10-11-2高数AB期末A卷参考答案

共 2 页 第 1 页10-11-3高数A 期末试卷（A ）参考答案及评分标准11.6.21一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分36分)1. 4；2. 2；3. 224()t f t π；4. π-；5. 4π；6. 2，3；7. i π；8. 12；9.2-，0. 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)10．解 点(1,1,1)处切线的方向向量{1,2,2}{2,2,5}{14,9,2}=-⨯-=-a ，（4分）切线方程为1111492x y z ---==-.（3分）（或223022550x y z x y z --+=⎧⎨-+-=⎩（7分）） 11．解22201d cos d cos d 2xyy x x x x y x x ===⎰⎰⎰⎰⎰.（3+2+2分） 12．解 由sin ,2sin y x y x ==(0)x π≤≤所围成的区域记为D ，利用Green 公式得2sin 220sin 033(1)d d d d d sin d 24x xCDy x xy y y x y y x x ππσπ++=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ.（3+2+2分） 13. 解 补两个面2211:1x y S z ⎧+≤⎨=⎩，2224:2x y S z ⎧+≤⎨=⎩ ，分别取下侧和上侧，（1分）由12,,S S S 所围成的区域记为Ω，利用Gauss 公式得()d d ()d d Sy x z y z x z y x y -∧+-∧⎰⎰12()d (1)d d (2)d d 0S S y x v x y x y x y x y Ω=+--∧--∧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.（3+3分）三（14）．（本题满分8分）解1()n n a a ∞=∑未必收敛，例11n a n =+，10n a n ≤<，而111n n ∞=+∑发散；（2分）1()(1)nn n b a ∞=-∑未必收敛，例111(1)sin 2n n a n n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，10n a n ≤<，而11(1)n n n ∞=-∑收敛，11sin n n ∞=∑发散，故1(1)11(1)sin 2n nn n n ∞=-⎛⎫+- ⎪⎝⎭∑发散；（2分）1()n c ∞=11n a n =+，10n a n ≤<，而1n ∞=发散；（2分）21()(1)n n n d a ∞=-∑必定收敛，2210n a n ≤<，共 2 页 第 2 页而211n n ∞=∑收敛，所以21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛，故21(1)n n n a ∞=-∑收敛. （2分） 四（15）。

安徽大学2009-2010学年第二学期《高等数学A （二）、B （二）》考试试卷（A 卷）参考答案与评分标准一、填空题（本大题共五小题，每小题2分，共10分）12、0；3、；4、1 /20 arcsin d (,y y f x y π∫∫)d x 32；5、53二、选择题（本大题共五小题，每小题2分，共10分）6、 A ；7、D ；8、D ；9、A ； 10、A.三、计算题（本大题共五小题，其中第11、12、13题每小题10分，第14、15题每小题12分，共54分）11.解. 设。

则曲面在点处的法向量为22(,,)F x y z x y z =+−S (1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)(,,)(2,2,1)(2,2,1)x y z F F F x y =−=−由题设可知，平面Π通过法线L ，故12a b 0,+−+=(1,,1)(2,2,1)0a −⋅−=即，由此解得123a b a +=⎧⎨+=⎩035,.22a b =−=12.解：令222(,),(,)2y xP x y Q x y x y x y−==++，则d d L I P x Q y =+∫v ，当时，220x y +≠22222()Q x y Px x y y∂−==∂+∂∂2。

取一小圆周22:C x y εε+=，0ε>充分小，使得C ε完全位于L 所围成的区域内，取逆时针方向。

设D ε为由L 与C ε所围成的区域，则由Green 公式得d d (d L C D Q PP x Q y x y x yεε+∂∂+=−=∂∂∫∫∫0， 所以d d d d LC P x Q y P x Q yε+=−+∫∫22(sin )(sin )(cos )(cos )d πεθεθεθεθθε−−=−∫20d 2πθπ==∫13.解：设cos ,sin ,x R u y R u z ==v =，则Σ对应于:02,0D u v h π≤≤≤≤。

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

上海交通大学附属中学2022-2022学年度第一学期内高二数学期末试卷（含答案）一 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分1. 的共轭复数是是虚数单位)(2i i -_____ 2--i ___________ ． 2. 已知复数z 满足1(z i iz i +=-是虚数单位，则z =_____________．i - 3. 已知z 是纯虚数，iz -+12是实数，则=z i 2- 4. 已知423)1()43()3(i i i z +++-=，求z = 505. 5的值是 ．－166. 若关于的一实系数元二次方程20x px q ++=有一个根为1i +，则p q +=________07. 设复数1z i =+，则20122012z ⎛⎫+=_____________．28. 若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是_____________．39. 在复平面上，已知直线上的点所对应的复数满足3z i z i +=--，则直线的倾斜角为3arctan 2π-（结果用反三角函数值表示）10. z z C z z z z z 1212122222402，，，∈-+==||，那么以|1|为直径的圆的面积为______．4π11. 用一个平面去截正方体。

