(江苏专用)2019届高考数学总复习 考前三个月 中档大题规范练6 圆锥曲线 理

高考一轮复习备考试题(附参考答案)圆锥曲线一、填空题1、（2013年江苏高考）双曲线的两条渐近线的方程为。

2、（2012年江苏高考）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为▲．3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为。

4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为▲5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）抛物线的焦点坐标为▲．6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点相同则此双曲线的渐近线方程为▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为▲8、（南通市2014届高三第三次调研）在平面直角坐标系中，曲线的离心率为,且过点,则曲线的标准方程为▲．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线的一个焦点为（5，0），则实数m = ▲10、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为▲． 11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为▲二、解答题1、（2014年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2 分别是椭圆的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.（1） 若点C 的坐标为（，），且BF 2 =，求椭圆的方程；（2） 若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值。

高考一轮复习备考试题(附参考答案)圆锥曲线一、填空题1、（2013年江苏高考）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 。

2、（2012年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ▲ ．3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 。

4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）抛物线24y x =的焦点坐标为 ▲ ．6、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为 ▲ 8、（南通市2014届高三第三次调研）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的离心率为2,且过点(1,2),则曲线C 的标准方程为 ▲ ．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2219x y m-=的一个焦点为（5，0），则实数m = ▲10、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知点(1,0)P 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的距离为12，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ Y二、解答题1、（2014年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2 分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.（1） 若点C 的坐标为（，），且BF 2 =，求椭圆的方程；（2） 若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值。

圆锥曲线一、填空题1、（2018江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为3c ，则其离心率的值是 ． 2、（2017江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线1322=-y x 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是 ．3、（2016江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是_______ _______.4、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 216－y 29＝1的焦点到其渐近线的距离为 ．5、在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则该双曲线的离心率为．6、直线30x y -=为双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线，则b 的值为 ▲ ．7、双曲线22143x y -=的渐近线方程为 ． 8、在平面直角坐标系xOy 中，点(2,4)P -到抛物线28y x =-的准线的距离为 ．9、若双曲线()2210x y m m-=>的右焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则m 的值是10、双曲线2213y x -=的离心率为 ．11、已知点P 是圆22:4O x y +=上的动点，点(4,0)A ，若直线1y kx =+上总存在点Q ，使点Q 恰是线段AP 的中点，则实数k 的取值范围为 ．12、在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2221(0)12x y b b-=>的焦点到渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为 ．13、已知双曲线1222=-y a x 左焦点与抛物线x y 122-=的焦点重合，则双曲线的右准线方程为14、如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2b y = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=o ,则该椭圆的离心率是 .15、抛物线)0(22>=p py x 的准线方程为21-=y ，则抛物线方程为 16、双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的右焦点为F ，直线x y 34=与双曲线相交于A 、B 两点。

高考数学精品复习资料2019.5江苏省20xx 年高考一轮复习备考试题圆锥曲线一、填空题1、（20xx 年江苏高考）双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 。

2、（20xx 年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为 ▲ ．3、（20xx 年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 。

4、（20xx 届江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ，则该双曲线的离心率为 ▲5、9月调研）抛物线24y x =的焦点坐标为 ▲ ．6、（20xx 届江苏苏州高三9月调研）已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲7、（南京市20xx 届高三第三次模拟）已知抛物线y 2＝2px 过点M (2，2)，则点M 到抛物线焦点的距离为 ▲8、（南通市20xx 届高三第三次调研）在平面直角坐标系xOy中，曲线C 且过点,则曲线C 的标准方程为 ▲ ．9、（苏锡常镇四市20xx 届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2219x y m-=的一个焦点为（5，0），则实数m = ▲Y10、（徐州市20xx 届高三第三次模拟）已知点(1,0)P 到双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线的距离为12，则双曲线C 的离心率为 ▲ ．11、（南京、盐城市20xx 届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝4x 的准线相交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为2，则双曲线的离心率为 ▲ 二、解答题1、（20xx 年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1、F 2 分别是椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的左、右焦点，顶点B 的坐标为（0，b ），连结BF 2交椭圆于点A,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C.（1） 若点C 的坐标为（，），且BF 2 =，求椭圆的方程；（2） 若F 1C ⊥AB,求椭圆离心率e 的值。

中档大题规范练中档大题规范练1　三角函数1.(2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cos B .(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝，求角A 的大小.a 24(1)证明　由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B ).又A ，B ∈(0，π)，故0＜A －B ＜π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(2)解　由S ＝得ab sin C ＝，a 2412a 24故有sin B sin C ＝sin A ＝sin 2B ＝sin B cos B ，1212由sin B ≠0，得sin C ＝cos B .又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝±B .π2当B ＋C ＝时，A ＝；π2π2当C －B ＝时，A ＝.π2π4综上，A ＝或A ＝.π2π42.(2016·北京)已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f (x )的单调递增区间.解　(1)f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx ＝sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝＝sin ，2(22sin 2ωx ＋22cos 2ωx )2(2ωx ＋π4)由ω＞0，f (x )的最小正周期为π，得＝π，解得ω＝1.2π2ω(2)由(1)得f (x )＝sin，2(2x ＋π4)令－＋2k π≤2x ＋≤＋2k π，k ∈Z ，π2π4π2解得－＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z ，3π8π8即f (x )的单调递增区间为(k ∈Z ).[－3π8＋k π，π8＋k π]3.已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1，x ∈R .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移个单位后，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，π4纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )的最大值及取得最大值时x 的集合.解　(1)f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1＝sin 2x －cos 2x ＝sin(2x －)，2π4令2k π－≤2x －≤2k π＋(k ∈Z )，π2π4π2解得k π－≤x ≤k π＋(k ∈Z )，π83π8故函数f (x )的单调递增区间为[k π－，k π＋](k ∈Z ).π83π8(2)由已知，得g (x )＝sin(x ＋)，2π4∴当sin(x ＋)＝1，即x ＋＝2k π＋(k ∈Z )，π4π4π2也即x ＝2k π＋(k ∈Z )时，g (x )max ＝.π42∴当{x |x ＝2k π＋(k ∈Z )}时，g (x )的最大值为.π424.(2016·四川)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且＋＝.cos A a cos B b sin Cc (1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝bc ，求tan B .65(1)证明　根据正弦定理，可设＝＝＝k (k >0)，a sin Ab sin B csin C 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入＋＝中，有cos A a cos B b sin Cc ＋＝，变形可得cos A k sin A cos B k sin B sin Ck sin C sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B ).在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C .所以sin A sin B ＝sin C .(2)解　由已知，b 2＋c 2－a 2＝bc ，根据余弦定理，有65cos A ＝＝.b 2＋c 2－a 22bc 35所以sin A ＝＝.1－cos2A 45由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin B ＝cos B ＋sin B .454535故tan B ＝＝4.sin Bcos B 5.已知向量m ＝(sin x ，cos x )，n ＝(cos x ，cos x )，x ∈R ，设f (x )＝m·n .3(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a ＝1，b ＋c ＝2，f (A )＝1，求△ABC 的面积.解　(1)f (x )＝m·n ＝sin x cos x ＋cos 2x3＝sin 2x ＋cos 2x ＋321212＝sin(2x ＋)＋，π612由－＋2k π≤2x ＋≤＋2k π，k ∈Z ，π2π6π2可得，－＋k π≤x ≤＋k π，k ∈Z ，π3π6∴函数f (x )的单调递增区间为[－＋k π，＋k π]，k ∈Z .π3π6(2)∵f (A )＝1，∴sin(2A ＋)＝，π612∵0<A <π，∴<2A ＋<，π6π613π6∴2A ＋＝，∴A ＝.π65π6π3由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得1＝b 2＋c 2－2bc cos ＝4－3bc ，π3∴bc ＝1，∴S △ABC ＝bc sin A ＝.1234。

