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第四单元平面向量、数系的扩大与复数的引入第 24 讲平面向量的观点及其线性运算考试说明 1 .认识向量的实质背景, 理解平面向量的观点和两个向量相等的含义.2.理解向量的几何意义.3.掌握向量加法、减法的运算, 并理解其几何意义.4.掌握向量数乘的运算及其几何意义, 理解两个向量共线的含义.5.认识向量线性运算的性质及其几何意义.考情剖析考点考察方向考例考察热度平面向量的概观点辨析、应用等★☆☆念平面向量的线加、减、数乘运算及其2016 全国卷Ⅱ3,2015 全性运算应用国卷Ⅰ7★★☆共线向量依据向量共线确立参数2015 全国卷Ⅱ13 ★☆☆值、应用等真题再现■[2017 - 2013] 课标全国真题再现1. [ 2015 ·全国卷Ⅰ]设D为△ ABC所在平面内一点,=3, 则 () A+. =-B.=-C.=+D.=-[分析]A由题意知= + = += +(-)=-+.2. [ 2015 ·全国卷Ⅱ]设向量a,b不平行,向量λ a+b与a+2b平行,则实数λ =.[答案][ 分析 ]因为λ a+b与a+2b平行,所以存在独一实数t ,使得λa+b=t( a+2b),所以解得λ =t= .■[2016 - 2015] 其余省份近似高考真题[ 2016·北京卷 ]设a,b是向量,则“ |a|=|b|”是“ |a+b|=|a-b|”的()A.充分而不用要条件B.必需而不充分条件C.充分必需条件D.既不充分也不用要条件[分析]D 若|a|=|b| 成立 ,则以, b 为邻边构成的平行四边形为菱形 ,, 表示的是该菱形的对角线 ,a a+b a-b而菱形的对角线不必定相等, 所以|a+b|=|a-b|不必定成立 , 进而不是充分条件 ; 反之 , 若|a+b|=|a-b|成立 , 则以 a, b 为邻边构成的平行四边形为矩形, 矩形的邻边不必定相等 , 所以|a|=|b| 不必定成立 , 进而不是必需条件.应选D.【课前双基稳固】知识聚焦1 大小方向大小长度|a| | | 0 0 1 1.同样长度同样长度相反-a 不确立的随意的平行2 和三角形平行四边形b+a ( ) 相反向量. a+ b+c三角形( ) 向量数乘λa | λ||a|同样相反a+ -b0λ a+λ b λ1a+λ2 a3.b=λa对点操练1.[分析]-+ -+ + + =(+ + + +)-(+)=.2 (4) [分析] 依据向量的观点可知(4) 错误. .3 ( ) [分析]∵+ = ,+ =,=-,∴=(+)=( ). a+b a+b .4. 2 [分析] 因为 e 与 e 不共线 , 且a=e -e 与 b=-2e +λ e 共线 , 所以存在μ ∈ R,使1 2 1 2 1 2e1 -e 2=μ( - 2e1+λe2) =- 2μ e1+μ λ e2,得所以λ =2.5.②[ 分析 ]关于①,因为与是相反向量,所以+ =0,①错误;关于②,因为 a∥ b且 |a|>|b|>0, 所以当 a, b 同向时, a+b的方向与 a 的方向同样,当 a, b 反向时, a+b的方向仍与 a 的方向同样,②正确;关于③,因为不确立 a0的方向与 a 的方向能否同样,所以③错误 .6.等腰梯形[ 分析 ]=表示与共线,但|| ≠|| ,所以四边形ABCD是梯形,又||=|| , 所以四边形ABCD是等腰梯形 .7 [2,6] [分析] 当 a 与b 方向同样时 , |a-b|= 2, 当a 与b 方向相反时 , |a-b|= 6, 当a 与b 不共线.时 ,2 <|a-b|< 6, 所以|a-b| 的取值范围为 [2,6] . 本题易忽略 a 与 b 方向同样和 a 与 b 方向相反两种状况 .【讲堂考点研究】例 1 [ 思路点拨 ] (1) 将已知等式整理成a=λb的形式 , 再依据向量共线定理判断 ;(2) 利用平面向量的相关观点判断 .(1)C (2) ①②[ 分析 ] (1) 由+ =0得=-≠ 0,即a=-·|a|≠ 0,则a与b共线且方向相反, 所以当向量 a 与 b 共线且方向相反时, 能使+ =0成立 . 选项A中向量 a 与 b 的方向同样,选项B中向量 a 与 b 共线,方向同样或相反 , 选项 C 中向量a 与b的方向相反 , 选项 D 中向量a与b相互垂直 , 应选 C.(2)①不正确 . 两个向量的长度相等,但它们的方向不必定同样 .②不正确 . 当 b=0时, a∥ b, b∥ c,但 a 与 c 不必定平行 .③正确 .a 与 b 是非零向量, b 与 -b 反向,若 a 与 b 同向,则 a 与 -b 反向 .④正确 . 因为与共线,且与有公共点B,所以 A, B, C三点在同一条直线上.变式题(1)D (2)A [ 分析 ] (1)A 中 ,与的长度相等,但方向不一样,所以A错误;B中,与的长度相等 , 但方向不一样 , 所以 B错误 ;C 中 ,与的长度相等,但方向相反,所以C错误;D中,与的长度相等,方向也同样 ,即= .应选D.(2) 关于①, 因为= , 所以| |=| | 且与共线 , 又因为A, B, C, D是不共线的四个点, 所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形 ABCD为平行四边形,则与共线且 | |=| | ,所以= , 故①正确 . 依据单位向量的定义可知, 单位向量的模相等 , 但方向不必定同样, 故两个单位向量不必定相等,故②错误. 向量与互为相反向量 , 故③错误.关于④, 因为a=b, 所以a, b的长度相等且方向同样, 又b=c, 所以, 的长度相等且方向同样 , 所以,c 的长度相等且方向同样, 即, 故④正确.应选 Ab c a a=c .例 2 [ 思路点拨 ] (1) 第一依据条件 4 = +2 结构平行四边形ABEF,而后联合三角形相像的性质求解 ;(2) 以向量, 为邻边作平行四边形, 经过判断平行四边形的形状来确立△ABC的形状 .(1)D (2) 直角三角形[分析] (1) 如下图 , 延伸到点, 使, 以, 为邻边作平行四边形,AC F AC=CF AB AF ABEF对角线 AE交 BC于点 D,故4 = +2 = , 即点O在AE上 , 则△AOB与△AOC的高分别为B, C到AE的距离由平行四边形的性质得△∽△, 且相像比为 1∶2, 即 1 2, 又因为△, △的底边均. ADC EDB CD∶BD=∶AOB AOC为 AO,高的比等于 BD∶D C=2∶1,所以△ AOB与△ AOC的面积之比为2∶1.(2) 由|+ |=|- | 可知,以向量,为邻边的平行四边形的两条对角线相等, 则此平行四边形为矩形 , 故⊥, 即△ABC为直角三角形.例 3 [ 思路点拨 ] (1)第一利用三角形法例与向量共线的性质表示出向量, 而后利用三角形法例表示出. (2)由=+确立点D的地点,进而确立两三角形面积的关系.(1)B(2)B[ 分析 ] (1)由平面向量的三角形法例及向量共线的性质可得=,= +,=,= +,则=(+),所以= + = ++,所以=++,所以= + = +++=+=-,应选B.(2) 由=+得点D在平行于AB的中位线上,进而有 S△ABD= S△ABC,又 S△ACD= S△ABC,所以 S△BCD= 1- - S △ ABC=S△ABC,所以= . 