江西省2014届新课程高三第二次适应性测试数学(理)试题 扫描版含答案

江西省新余市2014届高三第二次模拟考试数学理试题本试卷分为试题卷和答题卷两部分，解答写在答题卷相应的位置． 全卷共１５０分，考试时间为１２０分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.1．复数z 满足(1i)1z -=（其中i 为虚数单位），则z =A ．11i 22-B ．11i 22-+C ．11i 22+D ．11i 22--2. 已知集合1|24x P x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，{}22|4,,Q y x y x R y R =+=∈∈，则P Q =A. QB. ∅C. {}1,2-D. ()(){}3,1,0,2-3.已知某产品连续4个月的广告费用(1,2,3,4)i x i =千元与销售额(1,2,3,4)i y i =万元，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①1234123418,14x x x x y y y y +++=+++=；②广告费用x 和销售额y 之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程ˆy bx a =+中的0.8b =（用最小二乘法求得），那么，当广告费用为6千元时，可预测销售额约为A. 3.5万元B. 4.7万元C. 4.9万元D. 6.5万元 4.某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为A ．34πB ．π3C ．πD ．π235．设实数,x y 满足约束条件202502x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22x yu x y +=+的取值范围是 A ．39,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．47,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．17,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．设函数()(n f x a x x =，其中⎰+=πππ2)sin(3dxx n ，a 为如图所示的程序框图中输出的结果，则)(x f 的展开式中常数项是A ．52-B ．160-C ．160D ．207．数列{}n a 的通项公式cos2n n a n π=，其前n 项和为n S ，则2014S =A ．1006-B ．1007C ．1008-D ．10098．若直线l 同时平分一个三角形的周长和面积，则称直线l 为该三角形的“平分线”，已知△ABC 三边之长分别为3，4，5，则△ABC 的“平分线”的条数为 A ．1 B ．0 C ．3 D ． 2 9．给出以下三个命题：①已知(,4)P m 是椭圆22221x y ab +=(0)a b >>上的一点，1F 、2F 是左、右两个焦点，若12PF F ∆的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率45e =； ②过双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的右焦点F 3的直线交C 于,A B 两 点，若4AF FB =,则该双曲线的离心率e =65；③已知1(2,0)F -、2(2,0)F ，P 是直线1x =-上一动点，若以1F 、2F 为焦点且过点P的双曲线的离心率为e ，则e 的取值范围是[2,)+∞.其中真命题的个数为 A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个10．如图,不规则图形ABCD 中：AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE=x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．若110tan ,(,)tan 342ππααα+=∈，则sin(2)4πα+的值为 ▲▲▲ .12. 已知向量AB 与AC 的夹角为0120,且3,2==AC AB ,若AC AB AP +=λ,且BC AP ⊥,则实数λ的值为▲▲▲.13．给定集合{}1,2,3,,n A n =…，映射:n nf A A →满足以下条件：①当,ni j A ∈且i j ≠时，()()f i f j ≠；②任取nx A ∈，若()8x f x +=有k 组解，则称映射:n n f A A →含k 组幸运数。

2014·江西卷(理科数学)1.[2014·江西卷] z 是z 的共轭复数，若z ＋z ＝2，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋i D.1－i 【测量目标】复数的基本运算【考查方式】给出共轭复数和复数的运算，求出z 【参考答案】D 【难易程度】容易【试题解析】 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，所以2a ＝2，－2b ＝2，得a ＝1，b ＝－1，故z ＝1－i. 2.[2014·江西卷] 函数f (x )＝ln(2x －x )的定义域为( )A.(0，1]B.[0，1]C.(－∞，0)∪(1，＋∞)D.(－∞，0]∪[1，＋∞) 【测量目标】定义域【考查方式】根据对数函数的性质，求其定义域 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由2x －x >0，得x >1或x <0.3.[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝||5x ，g (x )＝2ax －x (a ∈R ).若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.－1 【测量目标】复合函数【考查方式】给出两个函数，求其复合函数 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】由g (1)＝a －1，由()1f g ⎡⎤⎣⎦＝1，得|1|5a －＝1，所以|a －1|＝0，故a ＝1.4.[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若22()c a b ＝－＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3 D.【测量目标】余弦定理，面积【考查方式】先利用余弦定理求角，求面积 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】由余弦定理得， 222cos =2a b c C ab+-＝262ab ab -＝12，所以ab ＝6，所以ABC S ＝1sin 2ab C ＝5.[2014·江西卷] 一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )第5题图LLJ73-77A B C D【测量目标】三视图【考查方式】给出实物图，判断俯视图【参考答案】B【难易程度】容易【试题解析】易知该几何体的俯视图为选项B中的图形.6.[2014·江西卷] 某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1A.成绩B.视力C.智商【测量目标】卡方分布的应用【考查方式】直接给出表格，观察最大变量与性别的关系【参考答案】D【难易程度】中等【试题解析】根据表格我们可以得出()22 215262214105281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()2222521651612521671636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222352248812521281636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯，()()222452143026526861636203216362032χ⨯⨯-⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯.分析判断24χ最大，所以选择D. 7.[2014·江西卷] 阅读如程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为()第7题图 LLJ78A.7B.9C.10D.11【测量目标】循环结构的程序框图【考查方式】给定带有循环结构的算法程序框图，分析每一次执行的结果并判断是否满足条件，最后得出答案. 【参考答案】B 【难易程度】中等【试题解析】当1i =时，10lglg 33S =+=->-1,123i =+=,3lg 3lg lg 55S =-+=->-1, 325i =+=,5lg 5lg lg 77S =-+=->-1，527i =+=,7lg 7lg lg 99S =-+=->-1 729i =+=,9lg 9lg lg1111S =-+=-<-1所以输出9i =.8.[2014·江西卷] 若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )【测量目标】定积分【考查方式】给出函数的表达式，求积分 【参考答案】B 【难易程度】容易【试题解析】1()0f x dx ⎰＝()211200x f x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰＝130112()03x f x dx x ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰＝112()03f x dx +⎰,得1()0f x dx ⎰＝13－. 9.[2014·江西卷] 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y－4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( )A.4π 5B.3π4C.(6π-D.5π4【测量目标】直线与圆的位置关系，面积和最值 【考查方式】已知直线与圆的位置关系，求圆的面积 【参考答案】A 【难易程度】中等【试题解析】由题意知，圆C 必过点O (0，0)，故要使圆C 的面积最小，则点O 到直线l 的距离为圆C 的直径，即2r 所以r 4=π5S10.[2014·江西卷] 如图所示，在长方体ABCD 1111A B C D 中，AB ＝11，AD ＝7，1AA ＝12.一质点从顶点A 射向点E (4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为(234)i L i ＝，，，1L ＝AE ，将线段1234L L L L ，，，竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )第10题图LLJ79A B C D 第10题图 LLJ80-83【测量目标】投影，直线与面的关系【考查方式】利用光的反射原理求其长度并判断图形 【参考答案】C 【难易程度】中等【试题解析】由题意，1L ＝AE ＝13.易知点E 在底面ABCD 上的投影为F (4，3，0)，根据光的反射原理知，直线 AE 和从点E 射向点1E 的直线1E E 关于EF 对称，因此1E (8，6，0)，且21L L ＝＝13.此时，直线1EE 和从点1E 射出所得的直线12E E 关于过点1E (8，6，0)和底面ABCD 垂直的直线对称，得2E ' (12，9，12).因为12>11，9>7，所以这次射出的点应在面11CDD C 上，设为2E ，求得31213==3L E E ，321L L L <＝最后一次，从点2E 射出，落在平面1111A B C D 上，求得4326>3L L =,故选C. 11.[2014·江西卷] (1)(不等式选做题)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4【测量目标】不等式【考查方式】利用不等式的性质，求最值 【参考答案】C 【难易程度】容易【试题解析】易知|x －1|＋|x |≥1，当且仅当0≤x ≤1时等号成立；|y －1|＋|y ＋1|≥2, 当且仅当－1≤y ≤1时等号成立.故|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3. [2014·江西卷] (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.1cos sin ρθθ=+，π02θ剟 B.1cos sin ρθθ=+，π04θ剟 C.ρ=cos sin θθ+，π02θ剟 D.ρ=cos sin θθ+，π04θ剟 【测量目标】极坐标方程【考查方式】直接把直线方程转化成极坐标方程 【参考答案】A 【难易程度】容易【试题解析】依题意，方程y ＝1－x 的极坐标方程为()cos sin ρθθ+＝1，整理得1cos sin ρθθ=+.因为0≤x≤1，所以 01y剟，结合图形可知π02θ剟. 12.[2014·江西卷] 10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 【测量目标】超几何分布【考查方式】根据超几何分布的表达式就可以求出概率 【参考答案】12【难易程度】容易【试题解析】由超几何分布的概率公式可得P (恰好取到一件次品)＝1337410C 12C C = 13.[2014·江西卷] 若曲线y ＝ex－上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________.【测量目标】直线与曲线的位置关系【考查方式】根据直线与曲线的位置关系，求其点的坐标 【参考答案】(－ln 2，2) 【难易程度】容易【试题解析】设点P 的坐标为00()x y ，，exy '－＝－又切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，所以0ex －－＝－2，可得0ln 2x ＝－，此时y ＝2，所以点P 的坐标为(－ln 2，2).14.[2014·江西卷] 已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos =3α，向量a ＝3122e e －与b ＝123e e －的夹角为β，则cos β＝________.【测量目标】平面向量的夹角【考查方式】根据平面向量求其夹角的余弦值【难易程度】容易【试题解析】cos = ||||aba b β22=15.[2014·江西卷] 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆22:22=1(>>0)x y C a b a b+相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________. 【测量目标】直线与椭圆的位置关系，离心率【考查方式】利用交点，联立方程找出关系，求其离心率 【参考答案】=2e 【难易程度】中等【试题解析】设点A (11x y ，)，点B (22x y ，)，点M 是线段AB 的中点，所以12x x ＋＝2，12y y ＋＝2，且2211222222221,1x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式作差可得22122x x a -＝22122()y y b --，即12122()()x x x x a +-＝12122()()y y y y b +--，所以1212y y x x --=y 1－y 2x 1－x 2＝22b a -，即AB k ＝22b a -.由题意可知，直线AB 的斜率为12-，所以22b a-＝12-，即a .又222a b c ＝＋，所以c ＝b ，e =. 16. [2014·江西卷] 已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R ，ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)当a π4θ=时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值； (2)若π2f ⎛⎫⎪⎝⎭＝0，(π)f ＝1，求a ，θ的值. 【难易程度】容易【测量目标】三角函数最值，参数【考查方式】先转化函数解析式，在利用给定的定义域求其最值，在求参数的值 【试题解析】(1)f (x )＝sin π4x ⎛⎫+⎪⎝⎭＋2cos π2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2(sin x ＋cos x )x＝2cos x－2sin x ＝sin π4x ⎛⎫-⎪⎝⎭.因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈3ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故f (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.(2)由()π02π1f f ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得2cos (12sin )02sin sin 1.a a a θθθθ-=⎧⎨--=⎩又ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，知cos 0θ≠，所以12sin 0(2sin 1)sin 1.a a a θθθ-=⎧⎨--=⎩ 解得1π6a θ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩.17.[2014·江西卷] 已知首项都是1的两个数列{}n a ，{}n b (*0n b n ≠∈N ，)满足1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0. (1)令nn na cb =，求数列{}n c 的通项公式； (2)若13n n b －＝，求数列{}n a 的前n 项和.n S 【难易程度】容易【测量目标】等差数列，错位相减【考查方式】先求出等差数列，再利用错位相减求和【试题解析】(1)因为1112n n n n n n a b a b b b ＋＋＋－＋＝0，*0)n b n ≠∈N ，(，所以11n n a b ++－nna b ＝2，即1n n c c ＋－＝2，所以数列{}n c 是以1c ＝1为首项，d ＝2为公差的等差数列，故21.n c n ＝－(2)由13n n b －＝，知1(21)3n n a n －＝－，于是数列{}n a 的前n 项和n S ＝0121133353(21)3n n ⨯⨯⨯⋯⨯－＋＋＋＋－，3n S ＝1211333(23)3(21)3n n n n ⨯⨯⨯⨯ －＋＋＋－＋－， 将两式相减得－2n S ＝1＋1212(333)(2n n ⨯ －＋＋＋－－1)32(22)3n n n ⨯⨯＝－－－，所以(1)31.n n S n ＝－＋18. [2014·江西卷] 已知函数f (x )＝()2x bx b ++∈R . (1)当b ＝4时，求f (x )的极值；(2)若f (x )在区间10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，求b 的取值范围. 【难易程度】中等【测量目标】极值，单调性、函数的导数【考查方式】先利用求导求极值，再利用单调性求参数的取值范围【试题解析】(1)当b＝4时，f′(x)，由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝0.所以当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(－2，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈10,2⎛⎫⎪⎝⎭时，()0f x'<，f(x)单调递减，故f(x)在x＝－2处取得极小值f(－2)＝0，在x＝0处取得极大值f(0)＝4.(2) f′(x)，易知当x∈10,3⎛⎫⎪⎝⎭时，，依题意当x∈10,3⎛⎫⎪⎝⎭时，有5x＋(3b－2)…0，从而53＋(3b－2)…0，得1.9b…所以b的取值范围为1,9⎛⎤-∞⎥⎝⎦.19.[2014·江西卷]如图，四棱锥P ABCD中，ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD.(2)若∠BPC＝90︒，PBPC＝2，问AB为何值时，四棱锥P ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.第19题图LLJ84【难易程度】中等【测量目标】线面、面面、线线位置关系，夹角的余弦值，法向量的应用【考查方式】先由线面位置关系来证线线位置关系，在建立直角坐标系利用向量求夹角的余弦值【试题解析】(1)证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以AB⊥平面P AD，故AB⊥PD.(2)过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.在Rt△BPC中，PG，GC，BG设AB ＝m，则OPP-ABCD的体积为1=3V m=因为=mABP-ABCD的体积最大.此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O(0，0，0)，B⎫⎪⎪⎝⎭，C⎫⎪⎪⎝⎭，D⎝⎛⎭⎫0，263，0，P⎛⎝⎭，故BP＝⎝⎭，BC＝(0，6，0)，CD⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭.设平面BPC的法向量1(,,1),n x y=则由1n PC⊥,1n BC⊥得y+=⎨⎪=⎩，解得1,0,x y ==1(1,0,1),n = 同理可求出平面DPC 的法向量21(0,,1),2n = ，从而平面BPC 与平面DPC 夹角θ的余弦值为1212cos ||||n n n n θ⋅==⋅第19题图LLJ84b20. [2014·江西卷] 如图，已知双曲线()22:210x C y a a -=>的右焦点F ,点,A B 分别在C 的两条渐近线上，AF OB ⊥，BF OA P (O 为坐标原点).(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点()()000,0P x y y ≠的直线0:021x y l y y a-=与直线AF 相交于点M ，与直线23=x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NFMF恒为定值，并求此定值第20题图 LLJ85【难易程度】较难【测量目标】双曲线方程和离心率、焦点，直线与曲线的位置关系【考查方式】先求出双曲线方程，再利用直线与曲线的位置关系求第二问【试题解析】(1)设(,0)F c ，因为1b =，所以c 直线OB 方程为1y x a =-，直线BF 的方程为1()y x c a =-，解得(,)22c c B a -,又直线OA 的方程为1y x a =，则3(,),.AB c A c k a a =又因为AB ⊥OB ，所以31()1a a-=-，解得23a =，故双曲线C 的方程为22 1.3x y -=(2)由(1)知a =l 的方程为0001(0)3x x y y y -=≠，即0033x x y y -=,因为直线AF 的方程为2x =，所以直线l 与AF 的交点0023(2,)3x M y -,直线l 与直线32x =的交点为003332(,)23x N y-,则220222004(23)9[(2)]x MF NF y x -=+-,因为是C 上一点，则2200 1.3x y -=，代入上式得222002222200004(23)4(23)49[(2)]39[1(2)]3x x MF x NF y x x --===+--+-，所求定值为MF NF =.21.[2014·江西卷] 随机将()1,2,,2,2n n n *⋅⋅⋅∈N …这2n 个连续正整数分成A ,B 两组，每组n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为2b ，记2112,a a b b ξη=-=- (1)当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；(2)令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()P C ；(3)对(2)中的事件C 的对立事件，判断()P C 和. 【难易程度】难【测量目标】分布列和数学期望，概率，数学归纳法【考查方式】先求出分布列和数学期望，在求出其概率，最后在利用数学归纳法【试题解析】(1)当3n =时，ξ所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A ,B 两组，不同的分组方法共有3620C =种，所以ξ的分布列为:133172345.5101052E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=(2)ξ和η恰好相等的所有可能值为1,,1,,2 2.n n n n -+- 又ξ和η恰好相等且等于1n -时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等且等于n 时，不同的分组方法有2种；ξ和η恰好相等42()63P C ==;当3n …时,()(),P C P C <理由如下：式左边124(2C )16,=+=①式右.那么，当1n m =+时，①(2)!4(22)!(1)(2)(22)!(41)!!(1)!(1)!(1)!(1)!m m m m m m m m m m m m ⨯-+--=+=--++①式右边.即当1n m =+时①式也成立,综合1 2 得，对于3n …的所有正整数，都有()()P C P C <成立.。