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2019全国高考 - 圆锥曲线部分汇编(2019北京理数) （4）已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（A)a 2=2b 2（B ）3a 2=4b2(C ）a =2b (D ）3a =4b(2019北京理数） （18）（本小题14分）已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点(2，−1）． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程;（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．(2019北京文数） （5)已知双曲线2221x y a-=(a >0)a =（ （B)4（C ）2（D)12(2019北京文数） （11）设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ．则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．(2019北京文数） （19）（本小题14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若｜OM ｜·｜ON ｜=2，求证：直线l 经过定点．（2019江苏) 7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点(3，4),则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .（2019江苏） 17．(本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ,连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．(2019全国Ⅰ理数) 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，(),过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=(2019全国Ⅰ理数) 16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =,120FB F B ⋅=,则C 的离心率为____________．(2019全国Ⅰ理数） 19．（12分）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1)若｜AF |+｜BF ｜=4，求l 的方程； (2）若3AP PB =，求|AB ｜．（2019全国Ⅰ文数） 10．双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒(2019全国Ⅰ文数） 12．已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=(2019全国Ⅰ文数） 21.（12分）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称,│AB │ =4，⊙M 过点A ,B 且与直线x +2=0相切．（1）若A 在直线x +y =0上,求⊙M 的半径；（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │-│MP │为定值？并说明理由．(2019全国Ⅱ理数)1. 若抛物线13)0(2222=+>=py p x p px y 的焦点是椭圆的一个焦点，则p=________A 。

中档题专练(六)1.在平面直角坐标系xOy中,设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P(x1,y1),将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转后与单位圆交于点Q(x2,y2),记f(α)=y1+y2.(1)求函数f(α)的值域;(2)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=,且a=,c=1,求b.2.(2018南京、盐城高三年级第二次模拟考试)调查某地居民每年到商场购物次数m与商场面积S、到商场距离d的关系,得到关系式m=k×(k为常数,k>0),如图,某投资者计划在与商场A相距10km 的新区新建商场B,且商场B的面积与商场A的面积之比为λ(0<λ<1).记“每年居民到商场A购物的次数”与“每年居民到商场B购物的次数”分别为m1、m2,称满足m1<m2的区域为商场B相对于A 的“更强吸引区域”.(1)已知P与A相距15km,且∠PAB=60°,当λ=时,居住在P点处的居民是否在商场B相对于A的“更强吸引区域”内?请说明理由;(2)若要使与商场B相距2km以内的区域(含边界)均为商场B相对于A的“更强吸引区域”,求λ的取值范围.3.(2018江苏南通模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P(3,1)在椭圆上,△PF1F2的面积为2.( )①求椭圆C的标准方程;②若∠F1QF2=,求QF1·QF2的值.(2)直线y=x+k与椭圆C相交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点,求实数k的值.答案精解精析1.解析(1)由题意得y1=sinα,y2=sin=cosα,所以f(α)=sinα+cosα=sin,因为α∈0,所以α+∈,,故f(α)的值域为(1,].(2)因为f(C)=sin C=,且易知C∈0,所以C=,在△ABC中,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,即1=2+b2-2 ×b,解得b=1.2.解析设商场A、B的面积分别为S1km2、S2km2,点P到A、B的距离分别为d1km、d2km, 则S2=λS1(0<λ<1),m1=k,m2=k,k为常数,k>0.(1)在△PAB中,AB= 0,PA= 5,∠PAB=60°,由余弦定理,得=PB2=AB2+PA2- AB·PAcos60°= 02+152- × 0× 5×=175.又=PA2=225,则m1-m2=k-k=k-k=kS1-,将λ=,=225,=175代入,得m1-m2=kS15-50.因为kS1>0,所以m1>m2,即居住在P点处的居民不在商场B相对于A的“更强吸引区域”内. (2)以A为原点,AB所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(10,0),设P(x,y),由m1<m2得k<k,将S2=λS1代入,得<λ.代入坐标,得(x-10)2+y2<λ(x2+y2),化简得(1-λ)x2+(1-λ)y2-20x+100<0,配方得- 0+y2< 0,所以商场B相对于A的“更强吸引区域”是圆心为C 0,0,半径为r1= 0km的圆的内部,与商场B相距2km以内的区域(含边界)是以B(10,0)为圆心,r2=2km为半径的圆的内部及圆周.由题设知圆B内含于圆C,即BC<|r1-r2|.因为0<λ<1,所以 0-10< 0-2,整理得4λ-5+1<0,解得<λ<1.6所以,所求λ的取值范围是, .63.解析( )①由条件可知+=1,c=2,又a2=b2+c2,所以a2=12,b2=4,所以椭圆C的标准方程为+=1.②当∠F1QF2=时,Q ,Q Q·Q c)所以QF1·QF2= 6.得4x2+6kx+3k2-12=0, (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由,则x1+x2=-,x1x2=-,y1y2=-.因为以AB为直径的圆经过坐标原点,则·=x1x2+y1y2=k2-6=0, 解得k=±6,此时Δ=120>0,满足条件,因此k=±6.。

考纲要求（1）圆锥曲线① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质； ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质； ④ 了解圆锥曲线的简单应用； ⑤ 理解数形结合的思想。

（2）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。

基本知识回顾（1）椭圆① 椭圆的定义设F1，F2是定点（称焦点），P 为动点，则满足|PF1|+|PF2|=2a (其中a 为定值，且2a ＞|F1F2|)的动点P 的轨迹称为椭圆,符号表示：|PF1|+|PF2|=2a （2a ＞| F1F2|)。

