高中数学北师大版必修五教案：1.4数列在日常经济生活中的应用参考教案

教学设计《分期付款》
3、【迁移与应用】假设你的父母向银行贷款20万元用于购房，年利率为10%，按复
利计算．若这笔借款要求分15年等额归还，每年还一次，15年还清，并在借款后下一年初开始归还，你帮父母计算一下每年应还多少钱？(精确到1元，1.115≈4.17725)
让学生利用公式快速
计算
培养学生理
论与实践相结
合，体会成功的
喜悦
4、活动（二）顾客购买一件售价为10000元的商品时采取零首付分期付款，在一年内将款全部还清的前提下，
商家给出以下几种付款方式供顾客选择（见附表一），请你帮顾客完成下表中的计算，选择较为优惠的方案。

学生分组完成不同方
案的计算，并总结规律
培养学生的
动手能力、合作
学习能力和运用
所学知识解决实
际问题的能力
5、活动（三）一汽大众4s 店为顾客提供买车贷款服
务，以10万元贷款为例给出以下几种还款方式（见附表二），供顾客参考。

如果让你选择方案，你应考虑哪些因
各组学生派代表发言，
阐述不同的观点
培养学生运用所
学知识解决实际
问题的能力。

数列在日常经济生活中的作用——分期付款教学设计◆教材分析《数列在日常经济生活中的作用》选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修5）》（北师大版）第一章第四节。

等差数列和等比数列是日常经济生活中重要的数学模型，有着广泛的应用。

例如存款、贷款和购物分期付款等问题都与之相关。

教材以实例出发，调动学生学习，体会到数学在解决实际问题中的作用，体验数学与日常生活的联系。

在日常生活中学会运用数学知识和方法建立数学模型、解决实际问题。

购物是每个人经济生活中最基本的活动，分期付款也是越来越多人的选择。

因此，理解和掌握分期付款中的相关计算十分重要。

◆学情分析在此堂课前学生已经学习了等差数列和等比数列，会求其前n项和。

大部分学生在日常生活中已经接触过分期付款，但没有将其与数列知识简历联系。

高一学生有一定的建立数学模型能力，但应用的意识淡薄，不能根据实际问题的特征，正确地建立数学模型并解决问题。

◆教学目标➢知识与技能（1）掌握每期等额分期付款与到期一次性付款间的关系；（2）会应用等比数列的知识体系解决分期付款中的有关计算。

➢过程与方法（1）通过探究“分期付款”这一日常经济生活中的实际问题，体会数列知识在现实生活中的应用；（2）感知应用数学知识建立数学模型解决实际问题的方法。

➢情感、态度与价值观（1）体会数列与日常经济生活紧密相关；（2）体会生活中处处有数学，从而激发学生学习的积极性，提高数学学习兴趣和信心。

◆教学重点（1）建立分期付款数学模型，并用于解决实际问题；（2）理解分期付款的优、缺点。

◆教学难点在实际情境中发现并建立“分期付款”数学模型◆主要教学方法启发式教学法◆授课类型新授课◆教具多媒体◆教学过程✧创设情景、引入新课淘宝“花呗”分期付款问题从购买手机入手，给学生展示淘宝购物页面“分期付款（可选）”一栏。

