9.3.1角、角分线(1).讲义学生版

板块一 基本概念知识点 角的定义定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.角的大小只与开口的大小有关，而与角的边画出部分的长短无关．这是因为角的边是射线而不是线段．定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.注意：由角的定义可知：（1） 角的组成部分为：两条边和一个顶点； （2） 顶点是这两条边的交点；例题精讲中考要求角（3）角的两条边是射线，是无限延伸的.（4）射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.知识点角的表示方法①利用三个大写字母来表示，如图1.1．图1.1注意顶点一定要写在中间．也可记为BOA∠等．∠或ABO∠，但不能写成BAO②利用一个大写字母来表示，如图1.2．∠AA图1.2注意用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个．③用数字来表示角，如图2.1．∠11图2.1④用希腊字母来表示角，如图2.2．∠αα图2.2【例1】角是由有的两条射线组成的图形，两条射线的是这个角的顶点，角也可以看成是由一条射线．【巩固】 下列语句正确的是（ ）①角的大小与边的长短无关。

②如果一个角能用一个大写字母A 表示，那么以A 为顶点的角只有一个 ③如果一个角能表示为1∠，那么以1∠顶点为顶点的角只有一个。

④两条射线组成的图形叫做角A ①、②B ①、③C ①、④D ②、③【例2】 如图，角的顶点是 ，边是 ，用三种方法表示该角分别为 ．αBAO【巩固】 下列图中角的表示方法正确的个数有（ ）∠AOB 是平角直线是平角∠CAB∠ABCBABACCBAA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【巩固】 在右图中，角的表示方法正确的是（ ）A ．A ∠B ．B ∠C ．C ∠D ．D ∠ABC DEO【巩固】 如图，以B 为顶点的角共有几个?请把它们写出来，以D 为顶点的角呢?D CEBA【例3】 下图中，以A 为顶点的角是_________。

有一边与射线FD 在同一条直线上的角有__________个。

HGFEDCB A【例4】 判断（ ）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角． （ ）用2倍的放大镜看30︒的角，这个角就变成了60︒． （ ）由两条射线组成的图形叫做角． （ ）延长一个角的两边．（ ）平角就是一条直线；周角就是一条射线．板块二 角度运算（一）角度换算知识点 单位换算1度＝60分(160︒=') 1分=60秒(160'=")【例5】 （1）32.43__________'''︒=︒（2）654312_____'''︒=︒【例6】 （1）2020'4______︒⨯=。

（2）4437'3______︒÷=【巩固】 （1）77423445______''︒+︒=； （2） 108185623____''︒-︒=； （3） 180(34542133)_______''︒-︒+︒=；（4）23295837______'''︒+︒=；（5）513932532______''''︒-︒=； （6） 135********______''︒⨯+︒÷= （7）57.32_________'''︒=︒； （8） 122342_______'''︒=︒ 【例7】 在小于平角的范围内，用一对普通的三角板能画出确定度数的角有（ ）个A ．4个B ．7个C ．11个D ．16个（二）角度求解知识点 角的度量（1） 度量角的工具常用量角器用量角器注意：对中（顶点对中心）、重合（角的一边与量角器上的零刻度重合）、读数（读出角的另一边所在线的度数）（2） 角的度量单位及其换算角的度量单位是度、分、秒．把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做1︒．把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做1'．把一分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记做1''． 角度之间的关系1周角=360︒ 1平角＝180︒ 1直角＝90︒ 1周角＝2平角 1平角＝2直角角的分类：锐角α（090α<<︒），直角α（90α=︒），钝角α（90180α︒<<︒）．知识点 两角的和、差、倍、分（1） 两角的和、差、倍、分的度数等于它们的度数的和、差、倍、分.（2） 从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. （3） 角平分线的画法：①用量角器②用折叠法在一张透明纸上画一个角，记为∠PQR ，折线使射线QR 与射线QP 重合，把纸展开，以Q 为端点，沿折痕画一条射线，这条射线就是∠PQR 的平分线.说说为什么这条线平分∠PQR ？用尺规做已知角的平分线方法作法：（1）以O 点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于A B 、两点；（2）分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 长为半径画弧，画弧交于C 点；（3）过C 点作射线OC 。

