三角形全等之倍长中线(讲义及答案)

学生做题前请先回答以下问题问题1：“三角形全等”的辅助线：见中线，要________，________之后___________，全等之后_________，_________．问题2：倍长中线的作法，图中的虚线为辅助线，请叙述图1、图2的辅助线．三角形全等之倍长中线（类倍长一）（人教版）一、单选题(共4道，每道25分)1.已知：如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠D．求证：AB=CD．如图，先在图上走通思路后再填写空格内容：①因为点E是BC的中点，考虑延长AE到点F，使EF=AE，连接CF；②进而利用全等三角形的判定_________，证明_______≌_______；③由全等可得________________；④结合已知条件∠BAE=∠D，得∠F=∠D，在△DCF中，利用________________，可得CF=CD，等量代换得AB=CD．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.②SAS，△ABE，△ECF；③AB=CF；④等角对等边B.②SAS，△ABE，△DEC；③AB=CF，∠BAE=∠F；④等边对等角C.②SA S，△ABE，△FCE；③∠ABE=∠FCE，∠BAE=∠F；④等边对等角D.②SAS，△ABE，△FCE；③AB=FC，∠BAE=∠F；④等角对等边答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线2.已知：如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠D．求证：AB=CD．证明：如图，延长DE到点F，使EF=DE，连接BF．∵E是BC的中点∴BE=CE在△BEF和△CED中∴△BEF≌△CED（SAS）∴____________________________∵∠BAE=∠D____________________________∴AB=CD请你仔细观察下列序号所代表的内容：①BF=CD，∠EBF=∠C；②BF=CD，∠F=∠D；③；④．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线3.已知：如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC的中点，AD平分∠BAC，过E作EF∥AD，交AB于点G，交CA的延长线于点F，求证BG=CF．如图，先在图上走通思路后再填写横线上的内容：①因为点E是BC的中点，考虑延长GE到点H，使EH=GE，连接CH；②进而利用全等三角形的判定_________，证明_______≌_______；③由全等可得________________；④再与已知条件重新组合，经过推理，可得BG=CF．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.②SAS，△ABD，△FEC；③BG=CF；B.②SAS，△BEG，△CEH；③BG=CH，∠BGE=∠H；C.②SAS，△BEG，△CEH；③GE=HE，∠BGE=∠H；D.②SAS，△BEG，△EHC；③BG=CH；答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线4.已知：如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC的中点，AD平分∠BAC，过E作EF∥AD，交AB于点G，交CA的延长线于点F，求证BG=CF．证明：延长FE到点H，使得EH=FE，连接BH．∵E为BC的中点∴BE=CE在△BEH和△CEF中∴△BEH≌△CEF（SAS）∴____________________________∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∵AD∥EF∴____________________________∴∠3=∠H∴BG=BH∴BG=CF请你仔细观察下列序号所代表的内容：①∠H=∠F，BH=CF；②BH=CF，∠EBH=∠C；③∴∠1=∠3；④∴∠1=∠3，∠2=∠F．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①③B.②③C.①④D.②④答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角形全等之倍长中线。

