1.2 轴对称的性质(1)

初中数学知识点——轴对称与中心对称一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。

2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4.线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。

（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

5.角的平分线：（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.（2）性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；（2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；（3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。

说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等；②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。

轴对称的性质xx年xx月xx日•轴对称的定义•轴对称的性质•轴对称的应用目录•轴对称的历史和发展•总结和展望01轴对称的定义轴对称的数学定义函数f(x)关于直线y=x对称：f(x)=f(y)函数f(x)在直线x=a处对称：f(a+x)=f(a-x)函数f(x)关于直线y=-x对称：f(x)=-f(y)两个点关于原点对称，满足距离和坐标的关系轴对称的几何定义点关于点对称一条直线上的点关于原点对称后，满足直线的方程和坐标的关系线关于点对称一个平面上的点关于原点对称后，满足平面的法向量和坐标的关系面关于点对称生物学人体的某些器官、肢体等结构呈轴对称分布物理学物理现象中的平衡、稳定等现象可以用轴对称来解释美学许多优美的图案都是由轴对称构成的，如自然界中的雪花、蜂巢等轴对称的应用02轴对称的性质轴对称图形沿对称轴折叠后，对称点重合。

轴对称图形中的对应线段、对应角相等。

轴对称图形的对称轴不会与图形的任何线段相交。

轴对称的特性03定理3两个图形关于直线对称，如果其中一个图形沿对称轴对折后与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。

轴对称的定理01定理1两个图形关于直线对称，如果它们的对应线段或对应点所在的直线相交于一点，那么交点在对称轴上。

02定理2两个图形关于直线对称，如果它们的对应线段或对应点所在的直线相交于一点，那么交点到对称轴的距离相等。

轴对称的判别方法方法1观察图形的形状和结构，看是否具有轴对称图形的特点。

方法2找出图形的对称轴，判断图形沿对称轴对折后是否重合。

方法3利用轴对称的性质和定理进行判断。

03轴对称的应用轴对称在几何中的应用在平面几何中，轴对称可以用来解决一些证明和作图问题，如证明一个四边形是正方形或菱形，或者作一个已知轴对称图形的对称图形等。

在立体几何中，轴对称可以用来研究一些几何体的性质，如圆柱、圆锥、球等，以及解决一些与对称有关的问题，如最小路径问题等。

轴对称在几何中有着广泛的应用，如平面几何、立体几何等。

学案初二1.2 轴对称的性质（一）——提前自学班级姓名一、自学目标：1、知道线段的垂直平分线的概念,掌握轴对称图形的性质。

2、会画简单的图形关于对称轴的对称图形。

自学重点：会利用轴对称性质作对称点、对称图形等。

自学难点：准确理解成轴对称的两个图形的基本性质并会简单应用性质解决实际问题。

二、自学过程：1、完成课本第10页的操作,即图1—7，并将你完成的操作带到课堂上来。

2、思考：（1)、针孔A、A’折痕l之间有什么关系？请记录下你的发现。

（2)、线段AA’与折痕l之间有什么关系？请记录下你的发现。

（3)、且一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

（4)、成轴对称的两个图形。

（5)、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是的垂直平分线。

3、自学、相信自己：1．下列数字图象都是由镜中看到的，请分别写出它们所对应的实际数字，并说明数字图象与镜面的位置关系。

图 1 图 22、（1）如图所示在方格纸上画出的一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半（2）如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗?（3）作轴对称图形的对称轴的方法是：找到一对，作出连接它们的的线，就可以得到这个图形的对称轴．1.2 轴对称的性质（一）——作业（一）回顾与检测：1、右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为 .23、右图是两个关于某条直线成轴对称的图形，请你画出它们的对称轴。

（二） 拓展：1、如上图，在两面成“八”字形放置的镜子中间放着塑料做的数字9， 你在左右两面镜子中看到的像是怎么样的？请你把它们写出来。

2、如图，△ABC 中，∠C=900⑴在BC 上找一点D ，使点D 到AB 的距离等于DC 的长度；⑵连结AD ，画一个三角形与△ABC 关于直线AD 对称.3、（1）实践与运用:将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过 点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．（2）观察与发现小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（3）、思考题：如图，DA 、CB 是平面镜前同一发光点S 发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S 的位置，并将光路图补充完整.（三）自我反思与整理我的收获与困惑：A 图① A 图② F E E D C FB A图③ E D C A B F G ' D ' A D E C B F α 图④ 图⑤。

第一章轴对称图形1.2 轴对称的性质漫画新知概览(总结学习规律)知识要点课标要求中考考点节内对应例题节内对应习题线段的垂直平分线了解线段的垂直平分线的定义线段垂直平分线的概念、判定及其性质（理解）试练例1;易错典例3；题型典例13.新题精练5；轴对称的性质掌握轴对称的性质；会用轴对称的性质解决简单实际问题. 轴对称的性质（理解）试练例2;易错典例1、2、5；题型典例1、2、3、4、5、6、10、11、12、14、15、16；中考典例1、2、3.中考变式练1、2、3；新题精练2、3、4、6、9、10、11、12、14；画图形的轴对称图形能够按照要求画出平面图形经过一次轴对称后的图形.画出平面图形经过一次轴对称后的图形.（了解）试练例3;易错典例4；题型典例7、8、9；中考典例4.中考变式练4；新题精练1、7、8、13、15；本节重难点1.重点：轴对称的性质;2.难点：正确理解轴对称的性质,确定已知图形的关键点并根据这些点作出对称图形.知识全解(享受探究乐趣)知识点1: 线段的垂直平分线(重点)画一条线段AB，对折AB使点A、B重合，折痕与AB的交点为O 则OA与OB相等通过折叠，我们验证了线段是轴对称图形线段的一条对称轴垂直于这条直线且平分它，我们把这样的直线叫做这条线段的垂直平分线图1-2-1）【知识规律】线段的垂直平分线必须满足两个条件：①经过线段的中点；②垂直于这条线段．两者缺一不可．【知识拓展】(1)线段是轴对称图形，它的对称轴是这条线段所在的直线和这条线段的垂直平分线，大家不要误认为它的对称轴只有一条;(2) 线段的垂直平分线也简称中垂线.试练例题1: 下列说法中正确的个数是( )A．P是线段AB上的一点，直线l经过P点且l⊥AB，则l是线段AB的垂直平分线B．直线l经过线段AB的中点，则l是线段AB的垂直平分线C．若AP=PB，且直线l垂直于线段AB，则l是线段AB的垂直平分线D．经过线段AB的中点P且垂直于AB的直线l是线段AB的垂直平分线【思路导引】A只满足垂直条件，没有经过线段中点的条件，故不正确；B只满足经过AB中点的条件，而没有垂直的条件，故不正确；C中虽然既有AP=PB，也有l⊥AB，但A，P，B不一定在同一直线上，就算A，P，B在一条直线上，但P也不一定在直线l上，故也不正确；D符合线段的垂直平分线的定义，是正确的．【答案】D【方法】判断一条直线是否为一条线段的垂直平分线，必须满足经过线段的中点和垂直于这条线段这两个条件，缺一不可．另外要注意，P为线段AB的中点的要求是：AP=PB,点P在AB上.知识点2:轴对称的性质(难点)轴对称图形的性质:(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形；(2)如果两个图形成轴对称，那么对称轴是图1-2-1对称点连线的垂直平分线．轴对称的性质可以更进一步地理解为：①成轴对称的两个图形全等，它们的对应线段相等，对应角相等；②每一对对称点的连线被对称轴垂直平分；③各对称点的连线互相平行或在同一条直线上；④作对称点连线的垂直平分线可以得到对称轴．【知识衔接】如图1-2-2所示，三角形ABC 与三角形DEF 关于直线MN 对称，则①△ABC ≌△DEF ，AB=DE,BC=FF,AC=DF, ∠ABC=∠DEF ，∠BAC=∠EDF ，∠ACB=∠DFE ；②连结AD 、BE 、CF ，则MN 垂直平分AD ，MN 垂直平分BE ，MN 垂直平分CF ；③ AD ∥BE ∥CF ；④作对称点A 、D 或B 、E 或C 、F 连线的垂直平分线可以得到对称轴MN.【知识警示】两个图形成轴对称与全等的关系：①对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定是对称的； ②如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；如图1-2-3中两个全等三角形就不轴对称。