理科数学试题（二）命题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

4．解：由平行的充要条件得32×13－（1+sin α）（1-cos α）＝0，得sin α-cos α-sin αcos α+12＝0，设t=sin α-cos α, 则2sin αcos α=1-t 2，代入解得t=0或-2，而t ∈[，故t=-2不合，t=sin α-cos α=0，α＝45︒.或用代入验证法. 答案：B.设计思路：主要考查三角函数与平面向量。

中档题。

5. 解：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac 。

又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc 。

在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A =60°。

由正弦定理得sin B =aAb sin ，∵b 2=ac ，∠A =60°，∴21sin sin 60sin 60c ac b B b ===︒︒答案：C.设计思路：主要考查解三角形中的余弦定理，正弦定理。

中档题。

6. 解：221log 4sin 112cos 2[1,3][,8],2x x θθ=-=-∈-⇒∈187.5.2x x -+-= 答案：C.设计思路：主要考查对数与三角恒等变形，中高档题。

7. 解：设公差为d ,2242844443696445454(2)(4)4,33(2)18 2.29a a a a a d a d a d a a a a a d da a a a a d d=⋅⇒=-⋅+⇒=+++====+++答案：A.设计思路：主要考查等差数列与等比数列的计算，中档题。

8.解析：设数列的首项为a ，等差数列{}n a 的公差为d ,231322241322(2)(1)(3)(2)a b b a d a aq a a b a d a aq=+⎧⎧+=+⇒⎨⎨=⋅+=⋅⎩⎩ 29(3)(4),(0)2a d a a d a d d +=+⇒=-≠代入（1）的219q =，故选C 。

2014年江西省重点中学协作体高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U =R ，集合A ={x|y =log 2(1−x)}，B ={x||x|<a, a ∈R}，(∁U A)∩B =⌀，则实数a 的取值范围是（ ）A (−∞, 1)B (−∞, 1]C (0, 1)D (0, 1] 2. 函数y =√x+11x的定义域是（ ）A [−1, 0)∪(0, 1)B [−1, 0)∪(0, 1]C (−1, 0)∪(0, 1]D (−1, 0)∪(0, 1) 3. 已知i 为虚数单位，若复数z 满足z(i −2)=1+2i ，则z 的共轭复数是（ ） A i B −i C 35i D −35i4. 关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ） ①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化； ②在线性回归分析中，相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱；③已知随机变量ξ服从正态分布N(5, 1)，且P(4≤ξ≤6)=0.6826，则P(ξ>6)=0.1587； ④某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人．A 1B 2C 3D 45. 已知锐角α，β满足：sinα−cosα=16，tanα+tanβ+√3tanα⋅tanβ=√3，则α，β的大小关系是（ ）A α<βB α>βC π4<α<β D π4<β<α 6. 程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）A 3B 12C −13D −27. 等比数列{a n }是递减数列，其前n 项积为T n ，若T 12=4T 8，则a 8⋅a 13=( ) A ±1 B ±2 C 1 D 2 8. 已知在二项式(√x 3−√x)n的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式中，有理项的项数是( )A 1B 2C 3D 49. 已知函数f(x)=√2x −x 2，Q(1, 0)，过点P(−1, 0)的直线l 与f(x)的图象交于A ，B 两点，则S △QAB 的最大值为（ ） A 1 B 12 C 13 D √2210. 如图，过原点的直线l 与圆x 2+y 2＝1交于P ，Q 两点，点P 在第一象限，将x 轴下方的图形沿x 轴折起，使之与x 轴上方的图形成直二面角，设点P 的横坐标为x ，线段PQ 的长度记为f(x)，则函数y＝f(x)的图象大致是（）A B C D二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按所做的第一题评阅记分，本题共5分.（坐标系与参数方程选做题）11. 在极坐标系中，过点(2, π6)且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（）A ρ=√3sinθB ρ=√3cosθC ρsinθ=√3D ρcosθ=√3（不等式选讲选做题）12. 若存在x∈R，使|2x−a|+2|3−x|≤1成立，则实数a的取值范围是（）A [2, 4]B (5, 7)C [5, 7]D (−∞, 5]∪[7, +∞)三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.13. 已知|a→|=2，e→为单位向量，当a→，e→的夹角为2π3时，a→+e→在a→−e→上的投影为________．14. 若一组数据1，2，0，a，8，7，6，5的中位数为4，则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为________．15. 已知双曲线C1:x2a2−y2b2=1和双曲线C2:y2a2−x2b2=1，其中b>a>0，且双曲线C1与C2的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线C1的离心率是________．16. 对于定义在D上的函数f(x)，若存在距离为d的两条直线y＝kx+m1和y＝kx+m2，使得对任意x∈D都有kx+m1≤f(x)≤kx+m2恒成立，则称函数f(x)(x∈D)有一个宽度为d的通道．给出下列函数：①f(x)=1x；②f(x)＝sinx；③f(x)=√x2−1；④f(x)=lnxx其中在区间[1, +∞)上通道宽度可以为1的函数有________．四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，设P1，P2，…，P6为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S．（1）求S=√32的概率；（2）求S的分布列及数学期望E(S)．18. 在△ABC中，2sin2AcosA−sin3A+√3cosA=√3．（1）求角A的大小；（2）已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若a=1且sinA+sin(B−C)=2sin2C，求△ABC的面积．19. 若数列{a n}的前n项和为S n，对任意正整数n都有6S n=1−2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若c1=0，且对任意正整数n都有c n+1−c n=log12a n，求证：对任意n≥2，n∈N∗都有1c2+1c3+...+1c n<34．20. 如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是平行四边形，AD=2，AB=1，∠ABC=60∘，PA⊥面ABCD，设E为PC中点，点F在线段PD上且PF=2FD．（1）求证：BE // 平面ACF；（2）设二面角A−CF−D的大小为θ，若|cosθ|=√4214，求PA的长．21. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F与抛物线y2=−4x的焦点重合，直线x−y+√22=0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．（1）求该椭圆C的方程；（2）过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．22. 已知函数f(x)=(x−a)2lnx（其中a 为常数）．（1）当a ＝0时，求函数的单调区间；（2）当a ＝1时，对于任意大于1的实数x ，恒有f(x)≥k 成立，求实数k 的取值范围； （3）当0<a <1时，设函数f(x)的3个极值点为x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，求证：x 1+x 3>√e．2014年江西省重点中学协作体高考数学二模试卷（理科）答案1. B2. D3. A4. A5. B6. C7. D8. C9. B 10. B 11. D 12. C 13.3√77 14. 92 15.√5+1216. ①③④17. 解：（1）从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形，共有C 63种不同的选法， 其中S =√32的为有一个角是30∘的三角形，共6×2=12种所以，P(S =√32)=12C 63=35．（2）S 的所有可能取值为√34，√32，3√34． S =√34的为顶角是120∘的等腰三角形（如△P 1P 2P 3），共6种，所以，P(S =√34)=6C 63=310．S =3√34的为等边三角形（如△P 1P 3P 5），共2种，所以，P(S =3√34)=2C 63=110，（ 8分）P(S =√32)=35，所以S 的分布列为ES =√34×310+√32×35+3√34×110=9√320．18. 解：（1）已知等式化简得：2sin2AcosA −sin3A +√3cosA =2sin2AcosA −sin(2A +A)+√3cosA=sin2AcosA −cos2AsinA +√3cosA =sinA +√3cosA=2sin(A +π3)=√3， ∴ sin(A +π3)=√32， ∵ A ∈(0, π)， ∴ A +π3∈(π3, 4π3)， ∴ A +π3=2π3，即A =π3；（2）∵ sinA +sin(B −C)=2sin2C ，∴ sin(B +C)+sin(B −C)=4sinCcosC ， ∴ 2sinBcosC =4sinCcosC ， ∴ cosC =0或sinB =2sinC ， ①当cosC =0时，C =π2，∴ B =π6，∴ b =atanB =√33， 则S △ABC =12ab =12×1×√33=√36； ②当sinB =2sinC 时，由正弦定理可得b =2c ，由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bccosA ，即1=4c 2+c 2−2c 2，即c 2=13， 则S △ABC =12bcsinA =c 2sinA =13×√32=√36， 综上，△ABC 的面积为√36．19. 解：（1）当n =1时，6S 1=1−2a 1．解得a 1=18； 当n ≥2时，6S n =1−2a n ①，6S n−1=1−2a n−1②，①-②，化简得a na n−1=14，∴ {a n }是首项为18，公比为14的等比数列， ∴ a n =18⋅(14)n−1=(12)2n+1．（2）∵ c n+1−c n =log 12a n =2n +1，∴ 当n ≥2时，c n =(c n −c n−1)+(c n−1−c n−2)+...+(c 2−c 1)+c 1=(2n −1)+(2n −3)+...+3+0=n 2−1，∴ 1c n=1(n−1)(n+1)=12(1n−1−1n+1)，∴ 1c 2+1c 3+⋯+1c n=12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n−2−1n +1n−1−1n+1)=12(1+12−1n −1n+1)=34−12(1n+1n+1)<34．20.（1）证明：∵ 由AD =2，AB =1，ABCD 是平行四边形，∠ABC =60∘，∴ AC =√4+1−2×2×1×cos60∘=√3， ∴ AB ⊥AC ．又∵ PA ⊥面ABCD ，∴ 以AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立坐标系． 则A(0, 0, 0)，B(1, 0, 0)，C(0, √3, 0)，D(−1, √3, 0)， 设P(0, 0, c)，则E(0,√32，c 2)． 设F(x, y, z)，∵ PF =2FD ，∴ PF →=2FD →，即：(x,y,z −c)=2(−1−x,√3−y ，−z)． 解得：x =−23，y =2√33，z =c3，∴ F(−23，2√33，c3)．….. ∴ AF →=(−23,2√33,c3)，AC →=(0,√3,0)，BE →=(−1,√32,c2)． 设面ACF 的法向量为n →=(x,y,z)，则{−23x +2√33y +c3z =0y =0，取n →=(c,0,2)．因为n →⋅BE →=−c +c =0，且BE ⊄面ACF ， ∴ BE // 平面ACF ． …..（2）设面PCD 法向量为m →=(x,y,z)， ∵ PC →=(0,√3,−c)，PD →=(−1,√3,−c)， ∴ {√3y −cz =0−x +√3y −cz =0，取m →=(0,c,√3)． …..由|cosθ|=||n →||m →|˙|=√4214，得√3√c 2+4√c 2+3=√4214． 整理，得c 4+7c 2−44=0，解得c =2，∴ PA =2． …..21. 解：（1）依题意，得c =1，e =|0−0+√22|√2=12，即ca =12，∴ a =2，∴ b =1， ∴ 所求椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．（2）假设存在直线AB ，使得S 1=S 2，由题意知直线AB 不能与x ，y 垂直， ∴ 直线AB 的斜率存在，设其方程为y =k(x +1)， 将其代入x 24+y 23=1，整整，得：(4k 2+3)x 2+8k 2x +4k 2−12=0，设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1+x 2=−8k 24k 2+3，y 1+y 2=6k4k 2+3， ∴ G(−4k 24k 2+3,3k4k 2+3)，∵ DG ⊥AB ， ∴3k 4k 2+3−4k 24k 2+3×k =−1，解得x D =−k 24k 2+3，即D(−k 24k 2+3, 0)，∵ △GFD ∽△OED ，∴ |GF||OE|=|DG||OD|，∴ |GF||OE|⋅|DG||OD|=(|DG||OD|)2， 即S 1S 2=(|DG||OD|)2，又∵ S 1=S 2，∴ |GD|=|OD|，∴ √(−k 24k 2+3−−4k 24k 2+3)2+(3k4k 2+3)2=|−k 24k 2+3|， 整理得8k 2+9=0，∵ 此方程无解， ∴ 不存在直线AB ，使得S 1=S 2．22. f′(x)=x(21nx−1)ln2x．令f′(x)0可得x=√e，∴ 函数在(0, 1)，(1, √e)上函数单调递减，在(√e, +∞)上函数单调递增，∴ 单调减区间为(0, 1)，(1, √e)；增区间为(√e, +∞)；x>1时，f(x)≥k，即(x−1)2−klnx≥0成立，令g(x)＝(x−1)2−klnx，则g′(x)=2x2−2x−kx，∵ x>1，∴ 2x2−2x＝2x(x−1)>0①k≤0，g′(x)>0，∴ g(x)在(1, +∞)上是增函数，∴ x>1时，g(x)>g(1)＝0，满足题意；②k>0时，令g′(x)＝0，解得x1=1−√1+2k2<0，x2=1+√1+2k2>1，∴ x∈(1, x2)，g′(x)<0，g(x)在(1, x2)上是减函数，∴ x∈(1, x2)，g(x)<g(1)＝0，不合题意，舍去，综上可得，k≤0；由题，f′(x)=(x−a)(21nx+ax−1)ln2x对于函数ℎ(x)＝2lnx+ax −1，有ℎ′(x)=2x−ax2∴ 函数ℎ(x)在(0, a2)上单调递减，在(a2, +∞)上单调递增∵ 函数f(x)有3个极值点x1<x2<x3，从而ℎmin(x)＝ℎ(a2)＝2ln a2+1<0，所以a<√e，当0<a<1时，ℎ(a)＝2lna<0，ℎ(1)＝a−1<0，∴ 函数f(x)的递增区间有(x1, a)和(x3, +∞)，递减区间有(0, x1)，(a, 1)，(1, x3)，此时，函数f(x)有3个极值点，且x2＝a；∴ 当0<a<1时，x1，x3是函数ℎ(x)=21nx+ax−1的两个零点；即有{21nx1+ax1−1=021nx3+ax3−1=0，消去a有2x1lnx1−x1＝2x3lnx3−x3令g(x)＝2xlnx−x，g′(x)＝2lnx+1有零点x=√e ，且x1<√e<x3∴ 函数g(x)＝2xlnx−x在√e )上递减，在(√e上递增证明x1+x3>√2e ⇔x3>√2e−x1⇔g(x3)>g(√2e−x1)∵ g(x1)＝g(x3)，∴ 即证g(x1)>g(√2e−x1)构造函数F(x)＝g(x)>g(√2e −x)，则F(√e)＝0只需要证明x∈(0, √e]单调递减即可．而F′(x)＝2lnx+2ln(√ex)+2，F″(x)>0，∴ F′(x)在√e ]上单调递增，∴ F′(x)<F(√e)=0∴ 当0<a<1时，x1+x3>√e．。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}3,2ln A x =，{},B x y =，若{}0AB =，则2x y +的值是( )A. 1B. 2C. 0D.1e2.已知()sin cos f x x x =-，则12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是( )A. B. 12C.3.已知2a =，3b =，19a b +=，则a b -=( )【答案】D 【解析】试题分析：由19a b +=平方，得22219a b ab ++=，将2a =，3b =代入此式得3ab =，所以()22227a b a b a b ab -=-=+-=.考点：求平面向量的数量积、模. 4.设3,1sin 2a α⎛⎫=+⎪⎝⎭，11cos ,3b α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//a b ，则锐角α为( )A.30︒B.45︒C. 60︒D. 75︒5.在ABC 中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，已知a ，b ，c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为( )A.12【答案】C 【解析】试题分析：因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =. 又22a c ac bc -=-，∴222b c a bc +-=.在ABC 中，由余弦定理得：222co 1222s b c a bc bc b A c +-===，那么60A ︒∠=.由正弦定理得sin sin b AB a=，又因为2b ac =，60A ︒∠=，所以21sin sin 60sin 60c ac b B b ===︒︒考点：1、等比数列的性质；2、正弦定理和余弦定理的应用.6.实数x 满足22log 4sin 1x θ=-，则182x x -+-的值为( ) A. 8.5 B. 8.5或7.5 C. 7.5 D. 不确定7.已知等差数列{}n a 的公差和首项都不等于0，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则36945a a a a a ++=+( )A. 2B. 3C. 5D. 78.已知公差不为零的等差数列{}n a 与公比为q 的等比数列{}n b 有相同的首项，同时满足1a ，4a ，3b 成等比，1b ，3a ，3b 成等差，则2q =( )A.14 B. 16 C. 19 D. 189.已知正三角形OAB 中，点O 为原点，点B 的坐标是()3,4-，点A 在第一象限，向量()1,0m =-，记向量m 与向量OA 的夹角为α，则sin α的值为( )A. B. C.D.10.对正整数n ，有抛物线()2221y n x =-，过()2,0P n 任作直线l 交抛物线于n A ，n B 两点，设数列{}n a 中，14a =-，且()n 1,1n nn OA OB a n N n =>∈-其中，则数列{}n a 的前n 项和n T =( )A ．4nB ．4n -C ．()21n n +D ．()21n n -+ 【答案】D【解析】试题分析：设直线方程为2x ty n =+，代入抛物线方程得()()22214210y n ty n n ----=，设()()1122,,,n n n n n A x y B x y ，则()2212121212(1)24n n n n n n n n n n OA OB x x y y t y y nt y y n ⋅=+=++++①，由根与系数的关系得()12221n n y y n t +=-，()12421n n y y n n =--， 代入①式得()22224(21)14(21)444n n OA OB n n t n n t n n n ⋅=--++-+=-， 故41n n OA OB n n ⋅=--（1,n n N >∈），故数列1n n OA OB n ⎧⎫⋅⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和2(1)n n -+.考点：1、直线的方程；2、方程的根与系数的关系；3、平面向量的数量积.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知函数()()f x x a x x R =-∈，且()20f =，则函数()f x 的单调递减区间为_____________.12.将一列有规律的正整数排成一个三角形矩阵(如图)：根据排列规律，数阵中第12行的从左至右的第4个数是_______.【答案】208 【解析】试题分析：按数字出现的先后顺序可知，这个三角矩阵的数字是首项为1，公差为3的等差数列，其通项公式为：()13132n a n n =+-=-，前11行共有1112123411662⨯+++++==个数，因此第12行的从左至右的第4个数是全体正数中的第66470+=个，第70个正数是3702208⨯-=. 考点：等差数列的前n 项和的应用.13.已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()7sin 25αβ+=-，4sin 45πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值=________________.14.已知cos sin αβ+=sin cos αβ+的取值范围是D ，x D ∈，则函数19log y =的最小值为___________.15.已知()()()()()()123,2,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数为()f x '，设()()20n f a f '-=，则数列{}n a 自第2项到第n 项的和S =_____________.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.(本小题满分12分)如图，在底角为60︒的等腰梯形ABCD 中，已知12DC AB =，,M N 分别为CD ，BC 的中点.设AB a =，AD b =.(1)试用a ，b 表示AM ，AN ； (2)若4a =，试求AM AN 的值.17.(本小题12分)已知向量()cos ,sin m x x =和()2sin ,cos n x x =-，(1)设()f x m n =⋅，写出函数()f x 的最小正周期，并指出该函数的图像可由()sin y x x R =∈的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？(2)若[],2x ππ∈，求m n -的范围.（2）(cos sin cos )m n x x x x -=+--， 所以m n -=s s i n=s ()=，因为[],2x ππ∈，所以37,444x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，则cos 14x π⎡⎛⎫∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣-，所以,，即m n-的范围是.………………12分考点：1、三角函数的最小正周期；2、三角函数图像的平移变换；3、三角函数在定区间上的值域；4、求平面向量的模；5、三角恒等变换.18.(本小题12分)已知()1f x a b =⋅-，其中向量()sin 2,2cos a x x =，()3,cos b x =，()x R ∈.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .(1)如果三边a ，b ，c 依次成等比数列，试求角B 的取值范围及此时函数()f B 的值域；(2) 在ABC 中，若4A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，边a ，b ，c 依次成等差数列，且1AB CA ⋅=-，求b 的值.（2）由已知得2sin 426A A f π⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin 26A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ……………8分 所以623A ππ+=或2623A ππ+=，解得3A π=或A π=（舍去）， ………………10分 由1AB CA ⋅=-，得()cos 1bc A π-=-，解得2bc =，由三边a ，b ，c 依次成等差数列得2b a c =+，则222222(2)4448a b c b bc c b c =-=-+=+-，由余弦定理得222222cos 2a b c bc A b c =+-=+-, 解得b =…………12分考点：1、平面向量的数量积的运算；2、余弦定理；3、解三角形；4、等差数列的性质及应用；5、特殊角的三角函数值.19.(本小题满分12分)设()0,x ∈+∞，将函数()()2sin cos f x x x =+在区间()0,+∞内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{}n a ()*n N ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）()()*211424n n a n n N πππ-=+-⋅=∈；（2）()23232n n T n π⎡⎤=-⋅+⎣⎦.所以()23232n n T n π⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………12分 考点：1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前n 项和；5、等比数列的前n 项和.20.(本小题满分13分)已知函数()()()21ln 12f x x ax a x a R =+-+∈. (1)当2a =时，求函数()f x 的极值；(2)求函数()f x 的单调区间； (3)是否存在实数()1a a <-，使函数()()ln f x a a a =--在[)0,+∞上有唯一的零点，若有，请求出a 的范围；若没有，请说明理由.【答案】（1）()f =0x 极小值，无极大值；（2）见解析；（3）存在，1a =-或a e <-.（2）'(1)(),11a x x a f x x a x x ++=+-=++定义域()1,-+∞， ………5分 ①当11a --≤-，即0a ≥时，由'(1)()1x x a f x x ++=+0>，得()f x 的增区间为()0,+∞；由'(1)()01x x a f x x ++=<+，得()f x 的减区间为()1,0-； ………6分 ②当110a -<--≤，即10a -≤<时，由'(1)()1x x a f x x ++=+0>，得()f x 的增区间为()1,1a ---和()0,+∞；由'(1)()01x x a f x x ++=<+，得()f x 的减区间为()1,0a --； ……7分③当10a -->，即1a <-时，由'(1)()1x x a f x x ++=+0>，得()f x 的增区间为()1,0-和()1,a --+∞；由'(1)()01x x a f x x ++=<+，得()f x 的减区间为()0,1a --； ……8分 综上，0a ≥时，()f x 的增区间为()0,+∞，减区间为()1,0-；10a -≤<时，()f x 的增区间为()1,1a ---和()0,+∞，减区间为()1,0a --； 1a <-时，()f x 的增区间为()1,0-和()1,a --+∞，减区间为()0,1a --； ………9分(3)当1a <-时，由（2）知()f x 在[)0,+∞的极小值为21(1)ln()22a f a a a --=-+--，而极大值为(0)0f =；由题意，函数()y f x =的图象与ln()y a a a =--在[)0,+∞上有唯一的公共点， 所以，21(1)ln()ln()22a f a a a a a a --=-+--=--或()ln()f 0y a a a =-->，结合1a <-，解得1a =-或a e <-. ……13分考点：1、对数函数的定义域；2、含参数的分类讨论思想；3、函数的单调性与导数的关系；4、解不等式；5、求函数的极值.21.(本小题满分14分)已知数列{}n a 满足112a =，()1121n n na a ++=-()*n N ∈. (1)求证：数列()11n n a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭()*n N ∈是等比数列； (2)设21n nb a =()*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ； (3)设12n n n nc a a +=-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：13n T <(其中*n N ∈). 【答案】（1）见解析；（2）34623n n n ⋅-⋅++；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）首先由1a 求出2a ，然后2n ≥时，构造函数1111(1)2[-(1)]n n n n a a ----=--，即可证明在2n ≥条件下数列()11n n a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭()*n N ∈是等比数列，将1n =时的值代入也符合，即证；（2）先由（1）得到n a ，然后写出{}n b 的通项公式，根据等比数列前n 项和公式求出n S ；（3）求出数列{}n c 的通项公式，再由累加法求其前n 项和为n T ，再判断n T 与13的关系.试题解析：（1）证明：由112a =，()1121n n n a a ++=-得215a =-， 当2n ≥时，1112(1)n n n a a --+=-，即1111(1)2[-(1)]n n n n a a ----=--， 所以1(1)n n a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭是首项为221(1)-6a --=，公比为2-的等比数列， 1n =时，也符合，所以数列()11n n a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭()*n N ∈是等比数列； ……….5分考点：1、函数的构造；2、等比数列的性质；3、等比数列的前n项和；4、累加法求数列的前n项和.。

