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2.2.1 直接开平方法、配方法一、新 知 梳 理1、一元二次方程的解2、直接开平方法的基本形式：①（ax+b ）2=c(c ≥0)②（ax+b ）2=(cx+d)23、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．配方法步骤：①化一元二次方程为一般形式； ②如果二次项系数为1，在一次项后面加上一次项系数一半 的平方，再减去这个数； ③前三项写成完全平方的形式，常数项合并；④用直接开平方法解方程．4、运用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程①化简：化一元二次方程为一般形式，且二次项系数为1；②配方： 在一次项之后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数(为了保持值不变)，使得含未知数的项在一个完全平方式里；③转化：化方程为(ax ＋b )2＝k (k ≥0)或(ax ＋b )2－k ＝0(k ≥0)；④求解：用直接开平方法求解．二、方法探究1、一元二次方程的解(根)例1 已知x ＝2是一元二次方程x 2＋mx ＋2＝0的一个解，则m 的值是( )A ．－3B ．3C ．0D ．0或32、用直接开平方法解一元二次方程例2 解方程：(1)3x 2＝27； (2)(x －2)2＝16； (3)15(2x －3)2＝5. （4）（2x-1）2=(3x+2)2 3、用配方法解二次项系数为1一元二次方程例3 用配方法解一元二次方程：(1)x 2－7x －18＝0. (2)x (x ＋6)＝16.4、用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程例4 用配方法解下列方程：(1)2x 2＋6x ＋12＝0； (2)－3x 2＋4x ＋1＝0. 5、配方法的应用⑴用配方法说明：无论x 为何实数，代数式x 2－4x ＋4.5的值恒大于零． ⑵试用配方法说明代数式2x 2－x ＋3的值不小于238. 三、巩固练习1．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ）A ．3B ．-3C ．±3D ．以上都不对2．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）A ．（a-2）2+1B ．（a+2）2-1C ．（a+2）2+1D ．（a-2）2-13．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2B ．-2C ．D ．4．用适当的数填空：（1）x 2-3x+________=（x-_______）2（2）a （x 2+x+_______）=a （x+_______）25．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为_______，•所以方程的根为_________．6．如果关于x 的方程x 2+kx+3=0有一个根是-1，那么k=________，另一根为______．BA CQD P 7．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．8．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．9．解下列方程：（1）x 2+8x=9 （2）6x 2+7x-3=010．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）A ．总不小于2B ．总不小于7C ．可为任何实数D ．可能为负数11．用配方法求解下列问题．（1）2x 2-7x+2的最小值 （2）-3x 2+5x+1的最大值12．试说明：不论x 、y 取何值，代数式4x 2+y 2-4x+6y+11的值总是正数．•你能求出当x 、y 取何值时，这个代数式的值最小吗？13．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，问几秒钟时△PBQ 的面积等于8cm ．。
21.2.1 直接开平方法教学内容运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．教学目标理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题． 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a （ex+f ）2+c=0型的一元二次方程．重难点关键1．重点：运用开平方法解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2．难点与关键：通过根据平方根的意义解形如x 2=n ，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m ）2=n （n ≥0）的方程．教学过程一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题问题1．填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2；（3）x 2+px+_____=（x+______）2．BCAQ P 老师点评： 问题1：根据完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（2p ）2 2p ． 问题2：设x 秒后△PBQ 的面积等于8cm 2则PB=x ，BQ=2xx 2=8根据平方根的意义，得x=±即x 1，x 2所以秒后△PBQ 的面积等于8cm 2．二、探索新知（学生分组讨论）老师点评：回答是肯定的，把2t+1变为上面的x ，那么2t+1=±即，方程的两根为t 1-12，t 2-12例1：解方程：x 2+4x+4=1分析：很清楚，x 2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1． 