应选B.例 4 [ 思路点拨 ]利用P是直线BN上一点,可设=n, 而后用m, n及,表示出向量, 比较已知条件即可求得m的值 .A [ 分析 ]∵=, ∴=. ∵P是直线 BN上一点,∴设=n, 则-=n(-), 即=(1 -n )+n =(1 -n )+=m +, 则n=3, 所以m=1-n=- 2.应选 A.加强操练1. A [分析] + =( - )+( +)=+= + = ( + )= ,应选A.2. A [分析] 由题意得+ =2 , 又+ =-2 =2 , 所以= ,应选 A.3.D [分析] = - = - = + - + = - ,应选 D.4. [分析] 设=a, =b,以, 为邻边作平行四边形OACB,则| |=|a-b| ,| |=|a+b|. ∵|a|=|b|=1, 且|a-b|=,∴| |= |a|= |b|,∴平行四边形是正方OACB形, ∴||=| |= , 即|a+b|= .5 2 [分析] 因为是的中点 , 所以 2 , 即 2 , 则= m + n . 又因为,,. O BC + = m +n = O M N 三点共线 , 所以m+n=1,即 m+n=2.例 5 [ 思路点拨 ] 依据平面向量共线定理, 引入实数μ使得 2e -e =μ( e +λe ),而后经过比较系数成立方1 2 1 2程组求解 .A [分析] 若向量 a 与b 共线,则存在实数μ 使得2e1-e2=μ ( e1+λe2), 则有解得λ =- , 应选A. 例 6 [ 思路点拨 ] (1) 第一依据向量加减法法例找寻A, B, C, D四点中随意三个点对应向量间的关系, 而后利用共线定理进行判断;(2) 第一将A, B, C三点共线问题转变为与共线问题, 而后利用向量共线定理求解 .(1)A(2)D[ 分析 ](1) ∵=a+5b, =- 3a+6b, =4a-b , ∴= + =( - 3a+6b) +(4 a-b ) =a+5b= , ∴A, B, D三点共线 , 应选 A.(2) 由A, B, C三点共线 , 得与共线,则存在实数μ ,使得=μ, 则有解得λ=μ =-1或2, 应选 D.加强操练1 A [分析] , , 共线 ;②a=- 6 12 6 , , 共线 ;③b=-2( 1 2),不存在λ ∈R,使得. ①a= b ∴a b - e + e =- b ∴a b e -ea=λ b 成立,∴a, b 不共线 . 应选A.2.D [分析]由= +,得-=,∴=·,∴点P在射线AB上,应选 D.3 D [分析] 由题意知 , 存在实数λ , 使λ, 即12 λ( 12),由向量相等得解得k=±1, 故. a= b e +ke = ke +e选 D.4.B [分析]设E是BC边的中点,则(+)=.由题意得=,所以==(+)=+, 又因为 B, O, D三点共线,所以 + =1,解得 t= ,应选B.【备选原因】例 1 对共线定理加深理解, 例 2、例 3 是两个综合性较强的题目, 可供学有余力的学生采用.1 [ 配合例 5 使用 ] [ 2017·北京海淀区期中]在△ ABC中,点D知足=2-, 则 ()A.点D不在直线BC上B.点D在线段BC的延伸线上C.点D在线段BC上D.点D在线段CB的延伸线上[分析]D由=2-?-= -?=,故点D在线段CB的延伸线上 ,应选 D.2 [ 配合例 4 使用 ] [ 2017·上海黄浦区二模] 如下图, ∠BAC= , 圆M与AB, AC分别相切于点D, E, AD=1,点 P是圆M内随意一点( 含界限 ), 且=x +y ( x, y∈R), 则x+y 的取值范围为( ) A.B.C.D.[ 分析] B 连结AM并延伸, 线段AM及其延伸线分别交圆M于 Q, T两点,连结DE, 与AM交于点R,明显=+, 此时x+y=1.因为AD=AE=1, ∠BAC= , ∴AM=2, DM= .∵点P是圆M内随意一点 ( 含边界 ), ∴2-≤AP≤ 2+, 且当A, P, M三点共线时x+y 获得最值 . 当 P位于 Q点时, AQ=2-, AR=, 则= =(4-2 ) =(2 - )+(2 - ) ,此时 x+y 获得最小值4- 2 ;同理可得 ,当点P位于T点时 , =(2+ ) +(2 + ) , 此时x+y获得最大值 4+2 .应选 B.3[ 配合例 3 使用 ] [ 2017·乐山调研 ] 如图 , 已知AB是圆O的直径 , 点C, D是圆弧AB的两个三平分点 ,=a,=b,则= ()A.a-bB.a-bC.a+ bD.a+b[ 分析 ] D连结OC,OD,CD,由点C,D是圆弧AB的两个三平分点, 得∠AOC=∠COD=∠BOD=60°, 且△OAC和△OCD均为边长等于圆 O的半径的等边三角形, 所以四边形OACD为菱形,所以= + =+= a+b,应选D.。
第五章 平面向量与复数 第24讲 平面向量的概念与线性运算A 组 夯基精练一、 单项选择题(选对方法，事半功倍)1. (人A 必二P60习题2(3))在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则( )A. 四边形ABCD 是矩形B. 四边形ABCD 是菱形C. 四边形ABCD 是正方形D. 四边形ABCD 是平行四边形2. (2022·全国卷)在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD ＝2DA .记CA →＝m ，CD →＝n ，则CB→等于( ) A. 3m －2n B. －2m ＋3n C. 3m ＋2nD. 2m ＋3n3. 如图，在△ABC 中，AN→＝23NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝tAB →＋13AC →，则实数t 的值为( )(第3题)A. 23 B. 25 C. 16D. 344. 如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交AB ，AC 所在直线于不同的两点M ，N ，若AB→＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )(第4题)A. 1B. 2C. 3D. 4二、 多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的) 5. 下列关于平面向量的说法中正确的是( ) A. 若a 与b 都是单位向量，则a ＝bB. 方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量C. 若a 与b 是平行向量，则a ＝bD. 若用有向线段表示的向量AM→与AN →不相等，则点M 与N 不重合6. (2022·娄底模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，下列计算正确的是( )(第6题)A. AB→＋AD →＝AC → B. AB→＋CD →＋DO →＝OA → C. AB→＋AD →＋CD →＝AD → D. AC→＋BA →＋DA →＝0 三、 填空题(精准计算，整洁表达)7. 