2024年新高二数学提升精品讲义直线的点斜式方程（解析版）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2．掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3．会利用直线的点斜式与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题.知识点1直线的点斜式方程1、点斜式方程的推导如图，直线l 经过点()000,P x y ，且斜率为k ．设(),P x y 是直线l 上不同于点0P 的任意一点，因为直线l 的斜率为k ，由斜率公式得0y y k x x -=-，即00()y y k x x -=-．2、直线的点斜式方程方程()00-=-y y k x x 由直线上一个定点()00,x y 及该直线的斜率k 确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．【注意】对直线点斜式方程的理解（1）点斜式的前提条件：①斜率必须存在；②已知直线上一点()00,x y 和直线的斜率k ．（2）当k 任意实数时，方程()00-=-y y k x x 表示恒过定点()00,x y 的无数条直线．3、两种特殊的直线：倾斜角图象特征斜率直线方程0°tan 00= ，即0k =00y y -=，即0y y =90°tan 90 无意义，即k 不存在00x x -=，即0x x =4、求直线点斜式方程的一般步骤：（1）求直线点斜式的步骤为：定点()00,→P x y 定斜率→k 写出方程()00-=-y y k x x （2）点斜式方程()00-=-y y k x x 可表示过点()00,P x y 的所有直线，但0=x x 除外．知识点2直线的斜截式方程1、斜截式方程的推导如图，如果斜率为k 的直线l ()00,P b ，这时0P 是直线l 与y 轴的交点，代入直线的点斜式方程，得()0y b k x -=-，即=+y kx b ．2、直线的斜截式方程我们把直线l 与y 轴的交点为()0,b 的纵坐标叫做直线l 在y 轴上的截距．这样，方程=+y kx b 由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距确定，我们把方程=+y kx b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．【注意】斜截式方程适用于斜率存在的直线，不能表示斜率不存在的直线，故利用斜截式设直线方程时要讨论斜率是否存在．3、斜截式的几种特例0=b =y kx 表示过原点的直线0=k ，0≠b =y b 表示与x 轴平行的直线0=k ，0=b 0=y 表示x 轴考点一：直线的点斜式方程例1．（23-24高二上·江苏苏州·月考）过点()5,2P 且斜率为1-的直线的点斜式方程为（）A ．()52y x -=--B ．()25y x -=--C ．()25y x +=-+D ．()25y x +=--【答案】B【解析】将()5,2P ，斜率为1-带入直线方程点斜式()00y y k x x -=-，得()25y x -=--.故选：B.【变式1-1】（23-24高二下·河南周口·月考）过点()1,2M 且倾斜角为45︒的直线方程为（）A ．1y x =-B ．1y x =+C ．3y x =-+D ．=1y x --【答案】B【解析】过点()1,2M ，且倾斜角为45︒的直线斜率为1，则21y x -=-，即1y x =+．故选：B ．【变式1-2】（23-24高二上·全国·课后作业）方程y ＝k (x －1)(k ∈R)表示()A ．过点(－1,0)的一切直线B ．过点(1,0)的一切直线C ．过点(1,0)且不垂直于x 轴的一切直线D ．过点(1,0)且除x 轴外的一切直线【答案】C【解析】直线的点斜式方程y ＝k (x －1)表示经过点(1,0)且斜率为k 的直线,显然不垂直于x 轴,故选:C .【变式1-3】（23-24高二上·云南昭通·期末）已知在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC 的三个顶点为()2,4A ，()1,2B -，()2,3C -，求：(1)BC 所在直线的方程；(2)BC 边上的高AD 所在直线的方程.【答案】(1)5310x y ++=；(2)35140x y -+=.【解析】（1）由()1,2B -，()2,3C -，得直线BC 的斜率为()235123BC k --==---，所以BC 所在直线的方程为52(1)3y x +=--，即5310x y ++=.（2）由（1）知，直线BC 的斜率为53BC k =-，而AD BC ⊥，则BC 边上的高AD 所在直线的斜率为35AD k =，所以直线AD 的方程为()3425y x -=-，即35140x y -+=.