1.2轴对称的性质（1） 教学案班级 姓名 日期 【学习目标】知道线段垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，对称轴是对称点连线的垂直平分线.【学习重点】掌握轴对称图形的相关性质 【学习难点】掌握轴对称图形的相关性质 一、自学指导阅读课本P43-44内容.思考下列问题：1. 叫做线段的垂直平分线.2. 轴对称的性质： ⑴ 成轴对称的两个图形 .⑵ 如果两个图形成轴对称，那么对称轴是 . 二、自主练习 1.A B C D 上列图形中，点P 与点G 关于直线对称的是 （ ） A.0个 B.1个 C.2个D.3个 2.如图所示的两位数中，是轴对称图形的有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个三、合作探究例1.如图，等腰△ACB 中，直线AD 是它的对称轴；DE ⊥AC 于E ， DF ⊥AB 于F ，则图中直角三角形有______个，全等三角形有 ________对，F 点关于AD 成轴对称的对应点是_____点.例2．如图，直线l 是四边形ABCD 的对称轴，若AB=CD ，有下面的结论：①AB ∥CD ；②AC ⊥BD ；③AO=OC ；④AB ⊥BC.其中正确的结论有__________（填写序号）四、变式拓展下列数字图象都是由镜中看到的，请分别写出它们所对应的实际数字，并说明数字图象与镜面的位置关系．（提示：注意每一个数字可能有不同的镜面对称）五、回扣目标例3. 如图，Rt △AFC 和Rt △AEB 关于虚线成轴对称，现给出下列结论：①∠1＝∠2；②△ANC ≌△AMB ；③CD ＝DN ，其中正确的结论是 （填序号）；选个你比较喜欢的结论加以说明．图3.2-1BDCE1．什么叫线段的垂直平分线？ 2. 轴对称有什么性质？ 六、课堂反馈1. 成轴对称的两个图形的对应线段___ ___、对应角___ __.如果两个图形关于某直线对称，那么连结 的线段被 垂直平分.2. 如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1＝110°，∠2＝46°，则x ＝ .3. 如图所示，两图形关于直线AB 对称，则M 、N 、S 三点关于直线AB 的对称点是什么？直线AB 是哪些线段的垂直平分线？（不再添加其他字母）M'AB4. 如右图，一轴对称图形画出了它的一半，请你以点画线为对称轴画出它的另一半.课堂作业ClAB'BA组1．下列图形中，不是轴对称图形的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个2．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是（）3. 如图，在正方形网格上有一个△ABC.（1）作△ABC关于直线MN的对称图形（不写作法）；（2）若网格上的最小正方形边长为1，求△ABC的面积.4.如图，线段AB与A’B’关于直线l对称，⑴连接AA’交直线l于点O，再连接OB、OB’ ．⑵把纸沿直线l对折，重合的线段有：．⑶因为△OAB和△OA’B’关于直线l ，所以△OAB △OA’B’，直线l垂直平分线段，∠ABO=∠，∠AOB =∠．B组O AB·P已知：如图，在∠AOB 外有一点P ，试作点P 关于直线OA 的对称点P 1，再作点P 1关于直线OB 的对称点P 2.⑴试探索∠POP 2与∠AOB 的大小关系；（画图并简要说明）⑵若点P 在∠AOB 的内部，或在∠AOB 的一边上，上述结论还成立吗？ （画出对应的图形）1.2轴对称的性质（2） 教学案班级 姓名 日期 【学习目标】会画已知点关于直线的对称点，会画已知线段的对称线段，会画已知三角形的对称三角形.会画已知图形的对称图形. 【学习重点】画已知图形的对称图形. 【学习难点】利用轴对称解决一些实际问题. 一、自学指导预习45---46页，完成以下问题：画轴对称图形的一般步骤是：（1）定好 ；（2）找准 ；（3）画对 ，完成轴对称图形． 二、自主练习1. 在图中，四边形ABCD 与四边形EFGH 关于直线l 对称.连接AC 、BD.设它们相交于点P.怎样找出点P 关于l 的对称点Q ？2. 如图，C B A 、、3点都在方格纸的格点位置上.请你再找一个格点D ，使图中的4点组成一个轴对称图形.三、合作探究例1.如图，三角形Ⅰ的两个顶点分别在直线a 和b ，且a ⊥b ， ⑴画三角形Ⅱ与三角形Ⅰ关于a 对称； ⑵画三角形Ⅲ与三角形Ⅱ关于b 对称； ⑶画三角形Ⅳ与三角形Ⅲ关于a 对称； ⑷所画的三角形Ⅳ与三角形Ⅰ成轴对称吗？例2.如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A 、B 到它的距离之和最短？街道居民区B ·居民区A ·abBE ACBD四、变式拓展如图，M 、N 分别是△ABC 的边AC 、BC 上的点，在AB 上求作一点P ，使△PMN 的周长最小，并说明你这样作的理由.五、回扣目标1.怎么画一个图形的轴对称图形？2.利用轴对称的知识你解决了什么样的问题？六、课堂反馈1．下列语句中正确的有（ ）.①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个能重合的图形一定关于某条直线对称；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④一个轴对称图形的对应点一定在对称轴的两侧.A ．1 个B ．2个C ．3个D ．4个2．在镜子中看到时钟显示的时间是 ，则实际时间是 . 3．如图,在四边形ABCD 中，边AB 与AD 关于AC 对称，则下面结论正 确的是( )⑴CA 平分∠BCD ； ⑵AC 平分∠BAD ； ⑶DB ⊥AC ； ⑷BE=DE.A ．⑵B ．⑴⑵C ．⑵⑶⑷D ．⑴⑵⑶⑷DB4.如图所示，在图形中标出点A 、B 、C 关于直线l 的对称点D 、E 、F.若M 为AB 的中点，在图中标出它的对称点N.若AB=5，AB 边上的高为4，则△DEF 的面积为多少？课堂作业 A 组1．下列说法正确的是（ ）． A ．任何一个图形都有对称轴 B ．两个全等三角形一定关于某直线对称C ．若△ABC 与△A′B′C′成轴对称，则△ABC ≌△A′B′C′D ．点A 、点B 在直线1两旁，且AB 与直线1交于点O ，若AO=BO ，则点A 与点B •关于直线l 对称2．文文把一张长方形的纸对折了两次，如图所示：使A 、B 都落在DA /上，折痕分别是DE 、DF ，则∠EDF 的度数为（ ）．A ．60°B ．75°C ．90°D ．120°3.画出△ABC 关于直线MN 成轴对称的图形.LB4.如图，DA 、CB 是平面镜前同一发光点S 发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点SB 组1.已知:如上图,四边形CDEF 是一个长方形的台球面，有黑白两球分别位于点A 、B 两点，试问怎样撞击黑球A ，使A 先碰到台边EF,反弹后再碰到台边CF,然后反弹后再击中白球B ？2.如图，要在两条街道AB 、CD 上设立两个邮筒，邮递员从邮局出发，从两个邮筒里取出信件后再回到邮局，则邮筒应设在何处，才能使邮递员所走的路程最短？请画图说明.BFED典型例题：轴对称的性质例1 把下面的图补充完整．（1）如图甲是轴对称图形的一部分，其中l 是对称轴，请把另一部分画出来． （2）如图乙，是轴对称中的一个图形，其中l 是对称轴，请把另一个画出来．例2 如图所示，填空：（1）线段AB 的对应线段是__________ （2）点C 的对应点是__________ （3）ABC ∠的对应角是_________ （4）连接BE ，则BE 被直线_____m例3 如图，在ABC ∆中，AD AC AB ,=平分BAC ∠，点P 在DA 的延长线上，你能利用轴对称的性质证明PB PC =吗？例4 作出下列图形的对称轴或者对称图形图1 图2例5分析下列图形中，哪些是轴对称图形？如果是轴对称图形，作出对称轴．（1）线段；（2）角；（3）任意三角形；（4）等腰三角形知识点解读：轴对称的基本性质知识点1轴对称的性质（重点）在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。

怀文中学2012---2013学年度第一学期教学设计初 二 数 学（1．2轴对称的性质1）主备：陈秀珍 审核：陈长柱 日期：2012-8-30学习目标：1．知道线段的垂直平分线的概念，探索并掌握“成轴对称的两个图形全等，对称轴是对称点连线的垂直平分线”等性质．2．经历探索轴对称性质的活动过程，积累数学活动经验，进一步发展空间观念和有条理地思考和表达能力．3．利用轴对称的基本性质解决实际问题．教学重点：线段的垂直平分线的概念；“对应点连线被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等”等性质．教学难点：轴对称的性质的理解和拓展运用． 教学过程：一．自主学习（导学部分）1．什么叫线段的垂直平分线？ 2．成轴对称的两个图形有何性质？二．合作、探究、展示1．活动一：如图所示，在纸上任意画一点A ，把纸对折， 用针在点A 处穿孔，再把纸展开，并连接两针孔A 、A ′．思考：线段AA ′与折痕MN 之间有什么关系?归纳： 叫做线段的垂直平分线. 2．活动二：取一张长方形纸片，按下面步骤做一做． 将长方形纸片对折，折痕为l ，（1）在纸上画△ABC ；（2）用针尖沿△ABC 各顶点扎几个小孔（3）将纸展开，连结A ′B ′、B ′C ′、A ′C ′，AA ′，BB ′，CC′， 思考：（1）△ABC 与△A ′B′C ′有何关系？ （2）线段AB 与A ′B ′，AC 与A ′C ′，BC 与B ′C 有什么关系? ∠A 与∠A ′，∠B 与∠B ′，∠C 与∠C ′有什么关系?（3）线段AA ′，BB ′，CC ′与对称轴l 有何关系？归纳：轴对称的性质 ．三．巩固练习1．两个图形关于某直线对称，对称点一定在 （ ）A ．这条直线的同旁B ．这条直线的两旁C ．这条直线上D ．这条直线的两旁或这条直线上2、下列说法正确的是（ ）A ．直线L 上的一点关于直线L 的对称点不存在B ．关于直线L 对称的两个图形全等C ．△ABC 和△A /B /C /关于直线L 对称,则△ABC 是轴对称图形D ．AD 是△ABC 的中线,若△ABC 不是等腰三角形,则△ABC 关于AD 对称的图形不存在 3、下列说法中错误的是（ ）A ．两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴B ．关于某直线对称的两个图形全等C ．面积相等的两个三角形对称D ．轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后重合 4．已知△ABC 关于直线MN 对称，则下列说法错误的是（ ）A ．△ABC 中必有一个顶点在直线MN 上B ．△ABC 中必有两个角相等 C ．△ABC 中，必有两条边相等D ．△ABC 中必有一个角等于60° 5．仔细观察下面的图案，并按规律在横线上画出合适的图形．6．如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1＝110°，∠2＝46°，则x7．已知如图，四边形ABCD 关于直线MN 对称，其中A ，C 是对称点，则直线MN 与线段AC 的关系是__________.8．如图，∠MON 内有一点P ，点P 1、P 2分别是点P 关于OM 、ON 的对称点，P 1P 2与OM 、ON 分别交于点A 、B ． 若P 1P 2＝10厘米，则△PAB 的周长为（ ） A ．6厘米 B ．8厘米 C ．10厘米 D ．12厘米 7．9．如图，Rt △AFC 和Rt △AEB 关于虚线成轴对称，现给出下列结论：①∠1＝∠2；②△ANC ≌△AMB ；③CD ＝DN ，其中正确的结论是 （填序号）四．课堂小结 五．布置作业 六．预习指导 教学反思：。

初中数学知识点——轴对称与中心对称一、轴对称与轴对称图形：1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。

2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

注意：对称轴是直线而不是线段3.轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

4.线段垂直平分线：（1）定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。

（2）性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

5.角的平分线：（1）定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.（2）性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.6.等腰三角形的性质与判定：性质：（1）对称性：等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；（2）三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；（3）等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。

说明：等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：①等腰三角形两底角的平分线相等；②等腰三角形两腰上的中线相等；③等腰三角形两腰上的高相等；④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。

文昌院教育学科教师辅导讲义课 题轴对称图形及性质教学内容轴对称图形及性质（1.1,1.2）第一节一、1. 轴对称定义：把一个图形沿一条直线这段，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形轴对称。

这条直线称为对称轴（对称轴是一条直线，不是射线或线段），两个图形的对应点（即沿对称轴对折后，能够重合的点）叫做对称点。

2. 轴对称图形定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形3. 轴对称与轴对称图形的区别：（1） 轴对称是两个图形的位置关系，轴对称图形是一个具有特殊形状的图形 （2） 轴对称涉及两个图形，轴对称是一个图形轴对称与轴对称图形的联系:（1） 定义中都有一条直线，沿这条直线折叠重合。

（2） 轴对称图形一定成轴对称，成轴对称的不一定是轴对称图形。

注意：轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的存在多条 例1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ）轴对称与轴对称图形轴对称的性质轴对称图形线段角等腰三角形等腰梯形轴对称图①②③④A．①②B．③④C．②③D．①④例2、下列轴对称图形中，对称轴最多的是（）.A、等腰直角三角形B、有一角为60的等腰三角形C、正方形D、圆例3．下列图形分别是等边三角形、直角三角形、等腰梯形和矩形，其中有且只有一条对称轴的轴对称图形是( )例4、如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例5.剪纸是中国的民间艺术．剪纸方法很多，下面是一种剪纸方法的图示(先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案)：下面四个图案中，不能用上述方法剪出的是( )二、轴对称的性质：（1.2）1. （1）线段垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线（线段垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合，即①经过线段的中点 ②垂直于线段，两者缺一不可。

）（2）作线段AB 的垂直平分线： ①分别以A 、B 为圆心，大于AB 21的长为半径画弧，两弧相交于点C 、D ②过C 、D 两点作直线③直线CD 就是线段AB 的垂直平分线 2.性质：①成中轴对称的两个图形全等；②如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