三角形全等之倍长中线（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 在BC 上，且DE =EC ，过D 作DF ∥BA 交AE 于点F ，DF =AC ． 求证：AE 平分∠BAC ．A B D CE F【思路分析】 读题标注：？？FE CD B A见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE =EC ，点E 是DC 的中点，考虑倍长，有两种考虑方法： ①考虑倍长FE ，如图所示： ②考虑倍长AE ，如图所示：A B DCE F？？GG？？FECDBA （这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF ≌△CEG ，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可． 【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG ．A B DCE F？？在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ） ∴DF =CG ，∠DFE =∠G ∵DF =AC ∴CG =AC ∴∠G =∠CAE ∴∠DFE =∠CAE ∵DF ∥AB ∴∠DFE =∠BAE ∴∠BAE =∠CAE ∴AE 平分∠BAC➢ 巩固练习1. 已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．D CBA2.已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF．3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．求证：EF=2AD．F EDC BAF ED CBA如图，在△ABC中，AB >AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB 于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，EF，AE，若∠DAF=∠EAF，求证：AF⊥EF．GFE D CAFEDB CA➢ 思考小结1. 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC ．CDBA比较下列两种不同的证明方法，并回答问题． 方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE 在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ） ∴AC =BE ，∠E =∠2 ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E 21ECDB A∴AB =BE ∴AB =AC 方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E ∵BE ∥AC ∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ） ∴BE =AC ∵AD 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠E ∴AB =BE ∴AB =AC 相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等． 不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2. 利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是斜边AB 的中线．求证：CD 12=AB ． 21ECDBADCBA【参考答案】 ➢ 巩固练习1. 22. 证明略（提示：延长FD 到点G ，使得DG =DF ，连接AG ，证明△ADG ≌△EDF ，转角证明AB =EF ）3. 证明略（提示：延长AD 到点G ，使得GD =AD ，连接CG ，证明△ABD ≌△GCD ，△EAF ≌△GCA ）4. 证明略（提示：延长FE 到点H ，使得EH =FE ，连接CH ，证明△BFE ≌△CHE ，转角证明BF =CG ）5. 证明略（提示：延长AF 交BC 的延长线于点G ，证明△ADF ≌△GCF ，转角证明AF ⊥EF ）➢ 思考小结1. 倍长中线 SAS AAS 角2. 证明略。

一、直接倍长中线例1【等腰三角形的性质与判定】（1）已知△ABC中AB ＝AC ,求证：∠B ＝∠C . （2）已知△ABC 中∠B ＝∠C ,求证：AB ＝A C . （3）如图，在△ABC 中，BD ＝CD ，∠1＝∠2，求证：AB＝A C .例2 在△ABC 中，已知线段AB ＝4，AC ＝8，则BC 边上的中线AD 的取值范围是【变式训练】如图，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的中线，BA ＝BD ，求证：AC ＝2AE ．二、倍长中线的一部分例3 在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE ＝AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：∠AEF ＝∠F AE【变式训练】如图②，BD ＝CD ，∠1＝∠2，此时EB ＝AC 成立吗？请说明你的理由.A21A B C D 图 1①②E CBE DAA图 1-3-9①②三、倍长过中点的线段例4 如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE ＋CF 与EF 的大小.四、作平行线构造8字型例5已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝∠ACB ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上， DE 交BC 于F ，且DF ＝EF .求证：BD ＝CE .（有三种辅助线）【变式训练】如图，BD ＝CD ，∠1＝∠2，此时EB ＝AC 成立吗？请说明你的理由. （有三种辅助线）BA -3-9②【课后作业】1.在△ABC中，已知线段AB＝5，AC＝13，则BC边上的中线AD的取值范围是3. 如图，△ABC中，BD＝DC＝AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.4.如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E在BC上，且DE ＝EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF＝A C.求证：AE平分∠BA C.C BA5.如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于点E ，Q 为BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连接PQ 交AC 边于点D ，则DE 的长为6.如图1－3－10，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 为BC 中点，E 为AB 上一点，F 为AC 上一点，ED ⊥DF ，连接EF ，求证：线段BE ，FC ，EF 总能构成一个直角三角形.图 1-3-8A BCDEPQEDCBAF图 1-3-10。

