2017年江苏省高考数学预测卷(2)含答案解析

绝密★启用前【试卷点评】【命题特点】2017年江苏高考数学试卷，在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，对数据处理能力、应用意识的要求比以往有所提高。

2017年江苏数学试卷在“稳中求进”中具体知识点有变化。

1.体现新课标理念，实现平稳过渡。

试卷紧扣江苏考试大纲，新增内容的考查主要是对基本概念、基本公式、基本运算的考查，难度不大。

对传统内容的考查在保持平稳的基础上进行了适度创新。

如第7题首次考查几何概型概率问题。

2.关注通性通法。

试卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，体现了以知识为载体，以方法为依托，以能力考查为目的的命题要求。

如第17题解析几何考查两直线交点以及点在曲线上。

第20题以极值为载体考查根与系数关系、三次方程因式分解。

第19题以新定义形式多层次考查等差数列定义。

3.体现数学应用，关注社会生活。

第10题以实际生活中运费、存储费用为背景的基本不等式求最值问题，第18题以常见的正四棱柱和正四棱台为背景的解三角形问题，体现试卷设计问题背景的公平性，对推动数学教学中关注身边的数学起到良好的导向。

4.附加题部分，前四道选做题对知识点的考查单一，方法清晰，学生入手较易。

两道必做题一改常规，既考查空间向量在立体几何中应用，又考查概率分布与期望值，既考查运算能力，又考查思维能力。

【试卷解析】参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 球体积公式34π3R V =，其中R 是球的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =I 则实数a 的值为 ▲ . 【答案】1【考点】元素的互异性【名师点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关,A B A B =∅⊆I 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.2. 已知复数(1i)(12i),z =++其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ . 【答案】10【考点】复数的模【名师点睛】对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 22+a b (,)a b 、共轭为.-a bi3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件. 【答案】18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N . 4. 右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116,则输出的y 的值是 ▲ .【答案】2-【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2． 【考点】循环结构流程图【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项. 5. 若π1tan(),46α-= 则tan α= ▲ .【答案】75【考点】两角和正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异. ①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用； ②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.结束 （第4题）开始 22log y x←+Y1x ≥N输入x 2x y ←输出y6. 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲.【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32． 【考点】圆柱体积【名师点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． 7. 记函数2()6f x x x =+-的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是 ▲ . 【答案】59【考点】几何概型概率【名师点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．8. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .O O 1 O 2⋅⋅ ⋅【答案】23【考点】双曲线渐近线【名师点睛】1.已知双曲线方程22221x y a b -=求渐近线：22220x y by x a b a-=⇒=±2.已知渐近线y mx = 设双曲线标准方程222m x y λ-=3，双曲线焦点到渐近线距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点.9. 等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ .【答案】32【解析】当1q =时，显然不符学合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 【考点】等比数列通项【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ . 【答案】30 【解析】总费用600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立. 【考点】基本不等式求最值【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 11. 已知函数31()2e e x xf x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 ▲ . 【答案】1[1,]2-【考点】利用函数性质解不等式【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内12. 如图,在同一个平面内，向量OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 的模分别为2OA u u u r 与OC u u u r 的夹角为α,且tan α=7,OB u u u r与OC u u u r 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R , 则m n += ▲ . 【答案】3【解析】由tan 7α=可得72sin α=，2cos α=，根据向量的分解， 易得cos 45cos 2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩2222102720210n m n m +=⎪-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=.α A CB(第12题)【考点】向量表示【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题.(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.13. 在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅u u u r u u u r≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ . 【答案】[52,1]-【考点】直线与圆，线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14. 设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ .【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈ ，则需考虑110x ≤< 的情况在此范围内，x Q ∈ 且x ∈Z 时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质 若lg x Q ∈ ，则由lg (0,1)x ∈ ，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质因此10nmqp=，则10()n mqp=，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此lg x Q∉【考点】函数与方程【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥.【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理，面面垂直性质定理 【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. 16.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值. 【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π6x =时，取得最小值，为3-(第15题)ADBC EF【解析】解：（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,3)=-b ，a ∥b ，（2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6f x x x x x x =⋅=⋅-=-=+a b . 因为，所以ππ7π[,]666x +∈， 从而π31cos()62x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最学.科网大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值23-【考点】向量共线，数量积【名师点睛】(1)向量平行：1221//a b x y x y ⇒=r r，//,0,a b b a b λλ≠⇒∃∈=R r r r r r r ,111BA AC OA OB OC λλλλ=⇔=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur (2)向量垂直：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r，(3)向量加减乘： 221212(,),||,||||cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅<>r rr rr r r r r r17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作 直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）4737(,) 【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c .从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--. ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --. F 1 ⋅O⋅F 2xy(第17题)因为点Q在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=.因此点P 的坐标为77(77.【考点】椭圆方程，直线与椭圆位置关系【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用韦达定理或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程. 18.（本小题满分16分）如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为7容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度； （2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.【答案】（1）16（2）20【解析】解:（1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥.容器Ⅱ容器ⅠGOHFD BAO 1H 11F 1E D 1C 1B 1A (第18题)记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处.( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO 1⊥平面 EFGH ， 所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面 E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处.过G 作GK ⊥E 1G ，K 为垂足， 则GK =OO 1=32. 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=.于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠. 记EN 与水面的交点为P 2，过 P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，故P 2Q 2=12，从而 EP 2=2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm) 【考点】正余弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 19.（本小题满分16分）对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++L L 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”. （1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.②由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④所以数列{}n a 是等差数列.【考点】等差数列定义及通项公式【名师点睛】证明{}n a 为等差数列的方法： (1)用定义证明：1(n n a a d d +-=为常数）； (2)用等差中项证明：122n n n a a a ++=+； (3)通项法： n a 为n 的一次函数；(4)前n 项和法：2n S An Bn =+20.（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围.【答案】（1）3a >（2）见解析（3）36a <≤【解析】解：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-.当3ax =-时，()f x '有极小值23a b -.因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27a )039a b a-=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=3a a b x ---，223=3a a bx -+-. 列表如下x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x ' +0 –0 +()f xZ 极大值] 极小值Z故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因为3a >，所以33a a >()>(33)=3g a g >3a因此2>3b a .（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++346420279a ab ab -=-+=因此a 的取值范围为(36]，.【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两．．．．．题．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB 为半圆O 的直径,直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足. 求证：（1）;PAC CAB ∠=∠ （2）2AC AP AB =⋅.【答案】见解析【解析】证明：（1）因为PC 切半圆O 于点C ，POCA(第21-A 题)所以PCA CBA =∠∠，所以2·AC AP AB = 【考点】圆性质，相似三角形【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．B. [选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵0110,.1002B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A= ，B=.（1）求AB ;（2）若曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线2C ,求2C 的方程.【答案】（1）（2）228x y +=【解析】解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以AB =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）设00(,)Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(,)P x y ,则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤=⎡⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎥⎣⎦⎦⎢，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 因为00(,)Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=.因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ：228x y +=.【考点】矩阵乘法、线性变换【名师点睛】（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2）矩阵变换注意变化前后对应点：a b x x c d y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y '' C. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22,22x s y s⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 【答案】45【解析】解：直线l 的普通方程为280x y -+=.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 45. 【考点】参数方程化普通方程【名师点睛】1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换法． 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x 及y 的取值范围的影响．D.［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明8.ac bd +≤ 【答案】见解析【考点】柯西不等式【名师点睛】柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立.【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）如图, 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ,且AB =AD =2,AA 13 120BAD ∠=︒.（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值.DCBD 1B 1C 1A 1A(第22题)【答案】（1）17（2）74【解析】解：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E .因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17.(2)平面A 1DA 的一个法向量为3,0,0)AE =u u u r.设(,,)x y z =m 为平面BA 1D 的一个法向量，又1(3,1,3),(3,3,0)A B BD =--=-u u u r u u u r ， 则10,0,A B BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m 即330,330.x y z x y -=+=⎪⎩不妨取x =3，则3,2y z ==，因此二面角B -A 1D -A 7. 【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角【名师点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 23.（本小题满分10分）已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +L 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+L .123L m n +（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ;（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X 是X 的数学期望,证明:()()(1)nE X m n n <+-【答案】（1）nm n+（2）见解析 【解析】解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为: 11C C n m n n m n np m n-+-+==+. (2) 随机变量 X 的概率分布为: X1n 11n + 12n + …1k…1m n+P11C C n n nm n --+ 1C C n nnm n -+ 11C C n n nm n-++ …11C C n k nm n--+ …11C C n n m nm n-+-+ 随机变量 X 的期望为：()()(1)nE X m n n <+-.【考点】古典概型概率、随机变量及其分布、数学期望 【名师点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布(,)X B n p :)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np )求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.。