其截面是一个多边形，则这个多边形的边数最多是 6条12. 已知空间四边形ABCD ，E 、F 分别是BC 、AD 中点，5EF =，8AB =，6CD =，则AB 与CD 所成的角的大小为_________90二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．13. 若复数=abia 、b ∈R,则下列正确的是 （B ）ABCD D B C A O E1111F G O 21（A ） 2z >2z （B ） 2z =2z （C ）2z 2z2z 1322i ω=-+OA 2ωOB AB 1-3i 3i -1111ABCD A BC D -E F G、、BC 、1C C 、11B C 1O 2O 11ADD A 1111A B C D 11A C O D 、、、D E G F 、、、1A E F D 、、、12G E O O 、、、a b 、21z z -ii++-15121z z -ia 24+-4)4(2+-a 1z 134)4(2+-a 138a 1111D C B A ABCD -62AA 1=1AA 1CD //EF 1D F BD a R∈220x ax ++=2z =1z a +=()28022,22a a ∆=-<⇒∈-224x y +=()221x a y ++=[][]3,11,3a ∈--()22,11,22a ⎤⎡∈--⎦⎣12x x =0时，方程的两根同号，∴|1||2|=|12|=||=2，∴=±2；（2-2）当q =0时，方程的一根为0，∴|1||2|=|12|=||=2，∴=±2； （2-2）当q <0时，方程的两根异号，∴|1||2|=|1-2|=2， ∴4=122-412=2-4q ，∴2=44q ∈[0，4，∴∈-2，2。

高等数学A 、B(上)期末考试参考答案与评分标准（120109）一、单项选择题(每小题3分，共18分)1:C 2: A 3:D 4:C 5: B 6:B 二、填空(每小题2分，共16分)1：1， 2：1y x =+， 3：2sin()y x c =+， 4：4,5a b ==， 5：2π， 6：220cos()cos()xt dt x x +⎰， 7：13-， 8：2ππ+.三、计算题(每小题7分，共14分)tan tan ln cos ln cos 1.tan cos 2(cos )(cos )cos ().xdxxdx x xy x y x yex e dx c e x e dx c x x c --'+⋅=⎰⎰⋅+⋅+⋅+⎰⎰ 4分5分7分解原方程化为，分===223200000ln(sin /)cos sin cos sin sin ln(sin /)cot 1/1limlimlimlimlimlim1cos /2sin 3312345672..x x x x x x x x x x x x x xx x x x x xxxx x xxxe e e e e e e→→→→→→------=======解原式四、计算题(每小题7分，共14分),4(1+3)1)7ttds e dt S e dt e ====-⎰ 1.解分分2.解 两边对x 求导数：sin()sin()()0,,sin()y yy xy y e xy y xy y e x xy --'''--⋅+==-+5 分(3+2)sin().sin()yy xy dy dx ex xy -=-+7 分五、计算题(每小题8分，共16分)22113568211.2)2(arctan )1).611tt dt dt t t t tπ==⋅=-=-=--++⎰⎰解令式 2.解 特征方程为 212320,1,2r r r r -+===，2 分 对应齐次方程的通解212x x Y c e c e =+，4 分 1λ=是单根，设*()x y x ax b e =+， 1/2,1a b ==， 7 分(1+1+1) 通解 22121()2x x x y c e c e x x e =+++.8 分六、计算题(每小题8分，共16分) 1.解0lim ()lim 1,lim ()lim (1)1,xx x x x f x f x xe --++→→→→===+=(0)1f =，()f x 所以处处连续，(2分)031(1),0()()ln(,0x xx e x c x f x dx f t dt c x c x ⎧++-+≥⎪=+=⎨+-<⎪⎩⎰⎰ (3+2分) 2. 解 2200313()(1cos )(1cos )(2sin sin 2)|242a S y x dx a t a t dt a t t t a ππππ==-⋅-=-+=⎰⎰，3 分 /2233363632300005315(1cos )8sin 16sin 16.264222a x t V y dx a t dt a dt a xdx a a πππππππππππ==-===⋅⋅⋅⋅=⎰⎰⎰⎰(8分)七、证1 22000111()(),(0,1],()(()())[()()]a a a F a f x dx a F a af a f x dx f a f x dx a a a'=∈=-=-⎰⎰⎰令则(3)分由于()f x 在[0,1]上连续且单调减少，则()()0,(0,1),f a f x x -<∈()0,(0,1)F a a '∴<∈ (4)分即()F a 在(0,1]内单调减少，所以()(1),(0,1)F a F a >∈，即命题成立. (6)分 证2 只要证明110()(()()),(1-)()(),a a a aaf x dx a f x dx f x dx a f x dx a f x dx >+>⎰⎰⎰⎰⎰即证(2)分由积分中值定理：111220()(),(0,),()(1)(),(,1)a af x dx af a f x dx a f a ξξξξ=∈=-∈⎰⎰，(4)分由于()f x 在[0,1]上连续且单调减少，则1120(1-)()(1)()(1)()()a aa f x dx a af a af a f x dx ξξ=->-=⎰⎰,即命题成立. (6)分。

