探索平行线的条件

北师大版数学七年级下册2.2《探索直线平行的条件》教案1一. 教材分析《探索直线平行的条件》是北师大版数学七年级下册第2章第2节的内容。

本节课主要让学生通过探索活动，掌握直线平行的条件，理解平行线的性质，并能运用这些性质解决一些简单问题。

本节课的内容是学生进一步学习几何知识的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了直线、射线、线段的基本概念，对图形的基本性质有所了解。

但是，对于直线平行的条件和平行线的性质，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过探索活动，自主发现和总结直线平行的条件和平行线的性质。

三. 教学目标1.理解直线平行的条件，掌握平行线的性质。

2.能够运用直线平行的条件和平行线的性质解决一些简单问题。

3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.教学重点：直线平行的条件，平行线的性质。

2.教学难点：直线平行的条件的推导，平行线的性质的理解和运用。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，引导学生通过探索活动，自主发现和总结直线平行的条件和平行线的性质。

在教学过程中，注重学生的主体地位，鼓励学生积极参与，培养学生的动手能力和思维能力。

六. 教学准备1.准备一些直线和平行线的模型，用于直观展示直线平行的条件和平行线的性质。

2.准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用直尺和三角板，展示一些直线和平行线，引导学生观察和思考：什么是直线？什么是平行线？直线和平行线有哪些性质？2.呈现（10分钟）呈现一些直线平行的例子，引导学生观察和思考：这些直线为什么是平行的？直线平行有哪些条件？3.操练（10分钟）让学生分组合作，利用直尺和三角板，尝试画出一些平行线，并总结直线平行的条件。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些关于直线平行的练习题，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：平行线除了具有直线平行的条件外，还有哪些性质？让学生通过探索活动，发现和总结平行线的性质。

七年级下册数学第一课探索直线平行的条件1.直线平行是指两条直线永远不会相交。

Parallel lines refer to two lines that will never intersect.2.直线平行的条件是它们具有相同的斜率。

The condition for lines to be parallel is that they have the same slope.3.斜率是指直线上任意两点的纵坐标差与横坐标差的比值。

Slope refers to the ratio of the vertical difference to the horizontal difference between any two points on a line.4.如果两条直线的斜率相同，那么它们是平行的。

If two lines have the same slope, then they are parallel.5.两条直线的斜率相同但不相交，则它们平行。

Two lines with the same slope but do not intersect are parallel.6.另一种判断直线平行的方法是它们的斜率乘积为-1。

Another way to determine if lines are parallel is if the product of their slopes is -1.7.这个方法适用于垂直线。

This method applies to perpendicular lines.8.垂直线是指它们的斜率互为倒数的直线。

Perpendicular lines are lines with slopes that are reciprocal of each other.9.如果两条直线的斜率互为倒数，那么它们是垂直的。

If two lines have slopes that are reciprocal, then they are perpendicular.10.平行线和垂直线在几何图形中有着重要的应用。

练习2 如图，∠1=∠2=55°, ∠3等于多少度？直线AB 、CD 平行吗？说明你的理由。

练习3 议一议
问题1：你还记得怎样用移动三角板的方法画两条平行线吗？你能用这种方法过已知直线AB 外一点P 画它的平行线吗？请说出其中的道理。

问题2：分别过点C 、D 画直线AB 的平行线EF 、GH ， EF 与GH 有怎样的位置关系？
结论：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。

平行于同一条直线的两条直线互相平行。

因为a ∥b ，a ∥c ，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，所以b ∥c
加深学生对知识的理解
和巩固
学生思考，知识迁移
你有什么发现？ 与同伴交流.
1 2 3
E F
G H B C
D A A B P
. 议一议 2
议一议1。