初二数学（八上）创新教育实验手册参考答案（苏科版）第一章轴对称图形1. 1 轴对称与轴对称图形【实践与探索】例1 请观察26个大写英文字母，写出其中成轴对称的字母．解：成轴对称的字母有：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y．注意：字母“N、S、Z”也具有对称的特点，但它们不是轴对称图形．例2 国旗是一个国家的象征，观察图1.1.1中的国旗，说说哪些是轴对称图形，并找出它们的对称轴．（略）【训练与提高】一、选择题：1．A2．D3．B4．A5．A二、填空题：6．（1）（2）（5）（6）7．2，3，1，4 8．10∶21三、解答题：9．如图：10．长方形、正方形、正五边形【拓展与延伸】1．（3）比较独特，有无数条对称轴ABCD 1D 2B 1CBAC 1A 1图1.2.12．1.2 轴对称的性质（1）【实践与探索】例1 已知△ABC 和△A 1B 1C 1是轴对称图形，画出它们的对称轴．解： 连接AA 1，画出AA 1的垂直平分线L ，直线L 就是△ABC 和△A 1B 1C 1的对称轴．回顾与反思 连接轴对称图形的任一组对称点，再画对称点所连接线段的垂直平分线，就得该图形的对称轴．例2 如图1.2.2，用针扎重叠的纸得到关于L 对称的两个图案，并从中找出两对对称点、两条对称线段．解：可标注不同的对称点．例如：A 与A '是对称点，B 与B '是对称点． 对称线段有AB 与A 'B '，CD 与C 'D '等．回顾与反思 研究对称点是研究对称图形的基础，一般先研究对称点，再研究对称线段，这能更清楚地了解轴对称的性质． 【训练与提高】 一、选择题：1．B 2．D 3．B 4．A 二、填空题：5．轴对称，3条 6．略 7．810076 8．AB ＝CD BE ＝DE ∠B ＝∠D 三、解答题：9．2，4，5 10．略 11．不是，不是 12．略 13．在对称轴上 【拓展与延伸】 1．如图：图1.2.2图1.2.３（1） （2）图1．2．4 图1．2．52．如图：1.2轴对称的性质（2）【实践与探索】例1 画出图1.2.3中△ABC 关于直线L 的对称图形．解： 在图1.2.3（1）和图1.2.3（2）中，先分别画出点A 、B 、C 关于直线L 的对称点1A 、1B 和1C ，然后连接11B A 、11C B 、11A C ，则△111C B A 就是△ABC 关于直线L 对称的图形．回顾与反思 （1）如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么在画出它关于某一条直线对称的图形时，只要画出图形中的特殊点（如线段的端点、角的顶点等）的对称点，然后连接对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形； （2）对称轴上的点（如图1.2.3（1）中的点B ），其对称点就是它本身．例2 问题1：如图1.2.4，在一条笔直的河两岸各有一个居民点A 和B ，为方便往来，必须在河上架桥，在河的什么位置架桥，才能使A 和B 两地的居民走的路最短？问题2：如图1.2.5，在一条河的同岸有两个居民点A 和B ，现拟在岸上修建一个码头，问码头修在何处，才能使码头到A 和B 两地的总长最短？①②③④图1.2.4 问题1和问题2之间有联系吗？能从前一个问题受到启发来解决这个问题吗？ 探索：对问题1，显然只要连接AB ，AB 与a 的交点就是所要找的点． 对问题2，即要在直线a 上找一点C ，使AC ＋BC 最小． 分析： 我们用“翻折”———轴对称的方法．画点C ：（1）作点A 关于直线a 的对称点A '；（2）连结A 'B 交a 于点C ，点C 就是所求作的点．理由：如图1.2.4，如果C '是直线a 上异于点C 的任意一点，连A C '、B C '、A ' C '，则由于A 、A '关于直线a 对称，所以有'''',C A AC C A AC ==．所以 '''''BC C A BC AC +=+＞BC AC BC C A B A +=+=''． 这说明，只有C 点能使AC ＋BC 最小．【训练与提高】 一、选择题：1．C 2．C 3．B 4．A 二、填空题：5．（1）等腰三角形 （2）矩形 （3）等边三角形 （4）正方形 （5）五角星 （6）圆 6．不对称、不对称 7．5个 三、解答题： 8．略 9．略10．画图略 11．如图：12．画出点A 关于直线L 的对称点A '，连结A 'B 与直线L 的交点即为所求停靠点．【拓展与延伸】图1.3.11．图略2．图略1.3设计轴对称图形【实践与探索】例1 剪纸，千百年来在民间时代流传，给我们的生活带来无限的美丽！动手学一学：观察一下，图1.3.1中最后的展开图是一个轴对称图形吗？它有几条对称轴？例2 如图1.3.2，以直线L为对称轴，画出图形的另一半．图1.4.1【训练与提高】 一、选择题： 1．B 2．B 二、填空题： 3．M 、P 、N 、Q 三、解答题： 4．如图：5．略 6．如日本、韩国 、等 7．略 8．图略 【拓展与延伸】 1．图略2．图略，答案不唯一1.4 线段、角的轴对称性(1)【实践与探索】例1 如图1.4.1，在△ABC 中，已知边AB 、BC 的垂直平分线相交于点P ． (1)你知道点P 与△ABC 的三顶点有什么关系？ (2)当你再作出AC 的垂直平分线时，你发现了什么？解：(1)点P 与△ABC 的三顶点距离相等，即P A ＝PB ＝PC ． (2)如图，AC 的垂直平分线也经过P 点．即三角形的三条中垂线交于一点． 例2 如图1.4.2，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，D 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，交AC 于E ．已知△BCE 周长为8，且AB －BC ＝2，求AB 、BC 的长．分析：由题意可知，DE垂直平分AB，则有AE＝BE，因此△BCE的周长就转化为AC＋BC，问题即可解决．解：因为D是AB的中点，且DE上AB，所以AE＝BE，则△BCE的周长＝BE＋CE＋BC－AE＋CE＋BC＝AC＋BC＝8．又因为AB－BC＝2，AB＝AC，所以AC－BC＝2.由上可解得AC＝5，BC＝3．回顾与反思(1)本题中利用“E是线段AB的垂直平分线上的点”得到“AE＝BE”，从而实现了“线段BE"的转移，这是我们常用的方法；(2)利用“线段的中垂线的性质”可以说明两条线段相等．【训练与提高】一、选择题：1．C2．D3．D4．A二、填空题：5．无数个6．6，2 7．10，8 cm 8．9 cm三、解答题：9．24010．连结AB，作AB的中垂线交直线L于P，点P即为所求作的点11．24 cm 12．(1) 35 0（2）55 0【拓展与延伸】1．图略（1）只要任意找一个以A为顶点的格点正方形，过点Ａ的对角线或其延长线与BＣ的交点就是点Ｐ（2）找与A为顶点的正方形中与A相对的顶点．2．9 cm1.4 线段、角的轴对称性(2)【实践与探索】例1 如图1.4.3，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的角平分线相交于O．请问：(1)你知道点O与△ABC的三边之间有什么关系吗？图1.4.３(2)当你再作出∠A的平分线时，你发现了什么？解：(1)点O到△ABC的三边的距离相等；(2)如图1.4.3，∠A的平分线也经过点D，即三角形的三条角平分线交于一点．例2 已知：如图1.4.4，AD∥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，且点E是DC的中点．问：AD、BC与AB之间有何关系？试说明之．分析：此题结论不确定，从已知中收集有效信息，并大胆尝试（包括用刻度尺测量）是探索、猜想结论的方法．图1.4.4 (1)将“AE平分∠BAD"与“DE⊥AD"结合在一起考虑，可以联想到，若作EF⊥AB于F，就构成角平分线性质定理的基本图形，可得AF＝AD．(2)再结合“点E是DC的中点”，可得：ED＝EF＝EC．于是连接BE，可证BF＝BC．这样，AD＋BC＝AF＋BF＝AB．解：AD、BC与AB之间关系：AD＋BC＝AB．证明思路简记如下：作EF⊥AB，连接BE，易证△ADE≌△AFE( AAS)，∴AD＝AF．再由EF＝ED，EF＝EC，可得△BFE≌△BCE( HL)，∴BF＝BC，AD＋BC＝AB．回顾与反思(1)根据例1的结论，我们可以在三角形内找到一点，使它到三角形三边距离都相等；(2)利用角平分线的性质，可以说明两条线段相等，这也是我们常用的办法．【训练与提高】一、选择题：1．A2．B3．A4．C二、填空题：5．线段的垂直平分线、角平分线6．3 7．900三、解答题：8．略9．过P点分别作垂线10．作图略11．作MN的中垂线，∠AOB 的平分线交点即是12．6 cm【拓展与延伸】图1.5.1BE D CFA1．600 2．略1.5 等腰三角形的轴对称性(1)【实践与探索】例1 (1)已知等腰三角形的一个角是1000，求它的另外两个内角的度数； (2)已知等腰三角形的一个角是800，求它的另外两个角的度数．分析： (1)由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和为1800，所以1000的角一定是这个三角形的顶角；(2)等腰三角形的一个角是800，要分底角为800或顶角为800两种情况． 解：(1)由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和等于1800，这个三角形的顶角等于1000，所以这个三角形的另两个内角应为21(1800 － 1000)＝400． (2)①底角为800时，另外两角分别为800和200；②顶角为800时，另外两角分别为500和500．回顾与反思 ：(1)当不知道已知的角是等腰三角形的顶角还是底角，此时须进行讨论；(2)若把已知角改为α，则这个等腰三角形另外两个角的度数是怎样的呢？例2 如图1.5.1，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点， DE ⊥AB ，垂足为E ， DF ⊥AC ，垂足为F ．试说明DE ＝DF 的道理． 分析：本题可以根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”来说明 DE ＝DF ．也可以利用△ADB 和△ACD 面积相等来说明DE ＝DF ， 或用全等来说明．【训练与提高】 一、选择题：1．A 2．C 3．C 4．C 5．A 二、填空题：图1．5．2图1.5.36．5 cm 7．6 cm ，2 cm ，或4 cm ，4 cm8．（1）12.5 （2）3>a ，120<<b 9．3，3，4或4，4，2 三、解答题：10．（1）700、400 或 550，550 （2） 300，300 11．750，750，300 12．33 cm 13．1080 14．BD ＝CE . 理由：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ．∴∠ADB ＝∠AEC ．∴ΔABD ≌ΔACE ．∴BD ＝CE【拓展与延伸】 1．1000 2．略1.5 等腰三角形的轴对称性(2)【实践与探索】例1 如图1.5.2，在△ABC 中，已知∠A ＝360，∠C ＝720， BD 平分∠ABC ，问图中共有几个等腰三角形？为什么？ 解：图中共有3个等腰三角形． ∵∠A ＝360，∠C ＝720，∴∠ABC ＝1800一（∠A ＋∠C ）＝1800－ (360＋720) ＝720＝∠C ， ∴△ABC 是等腰三角形．又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝21∠ABC ＝360， ∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝360＋360＝720， 即有∠A ＝∠ABD ，∠BDC ＝∠C ．∴△ABD 和△BCD 都是等腰三角形． ∴图1.5.2中共有3个等腰三角形．例2 如图1.5.3所示，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝ 900．，M 、N 分别是AC . BD 的中点，试说明： (1)DM ＝BM ； (2)MN ⊥BD ．图1.5.4解： (1) ∵点M 是Rt △ABC 斜边的中点，∴BM ＝21AC ， 同理DM ＝21AC ，∴BM ＝BM ； (2) ∵N 是BD 的中点，又BM ＝DM ，∴MN ⊥BD ． 回顾与反思 (1)“等边对等角”和“等角对等边”是证明角相等或边相等的又一手段，要能够将这两条定理结合在一起灵活运用，要分清区别和联系；(2)看见直角三角形斜边的中点时，要联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这是我们常用的思维方式之一． 【训练与提高】 一、选择题：1．D 2．B 3．D 4．C 二、填空题：5．等腰 6．8 7．350 ， 218．（1）ΔBDE 或ΔADE （2）ΔBCE（3）ΔAGF 三、解答题：9．等腰三角形 10．ΔABC ，ΔAEF ，ΔEBO ，ΔFCO ，ΔOBC BE ＝CF ＝21EF 11．平行 12．10 cm 【拓展与延伸】1．延长AE 交BC 延长线于F 2．略1.5 等腰三角形的轴对称性(3)【实践与探索】例1 如图1.5.4，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝ 1200，点D 、E 在BC 上，且BD ＝AD ，CE ＝AE ．判断△ADE 的形 状，并说明理由．解： △ADE 是等边三角形．理由：∵AB＝AC，∠BAC＝120．，∴∠B＝∠C＝300．∵BD＝AD，AE＝CE，∴∠B＝∠BAD＝300，∠C＝∠CAE＝300，∴∠ADE＝∠DAE＝∠AED ＝600.∴△ADE是等边三角形．例2 等腰三角形的底边长为5 cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分之差为3 cm，则腰长为( ) A．2 cm B．8 cm C．2 cm或8 cm D．以上都不对分析可以先画出草图，题中所给条件实质是腰长与底边长之差的绝对值为3 cm．因为底边长为5 cm，所以腰长可能为8 cm或2 cm，但由于2 cm ＋2 cm ＜5 cm，故腰长不能为2 cm，只能为8 cm．解：选B．回顾与反思涉及求等腰三角形边或角时，常会出现“两解”的情况．这样的“解”需要检验它是否满足三角形的三边或三角之间的关系．【训练与提高】一、选择题：1．D2．D3．C4．A5．C二、填空题：6．等边、等边7．150 8．1200三、解答题：9．cm1010、略11．（1）EC＝BD（2）添加条件：AB＝AC，是轴对称图形，此时，∠BOC＝1200，12．过D点作AC平行线【拓展与延伸】1．添辅助线，通过ΔACD≌ΔBCE来说明2．