② 椭圆的标准方程和几何性质 焦点在x 轴上的椭圆焦点在y 轴上的椭圆标准方程22a x +22by =1（a ＞b ＞0）22a y +22bx =1（a ＞b ＞0）范围x [,][,]a a y b b ∈-∈-[,][,]x b b y a a ∈-∈-图形对称性 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点顶点1212(,0),(,0)(,0),(,0)A a A aB b B b --1212(0,),(0,)(0,),(0,)A a A aB b B b --轴 长轴A 1A 2的长为：2a 短轴B 1B 2的长为：2b焦距 F 1F 2=2c离心率e ,(0,1)ce a=∈ a,b,c 关系 222a b c =+例题例1：椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 。

变式1：已知12F 、F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，p 为椭圆C 上的一点，且→→⊥21PF PF 。

若12PF F ∆的面积为9，则b = 。

例2：若点P 到点F (4,0)的距离比它到定直线x +5=0的距离小1，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．y 2=16-xB ．y 2=32-xC ．y 2=16xD ．y 2=32x变式2：动圆与定圆A ：(x +2)2+y 2=1外切，且与直线∶x =1相切，则动圆圆心P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线变式3：抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82=B ．y x 42=C ．y x 42-=D ． y x 82-=变式4：在抛物线y 2=2x 上有一点P ，若 P 到焦点F 与到点A （3，2）的距离之和最小，则点P 的坐标是 。

江苏省各地2019届高三下学期模拟考试数学试题分类汇编：圆锥曲线一、填空题1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是抛物线24y x=与双曲线2221(0)4x y b b-=>的一个交点.若抛物线的焦点为F ，且5FA =，则双曲线的渐进线方程为 .2、（南京市2019届高三第三次模拟）平面直角坐标系xOy 中，过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作一条渐近线的平行线，交另一条渐近线于点P ．若线段PF 的中点恰好在此双曲线上，则此双曲线的离心率为 ▲ ．3、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））已知双曲线221(0)x y m m-=>的一条渐近线方程为x ＋3y ＝0，则m ＝＿＿ 4、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22(0)=>y px p 的准线为l ，直线l 与双曲线2214x y -=的两条渐近线分别交于A ，B 两点，6AB =，则p 的值为 ▲ ．5、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的右顶点(20)A ，到渐近线的 距离为2，则b 的值为 ▲ ．6、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221y x a b-=（00a b >>，）的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为4ab ，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 7、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已知双曲线C 的方程为2214x y -=，则其离心率为 ．8、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））抛物线24y x =的焦点坐标为 ． 9、（盐城市2019届高三第三次模拟）双曲线1222=-y x 的焦距为______.10、（江苏省2019年百校大联考）双曲线的两个焦点为1F ，2F ，以12F F 为边作正方形12F F MN ，且此双曲线恰好经过边1F N 和2F M 的中点，则此双曲线的离心率为 ． 11、（盐城市2019届高三第三次模拟）设A ，F 分别为椭圆1:2222=+b y a x C )0(>>b a 的右顶点和右焦点，21,B B 为椭圆C 短轴的两个端点，若点F 恰为21B AB ∆的重心，则椭圆C 的离心率的值为_____. 参考答案 1、2、23、94、265、26、27、8、(1,0) 9、23 10、512+ 11、13二、解答题1、（南京市、盐城市2019届高三第二次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，且椭圆C 短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点(2,0)P 的直线l 交椭圆C 于,A B 两点，点(,0)Q m . ①若对任意直线l 总存在点Q ，使得QA QB =，求实数m 的取值范围； ②设点F 为椭圆C 的左焦点，若点Q 是FAB 的外心，求实数m 的值.2、（南京市2019届高三第三次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，离心率为22．A ，B 分别是椭圆C 的上、下顶点，M 是椭圆C 上异于A ，B 的一点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 在直线x －y ＋2＝0上，且BP →＝3BM →，求△PMA 的面积；（3）过点M 作斜率为1的直线分别交椭圆C 于另一点N ，交y 轴于点D ，且D 点在线段OA 上（不包括端点O ，A ），直线NA 与直线BM 交于点P ，求OD →·OP →的值．3、（南通、如皋市2019届高三下学期语数英学科模拟（二））在平面直角坐标系xoy 中点，点A ，F分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>左顶点，右焦点，椭圆C 的右准线与x 轴相交于点Q ，已知右焦点F 恰为AQ 的中点，且椭圆C 的焦距为2。

