2007年广州市高二数学竞赛试卷

高二数学竞赛试题及答案广东高二数学竞赛试题及答案（广东）试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(x) \)在区间[-1,2]上的最大值和最小值。

2. 解方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。

答案：1. 函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)的导数为\( f'(x) = 4x - 3 \)。

令\( f'(x) = 0 \)得\( x = \frac{3}{4} \)。

在区间[-1, 2]上，\( f(x) \)在\( x = \frac{3}{4} \)处取得最小值\( f\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{8} \)，在区间端点\( x = -1 \)和\( x = 2 \)处分别取得最大值\( f(-1) = 4 \)和\( f(2) = 5 \)。

2. 方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)可以分解为\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)，解得\( x = 2 \)或\( x = 3 \)。

试题二：不等式1. 证明不等式\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4 \)在\( a, b > 0 \)时成立。

2. 解不等式\( |x - 1| + |x - 3| \geq 4 \)。

答案：1. 由于\( a, b > 0 \)，根据调和平均数与几何平均数的关系，有\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}} =2\sqrt{\frac{1}{ab}} \cdot 2 \geq 4 \)。

2. 根据绝对值的性质，\( |x - 1| + |x - 3| \)表示数轴上\( x \)到1和3两点的距离之和。

当\( x \)在区间[1, 3]之外时，距离之和大于4。

2007年全国高中数学联合竞赛加试试卷（考试时间：上午10：00—12：00）一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。

过P作PE⊥AC，垂足为E，做PF⊥AB，垂足为F。

O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心。

求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。

二、（本题满分50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。

如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。

现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。

问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。

三、（本题满分50分）设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f(m，k)=∑=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++511 1iikm，其中[a]表示不大于a的最大整数。

求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n。

2007年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。

过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。

O 1、O 2分别是△BDF 、△CDE 的外心。

求证：O 1、O 2、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是△ABC 的垂心。

证明：连结BP 、CP 、O 1O 2、EO 2、EF 、FO 1。

因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，故B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。

又因为O 1是△BDF 的外心，故O 1在BP 上且是BP 的中点。

同理可证C 、D 、P 、E 四点共圆，且O 2是的CP 中点。

综合以上知O 1O 2∥BC ，所以∠PO 2O 1=∠PCB 。

因为AF·AB=AP·AD=AE·AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。

试卷类型：A广东省广州市2007年普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2007．4本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上．用2B 铅笔将答题卡上试卷类型（A ）涂黑．在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号，在“座位号”列表内填写座位号，并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑．不按要求填涂的，答卷无效．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考试必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：()()22221211236n n n n ++++++=第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 480的值为 A ．12-B ．32-C ．12D ．322．函数2x y =（x ∈R ）的反函数为A ．2log y x =（0x >）B ．2log y x =（1x >）C ．log 2x y =（0x >）D ．log 2x y =（1x >）3．已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -，则向量AC 对应的复数为 A ．53i + B ．15i + C ．15i -- D ．53i -- 4．1a =是直线1y ax =+和直线()21y a x =--垂直的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．函数()ln 1f x x =-的图像大致是6．4名男生和2名女生排成一排照相，要求2名女生必须相邻，则不同的排列方法为A ．4242A AB ．5252A A C ．55AD ．6622A A7．如图1，ABCDEF 为正六边形，则以F 、C 为焦点，且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为A ．51-B ．51+C ．31-D ．31+8．已知方程210ax bx +-=（,a b ∈R 且0a >）有两个实数根，其中一个根在区间()1,2内，则a b -的取值范围为A ．()1,-+∞B ．(),1-∞-C ．(),1-∞D ．()1,1-第二部分 非选择题（共110分）二、填空题：本大题共7小题，其中9～12题是必做题，13～15题是选做题，每小题5分，满分30分． 9．已知0t >，若()021d 6tx x -=⎰，则t = ．10．某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 人．11．函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图2所示，则ω= ，ϕ= ．12．已知数列{}n a 满足12a =，111n n na a a ++=-（*n ∈N ），则3a 的xyO 4π54π 1图2A BC DE F图1xy O D ． x y O B ． x y O A ． x y O C ．值为 ， 1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为 ．▲选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选的只计算前两题的得分．13．已知,,,a b x y ∈R ，224a b +=，6ax by +=，则22x y +的最小值为 ． 14．在极坐标系中，若过点()4,0且与极轴垂直的直线交曲线6cos ρθ=于,A B 两点，则=AB ．15．如图3，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，∠APC 的角平分线交AC 于点Q ，则AQP ∠的大小 为_________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．16．（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且222a cb ac +-=．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3c a =，求tan A 的值．17．（本小题满分12分）袋中装着标有数字1，2，3的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等．（Ⅰ）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）用ξ表示取出的2个小球上的数字之和，求随机变量ξ的概率分布与数学期望．18．（本小题满分14分） 如图4所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，2AB =，1BC =，16AA =，D 是棱1CC 的中点． （Ⅰ）证明：1A D ⊥平面11AB C ； （Ⅱ）求二面角11B AB C --的余弦值．19．（本小题满分14分）已知曲线C ：xy e =（其中e 为自然对数的底数）在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ，过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ，曲线C 在点1P 处的切线A BCA 1B 1C 1D图4PQ ABC 图3O与x 轴交于点2Q ，过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ，……，依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ，设点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ）． （Ⅰ）分别求n x 与n y 的表达式； （Ⅱ）设O 为坐标原点，求21ni i OP =∑．20．（本小题满分14分）已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．21．（本小题满分14分）已知函数()242f x ax x =+-，若对任意1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）对于给定的实数a ，有一个最小的负数()M a ，使得(),0x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，()44f x -≤≤都成立，则当a 为何值时，()M a 最小，并求出()M a 的最小值．广东省广州市2007年普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分50分．1．D 2．A 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．A二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，其中9～12题是必做题，13～15题是选做题。

7 8 9 9 4 4 6 4 732007年天河区高二数学竞赛试题2007年4月12日下午2：30—4：30一、选择题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1．右图是2006年中央电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ） A ．84，84.4 B ．84，6.1 C ．85，6.1 D ．85，42.把数列}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（ ） （A ）1992 （B ）1990 （C ）1873 （D ）18913.动点P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于椭圆顶点(,0)a ±的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ） （A ）一条直线 （B ） 双曲线的右支 （C ） 抛物线 （D ） 椭圆4．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△P AC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②二、填空题：（本大题共6小题，每小题6分，共36分。

）5．某单位要在甲、乙、丙、丁4人中安排2人分别担任周六、周日的值班任务（每人被安排是等可能的，每天只安排一人）．其中甲、乙两人都被安排的概率是__ _ ____ _ ___.6、已知向量,5),4,2(),2,1(=--==c b a 的夹角为与则若c a ,25)( =⋅+c b a ______. 7.已知02s i n 2s i n 5=α，则)1t a n ()1t a n (00-+αα的值是_______________________.8. 已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 另一个端点N 在底面ABCD∠BAD =60°，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，上运动.则MN 中点P 的轨迹与直平行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积为 _____ ______.9. 已知0>t ,关于x 的方程22=-+x t x ,则这个方程有相异实根的个数情况是___.10．已知点P 为椭圆1322=+y x 在第一象限部分上的点，则y x +的最大值等于 三、解答题：（本大题共5小题，共90分。

