第3讲 导数的实际应用

导数在生活中的应用例子
一、在经济学中
1、供求曲线中的供求应变：当价格发生变化时，需求量会出现波动，
以及需求量对价格的变化也变化，供求曲线受到价格变化的影响。

这
就是导致供求应变的原因，而这个原因可以用微积分的偏导数来证明。

2、市场竞争：随着竞争者数量的增加，市场价格也会发生变化，价格
作为变量，市场最终决定价格时，就会出现供需冲突，从而引起价格
波动，这就用微积分中的导数来分析。

二、在金融学中
1、货币政策传导机制：货币政策的实施使得利率的变化对经济的影响，用微积分的意义来看，利率是一种曲线，当利率变化时，曲线的斜率
也会变化，这就是利率传导机制。

2、投资机会成本：投资机会成本指的是投资者在一定条件下所承担的
投资风险，当利率下降时，投资机会成本也会发生变化，而这一变化
可以用微积分中的导数来进行分析。

三、在制造业中
1、公差计算：在计算机装配工艺中，产品的尺寸关系到了其加工的质量，如果所用的部件的尺寸不符合公差要求，就会出现不良的加工结
果，这时处理的办法就是计算出来最大的容许偏差，而这个最大容许
偏差就是通过微积分的偏微分来计算出来的。

2、工艺优化：为了确保加工出来的产品的质量，就必须对付诸如温度、压力、用料等参数进行优化调整，这可以使用微积分来分析各参数对
最终结果的影响，以达到最优化调整的效果。

导数的实际应用教案一、教学目标1. 理解导数的基本概念和计算方法。

2. 掌握导数在实际问题中的应用，如速度、加速度、优化问题等。

3. 培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 导数的基本概念和计算方法2. 导数在速度和加速度中的应用3. 导数在优化问题中的应用4. 实际案例分析与练习三、教学重点与难点1. 重点：导数的基本概念、计算方法和实际应用。

2. 难点：导数在优化问题中的应用。

四、教学方法1. 讲授法：讲解导数的基本概念、计算方法和实际应用。

2. 案例分析法：分析实际案例，引导学生运用导数解决实际问题。

3. 练习法：通过练习题，巩固所学知识。

五、教学准备1. 教案、PPT、教学用具。

2. 练习题及答案。

3. 实际案例素材。

第一章：导数的基本概念1.1 导数的定义1.2 导数的计算方法1.3 导数的几何意义第二章：导数在速度和加速度中的应用2.1 速度与加速度的导数关系2.2 匀加速运动的速度与位移2.3 非匀加速运动的速度与位移第三章：导数在优化问题中的应用3.1 优化问题的基本概念3.2 函数的极值与最值3.3 实际优化问题的求解方法第四章：实际案例分析与练习（一）4.1 案例一：物体运动的瞬时速度与加速度4.2 案例二：曲线切割面积的最优化4.3 练习题与解答第五章：实际案例分析与练习（二）5.1 案例一：商品折扣的最优化5.2 案例二：生产成本的最优化5.3 练习题与解答六、导数在物理问题中的应用6.1 牛顿运动定律与导数6.2 动力学方程与导数6.3 能量守恒与导数七、导数在经济问题中的应用7.1 边际分析与导数7.2 成本分析与导数7.3 利润最大化与导数八、导数在生物问题中的应用8.1 种群增长与导数8.2 药物浓度与时间的关系8.3 生物酶活性与温度关系九、导数在其他领域中的应用9.1 图像处理中的导数应用9.2 信号处理中的导数应用9.3 气候变化与导数10.1 导数在实际应用中的重要性10.2 导数与其他数学概念的联系10.3 实际应用案例的进一步探讨重点和难点解析六、导数在物理问题中的应用6.1 牛顿运动定律与导数：理解牛顿运动定律中的加速度概念，以及如何通过导数表示加速度。