设向量a ＝3i ＋2j ，b ＝2i －j ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －b －⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b ＋(2b －a )＝______.8. 设向量a ，b 不平行，λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________. 9. 在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA→＋MB →＋MC →＝0.”设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心．若aMA→＋bMB →＋33cMC →＝0，则内角A 的大小为________，当a ＝3时，△ABC 的面积为________．四、 解答题(让规范成为一种习惯)10. 已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD→＝－5e －3f .(1) 用e ，f 表示AD→；(2) 求证：四边形ABCD 为梯形．11. 如图，点C 是点B 关于点A 的对称点，点D 是线段OB 的一个靠近点B 的三等分点，设AB→＝a ，AO →＝b . (1) 用向量a 与b 表示向量OC→，CD →；(2) 若OE→＝45OA →，求证：C ，D ，E 三点共线．(第11题)B 组 滚动小练12. 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos2β＝35，cos(α＋β)＝45，则cos α＝________.13. 曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A. 92e 2 B. 4e 2 C. 2e 2D. e 214. (2023·广州期初)在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(a ＋b )b ＝c 2.(1) 求证：C ＝2B ；a＋4b(2) 求b cos B的最小值．。
专题24 平面向量的概念及其线性运算1.了解向量的实际背景．2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3.理解向量的几何表示．4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa．高频考点一平面向量的概念例1、下列命题中，不正确的是________(填序号).①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB→＝DC→”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c.【方法规律】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.(4)非零向量a 与a |a |的关系：a|a |是与a 同方向的单位向量.【变式探究】 下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小. 答案 ③高频考点二 平面向量的线性运算例2、(1)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC .若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →＝( )A.13a ＋13b B.－13a ＋13bC.13a －13bD.－13a －13b(2)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.解析 (1)PQ →＝PB →＋BQ →＝23AB →＋13BC →＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b ，故选A. (2)由题中条件得，MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →＝xAB →＋yAC →，所以x ＝12，y ＝－16.答案 (1)A (2)12 －16【方法规律】(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.【变式探究】 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → (2)在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于( )A.1B.12C.13D.23解析 (1)在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 的一个靠近B 点的三等分点， 所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. (2)∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，∴2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.故λ＋μ＝12＋16＝23.答案 (1)D (2)D【感悟提升】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．【变式探究】如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为( )A.29B.27C.25D.23 答案 A高频考点三 共线定理的应用 例3、设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.(1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b ).∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →.∴AB →，BD →共线， 又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的两个非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1.【方法规律】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立. 【变式探究】 (1)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A.A ，B ，C 三点共线 B.A ，B ，D 三点共线 C.A ，C ，D 三点共线D.B ，C ，D 三点共线(2)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立的实数x 的取值集合为( )A.{0}B.∅C.{－1}D.{0，－1}解析 (1)∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →， ∴BD →、AB →共线，又有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线.