所以，射线OC 就是所求作的。

OCBA【例8】 如图所示，90AOB COD ∠=∠=︒，160AOD ∠=︒，求BOC ∠度数．ABCD O【巩固】 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，作D O E B O D∠=∠，OF 平分AOE ∠，若28AOC ∠=︒，求E O F ∠．A BCDE FO【巩固】 如图所示，将一副三角尺的直角顶点重合在一起．（1）DOB ∠与DOA ∠的比是211∶，求BOC ∠的度数．（2）叠合所成的BOC n ∠=°(090n <<)，则AOD ∠的补角的度数与BOC ∠的度数之比是多少？ODCBA【例9】 如图所示，80AOB ∠=︒，OC 是AOB ∠内部的任意一条射线，若OD 平分BOC ∠，OE 平分AOC ∠，试求DOE ∠的度数．EDC BAO【巩固】如图1，OM 平分AOB ∠，ON 平分COD ∠，若50MON ∠=︒，10BOC ∠=︒，求AOD ∠的小．NMAB C DOAD E图1F【例10】 已知：如图，OC 是AOB ∠外的一条射线，OE 平分AOC ∠．OF 平分BOC ∠．①若100AOC ∠=︒，40BOC ∠=︒， 问：?EOF ∠= ②若AOB n ∠=︒，求EOF ∠的度数并说明理由．OC FE BA【例11】 BOC ∠为AOC ∠外的一个锐角，射线OM 、ON 分别平分AOC ∠、BOC ∠．（1）90AOB ∠=°，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数； （2）AOB α∠=，30BOC ∠=°，求MON ∠的度数；（3）90AOB ∠=°，BOC β∠=，还能否求出MON ∠的度数吗？若能，求出其值，若不能，说明理由．（4）从前三问的结果你发现了什么规律？C NB MAO【巩固】 如图：OE 是直角AOB ∠的角平分线，OD 是BOC ∠的角平分线，若70EOD ∠=︒，求BOC ∠的度数．AB CD EO【巩固】 如图，AOC ∠是直角，21.5COD ∠=︒，且OB OD ，分别是AOC ∠、BOE ∠的平分线，求AOE ∠的大小.ODCEBA【例12】 已知：OA 、OB 、OC 是从点O 引出的三条射线85AOB ∠=︒，4136'BOC ∠=︒，求AOC ∠.【巩固】 已知一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 与OC ，使60AOB ∠=︒，20BOC ∠=︒，求AO C ∠的度数.【例13】 已知αβ，都是钝角，计算()16αβ+，正确的结果只可能是（ ）A ．26︒B ．40︒C ．72︒D ．90︒【巩固】α、β、γ中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算1()15αβγ++的值时，有三位同学分别算出了23︒、24︒、25︒这三个不同的结果．其中确有一个是正确的答案，求αβγ++的值．【例14】 如下图，AOC COD DOE EOB a ∠=∠=∠=∠=，若以OA ，OC ，OD ， OE 为始边的各角之和等于380°，求AOB ∠.EOD CBA【例15】 在同一平面内有射线OA OB OC OD ，，，平分BOC ∠，AOC ∠的3倍比AOB ∠的2倍多5︒，10AOD ∠=︒，求AOC ∠的度数.【巩固】以AOB ∠的顶点O 为端点引射线OC ，使得:5:4AOC BOC ∠∠=，且AOC ∠，BOC ∠均小于180︒，若30AOB ∠=︒，求AOC ∠的度数.【例16】 如图，在22⨯的正方形方格中，BAD ADE BEC ∠+∠+∠等于多少度？H GFED C BA【巩固】如图是一个33⨯的正方形，则图中1239_____.∠+∠+∠++∠=987654321BA【例17】 (1)现有一个19︒的模版，请你设计一种办法，只用这个模版和铅笔在纸上画出1︒的角来.(2)现有一个17︒的模版，请你设计一种办法，只用这个模版和铅笔在纸上画出1︒的角来. (3) 现有一个21︒的模版，请你设计一种办法，只用这个模版和铅笔在纸上画出1︒的角来. 对于(2)(3)两问，如果能，请简述画法的步骤，如果不能，请说明理由.1.下列说法正确的是（ ）A ．角的两边可以度量B ．角是由两条射线构成的图形．C ．一条直线可以看成是一个平角D ．平角的两边可以看成直线．2.如图，下列角除了用三个大写字母表示外，还可以用一个大写字母表示的是( ) A ．BDC ∠ B ．ADC ∠ C ．ABC ∠ D ．ACB ∠ABC DEO3. （1）51492421________''︒+︒=；（2）39412445__________''︒-︒=； （3）2313423_________'''︒⨯=；（4）12134________'︒÷=．4.如右图，AOB 是直线，1:2:31:3:2∠∠∠=，求DOB ∠的度数．123ABC D O课后作业5.如图，ACB ∠是一个平角DCE ACD ∠-∠ECF DCE =∠-∠FCG ECF =∠-∠ GCB FCG =∠-∠10=︒，求GCB ∠的度数．GAB C D E 图2F6. 已知40AOB ∠=︒，从O 点引射线OC ，若:2:3AOC COB ∠∠=，且AOC ∠，COB ∠均小于180︒，求OC 与AOB ∠的平分线所成的角的度数.。