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《勾股定理的逆定理》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 掌握勾股定理的逆定理的基本内容。
2. 理解勾股定理的逆定理在几何图形中的应用。
3. 培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
二、作业内容1. 知识点复习：回顾勾股定理的基本内容，明确直角三角形三边关系。
2. 预习新知：学习勾股定理的逆定理，即若三角形三边满足一定关系，则该三角形为直角三角形。
重点掌握“两短边的平方和等于最长边的平方”这一条件。
3. 练习题：- 完成课本上的相关练习题，包括判断题、选择题和证明题。
- 结合生活中的实例，如建筑物的斜边与两直角边关系等，进行讨论与解析。
- 完成一份简单的逆定理应用报告，以小组为单位，收集至少三个生活中运用勾股定理逆定理的实例，并分析其应用过程。
三、作业要求1. 认真复习和预习，做好笔记，标记疑难问题。
2. 练习题要求独立完成，不能抄袭他人答案。
如有不懂的问题，可以请教同学或家长。
3. 应用报告需小组合作完成，每个学生至少要负责一个实例的收集与分析。
报告中要注明每个实例的具体情况、如何运用逆定理以及应用的意义。
4. 作业需按时提交，不迟到、不早退。
四、作业评价1. 练习题完成情况：评价学生是否正确理解和掌握了勾股定理的逆定理，以及其应用方法。
2. 应用报告评价：评价学生小组合作的情况、实例收集的多样性和分析的深度。
3. 课堂表现评价：评价学生在课堂上的参与度、发言情况和思维活跃度。
4. 综合评价：综合以上各项评价，给出学生本次作业的总体评价。
五、作业反馈1. 针对学生在练习题和报告中的错误和不足，进行及时的讲解和指导，帮助学生改正错误，提高其解题能力和应用能力。
2. 对于表现优秀的学生和小组，给予表扬和鼓励，激发学生的学习积极性和团队合作精神。
3. 针对学生在课堂上的表现和作业完成情况，及时与家长进行沟通，共同关注学生的学习进步，为下一步的教学工作做好准备。
以上是“初中数学课程《勾股定理的逆定理》作业设计方案（第一课时）”的部分内容。
八数教学案一、课时学习目标1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。
重点、难点1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。
二、课前预习导学1．填空题。
⑴任何一个命题都有 ，但任何一个定理未必都有 。
⑵“两直线平行，内错角相等。
”的逆定理是 。
⑶在△ABC 中，若a 2=b 2－c 2，则△ABC 是 三角形， 是直角； 若a 2＜b 2－c 2，则∠B 是 。
⑷若在△ABC 中，a=m 2－n 2，b=2mn ，c= m 2＋n 2，则△ABC 是 三角形。
2．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ）A ．a=8，b=15，c=17B ．a=9，b=12，c=15C ．a=5，b=3，c=2D ．a ：b ：c=2：3：43．已知：在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？⑴a=3，b=22，c=5； ⑵a=5，b=7，c=9；⑶a=2，b=3，c=7； ⑷a=5，b=62，c=1。
4．若三角形的三边是 ⑴1、3、2； ⑵51,41,31； ⑶32，42，52⑷9，40，41； ⑸（m ＋n ）2－1，2（m ＋n ），（m ＋n ）2＋1；则构成的是直角三角形的有（ ） A ．2个 B ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．５个 5．叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正确。
⑴如果a 3＞0，那么a 2＞0；⑵如果三角形有一个角小于90°，那么这个三角形是锐角三角形； ⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等； ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。
三、课堂学习研讨例1（P75例2）在军事和航海上经常要确定方向和位置， 从而使用一些数学知识和数学方法。
分析：⑴了解方位角，及方位名词；⑵依题意画出图形；⑶依题意可得PR= ，PQ= ，QR= ；小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。
18.2 勾股定理的逆定理（一）教学目标1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
重点：掌握勾股定理的逆定理及简单应用。
难点：勾股定理的逆定理的证明。
教学过程：一.预习新知（阅读教材P73 — 75 , 完成课前预习）1.三边长度分别为3 cm 、4 cm 、5 cm 的三角形与以3 cm 、4 cm 为直角边的直角三角形之间有什么关系？你是怎样得到的？2.你能证明以6cm 、8cm 、10cm 为三边长的三角形是直角三角形吗？3.如图18.2-2，若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足222c b a =+，试证明△ABC 是直角三角形，请简要地写出证明过程．4.此定理与勾股定理之间有怎样的关系？ （1）什么叫互为逆命题（2）什么叫互为逆定理（3）任何一个命题都有 _____，但任何一个定理未必都有 __ 5.说出下列命题的逆命题。
