青海2018中考数学复习第1编知识梳理第3章函数及其图象第2节一次函数的图象及性质精讲试题 含答案

2018中考数学知识点：一次函数的图像及性质
新一轮中考复习备考周期正式开始，中考网为各位初三考生整理了各学科的复习攻略，主要包括中考必考点、中考常考知识点、各科复习方法、考试答题技巧等内容，帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！下面是《2018中考数学知识点：一次函数的图像及性质》，仅供参考！
一次函数的图像及性质：
1．作法与图形：通过如下3个步骤
（1）列表；
（2）描点；
（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。

因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。

（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）
2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

3．k，b与函数图像所在象限：
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

当b＞0时，直线必通过一、二象限；
当b=0时，直线通过原点
当b＜0时，直线必通过三、四象限。

特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

这时，当k ＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。

第三节一次函数的实际应用,青海五年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2015解答25(2) 一次函数的应用利用一次函数的性质解决实际问题中的最大利润8 82017、2016、2014、2013年均未考查命题规律纵观青海近五年中考，“一次函数的实际应用”这一重要考点，综合性强，只考查了1次，随着轮流考查趋势，这一考点应强化训练．预计2018年青海省中考，一次函数的实际应用可能以解答题的形式出现，主要训练掌握从实际问题中寻找数量关系的方法.,青海五年中考真题)一次函数的实际应用(2015青海中考)某玩具商计划生产A ，B 两种型号的玩具投入市场，初期计划生产100件，生产投入资金不少于22 400元，但不超过22 500元，且资金要全部投入到生产这两种型号的玩具．假设生产的这两种型号玩具能全部售出，这两种玩具的生产成本和售价如下表：型号 AB 成本(元) 200 240 售价(元)250 300(1)该玩具商对这两种型号玩具有哪几种生产方案？ (2)该玩具商如何生产，就能获得最大利润？解：(1)设生产A 型玩具x 件，则B 型玩具为(100－x)件．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧200x ＋240（100－x ）≥22 400，200x ＋240（100－x ）≤22 500，解得37.5≤x≤40.∵x为非负整数，∴x取38、39、40，故该玩具商有三种生产方案：①生产A型玩具38件，B型62件；②生产A型玩具39件，B型61件；③生产A型玩具40件，B型60件；(2)设生产x件A型玩具，该玩具商共获得利润w元．w＝(250－200)x＋(300－240)(100－x)＝－10x＋6 000，∴当x＝38时，w最大＝5 620.答：玩具商生产38件A型玩具，62件B型玩具就能获得最大利润．,中考考点清单)一次函数的实际应用1．用一次函数解决实际问题的一般步骤为：(1)设定实际问题中的自变量与因变量；(2)通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；(3)确定自变量的取值范围；(4)利用函数性质解决问题；(5)检验所求解是否符合实际意义；(6)答．2．方案最值问题对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式，求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案．【方法技巧】求最值的本质为求最优方案，解法有两种：(1)可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；(2)直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较．显然，第(2)种方法更简单快捷．,中考重难点突破)一次函数的实际应用【例】(邯郸中考模拟)某商店销售10台A 型和20台B 型电脑的利润为4 000元，销售20台A 型和10台B 型电脑的利润为3 500元．(1)求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润；(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍．设购进A 型电脑x 台，这100台电脑的销售总利润为y 元．①求y 关于x 的函数关系式；②该商店购进A 型、B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？(3)实际进货时，厂家对A 型电脑出厂价下调m(0＜m ＜100)元，且限定商店最多购进A 型电脑70台．若商店保持两种电脑的售价不变，请你根据以上信息及(2)中条件，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．【解析】(1)[信息梳理]设每台A 型电脑的销售利润为a 元，每台B 型电脑的销售利润为b 元．原题信息整理后的信息 一 销售10台A 型电脑和20台B 型电脑的利润为4 000元 10a ＋20b ＝4 000 二销售20台A 型电脑和10台B 型电脑的利润为3 500元20a ＋10b ＝3 500(2)①[信息梳理]原题信息整理后的信息三 购进两种型号的电脑共100台 设购进A 型电脑x 台，则购进B 型电脑(100－x)台四100台电脑的销售总利润为y 元y ＝x·每台A 型电脑的利润＋(100－x )·每台B型电脑的利润②[信息梳理]原题信息整理后的信息 五B 型电脑的进货量不超过A 型电脑的2倍100－x≤2x(3)[信息梳理]原题信息整理后的信息六 厂家对A 型电脑出厂价下调m(0＜m ＜100)元A 型电脑的利润为：原来A 型电脑的利润＋m 七限定商店最多购进A 型电脑70台x≤70【答案】解：(1)设每台A 型电脑的销售利润为a 元，每台B 型电脑的销售利润为b 元，则有⎩⎪⎨⎪⎧10a ＋20b ＝4 000，20a ＋10b ＝3 500，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝100，b ＝150. 