全等三角形倍长中线知识点全等三角形倍长中线是一个重要的几何概念，它涉及到三角形的一条特殊线段。

在本文中，我们将介绍什么是全等三角形倍长中线以及它的性质和应用。

全等三角形指的是具有相同边长和角度的两个三角形。

当两个三角形全等时，它们的对应边和对应角都相等。

倍长中线是指通过三角形的两个顶点和中点构造的线段。

具体来说，对于三角形ABC，倍长中线是通过顶点A和边BC的中点D构造的线段AD。

我们来看倍长中线的性质。

根据全等三角形的定义，我们可以得出以下结论：1. 在全等三角形中，倍长中线的长度相等。

也就是说，如果三角形ABC和三角形A'B'C'全等，那么线段AD的长度等于线段A'D'的长度。

2. 倍长中线将三角形分成两个面积相等的三角形。

具体来说，三角形ABC可以分成三角形ABD和三角形ACD，而且它们的面积相等。

接下来，我们来探讨倍长中线的应用。

倍长中线在解决几何问题时有着广泛的应用，特别是在证明全等三角形的过程中往往会用到倍长中线的性质。

以下是一些常见的应用场景：1. 证明两个三角形全等。

当我们需要证明两个三角形全等时，可以利用倍长中线的性质来进行推导。

通过比较倍长中线的长度和其他边长或角度的关系，可以判断出两个三角形是否全等。

2. 求解三角形的面积。

由于倍长中线将三角形分成两个面积相等的三角形，我们可以利用这个性质来求解三角形的面积。

通过计算倍长中线的长度和底边的长度，再利用面积公式，可以得到三角形的面积。

3. 寻找三角形的重心。

重心是三角形的一个重要特征点，它是三条三角形的中线的交点。

在全等三角形中，倍长中线和其他两条中线交于同一点，即重心。

因此，通过倍长中线可以确定三角形的重心。

总结起来，全等三角形倍长中线是一个重要的几何概念，它在解决几何问题时有着广泛的应用。

通过研究倍长中线的性质，我们可以判断两个三角形是否全等，求解三角形的面积，以及确定三角形的重心。

初中数学全等专题倍长中线法1.如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( )＜AB＜12 ＜AB＜12 ＜AB＜19 ＜AB＜19 答案：C解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C.2.如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）A.①②④B.①③④C.①②③D.①②③④ 答案：A解题思路：①正确，延长CD至点F，使得DF=CD，连接AF，可先证明△ADF≌△BDC，再证明△ACF≌△BEC，由这两个三角形全等可以得知②、④正确。

由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误3.如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（）①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形A.①②③B.②③④C.①③④D.①②③④ 答案：A解题思路：可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③正确。

④不正确。

4.如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（）答案：C解题思路：延长FE交DA的延长线于点M，则可证△AEM≌△BEF，再证明△GEM≌△GEF，可以得到GF=GM=GA+BF=3，答案选C5.如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（）①BD=DE=EC ②AB+AE＞2AD ③AD+AC＞2AE ④AB+AC＞AD+AE 个个个个答案：D解题思路：点D、E为边BC的三等分点，∴BD=DE=CE延长AD至点M，AE至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明△ABD≌△MED，进而可得AB+AE＞2AD，再证明△ADE≌△NCE，进而可得AD+AC＞2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE,即AB+AC＞AD+AE.∴①②③④均正确。

初中数学全等专题倍长中线法1.如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（）A.2＜AB＜12B.4＜AB＜12C.9＜AB＜19D.10＜AB＜19 答案：C解题思路：延长AD至E,使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中,根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC,即9＜CE＜19。

则9＜AB＜19.故选C.2。

如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB,给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD;③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）A.①②④B.①③④ C。

①②③ D.①②③④ 答案：A解题思路:①正确,延长CD至点F，使得DF=CD,连接AF，可先证明△ADF≌△BDC,再证明△ACF≌△BEC,由这两个三角形全等可以得知②、④正确。

由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E，若要∠ACD=∠BCE,则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误3。

如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE,延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（）①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形A。

①②③ B。

②③④ C.①③④ D.①②③④ 答案：A解题思路:可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF,③正确.④不正确。

4.如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点，G、F分别为AD,BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（）A。

1 B。

2 C.3 D.4 答案：C解题思路:延长FE交DA的延长线于点M，则可证△AEM≌△BEF,再证明△GEM≌△GEF，可以得到GF=GM=GA+BF=3,答案选C5。

全等模型-倍长中线与截长补短模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型(倍长中线模型、截长补短模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．(注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候)。