略1.6 等腰梯形的轴对称性(1)图1.6.1图1.6.2【实践与探索】例1 如图1.6.1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， AB ＝CD ， 点E 在BC 上，DE ∥AB 且平分∠ADC ，△CDE 是什么三角形？ 请说明理由．解： △CDE 是等边三角形．因为AD ∥BC ， AB ＝CD ，所以∠B ＝∠C ．理由：“等腰梯形在同一底上的两个角相等”又因为AD ∥BC ，所以∠ADE ＝∠CED ．由DE 平分∠ADC ，可得∠ADE ＝∠CDE ， 于是∠CED ＝∠CDE .又因为AB ∥DE ，所以∠B ＝∠CED ，从而有∠C ＝∠CED ＝∠CDE ，所以△CDE 是等边三角形．回顾与反思 等腰梯形与等腰三角形有着紧密的联系．在研究等腰梯形时，要联想到等腰三角形中的知识．例2 如图1.6.2，在梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ， ∠B ＝600， AB ＝2，BC ＝6．将纸片折叠，使得点B 与点D 恰好重合，折痕为AE ，求AE 和CE 的长． 解 ∵点B 与点D 沿折痕AE 折叠后重合，∴△ABE ≌△ADE ， ∴ ∠1 ＝ ∠B ＝600， ∠3 ＝∠4. ∵AD ∥BC ， ∴∠1 ＝ ∠2＝600.而∠2 ＋ ∠3 ＋ ∠4＝ 1800， ∴ ∠3 ＋ ∠4 ＝1200， ∴ ∠3 ＝∠4＝600，而∠B ＝600，∴∠5 ＝600，因此，△ABE 是等边三角形． ∴AE － BE ＝AB ＝2， ∴CE ＝BC － BE ＝4.回顾与反思 解题过程中要把等腰梯形和一般梯形的特征区分开，不可误用． 【训练与提高】 一、选择题： 1．B 2．C 3．B图1.6.3BCFADE二、填空题：4．1080，1080，720 5．27 6．①②③④ 7．1 cm 8．150 三、解答题：9．∠A ＝∠E 10．72 0 、72 0 、108 0、108 0，11．成立 【拓展与延伸】 1．CE ＝21（AB ＋BC ） 过点C 作CF ∥DB ，交AB 的延长线于点F ，先证：ΔDCB ≌ΔFBC ，则CF ＝DB ，又四边形ABCD 是等腰梯形，则AC ＝DB ，故AC ＝CF ， 易证：∠AOB ＝∠ACF ，所以ΔACF 为等腰直角三角形． 又因为CE ⊥AB ，易证：CE ＝AE ＝EF ＝2BCAB ． 2．4，61.6等腰梯形的轴对称性（2）【实践与探索】例1 如图1.6.3，△ABC 中，∠ACB ＝900，D 是AB 的中点，DE ∥AC ，且DE ＝AC 21，点F 在AC 延长线上，且CF ＝AC 21，请说明四边形AFED 是等腰梯形．略证：先说明四边形CFED 是平行四边形．由CD ∥EF ，∠F ＝∠ACD ，且CD 是RT △ABC 斜边上的中线 得∠A ＝∠F ，证得四边形AFED 是等腰梯形回顾与反思 要证明梯形是等腰梯形时，只要证明同一底上的两个角相等．例2 阅读下面的分析过程，并按要求回答问题．已知在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ≠BC .则四边形ABCD 是等腰梯形．你能说明理由吗？分析：要证明四边形ABCD 是等腰梯形，因为AB ＝DC ，所以只需证四边形ABCD(1)(2)(3)(4)图1.6.4是梯形即可；又因为AD ≠BC ，故只需证AD ∥BC ．现有如图1.6.4所示的几种添辅助线的方法，可以任意选择其中一种图形，对原题进行证明．友情提示：充分利用全等三角形与等腰三角形来完成．回顾与反思 在研究等腰梯形时，常常通过辅助线，使等腰梯形与等腰三角形、平行四边形联系起来． 【训练与提高】 一、选择题：1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 二、填空题：6．24 7．50 0 、50 0 、130 0、130 0， 8．是 9．80 0 、80 0 、100 0， 等腰 三、解答题：10．略 11．ΔABC ≌ΔDCB12．是，理由：∵∠E ＝∠ACE ，∴AE ＝AC ∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACE ∴∠E ＝∠DAC ∵AD ＝BE ，∴ΔABE ≌ΔCDA ∴AB ＝CD ∴梯形ABCD 是等腰梯形．13．∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ．∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BEC ＝∠CDB ＝900，BC ＝BC ∴ΔBEC ≌ΔCDB ．∴BE ＝CD ∴AE ＝AD ．∴AED ＝∠ADE ＝21800A ∠-．∵∠ABC ＝∠ACB ＝21800A∠-，∴∠AED ＝∠ABC .∴ED ∥BC .∵BE 与CD 相交于点A ，∴BE 与CD 不平行．∴四边形BCDE 是梯形．∵∠EBC ＝∠DCB ，∴梯形BCDE 是等腰梯形．M NF DCBA E 【拓展与延伸】 1．26，322．解：设经过x 秒后梯形MBND 是等腰梯形， ∵作ME ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．∴BE ＝FN ＝AM ＝x ．∴EF ＝MD ＝21－x ，CN ＝2x ，BN ＝24－2x ． ∴BN ＝2AM ＋MD ．即24－2x ＝2x ＋21－x ，∴x ＝1．第一章复习题A 组：1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6．、18或21，22 7．35 0 、35 0 ；40 0、100 0或700、700 8．3 cm 或7 cm 9．7，10或8.5， 8.5 10．（1）300， （2）19 11．1000 12．（1）400，（2）350，（3）360 13．450 1350 等腰 14．等腰梯形 15．3 B 组：16．略 17．略 18．27 300 19．提示：先证：ΔADE ≌ΔADC ，则DE ＝DC ，所以∠DEC ＝∠DCE ，又EF ∥BC ，所以∠DCE ＝∠FEC ，则∠FEC ＝∠DEC 20．51221．略 22．提示：连结CR 、BP ，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．第二章 勾股定理与平方根答案2.1 平方根⑴例1解： ⑴∵(±10)2＝100，∴100的平方根是±10，即10100±=±；⑵∵(±1.3)2＝1.69，∴1.69的平方根是±1.3，即3.169.1±=±； ⑶∵49412= ，(±23)2＝49，∴49的平方根是±23，即23412±=±；⑷∵02＝0，∴0的平方根是0，即00=.回顾与反思：⑴正数的平方根有两个，它们互为相反数，要防止出现100的平方根是10的错误；⑵当被开方数是带分数时.应先将它化成假分数后再求平方根； ⑶ 0的平方根只有一个，就是0，负数没有平方根. 例2解： ⑴∵－64＜0，∴－64没有平方根；⑵∵(－4)2＝16＞0； ∴(－4)2有两个平方根，即416)4(2±=±=-±； ⑶∵－52＝－25＜0， ∴－52没有平方根；⑷∵81表示81的正的平方根是9，∵9＞0， ∴81的平方根有两个是±3.回顾与反思：象(－4)2、81这样的数求平方根时，应先将这些数化简，再求化简后的数的平方根.例3解：⑴ ∵1962=x ，∴x 是196的平方根，即14196±=±=x ；⑵ ∵01052=-x ，∴22=x ，x 是2的平方根，即2±=x ；⑶ ∵()0253362=--x ， ∴()362532=-x ， ∴()3-x 是3625的平方根，即653±=-x ； ∴6231=x ，6132=x【训练与提高】1. B ； 2D ； 3B . 4.3； 5.±17；±4； 6.±15；54-； 7.－1； 49； 8.9；81； 9.0. 10．⑴－8；⑵±1.3；⑶35-；⑷－9；11.⑴±5；⑵±9；⑶21±；⑷3，－1；12.25； 13．±4.【拓展与延伸】1. ±9；2.±3. 2.1 平方根⑵例1分析：10000表示10000的_________根； 225121-表示225121的算术平方根的相反数； 8149±表示8149的__________根.解 ⑴100100100002==； ⑵ 1511)1511(2251212-=-=-； ⑶ 97)97(81492±=±=±. 回顾与反思：10000表示10000的算术平方根，要防止出现10000＝±100的错误.探索：⑴发现： 当0≥a 时，a a =2)(.⑵发现：当0>a 时，a a =2， 当0<a 时， a a -=2；当0=a 时， 02=a .即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(||2a a a a a a a .例2解： ⑴ 2)3(-＝3； ⑵2)3(-＝3；⑶ 当x ＞0时，x x =2)(； ⑷当0<a 时，03<a ，a a a a 3|3|)3(922-===.回顾与反思：等式)0(2≥=a a a 和⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(||2a a a a a a a ，是算术平方根的两个重要性质.以后经常会用到它们. 【训练与提高】1.B ；2.A ；3.B4.D ；5.D ；6.C .7.⑴±15，15；⑵127± ， 127；⑶±0.1，0.1；⑷17,17±.⑸±2，2；8.169；3± 9.0≥a ，2；10.9=x ；11.－1； 12.－3，互为相反数. 13.⑴ 1；⑵65-； ⑶136±；⑷0.17；⑸.5；⑹.－0.3；⑺954.⑻152.【拓展与延伸】1. ±5，±1 ；12. 5. 2.2立方根例1分析 因为立方与开方互为逆运算，因此我们可以用立方运算来求一个数的立方根，也可以通过立方运算来验证一个数是否为另一个数的立方根.例1解 ⑴∵278)32(3=，∴322783=； ⑵∵278)32(3-=-，∴322783-=-；⑶、⑷、⑸略.例2解 ⑴34)34(2764271023333-==-=--； ⑵52)52(125812583333===--. ⑶略.回顾与反思：⑴当被开方数带“－”号时，可把“－”提取到根号外后再计算； ⑵当被开方数是带分数时，应先化成假分数； ⑶当被开方数没化简时，应先化简后再求值.例3解 ⑴28,8,16233-=-=-=-=3x x x ；⑵略回顾与反思：平方根与立方根的区别如下：⑴表示的意义不同；⑵a 与3a 中的被开方数a 的取值范围不同，a 中的a 应满足a ≥0，3a 中的a 可为任何数；⑶一个数的平方根与立方根的个数也不同，一个数的平方根最多有两个，也可能是一个或者不存在，而它的立方根总有且只有一个；⑷负数没有平方根，但负数有立方根. 【训练与提高】1. B ；2.C ；3.D ；4.B ；5.±8，4，8；6.－1，5，65-，23. 7. 100；±8； 8．7，－3； 9.⑴－10； ⑵45-；⑶72；⑷23；⑸34-；⑹3. ⑺0.3；⑻6. 10.⑴56-.⑵8；⑶－16；⑷－4. 11.⑴5；⑵39；⑶－4；⑷－2. 【拓展与延伸】 1.39； 2. 37.5㎝2.2.3实数⑴例1如图将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形，容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长是2.这就是说，边长为1的正方形的对角线长是2，利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示2的点，如图2.3.2所示.图2.3.1例2分析 无理数有两个特征：一是无限小数，二是不循环.因此，要判定一个数是不是无理数，应从它的定义去判断，而不是从表面上去判断.如带根号的数不一定是无理数，而我们熟悉的圆周率π就是无理数.解 有理数有－3.1415926，113335， •31.0 ，3625.无理数有π-，39 ，22， 0.1010010001…. 回顾与反思：有理数与无理数的区别是：前者是有限小数或无限循环小数，而后者一定是无限不循环小数.例3解 ⑴ 不正确.如••53.2是无限小数，但它不是无理数； ⑵ 不正确. 如••53.2是有理数，但它是无限小数；⑶ 正确.因为无理数是无限不循环小数，当然是无限小数； ⑷ 不正确.如4是有理数. 【训练与提高】1.B ；2. C ；3.C .4.实数；5.25 ，722，0，252252225 ，•64.3； 5.121121121…，2π，18-，32. 6．6；7.±5. 【拓展与延伸】 1. C ； 2. 8. 2.3实数⑵例1分析 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同.所以我们可以用在有理数范围内的同样方法来求一个实数的相反数、绝对值.解 ⑴ ∵4646433-=-=-，∴364-的相反数是4，绝对值是4；π-3的相反数是3-π，∵π-3＜0，∴3|3|-=-ππ.⑵ ∵3|3|=，3|3|=-，∴这个数是±3解 由图可知，,0<a ∴a a -=.∵c b <，∴0>-b c ，∴b c b c -=- ∵0,0<<b a ，∴b a b a --=+，∴c b a b c a b a b c a b a b c a =++-+-=----+-=+--+)()(回顾与反思：⑴根据实数在数轴上的位置可以确定各数的符号以及这些数的大小关系； ⑵在求一个数的绝对值时，首先要确定这个数的符号，然后根据“正数和零的绝对值是本身，负数和零的绝对值是它的相反数”来求出它的绝对值.⑶每个有理数都可以用数轴上的点来，但数轴上的点并不都表示有理数，数轴上的点与实数是一一对应的，即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来数轴上的每一个点都表示一个实数.例3解： （1）∵5)5(2= ，425)25(2=，又4255<， ∴ 255<. （2）∵255<，∴2315<-， ∴43215<- 回顾与反思：比较两个无理数的大小，通常可以用计算器求它们的近似值再进行比较.估算一个无理数的大小 ，还可以用与它相近的有理数逐步逼近的方法来实现.【训练与提高】1. D ；2.B ；3.⑴2，2；⑵ 312，312；⑶－3，3；⑷25-， 25-. 4． ＜， ＜，＜； 5.－1，0，1； 6.37-； 7.⑴2.02；⑵－10.95；⑶－0.98 ；⑷1.29； 8.⑴－5；⑵－4；⑶535--；⑷－9. 9.b －2 a －2c . 10＜； ＜； ＜； ＞. 【拓展与延伸】1. 2a －b .2. 4－2. 2.3近似数与有效数字例1分析 生活中形形色色的数， 哪些是近似数？哪些是准确数?需要我们仔细去辨别.脱离了现实背景的数，有时则无法区分.解 略.例2解 ⑴ 43.8精确到十分位(即精确到0.1)，有3个有效数字， 分别为4、3、8. ⑵ 0.03086精确到十万分位，有4个有效数字，分别为3、0、8、6. ⑶ 2.40万精确到百位，有3个有效数字，分别为2、4、0.回顾与反思：由于2.40万的单位是万，所以不能看成精确到百分位，另外2.4万和2.40万作为近似数，它们是不一样的.例3解 ⑴3.4802≈3.48 ； ⑵ 3.4802≈3.480； ⑶3.1415926≈3.14； ⑷ 26802≈2.7×104. 回顾与反思：（1）本题⑴、⑵小题，由于精确度要求不同，同一个数的近似结果是不一样的，所以第⑵题中3.480后面的0不能省略不写；反之同一个近似结果所对应的原数也不一定相同，你能举例说明吗?（2）第⑷小题中若把结果写成27000，就看不出哪些是保留的有效数字，所以此时要用科学计数法，把结果写成2.7×104. 【训练与提高】1. D ；2.C ；3.A ；4.略；5. ⑴ 百分位，4个； ⑵ 个位，2个； ⑶ 千分位，3个； ⑷ 个位，5个；⑸ 万分位，3个； ⑹万位，3个； ⑺ 百分位，3个； ⑻百万位，3个.【拓展与延伸】 ⑴1×102；⑵－0.54；⑶－3.64×103；；⑷3.5. 2.4 勾股定理（1）例1解：⑴在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵a ＝6，c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝64，∴b ＝8.(b ＝－8舍去) ⑵在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵a ＝40， b ＝9，∴c 2＝a 2＋b 2＝1681，∴c ＝41. .(c ＝－41舍去) ⑶在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵b ＝15，c ＝25， ∴a 2＝c 2－b 2＝400， ，∴a ＝20. .(a ＝－20舍去) ⑷在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵3a ＝4b ，∴a ︰b ＝4︰3， ∴设a ＝4k ，b ＝3k ，则c ＝5k .∵c ＝2.5，∴k ＝0.5，∴a ＝2，，b ＝1.5. 回顾与反思：勾股定理反映直角三角形．．．．．中三边的关系，运用勾股定理在直角三角形的三边中已知任意两边就可以求出第三边.例2解 ①∵△ABC 中， ∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1， ∴AB ＝2112222=+=+BC AC ，②∵△ABC 中， ∠ACB ＝90°， BC ＝1，AB ＝2，∴AC ＝3122222=-=-BC AB回顾与反思：运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形．若已知条件中没有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理． 【训练与提高】1.D ；2.A ；3. 13，60；4. 225，39， 225；5. 5，76.5；7. 49；8.13；9. a 3【拓展与延伸】4. 2.4 勾股定理（2）例1略例2解：由题意得∠AOB ＝90°，AO ＝30，BO ＝40.5040302222=+=+=BO AO AB (海里)答：1小时后两舰相距50海里例3分析 此题首先要解决△ABC 的面积，为此，可考虑作AD ⊥BC 于D .解 过A 作AD ⊥BC 于D ，则AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2. 设BD ＝x ，则CD ＝14－x ，∴132―x 2＝152―(14－x )2， ∴x ＝5即BD ＝5，∴AD 2＝144.∴AD ＝12，S △ABC ＝21BC ·AD ＝84m 2. ∴费用84×50＝4200元. 回顾与反思：（1）勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的关系，已知直角三角形中任意两边就可以依据勾股定理求出第三边.在实际问题中若存在现成的直角三角形，就可以直接运用勾股定理解决问题.（2）涉及面积计算往往需要添加辅助线(高)来构造直角三角形，从而运用勾股定理求得相应的线段，进而求出所需面积. 【训练与提高】1. D ． 2．D . 3．4，6 ，2. 4. 7 ，1.8 ； 5. 3㎝； 6. 略. 【拓展与延伸】 1.图略； 2. 图略. 2.5 神秘的数组（例1解 ⑴∵22222225625247c b a ===+=+.根据直角三角形的判定条件知，由a 、b 、c 为三边组成的三角形是直角三角形，且∠C ＝90°.⑵∵2222225.225.65.12a c b ===+=+.根据直角三角形的判定条件知，由a 、b 、c 为三边组成的三角形是直角三角形，且∠A ＝90°.⑶∵c ＞ a ， c ＞ b ， 16411452222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+b a ，而9253522=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，∴222c b a ≠+，根据直角三角形的判定条件知，由a 、b 、c 为三边组成的三角形不是直角三角形.回顾与反思：要判定一个三角形是否为直角三角形，只要计算两条较短边的平方和，以及最长边的平方，然后看它们是否相等即可.例2解 ∵在△ABD 中，AB 2＋AD 2＝9＋16＝25＝BD 2，∴△ABD 是直角三角形，∠A 是直角.∵在△BCD 中，BD 2＋BC 2＝25＋144＝169＝CD 2， ∴△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角. ∴这个零件符合要求.回顾与反思：像(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)等满足a 2＋b 2＝c 2的一组正整数，通常称为勾股数．利用勾股数可以构造直角三角形.例3解 ∵12412)2()1(2422422222++=++-=+-=+n n n n n n n b a .222)1(c n =+=根据直角三角形的判定条件，得∠C ＝90°.【训练与提高】1. B ；2.B ；3.C ；4. C ；5.C ；6. 直角三角，B ；7. 12，13，5；直角三角形；8. 直角三角形，略9. ∵AB ⊥BC ，∴∠B ＝90°，∴AC 2＝AB 2＋BC 2＝5，又∵AC 2＋CD 2＝5＋4＝9＝AD 2.∴∠ACD ＝90°，∴AC ⊥CD . 10.是，略； 11.连接AC ，∵∠ADC ＝90°，AD ＝4，CD ＝3，∴AC 2＝AD 2＋CD 2＝25，∴AC ＝5，∵AB ＝13，BC ＝12，∴AC 2＋BC 2＝25＋144＝169＝AB 2，∠ACB ＝90°，S ＝30－6＝24. 【拓展与延伸】1. 连结EC ，∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC 于D ，交AB 于E ，∴BE ＝CE ∵BE 2－EA 2＝AC 2，∴CE 2－EA 2＝AC 2，∴CE 2＝EA 2＋AC 2∴∠A ＝90°.2.略 2.6 勾股定理的应用（1）例1分析 ⑴根据勾股定理，直角三角形中若两直角边长分别为1个单位和3个单位，则斜边长为10个单位，因此，以原点为圆心，10个单位长为半径画圆与数轴的交点表示的数即分别为±10.解：⑴如图图2.6.1①； ⑵如图图2.6.1②例2分析：几何应用问题重在将实际问题转化为数学问题，此题若设AE ＝x km ，由△DAE 、△EBC 均为直角三角形，且它们的斜边相等，运用勾股定理可建立方程.解：设AE ＝x km ，则BE ＝(25－x )km. ∵CE ＝DE ，∴CE 2＝DE 2 .由勾股定理得 152＋x 2＝(25－x ) 2＋102解得 x ＝10 . 答：E 站应建在距A 站10km 处.回顾与反思：（1）运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形．若已知条件中没有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理．（2）勾股定理是直角三角形中三边数量之间的一个关系式，也常被用作列方程的等量关系；【训练与提高】1. B .2.C ；3.34；4. 5，13；5. 24，4.8.6. 2.7. 能，略8. 能，略；9. 略； 10.10；11. 4； 12. 25 . 【拓展与延伸】1. 19.5m ；2. 作AD ⊥BC 于D ，设BD ＝x ，由题意10―x 2＝172―(x ＋9)2，解得x ＝6.由勾股定理得AD ＝8.2.6 勾股定理的应用⑵例1分析：设EC ＝x ，则DE ＝8－x ，由于折叠长方形的边AD ，且D 落在点F 处，故△AFE 和△ADE 全等，则EF ＝8－x ，AF ＝AD ＝10，在Rt △EFC 中，运用勾股定理得到关于x 的方程，可以求出x 的值.解：设EC ＝x cm ，则DE ＝(8－x )cm ，∵D 、F 关于AE 对称∴△AFE ≌△ADE ， ∴AF ＝AD ＝BC ＝10，EF ＝ DE ＝8－x .在Rt △ABF 中，6222=-=AB AF BF∴FC ＝BC －BF ＝4.在Rt △EFC 中，由勾股定理得：222)8(4x x -=+ ，解得 x ＝3.答：EC 长为3cm.. 回顾与反思：（1）折叠问题和轴对称密切相关，要注意翻折图形的特征；（2）从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a 2＋b 2＝c 2”，看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把实际问题的条件转化为解方程.例2分析 求证的结论中出现平方的形式，我们常可联想勾股定理.要运用勾股定理，首先要找到与结论中的线段有关的直角三角形，若题中没有现成的直角三角形，则需要构造直图2.6.1A FECDB图2.6.3角三角形.解 作AE ⊥BC 于E ，则在△ADE 中，AD 2＝DE 2＋AE 2； 又∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴AE ＝BE ＝CE . ∵BD 2＋CD 2＝(BE －DE )2＋(CE ＋DE )2＝BE 2＋CE 2＋2DE 2＝2AE 2＋2DE 2＝2AD 2，∴BD 2＋CD 2＝2AD 2. 回顾与反思：（1）在三角形中若要说明某个角是直角，常常想到勾股定理的逆定理. （2）说明含某些线段的平方形式的问题，常通过作垂线构造直角三角形，运用勾股定理来解决.【训练与提高】1. 1.5. 2．直角三角形；2.5. 3．不一定，也可能只是a ＝b ； 4.略； 5⑴3，⑵设CD ＝x ，由题意62＋x 2＝ (8－ x )2，解得x ＝47∴CD ＝47. 【拓展与延伸】 1. 2a 2； 2.略.第二章复习题1. ±8；8；4；±5. 2．π,93- . 3．－1，0，1. 4.＜，＞. 5. 32-，32-. 6. ±4. 7. ±1，±2. 8. 12. 9. 2，3. 10. 233+. 11. 0≥x . 任何实数.12. ⑴52. ⑵32，⑶10，24. 13.41. 14. 30. 15. B ． 16.C . 17.B . 18.B . 19.C . 20.C .21.⑴2±.⑵－3.⑶3，－1； 22.直角三角形. 23. 5㎝. 24. 43.4. 25. ±1. 26. 2. 27. 2010.28. x ＝6. 29. 2，74. 30. 3. 31. 132. 32. 2，5，10，17，21n +. 33. 12.34. 102，106. 35. 2n. 36. 6(提示：设CD ＝x ，由勾股定理得x 2＋92＋x 2＋42＝132). 37. 327. 38. ＜，＞.第三章 中心对称图形（一）参考答案3．1 图形的旋转例1 如图3．1．1，△ABC 是等边三角形，D 是BC 上的一点，△ABD 经过旋转后达到△ACE 的位置．⑴旋转中心是哪一点？ ⑵旋转了多少度？ ⑶如果M 是AB 的中点，那么经过上述旋转后点M 转到了什么位置？ ⑷图中相等的线段有哪些？相等的角有哪些？分析 解决本题只需利用旋转的定义及其特征． 解 ⑴旋转中心是点A ； ⑵旋转了60°；⑶点M 转到了AC 的中点位置上；⑷相等的线段有：AB=BC=AC ，AD=AE ，BD=CE ；相等的角有：∠B=∠BCA=∠CAB=∠DAE=60°，∠BAD=∠CAE ，∠BDA=∠CEA ．回顾与反思：本题应用了旋转的定义及特征，知道旋转图形哪些变，哪些不变．本题的难点在于旋转角度，注意图中∠DAC 不是旋转角度．另外，注意到对应线段AB 、AC 所在直线的夹角是60°（旋转角度），那么对应线段BD 、CE 所在直线的夹角呢？由此你想到什么？例2 已知，如图3．1．2，△ABC 中，∠BAC=120°，⑴以点A 为旋转中心，将△BAC 逆时针旋转60°得△ADE ，画出△ADE ；⑵设题⑴中AD 、BC 交于F ，AC 、DE 交于点G ，请你猜想旋转后△ABF 能否与△ADG 重合？为什么？解 ⑴△ADE 如图所示（画法略）；⑵△ABF 能与△ADG 重合，理由如下：∵∠BAC=120°，∠BAD=60°，∴∠DAG=60°=∠BAF ；又由旋转知∠B=∠D ，BA=DA ，∴△ABF ≌△ADG （ASA ）．回顾与反思：观察一下△AFC 与△AGE 是否也具备这样的关系？本题中△ABF 与△ADG 能够重合是由∠BAC 及旋转角的特殊性导致的，如果，将△ADE 再绕点A 逆时针旋转过1°，则∠BAD=59°，∠DAG=61°，结论就不成立．【训练与提高】1．D 2．点A ，逆时针旋转45° 3．⑴点A ，⑵△AEF 是等腰直角三角形，⑶略 4．⑴110°或290°，⑵180° 5．以A 为中心逆时针旋转120°得△AEF ，以C 为中心顺时针旋转120°得△CED ，以AC 中点为中心旋转180°得△ACE 6．417．图略8．图略，用SAS 证△EAC ≌△BAD ，再证BD ⊥EC【拓展与延伸】1．图略．△A′′B′′C′′可由△ABC 绕点P 旋转2∠P 得到 2．图略3．2 中心对称与中心对称图形⑴例1 如图3．2．1，已知△ABC 和点O ，试画出△DEF ，使△DEF 和△ABC 关于点O 成中心对称．解 ①连接AO 并延长AO 到D ，使OD =OA ，得到点A 的对称点D ；②同样方法画出点B 、C 的对称点E 、F ； ③顺次连接DE 、EF 、FD ． 所以，△DEF 即为所求的三角形．回顾与反思：画出一个别图形关于某一点成中心对称图形，关键在图3．1．2GF EDCBA 图3．2．1EB。

专题13轴对称的性质重难突破知识点一轴对称图形及轴对称性质1、轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．注意：轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条甚至无数条．2、两个图形成轴对称如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴．3、轴对称的性质在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．注意：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，沿对称轴折叠后，重合的点是对应点，叫做对称点．类似地，重合的线段是对应线段，重合的角是对应角．（2021•宝安区模拟）下列图形中，不是轴对称图形的是()A．B．C．D．典例2（2020春•郫都区期末）如图，ABC∠度数为()∠=︒，则B'C∆与△A B C'''关于直线l对称，若50A∠=︒，20A．110︒B．70︒C．90︒D．30︒典例3下列说法：（1）线段的对称轴有两条；（2）角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线；（3）两个全等的等边三角形一定成轴对称；（4）两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线两侧；（5）到直线L距离相等的点关于L对称．其中说法不正确的有()A．3个B．2个C．1个D．4个知识点二利用轴对称作图1、已知轴对称图形求作对称轴方法：先确定图形的两个对应点，再作以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线，这条直线就是它的对称轴．2、已知对称轴，求作与已知图形成轴对称的图形的步骤方法：（1）先观察已知图形，并确定能代表已知图形的关键点；（2）分别作出这些关键点关于对称轴的对应点；（3）根据已知图形连接这些对应点，即可得到与已知图形成轴对称的图形．（2020春•济南期末）如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC ∆的三个顶点分别在格点上，请在网格中按要求作出下列图形，并标注相应的字母．（1）作△111A B C ，使得△111A B C 与ABC ∆关于直线l 对称；（2）求△111A B C 的面积（直接写出结果）．典例2（2021春•深圳期中）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A 、B 、C 在小正方形的顶点上．（1）在图中画出与ABC ∆关于直线l 成轴对称的△111A B C ；（2）利用网格线在直线l 上求作一点P ，使得PA PC +最小，请在直线l 上标出点P 位置．知识点三轴对称的应用（最短路径）基本问题：在直线l上找一点P，使得其到直线异侧两点A、B的距离之和最小．变式1：在直线l上找一点P，使得其到直线同侧两点A、B的距离之和最小．变式2：直线m、n交于O，P是两直线间的一点，在直线m、n上分别找一点A、B，使得PAB的周长最短．典例1（2019春•灵石县期末）如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是()A．B．C．D．典例2（2019春•南海区期末）如图，在ABC==，8=，AB的垂直平分线交AB于点M，交BC cmAB AC cm∆中，10∆的周长最小值AC于点N，在直线MN上存在一点P，使P、B、C三点构成的PBC∆的周长最小，则PBC为．巩固训练一、单选题（共8小题）1．（2020•南山区校级一模）下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是()A．B．C．D．2．（2020•罗湖区一模）下列智能手机的功能图标中，不是轴对称图形的是()A．B．C．D．3．（2020春•禅城区期末）室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是()A．3:20B．3:40C．4:40D．8:204．（2020春•天桥区期末）如图，ABC∆与DEF∆关于直线l对称，BE交l于点O，则下列说法不一定正确的是()A．AC DF=B．BO EO=C．AD l⊥D．//AB EF5．（2019秋•无为县期末）在44⨯的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与ABC∆关于某条直线对称的格点三角形，最多能画()个．A．5B．6C．7D．86．（2020春•成华区期末）如图，在ABC∆中，AB AC=，70C∠=︒，△AB C''与ABC∆关于直线AD对称，10CAD∠=︒，连接BB'，则ABB'∠的度数是()A．45︒B．40︒C．35︒D．30︒7．（2019•平度市一模）如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，3AC=，4BC=，AD平分CAB∠交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE EF+的最小值为()A．152B．203C．3D．1258．（2019春•高新区期末）如图，AD 为等边ABC ∆的高，E 、F 分别为线段AD 、AC 上的动点，且AE CF =，当BF CE +取得最小值时，(AFB ∠=)A ．112.5︒B ．105︒C ．90︒D ．82.5︒二、填空题（共3小题）9．（2020秋•李沧区期末）如图，AOB ∆与COB ∆关于边OB 所在的直线成轴对称，AO 的延长线交BC 于点D ．若46BOD ∠=︒，22C ∠=︒，则ADC ∠=︒．10．（2020秋•海勃湾区期末）如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B 、D 两点落在B '、D '点处，若得70AOB ∠'=︒，则B OG ∠'的度数为．11．（2020春•双流区校级期末）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6BC =，8AC =，10AB =，动点P 在边AB 上运动（不与端点重合），点P 关于直线AC ，BC 对称的点分别为1P ，2P ．则在点P 的运动过程中，线段12P P 的长的最小值是．三、解答题（共2小题）12．（2020秋•海淀区校级月考）在等边ABC ∆中，点P 、Q 是BC 边上的两个动点（不与点B ，C 重合），点P 在点Q 的左侧，且AP AQ =，点Q 关于直线AC 的的对称点为M ，连接AM ，PM ，求证：PA PM =．13．（2021春•南山区校级期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点ABC ∆（顶点均在格点上）关于直线DE 对称的△111A B C ；（2）在DE 上画出点P ，使1PB PC +最小；（3）在DE 上画出点Q ，使1||QB QC -最大．。

图1B'A'B A A C‘C B'A'B A C B'A'B A C‘C B'A'B D’A C‘D CB'A'B 轴对称的性质（1）教、学、巩固案班级 姓名 学号【学习目标】1. 知道线段的垂直平分线的概念；2. 成轴对称的两个图形全等，对称轴是对称点连线的垂直平分线；3. 会画轴对称图形的对称轴。

【复习导学】（一）轴对称和轴对称图形的区别和联系有哪些？ （二）学生完成操作并回答：线段AA ’与折痕l 有什么关系？（三）为什么？（四）什么是线段的垂直平分线？【问题探究】1、如图，线段AB 和A ’B ’是成轴对称的两个图形，如何找出它的对称轴？2、如下图，你能找出它们的对称轴吗？3、在问题中1中，线段AB 与线段A ’B ’有什么关系？对称点A 、A ’和对称点 B 、B ’ 的连线与对称轴有什么关系？4、在操作问题中，△ABC 和△A ’B ’C ’有什么关系？四边形ABCD 和四边形A ’ B’C ’D ’呢？各对称点的连线与对称轴有什么关系？据此，我们能得到什么结论？轴对称的性质：⑴ 。

⑵ 。

【迁移应用】 1．（1）标出下列成轴对称的两个图形的对应点、并用测量的方法验证对 应点的连线被对称轴垂直平分； （2）说出图中相等的线段和角。

（线段、角各三对）（3）因为△OAB 和△IEF 关于直线l , 所以 △OAB △IEF ，直线l 垂直平分线段 ， ∠ABO =∠ ， ∠EIF =∠ 。

2．已知点P 和点P ’关于一条直线对称，请你画出这条对称轴。

3．仔细观察下面的图案，并按规律在横线上画出合适的图形。

4．用三角板画出下列图形的对称轴，下列哪些图形可以不用三角板的刻度画出 它的对称轴。

【纠正反馈】完成课本后练习1.2.3A BC DH E FG O Il P ..P ’PPPGPGGG【当堂检测】 一、选择:1． 下列图形中，不是轴对称图形的有 （ ）Ａ.0个 Ｂ.1个 Ｃ.2个 Ｄ.3个 2．如图所示的两位数中，是轴对称图形的有 （ ）Ａ.1个 Ｂ.2个 Ｃ.3个 Ｄ.4个3. 下列图形中，点P 与点G 关于直线对称的是 （ ）Ａ Ｂ Ｃ Ｄ二、填空：4．成轴对称的两个图形的对应线段 、对应角 ； 5．如图所示的两个三角形关于某条直线对称，∠1＝110°, ∠2＝46°,则x ＝ .6．如果两个图形关于某直线对称，那么连结 的线段被 垂直平分.1x2NFM C 21A E BD三、解答题：7．如图表示长方形纸片ABCD 沿对角线BD 进行折叠后的情况，图中有没有关于 某条直线对称的图形？如有，请作出对称轴，图中是否有相等的线段、相等 的角（不含直角）？如有，请写出相等的线段、相等的角．8．如图，Rt △AFC 和Rt △AEB 关于虚线成轴对称，现给出下列结论：①∠1＝∠2；②△ANC ≌△AMB ；③CD ＝DN ，其中正确的结论是 （填序号）； 选一个你比较喜欢的结论加以说明．EBADC。

