2020版导与练一轮复习文科数学习题：第六篇 不等式(必修5) 第1节 不等关系与不等式

第4节基本不等式应用能力提升在冥比中升申思筠【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1. (2018 •衡水周测)下列不等式一定成立的是(C )I(A) lg(x 2+ )>lg x(x>0)i(B) sin x+ 住2(x 工k n ,k € Z)(C) x 2+1>2|x|(x € R)12(D) >1(x € R)I 1 1解析:当x>0 时,x 2+ >2 • x • =x,所以lg(x 2+) > lg x(x>0),故A错误;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，当x工k12n ,k € Z时,sin x 的正负不定，故B错误；当x=0时，有.1=1,故D错误.故选C.2. (2018 •黄石月考)设0<a<b,则下列不等式中正确的是(B )a +b a + h解析：法一 由a=」’，b=「「二',0<a<b,及均值不 等式知■. ■: <a +b b + b. < < '.故选 B.法二 特殊值法,令a=1,b=2，代入验证即可.I 23. (2015 •湖南卷)若实数a,b 满足+ =,则ab 的最小值为(C ) (A)(B)2(C)2(D)4一 fl解析：由题设易知a>0,b>0,所以.=■+ >2」；，即ab > 2 ,当且仅当 b=2a 时等号成立，故选C.514. (2018 •白城模拟)若x> ,则f(x)=4x+ 一 _的最小值为(D ) (A)-3(B)2(C)5 (D)7ii解析:f(x)=4x+； _ =4x-5+ ； _+5.5因为x> ,所以4x-5>0,13所以4x-5+一 > 2.故f(x) > 2+5=7,等号成立的条件是x=.2 I5. (2018 •孝感模拟)已知a>0,b>0,2a+b=1,则+的最小值是(D )(A)4 (B) ' (C)8 (D)9(A)a<b< . <(B)a< . <<b a + ba ■ + h(C)a<<b<(D)<a <bb +b解析：因为 2a+b=1,又 a>0,b>0,2 I 2 I2b 2a2a2b 2a所以 + =( + ) • (2a+b)=5^: + > 5+2「1=9,当且仅当「=,即|a=b=时等号成立.故选D.I 1 k6.（2018 •西宁模拟）设a>0,b>0,且不等式+ +一 >0恒成立，则实数 k 的最小值等于（C ）解析：由，+'+： > 0得k 亠 ,而^= + +2> 4（a=b 时取等号）,（a + b ）2（a 十 b ）2所以-；< -4,因此要使k >-； 恒成立，应有k >-4,即实数k 的最小值等于-4. 7.（2018 •南阳模拟）某公司租地建仓库，每月土地占用费y i 与仓库到 车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比,如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用 小和y 分别为2万元 和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 公里处.20 解析：设x 为仓库与车站距离，由已知y 1=;y 2=0.8X 费用之和y=0+答案:5a 4 + 4b 4 + 1y 2=0.8x+ '>2' =8,当且仅当0.8x 二20 y即X =5时“二”成立.8.(2017 •天津卷)若 a,b € R,ab>0,则ab 的最小值a 4 + 4沪 + 1故 宀’的最小值为4. 答案：4能力提升(时间:15分钟)9. (2018 •大连一模)已知首项与公比相等的等比数列｛a n ｝中，若m,n €2 12满足a m =,则+的最小值为(A )39(A)1 (B) ' (C)2 (D)'解析:设｛a n ｝的公比为q,由题意得a m =q ：a n 二q n ,a 4二q 4,所以q m+2=q 8.m + 2n所以m+2n=8所以二=1, 又因为m,n € N,2 1 2(m + 2n) m A-2n I n m 1 I ' 1 所以m +】1二 伽 + 亦 =彳+皿+師+并＞2 +2"= 1.n m当且仅当'■'=',即m=2n=4时取“二”.故选A.10. (2018 •信阳模拟)已知两个正数x,y 满足x+4y+5=xy,则xy 取最小 值时,x,y 的值分别为(B )解析:因为J + 4b 4+ 1 所以”>=4,当且仅当2 =2肥1 4血=—ai扩即 "4时取得等号. 4a 2b 2+ 1 砒=4ab 和“ > 2^(A)5,5(B)10, '(C)10,5(D)10,10解析：因为x>0,y>0, 所以 xy=x+4y+5> 4 +5. 令=t,则 t 2>4t+5,即 12-4t-5 >0.解得t > 5或t <-1(舍去),所以 x=10,y='.11.(2018 •太原模拟)设x,y 满足约束条件:1若目标函数Z 二ax+by(a>0,b>0)的最大值为1,则：+的最小值为(258I I(A)(B) ： (C)(D)4解析：作出可行域如图中阴影部分所示.因为a>0,b>0.所以由图知，当直线z=ax+by 过点A(1,1)时,z 取得最大值1,_____ ____ ___ _ I所以a+b=1.所以「+：八 + " =2+ + > 2+2」'=4.当且仅当 取等号.3x ^y-2 <O rx-y>O f所解得12. (2018 •南昌二中月考)在厶ABC中,D为AB的中点，点F在线段CD不含端点)上，且满足=x‘ +y ,若不等式-+ > a2+at对t € [-2,2]恒成立,则a的最小值为(B )(A)-4 (B)-2 (C)2 (D)4解析：根据图象知道点D,F,C三点共线，故I =x +y =2x +y ,由共1 2 y 4x线定理得到2x+y=1,则C+，)(2x+y)=4+ + > 8,故问题转化为8> a2+at 对t € [-2,2]恒成立，当a=0时0W 8恒成立，因为y=at+a2-8(a工0)是关于t的一次函数，故直接代入端点即可，1八-加-肥o? a€ [-2,2],故a 的最小值为-2.13. (2018 •唐山模拟)规定记号“？”表示一种运算,即a?b= +a+b(a,b为正实数).若1?k=3,则k的值为__________，此时函数f(x)= 「的最小值为________ .解析:1 ?k= +1+k=3,即k+ -2=0,所以=1或「=-2(舍),所以k=1.当且仅当■- ■- 即x=1时等号成立.答案:1 31614. ____________________________________________________ (2018 •常州模拟)已知a>b>0,则aS—-的最小值是___________________ .B + <2 - b Cl ? 解析：因为a>b>0,所以b(a-b) < (' )2=；,当且仅当a=2b时等号成立.16所以1 > a+ ' =a+ > 2=16,当且仅当a=2时等号成立.16所以当a=2 ,b^ 时,a2+「：「取得最小值16.答案:16。

