2017-2018学年高中数学课时跟踪训练(十七)常数与幂函数的导数 导数公式表新人教B版选修1_1

常数函数与幂函数的导数一、选择题（本大题共16小题，每小题5分，共80分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f (x ) = a x 2 ＋c ,且(1)f '=2 , 则a 的值为 （ ） A.1B.2C.－1D. 02. 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 （ ） A ．(x - 1)3+3(x - 1) B ．2(x - 1)2 C ．2(x - 1) D ．x - 13. 已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则 0(1)(1)3limx f x f x x→--+=( )A ．3B ．23-C ．13 D ．32- 4. 函数y = (2x ＋1) 3在x = 0处的导数是 （ ） A.0B.1C.3D.65．函数)0,4(2cos π在点x y =处的切线方程是 （ ） A ．024=++πy x B ．024=+-πy x C ．024=--πy x D ．024=-+πy x 6.曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 （ ） A. 4 B. 52C. 3D. 27．一质点做直线运动,由始点起经过t s 后的距离为s =41t 4- 4t 3 + 16t 2, 则速度为零的时刻是 （ ） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末8．函数313y x x =+- 有 （ ）A.极小值－1，极大值1B. 极小值－2，极大值3C.极小值－1，极大值3D. 极小值－2，极大值29. 已知自由下落物体的速度为V = g t ，则物体从t = 0到t 0所走过的路程为（ ） A ．2012gt B ．20gt C ． 2013gt D ．2014gt 10．如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做的功为 （ ）A ．0.28JB ．0.12JC ．0.26JD ．0.18J11、一物体在力()41F x x =-(单位:N)的的作用下,沿着与力F 相同的方向,从x=1m 处运动到x=3m 处, 则力()F x 所作的功为（ ）A. 10JB. 12JC. 14JD. 16J 12、若函数3()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值 , 则（ ）()A 01b << ()B 1b < ()C 0b > ()D 12b <13、函数32()23125f x x x x =--+在[]0,3上最大值和最小值分别是（ ）（A ）5 , －15 (B)5,－4 (C)－4,－15 (D)5,－1614、若函数()f x 的导数为221x -+，则()f x 可以等于（ ） A. 、321x -+ B 、1x + C.、4x - D 、323x x -+15、函数2sin(2)y x x =+导数是（ ）A..2cos(2)x x +B.22sin(2)x x x +C.2(41)cos(2)x x x ++D.24cos(2)x x +16、函数2()2ln f x x x =-的递增区间是 ( )A.1(0,)2B.11(,0)(,)22-+∞及C.1(,)2+∞D.11(,)(0,)22-∞-及 二、填空题：（每题4分共24分）11．函数32y x x x =--的单调增区间为___________________________________。

1．2.1 常数函数与幂函数的导数1．2.2 导数公式表及数学软件的应用明目标、知重点 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．1．几个常用函数的导数2.[情境导学]在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题． 探究点一 几个常用函数的导数思考1 类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何用定义法求函数y ＝f (x )的导函数？利用定义求下列常用函数的导数： ①y ＝c ，②y ＝x ，③y ＝x 2，④y ＝1x，⑤y ＝x .答 (1)计算ΔyΔx ，并化简；(2)观察当Δx 趋近于0时，ΔyΔx趋近于哪个定值； (3)ΔyΔx 趋近于的定值就是函数y ＝f (x )的导函数． ①y ′＝0，②y ′＝1，③y ′＝2x ，④y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝ lim Δx →0 1x ＋Δx －1x Δx ＝lim Δx →0 －1x x ＋Δx ＝－1x2(其它类同)，⑤y ′＝12x.思考2 在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数．(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ (3)函数y ＝kx (k ≠0)增(减)的快慢与什么有关？答 函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的图象如图所示，导数分别为y ′＝2，y′＝3，y ′＝4.(1)从图象上看，函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝4x 的导数分别表示这三条直线的斜率． (2)在这三个函数中，y ＝4x 增加得最快，y ＝2x 增加得最慢．(3)函数y ＝kx (k >0)增加的快慢与k 有关系，即与函数的导数有关系，k 越大，函数增加得越快，k 越小，函数增加得越慢．函数y ＝kx (k <0)减少的快慢与|k |有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k |越大，函数减少得越快，|k |越小，函数减少得越慢．思考3 画出函数y ＝1x的图象．根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程．答 函数y ＝1x 的图象如图所示，结合函数图象及其导数y ′＝－1x2发现，当x <0时，随着x 的增加，函数y ＝1x减少得越来越快；当x >0时，随着x 的增加，函数减少得越来越慢．点(1,1)处切线的斜率为－1，过点(1,1)的切线方程为y ＝－x ＋2. 探究点二 基本初等函数的导数公式思考 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？答 可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度． 例1 求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3；(2)y ＝5x ；(3)y ＝1x 3；(4)y ＝4x 3；(5)y ＝log 3x . 解 (1)y ′＝0；(2)y ′＝(5x)′＝5xln 5；(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x3′＝(x －3)′＝－3x －4；(4)y ′＝(4x 3)′＝(34x )′＝1434x -＝344x；(5)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. 反思与感悟 对于教材中出现的基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin π3＝32是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现⎝⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3这样的错误结果．二是准确记忆，灵活变形．如根式、分式可转化为指数式，然后利用公式求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝(12)x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 13x .解 (1)y ′＝8x 7；(2)y ′＝(12)x ln 12＝－(12)xln 2；(3)∵y ＝x x ＝x 32，∴y ′＝1232x ；(4)y ′＝1x ln13＝－1x ln 3. 例2 判断下列计算是否正确．求y ＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：y ′|x ＝π3＝⎝⎛⎭⎪⎫cos π3′＝－sin π3＝－32. 解 错误．应为y ′＝－sin x ， ∴y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.反思与感悟 函数f (x )在点x 0处的导数等于f ′(x )在点x ＝x 0处的函数值．在求函数在某点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x 0代入导函数求解，不能先代入后求导．跟踪训练2 求函数f (x )＝ln x 在x ＝1处的导数． 解 f ′(x )＝(ln x )′＝1x，∴f ′(1)＝1，∴函数f (x )在x ＝1处的导数为1. 探究点三 导数公式的综合应用例3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大． 解 设P (x 0，y 0)为切点，过点P 与AB 平行的直线斜率k ＝ y ′＝2x 0，∴k ＝2x 0＝2， ∴x 0＝1，y 0 ＝1. 故可得P (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，所以|AB |为定值，要使△ABP的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，故P (1,1)点即为所求弧AOB 上的点，使△ABP 的面积最大．反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算． 跟踪训练3 曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，求斜率最小的切线方程． 解 由题意知：y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3，∴当x ＝－1时，y ′取最小值为3，即最小的斜率为3.此时切点坐标为(－1，－14)． ∴斜率最小的切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)， 即3x －y －11＝0.1．给出下列结论： ①若y ＝1x3，则y ′＝－3x4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3. 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①y ＝1x3＝x －3，则y ′＝－3x －4＝－3x4；②y ＝3x ＝13x ，则y ′＝13·23x ≠133x ；③y ＝1x2＝x －2，则y ′＝－2x －3；④由f (x )＝3x ，知f ′(x )＝3， ∴f ′(1)＝3. ∴①③④正确．2．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于( ) A.36 B ．0 C.12xD.32答案 A解析 ∵f ′(x )＝(x )′＝12x ，∴f ′(3)＝123＝36. 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．[0，π4]∪[3π4，π)B ．[0，π)C ．[π4，3π4]D ．[0，π4]∪[π2，3π4]答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ， ∵k l ＝cos x ，∴－1≤k l ≤1，∴αl ∈[0，π4]∪[3π4，π)． 4．曲线y ＝e x在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________． 答案 12e 2解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2.[呈重点、现规律]1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．。