2017 年江苏省高考数学试卷一 .填空题1（．5 分）已知集合 A={ 1，2} ，B={ a，a2+3} ．若 A∩B={ 1} ，则实数 a 的值为．2．（5 分）已知复数 z=（ 1+i）（1+2i），其中 i 是虚数单位，则 z 的模是．3．（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（ 5 分）如图是一个算法流程图：若输入 x 的值为，则输出 y 的值是．5．（5 分）若 tan（α﹣）=．则tanα=．6．（ 5 分）如图，在圆柱 O1 O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1 2 的体积为1，球O 的体积为2，则的值是．O V V7．（ 5 分）记函数 f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则 x∈ D 的概率是．8．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P， Q，其焦点是 F1，F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是．9．（ 5 分）等比数列 { a n} 的各项均为实数，其前n 项和为 S n，已知S3=，S6=，则 a8=．10．（5 分）某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元 / 次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．11．（5分）已知函数 f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中 e 是自然对数的底数．若 f（a﹣ 1） +f（2a2）≤ 0．则实数 a 的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且 tan α=7，与的夹角为 45°．若 =m +n（ m，n∈ R），则 m+n=．13．（ 5 分）在平面直角坐标系xOy 中， A（﹣ 12，0）， B（ 0， 6），点 P 在圆 O：x2+y2=50 上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．14．（ 5 分）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上， f（x）=，其中集合 D={ x| x=， n∈ N* } ，则方程 f（x）﹣ lgx=0 的解的个数是．二 .解答题15．（ 14 分）如图，在三棱锥 A﹣ BCD中， AB⊥AD， BC⊥ BD，平面 ABD⊥求证：（1）EF∥平面 ABC；（2） AD⊥AC．16．（ 14 分）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣），x∈[ 0，π]．（ 1）若，求x的值；（ 2）记 f （x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．17．（ 14 分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 E：=1（ a＞ b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点 P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点 F1作直线 PF1的垂线 l1，过点 F2作直线 PF2的垂线l2．（1）求椭圆 E 的标准方程；（2）若直线 l1，l2的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．18．（ 16 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm，容器Ⅰ的底面对角线 AC的长为 10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG， E1G1的长分别为 14cm 和 62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm．现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将 l 放在容器Ⅰ中， l 的一端置于点 A ，另一端置于棱 CC1上，求 l 没入水中部分的度；（2）将 l 放在容器Ⅱ中， l 的一端置于点 E ，另一端置于棱 GG1上，求 l 没入水中部分的度．19．（16 分）于定的正整数k，若数列 { a n} 足：a n﹣k+a n﹣k+1+⋯+a n﹣1+a n+1+⋯+a n+k+a n+k=2ka n 任意正整数n（n＞k）成立，称数列{ a n}是“P（k）数列”．（ 1）明：等﹣1差数列 { a n } 是“P（3）数列”；（ 2）若数列 { a n} 既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，明：{ a n} 是等差数列．20．（ 16 分）已知函数f（ x） =x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极，且函数 f ′（ x）的极点是 f（x）的零点．（Ⅰ）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定域；（Ⅱ）明： b2＞ 3a；（Ⅲ）若 f（ x），f ′（x）两个函数的所有极之和不小于，求数a的取范．二 .非，附加（ 21-24 做）【修 4-1：几何明】（本小分0分）21．如， AB 半 O 的直径，直 PC切半 O 于点 C，AP⊥PC，P 垂足．求：（1）∠PAC=∠CAB；（2） AC2 =AP?AB．[ 修 4-2：矩与 ]22．已知矩 A=，B=．（1）求 AB；（ 2）若曲 C1：=1在矩AB的作用下得到另一曲2，求CC2的方程．[ 修 4-4：坐系与参数方程 ]23．在平面直角坐系xOy 中，已知直 l 的参数方程（t参数），曲 C 的参数方程（s参数）．P曲C上的点，求点P 到直 l 的距离的最小．［修 4-5：不等式］24．已知 a，b，c， d 数，且 a2+b2=4，c2+d2=16，明 ac+bd≤ 8．【必做】25．如，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中， AA1⊥平面 ABCD，且 AB=AD=2，AA1=，∠ BAD=120°．（1）求异面直 A1B 与 AC1所成角的余弦；（2）求二面角 B A1D A 的正弦．26．已知一个口袋有 m 个白球， n 个黑球（ m，n∈N*，n≥2），些球除色外全部相同．将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如所示的号1，2，3，⋯，m+n 的抽内，其中第 k 次取出的球放入号k 的抽（ k=1，2，3，⋯，m+n）．123⋯m+n（ 1）求号 2 的抽内放的是黑球的概率p；（ 2）随机量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽号的倒数，E（ X）是 X 的数学期望，明E（ X）＜．2017 年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一 .填空题2+3} ．若 A∩B={ 1} ，则实数 a 的值为 1 ．．（分）已知集合1 5A={ 1，2} ，B={ a，a【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合 A={ 1，2} ，B={ a，a2+3} ．A∩B={ 1} ，∴a=1 或 a2+3=1，当a=1 时， A={ 1，1} ， B={ 1， 4} ，成立；a2+3=1 无解．综上， a=1．故答案为： 1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5 分）已知复数 z=（ 1+i）（1+2i），其中 i 是虚数单位，则 z 的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数 z=（ 1+i）（1+2i） =1﹣2+3i=﹣ 1+3i，∴ | z| ==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5 分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000 件，而抽取60 件进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18 件，故答案为： 18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（ 5 分）如图是一个算法流程图：若输入 x 的值为，则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值 x=，不满足x≥1，所以 y=2+log2=2﹣=﹣ 2，故答案为：﹣ 2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5 分）若 tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵ tan（α﹣）===∴6tan α﹣6=tan α+1，解得 tan α=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（ 5 分）如图，在圆柱 O1 O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱 O1 2 的体积为1，球O 的体积为2，则的值是．O V V【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，23．圆柱的体积为：πR?2R=2πR则 == ．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（ 5 分）记函数 f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则 x∈ D 的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由 6+x﹣x2≥0 得 x2﹣x﹣6≤0，得﹣ 2≤ x≤ 3，则 D=[ ﹣2，3] ，则在区间 [ ﹣ 4， 5] 上随机取一个数 x，则 x∈ D 的概率 P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5 分）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线﹣ y2=1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P， Q，其焦点是 F1，2，则四边形 1 2．F F PF Q 的面积是【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到 P，Q 坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣ y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：±x，y=所以 P（，），Q（，﹣），F1（﹣，）． 2（，）．20 F 2 0则四边形 F1PF2Q 的面积是：=2．故答案为： 2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（ 5 分）等比数列 { a n} 的各项均为实数，其前n 项和为 S n，已知S3=，S6=，则a8= 32 ．【分析】设等比数列 { a n的公比为≠， 3， 6，可得=，}q 1 S =S = =，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列 { a n} 的公比为 q≠ 1，∵ S3， 6，∴，，解得 a1=，q=2．则 a8==32．故答案为： 32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5 分）某公司一年购买某种货物600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元 / 次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4× 2×=240（万元）．当且仅当 x=30 时取等号．故答案为： 30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．．（分）已知函数3﹣2x+e x﹣，其中 e 是自然对数的底数．若 f（a 11 5f（x）=x﹣ 1） +f（2a2）≤ 0．则实数 a 的取值范围是[ ﹣ 1， ] ．【分析】求出 f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在 R 上递增；再由奇偶性的定义，可得 f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤ 1﹣ a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数 f （x） =x3﹣ 2x+e x﹣的导数为：f ′（x）=3x2﹣2+e x+ ≥﹣ 2+2=0，可得 f （x）在 R 上递增；3+2x+e ﹣x x 3x又 f（﹣ x） +f （x）=（﹣ x）﹣e +x﹣2x+e ﹣ =0，可得 f （x）为奇函数，则f（ a﹣ 1） +f （2a2）≤ 0，即有 f （2a2）≤﹣ f（a﹣1）由 f（﹣（ a﹣1））=﹣ f（ a﹣1），f（2a2）≤ f（1﹣a），即有 2a2≤1﹣a，解得﹣ 1≤a≤，故答案为： [ ﹣1，] ．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5 分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且 tan α=7，与的夹角为45°．若=m +n（m，n∈ R），则 m+n= 3．【分析】如图所示，建立直角坐标系． A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得 cosα=， sin α= ． C．可得°°cos（α+45 ） =． sin（α+45 ）=．B．利用=m +n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴ cosα=，sinα=．∴ C．°（ cosα﹣sin α）=．cos（α+45） =sin（α+45°（sin α+cosα）=．）=∴ B．∵=m +n （m， n∈ R），∴ =m﹣ n， =0+ n，解得 n=，m=．则m+n=3．故答案为： 3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（ 5 分）在平面直角坐标系xOy 中， A（﹣ 12，0）， B（ 0， 6），点 P 在圆 O：x2+y2=50 上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[ ﹣5，1]．【分析】根据题意，设 P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线 2x+y+5≤ 0 以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设 P（x0， y0），则有 x02+y02=50，=（﹣ 12﹣ x0，﹣ y0）?（﹣ x0，6﹣y0）=（ 12+x0）x0﹣ y（0 6﹣ y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为： 12x0﹣6y0+30≤0，即 2x0﹣y0+5≤ 0，表示直线 2x﹣ y+5=0 以及直线上方的区域，联立，解可得 x0﹣或0 ，= 5x =1结合图形分析可得：点P 的横坐标 x0的取值范围是 [ ﹣5，1] ，故答案为： [ ﹣5 ，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于 x0、y0的关系式．14．（ 5 分）设 f（x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上， f（x）=，其中集合 D={ x| x=，n∈ N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中 f（ x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，在区间 [ 0，1）上， f （ x）=，其中集合D={ x| x=，n∈ N*}，分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间 [ 0，1）上， f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又 f（ x）是定义在 R 上且周期为 1 的函数，∴在区间 [ 1，2）上， f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx 有且只有一个交点；同理：区间 [ 2， 3）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 3， 4）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 4， 5）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 5， 6）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 6， 7）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 7， 8）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；区间 [ 8， 9）上， f（ x）的图象与 y=lgx 有且只有一个交点；在区间 [ 9，+∞）上， f（x）的图象与 y=lgx 无交点；故f（ x）的图象与 y=lgx 有 8 个交点；即方程 f（x）﹣ lgx=0 的解的个数是 8，故答案为： 8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二 .解答题15．（ 14 分）如图，在三棱锥 A﹣ BCD中， AB⊥AD， BC⊥ BD，平面 ABD⊥平面BCD，点 E、F（E 与 A、D 不重合）分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥ AD．求证：（1）EF∥平面 ABC；（2） AD⊥AC．【分析】（1）利用 AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段 CD上点 G，连结 FG、EG使得 FG∥ BC，则 EG∥ AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为 AB⊥ AD， EF⊥AD，且 A、B、E、F 四点共面，所以 AB∥EF，又因为 EF?平面 ABC，AB? 平面 ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面 ABC；（2）在线段 CD上取点 G，连结 FG、 EG使得 FG∥BC，则 EG∥AC，因为 BC⊥BD， FG∥ BC，所以 FG⊥BD，又因为平面 ABD⊥平面 BCD，所以 FG⊥平面 ABD，所以 FG⊥AD，又因为 AD⊥EF，且 EF∩FG=F，所以 AD⊥平面 EFG，所以 AD⊥EG，故 AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（ 14 分）已知向量 =（cosx，sinx）， =（3，﹣），x∈[ 0，π]．（ 1）若，求x的值；（ 2）记 f （x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x 的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（ 2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵ =（cosx， sinx）， =（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴ tanx=﹣，∵ x ∈[ 0，π] ，∴ x=，（ 2） f （x ）==3cosx ﹣ sinx=2（cosx ﹣ sinx ）=2 cos （x+），∵ x ∈[ 0，π] ，∴ x+ ∈[， ] ，∴﹣ 1≤cos （x+ ）≤，当 x=0 时， f （x ）有最大值，最大值 3，当 x=时， f （x ）有最小值，最小值﹣ 2 ．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（ 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E ：=1（ a ＞ b ＞0）的左、右焦点分别为 F 1， 2 ，离心率为 ，两准线之间的距离为 8 ．点 P 在椭圆FE 上，且位于第一象限，过点F 作直线 PF 的垂线 l ，过点 F 作直线 PF 的垂线1 112 2 l 2．（ 1）求椭圆 E 的标准方程；（ 2）若直线 l 1，l 2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得 a=2c ，由椭圆的准线方程 x=±，则 2×=8，即可求得 a 和 c 的值，则 b 2=a 2﹣ c 2 =3，即可求得椭圆方程；（ 2）设 P 点坐标，分别求得直线 PF 2 的斜率及直线 P F 1 的斜率，则即可求得 l 2及l1的斜率及方程，联立求得 Q 点坐标，由 Q 在椭圆方程，求得 y02=x02﹣1，联立即可求得 P 点坐标；方法二：设 P（m， n），当 m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得 Q 点坐标，根据对称性可得=± n2，联立椭圆方程，即可求得 P 点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e== ，则 a=2c，①椭圆的准线方程 x=±，由 2×=8，②由①②解得： a=2，c=1，则 b2 2﹣c2，=a=3∴椭圆的标准方程：；（ 2）方法一：设 P（x0，0），则直线 2 的斜率=，y PF则直线 l2的斜率 2 ﹣，直线l 2的方程﹣（﹣），k =y=x 1直线 PF1的斜率=，则直线 l2的斜率1﹣，直线l 1 的方程﹣（），k =y=x+1联立，解得：，则Q（﹣x0，），由 P，Q 在椭圆上， P， Q 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣ 1，则，解得：，则，又 P 在第一象限，所以P 的坐标为：P（，）．方法二：设 P（m， n），由 P 在第一象限，则 m＞ 0， n＞ 0，当 m=1 时，不存在，解得： Q 与 F1重合，不满足题意，当 m≠1 时，=，=，由 l1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线 l1的方程 y=﹣（ x+1），①直线 l2的方程 y=﹣（x﹣1），②联立解得： x=﹣m，则 Q（﹣ m，），由 Q 在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣ n2=1，或 m2+n2=1，由 P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又 P 在第一象限，所以P 的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（ 16 分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32cm，容器Ⅰ的底面对角线 AC的长为 10 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG， E1G1的长分别为 14cm 和 62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为 12cm．现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（ 1）将 l 放在容器Ⅰ中， l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC1上，求 l 没入水中部分的长度；（ 2）将 l 放在容器Ⅱ中， l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG1上，求 l 没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在 CC1上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N，过 N 作NP∥MC，交 AC于点 P，推导出 CC1⊥平面 ABCD，CC1⊥ AC，NP⊥ AC，求出MC=30cm，推导出△ ANP∽△ AMC，由此能出玻璃棒 l 没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在 GG1上的点为 M，玻璃棒与水面的交点为 N，过点 N 作 NP⊥ EG，交 EG于点 P，过点 E 作 EQ⊥E1G1，交 E1G1于点 Q，推导出 EE1G1G 为等腰梯形，求出 E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出 sin∠GEM= ，由此能求出玻璃棒 l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在 CC1上的点为 M ，玻璃棒与水面的交点为 N，在平面 ACM 中，过 N 作 NP∥MC，交 AC于点 P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴ CC1⊥平面 ABCD，又∵ AC? 平面 ABCD，∴ CC1⊥AC，∴ NP⊥AC，∴NP=12cm，且 AM2=AC2+MC2，解得 MC=30cm，∵ NP∥MC，∴△ ANP∽△ AMC，∴= ，，得AN=16cm．∴玻璃棒 l 没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在 GG1上的点为 M ，玻璃棒与水面的交点为 N，在平面 E1EGG1中，过点 N 作 NP⊥EG，交 EG于点 P，过点 E 作 EQ⊥ E1G1，交 E1G1于点 Q，∵ EFGH﹣ E1F1G1H1为正四棱台，∴ EE1=GG1， EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G 为等腰梯形，画出平面 E1EGG1的平面图，∵ E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm， NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得： E1E=40cm，∴sin∠EE1G1= ，sin∠EGM=sin∠EE1G1= ，cos∠EGM=﹣，根据正弦定理得：=，∴ sin∠EMG=，cos∠EMG=，∴sin∠GEM=sin（∠ EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠ EMG= ，∴ EN===20cm．∴玻璃棒 l 没入水中部分的长度为20cm．【点】本考玻璃棒 l 没入水中部分的度的求法，考空中、面、面面的位置关系等基知，考推理能力、运算求解能力、空想象能力，考数形合思想、化与化思想，是中档．19．（16 分）于定的正整数k，若数列 { a n} 足：a n﹣k+a n﹣k+1+⋯+a n﹣1+a n+1+⋯+a n+k+a n+k=2ka n 任意正整数n（n＞k）成立，称数列{ a n}是“P（k）数列”．（ 1）明：等﹣1差数列 { a n } 是“P（3）数列”；（ 2）若数列 { a n} 既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，明：{ a n} 是等差数列．【分析】（1）由意可知根据等差数列的性， a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（ a n+a n+3）+（a n﹣ 2+a n+2）+（a n﹣ 1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定，可得﹣3数列 { a n} 是“P（3）数列”；（ 2）由已知条件合（ 1）中的，可得到 { a n} 从第 3 起等差数列，再通判断 a2与 a3的关系和 a1与 a2的关系，可知 { a n} 等差数列．【解答】解：（ 1）明：等差数列 { a n} 首 a1，公差 d， a n =a1+（n 1）d，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n +2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列 { a n} 是“P（3）数列”；（ 2 ）明：当n ≥ 4 ，因数列{ a n} 是 P（ 3 ）数列，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n +1+a n+2+a n +3=6a n，①因数列 { a n} 是“P（ 2）数列”，所以 a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，②则a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，③，②+③﹣①，得 2a n=4a n﹣1+4a n+1﹣6a n，即 2a n=a n﹣1+a n+1，（ n≥ 4），因此 n≥4 从第 3 项起为等差数列，设公差为d，注意到 a2+a3+a5+a6=4a4，所以 a2=4a4﹣a3﹣a5﹣ a6=4（a3+d）﹣ a3﹣（ a3+2d）﹣（ a3+3d） =a3﹣ d，因为 a1+a2+a4+a5=4a3，所以 a1 =4a3﹣a2﹣ a4﹣a5=4（a2+d）﹣ a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前 3 项满足等差数列的通项公式，所以 { a n} 为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（ 16 分）已知函数 f（ x） =x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f ′（x）的极值点是 f（x）的零点．（Ⅰ）求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明： b2＞ 3a；（Ⅲ）若 f（ x），f ′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ ）通过对 f（x） =x3+ax2+bx+1 求导可知 g（ x） =f （′x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知 g′（x）=6x+2a，通过令 g′（ x） =0 进而可知 f ′（x）的极小值点为 x=﹣，从而 f（﹣）=0，整理可知 b=+ （ a＞0），结合 f（x）=x3+ax2+bx+1（ a＞ 0，b∈ R）有极值可知 f ′（x）=0 有两个不等的实根，进而可知 a＞3．（Ⅱ）通过（ 1）构造函数 h（a）=b2﹣3a=﹣+ =（4a3﹣27）（ a3﹣ 27），结合 a＞ 3 可知 h（ a）＞ 0，从而可得结论；（Ⅲ）通过（ 1）可知 f ′（x）的极小值为 f （′﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知 y=f（ x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式 b﹣ +﹣+2= ﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（Ⅰ ）解：因为 f （x）=x3+ax2 +bx+1，所以 g（x）=f ′（ x） =3x2 +2ax+b，g′（x）=6x+2a，令 g′（x）=0，解得 x=﹣．由于当 x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f（′x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f （′x）单调递减；所以 f ′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数 f ′（x）的极值点是原函数f（ x）的零点，所以 f （﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以 b=+（a＞0）．因为 f （x） =x3+ax2 +bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以 f ′（x）=3x2+2ax+b=0 的实根，所以 4a2﹣12b≥ 0，即 a2﹣+≥0，解得a≥3，所以 b=+（a＞3）．（Ⅱ）证明：由（ 1）可知 h（a）=b2﹣3a=﹣+ =（4a3﹣27）（ a3﹣ 27），由于 a＞3，所以 h（a）＞ 0，即 b2＞3a；（Ⅲ）解：由（ 1）可知 f ′（x）的极小值为 f ′（﹣）=b﹣，设 x1， 2 是y=f （）的两个极值点，则 1 2， 1 2，x x x +x =x x =所以 f （x1）+f （ 2）= +（+）+b（ 1 2）+2 x+a x +x=（x1+x2）[ （x1+x2）2﹣3x1x2]+ a[ （ x1 +x2）2﹣2x1 x2]+ b（x1+x2）+2 =﹣+2，又因为 f（x）， f ′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以 b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为 a＞3，所以 2a3﹣63a﹣54≤0，所以 2a（a2﹣36）+9（ a﹣6）≤ 0，所以（ a﹣6）（ 2a2+12a+9）≤ 0，由于 a＞3 时 2a2+12a+9＞0，所以 a﹣6≤0，解得 a≤6，所以 a 的取值范围是（ 3，6] ．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二 .非选择题，附加题（ 21-24 选做题）【选修 4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图， AB 为半圆 O 的直径，直线 PC切半圆 O 于点 C，AP⊥PC，P 为垂足．求证：（1）∠ PAC=∠CAB；（2） AC2 =AP?AB．【分析】（ 1 ）利用弦切角定理可得：∠ ACP=∠ ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（ 2）由（ 1）可得：△ APC∽△ ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线 PC切半圆 O 于点 C，∴∠ ACP=∠ABC．∵AB为半圆 O 的直径，∴∠ ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠ APC=90°．∴∠ PAC=90°﹣∠ ACP，∠ CAB=90°﹣∠ ABC，∴∠ PAC=∠CAB．（2）由（ 1）可得：△ APC∽△ ACB，∴ = ．∴2AC =AP?AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[ 选修 4-2：矩阵与变换 ]22．已知矩阵 A=，B=．（1）求 AB；（ 2）若曲线 C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线2，求CC2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（ 2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点 P（ x，y）为曲线 C1的任意一点，点P 在矩阵 AB 的变换下得到点 P′（ x0，y0），则=，即x0， 0 ，=2y y =x∴x=y0，y= ，∴，即 x02+y02=8，∴曲线 C2的方程为 x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[ 选修 4-4：坐标系与参数方程 ]23．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为（t 为参数），曲线 C 的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P 到直线 l 的距离的最小值．【分析】求出直线 l 的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离 d 关于参数 s的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线 l 的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴ P 到直线 l 的距离 d==，∴当 s=时，d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修 4-5：不等式选讲］24．已知 a，b，c， d 为实数，且 a2+b2=4，c2+d2=16，证明 ac+bd≤ 8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令 a=2cos α，b=2sin α，c=4cos β，d=4sin β代入． ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ ac+bd ）2≤（ a2+b2）（ c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵ a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα， b=2sin α，c=4cosβ，d=4sin β．∴ ac+bd=8（ cosαcos+sinβ αsin）β=8cos（α﹣β）≤ 8．当且仅当cos（α﹣β） =1时取等号．因此 ac+bd≤ 8．另解：由柯西不等式可得：（ ac+bd）2≤（ a2+b2）（c2+d2）=4× 16=64，当且仅当时取等号．∴﹣ 8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】第27页（共 31页）AA1=，∠ BAD=120°．（1）求异面直线 A1B 与 AC1所成角的余弦值；（2）求二面角 B﹣A1D﹣ A 的正弦值．【分析】在平面 ABCD内，过 A 作 Ax⊥ AD，由 AA1⊥平面 ABCD，可得 AA1⊥ Ax，AA1⊥ AD，以 A 为坐标原点，分别以Ax、AD、 AA1所在直线为 x、 y、 z 轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A， B， C， D，A1，1的坐标，进一步求出，C，，的坐标．（ 1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B 与1所成角的余弦AC值；（2）求出平面 BA1D 与平面 A1AD 的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角 B﹣A1D﹣ A 的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面 ABCD内，过 A 作 Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax? 平面ABCD，∴ AA1⊥Ax， AA1⊥ AD，以 A 为坐标原点，分别以 Ax、AD、AA1所在直线为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1= ，∠ BAD=120°，∴ A（ 0， 0， 0），B（）， C（， 1， 0），D（0，2，0），A （ 0， 0，），C （）．11= （），= （），，．（ 1）∵ cos＜＞==．∴异面直 A1B 与 1 所成角的余弦；AC（ 2）平面 BA1D 的一个法向量，由，得，取 x=，得；取平面 A1 AD 的一个法向量．∴ cos＜＞==．∴二面角 B A1A 的余弦，二面角B1A的正弦D A D．【点】本考异面直所成的角与二面角，了利用空向量求空角，是中档．26．已知一个口袋有 m 个白球， n 个黑球（ m，n∈N*，n≥2），些球除色外全部相同．将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如所示的号1，2，3，⋯，m+n 的抽内，其中第 k 次取出的球放入号k 的抽（ k=1，2，3，⋯，m+n）．123⋯m+n（ 1）求号 2 的抽内放的是黑球的概率 p；（ 2）随机量 x 表示最后一个取出的黑球所在抽号的倒数，E（ X）是 X 的数学期望，明 E（ X）＜．【分析】（1）法一：事件 A i表示号i 的抽里放的是黑球，（ 2）p=p A=P（A 2| A1）P（A1）+P（A2 |）P（），由此能求出号 2 的抽内放的是黑球的概率．法二：按照同种模型的方法，黑球共有m+n 个位置，故排法有种，除去第二个位置放的黑球，剩下n+m 1 个位置，由此能求出号 2 的抽内放的是黑球的概率．（ 2）X 的所有可能取，⋯，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，⋯，n+m，从而（E X）=（）=，由此能明（EX）＜．【解答】解：（1）解法一：事件A i表示号 i 的抽里放的是黑球，p=p（A2）=P（A2| A1）P（ A1）+P（A2|）P（）===．解法二：按照同种模型的方法，黑球共有m+n 个位置，故排法有种，除去第二个位置放的黑球，剩下n+m 1 个位置，∴ 号 2 的抽内放的是黑球的概率p==．明：（2）∵ X 的所有可能取，⋯，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，⋯，n+m，∴ E（ X） =（）==＜==?（）第30页（共 31页）==，∴ E（ X）＜．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．第31页（共 31页）。

2017年江苏数学高考试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D 的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是．12．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且ta nα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣1+a n+1+…a n+k﹣+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．1（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠P AC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．1 2 3 …m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．2017年江苏高考数学参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2017•江苏）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2017•江苏）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2017•江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（5分）（2017•江苏）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是﹣2．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，所以y=2+log2=2﹣=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5分）（2017•江苏）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（5分）（2017•江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2017•江苏）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2017•江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f （a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是[﹣1，]．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）（2017•江苏）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且ta nα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=3．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是[﹣5，1]．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0+6y0+30≤0，即2x0+y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式．14．（5分）（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二.解答题15．（14分）（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊊平面ABC，AB⊆平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，所以FG⊥BC，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（14分）（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（14分）（2017•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）设P（x0，y0），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF1的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x0，），由Q在椭圆上，则y0=，则y02=x02﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（16分）（2017•江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG 于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos，根据正弦定理得：=，∴sin，cos，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．（16分）（2017•江苏）对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n﹣k+a n﹣k+1+…+a n﹣+a n+1+…a n+k﹣1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“P（k）数列”．1（1）证明：等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1）═2×3a n，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{a n}是“P（3）数列”；（2）由“P（k）数列”的定义，则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，变形整理即可求得2a n=a n﹣1+a n+1，即可证明数列{a n}是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n}首项为a1，公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，则a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3，=（a n﹣3+a n+3）+（a n﹣2+a n+2）+（a n﹣1+a n+1），=2a n+2a n+2a n，=2×3a n，∴等差数列{a n}是“P（3）数列”；（2）证明：由数列{a n}是“P（2）数列”则a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2=4a n，①数列{a n}是“P（3）数列”a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n，②由①可知：a n﹣3+a n﹣2+a n+a n+1=4a n﹣1，③a n﹣1+a n+a n+2+a n+3=4a n+1，④由②﹣（③+④）：﹣2a n=6a n﹣4a n﹣1﹣4a n+1，整理得：2a n=a n﹣1+a n+1，∴数列{a n}是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（16分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2017•江苏）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠P AC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形内角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠P AC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠P AC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形内角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017•江苏）已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y0），则=，即x0=2y，y0=x，∴x=y0，y=，∴，即x02+y02=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2017•江苏）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】25．（2017•江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．26．（2017•江苏）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n 的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．1 2 3 …m+n（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．【分析】（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（），由此能求出编号为2的抽屉内放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）设事件A i表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）===．证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）=（）==＜==•（）==，∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．。