专题12 圆锥曲线与方程一、曲线与方程的概念一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下的关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 二、坐标法（直接法）求曲线方程的步骤 求曲线的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件p 的点M 的集合{|()}P M p M =； （3）用坐标表示条件p (M )，列出方程(,)0f x y =； （4）化方程(,)0f x y =为最简形式；（5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一般地，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写．若遇到某些点虽适合方程，但不在曲线上时，可通过限制方程中x ，y 的取值范围予以剔除．另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程． 三、椭圆的定义平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点P 的轨迹是椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作122F F c =． 定义式：12122(2)PF PF a a F F +=>．要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆．四、椭圆的标准方程焦点在x 轴上，22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在y 轴上，22221(0)y xa b a b+=>>．说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道,,a b c 之间的大小关系和等量关系：222,0,0a c b a b a c -=>>>>．五、椭圆的图形及其简单几何性质 1．图形焦点在x 轴上焦点在y 轴上2．椭圆的简单几何性质【必记方法】求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出a 与c ，然后利用ce a=计算求得离心率；或者根据已知条件建立关于,,a b c 的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围．【必记结论】（1）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点,()P x y ，则当0x ＝时，||OP 有最小值b ，P 点在短轴端点处；当x a =±时，||OP 有最大值a ，P 点在长轴端点处． （2）已知过焦点F 1的弦AB ，则2ABF △的周长为4a ． 六、双曲线的定义和标准方程1．双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：1212202，MF MF a a F F =<-<． （3）当122MF MF a -=时，曲线仅表示焦点2F 所对应的双曲线的一支； 当122MF MF a -=-时，曲线仅表示焦点1F 所对应的双曲线的一支； 当12||2a F F =时，轨迹为分别以F 1，F 2为端点的两条射线； 当12||2a F F >时，动点轨迹不存在．学科=网 2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在x 轴上的双曲线的标准方程为22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，焦距为2c ，且222c a b =+，如图1所示；（2）焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为22221y x a b-=(a ＞0，b ＞0)，焦点分别为F 1(0，－c )，F 2(0，c )，焦距为2c ，且222c a b =+，如图2所示．图1 图2注意：双曲线方程中a ，b 的大小关系是不确定的，但必有c ＞a ＞0，c ＞b ＞0． 【必记结论】（1）焦点到渐近线的距离为b ．（2）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为2222(0,x y a a bλ-=>0,0)b λ>≠． （3）若双曲线的渐近线方程为n y x m =±，则双曲线方程可设为2222(0,0,0)x y m n m nλλ-=>>≠或2222(0,0,0)m n x m y n λλ-=>>≠．（4）与双曲线22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)共焦点的双曲线方程可设为22221(0,0,x y a b a k b k-=>>-+22)b k a <-<．（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为()2210mx ny mn +=<．（6）与椭圆22221x y a b +=(a >b >0)有共同焦点的双曲线方程可设为22221(0,x y a b a b λλ+=>>--22)b a λ<<． 七、双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质2．等轴双曲线的概念和性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：（1）方程形式为22(0)x y λλ-=≠；（2）渐近线方程为y x =±，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于2a ，离心率e=．八、抛物线 1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F 与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．注意：直线l 不经过点F ，若l 经过F 点，则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线． 2．抛物线的标准方程与几何性质注意：抛物线标准方程中参数p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p 的值永远大于0，当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p ＜0的错误． 3．抛物线的焦半径抛物线上任意一点00(),P x y 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径．根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：4．抛物线的焦点弦抛物线的焦点弦即过焦点F 的直线与抛物线所成的相交弦．焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，再利用两点间的距离公式得到，设AB 为焦点弦，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A ，B 两点的线段AB ，称为抛物线的通径． 对于抛物线22(0)y px p =>，由(,)2p A p ，(,)2pB p -，可得||2AB p =，故抛物线的通径长为2p ． 【必记结论】直线AB 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如图：（1）y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24．（2）|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2≥＝p ，即当x 1＝x 2时，弦长最短为2p ． （3）1|AF |＋1|BF |为定值2p ．（4）弦长AB ＝2psin 2α(α为AB 的倾斜角)． （5）以AB 为直径的圆与准线相切．（6）焦点F 对A ，B 在准线上射影的张角为90°． 九、直线与圆锥曲线的位置关系 1．曲线的交点在平面直角坐标系xOy 中，给定两条曲线12,C C ，已知它们的方程为12:(,)0,:(,)0C f x y C g x y ==，求曲线12,C C 的交点坐标，即求方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的实数解．方程组有几组实数解，这两条曲线就有几个交点．若方程组无实数解，则这两条曲线没有交点． 2．直线与圆锥曲线的交点个数的判定设直线:0l Ax By C ++=，圆锥曲线:(,)0C f x y =，把二者方程联立得到方程组，消去()y x 得到一个关于()x y 的方程220(0)ax bx c ay by c ++=++=． （1）当0a ≠时，0∆>⇔方程有两个不同的实数解，即直线与圆锥曲线有两个交点； 0∆=⇔方程有两个相同的实数解，即直线与圆锥曲线有一个交点； 0∆<⇔方程无实数解，即直线与圆锥曲线无交点．学科+网（2）当a =0时，方程为一次方程，若b ≠0，方程有一个解，此时直线与圆锥曲线有一个交点； 若b =0，c ≠0，方程无解，此时直线与圆锥曲线没有交点． 3．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线相交时，直线与椭圆有两个公共点，与双曲线、抛物线有一个或两个公共点．（1）直线与椭圆有两个交点⇔相交；直线与椭圆有一个交点⇔相切；直线与椭圆没有交点⇔相离． （2）直线与双曲线有两个交点⇔相交．当直线与双曲线只有一个公共点时，除了直线与双曲线相切外，还有可能是直线与双曲线相交，此时直线与双曲线的渐近线平行．（3）直线与抛物线有两个交点⇔相交．当直线与抛物线只有一个公共点时，除了直线与抛物线相切外，还有可能是直线与抛物线相交，此时直线与抛物线的对称轴平行或重合． 直线与抛物线没有交点⇔相离． 十、圆锥曲线中弦的相关问题 1．弦长的求解（1）当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解；（2）当直线的斜率存在时，斜率为k 的直线l 与圆锥曲线C 相交于1122(,),(,)A x y B x y 两个不同的点，1212||||(0)x x y y k=-=-≠．（3）当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．2．中点弦问题（1）AB为椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的弦，1122(,),(,)A x yB x y，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为22b xka y=-，弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值22ba-．（2）AB为双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的弦，1122(,),(,)A x yB x y，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为22b xka y=，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值22ba．（3）在抛物线22(0)y px p=>中，以M(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率pky=．1．在平面直角坐标系xOy中，双曲线22173x y-=的焦距是________________．2．已知点F是抛物线y2=4x的焦点，M、N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN中点的横坐标为________________．3．以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是________________．4．双曲线2213yx-=的渐近线方程为________________．5．离心率为23，长轴长为6的椭圆的标准方程是________________．6．已知抛物线上一点Q，且Q点到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离是________________．7．已知椭圆的一个焦点为抛物线y2=8x 的准线与其对称轴的交点，且椭圆的离心率为，则椭圆的方程为________________．8．已知点M (-3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2=2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ|-|QF|的最小值是________________． 9．若抛物线y 2=2px的焦点与双曲线﹣y 2=1的右顶点重合，则p =________________．10．已知点P 是直线x-2y+3=0上的一个动点，定点M (-1，2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM|=|MQ|，则点Q 的轨迹方程是________________． 11．已知双曲线的一支C ：y =和直线l ：y =kx ，若l 与C 有两个不同的交点A ，B ，则线段AB 的中点的轨迹方程为________________． 12．已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，过的直线交于两点，若1AF B △的周长为的方程为________________．