课时跟踪检测（十七） 幂函数A 级——学考合格性考试达标练1．在函数①y ＝1x，②y ＝x 2，③y ＝2x 2，④y ＝x -12中，是幂函数的是( )A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①②③④解析：选C 幂函数是形如y ＝x α(α∈R ，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，④是α＝－12的情形，所以①②④都是幂函数；③中x 2的系数是2，所以不是幂函数，所以只有①②④是幂函数．2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k ＋α＝( ) A.12 D ．1 C.32D ．2解析：选A ∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，∴k ＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝ ⎝⎛⎭⎫12α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2 D ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A 所给选项都是幂函数，其中y ＝x －2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x－1和y ＝x 13不是偶函数，故排除选项B 、D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.4．函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )解析：选B y ＝x 12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y ＝x 12－1的图象可看作由y ＝x 12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称后即为选项B.5.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n <m <0 D ．m <n <0 C ．n >m >0D ．m >n >0解析：选A 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0.当x ＝2时，2m ＞2n ，所以n ＜m ＜0.6．若y ＝axa 2＋12是幂函数，则该函数的值域是________．解析：由已知y ＝ax a 2＋12是幂函数，得a ＝1，所以y ＝x 32，所以y ≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)7．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如表：x 1 12 f (x )122则f (x )的单调递增区间是________．解析：因为f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，即α＝12，所以f (x )＝x 12的单调递增区间是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)8．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．解析：因为f (x )＝x α为奇函数，所以α＝－1，1，3.又因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.答案：－19．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．解：(1)若函数f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若函数f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若函数f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2.10．比较下列各组数的大小． (1)3－72和3.2－72； (2)⎝⎛⎭⎫－23 23和⎝⎛⎭⎫－π623； (3)4.125和3.8-43.解：(1)函数y ＝x －72在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3－72＞3.2－72. (2)⎝⎛⎭⎫－23 23＝⎝⎛⎭⎫2323，⎝⎛⎭⎫－π623＝⎝⎛⎭⎫π623，函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，而23＞π6，所以⎝⎛⎭⎫－2323＞⎝⎛⎭⎫－π623. (3)4.125＞125＝1，0＜3.8-43＜1-43＝1，所以4.125＞3.8-43.B 级——面向全国卷高考高分练1．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·x m 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 D ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D ．m ＝1解析：选B 由幂函数的定义，可得m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或2.当m ＝1时，y ＝x －2，其图象不过原点；当m ＝2时，y ＝x 0，其图象不过原点．故m ＝1或2.2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x 23D ．y ＝x -13 C ．y ＝x 32D ．y ＝x-23解析：选D A 中，函数y ＝x 23是偶函数，因为23＞0，故函数y ＝x 23在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意，B 、C 中的函数不是偶函数，故选D.3．已知幂函数f (x )＝x a 的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，则函数g (x )＝(x －2)f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，1上的最小值是( )A ．－1 D ．－2 C ．－3D ．－4解析：选C 由已知得2a ＝12，解得a ＝－1，∴g (x )＝x －2x ＝1－2x 在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，则g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝－3.故选C.4．对于幂函数f (x )＝x 45，若0＜x 1＜x 2，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，f （x 1）＋f （x 2）2的大小关系是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＞f （x 1）＋f （x 2）2B ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2C ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）2D ．无法确定解析：选A 幂函数f (x )＝x 45在(0，＋∞)上是增函数，大致图象如图所示．设A (x 1，0)，C (x 2，0)，其中0＜x 1＜x 2，则AC 的中点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，0，|AB |＝f (x 1)，|CD |＝f (x 2)，|EF |＝f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.∵|EF |＞12(|AB |＋|CD |)，∴f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＞f （x 1）＋f （x 2）2，故选A.5．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________． 解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α， 所以y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，故α＜0. 答案：(－∞，0)6．给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为________．解析：设f (x )＝x α，则f (m ＋n )＝(m ＋n )α，f (m )＋f (n )＝m α＋n α，f (m )·f (n )＝m α·n α＝(mn )α，f (mn )＝(mn )α，所以f (mn )＝f (m )·f (n )一定成立，其他三个不一定成立，故填③.答案：③7．已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x －m －1(m ∈R )为偶函数．(1)求f ⎝⎛⎭⎫12的值；(2)若f (2a ＋1)＝f (a )，求实数a 的值． 解：(1)由m 2－5m ＋7＝1，得m ＝2或3. 当m ＝2时，f (x )＝x－3是奇函数，∴不满足题意，∴m ＝2舍去；当m ＝3时，f (x )＝x －4，满足题意， ∴f (x )＝x －4，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.(2)由f (x )＝x－4为偶函数和f (2a ＋1)＝f (a )可得|2a ＋1|＝|a |，即2a ＋1＝a 或2a ＋1＝－a ，∴a ＝－1或a ＝－13.C 级——拓展探索性题目应用练已知幂函数f (x )＝x2m 1(－)3(m ∈N )是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f (x )的解析式，并讨论g (x )＝a f （x ）－bxf （x ）的奇偶性．解：由f (x )＝x2m 1(－)3(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，得13(m －2)＜0，∴m ＜2.∵m ∈N ，∴m ＝0，1.∵f (x )是偶函数，∴只有当m ＝0时符合题意，故f (x )＝x23.于是g (x )＝a|x 13|－bx13，g (－x )＝a|x 13|＋b x13，且g (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当a ≠0且b ≠0时，g (x )既不是奇函数也不是偶函数； 当a ＝0且b ≠0时，g (x )为奇函数； 当a ≠0且b ＝0时，g (x )为偶函数；当a ＝0且b ＝0时，g (x )既是奇函数又是偶函数．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

课时分层作业(十七) 常数与幂函数的导数 导数公式表(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．已知f (x )＝1x，则f ′(3)＝( )A ．－13B ．－19C ．19D ．13B [∵f (x )＝1x ，∴f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(3)＝－132＝－19，故选B.]2．已知f (x )＝ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．0 B ．1e C ．1D ．eB [∵f (x )＝ln x ，∴f ′(x )＝1x ，则f ′(e)＝1e ，故选B.]3．已知f (x )＝x α(α∈Q )，若f ′(－1)＝4，则α等于( ) A ．3 B ．－3 C ．4D ．－4 D [∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1.∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝4.∴α＝－4.]4．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x的切线，则实数k 的值为( ) A ．1e B ．－1eC ．－eD ．eD [y ′＝e x，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝k x 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0，∴e x 0·x 0＝e x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.]5．若幂函数f (x )＝mx α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，则它在点A 处的切线方程是( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y ＝0C ．4x －4y ＋1＝0D ．4x ＋4y ＋1＝0C [因为函数f (x )＝mx α为幂函数，所以m ＝1.又幂函数f (x )＝x α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，所以α＝12，所以f (x )＝x 12，f ′(x )＝12x ，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，所以f (x )的图象在点A 处的切线方程为y －12＝x －14，即4x －4y ＋1＝0.]6．已知函数f (x )＝x m －n(m ，n ∈Q )的导数为f ′(x )＝nx 3，则m ＋n ＝________.12 [∵f (x )＝xm －n，∴f ′(x )＝(m －n )x m －n －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝n ，m －n －1＝3，解得m ＝8，n ＝4，∴m ＋n ＝12.]7．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x ＞0)上点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为________．(1,1) [因为y ′＝e x，所以曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线的斜率为k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，y ＝1x (x ＞0)的导数为y ′＝－1x2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率为k 2＝－1m2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1·k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．]8．