轴对称的基本性质【要点梳理】要点一、轴对称的基本性质★成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直评分★轴对称及轴对称的判定（1）如果两个图形的对应点所连线段被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称.（2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等，并且这两个图形成轴对称.要点诠释：（1）对应点的连线是一条线段，而对称轴是一条直线.（2）两条成轴对称的线段要么平行，要么所在直线相交且交点一定在对称轴上.【例1】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，若△A＝50°，△C′＝30°，则△B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【变式1.1】如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA 于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【变式1.2】如图，△MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若△MON＝35°，则△GOH＝（）A．60°B．70°C．80°D．90°【变式1.3】如图，在Rt△ABC中，△BAC＝90°，△B＝50°，AD△BC，垂足为D，△ADB 与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则△CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°（1）若某点在对称轴上，则它的对称点也一定在对称轴上，并且和这个点重合.（2）如果一个点在对称轴的左侧，那么这个点的对称点一定在对称轴的右侧；反之，一个点在对称轴的右侧，则这个点的对称点一定在对称轴的左侧.要点三、平面直角坐标系中的轴对称★关于坐标轴对称的点的坐标的关系★在平面直角坐标系中作成轴对称的图形【例2】作一个图形关于x轴（或y轴）成轴对称的图形的步骤：（1）找：在原图形上找特殊点（如线段的端点）；（2）作：作各个特殊点关于对称轴的对称点；（3）连：按原图的顺序连接所作的各对称点.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．【变式2.1】在下图中，画出△ABC关于直线MN的对称图形.【变式2.1】若点A（1，2），B（﹣1，2），则点A与点B的关系是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x＝1对称D．关于直线y＝1对称【变式2.2】已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为（）A．（﹣4，2）B．（﹣4，﹣2）C．（4，﹣2）D．（4，2）【变式2.3】小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．她放的位置是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（1，﹣2）D．（﹣1，﹣2）典型例题题型一：轴对称的性质【练习1.1】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且△A＝105°，△C′＝30°，则△B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°【练习1.2】如图，在△ABC中，AB＝AC，△C＝70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，△CAF＝10°，连接BB′，则△ABB′的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【练习1.3】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则△B的度数为（）A．30°B．50°C．90°D．100°【练习1.4】如图，Rt△ABC中，△ACB＝90°，△A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则△A′DB为．【练习1.5】如图，AD是三角形ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD＝2，AD ＝3，则图中阴影部分的面积是．【练习1.6】如图，在等边△ABC中，AB＝4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是．【练习1.7】如图，点P是△ACB外的一点，点D，E分别是△ACB两边上的点，点P关于CA的对称点P1恰好落在线段ED上，P点关于CB的对称点P2落在ED的延长线上，若PE＝2.5，PD＝3，ED＝4，则线段P1P2的长为．【练习1.8】如图，△BAC＝110°，若A，B关于直线MP对称，A，C关于直线NQ对称，则△P AQ的度数是．【练习1.9】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积是cm2．【练习1.10】如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【练习1.11】如图的2×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【练习1.12】如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【练习1.13】如图，是由大小一样的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点均落在小正方形的顶点上．在网格上能画出的三个顶点都落在小正方形的顶点上，且与△ABC成轴对称的三角形共有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【练习1.14】如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，点B 关于AC 的对称点B '恰好落在CD 上，若∠BAD ＝α，则∠ACB 的度数为（ ）A ．45°B ．α﹣45°C ．12αD ．90°−12α 【练习1.15】如图，点P 关于OA 、OB 的对称点是H 、G ，直线HG 交OA 、OB 于点C 、D ，若∠HOG ＝80°，则∠CPD ＝ °．【练习1.16】在等边△ABC 外作射线AD ，使得AD 和AC 在直线AB 的两侧，∠BAD ＝α（0°＜α＜180°），点B 关于直线AD 的对称点为P ，连接PB ，PC ．（1）依题意补全图1；（2）在图1中，求∠BPC 的度数；（3）直接写出使得△PBC 是等腰三角形的α的值．【练习1.17】如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点，若GH的长为14，求△P AB的周长．【练习1.18】如图，等边三角形ABC中，D为边BC上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE，在AD上取点F，使得∠EFD＝60°，射线EF与AC交于点G．（1）设∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；（2）探究CG与DE之间的等量关系，并证明．【练习1.19】如图，△ABC的点C与C′关于AB对称，点B与B′关于AC对称，连结BB′、CC′，交于点O．（1）如图（1），若∠BAC＝30°，①求∠B'AC'的度数；②观察并描述：△ABC'可以由△AB'C通过什么变换得来？求出∠BOC'的角度；（2）如图（2），若∠BAC＝α，点D、E分别在AB、AC上，且C′D∥BC∥B′E，BE、CD交于点F，设∠BFD＝β，试探索α与β之间的数量关系，并说明理由．【练习1.20】如图在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为外角∠BCD平分线上一动点（不与点C重合），点E关于直线BC的对称点为F，连接BE，连接AF并延长交直线BE于点G．（1）求证：AF＝BE；（2）用等式表示线段FG，EG与CE的数量关系，并证明．【练习1.21】国庆期间，广场上设置了一个庆祝国庆70周年的造型（如图所示）．造型平面呈轴对称，其正中间为一个半径为b的半圆，摆放花草，其余部分为展板．求：（1）展板的面积是．（用含a，b的代数式表示）（2）若a＝0.5米，b＝2米，求展板的面积．（3）在（2）的条件下，已知摆放花草部分造价为450元/平方米，展板部分造价为80元/平方米，求制作整个造型的造价（π取3）．【练习1.22】如图所示，梯形ABCD关于y轴对称，点A的坐标为（﹣3，3），点B的坐标为（﹣2，0）．（1）写出点C和点D的坐标；（2）求出梯形ABCD的面积．题型二：关于x、y轴对称的点的坐标【练习2.1】在平面直角坐标中，已知点P（a，5）在第二象限，则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点的坐标是（）A．（﹣a，5）B．（a，﹣5）C．（﹣a+2，5）D．（﹣a+4，5）【练习2.2】点M（1，4﹣m）关于直线y＝﹣3对称的点的坐标为（1，7），则m＝（）A．16B．27C．17D．15【练习2.3】如图，一束光线从y轴的点A（0，2）出发，经过x轴上的点C反射后经过点B（6，6），则光线从点A到点B所经过的路程是（）A．10B．8C．6D．4【练习2.4】如图，若△A′B′C′与△ABC关于直线AB对称，则点C的对称点C′的坐标是（）A．（0，1）B．（0，﹣3）C．（3，0）D．（2，1）【练习2.5】在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A（3，−52）和B（3，−112）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C（﹣2，﹣9），则C点对称点的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，−32）C．（−32，﹣9）D．（﹣2，﹣1）【练习2.6】甲、乙两名同学下棋，甲执圆子，乙执方子，如图，棋盘中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示，甲将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形，甲放的位置是（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）【练习2.7】点P（2，5）关于直线x＝1的对称点的坐标是（）A．（﹣2，5）B．（﹣3，5）C．（4，5）D．（0，5）【练习2.8】嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用（﹣1，1）表示，右下角的圆形棋子用（0，0）表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置可能是（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣1）C．（0，2）D．（1，3）【练习2.9】在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（√3，√2），则经过第2019次变换后所得的点A的坐标是（）A．（−√3，√2）B．（−√3，−√2）C．（√3，−√2）D．（√3，√2）【练习2.10】在平面直角坐标系中，已知点P（a2+2，5），则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都为﹣2）对称点的坐标是（）A．（﹣a2+6，5）B．（﹣a2﹣6，5）C．（a2﹣6，5）D．（﹣a2+4，5）【练习2.11】点（6，3）关于直线x＝2的对称点为（）A．（﹣6，3）B．（6，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣3，﹣3）【练习2.12】如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（）A．(−2016，√3+1)B．(−2016，√3−1)C．(−2017，√3+1)D．(−2017，−√3−1)【练习2.13】平面内点A（﹣1，2）和点B（﹣1，a）关于直线y＝4对称，a＝．【练习2.14】如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作是由△ABC经过若干次的图形变化（轴对称、平移）得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：．【练习2.15】已知△ABC关于直线y＝1对称，C到AB的距离为2，AB长为6，则点A、点B的坐标分别为．【练习2.16】如图，在直角坐标平面内，已知点A（8，0），点B（3，0），点C是点A关于点B的对称点．（1）求点C的坐标；（2）如果点P在y轴上，过点P作直线l∥x轴，点A关于直线l的对称点是点D，那么当△BCD的面积等于10时，求点P的坐标．题型三：轴对称—最短路线问题【练习3.1】如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【练习3.2】如图，四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC 上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°【练习3.3】如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【练习3.4】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 、CE 是△ABC 的两条中线，P 是AD 上一个动点，则下列线段的长度等于BP +EP 最小值的是（ ）A ．BCB ．CEC ．AD D ．AC【练习3.5】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是（ ）A ．125B ．4C ．245D ．5【练习3.6】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △P AB =13S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和P A +PB 的最小值为（ ）A．√29B．√34C．5√2D．√41【练习3.7】如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别是线段BC，DC上的动点．当△AEF的周长最小时，则∠EAF的度数为（）A．90°B．80°C．70°D．60°【练习3.8】如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为8，BD平分∠ABC．若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【练习3.9】如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．2√3B．2√6C．3D．√6【练习3.10】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是16，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）A ．6B ．8C ．10D ．12【练习3.11】如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，√3），点C 的坐标为（12，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，则P A +PC 的最小值为（ ）A ．√132B ．√312C ．3+√192D ．2√7【练习3.12】如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．10【练习3.13】如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM ＝6．P 为对角线BD 上一点，则PM ﹣PN 的最大值为 ．【练习3.14】如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4√2，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ．【练习3.15】如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为．【练习3.16】如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为．【练习3.17】如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6√2，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为．【练习3.18】如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．【练习3.19】如图所示，已知点C（1，0），直线y＝﹣x+7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长的最小值是．【练习3.20】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为．【练习3.21】如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙A和⊙B上的动点，则PE+PF的最小值是．【练习3.22】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是．【练习3.23】在锐角三角形ABC中，BC=4√2，∠ABC＝45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是．【练习3.24】已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值＝．【练习3.25】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形内部有一动点P满足S△P AB=1 3S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和P A+PB的最小值为．【练习3.26】如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1），在x轴上存在点P到A，B两点的距离之和最小，则P点的坐标是．【练习3.27】（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．【练习3.28】已知：如图所示，（1）作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出△A′B′C′三个顶点的坐标．（2）在x轴上画出点P，使P A+PC最小．【练习3.29】如图已知EF∥GH，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D交HG于点K．AC＝3，DK＝2，BK＝4．（1）若CD＝6，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM的长；（2）若CD=132，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求AP+PQ+QB的最小值．【练习3.30】如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小；（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值．【练习3.31】如图，C为线段BD上的一个动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问：点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？求出这个最小值．（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式√x2+4+√(12−x)2+9的最小值．【练习3.32】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B．（4，2）、C（3，4）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1，B1，C1；（2）若P为x轴上一点，则P A+PB的最小值为；（3）计算△ABC的面积．【练习3.33】如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝4，∠BCD＝15°，P为CD 上的动点，则|P A﹣PB|的最大值为．【练习3.34】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC （即三角形的顶点都在格点上）．（1）△ABC的面积为；（2）在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．（3）利用网格纸，在MN上找一点P，使得PB+PC的距离最短．（保留痕迹）【练习3.35】请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．小明的思路是：如图2所示，先作点A关于直线l的对称点A′，使点A′，B分别位于直线l的两侧，再连接A′B，根据“两点之间线段最短”可知A′B与直线l的交点P 即为所求．请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP＝1，AC＝1，PD＝2，直接写出AP+BP的值；（2）将（1）中的条件“AC＝1”去掉，换成“BD＝4﹣AC”，其它条件不变，直接写出此时AP+BP的值；（3）请结合图形，求√(m−3)2+1+√(9−m)2+4的最小值．【练习3.36】在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图①，若∠ADE＝60°，AB＝AC＝2，点D在线段BC上，①∠BCE和∠BAC之间是有怎样的数量关系？不必说明理由；②当四边形ADCE的周长取最小值时，直接写出BD的长；（2）若∠BAC≠60°，当点D在射线BC上移动，如图②，则∠BCE和∠BAC之间有怎样的数量关系？并说明理由．题型四：翻折变换（折叠问题）【练习4.1】如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于点F ．若AB ＝6，BC ＝4√6，则FD 的长为（ ）A ．2B ．4C ．√6D ．2√3【练习4.2】如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把△BDC 沿BD 翻折，得到△BDC '，DC ′与AB 交于点E ，连结AC '，若AD ＝AC ′＝2，BD ＝3，则点D 到BC ′的距离为（ ）A ．3√32B ．3√217C ．√7D ．√13【练习4.3】如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．2B ．54C ．53D ．75 【练习4.4】如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE ．若AB 的长为2，则FM 的长为（ ）A．2B．√3C．√2D．1【练习4.5】如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=725．在以上4个结论中，正确的有（）A．1B．2C．3D．4【练习4.6】如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2＝40°，则图中∠1的度数为（）A．115°B．120°C．130°D．140°【练习4.7】如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF＝2BE；②PF＝2PE；③FQ＝4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④【练习4.8】如图，Rt △ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．53B ．52C ．4D ．5【练习4.9】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点D ′处，则重叠部分△AFC 的面积为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【练习4.10】如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B ′处．当△CEB ′为直角三角形时，BE 的长为 ．【练习4.11】如图矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝7，点E 为DC 上一个动点，把△ADE 沿AE 折叠，当点D 的对应点D ′落在∠ABC 的角平分线上时，DE 的长为 ．【练习4.12】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在边AC 上，并且CF ＝2，点E 为边BC 上的动点，将△CEF 沿直线EF 翻折，点C 落在点P 处，则点P到边AB距离的最小值是．【练习4.13】折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG 翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝．【练习4.14】如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G 在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于．【练习4.15】如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB＝6，AD′＝2，则折痕MN的长为．【练习4.16】如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于．【练习4.17】阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC 顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C 重合．探究发现（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B ＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．【练习4.18】如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB＝∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【练习4.19】如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．（1）求证：AG＝C′G；（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM 的长．题型五：图形的剪拼【练习5.1】如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（）A．甲、乙都可以B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以D．甲可以、乙不可以【练习5.2】如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的▱KLMN，若中间空白部分四边形OPQR恰好是正方形，且▱KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为（）A．24B．25C．26D．27【练习5.3】如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2a，则纸片的剩余部分的面积为（）A．5a B．4a C．3a D．2a【练习5.4】如图，在正方形ABCD纸片上有一点P，P A＝1，PD＝2，PC＝3，现将△PCD 剪下，并将它拼到如图所示位置（C与A重合，P与G重合，D与D重合），则∠APD 的度数为（）A．150°B．135°C．120°D．108°【练习5.5】如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（）A．√7B．2√2C．3D．√10【练习5.6】如图，有一块菱形纸片ABCD，沿高DE剪下后拼成一个矩形，矩形的相邻两边DC和DE的长分别是5，3．则EB的长是（）A．0.5B．1C．1.5D．2【练习 5.7】用两个全等的直角三角形拼成下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形．则一定可以拼成的图形是（）A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤【练习5.8】用两个全等的直角三角形拼下面的图形：（1）平行四边形；（2）矩形；（3）菱形；（4）正方形；（5）等腰三角形；（6）等边三角形．可以拼成的图形是（）A．（1）（4）（5）B．（2）（5）（6）C．（1）（2）（3）D．（1）（2）（5）【练习5.9】如图1，将矩形ABCD和正方形EFGH的分别沿对角线AC和EG剪开，拼成图2所示的平行四边形PQMN，中间空白部分的四边形KRST是正方形．如果正方形EFGH 与正方形KRST的面积分别是16和1，则矩形ABCD的面积为（）A．15B．16C．17D．25【练习5.10】如图1，分别沿长方形纸片ABCD和正方形纸片EFGH的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的四边形ALMN，若中间空白部分四边形恰好是正方形OPQR，且四边形ALMN的面积为72，则正方形的面积是（）A．34B．35C．36D．37【练习5.11】如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为．【练习5.12】如图1，分别沿矩形纸片ABCD和正方形EFGH纸片的对角线AC，EG剪开，拼成如图2所示的平行四边形KLMN，若中间空白部分恰好是正方形OPQR，且平行四边形KLMN的面积为50，则正方形EFGH的面积为．【练习5.13】有一张一个角为30°，最小边长为4的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是．【练习5.14】如图，五个全等的小正方形无缝隙、不重合地拼成了一个“十字”形，连接A．B 两个顶点，过顶点C作CD⊥AB，垂足为D．“十字”形被分割为了①、②、③三个部分，这三个部分恰好可以无缝隙、不重合地拼成一个矩形，这个矩形的长与宽的比为．【练习5.15】如图1，在大正方形中剪去一个小正方形，再将图中的阴影剪拼成一个长方形，如图2，这个长方形的长为24，宽为16，则图2中S2部分的面积是．【练习5.16】如图，每个小正方形的边长为1，剪一剪，拼成一个正方形，那么这个正方形的边长是．【练习5.17】有三个大小一样的正六边形，可按下列方式进行拼接：方式1：如图1；方式2：如图2；若有六个边长均为1的正六边形，采用方式1拼接，所得图案的外轮廓的周长是．有n个长均为1的正六边形，采用上述两种方式的一种或两种方式混合拼接，若得图案的外轮廓的周长为18，则n的最大值为．【练习5.18】如图，把一个半径为r厘米的圆分成若干等份，然后把它剪开，照下图的样子拼起来，拼成新的图形的周长比原来圆的周长多10厘米，则该圆的半径为厘米．【练习5.19】列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形．（1）根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长；（2）如图甲，把六边形ABCDEF沿EH，BG剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置，并指出②③属于旋转、平移和轴对称中的哪一种变换；（3）在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形．【练习5.20】在△ABC中，沿着中位线DE剪切后，用得到的△ADE和四边形DBCE可以拼成平行四边形DBCF，剪切线与拼图如图1所示．仿照上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位置画出图示．（画图工具不限，剪切线用实线表示，拼接线用虚线表示，要求写出简要的说明）（1）将平行四边形ABCD剪切成两个图形，再将它们拼成一个矩形，剪切线与拼图画在图2的位置；（2）将梯形ABCD剪切成两个图形，再将它们拼成一个平行四边形，剪切线与拼图画在图3的位置．【练习 5.21】著名台湾魔术师刘谦发明了一个道具，他把下图①中的正方形，分割成两个全等的直角三角形和直角梯形．然后拼成图②中的长方形．通过计算这两个图形的面积，证明了64＝65．请你用学过的数学知识，找到刘谦的破绽．。