()0,x ∈+∞为()1f x x =，(),x s t ∈()0s t <<的“9重覆盖函数”，只需()()111444*********g s s s s t s t t g t t⎧⎧≥≥⎪⎪≥-≤-⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⇒-≤⎨⎨⎨⎨≤≤⎩⎩⎪⎪≤≤⎪⎪⎩⎩，所以t s -的最大值1.25．已知O 为坐标原点，R a b ∈、，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),a M b O =为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM 的伴随函数.已知函数()ππ2sin 62g x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(1)求()g x 的伴随向量ON，并求ON .(2)关于x 的方程()0g x t -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒有两个不相等实数解，求实数t 的取值范围.(3)将函数()g x 图象上每一点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把整个图象向左平移23π个单位长度得到函数()h x 的图象，已知()33A -，，()311B ，，在函数()h x 的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥，若存在，求出点P 坐标；若不存在，说明理由.【解析】(1)因为()ππ2sin 62g x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππcos sin sin 2cos 66x x x=⋅+⋅-cos x x =，所以ON =，2ON == .(2)因为关于x 的方程()0g x t -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒有两个不相等实数解，所以()y g x =的图象与直线y t =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒有两个不同的交点，π()2sin()6g x x =+(π02x ≤≤)的图象如图：2t ≤<.(3)依题意可得12ππ()2sin 236h x x ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π2sin 22x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12cos 2x =，||10AB ==，AB 的中点为(0,7)，假设在函数()h x 的图象上是否存在一点00(,)P x y ，使得AP BP ⊥，则点P 在以AB 为直径的圆上，该圆的圆心为(0,7)，半径为5，所以2200(0)(7)25x y -+-=，即22001(2cos 7)252x x +-=，所以201(2cos 7)252x -≤，所以0152cos 752x -≤-≤，所以011cos 62x ≤≤，又011cos 12x -≤≤，所以01cos 12x =，所以220(217)25x +⨯-=，所以00x =，所以012cos 22x =，所以(0,2)P .综上所述：在函数()h x 的图象上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥，且(0,2)P .26．若函数()f x 和()g x 的图象均连续不断，()f x 和()g x 均在任意的区间上不恒为0，()f x 的定义域为1I ，()g x 的定义域为2I ，存在非空区间()12A I I ⊆⋂，满足：x A ∀∈，均有()()0f x g x ≤，则称区间A 为()f x 和()g x 的“Ω区间”(1)写出()2sin f x x =和()sin cos g x x x =+在[0,]π上的一个“Ω区间”，并说明理由；(2)若()21e 2ln cos2ex x f x x x -=+-，且()f x 在区间(0,1]上单调递增，(0,)+∞是()f x 和()g x 的“Ω区间”，证明：()g x 在区间(0,)+∞上存在零点.【解析】(1)()2sin f x x = ，()sin cos g x x x =+，令()()0f x g x ≤则()2sin sin cos 0x x x +≤，因为[0,]x π∈，所以sin 0x ≥，sin cos 0x x ∴+≤04x π⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，[]0,x π∈ ，所以5,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令544x πππ≤+≤，解得34x ππ≤≤，3,4x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，∴()2sin f x x =和()sin cos g x x x =+在[0,]π上的一个“Ω区间”为3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（答案为3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的非空子集都可）(2)()0,∞+ 是()f x 和()g x 的“Ω区间”，()0,x ∞∀∈+ 均有()()0f xg x ≤()f x 在区间(0,1]上单调递增，而()11cos20f =->，则()10g ≤又220222212ln11112e cos21cos 0ee e e e ef ⎛⎫=+-=-+-< ⎪⎝⎭，则210e g ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭()g x ∴在21e ,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有零点，()g x ∴在区间(0,)+∞上存在零点.27．对于函数()f x ，若在其定义域内存在实数0x ，t ，使得()()()00f x t f x f t +=+成立，称()f x 是“t 跃点”函数，并称0x 是函数()f x 的“t 跃点”．(1)若函数()sin =-f x x m ，x ∈R 是“π2跃点”函数，求实数m 的取值范围；(2)若函数()()sin =+f x x m ，x ∈R ，求证：“sin 0=m ”是“对任意t ∈R ，()f x 为‘t 跃点’函数”的充要条件；(3)是否同时存在实数m 和正整数n 使得函数()cos 2h x x m =-在[]0,πn 上有2021个“π4跃点”？若存在，请求出所有符合条件的m 和n 的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)由已知得存在实数0x ，使得00ππsin sin sin 22x m x m m ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，∴000πsin cos 1sin 1112m x x x ⎛⎫⎡⎤=-+-+∈+ ⎪⎣⎦⎝⎭，∴实数m 的取值范围是11⎡⎤⎣⎦.(2)由题意得“对任意t ∈R ，()()sin =+f x x m 为‘t 跃点’函数”等价于：对是任意实数t ，关于x 的方程()()()sin sin sin x t m x m t m ++=+++都有解，则对于0t =时有解，即()()()sin sin sin x m x m m +=++,∴sin 0=m ；反之，当sin 0=m 时，()πm k k =∈Z ,()()()sin sin sin x t m x m t m ++=+++等价于()()()sin sin sin x t x t +=+0x =是此方程的解，故此方程对于任意实数t 都有实数解.综上所述，“sin 0=m ”是“对任意t ∈R ，()f x 为‘t 跃点’函数”的充要条件；(3)由已知得，()ππππcos 2cos 2cos 04422h x h x h x m x m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=+--+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得π24m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π；根据函数π24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,πn 上的图象可知：①当()(m ∈⋃时，在[]0,πn 有2n 个“π4跃点”，故不可能有2021个“π4跃点”；②当1m =时，在[]0,πn 有21n +个“π4跃点”，此时2120211010n n +=⇒=；③当m =m =[]0,πn 上有n 个“π4跃点”，故2021n =；综上：11010m n =⎧⎨=⎩或2021m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2021m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩.28．对于函数()()y f x x D =∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”.(1)判断函数2()f x x =是否为“T 同比不减函数”？并说明理由；(2)若函数()sin f x kx x =+是“π2同比不减函数”，求实数k 的取值范围；(3)是否存在正常数T ，使得函数()|1||1|f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”？若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)依题意0T >，函数2()f x x =不是“T 同比不减函数”，理由如下：()2f x x =，()()()()22222f x T f x x T x xT T T x T +-=+-=+=+不恒大于零，所以()()f x T f x +≥不恒成立，所以函数2()f x x =不是“T 同比不减函数”.(2)函数()sin f x kx x =+是“π2同比不减函数”，()π2f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，πππsin sin 222k x x k x ⎛⎫⎛⎫+++≥⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ4sin cos ,π22x k x x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥-≥π4x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，所以ππ2k ≥=.所以k的取值范围是π⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.(3)存在，理由如下：2,1()11,112,1x x f x x x x x x x x +≤-⎧⎪=+--+=--<<⎨⎪-≥⎩，画出()f x 的图象如下图所示，()f x T +的图象是由()f x 的图象向左平移T 个单位所得，由图可知，当4T ≥时，对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，所以存在正常数T ，使得函数()|1||1|f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，且4T ≥.29．若函数()y f x =自变量的取值区间为[a ,b ]时，函数值的取值区间恰为22[,]b a，就称区间[a ,b ]为()y f x =的一个“和谐区间”．已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当,()0x ∈+∞时，()3g x x =-+．(1)求()g x 的解析式；(2)求函数()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”；(3)若以函数()g x 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，求函数()y h x =的值域【解析】(1)因为()g x 为R 上的奇函数，则(0)0g =，设(,0)x ∈-∞，则(0,)x -∈+∞，()()(3)3g x g x x x =--=-+=--；3,0()0,03,0x x g x x x x --<⎧⎪∴==⎨⎪-+>⎩(2)设0a b <<，由()g x 在(0,)+∞上递单调递减，可得2()32()3g b b bg a a a ⎧==-+⎪⎪⎨⎪==-+⎪⎩，即,a b 是方程23x x =-+的两个不等正根．∵0a b <<∴12a b =⎧⎨=⎩∴()g x 在(0,)+∞内的“和谐区间”为[1,2]．(3)设[a ,b ]为()g x 的一个“和谐区间”，则22a bb a<⎧⎪⎨<⎪⎩，∴a ，b 同号．当0a b <<时，同理可求()g x 在(,0)-∞内的“和谐区间”为[2,1]--．3,[1,2]()3,[2,1]x x h x x x -+∈⎧∴=⎨--∈--⎩，3,[1,2]()3,[2,1]x x h x x x -+∈⎧∴=⎨--∈--⎩的值域是[2,1][1,2]-- 30．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足：①()f x 在[],n m 内是单调增函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域是[]2,2m n ，则称[],n m 是该函数的“翻倍区间”．(1)证明：[]1,2是函数()2xf x =的一个“翻倍区间”；(2)判断函数()3g x x =是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由；(3)已知函数()31x h x x a-=+有“翻倍区间”[],m n ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)证明：由函数()2xf x =在[]1,2上单调增函数知，()f x 的值域为[]2,4，故[]1,2是函数()2xf x =的一个“翻倍区间”；(2)假设()g x 存在一个“翻倍区间”[],m n ，由函数()g x 是R 上的单调增函数，有()()332,2,g m m m g n n n ⎧==⎪⎨==⎪⎩解得m =，n =由m n <知所有“翻倍区间”为][[,,⎡⎣；(3)由函数()h x 有“翻倍区间”[],m n 知，()h x 为[],m n 上的单调增函数，而()()33131313x a a x a h x x a x a x a+-----===++++，可得310a --<，解得13a >-，由②知()()312,312,m h m m m an h n n n a -⎧==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩可得m ，n 是方程312x x x a -=+的两个根，等价于方程312x x x a-=+在(,)a -∞-上有两个不等实根或者在(,)a -+∞上有两个不等实根，即方程()222310x a x +-+=在(,)a -∞-上有两个不等实根或者在(,)a -+∞上有两个不等实根，则有()()22Δ(23)803242()2310a a a a a a ⎧=-->⎪-⎪<-⎨⎪-+-⨯-+>⎪⎩或()()22Δ(23)803242()2310a a a a a a ⎧=-->⎪-⎪>-⎨⎪-+-⨯-+>⎪⎩，解得1332a -<<32a >+综上，实数a的取值范围为133(,()322-⋃+∞．31．根据人教2019版必修一P 87页的13题介绍：函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数．题：设函数()39x t f x =+，且()110(1)15f f +=，(其中t 是常数)，函数()243()2x x g x f x x -+=+-．(1)求t 的值，并证明()f x 是中心对称函数;(2)是否存在点A ，使得过点A 的直线若能与函数()y g x =围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】(1)∵函数()39xt f x =+，且()()110115f f +=，11101215t t ∴+=，∴4t =，所以4()39x f x =+；依题假设存在点(,)P a b 使函数()y f x a b =+-为奇函数，则()()2f a x f a x b ++-=对x R ∀∈恒成立，439a x +∴+4239a x b -+=+，2211931312a x a x b -+--∴+=++，∴22223(33)9(31)(31)2a x x a x a xb ---+--++=++，∴22223(33)9193(33)2a x x a a x xb -----++=+++，22222193(33)199193(33)2a a x x a a a x xb -------⎡⎤++++-⎣⎦∴=+++，2221991193(33)2a a a x x b -----∴+=+++，对x R ∀∈恒成立，2190912a b-⎧-=⎪∴⎨=⎪⎩，22,9a b ∴==，∴对于4()39xf x =+存在22,9a b ==，使函数()y f x a b =+-为奇函数，∴4()39xf x =+是以22,9⎛⎫ ⎪⎝⎭为对称中心的中心对称函数.(2)设()2431(2)22x x N x x x x -+==----，所以()()()()111122222202222N x N x x x x x x x x x ⎛⎫++-=+--+---=-+--= ⎪+----⎝⎭即(2)(2)0N x N x ++-=，即()2432x x N x x -+=-关于()2,0对称，又()42(2)9f x f x ++-=，4(2)(2)9g x g x ∴++-=，()g x ∴的对称中心是22,9⎛⎫⎪⎝⎭，依题意，使得过点A 的直线若能与函数()y g x =围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等，则直线必过()y g x =的对称中心，所以所求为22,9A ⎛⎫⎪⎝⎭；32．定义：如果函数()y f x =在定义域内的给定区间[],a b 上存在0x （0a x b ≤≤），满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =为[],a b 上的“平均值函数”，0x 为它的平均值点．(1)函数2y x =是否为[]0,2上的“平均值函数”？如果是，请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由．(2)若函数211221x x y m ++=-+⋅+是[]1,1-上的平均值函数，求实数m 的取值范围．【解析】(1)函数2y x =是[]0,2上的“平均值函数”．令()y f x =，因为()()20402202f f --==-，设0x 是它的平均值点，则有()0022f x x ==，解得01x =，[]10,2∈，故2y x =为[]0,2上的“平均值函数”，1是它的平均值点．(2)令()y f x =，()()()()()211121112212211131511224m m f f m ++-+-+-+⋅+--+⋅+--==---，设0x 是它的平均值点，则()031524f x m =-，即0021131522124x x m m ++-+⋅+=-，整理得0022122426190x x m m ++⋅-⋅+-=．令012x t +=，则[]1,4t ∈，则需方程2246190t mt m -+-=在[]1,4t ∈上有解，令()224619g t t mt m =-+-，[]1,4t ∈，()()2234426191611602m m m ⎛⎫∆=--⨯⨯-=-+> ⎪⎝⎭，①当()0g t =在[]1,4内有一个实根时，()()140g g ⋅≤，即(217)(1013)0m m --≥，解得172m ≥，或1310m ≤；②当()0g t =在[]1,4内有两个不等的实根时，需满足()()414221040m g g -⎧≤-≤⎪⨯⎪≥⎨⎪≥⎪⎩，可得141721310m m m ⎧⎪≤≤⎪⎪≥⎨⎪⎪≤⎪⎩，无解．综上，实数m 的取值范围是1317,,102⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．。