7.2 探索平行线的性质知识点知识点一、平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补.PS：只有当两直线平行时，才会有同位角相等、内错角相等以及同旁内角互补.例：如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E．若∠CBD＝35°，则∠ADE的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【分析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到∠ADB和∠EDB的度数，然后即可得到∠ADE的度数．【解答】解：由折叠的性质可得，∠CDB＝∠EDB，∵AD∥BC，∠CBD＝35°，∴∠CBD＝∠ADB＝35°，∵∠C＝90°，∴∠CDB＝55°，∴∠EDB＝55°，∴∠ADE＝∠EDB﹣∠ADB＝55°﹣35°＝20°，故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．知识点二、平行线的判定与性质的区别条件结论作用判定同位角相等两直线平行由角的数量关系确定直线的位置关系内错角相等两直线平行同旁内角互补两直线平行从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质. 例：下列说法中：①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②同旁内角互补，两直线平行；③直线外一点到这条直线的垂线段就是这个点到这条直线的距离；④同一平面内两条不相交的直线一定平行．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】依据平行公理，平行线的判定，点到直线的距离的定义判定即可．【解答】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；②同旁内角互补，两直线平行，故本选项正确；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是点到直线的距离，故本选项错误；④同一平面内两条不相交的直线一定平行，故本选项正确，综上所述，说法正确的有②④共2个．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质与判定，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行等，熟记各性质是解题的关键．巩固练习一．选择题（共12小题）1．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C′，D′处，若∠AFE＝68°，则∠C′EF等于（）A．68°B．80°C．40°D．55°2．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（）A．48°B．58°C．60°D．69°3．如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝60°，则∠2的度数为（）A．60°B．40°C．30°D．20°4．如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，∠CHF＝（）A．25°B．30°C．50°D．130°5．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E，若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．10°6．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点M、N，点H在直线CD上，HG⊥EF于点G，过点作GP∥AB．则下列结论：①∠AMF与∠DNF是同旁内角；②∠PGM＝∠DNF；③∠BMN+∠GHN＝90°；④∠AMG+∠CHG＝270°．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2 个C．3个D．4个7．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝120°，∠AOF的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．60°8．如图，l1∥l2，则∠1、∠2、∠3关系是（）A．∠2＞∠1+∠3 B．无法确定C．∠3＝∠1﹣∠2 D．∠2＝∠1+∠39．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③AB∥CE且∠ADC＝∠B；④AB∥CE且∠BCD＝∠BAD；其中能推出BC∥AD的条件为（）A．①②B．②④C．②③D．②③④10．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝64°，则∠2＝（）A．116°B．122°C．128°D．142°11．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝130°，则∠2等于（）A．30°B．25°C．35°D．40°12．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB 上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°二．填空题（共12小题）13．如图，已知a∥b，∠2＝95°，∠3＝140°，则∠1的度数为．14．一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为．15．如图，点F在∠BAC的平分线AP上，点E在AB上，且EF∥AC，若∠BEF＝40°，则∠AFE＝°．16．如图，直线AB∥CD，∠A＝60°，∠D＝40°，则∠E＝．17．如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝．18．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC接如图所标的位置放置，如果∠CDE＝42°，那么∠BAF的度数为．19．如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝．20．如图，如果∠1＝∠3，∠2＝64°，那么∠4的度数为．21．如图，AB∥CD，∠A＝50°，则∠1＝．22．如图，已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过点B作BD⊥AM于点D，点E、F在DM 上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则∠EBC的度数为．23．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为°．24．如图，已如长方形纸片ABCD，O是BC边上一点，P为CD中点，沿AO折叠使得顶点B落在CD边上的点P处，则∠OAB的度数是．三．解答题（共6小题）25．几何说理填空：如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1＝∠2，求证：DE∥BC．证明：连接EF∵FG⊥AC，HE⊥AC，∴∠FGC＝∠HEC＝90°（）．∴∥（）．∴∠3＝∠（）．又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4．即∠DEF＝∠EFC∴DE∥BC（）．26．如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．27．如图，∠ABC＝∠ADC，BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠1＝∠2．问AB与CD，AD与BC平行吗？请说明理由．28．如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．（1）求证：EF∥BH；（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．29．如图，直线AB∥CD，CD∥EF，且∠B＝30°，∠C＝125°，求∠CGB的度数．30．已知EM∥BN．（1）如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由．（2）如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．①若∠A＝120°，∠AEM＝140°，则∠EFD＝．②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．（3）如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥BD交BN于点G，若4∠A＝3∠EFG，求∠EFB的度数．一．选择题（共12小题）1．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C′，D′处，若∠AFE＝68°，则∠C′EF等于（）A．68°B．80°C．40°D．55°【分析】根据平行线的性质，可以得到∠CEF的度数，然后根据折叠的性质，即可得到∠C′EF的度数，本题得以解决．【解答】解：∵∠AFE＝68°，AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF＝68°，由折叠的性质可得，∠CEF＝∠C′EF，∴∠C′EF＝68°，故选：A．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．2．将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形（△ABC），BC为折痕，若∠1＝42°，则∠2的度数为（）A．48°B．58°C．60°D．69°【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠4，∠4＝∠5，再根据∠1＝42°和折叠的性质，即可得到∠2的度数，本题得以解决．【解答】解：如右图所示，∵长方形的两条长边平行，∠1＝42°，∴∠1＝∠4＝42°，∠4＝∠5，∴∠5＝42°，由折叠的性质可知，∠2＝∠3，∵∠2+∠3+∠5＝180°，∴∠2＝69°，故选：D．【点评】本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．3．如图，直线a∥b，直线l与a、b分别相交于A、B两点，过点A作直线l的垂线交直线b于点C，若∠1＝60°，则∠2的度数为（）A．60°B．40°C．30°D．20°【分析】根据平行线的性质可得∠1+∠2+90°＝180°，由∠1＝60°可求解∠2的度数．【解答】解：∵a∥b，∴∠1+∠2+∠BAC＝180°，∵∠ABC＝90°，∠1＝60°，∴∠2＝30°，故选：C．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．4．如图，AB∥CD，∠EGB＝50°，∠CHF＝（）A．25°B．30°C．50°D．130°【分析】根据平行线的性质可得∠EHD＝∠EGB＝50°，再利用对顶角的性质可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∠EGB＝50°，∴∠EHD＝∠EGB＝50°，∴∠CHF＝∠EHD＝50°．故选：C．【点评】本题主要考查平行线的性质，对顶角的性质，属于基础题．5．如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E，若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．10°【分析】根据矩形的性质可得CD∥AB，∠1+∠CBD＝90°，可求解∠CBD的度数，由平行线的性质可求解∠ABD的度数，结合折叠的性质可得∠2+∠ABD＝∠CBD，进而可求解．【解答】解：在矩形ABCD中，∠C＝90°，AB∥CD，∴∠1+∠CBD＝90°，CD∥AB，∵∠1＝40°，∴∠CBD＝50°，∠ABD＝∠1＝40°，由折叠可知：∠2+∠ABD＝∠CBD，∴∠2+∠ABD＝50°，∴∠2＝10°．故选：D．