函数y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．21 [∵y ′＝2x ，∴y ＝x 2(x ＞0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )．又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，∴a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是首项a 1＝16，公比q ＝12的等比数列，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.]9．已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程；(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？ [解] (1)因为y ′＝3x 2， 所以切线斜率k ＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2＝0，y ＝x 3，所以(x －1)(x 2＋x －2)＝0， 所以x 1＝1，x 2＝－2，所以公共点为(1,1)及(－2，－8)，即其他公共点为(－2，－8)．10．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为9，求实数a 的值．[解] ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32，∴曲线在点(a ，a －12)处的切线的斜率为k ＝－12a －32，∴切线方程为y －a －12＝－12a －32 (x －a )．令x ＝0，得y ＝32a －12；令y ＝0，得x ＝3a .由题意知，a >0，该切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×3a ×32a －12＝94a 12＝9，∴a ＝16.[能力提升练]1．设曲线y ＝x 在点(2，2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．22B ．24C ．－2 2D ．2 2D [∵y ＝x ＝x 12，∴y ′＝12x －12＝12x ，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝122，由已知，得－a ＝－22，即a ＝22，故选D.]2．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2 020(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos xA [f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…， f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，所以f 2 020(x )＝f 505×4(x )＝sin x ．]3．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________． 12log 2e [y ′＝1x ln 2＝1x ·log 2e ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝log 2e ，切线方程为y ＝(x －1)log 2e ，令x ＝0，得y ＝－log 2e ，令y ＝0，得x ＝1，因此所求三角形的面积S ＝12×1×log 2e＝12log 2e.] 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln x ，0＜x ＜1，，f ′(a )＝12，则实数a 的值为________．112或－2 [由题意得f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2，x ≤0，1x，0＜x ＜1，若f ′(a )＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，1a＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，3a 2＝12，解得a ＝112或a ＝－2.]5．点P 是曲线y ＝e x上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．[解] 如图，当曲线y ＝e x在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近．则曲线y ＝e x在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1， 又y ′＝(e x)′＝e x，所以e x 0＝1，得x 0＝0， 代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．由点到直线的距离公式，得最小距离为d ＝|－1|2＝22.。

课时跟踪训练(十七) 常数与幂函数的导数 导数公式表1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ； ②⎝⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3； ③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－12x x . 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．已知f (x )＝x α(α∈Q )，若f ′(－1)＝4，则α等于( )A ．3B ．－3C ．4D ．－4 3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1eB ．－1eC ．－eD ．e 4．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N ＋)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x n 等于( )A.1nB.1n ＋1C.nn ＋1D ．1 5．已知函数f (x )＝xm －n (m ，n ∈Q )的导数为f ′(x )＝nx 3，则m ＋n ＝________. 6．函数f (x )＝sin x (x ∈[0,2π])，若f ′(x 0)＝12，则x 0＝________. 7．求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x；(3)y ＝log 3x ； (4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2；(5)y ＝e 2.8．求曲线y ＝1x 2和y ＝1x在它们的交点处的切线方程．答 案1．选B (cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0，所以②错误； ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，所以③错误； ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝⎝⎛⎭⎫x 12-′＝－12x －32＝－12x x， 所以④正确．2．选D ∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αxα－1. ∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝4.∴α＝－4.3．选D y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0y 0＝e x 0k ＝e x 0 ∴e x 0·x 0＝e x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e. 4．选C y ′＝(n ＋1)x n ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x n ＝n n ＋1.5．解析：∵f (x )＝xm －n ，∴f ′(x )＝(m －n )x m －n －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＝n ，m －n －1＝3，解得m ＝8，n ＝4，∴m ＋n ＝12.答案：126．解析：∵f (x )＝sin x ，∴f ′(x )＝cos x ，cos x 0＝12，又x 0∈[0,2π]， ∴x 0＝π3或x 0＝5π3. 答案：π3或5π37．解：(1)y ′＝(x 8)′＝8x8－1＝8x 7. (2)y ′＝(4x )′＝4x ln 4.(3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. (4)y ′＝(cos x )′＝－sin x .(5)y ′＝(e 2)′＝0.8．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x 2，y ＝1x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1.∴交点坐标为(1,1)． 对于y ＝1x 2＝x －2，y ′＝－2x －3，∴k 1＝y ′|x ＝1＝－2， 对于y ＝1x ＝x －1，y ′＝－x －2，∴k 2＝y ′|x ＝1＝－1.∴曲线y ＝1x 2在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝－2(x －1)， 即y ＝－2x ＋3.曲线y ＝1x在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)， 即y ＝－x ＋2.。

课时跟踪检测（十七） 幂函数A 级——学考合格性考试达标练1．在函数①y ＝1x，②y ＝x 2，③y ＝2x 2，④y ＝x -12中，是幂函数的是( )A ．①②B ．③④C ．①②④D ．①②③④解析：选C 幂函数是形如y ＝x α(α∈R ，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，④是α＝－12的情形，所以①②④都是幂函数；③中x 2的系数是2，所以不是幂函数，所以只有①②④是幂函数．2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k ＋α＝( ) A.12 D ．1 C.32D ．2解析：选A ∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，∴k ＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝ ⎝⎛⎭⎫12α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2 D ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A 所给选项都是幂函数，其中y ＝x －2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x －1和y ＝x 13不是偶函数，故排除选项B 、D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.4．函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )解析：选B y ＝x 12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x 12－1的图象可看作由y ＝x 12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称后即为选项B.5.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n <m <0 D ．m <n <0 C ．n >m >0D ．m >n >0解析：选A 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0.当x ＝2时，2m ＞2n ，所以n ＜m ＜0.6．若y ＝axa 2＋12是幂函数，则该函数的值域是________．解析：由已知y ＝ax a 2＋12是幂函数，得a ＝1，所以y ＝x 32，所以y ≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)7．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如表：x 1 12 f (x )122则f (x )的单调递增区间是解析：因为f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，即α＝12，所以f (x )＝x 12的单调递增区间是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)8．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．解析：因为f (x )＝x α为奇函数，所以α＝－1，1，3.又因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.答案：－19．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．解：(1)若函数f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若函数f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若函数f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1±2.10．