13．已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的一个焦点与抛物线的焦点重合，则________________．14．已知过抛物线x =4y 2的焦点F 的直线交该抛物线于M 、N 两点，且|MF|=18，则|MN|=________________．15．已知抛物线C ：y 2=ax (a >0)的焦点为F ，点A (0，1)，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |=1∶3，则实数a 的值为________________．16．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213xy -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是________________．17．已知点()2,0F 是双曲线2233(0)x my m m -=>的一个焦点，则此双曲线的离心率为________________．18．已知椭圆+=1的两个焦点是F 1，F 2，点P 在该椭圆上，若|PF 1|-|PF 2|=2，则12PF F △的面积是________________．19．设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是________________．20．过双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A ．若以C的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为________________． 21．已知O 是坐标原点，F 是椭圆+=1的一个焦点，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于M ，N 两点，则cos ∠MON 的值为________________．22．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作倾斜角为135°的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若AB BC =，则双曲线的渐近线方程为________________． 23．若F 1，F 2分别是双曲线8x 2-y 2=8的左、右焦点，点P 在该双曲线上，且12△PF F 是等腰三角形，则12△PF F 的周长为________________．24．已知是双曲线22:14y C x -=的右焦点，的右支上一点到一条渐近线的距离为2，在另一条渐近线上有一点满足，则________________． 25．已知抛物线的焦点为，准线方程是．（1）求此抛物线的方程； （2）设点在此抛物线上，且，若为坐标原点，求△OFM 的面积．26．已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2．直线l：y=kx+m(m≠0)与椭圆相交于不同的A，B两点．（1）求椭圆的方程；（2）若线段AB中点的横坐标为，求k的值．27．设A，B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，且满足OA⊥OB(O为坐标原点)．（1）求证：A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积都为定值；（2）求证：直线AB经过一个定点．28．已知椭圆C ：22221()0x y a b a b +=>>，四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（–1），P 4（1）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．（1）求轨迹方程时，若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程．理解解析几何中有关曲线的定义是解题的关键．利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．（2）求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解．用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为220(1mx ny m +>＝0n >且)m n ≠．（3）在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化及应用．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混．（4）求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合222c a b =+和ce a=，得到关于e 的不等式，求解即得．注意区分双曲线离心率的范围1()e ∈+∞,，椭圆离心率的范围)1(0e ∈，．另外，在建立关于e 的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用．（5）与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是p 与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键．（6）定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明．解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等．1．若双曲线22412x y -=1的左焦点为F ，点P 是双曲线右支上的动点，A (1，4)，则|PF|+|P A|的最小值是________________．2．已知圆()()22:341E x y m -++-=（m ∈R ），当m 变化时，圆E 上的点与原点O 的最短距离是双曲线2222:1x y C a b -=（00a b >>，）的离心率，则双曲线C 的渐近线方程为________________．3．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为________________．4．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP △的面积为________________． 5．已知点是抛物线上一点，设点到此抛物线准线的距离是，到直线的距离为，则的最小值是________________．6．设F 为抛物线C ：x 2=12y 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上不同的三点，若++=0，则|F A|+|FB|+|FC|=________________． 7．已知点分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为则双曲线离心率的取值范围是________________．8．已知抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的两个动点A ，B 始终满足∠AFB =60°，过弦AB 的中点H 作抛物线的准线的垂线HN ，垂足为N ，则HN AB的取值范围为________________．9．已知F 1，F 2为椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆的长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若2ABF △为正三角形，则椭圆的离心率为________________．10．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且ππ[,]126α∈，则该椭圆的离心率e 的取值范围为________________．11．P 是椭圆22154x y +=上的一点，F 1和F 2是椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝30°，则12F PF △的面积为________________．12．已知椭圆C ：+=1，过点M (1，0)的直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，若=2，则直线l 的斜率为________________．13．已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为________________．14．已知点是椭圆上一点，是椭圆的焦点，且满足，则12MF F △的面积为________________．15．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________________．16．设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP = ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x yE a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．（注：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的准线方程：2a x c=±）18．设椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12．已知A是抛物线22(0)y px p=>的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12．（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；学科+网（2）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D．若APD△AP的方程．1．【答案】【解析】222227,3,7310,2a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴= ．【名师点睛】本题重点考查双曲线的几何性质，而双曲线的几何性质与双曲线的标准方程息息相关，明确双曲线标准方程中各个量的对应关系是解题的关键，22221(0,0)x y a b a b-=>>揭示焦点在x 轴，实轴长为2a ，虚轴长为2b，焦距为2c =，渐近线方程为b y x a =±，离心率为c a =．2．【答案】2 【解析】由题意得，令，由抛物线的几何意义得|MF |+|NF |=6=，可得，所以MN 中点的横坐标为1222x x +=．5．【答案】22195x y +=或22159x y +=【解析】由题意知263223a a b c e c a =⇒=⎧⎪⇒=⎨==⇒=⎪⎩，当焦点在x 轴上时，22195x y+=；当焦点在y 轴上时，22159x y +=．6．【答案】8【解析】由题意可知，抛物线的焦点为(,0)2p，准线方程为所以，所以焦点到准线的距离是．7．【答案】+=1【解析】抛物线28y x =的准线方程为x =-2，故椭圆的左焦点坐标为(-2，0)，显然椭圆的焦点在x 轴上，且c =2．因为离心率为，所以a =4，故b 2=a 2-c 2=12，从而椭圆的方程为+=1．8．【答案】52【解析】抛物线的准线方程为x =12-，当MQ ∥x 轴时，|MQ|-|QF|取得最小值，此时|MQ|-|QF|=|2+3|-|2+12|=52． 9．【答案】4【解析】由双曲线﹣y 2=1可得a=2，则双曲线的右顶点为(2，0)，则22p=，所以p=4． 10．【答案】x-2y+7=0【解析】设P (x 0，y 0)，则x 0-2y 0+3=0 (*)．又设Q (x ，y )，由|PM|=|MQ|，知点M 是线段PQ 的中点，则001222x x y y +⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即(**)．将(**)代入(*)，得(-2-x )-2(4-y )+3=0，即x-2y+7=0．11．【答案】(x-)2-y 2=(x >2)【解析】设AB 的中点为M (x 0，y 0)，联立y kxy =⎧⎪⎨=⎪⎩，得(k 2-1)y 2+2ky-2k 2=0，则y 0=，x 0=，消去k 得-=x 0，因为2220201201k k k k ∆⎧⎪>⎪-⎪>⎨-⎪⎪->⎪-⎩，所以<k <1，得x 0>2，所以AB 的中点的轨迹方程是(x-)2-y 2=(x >2)．12．【答案】【解析】由已知得，解得，．13．【答案】1【解析】抛物线的焦点坐标为(2，0)，即为双曲线2221(0)3x y a a -=>的一个焦点，所以，则a=1．15．【答案】【解析】依题意得焦点F 的坐标为(，0)，设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK ，由抛物线的定义知|MF |=|MK |，因为|FM |∶|MN |=1∶3，所以|KN |∶|KM |=2∶1，又01404FN k a a --==-，k FN =-=-2，所以4a=2，解得a =．16．【答案】【解析】右准线方程为x ==，渐近线方程为y x =，设P ，则Q ，1(F ，2F ，则S ==．【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221(0,0)x y a b a b -=>>求渐近线：22220x y b y x a b a-=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222(0)m x y λλ-=≠；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，垂足为对应准线与渐近线的交点． 