【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE.若连结BE，则ΔBDE≅ΔCDA；若连结EC，则ΔABD≅ΔECD；2、中点型:如图2，C为AB的中点.证明思路：若延长EC至点F，使得CF=EC，连结AF，则ΔBCE≅ΔACF;若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则ΔACD≅ΔBCG.3、中点+平行线型：如图3, AB⎳CD，点E为线段AD的中点.证明思路：延长CE交AB于点F(或交BA延长线于点F)，则ΔEDC≅ΔEAF.1(2023·江苏徐州·模拟预测)(1)阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=5，求BC边上的中线AD的取值范围．可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是；(2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF>EF；(3)问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．2(2023·贵州毕节·二模)课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．3(2022·山东·安丘市一模)阅读材料：如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移：(1)如图2，AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：(2)如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．4(2022·河南商丘·一模)阅读材料如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF=DE，连接CF，证明△ADE≌△CFE，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，⋯⋯请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图3，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C的右侧)，连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

三角形全等之倍长中线（习题）例题示范例1：已知：如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E在BC上，且DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．【思路分析】读题标注：见中线，要倍长，倍长之后证全等．结合此题，DE=EC，点E是DC的中点，考虑倍长，有两种考虑方法：①考虑倍长FE，如图所示：②考虑倍长AE，如图所示：（这个过程需要考虑倍长之后具体要连接哪两个点）倍长中线的目的是为了证明全等：以方法①为例，可证△DEF≌△CEG，由全等转移边和角，重新组织条件证明即可．【过程书写】证明：如图，延长FE 到G ，使EG =EF ，连接CG．在△DEF 和△CEG 中，ED EC DEF CEG EF EG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEF ≌△CEG （SAS ）∴DF =CG ，∠DFE =∠G∵DF =AC∴CG =AC∴∠G =∠CAE∴∠DFE =∠CAE∵DF ∥AB∴∠DFE =∠BAE∴∠BAE =∠CAE∴AE 平分∠BAC巩固练习1.已知：如图，在△ABC 中，AB =4，AC =2，点D 为BC 边的中点，且AD 是整数，则AD =________．2.已知：如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：AB=EF．3.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形，AB=AE，AC=AF，∠BAE=∠CAF=90°．求证：EF=2AD．4.如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA 的延长线于G．求证：BF=CG．5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，EF，AE，若∠DAF=∠EAF，求证：AF⊥EF．思考小结1.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD =CD ．求证：AB =AC．比较下列两种不同的证明方法，并回答问题．方法1：如图，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接BE在△BDE 和△CDA 中BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （SAS ）∴AC =BE ，∠E =∠2∵AD 平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB =BE∴AB =AC方法2：如图，过点B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于点E∵BE ∥AC∴∠E =∠2在△BDE 和△CDA 中2E BDE CDA BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△CDA （AAS ）∴BE =AC∵AD 平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC相同点：两种方法都是通过辅助线构造全等，利用全等转移条件进而解决问题．方法1是看到中点考虑通过___________构造全等，方法2是通过平行夹中点构造全等．不同点：倍长中线的方法在证明全等时，利用的判定是________，实质是构造了一组对应边相等；利用平行夹中点证明全等时，利用的判定是_____，实质是利用平行构造了一组_____相等．2.利用“倍长中线”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．请你尝试进行证明．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是斜边AB的中线．求证：CD12AB．【参考答案】巩固练习1.22.证明略（提示：延长FD到点G，使得DG=DF，连接AG，证明△ADG≌△EDF，转角证明AB=EF）3.证明略（提示：延长AD到点G，使得GD=AD，连接CG，证明△ABD≌△GCD，△EAF≌△GCA）4.证明略（提示：延长FE到点H，使得EH=FE，连接CH，证明△BFE≌△CHE，转角证明BF=CG）5.证明略（提示：延长AF交BC的延长线于点G，证明△ADF≌△GCF，转角证明AF⊥EF）思考小结1.倍长中线SAS AAS角2.证明略。