江苏省2017届普通高等学校高考数学模拟试卷（2）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．（5分）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2+x≤0}，则M∩N=．2．（5分）命题“∃x＞1，使得x2≥2”的否定是．3．（5分）已知i是虚数单位，复数z的共轭复数为，若2z=+2﹣3i，则z=．4．（5分）有4名学生A、B、C、D平均分乘两辆车，则“A，B两人恰好在同一辆车”的概率为．5．（5分）曲线f（x）=e x在x=0处的切线方程为．6．（5分）如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是．7．（5分）定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，则f（0）+f（﹣1）=．8．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，若a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，则d的值为．9．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则三棱锥A﹣B1D1D 的体积为cm3．10．（5分）已知α∈（0，），β∈（，π），cosα=，sin（α+β）=﹣，则cosβ=．11．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k（x+1）有两个不同的实根，则实数k的取值范围是．12．（5分）圆心在抛物线y=x2上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为．13．（5分）已知点P是△ABC内一点（不包括边界），且，m，n∈R，则（m ﹣2）2+（n﹣2）2的取值范围是．14．（5分）已知a+b=2，b＞0，当+取最小值时，实数a的值是．二、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b cos C+c cos B=2a cos A．（1）求角A的大小；（2）若•=，求△ABC的面积．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A=PD=AD，若E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面P AD；（Ⅱ）求证：EF⊥平面PDC．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P（3，1）在椭圆上，△PF1F2的面积为2，点Q是PF2的延长线与椭圆的交点．（1）①求椭圆C的标准方程；②若∠PQF1=，求QF1•QF2的值；（2）直线y=x+k与椭圆C相交于A，B两点．若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．18．（16分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，AB=20米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD 上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角∠NBE=θ，总造价为W元．（1）试将W表示为θ的函数W（θ），并写出cosθ的取值范围；（2）如何选取点M的位置，能使总造价W最小．19．（16分）在数列{a n}中，已知a1=2，a n+1=3a n+2n﹣1．（1）求证：数列{a n+n}为等比数列；（2）记b n=a n+（1﹣λ）n，且数列{b n}的前n项和为T n，若T3为数列{T n}中的最小项，求λ的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=x﹣ln x，g（x）=x2﹣ax．（1）求函数f（x）在区间[t，t+1]（t＞0）上的最小值m（t）；（2）令h（x）=g（x）﹣f（x），A（x1，h（x1）），B（x2，h（x2））（x1≠x2）是函数h（x）图象上任意两点，且满足＞1，求实数a的取值范围；（3）若∃x∈（0，1]，使f（x）≥成立，求实数a的最大值．【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4—1：几何证明选讲]21．（10分）如图，△ABC是圆O的内接三角形，P A是圆O的切线，A为切点，PB交AC 于点E，交圆O于点D，若PE=P A，∠ABC=60°，且PD=1，PB=9，求EC．[选修4—2：矩阵与变换]22．（10分）已知=为矩阵A=属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及A2．[选修4—4：坐标系与参数方程]23．自极点O任意作一条射线与直线ρcosθ=3相交于点M，在射线OM上取点P，使得OM•OP=12，求动点P的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．[选修4—5：不等式选讲]24．已知：a≥2，x∈R．求证：|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3．【必做题】第25，26题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）在一次游戏中：①求摸出3个白球的概率；②求获奖的概率；（2）在两次游戏中，记获奖次数为X：①求X的分布列；②求X的数学期望．26．（10分）已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（1，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B．若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求线段MN最小时直线AB的方程．参考答案1．{﹣1，0}【解析】由N中不等式变形得：x（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤0，即N=[﹣1，0]，∵M={﹣1，0，1}，∴M∩N={﹣1，0}．故答案为：{﹣1，0}．2．∀x＞1，使得x2＜2【解析】命题是特称命题，则命题的否定是“∀x＞1，使得x2＜2”，故答案为：x＞1，使得x2＜2.3．2﹣i【解析】设z=a+b i（a，b∈R），则，∵2z=+2﹣3i，∴2（a+b i）=a﹣b i+2﹣3i，化为a﹣2+（3b+3）i=0，∴，解得，∴z=2﹣i．故答案为2﹣i．4．【解析】4名学生A、B、C、D平均分乘两辆车，用（XY，MN）表示X与Y同乘一车，MN同乘一车则共有（AB，CD），（AC，BD），（AD，BC），（BC，AD），（BD，AC），（CD，AB）6种情况其中（AB，CD），（CD，AB）两种情况满足“A，B两人恰好在同一辆车”故“A，B两人恰好在同一辆车”的概率P==故答案为：.5．x﹣y+1=0【解析】由f（x）=e x，得f′（x）=e x，∴f′（0）=e0=1，即曲线f（x）=e x在x=0处的切线的斜率等于1，又f（0）=1，∴曲线f（x）=e x在x=0处的切线方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．6．30【解析】模拟执行程序框图，可得a=3，n=1输出a的第一个值为3，n=2，满足条件n≤10，执行循环体，a=6，输出a的第二个值为6，n=3满足条件n≤10，执行循环体，a=6，输出a的第三个值为30，n=4…故这列数的第三项是30．故答案为：30．7．﹣1【解析】∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）∴f（0）=0，f（﹣1）=﹣f（1），又∵当x＞0时，f（x）=2x﹣x2，∴f（0）+f（﹣1）=f（0）﹣f（1）=0﹣2+1=﹣1．故答案为：﹣1．8．±2【解析】∵等差数列{a n}的公差为d，a1，a2，a3，a4，a5的方差为8，∴这组数据的平均数是a3，∴（4d2+d2+0+d2+4d2）=2d2=8∴d2=4，∴d=±2，故答案为：±2．9．3【解析】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中的底面ABCD是正方形．连接AC交BD于O，则AC⊥BD，又D1D⊥BD，所以AC⊥面B1D1D，AO 为A 到面B 1D 1D 的垂线段，且AO =． 又11B D D S =所以所求的体积V =cm 3． 故答案为：3.10．【解析】∵α∈（0，），β∈（，π）， ∴sin α＞0．cos β＜0，sin β＞0．∴sin α===．∴sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β=cos β+×=﹣， 解得cos β=． 故答案是：． 11．（0，）∪（，+∞）【解析】做出f （x ）的函数图象如图所示：过P（﹣1，0）做直线y=k1（x+1），使得该直线过点（1，1），则k1=，∴当0＜k＜时，直线y=k（x+1）与y=f（x）有两个交点，设y=k2（x+1）与y=f（x）相切，切点为（x0，y0），则，解得k2=．∴当k＞时，直线y=k（x+1）与y=f（x）有两个交点．综上，k的取值范围是（0，）∪（，+∞）．12．（x±1）2+（y﹣）2=1【解析】由题意知，设P（t，t2）为圆心，且准线方程为y=﹣，∵与抛物线的准线及y轴相切，∴|t|=t2+，∴t=±1．∴圆的标准方程为（x±1）2+（y﹣）2=1．故答案为：（x±1）2+（y﹣）2=1．13．【解析】由题意得：m＞0，n＞0，m+n＜1，可行域为一个直角三角形OAB内部，其中A（1，0），B（0，1），而（m﹣2）2+（n﹣2）2表示点C（2，2）到可行域内点（m，n）距离平方，则C（2，2）到直线m+n=1距离为d=，因此取值范围是（d，丨OC丨2），∴（m﹣2）2+（n﹣2）2的取值范围，故答案为：．14．﹣2或【解析】由题意可得：，当且仅当时等号成立，结合a+b=2可得：或，即实数a的值为﹣2或．故答案为﹣2或．15．解：（1）由正弦定理得sin B cos C+sin C cos B=2sin A cos A，即sin（B+C）=2sin A cos A，则sin A=2sin A cos A，在三角形中，sin A≠0，∴cos A=，即A=；（2）若•=，则AB•AC cos A=AB•AC=，即AB•AC=2，则△ABC的面积S=AB•AC sin A==．16．证明：（Ⅰ）连接AC，则F是AC的中点，在△CP A中，EF∥P A（3分）且P A⊂平面P AD，EF⊊平面P AD，∴EF∥平面P AD（6分）（Ⅱ）因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD=AD，又CD⊥AD，所以CD⊥平面P AD，∴CD⊥P A（9分）又P A=PD=AD，所以△P AD是等腰直角三角形，且∠APD=，即P A⊥PD（12分）而CD∩PD=D，∴P A⊥平面PDC，又EF∥P A，所以EF⊥平面PDC（14分）17．解：（1）①由条件，可设椭圆的标准方程，把点P（3，1）代入椭圆方程，∴，由S=•2c•1=2，即c=2…（2分）又a2=b2+c2，∴a2=12，b2=4，∴椭圆的标准方程为：；…（4分）②当θ=时，由，=F 1F22可得QF1•QF2=.（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得4x2+6kx+3k2﹣12=0．由韦达定理及直线方程可知：x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2．∵以AB为直径的圆经过坐标原点，则=k2﹣6=0解得：k=，此时△=120＞0，满足条件，因此k=…（14分）18．解：（1）过N作AB的垂线，垂足为F；过M作NF的垂线，垂足为G．在Rt△BNF中，BF=16cosθ，则MG=20﹣16cosθ在Rt△MNG中，，由题意易得，因此，，；（2）令W′（θ）=0，，因为，所以．设锐角θ1满足，当时，W，（θ）＜0，W（θ）单调递减；当时，W，（θ）＞0，W（θ）单调递增．所以当，总造价W最小，最小值为，此时，，，因此当米时，能使总造价最小．19．解：（1）证明：∵a n+1=3a n+2n﹣1，∴a n+1+n+1=3（a n+n）．又a1=2，∴a n＞0，a n+n＞0，故，∴{a n+n}是以3为首项，公比为3的等比数列…（4分）（2）由（1）知道，b n=a n+（1﹣λ）n，∴．…（6分）∴．…（8分）若T3为数列{T n}中的最小项，则对∀n∈N*有恒成立，即3n+1﹣81≥（n2+n﹣12）λ对∀n∈N*恒成立…（10分）1°当n=1时，有；2°当n=2时，有T2≥T3⇒λ≥9；…（12分）3°当n≥4时，n2+n﹣12=（n+4）（n﹣3）＞0恒成立，∴对∀n≥4恒成立．令，则对∀n≥4恒成立，∴在n≥4时为单调递增数列．∴λ≤f（4），即．…（15分）综上，．…（16分）20．解：（1），令f'（x）=0，则x=1，当t≥1时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，f（x）的最小值为f（t）=t﹣ln t；…（1分）当0＜t＜1时，f（x）在区间（t，1）上为减函数，在区间（1，t+1）上为增函数，f（x）的最小值为f（1）=1．综上，当0＜t＜1时，m（t）=1；当t≥1时，m（t）=t﹣ln t．…（3分）（2）h（x）=x2﹣（a+1）x+ln x，对于任意的x1，x2∈（0，+∞），不妨取x1＜x2，则x1﹣x2＜0，则由，可得h（x1）﹣h（x2）＜x1﹣x2，变形得h（x1）﹣x1＜h（x2）﹣x2恒成立，…（5分）令F（x）=h（x）﹣x=x2﹣（a+2）x+ln x，则F（x）=x2﹣（a+2）x+ln x在（0，+∞）上单调递增，故在（0，+∞）恒成立，…（7分）∴在（0，+∞）恒成立．∵，当且仅当时取“=”，∴；…（10分）（3）∵，∴a（x+1）≤2x2﹣x ln x．∵x∈（0，1]，∴x+1∈（1，2]，∴∃x∈（0，1]使得成立．令，则，…（12分）令y=2x2+3x﹣ln x﹣1，则由，可得或x=﹣1（舍）．当时，y'＜0，则y=2x2+3x﹣ln x﹣1在上单调递减；当时，y'＞0，则y=2x2+3x﹣ln x﹣1在上单调递增．∴，∴t'（x）＞0在x∈（0，1]上恒成立．∴t（x）在（0，1]上单调递增．则a≤t（1），即a≤1．…（15分）∴实数a的最大值为1．…（16分）21．解：弦切角∠P AE=∠ABC=60°，又P A=PE，∴△P AE为等边三角形，由切割线定理有P A2=PD•PB=9，…（5分）∴AE=EP=P A=3，ED=EP﹣PD=2，EB=PB﹣PE=6，由相交弦定理有：EC•EA=EB•ED=12，∴EC=12÷3=4，EC=4．．…（10分）22．解：由条件可知，∴，解得a=λ=2．…（5分）因此，所以．…（10分）23．解：设P（ρ，θ），M（ρ'，θ），∵OM•OP=12，∴ρρ'=12．∵ρ'cosθ=3，∴．则动点P的极坐标方程为ρ=4cosθ．∵极点在此曲线上，得ρ2=4ρcosθ．∴x2+y2﹣4x=0．24．证明：∵|m|+|n|≥|m﹣n|，∴|x﹣1+a|+|x﹣a|≥|x﹣1+a﹣（x﹣a）|=|2a﹣1|．又a≥2，故|2a﹣1|≥3．∴|x﹣1+a|+|x﹣a|≥3（证毕）．25．解：（1）记“在一次游戏中摸出k个白球”为事件A k（k=0，1，2，3）．①．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）②．﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）．①X的分布列为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）②X的数学期望．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）26．解：（1）∵点R（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，∴4=2p，解得p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．（2）设A（x1，y1），B（x2y2），直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，由，消去x，并整理，得：y2﹣4my+4（m﹣1）=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=4（m﹣1），设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，由，解得点M的横坐标x M=，又k1==，∴x M==﹣，同理点N的横坐标x N=﹣，|y2﹣y1|==4，∴|MN|=|x M﹣x N|=|﹣+|=2||=8=2，令m﹣1=t，t≠0，则m=t=1，∴|MN|=2≥，即当t=﹣2，m=﹣1时，|MN|取最小值为，此时直线AB的方程为x+y﹣2=0.。

2017高考仿真卷·文科数学(二)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知i是虚数单位,则复数=()A.-2+iB.iC.2-iD.-i2.已知集合M={x|x2-4x<0},N=,则M∪N=()A.[-2,4)B.(-2,4)C.(0,2)D.(0,2]3.采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号为1,2,3,…,1 000,适当分组后,在第一组中采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8.若编号落入区间[1,400]上的人做问卷A,编号落入区间[401,750]上的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为()A.12B.13C.14D.154.已知命题p:函数y=ln(x2+3)+的最小值是2;命题q:“x>2”是“x>1”的充分不必要条件.则下列命题是真命题的是()A.p∧qB.( p)∧( q)C.( p)∧qD.p∧( q)5.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0)与双曲线C2:=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛物线C1的焦点的距离为p,则双曲线C2的离心率等于()A. B. C. D.6.某产品的广告费用x(单位:万元))的统计数据如下表:根据表中数据求得回归直线方程为=9.5x+,则等于()A.22B.26C.33.6D.19.57.设a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对边的边长,则直线sin A·x-ay-c=0与bx+sin B·y+sin C=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直8.如图,正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球O的同一个大圆上,点P在球面上,若V =,则球O的表面积是()正四棱锥P-ABCDA.4πB.8πC.12πD.16π9.已知变量x,y满足线性约束条件若目标函数z=kx-y仅在点(0,2)处取得最小值,则k的取值范围是()A.k<-3B.k>1C.-1<k<1D.-3<k<110.某几何体的三视图如图所示,当a+b取最大值时,这个几何体的体积为()A. B. C. D.11.已知M是△ABC内一点(不含边界),且=2,∠BAC=30°.若△MBC,△MCA,△MAB的面积分别为x,y,z,记f(x,y,z)=,则f(x,y,z)的最小值为()A.26B.32C.36D.4812.已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“商高线”.给出下列四个集合:①M=;②M={(x,y)|y=sin x+1};③M={(x,y)|y=log2x};④M={(x,y)|y=e x-2}.其中是“商高线”的序号是()A.①②B.②③C.①④D.②④第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.执行如图所示的程序框图,若输入x=0.1,则输出的m的值是.14.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3x+m(m为常数),则f(-log35)的值为.15.关于函数f(x)=2(sin x-cos x)cos x的下列四个结论:①函数f(x)的最大值为;②把函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)=2(sin x-cos x)·cos x的图象;③函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z;④函数f(x)的图象的对称中心为,k∈Z.其中正确的结论有个.16.已知数列{a n}满足a1=,a n-1-a n=(n≥2),则该数列的通项公式为.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,sin B=3sin C.(1)求tan C的值;(2)若a=,求△ABC的面积.18.(本小题满分12分)国家教育部要求高中阶段每学年都要组织学生进行“国家学生体质健康数据测试”,方案要求以学校为单位组织实施.某校对高一(1)班的同学按照“国家学生体质健康数据测试”的项目进行了测试,并对测试成绩进行统计,其频率分布直方图如图所示,若分数在[90,100]上的人数为2.(1)请求出分数在[70,80)内的人数;(2)现根据测试成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次分为第一组,第二组,…,第五组)中任意选出2人,形成搭档小组.若选出的2人成绩差大于30,则称这2人为“互补组”,试求选出的2人为“互补组”的概率.19.(本小题满分12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,BB1的中点.(1)求证:EF⊥平面A1D1B;(2)若AA1=2,求三棱锥D1-DEF的体积.20.(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为4,且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C长轴上的一个动点,过P作斜率为的直线l交椭圆C于A,B两点,求证:|P A|2+|PB|2为定值.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=.(1)求证:f(x)在(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C:ρcos2θ=2a sin θ(a>0),过点P(-4,-2)的直线l的参数方程为(t为参数),直线l与曲线C分别交于点M,N.(1)写出C的直角坐标方程和l的普通方程;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求a的值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.(1)求不等式f(x)≥3的解集;(2)若关于x的不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,求实数a的取值范围.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(二)1.B解析(方法一)=i.(方法二)=i.2.A解析∵M={x|0<x<4},N={x|-2≤x≤2},∴M∪N=[-2,4).3.A解析若采用系统抽样的方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,则需要分为50组,每组20人.若第一组抽到的号码为8,则以后每组抽取的号码分别为28,48,68,88,108,…,所以编号落入区间[1,400]上的有20人,编号落入区间[401,750]上的有18人,所以做问卷C的有12人.4.C解析因为命题p为假命题,命题q为真命题,所以( p)∧q为真命题.5.C解析因为点A到抛物线C1的焦点的距离为p,所以点A到抛物线准线的距离为p.所以点A的坐标为.所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.所以=2,所以b2=4a2.又b2=c2-a2,所以c2=5a2.所以双曲线的离心率为.6.B解析由题意知=2,=45.又由公式,得=26,故选B.7.C解析因为,所以两条直线斜率的乘积为=-1,所以这两条直线垂直.8.D解析连接PO,由题意知,PO⊥底面ABCD,PO=R,S正方形ABCD=2R2.因为V正四棱锥P-ABCD=,所以·2R2·R=,解得R=2,所以球O的表面积是16π.9.D解析如图,作出不等式组所表示的平面区域.由z=kx-y得y=kx-z,要使目标函数z=kx-y 仅在点A(0,2)处取得最小值,则阴影部分区域在直线y=kx+2的下方,故目标函数线的斜率k 满足-3<k<1.10.D解析由该几何体的三视图可得其直观图为如图所示的三棱锥,且从点A出发的三条棱两两垂直,AB=1,PC=,PB=a,BC=b.可知P A2+AC2=a2-1+b2-1=6,即a2+b2=8.故(a+b)2=8+2ab≤8+2,即a+b≤4,当且仅当a=b=2时,a+b取得最大值,此时P A=,AC=.所以该几何体的体积V=×1×.11.C解析由=2,∠BAC=30°,可得S△ABC=1,即x+y+z=1.故(x+y+z)=1+4+9+≥14+4+6+12=36,当且仅当x=,y=,z=时等号成立.因此,f(x,y,z)的最小值为36.12.D解析若对于函数图象上的任意一点M(x1,y1),在其图象上都存在点N(x2,y2),使OM⊥ON,则函数图象上的点的集合为“商高线”.对于①,若取M(1,1),则不存在这样的点;对于③,若取M(1,0),则不存在这样的点.②④都符合.故选D.13.0解析若输入x=0.1,则m=lg 0.1=-1.因为m<0,所以m=-1+1=0.所以输出的m的值为0.14.-4解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=1+m=0.所以m=-1.所以f(-log35)=-f(log35)=-(-1)=-4.15.2解析因为f(x)=2sin x·cos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-1=sin-1,所以其最大值为-1.所以①错误.因为函数f(x)=sin 2x-1的图象向右平移个单位后得到函数f(x)=sin-1=sin-1的图象,所以②错误.由-+2kπ≤2x-+2kπ,k∈Z,得函数f(x)的单调递增区间为,k∈Z,即为,k'∈Z.故③正确.由2x-=kπ,k∈Z,得x=,k∈Z,故④正确.16.a n=解析因为a n-1-a n=(n≥2),所以,所以.所以,…,.所以.所以.所以a n=(n≥2).经检验,当n=1时也适合此公式.所以a n=.17.解(1)∵A=,∴B+C=.∴sin=3sin C.∴cos C+sin C=3sin C.∴cos C=sin C.∴tan C=.(2)由,sin B=3sin C,得b=3c.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A=9c2+c2-2×(3c)×c×=7c2.∵a=,∴c=1,b=3.∴△ABC的面积为S=bc sin A=.18.解(1)由频率分布直方图可知分数在[50,60)内的频率为0.1,[ 60,70)内的频率为0.25,[80,90)内的频率为0.15,[90,100]上的频率为0.05.故分数在[70,80)内的频率为1-0.1-0.25-0.15-0.05=0.45.因为分数在[90,100]上的人数为2,频率为0.05,所以参加测试的总人数为=40.所以分数在[70,80)内的人数为40×0.45=18.(2)因为参加测试的总人数为=40,所以分数在[50,60)内的人数为40×0.1=4.设第一组[50,60)内的同学为A1,A2,A3,A4;第五组[90,100]上的同学为B1,B2,则从中选出2人的选法有(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),( A4,B1),(A4,B2),(B1,B2),共15种,其中2人成绩差大于30的选法有(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),共8种,则选出的2人为“互补组”的概率为.19.(1)证明如图,连接AB1.因为E,F分别为AB与AB1的中点,所以EF∥AB1.因为AB1⊥A1B,所以EF⊥A1B.又因为D1A1⊥平面ABB1A1,平面ABB1A1⊃EF,所以D1A1⊥EF.又因为A1B∩D1A1=A1,所以EF⊥平面A1D1B.(2)解如图,连接DB.因为BB1∥DD1,所以.所以=S△DEB·DD1=×2=.20.(1)解因为2a=4,所以a=2.又因为焦点在x轴上,所以设椭圆方程为=1.将点代入椭圆方程得b2=1,所以椭圆方程为+y2=1.(2)证明设点P(m,0)(-2≤m≤2),可得直线l的方程是y=,由方程组消去y得2x2-2mx+m2-4=0.(*)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是方程(*)的两个根.所以x1+x2=m,x1x2=.所以|P A|2+|PB|2=(x1-m)2++(x2-m)2+=(x1-m)2+(x1-m)2+(x2-m)2+(x2-m)2=[(x1-m)2+(x2-m)2]=-2m(x1+x2)+2m2]=[(x1+x2)2-2m(x1+x2)-2x1x2+2m2]=[m2-2m2-(m2-4)+2m2]=5.所以|P A|2+|PB|2为定值.21.(1)证明由题意可得f'(x)==(x>0,x≠1).令g(x)=2ln x-,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x) <0,g(x)是减函数,g(x)>g(1)=0.于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(0,1)内为增函数.当x>1时,g'(x)>0,g(x)是增函数,g(x)>g(1)=0,于是f'(x)=g(x)>0,故f(x)在(1,+∞)内为增函数.(2)解af(x)-x=-x=.令h(x)=-ln x(x>0),则h'(x)=.令φ(x)=ax2-x+a,当a>0,且Δ=1-4a2≤0,即a≥时,此时φ(x)=ax2-x+a>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,所以当a≥时,h'(x)>0在(0,1),(1,+∞)内恒成立,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内是增函数,若0<x<1,则h(x)< h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0;若x>1,则h(x)>h(1)=0,所以af(x)-x=h(x)>0,所以当x>0,x≠1时都有af(x)>x成立.当0<a<时,h'(x)<0,解得<x<,所以h(x)在内是减函数,h(x)<h(1)=0.故af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.当a≤0时,x∈(0,1)∪(1,+∞),都有h'(x)<0,故h(x)在(0,1),(1,+∞)内为减函数,同理可知,在(0,1),(1,+∞)内,af(x)-x=h(x)<0,不符合题意.综上所述,a≥,即a的取值范围是.22.解(1)曲线C的直角坐标方程为x2=2ay(a>0),直线l的普通方程为x-y+2=0.(2)将直线l的参数方程与C的直角坐标方程联立,得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0.(*)由Δ=8a(4+a)>0,可设点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1,t2是方程(*)的根,则|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.由题设得(t1-t2)2=|t1t2|,即(t1+t2)2-4t1t2=|t1t2|.由(*)得t1+t2=2(4+a),t1t2=8(4+a)>0.则有(4+a)2-5(4+a)=0,解得a=1或a=-4.因为a>0,所以a=1.23.解(1)原不等式等价于解得x≤-或x≥.故原不等式的解集为.(2)令g(x)=|x-1|+|x+1|+x2-2x,则g(x)=当x∈(-∞,1]时,g(x)单调递减;当x∈[1,+∞)时,g(x)单调递增.故当x=1时,g(x)取得最小值1.因为不等式f(x)>a2-x2+2x在R上恒成立,所以a2<1,解得-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).。