一年级数学连数与连续练习题及讲解在一年级数学学习中，数的连数与连续是非常基础且重要的概念。

了解和掌握这一概念，对孩子们后续的数学学习将起到积极的影响。

本文将介绍一年级数学中连数与连续的概念，并提供一些练习题及解析，以帮助孩子们更好地理解和掌握。

一、连数的概念连数是指按照一定的顺序依次排列的一组数。

比如：1、2、3、4、5、6、7。

在这个例子中，这些数是按照从小到大的顺序排列的，每个数与前一个数相差1，因此它们构成了一个连数。

连数的特点是每个数与前一个数之间的差都相等。

这个差叫做公差，我们用d表示。

在上面的例子中，d=1。

在进行连数计算时，可以用后一个数减去前一个数，得到两数之差，即为公差。

二、连续的概念连续是指一组数中的任意两个数之间都不存在其他的数，它们之间没有间隔。

比如：2、3、4、5、6、7。

在这个例子中，这些数没有间隔，它们构成了一个连续的数列。

连续的数列可以由前一个数加上公差得到后一个数。

在上面的例子中，前一个数加上公差1便得到了下一个数。

三、练习题及讲解题目1：写出由1开始的前5个连数。

解析：由1开始，依次加上公差1可以得到连数：1、2、3、4、5。

题目2：将下列数按连续的方式排列：5、6、7、8、9。

解析：这些数已经是连续的了，不需要进行任何改变。

题目3：写出一个连续的数列，其中公差为3，以12开始，共有4个数。

解析：由12开始，依次加上公差3可以得到连续的数列：12、15、18、21。

题目4：将下列数改写成连续的数列：20、25、30、35、40。

解析：这些数之间的间隔不相等，不构成连续的数列。

我们可以观察到，每个数都比前一个数大5, 因此，可以将它们改写为连续的数列：20、20+5、20+2*5、20+3*5、20+4*5。

通过对这些练习题的讲解，相信大家对连数与连续的概念有了更加清晰的了解。

记住，在进行连数计算时，需要注意每个数与前一个数之间的差是相等的；而在连续的数列中，每个数可以由前一个数加上公差得到。

第18讲最佳策略问题知识网络在日常生活中，竞赛或争斗性质的现象随处可见，小到下棋、做游戏，大到体育比赛、军事较量等，人们在竞赛或争斗中总是希望自己或自己的一方能够获取胜利或获得最好的结果，这就要求参与竞争的双方都要制定出自己的策略，即分析对方可能采取的计划，有针对性地制定自己的克敌计划。

