江苏科技大学附中2014年高考数学一轮课时检测 导数及其应用

导数在研究函数中的应用【选题明细表】一、选择题1.(2013厦门市高三上学期期末质检)函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是( D )(A)(-∞，0) (B)(0，+∞)(C)(-∞，-3)和(1，+∞) (D)(-3，1)解析:y'=-2xe x+(3-x2)e x=e x(-x2-2x+3)，由y'>0⇒x2+2x-3<0⇒-3<x<1，∴函数y=(3-x2)e x的单调递增区间是(-3，1).故选D.2.(2013西安五校联考)设函数f(x)=ax2+bx+c(a，b，c∈R).若x=-1为函数f(x)·e x的一个极值点，则下列图象不可能为y=f(x)的图象的是( D )解析:若x=-1为函数f(x)·e x的一个极值点，则易得a=c.因为选项A、B的函数为f(x)=a(x+1)2，则[f(x)e x]'=f'(x)e x+f(x)(e x)'=a(x+1)(x+3)e x，所以x=-1为函数f(x)e x的一个极值点，满足条件;选项C中，对称轴x=->0，且开口向下，所以a<0，b>0，所以f(-1)=2a-b<0，也满足条件;选项D中，对称轴x=-<-1，且开口向上，所以a>0，b>2a，所以f(-1)=2a-b<0，这与图象矛盾，故选D.3.(2013年高考大纲全国卷)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c等于( A )(A)-2或2 (B)-9或3(C)-1或1 (D)-3或1解析:∵y'=3(x+1)(x-1)，∴当x=-1或x=1时取得极值，由题意得f(1)=0或f(-1)=0，即c-2=0或c+2=0，解得c=2或c=-2.故选A.4.(2013福建龙岩质检)若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值，则导函数f'(x)的图象不可能是( D )解析:若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有极值，则此函数在某点两侧的单调性相反，也就是说导函数f'(x)在此点两侧的导函数值的符号相反，所以导函数的图象要穿过x轴，观察四个选项中的图象只有D项是不符合要求的，即f'(x)的图象不可能是D.5.(2013年高考重庆卷)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数f(x)在x=-2处取得极小值，则函数y=xf'(x)的图象可能是( C )解析:∵f(x)在x=-2处取得极小值，∴当x<-2时，f(x)单调递减，即f'(x)<0;当x>-2时，f(x)单调递增，即f'(x)>0.∴当x<-2时，y=x·f'(x)>0;当x=-2时，y=x·f'(x)=0;当-2<x<0时，y=x·f'(x)<0;当x=0时，y=x·f'(x)=0;当x>0时，y=x·f'(x)>0，结合图象知选C.6.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，若m、n∈[-1，1]，则f(m)+f'(n)的最小值是( A )(A)-13 (B)-15 (C)10 (D)15解析:求导得f'(x)=-3x2+2ax，由函数f(x)在x=2处取得极值知f'(2)=0，即-3×4+2a×2=0，∴a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4，f'(x)=-3x2+6x，易知f(x)在[-1，0)上单调递减，在(0，1]上单调递增，∴当m∈[-1，1]时，f(m)min=f(0)=-4.又f'(x)=-3x2+6x的图象开口向下，且对称轴为x=1，∴当n∈[-1，1]时，f'(n)min=f'(-1)=-9.故f(m)+f'(n)的最小值为-13.故选A.二、填空题7.(2013南充市第一次适应性考试)设定义域为(0，+∞)的单调函数f(x)对任意的x∈(0，+∞)都有f[f(x)-log2x]=6.若x0是方程f(x)-f'(x)=4的一个解，且x0∈(a，a+1)(a∈N*)，则a= .解析:根据已知f(x)在(0，+∞)上是单调函数，又对任意的x∈(0，+∞)都有f[f(x)-log2x]=6，得f(x)-log2x必为常数，记为C，即f(x)-log2x=C.令x=C，f(C)-log2C=C，而f(C)=6，易知C=4，所以f(x)=4+log2x，f'(x)=.又因为f(1)=4，f'(1)=>0，f(2)=5，f'(2)=<1，所以f(1)-f'(1)<4，f(2)-f'(2)>4，根据零点存在性定理知，方程f(x)-f'(x)=4在(1，2)内必有一个解.又由于f(x)-f'(x)是一个增函数，故方程f(x)-f'(x)=4在(1，2)内只有一个解.因此a=1.答案:18.(2013广州模拟)设函数f(x)=ax3-3x+1(a∈R)，若对于任意x∈[-1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为.解析:由题意得f'(x)=3ax2-3，当a≤1时，在[-1，1]上恒有f'(x)=3ax2-3≤0，∴f(x)在[-1，1]上为减函数，∴f(x)最小值=f(1)=a-2≥0，解之得a≥2(与条件a≤1矛盾)，不符合题意;当a>1时，令f'(x)=0可得x=±，当x∈时，f'(x)<0，f(x)为减函数;当x∈，x∈时，f'(x)>0，f(x)为增函数.∴x=±为极值点，要使f(x)≥0成立，只需即∴a=4.答案:4三、解答题9.已知函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x)，(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若x∈时，f(x)<m恒成立，求m的取值范围.解:(1)∵f(x)=(1+x)2-ln(1+x)(x>-1)，∴f'(x)=(1+x)-=(x>-1)，∴-1<x<0时，f'(x)<0，x>0时，f'(x)>0，∴函数f(x)的单调递减区间为(-1，0)，单调递增区间为(0，+∞). (2)由(1)知，函数f(x)在上单调递减，在(0，e-1)上单调递增. 又∵f=+1，f(e-1)=e2-1>+1，∴f(x)≤e2-1，又f(x)<m在x∈上恒成立，∴m>e2-1.10.(2013石家庄市高中毕业班教学质检)已知函数f(x)=aln x-2ax+3(a≠0).(1)设a=-1，求函数f(x)的极值;(2)在(1)的条件下，若函数g(x)=x3+x2[f'(x)+m].(其中f'(x)为f(x)的导数)在区间(1，3)上不是单调函数，求实数m的取值范围.解:(1)当a=-1，f(x)=-ln x+2x+3(x>0)，f'(x)=-+2，∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.∴函数f(x)的极小值是f=-ln +2×+3=ln 2+4，无极大值.(2)g(x)=x3+x2，∴g'(x)=x2+(4+2m)x-1，∵g(x)在区间(1，3)上不是单调函数，且g'(0)=-1，∴∴即-<m<-2.∴m的取值范围是.11.(2013内江市第一次模拟考试)已知函数f(x)=ax2-3x+ln x(a>0).(1)若曲线y=f(x)在点P(1，f(1))处的切线平行于x轴，求函数f(x)在区间，2上的最值;(2)若函数f(x)在定义域内是单调函数，求a的取值范围.解:(1)∵f(x)=ax2-3x+ln x，∴f'(x)=2ax-3+，又f'(1)=0，∴2a-2=0，∴a=1，∴f(x)=x2-3x+ln x，f'(x)=2x-3+，令f'(x)=0，即2x-3+=0，解得x=或x=1.)∴当x=1时，f(x)min=-2;∵f(2)-f=-2+ln 2++ln 2=ln 4->1->0，∴当x=2时，f(x)max=-2+ln 2.(2)f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2ax-3+=，令Δ=9-8a.当a≥时，Δ≤0，f'(x)≥0，函数f(x)在(0，+∞)上是增函数，当0<a<时，Δ>0，方程2ax2-3x+1=0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1<x2，则当x∈(0，x1)∪(x2，+∞)时，f'(x)>0，当x∈(x1，x2)时，f'(x)<0，这时，函数f(x)在定义域内不是单调函数.综上，a的取值范围是.。

某某科技大学附中2014年创新设计高考数学一轮简易通全套课时检测：概率本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某班一学习兴趣小组在开展一次有奖答题活动中，从3道文史题和4道理科题中，不放回地抽取2道题，第一次抽到文史题，第二次也抽到文史题的概率是( )A ． 17；B.649；C.314；D. 949； 【答案】A2．在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为( )A ． 14B ． 13 C ．12 D ．23【答案】C3．抛掷三枚均匀的硬币，出现一枚正面，二枚反面的概率等于( )A ．41B ．31C ．83D ．21 【答案】C4．在20瓶饮料中，有4瓶已过了保质期。