导数在日常生活中的应用实例
导数是对函数变化率的量化，它不仅仅在数学中被广泛使用，在日常生活中也有广泛的应用。

比如计算速度、位移、加速度等问题。

本文将介绍导数在日常生活中的应用实例。

首先，当我们求出物体在某一时刻的速度时，就是在使用导数。

例如当一辆小汽车行驶1h，总共走了100公里时，就可以计算出它这1h的平均速度，也就是求函数s（t）=100/(1h)的导数，即小汽车的速度。

其次，导数在交通运输中也被广泛使用。

例如，飞机飞行时，它的速度可能会随着时间的推移而发生变化，这时我们就可以用导数的概念来分析飞机的位移变化，以及在不同时刻的加速度、减速度等。

另外，对于一段距离，我们可以利用导数的思想来解决“最短时间”的问题，也就是求出最优的速度。

第三，导数还可以应用在理财方面，例如，如果我们需要计算投资和贷款收益，就可以使用导数来计算复利收益率。

这也是经济学中非常重要的概念之一，通过它，我们可以快速准确地计算出投资和贷款利息的收益率。

最后，导数还可以用来解决热力学中的问题，例如，求出蒸发物体时的温度变化曲线，我们就可以使用导数的思想来确定温度的变化速率。

此外，当我们想推断某种物质在蒸发过程中吸收多少热量时，也可以使用导数来求解。

从上面的例子可以看出，导数在日常生活中广泛地使用，它不仅
仅可以用来解决科学、数学方面的问题，也可以用于经济、交通、热力学等领域。

因此，可以说，在现代社会中，学会运用导数具有重要的意义，从而更好地利用数学知识来处理日常生活中的实际问题。

3.3.3 导数的实际应用【教材分析】（一）三维目标（1）知识与技能使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用；（2）过程与方法提高将实际问题转化为数学问题的能力（3）情感、态度与价值观激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

（二）教学重点利用导数解决生活中的一些优化问题。

（三）教学难点利用导数解决生活中的一些优化问题。

（四）教学建议本节课解决最优化问题的关键是建立函数模型，因此需要先审清题意，明确常量与变量及其关系，再写出实际问题的函数关系式。

一般来说，对于实际问题还需要注明变量的取值范围。

【教学过程】一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。

现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm 2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm 。

如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？解：设版心的高为xdm ，则版心的宽为128xdm,此时四周空白面积为 128512()(4)(2)12828,0S x x x x x x =++-=++>。

导数在实际生活中的应用（1）学习目标1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.课前预学：问题1:一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f'(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.课堂探究：一．利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.(1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.二．容积最大问题请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.三．成本最低问题：如图,某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.课堂检测：1.把长度为l的铁丝围成一个长方形,则长方形的最大面积为.2.设底为正三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时底面边长为.3.做一个无盖圆柱水桶,其体积是27π m3,若用料最省,则圆柱的底面半径为m.4.已知一个扇形的周长为l,扇形的半径和中心角分别为多大时,扇形的面积最大?导数在实际生活中的应用（2）学习目标：1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 课前预学：1.把长度为16的线段分成两段,各围成一个正方形,这两个正方形面积的最小值为 .2.要做一个圆锥形漏斗,其母线长20 cm,要使其体积最大,则其高是 .3.周长为20的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值是 .4.一边长为48 cm 的正方形铁皮,铁皮四角截去四个边长都为x cm 的小正方形,做成一个无盖方盒.求x 多大时,方盒容积最大? 课堂探究：1．如图,等腰梯形ABCD 的三边AB,BC,CD 分别与函数y=-x 2+2,x∈[-2,2]的图象切于点P,Q,R.求梯形ABCD 面积的最小值.2．已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件,需要另投入1.9万元,设R(x)(单位:万元)为销售收入,根据市场调查得知R(x)=其中x 是年产量(单位:千件).(1)写出年利润W 关于年产量x 的函数解析式;(2)年产量为多少时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?3．统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=x 3-x+8(0<x≤120),已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升? (2)当汽车以多大速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?课堂检测：某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.。

导数的七种应用
导数是一个重要的数学概念，它表达了函数变化的方式。

由于它可以描述函数之间的关系，所以它在几乎所有的数学和科学领域中都有应用。

导数的七种应用是：
一、用于估算
导数可以用来估算函数的极值，从而使我们能够得出函数的极值点。

此外，还可以用导数来估算函数在任意点处的变化率。

二、用于求极值
使用导数，可以求出函数在某一点处的极值。

这使得可以确定某函数的最大值和最小值，以及求解它们所在的位置。

三、用于求解微分方程
导数也可以用来求解微分方程。

因为微分方程的形式是表示函数变化率的方程，所以它可以使用导数来求解。

四、用于图像的拟合
导数可以用来拟合任意函数的图像。

只需要知道函数的形式，就可以用导数来拟合图像。

五、用于求局部极大值或极小值
导数可以用来求局部极大值或极小值。

这是因为可以通过函数的导数来确定其极大值和极小值的位置。

六、用于解决线性递增/递减问题
通过导数，可以解决线性递增/递减问题。

这是由于递增/递减函数的导数表示其变化率，所以可以根据导数求解此类问题。

七、用于求微分
导数也可以用来求微分。

微分是求函数图像在某一点处的斜率，因此可以使用导数来求微分。

从上面我们可以看出，导数有着众多的应用，涵盖了数学和科学领域的众多研究领域。

运用它们，可以解决各种复杂问题，为科学和数学探索做出重要贡献。

第三讲 导数的实际应用定积分的概念及应用一、知识梳理1、若函数f （x ）在区间A 上有唯一一个极值点0x ，且0()f x 是这个函数的极大（小）值，那么这个极值必定就是函数f （x ）在区间A 上的最大（小）值。