故选B.高频考点四、方程思想在平面向量线性运算中的应用例4、如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .[3分]又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →， 即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .[5分] ∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t ，n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ，即m ＋2n ＝1.① [7分]又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线． ∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1，n ＝t 1.消去t 1得，4m ＋n ＝1.②由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .【感悟提升】(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．(2)易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A 、M 、D 三点共线和B 、M 、C 三点共线这个几何特征．(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会．【方法技巧】1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．3．对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O ，OA →，OB →不共线，满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则P ，A ，B 共线⇔x ＋y ＝1.【易错提醒】1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．1.【2016高考新课标2理数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.2.【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（）， 2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）【2015高考新课标1，理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =，则（ ） （A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =- 【答案】A 【解析】由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A.1．（2014·辽宁卷）设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b∥c ，则a∥c ，则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨ (綈q ) 【答案】A【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p 为假命题；命题q 中，当b ≠0时，a ，c 一定共线，故命题q 是真命题．故p ∨q 为真命题．2．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．【答案】90°【解析】由题易知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角A 为直角，即AC 与AB 的夹角为90°.3．（2014·四川卷）平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 【答案】2【解析】c ＝ma ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c |a |·|c |＝b ·c |b |·|c |，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.4．（2013·江苏卷）设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】125．（2013·陕西卷）设a ，b 为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】由已知中|a·b|＝|a|·|b|可得，a 与b 同向或反向，所以a∥b .又因为由a∥b ，可得|cos 〈a ，b 〉|＝1，故|a·b|＝|a|·|b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a|·|b |，故|a ·b |＝|a |·|b |是a ∥b 的充分必要条件．6．（2013·四川卷） 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A －B 2cosB －sin (A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝4 2，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影． 【解析】(1)由2cos2A －B 2cos B －sin(A －B)sin B ＋cos(A ＋C)＝－35，得 [cos(A －B)＋1]cosB －sin(A －B)sinB －cosB ＝－35，即cos(A －B)cosB －sin(A －B)sinB ＝－35，则cos(A －B ＋B)＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35， 0<A<π，得sinA ＝45.由正弦定理，有a sin A ＝b sinB ，所以sinB ＝bsinA a ＝22.由题意知a>b ，则A>B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(4 2)2＝52＋c 2－2×5c×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cosB ＝22.7．（2013·四川卷）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________．【答案】2【解析】根据向量运算法则，AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，故λ＝2.8．