从这20瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率是( )A ．101B ．51C ．41D ．21 【答案】B5．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m 、n ，则直线x n m y =与圆()1322=+-y x 相交的概率是( )A ．518B ．59C ．536D ．572【答案】C6．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )A ．1B ．12C ．13D ．14【答案】B7．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为5或6的概率是( )A ． 310B ． 15C ． 52D ． 112【答案】C8．已知关于x 的方程220x bx c -++=，若{}01234b c ∈、，，，，，记“该方程有实数根12x x 、且满足1212x x -≤≤≤” 为事件A ，则事件A 发生的概率为( )A ．516B ．1225C ．1425D ．1625【答案】D9．用1，2，3，4，5这五个数字组成数字不重复的五位数，由这些五位数构成集合M ，我们把千位数字比万位数字和百位数字都小，且十位数字比百位数字和个位数字都小的五位数称为“五位凹数”（例：21435就是一个五位凹数），则从集合M 中随机抽出一个数恰是“五位凹数”的概率为( )A ．115B ．215C ．15D ．415【答案】B10．有2n 个数字，其中一半是奇数，一半是偶数，从中任取两个数，则所取的两数之和为偶数的概率是( )A ．12B ．12nC ．121n n --D ．121n n ++ 【答案】C11．某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是0.98,二级品的概率是0.21，则出现一级品与三级品的概率分别是( )A ．21.0,77.0B ．02.0,98.0C ．22.0,78.0D ．02.0,77.0【答案】D12．一个口袋装有2个白球和3个黑球，则先摸出1个白球后放回，再摸出一个球还是白球的概率是( )A ．23B ．14C ．25D ． 15【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．将一颗骰子先后抛掷两次，在朝上一面数字之和不大于6的条件下，两次都为奇数的概率是. 【答案】2514．投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次出现向上的点数为a ，第二次出现向上的点数为b ，直线1l 的方程为30ax by --=，直线2l 的方程为x －2y －2＝0，则直线1l 与直线2l 有交点的概率为. 【答案】111215．随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 (默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）.【答案】0.98516．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，和为5的概率是．【答案】13三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．为了比较两种肥料A 、B 对同类橘子树产量的影响（此处橘子树的产量是指每一棵橘子树的产量，单位是千克），试验人员分别从施用这两种肥料的橘子树中随机抽取了200棵，其中100棵橘子树施用了A 种肥料，另100棵橘子树施用了B 种肥料作为样本进行分析，其中样本橘子树产量的分组区间为[5，15），[15，25），[25，35），[35，45），[45，55），由此得到表1和图1的所示内容，其中表1是施用A 种肥料后橘子树产量的频数分布表， 图1是施用B 种肥料后橘子树产量的频率分布直方图．(Ⅰ）完成图2和表2，其中图2是施用A 种肥料后橘子树产量的频率分布直方图，表2是施用B 种肥料后橘子树产量的频数分布表，并比较施用A 、B 两种肥料对橘子树产量提高的影响那种更大，理由是什么?表2：施用B 种肥料后橘子树产量的频数分布表(Ⅱ）把施用了B 种肥料的橘子树中产量不低于45千克的橘子树记为甲类橘子树，产量小于15千克的橘子树记为乙类橘子树，现采用分层抽样方法从甲、乙两类橘子树中抽取4棵进行跟踪研究，若从抽得的4棵橘子树中随机抽取2棵进行跟踪研究结果的对比，记X 为这两颗橘子树中甲类橘子树的个数，求X 的分布列．【答案】（Ⅰ）频率组据0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005橘子树产量554535251550图2：施用A 种肥料后橘子树产量的频率分布直方图表2：施用B 种肥料后橘子树产量的频数分布表设施用A 种肥料后，橘子树产量的平均值为A x -，施用B 种肥料后，橘子树产量的平均值为B x -,则304010201525354527100100100100A x -<⨯+⨯+⨯+⨯=102520153051525354528100100100100100B x -≥⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 即B A x x -->，所以，施用B 种肥料有利于橘子树产量的提高。

课时跟踪检测（十四） 导数与函数的单调性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·某某模拟)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是________．解析：函数f (x )＝(x －3)e x的导数为f ′(x )＝[(x －3)e x]′＝e x＋(x －3)e x＝(x －2)e x.由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )＞0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x ＞0，解得x ＞2.答案：(2，＋∞)2．设函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋5x ＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a 的取值X 围是________．解析：依题意，知当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5的值恒不小于0或恒不大于0. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≥0，即有－2a ≤x ＋5x在[1,3]上恒成立，而x ＋5x≥2x ·5x＝25(当且仅当x ＝5时取等号)，故－2a ≤25，解得a ≥－ 5. 若当x ∈[1,3]时，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋5≤0，即有－2a ≥x ＋5x恒成立，注意到函数g (x )＝x ＋5x 在[1，5]上是减函数，在[5，3]上是增函数，且g (1)＝6>g (3)＝143，因此－2a ≥6，解得a ≤－3.综上所述，实数a 的取值X 围是(－∞，－3]∪[－5，＋∞)． 答案：(－∞，－3]∪[－5，＋∞)3．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f ′(x )＝1－cos x ＞0，所以f (x )在(0,2π)上单调递增． 答案：单调递增4．(2016·启东模拟)已知a ≥1，f (x )＝x 3＋3|x －a |，若函数f (x )在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M ，m ，则M －m 的值为________．解析：当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3＋3(a －x )＝x 3－3x ＋3a (a ≥1)，∴f ′(x )＝3(x －1)(x ＋1)．当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0，所以原函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，所以M ＝f (－1)＝3a ＋2，m ＝f (1)＝3a －2，所以M －m ＝4.答案：45．(2016·某某测试)已知函数f (x )＝12x 2＋2ax －ln x ，若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上是增函数，则实数a 的取值X 围为________．解析：f ′(x )＝x ＋2a －1x ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立， 即2a ≥－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上恒成立，∵⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x max ＝83， ∴2a ≥83，即a ≥43.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．解析：由f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6得f ′(x )＝3x 2－30x －33，令f ′(x )＜0，即3(x －11)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜11，所以函数f (x )的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)2．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，12，则函数g (x )＝e xf (x )的单调递减区间为________．解析：设幂函数f (x )＝x α，因为图象过点⎝⎛⎭⎪⎫22，12，所以12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22α，α＝2，所以f (x )＝x 2，故g (x )＝e x x 2，令g ′(x )＝e x x 2＋2e xx ＝e x(x 2＋2x )＜0，得－2＜x ＜0，故函数g (x )的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2016·某某、某某、某某、某某调研)设f (x )＝4x 3＋mx 2＋(m －3)x ＋n (m ，n ∈R)是R 上的单调增函数，则实数m 的值为________．解析：因为f ′(x )＝12x 2＋2mx ＋m －3，又函数f (x )是R 上的单调增函数，所以12x2＋2mx ＋m －3≥0在R 上恒成立，所以(2m )2－4×12(m －3)≤0，整理得m 2－12m ＋36≤0，即(m －6)2≤0.又因为(m －6)2≥0，所以(m －6)2＝0，所以m ＝6.答案：64．已知函数f (x )＝x ＋1ax在(－∞，－1)上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：函数f (x )＝x ＋1ax 的导数为f ′(x )＝1－1ax2，由于f (x )在(－∞，－1)上单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，－1)上恒成立，即1a≤x 2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x ＜－1时，x 2＞1，则有1a≤1，解得a ≥1或a ＜0.答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)5．(2015·某某、某某、某某、某某三调)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3＋3x 2＋m ，0≤x ≤1，mx ＋5，x >1.若函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，则实数m 的取值X 围为________．解析：由f (x )＝2x 3＋3x 2＋m ，得f ′(x )＝6x 2＋6x ，所以f (x )在[0,1]上单调递增，即f (x )＝2x 3＋3x 2＋m 与x 轴至多有一个交点，要使函数f (x )的图象与x 轴有且只有两个不同的交点，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋5>0，m <0，从而可得m ∈(－5,0)．答案：(－5,0)6．若函数f (x )＝ax 3－3x 在(－1,1)上为单调递减函数，则实数a 的取值X 围是________． 解析：f ′(x )＝3ax 2－3，∵f (x )在(－1,1)上为单调递减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax 2－3≤0在(－1,1)上恒成立．当x ＝0时，a ∈R ；当x ≠0时，a ≤1x2，∵x∈(－1,0)∪(0,1)，∴a ≤1.综上，实数a 的取值X 围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]7．(2016·某某中学模拟)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为________．解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2)<x 22＋12，∴f (x 2)－x 22<f (1)－12，∴F (x 2)<F (1)，而函数F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)8．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值X 围是________．解析：对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14＋2a .当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝29＋2a .令29＋2a ＞0，解得a ＞－19.所以a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－19，＋∞9．(2016·某某五校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x， 又f ′(1)＝1－ke ＝0，故k ＝1.(2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1ex. 设h (x )＝1x －ln x －1(x ＞0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x＜0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0＜x ＜1时，h (x )＞0，从而f ′(x )＞0； 当x ＞1时，h (x )＜0，从而f ′(x )＜0. 综上可知，f (x )的单调递增区间是(0,1)， 单调递减区间是(1，＋∞)．10．(2016·某某调研)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax ＋b .(1)若f (x )与g (x )在x ＝1处相切，求g (x )的表达式； (2)若φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )在[1，＋∞)上是减函数，某某数m 的取值X 围．解：(1)由已知得f ′(x )＝1x ，∴f ′(1)＝1＝12a ，a ＝2.又∵g (1)＝0＝12a ＋b ，∴b ＝－1，∴g (x )＝x －1.(2)∵φ(x )＝m x －1x ＋1－f (x )＝m x －1x ＋1－ln x 在[1，＋∞)上是减函数．∴φ′(x )＝－x 2＋2m －2x －1x x ＋12≤0在[1，＋∞)上恒成立．即x 2－(2m －2)x ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立， 则2m －2≤x ＋1x，x ∈[1，＋∞)，∵x ＋1x∈[2，＋∞)，∴2m －2≤2，m ≤2.故实数m 的取值X 围是(－∞，2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x，若f (x )在[－1,1]上是单调减函数，则a 的取值X 围是________．解析：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x ＝[x 2＋(2－2a )x －2a ]e x，由题意知当x ∈[－1,1]时，f ′(x )≤0恒成立，即x 2＋(2－2a )x －2a ≤0恒成立．令g (x )＝x 2＋(2－2a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧g －1≤0，g1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2－2a ·－1－2a ≤0，12＋2－2a －2a ≤0，解得a ≥34.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 2．(2016·某某模拟)若函数f (x )＝x 2|x －a |在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值X 围是________．解析：当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，f ′(x )＝3x 2－2ax ≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则也在[0,2]上单调递增，成立；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x 3，0≤x ≤a ，x 3－ax 2，x >a .①当0≤x ≤a 时，f ′(x )＝2ax －3x 2， 令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23a ，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减； ②当x >a 时，f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使函数在区间[0,2]上单调递增，则必有23a ≥2，解得a ≥3.综上，实数a 的取值X 围是(－∞，0]∪[3，＋∞)． 答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)3．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′x ＋m 2在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值X围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a 1－xx.当a ＞0时，f (x )的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a ＜0时，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )不是单调函数．(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数， 即g ′(x )＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧g ′t ＜0，g ′3＞0.当g ′(t )＜0，即3t 2＋(m ＋4)t －2＜0 对任意t ∈[1,2]恒成立， 由于g ′(0)＜0，故只要g ′(1)＜0且g ′(2)＜0， 即m ＜－5且m ＜－9，即m ＜－9； 由g ′(3)＞0，即m ＞－373.所以－373＜m ＜－9.即实数m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。