试卷类型：A2007年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数 学（文科）2007．4本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上．用2B 铅笔将答题卡上试卷类型（A ）涂黑．在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号，在“座位号”列表内填写座位号，并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑．不按要求填涂的，答卷无效．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考试必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：()()22221211236n n n n ++++++=()S r r l π'=+圆台侧（,r r '分别表示圆台上、下底面半径，l 表示母线长）第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．sin 480的值为A ．12- B ．2-C ．12D 22．函数2xy =（x ∈R ）的反函数为A ．2log y x =（0x >）B ．2log y x =（1x >）C ．log 2x y =（0x >）D ．log 2x y =（1x >）3．某个路口的交通指示灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为10秒，绿灯时间为40秒.当你到达路口时,看见红灯的概率是A ．18B ．38C ．12D ．584．已知等差数列{}n a 的前三项分别为1a -，21a +，7a +，则这个数列的通项公式为A ．43n a n =-B ．21n a n =-C ．42n a n =-D ．23n a n =-5．已知向量O A 和向量O C 对应的复数分别为34i +和2i -，则向量A C对应的复数为A ．53i +B ．15i +C ．15i --D ．53i -- 6．1a =是直线1y ax =+和直线()21y a x =--垂直的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．一个圆台的两底面的面积分别为π，16π，侧面积为25π，则这个圆台的高为A ．3B ．4C ．5 D9．如图1所示，ABC D EF 为正六边形，则以F 、C 为焦点，且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为A 1B ．1C 1D 110．已知方程210ax bx +-=（,a b ∈R 且0a >）有两个实数根，其中一个根在区间()1,2内，则a b -的取值范围为 A ．()1,-+∞ B ．(),1-∞- C ．(),1-∞ D ．()1,1-第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，其中11～13题是必做题，14～15题是选做题，每小题5分，满分20分． 11．已知函数()sin ,03y x x πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭R 的最小正周期为π，则ω= ．12．某班的54名学生对数学选修专题《几何证明选讲》和《极坐标与参数方程》的选择情况如下（每位．．学生至少选．．．．．1．个专题．．．）：两个专题都选的有6人，选《极坐标与参数方程》的学生数比选《几何证明选讲》的多8人，则只选修了《几何证明选讲》的学生有 人．图113．已知函数()f x 满足()12f =，()()()111f x f x fx ++=-，则()3f 的值为 ， ()()()()1232007f f f f ⋅⋅⋅⋅ 的值为 ．▲选做题：在下面两道小题中选做一题，二题都选的只计算第14题的得分．14．在极坐标系中，若过点()4,0且与极轴垂直的直线交曲线6cos ρθ=于,A B 两点，则=AB ． 15．如图2，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，∠APC 的角平分线交AC 于点Q ，则AQP ∠的大小为_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个小球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率． 17．（本小题满分14分）如图3所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠= ，2A B =，1B C =，1AA =（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面11AB C ；（Ⅱ）若D 是棱1C C 的中点，在棱A B 上是否存在一点E ，使DE 平面11AB C ？证明你的结论． 18．（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且222a cb ac +-=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若3c a =，求tan A 的值． 19．（本小题满分14分）已知椭圆E 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若点P 在椭圆E 上，且满足12PF PF t = ，求实数t 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知曲线C ：xy e =（其中e 为自然对数的底数）在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ，过点1Q 作图2x 轴的垂线交曲线C 于点1P ，曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ，过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ，……，依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ，设点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ）．（Ⅰ）分别求n x 与n y 的表达式； （Ⅱ）设O 为坐标原点，求21ni i O P =∑．21．（本小题满分14分）已知函数()242f x ax x =+-，若对任意1x ，2x ∈R且12x x ≠，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）对于给定的实数a ，有一个最小的负数()M a ，使得(),0x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，()44f x -≤≤都成立，则当a 为何值时，()M a 最小，并求出()M a 的最小值．2007年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．C 7．B 8．B 9．D 10．A二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算．本大题共5小题，其中11～13题是必做题，14～15题是选做题．每小题5分，满分20分．第13题中的第一个空2分，第二个空3分． 11．2 12．20 13．12-；3 14． 15．135三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型等基础知识，考查或然与必然的数学思想与方法，以及运算求解能力）解法一：利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果：可以看出，试验的所有可能结果数为16种． ……4分 （Ⅰ）所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有1－2，2－1，2－3，3－2，3－4， 4－3，共6种． ……6分故所求概率63168P ==．答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38． ……8分（Ⅱ）所取两个球上的数字和能被3整除的结果有1－2，2－1，2－4，3－3，4－2，共5种． ……10分故所求概率为516P =．答：取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为516．…12分解法二：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为y x ,，用),(y x 表示抽取结果，则所有可能有()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，()4,1，()4,2，()4,3，()4,4，共16种． ……4分（Ⅰ）所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有()1,2， ()2,1， ()2,3，()3,2， ()3,4， ()4,3，共6种． …6分故所求概率63168P ==．答：取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38．……8分（Ⅱ）所取两个球上的数字和能被3整除的结果有()1,2， ()2,1， ()2,4， ()3,3， ()4,2，共5种．…10分故所求概率为516P =．答：取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为516． ……12分（注：利用列表的方法求解，仿照上述解法给分）17．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间中线面关系，考查数形结合的数学思想和方法，以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力）证明：（Ⅰ）∵90ACB ∠=，∴B C A C ⊥．∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1BC C C ⊥．∵1AC C C C = ，∴B C ⊥平面11AC C A ． ∵1A C ⊂平面11AC C A ，∴1BC A C ⊥， ∵11BC B C ，则111B C A C ⊥． ……4分在R t A B C ∆中，2A B =，1B C =，∴AC =1AA =11AC C A 为正方形．∴11A C AC ⊥． ……6分∵1111B C AC C = ，∴1A C ⊥平面11AB C ．……7分 （Ⅱ）当点E 为棱A B 的中点时，DE 平面11AB C ． ……9分证明如下：如图，取1B B 的中点F ，连E F 、F D 、D E ，∵D 、E 、F 分别为1C C 、A B 、1B B 的中点，∴1EF AB ．∵1AB ⊂平面11AB C ，E F ⊄平面11AB C ， ∴EF 平面11AB C ． ……12分同理可证FD 平面11AB C ．∵EF FD F = ， ∴平面EFD 平面11AB C ．∵D E ⊂平面EFD ， ∴DE 平面11AB C ． ……14分18．（本小题满分12分）（本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、解三角形等基础知识，考查运算求解能力）（Ⅰ）解：由余弦定理，得222cos 2a c bB ac+-=＝12． ……2分∵0B π<<，∴ 3B π=． ……4分（Ⅱ）解法一：将3c a =代入222a c b ac +-=，得b =． ……6分由余弦定理，得222cos 214b c aA bc+-==． ……8分∵0A π<<，∴sin 14A ==． ……10分∴sin tan cos 5A A A==． ……12分解法二：将3c a =代入222a cb ac +-=，得b =． ……6分由正弦定理，得sin B A =． ……8分∵3B π=，∴sin 14A =． ……10分又b a =>，则B A >，∴cos 14A ==．∴sin tan cos 5A A A==． ……12分解法三：∵3c a =，由正弦定理，得sin 3sin C A =． ……6分 ∵3B π=，∴()23C A B A ππ=-+=-．∴2sin 3sin 3A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． ……8分∴22sin cos cossin 3sin 33A A A ππ-=．∴1cos sin 3sin 22A A A +=．∴5sin A A =． ……10分∴sin tan cos 5A A A==．……12分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程等基础知识，考查待定系数法、数形结合的数学思想与方法，以及运算求解能力）（Ⅰ）解法一：依题意，设椭圆E 的方程为22221x y ab+=（0a b >>）， 由已知半焦距1c =，∴221a b -=． ① ……2分 ∵点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，则221914a b +=． ② ……4分 由①、②解得，24a =，23b =．∴椭圆E 的方程为22143xy+=． ……6分解法二：依题意，设椭圆E 的方程为22221x y ab+=（0a b >>）， ∵点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，∴1224a CF CF =+=，即2a =． ……3分 由已知半焦距1c =，∴2223b a c =-=． …5分∴椭圆E 的方程为22143xy+=．……6分（Ⅱ）设()00,P x y ，由12PF PF t =，得()()00001,1,x y x y t -----= ，即22001x y t +=+． ③ ……8分∵点P 在曲线C 上， ∴2200143x y +=． ④由③得22001y t x =+-，代入④，并整理得()2042x t =-． ⑤ ……10分由④知，2004x ≤≤， ⑥ ……12分结合⑤、⑥，解得：23t ≤≤．∴实数t 的取值范围为[]2,3． ……14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列、导数等基础知识，考查有限与无限的数学思想与方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）解：（Ⅰ）∵x y e '=，∴曲线C ：x y e =在点()1,P e 处的切线方程为()1y e e x -=-，即y ex =． 此切线与x 轴的交点1Q 的坐标为()0,0，∴点1P 的坐标为()0,1． ……2分 ∵点n P 的坐标为(),n n x y （*n ∈N ），∴曲线C ：x y e =在点n P (),n n x y 处的切线方程为()n n x xn y e e x x -=-， ……4分令0y =，得点1n Q +的横坐标为11n n x x +=-．∴数列{}n x 是以0为首项，1-为公差的等差数列．∴1n x n =-，1nn y e -=．（*n ∈N ） ……6分（Ⅱ）∵()()2221221i ii i OP x y i e-=+=-+， ……8分∴222221231nin i O P O P O P O P O P ==++++∑()()()()()221222240121n e een e---⎡⎤=+++++++-+⎣⎦……10分()()22122241211n n e e e---⎡⎤⎡⎤=++++-+++++⎣⎦⎣⎦ ……12分 ()()22121161n n n n ee -----=+- ()()()2222121161nn n n n e ee ----=+-． ……14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数及其运算、不等式及其性质等基础知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识）解：（Ⅰ）∵()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭22212121122222x x x x ax bx c ax bx c a b c +++++++⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21204a x x =--<， ……2分∵12x x ≠，∴0a >．∴实数a 的取值范围为()0,+∞． ……4分（Ⅱ）∵()2224422f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，显然()02f =-，对称轴20x a=-<． ……6分（1）当424a --<-，即02a <<时，()2,0M a a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且()4f M a =-⎡⎤⎣⎦．令2424ax x +-=-，解得2x a -±=，此时()M a 取较大的根，即()2M a a-+==∵02a <<，∴()1M a =>-． ……10分（2）当424a--≥-，即2a ≥时，()2M a a<-，且()4f M a =⎡⎤⎣⎦．令2424ax x +-=，解得x a =，此时()M a 取较小的根，即()26M a a---==，∵2a ≥，∴()63M a -=≥-． ……13分当且仅当2a =时，取等号． ∵31-<-，∴当2a =时，()M a 取得最小值－3． ……14分。