考点二：直线的斜截式方程例2.（23-24高二上·江苏宿迁·期中）直线61y x =-在y 轴上的截距b 是（）A ．1b =-B ．1b =C ．6b =D ．6b =-【答案】A【解析】由已知61y x =-，令0x =，得1y =-，所以直线在y 轴上的截距为1b =-，故选：A.【变式2-1】（23-24高二上·全国·课后作业）倾斜角为45︒且在y 轴上的截距是2-的直线方程是（）A ．2y x =+B ．2y x =-C ．2y x =D ．2y x =【答案】B【解析】 倾斜角为45︒，∴直线的斜率为1，在y 轴上的截距是2-，∴直线方程2y x =-.故选：B.【变式2-2】（23-24高二上·上海奉贤·月考）过点()2,3-且与直线210x y ++=垂直的直线l 的斜截式方程是.【答案】142y x =+【解析】因为直线l 与直线210x y ++=垂直，所以()21l k ⨯-=-，解得12l k =，所以直线l 的方程为()1322y x -=+，化简可得142y x =+.故答案为：142y x =+【变式2-3】（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）根据条件写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率为2，在y 轴上的截距是5；(2)倾斜角为150︒，在y 轴上的截距是2-.【答案】(1)25y x =+；(2)2y x =-.【解析】（1）由直线的斜截式方程知，所求直线方程为25y x =+.（2）因为直线的倾斜角150α=︒，则该直线的斜率tan1503k =︒=.所以该直线的斜截式方程为2y x =-.考点三：直线的图象特征问题例3.（23-24高二上·全国·课后作业）直线35y x =-+不经过的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】画出直线方程得：故直线不过第三象限，故选：C【变式3-1】（23-24高二上·河北高碑店·月考）直线1y ax a=-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由直线1y ax a =-，得：0a ≠，直线的斜率k a =，直线在y 轴上的截距为1a-，当0a >时，10a-<，则直线经过第一象限和第三象限，且与y 轴相交于x 轴下方；当a<0时，10a->，则直线经过第二象限和第四象限，且与y 轴相交于x 轴上方；只有B 选项的图象符合题意，故选：B.【变式3-2】（23-24高二上·甘肃白银·期中）（多选）同一坐标系中，直线1:l y ax b =+与2:l y bx a =-大致位置正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【解析】因为1:l y ax b =+，2:l y bx a =-，对于A ，由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b <；而2l 的斜率0b >，矛盾，故A 错误；对于B ，由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b <；而2l 的斜率0b <，在y 轴上的截距0a -<，即0a >，符合题意，故B 正确；对于C ，由图可得直线1l 的斜率a<0，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b >，在y 轴上的截距0a ->，即a<0，符合题意，故C 正确．对于D ，由图可得直线1l 的斜率0a >，在y 轴上的截距0b >；而2l 的斜率0b <，矛盾，故D 错误.故选：BC.【变式3-3】（23-24高二上·重庆·月考）一次函数2:l y kx b =+与1:(,l y kbx k b =为常数，且0)kb ≠，它们在同一坐标系内的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对于选项A 中，直线1l 的0,kb >直线2l 的0,0,0k b kb ><<∴A 错；对于选项B 中，直线1l 的0,kb >直线2l 的0,0,0k b kb <><，∴B 错；对于选项C 中，直线1l 的0,kb <直线2l 的0,0,0k b kb <><∴C 对；对于选项D 中，直线1l 的0,kb <直线2l 的0,0,0k b kb >>>∴D 错．故选：C ．考点四：点斜式与斜截式的应用例4.（23-24高二上·甘肃兰州·期中）直线l 的方程为35ay ax -=+.(1)证明：直线l 恒经过第一象限；(2)若直线l 一定经过第二象限，求a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)3a <【解析】（1）313555-=+=-⎛⎫ ⎪⎝⎭+a y ax a x ，即直线一定过定点13,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，于是直线l 一定经过第一象限.