八年级数学上册 三角形全等之倍长中线(讲义及答案)(人教版)

学生做题前请先回答以下问题问题1：“三角形全等”的辅助线：见中线，要________，________之后___________，全等之后_________，_________．问题2：倍长中线的作法，图中的虚线为辅助线，请叙述图1、图2的辅助线．三角形全等之倍长中线（类倍长一）（人教版）一、单选题(共4道，每道25分)1.已知：如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠D．求证：AB=CD．如图，先在图上走通思路后再填写空格内容：①因为点E是BC的中点，考虑延长AE到点F，使EF=AE，连接CF；②进而利用全等三角形的判定_________，证明_______≌_______；③由全等可得________________；④结合已知条件∠BAE=∠D，得∠F=∠D，在△DCF中，利用________________，可得CF=CD，等量代换得AB=CD．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.②SAS，△ABE，△ECF；③AB=CF；④等角对等边B.②SAS，△ABE，△DEC；③AB=CF，∠BAE=∠F；④等边对等角C.②SA S，△ABE，△FCE；③∠ABE=∠FCE，∠BAE=∠F；④等边对等角D.②SAS，△ABE，△FCE；③AB=FC，∠BAE=∠F；④等角对等边答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线2.已知：如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠D．求证：AB=CD．证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接BF．∵E是BC的中点∴BE=CE在△BEF和△CED中∴△BEF≌△CED（SAS）∴____________________________∵∠BAE=∠D____________________________∴AB=CD请你仔细观察下列序号所代表的内容：①BF=CD，∠EBF=∠C；②BF=CD，∠F=∠D；③；④．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线3.已知：如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC的中点，AD平分∠BAC，过E作EF∥AD，交AB于点G，交CA的延长线于点F，求证BG=CF．如图，先在图上走通思路后再填写横线上的内容：①因为点E是BC的中点，考虑延长GE到点H，使EH=GE，连接CH；②进而利用全等三角形的判定_________，证明_______≌_______；③由全等可得________________；④再与已知条件重新组合，经过推理，可得BG=CF．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.②SAS，△ABD，△FEC；③BG=CF；B.②SAS，△BEG，△CEH；③BG=CH，∠BGE=∠H；C.②SAS，△BEG，△CEH；③GE=HE，∠BGE=∠H；D.②SAS，△BEG，△EHC；③BG=CH；答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线4.已知：如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC的中点，AD平分∠BAC，过E作EF∥AD，交AB于点G，交CA的延长线于点F，求证BG=CF．证明：延长FE到点H，使得EH=FE，连接BH．∵E为BC的中点∴BE=CE在△BEH和△CEF中∴△BEH≌△CEF（SAS）∴____________________________∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∵AD∥EF∴____________________________∴∠3=∠H∴BG=BH∴BG=CF请你仔细观察下列序号所代表的内容：①∠H=∠F，BH=CF；②BH=CF，∠EBH=∠C；③∴∠1=∠3；④∴∠1=∠3，∠2=∠F．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线。

三角形全等之倍长中线（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．A B D CE F【思路分析】 读题标注：？？FE CD B A见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：A B DCE F？？GG？？FECDBA （这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．A B DCE F？？在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．D CBA2.已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF．3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．求证：EF=2AD．F EDC BAF ED CBA如图，在△ABC中，AB >AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB 于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，EF，AE，若∠DAF=∠EAF，求证：AF⊥EF．GFE D CAFEDB CA➢ 思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．CDBA比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E 21ECDB A∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12=AB ． 21ECDBADCBA【参考答案】 ➢ 巩固练习1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ）➢ 思考小结1. 倍长中线 SAS AAS 角2. 证明略。

三角形全等之倍长中线（习题）例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．A B D CE F【思路分析】 读题标注：？？FE C D BA见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：A B DCEF？？GG ？？FE CD B A （这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．A B D CE F？？G在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．D CB A2. 已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ． 求证：AB =EF ．DA3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．求证：EF=2AD．4.如图，在△ABC中，AB >AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．FEBAGFA5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F是CD 的中点，连接AF ，EF ，AE ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF ⊥EF ．思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．CDB A比较下列两种不同的证明方法，并回答问题．FE DB CA方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角21ECDB A 21ECDB A三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边AB的中线．求证：CD12AB．DCB A【参考答案】巩固练习1. 22.证明略（提示：延长FD到点G，使得DG=DF，连接AG，证明△ADG≌△EDF，转角证明AB=EF）3.证明略（提示：延长AD到点G，使得GD=AD，连接CG，证明△ABD≌△GCD，△EAF≌△GCA）4.证明略（提示：延长FE到点H，使得EH=FE，连接CH，证明△BFE≌△CHE，转角证明BF=CG）5.证明略（提示：延长AF交BC的延长线于点G，证明△ADF≌△GCF，转角证明AF⊥EF）思考小结1.倍长中线SAS AAS 角2.证明略。

1.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=8，CD⊥AB，垂足为D，M为边AB上任意一点，点N在射线CB上（点N与点C不重合），且MC=MN，NE⊥AB，垂足为E．（1）如图1，直接求出 CD 的长；（2）如图1，当∠MCD=30°时，直接求出 ME 的长；（3）如图2，当点 M 在边AB 上运动时，试探索 ME 的长是否会改变？说明你的理由？分析：（1）先根据△ACD 是等腰直角三角形得出CD=AD=BD= AB=4；（2）先根据等腰直角三角形的性质得出CD=BD=4，再根据MN=MN 可知∠MCN=∠MNC，由三角形外角的性质得出∠MCN=∠MCD+∠BCD，∠MNC=∠B+∠BMN，故∠MCD=∠NME．根据AAS 定理可得△MCD≌△NME，由此可得出结论；（3）①当点N 在BC 上时，证明过程同（2）；②当点N 与点B 重合时可直接得出结论；③当点N在CB 的延长线上时，先根据AAS 定理得出△MCD≌△NME，由全等三角形的性质可得出结论．解答：解：（1）∵在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=8，CD⊥AB，∴CD=AD=BD= AB=4．故答案为：4；（2）∵AC=BC，∴∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°．∵AC=BC，CD⊥AB，AB=8，∴CD=BD=4，即∠BCD=45°．∵MN=MN，∴∠MCN=∠MNC．∵∠MCN=∠MCD+∠BCD，∠MNC=∠B+∠BMN，∴∠MCD=∠NME．在△MCD 与△NME 中，∴△MCD≌△NME（AAS），∴ME=CD=4．（3）ME 的长度不会改变．理由：①如图2 所示，若点N 在BC 上（与B 不重合），∵AC=BC，∴∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°．∵AC=BC，CD⊥AB，AB=8，∴CD=BD=4，即∠BCD=45°．∵MN=MN，∴∠MCN=∠MNC．∵∠MCN=∠MCD+∠BCD，∠MNC=∠B+∠BMN，∴∠MCD=∠NME．在△MCD 与△NME 中，∴△MCD≌△NME（AAS），∴ME=CD=4．②当点N 与点B 重合时，点M 与点D 重合，此时，ME=MN=4．③如图3 所示，若点N 在边CB 上，可知点M 在线段BD 上，且点E 在边AB 的延长线上．∵∠ABC=∠MNC+∠BMN=45°，∠BCD=∠MCD+∠MNC=45°，MC=MN，∴∠MCN=∠MNC，∴∠MCD=∠BMN．在△MCD 与△NME 中，，∴△MCD≌△NME（AAS），∴ME=CD=4．综上所述：由①②③可知，当点M 在边AB 上移动时，线段ME 的长不变，ME=4．点评：本题考查的是全等三角形的判定与性质，在解答（3）时要注意进行分类讨论，2.△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC=90°，点D 在AB 边上（不与点 A、B 重合），以CD 为腰作等腰直角△CDE，∠DCE=90°．（1）如图1，作 EF⊥BC 于F，求证：△DBC≌△CFE；（2）在图1 中，连接AE 交BC 于M，求的值；（3）如图2，过点 E 作EH⊥CE 交CB 的延长线于点 H，过点 D 作DG⊥DC，交AC 于点G，连接GH．当点D在边AB 上运动时，式子的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化请说明理【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到CD=CE，再利用等角的余角相等得到∠DCB=∠CEF，然后根据“AAS”可证明△DBC≌△CFE；（2）由△DBC≌△CFE 得到BD=CF，BC=EF，再利用△ABC 为等腰直角三角形得到AB=BC，所以AB=EF ，AD=BF ，接着证明△ABM ≌△EFM ，得到 BM=FM ，所以=2；（3）在 EH 上截取 EQ=DG ，如图 2，先证明△CDG ≌△CEQ 得到 CG=CQ ，∠DCG=∠ECQ ，由于∠DCG+∠DCB=45°，则∠ECQ+∠DCB=45°，所以∠HCQ=45°，再证明△HCG ≌△HCQ ，则得到HG=HQ ，然后可计算出=1．3. 如图，,,,A F E B 四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。