绝密★启用前2017年一般高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 球的体积34π3R V =，其中R 是球的半径．一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，假设{1}A B =，那么实数a 的值为 ▲ ．【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，因此1a =，现在234a +=，知足题意，故答案为1． 2．已知复数(1i)(12i)z =++，其中i 是虚数单位，那么z 的模是 ▲ ．【答案】10【解析】(1i)(12i)1i 12i 2510z =++=++=⨯=，故答案为10．3．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量别离为200，400，300，100件．为查验产品的质量，现用分层抽样的方式从以上所有的产品中抽取60件进行查验，那么应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件． 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 4．右图是一个算法流程图，假设输入x 的值为116，那么输出y 的值是 ▲ ．【答案】2-【解析】由题意得212log216y=+=-，故答案为2-．5．若π1 tan(),46α-=则tanα=▲ ．【答案】75【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75．6．如图，在圆柱12O O内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O的体积为1V，球O的体积为2V，则12VV的值是▲ ．【答案】32【解析】设球半径为r，那么213223423V r rV rπ⨯==π．故答案为32．7．记函数2()6f x x x=+-的概念域为D．在区间[4,5]-上随机取一个数x，则x D∈的概率是▲ ．【答案】598．在平面直角坐标系xOy中，双曲线2213xy-=的右准线与它的两条渐近线别离交于点P，Q，其核心是12,F F，那么四边形12F PF Q的面积是▲ ．【答案】3【解析】右准线方程为31010x=，渐近线方程为3y x=，设31030(P，那么31030(Q-，1(10,0)F，2(10,0)F，那么3021023S==．9．等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a = ▲ ．【答案】3210．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ▲ ．【答案】30【解析】总费用为600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立． 11．已知函数31()2e exx f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若2(1)(2)0f a f a -+≤，那么实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1[1,]2-【解析】因为31()2e ()ex x f x x f x x -=-++-=-，因此函数()f x 是奇函数， 因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅≥，因此数()f x 在R 上单调递增， 又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，因此221a a ≤-，即2120a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-． 12．如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模别离为1，1，2，OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ▲ ．【答案】3【解析】由tan 7α=可得2sin 10α=，2cos 10α=，依照向量的分解，易患cos 45cos2sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩，即2222102720210n m n m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，因此3m n +=．13．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20,PA PB ⋅≤那么点P 的横坐标的取值范围是 ▲ ． 【答案】[52,1]-14．设()f x 是概念在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1{n D x x n -==，*}n ∈N ，那么方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ ．【答案】8【解析】由于()[0,1)f x ∈，那么需考虑110x ≤<的情形， 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈≥N ，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，那么由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈≥N ，且,m n 互质， 因此10n mq p=，那么10()nm q p =，现在左侧为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ， 因此lg x 不可能与每一个周期内x D ∈对应的部份相等， 只需考虑lg x 与每一个周期x D ∉的部份的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每一个周期x D ∉的部份， 且1x =处11(lg )1ln10ln10x x '==<，那么在1x =周围仅有一个交点，因此方程()lg 0f x x -=的解的个数为8．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤．15．（本小题总分值14分）如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E ，F (E 与A ，D 不重合)别离在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD ．求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC ．16．（本小题总分值14分）已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==-∈a b （1）假设a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值和对应的x 的值．（2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 323())6f x x x x x x =⋅=⋅-==+a b ．因为x ∈[0，π]，因此ππ7π[,]666x +∈，从而π31cos()62x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，f (x )取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，f (x )取到最小值23-．17．（本小题总分值14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右核心别离为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）假设直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，因此12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是223b a c =-E 的标准方程是22143x y+=．（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F ．设00(,)P x y ，因为P 为第一象限的点，故000,0x y >>． 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符．由①②，解得21,xx x yy-=-=，因此21(,)xQ xy--．因为点Q在椭圆上，由对称性，得21xyy-=±，即22001x y-=或22001x y+=．又P在椭圆E上，故2200143x y+=．由220022001143x yx y⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得004737,77x y==；220022001143x yx y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解．因此点P的坐标为4737(,)．18．（本小题总分值16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，11E G的长别离为14cm和62cm．别离在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱1CC上，求l没入水中部份的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱1GG上，求l没入水中部份的长度．【解析】（1）由正棱柱的概念，1CC ⊥平面ABCD ，因此平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处． 因为107,40AC AM ==，因此2240(107)30MC =-=，从而3sin 4MAC =∠， 记AM 与水面的交点为1P ，过1P 作P 1Q 1⊥AC ，Q 1为垂足， 则P 1Q 1⊥平面ABCD ，故P 1Q 1=12，从而AP 1=1116sin P MACQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部份的长度为16cm ．(若是将“没入水中部份”明白得为“水面以上部份”，那么结果为24cm)过G 作GK ⊥E 1G 1，K 为垂足，那么GK =OO 1=32． 因为EG = 14，E 1G 1= 62，因此KG 1=6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=． 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠．因为2απ<<π，因此3cos 5α=-．在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，因此24cos 25β=． 于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠． 记EN 与水面的交点为P 2，过P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，那么P 2Q 2⊥平面EFGH ， 故P 2Q 2=12，从而EP 2=2220sin P NEGQ =∠．答：玻璃棒l 没入水中部份的长度为20cm ．(若是将“没入水中部份”明白得为“水面以上部份”，那么结果为20cm) 19．（本小题总分值16分）关于给定的正整数k ，假设数列{}n a 知足：1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，那么称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）假设数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．【解析】（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，那么1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =因此n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 因此345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，那么235644a a a a a +++=，因此23a a d'=-， 在①中，取3n =，那么124534a a a a a +++=，因此132a a d'=-， 因此数列{}n a 是等差数列． 20．（本小题总分值16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出概念域； （2）证明：23b a >；（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围．当3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；当3a >时，()=0f x '有两个相异的实根213=3a a b x ---，223=3a ab x -+-．列表如下：x1(,)x -∞1x12(,)x x2x2(,)x +∞()f x ' + 0 – 0 + ()f x极大值极小值故()f x 的极值点是12,x x ．从而3a >．因此2239a b a=+，概念域为(3,)+∞．（2）由（1）知，2=9a a a a a+．设23()=9t g t t +，那么22223227()=99t g t t t -'-=． 当36(,)t ∈+∞时，()0g t '>，从而()g t 在36(,)+∞上单调递增． 因为3a >，因此33a a >，故()>(33)=3g a a g ，即>3a．因此2>3b a ．记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a-=-+，因此213()=9h a a a -+，3a >．因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减． 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤．因此a 的取值范围为(36]，． 数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】此题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，假设多做，那么按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤． A ．[选修4-1：几何证明选讲](本小题总分值10分)如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：（1）PAC CAB ∠=∠； （2）2AC AP AB =⋅．【解析】（1）因为PC 切半圆O 于点C ，因此PCA CBA =∠∠， 因为AB 为半圆O 的直径，因此90ACB =︒∠．因为AP ⊥PC ，因此90APC =︒∠，因此PAC CAB ∠=∠． （2）由（1）知，APC ACB △∽△，故AP ACAC AB=，即2·AC AP AB =． B ．[选修4-2：矩阵与变换](本小题总分值10分) 已知矩阵0110,.1002⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B（1）求AB ；（2）假设曲线221:182x y C +=在矩阵AB 对应的变换作用下取得另一曲线2C ，求2C 的方程．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题总分值10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为 2222x sy s⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值． 【解析】直线l 的一般方程为280x y -+=．因为点P 在曲线C 上，设2(2,22)P s s ， 从而点P 到直线l 的的距离2222|2428|2(2)451(2)s s s d -+-+==+-，当2s =时，min 45d =．因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值455． D ．［选修4-5：不等式选讲］（本小题总分值10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明：8.ac bd +≤【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明进程或演算步骤． 22．（本小题总分值10分）如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 13120BAD ∠=︒． （1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．【解析】在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E ． 因为AA 1⊥平面ABCD ，因此AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD ．如图，以1{,,}AE AD AA 为正交基底，成立空间直角坐标系A -xyz ． 因为AB =AD =2，AA 1=3，120BAD ∠=︒．则11(0,0,0),(3,1,0),(0,2,0),(3,0,0),(0,0,3),(3,1,3)A B D E A C -．（1）11(3,1,3),(3,1,3)A B AC =--=， 则111111(3,1,3)(3,1,3)1cos ,77||||A B AC A B AC A B AC ⋅--⋅===-．因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17．设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，那么3|cos |4θ=． 因为[0,]θ∈π，因此27sin 1cos θθ=-=．因此二面角B -A 1D -A 7．23．（本小题总分值10分）已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥)，这些球除颜色外全数相同．现将口袋中的球随机地逐个掏出，并放入如下图的编号为1,2,3,,m n +的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；（2）随机变量X 表示最后一个掏出的黑球所在抽屉编号的倒数，()E X 是X 的数学期望，证明：()()(1)nE X m n n <+-．【解析】（1）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为：11C C n mn n m n n p m n-+-+==+． （2）随机变量X 的概率散布为随机变量X 的期望为11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k nm nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑． 因此1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k n m nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++-12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++-12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++-12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+- 11C (1)C ()(1)n m n nm n n n m n n -+-+==-+-， 即()()(1)nE X m n n <+-．。

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.球体积公式34π3R V =，其中R 是球的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =I 则实数a 的值为 ▲ . 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．2. 已知复数(1i)(12i),z =++其中i 是虚数单位，则z 的模是 ▲ .【解析】(1)(12)112z i i i i =++=++==3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取 ▲ 件.【答案】18【解析】所求人数为300601810000⨯=，故答案为18．4. 右图是一个算法流程图，若输入x 的值为116,则输出的y 的值是 ▲ .【答案】2-【解析】由题意212log 216y =+=-，故答案为－2． 5. 若π1tan(),46α-= 则tan α= ▲ .【答案】75【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ππαππααππα+-+=-+===---．故答案为75．6. 如图,在圆柱12,O O 内有一个球O ,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱12,O O 的体积为1V ,球O 的体积为2V ,则12V V 的值是 ▲ .【答案】32【解析】设球半径为r ，则213223423V r r V r ππ⨯==．故答案为32． 7.记函数()f x D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈的概率是 ▲ .【答案】59【解析】由260x x +-≥，即260x x --≤，得23x -≤≤，根据几何概型的概率计算公式得x D ∈的概率是3(2)55(4)9--=--.8. 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ,Q ,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .【答案】【解析】右准线方程为x ==，渐近线为y =，则P，Q，1(F，2F，则S ==9. 等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = ▲ .【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 10. 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 ▲ .【答案】30 【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.11.已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,则实数a 的取值范围是 ▲ .【答案】1[1,]2-【解析】因为31()2e ()ex x f x x f x x -=-++-=-， 因为22()32e e 322e e 0x x x x f 'x x x --=-++≥-+⋅≥，所以数()f x 在R 上单调递增，221a a ≤-，即2120a a +-≤，解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-. 12. 如图,在同一个平面内，向量OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 的模分别为1,1,2,OA u u u r 与OC u u u r的夹角为α,且tan α=7,OB u u u r 与OC u u u r 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R , 则m n += ▲ .【答案】313. 在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅u u u r u u u r ≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】[52,1]-α A CB(第12题)【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤u u u r u u u r ，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得5:5x A y =-⎧⎨=-⎩或1:7x B y =⎧⎨=⎩，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧»AB 上,结合限制条件5252x -≤≤ ，可得点P 横坐标的取值范围为[52,1]-.14. 设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，学#科网则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ▲ .【答案】8二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）如图,在三棱锥A-BCD 中,AB ⊥AD , BC ⊥BD , 平面ABD ⊥平面BCD , 点E ,F (E 与A ,D 不重合)分别在棱AD ,BD 上,且EF ⊥AD .求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥. 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD I 平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC AB B =I ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC.16.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，取得最大值，为3； 5π6x =时，取得最小值，为23-.（2）π(cos ,sin )(3,3)3cos 3sin 23cos(())6f x x x x x x =⋅=⋅-=-=+a b . 因为，所以ππ7π[,]666x +∈， 从而π31cos()62x -≤+≤. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，取到最小值23-.17.（本小题满分14分）如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作 直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2） 【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是b =因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=.（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F .设00(,)P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符.当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为01y x -. 因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--. ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=.由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解.因此点P的坐标为4737(,).18.（本小题满分16分）如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,11E G的长分别为14cm和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱1CC上,求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处，另一端置于侧棱1GG上，求l没入水中部分的长度.【答案】（1）16（2）20答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为24cm)（2）如图，O ，O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO 1⊥平面 EFGH ， 所以平面E 1EGG 1⊥平面EFGH ，O 1O ⊥EG . 同理，平面 E 1EGG 1⊥平面E 1F 1G 1H 1，O 1O ⊥E 1G 1. 记玻璃棒的另一端落在GG 1上点N 处.过G 作GK ⊥E 1G ，K 为垂足， 则GK =OO 1=32. 因为EG = 14，E 1G 1= 62，所以KG 1=6214242-=，从而222211 243240GG KG GK =+=+=. 设1,,EGG ENG αβ==∠∠则114sin sin()cos 25KGG KGG απ=+==∠∠.因为2απ<<π，所以3cos 5α=-.在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=. 因为02βπ<<，所以24cos 25β=. 于是42473sin sin()sin()sin co 3s cos sin ()5252555NEG αβαβαβαβ=π--=+=+=⨯+-⨯=∠.记EN 与水面的交点为P 2，过 P 2作P 2Q 2⊥EG ，Q 2为垂足，则 P 2Q 2⊥平面 EFGH ，故P 2Q 2=12，从而 EP 2=2220sin P NEGQ =∠.答:玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分冶理解为“水面以上部分冶，则结果为20cm) 19.（本小题满分16分）对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++L L 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”.（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”.（2）数列{}n a 既是“()P 2数列”，又是“()3P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列.20.（本小题满分16分）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值,且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：23b a >;（3）若()f x ,()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求a 的取值范围.【答案】（1）3a >（2）见解析（3）36a <≤【解析】解：（1）由32()1f x x ax bx =+++，得222()323()33a a f x x axb x b '=++=++-.当3ax =-时，()f x '有极小值23a b -.因为()f x '的极值点是()f x 的零点.所以33()1032793a a a ab f -=-+-+=，又0a >，故2239a b a=+. 因为()f x 有极值，故()=0f x '有实根，从而231(27a )039a b a-=-≤，即3a ≥. 3a =时，()>0(1)f x x '≠-，故()f x 在R 上是增函数，()f x 没有极值；3a >时，()=0f x '有两个相异的实根1=3a x --，2=3a x -+列表如下故()f x 的极值点是12,x x . 从而3a >，因此2239a b a=+，定义域为(3,)+∞.（3）由（1）知，()f x 的极值点是12,x x ，且1223x x a +=-，22212469a b x x -+=.从而323212111222()()11f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++2222121122121212(32)(32)()()23333x x x ax b x ax b a x x b x x =++++++++++ 346420279a ab ab -=-+=记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，因为()f x '的极值为221339a b a a -=-+，所以213()=9h a a a-+，3a >. 因为223()=09h a a a '--<，于是()h a 在(3,)+∞上单调递减. 因为7(6)=2h -，于是()(6)h a h ≥，故6a ≤.因此a 的取值范围为(36]，.数学II21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，AB为半圆O的直径,直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足.求证：（1）;PAC CAB∠=∠（2）2AC AP AB=⋅.【答案】见解析【解析】证明：（1）因为PC切半圆O于点C，所以PCA CBA=∠∠，因为AB为半圆O的直径，所以90ACB=︒∠,因为AP⊥PC，所以90APC=︒∠，所以PAC CAB∠=∠.（2）由（1）知APC ACB△∽△，故AP ACAC AB=，所以2·AC AP AB=B. [选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵0110,.1002B⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A A=，B=.（1）求AB;（2）若曲线221:182x yC+=在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线2C,求2C的方程. 【答案】（1）（2）228x y+=【解析】解：（1）因为A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以AB=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦.C. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22,22x s y s⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值. 45【解析】解：直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C 上，设2(2,22)P s s ， 从而点P 到直线l 的的距离2222422)5(1)(2)s d ==-+-当2s =min 45d =因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值45.D.［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）已知,,,a b c d 为实数，且22224,16,a b c d +=+=证明8.ac bd +≤ 【答案】见解析【解析】证明：由柯西不等式可得：22222()()()ac bd a b c d +≤++， 因为22224,16,a b c d +=+= 所以2()64ac bd +≤， 因此8ac bd +≤.【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分.请把答案写在答题卡的指定区域内．．．．．．．．．．．作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分）如图, 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ,且AB =AD =2,AA 1=3, 120BAD ∠=︒.（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值.【答案】（1）17（2）7(1) 11(3,1,3),(3,13)A B AC =--=u u u r u u u u r，则111111(3,1,3)(3,1,3)1 cos,77||||A B ACA B ACA B AC⋅--⋅===-u u u r u u u u ru u u r u u u u ru u u r u u u u r. 因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为17.从而(3,0,0)(3,3,2)3cos,4||||34AEAEAE⋅⋅===⨯u u u ru u u ru u u r mmm,设二面角B-A1D-A的大小为θ，则3|cos|4θ=.因为[0,]θ∈π，所以27sin1cosθθ=-=.因此二面角B-A1D-A的正弦值为74.23.（本小题满分10分）已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,,m n +L 的抽屉内，其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉(1,2,3,,)k m n =+L .（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ;（2）随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X 是X 的数学期望,证明:()()(1)nE X m n n <+-【答案】（1）nm n+（2）见解析 【解析】解:(1) 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为: 11C C n m n n m n n p m n-+-+==+. (2) 随机变量 X 的概率分布为:随机变量 X 的期望为：11C 111(1)!()C C (1)!()!n m nm nk n nk n k nm nm n k E X k k n k n -++-==++-=⋅=⋅--∑∑. 所以1(2)!1(2)!()C (1)!()!(1)C (2)!()!m nm nn n k n k n m nm nk k E X n k n n n k n ++==++--<=-----∑∑ 222121(1C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ----+-+=++++-L 12221121(C C C C )(1)C n n n n n n n m n nm nn ------+-+=++++-L 12221(C C C )(1)C n n n n n m n nm nn ---+-+=+++-L 12221(C C )(1)C n n m n m n nm nn --+-+-+==+-L11C (1)C ()(1)n m n nm n n n m n n -+-+==-+- ()()(1)nE X m n n <+-.。