这些命题的逆命题成立吗？ （1） 两直线平行，内错角相等；（2） 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； （3） 全等三角形的对应角相等；（4） 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
二．课堂展示例1：判断由线段a 、b 、c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）17,8,15===c b a ； （2）15,14,13===c b a ． （3）25,24,7===c b a ； （4）5.2,2,5.1===c b a ；三.随堂练习1.完成书上P75练习1、2图18.2-22.如果三条线段长a,b,c 满足222b c a -=，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？3.A,B,C 三地的两两距离如图所示，A 地在B 地的正东方向，C 地在B 地的什么方向？4.思考：我们知道3、4、5是一组勾股数，那么3k 、4k 、5k （k 是正整数）也是一组勾股数吗？一般地，如果a 、b 、c 是一组勾股数，那么ak 、bk 、ck （k 是正整数）也是一组勾股数吗？四.课堂检测1.若△ABC 的三边a ，b ，c 满足条件a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ，试判定△ABC 的形状．2.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？3.已知：如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，且CD 2=AD ·BD 。
18.2 勾股定理的逆定理知识点1 互逆命题在两个命题中,如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,那么这两个命题称为互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.每个命题都有逆命题,但原命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题.原命题和逆命题的真假性一般有四种情况:真、假;真、真;假、假;假、真.知识点2 互逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.每个命题都有逆命题,但不是所有的定理都有逆定理.知识点3 勾股定理的逆定理——直角三角形的判别条件定理:如果三角形的边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.解读:(1)作用:可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形.(2)用较短两边的平方和与最大边的平方进行比较.(3)条件中没有涉及直角三角形,结论是直角三角形.(4)勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别:联系:①两者都与三角形的三边关系a2+b2=c2有关;②两者都与直角三角形有关.区别:①勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形的三边的数量关系,即a2+b2=c2.②勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,进而得到这个三角形是直角三角形,是判断一个三角形是否是直角三角形的一个有效的方法.(5)应用:①现实生活中,在没有测量角的仪器的情况下,常利用勾股定理的逆定理来确定直角(或垂线).②勾股定理与勾股定理的逆定理的综合运用.知识点4 勾股数概念:满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.解读:(1)勾股数满足两个条件:①正整数;②满足a2+b2=c2.(2)常见的勾股数:3,4,5;6,8,10;5,12,13;8,15,17;9,40,41;…(3)小窍门:记住常见的勾股数可以提高做题速度.(4)一组勾股数中各数扩大相同的整数倍能得到一组新的勾股数,如当k=1,2,3,…,n时,下列各组数还是勾股数,{3k,4k,5k},{l5k,l2k,l3k},…延伸:(1)几个求勾股数的常见公式:①n2-1,2n,n2+1(n≥2,n.为正整数);②2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1(n是正整数);③m2-n2,2mn,m2+n2(m>n,m、n都是正整数).(2)小窍门:①有最小的勾股数(3,4,5),没有最大的勾股数.②勾股数不能全是奇数,但可以全是偶数.③勾股数中不可能只有两个偶数.一、选择题1.以下面各组数为边长的三角形,能组成直角三角形的个数是( )①6,7,8;②8,15,17;③7,24,25;④12,35,37.A.1B.2C.3D.42.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,在满足下列条件下,不是直角三角形的是( )A.a :b :c =3:4:5B.a :b :c =9:12:15C.∠A :∠B :∠C =3:4:5D.∠A :∠B :∠C =1:2:33.在△ABC 中,∠A :∠B :∠C =2:1:3, a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边,则有( )A.b 2+a 2=c 2B.c 2=3b 2C.3a 2=2c 2D.c 2=2b 24.