课时追踪检测 ( 十五 ) 导数的应用 ( 一)1．函数 f ( x ) ＝x ＋ eln x 的单一递加区间为 ()A ． (0 ，＋∞)B ． ( －∞， 0)C ． ( －∞， 0) 和(0 ，＋∞)D ． R2．(2012 ·广州联考 ) 已知定义在 R 上的函数f ( ) ，其导函数f′( ) 的大概图象如图所xx示，则以下表达正确的选项是 ()A ． f ( b )> f ( c )> f ( d )B ． f ( b )> f ( a )> f ( e )C ． f ( c )> f ( b )> f ( a )D ． f ( c )> f ( e )> f ( d )23．(2012 ·陕西高考 ) 设函数 f ( x ) ＝ x ＋ ln x ，则 ()1 A ． x ＝ 2为 f ( x ) 的极大值点1B ． x ＝ 2为 f ( x ) 的极小值点C ． x ＝2 为 f ( x ) 的极大值点D ． x ＝2 为 f ( x ) 的极小值点4．(2012 ·纲领全国卷 ) 已知函数 y ＝ x 3－ 3x ＋ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则c ＝()A ．－2 或 2B ．－9或3C ．－1 或 1D ．－3或1ln x5．若 f ( x ) ＝ x ， e<a <b ，则 ()A ． ( )> ( b )B ． ( ) ＝ ( )f a f f a f bC ． f ( a )< f ( b )D ． f ( a ) f ( b )>16．(2012 ·深圳统考 ) 函数 f ( x ) ＝ x 3－ 3x － 1，若关于区间 [ － 3,2] 上的随意x 1， x 2，都有| f ( x 1) － f ( x 2)| ≤ t ，则实数 t 的最小值是 ()A ． 20B ．187．(2012 ·梅州期末 ) 已知函数f ( x) ＝x32m＋6) x＋1既存在极大值又存在极小＋ mx＋(值，则实数的取值范围是 ________．m8．已知函数f ( x) ＝－x3＋ax2－ 4 在x＝ 2 处获得极值，若m∈[ － 1,1] ，则f ( m) 的最小值为 ________．9．已知函数y＝f ( x) ＝x3＋ 3ax2＋ 3bx＋c在x＝ 2 处有极值，其图象在x＝ 1 处的切线平行于直线 6x＋ 2y＋ 5＝ 0，则f ( x) 极大值与极小值之差为________．10．已知函数f ( x) ＝ax 2＋b ln x 在 x＝11处有极值2.(1)求 a， b 的值；(2)判断函数 y＝ f ( x)的单一性并求出单一区间．1 311．(2012 ·重庆高考) 设f ( x) ＝a ln x＋2x＋2x＋ 1，此中a∈R，曲线y＝f ( x) 在点 (1 ，f (1))处的切线垂直于y 轴．(1) 求a的值；(2) 求函数f ( x) 的极值．1－x12．(2012 ·郑州质检) 已知函数 f ( x)＝ax＋ln x.1(1)当 a＝2时，求 f ( x)在[1，e]上的最大值和最小值；1(2)若函数 g( x)＝ f ( x)－4x 在[1，e]上为增函数，求正实数 a 的取值范围．1．设函数 f ( x)＝ ax2＋ bx＋ c( a，b， c∈R)．若 x＝－1为函数 f ( x)e x的一个极值点，则以下图象不行能为y＝ f ( x)的图象是()2．(2012 ·沈阳实验中学检测) 已知定义在 R 上的奇函数f ( x) ，设其导函数为 f ′(x)，当 x∈(－∞，0]时，恒有 xf ′(x)< f (－ x)，令 F( x)＝ xf ( x)，则知足 F(3)> F(2 x－1)的实数x 的取值范围是()A． ( －1,2)1 B. －1，21C. 2，2 D ．(－2,1)132 3．(2012 ·北京东城区综合练习) 定义在 R 上的函数f ( x) ＝3ax＋bx＋cx＋ 2同时知足以下条件：①f ( x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；② f ′(x)是偶函数；③ f ( x)在 x＝0处的切线与直线y＝x＋2垂直．(1)求函数 f ( x)的分析式；13－x(2) 设g( x) ＝3x f x·e，求函数g( x)在[ m， m＋1]上的最小值．答案课时追踪检测( 十五 )A 级e1．选 A 函数定义域为 (0 ，＋∞ ) ， f ′(x ) ＝ 1＋ x >0，故单一增区间是 (0，＋∞)． 2．选 C依题意得，当 ∈( －∞， c ) 时， ′( )>0 ；xfx当 x ∈( c ， e ) 时， f ′(x )<0 ；当 x ∈ ( e ，＋∞ ) 时， f ′(x )>0. 所以，函数 f ( x ) 在( －∞，c ) 上 是增 函 数， 在 ( c ， e ) 上 是减 函 数， 在 ( e ，＋ ∞)上是 增函 数， 又 a <b <c ，所 以f ( c )> f ( b )> f ( a ) ．3．选 D 函数 f( ) 的定义域为 (0 ，＋∞) ， ′( ) ＝－2 1x － 2x ＝ 2时， ′()2＋ ＝2，当xfxxxxfx＝0；当 x >2 时， ′( )>0 ，函数f ( x ) 为增函数；当 0< <2 时，f ′( )<0 ，函数f ( x ) 为减函f xxx数，所以 x ＝ 2 为函数 f ( x ) 的极小值点．4．选 A 设 f ( x ) ＝x 3－ 3 x ＋ c ，对 f ( x ) 求导可得， f ′(x ) ＝ 3 x 2－ 3，令 f ′(x ) ＝0，可得 x ＝± 1，易知 f ( x ) 在 ( －∞，－ 1) ， (1 ，＋∞ ) 上单一递加，在 ( － 1,1) 上单一递减．若f (1) ＝ 1－ 3＋ c ＝ 0，可得 c ＝2；若 f ( － 1) ＝－ 1＋ 3＋ c ＝0，可得 c ＝－ 2.1－ ln x5．选 A f ′(x ) ＝ x 2，当 x >e 时， f ′(x )<0 ，则 f ( x ) 在(e ，＋∞ ) 上为减函数，f ( a )> f ( b ) ．6．选 A因为 f ′(x ) ＝ 3x 2－3＝ 3( x － 1)( x ＋ 1) ，令 f ′(x ) ＝ 0，得 x ＝± 1，所以－ 1,1为函数的极值点． 又f ( －3)＝－ 19， ( －1) ＝1， (1) ＝－ 3， (2) ＝1，所以在区间 [ － 3,2]f ff上 f ( x )＝ 1，f ( x )min ＝－ 19. 又由题设知在区间[ － 3,2] 上 f ( x ) － f ( x )min ≤ t ，进而 t ≥20，maxmax所以 t 的最小值是 20.7．分析： ′( )＝3x 2＋ 2＋ ＋ 6＝ 0 有两个不等实根，即＝ 4 2－12×( ＋6)>0.fxmx mmm所以 m >6 或 m <－ 3.答案： ( －∞，－ 3) ∪ (6 ，＋∞)8．分析： 求导得 ′()＝－3x2＋2 ，由f ( x ) 在 x ＝ 2 处获得极值知 f ′(2) ＝ 0，即－fxax3×4＋ 2a ×2＝ 0，故 a ＝3. 由此可得f ( x ) ＝－ x 3＋ 3x 2－4，f ′(x ) ＝－ 3x 2＋ 6x . 由此可得 f ( x )在( － 1,0) 上单一递减，在 (0,1) 上单一递加，所以对 m ∈ [ － 1,1] 时， f ( m ) min ＝ f (0) ＝－ 4.答案：－ 49．分析：∵ y ′＝ 3x 2＋ 6ax ＋ 3b ，2a ＝－ 1，3×2＋ 6a ×2＋ 3b ＝ 02?3×1＋6a ＋ 3b ＝－ 3 b ＝ 0.∴ y ′＝ 3x 2－ 6x ，令 3x 2－ 6x ＝0，则 x ＝0 或 x ＝2.∴ f ( x ) 极大值 － f ( x ) 极小值 ＝ f (0) － f (2) ＝ 4.答案： 4b 10．解： (1) ∵f′(x) ＝ 2ax＋x.1又 f ( x)在 x＝1处有极值2.f＝1，a＝1，∴2即2f＝ 0， 2 ＋＝0.a b1解得 a＝2， b＝－1.(2) 由 (1) 可知f (x)＝12－ lnx，其定义域是 (0 ，＋∞ ) ，2x1x＋x－且 f ′(x)＝ x－x＝x.由 f ′(x)<0，得0<x<1；由 f ′(x)>0，得 x>1.所以函数 y＝ f ( x)的单一减区间是(0,1) ，单一增区间是(1 ，＋∞ ) ．1 311．解： (1) 因f ( x) ＝a ln x＋2x＋2x＋1，a13故 f ′(x)＝x－2x2＋2.因为曲线y＝ f ( x)在点(1， f (1))处的切线垂直于y 轴，故该切线斜率为0，即f′(1)1 3＝0，进而a－2＋2＝ 0，解得 a＝－1.1 3(2)由 (1) 知f ( x) ＝－ ln x＋2x＋2x＋ 1( x>0) ，113f′(x)＝－x－2x2＋23x2－ 2x－ 1＝2x2x＋x－＝2x2.121因2＝－1不在定令 f ′(x)＝0，解得 x ＝1， x＝－3x3义域内，舍去．当 x∈(0,1)时， f ′(x)<0，故 f ( x)在(0,1)上为减函数；当 x∈(1，＋∞)时， f ′(x)>0，故 f ( x)在(1，＋∞)上为增函数．故 f ( x)在 x＝1处获得极小值 f (1)＝3.112．解： (1) 当 a ＝ 2时，f ( x ) ＝－ xx ，x＋ lnx － 2f ′(x ) ＝ x 2 ，令 f ′(x ) ＝ 0，得 x ＝ 2，∴当 x ∈ [1,2) 时， ′( )<0 ，故f ( x ) 在 [1,2) 上单一递减；f x当 x ∈(2 ， e] 时， f ′(x )>0 ，故 f ( x ) 在 (2 ，e] 上单一递加，故 f ( x ) min ＝f (2) ＝ ln 2 － 1.2－e又∵ f (1) ＝ 0， f (e) ＝e<0.∴ f ( x ) 在区间 [1 ， e] 上的最大值 f ( x ) max ＝f (1) ＝ 0.综上可知，函数 f ( x ) 在 [1 ， e] 上的最大值是 0，最小值是 ln 2 － 1.11－ x1(2) ∵ g ( x ) ＝ f ( x ) － 4x ＝ ax ＋ ln x － 4x ，－ ax 2＋4ax － 4∴ g ′(x ) ＝ 4 2( a >0) ，ax2设 φ ( x ) ＝－ ax ＋4ax － 4，由题意知， 只要 φ ( x ) ≥0在 [1 ，e] 上恒建立刻可知足题意．44∴只要 φ (1) ＝3a －4≥0，即 a ≥3即可．故正实数 a 的取值范围为3，＋∞ .B 级1．选 D因为 [ f ( x )e x ] ′＝ f ′(x )e x ＋ f ( x )(e x ) ′＝ [ f ( x ) ＋f ′(x )]e x ，且 x ＝－ 1 为函数 f ( x )e x 的一个极值点， 所以 f (1) ＋f ′(1) ＝ 0；选项 D 中，f (1)>0 ，f ′ (1)>0 ，不知足 f ′(1)＋ f (1) ＝ 0.2．选 A 由 F ( x ) ＝ xf ( x ) ，得 F ′(x ) ＝ f ( x ) ＋ xf ′(x ) ＝ xf ′(x ) － f ( － x )<0 ，所以 F ( x )在( －∞， 0) 上单一递减，又可证 F ( x ) 为偶函数，进而 F ( x ) 在 [0 ，＋∞ ) 上单一递加，故原不等式可化为－ 3<2x － 1<3，解得－ 1<x <2.3．解： (1)f ′()＝2＋2 bx ＋ ，x axcf ＝ 0，由题意知 2b ＝ 0，f＝－ 1，a ＋ 2b ＋c ＝ 0，a ＝ 1，即 b ＝ 0，解得 b ＝ 0，c ＝－ 1， c ＝－ 1.所以函数 f ( x)的分析式为 f ( x)＝13x3－ x＋2.13－ f x x x.(2) g( x) ＝x·e＝ ( x－ 2)e3g′(x)＝e x＋( x－2)e x＝( x－1)e x.令′( ) ＝ 0，解得x ＝1. 当x<1 时，′( )<0 ；当>1 时，′( )>0 ，所以函数(x)g x g x x g x g在( －∞， 1) 上单一递减，在 (1 ，＋∞ ) 上单一递加．当 m≥1时，在[ m， m＋1]上， g( x)单一递加， g( x)min＝ g( m)＝( m－2)e m；当 m<1<m＋1，即0<m<1时， g( x)在[ m,1)上单一递减，在(1，m＋1]上单一递加， g( x)min ＝g(1)＝－e；m 当 m＋1≤1，即 m≤0时，在[ m，m＋1]上， g( x)单一递减， g( x)min＝ g( m＋1)＝( m－1)e ＋1.综上，函数g( x)在[ m， m＋1]上的最小值m－m， m≥1，g( x)min＝－e，0<m<1，m－m＋ 1， m≤0.。