试卷类型:A2007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学(文科)2007.4本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型(A)涂黑.在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号,在“座位号”列表内填写座位号,并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑.不按要求填涂的,答卷无效.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考试必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:()()22221211236n n n n ++++++=()S r r l π'=+圆台侧(,r r '分别表示圆台上、下底面半径,l 表示母线长)第一部分 选择题(共50分)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.sin 480的值为A.12-B. C.12 D 2.函数2xy =(x ∈R )的反函数为A .2log y x =(0x >) B.2log y x =(1x >) C.log 2x y =(0x >) D.log 2x y =(1x >)3.某个路口的交通指示灯,红灯时间为30秒,黄灯时间为10秒,绿灯时间为40秒.当你到达路口时,看见红灯的概率是A.18 B .38 C.12 D.584.已知等差数列{}n a 的前三项分别为1a -,21a +,7a +,则这个数列的通项公式为A.43n a n =-B.21n a n =-C.42n a n =-D.23n a n =-5.已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -,则向量AC 对应的复数为 A.53i + B.15i + C .15i -- D.53i --6.1a =是直线1y ax =+和直线()21y a x =--垂直的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.一个圆台的两底面的面积分别为π,16π,侧面积为25π,则这个圆台的高为A.3 B .4 C.59.如图1所示,ABCDEF 为正六边形,则以F 、C 为焦点,且经过A 、E 、D 、B 四点的双曲线的离心率为 1 11 D 110.已知方程210ax bx +-=(,a b ∈R 且0a >)有两个实数根,其中一个根在区间()1,2内,则a b -的取值范围为A .()1,-+∞ B.(),1-∞- C.(),1-∞ D.()1,1-图1第二部分 非选择题(共100分)二、填空题:本大题共5小题,其中11～13题是必做题,14～15题是选做题,每小题5分,满分20分.11.已知函数()sin ,03y x x πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭R 的最小正周期为π,则ω= . 12.某班的54名学生对数学选修专题《几何证明选讲》和《极坐标与参数方程》的选择情况如下(每位学生至少选．．．．．．．1．个专题．．．):两个专题都选的有6人,选《极坐标与参数方程》的学生数比选《几何证明选讲》的多8人,则只选修了《几何证明选讲》的学生有 人.13.已知函数()f x 满足()12f =,()()()111f x f x f x ++=-,则()3f 的值为 ,()()()()1232007f f f f ⋅⋅⋅⋅的值为 .▲选做题:在下面两道小题中选做一题,二题都选的只计算第14题的得分.14.在极坐标系中,若过点()4,0且与极轴垂直的直线交曲线6cosρθ=于,A B 两点,则=AB .15.如图2,P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点,PC 与⊙O 相切于点C ,∠APC 的角平分线交AC 于点Q ,则AQP ∠的大小 为_________.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出1个球,每个小球被取出的可能性相等.(Ⅰ)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； (Ⅱ)求取出的两个球上标号之和能被3整除的概率.17.(本小题满分14分) 如图3所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,90ACB ∠=,2AB =,1BC =,1AA =(Ⅰ)证明:1AC ⊥平面11AB C ； (Ⅱ)若D 是棱1CC 的中点,在棱AB 上是否存在一点E ,使DE平面11AB C ？证明你的结论.图218.(本小题满分12分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边,且222a cb ac +-=. (Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)若3c a =,求tan A 的值.19.(本小题满分14分)已知椭圆E 的两个焦点分别为()11,0F -、()21,0F ,点31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)若点P 在椭圆E 上,且满足12PF PF t =,求实数t 的取值范围.20.(本小题满分14分)已知曲线C :x y e =(其中e 为自然对数的底数)在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ,过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ,曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ,过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ,……,依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ,设点n P 的坐标为(),n n x y (*n ∈N ).(Ⅰ)分别求n x 与n y 的表达式； (Ⅱ)设O 为坐标原点,求21nii OP=∑.21.(本小题满分14分)已知函数()242f x ax x =+-,若对任意1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. (Ⅰ)求实数a 的取值范围；(Ⅱ)对于给定的实数a ,有一个最小的负数()M a ,使得(),0x M a ∈⎡⎤⎣⎦时,()44f x -≤≤都成立,则当a 为何值时,()M a 最小,并求出()M a 的最小值.2007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共10小题,每小题5分,满分50分. 1.D 2.A 3.B 4.A 5.C 6.C 7.B 8.B 9.D 10.A二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算.本大题共5小题,其中11～13题是必做题,14～15题是选做题.每小题5分,满分20分.第13题中的第一个空2分,第二个空3分. 11.2 12.20 13.12-；314. 15.135三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)(本小题主要考查古典概型等基础知识,考查或然与必然的数学思想与方法,以及运算求解能力)解法一:利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出1个球的所有可能结果:可以看出,试验的所有可能结果数为16种. ……4分 (Ⅰ)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有1－2,2－1,2－3,3－2,3－4,4－3,共6种. ……6分故所求概率63168P ==. 答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38. ……8分 (Ⅱ)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有1－2,2－1,2－4,3－3,4－2,共5种. ……10分故所求概率为516P =. 答:取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为516. ……12分 解法二:设从甲、乙两个盒子中各取1个球,其数字分别为y x ,,用),(y x 表示抽取结果,则所有可能有()1,1,()1,2,()1,3,()1,4,()2,1,()2,2,()2,3,()2,4,()3,1,()3,2,()3,3,()3,4,()4,1,()4,2,()4,3,()4,4,共16种. ……4分(Ⅰ)所取两个小球上的数字为相邻整数的结果有()1,2, ()2,1, ()2,3,()3,2, ()3,4,()4,3,共6种. ……6分故所求概率63168P ==. 答:取出的两个小球上的标号为相邻整数的概率为38. ……8分 (Ⅱ)所取两个球上的数字和能被3整除的结果有()1,2, ()2,1, ()2,4, ()3,3, ()4,2,共5种. ……10分故所求概率为516P =. 答:取出的两个小球上的标号之和能被3整除的概率为516. ……12分 (注:利用列表的方法求解,仿照上述解法给分)17.(本小题满分14分)(本小题主要考查空间中线面关系,考查数形结合的数学思想和方法,以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力)证明:(Ⅰ)∵90ACB ∠=,∴BC AC ⊥.∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,∴1BC CC ⊥. ∵1ACCC C =,∴BC ⊥平面11ACC A .∵1AC ⊂平面11ACC A ,∴1BC AC ⊥, ∵11BCB C ,则111B C AC ⊥. ……4分在Rt ABC ∆中,2AB =,1BC =,∴AC .∵1AA =∴四边形11ACC A为正方形. ∴11AC AC ⊥. ……6分 ∵1111B C AC C =,∴1AC ⊥平面11AB C . ……7分 (Ⅱ)当点E 为棱AB 的中点时,DE 平面11AB C . ……9分证明如下:如图,取1BB 的中点F ,连EF 、FD 、DE ,∵D 、E 、F 分别为1CC 、AB 、1BB 的中点,∴1EFAB .∵1AB ⊂平面11AB C ,EF ⊄平面11AB C , ∴EF平面11AB C . ……12分同理可证FD 平面11AB C .∵EFFD F =,∴平面EFD平面11AB C .∵DE ⊂平面EFD , ∴DE平面11AB C . ……14分18.(本小题满分12分)(本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、解三角形等基础知识,考查运算求解能力)(Ⅰ)解:由余弦定理,得222cos 2a c b B ac+-=＝12. ……2分∵0B π<<,∴ 3B π=. ……4分(Ⅱ)解法一:将3c a =代入222a cb ac +-=,得b =. ……6分由余弦定理,得222cos 214b c a A bc +-==. ……8分∵0A π<<,∴sin 14A ==……10分∴sin tan cos A A A ==……12分解法二:将3c a =代入222a cb ac +-=,得b =. ……6分由正弦定理,得sin B A =. ……8分∵3B π=,∴sin 14A =. ……10分又b a =>,则B A >,∴cos A ==.∴sin tan cos A A A == ……12分解法三:∵3c a =,由正弦定理,得sin 3sin C A =. ……6分 ∵3B π=,∴()23C A B A ππ=-+=-. ∴2sin 3sin 3A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. ……8分 ∴22sincos cos sin 3sin 33A A A ππ-=.1sin 3sin 2A A A +=.∴5sin A A =. ……10分∴sin tan cos A A A ==……12分19.(本小题满分14分)(本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程等基础知识,考查待定系数法、数形结合的数学思想与方法,以及运算求解能力)(Ⅰ)解法一:依题意,设椭圆E 的方程为22221x y a b+=(0a b >>),由已知半焦距1c =,∴221a b -=. ① ……2分 ∵点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上,则221914a b+=. ② ……4分 由①、②解得,24a =,23b =.∴椭圆E 的方程为22143x y +=. ……6分 解法二:依题意,设椭圆E 的方程为22221x y a b+=(0a b >>),∵点31,2C ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上,∴1224a CF CF =+=,即2a =. ……3分 由已知半焦距1c =,∴2223b a c =-=. ……5分∴椭圆E 的方程为22143x y +=. ……6分(Ⅱ)设()00,P x y ,由12PF PF t =,得()()00001,1,x y x y t -----=,即22001x y t +=+. ③ ……8分 ∵点P 在曲线C 上,∴2200143x y +=. ④ 由③得22001y t x =+-,代入④,并整理得()2042x t =-. ⑤ ……10分由④知,2004x ≤≤, ⑥ ……12分 结合⑤、⑥,解得:23t ≤≤.∴实数t 的取值范围为[]2,3. ……14分20.(本小题满分14分)(本小题主要考查数列、导数等基础知识,考查有限与无限的数学思想与方法,以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识)解:(Ⅰ)∵xy e '=,∴曲线C :x y e =在点()1,P e 处的切线方程为()1y e e x -=-,即y ex =. 此切线与x 轴的交点1Q 的坐标为()0,0,∴点1P 的坐标为()0,1. ……2分 ∵点n P 的坐标为(),n n x y (*n ∈N ),∴曲线C :x y e =在点n P (),n n x y 处的切线方程为()n n x xn y ee x x -=-, ……4分 令0y =,得点1n Q +的横坐标为11n n x x +=-.∴数列{}n x 是以0为首项,1-为公差的等差数列.∴1n x n =-,1n n y e -=.(*n ∈N ) ……6分 (Ⅱ)∵()()2221221i ii i OP x y i e -=+=-+, ……8分∴222221231nin i OPOP OP OP OP ==++++∑()()()()()2212022240121n e e e n e ---⎡⎤=+++++++-+⎣⎦……10分 ()()22122241211n n e e e---⎡⎤⎡⎤=++++-+++++⎣⎦⎣⎦ ……12分 ()()22121161n n n n e e -----=+-()()()2222121161n n n n n e e e ----=+-. ……14分21.(本小题满分14分)(本小题主要考查函数及其运算、不等式及其性质等基础知识,考查化归与转化、数形结合的数学思想方法,以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识)解:(Ⅰ)∵()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭22212121122222x x x x ax bx c ax bx c a b c +++++++⎛⎫⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21204a x x =--<, ……2分 ∵12x x ≠,∴0a >.∴实数a 的取值范围为()0,+∞. ……4分(Ⅱ)∵()2224422f x ax x a x a a ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭,显然()02f =-,对称轴20x a=-<. ……6分 (1)当424a --<-,即02a <<时,()2,0M a a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,且()4f M a =-⎡⎤⎣⎦. 令2424ax x +-=-,解得x =此时()M a 取较大的根,即()M a==, ∵02a <<,∴()1M a =>-. ……10分数学试题A （文科） 第 11 页 共 11 页 (2)当424a --≥-,即2a ≥时,()2M a a<-,且()4f M a =⎡⎤⎣⎦. 令2424ax x +-=,解得x =, 此时()M a 取较小的根,即()M a ==, ∵2a ≥,∴()3M a =≥-.……13分 当且仅当2a =时,取等号.∵31-<-,∴当2a =时,()M a 取得最小值－3. ……14分。