等腰三角形底边上的高为1cm,周长为4cm,则三角形的面积是( )A.14cm 2B.10cm 2C.1cm 2D.23cm 45.如图所示,已知AB ⊥CD , △ABD 、△BCE 都为等腰三角形,如果CD =7,BE =3,那么AC 的长为( )A.8B.5C.3D.46.下列说法中,正确的是( )A.三角形两条边的平方和等于第三条边的平方B.如果一个三角形两条边的平方差等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形C.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c , 若a 2+b 2=c 2,则∠A =90°D.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,若c 2-a 2=b 2,则∠B=90°7.把直角三角形的三边都扩大n 倍( n >0),得到的三角形是( )A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不能确定8.小丽和小芳二人同时从公园去图书馆,都是每分钟走50米,小丽走直线用了10分钟,小芳先回家拿了钱去图书馆,小芳到家用了6分钟,从家到图书馆用了8分钟.小芳从公园到图书馆拐的角是( )A.锐角B.直角C.钝角D.不能确定9.如图所示,我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如果大正方形的面积是13, 小正方形的面积是1,直角三角形较短的直角边为a ,较长的直角边为b ,那么(a +b )2的值为( )A.13B.19C.25D.16910.长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm的五根木棍,选出三根首尾连接,最多可搭成的直角三角形的个数为( )A.1B.2C.3D.411.在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是( )A.12,15,27B.32,42,52C.5a, l2a, l3a(a>0)D.1,2,312.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是( )A.∠A=∠B-∠CB.∠A:∠B:∠C=1:1:2C.a:b:c=1:1:2D.b2=a2-c213.已知在△ABC中,AB=8,BC=15,AC=17,则下列结论无法判断的是( )A.△ABC是直角三角形,且AC为斜边B.△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°C.△ABC的面积为60D.△ABC是直角三角形,且∠A=60°14.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:1:2,则下列说法错误的是( )A.∠C=90°B.a2=b2-c2C.c2=2a2D.a=b15.若△ABC的三边分别为m2-1,2m,m2+1(m>1),则下列结论正确的是( )A.△ABC是直角三角形,且斜边的长为m2+ 1B.△ABC是直角三角形,且斜边的长为2mC.△ABC是直角三角形,但斜边的长需由m的大小确定D.△ABC无法判定是否是直角三角形二、填空题1.若△ABC三边长为a、b、c,且满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC的形状为_______三角形.2.若三角形三边之比为3:4:5,则该三角形为________三角形;若三角形三角之比为1:2:3,则该三角形为__________三角形.3.三角形三边分别为6、8、10,则最长边上的高为__________.4.三边长为a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2(其中m>n>0)的三角形为_______三角形.5.请任意写出三组勾股数_______,________,_________.6.一直角三角形的两直角边分别为9、12,该三角形的周长为_________.7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,则斜边上的高是__________cm.8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC上一点,AD⊥AB,AD=9cm,BD=15cm,则AC=-_________cm.9.一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数,则它的周长是_________.10.传说,古埃及人曾用“拉绳”的方法画直角,现有一根长24厘米的绳子,请你利用它拉出一个周长为24厘米的直角三角形,那么你拉出的直角三角形三边的长度分别是______厘米,_________厘米,_________厘米,其中的道理是________.11.一条对角线长39cm,一条边长是36cm的矩形的周长为________cm.12.三角形三边长为a+1,a+2,a+3,当a=_________时,此三角形为直角三角形.13.在△ABC中,三边为a、b、c,且满足a2+b2+c2=ab+ac+bc,则△ABC的形状为________.14.在△ABC中,AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=l2cm,则△ABC的面积为_______.15.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠1=∠2, CD=1.5,BD=2.5,则AC等于___________.16.