导数的综合应用【选题明细表】不等式问题1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数，则m的取值范围是( B )(A)m>-2(B)m≥-2(C)m<2 (D)m≤2解析:函数定义域为(0，+∞)，又f'(x)=2x+m+.依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0，+∞)上恒成立，∴m≥-恒成立，设g(x)=-，则g(x)=-≤-2，当且仅当x=时等号成立.故m≥-2，故选B.2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R，f(0)=2，对任意x∈R，f(x)+f'(x)>1，则不等式e x·f(x)>e x+1的解集为( A )(A){x|x>0} (B){x|x<0}(C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0<x<1}解析:构造函数g(x)=e x·f(x)-e x，因为g'(x)=e x·f(x)+e x·f'(x)-e x=e x[f(x)+f'(x)]-e x>e x-e x=0，所以g(x)=e x·f(x)-e x为R上的增函数.又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.故选A.3.如图所示，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0)，则导函数y=S'(t)的图象大致为( A )解析:由导数的定义知，S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示，正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ，此时其面积S(t)在逐渐增大，且增长速度越来越快，故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时，此时的S(t)应突然增大，然后增长速度减慢，但仍为增函数，故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大，再逐渐变小，但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后，S(t)的值不再变化，故其导数值S'(t)最终应等于0，符合上述特征的只有选项A.4.已知f(x)是定义域为R的奇函数，f(-4)=-1，f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正数a，b满足f(a+2b)<1，则的取值范围是( B )(A)(B)(C)(-1，0) (D)(-∞，-1)解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数，f(-4)=-1，所以f(-4)=-f(4)，所以f(4)=1，所以f(a+2b)<f(4)，又由f'(x)≥0，得f(x)为增函数，所以a+2b<4，而a，b为正数，所以a+2b<4所表示的区域为如图所示的直角三角形AOB(不包括边界)，其中A(0，4)，B(2，0)，可看成是直线PM的斜率，其中P(-2，-2)，M(b，a)在直角三角形AOB的内部(不包括边界)，所以k PB<k PM<k PA，而k PA==3，k PB==，所以<k PM<3，故选B.5.(2013淄博一检)已知a≤+ln x对任意x∈恒成立，则a的最大值为( A )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:设f(x)=+ln x=+ln x-1，则f'(x)=-+=.当x∈时，f'(x)<0，故函数f(x)在上单调递减;当x∈(1，2]时，f'(x)>0，故函数f(x)在(1，2]上单调递增，∴f(x)min=f(1)=0，∴a≤0，即a的最大值为0.故选A.二、填空题6.电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y=x3-x2-40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为.解析:由y'=x2-39x-40=0，得x=-1或x=40，由于0<x<40时，y'<0;当x>40时，y'>0.所以当x=40时，y有最小值.答案:407.关于x的方程x3-3x2-a=0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是.解析:方程可化为a=x3-3x2，设f(x)=x3-3x2，则f'(x)=3x2-6x，由f'(x)>0，得x>2或x<0;由f'(x)<0，得0<x<2，所以f(x)在(-∞，0)和(2，+∞)上单调递增，在(0，2)上单调递减，故f(x)在x=0处有极大值，f(0)=0.在x=2处有极小值f(2)=-4.要使方程有三个不同的实根，则有-4<a<0.答案:(-4，0)8.(2013天津模拟)函数f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有极大值又有极小值，则a的取值范围是.解析:f'(x)=3x2+6ax+3(a+2)，令3x2+6ax+3(a+2)=0，即x2+2ax+a+2=0.因为函数f(x)既有极大值又有极小值，所以方程x2+2ax+a+2=0有两个不相等的实根，即Δ=4a2-4a-8>0，解得a>2或a<-1.答案:a>2或a<-1三、解答题9.(2013银川模拟)设函数f(x)=aln x-bx2(x>0)，(1)若函数f(x)在x=1处与直线y=-相切，①求实数a，b的值;②求函数f(x)在上的最大值.(2)当b=0时，若不等式f(x)≥m+x对所有的a∈，x∈(1，e2]都成立，求实数m的取值范围.解:(1)①f'(x)=-2bx，∵函数f(x)在x=1处与直线y=-相切，∴解得②f(x)=ln x-x2，f'(x)=-x=，当≤x≤e时，令f'(x)>0得≤x<1;令f'(x)<0，得1<x≤e，∴f(x)在上单调递增，在[1，e]上单调递减，∴f(x)max=f(1)=-.(2)当b=0时，f(x)=aln x，不等式f(x)≥m+x对所有的a∈，x∈(1，e2]都成立，即aln x≥m+x对所有的a∈，x∈(1，e2]都成立，即m≤aln x-x对所有的a∈，x∈(1，e2]都成立，令h(a)=aln x-x，则h(a)为一次函数，m≤h(a)min.∵x∈(1，e2]，∴ln x>0，∴h(a)在a∈上单调递增，∴h(a)min=h(0)=-x，∴m≤-x对所有的x∈(1，e2]都成立.∵1<x≤e2，∴-e2≤-x<-1，∴m≤(-x)min=-e2.10.设a为实数，函数f(x)=e x-2x+2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值;(2)求证:当a>ln 2-1且x>0时，e x>x2-2ax+1.(1)解:∵f'(x)=e x-2，由f'(x)<0可得，x<ln 2;由f'(x)>0可得x>ln 2，所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞，ln 2)，单调递增区间为(ln 2，+∞).当x=ln 2时，有极小值f(ln 2)=2(1-ln 2+a).(2)证明:设g(x)=e x-x2+2ax-1，x∈R，于是g'(x)=e x-2x+2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2-1时，g'(x)的最小值为g'(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0.于是对任意x∈R，都有g'(x)>0，所以g(x)在R内单调递增.于是当a>ln 2-1时，对任意x∈(0，+∞)，都有g(x)>g(0).而g(0)=0，从而对任意x∈(0，+∞)，g(x)>0，即e x-x2+2ax-1>0，故e x>x2-2ax+1.。