2020年高考文科数学一轮总复习：不等关系与不等式第1讲 不等关系与不等式1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b ． 2．不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ⇔b ＜a . (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c ．(3)可加性：a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ；a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d . (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ， a ＞b ＞0，c ＞d ＞0⇒ac ＞bd .(5)可乘方：a ＞b ＞0⇒a n ＞b n (n ∈N ，n ≥1)． (6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．常用知识拓展倒数性质(1)a >b ，ab >0⇒1a <1b .(2)a <0<b ⇒1a <1b .(3)a >b >0，d >c >0⇒a c >bd.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( ) (2)若ab>1，则a >b .( )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (4)同向不等式具有可加性和可乘性．( )(5)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)设A ＝(x －3)2，B ＝(x －2)·(x －4)，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A ≥B B ．A ＞B C ．A ≤BD ．A <B解析：选B.A －B ＝(x 2－6x ＋9)－(x 2－6x ＋8)＝1＞0，所以A ＞B .故选B. 设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列结论正确的是( ) A ．ac 2>bc 2B.ab>1C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C.当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以选项A 错误；当b ＝0时，ab 无意义，所以选项B 错误；因为a >b ，所以a －c >b －c 恒成立，所以选项C 正确；当a ≤0时，a 2<b 2，所以选项D 错误．故选C.12－1________3＋1(填“>”或“<”)． 解析：12－1＝2＋1<3＋1. 答案：<下列不等式中恒成立的是__________． ①m －3＞m －5；②5－m ＞3－m ； ③5m ＞3m ；④5＋m ＞5－m .解析：m －3－m ＋5＝2＞0，故①恒成立； 5－m －3＋m ＝2＞0，故②恒成立；5m －3m ＝2m ，无法判断其符号，故③不恒成立； 5＋m －5＋m ＝2m ，无法判断其符号，故④不恒成立． 答案：①②比较两个数(式)的大小(典例迁移)(1)已知a >b >0，m >0，则( ) A.b a ＝b ＋m a ＋m B.b a >b ＋m a ＋m C.b a <b ＋m a ＋mD.b a 与b ＋m a ＋m的大小关系不确定 (2)若a ＝ln 33，b ＝ln 22，比较a 与b 的大小．【解】 (1)选C.b a －b ＋m a ＋m ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）a （a ＋m ）＝m （b －a ）a （a ＋m ）.因为a >b >0，m >0.所以b －a <0，a ＋m >0，所以m （b －a ）a （a ＋m ）<0.即b a －b ＋m a ＋m <0.所以b a <b ＋ma ＋m . (2)因为a ＝ln 33＞0，b ＝ln 22＞0，所以a b ＝ln 33·2ln 2＝2ln 33ln 2＝ln 9ln 8＝log 89＞1， 所以a ＞b .[迁移探究] 若本例(1)的条件不变，试比较b a 与b －ma －m 的大小．解：b a －b －m a －m ＝b （a －m ）－a （b －m ）a （a －m ）＝m （a －b ）a （a －m ）.因为a >b >0，m >0. 所以a －b >0，m (a －b )>0. (1)当a >m 时，a (a －m )>0，所以m （a －b ）a （a －m ）>0，即b a －b －m a －m >0，故b a >b －m a －m .(2)当a <m 时，a (a －m )<0. 所以m （a －b ）a （a －m ）<0，即b a －b －m a －m <0，故b a <b －m a －m.比较大小常用的方法[提醒] 用作差法比较大小的关键是对差进行变形，常用的变形有通分、因式分解、配方等．1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <BD ．A >B解析：选B.由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 2．比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b (a >0，b >0)两个代数式的大小．解：因为a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2（a －b ）＋b 2（b －a ）ab ＝（a －b ）（a 2－b 2）ab＝（a －b ）2（a ＋b ）ab.