文科数学试题（二）命题解析设计思路：主要考查平面向量数量积基本运算，容易题。

4．解：22log sinlog cos88ππ+=1sin 24223log (sincos )log 882πππ==-.答案：B.设计思路：主要考查三角函数与对数求值，中档题。

5. 解：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac 。

又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc 。

在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A =60°。

由正弦定理得sin B =aAb sin ，∵b 2=ac ，∠A =60°，∴21sin sin 60sin 60c ac b B b ===︒︒ 答案：C.设计思路：主要考查余弦定理，正弦定理及其应用，中档题。

6. 解：21(2)1(),.(2)2(1)f f x f x ''==--答案：B.设计思路：主要考查导数知识，容易题。

7. 解：设公差为d ,2242844443696245454(2)(4)4,33(2)18 2.29a a a a a d a d a d a a a a a d da a a a a d d=⋅⇒=-⋅+⇒=+++====+++答案：A.设计思路：主要考查等差数列与等比数列基本计算，中档题。

8.解：设xOB β∠=，则43sin ,cos 55ββ==-，则4134sin sin()sin()()3525210παπαβ+=-=-=⨯--⨯=D 。

答案：D.设计思路：主要考查三角函数概念和求值，中档题。

9.解：设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d .由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d =1.所以2lo g (1)1(1)1n a n n -=+-⨯=即.12+=n n a 得10a =210+1. 答案：A.设计思路：主要考查数列与对数知识，考查综合应用知识能力，中高档题。