2、定积分的几何意义：当f (x )>0时()b af x dx ⎰表示由直线__________，__________，__________ 和曲线y =f （x ）所围成的曲边梯形的面积。

3、微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：如果()f x 是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ()()x f x '=，那么()F()F()baf x dx b a =-⎰。

常常把F()F()b a -记作F()|b a x 。

二、典例导析例1、用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？变式训练1、（1）要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积为最大，则高为（ ）A ．33cm B ．3310cm C ．3316cm D ．3320（2）从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来做成一个无盖的箱子，箱子的高是这个正方形的边长几分之几时，箱子容积最大？例2、计算下列定积分：（1）2111e x dx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰；（2）0(2sin 32)x x e dx π-+⎰；变式训练2、计算下列定积分：（1）⎰--+322616dx x x（2）2201x dx -⎰例3、求由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积（画出图形）。

变式训练3、由直线12x =，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积是（ ） A ．154 B ．174 C ．1ln 22D ．2ln2例4、在曲线y =x 2（x ≥0）上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为121。

导数在实际生活中的运用【摘要】导数在实际生活中的应用广泛而深远。

在物体运动的描述中，导数可以帮助我们准确地预测物体的速度和加速度。

在经济学中，导数被用来分析市场趋势和制定最优的经济政策。

医学领域中，导数可以帮助医生更好地理解生命体征数据，提高诊断和治疗的准确性。

工程领域中，导数在设计和优化各种系统、结构和器件中扮演着重要角色。

环境保护方面，导数可以帮助我们预测污染物在环境中的传播和影响。

导数在各个领域中的普遍性表明了其对现代社会的重要性。

通过对导数的深入研究和应用，我们能够更好地理解世界的运行规律，促进科技进步和社会发展。

【关键词】导数、实际生活、物体运动、经济学、医学领域、工程领域、环境保护、普遍性、重要性1. 引言1.1 导数在实际生活中的运用导数在实际生活中的运用广泛而深远。

在日常生活中，我们可能并不经常意识到导数的存在，但实际上，导数在我们生活的方方面面都有着重要的应用。

导数可以帮助我们描述物体的运动，预测经济的发展趋势，提高医学诊断的准确性，优化工程设计的效率，以及保护环境资源的可持续性。

物体运动的描述是导数在实际生活中的最常见应用之一。

通过导数，我们可以精确地描述物体在空间中的位置、速度和加速度变化，从而帮助我们进行准确的运动分析和预测。

在交通规划中，导数可以帮助我们优化车辆的行驶路线，缓解交通拥堵问题；在体育比赛中，导数可以帮助我们分析选手的表现，并优化训练计划。

除了物体运动，导数在经济学、医学、工程和环保领域中也有着重要的应用。

在经济学中，导数可以帮助我们分析市场的供需关系，预测商品价格的波动趋势，优化投资组合的收益率。

在医学领域，导数可以帮助医生精确地分析患者的病情，提高诊断和治疗的效率。

在工程领域，导数可以帮助工程师优化产品设计，提高生产效率和质量。

在环境保护领域，导数可以帮助我们优化资源利用，减少能源消耗和环境污染，实现可持续发展。

导数在各个领域中都有着重要的应用，对现代社会的发展起着至关重要的作用。

导数的实际应用举例
1 导数的定义
导数是在微积分中的基本概念，它反映的是某一函数随另一变量
的变化而变化的程度。

简单来说，导数就是某一函数关于另一变量的
局部变化率，是函数变化速率最大的参数，它表示函数在某点处的切
线斜率。

2 导数的实际应用
导数在实际中被广泛地运用，例如财务管理中求解净现值。

净现
值是投资者选择评价投资方案时常用的投资评价指标，它是预期未来
收益的现金现值，反映的是未来收入、支出金额和复利利率之间的关系，这里的复利利率就是导数在实际中的应用，它能够及时修正净现值，从而达到估算投资收益和风险的目的。

此外，导数还可以在经济学中有效应用。

经济学中涉及一些曲线，它们是表示社会财富及其分配的曲线，曲线的变化程度反映的是导数
的变化，而导数的变化是由多种因素影响的，这些因素共同决定了经
济的变化，能决定出社会财富分配的规律。

另外，航空航天工程中，飞行器的运动受多种力的作用，所以需
要用勾股定理加以求解，而这些力都是被导数所表征，用导数分析可
以更好地考察和观察飞行器的物理性质，例如动量和势能。

因此，对
于实现有效设计和改善，获取全面的评估报告，导数在飞行器设计中也是很重要的。

总结
总之，在现代科学技术中，导数是较为重要的概念，是根据复杂运算求出常用物理量的手段，它不仅被广泛应用于财务管理、经济学和航空航天工程中，在各行各业都有着重要的作用。