【点评】本题主要考查矩形的性质，平行线的性质，折叠与对称的性质，由折叠得∠2+∠ABD＝∠CBD 是解题的关键．6．如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点M、N，点H在直线CD上，HG⊥EF于点G，过点作GP∥AB．则下列结论：①∠AMF与∠DNF是同旁内角；②∠PGM＝∠DNF；③∠BMN+∠GHN＝90°；④∠AMG+∠CHG＝270°．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2 个C．3个D．4个【分析】由平行公理的推论可求AB∥CD∥GP，利用平行线的性质和三角形的外角性质依次判断可求解．【解答】解：∵∠AMF与∠DNF不是同旁内角，∴①错误；∵AB∥CD，GP∥AB，∴AB∥CD∥GP，∴∠PGM＝∠CNM＝∠DNF，∠BMN＝∠HNG，∠AMN+∠HNG＝180°，故②正确；∵HG⊥MN，∴∠HNG+∠GHN＝90°，∴∠BMN+∠GHN＝90°，故③正确；∵∠CHG＝∠MNH+∠HGN，∴∠MNH＝∠CHG﹣90°，∴∠AMN+∠HNG＝∠AMN+∠CHG﹣90°＝180°，∴∠AMG+∠CHG＝270°，故④正确，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，垂线的性质，同位角，内错角，同旁内角的定义，掌握平行公理的推论是本题的关键．7．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝120°，∠AOF的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．60°【分析】根据平行线的性质可得∠AOD＝60°，易得∠DOB＝120°，利用角平分线的性质可得∠DOE＝60°，由角的和差易得结果．【解答】解：∵CD∥AB，∠D＝120°，∴∠AOD+∠D＝180°，∴∠AOD＝60°，∠DOB＝120°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝60°，∵OF⊥OE，∴∠FOE＝90°，∴∠DOF＝90°﹣60°＝30°，∴∠AOF＝∠AOD﹣∠DOF＝60°﹣30°＝30°．故选：B．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．8．如图，l1∥l2，则∠1、∠2、∠3关系是（）A．∠2＞∠1+∠3 B．无法确定C．∠3＝∠1﹣∠2 D．∠2＝∠1+∠3【分析】过∠2的顶点，作射线l，使l∥l1，利用平行线的性质得到∠1、∠2与∠α、∠β的关系，从而得出∠1、∠2、∠3关系．【解答】解：过∠2的顶点，作如图所示的射线l，使l∥l1，∵l1∥l2，l∥l1，∴l1∥l2∥l．∴∠1＝∠α，∠2＝∠β．∵∠α+∠β＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，作l与l1平行并利用平行线的性质是解决本题的关键．9．如图，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③AB∥CE且∠ADC＝∠B；④AB∥CE且∠BCD＝∠BAD；其中能推出BC∥AD的条件为（）A．①②B．②④C．②③D．②③④【分析】根据平行线的判定条件，逐一判断，排除错误答案．【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，不符合题意；②∵∠3＝∠4，∴BC∥AD，符合题意；③∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠ADC＝∠B，∴∠ADC+∠BCD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；④∵AB∥CE，∴∠B+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝∠BAD，∴∠B+∠BAD＝180°，由同旁内角互补，两直线平行可得BC∥AD，故符合题意；故能推出BC∥AD的条件为②③④．故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握判定定理：同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行．10．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝64°，则∠2＝（）A．116°B．122°C．128°D．142°【分析】根据邻补角定义可得∠3+∠4的度数，再根据角平分线定义可得∠4的度数，根据两直线平行同旁内角互补即可求出∠2的度数．【解答】解：∵∠1＝64°，∴∠3+∠4＝180°﹣64°＝116°，∵AE平分∠BAC，∴∠3＝∠4＝116°÷2＝58°，∵AC∥BD，∴∠2+∠4＝180°，∴∠2＝180°﹣58°＝122°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．11．如图，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝130°，则∠2等于（）A．30°B．25°C．35°D．40°【分析】先根据平行线的性质求出∠GAB的度数，再根据邻补角的定义求出∠BAE的度数，最后根据∠1＝∠2求出∠2即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠3＝130°，∴∠GAB＝∠3＝130°，∵∠BAE+∠GAB＝180°，∴∠BAE＝180°﹣∠GAB＝180°﹣130°＝50°，∵∠1＝∠2，∴∠2∠BAE50°＝25°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．12．如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB 上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】AD∥BC，∠D＝∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF＝180°﹣∠AED﹣∠BEG＝180°﹣2β，在△AEF中，100°+2α+180°﹣2β＝180°，故β﹣α＝40°，即可求解．【解答】解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠F AE＝80°，∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，在△AEF中，在△AEF中，80°+2α+180﹣2β＝180°故β﹣α＝40°，而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平行线、外角定理，本题关键是落脚于△AEF内角和为180°，即100°+2α+180°﹣2β＝180°，题目难度较大．二．填空题（共12小题）13．如图，已知a∥b，∠2＝95°，∠3＝140°，则∠1的度数为125°．【分析】根据三角形的内角和外角的关系，可以求得∠5的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠1的度数，本题得以解决．【解答】解：∵∠3＝140°，∠3+∠4＝180°，∴∠4＝40°，∵∠2＝95°，∠2＝∠5+∠4，∴∠5＝55°，∵a∥b，∴∠1+∠5＝180°，∴∠1＝125°，故答案为：125°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．一副三角板按如图所示放置，AB∥DC，则∠CAE的度数为15°．【分析】根据题意和图形，利用平行线的性质，可以得到∠BAE的度数，再根据∠2＝30°，即可得到∠CAE的度数．【解答】解：由图可知，∠1＝45°，∠2＝30°，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠1＝45°，∴∠CAE＝∠BAE﹣∠2＝45°﹣30°＝15°，故答案为：15°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15．如图，点F在∠BAC的平分线AP上，点E在AB上，且EF∥AC，若∠BEF＝40°，则∠AFE＝20°．【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到∠AFE的度数．【解答】解：∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP，∵EF∥AC，∴∠EF A＝∠CAP，∴∠BAP＝∠EF A，∵∠BEF＝40°，∠BEF＝∠BAP+∠EF A，∴∠BAP＝∠EF A＝20°，即∠AFE＝20°，故答案为：20．【点评】本题考查平行线的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．如图，直线AB∥CD，∠A＝60°，∠D＝40°，则∠E＝20°．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1的度数，再根据∠1＝∠E+∠D，即可得到∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠A＝60°，∴∠A＝∠1＝60°，∵∠1＝∠E+∠D，∠D＝40°，∴∠E＝∠1﹣∠D＝60°﹣40°＝20°，故答案为：20°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17．如图，一束光线从点C出发，经过平面镜AB反射后，沿与AF平行的线段DE射出（此时∠1＝∠2），若测得∠DCF＝100°，则∠A＝50°．【分析】由平行线的性质可得∠1＝∠2＝∠A，由外角的性质可求解．【解答】解：∵DE∥AF，∴∠2＝∠A，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠A，∵∠DCF＝∠A+∠1＝2∠A＝100°，∴∠A＝50°，故答案为：50°．【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．18．将一把直尺和一块含30°角的三角板ABC接如图所标的位置放置，如果∠CDE＝42°，那么∠BAF的度数为12°．【分析】由DE∥AF得∠AFD＝∠CDE＝42°，再根据三角形的外角性质可得答案．【解答】解：由题意知DE∥AF，∠CDE＝42°，∴∠AFD＝∠CDE＝42°，∵∠B＝30°，∴∠BAF＝∠AFD﹣∠B＝42°﹣30°＝12°，故答案为：12°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等与三角形外角的性质．19．如图，若AB∥CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∠BED＝90°，则∠BFD＝45°．【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，可以求得∠BFD的度数，本题得以解决．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠4，∠1＝∠2，∵∠BED＝90°，∠BED＝∠4+∠EDC，∴∠ABE+∠EDC＝90°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠1+∠3＝45°，∵∠5＝∠2+∠3，∴∠5＝∠1+∠3＝45°，即∠BFD＝45°，故答案为：45°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20．如图，如果∠1＝∠3，∠2＝64°，那么∠4的度数为116°．【分析】根据∠1＝∠3，可以得到AB∥CD，从而可以得到∠2＝∠5，再根据∠5+∠4＝180°，即可得到∠4的度数．【解答】解：∵∠1＝∠3，∴AB∥CD，∴∠2＝∠5，∵∠2＝64°，∴∠5＝64°，∵∠5+∠4＝180°，∴∠4＝116°，故答案为：116°．【点评】本题考查平行线的性质和判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21．如图，AB∥CD，∠A＝50°，则∠1＝130°．【分析】由平行线的性质可得出∠2，根据对顶角相得出∠1．