比较下列各组数的大小． (1)3－72和3.2－72； (2)⎝⎛⎭⎫－23 23和⎝⎛⎭⎫－π623； (3)4.125和3.8-43.解：(1)函数y ＝x －72在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3－72＞3.2－72. (2)⎝⎛⎭⎫－23 23＝⎝⎛⎭⎫2323，⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π623，函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，而23＞π6，所以⎝⎛⎭⎫－2323＞⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623. (3)4.125＞125＝1，0＜3.8-43＜1-43＝1，所以4.125＞3.8-43.B 级——面向全国卷高考高分练1．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·x m 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 D ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2D ．m ＝1解析：选B 由幂函数的定义，可得m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或2.当m ＝1时，y ＝x －2，其图象不过原点；当m ＝2时，y ＝x 0，其图象不过原点．故m ＝1或2.2．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x 23D ．y ＝x-13C ．y ＝x 32D ．y ＝x-23解析：选D A 中，函数y ＝x 23是偶函数，因为23＞0，故函数y ＝x 23在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意，B 、C 中的函数不是偶函数，故选D.3．已知幂函数f (x )＝x a 的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12，则函数g (x )＝(x －2)f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，1上的最小值是( )A ．－1 D ．－2 C ．－3D ．－4解析：选C 由已知得2a＝12，解得a ＝－1，∴g (x )＝x －2x ＝1－2x 在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，则g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝－3.故选C.4．对于幂函数f (x )＝x 45，若0＜x 1＜x 2，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，f （x 1）＋f （x 2）2的大小关系是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＞f （x 1）＋f （x 2）2B ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2C ．f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f （x 1）＋f （x 2）2D ．无法确定解析：选A 幂函数f (x )＝x 45在(0，＋∞)上是增函数，大致图象如图所示．设A (x 1，0)，C (x 2，0)，其中0＜x 1＜x 2，则AC 的中点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，0，|AB |＝f (x 1)，|CD |＝f (x 2)，|EF |＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.∵|EF |＞12(|AB |＋|CD |)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞f （x 1）＋f （x 2）2，故选A.5．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________． 解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α， 所以y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，故α＜0. 答案：(－∞，0)6．给出下面四个条件：①f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )；②f (m ＋n )＝f (m )·f (n )；③f (mn )＝f (m )·f (n )；④f (mn )＝f (m )＋f (n )．如果m ，n 是幂函数y ＝f (x )定义域内的任意两个值，那么幂函数y ＝f (x )一定满足的条件的序号为________．解析：设f (x )＝x α，则f (m ＋n )＝(m ＋n )α，f (m )＋f (n )＝m α＋n α，f (m )·f (n )＝m α·n α＝(mn )α，f (mn )＝(mn )α，所以f (mn )＝f (m )·f (n )一定成立，其他三个不一定成立，故填③.答案：③7．已知幂函数f (x )＝(m 2－5m ＋7)x －m －1(m ∈R )为偶函数．(1)求f ⎝⎛⎭⎫12的值；(2)若f (2a ＋1)＝f (a )，求实数a 的值． 解：(1)由m 2－5m ＋7＝1，得m ＝2或3.当m ＝2时，f (x )＝x －3是奇函数，∴不满足题意，∴m ＝2舍去； 当m ＝3时，f (x )＝x －4，满足题意， ∴f (x )＝x －4，∴f⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.(2)由f (x )＝x －4为偶函数和f (2a ＋1)＝f (a )可得|2a ＋1|＝|a |， 即2a ＋1＝a 或2a ＋1＝－a ，∴a ＝－1或a ＝－13.C 级——拓展探索性题目应用练已知幂函数f (x )＝x2m 1(－)3(m ∈N )是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，求函数f (x )的解析式，并讨论g (x )＝a f （x ）－bxf （x ）的奇偶性．解：由f (x )＝x2m 1(－)3(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，得13(m －2)＜0，∴m ＜2.∵m ∈N ，∴m ＝0，1.∵f (x )是偶函数，∴只有当m ＝0时符合题意，故f (x )＝x -23.于是g (x )＝a|x 13|－bx13，g (－x )＝a|x 13|＋bx13，且g (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当a ≠0且b ≠0时，g (x )既不是奇函数也不是偶函数； 当a ＝0且b ≠0时，g (x )为奇函数；当a≠0且b＝0时，g(x)为偶函数；当a＝0且b＝0时，g(x)既是奇函数又是偶函数．。

1.2 导数的运算1．2.1 常数函数与幂函数的导数1．2.2 导数公式表及数学软件的应用一、基础达标1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227；③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln 2. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①y ＝ln 2为常数，所以y ′＝0.①错．②③④正确．2．曲线y ＝1x在点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，2B.⎝⎛⎭⎫12，2或⎝⎛⎭⎫－12，－2C.⎝⎛⎭⎫－12，－2 D.⎝⎛⎭⎫12，－2答案 B解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2＝－4，x ＝±12，故选B. 3．已知f (x )＝x a (a ∈Q )，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( )A ．4B ．－4C ．5D ．－5答案 A解析 f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，a ＝4.4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定 答案 B解析 ∵f ′(x )＝3x 2，设切点为(x 0，y 0)，则3x 20＝1，得x 0＝±33，即在点⎝⎛⎭⎫33，39和点⎝⎛⎭⎫－33，－39处有斜率为1的切线． 5．曲线y ＝9x在点M (3,3)处的切线方程是 ． 答案 x ＋y －6＝0解析 ∵y ′＝－9x2，∴y ′|x ＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为：y －3＝－(x －3)即x ＋y －6＝0.6．若曲线y ＝x －12在点⎝⎛⎭⎫a ，a －12处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝ .答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32， ∴曲线在点⎝⎛⎭⎫a ，a －12处的切线斜率k ＝－12a －32， ∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )． 令x ＝0得y ＝32a －12；令y ＝0得x ＝3a . ∵该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64. 7．求下列函数的导数：(1) y ＝5x 3；(2)y ＝1x4； (3)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4； (4)y ＝log 2x 2－log 2x .解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫5x 3′＝⎝⎛⎭⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2x 4 ＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x 2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2. 二、能力提升 8．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1eB ．－1eC ．－eD ．e 答案 D解析 y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝kx 0，y 0＝e x 0，k ＝e x 0.∴e x 0＝e x 0·x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e.9．曲线y ＝ln x 在x ＝a 处的切线倾斜角为π4，则a ＝ . 答案 1解析 y ′＝1x ，∴y ′|x ＝a ＝1a＝1，∴a ＝1. 10．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x 的最小距离为 ． 答案 22 解析 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1，即y ′|x ＝x 0＝1.∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得距离为22. 11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，求适合f ′(x )＋g ′(x )≤0的x 的值．解 ∵f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，∴f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，g ′(x )＝x ′＝1，由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，但sin x ∈[－1,1]，∴sin x ＝1，∴x ＝2k π＋π2，k ∈Z . 12．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解 根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y－2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 三、探究与创新13．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，试求f 2 015(x )． 解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 015(x )＝f 3(x )＝－cos x .。