江西省南昌市新建二中2014届高三第三轮复习测试卷数学（8）命题人：新建二中 审题人：南昌市教研室一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设i 为虚数单位，复数21ii-等于 A ．l +i B ．-l -iC ．l -iD ．-l+i2．（理）在6(3的二项展开式中，x 2的系数为A ．427-B ．227-C ．227D ．427（文）已知集合M={y|y=sinx, x ∈R}，N={0，1，2}, 则M N= A ．{-1,0,1} B ．[0,1] C ．{0,1} D ．{0，1,2}3．下列有关命题说法正确的是A ．命题p ：“∃x ∈R ，，则⌝p 是真命题 B ．“x=－1”是“x 2－5x －6=0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R ，使得x 2 +x+1<0“的否定是：“∀x ∈R ，x 2+x+1<0”D ．“a>l”是“y=log a x （a >0且a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件4．设m ，n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面，给出下列条件,能得到m β⊥的是 A ．αβ⊥，m α⊂ B ．m ⊥α，αβ⊥ C ．m ⊥n,n β⊂ D ．m ∥n,n β⊥5．设函数f （x ）=32sin tan 32x x θθθ++，其中θ∈50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则导数f '（1）的取值范围是A ．[-2，2] B． C．⎤⎦ D．⎤⎦6．甲、乙、丙三人投掷飞镖，他们的成绩（环数）如下面的频数条形统计图所示.则甲、乙、丙三人训练成绩方差222s s s 甲乙丙，，的大小关系是（ ）A ．222s s s<<乙甲丙B ．222s s s<<甲乙丙C ．222s s s <<甲乙丙D ．222s s s<<乙甲丙7．设b a <，函数)()(2b x a x y --=的图象可能是8．（理）己知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，其前n 项和为S n ，若直线y = a 1x+m 与圆（x －2）2+ y 2 =1的两个交点关于直线x +y +d =0对称，则S n = A ． n 2 B ．－n 2 C ．2n －n 2 D ．n 2－2n （文）已知圆C 的方程为012222=+-++y x y x ，当圆心C 到直线04=++y kx 的距离最大时，k 的值为频数环数甲乙丙环数A ．51-B ．51C ．5-D ．5 9．（理）设两个向量)cos ,2(22αλλ-+=a 和,(m b =)sin 2α+m，其中αλ,,m 为实数，若b a 2=，则mλ的取值范围是 A ．]1,6[- B ．[4，8] C ．]1,6(- D ．]6,1[-（文）已知向量),1(m a =，),2(n b =，),3(t c =，且b a //，c b ⊥，则22||||c a +的最小值为 A ．4 B ．10 C ．16 D ．20 10．（理）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,5MF =,若以MF 为直径的圆过点)2,0(,则C 的方程为A ．24y x =或28y x =B ．22y x =或28y x =C ．24y x =或216y x =D ．22y x =或216y x =（文）已知斜率为2的直线l 过抛物线ax y =2的焦点F ，且与y 轴相交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为（ ）A ．x y 42= B ．x y 82= C ．x y 42=或x y 42-= D ．x y 82=或x y 82-=二、填空题(本大题共5小题,每小题5分共25分．把答案填在答题卷中的横线上．)11.(理)如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校的学生连续参观两天，其余学校的学生均只参观一天，则不同的安排方法共有 （文）如果函数)0)(6sin()(>+=ωπωx x f 的两个相邻零点之间的距离为12π，则ω的值为13已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≤+-042042k y x y y x ，且目标函数y x z +=3的最小值为1-，则常数=k _______．14. 已知四棱柱1111D C B A ABCD -中，侧棱⊥1AA 底面ABCD ，且21=AA ，底面ABCD 的边长均大于2，且︒=∠45DAB ，点P 在底面ABCD 内运动，且在AB ，AD 上的射影分别为M ，N ，若|PA|=2，则三棱锥MN D P 1-体积的最大值为______．15．(理)（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分）①．以平面直角坐标系的原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数，R ϕ∈）上的点到曲线cos sin 4(,)R ρθρθρθ+=∈的最短距离是 ②．（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .． 15(文). 若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16、（本题满分12分）在△ABC 中，7cos 25A =-，3cos 5B =. （1）求sinC 的值；（2）设BC ＝5，求△ABC 的面积. 17、（本题满分12分）（理）已知数列｛a n }满足：a 1＝1，1n na +＝2(n 十1)a n ＋n （n ＋1），（*n N ∈）， （1）若1nn a b n=+，试证明数列｛b n }为等比数列； （2）求数列｛a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ．（文）已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且n a =1，*n N ∈，数列1b ，21b b -，32b b -……，1n n b b --是首项为1，公比为12的等比数列.（1）求证：数列{a n }是等差数列；（2）若n n n c a b =，求数列{c n }的前n 项和Tn.18. （本题满分12分）（理）已知正方形ABCD 的边长为2，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点． （1）在正方形ABCD 内部随机取一点P，求满足||PH <（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ． （文）某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：（1）用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；（2）已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于．．．0.2的概率．QPABC19. （本题满分12分）（理）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 底面ABCD ， 底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，CD AB //， 222===CD AD AB ，E 是PB 的中点.（1）求证：平面⊥EAC 平面PBC ； （2）若二面角E AC P --的余弦值为36， 求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.（文）在空间几何体PQ ABC -中，PA ⊥平面ABC ， 平面QBC ⊥平面ABC ，AB AC =，QB QC =． （1）求证：//PA 平面QBC ；（2）如果PQ ⊥平面QBC ，求证：Q PBC P ABC V V --=．20. （本题满分13分）（理）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为)0,1(1-F ，P 为椭圆G 的上顶点，且︒=∠451O PF（1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线11:m kx y l +=与椭圆G 交于A 、B 两点，直线)(:2122m m m kx y l ≠+=与椭圆G 交于C 、D 两点，且CD AB =，如图所示.（i ）证明：021=+m m ；（ii ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值.（文）四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线2y x =上，A ，C 关于y 轴对称，BD 平行于抛物线在点C 处的切线.（1）证明：AC 平分BAD ∠；（2）若点A 坐标为(1,1)-，四边形ABCD 的面积为4，求直线BD 的方程.21. （本题满分14分）（理）已知)(,2121x x x x =/是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点． (1)若11-=x ，22=x ，求函数)(x f 的解析式； (2)若22||||21=+x x ，求实数b 的最大值；(3)设函数)()()(1x x a x f x g --'=，若21x x <，且a x =2，求函数)(x g 在),(21x x 内的最小值．(用a 表示)（文）若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x ，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，则称“f （x ）关于k 可线性分解”．（1）函数()22x x f x +=是否关于1可线性分解?请说明理由；（2）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值范围；南昌市2013—2014学年度高三新课标第三轮复习测试卷数学（8）参考答案一、选择题：每小题5分，共50分．二、填空题：每小题5分，共25分．11．(理)120（文）12； 12．i =7； 13．9； 14．312-；15．（理）1○242≤≤-a （文）42≤≤-a 三、解答题：（本大题共6小题共75分） 16、解：（1）在ABC ∆中，∵7cos 25A =-，24sin 25A ∴= 又∵34c o s s i n 55B B =∴=12544sin cos cos sin )sin(sin =+=+=∴B A B A B A C ; （2）由正弦定理知：625sin sin ==A B BC AC311sin 21=⋅⋅=∴∆C AC BC S ABC17．（理）解：(1)121)1()1(211+=+⇒+++=++na n a n n a n na nn n n ，)1(222111+=+=+++nan a n a n n n 得，即n n b b 21=+，21=b 又,{}n b 所以是以2为首项，2为公比的等比数列.（2）由(1)知),12(212b -=⇒=+⇒=n n n n nnn a n a ∴231(21)2(21)3(21)(21)nn S n =⨯-+⨯-+⨯-++-K231222322(123)n n n =⨯+⨯+⨯++⋅-++++K K23(1)12223222n n n n +=⨯+⨯+⨯++⋅-K .令231222322nn T n =⨯+⨯+⨯++⋅K ，则234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅K ，两式相减得：23112(12)22222212n nn n n T n n ++--=++++-⋅=-⋅-K ，22)1(2)21(211+⋅-=⋅+-=++n n n n n n T .∴2)1(22)1(1+-+⋅-=+n n n S n n .(文)解（1）∵1n a =-，21(1)4n n S a ∴=+ 当2211112,(1)(1)44n n n n n n a S S a a --≥=-=+-+22111(22)4n n n n a a a a --=+-- 即11()(2)0n n n n a a a a --+--=，12n n a a -∴-= 又11a =故数列{}n a 是等差数列.且21n a n =-;（2）∵12132111()()()22n n n n b b b b b b b b --=+-+-++-=-L L ∴11121(21)(2)2(21)22n n n n c n n ---=--=-- 先求数列1212n n --⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n A . ∵2313572112222n n n A --=+++++K2312311135232122222212222211222222n n n n n nn n A n A ----=+++++-∴=+++++-K K211123232336262222n n n n n n n n n A A T n --+++=-∴=-∴=+-. 18.（理）解：（1P 构成的平面区域是正方形ABCD224⨯=．满足||PH <P 构成的平面区域是以H 为半径的圆的内部与正方形ABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以H圆心角为2π的扇形HEG 的内部（即四分之一个圆）与两个 直角边为1的等腰直角三角形（△AEH 和△DGH ）内部构成．其面积是2112111422π⨯π⨯+⨯⨯⨯=+． 所以满足||PH <112484π+π=+． （2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成28C 28=条不同的线段．其中长度为1的线段有84条，长度为2的线段有68条，长度为2条．所以ξ所有可能的取值为12．且()821287P ξ===， (41287P ξ===， ()6322814P ξ===， (82287P ξ===， (212814P ξ===．所以随机变量ξ的分布列为：随机变量ξ21321127714714E ξ=⨯++⨯+=（文）解：（1）高三文科（1）班抽取的8名学生视力的平均值为4.42 4.62 4.82 4.95.14.78⨯+⨯+⨯++=．据此估计高三文科（1）班学生视力的平均值约为4.7．（2）因为高三文科六个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.7、4.8， 所以任意抽取两个文科班学生视力的平均值数对有()4.34.4，，()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.5，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.6，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.7，，()4.64.8，，()4.74.8，，共15种情形． 其中抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的有()4.34.5，，()4.34.6，，()4.34.7，，()4.34.8，，()4.44.6，，()4.44.7，，()4.44.8，，()4.54.7，，()4.54.8，，()4.64.8，，共10种． 所以抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为102=15319．（理）解：（1）⊥PC 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ，PC AC ⊥∴，2=AB ，1==CD AD ，2==∴BC AC 222AB BC AC =+∴，BC AC ⊥∴ 又C PC BC = ，⊥∴AC 平面PBC ，⊂AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBC（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，－1，0）.设P （0，0，a ）（a>0），则E （21，21-，2a），)0,1,1(=，),0,0(a =，)2,21,21(a -=，取m =（1，－1，0）则0m CP m CA ⋅=⋅=，∴m 为面PAC 的法向量设(,,)n x y z =为面EAC 的法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=， 即⎩⎨⎧=+-=+0,0az y x y x ，取a x =，a y -=，2-=z ，则(,,2)n a a =--，依题意，2cos ,m n m n m na ⋅<>===2=a 于是(2,2,2)n =--设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2sin cos ,PA n PA n PA nθ⋅=<>==， 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为32 （文）解：（I ）如图，取BC 中点D ，连QD ，由QB QC =得QD BC ⊥，∵平面QBC ⊥平面ABC ， ∴QD ⊥平面ABC ，又∵PA ⊥平面ABC ， ∴QD ∥PA ， 又∵QD ⊆平面QBC ， ∴PA ∥平面QBC ．（2）连接AD ，则AD BC ⊥．∵平面QBC⊥平面ABC ，面QBC ∩面ABC BC =，P∴AD ⊥平面QBC ．又∵PQ QBC ⊥平面，∴PQ ∥AD ．又由（1）知，四边形APQD 是矩形，∴PQ AD =，PA QD =． ∴11()32Q PBC P QBC V V BC QD PQ --==⋅⋅⋅⋅， 而11()32P ABC V BC AD PA -=⋅⋅⋅⋅，则Q PBC P ABC V V --=． 20.（理）解：（1）设椭圆G 的标准方程为12222=+by a x （a>b>0） 因为)0,1(1-F ,︒=∠451O PF ，所以b=c=12222=+=∴c b a∴椭圆G 的标准方程为1222=+y x （2）设A （11,y x ），B （22,y x ），),(33y x C ，D （44,y x ）（i ）证明：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12,221y x m kx y ，消去y 得0224)21(21122=-+++m x km x k 则0)12(8212>+-=∆m k ，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+2212121212122,214k m x x k km x x 2122122212214)(1)()(x x x x k y y x x AB -++=-+-=∴2212222122122112122212242141k m k k k m k km k ++-+=+-⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+= 同理222222112122k m k k CD ++-+= CD AB =，∴222222212221121222112122km k k k m k k ++-+=++-+ 21m m ≠，∴021=+m m （ii ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线AB ，CD 间的距离为d ，则2211k m m d +-=，因为021=+m m ，∴2112k m d +=∴2122122122112122km k m k k d AB S +⋅++-+=⋅= 22212122421)12(24221212221212=+++-≤++-=k m m k k m m k 当且仅当212212m k =+时，四边形ABCD 的面积S 取得最大值，且最大值为22（文）（1）设A (x 0，x 20)，B (x 1，x 21)，C (－x 0，x 20)，D (x 2，x 22)．对y ＝x 2求导，得y '＝2x ，则抛物线在点C 处的切线斜率为－2x 0．直线BD 的斜率k ＝x 22－x 21x 2－x 1＝x 1＋x 2， 依题意，有x 1＋x 2＝－2x 0．记直线AB ，AD 的斜率分别为k 1，k 2，与BD 的斜率求法同理，得k 1＋k 2＝(x 0＋x 1)＋(x 0＋x 2)＝2x 0＋(x 1＋x 2)＝0，所以∠CAB ＝∠CAD ，即AC 平分∠BAD ．（2）由题设，x 0＝－1，x 1＋x 2＝2，k ＝2．四边形ABCD 的面积S ＝ 1 2|AC |·|x 22－x 21|＝ 1 2|AC |·|x 2＋x 1|·|x 2－x 1|＝ 1 2×2×2×|2－2x 1|＝4|1－x 1|，由已知，4|1－x 1|＝4，得x 1＝0，或x 1＝2．所以点B 和D 的坐标为(0，0)和(2，4)，故直线BD 的方程为y ＝2x ．21．（理）解：)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ．(1)因为11-=x ，22=x 是函数)(x f 的两个极值点，所以0)1(=-'f ，0)2(='f ．（2分）所以0232=--a b a ，04122=-+a b a ，解得6=a ，9-=b ．所以x x x x f 3696)(23--=．（4分）(2)因为)(,2121x x x x =/是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点， 所以0)()(21='='x f x f ，所以21,x x 是方程)0(02322>=-+a a bx ax 的两根，因为32124a b +=∆，所以0>∆对一切0>a ，R b ∈恒成立， 而a b x x 3221-=+，321a x x -=，又0>a ，所以021<x x ， 所以||||||2121x x x x -=+=-+=212214)(x x x x a a b a a b 3494)3(4)32(222+=---， 由22||||21=+x x ，得22349422=+a a b ，所以-=6(322a b )a ． 因为02≥b ，所以0)6(32≥-a a ，即60≤<a ．令)6(3)(2a a a h -=，则a a a h 369)(2+-='．当40<<a 时，0)(>'a h ，所以)(a h 在(0，4)上是增函数；当64<<a 时，0)(<'a h ，所以)(a h 在(4，6)上是减函数．所以当4=a 时，)(a h 有极大值为96，所以)(a h 在]6,0(上的最大值是96， 所以b 的最大值是64．(3)因为21,x x 是方程0)(='x f 的两根，且)0(23)(22>-+='a a bx ax x f ， 所以321a x x -=，又a x =2，311-=x ， 所以))((3)(21x x x x a x f --='))(31(3a x x a -+=，所以)()()(1x x a x f x g --'=+--+=x a a x x a ())(31(3)31)(31(3)31--+=a x x a ，其对称轴为2a x =，因为0>a ，所以),31(2a a -∈，即),(221x x a ∈， 所以在),(21x x 内函数)(x g 的最小值 ==)2()(min a g x g )312)(312(3--+a a a a 221(32)3()=2312a a a a +=-+- （文）解：（1）函数()22x x f x +=的定义域是R ，若是关于1可线性分解， 则定义域内存在实数0x ，使得()()()1100f x f x f +=+．构造函数()()()()11f x f x f x h --+=()12212221----++=+x x x x ()1221-+=-x x ．∵()10-=h ，()21=h 且()x h 在[]0,1上是连续的，∴()x h 在[]0,1上至少存在一个零点．即存在[]00,1x ∈，使()()()1100f x f x f +=+．另解：函数()22x x f x +=关于1可线性分解，由()()()11f x f x f +=+，得()3212221++=+++x x x x ． 即222+-=x x．作函数()x x g 2=与()22+-=x x h 的图象，由图象可以看出，存在∈0x R ，使222+-=x x ，即()()()1100f x f x f +=+)成立．（2）()x g 的定义域为()+∞,0． 由已知，存在00>x ，使()()()a g x g a x g +=+00．即()()1ln 1ln 1ln 20000+-++-=++-+a a ax x a x a a x ．整理，得()1ln ln ln 00++=+a x a x ，即())e ln(ln 00ax a x =+．∴e 00ax x a =+，所以1e 0-=a a x ． 由01e 0>-=a a x 且0>a ，得e1>a ． ∴a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,e 1．。