2017年高考原创押题卷(二)参考公式样本数据1，2，…，n的方差s2＝1n∑i＝1n(i－x)2，其中x＝1n∑i＝1nxi.棱柱的体积V＝Sh，其中S是棱柱的底面积，h是高．棱锥的体积V＝13Sh，其中S是棱锥的底面积，h是高．一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上)1．已知集合A＝{|2－－2≤0}，集合B＝{|1＜≤3}，则A∪B＝________.{|－1≤≤3} [由2－－2≤0，解得－1≤≤2.∴A＝{|－1≤≤2}，又集合B＝{|1＜≤3}，∴A∪B＝{|－1≤≤3}．]2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋i＝1－b i，则(a＋b i)8＝________.16 [由a＋i＝1－b i可得a＝1，b＝－1，从而(a＋b i)8＝(1－i)8＝(－2i)4＝16.]3．从某班抽取5名学生测量身高(单位：cm)，得到的数据为160,162,159,160,159，则该组数据的方差s2＝________.6 5[数据160,162,159,160,159的平均数是160，则该组数据的方差s2＝15(02＋22＋12＋02＋12)＝65 .]4．若双曲线2＋my2＝1过点(－2，2)，则该双曲线的虚轴长为________．4 [∵双曲线2＋my2＝1过点(－2，2)，∴2＋4m＝1，即4m＝－1，m＝－1 4，则双曲线的标准方程为2－y 24＝1，则b ＝2，即双曲线的虚轴长2b ＝4.]5．根据下列的伪代码，可知输出的结果S 为________．i ←1While i ＜100 i ←i ＋2S ←2i ＋3End While Print S205 [该程序的作用是输出满足条件i ＝2n ＋1，n ∈N ，i ＝i ＋2≥100时，S ＝2i ＋3的值．∵i ＋2＝101时，满足条件，∴输出的S 值为S ＝2×101＋3＝205.]6．在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张(不放回)，两人都中奖的概率为________．13[设一、二等奖各用A ，B 表示，另1张无奖用C 表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件有AB ，AC ，BA ，BC ，CA ，CB 共6个，其中两人都中奖的有AB ，BA ，共2个，故所求的概率P ＝26＝13.]7．已知函数y ＝A sin(ω＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图象如图1所示，则该函数的解析式是________．图1y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫27x ＋π6 [由图知A ＝2，y ＝2sin(ω＋φ)，∵点(0,1)在函数的图象上，∴2sin φ＝1，解得sin φ＝12，∴利用五点作图法可得φ＝π6. ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12，0在函数的图象上，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π12ω＋π6＝0，∴－7π12ω＋π6＝π，∈，解得ω＝27－12k 7，∈.∵ω＞0，∴当＝0时，ω＝27，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫27x ＋π6.]8．如图2，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点．记四棱锥E ­A 1B 1C 1D 1的体积为V 1，长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．图219[连结B 1D 1，设B 1D 1∩A 1C 1＝F ，再连结BF ，平面A 1BC 1∩平面BDD 1B 1＝BF ，因为E ∈平面A 1BC 1，E ∈平面BDD 1B 1，所以E ∈BF ，连结BD ，因为F 是A 1C 1的中点，所以BF 是中线，又根据B 1F ═∥12BD ，所以EF EB ＝12，所以E 是△A 1BC 1的重心，那么点E 到平面A 1B 1C 1D 1的距离是BB 1的13，所以V 1＝13SA 1B 1C 1D 1×13BB 1，而V 2＝SA 1B 1C 1D 1×BB 1，所以V 1V 2＝19.]9．已知实数，y 满足⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则y ＋1x的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52 [作出不等式组对应的平面区域，y ＋1x 的几何意义是区域内的点到定点D (0，－1)的斜率，由图象知，AD 的斜率最大，BD 的斜率最小，此时最小值为1， 由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋2y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝32，即A ⎝⎛⎭⎪⎫1，32，此时AD 的斜率＝32＋11＝52，即1≤y ＋1x ≤52， 故y ＋1x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52.]10．已知{a n }，{b n }均为等比数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，总有S n T n ＝3n ＋14，则a 3b 3＝________.9 [设{a n }，{b n }的公比分别为q ，q ′，∵S n T n ＝3n ＋14，∴n ＝1时，a 1＝b 1.n ＝2时，a 1＋a 1qb 1＋b 1q ′＝52.n ＝3时，a 1＋a 1q ＋a 1q 2b 1＋b 1q ′＋b 1q ′2＝7.∴2q －5q ′＝3,7q ′2＋7q ′－q 2－q ＋6＝0，解得q ＝9，q ′＝3，∴a 3b 3＝a 1q 2b 1q ′2＝9.]11．已知平行四边形ABCD 中．∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，点P 是线段BC 上的一个动点，则AP →·DP →的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2 [以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，作AE ⊥BC ，垂足为E ，∵∠BAD ＝120°，AB ＝1，AD ＝2，∴∠ABC ＝60°， ∴AE ＝32，BE ＝12，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32. ∵点P 是线段BC 上的一个动点，设点P (,0)，0≤≤2， ∴AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，－32，DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，－32，∴AP →·DP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52＋34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14，∴当＝32时，有最小值，最小值为－14，当＝0时，有最大值，最大值为2，则AP →·DP →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.]12．如图3，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上有一个点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，当∠ABF ＝π12时，椭圆的离心率为________．图363[设椭圆的左焦点为F 1，连结AF 1，BF 1，由对称性及AF ⊥BF 可知，四边形AFBF1是矩形，所以|AB |＝|F 1F |＝2c ，所以在Rt △ABF 中，|AF |＝2c sinπ12， |BF |＝2c cosπ12，由椭圆定义得 2c ⎝⎛⎭⎪⎫cos π12＋sin π12＝2a ，即e ＝c a＝1cos π12＋sin π12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π12＝63.]13．在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若1tan A ＋1tan B＝1tan C ，则ab c2的最大值为________． 32 [由1tan A ＋1tan B ＝1tan C 可得，cos A sin A ＋cos B sin B ＝cos C sin C ，即sin B cos A ＋cos B sin A sin A sin B ＝cos C sin C ，∴sin B ＋A sin A sin B ＝cos C sin C ，即sin Csin A sin B ＝cos Csin C，∴sin 2C ＝sin A sin B cos C ．根据正弦定理及余弦定理可得，c 2＝ab ·a 2＋b 2－c 22ab ，整理得a 2＋b 2＝3c 2，∴ab c 2＝ab a 2＋b 23＝3ab a 2＋b 2≤3ab 2ab ＝32，当且仅当a ＝b 时等号成立．]14．对于实数a ，b ，定义运算“□”：a □b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f ()＝(－4)□⎝ ⎛⎭⎪⎫74x －4，若关于的方程|f ()－m |＝1(m ∈R )恰有四个互不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．(－1,1)∪(2,4) [由题意得，f ()＝(－4)□⎝ ⎛⎭⎪⎫74x －4＝⎩⎪⎨⎪⎧－34x 2＋3x ，x ≥0，2116x 2－3x ，x ＜0，画出函数f ()的大致图象如图所示．因为关于的方程|f ()－m |＝1(m ∈R )，即f ()＝m ±1(m ∈R )恰有四个互不相等的实数根，所以两直线y ＝m ±1(m ∈R )与曲线y ＝f ()共有四个不同的交点，则⎩⎨⎧m ＋1＞3，0＜m －1＜3或⎩⎨⎧0＜m ＋1＜3，m －1＜0或⎩⎨⎧m ＋1＝3，m －1＝0，得2＜m ＜4或－1＜m ＜1.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)设α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.(1)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6的值．[解] (1)∵α为锐角，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，23π.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45. 4分∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋π6＝45. 6分(2)又sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－cos α＋⎭⎪⎫π6＝－35. 8分 故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3－sin α＋⎭⎪⎫π6sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝35×45－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝2425. 14分16．(本小题满分14分)在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AA 1＝2AB ，D是AB 的中点．图4(1)求证：BC 1∥平面A 1CD ；(2)若点P 在线段BB 1上，且BP ＝14BB 1，求证：AP ⊥平面A 1CD .[证明] (1)连结AC 1，设交A 1C 于点O ，连结OD . 2分 ∵四边形AA 1C 1C 是矩形，∴O 是AC 1的中点．在△ABC 1中，O ，D 分别是AC 1，AB 的中点， ∴OD ∥BC 1.4分又∵OD ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， ∴BC 1∥平面A 1CD .6分(2)∵CA ＝CB ，D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB .又∵在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，底面ABC ⊥侧面AA 1B 1B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面AA 1B 1B . 10分 ∵AP ⊂平面A 1B 1BA ，∴CD ⊥AP . ∵BB 1＝2BA ，BB 1＝AA 1，BP ＝14BB 1，∴BPBA＝24＝ADAA1，∴Rt△ABP∽Rt△A1AD，12分从而∠AA1D＝∠BAP，∴∠AA1D＋∠A1AP＝∠BAP＋∠A1AP＝90°，∴AP⊥A1D.又∵CD∩A1D＝D，CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，∴AP⊥平面A1CD. 14分17．(本小题满分14分)如图5，直线l是湖岸线，O是l上一点，弧AB是以O为圆心的半圆形栈桥，C为湖岸线l上一观景亭，现规划在湖中建一小岛D，同时沿线段CD和DP(点P在半圆形栈桥上且不与点A，B重合)建栈桥．考虑到美观需要，设计方案为DP＝DC，∠CDP＝60°且圆弧栈桥BP在∠CDP的内部，已知BC＝2OB＝2(m)，沿湖岸BC与直线栈桥CD，DP及圆弧栈桥BP围成的区域(图中阴影部分)的面积为S(m2)，∠BOP＝θ.图5(1)求S关于θ的函数关系式；(2)试判断S是否存在最大值，若存在，求出对应的cos θ的值，若不存在，说明理由．[解] (1)在△COP中，CP2＝CO2＋OP2－2CO·OP cos θ＝10－6cos θ，从而△CDP的面积S△CDP＝34CP2＝32(5－3cos θ). 4分又因为△COP的面积S△COP＝12OC·OP sin θ＝32sin θ，所以S＝S△CDP＋S△COP－S扇形OBP＝12(3sin θ－33cos θ－θ)＋532，0＜θ≤θ0＜π，cos θ0＝1－10512. 6分注：当DP 所在直线与半圆相切时，设θ取得最大值θ0，此时在△COP 中，OP ＝1，OC ＝3，∠CPO ＝30°，CP ＝10－6cos θ0，由正弦定理得10－6cos θ0＝6sin θ0，cos θ0＝1±10512. (2)存在．由(1)知，S ′＝12(3cos θ＋33sin θ－1)，令S ′＝0，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝16. 当0＜θ＜θ0时，S ′＞0，所以当θ＝θ0时，S 取得最大值. 10分或因为0＜θ＜π，所以存在唯一的θ0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，使得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π6＝16.当0＜θ＜θ0＜π时，S ′＞0，所以当θ＝θ0时，S 取得最大值．此时cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π6＝－356，cos θ0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ0＋π6－π6＝1－10512. 14分18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系Oy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是e ，定义直线y ＝±be 为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y ＝±23，长轴长为4.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 在椭圆C 的“类准线”上(但不在y 轴上)，过点P 作圆O ：2＋y 2＝3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线与l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论．[解](1)由题意知⎩⎨⎧ab c ＝23，a ＝2，又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝3，c ＝1，4分 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.6分(2)点A 在椭圆C 上．证明如下：设切点为Q (0，y 0)，0≠0，则20＋y 20＝3，切线l 的方程为0＋y 0y －3＝0，当y P ＝23时，P ＝3－23y 0x 0，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－23y 0x 0，23，10分则OP ＝233－23y 0x 0＝2x 03－2y 0，所以OA ＝2y 0－32x 0，直线OA 的方程为y ＝2y 0－32x 0. 联立⎩⎨⎧y ＝2y 0－32x 0x ，x 0x ＋y 0y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝6x 06－3y 0，y ＝32y 0－36－3y 0，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 0，32y 0－36－3y 0.13分因为⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 06－3y 024＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤32y 0－36－3y 023＝93－y 20＋34y 20－43y 0＋33y 20－123y 0＋36＝3y 20－123y 0＋363y 20－123y 0＋36＝1，所以点A 的坐标满足椭圆C 的方程．当y P ＝－23时，同理可得点A 的坐标满足椭圆C 的方程， 所以点A 在椭圆C 上.16分19．(本小题满分16分)已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋(n ∈N *，∈R )，且a 1＝2，a 3＋a 5＝－4.(1)若＝0，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 4＝－1，求数列{a n }的通项公式a n .[解] (1)当＝0时，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ， 所以数列{a n }是等差数列.4分设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＝2，2a 1＋6d ＝－4，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝－43，所以S n ＝na 1＋n n －12d ＝2n ＋n n －12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－23n 2＋83n .6分(2)由题意，2a 4＝a 3＋a 5＋，即－2＝－4＋，所以＝2. 又a 4＝2a 3－a 2－2＝3a 2－2a 1－6，所以a 2＝3. 由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2＋2，得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝－2.所以，数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝1为首项，－2为公差的等差数列． 所以a n ＋1－a n ＝－2n ＋3，10分当n ≥2时，有a n －a n －1＝－2(n －1)＋3. 于是，a n －1－a n －2＝－2(n －2)＋3，a n －2－a n －3＝－2(n －3)＋3， …a 3－a 2＝－2×2＋3， a 2－a 1＝－2×1＋3，叠加得，a n －a 1＝－2(1＋2＋…＋(n －1))＋3(n －1)(n ≥2)，所以a n ＝－2×n n －12＋3(n －1)＋2＝－n 2＋4n －1(n ≥2). 14分又当n ＝1时，a 1＝2也适合．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋4n －1，n ∈N *. 16分 20．(本小题满分16分)已知函数f ()＝e ⎝ ⎛13x 3－2x 2＋(a ＋4)－2a －4，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．(1)关于的不等式f ()＜－43e 在(－∞，2)上恒成立，求a 的取值范围；(2)讨论函数f ()极值点的个数． [解] (1)由f ()＜－43e ，得e ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x 3－2x 2＋a ＋4x －2a －4＜－43e ，即3－62＋(3a ＋12)－6a －8＜0对任意∈(－∞，2)恒成立， 即(6－3)a ＞3－62＋12－8对任意∈(－∞，2)恒成立， 4分因为＜2，所以a ＞x 3－6x 2＋12x －8－3x －2＝－13(－2)2，记g ()＝－13(－2)2，因为g ()在(－∞，2)上单调递增，且g (2)＝0，所以a ≥0，即a 的取值范围为[0，＋∞). 6分(2)由题意，可得f ′()＝e ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x 2＋ax －a ，可知f ()只有一个极值点或有三个极值点．令g ()＝133－2＋a －a ，①若f ()有且仅有一个极值点，则函数g ()的图象必穿过轴且只穿过一次， 即g ()为单调递增函数或者g ()极值同号．(ⅰ)当g ()为单调递增函数时，g ′()＝2－2＋a ≥0在R 上恒成立，得a ≥1. (ⅱ)当g ()极值同号时，设1，2为极值点，则g (1)·g (2)≥0，由g ′()＝2－2＋a ＝0有解，得a ＜1，且21－21＋a ＝0，22－22＋a ＝0，所以1＋2＝2，12＝a，10分所以g(1)＝1331－21＋a1－a＝131(21－a)－21＋a1－a＝－13(21－a)－13a1＋a1－a＝23[(a－1)1－a]，同理，g(2)＝23[(a－1)2－a]，所以g(1)g(2)＝23[(a－1)1－a]·23[(a－1)2－a]≥0，化简得(a－1)212－a(a－1)(1＋2)＋a2≥0，所以(a－1)2a－2a(a－1)＋a2≥0，即a≥0，所以0≤a＜1.所以，当a≥0时，f()有且仅有一个极值点；②若f()有三个极值点，则函数g()的图象必穿过轴且穿过三次，同理可得a＜0.综上，当a≥0时，f()有且仅有一个极值点，当a＜0时，f()有三个极值点. 16分。

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2017年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． （1）【2017年江苏,1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =，则实数a 的值为_______． 【答案】1【解析】∵集合}2{1A =，,23{},B a a =+．{}1A B =，∴1a =或231a +=，解得1a =．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用． （2）【2017年江苏,2，5分】已知复数()()1i 12i z =-+,其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴()221310z =-+=．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． (3）【2017年江苏,3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400，300，100件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为6061000100=,则应从丙种型号的产品中抽取630018100⨯=件． 【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取． (4)【2017年江苏，4,5分】如图是一个算法流程图:若输入x 的值为116,则输出y 的值是_______． 【答案】2-【解析】初始值116x =，不满足1x ≥，所以41216222log 2log 2y =+=-=-．【点评】本题考查程序框图,模拟程序是解决此类问题的常用方法,注意解题方法的积累，属于基础题．（5）【2017年江苏，5,5分】若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．则tan α=_______．【答案】75【解析】tan tantan 114tan 4tan 161tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=．【点评】本题考查了两角差的正切公式,属于基础题．（6)【2017年江苏，6,5分】如如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切。

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2017年江苏数学高考试卷一。

填空题1．(5分）已知集合A=｛1，2｝，B=｛a，a2+3}．若A∩B=｛1｝，则实数a的值为 ．2．(5分）已知复数z=（1+i)（1+2i)，其中i是虚数单位，则z的模是 ．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200，400,300，100件．为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件．4．（5分)如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是 ．5．（5分)若tan（α﹣)=．则tanα= ．6．（5分）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2，则的值是 ．7．（5分)记函数f（x)=定义域为D．在区间［﹣4,5］上随机取一个数x，则x∈D的概率是 ．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2,则四边形F1PF2Q的面积是 ．9．（5分)等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n,已知S3=，S6=,则a8= ．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 ．11．(5分)已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f （2a2)≤0．则实数a的取值范围是 ．12．（5分）如图,在同一个平面内，向量，,的模分别为1,1，，与的夹角为α，且tanα=7,与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n= ．13．(5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0)，B(0,6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是 ．14．（5分）设f（x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间［0，1）上，f（x）=，其中集合D={x｜x=，n∈N*｝，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是 ．二。