哪一方的策略更胜一筹，哪一方就会取得最后的胜利。

这种现象我们称之为“对策现象”。

重点·难点如何制定最佳策略，要根据具体的“对策现象”来分析。

一般来说，“对策现象”有三个基本要素：（1）局中人，即在一场竞赛或争斗中的加者，他们为了在对策中取得最后的胜利，必须制定观对付对方的行动计划。

局中人并不特指某一个人，而是指参加竞赛的各个阵营。

（2）策略，是指某一个局中人的一个“自始至终贯彻”的可执行方案，在一局对策中，各具局中人可以有一个策略，也可以有多种策略。

（3）得失，在局对策中，肯定会有胜利者和失败者，竞赛的成绩也会有好有差，我们称之为得失。

每个局中人在一局对策中的得失与全体局中人所采取的策略的优劣有着直接的关系。

学法指导解决策略问题的关键是怎样寻找胜局如何把握胜局。

这可以结合前面几讲中的“带余除法和同余”、“最大与最小”等来进行分析。

经典例题[例1]有一堆棋子共有2002粒，甲、乙两人玩轮流取棋子的游戏。

甲先取乙后取，并且规定每次取的棋子不能超过7粒，但不能不取。

如果规定取到最后一粒棋子的人为胜者，那么甲应如何制定策略以取胜？思路剖析甲为了能取到最后一粒棋子，必须使得当他取到倒数第二轮时，还有8粒棋子。

因为此时轮到乙来取，乙最少要取1粒，最多只能取7粒，因此无论乙取几粒，甲都可以将剩下的棋子一次取净，从而保证必胜。

可见，“8”是个关键数字，一开始甲取的棋子数，应该保证余下的棋子数是8的倍数。

往后的每一轮，不管乙取多少粒（1至7粒），甲总可以使自己所取的棋子数和乙所取棋子数和为8，从而将主动权控制在自己手中。

三年级奥数第18讲简单(jiǎndān)列举（教师版）教学目标用列举解决简单(jiǎndān)实际问题,能不重复(chóngfù)、不遗漏的找到符合要求的答案。

发展学生(xué sheng)思维的条理性和严密性。

知识梳理养鸡场的工人(gōng rén),小心翼翼地把鸡蛋从筐里一个一个往外拿,边拿边数筐里的鸡蛋拿光了,有多少个鸡蛋也就数清了,这种计数的方法就是枚举法。

一般地,根据问题要求,一一列举问题,并加以解决,最终达到解决整个问题的目的。

这种分析问题、解决问题的方法,称之为枚举法。

运用枚举法解决应用题时,必须注意无重复、无遗漏。

为此必须力求有次序、有规律地进行枚举。

典例分析例1、从小华家到学校有3条路可走,从学校到文峰公园有4条路可走。

从小华家到文峰公园,有几种不同的走法?【解析】为了帮助理解题意,我们可以画出如上示意图。

我们把小华的不同走法一一列举如下：根据列举(lièjǔ)可知,从小(cóngxiǎo)明家经学校到文峰公园,走①路有4种不同(bù tónɡ)走法,走②路有4种不同(bù tónɡ)走法,走③路也有4种不同(bù tónɡ)走法,共有4×3=12种不同走法。

例2、用红、绿、黄三种信号灯组成一种信号,可以组成多少种不同的信号? 【解析】要使信号不同,要求每一种信号颜色的顺序不同,我们可以把这些信号进行列举。

可以看出,红色信号灯排在第一个位置时,有两种不同的信号；绿色信号灯排在第一个位置时,也有两种不同的信号；黄色信号灯排在第一个位置时,也有两种不同的信号,因而共有3个2种不同排列方法,即2×3=6种。

例3、一个长方形的周长是22米,如果它的长和宽都是整米数,那么这个长方形的面积有多少种可能?【解析】由于长方形的周长是22米,可知它的长与宽之和为11米。

18的倍数特征18的倍数特征介绍18的倍数特征是指一个数能被18整除的特性。

在数学中，18是一个非常有趣的数字，它具有一些独特的性质和规律。

本文将解释18的倍数特征，并探索与之相关的一些有趣的事实。

什么是18的倍数特征？当一个数能够被另一个数整除，我们称它为该数的倍数。

18的倍数特征指的是一个数能被18整除，也就是说，当一个数能够被18整除时，它具备18的倍数特征。

18的倍数特征的规律以下是与18的倍数特征相关的一些规律：•18的倍数总是偶数：由于18可以被2整除，所以18的倍数总是偶数。

例如，36、54和72都是18的倍数。

•末位数：18的倍数的个位数只能是0、2、4、6或8。

这是因为一个数能够被18整除，当且仅当它能被2和9同时整除。

而9的倍数的个位数是9，所以18的倍数的个位数只能是0、2、4、6或8。

•个位数之和：18的倍数的个位数之和也是18的倍数。

例如，36是18的倍数，而3+6=9也是18的倍数。

与18的倍数特征相关的应用18的倍数特征在日常生活和数学领域中有一些应用：•分辨数的整除性：如果一个数是18的倍数，我们可以通过检查它是否能被18整除来确定它的整除性。