江西省重点中学协作体2014届高三第二次联考数学（理）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =,集合2{|log (1)},{|||,}A x y x B x x a a R ==-=<∈,()U C A B =∅, 则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(0,1)D ．(0,1]2.函数ln(1)11x y xx -=++的定义域是（ ） A.[1,0)(0,1)- B.[1,0)(0,1]- C.(1,0)(0,1]- D.(1,0)(0,1)-3.已知i 为虚数单位,若复数z 满足(2)12z i i -=+,则z 的共轭复数是( )A ．iB ．i -C ．35iD ．35i-4.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；②在线性回归分析中，相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱；③已知随机变量ξ服从正态分布(5,1)N ，且(46)0.6826,P ξ≤≤=则(6)0.1587;P ξ>=④某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人.A ．1B ．2C ．3D ．45.已知锐角βα,满足：1sin cos ,6αα-=3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，则βα,的大小关系是（ ） A ．βα< B ．αβ> C ．βαπ<<4 D. αβπ<<46.程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S 的值是（ ）1n = 开始 结束 否 是 输出S 3S = 1+=n n 2014n ≤ 11S S S+=-A ．3B ．12C ．13- D ．2-7.等比数列{}n a 是递减数列，其前n 项积为n T ，若1284T T =，则813a a ⋅=( )A ．1±B ．2±C ．1D ．28.已知在二项式32()n x x -的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式中，有理项的项数是( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知函数2()2f x x x =-，(1,0)Q ，过点(1,0)P -的直线l 与()f x 的图像交于,A B 两点，则QAB S ∆的最大值为（）A. 1B.12C. 13D. 22 10.如图，过原点的直线l 与圆221x y +=交于,P Q 两点，点P 在第一象限，将x 轴下方的图形沿x 轴折起，使之与x 轴上方的图形成直二面角，设点P 的横坐标为x ，线段PQ 的长度记为()f x ，则 函数()y f x =的图像大致是( )二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按所做的第一题评阅记分，本题共5分. 11（1）．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点(2,)6π且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A.3sin ρθ=B.3cos ρθ=C.sin 3ρθ=D.cos 3ρθ=11（2）．（不等式选讲选做题））若存在,R x ∈,使|2|2|3|1x a x -+-≤成立,则实数a 的取值范围是( )A. [2,4]B. (5,7)C. [5,7]D. (,5][7,)-∞+∞第Ⅱ卷 yxo QP注意事项：第Ⅱ卷须用黑色签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.12.已知2,=a e 为单位向量，当,a e 的夹角为32π时，+a e 在-a e 上的投影为 . 13.若一组数据1,2,0,,8,7,6,5a 的中位数为4，则直线ax y =与曲线2x y =围成图形的面积为 .14.已知双曲线22122:1x y C a b -=和双曲线22222:1y x C a b-=，其中0,b a >>，且双曲线1C 与2C 的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线1C 的离心率是 .15.对于定义在D 上的函数()f x ，若存在距离为d 的两条直线1y kx m =+和2y kx m =+，使得对任意x D ∈都有12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()()f x x D ∈有一个宽度为d 的通道.给出下列函数： ①1()f x x =；②()sin f x x =；③2()1f x x =-；④ln ()x f x x= 其中在区间[1,)+∞上通道宽度可以为1的函数有 (写出所有正确的序号).四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ．（1）求32S =的概率； （2）求S 的分布列及数学期望()E S ．17.(本小题满分12分） 在ABC ∆中，2sin 2cos sin 33cos 3A A A A -+=.(1)求角A 的大小；(2)已知,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若1a =且sin sin()2sin 2,A B C C +-= 求ABC ∆的面积.5P 6P 2P 3P 4P O P 118．（本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n 都有612n n S a =-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若10,c =且对任意正整数n 都有112log n n n c c a +-=, 求证：对任意*2311132,4n n n N c c c ≥∈+++<都有.19．（本小题满分12分） 如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形，1,2==AB AD ， 60=∠ABC ，⊥PA 面ABCD ，设E 为PC 中点，点F 在线段PD 上且FD PF 2=．（1）求证：//BE 平面ACF ；（2）设二面角D CF A --的大小为θ，若1442|cos |=θ， 求PA 的长．20.（本小题满分13分）已知椭圆:C ()222210x y a b a b +=>>的左焦点F 与抛物线24y x =-的焦点重合，直线202x y -+=与以原点O 为圆心,以椭圆的离心率e 为半径的圆相切.（1）求该椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记∆GFD 的面积为1S ，∆OED 的面积为2S ．试问：是否存在直线AB ，使得12S S =？说明理由．21．（本小题满分14分） 已知函数xa x x f ln )()(2-=（其中a 为常数）. (1)当0=a 时，求函数的单调区间；（2）当1a =时，对于任意大于1的实数x ，恒有()f x k ≥成立，求实数k 的取值范围；(3)当10<<a 时，设函数)(x f 的3个极值点为321x x x ，，，且321x x x <<.求证：31x x +＞e2三、填空题： 12.377【解析】+a e 在-a e 上的投影为：222()()4137.||7412()+⋅---===-++-a e a e a e a e a e 13. 92【解析】由中位数的定义可得54,2a +=3a ∴=，∴直线ax y =与曲线2x y =围成图形的面积332230031(3)()23S x x dx x x =-=-⎰92=. 14.512+【解析】由题意,可得两双曲线在第一象限的交点为所以，()36312325C P S ===． (4分) （2）S 的所有可能取值为34，32，334． 34S =的为顶角是120的等腰三角形（如△123PP P ），共6种， 所以，()36363410C P S ===． (6分) 334S =的为等边三角形（如△135PP P ），共2种， 所以，()363321410C P S ===， ( 8分)(2) sin sin()2sin 2,A B C C +-=∴sin()sin()4sin cos ,B C B C C C ++-=2sin cos 4sin cos ,B C C C ∴=,cos 0sin 2sin C B C ∴==或， (8分)①当cos 0C =时,3,,tan ,263C B b a B ππ=∴=∴==11331;2236ABC S ab ∆∴==⨯⨯= (10分)②当sin 2sin B C =时,由正弦定理可得2b c =,又由余弦定理2222cos ,a b c bc A =+-可得分)∴当2n ≥时，112211()()()n n n n n c c c c c c c c ---=-+-+⋅⋅⋅+-+2(21)(23)301n n n =-+-+⋅⋅⋅++=- ， (9分) ∴11111()(1)(1)211nc n n n n ==--+-+ (10分)231111111111111(1)232435211n c c c n n n n ∴++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-+---+111131113(1)()2214214n n n n =+--=-+<++ . (12分)),3,1(c PD --=， 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-0303cz y x cz y ，取(0,,3)c =m ． (9分)由1442|cos |=⋅=m n m n θ，得1442343222=++c c ．044724=-+c c ，2=c ，所以2=PA . (12分)20. 【解析】(1) 依题意，得1c =,2|00|12,22e -+==即1,2,1,2ca b a =∴=∴=∴所求椭圆C 的方程为22143x y +=. (5分)△GFD ∽△OED ，∴2||||||||||,(),||||||||||GF DG GF DG DG OE OD OE OD OD =∴⋅= 即12S S 2||(),||DG OD =又12,||||S S GD OD =∴=, (11分)所以 22222222243()()43434343k k k kk k k k ----+=++++， 整理得 2890k +=,因为此方程无解，所以不存在直线AB ，使得 12S S =． (13分)21．【解析】(1) x x x x f 2ln )1ln 2()('-=当10<<a 时，0ln 2)(<=a a h ，01)1(<-=a h ， ∴ 函数)(x f 的递增区间有),(1a x 和),(3+∞x ，递减区间有),0(1x ，)1,(a ，),1(3x ， 此时，函数)(x f 有3个极值点，且a x =2； ∴当10<<a 时，31,x x 是函数1ln 2)(-+=x ax x h 的两个零点，]1,0(e 上单调递增,()01=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<'∴e F x F ∴当10<<a 时，e x x 231>+. (14分)。

江西省重点中学盟校2014届高三第二次联考理科数学试卷（带解析）1．已知集合2{|}M x x x =>，4{|,}2xN y y x M ==∈，则M N = ( )A.{x ｜0＜x ＜12} B.{x ｜12＜x ＜1} C.{x ｜0＜x ＜1} D.{x ｜1＜x ＜2}【答案】B 【解析】试题分析：2{|}M x x x =>={01}x x <<，4{|,}2x N y y x M ==∈=1{2}2y x <<，所以M N ={x ｜12＜x ＜1} ，故选B. 考点：1.集合的运算.2.指数函数的性质. 2．已知复数i m z 21+=，i z -=22，若21z z 为实数，则实数m 的值为 （ ） A ．1 B ．1- C ．4 D ．4- 【答案】D 【解析】 试题分析：21z z =2(2)(2)(22)(4)2242(2)(2)555m i m i i m m i m m i i i i +++-++-+===+--+是实数，所以m+4=0，解得m=-4，故选D.考点：复数的运算和有关概念.3．如图给出了计算601614121++++ 的值的程序框图，其中 ①②分别是( )A ．i<30,n=n+2B ．i=30,n=n+2C ．i>30,n=n+2D ．i>30,n=n+1【答案】C 【解析】试题分析：因为2,4,6,8， ，60构成等差数列，首项为2，公差为2，所以2+2（n-1）=60，解得n=30,所以该程序循环了30次，即i>30，n=n+2 ，故选C. 考点：程序框图和算法.4．如图是一个几何体的三视图（侧视图中的弧线是半圆），则该几何体的表面积是（ ）A ．π320+B ．π324+C ．π420+D ．π424+ 【答案】A 【解析】试题分析：由几何体的三视图，知该几何体的上半部分是棱长为2的正方体， 下半部分是半径为1，高为2的圆柱的一半， ∴该几何体的表面积S=5×22+π×12+12×2π×1×2=20+3π．故选A ． 考点：三视图求面积、体积．5．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若2132112364(..),27,n n S a a a a a a a -=+++==则（ ）A ．27B ．81C ．243 D.729【答案】C 【解析】试题分析：由已知条件可得S 2=41a ，所以1214a a a +=，即q=213a a =，又因为12327a a a =，所以33127a q =，即1a =1，所以561a a q ==243，故选C.考点：等比数列的性质. 6．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③某项测量结果ξ服从正态分布215081N(,),P().σζ≤=，则3019P().ζ≤-=； ④对于两个分类变量X 与Y 的随机变量k 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】C 【解析】试题分析：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；不符合分层抽样的定义，是系统抽样的做法，∴①不正确；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；满足线性相关的定义，②正确；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布215081N(,),P().σζ≤=，则3019P ().ζ≤-=；不符合正态分布的特点，∴③不正确；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．满足随机变量K 2的观测值的特点，④正确． 故选：C ．考点：1.系统与抽样的关系；2.线性相关；3.正态分布的应用.7．单位向量，且0=⋅b a ，则c b a-+的最小值为（ ）A 1B ．1C 1+D 【答案】A 【解析】试题分析：因为0=⋅b a ，所以222222a b a b a b +=++⋅=2则|2a b +=，所以c b a -+22222()22()a b c a b c a b c b a =++=+++⋅-⋅-=3-2()c b a ⋅-，则当c 与b a -同向时，()c b a ⋅-最大，cb a-+2最小，此时，()c b a ⋅-=2，所以c b a -+2≥3-2故c b a -+1，即c b a-+1，故选A ．考点：平面向量数量积的性质及其运算律．8．已知点(,0)(0)F c c ->是双曲线12222=-by a x 的左焦点，离心率为e ，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222c y x =+交于点P ，且点P 在抛物线24y cx =上，则=2e （ ）ABCD【答案】D【解析】试题分析：如图，设抛物线y 2=4cx 的准线为l ，作PQ ⊥l 于Q ，双曲线的右焦点为F '，由题意可知F F '为圆x 2+y 2=c 2的直径， ∴设P （x ，y ），（x ＞0），则P F '⊥PF ，且tan ∠PFF ′＝b a， ∴满足22224(1)(2)(3)y cx x y c y bx c a⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪=+⎩，将（1）代入（2）得x 2+4cx-c 2=0，则=-2c ，即x=2)c ，或x=(2)c （舍去） 将x=2)cb a ==y＝y 代242)c =2)=)，∴22b a ==22221c a e a -=-，即e 2=1+故选D ． 考点：双曲线的简单性质．9．已知圆C ：22(2)4x y -+=，圆M ：22(25cos )(5sin )1x y θθ--+-=()R θ∈，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则P E P F ⋅的最小值是 （ ）A ．5B ．6C ．10D ．12 【答案】B 【解析】试题分析：（x-2）2+y 2=4的圆心C （2，0），半径等于2，圆M （x-2-5co sθ）2+（y-5sinθ）2=1，圆心M （2+5cosθ，5sinθ），半径等于1． ∵|CM|=5>2+1，故两圆相离．∵PE PF ⋅=cos ,PE PF PE PF ⋅<>，要使 PE PF ⋅ 最小，需PE 和PF 最小，且∠EPF 最大，如图所示，设直线CM 和圆M 交于H 、G 两点，则PE PF ⋅ 最小值是HE HF ⋅.|H C|=|CM|-1=5-1=4，=sin ∠CHE=12CE CH =， ∴cos ∠EHF=cos2∠CHE=1-2sin 2∠CHE=12，∴HE HF ⋅=1cos 2HE HF EHF ⋅∠==6，故选 B ． 考点：1.圆的参数方程；2.平面向量数量积的运算；3.圆与圆的位置关系及其判定．10．如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，∠B ＝45°，底边AB ＝5，高AD ＝3，点E 由B 沿折线BCD 向点D 移动，EM ⊥AB 于M ，EN ⊥AD 于N ，设BM ＝x ，矩形AMEN 的面积为y ，那么y 与x 的函数关系的图像大致是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：根据已知可得：点E 在未到达C 之前，y=x （5-x ）=5x-x 2；且x≤3，当x 从0变化到2.5时，y 逐渐变大，当x=2.5时，y 有最大值，当x 从2.5变化到3时，y 逐渐变小， 到达C 之后，y=3（5-x ）=15-3x ，x ＞3， 根据二次函数和一次函数的性质．故选：A ． 考点：动点问题的函数图象；二次函数的图象．11．231()x x+的展开式中的常数项为a ，则直线y ax =与曲线2y x =围成图形的面积为 ； 【答案】29 【解析】试题分析：231()x x+的展开式的通项公式为 T r+1=323333r r r r r C x x C x --=， 令3r-3=0，r=1，故展开式的常数项为 a=3． 则直线y=ax 即 y=3x ，由23y xy x =⎧⎨=⎩求得直线y=ax 与曲线y=x 2围成交点坐标为（0，0）、（3，9），故直线y=ax 与曲线y=x 2围成图形的面积为 3322033(3)()023x x x dx x -=-⎰=29，故选C ．考点：二项式定理；定积分在求面积中的应用．12．方程23310(2)x a x a a +++=>两根βαt a n t a n 、，且,(,)22ππαβ∈-，则=+βα ；【答案】34π-或4π【解析】试题分析：由已知可得tan tan 3a αβ+=-，tan tan 31a αβ=+，tan tan 3tan()11tan tan 1(31)aa αβαβαβ+-+===--+因为,(,)22ππαβ∈-，所以παβπ-<+<，所以=+βα34π-或4π.考点：两角和差公式以及正切函数的性质.13．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。

江西省新余市2014届高三第二次模拟考试数学理试题本试卷分为试题卷和答题卷两部分，解答写在答题卷相应的位置．．．．．．．．． 全卷共１５０分，考试时间为１２０分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的. 1．复数z 满足(1i)1z -=（其中i 为虚数单位），则z =A ．11i 22- B ．11i 22-+ C ．11i 22+ D ．11i 22--2. 已知集合1|24xP x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，{}22|4,,Q y x y x R y R =+=∈∈，则P Q =A. QB. ∅C. {}1,2-D. ()(){}3,1,0,2-3.已知某产品连续4个月的广告费用(1,2,3,4)i x i =千元与销售额(1,2,3,4)i y i =万元，经过对这些数据的处理，得到如下数据信息：①1234123418,14x x x x y y y y +++=+++=；②广告费用x 和销售额y 之间具有较强的线性相关关系；③回归直线方程ˆy bx a =+中的0.8b =（用最小二乘法求得），那么，当广告费用为6千元时，可预测销售额约为 A. 3.5万元 B. 4.7万元 C. 4.9万元 D. 6.5万元 4.某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 A ．34πB ．π3C ．πD ．π23 5．设实数,x y 满足约束条件202502x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则22x y u x y +=+的取值范围是A ．39,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．47,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．17,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．设函数()(nf x =，其中⎰+=πππ2)sin(3dx x n ，a 为如图所示的程序框图中输出的结果，则)(x f 的展开式中常数项是A ．52-B ．160-C ．160D ．20 7．数列{}n a 的通项公式cos 2n n a n π=，其前n 项和为n S ，则2014S =A ．1006-B ．1007C ．1008-D ．10098．若直线l 同时平分一个三角形的周长和面积，则称直线l 为该三角形的“平分线”，已知△ABC 三边之长分别为3，4，5，则△ABC 的“平分线”的条数为 A ．1 B ．0 C ．3 D ． 2 9．给出以下三个命题：①已知(,4)P m 是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上的一点，1F 、2F 是左、右两个焦点，若12PF F ∆的内切圆的半径为32，则此椭圆的离心率45e =；②过双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的右焦点F C 于,A B 两点，若4AF FB =,则该双曲线的离心率e =65；③已知1(2,0)F -、2(2,0)F ，P 是直线1x =-上一动点，若以1F 、2F 为焦点且过点P 的 双曲线的离心率为e ，则e 的取值范围是[2,)+∞.其中真命题的个数为A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个10．如图,不规则图形ABCD 中：AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把四边形ABCD 分成两部分，设AE=x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．若110tan ,(,)tan 342ππααα+=∈，则sin(2)4πα+的值为 ▲▲▲ .12. 已知向量与AC 的夹角为0120,32==,若+=λ,且⊥,则实数λ的值为▲▲▲.13．给定集合{}1,2,3,,n A n =…，映射:n n f A A →满足以下条件： ①当,n i j A ∈且i j ≠时，()()f i f j ≠；②任取n x A ∈，若()8x f x +=有k 组解，则称映射:n n f A A →含k 组幸运数。

2014 届 高 三 模 拟 测 试 卷 理科综合参考答案及评分标准 25．解析（1）在0～时间内，有 又 联立得， 因为，又因为 可得： （2）在~时间内，有 又知 联立得 由楞次定律知两个过程中产生的电动势方向相反，所以 因为 则有0～T时间内，~T时间内，得 由 即即在时刻速度为零 （2分） 得 （）若粒子一直做匀加速直线运动到达板时，速度最大 所以 26.(12分)(1)2.5H2—0.5H3 kJ/mol (2分) (2)①0.6mol·L-1·min-1 (2分) 1024(或45) (3分) ②CD (2分) (3)8.96% (3分) 27.（15分）（1）Ni2+ + C2O42 + 2H2O=NiC2O4. 2H2O↓（2分） （2）2NiC2O4 Ni2O3+3CO↑+CO2 ↑（2分）（3）淀粉碘化钾（分，其它合理答案）Ni(OH)2（2分）。

(4) ClO-+2Ni(OH)2==Cl-+Ni2O3+2H2O（2分） 5mol（分）28.（16分）（1）Ca2++CO2+2NH3+H2O=CaCO3+2NH4+（2）后者 （3）投入适量水中形成澄清的混合体系后，用光束照射，若观察到丁达尔效应，则为超细碳酸钙。