2017年省高考数学试卷一.填空题1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．3．（5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取件．4．（5分）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是．5．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．6．（5分）如图，在圆柱O1O2有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．7．（5分）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．9．（5分）等比数列{an }的各项均为实数，其前n项为Sn，已知S3=，S6=，则a8=．10．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是．11．（5分）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a ﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值围是．12．（5分）如图，在同一个平面，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值围是．14．（5分）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是．二.解答题15．（14分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．（16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．19．（16分）对于给定的正整数k，若数列{an }满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；（2）若数列{an }既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．20．（16分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值围．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．［选修4-5：不等式选讲］24．已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【必做题】25．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．26．已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．2017年省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（5分）（2017•）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为 1 ．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用．2．（5分）（2017•）已知复数z=（1+i）（1+2i），其中i是虚数单位，则z的模是．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=（1+i）（1+2i）=1﹣2+3i=﹣1+3i，∴|z|==．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2017•）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18 件．【分析】由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为=，则应从丙种型号的产品中抽取300×=18件，故答案为：18【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例，即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取．4．（5分）（2017•）如图是一个算法流程图：若输入x的值为，则输出y的值是﹣2 ．【分析】直接模拟程序即得结论．【解答】解：初始值x=，不满足x≥1，=2﹣=﹣2，所以y=2+log2故答案为：﹣2．【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于基础题．5．（5分）（2017•）若tan（α﹣）=．则tanα=．【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题6．（5分）（2017•）如图，在圆柱O1O2有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）（2017•）记函数f（x）=定义域为D．在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是．【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：由6+x﹣x2≥0得x2﹣x﹣6≤0，得﹣2≤x≤3，则D=[﹣2，3]，则在区间[﹣4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率P==，故答案为：【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，结合函数的定义域求出D，以及利用几何概型的概率公式是解决本题的关键．8．（5分）（2017•）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．9．（5分）（2017•）等比数列{an }的各项均为实数，其前n项为Sn，已知S3=，S 6=，则a8= 32 ．【分析】设等比数列{an }的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2017•）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是30 ．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）（2017•）已知函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值围是[﹣1，]．【分析】求出f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R 上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a2≤1﹣a，运用二次不等式的解法即可得到所求围．【解答】解：函数f（x）=x3﹣2x+e x﹣的导数为：f′（x）=3x2﹣2+e x+≥﹣2+2=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=（﹣x）3+2x+e﹣x﹣e x+x3﹣2x+e x﹣=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣1）+f（2a2）≤0，即有f（2a2）≤﹣f（a﹣1）=f（1﹣a），即有2a2≤1﹣a，解得﹣1≤a≤，故答案为：[﹣1，]．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）（2017•）如图，在同一个平面，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n= 3 ．【分析】如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．可得cosα=，sinα=．C．可得cos（α+45°）=．sin（α+45°）=．B．利用=m+n（m，n∈R），即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）（2017•）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P 在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值围是[﹣5，1]．【分析】根据题意，设P（x0，y），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x+y+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，设P（x0，y），则有x2+y2=50，=（﹣12﹣x0，﹣y）•（﹣x，6﹣y）=（12+x）x﹣y（6﹣y）=12x+6y+x2+y2≤20，化为：12x0﹣6y+30≤0，即2x0﹣y+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x的取值围是[﹣5，1]，故答案为：[﹣5，1]．【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系，关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y的关系式．14．（5分）（2017•）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8 ．【分析】由已知中f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，分析f（x）的图象与y=lgx 图象交点的个数，进而可得答案．【解答】解：∵在区间[0，1）上，f（x）=，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f（x）是定义在R上且周期为1的函数，∴在区间[1，2）上，f（x）=，此时f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；同理：区间[2，3）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[3，4）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[4，5）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[5，6）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[6，7）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[7，8）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间[8，9）上，f（x）的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间[9，+∞）上，f（x）的图象与y=lgx无交点；故f（x）的图象与y=lgx有8个交点；即方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是8，故答案为：8【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，函数的图象和性质，转化思想，难度中档．二.解答题15．（14分）（2017•）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD ⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．【分析】（1）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（2）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊊平面ABC，AB⊆平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，所以FG∥BC，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【点评】本题考查线面平行及线线垂直的判定，考查空间想象能力，考查转化思想，涉及线面平行判定定理，线面垂直的性质及判定定理，注意解题方法的积累，属于中档题．16．（14分）（2017•）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最大值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题17．（14分）（2017•）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【分析】（1）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=±，则2×=8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（2）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l 1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y2=x2﹣1，联立即可求得P点坐标；方法二：设P（m，n），当m≠1时，=，=，求得直线l1及l1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得=±n2，联立椭圆方程，即可求得P点坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x0，y），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF1的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y=，∴y02=x2﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查数形结合思想，考查计算能力，属于中档题．18．（16分）（2017•）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．【分析】（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过N作NP∥MC，交AC于点P，推导出CC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC，NP⊥AC，求出MC=30cm，推导出△ANP∽△AMC，由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，推导出EE1G1G为等腰梯形，求出E1Q=24cm，E1E=40cm，由正弦定理求出sin∠GEM=，由此能求出玻璃棒l没入水中部分的长度．【解答】解：（1）设玻璃棒在CC1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面ACM中，过N作NP∥MC，交AC于点P，∵ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱柱，∴CC1⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴CC1⊥AC，∴NP⊥AC，∴NP=12cm，且AM2=AC2+MC2，解得MC=30cm，∵NP∥MC，∴△ANP∽△AMC，∴=，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（2）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1，EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1=，sin∠EGM=sin∠EE1G1=，cos，根据正弦定理得：=，∴sin，cos，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin∠EMG=，∴EN===20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．【点评】本题考查玻璃棒l没入水中部分的长度的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．19．（16分）（2017•）对于给定的正整数k，若数列{an }满足：an﹣k+an﹣k+1+…+an﹣1+an+1+…+an+k﹣1+an+k=2kan对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{an}是“P（k）数列”．（1）证明：等差数列{an}是“P（3）数列”；（2）若数列{an }既是“P（2）数列”，又是“P（3）数列”，证明：{an}是等差数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1）═2×3an，根据“P（k）数列”的定义，可得数列{an}是“P（3）数列”；（2）由“P（k）数列”的定义，则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，变形整理即可求得2an =an﹣1+an+1，即可证明数列{an}是等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{an }首项为a1，公差为d，则an=a1+（n﹣1）d，则an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3，=（an﹣3+an+3）+（an﹣2+an+2）+（an﹣1+an+1），=2an +2an+2an，=2×3an，∴等差数列{an}是“P（3）数列”；（2）证明：由数列{an }是“P（2）数列”则an﹣2+an﹣1+an+1+an+2=4an，①数列{an }是“P（3）数列”an﹣3+an﹣2+an﹣1+an+1+an+2+an+3=6an，②由①可知：an﹣3+an﹣2+an+an+1=4an﹣1，③a n﹣1+an+an+2+an+3=4an+1，④由②﹣（③+④）：﹣2an =6an﹣4an﹣1﹣4an+1，整理得：2an =an﹣1+an+1，∴数列{an}是等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．20．（16分）（2017•）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值围．【分析】（1）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b=+（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（2）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（3）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因式分解即得结论．【解答】（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+﹣+1=0，所以b=+（a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+＞0，解得a＞3，所以b=+（a＞3）．（2）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a=﹣+=（4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（3）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1，x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2=，x1x2=，所以f（x1）+f（x2）=++a（+）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2=﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值围是（3，6]．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1：几何证明选讲】（本小题满分0分）21．（2017•）如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，AP⊥PC，P 为垂足．求证：（1）∠PAC=∠CAB；（2）AC2 =AP•AB．【分析】（1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圆的性质可得∠ACB=90°．再利用三角形角和定理即可证明．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可证明．【解答】证明：（1）∵直线PC切半圆O于点C，∴∠ACP=∠ABC．∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．∴∠PAC=90°﹣∠ACP，∠CAB=90°﹣∠ABC，∴∠PAC=∠CAB．（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，∴=．∴AC2 =AP•AB．【点评】本题考查了弦切角定理、圆的性质、三角形角和定理、三角形相似的判定与性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017•）已知矩阵A=，B=．（1）求AB；（2）若曲线C1：=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线C1的方程化简即可．【解答】解：（1）AB==，（2）设点P（x，y）为曲线C1的任意一点，点P在矩阵AB的变换下得到点P′（x0，y），则=，即x0=2y，y=x，∴x=y，y=，∴，即x02+y2=8，∴曲线C2的方程为x2+y2=8．【点评】本题考查了矩阵乘法与矩阵变换，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离d关于参数s 的函数，从而得出最短距离．【解答】解：直线l的直角坐标方程为x﹣2y+8=0，∴P到直线l的距离d==，∴当s=时，d取得最小值=．【点评】本题考查了参数方程的应用，属于基础题．［选修4-5：不等式选讲］24．（2017•）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．【分析】a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．代入ac+bd 化简，利用三角函数的单调性即可证明．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），即可得出．【解答】证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．另解：由柯西不等式可得：（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）=4×16=64，当且仅当时取等号．∴﹣8≤ac+bd≤8．【点评】本题考查了对和差公式、三角函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【必做题】25．（2017•）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．【分析】在平面ABCD，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．（1）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．【解答】解：在平面ABCD，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1=，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A 1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（1）∵cos＜＞==．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（2）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x=，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞==．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【点评】本题考查异面直线所成的角与二面角，训练了利用空间向量求空间角，是中档题．26．（2017•）已知一个口袋有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．123…m+n（1）试求编号为2的抽屉放的是黑球的概率p；（2）随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E（X）是X的数学期望，证明E（X）＜．【分析】（1）设事件Ai 表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（），由此能求出编号为2的抽屉放的是黑球的概率．（2）X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，从而E（X）=（）=，由此能证明E（X）＜．【解答】解：（1）设事件Ai表示编号为i的抽屉里放的是黑球，则p=p（A2）=P（A2|A1）P（A1）+P（A2|）P（）. . -===．证明：（2）∵X的所有可能取值为，…，，P（x=）=，k=n，n+1，n+2，…，n+m，∴E（X）=（）==＜==•（）==，∴E（X）＜．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．. -可修- .。