高数A 补充题二1.证明:()sin f x x x =+在(),-∞+∞上一致连续.证.0ε∀>,()()sin sin 2f x f x x x x x x x ''''-=-+-≤-,故取2εδ=, 当x x δ'-<时,()()f x f x ε'-<,证毕.2.证明:()f x =[)1,+∞上一致连续.证.0ε∀>2x x '-=≤,故取2δε=,当x x δ'-<时, ()()f x f x ε'-<,证毕.3.设()f x 与()g x 在区间I 上一致连续,证明:()()f x g x +也在I 上 一致连续.证.0ε∀>,10δ∃>,当1x x δ'-<时,()()2f x f x ε'-<,又20δ∃>, 当2x x δ'-<时,()()2g x g x ε'-<,取{}12min ,0δδδ=>,当x x δ'-<时,()()()()()()()()f x g x f x g x f x f x g x g x ε''''+--≤-+-<,证毕.4.设()f x 在[),a +∞上连续,()lim x f x →+∞存在,证明:()f x 在[),a +∞上 一致连续.证.0ε∀>,0X ∃>,当,x x X '>时,()()f x f x ε'-<;又()f x 在,1a X a ⎡++⎤⎣⎦上一致连续,故10δ∃>,当1x x δ'-<时,()()f x f x ε'-<,故取{}1min 1,δδ=,当x x δ'-<时,必有 ,,1x x a X a '∈⎡++⎤⎣⎦,或者,x x X '>,故必有()()f x f x ε'-<,证毕.5.用定义证明:()1f x x=在()0,1上连续,但非一致连续. 证.0ε∀>,()00,1x ∈,当002x x x -≤时,02xx ≥,此时()()0f x f x -= 002002x x x x xx x -≤-,要使()()0f x f x ε-<,只要0202x x x ε-<,即 2002x x x ε-<,故取200min ,022x x εδ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,当0x x δ-<时,均有()()0f x f x ε-<,因此()f x 在0x 处连续;另一方面,取1n x n =,11n y n =+,则0n n x y -→,而()()1n n f x f y -=, 故()f x 在()0,1上不一致连续,证毕. 6.证明:()1cos x f x e x=在()0,1上非一致连续. 证.取12n x n π=,122n y n ππ=+,则0n n x y -→,而()()121n n n f x f y e π-=>,故()f x 在()0,1上不一致连续,证毕.7.证明:()2sin f x x =在(),-∞+∞上非一致连续.证.取n x =n y =0n n x y -→,而()()1n n f x f y -=, 证毕.8.讨论()2f x x =在(1)(),l l -,(2)(),-∞+∞上的一致连续性. 解.(1)一致连续,因为()f x 在[],l l -上一致连续;(2)不一致连续,取n x =,n y =,则0n n x y -→,而()()1n n f x f y -=.。

河南理工大学 2010-2011 学年第 2 学期《工科数学分析》(下)试卷（A 卷）一、填空题（共28分，每小题4分）１．函数xyz z xy u -+=32在点()2,1,1处沿方向l （其方向角分别是00060,45,60）的方向导数 是 9/2 ．２．设0 < p < 1，计算级数()∑∞=--1121k k p p k =)20(,22<<-p pp3. 函数())sin(,22y x y x f +=在点)0,0(的泰勒公式（到二阶为止）为()()()2222,y x y x y x f +=++=ρρο４．函数()xx f 3=的幂级数展开式为∑∞=0!3ln n nn x n ．5.设()⎰-=22x xxy dy ex F ,则=')(x F ()⎰----+-223522x xxy x x dy ey ex e６．()⎰C ds x =()15532-，其中（C ）为抛物线x y =从点()0,0到点()1,1的一段弧。

7．微分方程()02='+''y y ，满足初始条件1,000='===x x y y 的特解为1ln y +=x 。

二、解答题（共50分，每小题10分）1、 设()v u ,Φ具有连续偏导数，函数()y x z ,由隐方程()bz cy az cx --Φ,=0确定，求yz b x z a∂∂+∂∂。

解：将隐方程两边全微分可得：()()()()()0,2121=-⋅Φ'+-⋅Φ'=-⋅Φ'+-⋅Φ'=--Φbdz cdy adz cdx bz cy d az cx d bz cy az cx d ………………………………………………3分 整理得：dy b a c dx b a c dz 212211Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'=……………………………………6分所以，212211,Φ'+Φ'Φ'=∂∂Φ'+Φ'Φ'=∂∂b a c y zb ac x z …………………………………………8分 y zb x z a ∂∂+∂∂=c b a c b b a c a =Φ'+Φ'Φ'+Φ'+Φ'Φ'212211,………………………………………10分2、 判定正项级数∑⎰∞=+1141n n dx x x的敛散性。