（4）NaHCO3 （5）Mg(OH)2+NH4ClMg（OH）Cl+NH3↑+H2O AgNO3溶液（6）C瓶中通氨气的导管不插入液面下（7）0<c(Ca2+)<4.5mol/L 29.（8分）（1）LH（黄体生成素）(2分)正反馈(2分) （2）孕激素(2分) 几乎无影响(1分)（3）卵巢(1分) 30.（7分）（1）等距取样法（2分）牡蛎（2分）（2）垂直（1分）水平（1分） 迎潮面（1分） 31（10分）（1）Z（1分） 红头（1分） （2）避免双亲在必定要夭折的雌幼鸟身上浪费太多的抚养精力。

/ 避免双亲因为抚养必定会早亡的雌幼鸟浪费过多物质和能量 / 将双亲更多的精力放在存活率更高的雄幼鸟上（2分） （3）母方（2分） 不是（2分） ZRZr：ZRW：ZrW：ZrZr=1:1:1:1（2分） 32（14分）答案：（1）3℃、50℃（2分）（2）A（2分）（3）24.5（2分）（4）30（2分）（5）30（2分）1040（2分） （6）净光合速率越大，二氧化碳的消耗就越快，留在叶片间隙中（外界环境中）的二氧化碳浓度就越低（2分） 33. （1）ACD (2) ①1→2状态等温变化：P1=Po+=1.2×105Pa P2=P0=0.8105Pa （1分） P1L1=P2L2 解得： L2=15cm ②2→3状态等压变化：T2=T1=(2 73+27)K=300K L2=15cm，L3=25cm=T3=T2=T2=500K （或t=227℃） 34.(1)BCD (2)①如图所示（2分） ②令透明体的厚度为则有 即（1分） 所以放上透明体后出射点与入射点间距离为（1分） 不放透明体时在虚线处这两点距离为（1分） 而,代入数值得（1分） ③光在透明体中传播速度为 传播距离为（1分） 所以光在透明体中的传播时间为（2分） 35.（1）ACD (2)从两小球碰撞后到它们再次相遇，小球A和B的速度大小保持不变，忽略B与墙壁的碰撞时间，设碰撞后小球A和B的速度大小分别为和，则它们通过的路程分别为 又 解得（3分） A、B在碰撞过程中动量守恒、动能守恒 （2分） （2分） 由以上三式得（2分） 36.（15分）(1)冷却结晶（1分） 常温晾干（1分） （2）增大c(SO42-)除Ca2+，且抑制Fe2+水解（2分） CaSO4（1分） （3）①B（1分）②H2O2+2Fe2++2H+===2Fe3++2H2O（2分） ③取氧化后溶液滴加铁氰化钾溶液，观察有无蓝色沉淀生成。

江西省上饶市2014届高三第二次模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．第Ⅰ卷1．答题前，考生务必将自己的学校、座位号、姓名填写在答题卡上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2犅铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束后，监考员将答题卷一并收回．一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每题只有一个正确答案）1．复数1ii+在复平面中所对应的点到原点的距离为A．12B22C．1 D．23．给出两个命题：p：｜x｜＝x的充要条件是x为正实数；q：存在反函数的函数一定是单调函数．则下列复合命题中的真命题是A．p且q B．p或q C．┓p且q D．┓p或q4．设α，β，γ是三个不重合的平面，犾是直线，给出下列四个命题：①若α⊥β，犾⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；③若犾上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．其中正确命题的序号A．②④B．①④C．②③D．①②5．某小卖部销售一品牌饮料的零售价狓（元／瓶）与销量狔（瓶）的关系统计如下：已知x，y的关系符合线性回归方程y＝bx＋a．其中b＝－20．a＝y bx-.当单价为4．2元时，估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为A．20 B．22 C．24 D．266．62()xx-展开式中常数项为A．60 B．－60 C．250 D．－2507．设等差数列｛na｝的前n项和为Sn，且满足S15＞0，S16＜0，则12151215,,,S S Sma a aL中最大的项为9．有红．蓝、黄、绿四种颜色的球各6个，每种颜色的6个球分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为A．80 B．84 C．96 D．10410．菱形ABCD233，∠犃ABC＝60°，沿对角线AC折成如图所示的四面体，二面角B－AC－D为60°，M为AC的中点，P在线段DM上，记DP＝x，PA＋PB＝y，则函数y＝f（x）的图像大致为第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．在数列｛11},1,,2n n n a a a a n n -==+≥中为计算这个数列前10项的和S ，现给出该问题算法的程序框图（如图所示）， 则图中判断框（1）处合适的语句是 ． 12．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸 （单位：C ｍ），可得这个几何体的体积是 ．15．选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分。

江西省新课程2014届高三数学上学期第二次适应性测试试题 理（含解析）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}3,2ln A x =，{},B x y =，若{}0AB =，则2x y +的值是( )A. 1B. 2C. 0D.1e2.已知()sin cos f x x x =-，则12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是( )A. -12 C. -3.已知2a =，3b =，19a b +=，则a b -=( )【答案】D 【解析】试题分析：由19a b +=平方，得22219a b ab ++=，将2a =，3b =代入此式得3ab =，所以()22227a b a ba b ab -=-=+-=.考点：求平面向量的数量积、模. 4.设3,1sin 2a α⎛⎫=+⎪⎝⎭，11cos ,3b α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//a b ，则锐角α为( )A.30︒B.45︒C. 60︒D. 75︒5.在ABC 中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，已知a ，b ，c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为( )A.12【答案】C 【解析】试题分析：因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =. 又22a c ac bc -=-，∴222b c a bc +-=.在ABC 中，由余弦定理得：222co 1222s b c a bc bc b A c +-===，那么60A ︒∠=. 由正弦定理得sin sin b A B a=，又因为2b ac =，60A ︒∠=，所以21sin sin 60sin 60c ac b B b ===︒︒考点：1、等比数列的性质；2、正弦定理和余弦定理的应用.6.实数x 满足22log 4sin 1x θ=-，则182x x -+-的值为( ) A. 8.5 B. 8.5或7.5 C. 7.5 D. 不确定7.已知等差数列{}n a 的公差和首项都不等于0，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则36945a a a a a ++=+( )A. 2B. 3C. 5D. 78.已知公差不为零的等差数列{}n a 与公比为q 的等比数列{}n b 有相同的首项，同时满足1a ，4a ，3b 成等比，1b ，3a ，3b 成等差，则2q =( ) A.14 B. 16 C. 19 D. 189.已知正三角形OAB 中，点O 为原点，点B 的坐标是()3,4-，点A 在第一象限，向量()1,0m =-，记向量m 与向量OA 的夹角为α，则sin α的值为( )A.10.对正整数n ，有抛物线()2221y n x =-，过()2,0P n 任作直线l 交抛物线于n A ，n B 两点，设数列{}n a 中，14a =-，且()n 1,1n nn OA OB a n N n =>∈-其中，则数列{}n a 的前n 项和n T =( ) A ．4n B ．4n - C ．()21n n + D ．()21n n -+ 【答案】D 【解析】试题分析：设直线方程为2x ty n =+，代入抛物线方程得()()22214210y n ty n n ----=，设()()1122,,,n n n n n A x y B x y ，则()2212121212(1)24n n n n n n n n n n OA OB x x y y t y y nt y y n ⋅=+=++++①，由根与系数的关系得()12221n n y y n t +=-，()12421n n y y n n =--，代入①式得()22224(21)14(21)444n n OA OB n n t n n t n n n ⋅=--++-+=-，故41n n OA OB n n ⋅=--（1,n n N >∈），故数列1n n OA OB n ⎧⎫⋅⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和2(1)n n -+.考点：1、直线的方程；2、方程的根与系数的关系；3、平面向量的数量积.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知函数()()f x x a x x R =-∈，且()20f =，则函数()f x 的单调递减区间为_____________.12.将一列有规律的正整数排成一个三角形矩阵(如图)：根据排列规律，数阵中第12行的从左至右的第4个数是_______.【答案】208【解析】试题分析：按数字出现的先后顺序可知，这个三角矩阵的数字是首项为1，公差为3的等差数列，其通项公式为：()13132n a n n =+-=-，前11行共有1112123411662⨯+++++==个数，因此第12行的从左至右的第4个数是全体正数中的第66470+=个，第70个正数是3702208⨯-=.考点：等差数列的前n 项和的应用.13.已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()7sin 25αβ+=-，4sin 45πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值=________________.14.已知cos sin αβ+=sincos αβ+的取值范围是D ，x D ∈，则函数19log y =的最小值为___________.15.已知()()()()()()123,2,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数为()f x '，设()()20n f a f '-=，则数列{}n a 自第2项到第n 项的和S =_____________.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.(本小题满分12分)如图，在底角为60︒的等腰梯形ABCD 中，已知12DC AB =，,M N 分别为CD ，BC 的中点.设AB a =，AD b =.(1)试用a ，b 表示AM ，AN ； (2)若4a =，试求AM AN 的值.17.(本小题12分)已知向量()cos ,sin m x x =和()2sin ,cos n x x =-，(1)设()f x m n =⋅，写出函数()f x 的最小正周期，并指出该函数的图像可由()sin y x x R =∈的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ (2)若[],2x ππ∈，求m n -的范围.（2）(cos sin cos )m n x x x x -=+-，所以m n -===因为[],2x ππ∈，所以37,444x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，则cos 14x π⎡⎛⎫∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦-，，即m n -的范围是.………………12分 考点：1、三角函数的最小正周期；2、三角函数图像的平移变换；3、三角函数在定区间上的值域；4、求平面向量的模；5、三角恒等变换.18.(本小题12分)已知()1f x a b =⋅-，其中向量()sin 2,2cos a x x =，()3,cos b x =，()x R ∈.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .(1)如果三边a ，b ，c 依次成等比数列，试求角B 的取值范围及此时函数()f B 的值域；(2) 在ABC 中，若4A f ⎛⎫=⎪⎝⎭a ，b ，c 依次成等差数列，且1AB CA ⋅=-，求b 的值.（2）由已知得2sin 426A A f π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 226A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ……………8分 所以623A ππ+=或2623A ππ+=，解得3A π=或A π=（舍去）， ………………10分 由1AB CA ⋅=-，得()cos 1bc A π-=-，解得2bc =，由三边a ，b ，c 依次成等差数列得2b a c =+，则222222(2)4448a b c b bc c b c =-=-+=+-，由余弦定理得222222cos 2a b c bc A b c =+-=+-, 解得b =…………12分考点：1、平面向量的数量积的运算；2、余弦定理；3、解三角形；4、等差数列的性质及应用；5、特殊角的三角函数值.19.(本小题满分12分)设()0,x ∈+∞，将函数()()2sin cos f x x x =+在区间()0,+∞内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{}n a ()*n N ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）()()*211424n n a n n N πππ-=+-⋅=∈；（2）()23232n n T n π⎡⎤=-⋅+⎣⎦.所以()23232n n T n π⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………12分 考点：1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前n 项和；5、等比数列的前n 项和.20.(本小题满分13分)已知函数()()()21ln 12f x x ax a x a R =+-+∈. (1)当2a =时，求函数()f x 的极值；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)是否存在实数()1a a <-，使函数()()ln f x a a a =--在[)0,+∞上有唯一的零点，若有，请求出a 的范围；若没有，请说明理由.【答案】（1）()f =0x 极小值，无极大值；（2）见解析；（3）存在，1a =或a e <-.（2）'(1)(),11a x x a f x x a x x ++=+-=++定义域()1,-+∞， ………5分 ①当11a --≤-，即0a ≥时，由'(1)()1x x a f x x ++=+0>，得()f x 的增区间为()0,+∞；由'(1)()01x x a f x x ++=<+，得()f x 的减区间为()1,0-； ………6分 ②当110a -<--≤，即10a -≤<时，由'(1)()1x x a f x x ++=+0>，得()f x 的增区间为()1,1a ---和()0,+∞；由'(1)()01x x a f x x ++=<+，得()f x 的减区间为()1,0a --； ……7分③当10a -->，即1a <-时，由'(1)()1x x a f x x ++=+0>，得()f x 的增区间为()1,0-和()1,a --+∞；由'(1)()01x x a f x x ++=<+，得()f x 的减区间为()0,1a --； ……8分 综上，0a ≥时，()f x 的增区间为()0,+∞，减区间为()1,0-；10a -≤<时，()f x 的增区间为()1,1a ---和()0,+∞，减区间为()1,0a --；1a <-时，()f x 的增区间为()1,0-和()1,a --+∞，减区间为()0,1a --； ………9分(3)当1a <-时，由（2）知()f x 在[)0,+∞的极小值为21(1)ln()22a f a a a --=-+--，而极大值为(0)0f =；由题意，函数()y f x =的图象与ln()y a a a =--在[)0,+∞上有唯一的公共点， 所以，21(1)ln()ln()22a f a a a a a a --=-+--=--或()ln()f 0y a a a =-->，结合1a <-，解得1a =-或a e <-. ……13分考点：1、对数函数的定义域；2、含参数的分类讨论思想；3、函数的单调性与导数的关系；4、解不等式；5、求函数的极值.21.(本小题满分14分)已知数列{}n a 满足112a =，()1121n n na a ++=-()*n N ∈. (1)求证：数列()11n n a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭()*n N ∈是等比数列； (2)设21n nb a =()*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ； (3)设12n n n nc a a +=-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：13n T <(其中*n N ∈). 【答案】（1）见解析；（2）34623n n n ⋅-⋅++；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）首先由1a 求出2a ，然后2n ≥时，构造函数1111(1)2[-(1)]n n n n a a ----=--，即可证明在2n ≥条件下数列()11n n a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭()*n N ∈是等比数列，将1n =时的值代入也符合，即证；（2）先由（1）得到n a ，然后写出{}n b 的通项公式，根据等比数列前n 项和公式求出n S ；（3）求出数列{}n c 的通项公式，再由累加法求其前n 项和为n T ，再判断n T 与13的关系. 试题解析：（1）证明：由112a =，()1121n n n a a ++=-得215a =-， 当2n ≥时，1112(1)n n n a a --+=-，即1111(1)2[-(1)]n n n n a a ----=--， 所以1(1)n n a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭是首项为221(1)-6a --=，公比为2-的等比数列，1n =时，也符合，所以数列()11n n a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭()*n N ∈是等比数列； ……….5分考点：1、函数的构造；2、等比数列的性质；3、等比数列的前n 项和；4、累加法求数列的前n 项和.。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}3,2ln A x =，{},B x y =，若{}0AB =，则2x y +的值是( )A. 1B. 2C. 0D.1e2.已知()sin cos f x x x =-，则12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是( )A. 2-B. 12C. 2-D. 23.已知2a =，3b =，19a b +=，则a b -=( )【答案】D【解析】试题分析：由19a b +=平方，得22219a b ab ++=，将2a =，3b =代入此式得3ab =，所以()22227a b a ba b ab -=-=+-=.考点：求平面向量的数量积、模. 4.设3,1sin 2a α⎛⎫=+⎪⎝⎭，11cos ,3b α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//a b ，则锐角α为( )A.30︒B.45︒C. 60︒D. 75︒5.在ABC 中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，已知a ，b ，c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为( )A.12【答案】C 【解析】试题分析：因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =. 又22a c ac bc -=-，∴222b c a bc +-=.在ABC 中，由余弦定理得：222co 1222s b c a bc bc b A c +-===，那么60A ︒∠=.由正弦定理得sin sin b A B a=，又因为2b ac =，60A ︒∠=，所以21sin sin 603sin 60c ac b B b ===︒︒.考点：1、等比数列的性质；2、正弦定理和余弦定理的应用.6.实数x 满足22log 4sin 1x θ=-，则182x x -+-的值为( ) A. 8.5 B. 8.5或7.5 C. 7.5 D. 不确定7.已知等差数列{}n a 的公差和首项都不等于0，且2a ，4a ，8a 成等比数列，则36945a a a a a ++=+( )A. 2B. 3C. 5D. 78.已知公差不为零的等差数列{}n a 与公比为q 的等比数列{}n b 有相同的首项，同时满足1a ，4a ，3b 成等比，1b ，3a ，3b 成等差，则2q =( ) A.14 B. 16 C. 19 D. 189.已知正三角形OAB 中，点O 为原点，点B 的坐标是()3,4-，点A 在第一象限，向量()1,0m =-，记向量m 与向量OA 的夹角为α，则sin α的值为( )A. B. C. D.10.对正整数n ，有抛物线()2221y n x =-，过()2,0P n 任作直线l 交抛物线于n A ，n B 两点，设数列{}n a 中，14a =-，且()n 1,1n nn OA OB a n N n =>∈-其中，则数列{}n a 的前n 项和n T =( )A ．4nB ．4n -C ．()21n n +D ．()21n n -+ 【答案】D 【解析】试题分析：设直线方程为2x ty n =+，代入抛物线方程得()()22214210y n ty n n ----=，设()()1122,,,n n n n n A x y B x y ，则()2212121212(1)24n n n n n n n n n n OA OB x x y y t y y nt y y n ⋅=+=++++①，由根与系数的关系得()12221n n y y n t +=-，()12421n n y y n n =--，代入①式得()22224(21)14(21)444n n OA OB n n t n n t n n n ⋅=--++-+=-， 故41n n OA OB n n ⋅=--（1,n n N >∈），故数列1n n OA OB n ⎧⎫⋅⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前n 项和2(1)n n -+.考点：1、直线的方程；2、方程的根与系数的关系；3、平面向量的数量积.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知函数()()f x x a x x R =-∈，且()20f =，则函数()f x 的单调递减区间为_____________.12.将一列有规律的正整数排成一个三角形矩阵(如图)：根据排列规律，数阵中第12行的从左至右的第4个数是_______.【答案】208【解析】试题分析：按数字出现的先后顺序可知，这个三角矩阵的数字是首项为1，公差为3的等差数列，其通项公式为：()13132n a n n =+-=-，前11行共有1112123411662⨯+++++==个数，因此第12行的从左至右的第4个数是全体正数中的第66470+=个，第70个正数是3702208⨯-=.考点：等差数列的前n 项和的应用.13.已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()7sin 25αβ+=-，4sin 45πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值=________________.14.已知cos sin αβ+=sin cos αβ+的取值范围是D ，x D ∈，则函数19log y =的最小值为___________.15.已知()()()()()()123,2,f x x x x x n n n N =++++≥∈，其导函数为()f x '，设()()20n f a f '-=，则数列{}n a 自第2项到第n 项的和S =_____________.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.(本小题满分12分)如图，在底角为60︒的等腰梯形ABCD 中，已知12DC AB =，,M N 分别为CD ，BC 的中点.设AB a =，AD b =.(1)试用a ，b 表示AM ，AN ； (2)若4a =，试求AM AN 的值.17.(本小题12分)已知向量()cos ,sin m x x =和()2sin ,cos n x x =-，(1)设()f x m n =⋅，写出函数()f x 的最小正周期，并指出该函数的图像可由()sin y x x R =∈的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ (2)若[],2x ππ∈，求m n -的范围.（2）(cos sin cos )m n x x x x -=+--，所以m n -===，因为[],2x ππ∈，所以37,444x πππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，则cos 14x π⎡⎛⎫∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦-，，即m n -的范围是.………………12分 考点：1、三角函数的最小正周期；2、三角函数图像的平移变换；3、三角函数在定区间上的值域；4、求平面向量的模；5、三角恒等变换.18.(本小题12分)已知()1f x a b =⋅-，其中向量()sin 2,2cos a x x =，()3,cos b x =，()x R ∈.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .(1)如果三边a ，b ，c 依次成等比数列，试求角B 的取值范围及此时函数()f B 的值域；(2) 在ABC 中，若4A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，边a ，b ，c 依次成等差数列，且1AB CA ⋅=-，求b 的值.（2）由已知得2sin 426A A f π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 226A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ……………8分 所以623A ππ+=或2623A ππ+=，解得3A π=或A π=（舍去）， ………………10分 由1AB CA ⋅=-，得()cos 1bc A π-=-，解得2bc =，由三边a ，b ，c 依次成等差数列得2b a c =+，则222222(2)4448a b c b bc c b c =-=-+=+-，由余弦定理得222222cos 2a b c bc A b c =+-=+-, 解得b =…………12分考点：1、平面向量的数量积的运算；2、余弦定理；3、解三角形；4、等差数列的性质及应用；5、特殊角的三角函数值.19.(本小题满分12分)设()0,x ∈+∞，将函数()()2sin cos f x x x =+在区间()0,+∞内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{}n a ()*n N ∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2n n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）()()*211424n n a n n N πππ-=+-⋅=∈；（2）()23232n n T n π⎡⎤=-⋅+⎣⎦.所以()23232n n T n π⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………12分 考点：1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前n 项和；5、等比数列的前n 项和.20.(本小题满分13分)已知函数()()()21ln 12f x x ax a x a R =+-+∈. (1)当2a =时，求函数()f x 的极值；(2)求函数()f x 的单调区间；(3)是否存在实数()1a a <-，使函数()()ln f x a a a =--在[)0,+∞上有唯一的零点，若有，请求出a 的范围；若没有，请说明理由.【答案】（1）()f =0x 极小值，无极大值；（2）见解析；（3）存在，1a =或a e <-.（2）'(1)(),11a x x a f x x a x x ++=+-=++定义域()1,-+∞， ………5分 ①当11a --≤-，即0a ≥时，由'(1)()1x x a f x x ++=+0>，得()f x 的增区间为()0,+∞；由'(1)()01x x a f x x ++=<+，得()f x 的减区间为()1,0-； ………6分 ②当110a -<--≤，即10a -≤<时，由'(1)()1x x a f x x ++=+0>，得()f x 的增区间为()1,1a ---和()0,+∞；由'(1)()01x x a f x x ++=<+，得()f x 的减区间为()1,0a --； ……7分 ③当10a -->，即1a <-时，由'(1)()1x x a f x x ++=+0>，得()f x 的增区间为()1,0-和()1,a --+∞；由'(1)()01x x a f x x ++=<+，得()f x 的减区间为()0,1a --； ……8分 综上，0a ≥时，()f x 的增区间为()0,+∞，减区间为()1,0-；10a -≤<时，()f x 的增区间为()1,1a ---和()0,+∞，减区间为()1,0a --；1a <-时，()f x 的增区间为()1,0-和()1,a --+∞，减区间为()0,1a --； ………9分(3)当1a <-时，由（2）知()f x 在[)0,+∞的极小值为21(1)ln()22a f a a a --=-+--，而极大值为(0)0f =；由题意，函数()y f x =的图象与ln()y a a a =--在[)0,+∞上有唯一的公共点， 所以，21(1)ln()ln()22a f a a a a a a --=-+--=--或()ln()f 0y a a a =-->，结合1a <-，解得1a =-或a e <-. ……13分考点：1、对数函数的定义域；2、含参数的分类讨论思想；3、函数的单调性与导数的关系；4、解不等式；5、求函数的极值.21.(本小题满分14分)已知数列{}n a 满足112a =，()1121n n na a ++=-()*n N ∈. (1)求证：数列()11n n a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭()*n N ∈是等比数列；(2)设21n n b a =()*n N ∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ； (3)设12n n n n c a a +=-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：13n T <(其中*n N ∈). 【答案】（1）见解析；（2）34623n n n ⋅-⋅++；（3）见解析.【解析】试题分析：（1）首先由1a 求出2a ，然后2n ≥时，构造函数1111(1)2[-(1)]n n n n a a ----=--，即可证明在2n ≥条件下数列()11n n a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭()*n N ∈是等比数列，将1n =时的值代入也符合，即证；（2）先由（1）得到n a ，然后写出{}n b 的通项公式，根据等比数列前n 项和公式求出n S ；（3）求出数列{}n c 的通项公式，再由累加法求其前n 项和为n T ，再判断n T 与13的关系. 试题解析：（1）证明：由112a =，()1121n n n a a ++=-得215a =-， 当2n ≥时，1112(1)n n n a a --+=-，即1111(1)2[-(1)]n n n n a a ----=--， 所以1(1)n n a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭是首项为221(1)-6a --=，公比为2-的等比数列，1n =时，也符合，所以数列()11n n a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭()*n N ∈是等比数列； ……….5分考点：1、函数的构造；2、等比数列的性质；3、等比数列的前n 项和；4、累加法求数列的前n 项和.。