这在进行数学计算和解题时特别有用。

•时间单位换算：在时间单位换算中，18的倍数特征可以帮助我们快速计算小时到分钟的转换。

由于60分钟是1小时的倍数，而18又是60和18的最小公倍数，所以18的倍数特征在小时和分钟之间的转换中非常方便。

•商品打包：在商品打包和配送时，使用18的倍数特征可以帮助我们确定最佳的包装方式。

例如，如果商品重量是18的倍数，我们可以更容易地分配它们到相同大小的包裹中，以减少成本和运输时间。

结论通过本文，我们了解了18的倍数特征及其相关规律和应用。

18的倍数特征在数学中有着重要的意义，它不仅帮助我们更好地理解数的整除性，还可以在日常生活中解决一些实际问题。

在进一步的学习和应用中，我们可以发现更多与18的倍数特征相关的有趣事实和应用。

[二年级数学]二年级奥数上册1二年级奥数上册:第一讲速算与巧算一、“凑整”先算1.计算:(1)24+44+56(2)53+36+47解:(1)24+44+56=24+(44+56)=24+100=124这样想:因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.(2)53+36+47=53+47+36=(53+47)+36=100+36=136这样想:因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面;然后再把53+47的和算出来.2.计算:(1)96+15(2)52+69解:(1)96+15=96+(4+11)=(96+4)+11=100+11=1112这样想:把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算.(2)52+69=(21+31)+69=21+(31+69)=21+100=121这样想:因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.3.计算:(1)63+18+19(2)28+28+28解:(1)63+18+19=60+2+1+18+19=60+(2+18)+(1+19)=60+20+20=100这样想:将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.(2)28+28+28=(28+2)+(28+2)+(28+2)-63=30+30+30-6=90-6=84这样想:因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.二、改变运算顺序:在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变计算:(1)45-18+19(2)45+18-19解:(1)45-18+19=45+19-18=45+(19-18)=45+1=46这样想:把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.(2)45+18-19=45+(18-19)=45-1=44这样想:加18减19的结果就等于减 1.三、计算等差连续数的和相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如: 41，2，3，4，5，6，7，8，91，3，5，7，92，4，6，8，103，6，9，12，154，8，12，16，20等等都是等差连续数.1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成:(1)计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9=5×9 中间数是 5=45 共9个数(2)计算:1+3+5+7+9=5×5 中间数是 5=25 共有5个数(3)计算:2+4+6+8+10=6×5 中间数是 6=30 共有5个数5(4)计算:3+6+9+12+15=9×5 中间数是9=45 共有5个数(5)计算:4+8+12+16+20=12×5 中间数是12=60 共有5个数2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成:(1)计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)×5=11×5=55共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.(2)计算:3+5+7+9+11+13+15+17=(3+17)×4=20×4=806共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.(3)计算:2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=(2+20)×5=110共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.四、基准数法(1)计算:23+20+19+22+18+21解:仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.23+20+19+22+18+21=20×6+3+0-1+2-2+1=120+3=1236个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”;19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.(2)计算:102+100+99+101+987解:方法1:仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算.102+100+99+101+98=100×5+2+0-1+1-2=500方法2:仔细观察，可将5个数重新排列如下:(实际上就是把有的加数带有符号搬家)102+100+99+101+98=98+99+100+101+102=100×5=500可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是 5.习题一1.计算:(1)18+28+72=(2)87+15+13=(3)43+56+17+24=8(4)28+44+39+62+56+21=2.计算:(1)98+67=(2)43+28=(3)75+26=3.计算:(1)82-49+18=(2)82-50+49(3)41-64+294.计算:(1)99+98+97+96+95(2)9+99+9995.计算:(1)5+6+7+8+9(2)5+10+15+20+25+30+359(3)9+18+27+36+45+54(4)12+14+16+18+20+22+24+266.计算:(1)53+49+51+48+52+50(2)87+74+85+83+75+77+80+78+81+847.计算:1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5 10二年级奥数上册:第一讲速算与巧算习题解答111213141516171819第一层 1个第二层 2个第三层 3个第四层 4个第五层 5个20第六层 6个第七层 7个第八层 8个第九层 9个第十层 8个第十一层7个第十二层6个第十三层 5个第十四层 4个第十五层 3个第十六层 2个第十七层 1个总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =(1+2+3+4+5+6+7+8+9)+(8+7+6+5+4+3+2+1) =45+36=81(利用已学过的知识计算).21第一层 1个第二层 3个第三层 5个第四层 7个第五层 9个第六层 11个第七层 13个第八层 15个第九层 17个总数:1+3+5+7+9+11+13+15+17=81(利用已学过的知识计算).22×101+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想: 1=1×11+2+1=2×21+2+3+2+1=3×31+2+3+4+3+2+1=4×41+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5231+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×61+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×71+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8×91+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×101+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多.同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规律.?由方法2和方法3也可以得出下式:1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想:1+3=2×21+3+5=3×31+3+5+7=4×41+3+5+7+9=5×5241+3+5+7+9+11=6×61+3+5+7+9+11+13=7×71+3+5+7+9+11+13+15=8×81+3+5+7+9+11+13+15+17=9×91+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，我们就又发现了一条规律.解:(1)我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有: AB AC AD AE AF 5条.以B点为共同左端点的线段有:BC BD BE BF 4条.以C点为共同左端点的线段有:CD CE CF 3条.25以D点为共同左端点的线段有:DE DF 2条.以E点为共同左端点的线段有:EF1条.总数5+4+3+2+1=15条.26272829二年级奥数上册:第三讲数数与计数(二)习题3031323334二年级奥数上册:第四讲认识简单数列35363738二年级奥数上册:第四讲认识简单数列习题39二年级奥数上册:第四讲认识简单数列习题解答404142二年级奥数上册:第五讲自然数列趣题第五讲自然数列趣题本讲的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的思维方法一般是运用枚举法及分类统计方法，望同学们能很好地掌握它.例1 小明从1写到100，他共写了多少个数字“1”,解:分类计算:“1”出现在个位上的数有:1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10个;“1”出现在十位上的数有:10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10个;“1”出现在百位上的数有:100共1个;共计10+10+1=21个.43例2 一本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字,解:分类计算:从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9(个);从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90=180(个);第100页，只1页共用3个铅字，所以排100页书的页码共用铅字的总数是: 9+180+3=192(个).44解:(见图5—1)先按题要求，把1到100的一百个自然数全部写出来，再分类进行计算:如图5—1所示，宽竖条带中都是个位数字，共有10条，数字之和是: (1+2+3+4+5+6+7+8+9)×10=45×10=450.窄竖条带中，每条都包含有一种十位数字，共有9条，数字之和是:1×10+2×10+3×10+4×10+5×10+6×10+7×10+8×10+9×10=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)×10=45×10,450.另外100这个数的数字和是1+0+0=1.所以，这一百个自然数的数字总和是:45450+450+1=901.顺便提请同学们注意的是:一道数学题的解法往往不只一种，谁能寻找并发现出更简洁的解法来，往往标志着谁有更强的数学能力.比如说这道题就还有更简洁的解法，试试看，你能不能找出来,二年级奥数上册:第五讲自然数列趣题习题1.有一本书共200页，页码依次为1、2、3、,,、199、200，问数字“1”在页码中共出现了多少次,2.在1至100的奇数中，数字“3”共出现了多少次,3.在10至100的自然数中，个位数字是2或是7的数共有多少个,4.一本书共200页，如果页码的每个数字都得用一个单独的铅字排版(比如，“150”这个页码就需要三个铅字“1”、“5”和“0”)，问排这本书的页码一共需要多少个铅字,5.像“21”这个两位数，它的十位数字“2”大于个位数字“1”，问从1至100的所有自然数中有多少个这样的两位数,6.像“101”这个三位数，它的个位数字与百位数字调换以后，数的大小并不改变，问从100至200之间有多少个这样的三位数,467.像11、12、13这三个数，它们的数位上的各个数字相加之和是(1+1)+(1+2)+(1+3)=9.问自然数列的前20个数的数字之和是多少,8.把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少,9.从1到1000的一千个自然数的所有数字的和是多少,习题五解答1.解:分类计算，并将有数字“1”的数枚举出来.“1”出现在个位上的数有:1，11，21，31，41，51，61，71，81，91，101，111，121，131，141，151，161，171，181，191 共20个;“1”出现在十位上的数有:10，11，12，13，14，15，16，17，18，19110，111，112，113，114，115，116，117，118，119 共20个;47“1”出现在百位上的数有:100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126，127，128，129，130，131，132，133，134，135，136，137，138，139，140，141，142，143，144，145，146，147，148，149，150，151，152，153，154，155，156，157，158，159，160，161，162，163，164，165，166，167，168，169，170，171，172，173，174，175，176，177，178，179，180，181，182，183，184，185，186，187，188，189，190，191，192，193，194，195，196，197，198，199 共100个;数字“1”在1至200中出现的总次数是:20+20+100=140(次).2.解:采用枚举法，并分类计算:48“3”在个位上:3，13，23，33，43，53，63，73，83，93共10个;“3”在十位上:31，33，35，37，39共5个;数字“3”在1至100的奇数中出现的总次数:10+5=15(次).3.解:枚举法:12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，62，67，72，77，82，87，92，97共18个.4.解:分段统计，再总计.页数铅字个数1,9共9页1×9=9(个)(每个页码用1个铅字)10,90共90页2×90=180(个)(每个页码用2个铅字)100,199共100页3×100=300(个)(每个页码用3个铅字)第200页共1页3×1=3(个)(这页用3个铅字)总数:9+180+300+3=492(个).5.解:列表枚举，分类统计:10 1个4920 21 2个30 31 32 3个40 41 42 43 4个50 51 52 53 54 5个60 61 62 63 64 65 6个70 71 72 73 74 75 76 7个80 81 82 83 84 85 86 87 8个90 91 92 93 94 95 96 97 98 9个总数1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(个).6.解:枚举法，再总计:101，111，121，131，141，151，161，171，181，191共10个.5051二年级奥数上册:第六讲找规律(一)525354二年级奥数上册:第六讲找规律(一)习题5556二年级奥数上册:第六讲找规律(一)习题解答575859二年级奥数上册:第七讲找规律(二) 60。

应用题一、数字问题1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

2、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为（6-x），根据题意可知，[10（6-x）+x][10x+（6-x）]=1008，即2x-6x+8=0，解得1x=2，2x=4，∴6-x=4，或6-x=2，∴10（6-x）+x=42或10（6-x）+x=24，答：这个两位数是42或24．二、销售利润问题3、某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．解：设每天利润为w元，每件衬衫降价x元，根据题意得w=（40-x）（20+2x）=-22x+60x+800=-2（x-15）2+1250（1）当w=1200时，-22x+60x+800=1200，解之得1x=10，2x=20．根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）解：商场每天盈利（40-x）（20+2x）=-2（x-15）2+1250．当x=15时，商场盈利最多，共1250元．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？5.解：设每台冰箱应降价x元,那么4800)20002400()45080(=--⨯⨯-xx所以(x - 200)(x - 100)=0x = 100或200所以每台冰箱应降价100或200元.5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元根据题意，得：20024)401.0200)(23(=-⨯+--xx解得：1x＝0.2，2x＝0.3答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元。

《解决连续两问的问题》教学设计桃源县漳江小学吴瑜教学内容：人教版数学二年级上册第二单元32页。

教材分析：“解决连续两问的问题”是人教版二年级上册第二单元的内容，这部分的知识是含有两个已知条件，求两个问题的应用题，在解决问题领域中起着举足轻重的作用，也是今后学习两步解决问题的基础，它是在学生已经学习了简单一步解决问题的基础上解决第二个问题。