【师生互动】:教师引出购买手机和其他价格较高物品的问题，学生讨论如何购买，展示淘宝购物页面截图。

§4 数列在日常经济生活中的应用课时目标 1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义．1．有关储蓄的计算储蓄与人们的日常生活密切相关，计算储蓄所得利息的基本公式是：利息＝本金×存期×利率．根据国家规定，个人所得储蓄存款利息，应依法纳税，计算公式为：应纳税额＝利息全额×税率．(1)整存整取定期储蓄一次存入本金金额为A ，存期为n ，每期利率为p ，税率为q ，则到期时，所得利息为：________，应纳税为________，实际取出金额为：________________. (2)定期存入零存整取储蓄每期初存入金额A ，连存n 次，每期利率为p ，税率为q ，则到第n 期末时，应得到全部利息为： _________.应纳税为：______________，实际受益金额为__________________． 2．分期付款问题贷款a 元，分m 个月将款全部付清，月利率为r ，各月所付款额到贷款全部付清时也会产生利息，同样按月以复利计算，那么每月付款款额为： _______________________.一、选择题 1．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的17是较少的两份之和，则最小的一份的量为( ) A.53 B.103 C.56 D.1162．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为( )A ．1.14aB ．1.15aC ．10a (1.15－1)D ．11a (1.15－1)3．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( )A.a (1＋γ)(1＋γ)5－1万元B.a γ(1＋γ)5(1＋γ)5－1万元 C.a γ(1＋γ)5(1＋γ)4－1万元 D.a γ(1＋γ)5万元 4．某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为( ) A ．p B ．12pC ．(1＋p )12D ．(1＋p )12－15．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最大的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年二、填空题6．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2010年产生的垃圾量为a吨．由此预测，该区2015年的垃圾量为________吨．7．一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了______支铅笔．8．银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于________．三、解答题9．家用电器一件，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.00812＝1.1)．10．假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.085≈1.47)能力提升 11．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月 12．某企业投资1 000万元用于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg 2＝0.3)从实际问题转化为数列问题，极易出现弄错数列的项数，因此一定要仔细审题，弄清楚数列中的项与实际问题中的时间(例如年份)之间的对应关应．尤其是首项a 1代表的实际含义一定要弄清楚．§4 数列在日常经济生活中的应用答案知识梳理1．(1)nAp nApq nAp (1－q )＋A (2)12n (n ＋1)Ap 12n (n ＋1)Apq 12n (n ＋1)Ap (1－q )2.ar (1＋r )m (1＋r )m－1 作业设计1．A [设公差为d (d >0)，则5份分别为20－2d,20－d,20,20＋d,20＋2d ， 则7(20－2d ＋20－d )＝20＋(20＋d )＋(20＋2d )，解得d ＝556，最小的一份为20－553＝53.]2．D [注意去年产值为a ，今年起5年内各年的产值分别为1.1a ，1．12a,1.13a,1.14a,1.15a .∴1.1a ＋1.12a ＋1.13a ＋1.14a ＋1.15a ＝11a (1.15－1)．]3．B [设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，∴x ＝a γ(1＋γ)5(1＋γ)5－1.] 4．D [设1月份产值为1，年平均增长率为x ，依题意得(1＋p )12[1－(1＋p )12]1－(1＋p )＝1－(1＋p )121－(1＋p )(1＋x )，∴x ＝(1＋p )12－1.]5．C [由题意知第一年年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年年产量为a n ＝f (n )－f (n －1)＝3n 2，∴a n ＝3n 2 (n ∈N ＋)，令3n 2≤150，得1≤n ≤52， ∴1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．]6．a (1＋b )57．7 260解析 从下向上依次放了1,2,3，…，120支铅笔， ∴共放了铅笔1＋2＋3＋…＋120＝7 260(支)． 8.13[(1＋r )3－1] 解析 设本金为1，按一年定期存款，到期自动转存收益最大，三年总收益为(1＋r )3－1；若按三年定期存款，三年的总收益为3q ，为鼓励储户三年定期存款，应使3q >(1＋r )3－1. 即q >13[(1＋r )3－1]．9．解 方法一 设每期应付款x 元．第1期付款与到最后一次付款所生利息之和为x (1＋0.008)11(元)．第2期付款与到最后一次付款所生利息之和为x (1＋0.008)10(元)，… 第12期付款没有利息．所以各期付款连同利息之和为x (1＋1.008＋…＋1.00811)＝1.00812－11.008－1x ，又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，于是有1.00812－11.008－1x ＝2 000×1.00812.解得x ＝16×1.008121.00812－1＝176(元)． 即每期应付款176元．方法二 设每期应付款x 元，则第1期还款后欠款2 000×(1＋0.008)－x第2期还款后欠款(2 000×1.008－x )×1.008－x ＝2 000×1.0082－1.008x －x ， …第12期还款后欠款2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ，第12期还款后欠款应为0，所以有2 000×1.00812－(1.00811＋1.00810＋…＋1)x ＝0.∴x ＝2 000×1.008121.00812－11.008－1＝176(元)．即每期应还款176元． 10．解 (1)设中低价房面积构成数列{a n }，由题意可知{a n }是等差数列．其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ≥4 750，即n 2＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.∴到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米． (2)设新建住房面积构成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列．其中b 1＝400，q ＝1.08，则b n ＝400×1.08n －1. 由题意可知a n >0.85b n ，有250＋(n －1)·50>400×1.08n －1×0.85.由1.085≈1.47解得满足上述不等式的最小正整数n ＝6， ∴到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 11．C解析 n 个月累积的需求量为S n ，∴第n 个月的需求量为a n ＝S n －S n －1＝n 90(21n －n 2－5)－n －190[21(n －1)－(n －1)2－5]＝130(－n 2＋15n －9)．a n >1.5，即满足条件，∴130(－n 2＋15n －9)>1.5，6<n <9(n ＝1,2,3，…，12)，∴n ＝7或n ＝8.(可直接代入各个选项进行验证得出答案)12．解 设该项目逐年的项目资金数依次为a 1，a 2，a 3，…，a n . 则由已知a n ＋1＝a n (1＋25%)－200(n ∈N ＋)．即a n ＋1＝54a n －200.令a n ＋1－x ＝54(a n －x )，即a n ＋1＝54a n －x4，由x4＝200，∴x ＝800.∴a n ＋1－800＝54(a n －800)(n ∈N ＋)故数列{a n －800}是以a 1－800为首项，54为公比的等比数列．∵a 1＝1 000(1＋25%)－200＝1 050.∴a 1－800＝250，∴a n －800＝250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1.∴a n ＝800＋250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1(n ∈N ＋)．由题意a n ≥4 000.∴800＋250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1≥4 000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54n≥16.两边取常用对数得n lg 54≥lg 16，即n (1－3lg 2)≥4lg 2.∵lg 2＝0.3，∴0.1n ≥1.2，∴n ≥12.即经过12年后，该项目资金可以达到或超过翻两番的目标．。