15 导数的综合应用一、填空题1．函数f (x )＝12x －x 3在区间[－3,3]上的最小值是__________．2．(2013江苏溧水中学模拟)已知f (x )＝x ＋cos x (x ∈R )，则不等式f (e x －1)＞f (0)的解集为__________．3．已知函数y ＝3x 3＋2x 2－1在区间(m,0)内为减函数，则m 的取值范围是__________．4．(2013江苏南通高三调研)已知f (x )＝x 4－4x 3＋(3＋m )x 2－12x ＋12，m ∈R .若对于任意实数x ，f (x )≥0恒成立，则m 的取值范围为________．5．已知函数f (x )＝x ＋sin x ．设P ，Q 是函数f (x )图象上相异的两点，则直线PQ 的斜率________0(填“＞”、“＜”)．6．已知：三次函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递增，在(－1,2)上单调递减，当且仅当x ＞4时，f (x )＞x 2－4x ＋5.则函数f (x )的解析式为________．7．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有f (0)＋f (2)________2f (1)．8．(2013江苏淮安四校联考)挖一条隧道，截面下方为矩形，上方为半圆(如图)，如果截面积为20 m 2，当宽为__________时，使截面周长最小．9．(2013江苏盐城三模)若不等式|ax 3－ln x |≥1对任意x ∈ (0,1]都成立，则实数a 的取值范围是________．二、解答题10．设函数f (x )＝6x 3＋3(a ＋2)x 2＋2ax .(1)若f (x )的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，求实数a 的值；(2)是否存在实数a ，使得f (x )是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．11．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤5)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x (百万元)，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？(注：收益＝销售额－投放)．12．(2013江苏泰州月考)已知f (x )＝2x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)求函数f (x )的最小值；(2)若存在x ∈ (0，＋∞)，使f (x )≤g (x )成立，求实数a 的取值范围；(3)证明对一切x ∈ (0，＋∞)，都有f (x )＞2⎝⎛⎭⎫x e x －2e 成立．参考答案一、填空题1．－16 解析：由f ′(x )＝12－3x 2＝0，得x ＝－2或x ＝2.又f (－3)＝－9，f (－2)＝－16，f (2)＝16，f (3)＝9，∴函数f (x )在[－3,3]上的最小值为－16.2．(0，＋∞) 解析：f (x )＝x ＋cos x ，f ′(x )＝1－sin x ≥0，∴f (x )(x ∈R )是增函数．若f (e x －1)＞f (0)，则e x －1＞0，e x ＞1，即x ＞0.∴解集为(0，＋∞)．3.⎣⎡⎭⎫－49，0 解析：由y ′＝9x 2＋4x ≤0得－49≤x ≤0，而y ＝3x 3＋2x 2－1在区间(m,0)内为减函数，所以－49≤m ＜0. 4．[4，＋∞) 解析：f (x )＝x 4－4x 3＋(3＋m )x 2－12x ＋12＝(x 2＋3)(x －2)2＋(m －4)x 2. 当m ＜4时，f (2)＝4(m －4)＜0，不合题意；当m ≥4时，f (x )＝(x 2＋3)(x －2)2＋(m －4)x 2≥0，对一切实数x 恒成立．所以m 的取值范围是[4，＋∞)．5．＞6．f (x )＝x 3－32x 2－6x －11 解析：∵f (x )在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单增，(－1,2)上单减，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0有两根－1,2. ∴2312,,326,12,3a a b b ⎧-+⎧⎪=-⎪⎪∴⎨⎨⎪⎪=--⨯=⎩⎪⎩∴f (x )＝x 3－32x 2－6x ＋c . 令H (x )＝f (x )－x 2＋4x －5＝x 3－52x 2－2x ＋c －5，H ′(x )＝3x 2－5x －2＝(3x ＋1)(x －2)，H (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－13，(2，＋∞)上单调递增，⎝⎛⎭⎫－13，2上单调递减， 故(4)0,11.1()0.3H c H =⎧⎪∴=-⎨-<⎪⎩∴f (x )＝x 3－32x 2－6x －11.7．≥ 解析：当x ≥1时，f ′(x )≥0，故f (2)≥f (1)；当x ＜1时，f ′(x )≤0，故f (0)≥f (1)，又f (2)≥f (1)，所以f (0)＋f (2)≥2f (1)．8．4104＋π解析：如图所示，设半圆的半径为r ，矩形的高为h ，则截面积S ＝2rh ＋πr 22＝20，截面周长C ＝2r ＋2h ＋πr ＝2r ＋20－πr 22r ＋πr ＝2r ＋20r －πr 2＋πr ＝⎝⎛⎭⎫2＋π2r ＋20r . 设C ′(r )＝⎝⎛⎭⎫2＋π2－20r 2， 令C ′(r )＝0，解得r ＝2104＋π. 故当r ＝2104＋π时，周长C 最小，即宽为4104＋π时，截面周长最小． 9．a ≥e 23解析：显然x ＝1时，有|a |≥1，则a ≤－1或a ≥1. 令g (x )＝ax 3－ln x ，g ′(x )＝3ax 2－1x ＝3ax 3－1x.①当a ≤－1时，对任意x ∈(0,1]，g ′(x )＝3ax 3－1x＜0，g (x )在(0,1]上递减， g (x )min ＝g (1)＝a ≤－1，此时g (x )∈[a ，＋∞)，|g (x )|的最小值为0，不适合题意．②当a ≥1时，对任意x ∈(0,1]，g ′(x )＝3ax 3－1x ＝0⇒x ＝313a， |g (x )|的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫313a ＝13＋13ln(3a )≥1，解得：a ≥e 23，故所求a ≥e 23. 二、解答题10．解：(1)f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a ，令f ′(x )＝0，得18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a ＝0两根为x 1，x 2，且x 1x 2＝1＝2a 18，所以a ＝9.(2)由f ′(x )＝18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a 开口向上，且Δ＝36(a ＋2)2－8×18a ＝36(a 2＋4)＞0恒成立，得方程18x 2＋6(a ＋2)x ＋2a ＝0有两个相异实根，故不存在a 使f (x )是单调函数．11．解：(1)设投入t (t 百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0＜t ≤3)，所以当t ＝2百万元时，f (t )取得最大值4百万元．即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)，则有g (x )＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)， 所以g ′(x )＝－x 2＋4.令g ′(x )＝0，解得x ＝2，或x ＝－2(舍去)．又当0≤x ＜2时，g ′(x )＞0，当2＜x ≤3时，g ′(x )＜0.故g (x )在[0,2]上是增函数，在[2,3]上是减函数．所以当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造， 1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．12．(1)解：f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2(ln x ＋1)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )＜0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减；在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增． 故当x ＝1e 时，f (x )取最小值为－2e.(2)解：存在x ∈∈(0，＋∞)，使f (x )≤g (x )成立，即存在x ∈ (0，＋∞)使2x ln x ≤－x 2＋ax－3能成立，等价于存在x ∈ (0，＋∞)使a ≥2ln x ＋x ＋3x能成立． 等价于a ≥⎝⎛⎭⎫2ln x ＋x ＋3x min . 记h (x )＝2ln x ＋x ＋3x，x ∈ (0，＋∞)， 则h ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2. 当x ∈ (0,1)时，h ′(x )＜0；当x ∈ (1，＋∞)时，h ′(x )＞0，所以当x ＝1时，h (x )取最小值为4，故a ≥4.(3)证明：记j (x )＝2⎝⎛⎭⎫x e x －2e ，x ∈ (0，＋∞)，则j ′(x )＝2⎝⎛⎭⎫1－x e x .当x ∈ (0,1)时，j ′(x )＞0；当x ∈ (1，＋∞)时，j ′(x )＜0，所以当x ＝1时，j (x )取最大值为－2e. 又由(1)知当x ＝1e 时，f (x )取最小值为－2e， 故对一切x ∈ (0，＋∞)，都有f (x )＞2⎝⎛⎭⎫x e x －2e 成立．。