（2）由于直线经过第一象限的定点13,55⎛⎫⎪⎝⎭，只要该直线在y 轴上的截距大于0即可，而35a y ax -=+经过y 轴上的点30,5a -⎛⎫⎪⎝⎭，则305a ->，解得3a <【变式4-1】（23-24高二上·广东湛江·月考）当a 为何值时，直线1l ：2y x a =-+与直线2l ：()222y a x =-+.(1)平行；(2)垂直.【答案】(1)1a =-；(2)3a =±【解析】（1）要使12//l l ，则需满足221122a a a ⎧-=-⇒=-⎨≠⎩.故当1a =-时，直线1l 与直线2l 平行.（2）要使12l l ⊥，则需满足()()2211a -⨯-=-，∴3a =.故当3a =±时，直线1l 与直线2l 垂直.【变式4-2】（23-24高二上·福建·期中）已知直线1l 的方程为y ＝－2x ＋3.(1)若直线2l 与1l 平行，且过点(1,3)-，求直线2l 的方程；(2)若直线2l 与1l 垂直，且l 2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线2l 的方程．【答案】(1)21y x =-+；(2)122y x =+或122y x =-【解析】（1）由直线2l 与1l 平行，可设2l 的方程为2y x b =-+，将1,3x y =-=代入，得3(2)(1)b =-⨯-+，即得1b =，所以直线2l 的方程为21y x =-+（2）由直线2l 与1l 垂直，可设2l 的方程为12y x m =+，令0y =，得2x m =-，令0x =，得y m =，故三角形面积1|2|||42S m m =-⋅=，所以24m =，解得2m =±，所以直线2l 的方程是122y x =+或122y x =-【变式4-3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知在平面直角坐标系中的两点()()8,6,2,2A B -．(1)求线段AB 的中垂线的方程；(2)求以向量AB为方向向量且过点()2,3P -的直线l 的方程．【答案】(1)32344y x =-；(2)4133y x =--【解析】（1）易知线段AB 的中点的坐标为()5,2-，其斜率624823AB k --==--，所以线段AB 的中垂线的斜率为34，由直线的点斜式方程可得线段AB 的中垂线的方程为()()3254y x --=-，即32344y x =-.（2）由已知得()6,8AB =- ，则直线l 的斜率为43-，又过点()2,3P -，由直线的点斜式方程得直线l 的方程为()()4323y x --=--，即4133y x =--.一、单选题1．（23-24高二上·河南郑州·期末）过点()2,1P -，且倾斜角为90︒的直线方程为（）A ．1y =-B ．2x =C ．2y =D ．=1x -【答案】B【解析】过点()2,1P -，且倾斜角为90︒的直线垂直于x 轴，其方程为2x =.故选：B2．（23-24高二上·广西梧州·期中）直线43y x =+的倾斜角是（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒【答案】A【解析】直线4y x =+的斜率k =30α=︒.故选：A 3．（23-24高二上·安徽马鞍山·月考）直线l 的方向向量()2,3a =，且过点()1,1，则直线l 的方程为（）A ．2350x y +-=B ．3250x y +-=C ．2310x y -+=D ．3210x y --=【答案】D【解析】由直线l 的方向向量可得直线l 的斜率为32，所以直线l 的方程为31(1)2y x -=-，即3210x y --=．故选：D.4．（23-24高二上·全国·课后作业）过点(1,2)-且与直线2y x =+垂直的直线方程为（）A ．2(1)3y x -=+B ．21)y x -+C ．21)y x -=+D ．21)y x -=+【答案】D【解析】 直线23y x =+由垂直关系可得垂线的斜率为，又垂线过点(1,2)-，∴垂线方程为21)y x -=+故选：D5．（23-24高二上·江苏连云港·期初考）直线()()10y k x k =+>可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为0k >，所以A C 错；当=1x -时，0y =，故B 对；故选：B6．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l 1：y ＝ax ＋b 与直线l 2：y ＝bx ＋a (ab ≠0，a ≠b )在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对B ，2l 斜率为正，在y 轴上的截距也为正，故不可能有1l 斜率为负的情况.