（2013·重庆卷）在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|＜12，则|OA →|的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2【答案】D【解析】根据条件知A ，B 1，P ，B 2构成一个矩形AB 1PB 2，以AB 1，AB 2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图．设|AB 1|＝a ，|AB 2|＝b ，点O 的坐标为(x ，y)，则点P 的坐标为(a ，b)，由|OB 1→|＝|OB 2→|＝1得⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2＋y 2＝1，x 2＋（y －b ）2＝1， 则⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2＝1－y 2，（y －b ）2＝1－x 2. 又由|OP →|＜12，得(x －a)2＋(y －b)2＜14，则1－x 2＋1－y 2＜14，即x 2＋y 2＞74①.又(x －a)2＋y 2＝1，得x 2＋y 2＋a 2＝1＋2ax≤1＋a 2＋x 2，则y 2≤1； 同理由x 2＋(y －b)2＝1，得x 2≤1，即有x 2＋y 2≤2②. 由①②知74＜x 2＋y 2≤2，所以72＜x 2＋y 2≤ 2.而|OA →|＝x 2＋y 2，所以72＜|OA →|≤2，故选D.1.已知下列各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →＋MB →＋BO →＋OM →；③OA →＋OB →＋BO →＋CO →；④AB →－AC →＋BD →－CD →.其中结果为零向量的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题知结果为零向量的是①④，故选B. 答案 B2.设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2a 的方向相同 C.|－λa |≥|a |D.|－λa |≥|λ|·a3.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A.0B.BE →C.AD →D.CF →解析 由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →. 答案 D4.设a 0为单位向量，下述命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假命题的个数是( )A.0B.1C.2D.35.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM →B.2OM →C.3OM →D.4OM →解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →.故选D. 答案 D6.在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13c D.13b ＋23c 解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .答案 A7.设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为( )A.－2B.－1C.1D.2解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b .又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线. 设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )， ∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1. 答案 B8.如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12bB.12a －b C.a ＋12b D. 12a ＋b解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .答案 D9.设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为( )A.－94B.－49C.－38D.不存在10.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( ) A.点P 在线段AB 上 B.点P 在线段AB 的反向延长线上 C.点P 在线段AB 的延长线上 D.点P 不在直线AB 上解析 因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B. 答案 B11.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫avs4alco 1(f (o (AB,sup 6(→)),|AB →|)＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心解析 作∠BAC 的平分线AD .∵OP →＝OA →＋λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫avs4alco 1(f (o (AB,sup 6(→)),|AB →|)＋AC →|AC →|)，∴AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫avs4alco 1(f (o (AB,sup 6(→)),|AB →|)＋AC →|AC →|)＝λ′·AD sup 6(→)|AD →|(λ′∈[0，＋∞))，∴AP →＝错误!·错误!，∴错误!∥错误!. ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 答案 B12.若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________.13.向量e 1，e 2不共线，AB →＝3(e 1＋e 2)，CB →＝e 2－e 1，CD →＝2e 1＋e 2，给出下列结论：①A ，B ，C 共线；②A ，B ，D 共线；③B ，C ，D 共线；④A ，C ，D 共线.其中所有正确结论的序号为________.解析 由AC →＝AB →－CB →＝4e 1＋2e 2＝2CD →，且AB →与CB →不共线，可得A ，C ，D 共线，且B 不在此直线上.答案 ④14.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析 由已知条件得MB →＋MC →＝－MA →，如图，延长AM 交BC 于D 点，则D 为BC 的中点.延长BM 交AC 于E 点，延长CM 交AB 于F 点，同理可证E ，F 分别为AC ，AB 的中点，即M 为△ABC 的重心，∴AM →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，则m ＝3.答案 3。