三角形全等辅助线之倍长中线【教学目标】熟悉并掌握三角形全等证明中遇见中线时辅助线的添加方法 【教学重难点】教学重点：倍长中线辅助线的添加方法教学难点：证明题中遇见中线时如何思考添加辅助线 课前回顾：1.将等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 按图1方式放置，∠A=90°， AD 边与AB 边重合， AB ＝2AD ＝4．将△ADE 绕点A 逆时针方向旋转一个角度α（0°≤α≤180°），BD 的延长线交直线CE 于点P.（1）如图2，BD 与CE 的数量关系是 , 位置关系是 ； （2）在旋转的过程中，当AD ⊥BD 时，求出CP 的长；1. “三角形全等”辅助线：见中线，要__________，________之后______________．【例1】 如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．【基础练习1】如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为∠CAB 的角平分线．GFEDCBA【基础练习2】如图所示，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，EF AC =．求证：EF ∥ABFED CB AFA CD E B【例2】 已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．FEMCBA【基础练习3】已知ABC ∆中，AB AC =，BD 为AB 的延长线，且BD AB =，CE 为ABC ∆的AB 边上的中线．求证：2CD CE =DCB A综合训练：1.如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积.图22.如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ．求证：AD 为△ABC 的角平分线．GFE DCA3.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．FEDC BA4.如图，在正方形ABCD 中，CD =BC ，∠DCB =90°，点E 在CB 的延长线上，过点E 作EF ⊥BE ，且EF=BE ．连接BF ，FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ．求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．GF EDCB A难度提升：已知：ΔAOB 和ΔCOD 均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD ，BC ，点H 为BC 中点，连接OH 。

三角形全等之倍长中线（习题）例题示范例1：已知：如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．【思路分析】读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE=EC，点E是DC的中点，考虑倍长，有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图所示：②考虑倍长AE，如图所示：（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF≌△CEG，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可．【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG．在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ）∴DF =CG ，∠DFE =∠G∵DF =AC∴CG =AC∴∠G =∠CAE∴∠DFE =∠CAE∵DF ∥AB∴∠DFE =∠BAE∴∠BAE =∠CAE∴AE 平分∠BAC巩固练习1.已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．2.已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF．3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．求证：EF=2AD．4.如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA 的延长线于G．求证：BF=CG．5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，EF，AE，若∠DAF=∠EAF，求证：AF⊥EF．思考小结1.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题．方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ）∴AC =BE ，∠E =∠2∵AD 平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB =BE∴AB =AC方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E∵BE ∥AC∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ）∴BE =AC∵AD 平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等．不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2.利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边AB的中线．求证：CD12AB．【参考答案】巩固练习1.22.证明略（提示：延长FD到点G，使得DG=DF，连接AG，证明△ADG≌△EDF，转角证明AB=EF）3.证明略（提示：延长AD到点G，使得GD=AD，连接CG，证明△ABD≌△GCD，△EAF≌△GCA）4.证明略（提示：延长FE到点H，使得EH=FE，连接CH，证明△BFE≌△CHE，转角证明BF=CG）5.证明略（提示：延长AF交BC的延长线于点G，证明△ADF≌△GCF，转角证明AF⊥EF）思考小结1.倍长中线SAS AAS角2.证明略。

三角形全等之倍长中线1. 如图，AD 为△ABC 的中线． （1）求证：AB +AC >2AD ．（2）若AB =5，AC =3，求AD 的取值范围．2. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．3. 如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ．求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ．求证：∠AEF =∠EAF ．5. 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，BG =CF ． 求证：AD 为△ABC 的角平分线．GFE DBAD CB AE D CBF EDC AGFE DB ADB A6. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．7. 如图，在正方形ABCD 的边CB 的延长线上取一点E ，△FEB 为等腰直角三角形，∠FEB =90°，连接FD ，取FD 的中点G ，连接EG ，CG ． 求证：EG =CG 且EG ⊥CG ．FE DCB A GF EDCBA【参考答案】1. （1）证明：如图，21BCDA延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ，∴AE =2AD ．∵AD 是△ABC 的中线 ∴BD =CD在△BDE 和△CDA 中12BD CD ED AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴BE =AC在△ABE 中，AB +BE >AE ∴AB +AC >2AD （2）解：由①可知 AE =2AD ，BE =AC 在△ABE 中， AB -BE <AE <AB +BE ∵AC =3，AB =5 ∴5-3<AE <5+3 ∴2<2AD <8 ∴1<AD <42. 证明：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE ．4321ECDBA在△ADC 和△EDB 中34CD BD AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△EDB （SAS ） ∴AC =EB ，∠2=∠E ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 3. 证明：如图，54EC AFB31D2延长CD 到F ，使DF =CD ，连接BF ． ∴CF =2CD∵CD 是△ABC 的中线 ∴BD =AD在△BDF 和△ADC 中21BD AD DF DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDF ≌△ADC （SAS ） ∴BF =AC ，∠3=∠A ∵CB 是△AEC 的中线 ∴BE =AB ∵AC =AB ∴BE =AC ∴BE =BF∵∠CBE 是△ABC 的一个外角 ∴∠CBE =∠BCA +∠A=∠BCA +∠3∵AC =AB ∴∠BCA =∠CBA ∴∠CBE =∠CBA +∠3 =∠CBF 在△CBE 和△CBF 中CB CB CBE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBE ≌△CBF （SAS ） ∴CE =CF ，∠4=∠5 ∴CE =2CD CB 平分∠DCE4. 证明：如图，延长AD 到M ，使DM =AD ，连接BM ．MCDBEFA∵D 是BC 边的中点∴BD =CD在△ADC 和△MDB 中CD BD ADC MDB AD MD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△MDB （SAS ） ∴∠CAD =∠M ，AC =MB∵BE =AC ∴BE =MB ∴∠M =∠BEM ∴∠CAD =∠BEM ∵∠AEF =∠BEM ∴∠CAD =∠AEF 即∠AEF =∠EAF5. 证明：如图，延长FE 到M ，使EM =EF ，连接BM ．321MBG EDCA F∵点E 是BC 的中点∴BE =CE在△CFE 和△BME 中FE ME CEF BEM CE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CFE ≌△BME （SAS ） ∴CF =BM ，∠F =∠M ∵BG =CF ∴BG =BM ∴∠3=∠M ∴∠3=∠F ∵AD ∥EF∴∠2=∠F ，∠1=∠3 ∴∠1=∠2即AD 为△ABC 的角平分线．6. 解：如图，延长AF 交BC 的延长线于点G ．54321GA B CD EF∵AD ∥BC ∴∠3=∠G∵点F 是CD 的中点 ∴DF =CF在△ADF 和△GCF 中312G DF CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△GCF （AAS ）∴AD =CG ∵AD =2.7 ∴CG =2.7 ∵AE =BE ∴∠5=∠B ∵AB ⊥AF ∴∠4+∠5=90° ∠B +∠G =90° ∴∠4=∠G ∴EG =AE =5 ∴CE =EG -CG=5-2.7=2.37. 证明：如图，延长EG ，交CD 的延长线于M ．MAFEBGC D由题意，∠FEB =90°，∠DCB =90°∴∠DCB +∠FEB =180° ∴EF ∥CD ∴∠FEG =∠M ∵点G 为FD 中点 ∴FG =DG在△FGE 和△DGM 中FEG M FGE DGM FG DG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△FGE ≌△DGM （AAS ） ∴EF =MD ，EG =MG ∵△FEB 是等腰直角三角形 ∴EF =EB ∴BE =MD在正方形ABCD 中，BC =CD ∴BE +BC =MD +CD 即EC =MC∴△ECM 是等腰直角三角形 ∵EG =MG∴EG ⊥CG ，∠ECG =∠MCG =45° ∴EG =CG全等三角形之倍长中线每日一题1. （4月21日）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD +BC ，E 是CD 的中点． 求证：AE ⊥BE ．EDCB A A2.（4月22日）已知：如图，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，垂足分别为A，D，连接EC，F为EC中点，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并说明理由．3.（4月23日）已知：如图，D为线段AB的中点，在AB上任取一点C（不与点A，B，D重合），分别以AC，BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF，∠AEC=∠CFB=90°，连接DE，DF，EF．求证：△DEF为等腰直角三角形．4.（4月24日）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF，CF之间的数量关系，并说明理由．FEDCFEDCBA【参考答案】1. 证明：延长AE 交BC 的延长线于点F ．FEDC B A∵AD ∥BC∴∠D =∠DCF ，∠DAE =∠F ∵E 是CD 的中点 ∴DE =CE在△ADE 和△FCE 中=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠D FCE DAE F DE CE ∴△ADE ≌△FCE （AAS ） ∴AD =FC ，AE =FE ∵AB =AD +BC ∴AB =CF +BC =BF 在△ABE 和△FBE 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩AB FB BE BE AE FE ∴△ABE ≌△FBE （SSS ） ∴∠AEB =∠FEB =90°即AE ⊥BE2. 解：AF ⊥DF ，AF =DF ，理由如下：延长DF 交AC 于点P .P FE D CBA∵BA ⊥AC ，ED ⊥BD ∴∠BAC =∠EDA=90° ∴DE ∥AC ∴∠DEC =∠ECA ∵F 为EC 中点 ∴EF =CF在△EDF 和△CPF 中DEF PCF EF CFEFD CFP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△EDF ≌△CPF （ASA ） ∴DE =CP ，DF=PF∵△ABC 与△BDE 均为等腰直角三角形 ∴AB =AC ，DE=BD ∴AB -BD=AC -DE=AC -CP 即AD =AP在△DAF 和△P AF 中DF PF AF AF AD AP =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△DAF ≌△P AF （SSS ）∴∠DF A =∠PF A =90°，∠DAF =∠P AF =45° ∴AF ⊥DF ，AF =DF3. 证明：延长ED 到点G ，使DG =DE ，连接BG ，FG ．GFE DCB A∵D 为线段AB 的中点 ∴AD =BD在△EDA 和△GDB 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ED GD EDA GDB DA DB ∴△EDA ≌△GDB （SAS ） ∴EA =GB ，∠A =∠GBD∵△ACE 与△BCF 是等腰直角三角形∴AE =CE =BG ，CF =FB ，∠A =∠ECA =∠FCB =∠FBC =45° ∴∠ECF =90°，∠GBF =∠GBD +∠FBD =90° 在△ECF 和△GBF 中EC GB ECF GBF CF BF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ECF ≌△GBF （SAS ） ∴EF =GF ，∠EFC =∠GFB ∵∠CFB =∠CFG +∠GFB =90° ∴∠EFG =∠EFC +∠CFG =90° 在△EFD 和△GFD 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩EF GF FD FD ED GD ∴△EFD ≌△GFD （SSS ）∴∠EDF =∠GDF =90°，∠EFD =∠GFD =45° ∴DE =DF∴△DEF 为等腰直角三角形 4. 解：AB =AF +CF ，理由如下：延长AE 交DF 的延长线于点G ．FECBA∵E 为BC 边的中点 ∴BE =CE ∵AB ∥DC∴∠B =∠BCG ，∠BAG =∠G 在△ABE 和△GCE 中=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠B GCE BAE G BE CE ∴△ABE ≌△GCE （AAS ） ∴AB =GC ∵∠BAE =∠EAF ∴∠G =∠EAF ∴AF =GF ∵GC =GF +FC ∴AB =AF +CF三角形全等之倍长中线（随堂测试）1. 在△ABC 中，AC =5，中线AD =4，则边AB 的取值范围是_______________．2. 已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥AB 交AE 于点F ，DF =AC ．求证：AE 平分∠BAC ．FE CBA【参考答案】1. 3<AB <132. 证明略（提示：延长AE 到点G ，使EG =EF ，连接CG ，证明△DEF ≌△CEG ）．三角形全等之倍长中线（作业）1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．D CB A2. 已知：如图，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，点E 为CD 上一点，且AD =DE ，EF ∥BC 交BD 于F ．求证：AB =EF ．F E DA3. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB ，AC 为直角边向外作等腰直角三角形．求证：EF =2AD ．FED CA4. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，E 为BC 边的中点，AD 为∠BAC 的平分线，过E 作AD 的平行线，交AB 于F ，交CA 的延长线于G ．求证：BF =CG ．G FE CBA5. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，连接AF ，若∠DAF =∠EAF ，求证：AF ⊥EF ．FE DB CA【参考答案】1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得AD =GD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得FE =EH ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ）。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题02 全等三角形中的六种模型梳理几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。

目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。

将分散的条件集中到一个三角形中去。

例1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．【答案】[探究与发现]见解析；[理解与应用]（1）见解析；（2）1＜x＜4【详解】解：[探究与发现]证明：∵DE∥AB，∴∠B=∠D，又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，∴△ABC≌△EDC（ASA）；[理解与应用]（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，∵点E 是CD 的中点，∴ED =EC ，在△DEF 与△CEA 中，EF EA DEF CEA ED EC =ìïÐ=Ðíï=î，∴△DEF ≌△CEA （SAS ），∴AC =FD ，∴∠AFD =∠CAE ，∵∠CAE =∠B ，∴∠AFD =∠B ，∵AD 平分∠BAE ，∴∠BAD =∠FAD ，在△ABD 与△AFD 中，B AFD BAD FAD AD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△AFD （AAS ），∴BD =FD ，∴AC =BD ；（2）解：由（1）得：AF =2AE =2x ，△ABD ≌△AFD ，∴AB =AF =2x ，∵BD =3，AD =5，在△ABD 中，由三角形的三边关系得：AD -BD ＜AB ＜AD +BD ，即5-3＜2x ＜5+3，解得：1＜x ＜4，即x 的取值范围是1＜x ＜4．【变式训练1】如图1，在ABC V 中，CM 是AB 边的中线，BCN BCM Ð=Ð交AB 延长线于点N ，2CM CN =．（1）求证AC BN =；（2）如图2，NP 平分ANC Ð交CM 于点P ，交BC 于点O ，若120AMC Ð=°，CP kAC =，求CP CM的值．【答案】（1）见解析；（2）21kk +【详解】（1）如图1所示，延长CM 至点D ，使CM DM =，在ACM △与BDM V 中，CM DM AMC BMD AM BM =ìïÐ=Ðíï=î，ACM BDM \D @D ，AC BD \=，2CM CN =Q ，CD CN \=，在DCB V 与NCB △中，CD CN DCB NCB CB CB =ìïÐ=Ðíï=î,DCB NCB \D @D ，BN BD \=，AC BN \=；（2）如图所示，120AMC Ð=°Q ，60CMN \Ð=°，NP Q 平分MNC Ð，BCN BCM Ð=Ð，1602PNC BCN AMC Ð+Ð=Ð=°，120CON \Ð=°，60COP Ð=°，180CMN BOP \Ð+Ð=°，作CQ CP =，在CPO △与CQO V 中，CQ CP QCO PCO CO CO =ìïÐ=Ðíï=î，CPO CQO \D @D ，123\Ð=Ð=Ð，45\Ð=Ð，在NOB V 与NOQ V 中，45BNO QNO NO NO Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，NOB NOQ \D @D ，BN NQ \=，CN CP NB \=+，2CM CP AC \=+，设AC a =，CP ka \=，(1)2a k CM +=，21CP k CM k \=+．【变式训练2】（1）如图1，已知ABC V 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC V 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+；（3）如图3，在ABC V 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【详解】证：（1）如图所示，延长AD 至P 点，使得AD =PD ，连接CP ，∵AD 是△ABC 的中线，∴D 为BC 的中点，BD =CD ，在△ABD 与△PCD 中，BD CD ADB PDC AD PD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△PCD (SAS )，∴AB =CP ，在△APC 中，由三边关系可得AC +PC ＞AP ，∴2AB AC AD +>；（2）如图所示，取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，∵H 为DE 中点，D 、E 为BC 三等分点，∴DH =EH ，BD =DE =CE ，∴DH =CH，在△ABH 和△QCH 中，BH CH BHA CHQ AH QH =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABH ≌△QCH (SAS )，同理可得：△ADH ≌△QEH ，∴AB =CQ ，AD =EQ ，此时，延长AE ，交CQ 于K 点，∵AC +CQ =AC +CK +QK ，AC +CK ＞AK ，∴AC +CQ ＞AK +QK ，又∵AK +QK =AE +EK +QK ，EK +QK ＞QE ，∴AK +QK ＞AE +QE ，∴AC +CQ ＞AK +QK ＞AE +QE ，∵AB =CQ ，AD =EQ ，∴AB AC AD AE +>+；（3）如图所示，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，∵M 为DE 中点，∴DM =EM ，∵BD =CE ，∴BM =CM ，在△ABM 和△NCM 中，BM CM BMA CMN AM NM =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABM ≌△NCM (SAS )，同理可证△ADM ≌△NEM ，∴AB =NC ，AD =NE ，此时，延长AE ，交CN 于T 点，∵AC +CN =AC +CT +NT ，AC +CT ＞AT ，∴AC +CN ＞AT +NT ，又∵AT +NT =AE +ET +NT ，ET +NT ＞NE ，∴AT +NT ＞AE +NE ，∴AC +CN ＞AT +NT ＞AE +NE ，∵AB =NC ，AD =NE ，∴AB AC AD AE +>+．【变式训练3】在ABC V 中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，BM ^直线a 于点M ．CN ^直线a 于点N ，连接PM ，PN ．（1）如图1，若点B ，P 在直线a 的异侧，延长MP 交CN 于点E ．求证：PM PE =．（2）若直线a 绕点A 旋转到图2的位置时，点B ，P 在直线a 的同侧，其它条件不变，此时7BMP CNP S S +=△△，1BM =，3CN =，求MN 的长度．（3）若过P 点作PG ^直线a 于点G ．试探究线段PG 、BM 和CN 的关系．【答案】（1）见解析；（2）7MN =；（3）线段PG 、BM 和CN 的位置关系为////BM PG CN ，数量关系为2PG CN BM =-或2PG BM CN =-或2PG CN BM=+【详解】（1）证明：如图1，BM ^Q 直线a 于点M ，CN ^直线a 于点N ，90BMA CNM \Ð=Ð=°，//BM CN \，MBP ECP \Ð=Ð，又P Q 为BC 边中点，BP CP \=，在BPM △和CPE △中，BPM CPE BP CP MBP ECP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()BPM CPE ASA \≌△△，PM PE \=．（2）解：如图2，延长MP 与NC 的延长线相交于点E ，BM ^Q 直线a 于点M ，CN ^直线a 于点N ，90BMN CNM \Ð=Ð=°，180BMN CNM \Ð+Ð=°，//BM CN \，MBP ECP \Ð=Ð，又P Q 为BC 中点，BP CP \=，又BPM CPE Ð=ÐQ ，∴在BPM △和CPE △中，BPM CPE BP CP MBP ECP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()BPM CPE ASA \≌△△，PM PE \=，BM CE =，BPM CPE S S =△△，∵1BM =，3CN =，4NE CN CE CN BM \=+=+=，7BMP CNP S S +=Q △△，7PNE CPE CNP BMP CNP S S S S S \+=+==△△△△△，214MNE PNE S S \==△△，\14142MN ´´=，7MN \=．（3）位置关系：////BM PG CN ，数量关系：分四种情况讨论∵BM ^直线a 于点M ．CN ^直线a 于点N ，PG ^直线a 于点G ，∴////BM PG CN ，①如图3，当直线a 与线段BP 交于一点时，由（1）可知PM PE =，12PMN PEN MNE S S S \==△△△，即111222MN PG NE MN ´×=×，2NE PG \=，BPM CPE Q ≌△△，BM CE \=，∵NE CN CE =-，2PG CN BM \=-．②当直线a 与线段CP 交于一点时，如图，延长MP 交CN 的延长线于点E ．BM ^Q 直线a 于点M ，CN ^直线a 于点N ，90BMN CNM \Ð=Ð=°，//BM CN \，MBP ECP \Ð=Ð，又P Q 为BC 边中点，BP CP \=，在BPM △和CPE △中，BPM CPE BP CP MBP ECP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()BPM CPE ASA \≌△△，PM PE \=．12PMN PEN MNE S S S \==△△△，即111222MN PG NE MN ´×=×，2NE PG \=，BPM CPE Q ≌△△，BM CE \=，∵NE CE CN =-，2PG BM CN \=-．③如图4，当直线a 与线段CB 的延长线交于一点时．由（2）得：()BPM CPE ASA V V ≌，PM PE \=，BPM CPE S S =△△，∴2MNE MNP BCNM S S S ==梯形△△，即()11222BM CN MN MN PG +×=´×，2PG CN BM \=+．④当直线a 与线段CB 的延长线交于一点时，如图，延长MP 交NC 的延长线于点E．BM ^Q 直线a 于点M ，CN ^直线a 于点N ，90BMN CNM \Ð=Ð=°，180BMN CNM \Ð+Ð=°，//BM CN \，MBP ECP \Ð=Ð，又P Q 为BC 中点，BP CP \=，又BPM CPE Ð=ÐQ ，∴在BPM △和CPE △中，BPM CPE BP CP MBP ECP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()BPM CPE ASA \≌△△，PM PE \=，BPM CPE S S =△△，∴2MNE MNP BCNM S S S ==梯形△△，即()11222BM CN MN MN PG +×=´×，2PG CN BM \=+．综上所述，线段PG 、BM 和CN 的位置关系为////BM PG CN ，数量关系为2PG CN BM =-或2PG BM CN =-或2PG CN BM =+．类型二、截长补短模型截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）例．在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，P 为△ABC 外一点，且∠MPN ＝60°，∠BPC ＝120°，BP ＝CP ．探究：当点M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM ，NC ，MN 之间的数量关系．(1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN．(2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？答： ．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）．(3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)一定成立；(3)MN＝NC﹣BM【解析】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠BPC＝120°，BP＝CP，∴∠PBC＝∠PCB＝12×（180°﹣120°）＝30°，∴∠PBM＝∠PCN＝90°，在Rt△PBM和Rt△PCN中，PB PCPM PN=ìí=î，∴Rt△PBM≌Rt△PCN（HL），∴∠BPM＝∠CPN＝30°，∵∠MPN＝60°，PM＝PN，∴△PMN为等边三角形，∴PM＝PN＝MN，在Rt△PBM中，∠BPM＝30°，∴BM＝12PM，同理可得，CN＝12PN，∴BM+CN＝MN．(2)解：一定成立，理由如下：延长AC至H，使CH＝BM，连接PH，如图所示，由（1）可知：∠PBM＝∠PCN＝90°，∴∠PCH＝90°，∴∠PBM＝∠PCH，在△PBM和△PCH中，BM CHPBM PCHPB PC=ìïÐ=Ðíï=î，∴△PBM≌△PCH（SAS），∴PM＝PH，∠BPM＝∠CPH，∵∠BPM +∠CPN ＝60°，∴∠CPN +∠CPH ＝60°，∴∠MPN ＝∠HPN ，在△MPN 和△HPN 中，PM PH MPN HPN PN PN =ìïÐ=Ðíï=î，∴△MPN ≌△HPN （SAS ），∴MN ＝HN ＝BM +CN ，故答案为：一定成立．(3)解：在AC 上截取CK ＝BM ，连接PK ，如图所示，在△PBM 和△PCK 中，90PB PC PBM PCK BM CK =ìïÐ=Ð=°íï=î，∴△PBM ≌△PCK （SAS ），∴PM ＝PK ，∠BPM ＝∠CPK ，∵∠BPM +∠BPN ＝60°，∴∠CPK +∠BPN ＝60°，∴∠KPN ＝60°，∴∠MPN ＝∠KPN ，在△MPN 和△KPN 中，PM PK MPN KPN PN PN =ìïÐ=Ðíï=î，∴△MPN ≌△KPN （SAS ），∴MN ＝KN ，∵KN ＝NC ﹣CK ＝NC ﹣BM ，∴MN ＝NC ﹣BM ．【变式训练1】如图，在四边形ABCD 中，,180AB AD B ADC =Ð+Ð=°，点E 、F 分别在直线BC 、CD 上，且12EAF BAD Ð=Ð．(1)当点E 、F 分别在边BC 、CD 上时（如图1），请说明EF BE FD =+的理由．(2)当点E 、F 分别在边BC 、CD 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF 、BE 、FD 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)不成立，EF BE FD =-，见解析【解析】(1)EF ＝BE +DF ，理由：延长EB 至G ，使BG ＝DF ，连接AG ，∵∠ABC +∠ADC ＝180°，∠ABC +∠ABG ＝180°，∴∠ADC ＝∠ABG ，在△ABG 和△ADF 中，AB AD ABG ADF BG DF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABG ≌△ADF （SAS ），∴AG ＝AF ，∠BAG ＝∠DAF ，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠BAE +∠DAF ＝∠BAE +∠BAG ＝∠EAF ，即∠EAG ＝∠EAF ，在△EAG 和△EAF 中，AG AF EAG EAF AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△EAG ≌△EAF （SAS ），∴GE ＝EF ，∴EF ＝BE +DF ；(2)（1）中结论不成立，EF ＝BE ﹣FD ，在BE 上截取BM ＝DF ，连接AM ，∵∠ABC +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADF ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADF ，在△ABM 和△ADF 中，AB AD ABM ADF BM DF =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABM ≌△ADF （SAS ），∴AM ＝AF ，∠BAM ＝∠DAF ，∵∠BAM +∠MAD ＝∠DAF +∠MAD ，∴∠BAD ＝∠MAF，∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠EAF ＝12∠MAF ，∴∠EAF ＝∠EAM ，在△AME 和△AFE 中，AM AF EAM EAF AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△AME ≌△AFE （SAS ），∴ME ＝EF ，∴ME ＝BE ﹣BM ＝BE ﹣DF ，∴EF ＝BE ﹣FD ．【变式训练2】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD 中，对角线BD 平分ABC Ð，180A C Ð+Ð=°．求证：DA DC =．思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．方法1：在BC 上截取BM BA =，连接DM ，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，得到全等三角形，进而解决问题．结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接AC ，当60DAC Ð=°时，探究线段AB ，BC ，BD 之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形ABCD 中，180A C Ð+Ð=°，DA DC =，过点D 作DE BC ^，垂足为点E ，请直接写出线段AB 、CE 、BC 之间的数量关系．【答案】（1）证明见解析；（2）AB BC BD +=；理由见解析；（3）2BC AB CE -=．【详解】解：（1）方法1：在BC 上截BM BA =，连接DM ，如图．BD Q 平分ABC Ð，ABD CBD \Ð=Ð．在ΔABD 和ΔMBD 中，BD BD ABD MBD BA BM =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔABD MBD \≌，A BMD \Ð=Ð，AD MD =．180BMD CMD °Ð+Ð=Q ，180C A °Ð+Ð=．C CMD \Ð=Ð．DM DC \=，DA DC \=．方法2：延长BA 到点N ，使得BN BC =，连接DN ，如图．BD Q 平分ABC Ð，NBD CBD \Ð=Ð．在ΔNBD 和ΔCBD 中，BD BD NBD CBD BN BC =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔNBD CBD \≌．BND C \Ð=Ð，ND CD =．180NAD BAD °Ð+Ð=Q ，180C BAD °Ð+Ð=．BND NAD \Ð=Ð，DN DA \=，DA DC \=．（2）AB 、BC 、BD 之间的数量关系为：AB BC BD +=．（或者：BD CB AB -=，BD AB CB -=）．延长CB 到点P ，使BP BA =，连接AP ，如图2所示．由（1）可知AD CD =，60DAC °Ð=Q ．ΔADC \为等边三角形．AC AD \=，60ADC °Ð=．180BCD BAD °Ð+Ð=Q ，36018060120ABC °°°°\Ð=--=．18060PBA ABC °°\Ð=-Ð=．BP BA =Q ，ΔABP \为等边三角形．60PAB °\Ð=，AB AP =．60DAC °Ð=Q ，PAB BAC DAC BAC \Ð+Ð=Ð+Ð，即PAC BAD Ð=Ð．在ΔPAC 和ΔBAD 中，PA BA PAC BAD AC AD =ìïÐ=Ðíï=î，ΔΔPAC BAD \≌．PC BD \=，PC BP BC AB BC =+=+Q ，AB BC BD \+=．（3）AB ，CE ，BC 之间的数量关系为：2BC AB CE -=．（或者：2BC CE AB -=，2AB CE BC +=）解：连接BD ，过点D 作DF AC ^于F ，如图3所示．180BAD C °Ð+Ð=Q ，180BAD FAD °Ð+Ð=．FAD C \Ð=Ð．在ΔDFA 和ΔDEC 中，DFA DEC FAD C DA DC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ΔΔDFA DEC \≌，DF DE \=，AF CE =．在RtΔBDF 和RtΔBDE 中，BD BD DF DE =ìí=î，RtΔRtΔBDF BDE \≌．BF BE \=，2BC BE CE BA AF CE BA CE \=+=++=+，2BC BA CE \-=．【变式训练3】在ABC V 中，BE ，CD 为ABC V 的角平分线，BE ，CD 交于点F ．（1）求证：1902BFC A Ð=°+Ð；（2）已知60A Ð=°．①如图1，若4BD =， 6.5BC =，求CE 的长；②如图2，若BF AC =，求AEB Ð的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．【解析】解：（1）BE Q 、CD 分别是ABC Ð与ACB Ð的角平分线，11(180)9022FBC FCB A A \Ð+Ð=°-Ð=°-Ð，1180()180(90)2BFC FBC FCB A \Ð=°-Ð+Ð=°-°-Ð，1902BFC A \Ð=°+Ð，（2）如解（2）图，在BC 上取一点G 使BG=BD ，由（1）得1902BFC A Ð=°+Ð，60BAC Ð=°Q ，120BFC \Ð=°，∴18060BFD EFC BFC Ð=Ð=°-Ð=°，在BFG V 与BFD △中，BF BF FBG FBD BD BG =ìïÐ=Ðíï=î，∴BFG BFD @V △（SAS ）∴BFD BFG Ð=Ð，∴60BFD BFG Ð=Ð=°，∴12060CFG BFG Ð=°-Ð=°，∴60CFG CFE Ð=Ð=°在FEC V 与FGC △中，CFE CFG CF CF ECF GCF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()FEC FGC ASA \@V V ，CE CG \=，BC BG CG =+Q ，BC BD CE \=+；∵4BD =， 6.5BC =，∴ 2.5CE =（3）如解（3）图，延长BA 到P ，使AP=FC，60BAC Ð=°Q ，∴180120PAC BAC Ð=°-Ð=°，在BFC △与CAP V 中，120BF AC BFC CAP CF PA =ìïÐ=Ð=°íï=î，∴BFC CAP @V △（SAS ）∴P BCF Ð=Ð，BC PC =，∴P ABC Ð=Ð，又∵12P BCF ACB Ð=Ð=Ð，∴2ACB ABC Ð=Ð，又∵180ACB ABC A Ð+Ð+Ð=°，∴360180ABC Ð+°=°，∴40ABC Ð=°，80ACB Ð=°，∴1202ABE ABC Ð=Ð=°，180()180(2060)100AEB ABE A Ð=°-Ð+Ð=°-°+°=°类型三、做平行线证明全等例1．如图所示：ABC V 是等边三角形，D 、E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD CE =，连接DE 交BC 于点M ．求让：MD ME=【答案】见详解【详解】过点D 作DE ∥AC ，交BC 于点E ，∵ABC V 是等边三角形，∴∠B=∠ACB=60°，∵DE ∥AC ，∴∠DEB=∠ACB=60°，∠MDE=∠MEC ，∴BDE V 是等边三角形，∴BD=DE ，∵BD CE =，∴DE=CE ，又∵∠EMD=∠CME ，∴∆EMD ≅∆CME ，∴MD ME =．【变式训练1】 P 为等边△ABC 的边AB 上一点，Q 为BC 延长线上一点，且PA ＝CQ ，连PQ 交AC 边于D ．（1）证明：PD ＝DQ ．（2）如图2，过P 作PE ⊥AC 于E ，若AB ＝6，求DE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE ＝3．【详解】（1）如图1所示，点P 作PF ∥BC 交AC 于点F ．∵△ABC 是等边三角形，∴△APF 也是等边三角形，AP =PF =AF =CQ ．∵PF ∥BC ，∴∠PFD =∠DCQ ．在△PDF 和△QDC 中，PDF QDC DFP QCDPF QC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△PDF ≌△QDC （AAS ），∴PD =DQ ；（2）如图2所示，过P 作PF ∥BC 交AC 于F ．∵PF ∥BC ，△ABC 是等边三角形，∴∠PFD =∠QCD ，△APF 是等边三角形，∴AP =PF =AF ．∵PE ⊥AC ，∴AE =EF ．∵AP =PF ，AP =CQ ，∴PF =CQ ．在△PFD 和△QCD 中，PDF QDC DFP QCDPF QC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△PFD ≌△QCD （AAS ），∴FD =CD ．∵AE =EF ，∴EF +FD =AE +CD ，∴AE +CD =DE 12=AC ．∵AC =6，∴DE =3．【变式训练2】已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；ME．【答案】(1)DM=EM．理由见详解；(2)成立，理由见详解；(3)MD=12【解析】(1)解：DM=EM；证明：过点E作EF//AB交BC于点F，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；又∵EF//AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．又∵BD=EC，∴EF=BD．又∵EF//AB，∴∠ADM=∠MEF．在△DBM 和△EFM 中BDM FEM BMD FME BD EF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△DBM ≌△EFM ，∴DM =EM ．(2)解：成立；证明：过点E 作EF //AB 交CB 的延长线于点F ，∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C ；又∵EF //AB ，∴∠ABC =∠EFC ，∴∠EFC =∠C ，∴EF =EC ．又∵BD =EC ，∴EF =BD ．又∵EF //AB ，∴∠ADM =∠MEF ．在△DBM 和△EFM 中BDE FEM BMD FME BD EF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î∴△DBM ≌△EFM ；∴DM =EM ；类型四、旋转模型例．如图1，AC BC =，CD CE =，ACB DCE a Ð=Ð=，AD 、BE 相交于点M ，连接CM ．（1）求证：BE AD =，并用含a 的式子表示AMB Ð的度数；（2）当90a =°时，取AD ，BE 的中点分别为点P 、Q ，连接CP ，CQ ，PQ ，如图2，判断CPQ V 的形状，并加以证明．【答案】（1）证明见解析；AMB a Ð=；（2）CPQ V 为等腰直角三角形；证明见解析．【详解】证明：（1）如图1，ACB DCE a Ð=Ð=Q ，ACB BCD DCE BCD \Ð+Ð=Ð+Ð，ACD BCE ÐÐ\=，在ACD △和BCE V 中，CA CB ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)ACD BCE \≌△△，BE AD \=；ACD BCE V Q V ≌，CAD CBE \Ð=Ð，ABC Q V 中，180BAC ABC a Ð+Ð=°-，180BAM CAM ABC a \Ð+Ð+Ð=°-,180BAM ABM a \Ð+Ð=°-，ABM \V 中，180()180(180)AMB BAM ABM a a Ð=°-Ð+Ð=°-°-=；即AMB a Ð=；（2）CPQ V 为等腰直角三角形．证明：如图2，由（1）可得，BE AD =，AD Q ，BE 的中点分别为点P 、Q ，AP =BQ \，ACD BCE V Q V ≌，CAP CBQ \Ð=Ð，在ACP △和BCQ △中，CA CB CAP CBQ AP BQ =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)ACP BCQ \≌△△，CP CQ \=，且ACP BCQ Ð=Ð，又90ACP PCB Ð+Ð=°Q ，90BCQ PCB \Ð+Ð=°，90PCQ \Ð=°，CPQ \V 为等腰直角三角形．【变式训练1】四边形ABCD 是由等边ABC D 和顶角为120°的等腰ABD D 排成，将一个60°角顶点放在D 处，将60°角绕D 点旋转，该60°交两边分别交直线BC 、AC 于M 、N ，交直线AB 于E 、F 两点．（1）当E 、F 都在线段AB 上时（如图1），请证明：BM AN MN +=；（2）当点E 在边BA 的延长线上时（如图2），请你写出线段MB ，AN 和MN 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若7AC =， 2.1AE =，请直接写出MB 的长为 ．【答案】（1）证明见解析；（2）MB MN AN =+．证明见解析；（3）2.8．【解析】解：（1）证明：把△DBM 绕点D 逆时针旋转120°得到△DAQ ，则DM =DQ ，AQ =BM ，∠ADQ =∠BDM ，∠QAD =∠CBD =90°，∴点Q 在直线CA 上，∵∠QDN =∠ADQ +∠ADN =∠BDM +∠ADN =∠ABD -∠MDN =120°-60°=60°，∴∠QDN =∠MDN =60°，∵在△MND 和△QND 中，DM DQ QDN MDN DN DN ìïÐÐíïî＝＝＝，∴△MND ≌△QND （SAS ），∴MN =QN ，∵QN =AQ +AN =BM +AN ，∴BM +AN =MN ；（2）：MB MN AN =+.理由如下：如图，把△DAN 绕点D 顺时针旋转120°得到△DBP ，则DN =DP ，AN =BP ，∵∠DAN =∠DBP =90°，∴点P 在BM 上，∵∠MDP =∠ADB -∠ADM -∠BDP =120°-∠ADM -∠ADN =120°-∠MDN =120°-60°=60°，∴∠MDP =∠MDN =60°，∵在△MND 和△MPD 中，DN DP MDP MDN DM DM ìïÐÐíïî＝＝＝，∴△MND ≌△MPD （SAS ），∴MN =MP ，∵BM =MP +BP ，∴MN +AN =BM；（3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，∵△ABC是等边三角形，∴△BMG是等边三角形，∴BM=MG=BG，根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN，∴∠MND=∠MHN，∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，∵在△ANE和△GHE中，QND MHNAEN GEHAN GHÐÐìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1，∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案为：2.8【变式训练2】（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．则：①∠AEB的度数为 °；②线段AD、BE之间的数量关系是 ．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AD＝a，AE＝b，AB＝c，求a、b、c之间的数量关系．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中，当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．【答案】（1）①60；②AD ＝BE ；（2）a 2＋b 2＝c 2；（3）60°或120°【详解】解：（1）①如图1，∵△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∴CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACD =∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．∴∠ADC =∠BEC ．∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE =∠CED =60°，∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =120°，∴∠BEC =120°，∴∠AEB =∠BEC -∠CED =60°，故答案为：60；②∵△ACD ≌△BCE ，∴AD =BE ，故答案为：AD =BE ；（2）∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形，∴CA =CB ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =90°．∴∠ACD =∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴BE =AD ，∠ADC =∠BEC ，∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CDE =∠CED =45°．∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC =135°．∴∠BEC =135°，∴∠AEB =∠BEC -∠CED =90°，∴AD 2+AE 2=AB 2，∵AD =a ，AE =b ，AB =c ，∴a 2+b 2=c 2；（3）如图3，由（1）知△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD =∠CBE ，∵∠CAB =∠CBA =60°，∴∠OAB +∠OBA =120°，∴∠AOE =180°-120°=60°，如图4，同理求得∠AOB =60°，∴∠AOE =120°，∴∠AOE 的度数是60°或120°．【变式训练3】如图1，在Rt ABC V 中，90A Ð=°，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是______，位置关系是______．（2）探究证明：把ADE V 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断PMN V 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE V 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出PMN V 面积的最大值．【答案】（1）PM PN =、PM PN ^；（2）等腰直角三角形，证明见解析；（3）492【详解】解：（1）∵点P ，N 是BC ，CD 的中点， ∴PN ∥BD ，PN =12BD ，∵点P ，M 是CD ，DE 的中点， ∴PM ∥CE ，PM =12CE ，∵AB =AC ，AD =AE ， ∴BD =CE ， ∴PM =PN ，∵PN ∥BD ， ∴∠DPN =∠ADC ，∵PM ∥CE ， ∴∠DPM =∠DCA ，∵∠BAC =90°， ∴∠ADC +∠ACD =90°， ∴∠MPN =∠DPM +∠DPN =∠DCA +∠ADC =90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN；（2）△PMN是等腰直角三角形．理由如下：由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，利用三角形的中位线得，PN=12BD，PM=12CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=12BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S△PMN最大= 12PM2=12×49=492．类型五、手拉手模型例．在等边ABCV中，点D在AB上，点E在BC上，将线段DE绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，连接CF．(1)如图（1），点D 是AB 的中点，点E 与点C 重合，连接AF ．若6AB =，求AF 的长；(2)如图（2），点G 在AC 上且60AGD FCB Ð=°+Ð，求证：CF DG =；(3)如图（3），6AB =，2BD CE =，连接AF ．过点F 作AF 的垂线交AC 于点P ，连接BP 、DP ．将BDP △沿着BP 翻折得到BQP V ，连接QC ．当ADP △的周长最小时，直接写出CPQ V 的面积．【答案】(1)AF =3；(2)见解析；【解析】(1)解：∵△ABC 为等边三角形，∴BC =AC ，∠BCA =60°，由旋转知，∠CDF =60°，CD =CF ，∴△DCF 为等边三角形，∴CD =CF ，∠DCF =60°，∴∠DCB =∠ACF ，∴△BCD ≌△ACF ，∴AF =BD ，∵D 为AB 中点，AB =6，∴BD =3，∴AF =3．(2)解：将CF 绕C 顺时针旋转60°得CH ，连接CH ，FH ，EF ，EH ，CD ，在AC 上截取AP =BE ，连接DP ，设CD 交EH 于M ，如图所示，由旋转知，△DEF 、△CFH 为等边三角形，∴DF =EF ，CF =FH ，∠DFE =∠CFH =60°，∴∠DFC =∠EFH ，∴△DCF ≌△BHF ，∴EH =CD ，∠DCF =∠EHF ，由三角形内角和知，∠HMC +∠EHF =∠DCF +∠HFC ，∴∠HMC =∠HFC =60°，∴∠DCE +∠HEC =60°，∵∠DCP +∠DCE =60°， ∴∠CEH =∠DCP ，∵AC =BC ，AP =BE ，∴CP =CE ，∴△ECH ≌△CPD ，∴CH =DP ，∠DPC =∠HCE ，又∠HCE =60°+∠2，∴∠DPC =60°+∠2，由∠1+∠FCG =∠2+∠FCG =60°，知∠1=∠2，又∠AGD =60°+∠1，∴∠AGD =∠DPG ， ∴DP =DG ，∵CH =CF ，∴CF =DG ．(3)：过D 作DH ⊥CB 于H ，连接EF ，如图所示，∵△ABC 为等边三角形，∴∠DBH =60°，∠BDH =30°，∴BD =2BH ，DH ，∵BD =2CE ，∴BH =CE ，设BH =CE =x ，则BD =2x ，EH =6－2x ，AD =6－2x ，由旋转知，△DEF 为等边三角形，∠EDF =60°，∴∠1+∠3=90°，DE =DF ，又∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，∴△ADF ≌△HED ，∴∠DAF =∠DHE =90°，∠PAF =30°，AF =DH ，∵∠AFP =90°，∴PF =x ，AP =2x ，过P 作PM ⊥AD 于M ，则AM =x ，DM =6－3x ，PM ，在Rt △PDM 中，由勾股定理得：PD ==故△ADP 周长=AD +AP +PD =6－2x +2x ，∴当x =32时，周长取最小值，最小值为9，此时DP =3，∴BD =AP =3，即D 为AB 中点，P 为AC 中点，∴直线BP 是等边△ABC 对称轴，如图所示，△BDP 沿BP 折叠后，Q 点落在BC 中点处，则△PCQ 面积=14×△ABC 面积=1426【变式训练1】△ACB 和△DCE 是共顶点C 的两个大小不一样的等边三角形．(1)问题发现：如图1，若点A，D，E在同一直线上，连接AE，BE．①求证：△ACD≌△BCE；②求∠AEB的度数．(2)类比探究：如图2，点B、D、E在同一直线上，连接AE，AD，BE，CM为△DCE中DE边上的高，请求∠ADB的度数及线段DB，AD，DM之间的数量关系，并说明理由．(3)拓展延伸：如图3，若设AD（或其延长线）与BE的所夹锐角为α，则你认为α为多少度，并证明．【答案】(1)①见解析；②∠AEB=60°；(2)∠ADB=60°，2DM+BD=AD，理由见解析；(3)α=60°，证明见解析【解析】(1)①证明：∵△ACB和△DCE是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°-∠DCB=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）；②∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC=180°-∠CDE=120°，又∵∠CED=60°，∴∠AEB=60°；(2)解：∠ADB=60°，2DM +BD=AD，理由如下；∵AC=BC，CD=CE，∠ACD=60°+∠DCB=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CDA=∠CED=60°；∵∠ADB+∠CDA=∠DCE+∠CED，∴∠ADB=60°；又∵CM⊥BE，且△CDE为等边三角形，∴DE=2DM，∴2DM +BD=BE=AD；(3)解：α=60°，理由如下：同理可证△ACD≌△BCE，∴∠BEC=∠ADC，∴∠CDF+∠CEF=180°，∴∠ECD+∠DFE=180°，而α+∠DFE=180°，∴α=∠ECD=60°．【变式训练2】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，不需要证明．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝5，BC＝2，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD2的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；【变式思考】（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，则CD＝ ．【答案】（1）BD ＝CE ；（2）BD 2＝54；（3）8【详解】解：（1）BD ＝CE ．理由是：∵∠BAE ＝∠CAD ， ∴∠BAE +∠BAC ＝∠CAD +∠BAC ，即∠EAC ＝∠BAD ，在△EAC 和△BAD 中， AE AB EAC BAD AC AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△EAC ≌△BAD ， ∴BD ＝CE ；（2）如图2，在△ABC 的外部，以A 为直角顶点作等腰直角△BAE ，使∠BAE ＝90°，AE ＝AB ，连接EA 、EB 、EC ．∵∠ACD ＝∠ADC ＝45°， ∴AC ＝AD ，∠CAD ＝90°，∴∠BAE +∠BAC ＝∠CAD +∠BAC ，即∠EAC ＝∠BAD ，在△EAC 和△BAD 中，AE AB EAC BAD AC AD =ìïÐ=Ðíï=î，∴△EAC ≌△BAD ，∴BD ＝CE ．∵AE ＝AB ＝5，∴BE =∠ABE ＝∠AEB ＝45°，又∵∠ABC ＝45°，∴∠ABC +∠ABE ＝45°+45°＝90°，∴(22222254EC BE BC =+=+=，∴2254BD CE == ．（3）如图，∵AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，把△ACD 绕点C 逆时针旋转60°得到△BCE ，连接DE ，则BE ＝AD ，△CDE 是等边三角形，∴DE ＝CD ，∠CED ＝60°，∵∠ADC ＝30°，∴∠BED ＝30°+60°＝90°，在Rt △BDE 中，DE 8，∴CD ＝DE ＝8．【变式训练3】（1）问题发现：如图1，ACB △和DCE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 在同一条直线上，则AEB Ð的度数为__________，线段AD 、BE 之间的数量关系__________；（2）拓展探究：如图2，ACB △和DCE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 不在一条直线上，请判断线段AD 、BE 之间的数量关系和位置关系，并说明理由．（3）解决问题：如图3，ACB △和DCE V 均为等腰三角形，ACB DCE a Ð=Ð=，则直线AD 和BE 的夹角为__________．（请用含a 的式子表示）【答案】（1）90°，AD =BE ；（2）AD =BE ，AD ⊥BE ；（3）a【详解】（1）∵ACB △和DCE V 均为等腰直角三角形，90ACB DCE Ð=Ð=°，∴AC BC ＝，CD CE ＝，∠CDE =45°∴∠CDA =135°∵∠ACB −∠DCB ＝∠DCE −∠DCB ，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE ìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠BEC =∠ADC ＝135°，AD ＝BE ，∴∠AEB =90°故答案为：90°，AD ＝BE（2）AD =BE ，AD ⊥BE ，理由如下，（3）同理可得△ACD ≌△BCE ，则AD =BE ，延长AD 交BE 于点F ，设∠FAB =α，则∠CAD =∠CBE =45°-α∴∠ABE =45°+45°-α=90°-α∴∠AFB =180°-∠FAB -∠ABE =180°-α-(90°-α)=90°∴AD ⊥BE（3）如图，延长BE 交AD 于点G，∵ACB △和DCE V 均为等腰三角形，∴AC BC ＝，CD CE ＝，∵∠ACB =∠DCE =α，∵∠ACB +∠ACE ＝∠DCE +∠ACE ，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE ìïÐÐíïî＝＝＝，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE =∠CAD ∵ACB DCE a Ð=Ð=，∴∠CBA =∠CAB =()11180=9022a a °-°-∴∠GAB +∠GBA =()()CAD CAB ABC CBE Ð+Ð+Ð-ÐABC CAB =Ð+Ð180a =°-，∴∠AGB =180°-(∠GAB +∠GBA )a = ，即直线AD 和BE 的夹角为a ．故答案为：a ．类型六、一线三角模型例.在ABC V 中，90ACB Ð=°，AC BC =，直线MN 经过点C 且AD MN ^于D ，BE MN ^于E ．(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①ADC V ≌CEB △；②DE AD BE =+；(2)当直线MN 烧点C 旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE =-；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)证明见解析(3)DE BE AD =-（或者对其恒等变形得到AD BE DE =-，BE AD DE =+），证明见解析【解析】(1)解：①AD MN ^Q ，BE MN ^，90ADC ACB CEB \Ð=Ð=°=Ð，90CAD ACD \Ð+Ð=°，90BCE ACD Ð+Ð=°，CAD BCE \Ð=Ð，Q 在ADC D 和CEB D 中，CAD BCE ADC CEB AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()ADC CEB AAS \D @D ；②ADC CEB D @D Q ，CE AD \=，CD BE =，DE CE CD AD BE \=+=+；(2)证明：AD MN ^Q ，BE MN ^，90ADC CEB ACB \Ð=Ð=Ð=°，CAD BCE \Ð=Ð，Q 在ADC D 和CEB D 中，CAD BCE ADC CEB AC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()ADC CEB AAS \D @D ；CE AD \=，CD BE =，DE CE CD AD BE \=-=-；(3)证明：当MN 旋转到题图（3）的位置时，AD ，DE ，BE 所满足的等量关系是：DE BE AD =-或AD BE DE =+或BE AD DE =+．理由如下：AD MN ^Q ，BE MN ^，90ADC CEB ACB \Ð=Ð=Ð=°，CAD BCE \Ð=Ð，Q 在ADC D 和CEB D 中，CAD BCE ADC CEBAC BC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î()ADC CEB AAS \D @D ，CE AD \=，CD BE =，DE CD CE BE AD \=-=-（或者对其恒等变形得到AD BE DE =+或BE AD DE =+）．【变式训练1】【问题解决】（1）已知△ABC 中，AB =AC ，D ，A ，E 三点都在直线l 上，且有∠BDA =∠AEC =∠BAC ．如图①，当∠BAC =90°时，线段DE ，BD ，CE 的数量关系为：______________；【类比探究】（2）如图②，在（1）的条件下，当0°<∠BAC <180°时，线段DE ，BD ，CE 的数量关系是否变化，若不变，请证明：若变化，写出它们的关系式；【拓展应用】（3）如图③，AC =BC ，∠ACB =90°，点C 的坐标为（-2，0），点B 的坐标为（1，2），请求出点A 的坐标．【答案】（1）DE ＝BD +CE ；（2）DE ＝BD +CE 的数量关系不变，理由见解析；（3）（﹣4，3）【解析】解：（1）∵∠BAC ＝90°，∴∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝90°，∴∠ABD +∠BAD ＝90°，∠CAE +∠BAD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE ADB CEA BA AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE ，故答案为：DE ＝BD +CE ；（2）DE ＝BD +CE 的数量关系不变，理由如下：∵∠BAE 是△ABD 的一个外角，∴∠BAE ＝∠ADB +∠ABD ，∵∠BDA ＝∠BAC ，∴∠ABD ＝∠CAE ，在△ABD 和△CAE 中，ABD CAE ADB CEA BA AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴AD ＝CE ，BD ＝AE ，∴DE ＝AD +AE ＝BD +CE；。

全等三角形——倍长中线（人教版）试卷简介:本套试卷集中测试学生对于倍长中线法证全等的掌握情况，这一块也是学生模块化思维的一个起点：见到中点就倍长、倍长之后找全等、借助全等转移边、转移角，通过这样模块化的思考，逐步培养学生有序思考的习惯。

一、单选题(共8道，每道12分)1.已知,在△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是( )A.2<AD<4B.1<AD<8C.1<AD<4D.2<AD<8答案：C解题思路：解：如图，延长AD至E，使DE=AD，连接BE故选C试题难度：三颗星知识点：倍长中线2.如图,点D,E三等分△ABC的BC边,下列结论中正确的是( )A.AB+AC>AD+AEB.AB+AC=AD+AEC.AB+AC<AD+AED.AB+AC和AD+AE关系不确定答案：A解题思路：解：如图，延长AD至F，使DF=AD，连接BF；延长AE至G，使EG=AE，连接CG；在△BDF和△EDA中，∴△BDF≌△EDA（SAS）∴BF=AE在△ABF中，AB+BF＞AF∴AB+AE＞2AD同理可证：AC+AD＞2AE两式相加可得：AB+AE+AC+AD＞2AD+2AE即AB+AC＞AD+AE故选A试题难度：三颗星知识点：倍长中线3.如图,已知AD是△ABC的中线,∠ADB,∠ADC的平分线分别交AB于点E,交AC于点F.则BE+CF 与EF的大小关系是( )A.BE+CF>EFB.BE+CF<EFC.BE+CF=EFD.无法确定答案：A解题思路：解：如图，延长ED到H，使DH=DE，连接CH，FH∵AD是△ABC的中线∴BD=DC∵DE，DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线∴，∴∴∠EDF=∠FDH=90°在△EFD和△HFD中∴△EFD≌△HFD（SAS）∴EF=FH在△BDE和△CDH中∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE=CH在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH ∵CH=BE，FH=EF∴BE+CF＞EF故选A试题难度：三颗星知识点：全等三角形4.如图,在△ABC中,AB=2,AC=4,D是BC的中点,AE平分∠BAC交BC于点E,且DF∥AE.则CF的长为( )A.2B.C. D.3答案：D解题思路：解：如图，延长FD到G，使得DG=DF，连接BG，延长AE交BG于点H在△CDF和△BDG中∴△CDF≌△BDG（SAS）∴CF=BG，∠4=∠3∴AC∥BG∵DF∥AE∴四边形AFGH是平行四边形∴AF=GH设AF=x则GH=x，CF=BG=4-x∵AE平分∠BAC∴∠1=∠2∵AC∥BG∴∠1=∠5∴∠2=∠5∴BH=AB=2∴GH=BG-BH=2-x∵AF=GH∴x=2-x解得：x=1∴CF=3故选D试题难度：三颗星知识点：倍长中线5.如图,在△ABC中,AB=AC,CE是AB边上的中线,延长AB到D,使BD=AB,则=( )A. B.C. D.2答案：D解题思路：解：如图，延长CE到F使EF=CE，连接BF故选D试题难度：三颗星知识点：全等三角形6.如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,E是AD的中点.①若AB+DC=BC,则∠BEC=90°;②若∠BEC=90°,则AB+DC=BC;③若BE是∠ABC的平分线,则∠BEC=90°;④若AB+DC=BC,则CE是∠DCB的平分线.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解题思路：解：如图，延长BE，CD交于点F易知△AEB≌DEF∴BE=EF，AB=DF，∠ABF=∠F①AB+DC=BC，即DF+CD=BC∴BC=CF∵BE=EF∴CE⊥BF∴∠BEC=90°∴①正确；②∵∠BEC=90°，BE=EF，EC=EC ∴△BCE≌△FCE（SAS）∴BC=DF+CD∵DF=AB∴BC=AB+DC∴②正确；③∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠CBE∵∠ABE=∠F∴∠CBE=∠F∴CB=CF又∵BE=EF∴CE⊥BF∴∠BEC=90°∴③正确；④∵AB+DC=BC，AB=DF∴DF+CD=BC∴BC=CF又∵BE=EF∴∠FCE=∠BCE即CE是∠DCB的平分线∴④正确．综上：①②③④均正确，正确的有4个故选D试题难度：三颗星知识点：类倍长中线7.已知:如图,D为线段AB的中点,在AB上任取一点C(不与点A,B,D重合),分别以AC,BC为斜边在AB同侧作等腰Rt△ACE与等腰Rt△BCF,∠AEC=∠CFB=90°,连接DE,DF,EF.则DE与DF的数量及位置关系是( )A.不相等也不垂直B.相等但不垂直C.不相等但垂直D.相等且垂直答案：D解题思路：解：如图，延长ED到点G，使得DG=DE，连接BG，FG∵D为线段AB的中点∴AD=BD在△EDA和△GDB中∴△EDA≌△GDB（SAS）∴EA=GB，∠A=∠GBD∵△ACE与△BCF是等腰直角三角形∴AE=CE=BG，CF=FB，∠A=∠ECA=∠FCB=∠FBC=45°∴∠ECF=90°，∠FBG=∠FBD+∠GBD=90°在△ECF和△GBF中∴△ECF≌△GBF（SAS）∴EF=GF，∠EFC=∠GFB∵∠CFB=∠CFG+∠GFB=90°∴∠EFG=∠EFC+∠CFG=90°在△EFD和△GFD中，∴△EFD≌△GFD（SSS）∴∠EDF=∠GDF=90°，∠EFD=∠GFD=45°∴ED=DF∴DE=DF，且DE⊥DF.故选D试题难度：三颗星知识点：全等三角形8.已知:如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F,则关于线段AB与AF,CF之间的关系正确的是( )A.AF+FC>ABB.AF+FC=ABC.AF+FC<ABD.AF+FC≥AB答案：B解题思路：解：如图，延长AE交DF的延长线于点M，∵E为BC的中点，∴BE=CE，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠M，在△ABE和△MCE中，∴△ABE≌△MCE（ASA），∴AB=MC，∵∠BAE=∠EAF，∴∠EAF=∠M．∴MF=AF，∵MC=MF+CF，∴AB=AF+FC．故选B试题难度：三颗星知识点：倍长中线第 11 页共 11 页。

初中数学经典几何模型专题02 倍长中线模型构造全等三角形【专题说明】倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。

常用于构造全等三角形。

中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS ”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【知识总结】题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.主要思路：倍长中线（线段）造全等在△ABC 中 AD 是BC 边中线延长AD 到E ， 使DE =AD ，连接BE作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E连接BE延长MD到N，使DN=MD，连接CD1、如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中线BD的取值范围。

(AB+AC)2、已知，如图△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：AM＜123、如图，在△AB C中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF,求证：AD为△ABC的角平分线.4、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F，求证：BE+CF＞EF.5、在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E,F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD,以线段BE,EF,FC 为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？【基础训练】1、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF,求证：AC=BE.2、如图所示，已知△AB C中，AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上，DE=CD,EF=AC.求证EF∥AB.3、已知△ABC中，AB=AC,CF是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB,求证：CD=2CE.4、如图，在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，且AG =1，BF =2．若GE ⊥EF ，则GF 的长为多少？5、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ，求证：AB =AC ．G FEAD BC CDBA【巩固提升】1、如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．（2）求证：△ACD≌△EBD．（3）求证：AB+AC >2AD．（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围．AD2、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ． 求证：AB =AC ．DCBA3、如图，CB 是△AEC 的中线，CD 是△ABC 的中线，且AB =AC ． 求证：①CE =2CD ；②CB 平分∠DCE ．D CB A3、 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 上一点，BE =AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF =∠EAF ．F ED CBA4、 如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 的中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交AB于点G ，BG =CF ，求证：AD 为△ABC 的角平分线．GFE DCBA5、 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，且AF ⊥AB ，已知AD =2.7，AE =BE =5，求CE 的长．FEDC BA6、如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DC B=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG=CG且EG⊥CG．G FE D CB A初中数学经典几何模型专题02 倍长中线模型构造全等三角形 答案【专题说明】倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。