课时跟踪训练(十七)　常见函数的导数1．已知f (x )＝，则f ′(1)＝________.1x 32．给出下列命题：①若y ＝π，则y ′＝0；②若y ＝3x ，则y ′＝3；③若y ＝，则y ′＝－；④若1x x2y ′＝3，则y ＝3x .其中正确的为________．3．函数f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值是________．4．在曲线f (x )＝上有一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标4x 2为________．5．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝ln x 的切线，则k 的值等于________．6．已知曲线y ＝x 3，求：(1)曲线在点P (1,1)处的切线方程；(2)过点P (1,0)的曲线的切线方程．7．已知曲线y ＝在点P (1,1)处的切线与直线m 平行，且距离等于，求直线m 的方1x 310程．8．直线l 1与曲线y ＝相切于点P ，直线l 2过P 且垂直于l 1且交x 轴于Q 点，又作PK x 垂直于x 轴于点K ，求KQ 的长．答 案课时跟踪训练(十七)1．解析：f ′(x )＝(x －3)′＝－3x －4＝－，∴f ′(1)＝－3.3x 4答案：－32．解析：由常见函数的导数公式，易知①②正确，③④错误．③中y ′＝－x ，④中123-2y ＝3x ＋a (a 为常数)．答案：①②3．解析：f ′(x )＝ax a －1，∴f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4.∴a ＝4.答案：44．解析：f ′(x )＝－.∵曲线在点P 处的切线的倾斜角为135°，∴－＝－tan 135°8x 38x 3＝－1.∴x 3＝8.∴x ＝2.当x ＝2时f (2)＝1.∴P 点坐标为(2,1)．答案：(2,1)5．解析：∵y ′＝(ln x )′＝，设切点坐标为(x 0，y 0)，则切线方程为1x y －y 0＝(x －x 0)．即y ＝x ＋ln x 0－1.由ln x 0－1＝0，知x 0＝e.∴k ＝.1x 01x 01e 答案：1e 6．解：y ′＝3x 2.(1)当x ＝1时，y ′＝3，即在点P (1,1)处的切线的斜率为3，∴切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)设切点坐标为(x 0，y 0)，则过点P 的切线的斜率为3x ，2由直线的点斜式，得切线方程y －x ＝3x (x －x 0)，3020即3x x －y －2x ＝0.2030∵P (1,0)在切线上，∴3x －2x ＝0.2030解之得x 0＝0或x 0＝.32当x 0＝0时，切线方程为y ＝0.当x 0＝时，切线方程为27x －4y －27＝0.327．解：∵y ′＝－，3x 4∴曲线在P (1,1)处的切线的斜率为k ＝－3，∴切线方程为y －1＝－3(x －1)，即3x ＋y －4＝0.设直线m 的方程为3x ＋y ＋b ＝0，由平行线间的距离公式得＝，|b －(－4)|32＋110∴|b ＋4|＝10，∴b ＝6或b ＝－14，故所求的直线m 的方程为3x ＋y ＋6＝0或3x ＋y －14＝0.8.解：如图，设P (x 0，y 0)，则kl 1＝f ′(x 0)＝，12 x 0∵直线l 1与l 2垂直，则kl 2＝－2 ，x 0∴直线l 2的方程为y －y 0＝－2 (x －x 0)，x 0∵点P (x 0，y 0)在曲线y ＝上，x ∴y 0＝.x 0在直线l 2的方程中令y ＝0，则－＝－2 (x －x 0)．x 0x 0∴x ＝＋x 0，即x Q ＝＋x 0.1212又x K ＝x 0，∴|KQ |＝x Q －x K ＝＋x 0－x 0＝.1212。

高中数学课时跟踪检测十七函数的单调性与导数含解析新人教A 版选修11层级一 学业水平达标1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x解析：选B B 中，y ′＝(x e x)′＝e x＋x e x＝e x(x ＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y ＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数．对于A 、C 、D 都存在x ＞0，使y ′＜0的情况．2．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13 解析：选C y ′＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知y ′≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13.3．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( ) A ．(－∞，－1)和(0,1) B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞)解析：选A y ′＝4x 3－4x ，令y ′<0，即4x 3－4x <0，解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A.4．函数y ＝x ln x 在(0,5)上的单调性是( ) A ．单调递增 B ．单调递减C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 5上单调递增D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1e 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 5上单调递减 解析：选C 由已知得函数的定义域为(0，＋∞)． ∵y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞1e .令y ′＜0，得x ＜1e.∴函数y ＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ， 5上单调递增．5．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33， 33，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0) C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析：选A y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33. 当－33＜x ＜33时，⎝⎛⎭⎪⎫x －33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋33＜0， 要使y ＝a (x 3－x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－33， 33上单调递减， 只需y ′＜0，即a ＞0.6．函数f (x )＝cos x ＋32x 的单调递增区间是________．解析：因为f ′(x )＝－sin x ＋32＞0，所以f (x )在R 上为增函数．答案：(－∞，＋∞)7．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在[－1,2]上为增函数，则a ∈________.解析：y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0， ∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0，∴a <0. 答案：(－∞，0)8．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是 .解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间， ∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根， ∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0. 答案：(0，＋∞)9．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0.(1)求a 和b ；(2)试确定函数f (x )的单调区间． 解：(1)∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，∴f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝－4，f ′1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋b ＝－4，1＋2a ＋b ＝0.解得a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)得f (x )＝13x 3＋x 2－3x .f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x －1)(x ＋3)．由f ′(x )>0得x >1或x <－3； 由f ′(x )<0得－3<x <1.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)． 10．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x.设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]．令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0. 解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 令f ′(x )＞0，得x ＞x 2或x ＜x 1， 令f ′(x )＜0，得x 1＜x ＜x 2. ∵a ≥0，∴x 1<－1，x 2≥0.由此可得f (x )在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34.故所求a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 层级二 应试能力达标1.已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( ) A ．f (2)<f (e)<f (3) B ．f (e)<f (2)<f (3) C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：选A 在(0，＋∞)内，f ′(x )＝12x ＋1x >0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )解析：选C 由f ′(x )的图象知，x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．只有C 符合题意，故选C.3．(全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x.因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x<1，所以k ≥1.故选D.4．设函数F (x )＝f xex是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e2 016f (0) 解析：选C ∵函数F (x )＝f xex的导数F ′(x )＝f ′x e x －f x e xex2＝f ′x －f xex<0，∴函数F (x )＝f xex是定义在R 上的减函数， ∴F (2)<F (0)，即f 2e2<f 0e，故有f (2)<e 2f (0)．同理可得f (2 016)<e2 016f (0)．故选C.5．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________．解析：设g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2.∵对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，∴g ′(x )＞0. ∴g (x )在R 上为增函数．又g (－1)＝f (－1)＋2－4＝0，∴x ＞－1时，g (x )＞0.∴由f (x )＞2x ＋4，得x ＞－1. 答案：(－1，＋∞)6．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．解析：∵f (x )在(－1，＋∞)上为减函数， ∴f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立， ∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，∴－x ＋bx ＋2≤0， ∵b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1，∴g (x )min ＝－1，∴b ≤－1. 答案：(－∞，－1]7．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝－1时，证明：当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋2>0. 解：(1)根据题意知，f ′(x )＝a (1－x )x(x >0)， 当a >0时，则当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；同理，当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)； 当a ＝0时，f (x )＝－3，不是单调函数，无单调区间． (2)证明：当a ＝－1时，f (x )＝－ln x ＋x －3， 所以f (1)＝－2，由(1)知f (x )＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增， 所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>f (1)． 即f (x )>－2，所以f (x )＋2>0.8．已知函数f (x )＝ax －aex(a ∈R，a ≠0)．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数F (x )＝f (x )＋1没有零点，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋1e x ，f ′(x )＝x －2ex .由f ′(x )＝0，得x ＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )的极小值为f (2)＝－e 2，函数f (x )无极大值．(2)F ′(x )＝f ′(x )＝a e x －(ax －a )e x e2x＝－a (x －2)ex.①当a <0时，F (x )，F ′(x )的变化情况如下表：若使函数F (x )没有零点，当且仅当F (2)＝e 2＋1>0，解得a >－e 2，所以此时－e 2<a <0；②当a >0时，F (x )，F ′(x )的变化情况如下表：当x >2时，F (x )＝ex＋1>1， 当x <2时，令F (x )＝a (x －1)ex＋1<0，即a (x －1)＋e x<0，由于a (x －1)＋e x <a (x －1)＋e 2，令a (x －1)＋e 2≤0，得x ≤1－e 2a ，即x ≤1－e2a时，F (x )<0，所以F (x )总存在零点，综上所述，所求实数a 的取值范围是(－e 2,0)．。