§4 数列在日常经济生活中的应用学习目标1.理解单利、复利的含义(数学抽象)2.能在具体的问题情境中发现数列的等差、等比关系,并解决相应的问题(数学建模)必备知识·自主学习导思1.数学中常见的定期存款利率计算方法有哪些?2.建立数学模型的关键是什么?1.三种常见的应用模型(1)零存整取:每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本利和,这是整取,规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税).(2)定期自动转存:例如,储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和,则银行自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.(3)分期付款:分期付款是购物的一种付款方式.即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求,分期付清.数列在日常经济生活中的应用主要有哪些?提示:零存整取,定期自动转存,分期付款等.2.常用公式(1)复利公式:按复利计算的一种储蓄,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和S=P(1+r)n.(2)产值模型:原来产值的基础数为N,平均增长率为r,对于时间x的总产值y=N(1+r)x.(3)单利公式:利息按单利计算,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和为S=P(1+nr).复利与单利的区别是什么?提示:(1)复利在第二次以后计算时,将上一次得到的利息也作为了本金,而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息.(2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型,即单利的实质是等差数列,复利的实质是等比数列.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)银行的定期自动转存是复利计息方式.( )(2)企业对某一项目投资,每年比上一年递增50万元,则各年的投资额构成等差数列.( )(3)企业对某一项目投资,每年比上一年递增10%,则各年的投资额也构成等差数列.( )提示:(1)√.(2)√.(3)×.应是等比数列.2.某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%,q%,则这两年的平均增长率是( ) A.B.p%·q%C.D.-1【解析】选D.设该工厂最初的产值为1,这两年的平均增长率为r,则(1+p%)(1+q%)=(1+r)2. 于是r=-1.3.我国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则.例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷影长的记录中,冬至和夏至的晷影长是实测得到的,其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的.下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录,其中115.1寸表示115寸1分(1寸=10分).节气冬至小寒(大雪) 大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)惊蛰(寒露)春分(秋分)晷影长(寸)135 125.115.1105.295.385.475.5节气清明(白露) 谷雨(处暑)立夏(立秋)小满(大暑)芒种(小暑)夏至晷影长(寸)65.5 55.645.735.825.916.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸,夏至晷影长为14.8寸,那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为寸.【解析】设晷影长为等差数列{a n},公差为d,a1=130.0,a13=14.8,则130.0+12d=14.8,解得d=-9.6.所以a6=130.0-9.6×5=82.0.所以《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸.答案:82.04.(教材二次开发:习题改编)2020年5月小X在中国银行存入10万元定期存款,存期1年,年利率为2.25%,那么10年后共得本息为万元.(精确到0.001)【解析】10年后的本息a10=10×(1+0.0225)10≈12.492(万元).答案:12.492关键能力·合作学习类型一等差数列模型(数学建模、逻辑推理)【典例】我国古代著名的《周髀算经》中提到:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺六寸.意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99分;且“冬至”时日影长度最大,为1350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.则“立春”时日影长度为( )A.953分B.1052分C.1151分D.1250分【思路导引】首先“冬至”时日影长度最大,为1350分,“夏至”时日影长度最小,为160分,即可求出d=-,进而求出立春”时日影长度为1052分.【解析】选B.一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99分,且“冬至”时日影长度最大,为1350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.所以1350+12d=160,解得d=-,所以“立春”时日影长度为1350+×3=1052(分).等差数列模型的判定(1)认真审题:解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.(2)抓住关键:若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.(3)常见问题:银行的单利计息;出租车费用;计费等.某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房,共需1150万元,购买当天先付150万元,以后每月这一天都交付50万元,并加付欠款利息,月利率为1%,若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分期付款的第10个月应付多少钱?全部按期付清后,买这40套住房实际花了多少钱?【解析】因购房时付150万元,则欠款1 000万元,依题意分20次付款,则每次付款的数额顺次构成数列{a n}.则a1=50+1 000×1%=60,a2=50+(1 000-50)×1%=59.5,a3=50+(1 000-50×2)×1%=59,a4=50+(1 000-50×3)×1%=58.5,…所以a n=50+[1 000-50(n-1)]×1%=60-(n-1)(1≤n≤20,n∈N+).所以{a n}是以60为首项,-为公差的等差数列.所以a10=60-9×=55.5.所以第10个月应付55.5(万元).a20=60-19×=50.5.所以S20=×(a1+a20)×20=10×(60+50.5)=1 105.所以实际共付1 105+150=1 255(万元).类型二等比数列模型(数学建模、逻辑推理)【典例】(2020·安福高一检测)某学生家长为缴纳该学生上大学时的教育费,于2018年8月20号从银行贷款a元,为还清这笔贷款,该家长从2019年起每年的8月20号便去银行偿还相同的金额,计划恰好在贷款的m年后还清,若银行按年利率为p的复利计息(复利:即将一年后的贷款利息也纳入本金计算新的利息),则该学生家长每年的偿还金额是( )A. B.C. D.【思路导引】根据题意建立方程a=x+x++…+x,再结合等比数列求和公式,即可求出x的值.【解析】选D.设每年偿还的金额为x,则a=x+x+x+…+x,所以a=x,解得x=.等比数列模型的判定(1)复利的计算是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式为:本利和=本金×(1+利率)n.定期自动转存(复利)是等比数列求和在经济方面的应用.(2)在数列应用题中,通过阅读题目题意,发现a n+1与a n之间的关系满足=q(q为常数,且q ≠0),则数列{a n}为等比数列.所以这一类题目可用等比数列的模型解决.某大学X教授年初向银行贷款20万元用于购房,银行贷款的年利率为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10次等额还清,每年年初还一次,并且在贷款后次年年初开始归还,问:每年应还多少万元?(参考数据:1.110≈2.594)【解析】设每年还款x万元,则每年还款后的余额为:第一年:20×(1+10%)-x,第二年:(20×1.1-x)×1.1-x=20×1.12-(1.1+1)x,第三年:[20×1.12-(1.1+1)x]×1.1-x=20×1.13-(1.12+1.1+1)x,第n年:20×1.1n-(1.1n-1+1.1n-2+…+1.1+1)x.a n=20×1.1n-x=20×1.1n-x,十年还清,即十年以后余额为零,所以20×1.110-x=0,x=≈3.255(万元)答:如果10年还清,每年应还约3.255万元.类型三等差数列、等比数列的综合应用(逻辑推理、数学建模)【典例】某企业进行技术改造,有两种方案:甲方案,一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案,每年贷款1万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前年多获利5千元.两种方案,使用期限都是十年,到期一次性归还本息,若银行贷款利息按年息10%的复利计算,比较两种方案,哪个获利更多?(计算数据精确到千元,1.110≈2.594,1.310≈13.786)【思路导引】分清两种方案分别属于什么数列模型,然后分别建立不同数列模型解决.【解析】方案甲:十年获利中,每年获利数构成等比数列,首项为1,公比为1+30%,前10项和为S10=1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9,所以S10=≈42.62(万元).又贷款本息总数为10(1+10%)10=10×1.110≈25.94(万元),甲方案净获利42.62-25.94≈16.7(万元).乙方案获利构成等差数列,首项为1,公差为,前10项和为T10=1+++…+==32.50(万元),而贷款本息总数为1.1×[1+(1+10%)+…+(1+10%)9]=1.1×≈17.53(万元),乙方案净获利32.50-17.53≈15.0(万元).比较两方案可得甲方案获利较多.将实际问题转化为数列问题的注意事项(1)分清是等差数列还是等比数列.(2)分清是求a n,还是求S n,特别要准确确定项数n.(3)递推关系的发现是数列建模的重要方式.甲、乙两超市同时开业,第一年的全年销售额为a万元,由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为(n2-n+2)万元,乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元.(1)求甲、乙两超市第n年销售额的表达式,(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?【解析】(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为a n,b n.则有a1=a,当n≥2时,a n=(n2-n+2)-[(n-1)2-(n-1)+2]=(n-1)a,所以a n=b n=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(b n-b n-1)=a(n∈N+).(2)易知b n<3a,所以乙超市将被甲超市收购,由b n<a n,得a<(n-1)a.所以n+4>7,所以n≥7,即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购.课堂检测·素养达标1.某工厂总产值月平均增长率为p,则年平均增长率为( )A.pB.12pC.(1+p)12D.(1+p)12-1【解析】选D.设原有总产值为a,年平均增长率为r,则a(1+p)12=a(1+r),解得r=(1+p)12-1.2.通过测量知道,温度每降低6℃,某电子元件的电子数目就减少一半.已知在零下34℃时,该电子元件的电子数目为3个,则在室温27℃时,该元件的电子数目接近( )A.860个B.1730个C.3072个D.3900个【解析】选C.由题设知,该元件的电子数目变化为等比数列,且a1=3,q=2,由27-(-34)=61,=10,可得a11=3·210=3 072.3.(教材二次开发:习题改编)根据市场调查,预测某种日用品从年初开始的n个月内累计的需求量S n(单位:万件)大约是S n=(n=1,2,…,12).据此预测,本年度内,需求量超过5万件的月份是( )A.5月、6月B.6月、7月C.7月、8月D.8月、9月高考【解题指南】现根据题意得到第n个月时的需求量,再由需求量大于5得到n的X围,进而得到结果.【解析】选C.日用品从年初开始的n个月内累计的需求量S n(单位:万件)大约是S n=(n=1,2,…,12),则第n个月的需求量a n=S n-S n-1=>5⇒3n2-45n+27×6<0,n2-15n+54<0,6<n<9.4.一个热气球在第一分钟上升了25米的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125米吗?【解析】用a n表示热气球在第n分钟上升的高度,由题意,得a n+1=a n,因此,数列{a n}是首项a1=25,公比q=的等比数列.热气球在前n分钟内上升的总高度为:S n=a1+a2+…+a n===125×<125.故这个热气球上升的高度不可能超过125米.- 11 - / 11。