【解答】解：如图：∵AB∥CD，∴∠A+∠2＝180°，∵∠A＝50°，∴∠1＝∠2＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130°．【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是能够根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等进行分析解答．22．如图，已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B，过点B作BD⊥AM于点D，点E、F在DM 上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，则∠EBC的度数为105°．【分析】先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF＝∠GBF，再设∠DBE＝α，∠ABF＝β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，最后解方程组即可得到∠ABE＝15°，进而得出∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．【解答】解：过点B作BG∥DM，如图：∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）可得∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α+β，∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，①由AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，②由①②联立方程组，解得α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°．故答案为：105°．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．23．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为46°．【分析】根据平行线的性质，可以求得∠BCF和∠DCF的度数，从而可以得到∠BCD的度数．【解答】解：过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠ABC＝∠BCE，∠CDE+∠DCF＝180°，∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，∴∠BCD＝46°，故答案为：46．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．如图，已如长方形纸片ABCD，O是BC边上一点，P为CD中点，沿AO折叠使得顶点B落在CD边上的点P处，则∠OAB的度数是30°．【分析】根据折叠，得出相等的线段和相等的角，根据中点得出DP AP，进而得出∠DAP＝30°，再根据折叠对称，得出答案．【解答】解：由折叠得，∠BAO＝∠OAP，AB＝AP，∵长方形纸片ABCD，∴AB＝CD，∠D＝∠DAB＝∠B＝90°，∵P为CD中点，∴PC＝PD CD AP，在Rt△ADP中，∠DAP＝30°，∴∠OAB＝∠OAP（90°﹣30°）＝30°，故答案为：30°．【点评】考查矩形的性质，直角三角形的边角关系，折叠轴对称的性质等知识，根据折叠对称相等的角和线段，是解决问题的关键．三．解答题（共6小题）25．几何说理填空：如图，F是BC上一点，FG⊥AC于点G，H是AB上一点，HE⊥AC于点E，∠1＝∠2，求证：DE∥BC．证明：连接EF∵FG⊥AC，HE⊥AC，∴∠FGC＝∠HEC＝90°（垂直的性质）．∴FG∥HE（同位角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4．即∠DEF＝∠EFC∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．【分析】要证明DE∥FC，可证明∠DEF＝∠EFC，由于∠1＝∠2，可证明∠3＝∠4，需证明EH∥FG，可通过垂直的性质得到．【解答】证明：连接EF∵FG⊥AC，HE⊥AC，∴∠FGC＝∠HEC＝90°（垂线的性质）．∴FG∥HE（同位角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠4（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4．即∠DEF＝∠EFC∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．故答案为：垂线的性质；FG，HE，同位角相等，两直线平行；4，两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定并学会分析是解决本题的关键．26．如图，∠1＝∠BCE，∠2+∠3＝180°．（1）判断AC与EF的位置关系，并说明理由；（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AB于F，∠1＝72°，求∠BAD的度数．【分析】（1）由∠1＝∠BCE，可得到直线AD与EC平行，可得到∠2与∠4间关系，再由∠2+∠3＝180°判断AC与EF的位置关系；（2）由（1）的结论及垂直可得到∠BAC的度数，再由平行线及角平分线的性质得到∠2的度数，利用角的和差关系可得结论．【解答】解：（1）AC∥EF．理由：∵∠1＝∠BCE，∴AD∥CE．∴∠2＝∠4．∵∠2+∠3＝180°，∴∠4+∠3＝180°．∴EF∥AC．（2）∵AD∥EC，CA平分∠BCE，∴∠ACD＝∠4＝∠2．∵∠1＝72°，∴∠2＝36°．∵EF∥AC，EF⊥AB于F，∴∠BAC＝∠E＝90°．∴∠BAD＝∠BAC﹣∠2＝54°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质及垂直的性质等知识点，综合性较强，掌握平行线的性质和判定是解决本题的关键．27．如图，∠ABC＝∠ADC，BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠1＝∠2．问AB与CD，AD与BC平行吗？请说明理由．【分析】先根据角平分线的定义得到∠2∠ABC，∠CDE∠ADC，由于∠ABC＝∠ADC，则∠2＝∠CDE，根据∠1＝∠2，可得∠1＝∠CDE，然后根据同旁内角互补，两直线平行得到AB∥CD，再根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ADC+∠A＝180°，由于∠ABC＝∠ADC，则∠ABC+∠A＝180°，再根据同旁内角互补，两直线平行可判断AD∥BC．【解答】解：AB与CD，AD与BC平行．理由如下：∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠2∠ABC，∠CDE∠ADC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠2＝∠CDE，∵DE∥BF，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝∠CDE，∴AB∥CD，∴∠ADC+∠A＝180°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC+∠A＝180°，∴AD∥BC．【点评】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．28．如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°．（1）求证：EF∥BH；（2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数．【分析】（1）要证明EF∥BH，可通过∠E与∠EBH互补求得，利用平行线的性质说明∠EBH＝∠CHB 可得结论．（2）要求∠CHO的度数，可通过平角和∠FHC求得，利用（1）的结论及角平分线的性质求出∠FHB 及∠BHC的度数即可．【解答】证明：（1）∵∠HCO＝∠EBC，∴EB∥HC．∴∠EBH＝∠CHB．∵∠BHC+∠BEF＝180°，∴∠EBH+∠BEF＝180°．∴EF∥BH．（2）∵∠HCO＝∠EBC，∴∠HCO＝∠EBC＝64°，∵BH平分∠EBO，∴∠EBH＝∠CHB∠EBC＝32°．∵EF⊥AO于F，EF∥BH，∴∠BHA＝90°．∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°．∵∠CHO＝180°﹣∠FHC＝180°﹣122°＝58°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的性质等知识点，理解题意学会分析是解决此类问题的关键．29．如图，直线AB∥CD，CD∥EF，且∠B＝30°，∠C＝125°，求∠CGB的度数．【分析】根据平行公理的推论可得直线AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠BGF＝∠B＝30°，∠C+∠CGF＝180°，求出∠CGF＝55°，即可得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，CD∥EF，∴AB∥CD∥EF，∵∠B＝30°，∠C＝125°，∴∠BGF＝∠B＝30°，∠C+∠CGF＝180°，∴∠CGF＝55°，∴∠CGB＝∠CGF﹣∠BGF＝25°，【点评】本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论，牢记“两直线平行，内错角相等”等平行线的性质是解题的关键．30．已知EM∥BN．（1）如图1，求∠E+∠A+∠B的大小，并说明理由．（2）如图2，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F．①若∠A＝120°，∠AEM＝140°，则∠EFD＝60°．②试探究∠EFD与∠A的数量关系，并说明你的理由．（3）如图3，∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥BD交BN于点G，若4∠A＝3∠EFG，求∠EFB的度数．【分析】（1）过A作AQ∥EM，判定AQ∥BN，根据平行线的性质可求解；（2）①由（1）的结论可求解∠ABN＝100°，利用角平分线的定义可求∠DEF＝70°，∠FBC＝50°，再结合平行线段的性质可求解；②可采用①的解题方法换算求解；（3）设∠EFD＝x，则∠A＝2x，根据4∠A＝3∠EFG列方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）过A作AQ∥EM，∴∠E+∠EAQ＝180°，∵EM∥BN，∴AQ∥BN，∴∠QAB+∠B＝180°，∵∠EAB＝∠EAQ+∠QAB，∴∠E+∠EAB+∠B＝360°；（2）①由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN＝360°，∵∠A＝120°，∠AEM＝140°，∴∠ABN＝100°，∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，∴∠DEF＝70°，∠FBC＝50°，∵EM∥BN，∴∠EDF＝∠FBC＝50°，∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣70°﹣50°＝60°，故答案为60°；②由（1）知∠AEM+∠A+∠ABN＝360°，∴∠ABN＝360°﹣∠AEM﹣∠A，∵∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F，∴∠DEF∠AEM，∠FBC∠ABN，∵EM∥BN，∴∠EDF＝∠FBC∠ABN，∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°∠AEM∠ABN＝180°（360°﹣∠A）∠A，即∠A＝2∠EFD；（3）设∠EFD＝x，则∠A＝2x，由题意得4•2x＝3（90+x），解得x＝54°，答：∠EFB的度数为54°．【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，注意方程思想的应用．。