答：每台A 型电脑销售利润为100元，每台B 型电脑的销售利润为150元；(2)①根据题意，得y ＝100x ＋150(100－x)，即y ＝－50x ＋15 000；②由题意，得，100－x≤2x，解得x≥3313.当x ＝34时，y 取得最大值，此时100－x ＝66.即商店购进A 型电脑34台，B 型电脑66台，才能使销售总利润最大；(3)根据题意，得y ＝(100＋m)x ＋150(100－x)，即y ＝(m －50)x ＋15 000.其中3313≤x ≤70.①当0＜m ＜50时，m －50＜0，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝34时，y 取得最大值，即商店购进34台A 型电脑，66台B 型电脑才能获得最大利润；②当m ＝50时，m －50＝0，y ＝15 000.即商店购进A 型电脑数量满足3313≤x≤70的整数时获得的利润均为15 000元；③当50<m<100时，m －50>0，y 随x 的增大而增大，又3313≤x≤70，∴当x ＝70时，y取得最大值．即商店购进70台A 型电脑和30台B 型电脑才能获得最大利润．1.(2017鄂州中考)小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16 min 到家，再过5 min 小东到达学校．小东始终以100 m /min 的速度步行，小东和妈妈的距离y(单位：m )与小东打完电话后的步行时间t(单位：min )之间的函数关系如图所示，下列四种说法：①打电话时，小东和妈妈距离是1 400 m ； ②小东与妈妈相遇后，妈妈回家速度是50 m /min ； ③小东打完电话后，经过27 min 到达学校； ④小东家离学校的距离为2 900 m . 其中正确的个数是( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．(2016原创)怀化市某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC 做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A ，B 出发，沿轨道到达C 处，B 在AC 上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t(min )后甲、乙两遥控车与B 处的距离分别为d 1，d 2，则d 1，d 2与t 的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：(1)乙的速度v 2＝________m /min ； (2)写出d 1与t 的函数关系式；(3)若甲、乙两遥控车的距离超过10 m 时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰．解：(1)40；(2)d 1＝⎩⎪⎨⎪⎧－60t ＋60（0≤t＜1），60t －60（1≤t≤3）；(3)当0≤t<52时，两遥控车的信号不会产生相互干扰．3．(丽水中考)2016年3月27日“丽水半程马拉松竞赛”在莲都举行，某运动员从起点万地广场西门出发，途经紫金大桥，沿比赛路线跑回终点万地广场西门．设该运动员离开起点的路程s(km )与跑步时间t(min )之间的函数关系如图所示，其中从起点到紫金大桥的平均速度是0.3 km /min ，用时35 min ，根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)求图中a 的值；(2)组委会在距离起点2.1 km 处设立一个拍摄点C ，该运动员从第一次过点C 到第二次过点C 所用的时间为68 min .①求AB 所在直线的函数解析式； ②该运动员跑完赛程用时多少分钟？解：(1)a ＝0.3×35＝10.5(km )；(2)①∵直线OA 经过点O(0，0)，A(35，10.5)，∴直线OA 的解析式为s ＝0.3t(0≤t≤35)，∴当s ＝2.1时，0.3t ＝2.1，解得t ＝7.∵该运动员从第一次过点C 到第二次过点C 所用时间为68 min ，∴该运动员从起点到第二次过点C 所用的时间是7＋68＝75(min )，∴直线AB 经过(35，10.5)，(75，2.1)两点，设直线AB 的解析式为s ＝kt ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧35k ＋b ＝10.5，75k ＋b ＝2.1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.21，b ＝17.85，∴s ＝－0.21t ＋17.85；②∵该运动员跑完赛程所用的时间即为直线AB 与横轴交点的横坐标的值．∴当s ＝0时，－0.21t ＋17.85＝0，解得t ＝85，∴该运动员跑完赛程用时85 min .4．(2017咸宁中考)某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30天)的试销售，售价为8元/件．工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘制成图象，图中的折线ODE 表示日销售量y(件)与销售时间x(天)之间的函数关系，已知线段DE 表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．(1)第24天的日销售量是________件，日销售利润是________元； (2)求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(3)日销售利润不低于640元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？解：(1)330，660；(2)设线段OD 所表示的y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx.∵y＝kx 的图象过点(17，340)，∴17k ＝340，解得k ＝20，∴线段OD 所表示的y 与x 之间的函数解析式为y ＝20x.根据题意，得线段DE 所表示的y 与x 之间的函数解析式为y ＝340－5(x －22)＝－5x ＋450.∵D 是线段OD 与线段DE 的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝20x ，y ＝－5x ＋450，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝360.∴D 的坐标为(18，360)，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x （0≤x≤18），－5x ＋450 （18＜x≤30）；(3)当0≤x≤18时，由题意，得(8－6)×20x≥640，解得x≥16；当18＜x≤30时，由题意，得(8－6)×(－5x ＋450)≥640，解得x≤26，∴16≤x ≤26，26－16＋1＝11(天)，∴日销售利润不低于640元的共有11天．∵D 的坐标为(18，360)，∴日最大销售量为360件，(8－6)×360＝720(元)，∴试销售期间，日销售最大利润为720元．。