数列在日常经济生活中的应用前言数学是一门广泛应用于各个领域的学科，其中数列是一种最基本的数学工具。

在生活中，我们可以看到数列的应用，比如在经济学中，数列被广泛应用于分析和预测市场走势。

本文将讨论数列在日常经济生活中的应用，希望能够帮助读者更好地理解和应用数列。

重点一：财务分析数列在财务分析中被广泛使用。

例如，人们可以使用等差数列来计算他们的银行账户余额。

如果一个人每个月存入相同金额的钱，则他/她的账户余额将形成一个等差数列。

通过使用数列的公式和时间价值，可以计算出银行账户的余额，帮助人们更好地管理他们的财务状况。

此外，在股票市场的分析和预测中也使用了数列，股票市场中的股票价格是一个会不断变化的数列。

通过找到股票价格中的模式和规律，可以根据数列的趋势预测股票的价格变化，从而使人们做出更好的投资决策。

重点二：生产和供应数列在生产和供应方面同样非常有用。

例如，供应商可以使用等比数列来确定价格的优惠程度。

通过确定价格的变化趋势，供应商可以调整商品的风险和利润水平。

此外，生产部门也可以使用数列来决定生产率的增长速度。

通过确定与公司生产率相关的因素并建立数列模型，生产部门可以更好地了解生产率变化的趋势和周期性，并进行相应的应对。

重点三：销售和营销数列在销售和营销过程中同样扮演着重要角色。

例如，销售人员可以使用等差数列来记录销售额和客户数量。

通过检查数字的模式和规律，销售人员可以预测未来销售和客户数量的变化情况，从而采取相关的策略和措施以维持或增加销售额和客户数量。

此外，营销部门还可以使用等比数列来确定不同市场中的客户数量和每个市场的市场份额。

这有助于营销部门更好地制定市场策略和推广计划。

总结综述以上，数列在日常经济生活中扮演着重要角色。

它可以帮助人们更好地了解和分析市场趋势，并进行决策。

通过建立数列模型和算法，人们可以更好地用数学工具解决实际问题。

北师大版高中必修54数列在日常经济生活中的应用课程设计1. 前言数列是数学中的基础概念，也是高中数学的必修内容之一。

而数列所涉及的数学思想和方法在日常经济生活中也有广泛的应用。

本课程将着重探究北师大版高中必修54数列在日常经济生活中的应用。

2. 课程目标•了解数列的概念、性质、分类等基础知识•理解数列在经济生活中的应用，掌握相关的数学算法和方法•能够运用数列相关知识解决实际经济问题•培养学生对数据和信息的敏感性、分析能力和决策能力3. 教学内容阶段教学内容目标第一阶段数列基础概念理解数列的定义、性质、公式和分类第二阶段数列的应用理解数列在经济生活中的应用，包括等差数列、等比数列和斐波那契数列等第三阶段数列分析与决策问题运用数列相关知识解决实际经济问题第四课程总结总结数列在日常经济生活中的应用和意义阶段教学内容目标阶段4. 课程设计第一阶段：数列基础概念1.数列基础概念介绍–数列的定义与表示–数列的性质和公式–数列的分类2.数列基础题解析–数列的前n项和–数列的通项公式3.综合练习：练习册P1-3第二阶段：数列的应用1.等差数列的应用–生活实例：物价调整–常见问题：求和数、前n项和、通项公式等2.等比数列的应用–生活实例：企业营销–常见问题：求和数、前n项和、通项公式等3.斐波那契数列的应用–生活实例：金融投资–常见问题：求第n项、求前n项和等4.综合练习：练习册P4-6第三阶段：数列分析与决策问题1.数列模型分析–生活实例：商品定价–数学建模过程：问题分析、建模、求解、验证2.数列决策问题–生活实例：风险管理–决策思路与方法：多项分析、灵敏度分析、期望效用法3.综合练习：练习册P7-9第四阶段：课程总结1.数列在日常经济生活中的应用和意义–总结课程要点和知识点–分享数列在经济管理、金融投资等领域的应用案例2.数列的综合运用–生活实例：人口增长模型–让学生在实际情境中充分运用数列相关知识进行分析和决策3.课程总结和反思–学生对本次课程的收获和体验–教师对课程设计和教学反思5. 教学方法•理论教学：讲解数列概念、公式、性质和分类等基础内容，以及数列在经济生活中的应用实例•练习训练：通过课堂练习和练习册练习，加强学生的数学运算和分析能力•实践应用：通过数列模型分析和决策问题，引导学生运用数学模型分析、决策和解决实际经济问题的能力•案例分析：针对实际经济案例，引导学生运用数学知识分析和解决问题，培养学生的数据敏感性和决策能力6. 教学评估1.课堂问题解答：通过课堂提问和回答的方式，考察学生对数列基础知识的理解和掌握程度；2.练习册作业：通过批改学生的练习册作业，检验学生对数列基础和应用知识的掌握；3.数列模型建模和分析：通过实际经济问题的数学建模、分析和决策过程，测试学生的数据分析能力和解决实际问题的能力；4.课程总结和反思：通过学生对课程体验、教师对教学反思、教学质量反馈等方式，评估课程效果和问题，指导教学改进。