高考数学一轮复习导数及其应用多选题测试试题含答案一、导数及其应用多选题1．关于函数()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-下列说法正确的是（ ）A ．当1a =时，()f x 在0x =处的切线方程为y x =B ．若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =C ．对任意0a >，()0f x ≥恒成立D ．当1a =时，()f x 在()π,π-上恰有2个零点 【答案】ABD 【分析】直接逐一验证选项，利用导数的几何意义求切线方程，即可判断A 选项；利用分离参数法，构造新函数和利用导数研究函数的单调性和极值、最值，即可判断BC 选项；通过构造新函数，转化为两函数的交点个数来解决零点个数问题，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，所以()00e cos00f =-=，故切点为（0，0），则()e sin xf x x '=+，所以()00e sin01f '=+=，故切线斜率为1，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()010y x -=⨯-，即y x =，故A 正确； 对于B ，()e cos xf x a x =-，()π,πx ∈-，则()e sin xf x a x '=+，若函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，即()0f x '=在()π,π-上恰有一个解， 令()0f x '=，即e sin 0x a x +=在()π,π-上恰有一个解， 则sin xxa e -=在()π,π-上恰有一个解， 即y a =与()sin xxg x e -=的图象在()π,π-上恰有一个交点， ()sin cos xx xg x e -'=，()π,πx ∈-，令()0g x '=，解得：134x π=-，24x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()0g x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '<， ()g x ∴在3,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在443,ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以极大值为3423204g e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，极小值为42204g e ππ-⎛⎫=< ⎪⎝⎭， 而()()()0,0,00g g g ππ-===， 作出()sinxg x e -=，()π,πx ∈-的大致图象，如下：由图可知，当0a =时，y a =与()sinx g x e-=的图象在()π,π-上恰有一个交点， 即函数()f x 在()π,π-上恰有一个极值，则0a =，故B 正确； 对于C ，要使得()0f x ≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即在()π,πx ∈-上，cos x xa e ≥恒成立，即maxcos x x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，设()cos x x h x e =，()π,πx ∈-，则()sin cos xx xh x e--'=，()π,πx ∈-， 令()0h x '=，解得：14x π=-，234x π=， 当3,,44x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0h x '>，当3,44x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x ∴在,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递增，在3,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 所以极大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，()()11,h h e e ππππ--==，所以()cos x xh x e =在()π,πx ∈-上的最大值为42204h e ππ-⎛⎫-=> ⎪⎝⎭， 所以422a e π-≥时，在()π,πx ∈-上，()e cos 0xf x a x =-≥恒成立，即当422a e π-≥时，()0f x ≥才恒成立，所以对任意0a >，()0f x ≥不恒成立，故C 不正确； 对于D ，当1a =时，()e cos xf x x =-，()π,πx ∈-，令()0f x =，则()e cos 0xf x x =-=，即e cos x x =，作出函数xy e =和cos y x =的图象，可知在()π,πx ∈-内，两个图象恰有两个交点，则()f x 在()π,π-上恰有2个零点，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查函数和导数的综合应用，考查利用导数的几何意义求切线方程，考查分离参数法的应用和构造新函数，以及利用导数研究函数的单调性、极值最值、零点等，考查化简运算能力和数形结合思想.2．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔（L.E.Brouwer ）简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数()f x ，存在一个点0x ，使得()00f x x =，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称0x 为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（ ） A ．函数()sin f x x =有3个不动点B ．函数2()(0)f x ax bx c a =++≠至多有两个不动点C ．若定义在R 上的奇函数()f x ，其图像上存在有限个不动点，则不动点个数是奇数D ．若函数()f x =[0,1]上存在不动点，则实数a 满足l a e ≤≤（e 为自然对数的底数） 【答案】BCD 【分析】根据题目中的定义，结合导数、一元二次方程的性质、奇函数的性质进行判断即可. 【详解】令()sin g x x x =-，()1cos 0g x x '=-≥， 因此()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =， 所以()g x 在R 有且仅有一个零点， 即()f x 有且仅有一个“不动点”，A 错误；0a ≠，20ax bx c x ∴++-=至多有两个实数根，所以()f x 至多有两个“不动点”，B 正确；()f x 为定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，函数()-y f x x =为定义在R 上的奇函数，显然0x =是()f x 的一个“不动点”，其它的“不动点”都关于原点对称，个数和为偶数， 因此()f x 一定有奇数个“不动点”，C 正确；因为()f x 在[0,1]存在“不动点”，则()f x x =在[0,1]有解，x =⇒2x a e x x =+-在[0,1]有解，令2()xm x e x x =+-，()12x m x e x '=+-，令()12x n x e x '=+-，()20x n x e '=-=，ln 2x =，()n x 在(0,ln 2)单调递减，在(ln 2,1)单调递增，∴min ()(ln 2)212ln 232ln 20n x n ==+-=->， ∴()0m x '>在[0,1]恒成立，∴()m x 在[0,1]单调递增，min ()(0)1m x m ==，max ()(1)m x m e ==，∴1a e ≤≤，D 正确，. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.3．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC 【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】 由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<， 令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x '-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()0()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >； A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+； B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+； C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <； D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小.故选：ABC 【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<， 1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=. 2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.4．已知函数()sin xf x x=，(]0,x π∈，则下列结论正确的有（ ） A ．()f x 在区间(]0,π上单调递减B ．若120x x π<<≤，则1221sin sin x x x x ⋅>⋅C ．()f x 在区间(]0,π上的值域为[)0,1 D ．若函数()()cos g x xg x x '=+，且()1g π=-，()g x 在(]0,π上单调递减【答案】ACD 【分析】先求出函数的导数，然后对四个选项进行逐一分析解答即可， 对于选项A ：当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，可得()0f x '<，可得()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得()0f x '<，可得()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，最后作出判断； 对于选项B ：由()f x 在区间(]0,π上单调递减可得()()12f x f x >，可得1212sin sin x x x x >，进而作出判断； 对于选项C ：由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==，进而作出判断；对于选项D ：()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，可得()()sin xg x f x x''==，然后利用导数研究函数()g x '在区间(]0,π上的单调性，可得()()0g x g π''≤=，进而可得出函数()g x 在(]0,π上的单调性，最后作出判断.【详解】()2cos sin x x xf x x -'=， (]0,x π∈，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由三角函数线可知tan x x <， 所以sin cos xx x<，即cos sin x x x <，所以cos sin 0x x x -<， 所以()0f x '<，所以()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ≤，sin 0x ≥，所以cos sin 0x x x -<，()0f x '<， 所以()f x 在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以()f x 在区间(]0,π上单调递减，故选项A 正确； 当120x x π<<≤时，()()12f x f x >，所以1212sin sin x x x x >，即1221sin sin x x x x ⋅<⋅，故选项B 错误； 由三角函数线可知sin x x <，所以sin 1x x x x <=，sin ()0f πππ==， 所以当(]0,x π∈时，()[)0,1f x ∈，故选项C 正确；对()()cos g x xg x x '=+进行求导可得： 所以有()()()sin g x g x xg x x ''''=+-，所以()()sin xg x f x x''==，所以()g x ''在区间(]0,π上的值域为[)0,1， 所以()0g x ''≥，()g x '在区间(]0,π上单调递增，因为()0g π'=， 从而()()0g x g π''≤=，所以函数()g x 在(]0,π上单调递减，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的综合应用，对于函数()sin xf x x=的性质，可先求出其导数，然后结合三角函数线的知识确定导数的符号，进而确定函数的单调性和极值，最后作出判断，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.5．已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在0,单调递增B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】对于A ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1xx >≤，即0fx，所以()f x 在0,上单调递增，故A 正确；对于B ，当1a =-时，()e sin xf x x =-，()e cos xf x x '=-，则()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线方程为1y =，故B 错误；对于C ，当1a =时，()e sin xf x x =+，()e cos xf x x '+=，()e sin xf x x '=-'，当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0xx f x -'=>'恒成立，即()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，又ππ22ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+>，3π3π443π3πe cos e442f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭+，因为123π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭< ⎝，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '=成立，所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，由()000e cos 0xf x x +'==，可得()000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-+=- ⎪⎝⎭，因为03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则()00π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()1,0∈-，故C 正确；对于选项D ，()e sin xf x a x =+，()π,x ∈-+∞，令()e sin 0xf x a x =+=，得1sin ex xa -=，()sin ex xg x =，()π,x ∈-+∞，则()πcos sin 4e e x xx x x g x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x ，得πsin 04x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递减， 令0g x，得πsin 04x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函数()g x 单调递增， 所以5π2π4x k =+()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π2π2π445π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ， 在()g x 的极小值中，3π4sin 3π45π5π42π4eg g -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭-最小，当3ππ,4x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，所以函数()g x的最小值为3π3π445πsin 3π144eg --⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，当3π411a--<-时，即3π40a -<<时，函数()g x 与1=-y a无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.故选：AC. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.6．函数()ln f x x x =、()()f x g x x'=，下列命题中正确的是（ ）.A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减C ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()0,1a ∈D ．若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立，则m 1≥ 【答案】AD 【分析】对A ，根据()ln f x x x =，得到()()ln 1f x xg x x x'+==，然后用导数画出其图象判断；对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<判断；对C ，将函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，()ln 120x a x+=+∞在，有两根判断；对D ，将问题转化为22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立，再构造函数()2ln 2m g x x x x =-，用导数研究单调性. 【详解】对A ，因为()()()ln 1ln f x x f x x x g x x x'+===、， ()2ln xg x x-'=， 令()0g x '>，得()0,1x ∈，故()g x 在该区间上单调递增；令()0g x '<，得()1x ∈+∞，，故()g x 在该区间上单调递减. 又当1x >时，()0g x >，()10,11g g e ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故()g x 的图象如下所示：数形结合可知，()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故正确； 对B ，()1ln f x x '=+，当x e >时，()0f x '>，当0x e <<时，()0f x '<，所以函数()f x 在()0,e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，错误；对C ，若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点， 即()2ln F x x x ax =-有两个极值点，又()ln 21F x x ax '=-+， 要满足题意，则需()ln 2100x ax -+=+∞在，有两根， 也即()ln 120x a x+=+∞在，有两根，也即直线()2y a y g x ==与的图象有两个交点. 数形结合则021a <<，解得102a <<. 故要满足题意，则102a <<，故错误； 对D ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 即22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-恒成立， 构造函数()2ln 2m g x x x x =-，()()12g x g x >，对任意的120x x >>恒成立， 故()g x ()0+∞，单调递增，则()ln 10g x mx x '=--≥()0+∞， 恒成立， 也即ln 1x m x+≤，在区间()0,∞+恒成立，则()max 1g x m =≤，故正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查导数在函数图象和性质中的综合应用，还考查了数形结合的思想、转化化归思想和运算求解的能力，属于较难题.7．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ）A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥B ．若23a b e a e b +=+，则a b >C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．2ln a a bb e e-<恒成立 【答案】AD【分析】对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等式等价变型()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过10,ln 1∀>>-x x x恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，故D 错误. 【详解】A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b +=此时1+→a b ，故A 错误.B. 232+=+>+a b b e a e b e b设()2xf x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确 C. ()ln ln ln1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a b b a ，C 正确D. max 1=⇒=x x y y e e当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e； 所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当11a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩时取等号，D 错误. 故选：AD【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.8．已知函数1()2ln f x x x=+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()()*1N n n a f a n +=∈，则下列有关数列{}n a 的叙述正确的是（ ）A ．21a a <B ．1n a >C ．100100S <D ．112n n n a a a +⋅+<【答案】AB【分析】A ．计算出2a 的值，与1a 比较大小并判断是否正确；B ．利用导数分析()f x 的最小值，由此判断出1n a >是否正确；C ．根据n a 与1的大小关系进行判断；D ．构造函数()()1ln 11h x x x x=+->，分析其单调性和最值，由此确定出1ln 10n n a a +->，将1ln 10n na a +->变形可得112n n a a ++>，再将112n n a a ++>变形可判断结果. 【详解】A 选项，3221112ln 2ln 4ln 2222a e =+=+<+=，A 正确； B 选项，因为222121()x f x x x x='-=-，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 单增，所以()(1)1f x f >=， 因为121a =>，所以()11n n a f a +=>，所以1n a >，B 正确；C 选项，因为1n a >，所以100100S >，C 错误；D 选项，令1()ln 1(1)h x x x x =+->，22111()0x h x x x x-='=->， 所以()h x 在(1,)+∞单调递增，所以()(1)0h x h >=，所以1ln 10n n a a +->，则22ln 20n n a a +->，所以112ln 2n n n a a a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即112n n a a ++>， 所以112n n n a a a ++>，所以D 错误.故选：AB.【点睛】易错点睛：本题主要考查导数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： （1）转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；（2）利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.。