又因为a >0，b >0，所以（a －b ）2（a ＋b ）ab≥0，故a 2b ＋b 2a≥a ＋b .不等式的性质(师生共研)(1)(特值法)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(2)若a ＞0＞b ＞－a ，c <d <0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc <0；③a －c ＞b －d ；④a (d－c )＞b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 (1)当b <0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |； 当b ＝0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |；当b >0时，由a >b 有|a |>|b |，所以a >b ⇔a |a |>b |b |. 综上可知a >b ⇔a |a |>b |b |，故选C. (2)因为a ＞0＞b ，c <d <0， 所以ad <0，bc ＞0， 所以ad <bc ，故①错误．因为0＞b ＞－a ，所以a ＞－b ＞0， 因为c <d <0，所以－c ＞－d ＞0， 所以a (－c )＞(－b )(－d )，所以ac ＋bd <0，所以a d ＋b c ＝ac ＋bdcd <0，故②正确．因为c <d ，所以－c ＞－d ，因为a ＞b ，所以a ＋(－c )＞b ＋(－d )， 即a －c ＞b －d ，故③正确．因为a ＞b ，d －c ＞0，所以a (d －c )＞b (d －c )， 故④正确，故选C. 【答案】 (1)C (2)C判断关于不等式的命题的真假的方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)利用函数的单调性：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．(3)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．1．若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a d >b cB.a d <b cC.a c >b dD.a c <b d解析：选B.因为c <d <0，所以1d <1c <0，所以－1d >－1c >0.而a >b >0，所以－a d >－bc >0，所以a d <bc.故选B. 2．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2<b 2<c 2 B ．a |b |<c |b | C ．ba <caD ．ca <cb解析：选D.因为a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，b 的符号不定，对于b >a ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变．不等式性质的应用(典例迁移)已知－1<x <4，2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．【解析】 因为－1<x <4，2<y <3， 所以－3<－y <－2， 所以－4<x －y <2.由－1<x <4，2<y <3，得－3<3x <12， 4<2y <6， 所以1<3x ＋2y <18.【答案】 (－4，2) (1，18)[迁移探究1] (变条件)若将本例条件改为“－1<x <y <3”，求x －y 的取值范围． 解：因为－1<x <3，－1<y <3， 所以－3<－y <1，所以－4<x －y <4.又因为x ＜y ，所以x －y <0，所以－4<x －y <0， 故x －y 的取值范围为(－4，0)．[迁移探究2] (变条件)若将本例条件改为“－1<x ＋y <4，2<x －y <3”，求3x ＋2y 的取值范围．解：设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，所以⎩⎨⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又因为－1<x ＋y <4，2<x －y <3， 所以－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32，所以－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，所以3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232.求代数式取值范围的方法利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．1．设α∈⎝⎛⎭⎫－π6，π2，β∈[0，π]，那么2α－β3的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，2π3B.⎝⎛⎭⎫－π3，2π3C.⎣⎡⎭⎫－π3，2π3D.⎝⎛⎭⎫－2π3，π 解析：选D.由题设得－π3<2α<π，0≤β3≤π3，所以－π3≤－β3≤0，所以－2π3<2α－β3＜π. 2．(2019·长春市质量检测一)已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.答案：(－π，2π)[基础题组练]1．已知a ，b ∈R ，若a >b ，1a <1b 同时成立，则( )A ．ab >0B ．ab <0C ．a ＋b >0D ．a ＋b <0解析：选A.因为1a <1b ，所以1a －1b ＝b －aab <0，又a >b ，所以b －a <0，所以ab >0.2．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n <m <n <－m B ．－n <m <－m <n C ．m <－n <－m <nD ．m <－n <n <－m解析：选D.法一(取特殊值法)：令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可．法二：m ＋n <0⇒m <－n ⇒n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立． 3．