课时跟踪训练(十七) 常数与幂函数的导数 导数公式表1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ； ②⎝⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3； ③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－12x x . 其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 2．已知f (x )＝x α(α∈Q )，若f ′(－1)＝4，则α等于( )A ．3B ．－3C ．4D ．－4 3．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为( )A.1eB ．－1eC ．－eD ．e 4．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N ＋)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x n 等于( )A.1nB.1n ＋1C.nn ＋1D ．1 5．已知函数f (x )＝xm －n (m ，n ∈Q )的导数为f ′(x )＝nx 3，则m ＋n ＝________. 6．函数f (x )＝sin x (x ∈[0,2π])，若f ′(x 0)＝12，则x 0＝________. 7．求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x；(3)y ＝log 3x ； (4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2；(5)y ＝e 2.8．求曲线y ＝1x 2和y ＝1x在它们的交点处的切线方程．答 案1．选B (cos x )′＝－sin x ，所以①错误； sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0，所以②错误； ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，所以③错误； ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝⎝⎛⎭⎫x 12-′＝－12x －32＝－12x x， 所以④正确．2．选D ∵f (x )＝x α，∴f ′(x )＝αx α－1. ∴f ′(－1)＝α(－1)α－1＝4.∴α＝－4.3．选D y ′＝e x ，设切点为(x 0，y 0)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0y 0＝e x 0k ＝e x 0 ∴e x 0·x 0＝e x 0，∴x 0＝1，∴k ＝e. 4．选C y ′＝(n ＋1)x n ，曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x n ＝n n ＋1.5．解析：∵f (x )＝xm －n ，∴f ′(x )＝(m －n )x m －n －1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＝n ，m －n －1＝3，解得m ＝8，n ＝4，∴m ＋n ＝12.答案：126．解析：∵f (x )＝sin x ， ∴f ′(x )＝cos x ，cos x 0＝12，又x 0∈[0,2π]，∴x 0＝π3或x 0＝5π3.答案：π3或5π37．解：(1)y ′＝(x 8)′＝8x 8－1＝8x 7.(2)y ′＝(4x )′＝4x ln 4.(3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3.(4)y ′＝(cos x )′＝－sin x .(5)y ′＝(e 2)′＝0.8．解：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1x 2，y ＝1x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴交点坐标为(1,1)．对于y ＝1x 2＝x －2，y ′＝－2x －3，∴k 1＝y ′|x ＝1＝－2， 对于y ＝1x ＝x －1，y ′＝－x －2，∴k 2＝y ′|x ＝1＝－1. ∴曲线y ＝1x 2在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝－2(x －1)， 即y ＝－2x ＋3.曲线y ＝1x 在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即y ＝－x ＋2.欢迎下载！欢迎下载！。

课时跟踪检测（十九）指数函数、幂函数、对数函数增长的比较层级一学业水平达标1．有一组试验数据如下表所示：A．y＝log a x(a＞1)B．y＝ax＋b(a＞1)C．y＝ax2＋b(a＞0) D．y＝log a x＋b(a＞1)解析：选C通过所给数据可知y随x的增大而增大，其增长速度越来越快，而A、D 中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变．故选C.2．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是()A．y＝50 B．y＝1 000xC．y＝0.4·2x－1D．y＝11 000ex答案：D3．某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log2(x＋1)，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到()A．300只B．400只C．500只D．600只解析：选A由已知第一年有100只，得a＝100.将a＝100，x＝7代入y＝a log2(x＋1)，得y＝300.4．某种动物繁殖的数量y与繁殖次数x的关系如下表：①y＝2x－1；②y＝x2－1；③y＝2x－1；④y＝x2－x＋1.A．①②B．③④C．②③D．②④答案：B5．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)解析：选B画出函数的图像，当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故g (x )＞f (x )＞h (x )．6．三个变量y 1，y 2，y 3随着变量x 的变化情况如下表：则关于x ，________，________.解析：通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y 3随x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度越来越快，y 2随x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y 1随x 的变化符合此规律．答案：y 3 y 2 y 17．工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x ＋b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此工厂3月份该产品的产量为________万件．解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝0.5a ＋b ，1.5＝0.25a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，∴y ＝－2×0.5x ＋2.∴3月份产量为y ＝－2×0.53＋2＝1.75万件． 答案：1.758.某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示，给出下列四种说法：①前三年中产量增长的速度越来越快；②前三年中产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的是________．解析：由t ∈[0,3]的图像，联想到幂函数y ＝x a (0＜a ＜1)，反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢，由t ∈[3,8]的图像可知，总产量C 没有变化，即第三年后停止生产．答案：②③9．假设我国国民经济的年平均增长率为9%，试问经过几年可以使国民经济翻一番？(lg 2≈0.301 0，lg 1.09≈0.037 4)解：设经过x 年后可以翻一番，则有(1＋0.09)x ＝2， 即1.09x ＝2.x ＝lg 2lg 1.09≈0.301 00.037 4≈8.所以经过8年可以翻一番． 10．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)． 解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .(2)当0<x ＜x 1时，g (x )＞f (x )；当x 1＜x ＜x 2时，f (x )＞g (x )；当x ＞x 2时，g (x )＞f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x )．层级二 应试能力达标1．如图给出了红豆生长时间t (月)与枝数y (枝)的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？( )A ．指数函数：y ＝2tB ．对数函数：y ＝log 2tC ．幂函数：y ＝t 3D ．二次函数：y ＝2t 2解析：选A 把t ＝1,2,3代入验证易得结果．2．四人赛跑，假设他们走过的路f i (x )(i ∈{1,2,3,4})和时间x (x ＞1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x ，故选D.3．当0<x <1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( )A ．h (x )<g (x )<f (x )B ．h (x )<f (x )<g (x )C ．g (x )<h (x )<f (x )D ．f (x )<g (x )<h (x )解析：选D 取特殊值x ＝12代入可排除A 、B 、C.4．设x ∈(0,1)时，y ＝x p (p ∈Z)的图像在直线y ＝x 的上方，则p 的取值范围是( )A ．p ≥0B ．0<p <1C ．p <1且p ≠0D ．p >1解析：选C 当p <0时，f (x )＝x p ＝⎝⎛⎭⎫1x －p，在(0,1)上单调递减，∴y >f (1)＝1在直线y ＝x 上面，故只有C 正确．5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2006年以150万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年增长率不变，那么到2016年，这所房子的价格y (万元)与价格年增长率x 之间的函数关系式是______．解析：1年后，y ＝150(1＋x )；2年后，y ＝150(1＋x )2；3年后，y ＝150(1＋x )3，…，10年后，y ＝150(1＋x )10.答案：y ＝150(1＋x )106．已知元素“碳14”每经过5 730年，其质量就变成原来的一半．现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有________年．(注：精确到百位数，lg 2＝0.301 0，lg 4.1＝0.613)解析：设距现在为x 年，则有⎝⎛⎭⎫12x 5 730＝41%，两边取对数，利用计算器可得x ≈7 400. 答案：7 4007．现有某种细胞100个，其中占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)解：现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数： 1 h 后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100；2 h 后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100； 3 h 后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100； 4 h 后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100. 可见，细胞总数y 与时间x (h)之间的函数关系为 y ＝100×⎝⎛⎭⎫32x ，x ∈N ＋.