第Ⅰ卷（共50分)一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。

设集合{}3,2ln A x =，{},B x y =，若{}0A B =，则2x y +的值是( ）A. 1B. 2 C 。

0D 。

1e2.已知()sin cos f x x x =-,则12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值是（ )A. 62-B 。

12C.22-D.223.已知2a =,3b =，19a b +=，则a b -=( )A 。

13B 。

15C 。

17D 。

7【答案】D 【解析】试题分析：由19a b +=平方，得22219a b ab ++=，将2a =,3b =代入此式得3ab =,所以()22227a b a ba b ab -=-=+-=.考点：求平面向量的数量积、模.4.设3,1sin 2a α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,11cos ,3b α⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且//a b ，则锐角α为（ ）A.30︒B 。

45︒C 。

60︒D.75︒5.在ABC 中，a ，b ，c 分别是A ∠,B ∠，C∠的对边，已知a ，b ,c 成等比数列，且22a c ac bc -=-,则sin cb B的值为( )A 。

12B.32C 。

233D 。

3【答案】C 【解析】试题分析：因为a ,b ，c 成等比数列，所以2b ac =。

又22a c ac bc -=-，∴222b c a bc +-=.在ABC 中，由余弦定理得：222co 1222s b c a bc bc b A c +-===，那么60A ︒∠=.由正弦定理得sin sin b A B a=，又因为2bac =，60A ︒∠=，所以2123sin sin 603sin 60c ac b B b ===︒︒. 考点：1、等比数列的性质；2、正弦定理和余弦定理的应用。