北京市东城区 (南片 )2021 -2021学年下学期高二年级|期末统一测试数学试卷 (文科 )本试卷分第|一卷 (选择题 )和第二卷 (非选择题 )两局部 ,共100分 .考试时间120分钟 .第|一卷 (选择题 ,共36分 )一、选择题 (本大题共9小题 ,每题4分 ,在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的 . )1. 复数i z 211+= ,i z -=12 ,那么21z z z +=在复平面上对应的点位于A. 第|一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 全集R U = ,集合{}32≤≤-=x x A ,{}41>-<=x x x B 或 ,那么集合()B C A U 等于A. {}42<≤-x xB. {}43≥≤x x x 或C. {}12-<≤-x xD. {}31≤≤-x x3. 读下面的程序框图 ,输出结果是 A. 1 B. 3C. 4D. 54. 假设1212121<⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛xx,那么A. 120x x <<B. 121<<x xC. 012<<x xD. 021<<x x5. 用反证法证明命题 "假设整系数一元二次方程()002≠=++a c bx ax 存在有理数根 ,那么c b a ,,中至|少有一个是偶数〞时 ,以下假设中正确的选项是A. 假设c b a ,,不都是偶数B. 假设c b a ,,都不是偶数C. 假设c b a ,,至|多有一个是偶数D. 假设c b a ,,至|多有两个是偶数 6. 以下函数中在区间()+∞,0上单调递增的是 A. x y sin = B. 2x y -= C. x e y -= D. 3x y = 7. 假设0x 是方程5lg =+x x 的解 ,那么0x 属于区间A. ()2,1B. ()3,2C. ()4,3D. ()5,48. 以下四图 ,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象 ,其中一定不．正确的序号是A. ③④B. ①②C. ②③D. ②④9. x x x tan 1tan 14tan -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+π⎪⎭⎫⎝⎛+≠4ππk x ,那么函数x y tan =的周期为π .类比可推出：R x ∈且()()()x f x f x f -+=+11π ,那么函数()x f y =的周期是 A. π B. π2 C. π4 D. π5第二卷 (非选择题 ,共64分 )二、填空题： (本大题共6小题 ,每题4分 ,共24分 . ) 10. 函数()()x x x x f -++=1lg 1332的定义域为____________ .11. R m ∈ ,复数()()i m m m m m z 2122-++-+=为纯虚数 ,那么实数m 的值是____________ (只填写数字即可 ) .12. 设定义在R 上的函数()x f 满足()()52=+⋅x f x f ,假设()21=f ,那么()=31f _______ .13. 有以下四个命题： ① "假设0=+y x ,那么y x ,互为相反数〞的逆命题； ② "全等三角形的面积相等〞的否命题；③ "假设1≤q ,那么022=++q x x 有实根〞的逆否命题；④ "不等边三角形的三个内角相等〞的逆命题 . 其中真命题为____________ (只填写序号即可 ) . 14. 整数按如下规律排成一列：()11， ,()21， ,()12， ,()31， ,()22， ,()13， ,()41， ,()32， ,()23， ,()14， ,… ,那么第30个数对是___________ .15. 函数()x x f ln = ,假设直线l 与()x f y =的图象相切的切点的横坐标为1 ,那么直线l 的方程为_______________ .三、解答题： (本大题共5小题 ,共40分 .解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 . ) 16. (本小题总分值8分 ) 函数()()12312-=x x x f .(Ⅰ )求函数()x f 的导数()x f '； (Ⅱ )求函数()x f 的极值 .17. (本小题总分值8分 )设21,x x 是关于x 的一元二次方程()01122=++--m x m x 的两个实根 ,又()22221--+=m x x y . (Ⅰ )求m 的取值范围；(Ⅱ )求()m f y =的解析式及最|小值 .18. (本小题总分值7分 ) ()aa x f x x +-=22是定义在R 上的奇函数 ,(Ⅰ )求a 的值；(Ⅱ )假设()53-=x f ,求x 的值 .19. (本小题总分值8分 ) θθcos ,sin ,sin x 成等差数列 ,θθcos ,sin ,sin y 成等比数列 .证明：y x 2cos 2cos 2= . 20. (本小题总分值9分 ) ()()a x xa axx f -≠+=,且()12=f .(Ⅰ )求a 的值；(Ⅱ )假设在数列{}n a 中 ,11=a ,()()*1,N n a f a n n ∈=+ ,计算432,,a a a ,并由此猜测通项公式n a ；(Ⅲ )证明 (Ⅱ )中的猜测 .【试题答案】第|一卷 (选择题 ,共36分 )一、选择题 (本大题共9小题 ,每题4分 ,在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合第二卷 (非选择题 ,共64分 )二、填空题： (本大题共6小题 ,每题4分 ,共24分 . ) 10. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-131x x 11. 0 12.2513. ①③14. ()7,215. 1-=x y三、解答题： (本大题共5小题 ,共40分 .解容许写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 . ) 16. (本小题总分值8分 ) 解： (Ⅰ )()()x x x x x f 431123132-=-=,()42-='∴x x f .……………………………………………3分 (Ⅱ )由()()()02242=+-=-='x x x x f ,解得2=x 或2-=x . 当x 变化时 ,()()x f x f 、'的变化情况如下表：因此 ,当2-=x 时 ,()x f 有极大值为()32=-f ；当2=x 时 ,()x f 有极小值为()3162-=f . ……………………………8分17. (本小题总分值8分 )解： (Ⅰ )21x x ， 是()01122=++--m x m x 的两个实根 ,()()014142≥+--=∆∴m m .解得0≤m 或3≥m . …………………………………………………4分(Ⅱ )又()1221-=+m x x ,()()()()()1214122221+--=+-+==∴m m m x x m f y .即()()3021042≥≤+-==m m m m m f y 或 .()20min ==f y .…………………………………………………8分 18. (本小题总分值7分 ) 解： (Ⅰ )()aax f x x +-=22 是定义在R 上的奇函数 ,()00=∴f 解得1=a . ………………………………………3分 (Ⅱ )()531212-=+-=xx x f ,解得2-=x . ………………………………………7分 19. (本小题总分值8分 )证明：θsin 与θcos 的等差中项是x sin ,等比中项是y sin ,x sin 2cos sin =+∴θθ ,① y 2sin cos sin =θθ ,②……………………………4分①2－②×2 ,可得 ()y x 222sin 2sin 4cos sin 2cos sin -=-+θθθθ ,即1sin 2sin 422=-y x .122cos 1222cos 14=-⨯--⨯∴yx ,即()12cos 12cos 22=---y x . 故证得y x 2cos 2cos 2= . …………………………………………………8分 20. (本小题总分值9分 )解： (Ⅰ )因为()12=f ,所以2=a .………………………………2分(Ⅱ )在{}n a 中 ,因为11=a ,()nnn n a a a f a +==+221 .所以3222112=+=a a a ,422122223==+=a a a ,5222334=+=a a a ,所以猜测{}n a 的通项公式为12+=n a n . ………………………6分(Ⅲ )证明：因为11=a ,nnn a a a +=+221 ,所以2112211+=+=+n n n n a a a a ,即21111=-+n n a a . 所以⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以111=a 为首|项 ,公差为21的等差数列 .所以()212121111+=-+=n n a n ,所以通项公式12+=n a n . …………………9分。

高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、线性空间的两个子空间的交[]Px ()()11L x L x -+=2、设与是n 维线性空间 V 的两个基，12,,...,n εεε12,,...,n εεε'''由到的过渡矩阵是C ，列向量X 是V12,,...,n εεε12,,...,n εεε'''中向量在基下的坐标，则在基下ξ12,,...,n εεεξ12,,...,n εεε'''的坐标是3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵，则A 与B 的关系是4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()21,,1,λλλ+则其特征矩阵的标准形是E A λ-5、线性方程组的最小二乘解所满足的线性方程组是：AX B =二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、（ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个线性空间同构：（A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间；（B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间；（C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间；（D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。

2、（ ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射；（B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。

3、（ ）矩阵可逆的充要条件是：λ-()A λ是一个非零常数；()()()()0;A A B A λλ≠是满秩的；是方阵。

()()C A λ()()D A λ4、（ ）设实二次型（A 为对称阵）经正交变换后化为：f X AX '=， 则其中的是：2221122...n n y y y λλλ+++12,,...n λλλ全是正数；是A 的所有特征值；不确定。

高数B(二)期末卷(2011)--A卷上海海洋大学试卷姓名： 学号： 专业班名： 任课教师:____________一 .用图解法解下列线性规划问题（要求：画图时，必要的点要标清，否则不给分）：1212121212min 2..0,2,33,,0.x x s t x x x x x x x x +-≥+≤+≥≥二. 试通过求基本可行解来确定下列线性规划问题的最优解.12123124min 25..216,212,0,1,2,,4.j x x s t x x x x x x x j +++=++=≥=L三. 用单纯形法解下列线性规划问题：12312312123min 3..22,24,246,0,1,2,3.j x x x s t x x x x x x x x x j -++-+≤-+≤-++≤≥=四. 分别用两步法、大M 法求解下列线性规划问题：1231231212min3..28,2,210,0,1,2,3.j x x x s t x x x x x x x x j -+-+=+≥+≤≥=五. 写出下列线性规划的对偶规划：12312312313(1)min 435..3215,273,1,0,1,2,3.j x x x s t x x x x x x x x x j -+++≤-+-≥+=≥=1234123412341234124(2)min 457..21,2633,4325,,,0.x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x ---+++-≥-++≤-+++=-≥六. 给定下列线性规划问题：1231323min 4618..33,25,0,1,2,3.j x x x s t x x x x x j +++≥+≥≥=（1）用对偶单纯形法求解；（2）若右端向量35b ⎛⎫= ⎪⎝⎭改为24b ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，原来的最优基是否还为最优基？利用原来的最优表求新问题的最优解.七. 利用最小元素法求下面运输问题的一个基本可行解（直接填在表内即可）： A ．必要而非充分条件 B ．充分而非必要条件 C．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 2．柱面 20x z +=的母线平行于（ ）A ．y 轴B ．x 轴C ．z 轴D ．xoz 面3． 方程y x ''=经过点(0,1)且在此点与直线112y x =+相切的积分曲线为（ ）A ．3116y x x =++ B ．31216y x c x c =++C ．311162y x x =++ D ．212y c xc x=+4．下列命题正确的是 ( ) A ．若lim 0nn u→∞=，则级数1n n u ∞=∑收敛 B ．若lim 0nn u→∞≠，则级数1n n u ∞=∑发散C ．若级数1n n u ∞=∑发散，则lim 0nn u→∞≠ D ．若级数1n n u ∞=∑发散，则必有lim nn u→∞=∞5．已知微分方程2xy y y e '''+-=的一个特解为*xy xe =，则它的通解是（ ）A ．212xc x c xxe ++ B ．212xx xc ec e xe -++C ．212xc x c xe ++ D ．12x x xc ec e xe -++二、填空题（5153'=⨯'）： 1．过点(2,4,0)且与直线210320x z y z +-=⎧⎨--=⎩ 垂直的平面方程为____________________。

2011：高等无机化学一、选择题(每题1分，共40分)1.在石墨晶体中碳原子层与碳原子层之间的作用力为（ D ）(A)配位键(B) 共价键(C) 双键(D) 范德华力2. 下列氢化物中，不属于典型的离子氢化物的是（C ）(A) NaH (B) KH (C) BeH2(D) BaH23. 下列各物种中，属于有机金属化合物的是（C ）(A) Co(bipy)33+(B) Co(NO)(CO)3(C) [η5-(C5H5)2Co]+(D) C2H5ONa4. CIO4-、BrO4-、和IO4-氧化性能力大小的顺序是（A ）(A) CIO4->BrO4->IO4-(B) CIO4-> IO4- > BrO4-(C) CIO4-<BrO4->IO4-(D) IO4- >BrO4-> CIO4-5. 下列轨道上的电子，在xy平面上的电子云密度为零的是（C ）(A) 3S; (B) 3P x(C) 3P z(D) 3d z26. 镧系收缩的后果之一是使下列一对元素性质相似的是（D ）(A) Mn 和Tc (B) Ru 和Rh (C) Nd和Ta (D) Zr和Hf7. 下列各金属制容器中，能用来贮存汞的容器为（A ）(A) 铁制(B) 铅制(C) 铜制(D) 锌制8. 熔融SiO2晶体时，需要克服的作用力主要是（ C ）(A) 离子键(B) 氢键(C) 共价键(D) 范德华力9. 下列化合物中肯定不存在的是（ C ）(A) BN (B) POCl3(C) NCl5(D) SiF410. 下列各氧化态的含氧酸中，酸性最强的是（A ）(A) Ti (IV)(B) V (V)(C) Cr (VI) (D) Mn (VII)11. 当速率常数的单位为mol-1·dm3·s-1时，反应级数为（A）(A) 一级(B) 二级(C) 零级(D) 三级12. 下列物质中，能溶于硫化铵溶液的是（）(A) SnS(B) SnS2(C) PtS (D) Bi2S313. 将0.1 mol·dm-3 下列溶液加水稀释1倍后，pH变化最小的是（ D ）(A) HCl(B) H2SO4(C) HNO3(D) HAc14. 空气中含有NO x、CO2、CH4、O3、含氟化物等等会引起光化学污染、空洞效应、温室效应等破坏环境的作用。

高等数学A(二)B期末考卷及解答海大一、选择题（每题1分，共5分）1. 设函数f(x)在x=0处可导，且f'(0)=2，则下列选项中正确的是（）A. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 0B. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 2C. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 1D. lim(x→0) [f(x)f(0)]/x = 22. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足0≤f(x)≤1，则下列选项中正确的是（）A. ∫(0,1) f(x) dx = 0B. ∫(0,1) f(x) dx = 1C. ∫(0,1) f(x) dx = 0.5D. 无法确定3. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=3，则下列选项中正确的是（）A. A可逆B. A不可逆C. A的行列式为0D. A的行列式为34. 设函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为yy0=2(xx0)，则下列选项中正确的是（）A. f'(x0)=0B. f'(x0)=1C. f'(x0)=2D. f'(x0)不存在5. 设函数f(x)在区间[a,b]上可导，且f'(x)>0，则下列选项中正确的是（）A. f(x)在[a,b]上单调递增B. f(x)在[a,b]上单调递减C. f(x)在[a,b]上取得最大值D. f(x)在[a,b]上取得最小值二、判断题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在x=0处可导，则f(x)在x=0处连续。

（）2. 若函数f(x)在区间[a,b]上可导，则f(x)在[a,b]上一定连续。

（）3. 矩阵A的行列式为0，则A不可逆。

（）4. 二重积分的值与积分次序无关。

（）5. 若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增，则f'(x)>0。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 设函数f(x)=x^33x，则f'(x)=______。

中国农业大学2010 ~2011学年秋季学期高等数学A 课程考试试题(A 卷)答案 2011/01(注意：本试卷共有八道大题，满分100分，考试时间100分钟)一、单项选择题(本题共有4道小题，每小题3分，满分12分)，请将合适选项填在括号内．1．设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是【 D 】.（A ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =（C ）若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 （D ）若0()()lim x f x f x x →--存在，则(0)f '存在.2. 设20()sin x f x tdt =⎰，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的【 A 】.（A ）高阶无穷小 （B ）同阶但非等价无穷小 （C ）等价无穷小 （D ）低阶无穷小. 3. 设()x f 是[]a a ,-上的连续函数，则()()cos a af x f x xdx ---⎡⎤⎣⎦⎰=【 B 】.（A ）1 （B ）0 （C ）-1 （D ）无法计算.4. 下列选项正确的是【 C 】.(A) ⎰-1121dx x = 2 (B) ⎰-1121dx x = - 2(C) dx x ⎰-1121 不存在 (D) dx x⎰-1121= 0 . 二、填空题(本题共有4道小题，每小题3分，满分12分)，请将答案填在横线上． 1. 已知0sin lim3(2)x kxx x →=-+，则k 的值等于 -6 .2.已知cos x x 是()f x 的一个原函数，则cos ()d x f x x x ⋅=⎰____21cos ()2x C x+_______.3. 计算定积分10x =⎰______4π_____________.4. )(x f y =是偶函数，在曲线)(x f y =上点（1，2）处的切线方程为053=+-y x ，则曲线在点（-1，2）处的切线方程为___053=-+y x ________________. 三、计算下列各题（本题共有4道小题，每小题6分，满分24分）.1．求极限 30sin lim x x xx→-. 解：33300sin 6lim lim x x x x xx x →→-= ……………………………3分16= ……………………………6分 2．求参数方程231x t y t ⎧=+⎨=⎩（t 为参数）所确定的函数()y f x =的导数22,dy d ydx dx . 解：23322dy t tdx t == ……………………………3分 '223()3224t d y dx t t== ……………………………6分 3. 求不定积分ln d x x x⎰. 解：ln d ln d(ln )xx x x x=⎰⎰ ……………………………3分 2(ln )2x C =+ ……………………………6分4. 已知0()()()d xF x x t f t t =-⎰，求()F x 的二阶导数.解： 0()()()d ()d ()d x x xF x x t f t t xf t t tf t t =-=-⎰⎰⎰ ……………………………2分()[()d ()d ]()d ()()()d x x x xF x x f t t tf t t f t t xf x xf x f t t ''=-=+-=⎰⎰⎰⎰ ………………………4分()(()d )()xF x f t t f x '''==⎰ ……………………………6分四、（本题满分10分）求函数xn e n x x x y -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=!!212 的极值 (其中n 为正奇数).解：xn xn e n x x x en x x x y ---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++='!!21)!1(!21212xn e n x --=!， ……………………………3分驻点为0x =， ……………………………5分由于n 为正奇数，当0x <时，0<nx ，故,0>'y 故y 单调上升 ； ……………7分当0x >时，0>n x ，故,0<'y 故y 单调递减 ； ……………………………9分因此0x =为函数的极大值点，且极大值为(0)1y =. ……………………………10分五、（本题满分10分）设()f x 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明02()d 1xx f t t -=⎰在[0,1]上只有一个解. 证明：（1）存在性()2()d 1xF x x f t t =--⎰ ……………………………2分(0)1,F =- ……………………………3分1(1)1()1()0F f x dx f ξ=-=->⎰ ……………………………4分函数()f x 在[0,1]上连续，根据介值定理，则存在(0,1)ξ∈，使得()0F ξ=. ……………………………6分（2）唯一性()2()0F x f x '=->， ……………………………8分函数()F x 在[0,1]上单调增加，从而()F x 在[0,1]有唯一的根.……………………10分六、（本题满分10分）求经过三点123(1,1,1),(2,0,1),(1,1,0)P P P --的平面方程. 解：法一：12(1,1,0),PP =-13(2,2,1)PP =--- ……………………………2分 取1213110(1,1,4),221ij kn PP PP =⨯==-=---- ……………………………6分平面方程为(1)(1)4(1)0,x y z -+---= ……………………………10分整理得420.x y z +-+= ……………………………10分法二：所求平面的方程为1111100221x y z ----=--- 整理得420.x y z +-+=七、（本题满分10分） 设函数()f x 在[]0,1上可微，且满足()()-=⎰12012d 0,f x f x x 证明在()0,1内至少存在一点ξ，使'=-()()f f ξξξ.证明: 作辅助函数 )()(x xf x =ϕ， ……………………………2分根据积分中值定理，由-=⎰120(1)2()d 0f x f x x 得到 -⋅=1(1)2()02f c f c即()()1f c f c = ……………………………5分 显然，)(x ϕ在[,1]c 上连续，在(,1)c 内可导，且()(1)c ϕϕ=，可见，)(x ϕ满足罗尔定理，…………………………7分所以，在(),1(0,1)c ⊂内至少有一点ξ，使0)()()(=ξ'ξ+ξ=ξϕ'f f . 即 '=-()()f f ξξξ. ……………………………10分八、（本题满分12分）求曲线22y x x =-与0,1,3y x x ===所围成的平面图形的面积S ，并求该图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.解：22221112(02)(2)3S x x dx x x dx =-+=-=⎰⎰. ……………………………2分 32224(2)3S x x dx =-=⎰. ……………………………4分 所以1224233S S S =+=+=. ……………………………6分 平面图形1S 绕y 轴旋转一周所得的体积为：21111(16V dy πππ-=+-=⎰. ……………………………8分平面图形2S 绕y 轴旋转一周所得的体积为：232204333(16V dy πππ=⋅⋅-+=⎰. ……………………………10分 旋转体的体积为121143966V V V πππ=+=+=. ……………………………12分 或222111112()2(2)6V xf x dx x x x dx πππ==-=⎰⎰. 332222432()2(2)6V xf x dx x x x dx πππ==-=⎰⎰. 旋转体的体积为121143966V V V πππ=+=+=.。