由100×⎝⎛⎭⎫32x >1010，得⎝⎛⎭⎫32x >108，两边同时取以10为底的对数，得x lg 32>8， ∴x >8lg 3－lg 2.∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45，∴x >45.45.故经过46 h ，细胞总数超过1010个．8．已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元， 且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润(万元)与月份x 之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f (x )＝a 1x 2＋b 1x ＋6，g (x )＝a 23x ＋b 2(a 1，a 2，b 1，b 2∈R)．(1)求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；(2)在同一直角坐标系下画出函数f (x )与g (x )的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．解：(1)依题意：由⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝6，f (2)＝14，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝0，4a 1＋2b 1＝8.解得a 1＝4，b 1＝－4，∴f (x )＝4x 2－4x ＋6.由⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)＝6，g (2)＝8，有⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋b 2＝6，9a 2＋b 2＝8.解得a 2＝13，b 2＝5，∴g (x )＝13×3x ＋5＝3x －1＋5，所以甲在今年5月份的利润为f (5)＝86万元，乙在今年5月份的利润为g (5)＝86万元， 故有f (5)＝g (5)，即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．(2)作函数图像如图所示：从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：当x ＝1或x ＝5时， 有f (x )＝g (x )； 当1<x <5时， 有f (x )>g (x )； 当5<x ≤12时， 有f (x )<g (x )．。

课时跟踪检测（十九） 幂函数层级一 学业水平达标1．在函数①y ＝1x ，②y ＝x 2，③y ＝2x ，④y ＝1，⑤y ＝2x 2，⑥y ＝x -12中，是幂函数的是( )A ．①②④⑤B ．③④⑥C ．①②⑥D ．①②④⑤⑥解析：选C 幂函数是形如y ＝x α(α∈R ，α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－12的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x 2的系数是2，所以不是幂函数；④是常数函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝⎛⎭⎫12， 2 ，则k ＋α＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．.2解析：选A ∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R)的图象过点⎝⎛⎭⎫12， 2 ，∴k ＝1，f ⎝⎛⎭⎫12 ＝⎝⎛⎭⎫12 α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D.y ＝x 13解析：选A 所给选项都是幂函数，其中y ＝x －2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x－1和y ＝x 13不是偶函数，故排除选项B 、D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.4．函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )解析：选B y ＝x 12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y ＝x 12－1的图象可看作由y ＝x 12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A 中的图所示)，将y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称后即为选项 B.5.如图所示，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则下列结论正确的是( )A ．n <m <0B ．m <n <0C ．n >m >0D ．m >n >0解析：选A 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m <0，n <0.当x ＝2时，2m ＞2n ，所以n ＜m ＜0.6．若y ＝ax2a -12是幂函数，则该函数的值域是________．解析：由已知y ＝ax 2a -12是幂函数，得a ＝1，所以y ＝x 12，所以y ≥0，故该函数的值域为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)7．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如表：则f (x )的单调递增区间是解析：因为f ⎝⎛⎭⎫12＝22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，即α＝12，所以f (x )＝x 12的单调递增区间是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)8．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值是________．解析：因为f (x )＝x α为奇函数，所以α＝－1,1,3.又因为f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以α＝－1.答案：－19．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m m 21＋－，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．解：(1)若函数f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若函数f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若函数f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1±2.10．比较下列各组数的大小． (1)3-72和3.2-72；(2)⎝⎛⎭⎫－2323和⎝⎛⎭⎫－π623； (3)4.125和3.8-43.解：(1)函数y ＝x-72在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3-72＞3.2-72.(2)⎝⎛⎭⎫－2323＝⎝⎛⎭⎫2323，⎝⎛⎭⎫－π623＝⎝⎛⎭⎫π623，函数y ＝x 23在(0，＋∞)上为增函数，而23＞π6，所以⎝⎛⎭⎫－2323＞⎝⎛⎭⎫－π623. (3)4.125＞125＝1,0＜3.8－43＜1－43＝1，所以4.125＞3.8－43.层级二 应试能力达标1．已知函数f (x )＝(a 2－a －1)x-1a 2为幂函数，则实数a 的值为( ) A ．－1或2 B ．－2或1 C ．－1D ．1解析：选C 因为f (x )＝(a 2－a －1)x -1a 2为幂函数，所以a 2－a －1＝1，即a ＝2或－1.又a －2≠0，所以a ＝－1.2．下列结论中，正确的是( )A ．幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．.当α＝－1时，幂函数y ＝x α在其整个定义域上是减函数 解析：选C 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x－1的图象不经过原点，故A 错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α(α∈R)＞0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B 错误；当α＞0时，y ＝x α是增函数，故C 正确；当α＝－1时，y ＝x－1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D 错误．故选C.3．设a ＝⎝⎛⎭⎫1234，b ＝⎝⎛⎭⎫1534，c ＝⎝⎛⎭⎫1212，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c解析：选D 构造幂函数y ＝x 34(x ∈(0，＋∞))，由该函数在定义域内单调递增，知a >b ；构造指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x，由该函数在定义域内单调递减，所以a <c ，故c >a > B.4．如下图所示曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．.2，12，－2，－12解析：选B 要确定一个幂函数y ＝x α在坐标系内的分布特征，就要弄清幂函数y ＝x α随着α值的改变图象的变化规律．随着α的变大，幂函数y ＝x α的图象在直线x ＝1的右侧由低向高分布．从图中可以看出，直线x ＝1右侧的图象，由高向低依次为C 1，C 2，C 3，C 4，所以C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为2，12，－12，－2.5．若(a ＋1)12＜(3－2a )12，则a 的取值范围是________．解析：函数y ＝x 12在[0，＋∞)上是增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＜3－2a ，解得－1＜a ＜23.答案：⎝⎛⎭⎫－1，23 6．已知函数f (x )＝x -a 13在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.解析：取值验证．α＝1时，y ＝x 0，不满足；α＝2时，y ＝x-13，在(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；α＝3时，y ＝x-23满足题意．答案：37．已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k . (1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2]时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，若A ∪B ＝A ，求实数k 的取值范围．解：(1)依题意，得(m －1)2＝1，解得m ＝0或m ＝2. 当m ＝2时，f (x )＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2.当x ∈[1,2]时，f (x )，g (x )单调递增， ∴A ＝[1,4]，B ＝[2－k,4－k ]． ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4⇒0≤k ≤1. ∴实数k 的取值范围是[0,1]．8．已知幂函数f (x )＝x()m m 21－＋ (m ∈N *)(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )＞f (a －1)的实数a 的取值范围．解：(1)m 2＋m ＝m (m ＋1)，m ∈N *，而m 与m ＋1中必有一个为偶数， ∴m (m ＋1)为偶数．∴函数f (x )＝x (m 2＋m )－1(m ∈N *)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数．(2)∵函数f (x )经过点(2，2)， ∴2＝2()m m 21－＋，即212＝2()m m 21－＋.∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.由f (2－a )＞f (a －1)得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a ＞a －1.解得1≤a ＜32.∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫1，32.。