6。

实数x 满足22log 4sin 1x θ=-，则182x x -+-的值为( )A 。

2014年江西省吉安市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把正确答案的字母填在答题卡中） 1. 若11−i =a +bi ，(a, b ∈R)，则a b 为（ ） A 1 B √2 C √22 D 22. 若A ={x|x 2−2x −3<0}，B ={x|1x ≥1}，则A ∩(∁R B)( )A (−1, 0)B (0, 3)C (−1, 0)∪[1, 3)D (−1, 0]∪(1, 3)3. 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）A f(x)=x ⋅tanxB f(x)=x 2+1C f(x)=x 2+1x 3D f(x)=x 3⋅cosx4. 已知点A 、O 、B 为平面内不共线的三点，若A i (i =1, 2, 3,…,n)是该平面内的任一点，且有OA i →⋅OB →=OA →⋅OB →，则点A i (i =1, 2, 3,…,n)在（ ）A 过A 点的抛物线上B 过A 点的直线上C 过A 点的圆心的圆上D 过A 点的椭圆上 5. 以椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴A 1A 2为一边向外作一等边三角形A 1A 2P ，若随圆的一个短轴的端点B 恰为三角形A 1A 2P 的重心，则椭圆的离心率为（ ） A √23 B √33 C √53 D √636. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中俯视图是边长为6的正三角形，若这个空间几何体存在唯一的一个内切球（与该几何体各个面都相切），则这个几何体的全面积是（ ）A 18√3B 36√3C 45√3D 54√37. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N ∗)，且a n =2n +λ，若数列{S n }在{n|n ≥5, n ∈N +}内为递增数列，则实数λ的取值范围为（ ）A (−3, +∞)B (−10, +∞)C [−11, +∞)D (−12, +∞)8. 对于任意实数a ，b ，c ，定义Г(a, b, c)满足Г(a, b, c)=Г(b, c, a)=Г(c, a, b)关系式，则称Г(a, b, c)具有轮换对称关系，给出如下四个式子： ①Г(a, b, c)=a +b +c ； ②Г(a, b, c)=a 2−b 2+c 2； ③Г(x, y, z)=xy +yz +zx ；④Г(A, B, C)=2sinAsinBsinC +cos(π2−A)sin(π−B)sinC （A 、B 、C 是△ABC 的内角） 其中具有轮换对称关系的个数是（ ）A 1B 2C 3D 4 9. 已知函数f(x)=a x2−2bx+1(a >0, a ≠1)在区间(−∞, 2]单调递减，且2a +b ≤5，则b+1a+2的取值范围为（ ）A (67, 1) B [67, 43) C [67, 1] D (67, 43]10. 如图，已知线段AB =√2，当点A 在以原点O 为圆心的单位圆上运动时，点B 在x 轴上滑动，设∠AOB =θ，记S(θ)为三角形AOB 的面积，则S(θ)在[−π2, 0)∪(0, π2]上的大致图象是（ ）A B C D二、选做题（本题5分，在给出的二个题中，任选一题作答，若两题都做，则按所做的第（1）小题给分）【坐标系与参数方程选做题】 11. 已知曲线C 1的参数方程为{x =√33t y =t −√3（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2−2ρcosθ−2ρsinθ+1=0，设曲线C 1，C 2相交于两点A ，B ，则过AB 中点且与直线AB 垂直的直线的直角标方程为（ ） A y =−√33x +1+√33B y =√33x +1+√33C y =−√33x +1 D y =√33x +1【不等式选做题】12. 已知f(x)=|x −1|+|x +m|(m ∈R)，g(x)=2x −1，若m >−1，x ∈[−m, 1]，不等式f(x)<g(x)恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A (−1, −23] B (−1, −23) C (−∞, −23] D (−1, +∞)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡对应题号后的横线上）13. 在一组样本数据(x 1, y 1)，(x 2, y 2)，…，(x n , y n )（n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等）的散点图中，若所有本点(x i , y i )(i =1, 2, 3,…,n)都在直线2x +y −1=0上，则这组样本数据的样本相关系数r 为________．14. 函数y=Asin(ωx+φ)，(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[0, 4π3]上的图象如图所示，则ω=________．15. 如图，已知点A(0, 1)，点P(x0, y0)(x0>0)在曲线y=x2上移动，过P点作PB⊥x轴于B，若曲线y=x2在第一象限内把梯形AOBP的面积平分，则P点的坐标为________．16. 下列命题中(1)若(m+x)5的展开式中x3项的系数为160，那么m的值为4；(2)过曲线y=12x3上的点(1, 12)作曲线的切线，则该切线与圆O2:x2+y2=1相交弦长为6√1313；(3)已知随机变量X服从正态分布N(2, 32)，且P(−1<X<5)=0.6826，则P(X≥5)= 0.1587；(4)对于函数f(x)，定义：若对于任意的实数a，b，c有f(a)，f(b)，f(c)都是某一三角形的三边长，则称f(x)为“可构造三角形函数”，据此定义可知函数f(x)=2，(x∈R)是“可构造三角形函数”．其中正确的命题有________（请把所有正确的命题的序号都填在横线上）．三、解答题（本大题共6个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）17. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知asinB=3csinA，c=2，且c，a−1，b+2依次成等比数列．（1）求a的大小；（2）求cos(2A+π3)的值．18. 已知{a n}是公差为d的等差数列，其前n项和为S n，{b n}是公比为q的等比数列，且a1= b1=3，a3=b2−2，S4=b3−3．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．19. 如图，A(1, 0)，B(√22, √22)，C(0, 1)，D(−√22, √22)，E(−1, 0)，F(−√22, −√22)，G(0, −1)，H(√22, −√22)这8个点中随机取两点与原点O(0, 0)构成一个“平面几何体”，记该“平面几何体”的面积为随机变量S（当选取的两点与原点O在同一直线上时，此“平面几何体”的面积S =0）． （1）求S =0的概率；（2）求S 的分布列与数学期望ES ．20. 如图所示的四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是边长为a(a >0)的菱形，∠ABC =60∘，点P 在底面的射影O 在DA 的延长线上，且OC 过边AB 的中点E ． （1）证明：BD ⊥平面POB ；（2）若PO =a2，求平面PAC 与平面PCO 夹角的余弦值．21. 设点A(3, √52)，B(4, √3)，C(−3, −√52)，D(5, 0)，其中三点在双曲线x 2a2−y 2b 2=1，(a >0, b >0)上，另一点在直线l 上．（1）求双曲线方程；（2）设直线l 的斜率存在且为k ，它与双曲线的同一支分别交于两点E 、F ，M 、N 分别为双曲线的左、右顶点，求满足条件EN →⋅FM →+EM →⋅FN →=32的k 值．22. 设函数f(x)=lnx +e x ，g(x)=e x +12x 2−ax(a ∈R)（e =2.71828…是自然对数的底数）（1）若F(x)=f(x)−g(x)，求F(x)的单调区间；（2）定义：若函数φ(x)在定义域为[m, n](m <n)上的值域为[m, n]，则称区间[m, n]为函数φ(x)的“同域区间”，当a =32时，函数F(x)在区间(0, 2)内是否存在“同域区间”？请说明理由；（3）当a >1时，对于区间(2, 3)内任意两个不相等的实数x 1，x 2都有|f(x 1)−f(x 2)|>|g(x 1)−g(x 2)|成立，求a 的取值范围．2014年江西省吉安市高考数学二模试卷（理科）答案1. C2. D3. A4. B5. D6. D7. D8. C9. B 10. C 11. A12. B 13. −1 14. 9415. (√3, 3) 16. (2)(3)(4) 17. 解：（1）∵ asinB =3csinA ， ∴ ab =3ca ， ∴ b =3c ， ∵ c =2， ∴ b =6，∵ c ，a −1，b +2依次成等比数列， ∴ (a −1)2=2⋅(6+2)， ∴ a =5；（2）由余弦定理可得cosA =b 2+c 2−a 22bc=58，∴ sinA =√398， ∴ cos2A =cos 2A −sin 2A =−732，sin2A =5√3932， ∴ cos(2A +π3)=cos2Acos π3−sin2Asin π3=−7+15√1364． 18. 解：（1）由a 1=b 1=3，知a 3=3+2d ，b 2=3q ， S 4=(3+3+3d)×42=12+6d ，b 3=3q 2，从而可得{3+2d =3q −212+6d =3q 2−3，即{2d =3q −56d =3q 2−15，解得q =3，d =2，从而有a n =3+(n −1)×2=2n +1，b n =3×3n−1=3n ． （2）由（1）可知c n =a n b n =(2n +1)×3n ，∴ T n =c 1+c 2+...+c n =3×3+5×32+7×33+...+(2n +1)×3n ， 则3T n =3×32+5×33+7×34+...+(2n −1)×3n +(2n +1)×3n+1， 两式相减得−2T n =3×3+2×32+2×33+...+2×3n −(2n +1)×3n+1 =3×3+2×32(1+3+32+33+...+3n−2)−(2n +1)×3n+1 =9+18×3n−1−12−(2n +1)×3n+1，∴ T n =n ×3n+1．19. 解：（1）从8个点中随机选取2个点共有C 82=28种取法，选取的2个点与原点在一个平面内的取法有4种，∴ S =0的概率P(S =0)=428=17；（2）S 的所有可能取值为0，√24，12，其中S =0有4种情况；S =√24有16种情况；S =12有8种情况；S 的分布列ES =0×17+√24×47+12×27=√2+17． 20. （1）证明：连AC ，∵ 底面ABCD 是边长为a(a >0)的菱形，∠ABC =60∘，∴ AC =a ，∴ △ABC 是等边三角形，又∵ E 是AB 的中点，∴ OC ⊥AB ，又AB // CD ，∴ OC ⊥CD ，AE // CD ，AE =12CD ，又由题意知∠ADC =60∘，∴ A ，E 分别为边OD 与OC 的中点， 连OB ，在菱形ABCD 中有AC ⊥BD ，∴ OB ⊥BD ， 又PO ⊥底面ABCD ，∴ PO ⊥BD ，PO ∩BO =O ， ∴ BD ⊥平面POB ．（2）解：过点O 作OC 的垂线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系O −xyz ， 则O(0, 0, 0)，P(0, 0, a2)，A(−a 2, √32a, −a 2)，B(a 2,√32a,0)，C(0, √3a, 0)， 由（1）知AB ⊥OC ，PO ⊥底面ABCD ，∴ PO ⊥AB ，∴ AB ⊥平面POC ， ∴ AB →=(a, 0, 0)是平面POC 的法向量， 设平面PAC 的法向量n →=(x,y,z)，则{n →⋅AC →=x +√3y =0˙，取x =−3，得n →=(−3,√3,6)， 设平面PAC 与平面PCO 的夹角为α， 则cosα=|cos <AB →，n →>|=|−3a 4√3a|=√34， ∴ 平面PAC 与平面PCO 夹角的余弦值为√34．21. 解：（1）由题意，A ，B ，C 在双曲线上，代入双曲线方程，可得{9a 2−54b 2=116a 2−3b 2=1，∴ a =2，b =1，∴ 双曲线方程为x 24−y 2=1；（2）由题意，M(−2, 0)、N(2, 0)，且直线l 与双曲线的右支分别交于两点E 、F ，设E(x 1, y 1)，F(x 2, y 2)，且y 1<0，y 2>0．直线y =k(x −5)代入双曲线方程可得(1−4k 2)x 2+40k 2x −100k 2−4=0，则k 2>14 x 1+x 2=−40k 21−4k 2，x 1x 2=−100k 2+41−4k 2，y 1y 2=k 2(x 1−5)(x 2−5)，EN →⋅FM →+EM →⋅FN →=−(2−x 1)(2+x 2)+y 1y 2−(2+x 1)(2−x 2)+y 1y 2=−8+2x 1x 2+2y 1y 2=−8−158k 2+81−4k 2，令−8−158k 2+81−4k 2=32，可得k =±2√6，满足题意．22. 解：（1）由F(x)=f(x)−g(x)得F(x)=lnx −12x 2+ax ， ∴ F′(x)=1−x 2+axx，由题意可得F(x)的定义域为(0, +∞)，令F′(x)=0⇒x 1=a−√a 2+42，x 2=a+√a 2+42，可得x 1<0，x 2>0，令F′(x)>0⇒0<x <a+√a 2+42，即函数F(x)的单调递增区间为(0, a+√a 2+42)，令F′(x)<0⇒x >a+√a 2+42，即函数F(x)的单调递减区间为(a+√a 2+42, +∞)；（2）当a =32时，F(x)=lnx −12x 2+32x ，设其定义域为[m, n](m <n)，假设存在“同域区间”，且对应的值域为[m, n]，由（1）可知F(x)在(0, 2)上单调递增，即有{F(m)=m F(n)=n ⇒{lnm −12m 2+32m =m lnn −12n 2+32n =n， 及方程lnx −12x 2+32x =x 在(0, 2)上存在两个相异的实根， 即方程2lnx −x 2+x =0在(0, 2)上存在两个相异的实根，令T(x)=2lnx −x 2+x ，则T′(x)=2x−2x +1，令φ(x)=T′(x)=2x−2x +1，则φ′(x)=−2x 2−2，即φ′(x)<0恒成立，∴ 函数φ(x)在(0, 2)上单调递减，且φ(e −1)=2e +1−2e >0，φ(2)=−2<0， 即在区间(1e , 2)上必存在唯一的点x 0∈(1e , 2)，使得φ(x 0)=0， 当x ∈(1e , x 0)时，φ′(x)>0即T(x)在(1e , 2)上单调递增； 当x ∈(x 0, 2)时，φ′(x)<00即T(x)在(x 0, 2)上单调递减；又T(1e )=e(−2e+1)−1e 2<0，φ(1)=1>0，∴ x 0>1，即T(x)在(1, x 0)单调递增，T(x 0)>T(1)=0，T(2)=2ln2−4+2=2ln2−2=2(ln2−1)<0， ∴ 函数T(x)=2lnx −x 2+x 在区间(1e , 2)有两个不相等的解，即方程2lnx −x 2+x =0在(0, 2)上存在两个相异的实根， 故函数F(x)在(0, 2)上存在“同域区间”；（3）不妨设2<x 1<x 2<3，由题意得f(x)=lnx +e x 在区间(2, 3)单调递增， 则有|f(x 1)−f(x 2)|=f(x 2)−f(x 1)，∴ |f(x 1)−f(x 2)|>|g(x 1)−g(x 2)|⇔f(x 2)−f(x 1)>|g(x 1)−g(x 2)| ⇔f(x 1)−f(x 2)<g(x 1)−g(x 2)<f(x 2)−f(x 1)，即f(x 1)−g(x 1)<f(x 2)−g(x 2)且f(x 1)+g(x 1)<f(x 2)+g(x 2)恒成立， 故f(x)−g(x)在区间(2, 3)单调递增，f(x)+g(x)在区间(2, 3)单调递增， 即[f(x)−g(x)]′≥0且[f(x)+g(x)]′≥0， ∴ 命题转化为在条件x ∈(2, 3)下有{1x−x +a ≥01x+2e x +x −a ≥0恒成立，即{a ≥x −1xa ≤x +1x +2e x ⇒83≤a ≤52+2e 2．。

2014 届 高 三 模 拟 测 试 卷数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.11． (1) D ； 11． (2) C三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12．32-13．24 14． 10 15．①②④ 四、解答题：本大题共6个题，共75分．16．解：（1）因为445566,,a S a S a S +++成等差数列，所以55446655a S a S a S a S +--=+--，………………………………………………2分 即654230a a a -+=，所以22310q q -+=，因为1q ≠，所以12q =，……………4分 所以等比数列{}n a 的通项公式为12n n a =；………………………………………………6分 （2）1333()242n nn n n a a b ++=⋅=，………………………………………………………9分 133()39322[()1]344212n n n T +-==--． ………………………………………………………12分17．解：甲生产一件产品A 为一等品、二等品、三等品的概率分别为361,,101010，…3分 乙生产一件产品A 为一等品、二等品、三等品的概率分别为172,,101010……………6分（1）新工人乙生产三件产品A ，给工厂带来盈利大于或等于100元的情形有：三件都是一等品；二件是一等品、一件是二等品或一件是一等品、二件是二等品，概率为：32211717169()3()3()10101010101000P =+⋅⋅+⋅⋅=………………………………………8分 （2））随机变量X 的所有可能取值为100,80,60,40,20，-20．313(100)1010100P X ==⨯=，371627(80)10101010100P X ==⨯+⨯=， 6742(60)1010100P X ==⨯=，32117(40)10101010100P X ==⨯+⨯=， 621719(20)10101010100P X ==⨯+⨯=，122(20)1010100P X =-=⨯=所以，随机变量X 的概率分布为:…10分随机变量X 的数学期望 56100EX ==（元）…12分18．解（1）连接AC ，设AC EF H ⋂=，由ABCD 是正方形，4AE AF ==，得H 是EF 的中点，且,EF AH EF CH ⊥⊥，从而有',A HEF CH EF ⊥⊥，所以EF ⊥平面'A HC ，从而平面'A HC ⊥平面ABCD ，……………2分 过点'A 作'A O 垂直HC 且与HC 相交于点O ， 则'A O ⊥平面ABCD ………………………………4分 因为正方形ABCD 的边长为6，4AE AF ==，得到：'A H CH ==所以1cos '2A HC ∠==，所以'cos ''HO A H A HCA O =⋅∠==所以五棱锥'A BCDFE -的体积211(644)32v =⨯-⨯⨯=； (6)分 （2）由（1）知道'A O ⊥平面ABCD ，且CO =，即点O 是,AC BD 的交点，如图以点O 为原点，,,'OA OB OA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则((0,A B C D --E F -………………………7分设平面'A EF 的法向量为(,,)x y z =m ，则0(,,)(0,00FE x y z y ⋅=⇒⋅=⇒=m ，'0(,,)0A E x y z x ⋅=⇒⋅=⇒=m 令1z =，则=m ，………………………9分设平面'A BC 的法向量(',',')x y z =n ，则0(',',')0''CB x y z y x ⋅=⇒⋅=⇒=-m ，'0(',',')0A B x y z ⋅=⇒⋅=n ''z ⇒=，令'1y =，则'1,'x z =-=(=-n ， ………………………………11分 所以cos ,0<>=m n ，即平面'A EF 与平面'A BC 夹角2π.………………………12分 19．解：（1）由(0)AN AC λλ=>得点N 在射线AC 上，1203090BAM ∠=︒-︒=︒， 因为ABC △的面积等于△ABM 与△ACM 面积的和， 所以111sin 30sin120222AB AM AC AM AB AC ⋅⋅+⋅⋅⋅︒=⋅⋅⋅︒，得：AM =3分又30,3MAN AM AN ∠=︒⋅=，所以cos303AM AN ⋅⋅︒=，即4AN =，ABCD EF A 'OH2116214cos12021BN =+-⨯⨯⨯︒=，即BN =；………………………………6分 （2）设BAM x ∠=，则120CAM x ∠=︒-，因为ABC △的面积等于△ABM 与△ACM面积的和，所以111sin sin(120)sin120222AB AM x AC AM x AB AC ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅︒-=⋅⋅⋅︒，得：2(sin 3cosAM x x =+7分又30,3MAN AM AN ∠=︒⋅=,所以cos303AM AN ⋅⋅︒=,即4sin ANx x =+，所以△ABN 的面积1(4sin )sin(30)2S x x x =⋅+⋅+︒225sin cos 2x x x x =+即5sin 22)4S x x x φ=+=-+………………………10分 （其中：sin φφφ==为锐角）， 所以当290xφ-=︒时，△ABN12分 20．解：（1，所以2,a b c ==，所以椭圆方程可化为：222214x y b b+=，直线l 的方程为y x =+， (2)分由方程组222214x y b by x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得：2224()4x x b ++=,即22580x b ++=,…4分 设1122(,),(,)C x y D x y ，则12x x +=，………………………………………5分 又1122112212(,)(,)(,)(,)2()AC AD BCBD x a y x ay x a y x a y a x x ⋅-⋅=+⋅+--⋅-=+，所以4()b ⋅=1b =，椭圆方程是2214x y +=；………………7分 （2）由椭圆的对称性，可以设12(,),(,)P m n P m n -，点E 在x 轴上，设点(,0)R t ，则圆E 的方程为2222:()()x t y m t n -+=-+，由内切圆定义知道，椭圆上的点到点E 距离的最小值是1||PE ， 设点(,)M x y 是椭圆C 上任意一点，则222223||()214ME x t y x tx t =-+=-++,…9分当x m =时，2||ME 最小，所以24332t tm -=-=①……………………………………10分 又圆E 过点F ，所以222()()t m t n -=-+②……………………………………11分点1P 在椭圆上，所以2214m n =-③ ……………………………………………………12分由①②③解得：t =t =，又t =时，2m =<-，不合，综上：椭圆C 存在符合条件的内切圆，点E 的坐标是(．……………………13分 21．解：（1）0b =时，()sin f x x ax =-，则'()cos f x x a =-，…………………1分 当1a ≥时，'()0f x <，所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递减；…………………2分 当1a ≤-时，'()0f x >，所以函数()f x 在区间(0,)π上单调递增；………………3分 当11a -<<时，存在(0,)φπ∈，使得cos a φ=，即()0f φ=，…………………4分 (0,)x φ∈时，'()0f x >，函数()f x 在区间(0,)φ上单调递增，……………………5分 (,)x φπ∈时，'()0f x <，函数()f x 在区间(,)φπ上单调递减. ……………………6分（2）2a b =时，()sin (2cos )2af x x x x =-+，()0f x ≤恒成立，等价于sin 2cos 2x ax x ≤+，……………………………………………7分 记sin ()2cos 2x ag x xx =-+，则222c o s 1111'()3()(2c o s )22c o s 323x a a g x x x +=-=---+++，………8分 当123a ≥，即23a ≥时，'()0g x ≤，()g x 在区间[0,)+∞上单调递减， 所以当0x ≥时，()(0)0g x g ≤=，即()0f x ≤恒成立；………………………10分当1023a <<，即203a <<时，记sin ()32x a h x x =-，则cos '()32x a h x =-，存在0(0,)2πθ∈，使得03cos 2a θ=,此时0(0,)x θ∈时，'()0h x >，()h x 单调递增，()(0)0h x h >=，即sin 32x ax >，所以sin sin 2cos 32x x a x x ≥>+，即()0f x >，不合题意；…………………………12分当0a ≤时，()1022af ππ=->，不合题意；……………………………………13分综上，实数a 的取值范围是2[,)3+∞…………………………………………………14分。