§4数列在日常经济生活中的应用Q 情景引入ingjingyinru一位中国老太太与一位美国老太太在路上相遇．美国老太太说，她住了一辈子的宽敞房子，也辛苦了一辈子，昨天刚还清了银行的住房贷款．而中国老太太却叹息地说，她三代同堂一辈子，昨天刚把买房的钱攒足．我国现代都市人的消费观念正在变迁——花明天的钱圆今天的梦对我们已不再陌生；贷款购物，分期付款已深入我们生活．但是面对商家和银行提供的各种分期付款效劳，究竟选择什么样的方式好呢？X 新知导学inzhidaoxue1．(1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期 .假设以P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和(以下简称本利和)，那么有S＝P(1＋nr) .(2)复利：把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.2．(1)数列知识有着广泛的应用，特别是等差数列和等比数列．例如银行中的利息计算，计算单利时用等差数列，计算复利时用等比数列，分期付款要综合运用等差、等比数列的知识．(2)解决数列应用题的根本步骤为：①仔细阅读题目，认真审题，将实际问题转化为数列模型；②挖掘题目的条件，分析该数列是等差数列，还是等比数列，分清所求的是项的问题，还是求和问题．③检验结果，写出答案．Y 预习自测uxizice1．用分期付款的方式购置一件电器，价格为1150元，购置当天先付150元，以后每月这一天都交付50元及欠款的利息，月利率为1%，那么买这件电器实际花(B) A．1105元B．1255元C．1305元D．1405元[解析]购置时付150元，欠1000元，每月付50元，分20次付清．设每月付款数构成数列{a n}，那么a1＝50＋1000×1%＝60，a2＝50＋(1000－50)××1，a3＝50＋(1000－50×2)××2，…∴a n (n －1)n (1≤n ≤20)，∴{a n }是以60为首项，－0.5为公差的等差数列，∴S 20＋150＝20×60＋20×192×()＋150＝1255， ∴买这件电器实际花1255元．2．某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p %，q %，那么这两年的平均增长率是( D )A ．p %＋q %2B ．p %·q %C ．(1＋p %)(1＋q %)D ．(1＋p %)(1＋q %)－1[解析] 设该工厂最初的产值为1，经过两年的平均增长率为r ，那么(1＋p %)(1＋q %)＝(1＋r )2.于是r ＝(1＋p %)(1＋q %)－1.3．预测人口的变化趋势有多种方法．“直接推算法〞使用的公式是p n ＝p 0(1＋k )n (k >－1)，其中p n 为预测期人口数，p 0为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有－1<k <0，那么在这期间人口数( B )A ．呈上升趋势B ．呈下降趋势C ．摆动变化D ．不变[解析] ∵－1<k <0，∴0<k ＋1<1，p n >0，又∵p n ＋1p n ＝p 0(1＋k )np 0(1＋k )n －1＝1＋k <1，∴p n ＋1<p n . 即数列{p n }为递减数列．4．某同学在电脑上设置一个游戏，他让一弹性球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，那么第10次着地时所经过的路程和为( B )A ． mB ． mC ． mD ． m [解析] 由题意知，弹球第1次着地时经过的路程是100m ，从这时到弹球第2次着地时共经过了2×1002m ，从这时到弹球第3次着地时共经过2×10022m ，……，到第10次时应为2×10029m.∴S 10＝100＋2×1002＋2×10022＋…＋2×10029＝100＋100(1＋12＋…＋128)＝100＋100×(1－129)1－12≈(m)．5．某工厂2021年的月产值按等差数列增长，第一季度总产值为20万元，上半年总产值为60万元，那么2021年全年总产值为 200万 元．[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3×(3－1)2d ＝206a 1＋6×(6－1)2d ＝60，解得⎩⎨⎧ a 1＝409d ＝209.所以S 12＝12×409＋12×(12－1)2×209＝200. H 互动探究解疑 udongtanjiujieyi命题方向1⇨等差数列模型应用问题例题1甲、乙两人连续6年对某县养鸡业的规模进行调查，提供了两个不同信息，如下图．甲调查说明：从第1年起每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡．乙调查说明：由第1年30个养鸡场减少到第6年10个养鸡场．请您根据提供的信息答复：(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；(2)到第6年这个县养鸡业的规模比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由．(3)哪一年的规模最大？请说明理由．[分析]根据图中信息可知，平均养鸡数量构成等差数列，养鸡场的个数也构成等差数列．[解析] (1)由图可知：第2年养鸡场的个数是26个，那么全县出产鸡的总数是S 2＝26×(万只)．(2)第1年总共出产鸡的只数是S 1＝30×1＝30(万只)；第6年总共出产鸡的只数是S 6＝2×10＝20(万只)，由此得出S 1－S 6＝30－20＝10(万只)，这说明规模缩小了．(3)图甲满足的数列为a n ＝1＋(n －1)×n (1≤n ≤6)．图乙满足的数列为b n ＝30－4(n －1)＝－4n ＋34(1≤n ≤6)．第n 年出产的鸡的只数满足的数列为S n ＝a n b n＝25(－2n 2＋9n ＋68)＝－45⎝⎛⎭⎫n －942＋1254(1≤n ≤6)． 当n ＝2时，S n 最大，即第2年规模最大，共出产鸡S 2．『规律总结』用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题，求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．〔跟踪练习1〕某企业2021年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．假设不能进行技术改造，，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年(2021年为第一年)的利润为500(1＋12n )万元(n 为正整数)． (1)设从2021年起的前n 年，假设该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(须扣除技术改造资金)，求A n 、B n 的表达式；(2)依上述预测，从2021年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？[分析]此题是等差数列应用题．由题意知假设该企业不进行技术改造，那么每年的利润构成等差数列．[解析] (1)由题意，知A n ＝(500－20)＋(500－40)＋…＋(500－20n )＝490n －10n 2；B n ＝500[(1＋12)＋(1＋122)＋…＋(1＋12n )]－600＝500n －5002n －100. (2)B n －A n ＝(500n －5002n －100)－(490n －10n 2) ＝10n 2＋10n －5002n －100＝10[n(n＋1)－502n－10]．