江苏科技大学附中2014年创新设计高考数学一轮简易通全套课时检测：数系的扩充与复数的引入本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设i 为虚数单位，则=+++++10321ii i i ( ) A ．iB ． i -C ．i 2D ．i 2- 【答案】A2．已知i 为虚数单位, 若复数11z =-i ，22z =+i ，则21z z ⋅=( )A ．3-iB ． 22-iC ． 1+iD ．22+i 【答案】A3．已知,1a i a R i -∈+为纯虚数，则a 的值为( ) A ．1B ．－1 CD． 【答案】A4．复数11i i-+等于( ) A ．1- B ．i - C ．1 D ．i【答案】B5．复数z=2-3i 对应的点z 在复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D6．复数z=1i i+在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】A7．若复数2(R,12a i a i i -∈+为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( )A ．4B ． 4-C ．1D ． 1- 【答案】A8．在复平面内,点(1,2)对应的复数为( )A ．5B ． i 5C ． i 21+D ． 2+i 【答案】A9．若(),,,11R b a bi a ii ∈+=+-则a b 的值是( ) A ． 1B ． 0C ． 1-D ． 2- 【答案】B10．对任意复数()i,R z x y x y =+∈，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．2z z y -= B ．222z x y =+ C ．2z z x -≥ D ．z x y ≤+【答案】D11．已知复数z =,z 是z 的共轭复数,则z z ⋅等于( ) A ．16B ．4C ．1D ． 116【答案】C 12．设i R y x ,,∈为虚数单位，且,2143i yi x i +=++则yi x Z +=的共轭复数在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ． 第四象限【答案】A第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．计算：1i 2i-=+____________ (其中i 为虚数单位). 【答案】13i 55- 14．设复数z=cos θ+isin θ(0≤θ≤180°)，复数z ，(1+i)z ，2在复平面上对应的三个点分别是P, Q, R.当P, Q, R 不共线时,以线段PQ, PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S, 点S 到原点距离的最大值是____________.【答案】315．在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是____________.【答案】2+4i16．复数231i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭ ； 【答案】34i --三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知a R ∈，且以下命题都为真命题：命题:p 实系数一元二次方程220x ax ++=的两根都是虚数； 命题:q 存在复数z 同时满足2z =且1z a +=. 求实数a 的取值范围.【答案】由命题p为真，可得(280a a ∆=-<⇒∈-;由命题q 为真，可知复平面上的圆224x y +=和圆()221x a y ++=有交点， 于是由图形不难得到[][]3,11,3a ∈--，故两个命题同时为真的实数a的取值范围是()11,22a ⎤⎡∈--⎦⎣. 18．设复数()()i m m m m z 2322lg 22+++--=，当m 取何实数时？(1）z 是纯虚数；(2）z 对应的点位于复平面的第二象限。

江苏科技大学附中2014年创新设计高考数学一轮简易通全套课时检测：空间几何体本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．过球的一条半径的中点作垂直于这条半径的球的截面，则此截面面积是球表面积的( )A．116 B．316C．112D．18【答案】B2．一个几何体的表面展开平面图如图．该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？( )A．前；程B．你；前C．似；锦D．程；锦【答案】A3．三棱锥的三个侧面都是直角三角形，且三个直角的顶点恰是三棱锥的顶点，则其底面一定是( )A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【答案】C4．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为 ( ）A． D．E、F B． F、D、E C． E、F、D D． E、D、F【答案】D5．给出下列命题：①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等；②棱台的各侧棱不一定相交于一点；③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行，则连结它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台；④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线.其中正确的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】C6．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为如下图的一个正方形，则原来图形的形状是( )【答案】A7．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为045，底面边长为2的等腰三角形，那么原平面图形的面积是( ) A ． 22+B ． 24C ．22D ． 2【答案】C8．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为( )【答案】D9．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )A ．283π- B ．83π-C ．π28-D ．23π 【答案】A10．四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD 为等边三角形，且侧面PAD ⊥底面ABCD ，点M 在底面正方形ABCD 内（含边界）运动，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹一定是( )【答案】B11．已知三棱锥ABC P -的顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ，2,1===BC AB PA ,则球O 的表面积为( )A ． 4πB ． 3πC ． 2πD ．π 【答案】A 12．“直线a 与平面M 没有公共点”是“直线a 与平面M 平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．若点M 在直线a 上，a 在平面α上，则M ，a ，α间的关系可用集合语言表示为____________． 【答案】α⊂∈a a M ,14．把一个长方体切割成k 个四面体，则k 的最小值是 . 【答案】515．已知圆柱M 的底面半径与球O 的半径相同，且圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比＝【答案】816．如图，在正三棱锥A －BCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，且BC ＝1，则正三棱锥A －BCD 的体积是 .【答案】224三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．如图，圆柱轴截面ABCD 是正方形，E 是底面圆周上不同于A 、B 的一点，AF ⊥DE 于F 。

江苏科技大学附中2014年创新设计高考数学一轮简易通全套课时检测：统计本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在独立性检验中，统计量2K 有两个临界值：3.841和6.635；当2K ＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当2K ＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当2K ≤3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算的2K =20.87，根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间( )A ．有95%的把握认为两者有关B ．约有95%的打鼾者患心脏病C ．有99%的把握认为两者有关D ．约有99%的打鼾者患心脏病【答案】C2．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。

现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )A ． 6B ． 8C ． 10D ．12【答案】B3．如果数据1x 、2x 、……n x 的平均值为x ，方差为2S ，则31x +5，32x +5，…… 3n x +5的平均值和方差分别为( )A ．x 和2SB ．3x +5和92S C ．3x +5和2S D ．3x +5 和92S +30S +25 【答案】B4．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图如右示，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,53【答案】A5．三点（3,10），(7,20)，(11,24)线性的回归方程是( )A ．5.75 1.75y x =-+B ． 1.75 5.75y x =+C ．1.75 5.75y x =-+D ．1.75 5.75y x =--【答案】B6．已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的( )A ．合格产品少于9件B ．合格产品多于9件C ．合格产品正好是9件D ．合格产品可能是9件【答案】D7．在独立性检验中，统计量2χ有两个临界值：3.841和6.635；当2χ＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当2χ＞6.635时，有99%的把握说明两个事件相关，当2χ≤3.841时，认为两个事件无关. 在一项调查某种药是否对心脏病有治疗作用时, 共调查了3000人，经计算的2χ=4.56，根据这一数据分析，认为此药物与心脏病之间( )A ．有95%的把握认为两者相关B ．约有95%的心脏病患者使用药物有作用C ．有99%的把握认为两者相关D ．约有99%的心脏病患者使用药物有作用【答案】A8．在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的( )A ． 预报变量在x 轴上，解释变量在y 轴上B ．解释变量在x 轴上，预报变量在y 轴上C ．可以选择两个变量中任意一个变量在x 轴上D ． 可以选择两个变量中任意一个变量在y 轴上【答案】B9．人的年龄x 与人体脂肪含量的百分数y 的回归方程为0.5770.448y x ∧=-，如果某人36 岁，那么这个人的脂肪含量( )A ．一定20.3%B ．在20.3%附近的可能性比较大C ．无任何参考数据D ．以上解释都无道理【答案】B10．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，由22⨯列联表得出6889232.≈K ,故有( )把握认为婴儿的性别与出生时间有关系（利用下表解决问题）A ．%100B ．%90C ．%80D ．%10【答案】B11．某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高三年级20名学生某次考试成绩统计如表所示：有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系( )A ． 99.9%B ． 99%C ． 97.5%D ． 95%【答案】B12．假设两个分类变量X 与Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}，{y 1，y 2}，其2×2列联表如图所示:对于以下数据，对同一样本能说明X 与Y 有关的可能性最大的一组为( )A ．a=5，b=4，c=3，d=2B ．a=5，b=3，c=2，d=4C ．a=5，b=2，c=4，d=3D ．a=2，b=3，c=5，d=4【答案】B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．有A 、B 、C 三种零件，分别为a 个，300个，200个，采用分层抽样抽取一个容量为45的样本，其中C 种零件抽取了10个，则此三种零件共有____________个【答案】90014．5000辆汽车经过某一雷达测速区，其速度频率分布直方图如右图所示，则时速超过70km/h 的汽车数量为【答案】50015．假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用 y （万元），有如下的统计资料：若由资料可知y 对x 呈线性相关关系，且线性回归方程为ˆybx a =+，其中已知23.1=b ，请估计使用年限为20年时，维修费用约为____________.【答案】24.6816．若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2=6.825,那么确认两个变量有关系的把握性有 ．【答案】99﹪三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据：(1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的回归直线方程ˆˆy bxa =+； (2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为92吨标准煤．试根据（2）求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数据：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）(参考公式：1221ˆˆˆn n i i i i i x y nx y b x nx ay bx ==⎧-⋅⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪⎪=-⎩∑∑) 【答案】 (1)y x i ni i ∑=1=3⨯2.5+4⨯3+5⨯4+6⨯4.5=66.5 x =46543+++=4.5，y =45.4435.2+++=3.5，∑=n i x i 12=32+42+52+62=86 ∴266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b -⨯⨯-===-⨯-， 3.50.7 4.50.35ˆˆa y bx =-⨯==- 故线性回归方程为y=0.7x+0.35(2)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.7⨯100+0.35=70.35 故耗能减少了90-70.35=19.65(吨)。