第三章函数及其图象第一节函数及其图象,青海五年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2017选择20 函数图象的判断以矩形为背景，判断图形面积与运动路程间的函数图象3 32016填空 4 函数自变量的取值范围求既含有字母，又含有二次根式的自变量的取值范围2选择19 函数图象的判断以正方形为背景，判断函数的图象3 52014,青海五年中考真题)平面直角坐标系1．(2014青海中考)如图所示，在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点(－2，－2)，“马”位于点(1，－2)，则“兵”位于点__(－4，1)__．求自变量的取值范围2．(2016青海中考)函数y＝x＋3x－2中，自变量的取值范围是__x≥－3且x≠2__．3．(2013青海中考)函数y＝x＋1中，自变量x的取值范围是__x≥－1且x≠0__．平面坐标系中点的坐标特征4．(2014青海中考)若点M(3，a)关于y 轴的对称点是点N(b ，2)，则(a ＋b)2 014＝__1__．5．(2015西宁中考)若点(a ，1)与(－2，b)关于原点对称，则a b＝__12__．与实际相结合的函数图象6．(2016西宁中考)如图，点A的坐标为(0，1)，点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等腰直角△ABC, 使∠BAC＝90°，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是( A),A),B),C) ,D)方体的侧面，刚好能组成立方体，设矩形的长和宽分别为y和x，则y与x的函数图象大致是( B),A),B),C) ,D) 8．(2014西宁中考)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点P是BC边上的一个动点(点P不与点B，C重关于x函数图象大致应为( C),A),B),C),D) 9．(2013西宁中考)如图，矩形的长和宽分别是4和3，等腰三角形的底和高分别是3和4，如果此三角形的矩形与等腰三角形重叠部分(阴影部分)的面积为y，重叠部分图形的高为x，那么y关于x的函数图象大致应为( B),A),B),C),D)10．(2016青海中考)如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A 出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致为( B),A),B),C) ,D)11．(2017青海中考)如图，在矩形ABCD中，点P从点A出发，沿着矩形的边顺时针方向运动一周回到点A，则点A，P，D围成的图形面积y与点P运动路程x之间形成的函数关系式的大致图象是( A),A) ,B),C) ,D),中考考点清单)平面直角坐标系及点的坐标1．有序实数对：坐标平面上任意一点都可以用唯一一对有序实数来表示；反过来，任意一对有序实数都可以表示坐标平面上唯一一个点．【方法技巧】一般地，点P(a，b)到x轴的距离为|b|；到y轴的距离为|a|；到原点的距离为a2＋b2.2．平面直角坐标系中点的坐标特征各象限点的坐标的符号特征第一象限(＋，＋)；第二象限①__(－，＋)__；第三象限(－，－)；第四象限②__(＋，－)__坐标轴上点的坐标特征x轴上的点的纵坐标为③__0__，y轴上的点的横坐标为0，原点的坐标为(0，0)各象限角平分线上点的坐标特征第一、三象限角平分线上的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的横、纵坐标④__互为相反数__续表对称点的坐标特征点P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a，－b)；点P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为⑤__(－a，b)__；点P(a，b)关于原点对称的点的坐标为P′(－a，－b)平移点的坐标特征将点P(x，y)向右或向左平移a个单位长度，得到对应点的坐标P′是(x＋a，y)或(x－a，y)；将点P(x，y)向上或向下平移b个单位长度，得到对应点的坐标P′是(x，y＋b)或(x，y－b)；将点P(x，y)向右或向左平移a个单位长度，再向上或向下平移b个单位长度，得到对应点P′是⑥__(x＋a，y＋b)或(x－a，y－b)__，简记为：左减右加，上加下减函数的相关概念3．变量：在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量．4．常量：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量．5．函数：一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y.如果给定x的一个值，就能相应地确定y的一个值，那么，我们就说y是x的函数．其中，x叫做自变量．函数自变量的取值范围解析式取值范围整式型取全体实数分式型，如y ＝ax分母不为0，即x≠0 根式型，如y ＝x 被开方数大于等于0，即x≥0分式＋根式型，如y ＝ax同时满足两个条件：①被开方数大于等于0即x≥0；②分母不为0，即x≠0函数的表示方法及其图象函数图象的判断近5年共考查1次，题型为选择题，出题背景有：(1)与实际问题结合；(2)与几何图形结合；(3)与几何图形中的动点问题结合，设问方式均为“判断函数图象大致是”．6．表示方法：数值表、图象、解析式是函数关系的三种不同表达形式，它们分别表现出具体、形象直观和便于抽象应用的特点．7．图象的画法：知道函数的解析式，一般用描点法按下列步骤画出函数的图象．(1)取值．根据函数的解析式，取自变量的一些值，得出函数的对应值，按这些对应值列表； (2)画点．根据自变量和函数的数值表，在直角坐标系中描点；(3)连线．用平滑的曲线将这些点连接起来，即得函数的图象．8．已知函数解析式，判断点P(x ，y)是否在函数图象上的方法：若点P(x ，y)的坐标适合函数解析式，则点P(x ，y)在其图象上；若点P(x ，y)的坐标不适合函数解析式，则点P(x ，y)不在其图象上．【方法技巧】判断符合题意的函数图象的方法 (1)与实际问题结合：判断符合实际问题的函数图象时，需遵循以下几点：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找相对应点；②找特殊点：即指交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性；④看是否与坐标轴相交：即此时另外一个量为0.(2)与几何图形(含动点)结合：以几何图形为背景判断函数图象的题目，一般的解题思路为设时间为t ，找因变量与t 之间存在的函数关系，用含t 的式子表示，再找相对应的函数图象，要注意的是是否需要分类讨论自变量的取值范围．(3)分析函数图象判断结论正误：分清图象的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围，同时也要注意：①分段函数要分段讨论；②转折点：判断函数图象的倾斜方向或增减性发生变化的关键点；③平行线：函数值随自变量的增大而保持不变．再结合题干推导出实际问题的运动过程，从而判断结论的正误．,中考重难点突破)平面直角坐标系中点的坐标特征【例1】(1)(2018原创)点A到x轴的距离为2且到y轴的距离为3，则点A的坐标是________．(2)已知点P(2－a，2a－7)，其中a为整数，位于第三象限，则点P的坐标________．【解析】(1)考查点到x轴、y轴的距离，注意与横、纵坐标的关系，同时要注意考虑全面，距离向坐标转化要注意正负两种情况；(2)主要考查坐标系中各象限内点的坐标的符号特征，第三象限(－，－)，构造不等式组，求出a即可．【答案】(1)(3，2)或(3，－2)或(－3，2)或(－3，－2)；(2)(－1，－1)1．(2017泸州中考)下列曲线中不能表示y与x的函数的是( C),A) ,B),C) ,D) 2．已知点A(a，1)与点A′(5，b)关于坐标原点对称，则实数a，b的值是( D)A．a＝5，b＝1 B．a＝－5，b＝1C．a＝5，b＝－1 D．a＝－5，b＝－13.(2017西宁中考)在平面直角坐标系中，将点A(－1，－2)向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x 轴的对称点B′的坐标为( B)A．(－3，－2) B．(2，2) C．(－2，2) D．(2，－2)4．如图是利用网格画出的太原市地铁1、2、3号线路部分规划示意图．若建立适当的平面直角坐标系，则表示双塔西街的点的坐标为(0，－1)，表示桃园路的点的坐标为(－1，0)，则表示太原火车站的点(正好在网格点上)的坐标是__(3，0)__．函数自变量的取值范围【例2】(2018原创)函数y＝xx－3－(x－2)0中，自变量x的取值范围是________．【解析】对于分式、根式、零指数幂相结合求自变量取值范围的，先求出各自变量的取值范围，然后取公共解集即可．【答案】x≥0且x≠3且x≠25．函数y＝x＋2x的自变量x的取值范围是( B)A．x≥－2 B．x≥－2且x≠0 C．x≠0 D．x＞0且x≠－26．(2017内江中考)在函数y＝1x－3＋x－2中，自变量x的取值范围是__x≥2且x≠3__．函数图象的判断【例3】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从点A出发，沿路径A→D→C→E运动，则△APE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是( ),A) ,B),C) ,D) 【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，∴CD＝AB＝2，BC＝AD＝3，∵点E是BC边上靠近点B的三等分点，∴CE ＝23×3＝2.①点P 在AD 上时，△APE 的面积y ＝12x·2＝x(0≤x≤3)；②点P 在CD 上时，S △APE ＝S梯形AECD－S △ADP －S △CEP ＝12×(2＋3)×2－12×3×(x－3)－12×2×(3＋2－x)＝5－32x ＋92－5＋x ＝－12x ＋92，∴y ＝－12x ＋92(3＜x≤5)；③点P 在CE 上时，S △APE ＝12×(3＋2＋2－x)×2＝－x ＋7，∴y ＝－x ＋7(5＜x≤7)，纵观各选项，只有A选项图形符合．【答案】A【方法指导】根据动点P 的运动路径A→D→C→E 可得，在计算△APE 的面积时应该分为3种情况，①当P 在AD 上时；②当P 在DC 上时；③当P 在CE 上时，分别计算出即可．要注意转折点有x ＝3时和x ＝5时．7．如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠面积为y ，则y 关于x 的函数图象是( B ),A),B),C) ,D)8．如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P的运动路程x之间形成的函数关系的图象大致是( C),A),B),C) ,D)9．如图，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则大致能反映弹簧秤的读数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的图象大致是( C),A),B),C) ,D)10．(2017佳木斯中考)如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系图象可能是( D),A) ,B),C) ,D) 11．(2017北京中考)小苏和小林在如图所示的跑道上进行4×50 m折返跑．在整个过程中，跑步者距起跑线的距离y(单位：m)与跑步时间t(单位：s)的对应关系如图所示．下列叙述正确的是( D)A．两人从起跑线同时出发，同时到达终点B．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C．小苏前15 s跑过的路程大于小林前15 s跑过的路程D．小林在跑最后100 m的过程中，与小苏相遇2次12．(2017河南中考)如图①，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图②是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是__12__.13．(2017重庆中考B卷)甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B 地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶．已知甲先出发6 min后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y(km)与甲出发的时间x(min)之间的关系如图所示，则乙到达终点A时，甲还需__78__ min到达终点B.。

第五节二次函数的图象及性质,青海五年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2017解答28 二次函数(1)与坐标轴的交点；(2)直线的解析式；(3)三角形面积的最大值12 122016解答28 二次函数(1)二次函数的解析式；(2)二次函数与三角形、四边形的综合12 122015解答28 二次函数(1)二次函数解析式；(2)利用二次函数判断三角形的形状；(3)二次函数与相似三角形的综合13 132014解答28 二次函数(1)二次函数的解析式；(2)二次函数与三角形的综合13 132013解答28 二次函数(1)二次函数的解析式；(2)二次函数与四边形的综合；(3)二次函数与相似三角形的综合12 12命题规律纵观青海省五年中考，每年都涉及到此考点，以解答题的形式呈现，偶尔增加小题，解答题一般与三角形、四边形综合在一起考查，难度较高，往往是最后的压轴题．预计2018年青海省中考，仍会考查此点，且以解答题(压轴题)的形式出现，应加强综合训练.,青海五年中考真题)二次函数的图象及性质1．(2012西宁中考)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过(－1，1)，(2，－1)两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是( B )A ．当x ＝0时，y 的值大于1B ．当x ＝3时，y 的值小于0C ．当x ＝1时，y 的值大于1D ．y 的最大值小于0二次函数图象和性质的综合应用2．(2017青海中考)如图，抛物线y ＝12x 2－32x －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x轴对称．(1)求点A ，B ，C 的坐标； (2)求直线BD 的解析式；(3)在直线BD 下方的抛物线上是否存在一点P ，使△PBD 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)由12x 2－32x －2＝0，得x 2－3x －4＝0，∴x 1＝－1，x 2＝4，∴A(－1，0)，B(4，0)，当x ＝0时，y ＝－2，∴C(0，－2)；(2)∵D 点与C 点关于x 轴对称，∴D 点坐标为(0，2)．设直线BD 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝0，b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝2，∴直线BD 的解析式为y ＝－12x ＋2； (3)存在这样的点P.设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12m 2－32m －2，过点P 作PE ⊥x 轴，与x 轴交于点F ，与BD 交于点E ，如答图．则E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，－12m ＋2，∴|PE|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2－32m －2＝－12m ＋2－12m 2＋32m ＋2＝－12m 2＋m ＋4，∴S △PBD ＝S △PDE ＋S △PEB＝12|PE|·|OF|＋12|PE|·|BF|＝12|PE|·(|OF|＋|BF|)＝12|PE|·|OB|＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m 2＋m ＋4×4＝－m 2＋2m ＋8＝－(m －1)2＋9.∴当m ＝1时，△PBD 的面积取得最大值9.此时，12m 2－32m －2＝12×12－32×1－2＝－3，∴P 点坐标为(1，－3)．3．(2016青海中考)如图所示(注：与图②完全相同)，二次函数y ＝43x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，与y 轴交于点C.(1)求该二次函数的解析式；(2)设该抛物线的顶点为D ，求△ACD 的面积；(请在图①中探索)(3)若点P ，Q 同时从A 点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB ，AC 边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．当P ，Q 运动到t s 时，△APQ 沿PQ 所在的直线翻折，点A 恰好落在抛物线上E 点处，请直接判定此时四边形APEQ 的形状，并求出E 点坐标．(请在图②中探索)图①图②解：(1)∵二次函数y ＝43x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A(3，0)，B(－1，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧43×9＋3b ＋c ＝0，43×1－b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－83，c ＝－4， ∴y ＝43x 2－83x －4；(2)如答图①，过点D 作DM⊥y 轴于点M. ∵y ＝43x 2－83x －4＝43(x －1)2－163，∴点D ⎝⎛⎭⎪⎫1，－163，点C(0，－4)，则S △ACD ＝S 梯形AOMD －S △CDM －S △AOC ＝12×(1＋3)×163－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫163－4×1－12×3×4＝4；(3)四边形APEQ 为菱形．如答图②，E 点关于PQ 与A 点对称，过点Q 作QF⊥AP 于F ，∴FQ ∥OC ，∴AF AO ＝FQOC ＝AQ AC ，∴AF 3＝FQ 4＝t 5，∴AF ＝35t ，FQ ＝45t ，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－35t ，－45t .∵EQ ＝AP ＝t ，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－85t ，－45t .∵E 在二次函数y ＝43x 2－83x －4上，∴－45t ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫3－85t 2－83⎝ ⎛⎭⎪⎫3－85t －4，∴t ＝14564或t ＝0(与A 重合，舍去)，∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－58，－2916.4．(2015青海中考)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx －3的图象与x 轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y 轴交于点C.该抛物线的顶点为M.(1)求抛物线的解析式；(2)判断△BCM 的形状，并说明理由；(3)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P ，A ，C 为顶点的三角形与△BCM 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵二次函数y ＝ax 2＋bx －3的图象与x 轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b －3＝0，9a ＋3b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，则抛物线解析式为y ＝x 2－2x －3； (2)△BCM 为直角三角形．理由如下：对于抛物线解析式y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，即顶点M 坐标为(1，－4)，令x ＝0，得到y ＝－3，即C(0，－3)，根据勾股定理得BC ＝32，BM ＝25，CM ＝2.∵BM 2＝BC 2＋CM 2，∴△BCM 为直角三角形；(3)存在．点P 的坐标为(0，0)或(9，0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13.5．(2014青海中考)如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为M(－2，－4)，与x 轴交于A ，B 两点，且A(－6，0)，与y 轴交于点C.(1)求抛物线的函数解析式； (2)求△ABC 的面积；(3)能否在抛物线第三象限的图象上找一点P ，使△APC 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．解：(1)设此函数的解析式为y ＝a(x －h)2＋k.∵函数图象顶点为M(－2，－4)，∴y ＝a(x ＋2)2－4，又∵函数图象经过点A(－6，0)，∴0＝a(－6＋2)2－4，解得a ＝14，∴此函数的解析式为y ＝14(x ＋2)2－4，即y ＝14x 2＋x －3；(2)∵点C 是函数y ＝14x 2＋x －3的图象与y 轴的交点，∴点C 的坐标是(0，－3)．在y ＝14x 2＋x －3中，令y＝0，则14x 2＋x －3＝0，解得x 1＝－6，x 2＝2，∴点B 的坐标是(2，0)，∴S △ABC ＝12|AB|·|OC|＝12×8×3＝12；(3)假设存在这样的点P ，过点P 作PE⊥x 轴于点E ，交AC 于点F.设E(x ，0)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，14x 2＋x －3.设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b.∵直线AC 过点A(－6，0)，C(0，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6k ＋b ＝0，－3＝b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝－3，∴直线AC 的解析式为y ＝－12x －3.∴可设点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－12x －3，则|PF|＝－12x －3－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋x －3＝－14x 2－32x ，∴S △APC ＝S △APF＋S △CPF ＝12|PF |·|AE|＋12|PF|·|OE|＝12|PF|·|OA|＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14x 2－32x ×6＝－34x 2－92x ＝－34(x ＋3)2＋274，∴当x＝－3时，S △APC 有最大值274，此时P 点坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－3，－154.6．(2013青海中考)如图，已知抛物线经过点A(2，0)，B(3，3)及原点O ，顶点为C. (1)求抛物线的解析式；(2)若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且以A ，O ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；(3)P 是抛物线上第二象限内的动点，过点P 作PM⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P 使得以点P ，M ，A 为顶点的三角形与△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)，且过A(－2，0)，B(－3，3)，O(0，0)可得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋c ＝0，9a －3b ＋c ＝3，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝0，∴抛物线的解析式为y ＝x 2＋2x ；(2)①当AO 为边时，∵A ，O ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形，∴DE ＝AO ＝2.∵点E 在抛物线对称轴上，对称轴为直线x ＝1，∴点E 的横坐标为1，∴点D 的横坐标为3或－1，代入y ＝x 2－2x ，得y ＝3.∴D(3，3)或(－1，3)；②当AO 为对角线时，则DE 与AO 互相平分，∵点E 在对称轴上，对称轴为直线x ＝1，由对称性知，符合条件的点D 只有一个，与点C 重合，即D(1，－1)．综上所述，点D 的坐标为(3，3)或(－1，3)或(1，－1)；(3)∵点B(3，3)，C(1，－1)，∴△BOC 为直角三角形，∠COB ＝90°，且OC∶OB ＝1∶3，①若△PMA∽△COB，设PM ＝t ，则AM ＝3t ，∴点P(2－3t ，t)，代入y ＝x 2－2x 得(2－3t)2－2(2－3t)＝t ，解得t 1＝0(舍)，t 2＝79，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，79；②若△PMA∽△BOC，设PM ＝3t ，则AM ＝t ，点P(2－t ，3t)，代入y ＝x 2－2x 得(2－t)2－2(2－t)＝3t ，解得t 1＝0(舍)，t 2＝5，∴P(－3，15)．综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，79或(－3，15)．,中考考点清单)二次函数的概念及解析式1．