因为函数y＝x(x＋1)－502x－10在(0，＋∞)上为增函数，当1≤n≤3时，n(n＋1)－502n －10≤12－508－10<0；当n≥4时，n(n＋1)－502n －10≥20－5016－10>0.∴仅当n≥4时，B n>A n.那么至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．命题方向2⇨等比数列模型应用问题例题2某国采用养老储藏金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储藏金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储藏金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储藏金就变为a1(1＋r)n－1，第二年所交纳的储藏就变为a2(1＋r)n－2，…，以T n表示到第n年末所累计的储藏金总额．(1)写出T n与T n－1(n≥2)的递推关系式；(2)求证：T n＝A n＋B n，其中{A n}是一个等比数列，{B n}是一个等差数列．[分析]此题第一问的结果是一个递推关系式，因此该问题可以归结为递推模型，利用递推公式解决第(2)问将更加明朗．[解析](1)由题意，得T n＝T n－1(1＋r)＋a n(n≥2)．(2)T1＝a1，对n≥2反复使用上递推关系，得T n＝T n－1(1＋r)＋a n＝T n－2(1＋r)2＋a n－1(1＋r)＋a n…＝a1(1＋r)n－1＋a2(1＋r)n－2＋…＋a n－1(1＋r)＋a n，①在①式两端同乘1＋r，得(1＋r)T n＝a1(1＋r)n＋a2(1＋r)n－1＋…＋a n－1(1＋r)2＋a n(1＋r)，②由②－①，得rT n＝a1(1＋r)n＋d[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋(1＋r)]－a n＝d r[(1＋r )n －1－r ]＋a 1(1＋r )n －a n ， 即T n ＝a 1r ＋d r 2(1＋r )n －d r n －a 1r ＋d r 2. 如果记A n ＝a 1r ＋d r 2(1＋r )n ，B n ＝－a 1r ＋d r 2－d rn ， 那么，T n ＝A n ＋B n .其中，{A n }是以a 1r ＋d r 2(1＋r )为首项，以1＋r (r >0)为公比的等比数列；{B n }是以－a 1r ＋d r 2－d r 为首项，－d r为公差的等差数列． 『规律总结』1.实际生活中，工厂效益的增长率、银行的利息计算等这类变化量重复增减且与正整数有关的实际问题都可建立等比数列模型求解．解决这类问题首先要知道(求出)数列的公比及数列的某一项(或两项)，然后利用等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m ，前n 项和公式S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q(n ∈N ＋，m ∈N ＋)求解． 2．此类问题常涉及如下的公式：(1)复利公式一种按复利计算的储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，那么本利和为y ＝a (1＋r )x .(2)产值模型原来产值的根底数为N ，平均增长率为p ，对于时间x 的总产值y ＝N (1＋p )x .〔跟踪练习2〕水土流失是我国西部开发中最突出的生态问题．全国9100万亩(1亩≈667m 2)的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占70%，国家确定2006年西部地区退耕土地面积515万亩，以后每年退耕土地面积递增12%，那么从2006年起到2021年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩(精确到1万亩)?[解析] 根据题意，每年退耕还林的面积比上一年增长的百分比相同，∴从2006年起，每年退耕还林的面积组成一个等比数列{a n }，∵a 1＝515，q ＝1＋12%＝1.12，n ＝6，∴S 6＝515×(6)≈4179(万亩)．答：从2006年起到2021年底，西部地区退耕还林的面积共有4179万亩．命题方向3⇨递推数列模型的应用问题例题3某地今年年初拥有居民住房的总面积为a (单位：m 2)，其中有局部旧住房需要撤除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也撤除面积为b (单位：m 2)的旧住房． (1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，那么每年撤除的旧住房面积b 是多少？(5＝)[解析] (1)第1年末的住房面积a ·1110－ba －b (m 2)， 第2年末的住房面积(a ·1110－b )1110－b ＝a (1110)2－b (1＋1110)ab (m 2)． (2)第3年末的住房面积⎣⎡⎦⎤a (1110)2－b (1＋1110)·1110－b ＝a ·(1110)3－b ⎣⎡ 1＋1110＋ ⎦⎤(1110)2(m 2)； 第4年末的住房面积为：a (1110)4－b ⎣⎡⎦⎤1＋1110＋(1110)2＋(1110)3(m 2)； 第5年末的住房面积为：a ·(1110)5－b 错误!错误! 5a －5ba －6b (m 2)，a －6ba ，解得b ＝a 20，所以每年撤除的旧房面积为a 20(m 2)． 『规律总结』前后两次或几次关系的正整数实际应用问题，可以建立递推数列模型，然后转化为等差数列或等比数列求解．〔跟踪练习3〕学校餐厅每天供给1000名学生用餐，每周星期一有A ，B 两种菜谱可供选择(每人选择一种)，调查资料说明，但凡在星期一选A 菜谱的，下周星期一会有20%的人改选B 菜谱．而选B 菜谱的人，下周星期一会有30%的人改选A 菜谱．那么不管原来选A 菜谱的人数有多少，随着时间的推移，选A 菜谱的人数是否能稳定下来？请说明你的理由．[解析] 设A n 和B n 分别表示第n 周星期一选A 菜谱和B 菜谱的人数，且A 1＝a ，那么A n＋B n ＝1000，且A n ＋1＝45A n ＋310B n ＝45A n ＋310(1000－A n )＝12A n ＋300， ∴A n ＋1－600＝12A n －300＝12(A n －600)． ∴{A n －600}是一个等比数列，且公比为12，首项为a －600. ∴A n －600＝(a －600)(12)n －1. ∵0≤a ≤1000，∴－600≤a －600≤400，∴|a －600|≤600.又函数f (n )＝|a －600|(12)n －1递减， 且f (12)＝|a －600|211≤600211＝75256<12. ∴当n ≥12时，|a －600|(12)n －1<12， 而A n ∈N ＋，∴第12周后选A 菜谱的人数将稳定在600人．Y 易混易错警示ihunyicuojingshi例题4某工厂去年的产值为138万元，预计今后五年的每年比上一年产值增长10%，从今年起计算，第5年这个工厂的产值是多少元？(精确到万元)[误解] 依题意，该工厂每年的产值组成一个等比数列{a n }．其中a 1＝138，q ＝1＋10%＝1.1，n ＝5.∴a 5＝a 1q 4＝138×4≈202(万元)．[辨析] 138万元是去年的产值，从今年算起，那么a 1＝138×1.1，由于首项弄错而造成错误．[正解] 依题意，该工厂每年的产值组成一个等比数列{a n }．其中a 1＝138×， ∴a 5＝a 1q 4＝138××4＝138×5≈222(万元)．B 本节思维导图eijiesiweidaotu数列在日常经济生活中的应用⎩⎪⎨⎪⎧ 等差数列模型等比数列模型递推数列模型。