江苏科技大学附中2014年创新设计高考数学一轮简易通全套课时检测：不等式本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在R 上定义运算⊗：x ⊗y=x(1-y).若不等式(x-a) ⊗(x+a)<1对任意实数x 恒成立，则( )A ．-1<a<1B ．0<a<2C ．12-<a<32D ．32-<a<12【答案】C2．若0<<b a ，则( )A ．22b a <B ．ab a <2C ．1>b aD ．ab b >2【答案】C3．设22,31,21,x R a x x b x x ∈=-+=+-且则a 与b 的大小关系为( )A ． a b >B ．a b =C ．a b <D ．不确定，与x 取值有关【答案】A4．如果0＜a ＜1，那么下列不等式中正确的是( )A ．(1－a)31＞(1－a)21B ．log 1－a (1＋a)＞0C ．(1－a)3＞(1＋a)2D ．(1－a)1+a ＞1 【答案】A5．下列不等式的解集是空集．．的是( ) A ．x 2－x+1>0 B ．－2x 2+x+1>0 C ．2x －x 2>5D ．x 2+x>2 【答案】C6．已知,,a b c R ∈，且0c ≠，则下列命题正确的是( ) A ． 如果a b >，那么a b c c> B ． 如果ac bc <，那么a b < C ．如果a b >，那么11a b > D ．如果22ac bc <，那么a b <【答案】D 7．若实数,x y 满足不等式组0,2100,0,x y x y y ⎧->⎪--<⎨+- 则2x y +的最大值是( )A ．11B ．23C ．26D ．30【答案】D 8．已知0,1a b <<-，则下列正确的是( )A ．2a ab ab >>B ．2ab ab a >>C ．2ab a ab >>D ．2ab ab a >>【答案】C 9．若不等式|4|2kx -≤的解集为{}|13x x ≤≤，则实数k=( )A ．1B ．2C ． 3D ．4【答案】B 10．若实数x y 、满足不等式组2502700,0x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩，则31x y ++4的最小值是( )A ．12B ．13C ．14D ．25【答案】C 11．如果不等式)0(02≠<++a c bx ax 解集为∅，那么( ) A ．0,0>∆<aB ．0,0≤∆<aC ．0,0≤∆>aD ．0,0≥∆>a【答案】C12．若函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴没有交点，则点(a ，b)在aOb 平面上的区域(不含边界)为( )【答案】D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．如果,a b R ∈，且0ab ≠，如果由a b >可以推出11a b <，那么,a b 还需满足的条件可以是【答案】0a b >>或0a b >>或0ab >等选一即可14．不等式()()1120x x -->的解集是____________. 【答案】1{1}2x x <<15．已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤02y y x x y ，那么y x 3+的最大值为 .【答案】416．已知,x y 满足1010250x x y x y -≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则2y z x =+的最大值为 ． 【答案】1三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．甲、乙、丙三种食物的维生素含量及成本如下表所示某工厂欲将这三种食物混合成100kg 的混合食物，设所用食物甲、乙、丙的重量分别为x kg 、y kg 、z kg ．(1）试用含x 、y 的式子表示混合食物的成本P （元）；(2）若混合食物至少需含35000单位维生素C 及40000单位维生素D ，问x 、y 、z 取什么值时，混合食物的成本最少?【答案】(1）依题意得100,543.x y z P x y z ++=⎧⎨=++⎩由100x y z ++=，得100z x y =--，代入543P x y z =++，得3002P x y =++.依题意知x 、y 、z 要满足的条件为0,0,0,30050030035000,70010030040000.x y z x y z x y z ≥≥≥⎧⎪++≥⎨⎪++≥⎩把100z x y =--代入方程组得0,0,1000,250,25.x y x y x y y ≥≥⎧⎪--≥⎪⎨-≥⎪⎪≥⎩如图可行域（阴影部分）的一个顶点为A ()37.5,25.让目标函数2300x y P ++=在可行域上移动,由此可知3002P x y =++在A ()37.5,25处取得最小值.∴当37.5x =(kg),25y =(kg),37.5z =(kg)时, 混合食物的成本最少.18．围建一个面积为360 2m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元).(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.【答案】 (1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝ 225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x， 所以y ＝225x ＋3602x－360(x>2). (2)∵x>0，∴225x ＋3602x≥2225×3602＝10 800. ∴y ＝225x ＋3602x－360≥10 440. 当且仅当225x ＝3602x时，等号成立. 即当x ＝24 m ，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元.19．已知2112,,中至少有一个小于与求证且xy y x ：，y x R y x ++>+∈+. 【答案】假设y x +1与x y +1均不小于2 即yx +12≥，x y +12≥ 又+∈R y x ,, 所以x y y x 21,21>+>+ 两式相加得2≤+y x ，这与已知2>+y x 相矛盾. 所以yx +1与x y +1中至少有一个小于2. 20．关于的不等式-的取值范围．【答案】不等式x 2-x-2>0的解为x>2或x<-1不等式2x 2+(2k+5)x+5k<0可化为(x+k)(2x+5)<0欲使不等式组的整数解的集合为{-2} 则, 即-3k<221．已知不等式2364ax x -+>的解集为{}1x x x b <>或 (1）求,a b 的值；(2）解不等式2()0ax ac b x bc -++<【答案】（1）1,2a b ==(2）2c <时{}2x c x <<2c =时φ2c >时{}2x x c <<22．如下图，互相垂直的两条公路AP 、AQ 旁有一矩形花园ABCD ，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园AMN ，要求点M 在射线AP 上，点N 在射线AQ 上，且直线MN 过点C ，其中36AB =米，20=AD 米. 记三角形花园AMN 的面积为S .(Ⅰ）问：DN 取何值时，S 取得最小值，并求出最小值； (Ⅱ）若S 不超过1764平方米，求DN 长的取值范围.【答案】（1）设DN x =米（0x >），则20AN x =+. 因为DN AN DC AM =,所以2036x x AM +=，即36(20)x AM x+=. 所以2118(20)2x S AM AN x+=⨯⨯= 40018(40)1440x x=++≥，当且仅当20x =时取等号. 所以，S 的最小值等于1440平方米.(2）由218(20)1764x S x+=≤得2584000x x -+≤. 解得850x ≤≤.所以，DN 长的取值范围是[8, 50].。

江苏科技大学附中2014年创新设计高考数学一轮简易通全套课时检测：计数原理 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若()1nx +展开式的二项式系数之和为64,则n 的值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C2．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的不同选法共( )种。

A ． 27B ． 48C ． 21D ． 24【答案】B3．现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B 4．将4名志愿者分配到3所不同的学校进行学生课外活动内容调查,每个学校至少分配一名志愿者的方案种数为( )A ．24B ． 36C ． 72D ． 144【答案】B5．=4836C C ( ) A ．43 B ．143 C ． 215 D ． 72 【答案】D6．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种【答案】D7．从0,4,6中选两个数字,从3.5.7中选两个数字,组成无重复数字的四位数.其中偶数的个数为( )A ．56B ． 96C ． 36D ．360【答案】B8．现有5男6女共11个小孩做如下游戏：先让4个小孩（不全是男孩）等距离站在一个圆周的4个位置上，如果相邻两个小孩同为男孩或同为女孩，则在他（她）们中间站进一个男孩，否则站进一个女孩，然后让原来的4个小孩暂时退出，即算一次活动.这种活动按上述规则继续进行，直至圆周上所站的4个小孩都是男孩为止.这样的活动最多可以进行( )A ．2次B ．3次C ．4次D ．5次9．把10名登山运动员，平均分为两组先后登山，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的安排方法的种数是( )A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种【答案】C10．将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有两个房间无人选择且这两个房间不相邻的安排方式的总数为( )A ．900B ．1500C ．1800D ．1440【答案】A11．某同学忘记了自己的QQ 号，但记得QQ 号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ 号最多尝试次数为( )A ． 18B ． 24C ． 6D ． 12【答案】D12．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：（1）任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；（2）任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭。