2016届高考文科数学考点专题复习测试35

2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．33．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．35．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；29：规律型；5J：集合．【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．【点评】本题考查交集的求法，考查计算能力．2．（5分）设（1+2i）（a+i）的实部与虚部相等，其中a为实数，则a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的乘法运算法则，通过复数相等的充要条件求解即可．【解答】解：（1+2i）（a+i）=a﹣2+（2a+1）i的实部与虚部相等，可得：a﹣2=2a+1，解得a=﹣3．故选：A．【点评】本题考查复数的相等的充要条件的应用，复数的乘法的运算法则，考查计算能力．3．（5分）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．【解答】解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有=6种方法，红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法，红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，所以所求的概率为=．另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），则P==．故选：C．【点评】本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=，c=2，cosA=，则b=（）A．B．C．2D．3【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得3b2﹣8b﹣3=0，从而解得b的值．【解答】解：∵a=，c=2，cosA=，∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，∴解得：b=3或﹣（舍去）．故选：D．【点评】本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．5．（5分）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查点到直线的距离公式，椭圆的离心率的求法，考查计算能力．6．（5分）将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（2x﹣）D．y=2sin（2x﹣）【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】33：函数思想；48：分析法；57：三角函数的图像与性质．【分析】求得函数y的最小正周期，即有所对的函数式为y=2sin[2（x﹣）+]，化简整理即可得到所求函数式．【解答】解：函数y=2sin（2x+）的周期为T==π，由题意即为函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得图象对应的函数为y=2sin[2（x﹣）+]，即有y=2sin（2x﹣）．故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，注意相位变换针对自变量x而言，考查运算能力，属于基础题和易错题．7．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】判断三视图复原的几何体的形状，利用体积求出几何体的半径，然后求解几何体的表面积．【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体，如图：可得：=，R=2．它的表面积是：×4π•22+=17π．故选：A．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积，考查计算能力以及空间想象能力．8．（5分）若a＞b＞0，0＜c＜1，则（）A．log a c＜log b c B．log c a＜log c b C．a c＜b c D．c a＞c b【考点】4M：对数值大小的比较．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性结合换底公式，逐一分析四个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴log c a＜log c b，故B正确；∴当a＞b＞1时，0＞log a c＞log b c，故A错误；a c＞b c，故C错误；c a＜c b，故D错误；故选：B．【点评】本题考查的知识点是指数函数，对数函数，幂函数的单调性，难度中档．9．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】27：图表型；48：分析法；51：函数的性质及应用．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f（x）=y=2x2﹣e|x|，∴f（﹣x）=2（﹣x）2﹣e|﹣x|=2x2﹣e|x|，故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e2∈（0，1），故排除A，B；当x∈[0，2]时，f（x）=y=2x2﹣e x，∴f′（x）=4x﹣e x=0有解，故函数y=2x2﹣e|x|在[0，2]不是单调的，故排除C，故选：D．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答．10．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）A．y=2x B．y=3x C．y=4x D．y=5x【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：输入x=0，y=1，n=1，则x=0，y=1，不满足x2+y2≥36，故n=2，则x=，y=2，不满足x2+y2≥36，故n=3，则x=，y=6，满足x2+y2≥36，故y=4x，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．11．（5分）平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；35：转化思想；5G：空间角．【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故选：A．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．12．（5分）若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣1，﹣]【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；4C：分类法；53：导数的综合应用．【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0恒成立，设t=cosx（﹣1≤t ≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，对t讨论，分t=0，0＜t≤1，﹣1≤t＜0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）=x﹣sin2x+asinx的导数为f′（x）=1﹣cos2x+acosx，由题意可得f′（x）≥0恒成立，即为1﹣cos2x+acosx≥0，即有﹣cos2x+acosx≥0，设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，当t=0时，不等式显然成立；当0＜t≤1时，3a≥4t﹣，由4t﹣在（0，1]递增，可得t=1时，取得最大值﹣1，可得3a≥﹣1，即a≥﹣；当﹣1≤t＜0时，3a≤4t﹣，由4t﹣在[﹣1，0）递增，可得t=﹣1时，取得最小值1，可得3a≤1，即a≤．综上可得a的范围是[﹣，]．另解：设t=cosx（﹣1≤t≤1），即有5﹣4t2+3at≥0，由题意可得5﹣4+3a≥0，且5﹣4﹣3a≥0，解得a的范围是[﹣，]．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）设向量=（x，x+1），=（1，2），且⊥，则x=．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】11：计算题；41：向量法；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量垂直的充要条件便可得出，进行向量数量积的坐标运算即可得出关于x的方程，解方程便可得出x的值．【解答】解：∵；∴；即x+2（x+1）=0；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，清楚向量坐标的概念．14．（5分）已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ﹣）=．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由θ得范围求得θ+的范围，结合已知求得cos（θ+），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ﹣）的值．【解答】解：∵θ是第四象限角，∴，则，又sin（θ+）=，∴cos（θ+）=．∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．故答案为：﹣．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．15．（5分）设直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，若|AB|=2，则圆C的面积为4π．【考点】J8：直线与圆相交的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；5B：直线与圆．【分析】圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，利用圆的弦长公式，求出a值，进而求出圆半径，可得圆的面积．【解答】解：圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0的圆心坐标为（0，a），半径为，∵直线y=x+2a与圆C：x2+y2﹣2ay﹣2=0相交于A，B两点，且|AB|=2，∴圆心（0，a）到直线y=x+2a的距离d=，即+3=a2+2，解得：a2=2，故圆的半径r=2．故圆的面积S=4π，故答案为：4π【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，点到直线的距离公式，难度中档．16．（5分）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；29：规律型；31：数形结合；33：函数思想；35：转化思想．【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数，利用线性规划作出可行域，通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可；【解答】解：（1）设A、B两种产品分别是x件和y件，获利为z元．由题意，得，z=2100x+900y．不等式组表示的可行域如图：由题意可得，解得：，A（60，100），目标函数z=2100x+900y．经过A时，直线的截距最大，目标函数取得最大值：2100×60+900×100=216000元．故答案为：216000．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用，解答时求出最优解是解题的关键．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知{a n}是公差为3的等差数列，数列{b n}满足b1=1，b2=，a nb n+1+b n+1=nb n．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求{b n}的前n项和．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）令n=1，可得a1=2，结合{a n}是公差为3的等差数列，可得{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵a n b n+1+b n+1=nb n．当n=1时，a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵{a n}是公差为3的等差数列，∴a n=3n﹣1，+b n+1=nb n．（Ⅱ）由（I）知：（3n﹣1）b n+1即3b n=b n．+1即数列{b n}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴{b n}的前n项和S n==（1﹣3﹣n）=﹣．【点评】本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，数列的前n项和公式，难度中档．18．（12分）如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）根据题意分析可得PD⊥平面ABC，进而可得PD⊥AB，同理可得DE⊥AB，结合两者分析可得AB⊥平面PDE，进而分析可得AB⊥PG，又由PA=PB，由等腰三角形的性质可得证明；（Ⅱ）由线面垂直的判定方法可得EF⊥平面PAC，可得F为E在平面PAC内的正投影．由棱锥的体积公式计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵P﹣ABC为正三棱锥，且D为顶点P在平面ABC内的正投影，∴PD⊥平面ABC，则PD⊥AB，又E为D在平面PAB内的正投影，∴DE⊥面PAB，则DE⊥AB，∵PD∩DE=D，∴AB⊥平面PDE，连接PE并延长交AB于点G，则AB⊥PG，又PA=PB，∴G是AB的中点；（Ⅱ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC 内的正投影．∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，∴PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连结CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由（Ⅰ）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=PG，DE=PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PG=3，PE=2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=×DE×S=×2××2×2=．△PEF【点评】本题考查几何体的体积计算以及线面垂直的性质、应用，解题的关键是正确分析几何体的各种位置、距离关系．19．（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）若n=19，求y与x的函数解析式；（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【考点】3H：函数的最值及其几何意义；5C：根据实际问题选择函数类型；B8：频率分布直方图．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）若n=19，结合题意，可得y与x的分段函数解析式；（Ⅱ）由柱状图分别求出各组的频率，结合“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，可得n的最小值；（Ⅲ）分别求出每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件时的平均费用，比较后，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）当n=19时，y==（Ⅱ）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又∵更换易损零件不大于n的频率为不小于0.5．则n≥19∴n的最小值为19件；（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：（70×19×200+4300×20+4800×10）=4000（元）假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为（90×4000+10×4500）=4050（元）∵4000＜4050∴购买1台机器的同时应购买19台易损零件．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，频率分布条形图，方案选择，难度中档．20．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l：y=t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出P，N，H的坐标，利用=，求；（Ⅱ）直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，利用判别式可得结论．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴=，=t，∴N（，t），∴ON的方程为y=x，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴==2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知k MH=，∴直线MH的方程为y=x+t，与抛物线方程联立，消去x可得y2﹣4ty+4t2=0，∴△=16t2﹣4×4t2=0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，正确联立方程是关键．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】35：转化思想；48：分析法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣时，a=﹣时，﹣＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2，可得f′（x）=（x﹣1）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增（如右上图）；②当a＜0时，（如右下图）若a=﹣，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（1，ln（﹣2a））递减；若﹣＜a＜0，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），1）递减；（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；当x→﹣∞时f（x）＞0或找到一个x＜1使得f（x）＞0对于a＞0恒成立，f（x）有两个零点；②当a=0时，f（x）=（x﹣2）e x，所以f（x）只有一个零点x=2；③当a＜0时，若a＜﹣时，f（x）在（1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，在（﹣∞，ln（﹣2a））单调增，在（1，+∞）单调增，在（1n（﹣2a），1）单调减，只有f（ln（﹣2a））等于0才有两个零点，而当x≤1时，f（x）＜0，所以只有一个零点不符题意．综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°．以O为圆心，OA为半径作圆．（Ⅰ）证明：直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5M：推理和证明．【分析】（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK．根据等腰三角形AOB的性质知OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，则AB是圆O的切线．（Ⅱ）设圆心为T，证明OT为AB的中垂线，OT为CD的中垂线，即可证明结论．【解答】证明：（Ⅰ）设K为AB中点，连结OK，∵OA=OB，∠AOB=120°，∴OK⊥AB，∠A=30°，OK=OAsin30°=OA，∴直线AB与⊙O相切；（Ⅱ）因为OA=2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．设T是A，B，C，D四点所在圆的圆心．∵OA=OB，TA=TB，∴OT为AB的中垂线，同理，OC=OD，TC=TD，∴OT为CD的中垂线，∴AB∥CD．【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ．（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QE：参数方程的概念．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）把曲线C1的参数方程变形，然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆，化为一般式，结合x2+y2=ρ2，y=ρsinθ化为极坐标方程；（Ⅱ）化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程，由条件可知y=x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，把C1与C2的方程作差，结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣a2=0，则a值可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，两式平方相加得，x2+（y﹣1）2=a2．∴C1为以（0，1）为圆心，以a为半径的圆．化为一般式：x2+y2﹣2y+1﹣a2=0．①由x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0；（Ⅱ）C2：ρ=4cosθ，两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，②即（x﹣2）2+y2=4．由C3：θ=α0，其中α0满足tanα0=2，得y=2x，∵曲线C1与C2的公共点都在C3上，∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程，①﹣②得：4x﹣2y+1﹣a2=0，即为C3 ，∴1﹣a2=0，∴a=1（a＞0）．【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法，是基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣|2x﹣3|．（Ⅰ）在图中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）求不等式|f（x）|＞1的解集．【考点】&2：带绝对值的函数；3A：函数的图象与图象的变换．【专题】35：转化思想；48：分析法；59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x）的解析式，由分段函数的画法，即可得到所求图象；（Ⅱ）分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1＜x＜时，当x≥时，解绝对值不等式，取交集，最后求并集即可得到所求解集．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，由分段函数的图象画法，可得f（x）的图象，如右：（Ⅱ）由|f（x）|＞1，可得当x≤﹣1时，|x﹣4|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x≤﹣1；当﹣1＜x＜时，|3x﹣2|＞1，解得x＞1或x＜，即有﹣1＜x＜或1＜x＜；当x≥时，|4﹣x|＞1，解得x＞5或x＜3，即有x＞5或≤x＜3．综上可得，x＜或1＜x＜3或x＞5．则|f（x）|＞1的解集为（﹣∞，）∪（1，3）∪（5，+∞）．【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于基础题．。

2016 年一般高等学校招生全国一致考试文科数学一、选择题：本大题共12 小题。

每题 5 分 .（ 1）已知会集，则（A）（B）（C）（D）（2）设复数z 满足，则 =（A）（B）（C）（D）(3)函数的部分图像以以下图，则（A）（B）（C）（D）(4)体积为 8 的正方体的极点都在同一球面上，则该球面的表面积为（A）（B）（ C）（ D）(5)设 F 为抛物线C：y2=4x 的焦点，曲线y=（ k>0）与C交于点P，PF⊥ x 轴，则k=（A）（B）1（ C）（D）2(6)圆x2+y2- 2x- 8y+13=0的圆心到直线ax+y- 1=0的距离为1，则a=（A）-（B）-（C）（D）2(7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π(8)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯连续时间为40 秒，若一名行人抵达该路口遇到红灯，则最少需要等候15 秒才出现绿灯的概率为（A）（ B）（ C）（ D）(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若x=2, n=2,输入的 a 为2， 2， 5，则输出的s=（A） 7（B）12（C）17（D） 34(10)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域同样的是（A）y=x（ B）y=lg x（ C）y=2x（ D）(11)函数的最大值为（A） 4（ B）5（C）6（D）7(12) 已知函数f (x) （∈ R）足f(x)=f(2-x) ，若函数y=|x2x-3|与= (x) 像的交-2x y f点（ x1, y1），( x2, y2)，⋯，（ x m, y m），(A)0(B)m(C) 2m(D) 4m二．填空：共 4 小，每小 5 分 .(13)已知向量 a=( m,4)， b=(3,-2)，且 a∥ b， m=___________.(14)若 x， y 足束条件， z=x-2 y 的最小__________（15）△ABC的内角A，B，C的分a，b，c，若，，a=1，b=____________.（16）有三卡片，分写有 1 和 2，1 和 3， 2 和 3. 甲，乙，丙三人各取走一卡片，甲看了乙的卡片后：“我与乙的卡片上同样的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后：“我与丙的卡片上同样的数字不是 1”，丙：“我的卡片上的数字之和不是 5”，甲的卡片上的数字是________________.三、解答：解答写出文字明，明程或演算步．（17） ( 本小分12 分 )等差数列 {} 中，（ I ）求 {} 的通公式；(II)=[] ，求数列 {} 的前 10 和，此中 [ x] 表示不超x的最大整数，如 []=0,[]=2（18） ( 本小分 12 分 )某种的基本保a（位：元），种的投保人称保人，保人今年度的保与其上年度出次数的关以下：随机了种的200 名保人在一年内的出状况，获取以下表：（I ） A 事件：“一保人今年度的保不高于基本保”。

2016届高考文科数学---解答题专项训练中档题满分练(一)1．(2015·山东高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos B＝33，sin (A＋B)＝69，ac＝23，求sin A和c的值．2．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．3.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．4．(2015·湖北高考)设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1) 求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2) 当d>1时，记c n＝a nb n，求数列{c n}的前n项和T n.中档题满分练(二)1．已知函数f (x )＝2a sin ωx cos ωx ＋23cos 2ωx －3(a ＞0，ω＞0)的最大值为2，且最小正周期为π.(1)求函数f (x )的解析式及其对称轴方程；(2)若f (α)＝43，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π6的值．2．(2015·西安调研)对于给定数列{a n }，如果存在实常数p ，q ，使得a n ＋1＝pa n ＋q 对于任意n ∈N *都成立，我们称数列{a n }是“M 类数列”．(1)已知数列{b n }是“M 类数列”且b n ＝3n ，求它对应的实常数p ，q 的值；(2)若数列{c n }满足c 1＝－1，c n －c n ＋1＝2n (n ∈N *)，求数列{c n }的通项公式，判断{c n }是否为“M 类数列”并说明理由．3.如图，四棱锥P ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)证明：GH∥EF；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．4．某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b－)，(a，b)，(a－，b)，(a－，b－)，(a，b)，(a，b)，(a，b－)，(a－，b)，(a，b－)，(a－，b－)，(a，b)，(a，b－)，(a－，b)，(a，b)其中a，a－分别表示甲组研发成功和失败；b，b－分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．中档题满分练(三)1．已知向量a ＝(2sin x ，－cos x )，b ＝(3cos x ，2cos x )，f (x )＝a·b ＋1.(1)求函数f (x )的最小正周期，并求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时f (x )的取值范围；(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．2．(2015·安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．3．(2015·浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．4．(2015·无锡质检)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知点(a n －1，a n )(n ∈N *，n ≥2)在函数y ＝3x 的图象上，且S 4＝80.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成公差为d n 的等差数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1d n 的前n 项和为P n . ①求P n ；②若16P n ＋6n 3n ≤40027成立，求n 的最大正整数值．压轴题突破练1．(2015·四川高考)已知函数f (x )＝－2x ln x ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0.(1)设g (x )是f (x )的导函数，讨论g (x )的单调性；(2)证明：存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．2．(2015·北京高考)已知椭圆C ：x 2＋3y 2＝3，过点D (1，0)且不过点E (2，1)的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，直线AE 与直线x ＝3交于点M .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；(3)试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．3．(2015·浙江高考)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1，1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1，1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为e，半焦距为c，B(0，1)为其上顶点，且a2，c2，b2依次成等差数列．(1)求椭圆的标准方程和离心率e；(2)P，Q为椭圆上的两个不同的动点，且k BP·k BQ＝e2.(ⅰ)试证直线PQ过定点M，并求出M点坐标；(ⅱ)△PBQ是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ的斜率；否则请说明理由．参考答案中档题满分练(一)1．解 在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69.因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可知C 为锐角．所以cos C ＝539.因此sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223.由a sin A ＝c sin C ，可得a ＝c sin A sin C ＝223c 69＝23c ， 又ac ＝23，所以c ＝1.2．解 (1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ， 则事件B －包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种． 所以P (B )＝1－P (B －)＝1－327＝89.因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89. 3．(1)证明 因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内两条相交直线， 所以AA 1⊥平面ABC . 因为直线BC ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内两条相交直线， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)解 取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知可知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线， 所以，MD 綉12AC ，OE 綉12AC ， 因此MD 綉OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形， 则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)， 使直线DE ∥平面A 1MC .4．解 (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或 ⎩⎨⎧a n ＝19（2n ＋79），b n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1， 故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －32n －1＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.中档题满分练(二)1． 解 (1)f (x )＝a sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝a 2＋3sin(2ωx ＋φ)(其中cos φ＝a a 2＋3，sin φ＝3a 2＋3)，由题意知：f (x )的最小正周期为π，由2π2ω＝π，知ω＝1，由f (x )最大值为2，故a 2＋3＝2，又a ＞0，∴a ＝1，则有cos φ＝12，sin φ＝32，取φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )． 故f (x )的对称轴方程为x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由f (α)＝43知2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝43，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝23，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π2＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－1＋2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝－19.2．解 (1) ∵b n ＝3n ， 则b n ＋1＝3n ＋3＝b n ＋3，由“M 类数列”定义，得p ＝1，q ＝3. (2)∵c n －c n ＋1＝2n (n ∈N *)， ∴c n ＋1－c n ＝－2n (n ∈N *)，则c 2－c 1＝－2，c 3－c 2＝－4，c 4－c 3＝－8，… ∴c n －c n －1＝－2n －1(n ≥2)， 以上式子累加得c n ＝－(1＋2＋4＋…＋2n －1)＝1－2n (n ≥2)， 其中c 1＝－1也满足上式． 因此c n ＝1－2n (n ∈N *)，则c n ＋1＝1－2n ＋1＝2(1－2n )－1＝2c n －1， {c n }是“M 类数列”．3．(1)证明 因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解 连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . 因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD . 又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内， 所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ， 所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF . 所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝12OB ， 即K 为OB 的中点． 再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ， 即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18. 4．解 (1)甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1， 其平均数为x －甲＝1015＝23；方差为s 2甲＝115[(1－23)2×10＋(0－23)2×5]＝29. 乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1， 其平均数为x －乙＝915＝35；方差为s 2乙＝115[(1－35)2×9＋(0－35)2×6]＝625.因为x －甲＞x －乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组．(2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是 (a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a ，b －)，(a －，b )， 共7个，故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P (E )＝715.中档题满分练(三)1．解 (1)f (x )＝a·b ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时，－π3≤2x －π6≤76π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，因此f (x )的取值范围是[－3，2]．(2)依题意，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，得2cos A ＝1，∴cos A ＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ∴4＝42－3bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4·sin π3＝ 3.2．解 (1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4.所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50，60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；受访职工中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B 1，B 2，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}．又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求的概率为p ＝110. 3．(1)证明 设E 为BC 的中点，连接AE ，A 1E ，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE，因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)解作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，AE∩A1E＝E，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F，又DE∩BC＝E，A1F⊥平面BB1C1C.所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝ 2.由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14.由DE＝BB1＝4.DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝7 2.所以sin ∠A1BF＝7 8.4．解 (1)依题意，a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2)， ∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3. 又S 4＝a 1（1－34）1－3＝80，∴a 1＝2.因此数列{a n }的通项公式a n ＝2·3n －1. (2)①由(1)知，a n ＋1＝2·3n ，依题意，d n ＝2·3n －2·3n －1n ＋1＝4·3n －1n ＋1，1d n ＝n ＋14·3n －1.∴P n ＝24×1＋34×3＋44×32＋…＋n ＋14×3n －1，(*)则13P n ＝24×3＋34×32＋…＋n 4×3n －1＋n ＋14·3n ，(**)(*)－(**)，23P n ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n －1－n ＋14·3n ＝12＋14·13⎝⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－n ＋14·3n ＝58－2n ＋58·3n .∴P n ＝1516－2n ＋516·3n －1.因此16P n ＋6n 3n ＝15－2n ＋53n －1＋6n 3n ＝15－153n ，解不等式15－153n ≤40027，3n ≤81，则n ≤4.所以n 的最大正整数为4.压轴题突破练1．(1)解 由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )， 所以g ′(x )＝2－2x ＝2（x －1）x， 当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增． (2)证明 由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0， 解得a ＝x －1－ln x ，令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2 ＝(1＋ln x )2－2x ln x ，则φ(1)＝1＞0，φ(e)＝2(2－e)＜0， 于是，存在x 0∈(1，e)，使得φ(x 0)＝0， 令a 0＝x 0－1－ln x 0＝u (x 0)， 其中u (x )＝x －1－ln x (x ≥1)，由u ′(x )＝1－1x ≥0知，函数u (x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 故0＝u (1)＜a 0＝u (x 0)＜u (e)＝e －2＜1， 即a 0∈(0，1)，当a ＝a 0时，有f ′(x 0)＝0，f (x 0)＝φ(x 0)＝0， 再由(1)知，f ′(x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 当x ∈(1，x 0)时，f ′(x )＜0，从而f (x )＞f (x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0，从而f (x )＞f (x 0)＝0；又当x ∈(0，1]时，f (x )＝(x －a 0)2－2x ln x ＞0，故x ∈(0，＋∞)时，f (x )≥0，综上所述，存在a ∈(0，1)，使得f (x )≥0恒成立，且f (x )＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．2．解 (1)椭圆C 的标准方程为x 23＋y 2＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝ 2.所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝63.(2)因为AB 过点D (1，0)且垂直于x 轴，所以可设A (1，y 1)，B (1， －y 1)，直线AE 的方程为y －1＝(1－y 1)(x －2)，令x ＝3，得M (3，2－y 1)，所以直线BM 的斜率k BM ＝2－y 1＋y 13－1＝1. (3)直线BM 与直线DE 平行，理由如下：当直线AB 的斜率不存在时，由(2)可知k BM ＝1.又因为直线DE 的斜率k DE ＝1－02－1＝1，所以BM ∥DE ， 当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AE 的方程为y －1＝y 1－1x 1－2(x －2)． 令x ＝3，得点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，y 1＋x 1－3x 1－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2＝3，y ＝k （x －1），得(1＋3k 2)x 2－6k 2x ＋3k 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝6k 21＋3k 2，x 1x 2＝3k 2－31＋3k 2， 直线BM 的斜率k BM ＝y 1＋x 1－3x 1－2－y 23－x 2， 因为k BM －1＝k （x 1－1）＋x 1－3－k （x 2－1）（x 1－2）－（3－x 2）（x 1－2）（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）[－x 1x 2＋2（x 1＋x 2）－3]（3－x 2）（x 1－2）＝（k －1）⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2＋31＋3k 2＋12k 21＋3k 2－3（3－x 2）（x 1－2）＝0，所以k BM ＝1＝k DE .所以BM ∥DE ，综上可知，直线BM 与直线DE 平行．3．解 (1)当b ＝a 24＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋1， 故对称轴为直线x ＝－a 2.当a ≤－2时，g (a )＝f (1)＝a 24＋a ＋2.当－2＜a ≤2时，g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝1. 当a ＞2时，g (a )＝f (－1)＝a 24－a ＋2.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 24＋a ＋2，a ≤－2，1，－2＜a ≤2，a 24－a ＋2，a ＞2.(2)设s ，t 为方程f (x )＝0的解，且－1≤t ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧s ＋t ＝－a ，st ＝b ，由于0≤b －2a ≤1，因此－2t t ＋2≤s ≤1－2t t ＋2(－1≤t ≤1)． 当0≤t ≤1时，－2t 2t ＋2≤st ≤t －2t 2t ＋2， 由于－23≤－2t 2t ＋2≤0和－13≤t －2t 2t ＋2≤9－45， 所以－32≤b ≤9－4 5.当－1≤t ＜0时，t －2t 2t ＋2≤st ≤－2t 2t ＋2， 由于－2≤－2t 2t ＋2＜0和－3≤t －2t 2t ＋2＜0，所以－3≤b ＜0. 故b 的取值范围是[－3，9－45]．4．解 (1)由题意知b ＝1，a 2＋b 2＝2c 2，又a 2＝b 2＋c 2，解之得a 2＝3，c 2＝2，椭圆的标准方程为x 23＋y 2＝1，离心率e ＝23＝63. (2)(ⅰ)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋n ，且P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 2＋3y 2＝3，得(3＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－3＝0. Δ＝(2mn )2－4(3＋m 2)×(n 2－3)＝12(m 2－n 2＋3)＞0(*)⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2mn 3＋m 2，y 1y 2＝n 2－33＋m 2.∵k BM ·k MN ＝y 1－1x 1·y 2－1x 2＝e 2＝23， ∴3(y 1－1)(y 2－1)＝2x 1x 2＝2(my 1＋n )(my 2＋n )，∴(2m 2－3)y 1y 2＋(2mn ＋3)(y 1＋y 2)＋2n 2－3＝0，∴(2m 2－3)n 2－33＋m 2＋(2mn ＋3)－2mn 3＋m2＋2n 2－3＝0， 整理得n 2－2mn －3m 2＝0，∴(n －3m )(n ＋m )＝0，∴n ＝－m 或n ＝3m .所以直线PQ 的方程为x ＝my －m ＝m (y －1)(舍)或x ＝my ＋3m ＝m (y ＋3)，所以直线PQ 过定点，定点M 的坐标为(0，－3)．(ⅱ)由题意，∠PBQ ≠90°，若∠BPM ＝90°，或∠BQM ＝90°，则P 或Q 在以BM 为直径的圆T 上，即在圆x 2＋(y ＋1)2＝4上，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y ＋1）2＝4，x 2＋3y 2＝3.解之得y ＝0，或y ＝1(舍去)．因此P 或Q 只能是椭圆的左右顶点．又直线PQ 过定点M (0，－3)，∴k PQ ＝－3－00±3＝±3. 故△PBQ 可以是直角三角形，此时直线PQ 的斜率为±3.。

2016年全国普通高等学校统一招生考试文科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð=（A ）{48}，（B ）{026}，， （C ）{02610}，，， （D ）{0246810}，，，，， 【答案】C 【解析】试题分析：依据补集的定义，从集合}10,8,6,4,2,0{=A 中去掉集合}8,4{=B ，剩下的四个元素为10,6,2,0，故}10,6,2,0{=B C A ，故应选答案C 。

（2）若43i z =+，则||zz = （A ）1 （B ）1-（C ）43+i 55（D ）43i 55- 【答案】D 【解析】试题分析：因i z 34+=，则其共轭复数为i z 34-=，其模为534|34|||22=+=+=i z ，故i z z 5354||-=，应选答案D 。

（3）已知向量BA →=（12，2），BC →=（2，12），则∠ABC =（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）120° 【答案】A 【解析】：试题分析：因为11(,),)2222BA BC ==u u u r u u u r ，故442BA BC ⋅=+=u u u r u u u r ，又因为 ||||cos 11cos cos BA BC BA BC ABC ABC ABC ⋅=⋅∠=⨯⨯∠=∠u u u r u u u r u u u r u u u r所以cos 2ABC ∠=，所以6ABC π∠=，应选答案A （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述不正确的是（A ）各月的平均最低气温都在0℃以上 （B ）七月的平均温差比一月的平均温差大 （C ）三月和十一月的平均最高气温基本相同 （D ）平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D 【解析】试题分析：从题设中提供的信息及图中标注的数据可以看出：深色的图案是一年十二个月中各月份的平均最低气温，稍微浅一点颜色的图案是一年十二个月中中各月份的平均最高气温，故结合所提供的四个选项，可以确定D 是不正确的，因为从图中可以看出：平均最高气温高于20C 0只有7、8两个月份，故应选答案D 。

【全套】江苏省2016年高考数学（文）复习题型专训目录填空题限时练(一) (1)填空题限时练(二) (3)填空题限时练(三) (5)填空题限时练(四) (7)中档题满分练(一) (9)中档题满分练(二) (11)中档题满分练(三) (13)中档题满分练(四) (16)压轴题突破练(一) (19)压轴题突破练(二) (20)参考答案 (21)填空题限时练(一)(建议用时：40分钟)1．设集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}，则∁R(A∩B)＝________．2．若复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i(i是虚数单位)，则z＝________．3．某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下图的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为________小时．4．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的5个小球，这些小球除标注数字外完全相同，现从中随机取2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是________．5．在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m ，1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝________．6．在△ABC 中，BC ＝2，A ＝2π3，则AB→²AC →的最小值为________． 7．函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在的区间是________．8．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．9．已知四棱锥V －ABCD ，底面ABCD 是边长为3的正方形，VA ⊥平面ABCD ，且VA ＝4，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是________．10．在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝25，∠B ＝π4，sin C ＝55，则c ＝________，a ＝________．11．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝14，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－α＝________． 12．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________．13．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )上任一点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝ (x 0－3)(x 0＋1)2，则该函数的单调递减区间为________．14．已知等比数列{a n }的首项为43，公比为－13，其前n 项和为S n ，若A ≤S n －1S n≤B 对n ∈N *恒成立，则B －A 的最小值为________． 填空题限时练(二)(建议用时：40分钟)1．集合M ＝{x |lg x ＞0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝________．2．设i 为虚数单位，则复数3＋4i i ＝________．3．若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y 2＝16内的概率为________．4．高三(1)班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号5，29，41在样本中，那么还有一个同学的学号应为________．5．图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A 1，A 2，…，A 14.图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是________．6．若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(a －1)x ＋1≤0”为假命题，则实数a 的取值范围为________．7．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(2，2)，满足a·b ＝85，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝________．8．设f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为________．9．在正项等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和．若a 1＝1，a 2a 6＝8，则S 8＝________．10．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且B ＝120°，则a 2＋ac ＋c 2－b 2＝________．11．当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，函数y ＝sin x ＋3cos x 的值域为________． 12．曲线y ＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________． 13．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 有交点，则离心率e 的取值范围为________．14．设f (x )是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f (1－x )＋f (1＋x )＝0恒成立．如果实数m 、n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m ＞3，f （m 2－6m ＋23）＋f （n 2－8n ）＜0，那么m 2＋n 2的取值范围是________．填空题限时练(三)(建议用时：40分钟)1．复数5（1＋4i ）2i （1＋2i ）＝________． 2．某市高三数学抽样考试中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布图如图所示，若130～140分数段的人数为90人，则90～100分数段的人数为________．3．曲线y ＝1x 在x ＝2处的切线斜率为________．4．已知向量a ＝(3，1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，若a ＋λb 与a 垂直，则λ等于________．5．给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行；②平行于同一直线的两个不重合的平面平行；③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行；④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其中真命题的序号是________．6．将一枚骰子(一种六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，向上的点数分别记为m ，n ，则点P (m ，n )落在区域|x －2|＋|y －2|≤2内的概率是________．7．若实数x ，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ＋1≥0y ≥0，，则x 2＋(y ＋1)2的最大值与最小值的差为________．8．设某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是________．9．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＋a 2＋a 5＞13，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 1的取值范围为________．10．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8y xy 的最小值为________．11．定义集合M 、N 的新运算如下：M ⊕N ＝{x |x ∈M 或x ∈N ，但 x ∉M ∩N }，若集合M ＝{0，2，4，6，8，10}，N ＝{0，3，6，9，12，15}，则(M ⊕N )⊕M 等于________．12．P 为直线y ＝b 3a x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e ＝________．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，a ＝8，b ＝10，△ABC 的面积为203，则△ABC 的最大角的正切值是________．14．若存在区间M ＝[a ，b](a ＜b)，使得{y|y ＝f(x)，x ∈M}＝M ，则称区间M 为函数f(x)的一个“稳定区间”．给出下列四个函数：①y ＝ex ，x ∈R ；②f(x)＝x3；③f(x)＝cos πx 2；④f(x)＝lnx ＋1.其中存在稳定区间的函数有________(写出所有正确命题的序号)．填空题限时练(四)(建议用时：40分钟)1．设集合M ＝{－1，0，1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝________．2．复数11＋i＝________． 3．某算法的伪代码如图所示，该算法输出的结果是________．4．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．5．设a ＝2 0110.1，b ＝ln 2 0122 010，c ＝log 122 0112 010，则a ，b ，c 的大小关系是________．6．把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得函数图象的解析式是________．7．已知等比数列{a n }满足a 5a 6a 7＝8，则其前11项之积为________．8．将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数相同的概率是________．9．两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20 m 、50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________．10．对于任意x ∈[1，2]，都有(ax ＋1)2≤4成立，则实数a 的取值范围为________．11．过点P (1，1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分成两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________．12．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a 且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是________．13．两个半径分别为r 1，r 2的圆M 、N ，公共弦AB 长为3，如图所示，则AM→²AB →＋AN →²AB →＝________．14．已知函数f (x )＝－x ln x ＋ax 在(0，e)上是增函数，函数g (x )＝|e x－a |＋a 22，当x ∈[0，ln 3]时，函数g (x )的最大值M 与最小值m 的差为32，则a ＝________．中档题满分练(一)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，c )，n ＝(cos C ，cos A )．(1)若m ∥n ，c ＝3a ，求角A ；(2)若m ·n ＝3b sin B ，cos A ＝45，求cos C 的值．2．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．(1)求证：BF ∥平面A 1EC ；(2)求证：平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1.3.若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 26＋y 23＝1，A 1，A 2分别为椭圆C 1的左、右顶点．椭圆C 2以线段A 1A 2为短轴且与椭圆C 1为“相似椭圆”．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设P 为椭圆C 2上异于A 1，A 2的任意一点，过P 作PQ ⊥x 轴，垂足为Q ，线段PQ 交椭圆C 1于点H .求证：H 为△P A 1A 2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)4．如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余的地方种花，若BC ＝a ，∠ABC ＝θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形的PQRS 面积为S 2.(1)用a ，θ表示S 1和S 2；(2)当a 固定，θ变化时，求S 1S 2的最小值．中档题满分练(二)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A －B2cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35. (1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求B 和c .2.如图，正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，EF ∥BD ，AB ＝2EF .(1)求证：BF∥平面ACE；(2)求证：BF⊥BD.3.如图(示意)，公路AM，AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tan α＝－2.在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3 km， 5 km.现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．4.如图，已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1，A 、B 是四条直线x ＝±2，y ＝±1所围成矩形的两个顶点．(1)设P 是椭圆C 上任意一点，若OP →＝mOA →＋nOB →，求证：动点Q (m ，n )在定圆上运动，并求出定圆的方程；(2)若M 、N 是椭圆C 上两上动点，且直线OM 、ON 的斜率之积等于直线OA 、OB 的斜率之积，试探求△OMN 的面积是否为定值，说明理由．中档题满分练(三)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．2．如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，AB＝BC＝AC，E是PD的中点，F为ED的中点．(1)求证：平面P AC⊥平面PCD；(2)求证：CF∥平面BAE.3．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数y ＝f (x )模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f (x )模型的基本要求，并分析函数y ＝x150＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；(2)若该公司采用模型函数y ＝10x －3ax ＋2作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任一点P 到两个焦点的距离的和为23，P 与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为－23.设直线l 过椭圆C 的右焦点F ，交椭圆C 于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)若OA→²OB →＝4tan ∠AOB(O 为坐标原点)，求|y 1－y 2|的值；(2)当直线l 与两坐标轴都不垂直时，在x 轴上是否总存在点Q ，使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角？若存在，求出点Q 坐标；若不存在，请说明理由．中档题满分练(四)1．设向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，θ为锐角． (1)若a·b ＝136，求sin θ＋cos θ的值；(2)若a ∥b ，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3的值．2.如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，PC ⊥AD ，底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ＝BC ，点E 在棱PB 上，且PE ＝2EB .(1)求证：平面P AB⊥平面PCB；(2)求证：PD∥平面EAC.3．如图，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的上，下两个顶点分别为A，B，直线l：y＝－2，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为32，且过点A(0，1)．(1)求k1²k2的值；(2)求MN的最小值；(3)随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．4．某商场对A 品牌的商品进行了市场调查，预计2015年从1月起前x 个月顾客对A 品牌的商品的需求总量P (x )件与月份x 的近似关系是：P (x )＝12x (x ＋1)(41－2x )(x ≤12且x ∈N *)． (1)写出第x 月的需求量f (x )的表达式； (2)若第x 月的销售量g (x )＝⎩⎨⎧f （x ）－21x ，1≤x ＜7且x ∈N *，x 2e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－10x ＋96，7≤x ≤12且x ∈N *(单位：件)，每件利润q (x )元与月份x 的近似关系为：q (x )＝10e xx ，问：该商场销售A 品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e 6≈403)压轴题突破练(一)1．已知无穷数列{a n}的各项均为正整数，S n为数列{a n}的前n项和．(1)若数列{a n}是等差数列，且对任意正整数n都有Sn 3＝(S n)3成立，求数列{a n}的通项公式；(2)对任意正整数n，从集合{a1，a2，…，a n}中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，a n一起恰好是1至S n全体正整数组成的集合．(ⅰ)求a1，a2的值；(ⅱ)求数列{a n}的通项公式．2．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1(a ∈R )，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)若x ∈[－2，－1]，不等式f (x )≤f ′(x )恒成立，求a 的取值范围； (2)解关于x 的方程f (x )＝|f ′(x )|；(3)设函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ），f （x ）≥f ′（x ）f （x ），f （x ）＜f ′（x ），求g (x )在x ∈[2，4]时的最小值．压轴题突破练(二)1．已知函数f (x )＝－x 3＋x 2，g (x )＝a ln x ，a ∈R .(1)若对任意x ∈[1，e]，都有g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x 恒成立，求a 的取值范围；(2)设F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＜1，g （x ），x ≥1.若P 是曲线y ＝F (x )上异于原点O 的任意一点，在曲线y ＝F (x )上总存在另一点Q ，使得△POQ 中的∠POQ 为钝角，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围．2．设数列{b n }满足b n ＋2＝－b n ＋1－b n (n ∈N *)，b 2＝2b 1.(1)若b 3＝3，求b 1的值；(2)求证数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列；(3)设数列{T n }满足：T n ＋1＝T n b n ＋1(n ∈N *)，且T 1＝b 1＝－12，若存在实数p ，q ，对任意n ∈N *都有p ≤T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ＜q 成立，试求q －p 的最小值．参考答案填空题限时练(一)1．(－∞，－2)∪(0，＋∞) [由已知条件可得A ＝[－2，2]，B ＝[－4，0]，∴∁R (A ∩B )＝(－∞，－2)∪(0，＋∞)．]2．1＋2i [∵(1＋2i)z ＝－3＋4i ，∴z ＝－3＋4i 1＋2i ＝（－3＋4i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝5＋10i 5＝1＋2i.]3．0.97 [一天平均每人的课外阅读时间应为一天的总阅读时间与学生数的比，即0³7＋0.5³14＋1.0³11＋1.5³11＋2.0³750＝0.97(小时)．] 4.310 [从袋子中随机取2个小球共有10种不同的方法，其中取出的小球标注的数字之和为3或6的方法共有3种，因此所求的概率等于310.]5．6 [依题意得⎩⎨⎧|4m －4|5＝4，2m ＋1≥3，解得m ＝6.]6．－23 [依题意得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2＋c 2＋bc ＝4≥3bc ，bc ≤43，AB →·AC →＝bc cos A ＝－12bc ≥－23，当且仅当b ＝c ＝233时取等号，因此AB →·AC →的最小值是－23.]7．(1，2) [利用零点存在定理求解．因为f (1)·f (2)＝(－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＜0，所以由零点存在定理可知零点所在的区间是(1，2)．]8．27 [由框图的顺序，s ＝0，n ＝1，s ＝(s ＋n )n ＝(0＋1)³1＝1，n ＝n ＋1＝2，依次循环s ＝(1＋2)³2＝6，n ＝3，注意此刻3＞3仍然否，所以还要循环一次s ＝(6＋3)³3＝27，n ＝4，此刻输出s ＝27.]9．27 [可证四个侧面都是直角三角形，其面积S ＝2³12³3³4＋2³12³3³5＝27.]10．22 6 [由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，所以c ＝b sin C sin B ＝25³5522＝2 2.由c ＜b 得C ＜B ，故C 为锐角，所以cos C ＝255，sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝31010，由正弦定理得b sin B ＝a sin A ，所以a ＝b sin A sin B ＝25³3101022＝6.] 11．±154 [由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝14，得cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝±154， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝±154.] 12.x 220－y 25＝1 [由焦距为10知，c ＝5，即a 2＋b 2＝25，根据双曲线方程可知，渐近线方程为y ＝±b a x ，代入点P 的坐标得，a ＝2b ，联立方程组可解得a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线方程x 220－y 25＝1.]13．(－∞，3] [由导数的几何意义可知，f ′(x 0)＝(x 0－3)(x 0＋1)2≤0，解得x 0≤3，即该函数的单调递减区间是(－∞，3]．]14.5972 [依题意得S n ＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n .当n 为奇数时，S n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43；当n 为偶数时，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫89，1.由函数y ＝x －1x 在(0，＋∞)上是增函数得S n －1S n的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1772，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，712，因此有A ≤－1772，B ≥712，B －A ≥712＋1772＝5972，即B －A 的最小值是5972.]填空题限时练(二)1．{x |1＜x ≤2} [M ＝{x |lg x ＞0}＝{x |x ＞1}，N ＝{x |x 2≤4}＝{x |－2≤x ≤2}．M ∩N ＝{x |1＜x ≤2}．]2．4－3i [依题意：3＋4i i ＝（3＋4i ）i i 2＝4－3i.] 3.29 [∵试验发生的总的基本事件数是6³6，而点P 落在圆x 2＋y 2＝16内包括(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共8种，由古典概型公式得到P ＝86³6＝29.] 4．17 [根据系统抽样是“等距离”抽样的特点解题．将48人分成4组，每组12人，所以用系统抽样抽出的学生学号构成以12为公差的等差数列，所以还有一个学生的学号是17.]5．10 [依据算法中的程序框图知其作用是统计茎叶图中数学考试成绩不低于90分的次数，由茎叶图易知共有10次，故输出的结果为10.]6．(－1，3) [由题意：x 2＋(a －1)x ＋1＞0恒成立．则对应方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0无实数根．则Δ＝(a －1)2－4＜0，即a 2－2a －3＜0，所以－1＜a ＜3.]7.45 [因为a·b ＝2cos x ＋2sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝85， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝45.] 8．(2，＋∞) [f (x )定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝2x －2－4x ＝2（x －2）（x ＋1）x＞0，解得－1＜x ＜0或x ＞2，所以f ′(x )＞0 的解集(2，＋∞)．]9．15(2＋1) [因为{a n }是正项等比数列，所以a 2a 6＝a 24＝8⇒a 4＝22＝a 1q 3⇒q ＝2，所以S 8＝1－（2）81－2＝15(2＋1)．] 10．0 [利用余弦定理，再变形即得答案．]11．(1，2] [因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2⇒x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1⇒y ∈(1，2]，所以值域为(1，2]．] 12．y ＝2x ＋1 [y ′＝2（x ＋2）2，所以k ＝y ′|x ＝－1＝2，故切线方程为y ＝2x ＋1.]13．(5，＋∞) [如图所示，∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝2x 有交点，则应有b a ＞2，∴b 2a 2＞4，c 2－a 2a 2＞4，解得e 2＝c 2a 2＞5，e ＞ 5.]14．(13，49) [由f (1－x )＋f (1＋x )＝0得，f (n 2－8n )＝f [(n 2－8n －1)＋1]＝－f [1－(n 2－8n －1)]＝－f (－n 2＋8n ＋2)，所以f (m 2－6m ＋23)＜－f (n 2－8n )＝f (－n 2＋8n ＋2)，又f (x )是定义在R 上的增函数，所以m 2－6m ＋23＜－n 2＋8n ＋2，即为(m －3)2＋(n －4)2＜4，且m ＞3，所以(m ，n )在以(3，4)为圆心，半径为2的右半个圆内，当为点(3，2)时，m 2＋n 2＝13，圆心(3，4)到原点的距离为5，此时m 2＋n 2＝(5＋2)2＝49，所以m 2＋n 2的取值范围是(13，49)．]填空题限时练(三)1．38－i [5（1＋4i ）2i （1＋2i ）＝5（－15＋8i ）－2＋i ＝5（－15＋8i ）（－2－i ）（－2＋i ）（－2－i ）＝5（38－i ）5＝38－i.] 2．810 [高三年级总人数为：900.05＝1 800；90～100分数段人数的频率为0.45；分数段的人数为1 800³0.45＝810.]3．－14 [根据导数的几何意义，只要先求出导数以后，将x ＝2代入即可求解．因为y ′＝－1x 2，所以y ′|x ＝2＝－14，即为切线的斜率．]4．4 [根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a ＋λb ＝⎝⎛⎭⎪⎫3－λ，1＋12 λ，所以(a ＋λb )⊥a ⇒3(3－λ)＋1＋12λ＝0⇒λ＝4.]5．①④ [若α∥β，α∥γ，则β∥γ，即平行于同一平面的两个不重合的平面平行，故①正确； 若a ∥α，a ∥β，则α与β平行或相交，故②错误；若α⊥γ，β⊥γ，则平面α与β平行或相交，故③错误； 若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β，故④正确．]6.1136 [利用古典概型的概率公式求解．将一枚骰子先后抛掷2次，向上的点数分别记为m ，n ，则点P (m ，n )共有36个，其中落在区域|x －2|＋|y －2|≤2内的点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，2)，共11个，故所求概率是1136.]7.3[作出不等式组对应的平面区域，利用两点间距离公式求解．不等式组对应的平面区域如图，由图可知，当(x，y)为(0，1)时，x2＋(y ＋1)2取得最大值4；当(x，y)为(0，0)时，x2＋(y＋1)2取得最小值1，故最大值与最小值的差是3.]8．5[阅读算法中流程图知：运算规则是S＝S³k2故第一次进入循环体后S＝1³32＝9，k＝3；第二次进入循环体后S＝9³52＝225＞100，k＝5.退出循环，其输出结果k＝5.故答案为：5.]9．(1，＋∞)[利用a1，a2，a5成等比数列确定公差与首项的关系，再解不等式即可．设等差数列{a n}的公差为d，则d≠0，所以a1，a2，a5成等比数列⇒a2＝a1a5⇒(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)⇒d＝2a1，代入不等式a1＋a2＋a5＞13解得a1＞1.]10．9[利用“1”的代换，结合基本不等式求解．因为x，y为正数，且x＋2y＝2，x＋8yxy＝⎝⎛⎭⎪⎫1y＋8x⎝⎛⎭⎪⎫x2＋y＝x2y＋8yx＋5≥2x2y·8yx＋5＝9，当且仅当x＝4y＝43时，等号成立，所以x＋8yxy的最小值为9.]11．N[由定义得：M⊕N＝{2，3，4，8，9，10，12，15}，所以(M ⊕N)⊕M＝N.]12.324 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b 3a x ，x 2a 2－y 2b 2＝1，得⎩⎨⎧x ＝－324a ，y ＝－24b ，又PF 1垂直于x 轴，所以324a ＝c ，即离心率为e ＝c a ＝324.] 13.533或－3 [由S △ABC ＝12ab sin C ，代入数据解得sin C ＝32，又∠C 为三角形的内角，所以C ＝60°或120°.若C ＝60°，则在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝84，此时，最大边是b ，故最大角为∠B ，其余弦值cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3221，正弦值sin B ＝53221，正切值tan B ＝533；若C ＝120°，此时，C 为最大角，其正切值为tan 120°＝－ 3.]14．②③ [根据新定义逐一判断．因为函数y ＝e x ，x ∈R 递增，且e x ＞x ，x ∈R 恒成立，函数y ＝e x ，x ∈R 不存在“稳定区间”，故①不存在“稳定区间”；函数f (x )＝x 3存在稳定区间[－1，0]或[0，1]或[－1，1]，故②存在“稳定区间”；函数f (x )＝cos πx 2存在稳定区间[0，1]，故③存在“稳定区间”；函数f (x )＝ln x ＋1在(0，＋∞)上递增，且ln x ＋1≤x ，x ＞0恒成立，函数f (x )＝ln x ＋1在定义域上不存在“稳定区间”，故④不存在“稳定区间”．]填空题限时练(四)1．{0，1} [因为N ＝{x |x 2≤x }＝{x |0≤x ≤1}，所以M ∩N ＝{0，1}．]2.12－12i [11＋i ＝（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i 2＝12－12i.]3．6 [逐次写出运行结果．该伪代码运行5次，各次S 和I 的值分别是1和2；2和3；6和4；24和5；120和6，所以该算法输出的I ＝6.]4．12 [设应抽取的女运动员人数是x ，则x 98－56＝2898，易得x ＝12.] 5．a ＞b ＞c [由指数函数、对数函数图象可知a ＞1，0＜b ＜1，c ＜0，所以a ＞b ＞c .]6．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6 [根据函数图象变换法则求解．把y ＝2sin x 向左平移π6个单位长度后得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，再把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.] 7．211 [利用等比数列的性质求解．由a 5a 6a 7＝a 36＝8得，a 6＝2，所以，其前11项之积为a 1a 2…a 11＝a 116＝211.] 8.16 [利用古典概型的概率公式求解．将一颗骰子先后抛掷两次，向上的点数共有36种不同的结果，其中点数相同的有6个，故所求概率为636＝16.]9．45° [在△ACD 中，容易求得AD ＝2010，AC ＝305，又CD ＝50，由余弦定理可得cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC ＝22， 所以∠CAD ＝45°，即从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.]10.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 [由不等式(ax ＋1)2≤4在x ∈[1，2]恒成立，得－2≤ax＋1≤2在x ∈[1，2]恒成立，利用分离参数的方法得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x min ，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x max，利用反比例函数的单调性得－32≤a ≤12.]11．x ＋y －2＝0 [当OP 与所求直线垂直时面积之差最大，故所求直线方程为x ＋y －2＝0.] 12.(0, 2) [由题知令BD ＝BC ＝AD ＝AC ＝1，AB ＝a ，则DC ＝2，分别取DC ，AB 的中点E ，F ，连接AE 、BE 、EF .由于EF ⊥DC ，EF ⊥AB .而BE ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝ 1－12＝22，BF ＜BE ，AB ＝2BF ＜2BE＝ 2.]13．9 [根据向量的数量积运算求解．连接圆心MN 与公共弦相交于点C ，则C 为公共弦AB 的中点，且MN ⊥AB ，故AM →·AB →＝|AB →||AM →|·cos∠MAC ＝|AB →|·|AC →|＝12|AB →|2＝92，同理AN→·AB →＝|AB →|·|AN →|·cos ∠NAC ＝|AB →||AC →|＝12|AB →|2＝92，故AM→·AB →＋AN →·AB →＝9.] 14.52 [因为f ′(x )＝－ln x －1＋a ≥0在(0，e)上恒成立，所以a ≥(ln x ＋1)max ＝2.又x ∈[0，ln 3]时，e x ∈[1，3]，所以当a ∈(3，＋∞)时，g (x )＝a －e x＋a 22递减，此时M －m ＝a －1＋a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3＋a 22＝2，不适合，舍去；当a ∈[2，3]时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －e x＋a 22，0≤x ≤ln a ，e x－a ＋a 22，ln a ＜x ≤ln 3，此时m ＝a 22，M max ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1＋a 22，3－a ＋a 22＝a －1＋a22， 所以a －1＋a 22－a 22＝a －1＝32，解得a ＝52.]中档题满分练(一)1．解 (1)∵m ∥n ，∴a cos A ＝c cos C . 由正弦定理得sin A cos A ＝sin C cos C ， 化简得sin 2A ＝sin 2C .∵A ，C ∈(0，π)，∴2A ＝2C (舍)或2A ＋2C ＝π， ∴A ＋C ＝π2，∴B ＝π2，在Rt △ABC 中，tan A ＝a c ＝33，故A ＝π6. (2)∵m ·n ＝3b cos B ，∴a cos C ＋c cos A ＝3b sin B . 由正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝3sin 2B ， 从而sin(A ＋C )＝3sin 2B .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(A ＋C )＝sin B ，从而sin B ＝13， ∵cos A ＝45>0，A ∈(0，π)，∴A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，sin A ＝35.∵sin A >sin B ，∴a >b ，从而A >B ，B 为锐角， cos B ＝223.∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B＝－45³223＋35³13＝3－8215.2．证明 (1)连接AC 1并交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1.又因为F 为AC 的中点，所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1. 因为E 为BB 1的中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1， 所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE . 又BF ⊄平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ，所以BF ∥平面A 1EC . (2)由(1)知BF ∥OE ，因为AB ＝CB ，F 为AC 的中点， 所以BF ⊥AC ，所以OE ⊥AC .又因为AA 1⊥底面ABC ，而BF ⊂底面ABC ， 所以AA 1⊥BF .由BF ∥OE 得OE ⊥AA 1，而AA 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，且AA 1∩AC ＝A ， 所以OE ⊥平面ACC 1A 1.因为OE ⊂平面A 1EC ，所以平面A 1EC ⊥平面ACC 1A 1. 3．(1)解 由题意可知A 1(－6，0)，A 2(6，0)， 椭圆C 1的离心率e ＝22.设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则b ＝ 6. 因为b a ＝1－e 2＝22，所以a ＝2 3. 所以椭圆C 2的方程为y 212＋x 26＝1.(2)证明 设P (x 0，y 0)，y 0≠0，则y 2012＋x 206＝1，从而y 20＝12－2x 20. 将x ＝x 0代入x 26＋y 23＝1得x 206＋y 23＝1，从而y 2＝3－x 202＝y 204，即y ＝±y 02.因为P ，H 在x 轴的同侧，所以取y ＝y 02，即H (x 0，y 02)．所以kA 1P ²kA 2H ＝y 0x 0－6²12y 0x 0＋6＝y 202（x 20－6）＝12－2x 202（x 20－6）＝－1，从而A 1P ⊥A 2H .又因为PH ⊥A 1A 2，所以H 为△P A 1A 2的垂心． 4．解 (1)S 1＝12a sin θ²a cos θ＝14a 2sin 2θ， 设正方形边长为x ，则BQ ＝xtan θ，RC ＝x tan θ，∴x tan θ＋x tan θ＋x ＝a ， ∴x ＝a1tan θ＋tan θ＋1＝a sin 2θ2＋sin 2θ， S 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a sin 2θ2＋sin 2θ2＝a 2sin 22θ4＋sin 22θ＋4sin 2θ. (2)当a 固定，θ变化时，S 1S 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4sin 2θ＋sin 2θ＋4，令sin 2θ＝t ，则S 1S 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4t ＋t ＋4(0＜t ≤1)，利用单调性求得t ＝1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1S 2min ＝94.中档题满分练(二)1．解 (1)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，得[cos(A－B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35.即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos(A －B ＋B )＝－35. 因此，cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0＜A ＜π，得sin A ＝45， 由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，a ＝42，b ＝5， 所以sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a ＞b ，则A ＞B ，故B ＝π4.根据余弦定理有(42)2＝52＋c 2－2³5c ³⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，整理得c 2＋6c －7＝0，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．2.证明 (1)设AC 与BD 交于O 点，连接EO .正方形ABCD 中，2BO ＝AB ，又因为AB ＝2EF ， ∴BO ＝EF ，又因为EF ∥BD ， ∴EFBO 是平行四边形，∴BF ∥EO ，又∵BF ⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ， ∴BF ∥平面ACE .(2)正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又因为正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直，BD ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ACE ＝AC ， ∴BD ⊥平面ACE ，∵EO ⊂平面ACE ， ∴BD ⊥EO ，∵EO ∥BF ，∴BF ⊥BD .3．解 如图，以A 为原点，AB 为x 轴，建立平面直角坐标系．因为tan α＝－2，故直线AN 的方程是y ＝－2x . 设点P (x 0，y 0)．因为点P 到AM 的距离为3，故y 0＝3. 由P 到直线AN 的距离为5，得|2x 0＋y 0|5＝5，解得x 0＝1或x 0＝－4(舍去)，所以点P (1，3)．显然直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为y －3＝k (x －1)，k ∈(－2，0)， 令y ＝0，得x B ＝1－3k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k （x －1），y ＝－2x 得y C ＝6－2k k ＋2.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12²x B ²y C ＝－k 2＋6k －9k 2＋2k ＝－1＋8k －9k 2＋2k ，由S ′＝－2（4k ＋3）（k －3）（k 2＋2k ）2＝0，得k ＝－34或k ＝3， 当－2＜k ＜－34时，S ′＜0，S 单调递减； 当－34＜k ＜0时，S ′＞0，S 单调递增，所以当k ＝－34，即AB ＝5时，S 取最小值15.所以当AB ＝5 km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15 km 2. 4．(1)证明 易求A (2，1)，B (－2，1)．设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.由OP →＝mOA →＋nOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2（m －n ），y 0＝m ＋n ，所以4（m －n ）24＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12.故点Q (m ，n )在定圆x 2＋y 2＝12上．(2)解 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2＝k OA ²k OB ＝－14.平方得x 21x 22＝16y 21y 22＝(4－x 21)(4－x 22)，即x 21＋x 22＝4.因为直线MN 的方程为(x 2－x 1)y －(y 2－y 1)x ＋x 1y 2－x 2y 1＝0， 所以O 到直线MN 的距离为d ＝|x 1y 2－x 2y 1|（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2， 所以△OMN 的面积S ＝12MN ²d ＝12|x 1y 2－x 2y 1| ＝12 x 21y 22＋x 22y 21－2x 1x 2y 1y 2 ＝12x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 224＋x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＋12x 21x 22＝12x 21＋x 22＝1.故△OMN 的面积为定值1.中档题满分练(三)1．解 (1)由余弦定理及已知条件得a 2＋b 2－ab ＝4.又因为△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， 所以sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0时，A ＝π2，所以B ＝π6， 所以a ＝433，b ＝233.当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433. 所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233.2．证明 (1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ， 又AC ⊥CD ，且AC ∩P A ＝A ，所以CD ⊥平面P AC ，又CD ⊂平面PCD ，所以平面P AC ⊥平面PCD . (2)取AE 中点G ，连接FG ，BG .因为F 为ED 的中点，所以FG ∥AD 且FG ＝12AD . 在△ACD 中，AC ⊥CD ，∠DAC ＝60°， 所以AC ＝12AD ，所以BC ＝12AD .在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ，所以∠ACB ＝60°， 从而∠ACB ＝∠DAC ，所以AD ∥BC .综上，FG ∥BC ，FG ＝BC ，四边形FGBC 为平行四边形， 所以CF ∥BG .又BG ⊂平面BAE ，CF ⊄平面BAE ，所以CF ∥平面BAE .3．解 (1)设奖励函数模型为y ＝f (x )，按公司对函数模型的基本要求，函数y ＝f (x )满足： 当x ∈[10，1 000]时，①f (x )在定义域[10，1 000]上是增函数； ②f (x )≤9恒成立； ③f (x )≤x5恒成立． 对于函数模型f (x )＝x150＋2.当x ∈[10，1 000]时，f (x )是增函数， f (x )max ＝f (1 000)＝1 000150＋2＝203＋2＜9. 所以f (x )≤9恒成立．但x ＝10时，f (10)＝115＋2＞105，即f (x )≤x5不恒成立， 故该函数模型不符合公司要求．(2)对于函数模型f (x )＝10x －3a x ＋2，即f (x )＝10－3a ＋20x ＋2，当3a ＋20＞0，即a ＞－203时递增； 要使f (x )≤9对x ∈[10，1 000]恒成立， 即f (1 000)≤9，3a ＋18≥1 000，a ≥9823；要使f (x )≤x5对x ∈[10，1 000]恒成立， 即10x －3a x ＋2≤x 5，x 2－48x ＋15a ≥0恒成立，所以a ≥1925.综上所述，a ≥9823，所以满足条件的最小的正整数a 的值为328. 4．解 (1)由椭圆的定义知a ＝3，设P (x ，y )， 则有y x ＋3²y x －3＝－23，即y 2x 2－3＝－23，又点P 在椭圆上，则（3－x 2）b 23（x 2－3）＝－b 23＝－23， ∴b 2＝2，∴椭圆C 的方程是x 23＋y 22＝1. ∵OA →²OB →＝4tan ∠AOB， ∴|OA →|²|OB →|cos ∠AOB ＝4tan ∠AOB ， ∴|OA→|²|OB →|sin ∠AOB ＝4， ∴S △AOB ＝12|OA →|²|OB→|sin ∠AOB ＝2， 又S △AOB ＝12|y 1－y 2|³1，故|y 1－y 2|＝4.(2)假设存在一点Q (m ，0)，使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角， 依题意可知直线l 斜率存在且不为零， 直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －1），x 23＋y 22＝1消去y 得(3k 2＋2)x 2－6k 2x ＋3k 2－6＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6k 23k 2＋2，x 1²x 2＝3k 2－63k 2＋2.∵直线QA ，QB 的倾斜角互为补角， ∴k QA ＋k QB ＝0，即y 1x 1－m ＋y 2x 2－m ＝0，又y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)，代入上式可得2x 1x 2＋2m －(m ＋1)(x 1＋x 2)＝0， ∴2³3k 2－63k 2＋2＋2m －(m ＋1)³6k 23k 2＋2＝0，即2m －6＝0，∴m ＝3，∴存在Q (3，0)使得直线QA ，QB 的倾斜角互为补角．中档题满分练(四)1．解 (1)因为a·b ＝2＋sin θcos θ＝136， 所以sin θcos θ＝16.所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝43. 又因为θ为锐角，所以sin θ＋cos θ＝233. (2)法一 因为a ∥b ，所以tan θ＝2.所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝1－tan 2θtan 2θ＋1＝－35. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝12sin 2θ＋32cos 2θ＝12³45＋32³⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝4－3310.法二 因为a ∥b ，所以tan θ＝2.又θ为锐角，所以sin θ＝255，cos θ＝55.因此sin 2θ＝2sin θcos θ＝45，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－35. 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝12sin 2θ＋32cos 2θ ＝12³45＋32³⎝ ⎛⎭⎪⎫－35 ＝4－3310.2．证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，又AB ⊥BC ，P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB .又BC ⊂平面PCB ，∴平面P AB ⊥平面PCB .(2)∵P A ⊥底面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥AD .又∵PC ⊥AD ，又PC ∩P A ＝P ，∴AD ⊥平面P AC ，又AC ⊂平面P AC ，∴AC ⊥AD .在梯形ABCD 中，由AB ⊥BC ，AB ＝BC ，得∠BAC ＝π4，∴∠DCA ＝∠BAC ＝π4.又AC ⊥AD ，故△DAC 为等腰直角三角形．∴DC ＝2AC ＝2(2AB )＝2AB .连接BD ，交AC 于点M ，连接EM ，则DM MB ＝DC AB ＝2.在△BPD 中，PE EB ＝DM MB ＝2，∴PD ∥EM又PD ⊄平面EAC ，EM ⊂平面EAC ，∴PD ∥平面EAC .3．解 (1)因为e ＝c a ＝32，b ＝1，解得a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.设椭圆上点P (x 0，y 0)，有x 204＋y 20＝1，所以k 1²k 2＝y 0－1x 0²y 0＋1x 0＝y 20－1x 20＝－14. (2)因为M ，N 在直线l ：y ＝－2上，设M (x 1，－2)，N (x 2，－2)，由方程x 24＋y 2＝1知，A (0，1)，B (0，－1)，所以k BM ²k AN ＝－2－（－1）x 1－0²－2－1x 2－0＝3x 1x 2，又由(1)知k AN ²k BM ＝k 1²k 2＝－14，所以x 1x 2＝－12，不妨设x 1＜0，则x 2＞0，则MN ＝|x 1－x 2|＝x 2－x 1＝x 2＋12x 2≥2x 2²12x 2＝43， 所以当且仅当x 2＝－x 1＝23时，MN 取得最小值4 3.(3)设M (x 1，－2)，N (x 2，－2)，则以MN 为直径的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y ＋2)2＝0，即x 2＋(y ＋2)2－12－(x 1＋x 2)x ＝0，若圆过定点，则有x ＝0，x 2＋(y ＋2)2－12＝0，解得x ＝0，y ＝－2±23，所以，无论点P 如何变化，以MN 为直径的圆恒过定点(0，－2±23)．4．解 (1)当x ＝1时，f (1)＝P (1)＝39.当x ≥2时，f (x )＝P (x )－P (x －1)＝12x (x ＋1)(41－2x )－12(x －1)x (43－2x )＝3x (14－x )．∴f (x )＝－3x 2＋42x (x ≤12，x ∈N *)．(2)设月利润为h (x )，h (x )＝q (x )·g (x )＝⎩⎨⎧30e x （7－x ），1≤x ＜7，x ∈N *，103x 3－100x 2＋960x ，7≤x ≤12，x ∈N *，h ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30e x （6－x ），1≤x ＜7，x ∈N *，10（x －8）（x －12），7≤x ≤12，x ∈N *， ∵当1≤x ≤6时，h ′(x )≥0，当6＜x ＜7时，h ′(x )＜0，∴n (x )在[1，6]上单调递增，在(6，7)上单调递减，∴当1≤x ＜7且x ∈N *时，h (x )max ＝30e 6≈12 090，∵当7≤x ≤8时，h ′(x )≥0，当8≤x ≤12时，h ′(x )≤0， ∴当7≤x ≤12且x ∈N *时，h (x )max ＝h (8)≈2 987.综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12 090元．压轴题突破练(一)1．解 (1)设无穷等差数列{a n }的公差为d ，因为Sn 3＝(S n )3对任意正整数n 都成立，所以分别取n ＝1，n ＝2时，则有：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a 31，8a 1＋28d ＝（2a 1＋d ）3.因为数列{a n }的各项均为正整数，所以d ≥0.可得a 1＝1，d ＝0或d ＝2.当a 1＝1，d ＝0时，a n ＝1，Sn 3＝(S n )3成立；当a 1＝1，d ＝2时，S n ＝n 2，所以Sn 3＝(S n )3.因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为a n ＝1或a n ＝2n －1.(2)(ⅰ)记A n ＝{1，2，…，S n }，显然a 1＝S 1＝1.对于S 2＝a 1＋a 2＝1＋a 2，有A 2＝{1，2，…，S n }＝{1，a 2，1＋a 2，|1－a 2|}＝{1，2，3，4}，故1＋a 2＝4，所以a 2＝3.(ⅱ)由题意可知，集合{a 1，a 2，…，a n }按上述规则，共产生S n 个正整数．而集合{a 1，a 2，…，a n ，a n ＋1}按上述规则产生的S n ＋1个正整数中，除1，2，…，S n 这S n 个正整数外，还有a n －1，a n ＋1＋i ，|a n ＋1－i |(i ＝1，2，…，S n )，共2S n ＋1个数．所以，S n ＋1＝S n ＋(2S n ＋1)＝3S n ＋1.又S n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫S n ＋12， 所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12²3n －1－12＝12²3n －12. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12²3n －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12²3n －1－12＝3n －1. 而a 1＝1也满足a n ＝3n －1.所以，数列{a n }的通项公式是a n ＝3n －1.2．解 (1)因为f (x )≤f ′(x )，所以x 2－2x ＋1≤2a (1－x )，又因为－2≤x ≤－1，所以a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x ＋12（1－x ）max 在x ∈[－2，－1]时恒成立，因为x 2－2x ＋12（1－x ）＝1－x 2≤32，所以a ≥32.(2)因为f (x )＝|f ′(x )|，所以x 2＋2ax ＋1＝2|x ＋a |，所以(x ＋a )2－2|x ＋a |＋1－a 2＝0，则|x ＋a |＝1＋a 或|x ＋a |＝1－a .①当a ＜－1时，|x ＋a |＝1－a ，所以x ＝－1或x ＝1－2a ； ②当－1≤a ≤1时，|x ＋a |＝1－a 或|x ＋a |＝1＋a ，所以x ＝±1或x ＝1－2a 或x ＝－(1＋2a )；③当a ＞1时，|x ＋a |＝1＋a ，所以x ＝1或x ＝－(1＋2a )．(3)因为f (x )－f ′(x )＝(x －1)[x －(1－2a )]，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f ′（x ），f （x ）≥f ′（x ），f （x ），f （x ）＜f ′（x ），①若a ≥－12，则x ∈[2，4]时，f (x )≥f ′(x )，所以g (x )＝f ′(x )＝2x ＋2a ，从而g (x )的最小值为g (2)＝2a ＋4；②若 a ＜－32，则x ∈[2，4]时，f (x )＜f ′(x )，所以g (x )＝f (x )＝x 2＋2ax＋1，当－2≤a ＜－32时，g (x )的最小值为g (2)＝4a ＋5，当－4＜a ＜－2时，g (x )的最小值为g (－a )＝1－a 2，当a ≤－4时，g (x )的最小值为g (4)＝8a ＋17.③若－32≤a ＜－12，则x ∈[2，4]时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋1，x ∈[2，1－2a ）2x ＋2a ， x ∈[1－2a ，4] 当x ∈[2，1－2a )时，g (x )最小值为g (2)＝4a ＋5；当x ∈[1－2a ，4]时，g (x )最小值为g (1－2a )＝2－2a .因为－32≤a ＜－12，(4a ＋5)－(2－2a )＝6a ＋3＜0，所以g (x )最小值为4a ＋5，综上所述，[g (x )]min ＝⎩⎪⎨⎪⎧8a ＋17，a ≤－4，1－a 2，－4＜a ＜－2，4a ＋5，－2≤a ＜－12，2a ＋4，a ≥－12. 压轴题突破练(二)1．解 (1)由g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x ，得(x －ln x )a ≤x 2－2x .由于x ∈[1，e]，ln x ≤1≤x ，且等号不能同时取得，所以ln x ＜x ，x －ln x ＞0.从而a ≤x 2－2x x －ln x 恒成立，a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x x －ln x min. 设t (x )＝x 2－2x x －ln x，x ∈[1，e]． 求导，得t ′(x )＝（x －1）（x ＋2－2ln x ）（x －ln x ）2. x ∈[1，e]，x －1≥0，ln x ≤1，x ＋2－2ln x ＞0，从而t ′(x )≥0，t (x )在[1，e]上为增函数．所以t (x )min ＝t (1)＝－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1]．(2)F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x ＜1，a ln x ，x ≥1.设P (t ，F (t ))为曲线y ＝F (x )上的任意一点．假设曲线y ＝F (x )上存在一点Q (－t ，F (－t ))，使∠POQ 为钝角，则OP→²OQ →＜0. ①若t ≤－1，P (t ，－t 3＋t 2)，Q (－t ，a ln(－t ))，OP→²OQ →＝－t 2＋a ln(－t )²(－t 3＋t 2)．由于OP→²OQ →＜0恒成立，a (1－t )ln(－t )＜1. 当t ＝－1时，a (1－t )ln(－t )＜1恒成立．当t ＜－1时，a ＜1（1－t ）ln （－t ）恒成立．由于1（1－t ）ln （－t ）＞0，所以a ≤0.②若－1＜t ＜1，且t ≠0，P (t ，－t 3＋t 2)，Q (－t ，t 3＋t 2)，则OP→²OQ →＝－t 2＋(－t 3＋t 2)·(t 3＋t 2)＜0，即t 4－t 2＋1＞0对－1＜t ＜1，且t ≠0恒成立．③当t ≥1时，同①可得a ≤0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，0]．2．(1)解 ∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ，∴b 3＝－b 2－b 1＝－3b 1＝3，∴b 1＝－1.(2)证明 ∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ①，∴b n ＋3＝－b n ＋2－b n ＋1②，②－①得b n ＋3＝b n ，∴(b n ＋1b n ＋2b n ＋3＋n ＋1)－(b n b n ＋1b n ＋2＋n )＝b n ＋1b n ＋2²(b n ＋3－b n )＋1＝1为常数，∴数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列．(3)解 ∵T n ＋1＝T n ²b n ＋1＝T n －1b n b n ＋1＝T n －2b n －1²b n b n ＋1＝…＝b 1b 2b 3…b n ＋1当n ≥2时T n ＝b 1b 2b 2…b n (*)，当n ＝1时，T 1＝b 1适合(*)式 ∴T n ＝b 1b 2b 3…b n (n ∈N *)．∵b 1＝－12，b 2＝2b 1＝－1，b 3＝－3b 1＝32，b n ＋3＝b n ，∴T 1＝b 1＝－12，T 2＝T 1b 2＝12，T 3＝T 2b 3＝34，T 4＝T 3b 4＝T 3b 1＝34T 1，T 5＝T 4b 5＝T 2b 3b 4b 5＝T 2b 1b 2b 3＝34T 2，T 6＝T 5b 6＝T 3b 4b 5b 6＝T 3b 1b 2b 3＝34T 3，……T 3n ＋1＋T 3n ＋2＋T 3n ＋3＝T 3n －2b 3n －1b 3n b 3n ＋1＋ T 3n －1b 3n b 3n ＋1b 3n ＋2＋T 3n b 3n ＋1b 3n ＋2b 3n ＋3。