定义：一般地，如果两个变量x 和y 之间的函数关系，可以表示成y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，且a≠0)，那么称y 是x 的二次函数，其中，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项．2．三种表示方法(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)；(2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是(h ，k)；(3)两点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)，其中x 1，x 2为抛物线与x 轴交点的横坐标． 3．三种解析式之间的关系顶点式――→确定一般式――→分解因式两点式 4．二次函数解析式的确定(1)求解二次函数解析式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数解析式； ①当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 形式； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，通常设为顶点式y ＝a(x －h)2＋k 形式；③当已知抛物线与x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)． (2)步骤：①设二次函数的解析式；②根据已知条件，得到关于待定系数的方程组；③解方程组，求出待定系数的值，从而写出函数的解析式．二次函数的图象及其性质5．图象性质函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c为常数，a ≠0)图象对称轴 直线x ＝①__－b2a __直线x ＝－b2a顶点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a 续表函数二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)增减性在对称轴的左侧，即x＜－b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x＞－b2a时，y随x的增大而增大，简记为左减右增在对称轴的左侧，即当x＜－b2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x＞－b2a时，y随x的增大而减小，简记为左增右减最值抛物线有最低点，当②__x＝－b2a__时，y有最小值，y最小值＝4ac－b24a抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝③__4ac－b24a__6.系数a，b，c与二次函数的图象关系项目字母字母的符号图象的特征aa＞0 开口向上a＜0 ④__开口向下__bb＝0 对称轴为y轴ab＞0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧ab＜0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧cc＝0 ⑤__经过原点__c＞0 与y轴正半轴相交c＜0 与y轴负半轴相交b2－4acb2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点)b2－4ac＞0 与x轴有两个不同交点b2－4ac＜0 与x轴没有交点特殊关系当x＝1时，y＝a＋b＋c当x＝－1时，y＝a－b＋c若a＋b＋c＞0，即x＝1时，y＞0若a－b＋c＞0，即x＝－1时，y＞0二次函数图象的平移7．平移步骤(1)将抛物线解析式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，确定其顶点坐标；(2)保持抛物线的形状不变，平移顶点坐标(h，k)即可．8.平移规律移动方向平移前的解析式平移后的解析式规律向左平移m个y＝a(x－h)2＋k y＝a(x－h＋m)2＋k 左加单位长度 向右平 移m 个 单位长度 y ＝a(x －h)2＋ky ＝a(x －h －m)2＋k右减向上平 移m 个 单位长度 y ＝a(x －h)2＋ky ＝a(x －h)2＋k ＋m上加向下平 移m 个 单位长度y ＝a(x －h)2＋ky ＝a(x －h)2＋k －m下减 口诀：左加右减、上加下减二次函数与一元二次方程的关系9．当抛物线与x 轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根． 10．当抛物线与x 轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根． 11．当抛物线与x 轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根． 12．二次函数与一元二次方程及b 2－4ac 的关系二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的交点个数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的情况b 2－4ac 有两个交点(x 1，0)，(x 2，0)有两个不相等的实数根x 1，x 2 b 2－4ac ＞0 只有一个交点，交点坐标为(－b2a，0) 有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2ab 2－4ac ＝0 没有交点 没有实数根b 2－4ac ＜0,中考重难点突破)二次函数的图象与性质【例1】(2017宜宾中考)如图，抛物线y 1＝12(x ＋1)2＋1与y 2＝a(x －4)2－3交于点A(1，3)，过点A 作x 轴的平行线，分别交两条抛物线于B ，C 两点，且D ，E 分别为顶点，则下列结论：①a ＝23；②AC＝AE ；③△ABD 是等腰直角三角形；④当x ＞1时，y 1＞y 2.其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】∵抛物线y 1＝12(x ＋1)2＋1与y 2＝a(x －4)2－3交于点A(1，3)，∴3＝a(1－4)2－3，解得a ＝23，故①正确；∵E 是抛物线的顶点，∴AE ＝EC ，∴无法得出AC ＝AE ，故②错误；当y ＝3时，3＝12(x ＋1)2＋1，解得：x 1＝1，x 2＝－3，故B(－3，3)，D(－1，1)，则AB ＝4，AD ＝BD ＝22，∴AD 2＋BD 2＝AB 2，∴③△ABD 是等腰直角三角形，正确；∵12(x ＋1)2＋1＝23(x －4)2－3时，解得：x 1＝1，x 2＝37，∴当37＞x ＞1时，y 1＞y 2，故④错误，故选B .【答案】B1．(2017襄阳中考)将抛物线y ＝2(x －4)2－1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为( A )A ．y ＝2x 2＋1B ．y ＝2x 2－3C ．y ＝2(x －8)2＋1D ．y ＝2(x －8)2－32．(2017泰安中考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如表：x －1 0 1 3 y－3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x ＝1；③当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根大于4，其中正确的结论有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．(2017青岛中考)若抛物线y ＝x 2－6x ＋m 与x 轴没有交点，则m 的取值范围是__m ＞9__．二次函数的图象和性质的综合应用【例2】(2017菏泽中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点B(4，0)，与过A 点的直线相交于另一点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52，过点D 作DC⊥x 轴，垂足为C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在线段OC 上(不与点O ，C 重合)，过P 作PN⊥x 轴，交直线AD 于M ，交抛物线于点N ，连接CM ，求△PCM 面积的最大值；(3)若P 是x 轴正半轴上的一动点，设OP 的长为t ，是否存在t ，使以点M ，C ，D ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【解析】(1)把B(4，0)，点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52代入y ＝ax 2＋bx ＋1即可得出抛物线的解析式；(2)先用含t 的代数式表示P ，M 坐标，再根据三角形的面积公式求出△PCM 的面积与t 的函数关系式，然后运用配方法可求出△PCM 面积的最大值；(3)若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN ＝DC ，故可得出关于t 的二元一次方程，解方程即可得到结论．【答案】解：(1)把点B(4，0)，点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52，代入y ＝ax 2＋bx ＋1中，得⎩⎪⎨⎪⎧16a ＋4b ＋1＝0，9a ＋3b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－34，b ＝114，∴抛物线的解析式为y ＝－34x 2＋114x ＋1；(2)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b.∵A(0，1)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，3k ＋b ＝52，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝1，∴直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.设P(m ，0)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，12m ＋1.∴PM＝12m ＋1.∵CD ⊥x 轴，∴PC ＝3－m ，∴S △PCM ＝12PC·PM＝12×(3－m)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＋1，∴S △PCM ＝－14m 2＋14m ＋32＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋2516，∴△PCM 面积的最大值是2516；(3)∵OP＝t ，∴点M ，N 的横坐标为t ，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12t ＋1， N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－34t 2＋114t ＋1，∴MN ＝－34t 2＋114t ＋1－12t －1＝－34t 2＋94t ，CD ＝52.如果以点M ，C ，D ，N 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN ＝CD ，即－34t 2＋94t ＝52.∵Δ＝－39，∴方程－34t 2＋94t ＝52无实数根，∴不存在t ，使以点M ，C ，D ，N 为顶点的四边形是平行四边形．4．(2017泸州中考)已知抛物线y ＝14x 2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(3，3)，P 是抛物线y ＝14x 2＋1上一动点，则△PMF 周长的最小值是( C )A ．3B ．4C ．5D ．65．(河北中考)如图，抛物线L ：y ＝－12(x －t)(x －t ＋4)(常数t ＞0)与x 轴从左到右的交点为B ，A ，过线段OA 的中点M 作MP⊥x 轴，交双曲线y ＝k x(k ＞0，x ＞0)于点P ，且OA·MP＝12. (1)求k 值；(2)当t ＝1时，求AB 的长，并求直线MP 与L 对称轴之间的距离；(3)把L 在直线MP 左侧部分的图象(含与直线MP 的交点)记为G ，用t 表示图象G 最高点的坐标．解：(1)设P(x ，y)，则OM ＝x ，MP ＝y ，由OA 的中点为M 可知OA ＝2x ，代入OA·MP＝12，∴2x ·y ＝12，即xy ＝6，∴k ＝xy ＝6；(2)当t ＝1时，令y ＝0，得0＝－12(x －1)(x ＋3)，∴x 1＝1，x 2＝－3，∴B(－3，0)，A(1，0)，∴AB ＝4，∴L 的对称轴为直线x ＝－1，点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴直线MP 与L 对称轴的距离为32； (3)∵A(t，0)，B(t －4，0)，∴L 的对称轴为x ＝t －2.又∵直线MP 的解析式为x ＝t 2，∴当t －2≤t 2，即t≤4时，顶点(t －2，2)就是G 的最高点的坐标；当t －2＞t 2，即t ＞4时，L 与直线MP 的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，－18t 2＋t 就是G 的最高点的坐标．。