《探索直线平行的条件》优秀教案第一章：引言1.1 教学目标：让学生了解直线平行的概念及实际应用。

激发学生对探索直线平行条件的兴趣。

1.2 教学内容：直线平行的定义及实例。

直线平行的实际应用场景。

1.3 教学方法：通过图片、实例等方式引入直线平行的概念。

引导学生思考直线平行的实际应用场景。

1.4 教学步骤：1. 引入直线平行的概念，引导学生理解直线平行的定义。

2. 展示直线平行的实例，让学生通过观察和分析来理解和记忆直线平行的特征。

3. 引导学生思考直线平行的实际应用场景，如交通运输、建筑设计等，激发学生对直线平行的兴趣。

第二章：直线平行的判定2.1 教学目标：让学生掌握直线平行的判定方法。

培养学生运用判定方法解决实际问题的能力。

2.2 教学内容：直线平行的判定方法。

判定方法的证明和解释。

2.3 教学方法：通过几何图形和实例来引导学生理解和记忆直线平行的判定方法。

通过证明和解释来说明判定方法的合理性。

2.4 教学步骤：1. 引导学生回顾直线平行的定义，复习相关知识。

2. 引入直线平行的判定方法，让学生通过观察和分析几何图形来理解和记忆判定方法。

3. 通过证明和解释来说明判定方法的合理性，帮助学生深入理解判定方法。

第三章：直线平行的性质3.1 教学目标：让学生掌握直线平行的性质。

培养学生运用性质解决实际问题的能力。

3.2 教学内容：直线平行的性质。

性质的证明和解释。

3.3 教学方法：通过几何图形和实例来引导学生理解和记忆直线平行的性质。

通过证明和解释来说明性质的合理性。

3.4 教学步骤：1. 引导学生回顾直线平行的判定方法，复习相关知识。

2. 引入直线平行的性质，让学生通过观察和分析几何图形来理解和记忆性质。

3. 通过证明和解释来说明性质的合理性，帮助学生深入理解性质。

第四章：直线平行的应用4.1 教学目标：让学生学会运用直线平行的条件解决实际问题。

培养学生的实际问题解决能力。

4.2 教学内容：直线平行的条件在实际问题中的应用。

平行线的判定条件平行线是在同一个平面上且永不相交的两条直线。

在几何学中，判定两条直线是否平行的条件有以下三种：1. 同位角相等定理：如果一条直线与两条平行直线相交，那么这两条平行直线上的同位角（同位角是指两条直线被截取的相对位置相同的两个角）相等。

为了更好地理解同位角相等定理，我们可以通过以下例子进行解释。

假设有两条平行线l和m，直线n与l和m相交，如图所示： n|l———————————————m根据同位角相等定理，角A等于角B，角C等于角D。

这意味着同一边两个对应的角度是相等的，如角A和角B，角C和角D。

2. 三角形内角定理：如果两条直线被一条第三条直线截取，并且该直线上的两个内角相等，那么这两条直线是平行的。

以一个三角形作为示例，如图所示：///a //// b----------/----------//// c如果线段a与线段b平行，那么线段c与线段b也平行。

3. 平行线的传递性：如果直线a与直线b平行，直线b与直线c平行，则直线a与直线c 平行。

此定理在平行线的判定中起到重要作用。

它表示如果两条直线均与同一直线平行，那么这两条直线本身也是平行的。

总结：以上所述的三种判定条件可以帮助我们确定两条直线是否平行。

在几何学中，平行线的判定非常重要，并且可应用于解决各种相关问题，例如角度相等和直线的相对位置等。

需要注意的是，在判断平行线时，我们必须确保所讨论的直线都在同一个平面上。

如果两条直线不在同一个平面上，那么它们无法被判定为平行。

通过了解和应用这些判定条件，我们可以有效地判断两条直线是否平行，并在几何学问题中应用这些知识。

平行线的概念和判定条件在数学和物理学中均有广泛的应用，对于进一步理解和解决相关问题具有重要意义。

平行线判定的六种方法
方法一：斜率法
两条直线平行的条件是它们的斜率相等。

斜率（k）可以通过直线上两个点的坐标进行计算，即k=(y2-y1)/(x2-x1)。

如果两条直线的斜率相等，则说明它们是平行线。

方法二：双角法
两条平行线之间的夹角等于它们的对应内、外顶角的补角。

即如果两条直线之间的夹角等于两条直线与第三条直线之间的对应内（外）顶角的补角，则两条直线是平行线。

方法三：向量法
两条直线平行的条件是它们的方向向量是平行的。

可以使用两个向量进行判断，如果两个向量具有相同的方向（即平行或反平行），则两条直线平行。

方法四：截距法
两条直线平行的条件是它们在纵坐标轴上的截距是相等的。

如果两条直线在纵坐标轴上的截距相等，则两条直线是平行线。

方法五：面积比法
对于两个平行线，它们与一条穿过它们的横线所夹成的两个三角形的面积比是相等的。

所以可以通过计算两个三角形的面积比来判断两条直线是否平行。

方法六：同位角法
如果两条直线与第三条直线相交，且同位角（同侧相对应的角）相等，则两条直线是平行的。

以上是常用的六种判定是否平行的方法，通过这些方法可以很方便地
判断两条直线是否平行。

需要注意的是，在使用这些方法时，需要保证提
供的条件和数据准确无误，以获得正确的结论。

探索直线平行的条件2的教案探索直线平行的条件2的教案「篇一」学习目标：1.能抓住内错角、同旁内角的特征识别内错角和同旁内角。

2.会用内错角相等、同旁内角互补判定二条直线平行。

学习重点：会用内错角相等、同旁内角互补判定二条直线平行。

学习难点：有条理地思考和表达过程。

导学过程：【预习交流】1.预习课本P7页到P9页，有哪些疑惑?2.如图1，C=31，当ABE= 度时，就能使BE//CD。

3.上图中1和2是同位角的是A.⑴、⑵、⑶B.⑵、⑶、⑷C.⑶、⑷、⑸D.⑴、⑵、⑸4.如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，如果BMN=DNF，2，那么MQ∥NP，为什么?【点评释疑】1.课本P7议一议。