两个已知条件是重点，第三个已知条件是过度，通过连续问把第一个问题的结果作为已知条件，再解决第二个问题。

学情分析：学生在本单元前面已经掌握加、减法的相关运算，有了计算的基础。

也初步学习求比一个数多几（或少几）的数，这为本例题的教学奠定了一定的基础。

现阶段的多数学生在一个实际问题中能够独立的找出相关的数学条件和数学问题。

但还有一少部分在分析数学条件时会有困难，针对本例题，教师让给足空间让学生独立思考完成相关的教学过程，对于部分学生应引导其逐步找到相关的条件。

教学目标：1.结合具体的情境，掌握读题、寻找已知信息和未知信息的方法，掌握信息之间的联系联系，会列式解决问题。

2.学生经历观察、分析、思考、解决问题的过程，提高学生搜集、处理信息以及发现问题、解决实际问题的能力。

3.在解决问题的过程中增强学生学数学、用数学的意识。

教学重点：：学会加法和减法两步计算解决问题。

教学难点：找准中间问题。

教学准备：学习任务单、翻页笔、（黄、橙、红粉笔）、展台、希沃白板、教学过程：一、复习导入师：咱们漳江小学校最有特色的就是课后服务社团课，学校有书法、绘画、篮球、足球、舞蹈、啦啦操、合唱、编程、科技等社团，我们一起去看看吧!（课件出示活动图）师：这些社团活动中藏着许多数学问题。

我们一起去解决它吧！(课件出示学校舞蹈队社团图）师：我们先来到学校舞蹈社团，他们的问题是。

（出示题目）要解决这个问题怎样列式。

预设：用加法18+7=25（人）师：为什么用加法计算？预设：男生有18人，女生比男生多7人，就是在18人的基础上增加7人就是女生的人数。

数字问题一、基础题1.三个连续奇数的和是387，求这三个奇数。

2.三个连续偶数的和是18，求它们的积。

3.已知三个连续奇数的和比它们相邻的两个偶数的和多15，求三个连续奇数。

4.三个连续偶数的和比其中最大的一个数大10，这三个连续偶数是什么？它们的和是多少？5.一个三位数，三个数位上的数的和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上数的3倍，求这三个数。

6.有两个数，第一个数比第二个数的还小4，第二个数恰好等于第一个数的4倍，求这两个数。

7.如果一个两位数上的十位数是个位数的一半，两个数位上的数字之和为9，则这个两位数是36．8.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小1，十位与个位上的数字之和是这个两位数的五分之一，求这个两位数。

9.一个两位数，个位数字是十位数字的4倍，如果把个位数字与十位数字对调，那么得到的新数比原数大54，求原来的两位数。

10.有一个两位数，十位数字比个位数字的2倍多1，将两个数字对调后，所得的数比原数小36，求原数。

11.一个数的与5的差等于最小的正整数，这个数是多少？12.一个数乘以4，所得的积减去这个数的，再除以3，然后依次减去这个数的、、，等于10，求这个数？二、中等题1.将55分成四个数，如果第一个数加1，第二个数减去1，第三个数乘以2，第四个数除以3，所得的数都相同，求这四个数分别是多少？2.在一道除法算式里，被除数、除数、商、余数四个数的和为75，已知商是8，余数是2，被除数是多少，除数是多少？3.小兰和小丽玩猜数游戏，小兰在直条上写了一个四位小数，让小丽猜。

小丽问：“是6031吗？”小兰说：“猜对了一个数字，且位置正确。

”小丽又问：“是5672吗？”小兰说：“猜对了两个数字，且位置都不正确。

”小丽再问：“是4796吗？”小兰说：“猜对了四个数字，但位置都不正确。

”你能根据以上信息，推断出小兰写的四位数吗？4.把11/12分成若干个不同的分数单位之和，使他们尽可能地少5.一个六位数，它的最高数位上的数字是1，将这个1移动到个位，其它数位上的数字顺序不改变，得到一个新的六位数，它比原六位数的5倍少15679，则原六位数是多少三、竞赛题1.若正整数x，y满足2004x＝15y，则x＋y的最小值是.2.若是能被3整除的五位数，则k的可能取值有个；这样的五位数中能被9整除的是。