全等三角形倍长中线三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理： 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．例1、已知：ABC ∆中，AM 是中线．求证：1()2AM AB AC <+．AMDCB【解析】 如图所示，延长AM 到D ，使DM AM =，连结BD ，利用SAS 证得ACM ∆≌DBM ∆，∴BD AC =ABD ∆中，AD AB BD <+，∴2AM AB AC <+∴1()2AM AB AC <+练习：在ABC ∆中，5,9AB AC ==，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？ 【解析】 中线倍长，27AD <<例2、如图，ABC ∆中，<AB AC ，AD 是中线．求证：<DAC DAB ∠∠．DCBAEABCD【解析】 延长AD 到E ，使AD DE =，连结BE ．在ADC ∆和EDB ∆中AD EDADC EDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADC EDB ∆∆≌∴AC EB =，CAD BEA ∠=∠ 在ABE ∆中，∵<AB AC ，∴AB EB <∴<AEB EAB ∠∠，∴<DAC DAB ∠∠．(如果取AB 中点用中位线也可证，目前还不能)例3、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．F ED C BA G FEDCBA【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连结BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB ∆∆≌ ∴AC GB =．G EAF ∠=∠ 又∵AF EF =，∴EAF AEF ∠=∠ ∴G BED ∠=∠∴BE BG =，∴BE AC =．例4、如图，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG CF =，求证：AD 为ABC ∆的角平分线．F GE DCBAHAF GBE DC【解析】 延长FE 到点H ，使HE FE =，连结BH ．在CEF ∆和BEH ∆中 CE BECEF BEH FE HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF BEH ∆∆≌∴EFC EHB ∠=∠，CF BH BG == ∴EHB BGE ∠=∠，而BGE AGF ∠=∠ ∴AFG AGF ∠=∠ 又∵EF AD ∥∴AFG CAD ∠=∠，AGF BAD ∠=∠ ∴CAD BAD ∠=∠∴AD 为ABC ∆的角平分线．例5、已知△ABC ，B ACB ∠=∠，D ，E 分别是AB 及AC 延长线上的一点，且BD =CE ，连接DE 交底BC 于G ，求证GD =GE ．4321GEDCBAFE G D CBA【解析】 (等腰三角形、线段相等)(一)过E 作EF ∥AB ，交BC 的延长线于F ，则∠B =∠F ∵∠3=∠4 ，∠3=∠B ∴∠4=∠F ∴CE =EF 在△GEF 与△GDB 中， 12DB CE EF B F ∠=∠⎧⎪==⎨⎪∠=∠⎩∴△GFE ≌△GBD ∴DG GE = 证明(二)4321FKGED CBA过D ，E 分别作直线DK ⊥CB ，EF ⊥CB ∵∠1=∠2 ∠2=∠B ∴∠1=∠B 又 ∵BD =CE ∴Rt △BDK ≌△CEF ∴DK =EF 又∵∠3=∠4．∴Rt △DKG ≌Rt △EFG ∴GD =GE 证明(三)F K1EGD C BA过D 点作DK ∥AC 交BC 于K 过D 点作DF ∥BC 交AC 于F ∴ 四边形DKCF 是开行四边形 ∴ DK =FC ∠1=∠C ∵∠C =∠B ∴∠1=∠B ∴DB =DK =CE =CF∴C 是EF 中点，∴BC ∥DF ∴G 是DE 中点，∴DG =EG 注(此题还有他法，可补充)例6、已知AM 为ABC ∆的中线，AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．MFECBANMFE CBA【解析】 延长FM 到N ，使MN MF =，连结BN 、EN ．易证BNM ∆≌CFM ∆，∴BN CF =，又∵AMB ∠，AMC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ， ∴90EMF EMN ∠=∠=，利用SAS 证明EMN ∆≌EMF ∆，∴EN EF =， 在EBN ∆中，BE BN EN +>，∴BE CF EF +>．例7、已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 是CD 的中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F ．求证：BCE FDE ∆∆≌．