2016高考全国Ⅰ卷文数
（1）设集合，，则
（A）{1,3}（B）{3,5}（C）{5,7}（D）{1,7}
【答案】B
考点：集合运算
(2)设的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=
（A）−3（B）−2（C）2（D）3
【答案】A
【解析】
试题分析：，由已知，得，解得，选A.
考点：复数的概念
（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
（A）（B）（C）（D）
【答案】C
考点：古典概型
（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，，，则
b=
（A ）（B ）（C ）2（D ）3 【答案】D
【解析】 试题分析：由余弦定理得，解得（舍去），选D.
考点：余弦定理 （5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的41，则该
椭圆的离心率为
（A ）31（B ）21（C ）32（D ）43
【答案】B
【解析】 试题分析：如图，在椭圆中，
，
在中，，且，代入解得
，所以椭圆的离心率为：，故选B.
考点：椭圆的几何性质。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2016年山东，文1，5分】设集合{}{}1,2,3,4,5,6,1,3,5,{3,4,5}U A B ===，则()U A B =U ð（ ）（A ）{}2,6 （B ）{}3,6 （C ）{}1,3,4,5 （D ）{}1,2,4,6 【答案】A【解析】={1,34,5}A B U ，，()={2,6}U A B U ð，故选A ． 【点评】考查集合的并集及补集运算，难度较小．（2）【2016年山东，文2，5分】若复数21iz =-，其中i 为虚数单位，则z =（ ）（A ）2i - （B ）2i （C ）2- （D ）2 【答案】B【解析】22(1i)=1i 1i 2z -==+-，1i z =-，故选B ．【点评】复数的运算题目，考察复数的除法及共轭复数，难度较小． （3）【2016年山东，文3，5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为[)17.5,20，[)20,22.5，[)22.5,25，[)25,27.5，[]27.5,30．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22．5小时的人数是（ ） （A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）140 【答案】D【解析】由图可知组距为2．5，每周的自习时间少于22．5小时的频率为(0.020.1) 2.50.30+⨯=， 所以，每周自习时间不少于22．5小时的人数是()20010.30140⨯-=人，故选D ． 【点评】频率分布直方图题目，注意纵坐标为频率/组距，难度较小．（4）【2016年山东，文4，5分】若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22x y +的最大值是（ ）（A ）4（B ）9 （C ）10 （D ）12【答案】C 【解析】由22x y +是点(),x y 到原点距离的平方，故只需求出三直线的交点()()()0,2,0,3,3,1--，所以()3,1-是最优解，22x y +的最大值是10，故选C ．（5）【2016年山东，文5，5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ）1233+π （B ）1233+π （C ）1236+π （D ）216+π【答案】C【解析】由三视图可知，此几何体是一个正三棱锥和半球构成的，体积为3142112111+=+3323ππ⨯⨯⨯⨯（），故选C ．【点评】考察三视图以及几何体的体积公式，题面已知是半球和四棱锥，由三视图可看出是正四棱锥，难度较小． （6）【2016年山东，文6，5分】已知直线,a b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】若直线相交，一定有一个交点，该点一定同时属于两个平面，即两平面相交，所以是充分条件；两平面相交，平面内两条直线关系任意（平行、相交、异面），即充分不必要条件，故选A ．（7）【2016年山东，文7，5分】已知圆()22:200M x y ay a +-=>截直线0x y +=所得线段的长度是22，则圆M 与圆22:(1)+(1)=1N x y --的位置关系是（ ）（A ）内切 （B ）相交 （C ）外切 （D ）相离 【答案】B【解析】圆()22:200M x y ay a +-=>化成标准形式222()(0)x y a a a +-=>解法1：圆心(0, )a 到直线0x y +=的距离为2ad =，由勾股定理得2222a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 解得2,0,2a a a =±>∴=Q ，圆M 与圆22:(1)+(1)=1N x y --的圆心距为22(10)(12)2-+-=，圆M 半 径12R =，圆N 半径212121,2,R R R R R =-<<+∴Q 圆M 与圆N 相交，故选B ．解法2：直线0x y +=斜率为1-，倾斜角为135︒，可知2,2BM OB OM a ==∴==，B 点坐标为()1,1-，即为圆N 的圆心．圆心在圆M 中，且半径为1，即两圆相交，故选B ．（8）【2016年山东，文8，5分】ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知b c =，222(1sin )a b A =-，则A=（ ）（A ）34π （B ）3π （C ）4π （D ）6π【答案】C【解析】222222(1sinA),2cos 2(1sinA),a b b c bc A b =-∴+-=-Q 又b c =Q ，2222cos b b A ∴-22(1sin )b A =-，cos sin A A ∴=，在ABC ∆中，(0,),A 4A ππ∈∴=，故选C ．（9）【2016年山东，文9，5分】已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()6f =（ ）（A ）2- （B ）1- （C ）0 （D ）2 【答案】D【解析】由1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，知当12x >时，()f x 的周期为1，所以()()61f f =．又当11x -≤≤时，()()f x f x -=-，所以()()11f f =--．于是()()()()3611112f f f ⎡⎤==--=---=⎣⎦，故选D ．（10）【2016年山东，文10，5分】若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数具有T 性质的是（ ）（A ）sin y x = （B ）ln y x = （C ）x y e = （D ）3y x = 【答案】A【解析】因为函数ln y x =，x y e =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数；函数3y x =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直，即不具有T 性质，故选A ．第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分． （11）【2016年山东，文11，5分】执行右边的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的S 的值为 ． 【答案】1【解析】根据题目所给框图，当输入3n =时，依次执行程序为：1,0i S ==，021=21S =+--，13i =≥不成立，12i i =+=，213231S =-+-=-，23i =≥不成立，13i i =+=，3143211S =-+-=-=，33i =≥成立，故输出的S 的值为1．（12）【2016年山东，文12，5分】观察下列等式：2224sin sin 12333ππ--⎛⎫⎛⎫+=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222344sin sin sin sin 2355553ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222364sin sin sin sin 3477773ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222384sin sin sin sin 4599993ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……2222232sin sin sin sin 21212121n n n n n ππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ． 【答案】()413n n+【解析】由题干中各等式左端各项分母的特点及等式右端所表现出来的规律经过归纳推理即得．（13）【2016年山东，文13，5分】已知向量()1,1a =-r ，()6,4b =-r ．若()a tab ⊥+r r r，则实数t 的值为 ．【答案】5-【解析】由已知条件可得()6,4ta b t t +=+--r r，又因()a ta+b ⊥r r r 可得()=a ta+b ⋅r r r 0，即()()()6141642100t t t t t +⨯+--⨯-=+++=+=，即得5t =-．（14）【2016年山东，文14，5分】已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，,AB CD的中点为E 的两个焦点，且23AB BC =，则E 的离心率为 ．【答案】2【解析】由题意BC 2c =，所以2AB 3BC =，于是点3,2c c ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线E 上，代入方程，得2222914c c a b -=，在由222a b c +=得E 的离心率为2ce a==．（15）【2016年山东，文15，5分】在已知函数()2,24,x x mf x x mx m x m⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是 ．【答案】()3,+∞【解析】因为()224g x x mx m =-+的对称轴为x m =，所以x m >时()224f x x mx m =-+单调递增，只要b 大于()224g x x mx m =-+的最小值24m m -时，关于x 的方程()f x b =在x m >时有一根；又()h x x =在x m ≤，0m >时，存在实数b ，使方程()f x b =在x m ≤时有两个根，只需0b m <≤；故只需24m m m -<即可，解之，注意0m >，得3m >，故填()3+∞，． 三、解答题：本大题共6题，共75分．（16）【2016年山东，文16，12分】某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动，参加活动的儿 童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设 两次记录的数分别为x ，y ．奖励规矩如下：①若3xy ≤，则奖励玩具一个；②若8xy ≥，则奖 励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此活动．（1）求小亮获得玩具的概率； （2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解：（1）设获得玩具记为事件A ，获得水杯记为事件B ，获得一瓶饮料记为事件C ，转盘转动两次后获得的数据记为(),x y ，则基本事件空间为()()()()()()()()1,11,21,31,42,12,22,32,4、、、、、、、、()()()()()()()()3,13,23,33,44,14,24,34,4、、、、、、、共16种，事件A 为()()()()()1,11,21,32,13,1、、、、，共5种， 故小亮获得玩具的概率()516A P =． （2）事件B 为()()()()()()2,43,33,44,24,34,4、、、、、共6种，故小亮获得水杯的概率()63168B P ==，获得饮料的指针2431A概率()()()5116C A B P P P =--=．因为()()B C P P >，所以小亮获得水杯比获得饮料的概率大． （17）【2016年山东，文17，12分】设2())sin (sin cos )f x x x x x π=---．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，求6y g π⎛⎫= ⎪⎝⎭的值．解：（1）()()()2sin sin sin cos 2sin sin cos 2sin cos ()2sin 21f x x x x x x x x x x x x π=---=-+-+-sin 2212sin 2212sin 12213x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 所以单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦． （2）经变换()2sin1g x x =，6g π⎛⎫= ⎪⎝⎭（18）【2016年山东，文18，12分】在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，//EF DB ．（1）已知AB BC =，AE EC =．求证：AC FB ⊥；（2）已知G ，H 分别是EC 和FB 的中点．求证：//GH ABC 平面． 解：（1）连接ED ，AB BC =Q ，AE EC =．AEC ∴∆和ABC ∆为等腰三角形．又D Q 是AC 的中点，ED AC ∴⊥，BD AC ⊥；AC ∴⊥平面EDB ．又//EF DB Q ， ∴平面EDB 与平面EFBD 为相同平面；AC ∴⊥平面EFBD ．FB ⊆Q 平面EFBD ；AC FB ∴⊥． （2）取ED 中点I ，连接IG 和IH ．在EDC ∆中I 和G 为中点；//IG CD ∴．//EF DB Q ；∴四边形EFBD 为梯形．I Q 和H 分别 为ED 和FB 中点；//IH BD ∴．又IH Q 和IG 交与I 点，CD 与BD 交与D 点；∴平面//GIH 平面BDC ．又GH ⊆Q 平面GIH ； //GH ∴平面ABC ．（19）【2016年山东，文19，12分】已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ．解：（1）因为数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，所以111a =，当2n ≥时，221383(1)8(1)65n n n a S S n n n n n -=-=+----=+，又65n a n =+对1n =也成立，所以65n a n =+．又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则12n n n n a b b b d +=+=+．当1n =时，1211b d =-；当2n =时，2217b d =-，解得3d =，所以数列{}n b 的通项公式为312n n a db n -==+． （2）由111(1)(66)(33)2(2)(33)n n n n n n nn a n c n b n +++++===+⋅++，于是23416292122(33)2n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅L ， 两边同乘以２，得341226292(3)2(33)2n n n T n n ++=⋅+⋅++⋅++⋅L ，两式相减，得 2341262323232(33)2n n n T n ++-=⋅+⋅+⋅++⋅-+⋅L 22232(12)32(33)212n n n +⋅-=⋅+-+⋅-2221232(12)(33)232n n n n T n n ++=-+⋅-++⋅=⋅．（20）【2016年山东，文20，13分】设2()ln (21)f x x x ax a x =-+-，a R ∈．AA（1）令()'()g x f x =，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 取值范围． 解：（1）定义域()0+∞,，()()ln 1221g x f x x ax a '==+-+-，()12g x a x'=-． ①当0a ≤时，()0g x '>恒成立，()g x 在()0+∞,上单调递增； ②当0a >时，令()0g x '=，得12x a =．()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，当0a ≤时，单调递增区间为()0+∞,，当0a >时，单调递增区间为10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭， 单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． （2）∵()f x 在1x =处取得极大值，∴()10g =，ln112210a a +-+-=在a 取任何值时恒成立．①当0a ≤时，()g x 在()0+∞,上单调递增，即()0,1x ∈时，()0g x <；()1,x ∈+∞时，()0g x >， 此时()f x 在1x =处取得极小值，不符合题意；②当0a >时，()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．只需令112a <，即12a >．综上所述，a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（21）【2016年山东，文21，14分】已知椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的长轴长为4，焦距为（1）求椭圆C 的方程； （2）过动点()()0,0M m m >的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P （P 在第一象限），且M是线段PN 的中点，过点P 做x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B ．（i ）设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，'k ，证明'k k为定值；（ii ）求直线AB 的斜率的最小值．解：（1）由题意得222242a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22142x y +=．（2）（i ）设(,0),(,),N P P N x P x y 直线:+PA y kx m =，因为点N 为直线PA 与x 轴的交点，所以N mx k=-， 因为点()0,M m 为线段PN 的中点，所以00,22N P P x x y m ++==，得,2P P mx y m k==， 所以点,2m Q m k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()2=30m m k k m k--=--’，故3k k =-’为定值．（ii ）直线:+PA y kx m =与椭圆方程联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：222(21)4240k x kmx m +++-=，所以222222164(21)(24)328160k m k m k m ∆=-+-=-+>① 12122242,2121kmx mx x y y k k -+=+=++， 所以222264,(21)21k m m k m A k k k ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭，直线:3+QM y kx m =-与椭圆方程联立223142y kx mx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩， 得()22218112240k x kmx m +-+-=，所以121222122,181181km mx x y y k k +=+=++，所以()()22224916,181181m k k m m B k k k ⎛⎫++ ⎪- ⎪++⎝⎭，26131424B A ABB A y y k k k x x k k -+===+-， 因为点P 在椭圆上，所以2224142m m k +=，得2224k m =② 将②代入①得()2240k >+1恒成立， 所以20k ≥，所以0k ≥，所以3124AB k k k =+≥k =时取“=”）， 所以当k 时，AB k ．。