解：由已知，得：（x+2）2=1直接开平方，得：x+2=±1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的两根x 1=-1，x 2=-3例2．市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ．•一年后人均住房面积就应该是10+•10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10（1+x ）2=14.4（1+x ）2=1.44直接开平方，得1+x=±1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的两根是x 1=0.2=20%，x 2=-2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2=-2.2应舍去．所以，每年人均住房面积增长率应为20%．共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．•我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材练习．四、应用拓展分析：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ，•那么二月份的营业额就应该是（1+x ），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x ）2．解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x ．那么1+（1+x ）+（1+x ）2=3.31把（1+x ）当成一个数，配方得：（1+x+12）2=2.56，即（x+32）2=2．56 x+32=±1.6，即x+32=1.6，x+32=-1.6 方程的根为x 1=10%，x 2=-3.1因为增长率为正数，所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．五、归纳小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=六、布置作业1．教材复习巩固1、2．2．选用作业设计:一、选择题1．若x2-4x+p=（x+q）2，那么p、q的值分别是（）．A．p=4，q=2 B．p=4，q=-2 C．p=-4，q=2 D．p=-4，q=-2 2．方程3x2+9=0的根为（）．A．3 B．-3 C．±3 D．无实数根3．用配方法解方程x2-23x+1=0正确的解法是（）．A．（x-13）2=89，x=13B．（x-13）2=-89，原方程无解C．（x-23）2=59，x1=23x2D．（x-23）2=1，x1=53，x2=-13二、填空题1．若8x2-16=0，则x的值是_________．2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．三、综合提高题1．解关于x的方程（x+m）2=n．2．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），•另三边用木栏围成，木栏长40m．答案:一、1．B 2．D 3．B二、12．9或-3 3．-8三、1．当n≥0时，x+m=x1，x2-m．当n<0时，无解2．（1）都能达到．设宽为x，则长为40-2x，依题意，得：x（40-2x）=180整理，•得：•x2-20x+90=0，x1x2同理x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为40-20=20．（2）不能达到．同理x（40-2x）=210，x2-20x+105=0，b2-4ac=400-410=-10<0，无解，即不能达到．3．因要制矩形方框，面积尽可能大，所以，应是正方形，即每边长为1米的正方形．。
直接开平方法的步骤直接开平方法是一种用于解决三角形的计算问题的数学方法。
它可以帮助我们找到三角形的各个属性，例如边长、角度和面积。
下面是一个全面详细的方法，来介绍如何使用直接开平方法。
一、理解直接开平方法在开始学习直接开平方法之前，我们需要先了解一些基本概念。
首先，我们需要知道什么是三角形，以及三角形有哪些属性。
三角形是由三条线段组成的图形，在这个图形中，有三个顶点和三条边。
每个顶点都有一个对应的内角度数，并且这些内角度数加起来总是等于180度。
二、确定已知量在使用直接开平方法时，我们需要先确定已知量。
这些已知量可能包括任意数量的边长和/或内角度数。
一旦我们确定了已知量，就可以开始计算未知量。
三、绘制图形在进行计算之前，我们需要将所给出的信息转换为一个几何图形。
为此，我们可以使用尺子和圆规来绘制一个精确的三角形。
四、计算未知量现在我们可以开始计算未知量了。
根据所给出的信息和已知量，我们可以使用以下公式来计算未知量：1. 计算边长如果我们已知两条边长和它们之间的夹角，我们可以使用余弦定理来计算第三条边长。
余弦定理的公式如下：c² = a² + b² - 2ab cos C其中，a、b 和 c 分别表示三角形的三个边长，C 表示夹角。
通过代入所给出的信息和已知量，我们可以解出未知量。
2. 计算内角度数如果我们已知两条边的长度和它们之间的夹角，我们可以使用正弦定理来计算第三个内角度数。
正弦定理的公式如下：a/sin A = b/sin B = c/sin C其中，a、b 和 c 分别表示三角形的三个边长，A、B 和 C 分别表示对应的内角度数。
通过代入所给出的信息和已知量，我们可以解出未知量。
3. 计算面积一旦我们确定了三角形的所有属性，就可以计算它的面积了。
使用以下公式：A = 1/2 bh其中，A 表示面积，b 表示底边长度，h 表示高度。
通过代入所给出的信息和已知量，我们可以解出未知量。