导数在实际生活中的运用
导数是数学中一个非常重要的概念，它用于描述函数的变化率。

在实际生活中，导数
经常被用来解决生活中的问题，例如工程学、物理学、经济学等领域。

1. 物理学中的运用
在物理学中，导数被广泛应用于描述物体的速度和加速度。

例如，当我们观察一辆汽
车行驶时，它的速度每时每刻都在变化，因此我们需要使用导数来描述速度的变化率。

同
样的，当汽车加速或减速时，我们也需要使用导数来描述加速度的变化率，即导数的导数。

在经济学领域中，导数用于描述市场的变化率。

例如，假设我们想知道某个产品的需
求量，我们可以使用导数来计算需求量的变化率。

同样地，我们也可以使用导数来计算供
应量的变化率。

这些数据可以帮助我们了解市场需求和供应的趋势，从而更好地管理和调
整市场。

在工程学领域中，导数常常用于解决场景变化的问题。

例如，在建筑物设计中，我们
通常需要考虑建筑物的结构稳定性。

我们可以通过对建筑物受力情况进行导数分析来确定
结构的稳定性。

同样地，在电气工程学中，导数可以用于描述电流和电压之间的变化率。

综上所述，导数在实际生活中的运用非常广泛。

无论是物理学、经济学还是工程学，
导数都扮演着非常重要的角色。

深入理解导数的应用，可以帮助我们更好地解决复杂的实
际问题，提升工作和学习的效率。

浅谈导数在实际生活中的一些应用我们平时的生活中，充满了各种各样的数学知识，而其中最重要的就是导数，它在实际生活中有着多种多样的应用。

在这里，我将从几个方面，比如经济学、工程学和技术学等，对导数在实际生活中的一些应用进行浅谈。

首先，导数在经济学中有着重要的作用。

例如，在进行市场分析时，需要用到导数，以准确判断市场需求量随价格的变化趋势。

在研究各个市场出现的利润最大值时，也需要用到导数。

同时，导数也用于对经济发展的趋势进行分析，从而判断出经济发展的方向和趋势。

其次，导数在工程学中有着重要的作用。

例如，在建筑设计中，可以使用导数来计算结构的实际长度、厚度及其他物理参数，从而有效控制建筑的强度和稳定性。

此外，在航空航天、船舶和汽车等工程领域，运用导数也可以更好地控制运动物体的速度、加速度、动量等参数，从而更有效地发挥其性能。

最后，导数在技术学中可以应用于计算机科学、生物学和信息学等领域。

如在计算机科学中，由于对复杂函数的求导，可以使计算机有更可靠的性能，对计算机程序进行优化和改进。

在生物学中，科学家使用导数研究基因组的复杂性，从而可以计算基因序列上可能出现的突变几率和结果。

而在信息学行业，运用导数可以更快地分析复杂的信息，评估信息编码中的传播效率，从而可以更有效地传输信息。

以上的一些应用，可见导数在实际生活中发挥着重要的作用，它能够帮助我们更准确、更客观地分析各种问题，从而可以更有效地发挥它们的功能。

因此，我们应该重视学习和使用导数，以便获得最大的效益。

总而言之，导数在实际生活中有着多种多样的应用，它可以帮助我们更准确、更客观地分析各种问题，有效地控制各种事物的运动趋势，以及更有效地传输信息。

因此，我们平时更应注重学习和使用导数，以获得最大的效益。

导数的应用
导数是微积分中的重要概念，它有许多应用。

以下是一些常见的导数应用：
1. 切线和法线：导数可以用来确定函数曲线在某一点的切线和法线。

切线的斜率等于函数在该点的导数，而法线的斜率是切线的负倒数。

2. 最值问题：导数可以用来解决最值问题。

例如，对于一个函数，它的局部最大值或最小值出现在它的导数为零的点，或者在导数发生跃变的点。

3. 函数的增减性和凹凸性：导数可以用来研究函数的增减性和凹凸性。

如果函数在某一区间内的导数大于零，那么函数在该区间内是递增的；如果导数小于零，函数是递减的。

函数的凹凸性则与导数的二阶导数有关。

4. 曲线的弧长：导数可以用来计算曲线的弧长。

通过对曲
线的参数方程或者极坐标方程进行导数运算，可以得到弧
长公式。

5. 高阶导数：导数可以进行高阶运算，即对导数再进行导数。

高阶导数可用于描述函数的曲率、加速度等更高阶的
变化特性。

以上只是导数的一些简单应用，实际上导数在数学、物理、经济学等领域有着广泛的应用，包括优化问题、速度与加
速度的计算、函数逼近等等。