4 数列在日常经济生活中的应用学习目标核心素养1.掌握单利、复利的概念．(重点)2．掌握零存整取、定期自动转存、分期付款三种模型及应用．(重点)3．掌握数列在日常经济生活中的应用．(难点)1.通过数列在日常生活中的应用提升数学建模素养．2．通过数列在经济生活中的应用提升数学运算素养.数列在日常经济生活中的应用阅读教材P32～P34例3以上部分，完成下列问题：(1)三种常见的应用模型①零存整取：每月定时收入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取，规定每次存入的钱不计复利(暂不考虑利息税)．②定期自动转存：银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存．例如，储户某日存入一笔存期为1年的存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和．③分期付款：分期付款是购物的一种付款方式．即将所购物的款数在规定的期限内按照一定的要求，分期付清．(2)常用公式①复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝P(1＋r)n.②产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝N(1＋r)x.③单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为S＝P(1＋nr)．思考：(1)数学中常见的定期存款利率计算方法有哪些？[提示] 单利和复利两种方法．(2)建立数学模型的关键是什么？[提示] 正确选取变量，并准确建立变量之间的数量关系．1．现存入银行10 000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是( ) 3456C [由复利公式得S ＝10 000×(1＋3.60%)55.]2．某产品计划每年成本降低q %，若三年后成本为a 元，则现在的成本是( )A ．a (1＋q %)3B ．a (1－q %)3C ．a (1－q %)3 D ．a(1＋q %)3 C [设现在的成本为x 元，则有x (1－q %)3＝a ． ∴x ＝a(1－q %)3.故选C ．]3．过圆x 2＋y 2＝10x 内一点(5,3)有k 条弦的长度组成等差数列，且最短弦长为首项a 1 ，最长弦长为末项a k ，若公差d ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，则k 的取值不可能是( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7A [x 2＋y 2＝10x 化简得(x －5)2＋y 2＝25 过点(5,3)的最短弦长为8，最长弦长为10， 则由题意d ＝10－8k －1＝2k －1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12，5≤k ≤7.] 4．阿明存入5万元定期存款，存期1年，年利率为2.25%，那么10年后共得本息和为________万元．(精确到0.001)6．246 [10年后的本息：a 10＝5×(1＋0.022 5)10≈6.246(万元)．]等差数列模型先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？[解] 因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分20次付款， 则每次付款的数额顺次构成数列{a n }． 则a 1＝50＋1 000×1%＝60，a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5， a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，a 4＝50＋(1 000－50×3)×1%＝58.5，…所以a n ＝50＋[1 000－50(n －1)]×1%＝60－12(n －1)(1≤n ≤20，n ∈N ＋)．所以{a n }是以60为首项，－12为公差的等差数列．所以a 10＝60－9×12＝55.5.所以第10个月应付55.5(万元)．a 20＝60－19×12＝50.5.所以S 20＝12×(a 1＋a 20)×20＝10×(60＋50.5)＝1 105.所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元)．1．按单利计算公式单利的计算仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，其公式为利息＝本金×利率×存期．2．按单利分期付款问题的三个关键问题 (1)规定多少时间内付清全部款额．(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同． (3)规定多长时间段结算一次利息，及在规定时间段内利息的计算公式．1．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1 000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和是( )A ．5(1＋2＋3＋…＋12)元B ．5(1＋2＋3＋…＋11)元C ．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)11]元 D ．1 000[1＋5‰＋(5‰)2＋…＋(5‰)12]元A [存款利息是以5为首项，5为公差的等差数列，12个月的存款利息之和为5(1＋2＋3＋…＋12)元，故选A ．]等比数列模型【例2】 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2018年起，每年年初到银行新存入a 元，年利率p 保持不变，并按复利计算，到2028年年初将所有存款和利息全部取出，一共可以取回多少钱？[解] 设从2018年年初到2028年年初每年存入a 元的本利和组成数列{a n }(1≤n ≤10)． 则a 1＝a (1＋p )10，a 2＝a (1＋p )9，…，a 10＝a (1＋p )， 故数列{a n }(1≤n ≤10)是以a 1＝a (1＋p )10为首项，q ＝11＋p为公比的等比数列． 所以2028年初这个家庭应取出的钱数为S 10＝a (1＋p )10⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(1＋p )101－11＋p＝a p[(1＋p )11－(1＋p )](元)．1．复利问题的计算方法复利问题可以转化为等比数列问题，第n 年的本息＝本金×(1＋利率)n. 2．解决等比数列应用题的关键 (1)认真审题抓特点，仔细观察找规律． (2)等比数列的特点是增加或减少的百分数相同．(3)分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考查．2．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N ＋)等于________．6 [每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝2(1－2n)1－2＝2n ＋1n ＋1－2≥100，得2n ＋16＝64,27＝128，则n ＋1≥7，即n ≥6.]分期付款问题[1．复利与单利的区别是什么？[提示] (1)复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息．(2)单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型，即单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列．2．小明存入1万元定期存款，存期5年，年利率为2%，若按单利计算，5年后共获得本息和为多少元？若按复利计算，5年后共获得本息和多少元？[提示] 按单利计算：5年后共获(1＋5×2%)＝1.1万元； 按复利计算：5年后共获(1＋2%)5＝1.104万元．3．在实际问题中，涉及一组与顺序有关的数的问题时，应考虑用什么方法解决？解决此问题的关键是什么？[提示] 在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑用数列方法解决，在利用数列方法解决实际问题时的关键是分清首项、项数等问题．1010≈13.786)思路探究：分清两种方案分别属于什么数列模型，然后分别建立不同数列模型解决． [解] 方案甲：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%，前10项和为S 10＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)9，所以S 10＝错误!≈42.62(万元)．又贷款本息总数为10(1＋10%)1010≈25.94(万元)，甲方案净获利42．62－25.94≈16.7(万元)．乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为12，前10项和为T 10＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋2×12＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋9×12＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫112＋12＝32.50(万元)，而贷款本息总数为1．1×[1＋(1＋10%)＋…＋(1＋10%)9] ＝1.1×错误!≈17.53(万元)， 乙方案净获利32．50－17.53≈15.0(万元)． 比较两方案可得甲方案获利较多．910910≈1.22)，试比较两种方案，哪种方案净获利更多？[解]方案丙：由题意知，每年的利润a n 成等比数列， 且a 1＝4，公比q ＝1＋25%＝1.25，n ＝10， 收入S 丙＝4(10)1－1.25＝4(9.3－1)0.25＝132.8(万元)．净获利W 丙＝132.8－40(1＋2%)10＝132.8－48.8＝84(万元)，方案丁：由题意，每年的利润记为数列{b n }，它是等差数列，且b 1＝3，公差为1.5，n ＝10，收入S 丁＝10×3＋12×10×9×1.5＝30＋67.5＝97.5(万元)．净获利：W 丁＝97.5－20(1＋2%)10＝97.5－24.4＝73.1(万元) 所以方案丙净获利更多．2．(变结论)在例3中，设甲方案可贷款n 年，按此方案技术改造第n 年的累计净获利能够超过100万元，求n14151415≈4.178)[解] 设按照甲方案进行技术改造，n 年的累计净获利超过100万元， 由题意知，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1＋30%， 前n 项和为S n ＝1＋(1＋30%)＋(1＋30%)2＋…＋(1＋30%)n －1＝错误!＝错误!n－1)，又贷款本息总数为10(1＋10%)nn， 则甲方案的净获利为103nn，由题意知103nn＞100，经验证，当n ＝14时，1031414＝103＝127.913－37.98＝89.933＜100， 当n ＝15时，1031515＝103＝167.287－41.78＝125.507＞100， 所以n 的最小值为15.1．等差、等比数列的应用题常见问题产量增减、价格的升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题．2．将实际问题转化为数列问题时应注意 (1)分清是等差数列还是等比数列．(2)分清是求a n ，还是求S n ，特别要准确确定项数n . (3)递推关系的发现是数列建模的重要方式．1．等差、等比数列的应用题常见于产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方案是建立数列模型，应用数列知识解决问题．2．银行存款中的单利是等差数列模型，本利和公式为S ＝P (1＋nr )；复利是等比数列模型，本利和公式为S ＝P (1＋r )n.(其中P 为本金，r 为利率，n 为期数)3．等额本息分期付款是等比数列求和问题；等额本金分期付款是等差数列求和问题．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在银行取款时，取到的本息是指存款得到的利息．( ) (2)定期自动转存模型是等差数列．( )(3)在分期付款中，各期所付款及各期所付款所生成的利息之和等于商品的售价．( ) [答案] (1)× (2)× (3)×[提示] (1)不正确，本息指本金与利息的和；(2)不正确，定期自动转存的模型不是等差数列；(3)不正确，分期付款的本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取到贷款全部还清时，贷款本利合计＝还款本利合计．2．某钢厂的年产值由1999年的40万吨，增加到2009年的50万吨，经历了10年的时间，如果按此年增长率计算，该钢厂2019年的年产值将接近( )A ．60万吨B ．61万吨C ．63万吨D ．64万吨C [设年增长率为x ，则2009年为：40(1＋x )10＝50，则(1＋x )10＝54.2019年为：40(1＋x )20＝40×[(1＋x )10]2＝40×54×54＝62.5≈63(万吨)．]3．某工厂购买一台机器价格为a 万元，实行分期付款，每期付款b 万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，每月复利一次，则a ，b 满足( )A ．b ＝a12B ．b ＝a (1＋5‰)1212 C ．b ＝a (1＋5‰)12D ．a 12<b <a (1＋5‰)1212D [因为b 211)＝a (1＋0.005)12，所以12b <a (1＋0.005)12， 所以b <a (1＋5‰)1212，显然12b >a ， 即a 12<b <a (1＋5‰)1212.]4．1个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24 min 可注满水池．如果开始时全部开放，以后每隔相等的时间关闭1个水龙头，到最后1个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后1个水龙头放水的时间恰好是第1个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水的时间是多少？[解] 设共有n 个水龙头，每个水龙头开放时间依次为x 1，x 2，…，x n ，由已知x 2－x 1＝x 3－x 2＝x 4－x 3＝…＝x n －x n －1，数列{x n }是等差数列，每个水龙头 1 min 放水124n ，所以x 1＋x 2＋…＋x n 24n ＝1，即S n ＝24n ，即(x 1＋x n )·n 2＝24n ，所以12(x 1＋x n )＝24，x 1＋x n ＝48.又因为x n ＝5x 1，所以6x 1＝48，x 1＝8，x n ＝5x 1＝40. 故最后关闭的水龙头放水40 min.。