高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。

______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。

______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。

______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。

______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。

广州市数学竞赛高二试题广州市数学竞赛高二试题涵盖了高中数学的多个领域，包括但不限于代数、几何、概率统计和微积分。

以下是一套模拟试题，供参赛者练习。

一、选择题（每题3分，共15分）1. 若\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 4x + 5 = 0 \)的根，那么\( a^2 + 4a \)的值等于：A. -5B. 5C. 0D. 不确定2. 在直角坐标系中，点\( P(x, y) \)关于直线\( y = x \)的对称点的坐标是：A. \( (y, x) \)B. \( (-x, -y) \)C. \( (-y, -x) \)D. \( (x, -y) \)3. 若函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 7 \)的导数是\( f'(x) \)，那么\( f'(1) \)的值等于：A. 3B. 2C. -3D. -24. 已知正方体的体积为8，那么其表面积为：A. 16B. 24C. 32D. 645. 抛物线\( y^2 = 4x \)的焦点坐标是：A. \( (1, 0) \)B. \( (0, 1) \)C. \( (2, 0) \)D. \( (0, 2) \)二、填空题（每题4分，共20分）6. 若\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)为锐角，则\( \cos \theta \)的值为______。

7. 一个等差数列的首项为2，公差为3，第10项的值为______。

8. 已知函数\( y = \ln(x) \)的定义域为______。

9. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)为实数，且\( a^2 + b^2 + c^2 =1 \)，则\( ab + bc + ca \)的最大值为______。

10. 一个圆的半径为5，圆心到直线\( x - y + 5 = 0 \)的距离为4，则直线与圆的位置关系是______。

广州市高二数学竞赛试题一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数=z ，z 是z 的共轭复数，则⋅z z 的值是 A ．14 B ．12C ．2D ．4 2．已知向量a 2,3x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭与向量b ()3,2x =-的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是 A ．1,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．()1,2,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,00,22⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()0,2 3. 已知函数()2sin2cos2=+f x x x x ，则下列不等式中恒成立的是 A ．()3124π⎛⎫⎛⎫<<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f B ．()3142π⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f fC ．()3142π⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f D ．()3142π⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f f 4. 若实数,x y 满足()99233+=+x y x y ，则33=+x yt 的取值范围是A ．02<≤tB ．24<≤tC ．04<≤tD ．4≥t二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，满分36分．5. 已知n ∈N *，()35721n a n =+++++ ，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S = .6．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上 的点数是5”为事件B ，则事件A 、B 中至多有一件发生的概率是 . 7. 函数()f x =的最大值是 .8. 设不等式组1,230,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为1Ω，平面区域2Ω与1Ω关于直线240x y --=对称，对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等 于 .9. 已知,,A B C 是表面积为64π的球面上三点，2,30AB ACB ︒=∠=，O 为球心，则直 线OA 与平面ABC 所成角的余弦值是 .10．若将函数()4=f x x 表示为()()()()()234012341111=+-+-+-+-f x a a x a x a x a x 其中01234,,,,a a a a a 为实数，则3a 的值为 .三、解答题：本大题共5小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 11．（本小题满分15分）已知函数()2sin 2cos f x x a x =+(a ∈R ，a 为常数)，且6π是函数()=y f x 的零点. （1）求a 的值； （2）若,122ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，求()f x 的最大值和最小值. 12．（本小题满分15分）已知直三棱柱111ABC A B C -的底面ABC 是正三角形，D 是AC 的中点. （1）证明：1AB ∥平面1BC D ；（2）若2BC =，11AB BC ⊥，求三棱锥1D BC C -的体积.DC 1B 1A 1BA13. （本小题满分20分）已知椭圆:P ()222210+=>>x y a b a b 的左、右焦点分别为()1,0-F c 、()2,0F c ，点M 、N 是直线2=a x c上的两个动点，且12⊥F M F N .（1）设圆C 是以线段MN 为直径的圆，试判断原点O 与圆C 的位置关系； （2）若椭圆P 的离心率为12，MN的最小值为P 的方程.14. （本小题满分20分）设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别为i 、j ，O 为坐标原点. 坐标平面上点n A 、(n B n ∈N *)分别满足下列两个条件：①12OA = j ，且1n n A A +=i +j ；②13OB = i ， 且1233nn n B B +⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭i .（1）求向量n OA 及n OB的坐标；（2）若四边形11n n n n A B B A ++的面积是n a ，求n a 的表达式；（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的自然数M ，对一切n ∈N *，都有n a M <成立？若存在，求M 的值；若不存在，说明理由.15．（本小题满分20分）已知函数1()(1)(0)xf x x x=+>，e 为自然对数的底数.（１）证明：()e f x <；（２）若n ∈N *，且a n >，证明：11e e 1a nnk a k n =++⎛⎫<⎪-⎝⎭∑.。

2007年全国高中数学联合竞赛一试一、填空题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。

2007*1、如图，在正四棱锥ABCD P -中，060=∠APC ，则二面角C PB A --的平面角的余弦值为A.71 B.71- C.21 D.21-◆答案：B★解析：如图，在侧面PAB 内，作AM ⊥PB ，垂足为M 。

连结CM 、AC ，则∠AMC 为二面角A−PB−C 的平面角。

不妨设AB =2，则22==AC PA ，斜高为7，故2272⋅=⨯AM ，由此得27==AM CM 。

在△AMC 中，由余弦定理得712cos 222-=⋅⋅-+=∠CM AM AC CM AM AMC 。

2007*2、设实数a 使得不等式2232a a x a x ≥-+-对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,31 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,41 D.[]3,3-◆答案：A★解析：令a x 32=，则有31||≤a ，排除B 、D 。

由对称性排除C ，从而只有A 正确。

一般地，对R k ∈，令ka x 21=，则原不等式为2|||34|||23|1|||a k a k a ≥-⋅+-⋅，由此易知原不等式等价于|34|23|1|||-+-≤k k a ，对任意的R k ∈成立。

由于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥-=-+-125334121134325|34|23|1|k k k k k k k k ，所以31|}34|23|1{|min R =-+-∈k k k ，从而上述不等式等价于31||≤a 。

2007*3、将号码分别为9,,2,1 的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。

甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从袋中再摸出一个球，其号码为b 。

则使不等式0102>+-b a 成立的事件发生的概率等于A.8152 B.8159 C.8160 D.8161◆答案：D ★解析：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为8192=个。

2007年全国高中数学联合竞赛一试试题与详解一、 选择题（每小题6分，共36分）1.如图，在正四棱锥P ABCD -中，60APC ∠=︒，则二面角A PB C --的平面角的余弦值为（ ）．A ．17B ．17-C ．12D ．12-A B CDPMPDCBA【解答】 B ．如图，在侧面PAB 内，作AM PB ⊥，垂足为M ．连接CM 、AC ，则AMC ∠为二面角A PB C --的平面角．不妨设2AB =，则PA AC ==2AM ⋅，由此得C M A M ==．在A M C ∆中，由余弦定理得2221cos 27AM CM AC AMC AM CM +-∠==-⋅⋅．2. 设实数a 使得不等式2|2||32|x a x a a -+-≥对任意实数x 恒成立，则满足条件的a所组成的集合是（ ）．A ．1133,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1122,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1143,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．[]33,- 【解答】 A ．令23x a =，则有1||3a ≤，排除B 、D ．由对称性排除C ，从而只有A 正确． 一般地，对k ∈R ，令12x ka=，则原不等式为234|||1|||||23a k a k a ⋅-+⋅-≥，由此易知原不等式等价于34|||1|23a k k -+-≤，对任意的k ∈R 成立．由于543,233414|1|1,1232353,12k k k k k k k k ⎧-⎪⎪⎪-+-=-<⎨⎪⎪-<⎪⎩≥≤，所以R 341min |1|233k k k ∈⎧⎫-+-=⎨⎬⎩⎭，从而上述不等式等价于1||3a ≤．3.将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ．则使不等式2100a b -+>成立的事件发生的概率等于（ ）A ．5281B ．5981C ．6081D ．6181【解答】 D ．甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为2981=个．由不等式2100a b -+>得210b a <+，于是，当1b =、2、3、4、5时，每种情形a 可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9545⨯=种；当6b =时，a 可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当7b =时，a 可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当8b =时，a 可取7、8、9中每一个值，有3种；当9b =时，a 只能取9，有1种．于是，所求事件的概率为457531618181++++=． 4.设函数()3sin 2cos 1f x x x =++．若实数a 、b 、c 使得()()1af x bf x c +-=对任意实数x 恒成立，则cos b ca 的值等于（ ）．A ．12-B ．12C ．1-D ．1【解答】 C ．令πc =，则对任意的x ∈R ，都有()()1f x f x c +-=，于是取12a b ==，πc =，则对任意的x ∈R ，()()1af x bf x c +-=，由此得cos 1b ca =-．一般地，由题设可得())1f x x ϕ++，())1f x c x c ϕ-+-+，其中02πϕ<<且2tan 3ϕ=，于是()()1af x bf x c +-=可化为sin()sin()1x x c a b ϕϕ++-++=，即sin()sin()cos sin cos()(1)0x x c c x a b ϕϕϕ+++++-=，所以cos )sin()sin cos()(1)0a b c x c x a b ϕϕ+++++-=．由已知条件，上式对任意x ∈R 恒成立，故必有cos 0(1)sin 0(2)10(3)a b c b c a b +=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩，若0b =，则由⑴知0a =，显然不满足⑶式，故0b ≠．所以，由⑵知sin 0c =，故2ππc k =+或2πc k =()k ∈Z ．当2πc k =时，cos 1c =，则⑴、⑶两式矛盾．故2ππc k =+()k ∈Z ，cos 1c =-．由⑴、⑶知12a b ==，所以cos 1b ca =-．5.设圆1O 和圆2O 是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．【解答】 A ．设圆1O 和圆2O 的半径分别是1r 、2r ，122O O c=，则一般地，圆P 的圆心轨迹是焦点为1O 、2O ，且离心率分别是122c r r +和122||cr r -的圆锥曲线（当12r r =时，12O O 的中垂线是轨迹的一部份，当0c =时，轨迹是两个同心圆）．当12r r =且122r r c +<时，圆P 的圆心轨迹如选项B ；当1202c r r <<-时，圆P 的圆心轨迹如选项C ；当12r r ≠且122r r c +<时，圆P 的圆心轨迹如选项D ．由于选项A 中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P 的圆心轨迹不可能是选项A ． 6.已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且A B 为空集．若n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B 的元素个数最多为（ ）．A ．62B ．66C ．68D ．74【解答】 B ．先证66A B ≤，只须证33A ≤，为此只须证若A 是{1，2，…，49}的任一个34元子集，则必存在n A ∈，使得22n B +∈．证明如下：将{1，2，…，49}分成如下33个集合：{1，4}，{3，8}，{5，12}，…，{23，48}共12个；{2，6}，{10，22}，{14，30}，{18，38}共4个；{25}，{27}，{29}，…，{49}共13个；{26}，{34}，{42}，{46}共4个．由于A 是{1，2，…，49}的34元子集，从而由抽屉原理可知上述34个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A ，即存在n A ∈，使得22n B +∈．如取A ={1，3，5，…，23，2，10，14，18，25，27，29，…，49，26，34，42，46}，{22},B n n A =+∈，则A 、B 满足题设且66AB ≤．二、填空题（每小题9分，共54分）7.在平面直角坐标系内，有四个定点(30),A -，(11),B -，(03),C ，(13),D -及一个动点P ，则||||||||PA PB PC PD +++的最小值为__________．【解答】． 如图，设AC 与BD 交于F 点，则 ||||||||||PA PC AC FA FC +=+≥，||||||||||PB PD BD FB FD +=+≥．因此，当动点P 与F 点重合时，||||||||PA PB PC PD +++取到最小值||||AC BD +=PFDCBA8.在ABC ∆和AEF ∆中，B 是EF 的中点，1AB EF ==，6BC =，CA =，若2AB AE AC AF ⋅+⋅=，则EF 与BC 的夹角的余弦值等于___________． 【解答】 23．∵2AB AE AC AF ⋅+⋅=，∴()()2AB AB BE AC AB BF ⋅++⋅+=，即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅=． ∵21AB =，3311AC AB ⋅==-，BE BF =-，∴1()12BF AC AB +⋅--=，即2BF BC ⋅=． 设EF 与BC 的夹角为θ，则有||||cos 2BF BC θ⋅⋅=，即3cos 2θ=，所以2cos 3θ=． 9.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于___________．【解答】 ．如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A 所在的三个面上，即面11AA BB 、面A B C D 和面11AA D D 上；另一类在不过顶点A 的三个面上，即面11BB C C 、面11CC D D 和面1111A B C D 上．在面11AAB B 上，交线为弧EF 且在过球心A 的大圆上，因为AE =，11AA =，则1π6A A E ∠=．同理π6BAF∠=，所以π6EAF∠=，故弧EF 的长为π6=，而这样的弧共有三条．在面11BB C C 上，交线为弧FG 且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，π2FBG ∠=，所以弧FG的长为π2=．这样的弧也有三条．于是，所得的曲线长为33+=． 10.已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，等比数列{}n b的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，21b d =，且222123123a a a b b b ++++是正整数，则q 等于__________．11A 1【解答】 2．因为22222212311122123111()(2)141a a a a a d a d b b b b b q b q q q ++++++==++++++，故由已知条件知道：21q q ++为14m ，其中m 为正整数．令2141q q m ++=，则1122q =-=-+ 由于q 是小于1的正有理数，所以1413m <<，即513m ≤≤且5634m m -是某个有理数的平方，由此可知12q =． 11.已知函数15()()44f x x =≤≤，则()f x 的最小值为__________． 【解答】．实际上πs i n π215()()44x f x x ⎛⎫-+ ⎪=≤≤，设π15()π()444g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭≤≤，则()0g x ≥， ()g x 在13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在35,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，且()y g x =的图像关于直线34x =对称， 则对任意113,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在235,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使21()()g x g x =．于是12()()f x f x ===，而()f x 在35,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以5()4f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭≥，即()f x 在15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是． 12.将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有__________种（用数字作答）．【解答】3960． 使2个a 既不同行也不同列的填法有2244C A 72=种，同样，使2个b 既不同行也不同列的填法也有2244C A 72=种，故由乘法原理，这样的填法共有272种，其中不符合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内仅有1个方格内填有b 的情况有12169C A 种．所以，符合题设条件的填法共有2121697272C A 3960--=种．三、 解答题(本题每小题20分，共计60分)13. 设11(1)nn k a k n k ==+-∑，求证：当正整数2n ≥时，1n n a a +<． 【解答】 由于1111(1)11k n k n k n k ⎛⎫=+ ⎪+-++-⎝⎭，因此1211n n k a n k ==+∑，于是，对任意的正整数2n ≥，有111111111()212n n n n k k a a n k n k ++==-=-++∑∑ 111111111012(1)(2)(1)(2)n n k k n n k n n n n k ==⎛⎫⎛⎫=--=-> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭∑∑，即1n n a a +<．14. 已知过点(0，1)的直线l 与曲线C ：1(0)y x x x =+>交于两个不同点M 和N ．求曲线C 在点M 、N 处切线的交点轨迹．【解答】 设点M 、N 的坐标分别为1(x ，1)y 和2(x ，2)y ，曲线C 在点M 、N 处的切线分别为1l 、2l ，其交点P 的坐标为(P x ，)P y ．若直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+．由方程组11y x x y kx ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得11x kx x +=+，即2(1)10k x x -+-=． 由题意知，该方程在(0，)+∞上有两个相异的实根1x 、2x ，故1k ≠，且14(1)0k ∆=+-> ……①， 12101x x k +=>- ……②， 1211x x k =>- ……③， 由此解得314k <<．对1y x x =+求导，得211y'x =-，则1211|1x x y'x ==-，2221|1x x y'x ==-，于是直线1l 的方程为112111()y y x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即11211111()y x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简后得到直线1l 的方程为211121y x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……④．同理可求得直线2l 的方程为222121y x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭……⑤． ④-⑤得22211211220px x x x x ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，因为12x x ≠，故有12122p x x x x x =+ ……⑥． 将②③两式代入⑥式得2P x =．④-⑤得222212*********p p y x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+++⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ……⑦， 其中121212111x x x x x x ++==，2222121212122222221212121212()211212(1)21x x x x x x x x k k x x x x x x x x x x ⎛⎫++-++===-=--=- ⎪⎝⎭，代入⑦式得2(32)2p P y k x =-+，而2P x =，得42P y k =-．又由314k <<得522p y <<，即点P 的轨迹为(2，2)，(2，2.5)两点间的线段（不含端点）．15.设函数()f x 对所有的实数x 都满足(2π)()f x f x +=，求证：存在4个函数()i f x ()1234,,,i =满足：⑴ 对1234,,,i =，()i f x 是偶函数，且对任意的实数x ，有(π)()i i f x f x +=； ⑵ 对任意的实数x ，有1234()()()cos ()sin ()sin 2f x f x f x x f x x f x x =+++．【解答】 记()()()2f x f x g x +-=，()()()2f x f x h x --=，则()()()f x g x h x =+，且()g x 是偶函数，()h x 是奇函数， 对任意的x ∈R ，(2π)()g x g x +=，(2π)()h x h x +=．令1()(π)()2g x g x f x ++=，2()(π)ππ2cos 2()π0π2g x g x x k x f x x k -+⎧≠+⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，3()(π)π()2sin 0πh x h x x k f x xx k -+⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，4()(π)π2sin 22()π02h x h x k x x f x k x ++⎧≠⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，其中k 为任意整数．容易验证()i f x ，1234,,,i =是偶函数，且对任意的x ∈R ，(π)()i i f x f x +=，1234,,,i =．下证对任意的x ∈R ，有12()()cos ()f x f x x g x +=．当ππ2x k ≠+时，显然成立； 当ππ2x k =+时，因为121()(π)()()cos ()2g x g x f x f x x f x +++==，而3π3πππ(π)ππ2(1)π(π)π()2222g x g k g k k g k g k g x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=+=+-+=--=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，故对任意的x ∈R ，12()()cos ()f x f x x g x +=．下证对任意的x ∈R ，有34()sin ()sin 2()f x x f x x h x +=．当π2k x ≠时，显然成立； 当πx k =时，()(π)(π2π)(π)(π)h x h k h k k h k h k ==-=-=-，所以()(π)0h x h k ==， 而此时34()sin ()sin 20f x x f x x +=，故34()sin ()sin 2()f x x f x x h x +=；当ππ2x k =+时，3π3πππ(π)(π)π2(1)πππ()2222h x h k h k k h k h k h x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-+=--=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故3()(π)()sin ()2h x h x f x x h x -+==，又4()sin 20f x x =，从而有34()sin ()sin 2()f x x f x x h x +=．于是，对任意的x ∈R ，有34()sin ()sin 2()f x x f x x h x +=． 综上所述，结论得证．。