两条直线被第三条直线所截，在二条直线的内侧，且在第三条直线的两旁的二个角叫内错角。

两条直线被第三条直线所截，在两条直线的内侧，且在第三条直线的同旁的两个角叫同旁内角。

内错角相等,两直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

2.如图，2，BDE=180，图中那些线互相平行，为什么?解：(1)AB∥EF∵2AB∥EF(2)DE∥BC∵DE∥BC3.如图、点B在DC上，BE平分ABD，DBE=A，你能判断 BE与AC的位置关系吗?请说明理由。

4.应用探究(1)如图1，与1是同位角的角是，与1是内错角的角是，与1是同旁内角的角是。

图1 图2 图3 图4(2)如图2， _ 与C是直线 _ 与 _ 被直线 _ 所截得的同位角， __ 与3是直线 _ 与被直线 _ 所截得的内错角， _ 与A是直线AB与BC被直线 _ 所截得的同旁内角。

(3)如图3，①如果B =1，那么根据___________________________，可得AD∥BC;②如果D =1，那么根据___________________________，可得AB∥CD。

(4)如图4，下列条件中能判定DE∥AC的是A.EDC=EFCB.AFE=ACDC.4D.2(5)已知：如图，C，DAC=C，AE平分DAC。

判定平行的条件一、平行的定义和性质在平面几何中，平行是指两条直线或平面上的点、直线或面永远不会相交的关系。

平行的性质有以下几点：1. 平行的直线在平面上的任意点之间的距离是相等的。

2. 平行的直线与平面上的任意一条横切线的夹角是相等的。

3. 平行的直线与平面上的任意一条平面内的直线的夹角是相等的。

在平面几何中，我们可以通过以下条件来判定两条直线是否平行：1. 同位角相等定理：如果两条直线被一条横切线所截，且同位角相等，则这两条直线是平行的。

这个定理的应用非常广泛，可以用于证明平行四边形、相似三角形等定理。

2. 垂直定理的逆定理：如果两条直线互相垂直，则这两条直线是平行的。

这个定理可以通过垂直定理的逆定理进行证明。

三、平行的应用平行的概念和判定条件在几何学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用：1. 平行四边形：如果四边形的对边是平行的，则这个四边形是平行四边形。

平行四边形具有一些特殊的性质，如对边相等、对角线平分等。

2. 相似三角形：如果两个三角形的对应边分别平行，则这两个三角形是相似的。

相似三角形具有对应角相等、对应边成比例等性质。

3. 平行线的判定：在解决几何问题中，判定两条直线是否平行是一个常见的任务。

通过应用判定条件，可以快速确定两条直线是否平行，从而简化问题的解决过程。

4. 平面的划分：在平面几何中，经常需要将平面划分成不同的区域。

通过判定直线的平行关系，可以将平面划分成不同的区域，从而方便进行后续的分析和计算。

总结：平行是几何学中的一个重要概念，指的是两条直线或平面永远不会相交。

我们可以通过同位角相等定理和垂直定理的逆定理来判定两条直线是否平行。

平行的概念和判定条件在解决几何问题中有广泛的应用，如平行四边形、相似三角形等。

掌握平行的定义和判定条件，能够帮助我们更好地理解和解决几何问题。

在实际应用中，我们可以利用平行的性质进行划分和分析，简化问题的解决过程。

通过学习和应用平行的知识，我们可以更好地理解和应用几何学的原理，提高解决问题的能力。

2.2探索两直线平行的条件“三线八角”模型如图，直线AB、CD与直线EF相交(或者说两条直线AB、CD被第三条直线EF所截)，构成八个角，简称为“三线八角”，如图.同位角：像∠1与∠5，这两个角分别在直线AB、CD的同一方，并且都在直线EF的同侧，具有这种位置关系的一对角叫做同位角.．判定方法1：同位角相等，两直线平行.如图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）题型2：平行线的判定1（同位角相等）2.如图，直线a、b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是（）A．∠1＝∠2B．∠1＝∠4C．∠3+∠4＝180°D．∠3+∠5＝180°．（用“＞”，“＜”或“＝”填空）平行线的画法（【变式3-1】如图.直线a.点B.点C.（1）过点B画直线a的平行线，能画几条?（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗?【变式3-2】如图，在方格纸上∶（1）已有的四条线段中，哪些是互相平行的?（2）过点M画AB的平行线（3）过点N画GH的平行线平行公理及推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．①一条直线的平行线只有一条；②过一点与已知直线平行的直线只有一条；③因为内错角：像∠3与∠5，这两个角都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的两侧，像这样的一对角叫做内错角.同旁内角：像∠3和∠6都在直线AB、CD之间，并且在直线EF的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角.题型5：内错角、同旁内角的概念及识别5.如图，下列两个角是内错角的是（）A．∠1与∠2B．∠1与∠3C．∠1与∠4D．∠2与∠4【变式5-1】如图，直线EF与直线AB，CD相交．图中所示的各个角中，能看作∠1的内错角的是（）A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5【变式5-2】如图，A点在直线DE上，在∠BAD，∠BAE，∠BAC，∠CAE，∠C中，∠B的同旁内角有（）A．2个B．3个C．4个D．5个判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）6.补全下面的证明过程，并在括号内填上适当的理由．【变式6-1】如图，下列条件中能判断直线l1∥l2的是（）A．∠1＝∠2B．∠1＝∠5C．∠2＝∠4D．∠3＝∠5判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）证明：∵“内错角”或“同旁内角”）【变式8-1】如图，（1）∠1和∠3是直线和被直线所截而成的角；（2）能用图中数字表示的∠3的同位角是；（3）图中与∠2是同旁内角的角有个．的位置关系，并说明理由．题型10：平行线的判定简单综合10.光线在不同介质的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也平行．如图标注有∠1～∠8共8个角，其中已知∠1=64°，∠7=42°．（1）分别指出图中的两对同位角，一对内错角，一对同旁内角；（2）直接写出∠2，∠3，∠6，∠8的度数．试判断。