18.乘法公式知识纵横乘法公式(multiplication formula)是在多项式乘法的基础上,•将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘,得出的既有特殊性、•又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点：1.熟悉每个公式的结构特征,理解掌握公式;2.根据待求式的特点,模仿套用公式;3.对公式中字母的全面理解,灵活运用公式;4.既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合,综合运用公式.例题求解【例1】•(•1)•已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.(江苏省竞赛题)(2)已知(2000-a)·(1998-a)=1999,那么,(2000-a)2+(1998-a)2=________.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组;(2)视(2000-a)·(1998-a)为整体,•由平方和想到完全平方公式(formula for the square the sum)及其变形.解:(1)设两个连续奇数为x,y,且x>y,则2220002x yx y⎧-=±⎨-=⎩得x+y=1000或x+y=-1000,解得(x,y)=(499,501)或(-501,-499).(2)4002 提示:(2000-a)2+(1998-a)2=[(2000-a)-(1998-a)]2+2(2000-a)·(1998-a)【例2】若x是不为0的有理数,已知M=(x2+2x+1)(x2-2x+1),N=(x2+x+1)(x2-x+1),则M与N 的大小关系是( ). (“祖冲之”杯邀请赛试题)A.M>NB.M<NC.M=ND.无法确定思路点拨 运用乘法公式,在化简M 、N 的基础上,作差比较它们的大小.解:选B【例3】计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1; (天津市竞赛题)(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452. (江苏省竞赛试题)思路点拨 若按部就班计算,显然较繁,能否用乘法公式,简化计算,关键是对待求式恰当变形,使之符合乘法公式的结构特征,对于(2),由于数字之间有联系,•可用字母表示数(称为换元),将数值计算转化为式的计算,更能反映问题的本质特征.解:(1)原式=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=716(2)设1.345=x,则原式=x(x-1)·2x-x 3-x(x-1)2=-x=-1.345【例4】(1)已知x 、y 满足x 2+y 2+54=2x+y,求代数式xy x y+的值. (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x,y 满足不等式x 2+y 2+1≤2x+2y,求x+y 的值. (第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;乙商场:两次提价的百分率都是 2a b + (a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. (2003年河北省竞赛题)思路点拨 对于(1)、(2)两个未知数一个等式或不等式,•须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值,由平方和想到完全平方公式及其逆用,解题的关键是拆项与重组;对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示,作差比较它们的大小.解:(1)提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13(2)原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•所以可能有的结果是1010x y -=⎧⎨-=⎩或1110x y -=±⎧⎨-=⎩或1011x y -=⎧⎨-=±⎩,解得11x y =⎧⎨=⎩或21x y =⎧⎨=⎩ 或 12x y =⎧⎨=⎩或10x y =⎧⎨=⎩,x+y=1或2或3 (3)甲、乙、丙三个商场两次提价后,价格分别为(1+a)(1+b)=1+a+b+ab; (1+2a b +)·(1+2a b +)=1+(a+b)+( 2a b +)2; (1+b)(1+a)=1+a+b+ab; 因(2a b +)2-ab>0,所以(2a b +)2>ab, 故乙商场两次提价后,价格最高.【例5】已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数. 证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶; (2)2(a+b+1)是完全平方数.思路点拨 从a 2+b 2=c 2的变形入手;a 2=c 2-b 2,运用质数、奇偶数性质证明.解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a 应为奇质数,c+b 与c-b 同奇同偶,b 与c 必为一奇一偶.(2)c+b=a 2,c-b=1,两式相减,得2b=a 2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a 2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.学力训练一、 基础夯实1.观察下列各式:(x-1)(x+1)=x 2-1;(x -1)(x 2+x+1)=x 3-1;(x -1)(x 3+x 2+x+1)=x 4-1.根据前面的规律可得 (x -1)(x n +x n-1+…+x+1)=_______.(2001年武汉市中考题)2.已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a b a b+-=_____. (2001年杭州市中考题) 3.计算:(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655=_______;(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________;(3) 2221999199819991997199919992+-=___________. 4.如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形,•请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a 、b 的恒等式________.(2003年太原市中考题) 5.已知a+1a =5,则=4221a a a++=_____. (2003年菏泽市中考题)6.已知a-b=3,b+c=-5,则代数式ac-bc+a 2-ab 的值为( ).A.-15B.-2C.-6D.6 (2003年扬州市中考题)7.乘积(1-212)(1-213)……(1-211999)(1-212000)等于( ). A. 19992000 B. 20012000 C. 19994000 D. 20014000(2002年重庆市竞赛题)8.若x -y=2,x 2+y 2=4,则x 2002+y 2002的值是( ).A.4B.2002C.2D.49.若x 2-13x+1=0,则x 4+41x的个位数字是( ). A.1 B.3 C.5 D.710.如图①,在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b),把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②),通过计算两个图形(阴影部分)的面积,验证了一个等式,则这个等式是().A.a 2-b 2=(a+b)(a -b)B.(a+b)2=a 2+2ab+b 2C.(a -b)2=a 2-2ab+bD.(a+2b)(a -b)=a 2+ab -2b 2 (2002年陕西省中考题)11.(1)设x+2z=3y,试判断x 2-9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?如果是定值,•求出它的值;否则请说明理由.(2)已知x 2-2x=2,将下式先化简,再求值:(x -1)2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1).(2003年上海市中考题)12.一个自然数减去45后是一个完全平方数,这个自然数加上44后仍是一个完全平方数,试求这个自然数.13.观察:1·2·3·4+1=522·3·4·5+1=1123·4·5·6+1=192……(1)请写了一个具有普遍性的结论,并给出证明;(2)根据(1),计算2000·2001·2002·2003+1的结果(用一个最简式子表示).(2001年黄冈市竞赛题)二、能力拓展14.你能很快算出19952吗?为了解决这个问题,我们考察个位上的数字为5的自然数的平方,•任意一个个位数为5的自然数可写在10n+5(n为自然数),即求(10n+5)2的值,试分析n=1,n=2,n=3,……这些简单情形,从中探索其规律,并归纳猜想出结论.(1)通过计算,探索规律.152=225可写成100×1×(1+1)+25;252=625可写成100×2×(2+1)+25;352=1225可写成100×3×(3+1)+25;452=2025可写成100×4×(4+1)+•25;•……752=•5625•可成写__________;852=7225可写成__________.(2)从第(1)题的结果,归纳,猜想得(10n+5)2=________.(3)根据上面的归纳猜想,请算出19952=________. (福建省三明市中考题)15.已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=________.(2001天津市选拨赛试题)16.(1)若x+y=10,x3+y3=100,则x2+y2=________. (2)若a-b=3,则a3-b3-9ab=________.17.1,2,3,•……,•98•共98•个自然数中,•能够表示成两整数的平方差的个数是________.(全国初中数学联赛试题)18.已知a-b=4,ab+c2+4=0,则a+b=( ).A.4B.0C.2D.-219.方程x2-y2=1991,共有( )组整数解.A.6B.7C.8D.920.已知a、b满足等式x=a2+b2+20,y=4(2b-a),则x、y的大小关系是( ).A.x≤yB.x≥yC.x<yD.x>y (2003年太原市竞赛题)21.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-•ab-•bc-c a的值为( ).A.0B.1C.2D.3 (2002年全国初中数学竞赛题)22.设a+b=1,a2+b2=2,求a7+b7的值. (西安市竞赛题)23.已知a满足等式a2-a-1=0,求代数式a8+7a-4的值. (2003年河北省竞赛题)24.若x+y=a+b,且x2+y2=a2+b2,求证:x1997+y1997=a1997+b1997. (北京市竞赛题)三、综合创新25.有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场),用x1,y1•顺次表示第一号选手胜与负的场数;用x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数,……;用x10,y10•顺次表示十号选手胜与负的场数.求证:x12+x22+……+x102=y12+y22+……+y102.26.(1)请观察:25=521225=352112225=335211122225=33352……写出表示一般规律的等式,并加以证明.(2)26=52+12,53=72+22,26×53=1378,1378=372+32.任意挑选另外两个类似26、53的数,使它们能表示成两个平方数的和,把这两个数相乘,乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?答案1.x n+1-12.-133.(1)4;(2)3897326;(3)124.(a+b)2-4ab=(a-b)25.246.C7.D 提示;逆用平方差公式,分解相约8.C 提示:由已知条件得xy=09.D 提示:x≠0,由条件得x+1x=13,x4+41x=(x2+21x)2-2=[(x+1x)2-2]2-2 10.A11.(1)定值为0 提示:由条件得x-3y=-2z,原式=(x-3y)·(x+3y)+4z2+4xz=-2z·(x+3y)+4z2+4xz=4z2+2xz-6yz=4z2+2z(x-3y)=0(2)原式=3x2-6x-5=3(x2-2x)-5=1.12.提示:设这个自然数为x,由题意得224544x m x n ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩②-①得n2-m2=89 即(n+m)(n-m)=89×1从而891n mn m+=⎧⎨-=⎩,解得4544nm=⎧⎨=⎩(m,n都为自然数) 故 x=45-44=1981.13.(1)对于自然数n,有n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n+1)2,证明略.(2)由(1)得原式=(20002+3×2000+1)2=4006001214.(1)100×7×(7+1)+25;100×8×(8+1)+25.(2)(10n+5)2=10n(n+1)+25(3)19952=(10×199+5)2=10×199×(199+1)+25=398002515.216.(1)40 提示:x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=(x+y)[(x+y)2-3xy];(2)27.17.73 提示:x=n2-m2=(n+m)(n-m)(1≤m<n≤98,m,n为整数),因n+m与n-m•的奇偶性相同,故x是奇数或是4的倍数.18.B提示:把a=b+4代入ab+c2+4=0得(b+2)2+c2=019.C 提示:(x+y)(x-y)=1×1991=11×181=(-1)×(-1991)=(-11)×(-181)20.B提示:x-y=(a+2)2+(b-4)2≥021.D 提示:原式=12[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]22. 718 提示:由a+b=1,a 2+b 2=2,得ab=-12, 利用a n+1+b n+1=(a n +b n )(a+b)-ab(a n-1+b n-1)•可分别求得 a 3+b 3=52,a 4+b 4=72,a 5+b 5=194 ,a 6+b 6=264. 23.48 提示:由a 2-a-1=0,得a -a -1=1,进而a 2+a -2=3,a 4+a -4=7, 所以a 8+7a -4=a 4(a 4+a -4)+7a -4-•1=7a -4+7a -4-1=7(a 4+a -4)-1=48.24.提示:设2222x y a b x y a b+=+⎧⎨+=+⎩, 则由①2-②得2xy=2ab ③ ②-③,得(x-y )2=(a -b)2,即│x-y │=│a-b │则x-y=a-b 或x-y=b-a,分别与x+y=a+b 联立解得x a y b =⎧⎨=⎩或x b y a =⎧⎨=⎩25.提示:由题意知:x i +y i =9(i=1,2,…,10)且x 1+x 2+…+x 10=y 1+y 2+…+y 10 因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=026.(1)提示:经观察,发现规律: (1)111n - 个 2225n 个=((1)3335n - 个)2 ,实际上, ((1)3335n - 个)2=(3332n + 个)2=(13×9992n + 个)2 =[13(10n -1)+2]2=(1053n +)2=2109n +1109n ++259 =21019n -+11019n +-+2529+= 2111n 个+ (1)111n + 个+3 = (1)111n - 个 2225n 个(2)一般地,设m=a 2+b 2,n=c 2+d 2,则mn=(a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+b 2d 2+b 2c 2+a 2d 2=a2c2+b2d2+2abcd+b2c2-•2abcd+a2d2=(ac+bd)2+(bc-ad)2或(a c-bd)2+(bc+ad)2.。

