第七章静电场第二节电场能的性质班别姓名学号一、学习目标1.掌握电势、电势能、电势差的概念.2.理解电场力做功的特点,掌握电场力做功与电势能变化的关系.3.会分析电场中电势的变化,并能利用功能关系分析电荷电势能的变化.二、自主预习（一）基础梳理提示：路径初末位置匀强任何零势能E p A－E p B零电势电势相等φA－φB W ABq Ed（二）自主诊断1. A,B两个点电荷在真空中所产生的电场的电场线(方向未标出)如图所示,图中C点为两个点电荷连线的中点,MN为两个点电荷连线的中垂线,D为中垂线上的一点,电场线的分布关于MN左右对称.则下列说法正确的是( A )A.这两个点电荷一定是等量异种电荷B.这两个点电荷一定是等量同种电荷C.C点的电场强度比D点的电场强度小D.C点的电势比D点的电势高解析:根据电场线的特点,从正电荷出发到负电荷终止可以判断,这两点电荷是两个等量异种电荷,故A正确,B错误;在两等量异种电荷连线的中垂线上,中间点电场强度最大,也可以从电场线的疏密判断,所以C点的电场强度比D点的电场强度大,故C错误;中垂线和电场线垂直,所以中垂线为等势线,所以C点的电势等于D点的电势,故D错误.3.如图所示,回答以下问题.(1)A,B哪点的电势比较高?负电荷在哪点的电势能比较大?(2)负电荷由B移动到A时,静电力做正功还是负功?(3)A,B两点的电势差U AB是正的还是负的?U BA呢?答案:(1)B点的电势高于A点的电势;把负电荷从A移到B,静电力做正功,电势能减少,负电荷在A点的电势能较大.(2)负电荷从B移动到A时,静电力做负功.(3)U AB<0,U BA>0.（三）自主探究根据电场线来判断电场中的两点电势的高低.(1)M,N是同一条电场线上的两点,哪点电势高?(2)M,P是同一电场中不在同一条电场线上的两点,哪点电势高?答案:(1)使正试探电荷沿着电场线由M点移向N点,电场力做正功,它的电势能逐渐减小,电势逐渐降低,所以M点电势比N点电势高.(2)使正试探电荷由M点移向P点,电场力做正功,它的电势能减小,电势降低,所以M点电势比P点电势高.三、课堂突破考点一电势、电势能、等势面2.电势能大小的判断等势面(实线)图样垂直于电场线的一簇平面以点电荷为球心的一簇球面连线的中垂线上的电势为零连线上，中点电势最低，而在中垂线上，中点电势最高【典例1】 (多选)如图,两电荷量分别为Q(Q>0)和-Q的点电荷对称地放置在x轴上原点O的两侧,a点位于x轴上O点与点电荷Q之间,b位于y轴O点上方.取无穷远处的电势为零,下列说法正确的是( BC)A.b点的电势为零,电场强度也为零B.正的试探电荷在a点的电势能大于零,所受电场力方向向右C.将正的试探电荷从O点移到a点,必须克服电场力做功D.将同一正的试探电荷先后从O,b点移到a点,后者电势能的变化较大解析:因为等量异种电荷在其连线的中垂线上的电场方向为水平指向负电荷,所以电场方向与中垂线方向垂直,故中垂线为等势线,因为中垂线延伸到无穷远处,所以中垂线的电势为零 ,故b点的电势为零,但是电场强度不为零,A错误;O点左侧电势为正,右侧电势为负,又知道正电荷在正电势处电势能为正,故选项B正确;O点的电势低于a点的电势,正电荷由O到a,所以必须克服电场力做功,C正确;O点和b点的电势相等,所以先后将正电荷从O,b点移到a点,电场力做功相等,电势能变化相同,D错误.【题组训练一】1. (多选)如图所示,一个半径为R的均匀带电圆环放置在水平面内,取环面中心O为原点,以垂直于环面的轴线为x轴,P到O点的距离为2R,质量为m,带负电且电荷量为q的小球从轴上P点由静止释放,小球运动到Q点时速度为零,Q点在O点上方R处,下列说法正确的是( CD)A.P点电势比Q点电势低B.P点比Q点的电场强度大,且Q点的电场强度一定等于mgqC.P,Q两点的电势差为mgRqD.该电荷在Q点的电势能大于在P点时的电势能解析:带负电的小球由P点先加速后减速到Q点,表明该电荷受到沿x轴向上的电场力作用,故电场强度沿x 轴竖直向下,则沿电场线方向电势降低,且电场力做负功,电势能增加,选项A错误,D正确;开始的时候qE P<mg,,选项B错到Q点时速度减为零,表明qE Q>mg,故P点电场强度一定比Q点的小,而Q点电场强度应该大于mgq,选项C正确. 误;由P到Q利用动能定理可得克服电场力做功为mgR,因此P,Q两点间的电势差为U PQ=mgRq2.如图所示，实线表示某电场的电场线(方向未标出)，虚线是一带负电的粒子只在电场力作用下的运动轨迹，设M点和N点的电势分别为φM、φN，粒子在M和N时加速度大小分别为a M、a N，速度大小分别为v M、v N，电势能分别为E p M、E p N.下列判断正确的是()A．v M<v N，a M<a N B．v M<v N，φM<φNC．φM<φN，E p M<E p N D．a M<a N，E p M<E p N[解析]由粒子轨迹弯曲方向及电场线分布情况可知，粒子所受电场力方向沿电场线切线方向，设粒子由M向N运动，则速度方向沿轨迹切线方向，电场力方向与粒子速度方向的夹角为钝角，电场力做负功，电势能增大，动能减小，所以v M>v N，E p M<E p N，A、B项错误；电场线疏密程度表示电场强度大小，故粒子在M点所受电场力的大小小于在N点所受电场力的大小，由牛顿第二定律可知，a M<a N，D项正确；由于电场线方向如图所示，所以M点电势较N点的高，C项错误．[答案] D3．(多选)(2018·高考全国卷Ⅰ )图中虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V．一电子经过a时的动能为10 e V，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 e V.下列说法正确的是()A．平面c上的电势为零B．该电子可能到达不了平面fC．该电子经过平面d时，其电势能为4 e VD ．该电子经过平面b 时的速率是经过d 时的2倍解析：选AB.电子在等势面b 时的电势能为E ＝qφ＝－2 e V ，电子由a 到d 的过程电场力做负功，电势能增加6 e V ，由于相邻两等势面之间的距离相等，故相邻两等势面之间的电势差相等，则电子由a 到b 、由b 到c 、由c 到d 、由d 到f 电势能均增加2 e V ，则电子在等势面c 的电势能为零，等势面c 的电势为零，A 正确；由以上分析可知，电子在等势面d 的电势能应为2 e V ，C 错误；电子在等势面b 的动能为8 e V ，电子在等势面d 的动能为4 e V ，由公式E k ＝12m v 2可知，该电子经过平面b 时的速率为经过平面d 时速率的2倍，D 错误；如果电子的速度与等势面不垂直，则电子在该匀强电场中做曲线运动，所以电子可能到达不了平面f 就返回平面a ，B 正确．考点二 U=E ·d 结合几何关系的拓展应用 1.公式U=E ·d 的三点注意 (1)只适用于匀强电场.(2)d 为某两点沿电场强度方向上的距离,或两点所在等势面之间的距离. (3)电场强度的方向是电势降低最快的方向. 2.由U=E ·d 可推出的两个重要推论推论1 匀强电场中的任一线段AB 的中点C 的电势φC =2A Bϕϕ+,如图(甲)所示.推论2 匀强电场中若两线段AB ∥CD,且AB=CD,则U AB =U CD (或φA -φB =φC -φD ),如图(乙)所示.【典例3】 (2017·全国Ⅲ卷,21)(多选)一匀强电场的方向平行于xOy 平面,平面内a,b,c 三点的位置如图所示,三点的电势分别为10 V,17 V,26 V.下列说法正确的是( ABD )A.电场强度的大小为2.5 V/cmB.坐标原点处的电势为1 VC.电子在a 点的电势能比在b 点的低7 eVD.电子从b 点运动到c 点,电场力做功为9 eV解析:如图所示,连接ac,将ac 等分,确定与b 电势相等的点d,过bd 的直线即为17 V 的等势线,过c 作ce 垂直于bd 垂足为e,ce 即为匀强电场的一条电场线,由图知cd=ac-ad=8 cm-3.5 cm=4.5 cm,由几何关系得ce=cd bcbd ⨯故电场强度E=ce U ce=26173.6-V/cm=2.5 V/cm.选项A 正确. 由U ca =U bO 即φc -φa =φb -φO ,得φO =1 V,所以B 正确.电子在a 点电势能E pa =q φa =-10 eV, 在b 点电势能E pb =q φb =-17 eV,所以E pa -E pb =7 eV,a 点电势能比b 点高7 eV,选项C 错误.电子从b 到c 电场力做功 W=qU bc =-e ×(17-26)V=9 eV,选项D 正确. 【题组训练二】1.如图所示,匀强电场的方向平行于xOy 坐标系平面,其中坐标原点O 处的电势为2 V,a 点的坐标为(0,4 cm),电势为8 V,b 点的坐标为(3 cm,0),电势为8 V,则电场强度的大小为( A )A.250 V/mB.200 V/mC.150 V/mD.120 V/m解析:由题意可知a,b 两点的电势相等,则ab 为一条等势线,又O 点电势为2 V,则知匀强电场的电场强度方向垂直于ab 指向左下方,过O 点作ab 的垂线交ab 于c 点, 由几何关系得tan ∠b=43,得∠b=53°,Oc=Ob ·sin ∠b=0.03 m ×sin 53°=2.4×10-2m, c,O 间的电势差U cO =8 V-2 V=6 V 则电场强度大小E=cOcU O =250 V/m,故选项A 正确.2.如图所示,以O 点为圆心,以R=0.20 m 为半径的圆与坐标轴交点分别为a,b,c,d,该圆所在平面内有一匀强电场,电场强度方向与x 轴正方向成θ=60°角,已知a,b,c 三点的电势分别为V,则下列说法正确的是( D )A.该匀强电场的电场强度V/mB.该匀强电场的电场强度E=80 V/mC.d 点的电势为VD.d 点的电势为-4 V解析:a,c 两点之间的电势差V,a,c 两点之间沿电场线方向的距离d=2Rsin 60°m.该匀强电场的电场强度E=Ud=40 V/m,选项A,B 错.b,d 之间沿电场线方向的距离d ′=2Rcos 60°=R=0.2 m.b,d 之间电势差U ′=Ed ′=8 V,由φb -φd =8 V 可得d 点的电势为φd =-4 V,选项C 错误,D 正确.考点三 电场中的功能关系 1.求电场力做功的几种方法(1)由W AB =qU AB 计算,此公式适用于任何电场. 注意:应用时W AB ,q,U AB 都要带正、负号.(2)由公式W=Fxcos α=Eqxcos α计算,此公式只适用于匀强电场. (3)由电势能的变化计算:W AB =E pA -E pB . (4)由动能定理计算:W 电场力+W 其他力=ΔE k . 2.电场中的功能关系(1)若只有电场力做功,电势能与动能之和保持不变.(2)若只有电场力和重力做功,电势能、重力势能、动能之和保持不变. (3)除重力、弹簧弹力之外,其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化. (4)所有外力对物体所做的功等于物体动能的变化.【典例4】如图所示,在空间中存在竖直向上的匀强电场,质量为m 、电荷量为+q 的物块从A 点由静止开始下落,加速度为13g,下降高度H 到B 点后与一绝缘轻弹簧接触,又下落h 后到达最低点C,整个过程中不计空气阻力,且弹簧始终在弹性限度内,重力加速度为g,则带电物块在由A 点运动到C 点过程中,下列说法正确的是( D )A.该匀强电场的电场强度为3mgqB.带电物块和弹簧组成的系统机械能减少量为()3mg H h + C.带电物块电势能的增加量为mg(H+h) D.弹簧的弹性势能的增加量为()3mg H h + 解析:带电物块由静止开始下落时的加速度为13g,根据牛顿第二定律得mg-qE=ma,解得E=23mgq,故A 错误;从A 到C 的过程中,除重力和弹簧弹力以外,只有电场力做功,电场力做功为W=-qE(H+h)=- ()23mg H h +,可知机械能减少量为()23mg H h +,故B 错误;从A 到C 的过程中,电场力做功为-()23mg H h +,则电势能增加量为()23mg H h +,故C 错误;根据动能定理得mg(H+h)- ()23mg H h ++W 弹=0-0,解得弹力做功为W 弹=-()3mg H h +,即弹簧弹性势能增加量为()3mg H h +,故D 正确. 【题组训练三】1.[电场力做功的分析]如图所示,真空中的匀强电场与水平方向成15°角,AB 线段垂直匀强电场E,现有一质量为m 、电荷量为+q 的小球在A 点以初速度大小v 0、方向水平向右抛出,经时间t 小球下落到C 点(图中未画出)时速度大小仍为v 0,则小球由A 点运动到C 点的过程中,下列说法正确的是( D )A.电场力对小球做功为零B.小球的机械能减少量为12mg 2t 2C.小球的电势能减小D.C 一定位于AB 所在直线的右侧解析:小球受到自身重力mg 和电场力qE 作用,合力F 斜向左下方,小球在A 点和C 点时速度大小没有变化,说明合外力做功为零,由于重力做正功,则电场力做负功,即U AC <0,所以C 点一定位于AB 所在直线的右侧,电势能增大,选项A,C 错误,D 正确;小球机械能减少量等于克服电场力做的功,根据动能定理,克服电场力做功等于重力做功,但在竖直方向不但有自身重力还有电场力竖直向下的分力,竖直方向小球的加速度大于g,所以竖直方向位移大于12gt 2,重力做功即克服电场力做功大于W=mg ×12gt 2=12mg 2t 2,选项B 错误.2.[电场力做功的计算]在如图所示的虚线框内有一方向平行于纸面的匀强电场,A,B,C 为该电场中的三个点,AB=4 cm,BC=3 cm,AC=5 cm,若将一个带电荷量为1.0×10-8C 的负点电荷从B 移到C,电场力做的功为1.2×10-7 J,而把该点电荷从B 移到A,克服电场力做的功为1.2×10-7J,则该匀强电场的电场强度大小为( A )A.500 V/mB.480 V/mC.400 V/mD.300 V/m解析:由题意可知,U BC =BC W q =781.210110--⨯-⨯V=-12 V,U BA =BA W q=781.210110---⨯-⨯ V=12 V,设A 点电势φA =0 V,则φB =12 V,φC=24 V,则B 点电势与AC 中点D 处的电势相等,由几何关系可知BD=2.5 cm,则由几何知识知,C,D 两点沿着电场线方向的距离为2.4 cm,匀强电场的电场强度大小为E=CD U d =2122.410-⨯V/m=500 V/m,A 正确. *考点四 静电场中的图象问题几种常见图象的特点及规律00荷量为e 的质子从－x 0处以一定初动能仅在电场力作用下沿x 轴正向穿过该电场区域．则该质子( )A ．在－x 0～0区间一直做加速运动B ．在0～x 0区间受到的电场力一直减小C ．在－x 0～0区间电势能一直减小D ．在－x 0～0区间电势能一直增加[审题指导] (1)根据x 轴上各点的电势变化确定电场的方向；(2)由φ－x 图线的切线的斜率的绝对值分析各点电场强度的大小变化；(3)根据质子的运动以及受力情况确定电场力做的功以及质子电势能的变化． [解析]从－x 0到0，电势逐渐升高，意味着该区域内的场强方向向左，质子受到的电场力向左，与运动方向相反，所以质子做减速运动，A 错误；设在x ～x ＋Δx ，电势为φ～φ＋Δφ，根据场强与电势差的关系式E ＝ΔφΔx ，当Δx 无限趋近于零时，ΔφΔx 表示x 处的场强大小(即φ～x 图线的斜率)，从0到x 0区间，图线的斜率先增加后减小，所以电场强度先增大后减小，根据F ＝Ee ，质子受到的电场力先增大后减小，B 错误；在－x 0～0区间质子受到的电场力方向向左，与运动方向相反，电场力做负功，电势能增加，C 错误，D 正确．[答案] D【题组训练4】1. (2017·江苏卷,8)(多选)在x 轴上有两个点电荷q 1,q 2,其静电场的电势φ在x 轴上分布如图所示.下列说法正确的有( AC )A.q 1和q 2带有异种电荷B.x 1处的电场强度为零C.负电荷从x 1移到x 2,电势能减小D.负电荷从x 1移到x 2,受到的电场力增大解析:由题图可知,空间的电势有正有负,且只有一个极值,则两个点电荷必定为异种电荷,A 项正确;由E=xϕ∆∆可知,φ-x 图像的切线斜率表示电场强度,因此x 1处的电场强度不为零,B 项错误;负电荷从x 1移到x 2的过程中,电势升高,电场强度减小,由E p =q φ,F=qE 可知,电势能减小,受到的电场力减小,C 项正确,D 项错误. 2.某空间存在电场,其中x 轴上电场的电场强度随坐标的变化关系如图所示,左右两侧图线对称,则下列说法正确的是( B )A.将负电荷从-d 位置移到-2d 位置,电场力做正功B.-d 位置和+d 位置电势相等C.+d 位置到+2d 位置的电势差与+2d 位置到+3d 位置的电势差相等D.将正电荷从-3d 位置移到+2d 位置电场力做正功解析:在x ≥d 区域电场沿x 轴正方向,在x ≤-d 区域电场沿x 轴负方向,-d ≤x ≤d 区域电场强度为零,电势差为零,则x=-d 和x=d 位置电势相等,沿x 轴正方向和负方向电势均降低,则关于纵轴对称的两侧位置电势相等,B 正确;将负电荷从-d 移到-2d 位置,电场力做负功,A 错误;沿x 轴正方向,电场强度减小,观察E-x 图像中的图线与x 轴所围面积可知,+d 位置到+2d 位置的电势差大于+2d 位置到+3d 位置的电势差,C 错误;+2d 位置与-2d 位置电势相等,沿着电场线方向电势降低,则-2d 位置电势大于-3d 位置电势,正电荷在 -3d 位置电势能小于在-2d 位置电势能,小于在+2d 位置的电势能,因此将正电荷从-3d 位置移到+2d 位置,电势能增加,电场力做负功,D 错误. 3. (多选)一带负电的粒子只在电场力作用下沿x 轴正向运动,其电势能E p 随位移x 变化的关系如图所示,其中0～x 2段是轴对称的曲线,x 2～x 3段是直线,则下列说法正确的是( BC )A.x 1处电场强度最大B.x 2～x 3段是匀强电场C.x 1,x 2,x 3处电势φ1,φ2,φ3的关系为φ1>φ2>φ3D.粒子在0～x 2段做匀变速运动,在x 2～x 3段做匀速直线运动解析:通过图像的斜率可以分析电场力的大小,进而反映电场强度大小,所以在x 1处电场强度最小,A 错11 误;x 2～x 3段为直线,斜率恒定,所以该段为匀强电场,B 正确;粒子带负电,0～x 1阶段,电场力做正功,即逆着电场线方向到达x 1处,之后电场力做负功,顺着电场线从x 1依次到达x 2,x 3,而沿电场线方向电势降低,故有φ1>φ2>φ3,C 正确;图像的斜率可以反映电场强度大小,所以粒子在0～x 2段做非匀变速直线运动,在x 2～x 3段做匀减速直线运动,D 错误.四、巩固训练*1.(2018·全国Ⅱ卷,21)(多选)如图,同一平面内的a,b,c,d 四点处于匀强电场中,电场方向与此平面平行,M 为a,c 连线的中点,N 为b,d 连线的中点.一电荷量为q(q>0)的粒子从a 点移动到b 点,其电势能减小W 1;若该粒子从c 点移动到d 点,其电势能减小W 2.下列说法正确的是( BD )A.此匀强电场的电场强度方向一定与a,b 两点连线平行B.若该粒子从M 点移动到N 点,则电场力做功一定为122W W + C.若c,d 之间的距离为L,则该电场的电场强度大小一定为2W qLD.若W 1=W 2,则a,M 两点之间的电势差一定等于b,N 两点之间的电势差解析:结合题意,只能判定U ab >0,U cd >0,但电场方向不能得出,选项A 错误;由于M,N 分别为ac 和bd 的中点,对于匀强电场,则U MN =φM -φN =2a c ϕϕ+-2b d ϕϕ+=()()2a b c d ϕϕϕϕ-+-=2ab cd U U +,可知该粒子由M 至N 过 程中,电场力做功W=122W W +,选项B 正确;当电场强度的方向沿c →d 时,电场强度E=2W qL ,但本题中电场方向未知,选项C 错误;若W 1=W 2,则U ab =U cd ,即φa -φb =φc -φd ,则φa -φc =φb -φd ,即U ac =U bd ,由于M,N 分别为ac 和bd 的中点且电场为匀强电场,故有U aM =12U ac ,U bN =12U bd ,所以U aM =U bN ,选项D 正确.*2.(2017·全国Ⅰ卷,20)(多选)在一静止点电荷的电场中,任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r 的关系如图所示.电场中四个点a,b,c 和d 的电场强度大小分别为E a ,E b ,E c 和E d .点a 到点电荷的距离r a 与点a 的电势φa 已在图中用坐标(r a ,φa )标出,其余类推.现将一带正电的试探电荷由a 点依次经b,c 点移动到d 点,在相邻两点间移动的过程中,电场力所做的功分别为W ab ,W bc 和W cd .下列选项正确的是( AC )A.E a ∶E b =4∶1B.E c ∶E d =2∶1C.W ab ∶W bc =3∶1D.W bc ∶W cd =1∶3解析:r a ∶r b =1∶2,r c ∶r d =1∶2,由点电荷的电场强度公式E=k 2Q r 可知,E a ∶E b =4∶1,E c ∶E d =4∶1,选项A 正确,B 错误;U ab =3 V,U bc =1 V,U cd =1 V,由W=qU 可知,W ab ∶W bc =3∶1,W bc ∶W cd =1∶1,选项C 正确,D 错误.。