平行线的条件平行线的条件是指两条直线在同一个平面内，且永远不会相交。

在几何学中，平行线是一个重要的概念，它具有许多重要的性质和应用。

本文将介绍平行线的条件及其相关性质。

一、平行线的定义平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。

平行线之间的距离在任意两点之间保持不变。

二、平行线的充分条件1. 直角定理：如果两条直线与一条横直线成直角，且这两条直线各自与另一条直线成直角，那么这两条直线是平行线。

2. 垂直定理：如果两条直线与一条横直线相交，且这两条直线各自与另一条直线成直角，那么这两条直线是平行线。

3. 夹角定理：如果两条直线与一条横直线相交，且这两条直线的内夹角相等，那么这两条直线是平行线。

4. 三角形内角定理：如果两条直线分别与一条横直线相交，且这两条直线的内角互补，那么这两条直线是平行线。

三、平行线的性质1. 平行线具有传递性：如果直线AB与CD平行，CD与EF平行，那么AB与EF也平行。

2. 平行线具有对称性：如果直线AB与CD平行，那么CD与AB也平行。

3. 平行线具有替代性：如果直线AB与CD平行，那么直线EF与CD平行，直线EF与AB也平行。

4. 平行线具有内夹角和外夹角相等的性质：如果直线AB与CD平行，那么直线AB与CD之间的内夹角与直线EF与CD之间的内夹角相等，直线AB与CD之间的外夹角与直线EF与CD之间的外夹角相等。

四、平行线的应用1. 平行线的应用之一是在建筑设计中。

在设计平行线的某个部分时，可以利用平行线的性质来确保建筑物的结构稳定。

2. 平行线的应用之二是在地理测量中。

通过测量地球上两个不相交的纬线或经线，可以确定它们是平行线，从而帮助测量地球的大小和形状。

3. 平行线的应用之三是在数学中的向量运算中。

在向量的加法、减法、数量乘法和向量积等运算中，平行线的性质起到了重要的作用。

总结：本文介绍了平行线的定义、充分条件、性质和应用。

平行线是几何学中的重要概念，具有许多重要的性质和应用。

平行线的判定条件和性质平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。

平行线具有一些独特的判定条件和性质，本文将探讨这些条件和性质，帮助读者更好地理解和应用平行线的概念。

一、判定条件1.等角定理判定：如果两条直线与第三条直线交叉时，所夹的角对应相等或互补，则这两条直线是平行线。

即如果一对对应角相等或互补，则直线是平行的。

2.同位角定理判定：如果两条直线被一条横截线交叉时，同位角相等，则这两条直线是平行线。

同位角是指在两条直线上，分别位于两条横截线的同一侧且对应的角度。

3.转角定理判定：如果两条直线与第三条直线交叉时，其中一对内转角相等，则这两条直线是平行线。

内转角是指位于两条直线之间的角。

以上三种判定条件都是通过角度的性质来判断直线是否平行，通过角度的相等或特殊关系来推断直线的平行性。

二、性质1.同一平面内的平行线永不相交，并且在平面上的任一点，只有一条与给定直线平行的直线。

2.通过同一个点外一条直线上的垂线与该直线平行，则这两条直线互相平行。

3.平行线具有相同的斜率。

设有两条直线L1和L2，斜率分别为k1和k2，若k1 = k2，则直线L1与L2是平行线。

4.两条平行线被一条横截线所截时，对应角、同位角、内角均相等。

5.平行线间的距离在平面上始终保持不变。

即两条平行线的任意两个对应点的距离都相等。

6.平行线夹在两条直线上的外角是对应角的互补角，内角是对应角的同位角。

以上列举的是平行线的一些常见性质，这些性质在几何学和实际生活中都有广泛的应用。

对于判定两条直线是否平行，可以通过以上提到的判定条件来进行推演。

而了解平行线的性质，可以帮助我们理解形状和图形的关系，进而应用到建筑、工程和设计等领域中。

总结：平行线是几何学中重要的概念之一，判断两条直线是否平行可以通过等角定理、同位角定理和转角定理等几何学定理来确定。

平行线具有一些独特的性质，比如不相交、斜率相等、距离相等等，这些性质在实际生活中有广泛的应用。

两条直线平行的条件平行线的特征主讲：方敏文一周强化一、一周知识概述1、两条直线平行的条件(1)同位角相等，两直线平行；(2)内错角相等，两直线平行；(3)同旁内角互补，两直线平行．上述方法可表述为：如图．(1)如果∠1=∠2，那么AB∥CD；(2)如果∠3=∠2，那么AB∥CD；(3)如果∠2＋∠4=180°，那么AB∥CD．关键是－定要看清哪两条直线被哪－条直线所截形成的同位角或同旁内角或内错角相等或互补，才能正确判断是哪两条直线平行．2、平行线的特征(1)两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，简单地说成“两直线平行，同位角相等”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠l=∠2(两直线平行，同位角相等)．(2)两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，简单地说成“两直线平行，内错角相等”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠2=∠3(两直线平行，内错角相等)．(3)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，简单地说成“两直线平行，同旁内角互补”．可表述为：如图，因为a∥b(已知)，所以∠2＋∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补)．注意：①只要两条直线被第三条直线所截，都存在这三类角，但同位角、内错角不－定相等，同旁内角也不－定互补；②同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，都是平行线的特有性质，在使用时，切不可忽略前提条件“两直线平行”．当两直线不平行时，同位角与内错角就不相等，同旁内角也不互补．3、直线平行的条件与平行线的特征区分几何中，图形之间的“位置关系”－般都与某种“数量关系”有着内在联系，常有“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可以由“数量关系”去确定“位置关系”．正确区分平行线的判定方法和平行线的特征是十分重要的．从表中可以看出，由角的相等或互补关系，得到两直线平行的结论是判定方法；而由两条直线平行，得到角相等或互补关系的结论是平行线的特征．二、典型例题剖析例1、如图，下列条件中，不能判断直线l 1∥l 2的是（ ）A ．∠1=∠3B ．∠2=∠3C ．∠4=∠5D ．∠2＋∠4=180°分析：主要考查平行线的判定条件，在辨认三种角时，抓住截线是关键，即“先辨截线，再判位置”．当∠1=∠3时，由内错角相等，两直线平行可得l 1∥l 2；当∠4=∠5时，由同位角相等，两直线平行可得l 1∥l 2；当∠2＋∠4=180°时，由同旁内角互补可得l 1∥l 2． 答案：B例2、如图，已知AC 平分∠DAB ，∠BAC ＝∠ACB ，那么AD 与BC 平行吗?请写出推理过程．分析：要判定AD与BC平行，应先观察AD与BC被哪条直线所截，然后设法由已知条件推出同位角或内错角相等，或同旁内角互补．本例把AB看作截线，不能得出结论，而把AC看作截线即可推出∠ACB＝∠CAD，从而得出AD∥BC．（关键是要找准截线）解：∵AC平分∠DAB（已知），∴∠BAC＝∠CAD（角平分线定义），∵∠BAC＝∠ACB（已知），∴∠CAD＝∠ACB（等量代换），∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．例3、如图，如果两个角满足某种关系，就可以判断AE∥BF．请你将这样的相关的角写出几组，并说明理由．分析：本题属于条件开放性问题，由于图形比较复杂，很容易找不全所有符合条件的答案．解题时要紧紧抓住判定两条直线平行的三种判定方法，以顶点为出发点来寻找符合条件的两个角．由以B为顶点的∠B，可以得到以下条件：∠B=∠7，∠B=∠6，∠B＋∠BAE=180°；然后再找以C为顶点的角有∠1，∠3，∠BCE和∠ACF(∠2不能和其他角构成符合条件的－组角)，可以得到以下条件：∠1=∠5，∠l＋∠CAG=180°，∠3=∠E，∠BCE＋∠E=180°，∠ACF=∠CAG，∠ACF＋∠5=180°，由此可以得到符合条件的全部答案．解：满足条件的两个角有：(1)∠B=∠7(内错角相等，两直线平行)；(2) ∠B=∠6(同位角相等，两直线平行)；(3) ∠B＋∠BAE=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(4) ∠1=∠5(内错角相等，两直线平行)；(5) ∠1＋∠CAG=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(6) ∠3=∠E(内错角相等，两直线平行)；(7) ∠BCE＋∠E=180°(同旁内角互补，两直线平行)；(8) ∠ACF=∠CAG(内错角相等，两直线平行)；(9) ∠ACF十∠5=180°(同旁内角互补，两直线平行)．小结：以顶点为出发点，有规律、有顺序地寻找符合条件的两角，关键是要从简单情形入手，逐步过渡到复杂情形．例4、如图(1)，线段AB//CD，点P是AB、CD间的－个点．(1)试判断∠A、∠C与∠APC的数量关系；(2)如果点P移动到线段AC的左侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由；(如图(2))(3)如果点P移到两平行线的同侧，那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由．(如图(3))分析：图中虽然有平行线，但是缺少和两条平行线都相交的第三条直线，因此也就没有同位角、内错角的相等关系以及同旁内角的互补关系，如何构造出这三类角，充分利用平行线的性质是解决问题的关键，因此，需要构造满足平行线的性质的基本图形．解：(1) ∠A＋∠C=∠APC．理由：如图(1)，过P作直线PM∥AB．由AB//PM，得∠A=∠APM．由AB//CD，PM//AB，得CD//PM．于是∠C=∠CPM．而∠APC=∠CPM＋∠APM，故∠APC=∠A＋∠C；(2)不成立，∠BAP＋∠PCD＋∠APC=360°．理由：如图(2)，过P作PM//AB，而AB∥CD，所以AB∥PM∥CD．所以∠1＋∠BAP=180°，∠2＋∠PCD=180°．所以∠1＋∠BAP＋∠2＋∠PCD=180°×2=360°，即∠APC＋∠BAP＋∠PCD=360°；(3)不成立．∠APC=∠C－∠A．理由：如图(3)，过P作PM∥AB，从而知PM∥AB∥CD，于是有∠MPA=∠A，∠MPC=∠C，而∠MPC=∠MPA＋∠APC，故∠C=∠A＋∠APC．即∠APC=∠C－∠A．小结：两条平行线中出现折线时，过折线的折点作平行线是解决问题的关键．。