第三周规范练[题目15] 在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ；且b ＝4，A ＝π3，面积S ＝2 3. (1)求a 的值；(2)设f (x )＝2(cos C sin x －cos A cos x )，将f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)得到g (x )的图象，求g (x )的单调增区间．2016年____月____日(周一)[题目16] 已知函数f (x )＝2xx 2＋6.(1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围．2016年____月____日(周二)[题目17] 已知函数y ＝3x ＋134的图象上有一点列P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )，其中数列{x n }为等差数列，满足x 2＝－72，x 5＝－132. (1)求点P n 的坐标；(2)若抛物线列C 1，C 2，…，C n 分别以点P 1，P 2，…，P n 为顶点，且任意一条的对称轴均平行于y 轴，C n 与y 轴的交点为A n (0，n 2＋1)，记与抛物线C n 相切于点A n 的直线的斜率为k n ，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1k n ＋1k n 前n 项的和S n .2016年____月____日(周三)[题目18] 如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，AB ＝2，AD ＝2，BC ＝4，AA 1＝2，E 是DD 1的中点，F 是平面B 1C 1E 与直线AA 1的交点．(1)证明：①EF ∥A 1D 1； ②BA 1⊥平面B 1C 1EF ；(2)求BC 1与平面B 1C 1EF 所成的角的正弦值．2016年____月____日(周四)[题目19] 如图，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0，2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)． (1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2，证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．2016年____月____日(周五)[题目20]已知关于x的函数f(x)＝ln x＋a(x－1)2(a∈R)．(1)求函数f(x)在点P(1，0)处的切线方程；(2)若函数f(x)有极小值，试求a的取值范围；(3)若在区间[1，＋∞)上，函数f(x)不出现在直线y＝x－1的上方，试求a的最大值．2016年____月____日(周六)[题目21]一个袋中有4个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个．(1)求连续取两次都是白球的概率；(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，求连续取两次分数之和大于1分的概率．2016年____月____日(周日)[题目15] 解 (1)在△ABC 中，b ＝4，A ＝π3，S ＝23，∴S ＝12bc sin A ＝12×4c ×32＝23，则c ＝2， 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝16＋4－2×4×2cos π3＝12， ∴a ＝12＝2 3.(2)由正弦定理，得a sin A ＝csin C .∴sin C ＝c ·sin A a ＝2sin π323＝12.又由c <a ，得0<C <A ＝π3，∴C ＝π6，则f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6sin x －cos π3cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6sin x －sin π6cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6， 将函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，得函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象． 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，故g (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．[题目16] 解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)∵x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号．由已知f (x )≤t对任意x >0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.[题目17] 解 (1)设数列{x n }的公差为d ，则x 5－x 2＝3d ，∴－132－⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝3d ，则d ＝－1，x 1＝－52.故x n ＝－52＋(n －1)×(－1)＝－n －32，y n ＝3x n ＋134＝－3n －54.因此点P n 的坐标为P n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－n －32，－3n －54.(2)由题意，设C n 的方程为y ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2n ＋322－12n ＋54.将A n (0，n 2＋1)代入上式，整理得(a －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 2＋3n ＋94＝0，∴a ＝1.∴C n 的方程为：y ＝x 2＋(2n ＋3)x ＋n 2＋1. 所以y ′＝2x ＋2n ＋3，由导数的几何意义，k n ＝y ′|x ＝0＝2n ＋3.因此1k n ＋1k n ＝1（2n ＋5）（2n ＋3）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋5∴1k 1k 2＋1k 2k 3＋…＋1k n k n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋3－12n ＋5＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－12n ＋5＝n10n ＋25. [题目18] (1)证明 ①因为C 1B 1∥A 1D 1，C 1B 1⊄平面ADD 1A 1， 所以C 1B 1∥平面A 1D 1DA .又因为平面B 1C 1EF ∩平面A 1D 1DA ＝EF ， 所以C 1B 1∥EF ， 所以A 1D 1∥EF .②因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1， 所以BB 1⊥B 1C 1.又因为B 1C 1⊥B 1A 1，所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，所以B 1C 1⊥BA 1. 在矩形ABB 1A 1中，F 是AA 1的中点，tan ∠A 1B 1F ＝tan ∠AA 1B ＝22， 即∠A 1B 1F ＝∠AA 1B ，故BA 1⊥B 1F ，所以BA 1⊥平面B 1C 1EF . (2)解 设BA 1与B 1F 交点为H ，连接C 1H . 由(1)知BA 1⊥平面B 1C 1EF ，所以∠BC 1H 是BC 1与面B 1C 1EF 所成的角． 在矩形AA 1B 1B 中，AB ＝2，AA 1＝2，得BH ＝46，在Rt △BHC 1中，BC 1＝25，BH ＝46，得sin ∠BC 1H ＝BH BC 1＝3015，所以BC 1与平面B 1C 1EF 所成角的正弦值是3015.[题目19] 证明 (1)依题意可设AB 方程为y ＝kx ＋2， 代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8，直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ；BD 的方程为x ＝x 2.解得交点D 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 2，y ＝y 1x 2x 1.注意到x 1x 2＝－8及x 21＝4y 1，则有y ＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2，因此D 点在定直线y ＝－2(x ≠0)上．(2)依题设，切线l 的斜率存在且不等于0，设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y 得x 2＝4(ax ＋b )， 即x 2－4ax －4b ＝0，由Δ＝0得(4a )2＋16b ＝0， 化简整理得b ＝－a 2.故切线l 的方程可写为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2得N 1、N 2的坐标为 N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋a ，－2， 则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －a 2＋42－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a 2＝8， 即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.[题目20] 解 (1)易知，f ′(x )＝1x ＋2a (x －1)，x >0. ∴f ′(1)＝1，且f (1)＝0.所以f (x )在点P (1，0)处的切线方程为y ＝x －1.(2)f ′(x )＝2ax 2－2ax ＋1x，x >0.令g (x )＝2ax 2－2ax ＋1(x >0)．①当a ＝0时，f ′(x )＝0无实根，f (x )无极小值，②当a <0时，g (0)＝1，则g (x )＝0有唯一正实根，设为x 0. 当0<x <x 0时，g (x )>0，f ′(x )>0；x >x 0时，g (x )<0，f ′(x )<0. 此时f (x )没有极小值．③当a >0时，g (0)＝1>0.且函数g (x )图象关于x ＝12对称． 要使函数f (x )有极小值， 则Δ＝4a 2－8a >0，∴a >2.此时g (x )＝0有两解x 1，x 2(不妨设x 1<x 2)．当x 1<x <x 2时，g (x )<0，f ′(x )<0；当x >x 2时，g (x )>0，f ′(x )>0. ∴f (x )有极小值f (x 2)．综合①②③知，实数a 的取值范围为(2，＋∞)．(3)依题意，当x ≥1时，f (x )≤x －1，即ln x ＋a (x －1)2≤x －1. 下面证明：ln x ≤x －1(x ≥1)．设h (x )＝ln x －(x －1)＝ln x －x ＋1(x ≥1)．则h ′(x )＝1x －1＝1－x x 而h ′(x )≤0，h (x )在[1，＋∞)上递减． 故h (x )≤h (1)＝0，即ln x ≤x －1.①当a ≤0时，a (x －1)2≤0，则f (x )≤ln x ≤x －1.②当a >0时，取x >1＋1a ，则f (x )＝ln x ＋a (x －1)2>ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a －1(x －1)>ln 1＋x －1＝x －1，与题设矛盾．因此a ≤0，故a 的最大值为0.[题目21] 解 (1)设2个白球分别为白1、白2，则有放回地连续取两次所包含的基本事件有(红，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，黑)，(白1，红)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白1，黑)，(白2，红)，(白2，白1)，(白2，白2)，(白2，黑)，(黑，红)，(黑，白1)，(黑，白2)，(黑，黑)，所以基本事件的总数为16. 设事件A 为“连续取两次都是白球”，则事件A 所包含的基本事件有(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，共4种，所以，P (A )＝416＝14.(2)法一 由(1)知，连续取两次的事件总数为16，设事件B 为“连续取两次分数之和为0分”．则P (B )＝116， 设事件C 为“连续取两次分数之和为1分”．则P (C )＝416＝14，设事件D 为“连续取两次分数之和大于1分”，则P (D )＝1－P (B )－P (C )＝1116.法二 设事件B 为“连续取两次分数之和为2分”，则P (B )＝616；设事件C 为“连续取两次分数之和为3分”，则P (C )＝416；设事件D 为“连续取两次分数之和为4分”，则P (D )＝116；设事件E 为“连续取两次分数之和大于1分”，则P (E )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1116.薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。

2016年高考数学（文科、理科）真题汇总及答案详解文科数学(全国甲卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |x 2<9}，则A ∩B ＝( )A ．{－2，－1,0,1,2,3}B ．{－2，－1,0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{1,2}解析：选D.先化简集合B ，再利用交集定义求解．∵x 2<9，∴－3<x <3，∴B ＝{x |－3<x <3}．又A ＝{1,2,3}，∴A ∩B ＝{1,2,3}∩{x |－3<x <3}＝{1,2}，故选D.2．设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( )A ．－1＋2iB ．1－2iC ．3＋2iD ．3－2i解析：选C.先求复数z ，再利用共轭复数定义求z .由z ＋i ＝3－i 得z ＝3－2i ，∴z ＝3＋2i ，故选C. 3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 解析：选A.根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A ，ω与φ的值．由图象知T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝⎛⎭⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.故选A.4．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12π B.323π C ．8π D ．4π解析：选A.先利用正方体外接球直径等于正方体体对角线长求出球的半径，再用球的表面积公式求解．设正方体棱长为a ，则a 3＝8，所以a ＝2.所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π，故选A.5．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( ) A.12B ．1 C.32D ．2 解析：选D.根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用PF ⊥x 轴，知点P ，F 的横坐标相等，再根据点P 在曲线y ＝k x上求出k . ∵y 2＝4x ，∴F (1,0)．又∵曲线y ＝k x(k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴， ∴P (1,2)．将点P (1,2)的坐标代入y ＝k x(k >0)得k ＝2.故选D. 6．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．2解析：选A.将圆的方程化为标准方程，根据点到直线距离公式求解．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的标准方程为(x －1)2＋(y －4)2＝4，由圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1可知|a ＋4－1|a 2＋12＝1，解得a ＝－43，故选A. 7.右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：选C.根据三视图特征，将三视图还原为直观图，根据直观图特征求表面积． 由三视图可知，该几何体是由一个圆柱和一个圆锥组成的组合体，上面是一个圆锥，圆锥的高是23，底面半径是2，因此其母线长为4，下面圆柱的高是4，底面半径是2，因此该几何体的表面积是S ＝π×22＋2π×2×4＋π×2×4＝28π，故选C.8．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )A.710B.58C.38D.310解析：选B.利用几何概型的概率公式求解．如图，若该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为40－1540＝58，故选B. 9.。

绝密★启封并使用完毕前2016年普通高等学校招生全国统一考试 1文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目"与考生本人准考证号、姓名是否一致.2。

第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3。

考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x｜x=3n+2，n ∈N},B=｛6,8，12,14}，则集合A ⋂B中元素的个数为(A）5 （B）4 （C）3 （D)2（2）已知点A（0,1），B（3,2），向量AC=(—4，-3)，则向量BC=（A）（—7，-4）（B)（7，4） (C）（-1,4） (D）(1，4）（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=（A）-2—I (B)-2+I （C）2—I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4,5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110(D）120（5)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12,E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A,B是C的准线与E的两个焦点，则|AB｜= （A)3 （B）6 （C）9 (D)12（6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1。

【全套】全国新课标通用2016年高考数学（文）专题复习：题型专训目录第二部分 题型专训 (1)客观题限时练(一) (1)客观题限时练(二) (5)客观题限时练(三) (9)客观题限时练(四) (14)中档题满分练(一) (18)中档题满分练(二) (19)中档题满分练(三) (21)压轴题突破练 (24)参考答案 (25)第二部分 题型专训客观题限时练(一)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．集合A ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，B ＝{x |x 2－x ＞0}，则A ∩B ＝( )A ．(－∞，1]∪(2，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，2)C ．∅D ．(1，2]2．(2015·长沙模拟)已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z －2是实数，则实数t 等于( )A.34B.43 C ．－43 D ．－343．(2015·济南模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．则正确的结论是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．在△ABC 中，若sin A sin A cos C ＝cos A sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．(2015·西安质检)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)的频数分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为x －，则()A ．m e ＝m o ＝x －B ．m e ＝m o ＜x －C ．m e ＜m o ＜x －D ．m o ＜m e ＜x － 6．(2015·日照调研)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A.34B.14C.211 D ．47．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1，0)D ．[－1，0)8．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n )，q ＝(3，6)，则向量p 与q 共线的概率为( )A.118B.112C.19D.299．(2015·武汉质检)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )＞f (c )＞f (d )B ．f (b )＞f (a )＞f (e )C ．f (c )＞f (b )＞f (a )D ．f (c )＞f (e )＞f (d )10．设数列{a n }是首项为－12，公差为d (d ≠0)的等差数列，S n 是其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则公差d 的值为( )A ．－1B ．－12 C.18 D.1211．(2015·衡水中学质检)当向量a ＝c ＝(－2，2)，b ＝(1，0)时，执行如图所示的程序框图，输出的i 值为( )A ．2B ．3C ．4D ．512．(2015·郑州一中模拟)设双曲线x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为2，且一个焦点与抛物线x 2＝8y 的焦点相同，则此双曲线的方程为( ) A.x 23－y 2＝1B.x 24－y 212＝1 C ．y 2－x 23＝1 D.y 212－x 24＝1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13．(2015·巴蜀中学一模)公共汽车在8：00到8：20内随机地到达某站，某人8：15到达该站，则他能等到公共汽车的概率为________．14．(2015·莱芜调研)直线y ＝x ＋1被圆x 2－2x ＋y 2－3＝0所截得的弦长等于________．15．(2015·西安调研)某圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为π3的扇形，则该几何体的体积为________．16．(2015·莱芜质检)设函数f (x )的定义域为R ，若存在常数ω＞0，使|f (x )|≤ω|x |对一切实数x 均成立，则称f (x )为“条件约束函数”．现给出下列函数：①f (x )＝4x ；②f (x )＝x 2＋2；③f (x )＝2x x 2－2x ＋5；④f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切x 1，x 2均有|f (x 1)－f (x 2)|≤ 4|x 1－x 2|.其中是“条件约束函数”的序号是________(写出符合条件的全部序号)．客观题限时练(二)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．计算⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 2 0152＋i ＝( ) A. 2B.223 C ．2 2 D ．12．(2015·济南模拟)已知集合M ＝{x |x 2－2x －3≥0}，N ＝{x |x ＞a }．若∁R M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，－1)C ．[3，＋∞)D ．(3，＋∞)3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈[－1，0)时，f (x )＝x＋3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．－32B ．－52C ．－72D ．－24．(2015·沈阳市四校联考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如右图所示，则该四棱锥的侧面积和体积分别是( )A ．45，8B ．45，83C ．4(5＋1)，83D ．8，85．(2015·青岛质检)已知函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π12个单位后，得到函数g (x )的图象，则“φ＝－π6”是“g (x )为偶函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6．(2015·济南调研)某餐厅的原料费支出x 与销售额y (单位：万元)之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为y ^＝8.5x ＋7.5，则表中的m 的值为( )A.50 B ．55 C ．60D ．65 7.如果执行右侧的程序框图，那么输出的S 的值为( )A ．1 740B ．1 800C ．1 860D ．1 9848．(2015·北京东城区质检)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－129．(2015·山东高考)为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④10．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln nB ．2＋(n －1)ln nC ．2＋n ln nD ．1＋n ＋ln n11．(2015·济南调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点(3，0)，且一条渐近线被圆(x －3)2＋y 2＝8截得的弦长为4，则此双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±255xC ．y ＝±663xD ．y ＝±26x12．若直角坐标系中有两点P ，Q 满足条件：(1)P 、Q 分别在函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象上，(2)P 、Q 关于点(1，0)对称，则对称点对(P ，Q )是一个“和谐点对”．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx ( －2≤x ≤4)的图象中“和谐点对”的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13.(2014·福建高考)如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．14．若等边△ABC 的边长为1，平面内一点M 满足CM →＝13CB →＋12CA →，则MA →·MB →＝________．15．在椭圆x 216＋y 29＝1内，通过点M (1，1)且被这点平分的弦所在的直线方程为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．客观题限时练(三)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图所示，在复平面内，向量OA→对应的复数为z，则复数z2·i＝()A．－3－4i B．5＋4iC．4＋3i D．3－4i2．设全集U＝R，A＝{x|x(x－2)＜0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x≤1} D．{x|x≤1}3．(2015·莱芜调研)在数列{a n}中，已知S1＝1，S2＝2，且S n＋1＋2S n＝3S n(n≥2且n∈N*)，则此数列为()－1A．等差数列B．等比数列C．从第二项起为等差数列D．从第二项起为等比数列4．下列函数中，对于任意x∈R，同时满足条件f(x)＝f(－x)和f(x－π)＝f(x)的函数是()A．f(x)＝sin x B．f(x)＝sin x cos xC ．f (x )＝cos xD ．f (x )＝cos 2x －sin 2x 5．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝3，∠ABC ＝60°，AD 是边BC 上的高，则AD →·AC →的值等于( )A ．－94B.94C.274 D ．9 6．(2015·日照质检)执行如图所示的程序框图，输出的k 值为( )A ．7B ．9C ．11D ．13 7．在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a 2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图象不可能的是( )8．某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π49．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线一个交点是P ，且△F 1PF 2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．510．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )A ．5B ．4 C. 5 D ．211．(2015·福建高考)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1，0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x ＜0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.1212．设函数f (x )的定义域为D ，若任取x 1∈D ，存在唯一的x 2∈D 满足f （x 1）＋f （x 2）2＝M ，则称M 为函数y ＝f (x )在D 上的均值，给出下列五个函数：①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝4sin x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝e x ，则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为( )A ．①③B ．①④C ．①④⑤D ．②③④ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13.(2015·南京调研)如图是某电视台青年歌手大奖赛上七位评委给某选手打出的分数茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，若这组数据的中位数与平均数相等，则m ＝________．14．(2015·济南质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．15．已知偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，若关于x的方程f(x)＝|log a|x||(a＞0，a≠1)在[－2，3]上有5个根，则a的取值范围是________．16．(2015·天津高考)已知函数f(x)＝ax ln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．客观题限时练(四)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z满足i z＝2＋4i，则z在复平面内对应的点的坐标是() A．(4，2) B．(2，－4)C．(2，4) D．(4，－2)2．已知集合M＝{x|y＝lg(2x－x2)}，N＝{x|x2＋y2＝1}，则M∩N＝()A．[－1，2) B．(0，1)C．(0，1] D．∅3．(2015·湖南高考)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A.23π＋6B.113πC.116πD.23＋6π5．(2015·西安模拟)已知函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)的图象与直线y ＝1的相邻交点之间的距离为π，f (x )的图象向左平移π6个单位后，得到函数y ＝g (x )的图象，下列关于y ＝g (x )的说法正确的是( )A ．图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0中心对称 B ．图象关于x ＝－π6对称C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6上单调递增 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π3上单调递减 6．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x 1，x 2，…，x 10，其均值和方差分别为x －和s 2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A.x －，s 2＋1002B.x －＋100，s 2＋1002C.x －，s 2D.x －＋100，s 2 7．(2015·湛江市调研)在△ABC 中，边a 、b 所对的角分别为A 、B ，若cos A ＝－35，B ＝π6，b ＝1，则a ＝( )A.85B.45C.165D.588．(2015·衡水调研)a 为如图所示的程序框图中输出的结果，则 cos(a π－θ)的结果是( )A ．cos θB ．－cos θC ．sin θD ．－sin θ9．(2015·济南模拟)若至少存在一个x (x ≥0)，使得关于x 的不等式x 2≤4－|2x －m |成立，则实数m 的取值范围为( )A ．[－4，5]B ．[－5，5]C ．[4，5]D ．[－5，4]10．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点)，且|PF 1|＝3|PF 2|，则双曲线的离心率为( ) A.2＋12B.2＋1C.3＋12D.3＋111．(2015·北京海淀区调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若函数f (x )＝13x 3＋bx 2＋(a 2＋c 2－ac )x ＋1有极值点，则∠B 的范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π 12．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填写在题中的横线上)13．已知不共线的平面向量a ，b 满足a ＝(－2，2)，(a ＋b )⊥(a －b )，那么|b |＝________．14．(2015·潍坊质检)在数列{a n }中，已知a 2＝4，a 3＝15，且数列{a n ＋n }是等比数列，则a n ＝________．15．(2015·河北石家庄二模)动点P (a ，b )在区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ≥0，y ≥0上运动，则ω＝a ＋b －3a －1的取值范围是________． 16．(2015·南京调研)定义域是R 的函数，其图象是连续不断的，若存在常数λ(λ∈R )使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是R 上的一个“λ的相关函数”．有下列关于“λ的相关函数”的结论：①f (x )＝0是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”；②f (x )＝x 2是一个“λ的相关函数”；③“12的相关函数”至少有一个零点；④若y ＝e x 是“λ的相关函数”，则－1＜λ＜0.其中正确的命题序号是________．中档题满分练(一)1．(2015·山东高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos B ＝33，sin (A ＋B )＝69，ac ＝23， 求sin A 和c 的值．2．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率．3.在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论．4．(2015·湖北高考)设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1) 求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2) 当d>1时，记c n＝a nb n，求数列{c n}的前n项和T n. 中档题满分练(二)1．已知函数f(x)＝2a sin ωx cos ωx＋23cos2ωx－3(a＞0，ω＞0)的最大值为2，且最小正周期为π.(1)求函数f(x)的解析式及其对称轴方程；(2)若f (α)＝43，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫4α＋π6的值．2．(2015·西安调研)对于给定数列{a n }，如果存在实常数p ，q ，使得a n ＋1＝pa n ＋q 对于任意n ∈N *都成立，我们称数列{a n }是“M 类数列”．(1)已知数列{b n }是“M 类数列”且b n ＝3n ，求它对应的实常数p ，q 的值；(2)若数列{c n }满足c 1＝－1，c n －c n ＋1＝2n (n ∈N *)，求数列{c n }的通项公式，判断{c n }是否为“M 类数列”并说明理由．3.如图，四棱锥P ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．4．某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b－)，(a，b)，(a－，b)，(a－，b－)，(a，b)，(a，b)，(a，b－)，(a－，b)，(a，b－)，(a－，b－)，(a，b)，(a，b－)，(a－，b)，(a，b)其中a，a－分别表示甲组研发成功和失败；b，b－分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．中档题满分练(三)1．已知向量a＝(2sin x，－cos x)，b＝(3cos x，2cos x)，f(x)＝a·b＋(1)求函数f (x )的最小正周期，并求当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时f (x )的取值范围；(2)将函数f (x )的图象向左平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝2，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．2．(2015·安徽高考)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]．(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率．3．(2015·浙江高考)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为B 1C 1的中点．(1)证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；(2)求直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值．4．(2015·无锡质检)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，已知点(a n －1，a n )(n ∈N *，n ≥2)在函数y ＝3x 的图象上，且S 4＝80.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在a n 与a n ＋1之间插入n 个数，使这n ＋2个数组成公差为d n 的等差数列，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1d n 的前n 项和为P n .①求P n；②若16P n＋6n3n≤40027成立，求n的最大正整数值．压轴题突破练1．(2015·四川高考)已知函数f(x)＝－2x ln x＋x2－2ax＋a2，其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数，讨论g(x)的单调性；(2)证明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在区间(1，＋∞)内有唯一解．2．(2015·北京高考)已知椭圆C：x2＋3y2＝3，过点D(1，0)且不过点E(2，1)的直线与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x＝3交于点M.(1)求椭圆C的离心率；(2)若AB垂直于x轴，求直线BM的斜率；(3)试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．3．(2015·浙江高考)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )．(1)当b ＝a 24＋1时，求函数f (x )在[－1，1]上的最小值g (a )的表达式；(2)已知函数f (x )在[－1，1]上存在零点，0≤b －2a ≤1，求b 的取值范围．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ，半焦距为c ，B (0，1)为其上顶点，且a 2，c 2，b 2依次成等差数列．(1)求椭圆的标准方程和离心率e ；(2)P ，Q 为椭圆上的两个不同的动点，且k BP ·k BQ ＝e 2.(ⅰ)试证直线PQ 过定点M ，并求出M 点坐标；(ⅱ)△PBQ 是否可以为直角三角形？若是，请求出直线PQ 的斜率；否则请说明理由．参考答案第二部分 题型专训客观题限时练(一)1．D [易知A ＝[0，2]，B ＝{x |x ＜0或x ＞1}．∴A ∩B ＝(1，2]．]2．A [求出z 1·z －2的虚部，令其为0，∵复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，∴z 1·z －2＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ，∵z 1·z －2是实数，∴4t －3＝0，∴t ＝34.] 3．D [将直线类比到平面，可知①、④正确．]4．A [∵sin A －sin A cos C ＝cos A sin C ，∴sin A ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin(A ＋C )．由于A ，A ＋C ∈(0，π)．所以A ＝π－(A ＋C )，又B ＝π－(A ＋C )，因此A ＝B ，△ABC 为等腰三角形．]5．D [由频数分布直方图知，众数m o ＝5，中位数m e ＝5＋62＝5.5，平均数x ＝2×（3＋8＋9＋10）＋3×（4＋7）＋10×5＋6×630＝17930≈5.97.因此x ＞m e ＞m o .]6．B[先画出x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a 的可行域如图，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝2，得B (1，1)；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝x ，得C (a ，a )，平移直线2x ＋y ＝0，当直线过点C (a ，a )时，目标函数z ＝2x ＋y 有最小值，且z min ＝3a ；当直线过点B (1，1)时，函数z ＝x ＋y 取最大值，且z max ＝3.依题意，得3＝4×3a ，则a ＝14.]7．D [当x ＞0时，2x －1＝0，得x ＝12，依题意知，当x ≤0时，e x＋a ＝0必须有实根．∴x ＝ln(－a )≤0，则1≥－a ＞0，所以－1≤a ＜0.]8．B [抛两次骰子共有36个基本事件，由向量p 与q 共线得6m ＝3n ，即2m ＝n ，符合要求的(m ，n )有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共3种情况，则向量p 与q 共线的概率为336＝112.]9．C [依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )＞0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0. 因此，函数f (x )在(－∞，c )上是增函数，在(c ，e )上是减函数，在(e ，＋∞)上是增函数，又a ＜b ＜c ，所以f (c )＞f (b )＞f (a )，选C.]10．A [∵{a n }是首项为－12的等差数列，∴S n ＝－12n ＋n （n －1）2d ，又S 1，S 2，S 4成等比数列． ∴(－1＋d )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·(－2＋6d )，即d 2＋d ＝0，解之得d ＝0，或 d ＝－1，由于d ≠0，从而d ＝－1.]11．C [执行一次循环后，i ＝1，c ＝(－2，2)＋(1，0)＝(－1，2)； 执行两次循环后，i ＝2，c ＝(－1，2)＋(1，0)＝(0，2)；执行第三次循环后，i ＝3，c ＝(0，2)＋(1，0)＝(1，2)；执行第四次循环后，i ＝4，c ＝(1，2)＋(1，0)＝(2，2)；此时a·c ＝(－2，2)·(2，2)＝0，输出i ＝4.]12．C [抛物线x 2＝8y 的焦点为F (0，2)，∴双曲线的焦点在y 轴上，且c ＝2，显然A 、B 不满足，验证选项C 、D ，方程y 2－x 23＝1满足．] 13.14 [该人能等到公共汽车的概率为20－1520－0＝14.] 14．22 [圆(x －1)2＋y 2＝4的圆心C (1，0)，半径r ＝2，∴圆心C (1，0)到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|1－0＋1|2＝2， 因此所求弦长为2r 2－d 2＝2 2.]15．2π [由三视图知，该几何体是底面为扇形面的柱体(如图)．∵S 底＝12·r 2·α＝12×22×π3＝2π3，∴V 柱体＝3·S 底＝2π.]16．①③④ [显然①f (x )＝4x 满足|f (x )|＝4|x |，f (x )为“条件约束函数”．②f (x )＝x 2＋2，取|x |＞ω时，|f (x )|＝x 2＋2＞ω|x |＋2＞ω|x |，∴②中f (x )不是“条件约束函数”．③中，x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥4，则|f (x )|≤|2x |4＝12|x |，满足条件． ④中，由于y ＝f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0，令x 1＝x ，x 2＝0，则|f (x 1)－f (x 2)|≤4|x 1－x 2|⇒|f (x )|≤4|x |.综上可知①③④中函数为“条件约束函数”．]客观题限时练(二)1．D [⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 2 0152＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 32＋i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i 2＋i ＝1.] 2．A [由x 2－2x －3≥0，得x ≥3或x ≤－1，∴M ＝{x |x ≥3或 x ≤－1}，则∁R M ＝{x |－1<x <3}．由于∁R M ⊆N ，得a ≤－1.]3．B [由于f (x )在R 上为奇函数，且当x ∈[－1，0)时，f (x )＝x ＋3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3＝－52.] 4．B [由题意得该四棱锥为正四棱锥，其侧棱长为6，四棱锥的高为2，底面正方形的边长为2，因此，其侧面积为12×（6）2－12×2×4＝45，其体积为13×22×2＝83.]5．A [依题意，得g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ，g (x )为偶函数⇔π6＋φ＝k π，φ＝k π－π6，k ∈Z ，所以“φ＝－π6”是“g (x )为偶函数”的充分不必要条件．]6．C [由表格知：x －＝5，y －＝190＋m 5.又回归直线y ^＝8.5x ＋7.5过点(x －，y －)．∴190＋m 5＝8.5×5＋7.5，解得m ＝60.]7．C [由程序框图知，输出的S ＝4(1＋2＋3＋…＋30)＝4×（1＋30）×302＝1 860.] 8．D [如图作出可行域，平移l 0：y －x ＝0，过点A 时，z 取最小值，此时x ＝－2k ，y ＝0，所以0＋2k ＝－4，解得k ＝－12.]9．B [甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，故选B.]10．A [由已知得a n ＋1－a n ＝ln(n ＋1)－ln n ，所以a 2－a 1＝ln 2－ln 1，a 3－a 2＝ln 3－ln 2，a 4－a 3＝ln 4－ln 3，…，a n －a n －1＝ln n －ln(n －1)，以上(n －1)个式子左右分别相加，得a n －a 1＝ln n ，所以a n ＝2＋ln n ．故选A.]11．B [在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，c ＝3，且bx －ay ＝0是一条渐近线，又bx －ay ＝0被圆(x －3)2＋y 2＝8截得的弦长为4，∴圆心(3，0)到bx－ay ＝0的距离d ＝8－22＝2，则|3b |a 2＋b 2＝2，即3b c ＝2，b ＝2.从而a ＝c 2－b 2＝5，故渐近线方程为y ＝±b a x ＝±255x .]12．C [依题意，若P (x ，y )，则Q (2－x ，－y )，(P ，Q )为“和谐点对”．∵点P 、Q 分别在y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)，y ＝11－x 的图象上．∴y ＝2sin πx ，－y ＝1x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫即y ＝－1x －1， 在同一坐标系中，作y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)与y ＝－1x －1的图象，可知，两图象有4个交点，故“和谐点对”(P ，Q )有4个．] 13．0.18 [依题意，得S 阴影S 正方形＝1801 000，所以S 阴影1×1＝1801 000，解得S阴影＝0.18.]14．－29 [如图所示，∵CM →＝13CB →＋12CA →，∴MA →＝CA →－CM →＝12CA →－13CB →，MB →＝CB →－CM →＝23CB →－12CA →.又CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos 60°＝12，∴MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12CA →－13CB → ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23CB →－12CA →＝－14CA →2－29CB →2＋12CA →·CB →＝－29.]15．9x ＋16y －25＝0 [设过点M (1，1)的弦交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)．则x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减（x 1－x 2）（x 1＋x 2）16＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）9.又x 1＋x 2＝2，且y 1＋y 2＝2， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－9（y 1＋y 2）16（x 1＋x 2）＝－916. 故所求直线的方程为y －1＝－916(x －1)， 即9x ＋16y －25＝0.]16．－3 [由曲线y ＝ax 2＋bx 过点P (2，－5)可得－5＝4a ＋b2 (1)．又y ′＝2ax －b x 2，所以在点P 处的切线斜率4a －b 4＝－72(2)． 由(1)(2)解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.]客观题限时练(三)1．C [由复数的几何意义，OA →对应复数z ＝－2＋i ，∴z 2·i ＝(－2＋i)2·i ＝(3－4i)·i ＝4＋3i.]2．B [A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜1}，∴∁U B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}．]3．D [∵S n ＋1＋2S n －1＝3S n (n ≥2)，∴S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1), 即a n ＋1＝2a n (n ≥2)．又a 2＝S 2－S 1＝1≠0，∴当n ≥2时，{a n }为等比数列，且公比为2，又a 1＝1，a 2＝1，则a 2a 1≠2，因此D 正确．]4．D [由f (x )＝f (－x )知f (x )为偶函数，又f (x －π)＝f (x )，∴f (－x －π)＝f (－x )，则f (x ＋π)＝f (x )，∴y ＝f (x )的最小正周期为π.在选项D 中，f (x )＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x 为偶函数，且最小正周期为π.]5．C [由于|AB →|＝|BC →|，∠ABC ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．∴|AD →|＝|AB →|sin 60°＝332，且〈AD →，AC →〉＝30°，因此AD →·AC →＝|AD →||AC →|cos 30°＝332×3×32＝274.]6．C [由程序框图知，S ＝lg 13＋lg 35＋lg 57＋…＋lg k k ＋2＝lg 1k ＋2，令S＝lg1k ＋2＜－1，解得k ＞8(k ∈N *)，此时k ＋2＞10，即k ＝11(k ∈N *)．] 7．B [当a ＝0时，函数为y ＝－x 与y ＝x ，图象为D ，故D 有可能．当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x ＋a 2的对称轴为x ＝12a ，对函数y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a ，求导得y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －1)(ax －1)，令y ′＝0，则x 1＝13a ，x 2＝1a .所以对称轴x ＝12a 介于两个极值点x 1＝13a ，x 2＝1a 之间，A ，C 满足，B 不满足，所以B 是不可能的．故选B.]8．B [根据俯视图可得这是一个切割后的几何体，再结合另外两个视图，得到几何体．这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V ＝23－14×π×12×2×2＝8－π.]9．D [不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ，① 又2|PF 1|＝|PF 2|＋2c ，② 联立①，②得|PF 1|＝2c －2a ，则|PF 2|＝2c －4a ，依题意∠F 1PF 2＝90°， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，即4(c －a )2＋4(c －2a )2＝4c 2.则(c －a )(c －5a )＝0， ∴c ＝5a ，故离心率e ＝ca ＝5.]10．B [法一 线性约束条件所表示的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以z ＝ax ＋by 在A (2，1)处取得最小值，故2a ＋b ＝25，a 2＋b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4. 法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2，1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0，0)到点(a ，b )的距离的平方，故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|22＋12＝2，所以a 2＋b 2的最小值是4.]11．B [由图形知C (1，2)，D (－2，2)， ∴S 四边形ABCD ＝6，S 阴＝12×3×1＝32. ∴P ＝326＝14.]12．B [由于y ＝x 2，y ＝e x 的值域分别为[0，＋∞)和(0，＋∞)， 当f (x 1)＞4时，则f (x 2)＝4－f (x 1)＜0，x 2不存在．因此②y ＝x 2，⑤y ＝e x 不满足均值为2.又③y ＝4sin x 为周期函数，则x 2不唯一，③不满足．由于①y ＝x 与④y ＝ln x 的值域为R ，且在(－∞，＋∞)上单调，因此①④满足．]13．0 [由茎叶图知，中位数为86.根据题意，有 78＋84＋85＋86＋87＋92＋90＋m7＝86，解得m ＝0.] 14．－14 [因为2sin B ＝3sin C ，所以2b ＝3c ，联立b －c ＝14a ，解得b ＝3c2，a ＝2c ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14.]15.⎝⎛⎦⎥⎤0，13∪[3，＋∞) [由f (x －1)＝f (x ＋1)知y ＝f (x )的最小正周期T＝2，在同一坐标系中作y ＝f (x )，x ∈[－2，3]与y ＝|log a |x ||的图象，由于方程f (x )＝|log a |x ||在x ∈[－2，3]上有5个根，∴y ＝f (x )，x ∈[－2，3]与y ＝|log a |x ||的图象有5个交点．根据图象特征，应有|log a 3|≤1，则a ≥3或0＜a ≤13.]16．3 [f ′(x )＝a ln x ＋ax ·1x ＝a (ln x ＋1)，由f ′(1)＝3得，a (ln 1＋1)＝3，解得a ＝3.]客观题限时练(四)1． D [∵z ＝2＋4i i ＝4＋2i ＝4－2i ，∴复数z 对应的点的坐标是(4，－2)．]2．C [由2x －x 2＞0，得0＜x ＜2，则M ＝(0，2)． 又N ＝{x |x 2＋y 2＝1}＝{x |x 2≤1}＝[－1，1]， 所以M ∩N ＝(0，1]．]3．C [由x ＞1知，x 3＞1；由x 3＞1可推出x ＞1.故选C.]4．C [由三视图可知，该几何体为半圆柱与半圆锥的组合体(如图)．∵S 底＝12×π×12＝π2，所以几何体的体积V ＝3×π2＋13×2×π2＝116π.]5．C [由T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，则f (x )＝sin 2x ，依题意，g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3≠0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0≠±1， ∴选项A 、B 不正确．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z .∴g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，－π6上是增函数．]6．D [对平均数和方差的意义深入理解可巧解．因为每个数据都加上了100，故平均数也增加100，而离散程度应保持不变，故选D.] 7．A [由题意得，0＜A ＜π，sin A ＞0， 故sin A ＝1－cos 2A ＝45.由正弦定理知，a sin A ＝b sin B ⇒a ＝sin A ×b sin B ＝45×1sin π6＝85.]8．B [根据执行语句a ＝11－a 及a ＝2知，a 的取值具有周期性，且最小正周期T ＝3.当i ＝2 014时，执行循环体，a ＝－1，则i ＝2 015， 这时i ＝2 015不满足条件i ＜2 015，输出a ＝－1， 因此cos(a π－θ)＝cos(－π－θ)＝－cos θ.] 9．A [若m ＝－5时，由x 2≤4－|2x －m |(x ≥0)，得 x 2≤4－(2x ＋5)，则x 2＋2x ＋1≤0，∴(x ＋1)2≤0在[0，＋∞)上无解，m ＝－5不满足． 若m ＝－4时，由条件，得x 2≤4－(2x ＋4)，∴x 2＋2x ≤0，则－2≤x ≤0在[0，＋∞)上有解x ＝0. ∴当m ＝－4时，满足题设要求，比较选项，可知A 正确．] 10．D [∵(OP →＋OF →2)·F 2P →＝0，且F 2P →＝OP →－OF →2， ∴OP→2－OF →22＝0，则|OP →|＝|OF →2|.在△F 1PF 2中，|OP →|＝|OF →2|＝|OF →1|， 则∠F 1PF 2＝90°.又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝3|PF 2|，得|PF 2|＝2a3－1＝(3＋1)a ，|PF 1|＝(3＋3)a .由勾股定理，得|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.∴[(3＋1)2＋(3＋3)2]a 2＝4c 2，则c 2＝(4＋23)a 2.因此e ＝c a ＝4＋23＝3＋1.]11．C [f ′(x )＝x 2＋2bx ＋a 2＋c 2－ac ，且f (x )有极值点，∴方程f ′(x )＝0有两个不相等实根，Δ＝4b 2－4(a 2＋c 2－ac )＞0， 则ac ＞a 2＋c 2－b 2.由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＜12，又y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，因此π3＜B ＜π.]12．A [若a ≤1，f (a )＝2a －1－2＝－3，2a －1＝－1无解； 若a >1，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7， f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74.]13．22 [∵(a ＋b )⊥(a －b )，且a ＝(－2，2)，∴(a ＋b )·(a －b )＝0， 则a 2＝b 2，|b |＝|a |＝2 2.]14．2·3n －1－n [由a 2＝4，a 3＝15， 得a 2＋2＝6，a 3＋3＝18. 又数列{a n ＋n }是等比数列， ∴公比q ＝a 3＋3a 2＋2＝3，首项a 1＋1＝63＝2. 因此a n ＋n ＝2·3n －1， 故a n ＝2·3n －1－n .]15．(－∞，－1]∪[3，＋∞) [画出可行域如图，w ＝1＋b －2a －1，设k ＝b －2a －1，则k ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以w ＝a ＋b －3a －1的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．]16．③④ [①不正确，设f (x )＝c (常数)，则c ＋λc ＝0. ∴当λ＝－1时，f (x )＝c 均是R 上的“λ相关函数”．②不正确，假设f (x )＝x 2是“λ的相关函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，即x 2(1＋λ)＋2λx ＋λ2＝0对x ∈R 恒成立，应有1＋λ＝0且2λ＝0，无实解．③正确，当λ＝12时，有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12f (x )＝0.若f (x )＝0，则y ＝f (x )有零点． 若f (x )≠0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝－12f (x )，∴f (x )·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＜0. 从而y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫x ，x ＋12内有零点．④当f (x )＝e x 时，依题意e x ＋λ＋λe x ＝0对x ∈R 恒成立． ∴λ＝－e λ，则λ＜0，从而－e λ＞－1， 因此－1＜λ＜0，命题④正确． 综合①②不正确，③④正确．]中档题满分练(一)1．解 在△ABC 中，由cos B ＝33，得sin B ＝63， 因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝69.因为sin C ＜sin B ，所以C ＜B ，可知C 为锐角． 所以cos C ＝539.因此sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝63×539＋33×69＝223.由a sin A ＝csin C ，可得a ＝c sin A sin C ＝223c 69＝23c ， 又ac ＝23，所以c ＝1.2．解 (1)由题意，(a ，b ，c )所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”为事件A ，则事件A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．所以P (A )＝327＝19.因此，“抽取的卡片上的数字满足a ＋b ＝c ”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”为事件B ， 则事件B －包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．所以P (B )＝1－P (B －)＝1－327＝89. 因此，“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率为89.3．(1)证明 因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ，AC 为平面ABC 内两条相交直线，所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1，AC 为平面ACC 1A 1内两条相交直线， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)解 取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知可知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以，MD 綉12AC ，OE 綉12AC ，因此MD 綉OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .4．解 (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝29. 故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或 ⎩⎨⎧a n ＝19（2n ＋79），b n ＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1. (2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是 T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －32n －1＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1. 中档题满分练(二)1． 解 (1)f (x )＝a sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝a 2＋3sin(2ωx ＋φ)(其中cos φ＝a a 2＋3，sin φ＝3a 2＋3)， 由题意知：f (x )的最小正周期为π，由2π2ω＝π，知ω＝1， 由f (x )最大值为2，故a 2＋3＝2，又a ＞0，∴a ＝1，则有cos φ＝12，sin φ＝32，取φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．故f (x )的对称轴方程为x ＝π12＋k π2(k ∈Z )．(2)由f (α)＝43知2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝43， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝23， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π2＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3 ＝－1＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝－19. 2．解 (1) ∵b n ＝3n ，则b n ＋1＝3n ＋3＝b n ＋3，由“M 类数列”定义，得p ＝1，q ＝3.(2)∵c n －c n ＋1＝2n (n ∈N *)，∴c n ＋1－c n ＝－2n (n ∈N *)，则c 2－c 1＝－2，c 3－c 2＝－4，c 4－c 3＝－8，…∴c n －c n －1＝－2n －1(n ≥2)，以上式子累加得c n ＝－(1＋2＋4＋…＋2n －1)＝1－2n (n ≥2)，其中c 1＝－1也满足上式．因此c n ＝1－2n (n ∈N *)，则c n ＋1＝1－2n ＋1＝2(1－2n )－1＝2c n －1，{c n }是“M 类数列”．3．(1)证明 因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)解 连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK . 因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4.由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18. 4．解 (1)甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，其平均数为x －甲＝1015＝23； 方差为s 2甲＝115[(1－23)2×10＋(0－23)2×5]＝29.乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1，其平均数为x －乙＝915＝35； 方差为s 2乙＝115[(1－35)2×9＋(0－35)2×6]＝625. 因为x －甲＞x －乙，s 2甲＜s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a ，b －)，(a －，b )，共7个，故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，即得所求概率为P (E )＝715.中档题满分练(三)1．解 (1)f (x )＝a·b ＋1＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1 ＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，2π3时，－π3≤2x －π6≤76π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 因此f (x )的取值范围是[－3，2]．(2)依题意，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . 由g ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，得2cos A ＝1， ∴cos A ＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3，在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc∴4＝42－3bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4·sin π3＝ 3.2．解 (1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4.所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50，60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2，从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为p＝110. 3．(1)证明设E为BC的中点，连接AE，A1E，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE，因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)解作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC ⊥AE ，AE ∩A 1E ＝E ，所以BC ⊥平面AA 1DE . 所以BC ⊥A 1F ，又DE ∩BC ＝E ，A 1F ⊥平面BB 1C 1C .所以∠A 1BF 为直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角． 由AB ＝AC ＝2，∠CAB ＝90°，得EA ＝EB ＝ 2. 由A 1E ⊥平面ABC ，得A 1A ＝A 1B ＝4，A 1E ＝14. 由DE ＝BB 1＝4.DA 1＝EA ＝2，∠DA 1E ＝90°，得A 1F ＝72.所以sin ∠A 1BF ＝78.4．解 (1)依题意，a n ＝3a n －1(n ∈N *，n ≥2)， ∴数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3.又S 4＝a 1（1－34）1－3＝80， ∴a 1＝2.因此数列{a n }的通项公式a n ＝2·3n －1.(2)①由(1)知，a n ＋1＝2·3n ，依题意，d n ＝2·3n －2·3n －1n ＋1＝4·3n －1n ＋1，1d n＝n ＋14·3n －1. ∴P n ＝24×1＋34×3＋44×32＋…＋n ＋14×3n －1，(*)则13P n ＝24×3＋34×32＋…＋n 4×3n －1＋n ＋14·3n ，(**) (*)－(**)，23P n ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n －1－n ＋14·3n ＝12＋14·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－n ＋14·3n ＝58－2n ＋58·3n .∴P n ＝1516－2n ＋516·3n －1. 因此16P n ＋6n 3n ＝15－2n ＋53n －1＋6n 3n ＝15－153n ， 解不等式15－153n ≤40027，3n ≤81，则n ≤4.所以n 的最大正整数为4.压轴题突破练1．(1)解 由已知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， g (x )＝f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )，所以g ′(x )＝2－2x ＝2（x －1）x， 当x ∈(0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增．(2)证明 由f ′(x )＝2(x －1－ln x －a )＝0， 解得a ＝x －1－ln x ，令φ(x )＝－2x ln x ＋x 2－2x (x －1－ln x )＋(x －1－ln x )2 ＝(1＋ln x )2－2x ln x ，则φ(1)＝1＞0，φ(e)＝2(2－e)＜0，。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年全国Ⅰ，文1，5分】设集合{}1,3,5,7A =，{}25B x x =≤≤，则A B = （ ）（A ）{}1,3 （B ）{}3,5 （C ）{}5,7 （D ）{}1,7【答案】B【解析】集合A 和集合B 公共元素有3，5，所以{}3,5A B = ，所以A B 中有2个元素，故选B ．【点评】集合是每年高考中的必考题，一般以基础题形式出现，属得分题．解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算，如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算，常借助数轴进行运算．（2）【2016年全国Ⅰ，文2，5分】设()()12i i a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ）（A ）3- （B ）2- （C ）2 （D ）3【答案】A【解析】()()()12i i 212i a a a ++=-++，由已知，得212a a -=+，解得3a =-，故选A ．【点评】复数题也是每年高考必考内容，一般以客观题形式出现，属得分题．高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等，复数的几何意义，共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，这类问题一般难度不大，但容易出现运算错误，特别是2i 1=-中的负号易忽略，所以做复数题要注意运算的准确性．（3）【2016年全国Ⅰ，文3，5分】为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）（A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）56 【答案】A【解析】将4中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有4种，故概率为23，故选A ． 【点评】作为客观题形式出现的古典概型试题，一般难度不大，解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏，避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举．（4）【2016年全国Ⅰ，文4，5分】ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、．已知a =2c =，2cos 3A =，则b =（ ）（A （B （C ）2 （D ）3【答案】D 【解析】由余弦定理得2254223b b =+-⨯⨯⨯，解得3b =（13b =-舍去），故选D ． 【点评】本题属于基础题，考查内容单一，根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程，再通过解方程求b ．运算失误是基础题失分的主要原因，请考生切记！（5）【2016年全国Ⅰ，文5，5分】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ） （A ）13（B ）12 （C ）23 （D ）34 【答案】B【解析】如图，由题意得在椭圆中，OF c =，OB b =，11242OD b b =⨯=，在Rt OFB ∆中，OF OB BF OD ⨯=⨯，且222a b c =+，代入解得22a 4c =，所以椭圆得离心率得1e 2=，故选B ． 【点评】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题，求解此类问题的一般步骤是先列出等式，再转化为关于a ，c的齐次方程，方程两边同时除以a 的最高次幂，转化为关于e 的方程，解方程求e ．（6）【2016年全国Ⅰ，文6，5分】若将函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函 数为（ ）（A ）2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （B ）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （C ）2sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （D ）2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】函数=2sin(2+)6y x π的周期为π，将函数=2sin(2+)6y x π的图像向右平移14个周期即4π个单位，所得函数为=2sin 2()+2sin 2463y x x πππ⎡⎤⎛⎫-=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故选D ． 【点评】函数图像的平移问题易错点有两个，一是平移方向，注意“左加右减“，二是平移多少个单位是对x 而言的，不用忘记乘以系数．（7）【2016年全国Ⅰ，文7，5分】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条 相互垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（ ） （A ）17π（B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A 【解析】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的18（如右图所示），故34728383r ππ=，解得2r =， 2271431784S r r πππ∴=⋅+⋅=，故选A ． 【点评】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力，所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容，高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇．由三视图还原出原几何体，是解决此类问题的关键．（8）【2016年全国Ⅰ，文8，5分】若0a b >>，01c <<，则（ ） （A ）log log a b c c < （B ）log log c c a b < （C ）c c a b < （D ）a b c c >【答案】B【解析】由01c <<可知log c y x =是减函数，又0a b >>，所以log log c c a b <．故选B ．本题也可以用特殊值代入验证，故选B ．【点评】比较幂或对数值的大小，若幂的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或对数单调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较．（9）【2016年全国Ⅰ，文9，5分】函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（ ） （A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D【解析】解法一（排除法）：2()2x f x x e =- 为偶函数，且2(2)887.40.6f e =-≈-=，故选D ． 解法二：2()2xf x x e =- 为偶函数，当0x >时，'()4x f x x e =-，作4y x =与x y e =（如 图），故存在实数0(0,1)x ∈，使得'0()0f x =，且0(0,)x x ∈时，'0()0f x <，0(,2)x x ∈时，'0()0f x >，()f x ∴在0(0,)x 上递减，在0(,2)x 上递增，故选D ．【点评】函数中的识图题多次出现在高考试题中，也可以说是高考的热点问题，这类题目一般比较灵活，对解题能力要求较高，故也是高考中的难点，解决这类问题的方法一般是利用间接法，即由函数性质排除不符合条件的选项．（10）【2016年全国Ⅰ，文10，5分】执行右面的程序框图，如果输入的0,1,1x y n ===，则输出,x y 的值满足（ ）（A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =【答案】C【解析】第一次循环：0,1,2x y n ===，第二次循环：1,2,32x y n ===，第三次循环： 3,6,32x y n ===，此时满足条件2236x y +≥，循环结束，3,62x y ==，满足 4y x =，故选C ．【点评】程序框图基本是高考每年必考知识点，一般以客观题形式出现，难度不大，求解此类问题一般是把人看作计算机，按照程序逐步列出运行结果．（11）【2016年全国Ⅰ，文11，5分】平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，11//CB D α平面，ABCD m α= 平面，11ABB A n α= 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）（A （B （C （D ）13 【答案】A【解析】如图，设平面11CB D 平面ABCD m '=，平面11CB D 11ABB A n '=，因为α∥平面11CB D ，所以m m '∥，n n '∥，则,m n 所成的角．延长AD ，过1D 作11D E B C ∥，连接CE ，11B D ，则CE 为m '，同理11B F 为n '，而BD CE ∥，111B F A B ∥，则,m n ''所成的角即为1A B ，BD所成的角即为60︒，故,m n 故选A ． 【点评】求解本题的关键是作出异面直线所成角，求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形，解形求角、得钝求补．（12）【2016年全国Ⅰ，文12，5分】若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）（A ）[]1,1- （B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【解析】()21cos2cos 03f x x a x '=-+≥对x ∈R 恒成立，故()2212cos 1cos 03x a x --+≥，245cos cos 033a x x -+≥恒成立，即245033at t -+≥对[]1,1t ∈-恒成立，构造()24533f t at t =-+，开口向下的二次函数()f t 的最小值的可能值为端点值，故只需保证()()11031103f t f t ⎧-=-≥⎪⎪⎨⎪-=+≥⎪⎩，解得1133t -≤≤，故选C ． 【点评】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查，有所创新，求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立，再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题，注意与三角函数值域或最值有关的问题，要注意弦函数的有界性． 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2016年全国Ⅰ，文13，5分】设向量(),1x x =+a ，()1,2=b ，且⊥a b ，则x = ．【答案】23-【解析】由题意，20,2(1)0,3x x x ⋅=++=∴=-a b ． 【点评】全国卷中向量大多以客观题形式出现，属于基础题．解决此类问题既要准确记忆公式，又要注意运算的准确性．本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ，则1122x y x y ⋅=+a b ．（14）【2016年全国Ⅰ，文14，5分】已知θ是第四象限角，且3sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ． 【答案】43- 【解析】由题意sin sin 442θθπ⎡ππ⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ，所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z ，从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-． 【点评】三角函数求值，若涉及到开方运算，要注意根式前正负号的取舍，同时要注意角的灵活变换．（15）【2016年全国Ⅰ，文15，5分】设直线2y x a =+与圆22220C x y ay +--=：相交于A ，B 两点，若AB =，则圆C 的面积为 ．【答案】4π【解析】有题意直线即为20x y a -+=，圆的标准方程为()2222x y a a +-=+，所以圆心到直线的距离d =，所以AB ==2224a r +==，所以244S r ππ==． 【点评】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质，如圆的半径r 、弦长l 、圆心到弦的距离d 之间的关系：2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在求圆的方程时常常用到． （16）【2016年全国Ⅰ，文16，5分】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元．【答案】216000【解析】设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件，利润之和为z 元， 那么 1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩①目标函数2100900z x y =+．①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图），即可行域将2100900z x y =+变形得73900z y x =-+，平行直线73y x =-，当直线73900z y x =-+经过点M 时，z取得最大值．解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩，得M 的坐标()60,100．所以当60x =，100y =时，max 210060900100216000z =⨯+⨯=．故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元．【点评】线性规划也是高考中常考的知识点，一般以客观题形式出现，基本题型是给出约束条件求目标函数的最值，常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离，解决此类问题常利用数形结合．本题运算量较大，失分的一个主要原因是运算失误．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2016年全国Ⅰ，文17，12分】已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b满足11b =，213b =，11n n n n a b b nb +++=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求{}n b 的前n 项和．解：（1）由已知1221a b b b +=，11b =，213b =，得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31n a n =-．（2）由（1）和11n n n n a b b nb +++= ，得13n n b b +=，因此{}n b 是首项为1，公比为13的等比数列．记{}n b 的前n 项和为n S ，则111()313122313nn n S --==-⨯-． 【点评】等差、等比数列各有五个基本量，两组基本公式，而这两组公式可看作多元方程，利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组），因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题，所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法．（18）【2016年全国Ⅰ，文18，12分】如图，在已知正三棱锥P ABC -的侧面是直角三角形，6PA =，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G ． （1）证明G 是AB 的中点；（2）在题图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积． 解：（1）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正 投影为E ，所以.AB DE ⊥所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得， PA PB =，从而G 是AB 的中点． （2）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影．理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又//EF PB ，所以EF PC ⊥，因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影．连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心．由（1）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3CD CG =由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ， 所以//DE PC ，因此21,.33PE PG DE PC ==由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,DE PE == 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.EF PF ==所以四面体PDEF 的体积114222323V =⨯⨯⨯⨯=． 【点评】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算，空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系，其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理，要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面，该类题目难度不大，以中档题为主．（19）【2016年全国Ⅰ，文19，12分】某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数．（1）若19n =，求y 与x 的函数解析式；（2）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求的n 的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买PA B D C GE19个还是20个易损零件？解：（1）当19x ≤时，3800y =；当19x >时，()3800500195005700y x x =+-=-，所以y 与x 的函数解析式为()3800,195005700,19x y x x x ≤⎧=∈⎨->⎩Ν． （2）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46，不大于19的概率为0.7，故n 的最小值为19．（3）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(400090450010)4050100⨯+⨯=．比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件． 【点评】本题把统计与函数结合在一起进行考查，有综合性但难度不大，求解关键是读懂题意，所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题．（20）【2016年全国Ⅰ，文20，12分】在直角坐标系xOy 中，直线():0l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OH ON； （2）除H 以外，直线M H 与C 是否有其它公共点？说明理由．解：（1）由已知得()0,M t ，2,2t P t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭．又N 为M 关于点P 的对称点，故2,t N t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，ON 的方程为2y px =，整理得2220px t x -=，解得10x =，222t x p =，因此22,2t H t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以N 为OH 的中点，即2OH ON =． （2）直线M H 与C 除H 以外没有其它公共点．理由如下：直线M H 的方程为2p y t x t-=，即2()t x y t p =-． 代入22y px =得22440y ty t -+=，解得122y y t ==，即直线M H 与C 只有一个公共点，所以除H 以外 直线M H 与C 没有其它公共点．【点评】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容，主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题．其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线，解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用．（21）【2016年全国Ⅰ，文21，12分】已知函数()()()22e 1x f x x a x =-+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．解：（1）()()()()()'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+．(i) 设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >．所以在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增．(ii) 设0a <，由()'0f x =得1x =或()ln 2x a =-． ①若2e a =-，则()()()'1xf x x e e =--，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增． ②若2e a >-，则()ln 21a -<，故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞ 时，()'0f x >；当()()ln 2,1x a ∈-时， ()'0f x <，所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增，在()()ln 2,1a -单调递减． ③若2e a <-，则()ln 21a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞ 时，()'0f x >，当()()1,ln 2x a ∈-时， ()'0f x <，所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减．（2）(i) 设0a >，则由（1）知，()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增．又()1f e =-，()2f a =，取b 满足0b <且ln 22b a <，则()()()23321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=-> ⎪⎝⎭，所以()f x 有两个零点． (ii)设0a =，则()()2x f x x e =-，所以()f x 有一个零点．(iii)设0a <，若2e a ≥-，则由（1）知，()f x 在()1,+∞单调递增．又当1x ≤时，()0f x <，故()f x 不 存在两个零点；若2e a <-，则由（1）知，()f x 在()()1,ln 2a -单调递增，在()()ln 2,a -+∞单调递增．又 当1x ≤时，()0f x <，故()f x 不存在两个零点．综上，a 的取值范围为()0,+∞．【点评】本题第一问是用导数研究函数单调性，对含有参数的函数单调性的确定，通常要根据参数进行分类讨论，要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围，由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识，越来越受到高考命题者的青睐，解决此类问题的思路是构造适当的函数，利用导数研究函数的单调性或极值破解．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）【2016年全国Ⅰ，文22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，OAB ∆是等腰三角形，120AOB ∠=︒．以O 为圆心，12OA 为半径作圆． （1）证明：直线AB 与O 相切；（2）点C ，D 在⊙O 上，且A B C D ，，，四点共圆，证明：//AB CD ．解：（1）设E 是AB 的中点，连接OE ，因为OA OB =，120AOB ∠=︒，所以OE AB ⊥，60AOE ∠=︒．在Rt AOE ∆中，12OE AO =，即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半 径，所以直线AB 与O e 相切． （2）因为2OA OD =，所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心，作直线'OO ．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上，又'O 在线段AB 的垂直平分线上，所以'OO AB ⊥．同理可证，'OO CD ⊥．所以//AB CD ．【点评】近几年几何证明题多以圆为载体命制，在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”，熟悉相关定理与性质．该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理．（23）【2016年全国Ⅰ，文23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:4cos C ρθ=． （1）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；（2）直线3C 的极坐标方程为0θα=，其中0α满足0tan 2α=，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．解：（1）cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 均为参数），∴()2221x y a +-= ① ∴1C 为以()01，为圆心，a 为半径的圆．方程为 222210x y y a +-+-=∵222sin x y y ρρθ+==，，∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程．（2）24cos C ρθ=：，两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+= ，，224x y x ∴+=，即()2224x y -+= ② 3C ：化为普通方程为2y x =，由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①-②得：24210x y a -+-=，即为3C ，∴210a -=，∴1a =．【点评】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想，解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用．（24）【2016年全国Ⅰ，文24】（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数()123f x x x =+--．（1）在答题卡题图中画出()y f x =的图像；O D C B A E O'D C O BA（2）求不等式()1f x >的解集．解：（1）4,13()12332,1234,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=--≤<⎨⎪⎪-+≥⎪⎩，如图所示： （2）①当1x <-时，()41f x x =->，解得3x <或5x >，1x ∴<-； ②当312x -≤<时，()321f x x =->，解得13x <或1x >， 113x ∴-≤<或312x <<； ③当32x ≥时，()41f x x =-+>，解得3x <或5x >，332x ∴≤<或5x >． 综上可知，不等式()1f x >的解集为()()1,1,35,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ ． 【点评】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题，主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等．解决此类问题通常转换为分段函数求解，注意不等式的解集一定要写出集合形式．。

知识改变命运真题体验·引领卷一、选择题1．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12D.122．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin 2α>0D ．cos 2α>03．(2015·全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →4．(2014·江西高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2A sin 2A 的值为( )A ．－19 B.13 C ．1D.725．(2014·四川高考)平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．26．(2015·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为( )知识改变命运A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 二、填空题7．(2015·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________． 8．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．9．(2015·浙江高考)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝__________，y 0＝________，|b |＝________.三、解答题10．(2015·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．知识改变命运11．(2015·天津高考)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．12．(2015·山东高考)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC面积的最大值．真题体验·引领卷1．D [原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12.]2．C [因为tan α＝sin αcos α>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，cos α>0或⎩⎪⎨⎪⎧sin α<0，cos α<0，sin 2α＝2sin αcos α>0.故选C.]3．A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB→＋43AC →.]4．D [由正弦定理得2sin 2B －sin 2A sin 2A ＝2b 2－a 2a 2，由已知得b a ＝32，代入上式得结果知识改变命运为2×94－1＝72.]5．D [由于a ＝(1，2)，b ＝(4，2)， 所以c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)， 又由于c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以cos 〈a ，c 〉＝cos 〈b ，c 〉，也就是a ·c |a ||c |＝b ·c|b ||c |，则（m ＋4）＋2（2m ＋2）5＝4（m ＋4）＋2（2m ＋2）20，解得m ＝2.]6．D [由函数的图象知T 2＝54－14＝1，∴T ＝2， 因此x A ＝14－12＝－14，x B ＝14＋12＝34.所以f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .]7．8 [∵cos A ＝－14，0<A <π，∴sin A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315， ∴bc ＝24，又b －c ＝2，∴b 2－2bc ＋c 2＝4，b 2＋c 2＝52，由余弦定理得， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52－2×24×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝64，∴a ＝8.]8．(6－2，6＋2) [如图，作△PBC ，使∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，作直线AD 分别交线段PB 、PC 于A 、D 两点(不与端点重合)，且使∠BAD ＝75°，则四边形ABCD就是符合题意的四边形．过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ，在△PBC 中，∠APC ＝30°，知识改变命运由正弦定理，BCsin 30°＝BP sin 75°，则BP ＝6＋ 2. 在△QBC 中，∠QCB ＝30°，∠BQC ＝75°， 由正弦定理，BQ sin 30°＝BC sin 75°，则BQ ＝46＋2＝6－ 2. 所以AB 的取值范围为(6－2，6＋2)．] 9．1 2 22 [∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝(1，0，0)，b ＝(m ，n ，t )．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y－2)2＋t 2取到最小值．此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2.] 10．解 (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ， S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知知识改变命运AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6， 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.11．解 (1)f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.12．解 (1)f (x )＝12sin 2x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝12sin 2x －12＋12sin 2x ＝sin 2x －12.由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z . 由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )． (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，可得1＋3bc＝b2＋c2≥2bc，即bc≤2＋3，当且仅当b＝c时等号成立．因此12bc sin A≤2＋34.所以△ABC面积的最大值为2＋34.薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。

绝密★启封并使用完毕前试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学优高考网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）23（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= （A ）2（B ）3（C ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)（7）如图，学优高考网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b （9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α= 平面，11ABB A n α= 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A ）32（B ）22（C ）33（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 （A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =. （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. （15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为。

2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学一、选择题（1）已知集合{}3,2,1=A ,{}9|2≤=x x B ，则=B A （Ａ）{}3,2,1,0,1,2-- （Ｂ）{}2,1,0,1,2-- （Ｃ）{}3,2,1 （Ｄ）{}2,1 （2）设复数z 满足i i z -=+3，则=z（Ａ）i 21+- （Ｂ）i 21- （Ｃ）i 23+ （Ｄ）i 23- （3）函数)sin(ϕω+=x A y 的部分图像如图所示，则（Ａ）)62sin(2π-=x y （Ｂ）)32sin(2π-=x y （Ｃ）)62sin(2π+=x y （Ｄ）)32sin(2π+=x y（4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 （Ａ）π12 （Ｂ）332π（Ｃ）π8 （Ｄ）π4 （5）设F 为抛物线x y C 4:2=的焦点，曲线xky =)0(>k 与C 交于点P ，x PF ⊥轴，则=k （Ａ）21 （Ｂ）1 （Ｃ）23（Ｄ）2 （6）圆0138222=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a（Ａ）34-（Ｂ）43- （Ｃ）3 （Ｄ）2 （7）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图则该几何体的表面积为 （Ａ）π20（Ｂ）π24（Ｃ）π28（Ｄ）π32（8）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （Ａ）107 （Ｂ）85 （Ｃ）83 （Ｄ）103 （9）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2=x ，2=n ，依次输入的a 为2，2，5，则输出的=s （Ａ）7（Ｂ）12（Ｃ）17（Ｄ）34（10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数xy lg 10=的定义域和值域相同的是（Ａ）x y = （Ｂ）x y lg = （Ｃ）xy 2= （Ｄ）xy 1=（11）函数)2cos(62cos )(x x x f -+=π的最大值为（Ａ）4 （Ｂ）5 （Ｃ）6 （Ｄ）7（12）已知函数)(x f )(R x ∈满足)2()(x f x f -=，若函数322--=x x y 与)(x f y =图像的交点为),(11y x ，),(22y x ，．．．，),(m m y x ，则=∑=mi ix1（Ａ）0 （Ｂ）m （Ｃ）m 2 （Ｄ）m 4二、填空题（13）已知向量a )4,(m =，b=)2,3(，且a ∥b ，则=m ．（14）若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≥+-,03,03,01x y x y x 则y x z 2-=的最小值为 ．（15）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若54cos =A ，135cos =C ， 1=a ，则=b ．（16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲 看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡 片上的数字是 ． 三、解答题（17）(本小题满分12分)等差数列{}n a 中，443=+a a ，675=+a a ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设[]n n a b =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]09.0=，[]26.2=．（18）(本小题满分12分)某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的名续保人在一年内的出险情况，得到如下的统计表：（Ⅰ）记A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求)(A P 的估计值； （Ⅱ）记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”．求)(B P 的估计值； （Ⅲ）求续保人本年度平均保费的估计值．（19）(本小题满分12分)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，CF AE =，EF 交BD 于点H ．将△DEF 沿EF 折到△EF D /的位置．（Ⅰ）证明：/HD AC ⊥（Ⅱ）若5=AB ，6=AC ，45=AE ，22/=OD ，求五棱锥ABCFE D -/的体积．（20）(本小题满分12分)已知函数)1(ln )1()(--+=x a x x x f ．（Ⅰ）当4=a 时，求曲线)(x f y =在))1(,1(f 处的切线方程．（Ⅱ）若当),1(+∞∈x 时，0)(>x f ，求a 的取值范围． （21）(本小题满分12分)已知A 是椭圆134:22=+y x E 的左顶点，斜率为k )0(>k 的直线E 于A ，M 两点，点N 在E 上，NA MA ⊥．（Ⅰ）当AN AM =时，求△AMN 的面积．（Ⅱ）当AN AM =2时，证明：23<<k ． （22）(本小题满分10分) （23）(本小题满分10分)在直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为25)6(22=++y x ．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是⎩⎨⎧==,sin ,cos ααt y t x （t 为参数），l 与C 交于A ,B 两点，10=AB ，求l 的斜率．（24）(本小题满分10分)。

2016年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14题，每小题4分，共56分）.1.（4分）设xGR,则不等式x-3<1的解集为.2.（4分）设z=」+Ni,其中i为虚数单位，则z的虚部等于.i3.（4分）已知平行直线li：2x+y-1=0,l2：2x+y+l=0,则I”E的距离.4.（4分）某次体检，5位同学的身高（单位:米）分别为1.72, 1.78, 1.80, 1.69,1.76.则这组数据的中位数是（米）.5.（4分）若函数f（x）=4sinx+acosx的最大值为5,则常数a=.6.（4分）已知点（3,9）在函数f（x）=l+a x的图象上，贝J f（x）的反函数厂】（X）=.7.（4分）若x,y满足<y》0,则x-2y的最大值为・、y》x+l8.（4分）方程3sinx=l+cos2x在区间[0,2n]±的解为.9.（4分）在（扳-Z）口的二项式中，所有的二项式系数之和为256,则常数项等于•10.（4分）已知AABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.11.（4分）某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为.12.（4分）如图，已知点O（0,0）,A（1,0）,B（0,-1）,P是曲线y=^1_x2上一个动点，则&•商的取值范围是13.（4分）设a>0,b>0.若关于x,y的方程组ax+y=lx+by=l无解，则a+b的取值范围是14.(4分)无穷数列｛an｝由k个不同的数组成，Sn为｛an｝的前n项和，若对任意nGN*,S n e｛2,3),则k的最大值为.二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一脸得零分).15.(5分)设aGR,则"3>1"是“a?〉]”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C,充要条件 D.既非充分也非必要条件16.(5分)如图，在正方体ABCD-AiBiCiDi中，E、F分别为BC、BBi的中点,则下列直线中与直线EF相交的是()B,直线AiBi C,直线Ad D,直线BiCi17.(5分)设ac R,be[0,2n),若对任意实数x都有sin(3x-―)=sin(ax+b),3则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为()A.1B.2C.3D.418.(5分)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①若f(x)+g(X)、f(x)+h(X)、g(x)+h(x)均是增函数，则f(X)、g(X)、h(x)均是增函数；②若f(x)+g(x)、f(x)+h(X)、g(x)+h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是()A.①和②均为真命题C.①为真命题，②为假命题B.①和②均为假命题D.①为假命题，②为真命题三、简答题：本大题共5题，满分74分19.（12分）将边长为1的正方形AAiOiO（及其内部）绕001旋转一周形成圆柱，如图，亦长为匹，云史长为2L,其中Bi与C在平面AA10Q的同侧.6113（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线0出1与0C所成的角的大小.20.（14分）有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分别为两个区域&和S2,其中&中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内&和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点。