DFECBA【解析】 ∵点E 是DC 中点∴DE CE =又∵AD BC ∥，F 在AD 延长线上 ∴DFE CBE ∠=∠，FDE BCE ∠=∠ 在BCE ∆与FDE ∆中EBC EFDECB EDF CE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BCE FDE AAS ∆∆≌例8、如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，F ，E 分别是AD 及其延长线上的点，CF BE ∥．求证：BDE CDF ∆∆≌．FEDCBA【解析】 ∵CF BE ∥，∴EBD FCD ∠=∠．又∵BDE CDF ∠=∠，BD CD =， ∴BDE CDF ∆∆≌．例9、在Rt ABC ∆中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足90DFE ∠=︒．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．图 6G EF D BCA【解析】 如图、延长DF 至点G ，使得DF FG =，联结GB 、GE ．由AF FB =，有ADF BGF ∆∆≌3BG AD ⇒== ADF BGF ⇒∠=∠AD GB ⇒∥180GBE ACB ⇒∠+∠=︒ 90GBE ⇒∠=︒5GE ⇒．又DF FG =，EF DG ⊥5DE GE ⇒==．例10、如图所示，在ABC ∆和A B C '''∆中，AD 、A D ''分别是BC 、B C ''上的中线，且AB A B ''=，AC A C ''=，AD A D ''=，求证ABC A B C '''∆∆≌．EDCABB'A'C'D'【解析】 如图所示，分别延长AD 、A D ''至E 、E '，使DE AD =，D E A D ''''=．连接BE 、B E ''，则2AE AD =，2A E A D ''''=． 因为AD A D ''=，所以AE A E ''=．在ADC ∆和EDB ∆中，AD ED =，ADC EDB ∠=∠，BD CD =， 故ADC EDB ∆∆≌，从而AC EB =，E CAD ∠=∠．同理，'A D C E D B '''''∆∆≌，则A C E B ''''=，E C A D ''''∠=∠． 因为AC A C ''=，所以BE B E ''=．在ABE ∆和A B E '''∆中，AB A B ''=，BE B E ''=，AE A E ''=， 所以ABE A B E '''∆∆≌，从而E E '∠=∠，BAE B A E '''∠=∠，故CAD E E C A D ''''∠=∠=∠=∠，则BAC B A C '''∠=∠．在ABC ∆和A B C '''∆中，AB A B ''=，BAC B A C ''∠=∠，AC A C ''=，故ABC A B C '''∆∆≌．练习1、如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，过A 作AE DE ⊥，AF DF ⊥，且AE AF =．求证：EDB FDC ∠=∠．DF ECBADBCFAE【解析】 本题相对例题简单一些．连结AD ，则AD BC ⊥．∵AE AF =，AD AD =，∴Rt Rt AED AFD ∆∆≌ ∴ADE ADF ∠=∠，∴EDB FDC ∠=∠．2、如图，已知在ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE AC =， 延长BE 交AC 于F ，AF 与EF 相等吗？为什么？FED CBA【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连结BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB ∆∆≌． ∴AC GB =．G EAF ∠=∠ 又∵BE AC =，∴BE BG = ∴G BED ∠=∠，而BED AEF ∠=∠ ∴AEF FAE ∠=∠，故FA FE =．3、如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．【解析】如右下图，则取AC边中点F，连结EF、DF．由中位线可得，1 2EF AB=且B CEF∠=∠．DF为Rt ADC∆斜边上的中线，∴DF CF=．∴CDF C∠=∠，又∵DFE FDE CEF∠+∠=∠，即2C DFE C∠+∠=∠，∴DFE EDF∠=∠，∴12DE EF AB==，∴2AB DE=．FAB D E C4、如图，已知AB=DC，AD=BC，O是BD中点，过O点的直线分别交DA、BC的延长线于E，F．求证：∠E=∠F【解析】(提示：由△ABD≌△CDB，得∠1=∠2，过而△EOD≌△FOB，故∠E=∠F)5、如图，ABC∆中，AB AC=，90BAC∠=︒，D是BC中点，ED FD⊥，ED与AB交于E，FD与AC交于F．求证：BE AF=，AE CF=．AB CDEF FED CBA【解析】方法一：连结AD．∵AB AC=，90BAC∠=︒∴45B C∠=∠=∠︒∵D是BC中点∴45BAD∠=︒且AD BC⊥∵ED DF⊥∴90EDA ADF ∠+∠=︒ ∵90ADE EDB ∠+∠=︒ ∴BDE ADF ∠=∠在BDE ∆与ADF ∆中，AD BD =，45DAF B ∠=∠=︒，BDE ADF ∠=∠ ∴BDE ADF ∆∆≌∴BE AF =．∴AE CF =．。