试卷类型:A2007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学(理科)2007.4本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用2B 铅笔将答题卡上试卷类型(A)涂黑.在答题卡右上角的“试室号”栏填写本科目试室号,在“座位号”列表内填写座位号,并用2B 铅笔将相应的信息点涂黑.不按要求填涂的,答卷无效.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考试必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式:()()22221211236n n n n ++++++=第一部分 选择题(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.sin 480的值为A.12-B. C.12 D 2.函数2xy =(x ∈R )的反函数为A .2log y x =(0x >) B.2log y x =(1x >) C.log 2x y =(0x >) D.log 2x y =(1x >)3.已知向量OA 和向量OC 对应的复数分别为34i +和2i -,则向量AC 对应的复数为 A.53i + B.15i + C .15i -- D.53i --4.1a =是直线1y ax =+和直线()21y a x =--垂直的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.4名男生和2名女生排成一排照相,要求2名女生必须相邻,则不同的排列方法为A.4242A A B.5252A A C.55AD.6622A A7.如图1,ABCDEF 为正六边形,则以F 、C 为焦点,且经过A 、E 、D 、B1 11 D 18.已知方程210ax bx +-=(,a b ∈R 且0a >)有两个实数根,其中一个根在区间()1,2内,则a b -的取值范围为A .()1,-+∞ B.(),1-∞- C.(),1-∞ D.()1,1-第二部分 非选择题(共110分)二、填空题:本大题共7小题,其中9～12题是必做题,13～15题是选做题,每小题5分,满分30分. 9.已知0t >,若()021d 6tx x -=⎰,则t = .10.某校有高级教师26人,中级教师104人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工资收入情况,若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查,已知从其他教师中共抽取了16人,则该校共有教师 人.图111.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图2所示,则ω= ,ϕ= .12.已知数列{}n a 满足12a =,111n n na a a ++=-(*n ∈N ),则3a 的值为 , 1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅的值为 .▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分. 13.已知,,,a b x y ∈R ,224a b +=,6ax by +=,则22x y +的最小值为 .14.在极坐标系中,若过点()4,0且与极轴垂直的直线交曲线6cosρθ=于,A B 两点,则=AB .15.如图3,P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点,PC 与⊙O 相切于点C ,∠APC 的角平分线交AC 于点Q ,则AQP ∠的大小 为_________.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16.(本小题满分12分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边,且222a cb ac +-=. (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)若3c a =,求tan A 的值.17.(本小题满分12分)袋中装着标有数字1,2,3的小球各2个,从袋中任取2个小球,每个小球被取出的可能性都相等.(Ⅰ)求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；(Ⅱ)用ξ表示取出的2个小球上的数字之和,求随机变量ξ的概率分布与数学期望.图2图318.(本小题满分14分) 如图4所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,90ACB ∠=,2AB =,1BC =,1AA =D(Ⅰ)证明:1A D ⊥平面11AB C ； (Ⅱ)求二面角11B AB C --的余弦值.19.(本小题满分14分)已知曲线C :x y e =(其中e 为自然对数的底数)在点()1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ,过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ,曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ,过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ,……,依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ,设点n P 的坐标为(),n n x y (*n ∈N ).(Ⅰ)分别求n x 与n y 的表达式； (Ⅱ)设O 为坐标原点,求21ni i OP =∑.20.(本小题满分14分)已知椭圆E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点.(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)若直线l :()1y k x =-(0k ≠)与椭圆E 交于M 、N 两点,证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上.21.(本小题满分14分)已知函数()242f x ax x =+-,若对任意1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. (Ⅰ)求实数a 的取值范围；(Ⅱ)对于给定的实数a ,有一个最小的负数()M a ,使得(),0x M a ∈⎡⎤⎣⎦时,()44f x -≤≤都成立,则当a 为何值时,()M a 最小,并求出()M a 的最小值.图42007年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共8小题,每小题5分,满分50分. 1.D 2.A 3.C 4.C 5.B 6.B 7.D 8.A二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算.本大题共7小题,其中9～12题是必做题,13～15题是选做题。

2007年全国高中数学联赛 （考试时间：上午8：00—9：40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C 的平面角的余弦值为（ ） A. 71 B. 71- C. 21 D. 21-5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。

若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ）A. 62B. 66C. 68D. 74二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (−3，0)，B (1，−1)，C (0，3)，D (−1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。

8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=⋅+⋅，则与的夹角的余弦值等于________。

9. 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心，332为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。