1.2.1 常数函数与幂函数的导数~ 1.2.2 导数公式表及数学软件的应用~1.2.3 导数的四则运算法则学习目标1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 2．熟练运用导数的运算法则．3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数． 基础知识1．基本初等函数的导数公式表(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求． (2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．做一做1－1 给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y′＝133x ；③若y＝1x 2，则y′＝－2x －3；④若y ＝f (x )＝3x ，则f′(1)＝3；⑤若y ＝cos x ，则y′＝sin x ；⑥若y ＝sin x ，则y′＝cos x ．其中正确的个数是( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 做一做1－2 下列结论中正确的是( )． A ．(log a x )′＝a x B ．(log a x )′＝ln 10xC ．(5x )′＝5xD ．(5x )′＝5x ln 5 2．导数的四则运算法则 (1)函数和(或差)的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则(f (x )±g (x ))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________． (2)函数积的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )g (x )]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法则立即可以得出[Cf (x )]′＝Cf′(x )，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．(3)函数的商的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，g (x )≠0，则⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝________________. 名师点拨(1)比较：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )，注意差异，加以区分． (2)f (x )g (x )≠f ′(x )g ′(x )，且⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′≠g (x )f ′(x )＋f (x )g ′(x )g 2(x ). (3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则． (4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． 若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x ，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 做一做2 下列求导运算正确的是( )． A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x ·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 3．复合函数的求导法则对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f [g (x )]．如函数y ＝(2x ＋3)2是由y ＝u 2和u ＝2x ＋3复合而成的．复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y′x ＝y′u ·u ′x . 即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 知识拓展对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y′x ＝y′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写． 做一做3 函数y ＝ln(2x ＋3)的导数为________． 重点难点1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数． 2．导数公式表中y′表示什么？剖析：y′是f′(x )的另一种写法，两者都表示函数y ＝f (x )的导数． 3．如何理解y ＝C (C 是常数)，y′＝0；y ＝x ，y′＝1?剖析：因为y ＝C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y ＝x 的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1. 典型例题题型一 利用公式求函数的导数 例题1 求下列函数的导数： (1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x 2(1－2cos 2x4)．反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导． 题型二 利用四则运算法则求导 例题2 求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (4)y ＝x －1x ＋1.反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误． 题型三 求复合函数的导数 例题3 求下列函数的导数： (1)y ＝(2x ＋1)n (x ∈N ＋)； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫x1＋x 5；(3)y ＝sin 3(4x ＋3)； (4)y ＝x cos x 2.反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量．易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导．复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环． 题型四 易错辨析易错点：常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错．牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键． 例题4 求函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数．错解：y′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x ＋e －x )． 随堂练习1下列各组函数中导数相同的是( )． A ．f (x )＝1与f (x )＝x B ．f (x )＝sin x 与f (x )＝cos x C ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin x D ．f (x )＝x －1与f (x )＝x ＋12已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f′(－1)＝4，则a 的值为( )． A ．193 B ．103 C ．133 D ．1633函数y ＝cos x x 的导数是( )．A ．－sin xx 2 B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos x x 24设y ＝1＋a ＋1－x (a 是常数)，则y′等于( )． A ．121＋a ＋121－x B ．121－xC ．121＋a －121－xD ．－121－x5已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y ＝－3x ＋7，则a ＝________，b ＝________.参考答案基础知识·梳理1．nx n－1a x ln a1x ln a cos x－sin x做一做1－1 【答案】B由求导公式可知，①③④⑥正确．做一做1－2 【答案】D2．(1)f′(x )±g′(x ) 导数和(或差) (2)f′(x )g (x )＋f (x )g′(x ) 函数的导数 (3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )做一做2 【答案】B由求导公式知，B 选项正确.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝x ′＋(x －1)′＝1－x －2＝1－1x 2.(3x )′＝3x ln 3，(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 做一做3 【答案】y′＝22x ＋3【解析】函数y ＝ln(2x ＋3)可看作函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋3的复合函数， 于是y′x ＝y′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ×2＝22x ＋3.典型例题·领悟例题1 解：(1)y′＝(x x )′＝⎝⎛⎭⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y′＝(5x 3)′＝⎝⎛⎭⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎫1－2cos 2 x 4＝2sin x 2⎝⎛⎭⎫2cos 2 x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ， ∴y′＝cos x .例题2 解：(1)y′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′ ＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′－6′＝4x 3－6x －5.(2)y′＝(x ·tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x ·sin x cos x ′＝(x ·sin x )′·cos x －x ·sin x (cos x )′cos 2x ＝sin x ＋x ·cos x ·cos x ＋x ·sin 2x cos 2x＝sin x ·cos x ＋x ·cos 2x ＋x ·sin 2x cos 2x ＝12sin 2x ＋x cos 2x ＋x sin 2xcos 2x ＝sin 2x ＋2x 2cos 2x .(3)方法1：y′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.方法2：y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， y′＝3x 2＋12x ＋11. (4)方法1：y′＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝(x －1)′(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)′(x ＋1)2＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.方法2：y ＝1－2x ＋1，y′＝⎝⎛⎭⎫1－2x ＋1′＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋1′＝－2′(x ＋1)－2(x ＋1)′(x ＋1)2＝2(x ＋1)2.例题3 解：(1)y′＝[(2x ＋1)n ]′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1. (2)y′＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 1＋x 5′＝5·⎝⎛⎭⎫x 1＋x 4·⎝⎛⎭⎫x 1＋x ′＝5x 4(x ＋1)6. (3)y′＝[sin 3(4x ＋3)]′ ＝3sin 2(4x ＋3)[sin(4x ＋3)]′ ＝3sin 2(4x ＋3)·cos(4x ＋3)·(4x ＋3)′ ＝12sin 2(4x ＋3)cos(4x ＋3)． (4)y′＝(x cos x 2)′＝x ′·cos x 2＋(cos x 2)′·x ＝cos x 2－2x 2sin x2.例题4 错因分析：y ＝e －x 的求导错误，y ＝e －x 由y ＝e u 与u ＝－x 复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行．正解：令y ＝e u ，u ＝－x ，则y′x ＝y′u ·u ′x ，所以(e －x )′＝(e u )′(－x )′＝e －x ×(－1)＝－e －x ， 所以y′＝⎣⎡⎦⎤12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )． 随堂练习·巩固 1．【答案】D 2．【答案】B【解析】f′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 3．【答案】C【解析】y′＝⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·x ′x 2＝－x sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos xx 2. 4．【答案】D【解析】由x 是自变量，a 是常数，可知(1＋a )′＝0，所以y′＝(1＋a )′＋(1－x )′ ＝[(1－x )12]′＝12(1－x )－12·(1－x )′＝－121－x.5．【答案】－3 9【解析】∵y′＝2ax ＋b ，∴y′|x ＝2＝4a ＋b ，∴方程y －1＝(4a ＋b )(x －2)与方程y ＝－3x ＋7相同，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，1－2(4a ＋b )＝7，即4a ＋b ＝－3，又点(2,1)在y ＝ax 2＋bx －5上， ∴4a ＋2b －5＝1.即4a ＋2b ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋b ＝－3，4a ＋2b ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9.。