基础知识整合１．向量的有关概念（１）向量：既有大小又有错误!方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的错误!模．（２）零向量：长度为错误!0的向量，其方向是任意的．（３）单位向量：长度等于错误!１个单位的向量．（４）平行向量：方向相同或错误!相反的非零向量，又叫共线向量．规定：0与任一向量共线．（５）相等向量：长度相等且方向错误!相同的向量．（6）相反向量：长度相等且方向错误!相反的向量．２．向量的线性运算３．共线向量定理向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λＡ．１．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即错误!＋错误!＋错误!＋…＋An—１An＝错误!.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．２．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则错误!＝错误!（错误!＋错误!）．３．错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ为实数），若点A，B，C共线，则λ＋μ＝１．１．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的（）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件解析当a＋b＝0时，a＝—b，所以a∥b；当a∥b时，不一定有a＝—b，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要条件．故选Ａ．２．（２0１9·嘉兴学科基础测试）在△ABC中，已知M是BC中点，设错误!＝a，错误!＝b，则错误!＝（）Ａ．错误!a—b Ｂ．错误!a＋bＣ．a—错误!b Ｄ．a＋错误!b答案A解析错误!＝错误!—错误!＝错误!错误!—错误!＝错误!a—Ｂ．故选Ａ．３．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是（）Ａ．a＋b＝0 Ｂ．a＝bＣ．a与b共线反向Ｄ．存在正实数λ，使a＝λb答案D解析因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D正确．４．已知向量i与j不共线，且错误!＝i＋mj，错误!＝ni＋j，若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是（）Ａ．m＋n＝１Ｂ．m＋n＝—１Ｃ．mn＝１Ｄ．mn＝—１答案C解析由A，B，D共线可设错误!＝λ错误!，于是有i＋mj＝λ（ni＋j）＝λni＋λj.又i，j不共线，因此错误!即有mn＝１．５．（２0１9·大同模拟）△ABC所在的平面内有一点P，满足错误!＋错误!＋错误!＝错误!，则△PBC与△ABC的面积之比是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析因为错误!＋错误!＋错误!＝错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＝错误!—错误!，所以错误!＝—２错误!＝２错误!，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝错误!AC，由三角形的面积公式可知，错误!＝错误!＝错误!.核心考向突破考向一平面向量的概念１若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；２若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；３若A，B，C，D是不共线的四点，则错误!＝错误!，则ABCD为平行四边形；４a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；５已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中真命题的序号是________．答案３解析１错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．２错误，若b＝0，则a与c不一定共线．３正确，因为错误!＝错误!，所以|错误!|＝|错误!|且错误!∥错误!；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．４错误，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．５错误，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．故填３.触类旁通平面向量有关概念的四个关注点（１）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．错误!３向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆.错误!即时训练１．设a0为单位向量，下列命题中：１若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；２若a与a0平行，则a＝|a|a0；３若a与a0平行且|a|＝１，则a＝a0．假命题的个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故１是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝—|a|a0，故２３也是假命题．综上所述，假命题的个数是３．故选Ｄ．考向二平面向量的线性运算角度错误!向量加减法的几何意义例２（１）在四边形ABCD中，错误!＝a＋２b，错误!＝—４a—b，错误!＝—５a—３b，则四边形ABCD的形状是（）Ａ．矩形Ｂ．平行四边形Ｃ．梯形Ｄ．以上都不对答案C解析由已知得，错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝a＋２b—４a—b—５a—３b＝—8a—２b＝２（—４a—b）＝２错误!，故错误!∥错误!.又因为错误!与错误!不平行，所以四边形ABCD是梯形．故选Ｃ．（２）（２0１7·全国卷Ⅱ）设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a—b|，则（）Ａ．a⊥b Ｂ．|a|＝|b|Ｃ．a∥b Ｄ．|a|＞|b|答案A解析解法一：∵|a＋b|＝|a—b|，∴|a＋b|２＝|a—b|２．∴a２＋b２＋２a·b＝a２＋b２—２a·Ｂ．∴a·b＝0．∴a⊥Ｂ．故选Ａ．解法二：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设错误!＝a，错误!＝b，由|a＋b|＝|a—b|知|错误!|＝|错误!