芜湖市第一中学2023-2024学年高一上学期自主招生考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________依次类推,A.4 B.3C.2D.12．若正实数a ,b ,c 满足不等式组则a ,b ,c 的大小关系为( )A. B.C.D.3．若实数a ,b 满足等式( )4．在中,,,,连,则长的最大值是( )A.8B.9C.10D.115．已知三个实数,,它们中的任何一个数加上其余两数积的6倍总等于7,则这样的三元数组共有_______组( )A.3B.4C.5D.66．如图,在中,,的中点,以为底边在其右侧作等要,使,连( )64,537,6112,4c a b c a b c a b c a b ⎧<+<⎪⎪⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩b ac <<b c a <<c b a <<c a b<<222a a -=-b =Rt ABC △90ABC ∠=︒2AB =BC =30ADB =︒CD CD 1x 2x 3x ()123,,x x x Rt ABC △90BAC ∠=︒sin B =AD ADE △ADE B ∠=∠=7．四边形中,,是其两对角线,是等边三角形,,,,则( )A. B. C. D.二、填空题8．已知19个连续整数的和为380,则紧接在这19个数后面的21个连续偶数的和是__________.9．已知__________.10．在实数范围内因式分解：__________.11．在平面直角坐标系中,点,,连,,若线段,分别交曲线于点D ,E （异于点B ）,若,则k 的值为__________.12．把两个半径为8和一个半径为9的圆形纸片放在桌面上,使它们两两相外切,若要用一个圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住,则这个大圆形纸片的最小半径等于__________.13．在菱形中,,点E ,F 分别在边,上,将沿着对折,使点A 恰好落在对角线上的点G ,若,,则的面积等于__________.14．对于任意不为0的实数a ,b ,c 定义一种新运算“#”：①;②,则关于x 的方程的根为__________.三、解答题15．回答下列问题（1）解方程：;（2）求所有的实数a ,使得关于x 的方程的两根均为整数.16．如图,点E 是正方形的边上一动点（异于C ,D ）,连,以为对角线作正方形,与交于点H ,连.ABCD AC BD ABC △6AD =10BD =8CD =ADC ∠=30︒45︒60︒75︒x =)()()()211232x x x x ++++=222234a b c ab bc ca -+-++=xOy ()4,0A (4,B OB AB OB AB (0,0)k y k x x=>>DE OB ⊥ABCD 60A ∠=︒AD AB AEF △EF BD 4DG =6BG =AEF △#1a a =()()###a b c a b c =()2#24x x =+()2224341615x x x x x =+-++-()221430x a x a --+-=ABCD CD BE BE BGEF EF BD AF（1）求证：A ,F ,C 三点共线;（2）若17．在平面直角坐标系中,抛物线经过点和,且在x 轴上截得的线段长为（1）求抛物线的解析式;（2）已知点A 在抛物线上,且在其对称轴右侧,点B 在抛物线的对称轴上,若是以为斜边的等腰直角三角形,求点A 的坐标;（3）将抛物线向左平行移动3个单位得到抛物线,直线与交于E ,F 两点,直线与交于G ,H 两点,若M ,N 分别为线段和线段的中点,连,求证：直线过定点.18．如图,等边内有一动点D ,是等边三角形（点B ,E 在直线两侧）,直线与直线交于点F .（1）判断的大小是否为定值？若是定值,求出其大小;若不是定值,请说明理由.（2）若,,求线段长的最小值.:1:CE DE =xOy 21:(0)C y ax bx c a =++>()0,3-()4,11-1C 1C 1C OAB △OB 1C 2C ()0y kx k =≠2C 2y x k=-2C EF GH MN MN ABC △CDE △AC BD AE AFC ∠5AB =3CD =AF参考答案1．答案：C解析：令,第二次余下的数为,,.故选：C.2．答案：B解析：由题意可得,因a ,b ,c 均为正实数,于是因此,故选：B.3．答案：A,根据非负性可知,所以故选：A.4．答案：B解析：要使长取到最大,则点C 与点D 位于直线两侧.延长到点E ,使4046=11211123323a a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭13111,4434a a ⎛⎫⨯-=⨯= ⎪⎝⎭ 1202211114046220232023202220232023a a ⎛⎫⨯-=⨯==⨯= ⎪⎝⎭117,531326c abc c a a b c a ⎧<++<⎪⎪⎪<++<⎨⎪⎪⎪⎩11753132,6153,4a b c c a b c a c a b b ++⎧<<⎪⎪++⎪<<⎨⎪++⎪<<⎪⎩711133356a b c c ++>>>>>>b c a <<(21)20a b -+-=1,22a b ==b a =CD AB CB BE =连,则,,于是点D 在以为直径的圆上（与E 在直线同侧）,设圆心为O ,则,当C ,O ,D 三点共线时,长取到最大,最大值为,故选：B.5．答案：C 解析：由条件知①-②得,,所以或.当时,代入③得,又代入①得,消去得,解得于是,或.当,解得或故选：C.6．答案：D解析：由条件知,,所以,所以,又公共,所以,所以也是等腰三角形,于是发现,故选：D.7．答案：A解析：以为一边在四边形外作等边,连,则可证,所以,又,,于是,所以,故选：A.AE 30AEB ∠=︒4AE =AE AB 7OC ==CD 729+=12321331267,67,,67,x x x x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩①②③()()123160x x x --=12x x =316x =12x x =23267x x +=22367x x x +=3x ()()()222161670x x x --+=2x =()()123,,1,1,1x x x =1141,,666⎛⎫ ⎪⎝⎭777,,666⎛⎫--- ⎪⎝⎭3x =121274136x x x x +==1216416x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩12x x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩AD BD DC ==B BAD ADE ∠=∠=∠//DE AB CDE B ADE ∠=∠=∠DE ADE CDE ≌△△CDE △CDE BAD ∽△△11552236BC CD AB AB ===⨯=15226CE BD ==⨯=CD ABCD CDE △AE BCD ACE ≌△△10BD AE ==6AD =8DE =222AD DE AE +=90ADE ∠=︒906030ADC ∠=-=︒︒︒8．答案：1050解析：设19个连续整数中最小的整数是,则最大的整数是,,解得,所以紧接在这19个数后面的21个连续偶数分别为30,32,34,,70,.9．答案：42解析：由条件得,又.10．答案：解析：利用待定系数法或双十字相乘法.解析：由条件知,设,则,,又,,所以,,于是于,所以（舍）或12．答案：18解析：要使大圆形纸片的半径最小,只需这个大圆形纸片与三个小圆形纸片均内切,设最小半径大小为r ,则,解得.解析：作于点P ,设,则,,,,n 18n +380=11n = 1050=22540x x +-=()()()()()()()()211232212123x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++=++++⎣⎦⎣⎦()()222522536742x x x x =++++=⨯=()()23a b c a b c ++-+:OB y =()D t 2k =2OD t =8OB =60AOB ∠=︒82BD t =-60BED ∠=︒DE =BE =AE ==E ⎛ ⎝k =2=4=t =k =222(8)8(915)r r -=++-18r =FP BD ⊥BP x =PF =2BF x =PF =102AF GF x ==-在中,,即,解得所以14．答案：4或-2解析：令,因,由得,令,由得,于是,所以,解方程得两根分别为4或-2.15．答案：（1）解析：（1）原方程可化为令,则原方程可化为,于是,整理得,所以于是或,当时,,解得当时,,解得综上,原方程的根为（2）不妨设两根为,,则根据韦达定理可知,,于是,所以6PG x=-Rt PFQ △222PF PG GF +=2223(6)(102)x x x +-=-x =AF =AE =AEF △b c a ==#1a a =()()###a b c a b c =#1a a =c b =()()###a b c a b c =()()###a b b a b b =()##1a b b a a ==#a b =)2#2x x =+4x =+x ==()()222434433x x x x x =+-++--243x x t +-=243x t t =+-()224343x t t t x x -=+--+-()2250x t x t -+-=()()50x t x t -++=x t =50x t ++=x t =2330x x +-=x =50x t ++=2520x x ++=x =x =x =1x ()212x x x ≤1221x x a +=-1243x x a =-()121221x x x x -+=-()()12223x x --=因,为整数,,于是,也为整数,且,所以或,当时,解得,此时当时,解得,此时16．答案：（1）见解析解析：证明：（1）在正方形和正方形中,所以,即,所以,所以,又,所以A ,F ,C 三点共线（2）因,设,则,,因,,公共,所以,于是即,解得所以17．答案：（1）（2）或1x 2x 12x x ≤12x -22x -1222x x -≤-122123x x -=⎧⎨-=⎩122321x x -=-⎧⎨-=-⎩122123x x -=⎧⎨-=⎩1235x x =⎧⎨=⎩a =122321x x -=-⎧⎨-=-⎩1211x x =-⎧⎨=⎩12a =ABCD BGEF 45ABD FBE ∠=∠=BE BF==ABD DBF FBE DBF ∠-∠=∠-∠ABF DBE ∠=∠ABF DBE ∽△△45BAF BDC ∠=∠=︒45BAC ∠=︒:1:2CE DE =CE t =2DE t =BD =BE =45BEH BDE ∠=∠=︒DBE ∠BEH BDE ∽△△=2BE BD BH =⋅210t BH =⋅BH =DH BD BH =-=-==263y x x =--()7,4()6,3-（3）解析：（1）由条件可知又,解得所以抛物线的解析式为.（2）当点A 在x 轴上方时,过点A 作轴于点P ,过点B 作直线的垂线,垂足为点Q ,因,,所以,又,,所以,于是.设,则,所以,解得,所以点同理当点A 在x 轴下方时,可求得,综上所述,点A 的坐标为或.（3）由条件知,联立得,于是点,同理可得,设,则,解得所以,其过定点.18．答案：（1）的大小是定值,定值大小为,理由见解析()0,1316411,c a b c ⎧⎪=-⎪⎪++=-⎨=0a >163a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩1C 263y x x =--AP x ⊥AP 90OAP BAQ ∠+∠=︒90OAP AOP ∠+∠=︒AOP BAQ ∠=∠OA AB =90OPA AQB ∠=∠=︒OAP ABQ ≌△△AP BQ =()2,63A m m m --3m >2633m m m --=-7m =()7,4A ()6,3A -()7,4()6,3-22:12C y x =-212y kx y x =⎧⎨=-⎩2120x kx --=2,22k k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭212,N k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭:MN y px q =+222221k k p q p q kk ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩p q ⎧=⎪⎨⎪=⎩22:1k MN y x k-=+()0,1AFC ∠120︒（2）解析：（1）的大小是定值,定值大小为,理由如下：在等边和等边中,,,,于是,即,所以,所以,所以C ,D ,F ,E 四点共圆,所以,于是（2）由（1）知,所以A,F ,C ,B 四点共圆.若最大,则最小.当时,最大,因,,所以,由（1）得,,于是在和中,,所以,所以,于是所以线段长的最小值为.4AFC ∠120︒ABC △CDE △AC BC =CE CD =60ACB DCE CDE ∠=∠=∠=︒ACB ACD DCE ACD ∠-∠=∠-∠ACE BCD ∠=∠ACE BCD ≌△△BDC AEC ∠=∠60CFE CDE ∠=∠=︒180********AFC CFE ∠=-∠=︒-=︒︒︒12060180AFC ABC ︒∠+︒+∠==︒CBF ∠AF CD BF ⊥CBF ∠5AB =3CD =4BD ==ACE BCD ≌△△4AE BD ==90AEC BDC ∠=∠=︒Rt CEF △Rt CDF △CE CD =CF CF=Rt Rt CEF CDF ≌△△30ECF DCF ∠=∠=︒EF =4AF AE EF =-=-AF 4。