2017年江苏省高考数学预测卷（2）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中所有元素之和是．2．已知复数满足（1+2i）=i，其中i为虚数单位，则复数的虚部为．3．已知点M（﹣3，﹣1），若函数y=tan（∈（﹣2，2））的图象与直线y=1交于点A，则|MA|= ．4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9，则这组数据的标准差为．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为．6．在区间[﹣1，2]内随机取一个实数a，则关于的方程2﹣4a+5a2+a=0有解的概率是．7．如图，在平面四边形ABCD中，若AC=3，BD=2，则= ．8．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M 是AA 1的中点，则三棱锥A 1﹣MBC 1的体积为 ．9．已知函数f （）=|﹣2|，则不等式f （2﹣ln （+1））＞f （3）的解集为 ．10．曲线f （）=ln 在点P （1，0）处的切线l 与两坐标轴围成的三角形的面积是 ．11．设向量=（4sin ，1），=（cos，﹣1）（ω＞0），若函数f （）=•+1在区间[﹣，]上单调递增，则实数ω的取值范围为 ．12．设函数f （）=+cos ，∈（0，1），则满足不等式f （t 2）＞f （2t ﹣1）的实数t 的取值范围是 ．13．已知双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，抛物线E ：2=4y的焦点B 是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，且=3，则双曲线C 的离心率为 ．14．已知a ，b ，c ，d ∈R 且满足==1，则（a ﹣c ）2+（b ﹣d ）2的最小值为 ．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．在△ABC中，已知三内角A，B，C成等差数列，且sin（+A）=．（Ⅰ）求tanA及角B的值；（Ⅱ）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．17．如图所示的矩形是长为100码，宽为80码的足球比赛场地．其中PH是足球场地边线所在的直线，AB是球门，且AB=8码．从理论研究及经验表明：当足球运动员带球沿着边线奔跑时，当运动员（运动员看做点P）所对AB的张角越大时，踢球进球的可能性就越大．（1）若PH=20，求tan∠APB的值；（2）如图，当某运动员P沿着边线带球行进时，何时（距离AB所在直线的距离）开始射门进球的可能性会最大？18．平面直角坐标系oy 中，直线﹣y+1=0截以原点O 为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程；（3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交于轴于点（m ，0）和（n ，0），问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 19．已知函数f （）=aln （a ∈R ）．（Ⅰ）若函数g （）=2+f （）的最小值为0，求a 的值； （Ⅱ）设h （）=f （）+a 2+（a 2+2），求函数h （）的单调区间；（Ⅲ）设函数y=f （）与函数u （）=的图象的一个公共点为P ，若过点P有且仅有一条公切线，求点P 的坐标及实数a 的值．20．已知数列{a n }，{b n }的首项a 1=b 1=1，且满足（a n+1﹣a n ）2=4，|b n+1|=q|b n |，其中n ∈N *．设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ． （Ⅰ）若不等式a n+1＞a n 对一切n ∈N *恒成立，求S n ；（Ⅱ）若常数q ＞1且对任意的n ∈N *，恒有|b|≤4|b n |，求q 的值；（Ⅲ）在（2）的条件下且同时满足以下两个条件： （ⅰ）若存在唯一正整数p 的值满足a p ＜a p ﹣1；（ⅱ） T m ＞0恒成立．试问：是否存在正整数m ，使得S m+1=4b m ，若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．四.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．【选修4-1几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为线段OA上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于点P．求证：PM2=PA•PC．B．【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分0分）22．已知矩阵M=，N=，若MN=．求实数a，b，c，d的值．C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分0分）23．在极坐标系中，已知点A（2，），B（1，﹣），圆O的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）求圆O的直角坐标方程．D．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分0分）24．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．如图是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数和众数m（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E （ξ）．26．已知数列{a n }的通项公式为a n =（n ≥1，n ∈N *）．（Ⅰ）求a 1，a 2，a 3的值；（Ⅱ）求证：对任意的自然数n ∈N *，不等式a 1•a 2…a n ＜2•n!成立．2017年江苏省高考数学预测卷（2）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．1．已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，则集合A∪B中所有元素之和是 5 ．【考点】1D：并集及其运算．【分析】利用并集定义先求出A∪B，由此能求出集合A∪B中所有元素之和．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={1，2，3}，∴A∪B={﹣1，0，1，1，2，3}，∴集合A∪B中所有元素之和是：﹣1+0+1+2+3=5．故答案为：5．2．已知复数满足（1+2i）=i，其中i为虚数单位，则复数的虚部为．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的除法运算化为a+bi（a，b∈R）的形式，则答案可求【解答】解：∵（1+2i）=i，∴===+，∴复数的虚部为．故答案为3．已知点M（﹣3，﹣1），若函数y=tan（∈（﹣2，2））的图象与直线y=1交于点A，则|MA|= 2．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】解方程求出函数y与直线y=1的交点A的横坐标，再求线段的长|MA|．【解答】解：令y=tan=1，解得=1+4，∈；又∈（﹣2，2），∴=1，∴函数y与直线y=1的交点为A（1，1）；又M（﹣3，﹣1），∴|MA|==2．故答案为：2．4．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为12，8，10，11，9，则这组数据的标准差为．【考点】BC：极差、方差与标准差．【分析】利用定义求这组数据的平均数、方差和标准差即可．【解答】解：数据12，8，10，11，9的平均数为：=×（12+8+10+11+9）=10，方差为：s2=×[（12﹣10）2+（8﹣10）2+（10﹣10）2+（11﹣10）2+（9﹣10）2]=2；∴这组数据的标准差为s=．故答案为：．5．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果S的值为﹣1 ．【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，n的值，当S=﹣1，n=2016时不满足条件n＜2016，退出循环，输出S的值为﹣1，即可得解．【解答】解：输入s=0，n=1＜2016，s=0，n=2＜2016，s=﹣1，n=3＜2016，s=﹣1，n=4＜2016，s=0，n=5＜2016，…，由2016=503×4+3得，输出s=﹣1，故答案为：﹣1．6．在区间[﹣1，2]内随机取一个实数a，则关于的方程2﹣4a+5a2+a=0有解的概率是．【考点】CF：几何概型．【分析】根据几何概型计算公式，用符合题意的基本事件对应的区间长度除以所有基本事件对应的区间长度，即可得到所求的概率．【解答】解：∵关于的方程2﹣4a+5a2+a=0有解，∴16a 2﹣20a 2﹣4a ≥0， ∴﹣1≤a ≤0时方程有实根， ∵在区间[﹣1，2]上任取一实数a ，∴所求的概率为P==．故答案为：7．如图，在平面四边形ABCD 中，若AC=3，BD=2，则=5 ．【考点】9V ：向量在几何中的应用． 【分析】先利用向量的加法把转化为，再代入原题整理后即可求得结论． 【解答】解：因为=（+）+（+）=+（）=．∴（）•（）=（）•（）=﹣=32﹣22=5． 故答案为58．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，M 是AA 1的中点，则三棱锥A 1﹣MBC 1的体积为 4 ．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】推导出A 1C 1⊥平面A 1MB ，从而三棱锥A 1﹣MBC 1的体积=，由此能求出结果．【解答】解：∵在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB=3，BC=5，∴A 1C 1⊥AA 1，AC 2+AB 2=BC 2，∴A 1C 1⊥A 1B 1，∵AA 1∩A 1B 1=A 1，∴A 1C 1⊥平面A 1MB ，∵M 是AA 1的中点，∴===3， ∴三棱锥A 1﹣MBC 1的体积：====4． 故答案为：4．9．已知函数f （）=|﹣2|，则不等式f （2﹣ln （+1））＞f （3）的解集为 {|﹣1＜＜﹣1} ．【考点】7E ：其他不等式的解法．【分析】由题意，f （）=，在（2，+∞）单调递增，＜2，f （）ma =1＜f （3）=3．f （2﹣ln （+1））＞f （3）化为2﹣ln （+1）＞3，即可解不等式．【解答】解：由题意，f （）=，在（2，+∞）单调递增，＜2，f（）=1＜f（3）=3．ma∵f（2﹣ln（+1））＞f（3），∴2﹣ln（+1）＞3，∴ln（+1）＜﹣1，∴0＜+1＜，∴﹣1＜＜﹣1，∴不等式f（2﹣ln（+1））＞f（3）的解集为{|﹣1＜＜﹣1}，故答案为{|﹣1＜＜﹣1}．10．曲线f（）=ln在点P（1，0）处的切线l与两坐标轴围成的三角形的面积是．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程，计算切线与坐标轴的交点坐标，即可得出三角形面积．【解答】解：f′（）=ln+•=ln+1，∴在点P（1，0）处的切线斜率为=1，∴在点P（1，0）处的切线l为y﹣0=﹣1，即y=﹣1，∵y=﹣1与坐标轴交于（0，﹣1），（1，0）．∴切线y=﹣1与坐标轴围成的三角形面积为S=×1×1=．故答案为：．11．设向量=（4sin，1），=（cos，﹣1）（ω＞0），若函数f（）=•+1在区间[﹣，]上单调递增，则实数ω的取值范围为（0，2] ．【考点】9R：平面向量数量积的运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】化简f（）=sinω，根据正弦函数的单调性得出f（）的单调增区间，从而列出不等式解出ω的范围．【解答】解：f（）=+1=2sin cos=sinω，令﹣+2π≤ω≤+2π，解得﹣+≤≤+，∈，∵ω＞0，∴f（）的一个单调增区间为[﹣，]，∴，解得0＜ω≤2．故答案为（0，2]．12．设函数f（）=+cos，∈（0，1），则满足不等式f（t2）＞f（2t﹣1）的实数t的取值范围是＜t＜1 ．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】求导，求导函数的单调性，将不等式转化为具体不等式，即可得出结论．【解答】解：∵f（）=+cos，∈（0，1），∴f′（）=1﹣sin＞0，函数单调递增，∵f（t2）＞f（2t﹣1），∴1＞t2＞2t﹣1＞0，∴＜t＜1，故答案为＜t＜1．13．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线E：2=4y 的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且=3，则双曲线C的离心率为．【考点】C：双曲线的简单性质．【分析】由题意可知b=1，求出A点坐标，代入双曲线方程化简即可得出a，c的关系，从而得出离心率的值．【解答】解：F（c，0），B（0，1），∴b=1．设A（m，n），则=（m，n﹣1），=（c﹣m，﹣n），∵=3，∴，解得，即A（，），∵A在双曲线﹣y2=1的右支上，∴﹣=1，∴=．∴e==．故答案为：．14．已知a，b，c，d∈R且满足==1，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为ln．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】根据题意可将（a，b），（c，d）分别看成函数=+3ln与y=2+3上任意一点，然后利用两点的距离公式，结合几何意义进行求解．【解答】解：因为==1，所以可将P：（a，b），Q：（c，d）分别看成函数y=+3ln与y=2+3上任意一点，问题转化为曲线上的动点P与直线上的动点Q之间的最小值的平方问题，设M（t，t+3lnt）是曲线y=+3ln的切点，因为y′=1+，故点M处的切斜的斜率=1+，由题意可得1+=2，解得t=3，也即当切线与已知直线y=2+3平行时，此时切点M（3，3+3ln3）到已知直线y=2+3的距离最近，最近距离d==，也即（a﹣c）2+（b﹣d）2==ln，故答案为：ln二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．15．在△ABC中，已知三内角A，B，C成等差数列，且sin（+A）=．（Ⅰ）求tanA及角B的值；（Ⅱ）设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=5，求b，c的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）根据等差数列的性质可得B=，再根据诱导公式和同角的三角函数的关系即可求出tanA．（Ⅱ）根据正弦定理求出b，再根据余弦定理求出c．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，则B=，∵sin（+A）=，∴cosA=，∴sinA==，∴tanA==；（Ⅱ）由正弦定理可得=，∴b==7，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，即25=49+c2﹣11c，解得c=3或c=8，∵cosA=＞cos，∴A＜，∴C＞，∴c=3舍去，故c=8．16．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．【考点】LY：平面与平面垂直的判定；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，AF∥平面PCE；（Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需证明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．【解答】证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD．∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=CD．∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，∴AF∥平面PCE；（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PDPA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．17．如图所示的矩形是长为100码，宽为80码的足球比赛场地．其中PH是足球场地边线所在的直线，AB是球门，且AB=8码．从理论研究及经验表明：当足球运动员带球沿着边线奔跑时，当运动员（运动员看做点P）所对AB的张角越大时，踢球进球的可能性就越大．（1）若PH=20，求tan∠APB的值；（2）如图，当某运动员P沿着边线带球行进时，何时（距离AB所在直线的距离）开始射门进球的可能性会最大？【考点】74：一元二次不等式的解法；GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）计算tan∠APH与tan∠BPH的值，利用两角差的正切公式求出tan∠APB的值；（2）设PH=，∈（0，100），计算tan∠APH、tan∠BPH的值，求出tan∠APB 的解析式，利用基本不等式求出它的最大值即可．【解答】解：（1）AB=8，AH=40﹣4=36，PH=20，∴tan∠APH==，tan∠BPH==，∴tan∠APB=tan（∠BPH﹣∠APH）==；即PH=20，tan∠APB的值为；（2）设PH=，∈（0，100），∴tan∠APH=，tan∠BPH=，∴tan∠APB=tan（∠BPH﹣∠APH）===≤==，当且仅当=12时取“=”；∴当运动员P沿着边线带球行进时，离AB所在直线的距离为12码开始射门进球的可能性会最大．18．平面直角坐标系oy中，直线﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于轴的对称点为N，若直线MP、NP 分别交于轴于点（m ，0）和（n ，0），问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】JE ：直线和圆的方程的应用；J8：直线与圆相交的性质．【分析】（1）求出O 点到直线﹣y+1=0的距离，进而可求圆O 的半径，即可得到圆O 的方程；（2）设直线l 的方程，利用直线l 与圆O 相切，及基本不等式，可求DE 长最小时，直线l 的方程；（3）设M （1，y 1），P （2，y 2），则N （1，﹣y 1），，，求出直线MP 、NP 分别与轴的交点，进而可求mn 的值．【解答】解：（1）因为O 点到直线﹣y+1=0的距离为，所以圆O 的半径为， 故圆O 的方程为2+y 2=2．（2）设直线l 的方程为，即b+ay ﹣ab=0，由直线l 与圆O 相切，得，即，，当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l 的方程为+y ﹣2=0．（3）设M （1，y 1），P （2，y 2），则N （1，﹣y 1），，，直线MP 与轴交点，，直线NP 与轴交点，，===2，故mn 为定值2．19．已知函数f （）=aln （a ∈R ）．（Ⅰ）若函数g （）=2+f （）的最小值为0，求a 的值； （Ⅱ）设h （）=f （）+a 2+（a 2+2），求函数h （）的单调区间；（Ⅲ）设函数y=f （）与函数u （）=的图象的一个公共点为P ，若过点P有且仅有一条公切线，求点P 的坐标及实数a 的值．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值；6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）函数整理为g （）=aln+2，求导，由题意可知，函数的最小值应在极值点处取得，令f ′（）=0，代入求解即可；（Ⅱ）函数整理为h （）=aln+a 2+（a 2+2），求导得h ′（），对参数a 进行分类讨论，逐一求出单调区间；（Ⅲ）设出公共点坐标P （m ，n ）的坐标，求出坐标间的关系，得到lnm ﹣m+1=0，通过讨论函数ω（）=lnm ﹣m+1的单调性解方程即可． 【解答】解：（Ⅰ）g （）=f （）+2=aln+2，（＞0），g ′（）=+2，a ≥0时，g ′（）＞0，函数在（0，+∞）递增，无最小值，a ＜0时，g ′（）=，令g ′（）＞0，解得：＞﹣，令g ′（）＜0，解得：0＜＜﹣，∴函数g （）=f （）+2在（0，﹣）递减，在（﹣，+∞）递增，故函数在=﹣处取得最小值，∴aln（﹣）﹣a=0，解得：a=﹣2e；（Ⅱ）h（）=f（）+a2+（a2+2）=aln+a2+（a2+2），∴h′（）=，当a=0时，h（）=2，定义域内递增；当a≠0时，令h′（）=0，∴=﹣或=﹣，当a＞0时，h′（）＞0，h（）定义域内递增；当a＜0时，当a＞﹣时，函数的增区间为（0，﹣），（﹣，+∞），减区间为（﹣，﹣）；当a＜﹣时，函数的增区间为（0，﹣），（﹣，+∞），减区间为（﹣，﹣）；当a=﹣时，定义域内递增．（Ⅲ）a=符合题意，理由如下：此时P（1，0）设函数f（）与u（）上公共点P（m，n），依题意有f（m）=u（m），f′（m）=u′（m），即，⇒得到lnm﹣m+1=0，构造函数ω（）=lnm﹣m+1，（＞0）ω′（）=，可得函数ω（）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，而ω（1）=0∴方程lnm﹣m+1=0有唯一解，即m=1，a=20．已知数列{an }，{bn}的首项a1=b1=1，且满足（an+1﹣an）2=4，|bn+1|=q|bn|，其中n ∈N *．设数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ． （Ⅰ）若不等式a n+1＞a n 对一切n ∈N *恒成立，求S n ；（Ⅱ）若常数q ＞1且对任意的n ∈N *，恒有|b|≤4|b n |，求q 的值；（Ⅲ）在（2）的条件下且同时满足以下两个条件： （ⅰ）若存在唯一正整数p 的值满足a p ＜a p ﹣1；（ⅱ） T m ＞0恒成立．试问：是否存在正整数m ，使得S m+1=4b m ，若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．【考点】8E ：数列的求和；8H ：数列递推式．【分析】（I ）{a n }是公差为2的等差数列，代入求和公式即可得出S n ；（II ）用q 表示出|b|和4|b n |，根据q 的范围及恒等式得出q ﹣2=0；（III ）利用条件可得{a n }，{b n }的通项，求出S m+1，4b m ，从而得出m 的存在性．【解答】解：（I ）∵（a n+1﹣a n ）2=4，a n+1＞a n ，∴a n+1＞a n =2， ∴{a n }是以a 1=1为首项，以2为公差的等差数列， ∴a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1．∴S n ==n 2．（II ）∵|b n+1|=q|b n |，∴|b n |=q|b n ﹣1|=q 2|b n ﹣2|=q n ﹣1|b 1|=q n ﹣1．|b|=1+q+q 2+…+q n =，∵常数q ＞1且对任意的n ∈N *，恒有|b|≤4|b n |，∴≤4q n ﹣1，即1﹣q n+1≥4q n ﹣1﹣4q n ，∴q n ﹣1（q 2﹣4q+4）≤1，即q n ﹣1（q ﹣2）2≤1恒成立， ∴q=2．（III ）由（II ）可知{|b n |}是以1为首项，以2为公比的等比数列， ∵T m ＞0，∴{b n }是以1为首项，以2为公比的等比数列，即b n =2n ﹣1，∵（a n+1﹣a n ）2=4，∴a n+1﹣a n =2或a n+1﹣a n =﹣2， ∵存在唯一正整数p 的值满足a p ＜a p ﹣1，∴当n ≤p ﹣1或n ≥p 时，{a n }是公差为2的递增数列， ∴p ≥2，①若p=2，则a n =，∴S m =（m ﹣2）2，∴S m+1=（m ﹣1）2，而4b m =4•2m ﹣1=2m+1， ∴4b m ﹣S m+1=2m+1﹣（m ﹣1）2＞0， 下面用数学归纳法给出证明： 当m=1时，结论显然成立，假设m=时，结论成立，即2+1﹣（﹣1）2＞0， 则2+2﹣2＞2•2+1﹣（﹣1）2＞2+1﹣（﹣1）2＞0， 即当m=+1时，结论也成立，∴4b m ﹣S m+1＞0恒成立，即不存在正整数m 使得S m+1=4b m ． ②若p ≥3，则a 1=1，a 2=3， ∴S 2=1+3=4=4b 1，∴P ≥3时，存在正整数m=1，使得S m+1=4b m ． 综上，当p=2时，不存在正整数m 使得S m+1=4b m ； 当p ≥3时，存在正整数m 使得S m+1=4b m ，此时m=1．四.附加题部分【选做题】（本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）A ．【选修4-1几何证明选讲】（本小题满分0分）21．如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为线段OA 上一点，BM 的延长线交⊙O 于点N ，过点N 的切线交CA 的延长线于点P ．求证：PM 2=PA •PC ．【考点】NC：与圆有关的比例线段．【分析】做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONB+∠BNP=90°且∠OBN+∠BMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论【解答】证明：连接ON，则∵PN切⊙O于N，∴∠ONP=90°，∴∠ONB+∠BNP=90°∵OB=ON，∴∠OBN=∠ONB，∵OB⊥AC于O，∴∠OBN+∠BMO=90°，故∠BNP=∠BMO=∠PMN，PM=PN，∴PM2=PN2=PA•PC．B．【选修4-2：矩阵与变换】（本小题满分0分）22．已知矩阵M=，N=，若MN=．求实数a，b，c，d的值．【考点】OE：矩阵与矩阵的乘法的意义．【分析】利用矩阵的乘法公式，建立方程，即可求实数a，b，c，d的值．【解答】解：由题意，，∴a=1，b=﹣1，c=2，d=2．C.【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分0分）23．在极坐标系中，已知点A（2，），B（1，﹣），圆O的极坐标方程为ρ=4sinθ．（Ⅰ）求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）求圆O的直角坐标方程．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）求出A，B的直角坐标，即可求直线AB的直角坐标方程；（Ⅱ）将原极坐标方程ρ=4sinθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）点A（2，），B（1，﹣），=﹣（4+）直角坐标为A（0，2），B（，﹣），∴直线AB的直角坐标方程为y=﹣（4+）+2；（Ⅱ）将原极坐标方程ρ=4sinθ，化为：ρ2=4ρsinθ，化成直角坐标方程为：2+y2﹣4y=0，即2+（y﹣2）2=4．D．【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分0分）24．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．【考点】R6：不等式的证明．【分析】利用基本不等式，再相加，即可证得结论．【解答】证明：∵a，b，c都是正数，∴a2b2+b2c2≥2ab2c，a2b2+c2a2≥2a2bc，c2a2+b2c2≥2abc2∴2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2ab2c+2a2bc+2abc2∴a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+a2bc+abc2∴≥abc．【必做题】（第22题、第23题，每题10分，共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）25．某校为了解本校学生的课后玩电脑游戏时长情况，随机抽取了100名学生进行调查．如图是根据调查结果绘制的学生每天玩电脑游戏的时长的频率分布直方图．（Ⅰ）根据频率分布直方图估计抽取样本的平均数和众数m（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）已知样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生中，男生比女生多1人，现从中选3人进行回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E（ξ）．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中，[30，40）对应的小矩形最高，能求出m，由频率分布直方图，能求出抽取样本的平均数．（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生为5人，其中男生3人，女生2人，则ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵频率分布直方图中，[30，40）对应的小矩形最高，∴m=35，由频率分布直方图，得：．（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在[50，60]的学生为0.05×100=5人，其中男生3人，女生2人，则ξ的可能取值为1，2，3，，，∴ξ的分布列为：所以．26．已知数列{a n }的通项公式为a n =（n ≥1，n ∈N *）．（Ⅰ）求a 1，a 2，a 3的值；（Ⅱ）求证：对任意的自然数n ∈N *，不等式a 1•a 2…a n ＜2•n!成立． 【考点】8：数列与不等式的综合；81：数列的概念及简单表示法． 【分析】（Ⅰ）代值计算即可，（Ⅱ）先利用分析法，要证明不等式成立，只需要证明等式（1﹣）（1﹣）（1﹣） (1)）≥1﹣（+++…+）恒成立即可，用数学归纳法证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵a n =（n ≥1），∴a 1==，a 2==，a 3==，（Ⅱ）∵a n ==，可得a 1•a 2…a n =，因此欲证明不等式a 1•a 2…a n ＜2•n!成立，只需要证明对一切非零自然数n ，不等式（1﹣）（1﹣）（1﹣） (1)）＞恒成立即可，显然左端每个因式都为正数，且因1﹣（+++…+）=1﹣（）=1﹣（1﹣）＞1﹣=，故只需要证明对非零自然数，不等式（1﹣）（1﹣）（1﹣） (1)）≥1﹣（+++…+）恒成立即可，下面用数学归纳法证明该不等式成立，①显然当n=1时，不等式1﹣≥1﹣成立，②假设当n=时不等式成立，即（1﹣）（1﹣）（1﹣） (1)）≥1﹣（+++…+）成立，那么当n=+1时，（1﹣）（1﹣） (1)）（1﹣）≥[1﹣（+++…+）]（1﹣），即不等式右边=1﹣（+++…+）﹣+（+++…+），注意到（+++…+）＞0，所以，（1﹣）（1﹣） (1)）（1﹣）≥1﹣（+++…++），这说明当n=+1时，不等式也成立，由①②可知，不等式对一切非零自然数都成立，2017年5月24日。

1.5.2.51. 3.52. 4.2. 5.1-. 6.31. 7.5 8.4.9.)11,1(--e . 10.21. 11.(0,2]. 12.)1,21(. .13.317. 14.e 9ln 59.16.【解析】证明：（1）取PC 的中点G ，连EG GF ,则CD FG GC PG FD PF 21//⇒⎭⎬⎫==，------（2分） 又CD AE 21//，所以FG AE //，所以四边形AEGF 是平行四边形，----------------（3分） 则////AF PEC EG PEC AF EGAF ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄平面平面平面PEC .------------------（6分） （2）因⊂⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥AF PAD CD A PA AD AD CD CD PA ABCD CD ABCD PA ，平面平面平面 ,平面PAD ，故AF CD ⊥---（8分）又因为D CD PD PD AF FD PF AP AD =⊥⇒⎭⎬⎫== ,，故⊥AF 平面PCD ；------------（10分）因为AF EG //，所以⊥EG 平面PCD ，----------------------------------（12分）又⊂EG 平面PEC ，所以平面⊥PCD 平面PEC .------------------------（14分）DB答：当运动员在边线上，且距离AB 所在直线的距离为1112码时，此时射门进球的可能性最大.（14分）B AHP（Ⅱ）设),(),,(0011y x P y x M ，由题意),(11y x N -，则1010x x y y k MP --=，直线)(:010100x x x x y y y y MP ---=-，----------------（10分）令0=y ，解之得0010001100010010010101()y x x x y x y x y x y x y x y x x y y y y y y ----+-=+==---，∴100101x y x y m y y -=-；------（12分）又因为则1010x x y y k NP -+=，直线)(:010100x x x x y y y y NP --+=-，--------------（13分） 令0=y 可得0010001001001100010101()y x x x y x y x y x y x y x y x x y y y y y y --+-++=+==+++，∴011001x y x y n y y +=+------（14分）212021202021100110101001y y y x y x y y y x y x y y y x y x mn --=++⋅--=，--------------（15分） 由于202021212,2y x y x -=-=，故22222)2()2(212021202120212021202120212021202021=--=-+--=----=y y y y y y y y y y y y y y y y y y mn ，∴mn 为定值2.-----（16分）学科*网（Ⅱ）因x a ax x a x h )2(ln )(22+++=（0x >），故xax a x x a x a ax a ax x a x h )1)(2()2(2)2(2)(222/++=+++=+++=----------（5分） ①若0≥a ，则0)(/>x h ，函数)(x h 在),0(+∞上单调递增；--------（6分）②若0<a ，则当aa 12->-，即22>a ，也即2-<a 时，在1(0,)x a ∈-时，0)(/<x h ，函数)(x h 单调递减；在)2,1(a a x --∈时，0)(/>x h ，函数)(x h 单调递增；在),2(+∞-∈a x 时，0)(/<x h ，函数)(x h 单调递减；------------------------------------------------------（8分） 当aa 12-<-，即22<a ，也即02<<-a 时，在(0,)2ax ∈-时，0)(/<x h ，函数)(x h 单调递减；在)1,2(a a x --∈时，0)(/>x h ，函数)(x h 单调递增；在),1(+∞-∈ax 时，0)(/<x h ，函数)(x h 单调递减.---------------------------------------------------（10分） 综上：当0≥a ，函数)(x h 的单调递增区间是),0(+∞；当02<<-a 时，函数)(x h 的单调增区间是)1,2(a a --，单调减区间是(0,)2a-和),1(+∞-a当2-=a 时，函数)(x h 的单调递减区间是),0(+∞； 当2-<a 时，函数)(x h 的单调递增区间是)2,1(a a --；单调递减区间是1(0,)a -和),2(+∞-a .--------（11分）20.【解析】（Ⅰ）由题设数列}{n a 的首项11=a ，公差为2=d ， 则2(1)22n n n S n n -=+=，-------------------------（3分） （Ⅱ）因为1n n b q b +=,11b =，所以1n n b q -=，11111n n k k q b q ++=-=-∑，故11141n n q q q +--≤-， 又因为1q >，得12(2)1n qq --≤，所以211(2)()n q q--≤，因为1q >，所以11()0n q-→，所以2(2)0q -≤，故2q =，------------------（6分）（Ⅲ）因为1||2m m b -=，所以12m m b -=或者12m m b -=-， 若12m m b -=-时，12112(1242)21012m m m m m T b ----≤+++++=-+=-<-舍去 若12m m b -=时，12112(1242)221012m m m m m m T b ----≥-++++=-=->-， 故12m m b -= ，-------------------------------------------------------------------（9分），而2113(21)(1)m S m m +≤++++=+，因为14m m S b +=，所以122(1)m m +≤+，令122(1)m m d m +=+，则21221(1)m m d m d m +=≤+，解之得2,3m =， 故满足122(1)m m +≤+的m 值为1,2,3，------------------------ ---------------------------（12分）所以存在正整数m ，使得14m m S b +=， 此时35m p =⎧⎨≥⎩，或者13m p =⎧⎨≥⎩. -----------------------（16分）学科*网21.【答案】A .【解析】如图，连ON ，因为PN 是切线，所以090=∠ONP ，即090=∠+∠PNM ONM ， 又因为AC OB ⊥，所以090=∠+∠OMB OBM ，注意到OBM ONM ∠=∠，因此OMB PNM ∠=∠---（4分）PCB又因为OMB PMN ∠=∠，所以PNM PMN ∠=∠，则有PN PM =，---------------------（6分）由切割线定理可得：PC PA PN ⋅=2，即PC PA PM ⋅=2.-------------------（10分）21.【答案】B ． 【解析】因为⎢⎣⎡=b MN 1⎢⎣⎡⎥⎦⎤21c a ⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤-221bc a c d ⎥⎦⎤+-+-d b ad 1，-------------（4分） 故由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+=+-=+0224122d b bc ad a c -----------（6分），解之可得3,34,3,35=-===d c b a .--------（10分）21. 【答案】C.21. 【答案】D .【解析】因为c b a ,,均为正数，所以ab b a 222≥+且02>c ，则22222)(abc b a c ≥+--------（2分），同理c ab c a b 22222)(≥+--------（4分）；bc a c b a 22222)(≥+--------（6分）， 将以上三式两边相加可得bc a c ab abc a c c b b a 222222222222)(2++≥++--------（8分），即)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++，也即abc cb a ac c b b a ≥++++222222.------------（10分）学科*网22.【解析】解：（Ⅰ）35=m ，-----------------------（1分）2.2905.0552.04525.03522.02518.0151.05=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x --------------（3分）（Ⅱ）样本中玩电脑游戏时长在]60,50[内的学生为510005.0=⨯人，---------------------（4分）其中男生3人，女生2人，则ξ 的可能取值为3,2,1，则,103)1(352213===C C C P ξ,53106)2(351223====C C C P ξ101)3(3533===C C P ξ--------------（7分） ξ的分布列为---------------------------------------------（8分） 所以5910135321031)(=⨯+⨯+⨯=x E .----------------（10分） 23.【解析】下用数学归纳法证明该不等式成立：（1）显然当1=n 时，不等式（*）恒成立；----------------------------------（6分） （2）假设当k n =时不等式（*）也成立，即不等式)313131(1)311()311)(311(22kk +⋅⋅⋅++-≥-⋅⋅⋅--成立，那么当1+=k n 时，]311)][313131(1[)311)(311()311)(311(1212++-+⋅⋅⋅++-≥--⋅⋅⋅--k k k k ， 即)313131(3131)313131(1)311()311)(311(211212kk k k k +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅++-≥-⋅⋅⋅--+++， 注意到0)313131(3121>+⋅⋅⋅+++k k ，所以)31313131(1)311()311)(311(1212++++⋅⋅⋅++-≥-⋅⋅⋅--k k k ， 这说明当1+=k n 时，不等式不等式（*）也成立.----------------------------------------（9分）因此由数学归纳法可知：不等式（*）对一切非零自然数都成立；即21)313131(1)311()311)(311(22>+⋅⋅⋅++-≥-⋅⋅⋅--n n 恒成立，故欲证不等式!221n a a a n ⋅<⋅⋅⋅⋅对一切非零自然数都成立.-----------------------------（10分）学科*网数学第11页（共11页）。