§4 数列在日常经济生活中的应用知能目标解读1.理解常见储蓄如零存整取、定期自动转存、分期付款及利息的计算方法，能够抽象出所对应的数列模型，并能用数列知识求解相关问题.2.能够将现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率等实际问题，抽象出数列模型，将实际问题解决.重点难点点拨重点：用数列知识解决日常经济生活中的实际问题.难点：将现实生活中的问题抽象出数列模型，使问题得以解决.学习方法指导1.零存整取模型银行有一种叫做零存整取的业务，即每月定时存入一笔数目相同的资金，这叫做零存；到约定日期，可以取出全部的本利和，这叫做整取.规定每次存入的钱按单利计算，单利的计算是指仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息.其计算公式为：利息=本金×利率×存期.如果用符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和(以下简称本利和)，则有S=P(1+nr).2.定期自动转存模型（1）银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某月存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和，即定期自动转存按复利计算.（2）何谓复利？所谓复利，就是把上期的本利和作为下一期的本金，在计算时，每一期的本金的数额是不同的，复利的计算公式为S=P(1+r) n.一般地，一年期满后，借贷者(银行)收到的款额v1=v0(1+a)，其中v0为初始贷款额，a为每年的利率；假若一年期满后，银行又把v1贷出，利率不变，银行在下一年期满后可收取的款额为v2=v1(1+a)=v0(1+a) 2;…依次类推，若v0贷出t年，利率每年为a，这批款额到期后就会增到v t=v0(1+a) t.我们指出这里的利息是按每年一次重复计算的，称为年复利.3.分期付款模型分期付款是数列知识的一个重要的实际应用，在现实生活中是几乎涉及到每个人的问题，要在平时的学习中及时发现问题，学会用数学的方法去分析，解决问题，关于分期付款应注意以下问题：(1)分期付款分若干次付款，每次付款的款额相同，各次付款的时间间隔相同；(2)分期付款中双方的每月(年)利息均按复利计算，即上月(年)的利息要计入下月（年）的本金；(3)分期付款中规定：各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和，这在市场经济中是相对公平的.(4)分期付款总额要大于一次性付款总额，二者的差额与多少次付款有关，分期付款的次数（大于或等于2）越多，差额越大，即付款总额越多.注意：目前银行规定有两种付款方式：(1)等额本息还款法；(2)等额本金还款法.等额本金还款法的特点是：每期还款额递减，利息总支出比等额款法少，等额本金还款法还可以按月还款和按季还款，由于银行结息贯例的要求，一般采用按季还款方式.4.本节的规律方法(1)银行存款中的单利是等差数列模型，本息和公式为S=P (1+nr ).(2)银行存款中的复利是等比数列模型，本利和公式为S=P (1+r ) n .(3)产值模型：原来产值的基础数为N ，平均增长率为P ，对于时间x 的总产值为y=N (1+P ) x .(4)分期付款模型：a 为贷款总额，r 为年利率，b 为等额还款数，则b =1)1()1(-++n n r a r r . 5.数列模型在实际问题中的应用数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，在人口数量的研究中也要研究增长率问题，金融问题更要涉及利率问题等.6.建立数学模型的过程解决该类题的关键是建立一个数列模型{a n }，利用该数列的通项公式或递推公式或前n 项和公式求解问题.基本步骤如下表所示：知能自主梳理1.(1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息 ，其公式为利息= .若以P 代表本金，n 代表存期，r 代表利率，S 代表本金和利息和（以下简称本利和），则有 .（2）复利：把上期末的本利和作为下一期的 ，在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是 .2.（1）数列知识有着广泛的应用，特别是等差数列和等比数列.例如银行中的利息计算，计算单利时用 数列，计算复利时用 数列，分期付款要综合运用 、 数列的知识.（2）解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目，认真审题，将实际问题转化为 ；②挖掘题目的条件，分析该数列是 数列，还是 数列，分清所求的是 的问题，还是 问题.③检验结果，写出答案.［答案］ 1.（1）不再计算利息 本金×利率×存期 S=P (1+nr ) (2)本金 S=P (1+r ) n2.(1)等差 等比 等差 等比 （2）①数列模型 ②等差 等比 项 求和。