高数a上册期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20题）1. 设函数 $f(x) = \sqrt{3x-2}$，则其定义域为A. $(-\infty, \frac{2}{3}]$B. $\left[ \frac{2}{3}, \infty \right)$C. $[\frac{2}{3}, \infty)$D. $(-\infty, \frac{2}{3}) \cup [\frac{2}{3}, \infty)$答案：C2. 函数 $y = \sin^2 x + \cos^2 x$ 的值域为A. $(-\infty, 1]$B. $[0, 1]$C. $[1, \infty)$D. $[\frac{1}{2}, 1]$答案：B3. 设函数 $f(x) = e^x \ln x$，则 $f'(x) = $A. $e^x \ln x$B. $e^x \left( \frac{1}{x} + \ln x \right)$C. $e^x \left( \ln x - \frac{1}{x} \right)$D. $e^x \left( \frac{1}{x} - \ln x \right)$答案：B4. 若直线 $y = 3x + b$ 与抛物线 $y = ax^2 + bx + 1$ 相切，则 $a + b = $A. 2B. 3C. 4D. 5答案：D5. 函数 $f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 的渐近线为A. $y = x - 1$B. $y = x + 1$C. $y = -x + 1$D. $y = -x - 1$答案：A6. 函数 $f(x) = \ln(1 + e^{2x})$ 的反函数为A. $f^{-1}(x) = \ln(x) - \ln(1 - x^2)$B. $f^{-1}(x) = \ln(x^2 - 1)$C. $f^{-1}(x) = \frac{e^x - 1}{2}$D. $f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(x) + \ln(1 - x)$答案：D7. 设函数 $f(x) = \arcsin (\sin x)$，则当 $x = \frac{5\pi}{6}$ 时，$f(x) =$A. $\frac{5\pi}{6}$B. $\frac{\pi}{6}$C. $\frac{\pi}{3}$D. $\frac{2\pi}{3}$答案：C8. 函数 $f(x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$ 的最大值为A. 1B. $\sqrt{3}$C. 2D. $2\sqrt{3}$答案：D9. 函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的最大值为A. 0B. 1C. 2答案：D10. 函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ 的图像关于直线 $x = a$ 对称，则 $a = $A. 1B. 0C. -1D. 2答案：B11. 设 $\sin \alpha = \frac{1}{4}$，$\cos \beta = \frac{4}{5}$，且$\alpha$ 和 $\beta$ 都是第二象限角，则下列四个式子中成立的是A. $\sin (\alpha - \beta) = -\frac{3}{4}$B. $\sin (\alpha + \beta) = \frac{3}{8}$C. $\cos (\alpha - \beta) = \frac{1}{5}$D. $\cos (\alpha + \beta) = \frac{2}{5}$答案：C12. 如果点 $A(1, 2)$ 在抛物线 $y = -x^2 + 3x + k$ 上，那么 $k = $A. -3B. -5D. -9答案：B13. 设函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$，则 $f'(x)$ 的零点有A. -2, 2B. -1, 3C. -4, 3D. -1, 4答案：A14. 设点 $P(x, y)$ 满足 $y^2 = px$，其中 $p > 0$ 是常数，则焦点所在的直线方程为A. $y = -\frac{p}{2}$B. $x = -\frac{p}{2}$C. $y = \frac{p}{2}$D. $x = \frac{p}{2}$答案：B15. 函数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的最小值为A. -1B. 0D. 2答案：A16. 设直线 $y = 2x + 1$ 与曲线 $y = x^2 + bx + c$ 相切，则 $b + c = $A. 0B. $\frac{1}{2}$C. 1D. 2答案：C17. 设函数 $f(x) = (1 - x^2) \cos x$，则 $f''(x)$ 的一个零点在A. $(0, \frac{\pi}{2})$B. $(0, \pi)$C. $(\pi, 2\pi)$D. $(\pi, 3\pi)$答案：B18. 设函数 $f(x) = \sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x$，则$f(x)$ 的最大值为A. 2B. $2\sqrt{2}$C. 3D. $2 + \sqrt{3}$答案：C19. 设函数 $f(x) = e^x$，$g(x) = x^2$，则 $f(x) \cdot g(x) = $A. $e^{x^2}$B. $x^2 e^x$C. $x^2 e^{x^2}$D. $x^2 + e^x$答案：B20. 设 $a > 0$，则 $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^a}{e^x}$ 的值为A. 0B. $\frac{1}{e}$C. 1D. $+\infty$答案：A二、计算题（每题10分，共4题）1. 求函数 $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ 的极限 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)$.