二年级数学思维训练11基础班1．小明有18个贝壳，小红有14个贝壳。

小明再给小红几个贝壳，两个人的贝壳数就会同样多了？2．王晶有24朵野花，王宁给王晶8朵后，两人野花朵数就相等，王宁原来有几朵野花？3．姐姐有50元钱，给妹妹10元后，两人钱就同样多了，妹妹原来有多少钱？4．两堆西瓜，从第一堆中拿6个放入第二堆后，还比第一堆多5个，原来两堆西瓜相差多少？5.一个书架有两层，如果从上层取10本放到下层，上层还比下层多15本，原来上层比下层多几本书？6．甲、乙两筐西瓜共28个，从甲筐取3个放入乙筐，两筐西瓜个数相同。

原来乙筐中有多少个西瓜？※7．小军和小浩原来拿出相同的钱买来相等数目的同种铅笔若干支，后来小军拿了13支，小浩拿了7支，而小军给了小浩3角钱。

问每支铅笔是多少钱?提高班1．小明有18个贝壳，小红有14个贝壳。

小明再给小红几个贝壳，两个人的贝壳数就会同样多了？2．王晶有24朵野花，王宁给王晶8朵后，两人野花朵数就相等，王宁原来有几朵野花？3．姐姐有50元钱，给妹妹10元后，两人钱就同样多了，妹妹原来有多少钱？4．两堆西瓜，从第一堆中拿6个放入第二堆后，还比第一堆多5个，原来两堆西瓜相差多少？5.一个书架有两层，如果从上层取10本放到下层，上层还比下层多15本，原来上层比下层多几本书？6．甲、乙两筐西瓜共28个，从甲筐取3个放入乙筐，两筐西瓜个数相同。

原来乙筐中有多少个西瓜？※7．如果从甲班调一名学生到乙班，甲、乙两班人数相同。

如果从乙班调一名学生到丙班，丙班就比乙班多2人，甲班和丙班相比，哪个班人多？多几人？※8．小军和小浩原来拿出相同的钱买来相等数目的同种铅笔若干支，后来小军拿了13支，小浩拿了7支，而小军给了小浩3角钱。

问每支铅笔是多少钱?9、一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，30天能长到20厘米。

问长到5 厘米时要用（）天。

10、每3个空瓶可以换一瓶汽水，有人买了27瓶汽水，喝完后又用空瓶换汽水那么，他最多喝（）瓶汽水。

三、例题解析【例1】0，0，6，24，60，120，（）。

（2010年4月25日公务员联考行测试卷）A. 180B. 196C. 210D. 216解析：先从“24，60，120”这三个数看，24=27-3, 60=64-4，120=125-5；差距分别为“3,4,5”很有规律，因此可以考虑幂次，答案选C。

【例2】2，2，3，4，9，32，（）。

（2010年4月25日公务员联考行测试卷）A. 129B. 215C. 257D. 283解析：“2，2，3，4”这四个数字相差很小，必然没有那么多幂次与其相邻，因此不考虑幂次，但是从大数“4，9，32”可以看出联系49-4=32, 可以考虑递推，答案选D。

【例3】0，4，16，48，128，（）。

（2010年4月25日公务员联考行测试卷）A. 280B. 320C. 350D. 420解析：从“16，48，128”这三个数字很容易看出，与相邻幂次的差距分别为5，1，3，规律不明显，因此不考虑幂次。

【例4】0，2，10，30，（）。

（2007年国家公务员联考行测试卷第45题）A. 68B. 74C. 60D. 70解析：从“10，30”可看出，30=27+3, 10=8+2, 规律很显然，答案选A。

【例5】14，20，54，76，（）。

（2008年国家公务员考试行测试卷第45题）A. 104B. 116C. 126D. 144解析：从“20，54，76”看出，20=25-5,54=49+5,76=81-5，差距是常数5，考虑幂次，答案选C。

【例6】3，2，11，14，（），34。

（2010年国家公务员考试行测试卷第44题）A. 18B. 21C. 24D. 27解析：从“11，14，34”看出，11=9+2,14=16-2，34=36-2，差距是常数2，考虑幂次，答案选D。

方法介绍】在数字特性法中，常见的是其中的三种：加减奇偶法，十字交叉法，以及整除判断法。

20以内连加连减计算在20以内进行连加和连减的计算是一个有趣且有挑战性的数学问题。

通过这个问题，我们可以锻炼我们的计算能力、观察力以及问题解决能力。

我们首先来看一下连加计算。

连加就是将从1到一些数连续加起来。

例如，我们要计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，我们可以使用以下方法计算：1.将1和10相加得到112.将2和9相加得到113.将3和8相加得到114.将4和7相加得到115.将5和6相加得到11我们可以发现，这个连加序列中，每对数字的和都是11、所以，连加计算可以简化为将第一个数和最后一个数相加，然后将结果乘以中间数的个数。

对于计算1到10的连加，我们可以直接计算11*5=55接下来我们来看一下连减计算。

连减就是将从一些数连续减到1、例如，我们要计算20-19-18-17-16-15-14-13-12-11-10，我们可以使用以下方法计算：1.将20减去19得到12.将18减去17得到13.将16减去15得到14.将14减去13得到15.将12减去11得到1同样地，这个连减序列中，每对数字的差都是1、所以，连减计算可以简化为将第一个数和最后一个数相减，然后将结果加上1，再乘以中间数的个数。

对于计算20到10的连减，我们可以直接计算(20-10+1)*5=55通过上述方法，我们可以迅速计算出1到10的连加和10到20的连减，都等于55、那么，如何计算其他连加和连减的结果呢？对于连加计算，我们可以通过找出最大数和最小数之间的关系来计算。

最大数和最小数之间的关系我们可以用不等式来表示，例如最大数是n，最小数是m，那么我们可以表示为m+(n-m+1)*k=n*(n-m+1)/2，其中k是中间数的个数。

通过这个公式，我们可以计算出中间数的个数，然后将其带入到连加公式中进行计算。

对于连减计算，我们可以使用相似的方法来计算。

最大数和最小数之间的关系我们也可以用不等式来表示，例如最大数是n，最小数是m，那么我们可以表示为n-(n-m+1)*k=m*(n-m+1)/2，其中k是中间数的个数。