|，从而▱ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥Ｂ．故选Ａ．角度错误!平面向量线性运算例３（１）（２0１8·全国卷Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则错误!＝（）Ａ．错误!错误!—错误!错误!Ｂ．错误!错误!—错误!错误!Ｃ．错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!错误!＋错误!错误!答案A解析根据向量的运算法则，可得错误!＝错误!—错误!＝错误!—错误!错误!＝错误!—错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，故选Ａ．（２）（２0１9·唐山统考）在等腰梯形ABCD中，错误!＝—２错误!，M为BC的中点，则错误!＝（）Ａ．错误!错误!＋错误!错误!Ｂ．错误!错误!＋错误!错误!Ｃ．错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!错误!＋错误!错误!答案B解析因为错误!＝—２错误!，所以错误!＝２错误!.又M是BC的中点，所以错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!（错误!＋错误!＋错误!）＝错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!.故选Ｂ．角度错误!利用线性运算求参数例４（１）在△ABC中，点D在边CB的延长线上，且错误!＝４错误!＝r错误!—s错误!，则s＋r等于（）Ａ．0 Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．３答案C解析因为错误!＝４错误!，所以错误!＝错误!错误!.又因为错误!＝错误!—错误!，所以错误!＝错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，所以r＝s＝错误!，s＋r＝错误!.（２）（２0１9·河南中原联考）如图所示，矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若错误!＝λ错误!＋μ错误!（λ，μ为实数），则λ２＋μ２＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．１Ｄ．错误!答案A解析错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝错误!错误!＋错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!—错误!错误!，所以λ＝错误!，μ＝—错误!，故λ２＋μ２＝错误!.故选Ａ．触类旁通平面向量线性运算的一般规律（１）用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的一些定理．（２）在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．即时训练２．已知四边形ABCD是平行四边形，O为平面上任意一点，设错误!＝a，错误!＝b，错误!＝c，错误!＝d，则（）Ａ．a＋b＋c＋d＝0 Ｂ．a—b＋c—d＝0Ｃ．a＋b—c—d＝0 Ｄ．a—b—c＋d＝0答案B解析如图所示，a—b＝错误!，c—d＝错误!，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB綊DC，且错误!与错误!反向，即错误!＋错误!＝0，也就是a—b＋c—d＝0．３．设D为△ABC所在平面内一点，错误!＝３错误!，则（）Ａ．错误!＝—错误!错误!＋错误!错误!Ｂ．错误!＝错误!错误!—错误!错误!Ｃ．错误!＝错误!错误!＋错误!错误!Ｄ．错误!＝错误!错误!—错误!错误!答案A解析错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!（错误!—错误!）＝错误!错误!—错误!错误!＝—错误!错误!＋错误!错误!.故选Ａ．４．（２0１9·唐山模拟）在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝３0°，AB＝２错误!，BC＝２，点E在线段CD上，若错误!＝错误!＋μ错误!，则μ的取值范围是________．答案0≤μ≤错误!解析由题意可求得AD＝１，CD＝错误!，所以错误!＝２错误!.∵点E在线段CD上，∴错误!＝λ错误!（0≤λ≤１）．∵错误!＝错误!＋错误!，又错误!＝错误!＋μ错误!＝错误!＋２μ错误!＝错误!＋错误!错误!，∴错误!＝１，即μ＝错误!.∵0≤λ≤１，∴0≤μ≤错误!.考向三共线向量定理的应用例５（１）（２0１9·朔州模拟）设e１与e２是两个不共线向量，错误!＝３e１＋２e２，错误!＝ke１＋e２，错误!＝３e１—２ke２，若A，B，D三点共线，则k的值为（）Ａ．—错误!Ｂ．—错误!Ｃ．—错误!Ｄ．不存在答案A解析由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得错误!＝λ错误!.又错误!＝３e１＋２e２，错误!＝ke１＋e２，错误!＝３e１—２ke２，所以错误!＝错误!—错误!＝３e１—２ke２—（ke１＋e２）＝（３—k）e１—（２k＋１）e２，所以３e１＋２e２＝λ（３—k）e１—λ（２k＋１）e２，所以错误!解得k＝—错误!.故选Ａ．（２）（２0１9·河北衡水调研）一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB，AD分别交于点E，F，且交其对角线AC于点M，若错误!＝２错误!，错误!＝３错误!，错误!＝λ错误!—μ错误!（λ，μ∈R），则错误!μ—λ＝（）Ａ．—错误!Ｂ．１Ｃ．错误!Ｄ．—３答案A解析错误!＝λ错误!—μ错误!＝λ错误!—μ（错误!＋错误!）＝（λ—μ）错误!—μ错误!＝２（λ—μ）错误!—３μ错误!，因为E，M，F三点共线，所以２（λ—μ）＋（—３μ）＝１，即２λ—５μ＝１，所以错误!μ—λ＝—错误!.故选Ａ．触类旁通１三点共线问题可转化为向量共线问题来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.根据A，B，C三点共线求参数问题，只需将问题转化为，再利用对应系数相等列出方程组，进而解出系数.错误!２三点共线的一个常用结论：A，B，C三点共线⇔存在实数λ，μ对平面内任意一点O O不在直线BC上满足即时训练５．（２0１9·济南模拟）已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋（２λ—１）b，若c 与d共线反向，则实数λ的值为（）Ａ．１Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—２答案B解析由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd（k<0），于是λa＋b＝k[a＋（２λ—１）b]，整理得λa＋b＝ka＋（２λk—k）Ｂ．由于a，b不共线，所以有错误!整理得２λ２—λ—１＝0，解得λ＝１或λ＝—错误!.又因为k<0，所以λ<0，故λ＝—错误!.故选Ｂ．6．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若错误!＝m错误!，错误!＝n错误!，则m＋n的值为________．答案２解析解法一：错误!＝错误!（错误!＋错误!）＝错误!错误!＋错误!错误!.∵M，O，N三点共线，∴错误!＋错误!＝１．∴m＋n＝２．解法二：MN绕O旋转，当N与C重合时，M与B重合，此时m＝n＝１，∴m＋n＝２．。