故B 错.当,0a b >时，1l 和2l 斜率均为正，且截距均为正.仅D 选项满足.故选：D二、多选题7．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线123:52,:0.21,:51l y x l y x l y x =+=-+=-，则（）A ．1l 2l B ．12l l ⊥C ．13l l ⊥D ．1l 3l 【答案】BD【解析】设123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，结合题意易得：1235,0.2,5k k k ==-=，因为()1250.21,k k ⋅=⨯-=-，所以12,l l ⊥因为135,k k ==且21≠-，所以1l 3l .故选：BD.8．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知直线l ：8y x =-，则下列结论正确的是（）A ．点()2,6在直线l 上B ．直线l 的一个方向向量为()1,1u = C ．直线l 在y 轴上的截距为8D ．直线l 的倾斜角为π4【答案】BD【解析】对于A 选项，把2x =代入到8y x =-得y =-6，所以点()2,6不在直线l 上，A 错误；对于B 选项，因为直线l ：8y x =-，即为：80x y --=，直线的斜率为1，所以()1,1u = 为直线的一个方向向量，B 正确；对于C 选项，当0x =时，8y =-，所以直线l 在y 轴上的截距为8-，C 错误；对于D 选项，因为直线的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4，D 正确.故选：BD 三、填空题9．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知直线l 的斜率为1-，且过点(2,5)-，则直线l 在y 轴上的截距是.【答案】3-【解析】由点斜式方程得()52y x +=--，转化为斜截式方程可得3y x =--，所以该直线在y 轴上的截距为3-.故答案为：3-.10．（23-24高二上·吉林·月考）已知直线1l 的倾斜角比直线2l ：4y =+的倾斜角小20︒，则直线1l 的倾斜角为.【答案】100︒【解析】由题意得直线2l ：4y =+的斜率为直线的倾斜角范围为大于等于0︒小于180︒，故2l 的倾斜角为120︒，所以直线1l 的倾斜角为100︒，故答案为：100︒11．（23-24高二上·重庆开州·月考）直线l 过点()0,1P ，且斜率是倾斜角为π6的直线斜率的二倍，则直线l 的方程为【答案】330y -+=【解析】倾斜角为π6的直线的斜率1πtan 6k ==l 的斜率k =，由点斜式方程可得)10y x -=-，整理可得：330y -+=.故答案为：330y -+=.四、解答题12．（2023高二上·江苏·专题练习）写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是3-；(2)直线倾斜角是60︒，在y 轴上的截距是5；(3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为2-.【答案】(1)33y x =-；(2)5y =+；(3)122y x =-【解析】（1）由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为33y x =-.（2）因为直线斜率为tan 60k =︒=，由直线的斜截式方程可知所求直线方程为：5y =+.（3）因为直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为2-，所以直线过点()4,0，()0,2-，根据两点可求直线斜率201042k --==-，所以直线的斜截式方程为122y x =-.13．（22-23高二上·湖北武汉·期末）ABC 的三个顶点分别是()30A -,，()2,1B ，()2,3C -.(1)求BC 边的垂直平分线DE 所在直线方程；(2)求ABC 内BC 边上中线AD 方程.【答案】(1)220x y -+=；(2)()236030x y x -+=-<<【解析】（1）由()2,1B ，()2,3C -可得线段BC 的中点为()0,2，()131222BC k -==---，因为DE 是BC 边的垂直平分线，所以2DE k =，则DE 所在直线方程：22y x -=即220x y -+=（2）由（1）可得线段BC 的中点为()0,2，故BC 边上中线AD 方程为132x y +=-即2360x y -+=，所以ABC 内BC 边上中线AD 方程：()236030x y x -+=-<<。