专题2 矩 阵【三年高考】1．【2021年高考江苏】矩阵 矩阵B 逆矩阵 ，求矩阵AB . 【答案】 【解析】试题分析：先求逆矩阵逆： ，再根据矩阵运算求矩阵AB .试题解析：解：设，那么1110120102a b c d -⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦B B ， 即1110220122a c b d cd ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 故，解得，所以.因此，151121440210102⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦AB .【考点】逆矩阵，矩阵乘法【名师点睛】矩阵乘法及逆矩阵需明确运算法那么，实质是考察一种运算法那么：1||||,(||0)||||db a b ad bc cd c a --⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⇒==-≠⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，A A A A A A A a b e f ae bgaf bh c d g h ce dgcf dh ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦，类似求矩阵特征值及特征向量也是如此.2．【2021 江苏高考，21】R y x ∈,，向量是矩阵属性特征值2-一个特征向量，矩阵A 以及它另一个特征值.【答案】,另一个特征值为1．【考点定位】矩阵运算，特征值与特征向量3．【2021江苏，理21B】[选修4-2：矩阵与变换]矩阵1211,121A Bx-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，向量，,x y是实数，假设Aa Ba=，求x y+值.【答案】72．【解析】由题意得，解得.∴.4．【2021江苏，理21B】[选修4－2：矩阵与变换](本小题总分值10分)矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B. 【答案】．5．【2021江苏，理21B】[选修4－2：矩阵与变换]矩阵A逆矩阵，求矩阵A特征值．【答案】λ1＝－1，λ2＝4.．【解析】解：因为A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1.因为，所以，于是矩阵A特征多项式为f(λ)＝＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得A特征值λ1＝－1，λ2＝4.6．【2021江苏，理21B 】选修4-2：矩阵与变换 矩阵，向量．求向量α，使得2αβ=A 【答案】．【解析】解： =,设，由βα=2A 得,，从而，解得2,1=-=y x ，所以.【2021年高考命题预测】纵观近几年江苏高考试题，对矩阵考察，主要考察矩阵运算，矩阵变换，矩阵特征值与特征向量及二阶逆矩阵．题目难度一般为中、低档，着重考察利用根本概念、根底知识求解矩阵，高考对这局部要求不是太高，会进展矩阵乘法运算，会利用矩阵运算进展平面变换，会判断一个二阶矩阵有否逆矩阵及求得逆矩阵，会求矩阵特征值与特征向量，并用特征值与特征向量进展矩阵乘方运算．备考中应严格控制训练题难度．高考对这局部要求不是太高，高考中在附加题局部.预测2021年矩阵仍是考试重点．复习建议：在复习矩阵知识过程中，注意培养、强化与提高计算能力，逐步提升数学素养，提高分析解决综合问题能力.【2021年高考考点定位】高考对矩阵考察，主要考察矩阵运算，考察矩阵变换，考察矩阵特征值与特征向量及二阶逆矩阵运算． 【考点1】矩阵运算与矩阵变换 【备考知识梳理】 1．乘法规那么(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21乘法法那么： [a 11 a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]．(2)二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22与列向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0乘法规那么：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11x 0＋a 12y 0a 21x 0＋a 22y 0. (3)两个二阶矩阵相乘结果仍然是一个二阶矩阵，其乘法法那么如下：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 12a 21 a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11 b 12b 21 b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21 a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21 a 21b 12＋a 22b 22. (4)两个二阶矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律，即(AB )C ＝A (BC )． (5)A k A l＝Ak ＋l，(A k )l ＝A kl (其中k ，l ∈N *)．2．常见平面变换 (1)恒等变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，该变换把点(x ，y )变成(x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001表示恒等变换．(2)反射变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x y ，该变换把点(x ，y )变成(－x ，y )，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1表示关于y 轴反射变换；类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， 11 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0， －1－1 0分别表示关于x 轴、直线y ＝x 和直线y ＝－x 反射变换．(3)伸缩变换：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ky ，该变换把点(x ，y )变成点(x ，ky )，在此变换中，点横坐标不变，纵坐标变成原来k 倍，故矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1， 00 k 表示y 轴方向上伸缩变换；类似地，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤s001可以用来表示水平伸缩变换．(4)旋转变换：把点A (x ，y )绕着坐标原点逆时针旋转α角变换，对应矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α.(5)切变变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1s 0 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋sy y 表示是沿x 轴切变变换．沿y 轴切变变换对应矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0t1.(6)投影变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1000⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0，该变换把所有横坐标为x 点都映射到了点(x,0)上，因此矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000表示是x 轴上投影变换．类似地，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1表示是y 轴上投影变换． 【规律方法技巧】1．待定系数法在平面变换中应用通过二阶矩阵与平面向量乘法求出变换前与变换后坐标之间变换公式，进而得到所求曲线(或点)，求解时应注意待定系数法应用．2．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，表达了方程思想，要注意矩阵对应元素相等． 3．矩阵乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律． 4．对于平面图形变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换．5．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵乘法可以看出，矩阵乘法对应于变换复合，一一对应平面变换都可以看作这三种初等变换一次或屡次复合． 6．在解决通过矩阵进展平面曲线变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后变量区别清楚，防止混淆．7．曲线(或点)经过二阶矩阵变换后曲线(或点)求法，类似于平面解析几何中代入法求轨迹，此类问题关键是求对坐标之间变换公式． 8．注意两个易错点：〔1〕二阶矩阵乘法运算律中，易无视AB ≠BA ，AB ＝AC ⇒/ B ＝C ，但满足(AB )C ＝A (BC )．〔2〕易混淆绕原点逆时针旋转90°变换与绕原点顺时针旋转90°变换． 【考点针对训练】 1．求使等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 435＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1成立矩阵M . 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5.【解析】设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤mn p q ，那么⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 435＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m －2n p －q ， 那么⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝2，－2n ＝4，p ＝3，－q ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，p ＝3，q ＝－5，即M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －23 －5.2，直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1201对应变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 值；(2)假设点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 坐标．【答案】〔1〕⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.；〔2〕(1,0)．【考点2】矩阵特征值与特征向量 【备考知识梳理】 1．逆变换与逆矩阵(1)逆变换：设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝1，那么称变换ρ可逆，并且称σ是ρ逆变换．(2)逆矩阵：设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E 2，那么称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 逆矩阵．(3)逆矩阵性质性质①：设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆，那么A 逆矩阵是唯一．性质②：设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，那么AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A －1.(4)定理：二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆，当且仅当det A ＝ad －bc ≠0.2．逆矩阵与二元一次方程组 (1)定理：如果关于变量x ，y二元一次方程组(线性方程组)⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝e ，cx ＋dy ＝f 系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤e f .(2)推论：关于变量x ，y 二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝0，cx ＋dy ＝0.其中a ，b ，c ，d 是不全为零常数，有非零解充分必要条件是系数矩阵行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝0.3．特征值和特征向量设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，如果存在数λ以及非零向量ξ，使得Aξ＝λξ，那么称λ是矩阵A 一个特征值，ξ是矩阵A 属于特征值λ一个特征向量． 4．特征向量性质设λ1，λ2是二阶矩阵A 两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A 分别属于特征值λ1，λ2特征向量，对于任意非零平面向量α，设α＝t 1ξ1＋t 2ξ2(t 1，t 2为实数)，那么对任意正整数n ，有A nα＝t 1λn1ξ1＋t 2λn2ξ2. 【规律方法技巧】 1．求逆矩阵常见方法 (1)待定系数法：设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，AB ＝BA ＝E 2；(2)公式法：|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A | －b |A |－c |A | a |A |，当且仅当|A |≠0；(3)从几何变换角度求解二阶矩阵逆矩阵； (4)利用逆矩阵性质(AB )－1＝B －1A －1. 2．求特征值和特征向量方法(1)矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，属于λ特征向量a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . (2)求特征向量和特征值步骤：①解f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0得特征值；②解⎩⎪⎨⎪⎧λ－ax －by ＝0，－cx ＋λ－d y ＝0⇔(λ－a )x －by ＝0，取x ＝1或y ＝1，写出相应向量．3．注意3个易错点：〔1〕并不是每一个二阶矩阵都是可逆：矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 可逆充分必要条件是它对应行列式|A |满足|A |＝ad －bc ≠0，且A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A |－b |A |－c |A | a |A |. 〔2〕不是每个矩阵都有特征值与特征向量，矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 有特征值λ充分必要条件是方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0有解．〔3〕属于矩阵不同特征值特征向量不共线． 【考点针对训练】1．矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 21－13将直线l ：x ＋y －1＝0变换成直线l ′.(1)求直线l ′方程；(2)判断矩阵A 是否可逆？假设可逆，求出矩阵A 逆矩阵A －1；假设不可逆，请说明理由．【答案】〔1〕l ′方程为4x ＋y －7＝0；〔2〕A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤37 －1717 27. 【解析】(1)在直线l 上任取一点P (x 0，y 0)，设它在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 3对应变换作用下变为Q (x ，y )．∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 1－1 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x 0＋y 0，y ＝－x 0＋3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －y7y 0＝x ＋2y7，又∵点P (x 0，y 0)在直线l ：x ＋y －1＝0上， ∴3x －y 7＋x ＋2y7－1＝0， 即直线l ′方程为4x ＋y －7＝0.(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 2 1－13≠0，∴矩阵A 可逆．设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，∴AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋c ＝1，2b ＋d ＝0，－a ＋3c ＝0，－b ＋3d ＝1，解之得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝37，b ＝－17，c ＝17，d ＝27，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤37 －1717 27. 2．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －32 －1，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤75.(1)求矩阵M 特征值及属于每个特征值一个特征向量； (2)求M 3α.【答案】〔1〕特征值λ1＝1一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，特征值λ2＝2一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.；〔2〕⎣⎢⎡⎦⎥⎤4933.【解析】(1)矩阵M 特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－4 3－2 λ＋1＝λ2－3λ＋2，令f (λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2.当λ1＝1时，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3y ＝0，－2x ＋2y ＝0，得一个非零解⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.因此，矩阵M 属于特征值λ1＝1一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝2时，同理可得矩阵M 属于特征值λ2＝2一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(2)设α＝m α1＋n α2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3n ＝7，m ＋2n ＝5，解得m ＝1，n ＝2.所以M 3α＝M 3(α1＋2α2)＝M 3α1＋2M 3α2＝λ31α1＋2λ32α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋2×23⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4933.【两年模拟详解析】1．【江苏省扬州中学2021 —2021学年第二学期质量检测】矩阵 10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 【答案】【解析】由逆矩阵公式得，再利用矩阵运算得2．【江苏省苏中三市〔南通、扬州、泰州〕2021届高三第二次调研测试数学试题】在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵对应变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90得到点B '，求点B '坐标．【答案】()1,4- 【解析】设(),B x y '， 依题意，由，得()1,2A '．那么()()2,2,1,2A B A B x y '''==--． 记旋转矩阵， 那么，即，解得， 所以点B '坐标为()1,4-．3．【南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试】a ，b 是实数，如果矩阵A ＝ 所对应变换T 把点(2，3)变成点(3，4)．〔1〕求a ，b 值．〔2〕假设矩阵A 逆矩阵为B ，求B 2． 【答案】〔1〕a ＝－1，b ＝5．〔2〕4．【江苏省南京市2021届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】变换T 1是逆时针旋转2π角旋转变换，对应变换矩阵是M 1；变换T 2对应变换矩阵是M 2＝． 〔1〕点P (2，1)经过变换T 1得到点P'，求P'坐标；〔2〕求曲线y ＝x 2先经过变换T 1，再经过变换T 2所得曲线方程. 【答案】〔1〕P '(-1,2).〔2〕y －x ＝y 2. 【解析】(1)M 1＝，M 121⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦．所以点P (2,1)在T 1作用下点P '坐标是P '(-1,2). (2)M ＝M 2·M 1＝，设x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是变换后图象上任一点,与之对应变换前点是00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 那么M 00x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,也就是 即所以,所求曲线方程是y －x ＝y 2.5．【南京市2021届高三年级第三次模拟考试】曲线C ：x 2＋2xy ＋2y 2＝1，矩阵A ＝所对应变换T 把曲线C 变成曲线C 1，求曲线C 1方程． 【答案】x 2＋y 2＝26．【苏锡常镇四市2021届高三教学情况调研〔二〕】变换T 把平面上点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应矩阵M ．【答案】【解析】设，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ∴ 解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. 即． 7．【江苏省苏北三市2021届高三最后一次模拟】矩阵，向量，计算5A a .【答案】8．【南通市2021届高三下学期第三次调研考试】在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵对应变换作用下得到直线()0,x y b a b R +-=∈，求a b +值.【答案】4a b +=【解析】设(),P x y 是直线20x y +-=上一点，由，得()20x ay x y b +++-=即，由条件得，，解得，所以4a b +=9．【盐城市2021届高三年级第三次模拟考试】矩阵两个特征向量，，假设，求2βM . 【答案】42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】设矩阵M 特征向量1α对应特征值为1λ，特征向量2α对应特征值为2λ，那么由可解得：120,2,1m n λλ====，又1211022201βαα⎡⎤⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以2222121122104(2)242012M M βααλαλα⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 10．【江苏省淮安市2021 届高三第五次模拟考试】矩阵A ＝，假设矩阵A 属于特征值－1一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于特征值4 一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．求矩阵A ，并写出A 逆矩阵A －1． 【答案】，【解析】由矩阵A 属于特征值－1一个特征向量为α1＝11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦可得， 11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝，即a －b ＝－1；由矩阵A 属于特征值4一个特征向量为α2＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 可得32⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即3a +2b ＝12， 解得.即A ＝，所以A 逆矩阵A -1是 11．【江苏省扬州中学2021 届高三4月双周测】矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 c d ，假设矩阵A 属于特征值6一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2 ．求矩阵A ，并写出A 逆矩阵． 【答案】A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 3 2 4， A 逆矩阵是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 23 －12－13 12．12．【2021 年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】矩阵，其中,a b 均为实数，假设点(3,1)A -在矩阵M 变换作用下得到点(3,5)B ，求矩阵M 特征值.【答案】1,4-【解析】由条件可知，所以，那么3,2a b ==．矩阵特征多项式为223()(2)(1)(2)(3)3421f λλλλλλλ--==-----=----， 令()0f λ=,得两个特征值分别为121,4λλ=-=．13．【2021 年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】，求矩阵B ．【答案】【解析】设 那么1 0 1 22 2a b a c b d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦B ，故4,4,3,3, 4 3.24,4, 4 221, 2.a ab b ac c bd d =-=-⎧⎧⎪⎪==-⎡⎤⎪⎪=⎨⎨⎢⎥+==-⎣⎦⎪⎪⎪⎪+=-=-⎩⎩解得故B 14．【泰州市2021 届高三第三次调研测试】在平面直角坐标系xOy 中，点A 〔0，0〕，B 〔2，0〕，C 〔1，2〕，矩阵，点A ，B ，C 在矩阵M 对应变换作用下得到点分别为A '，B '，C '，求△A B C '''面积．【答案】1【解析】因，，， 即1(00)(01)(2)2A B C '''--，，，，，． 故1212S A B ''=⨯⨯=． 15．【2021 年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】二阶矩阵M 有特征值1λ=-及对应一个特征向量，并且矩阵M 对应变换将点()1,1变换成()0,3-．〔1〕求矩阵M ；〔2〕向量，求5M α值．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】〔1〕设，那么，故 .，故 .联立以上方程组解得1,1,4,1a b c d ==-=-=，故.〔2〕由〔1〕知那么矩阵M 特征多项式为2211()(1)42341f λλλλλλ-==--=--- 令0)(=λf ，得矩阵M 另一个特征值为3.设矩阵M 另一个特征向量是，那么，解得20x y +=,故 .由12m n =+αe e ，得，得3,1m n == .∴5A α5551212(3)3()M M M =+=+e e e e 55551122112463()3(1)322480λλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⨯-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦e e .拓展试题以及解析1． 矩阵10120206A B -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，求矩阵1.A B - 【答案】1101212.1060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【入选理由】此题考察矩阵乘法运算，考察二阶逆矩阵求法，意在考察学生逻辑思维能力和运算求解能力.此题首先求出二阶逆矩阵1A -，再计算，像这种题型考察知识根底，目明确，是高考出题方向，应选此题.2．矩阵，假设矩阵A 属于特征值6一个特征向量为，属于特征值1一个特征向量为．求A 逆矩阵．【答案】【解析】由题意得，那么 ， 解得，即，所以.【入选理由】此题考察矩阵特征值与特征向量，此题通过特征值与特征向量概念求得矩阵A ，然后再求得逆矩阵，意在考察最根本运算求解能力，意在考察学生逻辑思维能力.符合江苏高考对选做题要求，应选此题.3．变换1T 是逆时针旋转2π旋转变换，对应变换矩阵是1M ；变换2T 对应用变换矩阵是．求函数2y x =图象依次在1T ，2T 变换作用下所得曲线方程．【答案】2y x y -=【入选理由】此题考察矩阵运算与平面变换之间关系，考察用矩阵运算表示平面变换，意在考察学生分析问题与解决问题能力，考察推理想象能力，考察运算求解能力，此题型考察知识根底，方法简单，是高考出题方向，应选此题.。