苏科版七年级数学下册《7-1探索直线平行的条件（1）》优秀教学设计一. 教材分析《7-1探索直线平行的条件（1）》是苏科版七年级数学下册的一个重要章节。

本章节主要引导学生探索直线平行的条件，通过实验和证明，让学生了解和掌握平行线的性质。

教材中安排了丰富的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了基本的数学运算能力和一定的几何知识。

但是，对于直线平行的概念和性质，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际问题中抽象出直线平行的概念，并通过实验和证明让学生理解和掌握平行线的性质。

三. 教学目标1.让学生了解直线平行的概念，能够识别平行线。

2.引导学生通过实验和证明探索直线平行的条件。

3.培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.直线平行的概念和识别。

2.探索直线平行的条件，并能够运用到实际问题中。

五. 教学方法1.实验法：通过引导学生进行实验，让学生直观地了解直线平行的性质。

2.证明法：通过证明过程，让学生深入理解直线平行的条件。

3.实例教学法：通过实际问题，让学生运用所学知识解决问题。

六. 教学准备1.准备相关的实验器材，如直尺、三角板等。

2.准备一些实际的例子，用于引导学生理解和运用直线平行的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，引导学生关注直线平行的现象，并提出问题：“什么是平行线？如何判断两条直线是否平行？”2.呈现（10分钟）介绍直线平行的概念，并展示一些平行线的图片，让学生识别。

同时，解释平行线的性质，如同位角相等、内错角相等等。

3.操练（15分钟）引导学生进行实验，观察和记录平行线的性质。

可以使用直尺和三角板搭建不同的图形，让学生通过观察和测量来验证平行线的性质。

4.巩固（10分钟）给出一些实际的例子，让学生运用所学知识解决问题。

可以通过小组合作的方式，让学生互相讨论和解答问题。

5.拓展（10分钟）引导学生进一步探索直线平行的条件，如通过给出两条直线的斜率，让学生判断它们是否平行。

苏科版数学七年级下册7.1《探索直线平行的条件》教学设计2一. 教材分析《探索直线平行的条件》是苏科版数学七年级下册第七章第一节的内容。

本节课主要让学生通过探索，理解并掌握直线平行的条件。

学生在学习了直线、射线、线段的基础上，进一步探索直线平行的条件，有助于提高他们的空间想象能力和抽象思维能力。

教材通过实例引入，引导学生探究并发现直线平行的条件，然后通过练习巩固所学知识。

二. 学情分析七年级的学生已经学习了直线、射线、线段等基础知识，对图形的认识有一定的基础。

但是，他们对直线平行的条件的理解和应用还需要进一步的引导和培养。

此外，学生的空间想象能力和抽象思维能力有待提高，因此，在教学过程中，需要通过实例和操作活动，让学生在实践中理解和掌握直线平行的条件。

三. 教学目标1.理解直线平行的概念，掌握直线平行的条件。

2.能够运用直线平行的条件判断两直线是否平行。

3.培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.重点：直线平行的条件。

2.难点：直线平行的条件的运用和理解。

五. 教学方法1.实例引入：通过生活中的实例，引导学生关注直线平行的现象，激发学生的学习兴趣。

2.合作学习：分组讨论，让学生在合作中发现问题、解决问题，培养学生的团队协作能力。

3.操作活动：让学生动手操作，通过实践加深对直线平行条件的理解。

4.引导发现：教师引导学生发现直线平行的条件，培养学生的抽象思维能力。

六. 教学准备1.准备实例：收集生活中的直线平行的实例。

2.准备教学工具：黑板、粉笔、直尺、三角板等。

3.准备练习题：设计一些有关直线平行的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实例，如自行车的车轮、铁轨等，引导学生关注直线平行的现象，激发学生的学习兴趣。

提问：你们在生活中还见过哪些直线平行的例子？2.呈现（10分钟）展示直线平行的图片，让学生观察并说出直线平行的特点。

教师引导学生用语言描述直线平行的条件。