17．【答案】2【解析】将双曲线2233(0)x my m m -=>的方程化为标准方程可得2213x y m -=，故23c m =+，即34m +=，得1m =，故双曲线的离心率为2ce a==．19．【答案】(0,1][9,)+∞【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ，则tan 60ab≥= ，≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ，则tan 60a b ≥=≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞ ． 20．【答案】221412x y -=【解析】设双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，则F (c ，0)(其中c=)，且c =|OF|=r =4．由x a b y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩可得y =b ，则A (a ，b )．由|F A|=r =4，得=4，即a 2-8a+16+b 2=16，所以c 2-8a =0，即8a =c 2=42，解得a =2，b 2=c 2-a 2=16-4=12，故所求双曲线的方程为221412x y -=．21．【答案】513-【解析】由题意，a 2=4，b 2=3，故c ===1．不妨设M (1，y 0)，N (1，-y 0)，所以+=1，解得y 0=±32，所以|MN |=3，|OM |=|ON=．由余弦定理知cos ∠MON =513 =-．22．【答案】(+1)x±y=0【解析】由题意知直线过点A(a，0)，且斜率k=tan135°=-1，则直线的方程为x+y-a=0．将该直线方程分别与两渐近线方程联立，解得B()，C(，-)，则有=(，2222a ba b--)，=(aba b-+，)．因为，则aba b-=++1，则双曲线的渐近线方程为(+1)x±y=0．23．【答案】16或20【解析】双曲线8x2-y2=8可化为标准方程x2-=1，所以a=1，c=3，|F1F2|=2c=6．因为点P在该双曲线上，且12△PF F是等腰三角形，所以1126PF F F==或2126PF F F==．不妨设点P在双曲线的右支上．当|PF1|=6时，根据双曲线的定义有212624PF PF a=-=-=，所以12△PF F的周长为6+6+4=16；同理当26PF=时，12△PF F的周长为6+6+8=20．24．【答案】4【解析】由题意得，渐近线方程为，而到一条渐近线的距离为2，所以直线与渐近线平行，可得，联立方程(22214y xyx⎧=⎪⎨⎪-=⎩，解得，联立方程(22y xy x⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得，所以，而，解得25．【答案】（1）；（2．【解析】（1）因为抛物线的准线方程为，所以12p=，得．所以抛物线的方程为．（2）设，因为点在抛物线上，且，由抛物线定义知032pMF x =+=，得．由()02,M y 在抛物线上，满足抛物线的方程，知0y =±，所以△OFM的面积为011122OF y =⨯⨯= 26．【答案】（1）+=1；（2）k =-1-或k =-1+．【解析】（1）依题意有，即a =c ，所以b =c ．椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即bc =2，故b =c =，a =2，所以椭圆的方程为+=1．（2）联立直线l 的方程与椭圆的方程得，代入消元得(2k 2+1)x 2+4kmx+(2m 2-4)=0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=，x 1x 2=．由题意知，x 1+x 2==m ，因为m ≠0，所以=1，即2k 2+4k+1=0，解得k =-1-或k =-1+．（2）∵=(y 1-y 2)(y 1+y 2)=2p (x 1-x 2)，∴当x 1=x 2=2p 时，直线AB 的方程为x =2p ；当x 1≠x 2时，1212122y y p x x y y -=-+，则直线AB 的方程为()11122py y x x y y -=⋅-+，∴y =·x -·+y 1=·x +． 又y 1y 2=-4p 2，∴y =·x -(x -2p )．∴直线AB 过定点(2p ，0)．28．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点． 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上． 因此222111314b a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故C 的方程为2214x y +=．（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t），（t，）．则121k k +==-，得2t =，不符合题设，从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）． 将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=，由题设可知2216(41)0k m ∆=-+>．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441m k -+． 而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=． 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=，即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-， 当且仅当1m >-时0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）．【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．1．【答案】9【解析】由题意知，双曲线221412x y -=的左焦点F 的坐标为(-4，0)，设双曲线的右焦点为B ，则B (4，0)，由双曲线的定义知，|PF|+|P A|=4+|PB|+|P A|≥4+|AB|=4+=4+5=9，当且仅当A ，P ，B 三点共线且P 在A ，B 之间时取等号．2．【答案】y =【解析】圆E 的圆心到原点的距离d =，据此可得，当m =4时，圆E 上的点与原点O 的最短距离是312-=，即双曲线的离心率为2c e a ==，据此可得b a ==双曲线2222:1x y C a b-=（00a b >>，）的渐近线方程为b y x a =±=． 3．【答案】53【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线bx y a =-过点，即，即，而，所以，即双曲线的离心率53c e a ==． 4．【答案】36【解析】因为AB 过抛物线的焦点且与对称轴垂直，所以线段AB 是抛物线的通径，则212p =，所以6p =，又点P 到AB 的距离为p ，所以ABP △的面积为212362p p p ⨯==．6．【答案】18【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，因为A 、B 、C 为抛物线上不同的三点，则A 、B 、C 可以构成三角形．抛物线C ：x 2=12y 的焦点为F (0，3)，准线方程为y =-3．因为++=0，所以利用平面向量的相关知识可得点F 为△ABC 的重心，从而有x 1+x 2+x 3=0，y 1+y 2+y 3=9．又根据抛物线的定义可得|F A|=y 1-(-3)=y 1+3，|FB|=y 2-(-3)=y 2+3，|FC|=y 3-(-3)=y 3+3，所以|F A|+|FB|+|FC|=y 1+3+y 2+3+y 3+3=y 1+y 2+y 3+9=18．【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义、几何性质，向量的相关知识．解题的关键是判断出点F 为△ABC 的重心．解题时，先根据抛物线的方程得抛物线的焦点坐标和准线方程，再根据++=0，判断出点F 为△ABC 的重心，进而可得y 1+y 2+y 3=9，最后根据抛物线的定义求解． 7．【答案】【解析】由双曲线的定义可知当且仅当2114a PF PF=即时等号成立，设由焦半径公式得，所以0033,3aex a e x =-=-≤，又双曲的离心率e >1，所以离心率的取值范围是．8．【答案】(0，1]【解析】过A ，B 分别作抛物线准线的垂线AQ ，BP ，垂足分别为Q ，P ，设|AF|=a ，|BF|=b ，则由抛物线的定义，得|AQ|=a ，|BP|=b ，所以|HN|=．在△ABF 中，由余弦定理得|AB|2=a 2+b 2-2ab cos60°=a 2+b 2-ab ，所以HN AB ====，因为a+b ≥21≤，当且仅当a =b 时等号成立，故HNAB的取值范围为(0，1]．9．【答案】【解析】方法1：e =．因为2ABF △为等边三角形，所以|AF 1|∶|F 1F 2|∶|F 2A|=1∶∶2，所以e =．方法2：不妨设椭圆方程为+=1(a >b >0)，F 1(c ，0)，F 2(-c ，0)，由得|y|=，即|AF 1|=|BF 1|=，|AB|=．因为2ABF △为正三角形，所以·=2c ，得(a 2-c 2)=2ac ，即e 2+2e-=0．又0<e <1，解得e =．11．【答案】4(2－3)【解析】由题意知c ＝1；|PF 1|＋|PF 2|＝25，|F 1F 2|＝2，在12F PF △中有：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos30°＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝4，∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)， 12F PF △的面积为S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin30°＝4(2－3)．12．【答案】±【解析】由题意可得，直线l 的斜率存在且不为0，不妨设直线l ：y =k (x-1)，则由2228y kx k x y =-⎧⎨+=⎩消去y 化简得，(1+2k 2)x 2-4k 2x +2k 2-8=0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系可得x 1+x 2=22412k k +，x 1x 2=222812k k -+．因为=2，所以x 1+2x 2=3，所以x 2=223212k k ++，x 1=，所以x 1x 2=·，化简得k 2=，解得k =±．13．【答案】16【解析】设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为1(1)y k x =-，联立方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212124k k +=，同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=，由抛物线定义可知2112342124||||2k AB DE x x x x p k ++=++++=+22222212244448816k k k k ++=++≥=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号． 【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin p AB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=． 14．【答案】1【解析】因为，所以，所以2221212|2|||1||MF MF F F +==；由题意得12|||4|MF MF +=，即221212||2||||||16MF MF MF MF ++=，即12|1||22|16MF MF +=，解得12|2|||MF MF =；所以12MF F △的面积12|||1|12S MF MF ==． 15．【解析】如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点， 则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(,0)A a ，||||AM AN b ==， 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠= ，点(,0)A a 到直线by x a=的距离||AP =， 在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即a =， 由222c a b =+得2c b =，所以c e a ===． 【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐．做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc． 16．【答案】（1）222x y +=；（2）证明见解析．【解析】（1）设00(,),(,)P x y M x y ，0(,0)N x ，则00(,),(0,)NP x x y NM y =-=．由NP =得00,x x y y ==，因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y +=． 因此点P 的轨迹方程为222x y +=．。

回扣3 三角函数与平面向量1．准确记忆六组诱导公式 对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值与α角的三角函数值的关系口诀：奇变偶不变，符号看象限．2．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan45°等． (2)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (3)弦、切互化：一般是切化弦．(4)灵活运用辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .3．三种三角函数的性质4.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，A ＞0)的图象 (1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――→向左(φ＞0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω＞0)倍纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ―――――――――――→纵坐标变为原来的A (A ＞0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)． 5．正弦定理及其变形asin A＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .6．余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .7．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .8．平面向量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 9．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 10．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.11．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 12．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A.(2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先判断函数值的符号． 2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽略x 的取值范围．3．求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．4．三角函数图象变换中，注意由y ＝sin ωx 的图象变换得y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ. 5．在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解． 6．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行．7．a·b ＞0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件；a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．1．2sin45°cos15°－sin30°的值＝________. 答案32解析2sin45°cos15°－sin30°＝2sin45°cos15°－sin(45°－15°)＝2sin45°cos15°－(sin45°cos15°－cos45°sin15°)＝sin45°cos15°＋cos45°sin15°＝sin60°＝32. 2．(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是________． 答案 2解析 由题意得tan(18°＋27°)＝tan18°＋tan27°1－tan18°tan27°，即tan18°＋tan27°1－tan18°tan27°＝1， 所以tan18°＋tan27°＝1－tan18°tan27°，所以(1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝2.3．(2017·江苏泰州中学期中)向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________. 答案3解析 a ·b ＝cos70°cos10°＋sin70°sin10°＝cos60°＝12，|a |＝|b |＝1，所以|a －2b |＝a 2＋4b 2－4a ·b ＝1＋4－2＝ 3.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________． 答案332解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，① ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.5．已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ的值为__________． 答案 12解析 由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x ＜0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a ＜0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消去a 得λ＝12.6．已知a ，b 为同一平面内的两个向量，且a ＝(1,2)，|b |＝12|a |，若a ＋2b 与2a －b 垂直，则a 与b 的夹角为________． 答案 π解析 |b |＝12|a |＝52，而(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2－2b 2＋3a·b ＝0，所以a·b ＝－52，从而cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b |＝－1，所以〈a ，b 〉＝π.7．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3解析 由两个三角函数图象的对称中心完全相同可知，两函数的周期相同，故ω＝2， 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 那么当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.8．在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为__________．答案2918解析 方法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →(λ>0)，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋19λDC →＝AB →·AD →＋AB →·19λDC→＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos60°＋2×1×19λ＋λ×1×1×cos60°＋λ×19λ×1×1×cos120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918. 方法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ，32λ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ，32，λ＞0，∴AE →·AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0，当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.9．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，试求f (x )的最值，并写出取得最值时自变量x 的值．解 (1)由题意知，f (x )＝－sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.当－π2＋2k π≤2x ＋2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )单调递增，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )， 所以f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，所以π3≤2x ＋2π3≤4π3，当2x ＋2π3＝π2，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值2，当2x ＋2π3＝4π3，即x ＝π3时，f (x )取得最小值－ 3.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＝2，b ＝7，求△ABC 的面积． 解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0， 即sin A sin B －3sin A cos B ＝0, 因为sin A ≠0， 所以sin B －3cos B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B ＝3， 又0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)因为sin B ＝32，cos B ＝12， 所以a sin A ＝b sin B ＝732＝2213，又a ＝2， 所以sin A ＝321＝217， 因为a ＜b ， 所以cos A ＝277.所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝32114，所以S ＝12ab sin C ＝332.。