课时达标 第24讲[解密考纲]本考点重点考查向量的概念、线性运算，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下．一、选择题1．在△ABC 中，已知M 是BC 的中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( A ) A ．12a －bB ．12a ＋bC ．a －12bD ．a ＋12b解析 AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a ，故选A ．2．(2018·河北石家庄模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( D )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb解析 因为a ，b ，是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则a 与b 共线同向，故D 正确． 3．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，实数λ∈(1,2)，则( B ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 一定共线解析 ∵OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，∴OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴AM →＝λAB →.∵λ∈(1,2)，∴点B 在线段AM 上．4．如图所示，在△ABC 中，若BC →＝3DC →，则AD →＝( C )A ．23AB →＋13AC →B ．23AB →－13AC →C ．13AB →＋23AC →D ．13AB →－23AC →解析 AD →＝CD →－CA →＝13CB →－CA →＝13(AB →－AC →)＋AC →＝13AB →＋23AC →，故选C ．5．(2018·甘肃兰州模拟)已知D 为△ABC 的边AB 的中点，M 在边DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( C )A ．15B ．25C ．35D ．45解析 由5AM →＝AB →＋3AC →得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →，则2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5，故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.6．(2018·云南大理模拟)已知O 是△ABC 所在平面外一点且满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ为实数，则动点P 的轨迹必须经过△ABC 的( B ) A ．重心 B ．内心 C ．外心D ．垂心解析 如图，设AB →|AB →|＝AF →，AC →|AC →|＝AE →，已知AF →，AE →均为单位向量．故▱AEDF 为菱形，所以AD 平分∠BAC ， 由OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →| 得AP →＝λAD →，又AP →与AD →有公共点A ，故A ，D ，P 三点共线，所以P 点在∠BAC 的平分线上，故P 的轨迹经过△ABC 的内心．二、填空题7．已知m ，n 满足|m|＝2，|n|＝3，|m －n|＝17，则|m ＋n|＝__3__.解析 由平行四边形的对角线与边的关系及|m －n|与|m ＋n|为以m ，n 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，得|m －n|2＋|m ＋n|2＝2|m|2＋2|n|2＝26，又|m －n|＝17，故|m ＋n|2＝26－17＝9，故|m ＋n|＝3.8．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝__3__.解析 由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM →＝23AD →，因为AD 为中线，则AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，所以m ＝3.9．设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为__－1__.解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1． 三、解答题10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，CD →＝13CA →＋λCB →，求实数λ的值．解析 如图，D 是AB 边上一点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于点F ，连接CD ，则CD →＝CE →＋CF →.因为CD →＝13CA →＋λCB →，所以CE →＝13CA →，CF →＝λCB →.由△ADE ∽△ABC ，得DE BC ＝AE AC ＝23，所以ED →＝CF →＝23CB →，故λ＝23.11．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，求实数m 的值．解析 由N 是OD 的中点得AN →＝12A D →＋12AO →＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ⎝⎛⎭⎫34AD →＋14AB →，所以⎩⎨⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎨⎧m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.12．如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，求1m ＋1n的值．解析 由GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D ，则CH →＝12CG →＝13CD→＝16(CA →＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.。