解：使用“分子分母可约”的性质，可将函数 $f(x)$ 化简为 $f(x) = 2x - 1$，则 $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \lim\limits_{x \to 1} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1$.答案：12. 求曲线 $y = e^x$ 与直线 $y = kx$ 相交的两个点的坐标，其中 $k > 0$ 是常数.解：将曲线 $y = e^x$ 和直线 $y = kx$ 代入方程中，得到 $e^x = kx$，然后可以使用迭代法或图像法求得相交点的坐标.答案：相交点的坐标为 $(x_1, e^{x_1})$ 和 $(x_2, e^{x_2})$，其中$x_1$ 和 $x_2$ 是满足方程 $e^x = kx$ 的两个解.3. 求曲线 $y = \sin x$ 与直线 $y = x$ 相交的点的个数，并说明理由.解：将曲线 $y = \sin x$ 和直线 $y = x$ 代入方程中，得到 $\sin x = x$，然后可以通过分析函数的周期性和图像来确定相交点的个数.答案：方程 $\sin x = x$ 的解存在无穷个，但相交点的个数取决于给定的区间. 在区间 $[0, \pi]$ 上，方程有一个解；在区间 $[2\pi, 3\pi]$ 上，方程又有一个解. 因此，相交点的个数是不确定的.4. 求函数 $y = x^2 + x$ 在区间 $[-2, 2]$ 上的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值的点.解：首先求导数 $y' = 2x + 1$，然后令 $y' = 0$，解得 $x = -\frac{1}{2}$，将 $x = -2, -\frac{1}{2}, 2$ 代入函数 $y = x^2 + x$，得到对应的 $y$ 值. 最大值为 $y = y_{\text{max}}$ 对应的点为 $(-\frac{1}{2},y_{\text{max}})$，最小值为 $y = y_{\text{min}}$ 对应的点为 $(-2,y_{\text{min}})$ 和 $(2, y_{\text{min}})$.答案：最大值为 $y_{\text{max}} = \frac{5}{4}$，取得最大值的点为 $(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$；最小值为 $y_{\text{min}} = -2$，取得最小值的点为 $(-2, -2)$ 和 $(2, -2)$.三、证明题（每题20分，共2题）1. 证明函数 $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x$ 的导数 $f'(x)$ 恒大于零.证明：求导数 $f'(x) = x^2 - 2x + 2$，我们可以通过判别式来判断 $f'(x)$ 的正负性.判别式为 $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$，由于 $\Delta < 0$，所以判别式小于零，即 $f'(x)$ 的二次项系数小于零，说明二次项的系数是正的，从而导数 $f'(x)$ 恒大于零.证毕.2. 证明函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证明：要证明函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称，需证明对于任意$x$ 值，函数 $f(x)$ 和 $f(2 - x)$ 的函数值相等.将 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 代入 $f(2 - x)$，得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 -3(2 - x)^2 + 3$，对其进行展开和化简得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 - 3(2 -x)^2 + 3 = x^3 - 3x^2 + 3 = f(x)$，即 $f(x) = f(2 - x)$，证明了函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证毕.四、应用题（每题50分，共1题）1. 求函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值.解：求导函数 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3$，令 $f'(x) = 0$，求得驻点的 $x$ 坐标，然后将其代入原函数求得对应的 $y$ 坐标.求导的一阶导数方程为 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3 = 0$，通过求根公式求得 $x = -1$ 和 $x = \frac{1}{3}$，将其代入原函数 $f(x)$ 得到对应的$y$ 坐标.将 $x = -1$ 代入 $f(x)$，得到 $f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) = -1 + 1+ 3 = 3$，将 $x = \frac{1}{3}$ 代入 $f(x)$，得到 $f(\frac{1}{3}) =(\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{3})^2 - 3(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} +\frac{1}{9} - 1 = 0$.因此，函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$.答案：驻点为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$，分别对应极大值和极小值.。