10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。

若a 1=d ，b 1=d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。

11. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。

12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。

2007年广州市高二数学竞赛试卷考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．1．设函数17,0,()20.xx f x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎝⎭⎨≥，若(1)1f a +<，则实数a 的取值范围是（ ）．A ．()∞-,-4B ．()4,0-C ．()0,+∞D ．()(),40,-∞-+∞2．椭圆221123x y +=的焦点为1F 和2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）．A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍3．已知集合()221,lg lg lg 4M x yx y x y ⎧⎫⎛⎫=+=+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，则集合M 中元素的个数为（ ）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个4．设M 是ABC ∆内一点，且23,AB AC ⋅=30BAC ∠=，定义()(,,)f M m n p =，其中,,m n p 分别是,,MBC MCA MAB ∆∆∆的面积，若1(),,2f P x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则14x y +的最小值是（ ）．A ．)91 B ．18 C ．16 D ．9二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．5．已知复数z 满足：210z z ++=，则=+++++2007321zz z z __________．6．在区间[]2,2-上任取两实数a ，b ，则二次方程220x ax b -+=有实数解的概率为 ．7．已知函数()f x 满足：()()(),(1)4f m n f m f n f +==，则2(1)(2)(1)f f f +2(2)(4)(3)f f f ++2(3)(6)(5)f f f +++2(251)(502)(501)f f f ++= ．8．奇函数()f x 在R 上为减函数，若对任意的(]0,1x ∈，不等式()()220f kx f x x +-+->恒成立，则实数k的取值范围为 ．9．四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝6，其余的棱长均为5，则与该四面体各个表面都相切的内切球的半径长等于 ． 10．已知y x ,满足221643441x y x -≤≤-，则函数10-+=y x z 的最大值与最小值之和为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．11．（本小题满分15分）已知函数()f x =m n ，其中(sin cos )x x x ωωω=+m ，(cos sin ,2sin )x x x ωωω=-n （0ω>），若()f x 相邻两对称轴间的距离不小于2π． （Ⅰ）求ω的取值范围；（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C的对边，3a b c =+=，当ω最大时，()1f A =，求ABC∆的面积．12．（本小题满分20分）各项都为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知()221n n n S a a +=+．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足12b =，12n n b b +=，数列{c n }满足()()nn na n cb n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，数列{c n }的前n 项和为T n ，当n 为偶数时，求T n ；（Ⅲ）同学甲利用第（Ⅱ）问中的T n 设计了一个程序如图，但同学乙认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意同学乙的观点？请说明理由．13．（本小题满分20分）多面体1111ABCD A BC D -的直观图，主视图，俯视图，左视图如下所示．主视图左视图（Ⅰ）求A A 1与平面ABCD 所成角的正切值； （Ⅱ）求面11D AA 与面ABCD 所成二面角的余弦值； （Ⅲ）求此多面体的体积． 14．（本小题满分20分）如图，已知抛物线()2:20C x py p =>与圆22:8O x y +=相交于A 、B 两点，且0OA OB =（O 为坐标原点），直线l 与圆O 相切，切点在劣弧AB （含A 、B 两点）上，且与抛物线C 相交于M 、N 两点，d 是M 、N 两点到抛物线C 的焦点的距离之和．(Ⅰ)求p 的值；(Ⅱ)求d 的最大值，并求d 取得最大值时直线l15．（本小题满分20分）已知函数()sin f x x x λ=+是区间[]1,1-上的减函数．（Ⅰ）若2()1f x t t λ≤++在[1,1]x ∈- 上恒成立，求t 的取值范围； （Ⅱ）讨论关于x 的方程 2ln 2xx ex m x=-+ 的根的个数．2007年广州市高二数学竞赛参考答案1．选B ． 2．选A ． 3．选D ． 4．选B ． 5．填1． 6．填14． 7．填2008． 8．填(),2-∞．9．填8． 10．填20．11．解：（Ⅰ）22()cos sin sin f x x x x x ωωωω==-+⋅m nx x ωω2sin 32cos +=)62sin(2πω+=x ．0>ω ，∴函数()f x 的周期22T ππωω==． 由题意可知,22,22πωππ≥≥即T 解得01ω<≤． 故ω的取值范围是{|01}ωω<≤．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知ω的最大值为1，)62sin(2)(π+=∴x x f ．1)(=A f ，21)62sin(=+∴πA ． 而132666A πππ<+<，ππ6562=+∴A ，3π=∴A ． 由余弦定理，知bca cb A 2cos 222-+=，223b c bc ∴+-=，又3b c +=，联立解得21b c =⎧⎨=⎩或12b c =⎧⎨=⎩．23sin 21==∴∆A bc S ABC ． （或用配方法2,333)(2=∴=+=-+bc c b bc c b．1sin 2ABC S bc A ∆∴==） 12．解：（Ⅰ）当1n =时，由()211121S a a +=+，解得12a =， 当2n ≥时，由()221n n n S a a +=+，得()211121n n n S a a ---+=+．两式相减，并利用1n n n a S S -=-，求得11n n a a --=．∴数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列．∴1n a n =+（*n ∈N ）．（Ⅱ）∵{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2n n b =． 当n 为偶数时，()()24131222n n n T a a a -=+++++++()114122214nn a a n --+=⋅+-()2242143nn n +=+-． （Ⅲ）∵2244n n P n =+（n 为偶数）， 设44742323n n n n d T P n =-=⋅--（n 为偶数）， ∴4681012142007d d d d d d <<<<<<<．且22007d <，（利用数列的单调性或函数的单调性判断）∴2007n d ≠，即2007n n T P -≠（n 为偶数）． 因此同学乙的观点正确．13．（Ⅰ）解：由已知图可得，平面⊥AB A 1平面ABCD ，取AB 中点H ，连接H A 1，在等腰AB A 1∆中，有AB H A ⊥1，则⊥H A 1平面ABCD ． ∴AB A 1∠是A A 1与平面ABCD 所成的角． ∵12A H AH =，∴11tan A HA AB AH∠=2=． 故A A 1与平面ABCD 所成角的正切值为2．（Ⅱ）解法1：取AD 中点K ，连接KH K D ,1，同理有⊥K D 1平面ABCD ，即AHK ∆是11D AA ∆在平面ABCD 内的射影．取HK 的中点M ，取11A D 的中点N ，连接MN ，AM ，AN ，则MAN ∠就是面11D AA 与面ABCD 所成的二面角．∵MN ＝a，4AM =，∴tan MN MAN AM ∠==．即1cos 3MAN ∠=． ∴面11D AA 与面ABCD 所成二面角的余弦值为13． 解法2：取AD 中点K ，连接KH K D ,1，同理有⊥K D 1平面ABCD ，即AH K ∆是11D AA ∆在平面ABCD 内的射影，在11D AA ∆中，a D A a AD AA22,251111===，28311a S D AA =∆，又281a S AHK =∆，设面11D AA 与面ABCD 所成二面角的大小为α，则31cos 11==∆∆D AA AHK S S α．∴面11D AA 与面ABCD 所成二面角的余弦值为13． （Ⅲ）解：∵该多面体为长方体削去四个全等的三棱锥，每个三棱锥的体积都为3111322224a a a a ⋅⋅⋅⋅=． ∴此多面体的体积333154246V a a a =-⋅=．14． (Ⅰ) 解：设点A 的坐标为()11,x y ()10x <，由于抛物线C 和圆O 关于y 轴对称，故点B 的坐标为()11,x y -．OA OB =，2111()0x x y∴-+=，即2211x y-+=．点A在抛物线C上，∴2112x py=．21120py y∴-+=，即()1120y p y-+=．110,2y y p≠∴=．12x p∴=-．∴点A的坐标为()2,2p p-．点A在圆O上，()()22228p p∴-+=，又0p>，解得1p=．(Ⅱ)解法1：设直线l的方程为：y kx b=+，因为l是圆O的切=又0b>，则b=即l的方程为：y kx=+联立22.y kxx y⎧=+⎪⎨=⎪⎩即(()2222810y k y k-+++=．设()(),,,M M N NM x y N x y，则22M Ny y k+=+．如图，设抛物线C的焦点为F，准线为L，作11,MM L NN L⊥⊥，垂足分别为11,M N．由抛物线的定义有：11d MF NF MM NN=+=+1M Ny y=++221k=+．令t=2222k t=-．∴()224125d t t t=+-=+-．又∵11k-≤≤2t≤≤．∴当2t=时，d有最大值11．当2t=时，1k=±，故直线l的方程为4y x=±+．解法2：设直线l与圆O相切的切点坐标为()00,x y，则切线l的方程为008x x y y+=．由0028,2.x x y yx y+=⎧⎨=⎩消去x，得()222000162640y y y x y-++=．设()(),,,M M N NM x y N x y，则2002162M Ny xy yy++=．如图，设抛物线C的焦点为F，准线为L，作11,MM L NN L⊥⊥，垂足分别为11,M N．由抛物线的定义有：11d MF NF MM NN =+=+1M N y y =++20021621y x y +=+． 22008x y =-， ()200216281y y d y +-=+20016161y y =+-20111652y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．02y ≤≤∴当02y =时，d 有最大值11．当02y =时，02x =±，故直线l 的方程为4y x =±+． 15．解：（Ⅰ）()sin f x x x λ=+在[]1,1-上是减函数，()cos 0f x x λ'∴=+≤在[]1,1-上恒成立， cos ,cos [cos1,1]x x λ∴≤-∈， 1λ∴≤-． 又()f x 在[]1,1-上单调递减，max ()(1)sin1,f x f λ∴=-=-- ∴只需2sin11t t λλ--≤++，2(1)sin110t t λ∴++++≥ （其中1λ≤-）恒成立．令2()(1)sin11()g t t λλλ=++++≤-1，则()11t g +≤⎧⎪⎨-≥⎪⎩0,0.，即211sin11t t t +≤⎧⎨--+++≥⎩0,0. 2sin1t t t ≤⎧∴⎨-+≥⎩-1,0.而2sin1t t -+≥0恒成立， t ∴≤-1． （Ⅱ）令212ln (),()2xf x f x x ex m x ==-+，121ln ()x f x x -'=，当(]0,x e ∈时，1()f x '≥0， 1()f x ∴在(0,]e 上为增函数； 11[,),()()[,)x e f x f x e '∈+∞≤∴+∞时0,在上为减函数， 当x e =时，1max 11()()f x f e e==．而222()()f x x e m e =-+-，∴函数12()()f x f x 、在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当21m e e ->，即21m e e>+时，方程无解． ②当21m e e -=， 即21m e e=+时，方程有一个根． ③当21m e e -＜， 即21m e e +＜时，方程有两个根．。