将一根长24cm的筷子,置于直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中(如图所示).设筷子露在杯子外面的长为h cm,则h的取值范围是__________.17.直角三角形的三边长分别是a-b,a,a+b,其周长为24cm,则面积为________cm2.三、解答题1.试判断三边长分别为2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1(n>0)的三角形是否是直角三角形.2.已知△ABC的三边的长分别为a、b、c,且满足关系式a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,试判断△ABC的形状.3.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,P为BC上一点,求证:PB2+PC2=2P A2.4.如图所示,CD是△ABC的边AB上的高,且CD2=AD·DB.求证:∠ACB=90°.5.求证a=m2-n2, b=m2+n2,c=2mn(m>n>0)是一个直角三角形的三边.6.如图所示,如果只给你一把带刻度的直尺,你是否能检验∠MPN是不是直角,简述你的作法.7.如图所示,在四边形ABCD中,AB⊥BC,且AB=9,BC=12,CD=17,AD=8,求四边形ABCD的面积.8.如图所示,学校B前面有一条笔直的公路,学生放学后走AB、BC两条路可到达公路,经测量BC=6km,BA=8km,AC=10km.现需修建一条公路使学校B到公路的距离最短,请你帮助学校B设计一种方案,并求出公路的长.9.如图所示,一个池塘呈三角形形状,三角形的边长分别为6m、8m、10m,距池塘边缘5m 内的土地上栽着树,问池塘连同树木共占土地多少m2？(结果精确到1m2,π=3.14)10.如图所示,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为BC上一点,且1,4EC BC试判断AF与EF的位置关系,并说明理由.11.3,4 ,5 32+42=525, 12 , 13 52+122=327,24 ,25 72+242=2529,40 ,41 92+402=412……21, b ,c212+b2=c2(1)试找出它们的共同点,并说明你的结论;(2)当a=21时,求b、c的值.a b c第一组3=2×1+1 4=2×l×(1+1) 5=2×1×(1+1)+1第二组 5=2×2+1 12=2×2×(2+1) 13=2×2×(2+1)+1 第三组7=2×3+1 24=2×3×(3+1) 25=2×3×(3+1)+1 第四组9=2×4+1 40=2×4×(4+1) 41=2×4×(4+1)+1 … … … …根据以上勾股数组的组成傅点,你能求,出第七组勾股数的a 、b 、c 各是多少吗？第n 组呢？13.如图是一个零件的形状,校规这个零件中必须有AC ⊥BC ,工人师傅量得B 、C 两点距离为36,AD =12,CD =9,AB =39,∠ADC =90°.问:这个零件符合要求吗？并说明理由.14.如图所示,E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点,并且AB =4,1,4CE BC =F 为CD 的中点,连接AF 、AE 、EF ,△AEF 是什么三角形？请说明理由.15.甲、乙两船从港口A 同时出发,甲船以16海里/时的速度向北偏东35°航行,乙船沿南偏东一角度航行,船速为12海里/时,2小时后,甲、乙两船相距40海里,问乙船的航行方向.16.如图所示,在△ABC 中,AB =40,BC =100,且BC 边上的中线长AD =30.(1)试说明2;ABC ABD S S ∆∆=(2)求△ADC 的面积.17.同学们在数学老师的带领下来到平坦的草原上游玩,他们发现前面有两棵大树,当地的牧'民告诉他们,这是两棵古老而特别的树,两楝树之间的距离为750 m,一部分同学以45 m/min 的速度向一棵大树走去,伺时,剩下的一部分同学以60m/min 的速度向另一棵大树走去,10min 后,两组同学同时到达目的地.问:(1)两组同学行走的方向是否成直角？(2)如果他们仍以原速度行走,至少还需要几分钟才能相遇？18.Tom 和Jerry 去野外宿营,在某地要确定两条互相垂直的路,而身边又没带直角尺,可利用的只有背包带,你能帮他们想一个简单可行的办法吗？19.已知某开发区有一块四边形的空地ABCD ,如图所示,现计划在该空地上种上草皮,经测量,∠A =90°,AB =3m,BC =12m,CD =13m,DA =4m.若每平方米草皮需要200元,问需要投人多少元.20.阅读下列解题过程:已知a 、b 、c 为△ABC 的三边,且满足a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4,试判断△ABC 的形状.解:∵222244a c b c a b -=-① ∴2222222()()()c a b a b a b -=+- ②∴222c a b =+③ ∴△ABC 是直角三角形.问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号:________;(2)错误的原因为___________;(3)本题正确的结论是_____________;21.观察下列两组勾股数:(1)3,4,5;5,12,13;7,24,25;…(2)6,8,10;10,24,26;14,48,50;…你发现上述两组勾股数各有什么特征？请用含有字母m 、n 的式子表示出来,你还能发现勾股数有什么特征？与同学交流.22.已知,如图△ABC 的周长是24,M 是AB 的中点,MC =MA =5,求△ABC 的面积.。