2019届江苏省高三数学复习中档题满分练习（含答案）从某种角度看数学属于形式科学的一种，下面是2019届江苏省高三数学复习中档题满分练习，请考生及时练习。

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m=(a，c)，n=(cos C，cos A).(1)若m∥n，c=a，求角A;(2)若mn=3bsin B，cos A=，求cos C的值.2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC 的中点.(1)求证：BF∥平面A1EC;(2)求证：平面A1EC平面ACC1A1.3.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为相似椭圆.如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：+=1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为相似椭圆.(1)求椭圆C2的方程;(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQx 轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)4.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=a，ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的PQRS面积为S2.(1)用a，表示S1和S2;(2)当a固定，变化时，求的最小值.中档题满分练(一)1.解(1)∵m∥n，acos A=ccos C.由正弦定理得sin Acos A=sin Ccos C，化简得sin 2A=sin 2C.∵A，C(0，)，2A=2C(舍)或2A+2C=，A+C=，B=，在Rt△ABC中，tan A==，故A=.(2)∵mn=3bcos B，acos C+ccos A=3bsin B.由正弦定理得sin Acos C+sin Ccos A=3sin2B，从而sin(A+C)=3sin2B.∵A+B+C=，sin(A+C)=sin B，从而sin B=，∵cos A=0，A(0，)，A，sin A=.∵sin Asin B，ab，从而AB，B为锐角，cos B=.cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B2.证明 (1)连接AC1并交A1C于点O，连接OE，OF，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OA=OC1.又因为F为AC的中点，所以OF∥CC1且OF=CC1.因为E为BB1的中点，所以BE∥CC1且BE=CC1，所以BE∥OF且BE=OF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE.又BF平面A1EC，OE平面A1EC，所以BF∥平面A1EC. (2)由(1)知BF∥OE，因为AB=CB，F为AC的中点，所以BFAC，所以OEAC.又因为AA1底面ABC，而BF底面ABC，所以AA1BF.由BF∥OE得OEAA1，而AA1，AC平面ACC1A1，且AA1AC=A，所以OE平面ACC1A1.因为OE平面A1EC，所以平面A1EC平面ACC1A1.3.(1)解由题意可知A1(-，0)，A2(，0)，椭圆C1的离心率e=.设椭圆C2的方程为+=1(a0)，则b=.因为==，所以a=2.所以椭圆C2的方程为+=1.(2)证明设P(x0，y0)，y00，则+=1，从而y=12-2x.将x=x0代入+=1得+=1，从而y2=3-=，即y=.因为P，H在x轴的同侧，所以取y=，即H(x0，).所以kA1PkA2H====-1，从而A1PA2H.又因为PHA1A2，所以H为△PA1A2的垂心.4.解 (1)S1=asin acos =a2sin 2，设正方形边长为x，则BQ=，RC=xtan ，+xtan +x=a，x==，S2==.(2)当a固定，变化时，令sin 2=t，则=(0利用单调性求得t=1时，=.2019届江苏省高三数学复习中档题满分练习的内容就是这些，希望对考生提高成绩有帮助。

江苏省18市县2019届高三上学期期中期末考试数学试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、（常州市2019届高三上学期期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，直线20x y ++=经过双曲线C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为________.2、（海安市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 24－y 29＝1的一条准线与两条渐近线所围成的面积为 ．3、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）若双曲线x 22－y 2m＝1的离心率为2，则实数m 的值为 ▲ ．4、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末） 已知经过双曲线221168x y -=的一个焦点，且垂直于实轴的直线l 与双曲线交于A 、B 两点，5、（如皋市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2213x y -=的左准线与抛物线2y ax =的准线重合，则a 的值为 ▲ ．6、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ． 7、（苏州市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(﹣3，1)，则该双曲线的离心率为 ． 8、（泰州市2019届高三上学期期末）若抛物线22(0)y px p =>的准线与双曲线22x y -＝1的一条准线重合，则p ＝ 9、（无锡市2019届高三上学期期末）以双曲线22154x y -=的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是 ．10、（宿迁市2019届高三上学期期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，右焦点与抛物线216y x =的焦点重合，则双曲线C 的顶点到渐近线的距离为 ▲ .11、（徐州市2019届高三上学期期中）已知双曲线2214x y a -=的离心率为3，则实数a 的值为 ▲ ．12、（扬州市2019届高三上学期期末）已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ．13、（扬州市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为 ． 14、（扬州市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2211x y m m -=+的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为 ．15、（镇江市2019届高三上学期期末）抛物线28y x =的焦点到双曲线221169x y -=渐近线的距离为 ．参考答案一、填空题1、3y x =±2、24133、64、45、66、47、108、29、212y x = 10、3 11、2 12、52 13、3x =- 14、52y x =± 15、65二、解答题 1、（常州市2019届高三上学期期末）已知，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22122:1x y C a b+=的焦点在椭圆22222:1y x C a b+=上，其中0a b >>，且点66(,)33是椭圆12,C C 位于第一象限的交点. (1) 求椭圆12,C C 的标准方程；(2) 过y 轴上一点P 的直线l 与椭圆2C 相切，与椭圆1C 交于点,A B ，已知35PA PB =，求直线l 的斜率.2、（海安市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 、B ，焦距为2，直线l 与椭圆交于C ，D 两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l 过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时，四边形ACBD 的面积为6．⑴求椭圆的标准方程；⑵设直线AC ，BD 的斜率分别为k 1，k 2．①若k 2＝3k 1，求证：直线l 过定点；②若直线l 过椭圆的右焦点F ，试判断k 1k 2是否为定值，并说明理由．3、（南京市、盐城市2019届高三上学期期末）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点之间的距离为2，两条准线间的距离为8，直线l ：y ＝k (x －m )(m ∈R )与椭圆C 相交于P 、Q 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的左顶点为A ，记直线AP 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2．①若m ＝0，求k 1k 2的值；②若k 1k 2＝－14，求实数m 的值．4、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）5、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，右准线方程为4x =，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若1232S S =，求k 的值； （3）设线段MN 的中点为D ，直线OD 与右准线相交于点E ，记直线AM ，BN ，FE 的斜率分别为k 1，k 2，3k ，求k 2·(k 1－3k ) 的值．6、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为22，且右焦点到右准线l的距离为1．过x轴上一点(,0)M m(m为常数，且(0,2))m∈的直线与椭圆C交于,A B两点，与l交于点P，D是弦AB的中点，直线OD与l交于点Q．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试判断以PQ为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．7、（苏州市2019届高三上学期期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知焦点在x轴上，离心率为12的椭圆E的左顶点为A，点A到右准线的距离为6．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点A且斜率为32的直线与椭圆E交于点B，过点B与右焦点F的直线交椭圆E于M点，求M点的坐标．8、（泰州市2019届高三上学期期末）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。

内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。

外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。

（2019年全国一卷理科）19．（12分）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若，求|AB |．19．解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=． 由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．323AP PB =u u u r u u u r从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =u u u r u u u r 可得123y y =-． 由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =． （2019年全国二卷理科）21．（12分）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值.21．解：（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>． 由22142y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2k y x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k k u k -+=-+-+． 所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =22||2PG k =+，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k ++===++++‖．设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． （2019年全国三卷理科）21．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 21．解：（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t +=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E到直线AB的距离，则12d d ==. 因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t=±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或.（2018年全国三卷理科）20. 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． （1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）（2）或【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明。