设a <b <0，c >0，则下列不等式中不成立的是( ) A.c a >c b B.c a －b >c a C ．|a |c >－bcD.－a c >－b c解析：选B.由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a ⇒c a －b <ca ，所以B 中式子不成立．4．(2019·湖北黄冈检测)已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C.因为x >y >z ，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0， 所以x >0，z <0，由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z 得xy >xz .故选C. 5．(2019·扬州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________． 解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)， 因为a 1<a 2，b 1<b 2， 所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0， 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 16．已知a ，b ∈R ，则a <b 和1a <1b 同时成立的条件是________．解析：若ab <0，由a <b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a <1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b. 所以a <b 和1a <1b 同时成立的条件是a <0<b .答案：a <0<b7．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是________．解析：因为－π2<α<π，－π2<β<π，所以－π<－β<π2，所以－3π2<α－β<3π2.又因为α<β，所以α－β<0，从而－3π2<α－β<0.答案：⎝⎛⎭⎫－3π2，08．已知12<a <60，15<b <36，求a －b ，ab 的取值范围．解：因为15<b <36，所以－36<－b <－15. 又12<a <60，所以12－36<a －b <60－15， 所以－24<a －b <45，即a －b 的取值范围是(－24，45)． 因为136<1b <115，所以1236<a b <6015，所以13<ab<4，即ab的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，4. [综合题组练]1．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.2．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝⎛⎭⎫12x－⎝⎛⎭⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0解析：选C.1x －1y ＝y －x xy <0；当x ＝π，y ＝π2时，sin x －sin y <0；函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上单调递减，所以⎝⎛⎭⎫12x<⎝⎛⎭⎫12y，即⎝⎛⎭⎫12x－⎝⎛⎭⎫12y<0.当x ＝1，y ＝12时，ln x ＋ln y <0. 3．设a >b ，有下列不等式：①a c 2>b c 2；②1a <1b ；③|a |>|b |；④a |c |≥b |c |，其中一定成立的有________．(填正确的序号)解析：对于①，1c 2>0，故①成立；对于②，a >0，b <0时不成立；对于③，取a ＝1，b ＝－2时不成立； 对于④，|c |≥0，故④成立． 答案：①④4．(综合型)已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________． 解析：因为ab 2>a >ab ， 所以a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1无解． 综上可得b <－1. 答案：(－∞，－1)。

第1节　不等关系与不等式【选题明细表】知识点、方法题号不等式的性质1,2,3,5比较大小4,7,14范围问题6,8,13综合应用9,10,11,12基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·十堰模拟)若x+y>0,a<0,ax>0,则y-x一定(　A　)(A)大于0(B)等于0(C)小于0(D)不确定解析:由a<0,ax>0,得x<0,又x+y>0,所以y>0,故y-x>0.2.(2018·衡水中学模拟)已知<<0,则下列选项中错误的是(　D　)(A)|b|>|a|(B)ac>bc(C)>0 (D)ln >0解析:<<0,当c<0时,>>0,即b>a>0,所以|b|>|a|,ac>bc,>0成立,此时0<<1,所以ln <0.当c>0时,<<0,即b<a<0,所以|b|>|a|,ac>bc,>0成立,此时0<<1,所以ln <0.故选D.3.(2018·许昌模拟)若a,b都是实数,则“->0”是“a2-b2>0”的(　A　)(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由->0得a>b≥0,由a2-b2>0得a2>b2,即a>b≥0或a<b≤0,所以“->0”是“a2-b2>0”的充分不必要条件.4.(2018·商丘模拟)已知a=log23+log2,b=log29-log2,c=log32,则a,b,c的大小关系是(　B　)(A)a=b<c(B)a=b>c(C)a<b<c(D)a>b>c解析:a=log23+log2=log23.b=log29-log2=log2=log23.所以a=b=log23>log22=1.因为c=log32<log33=1,所以a=b>c,故选B.5.(2018·安徽五校联考)已知下列四个条件:①b>0>a;②0>a>b;③a>0>b;④a>b>0.能推出<成立的有(　C　)(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:因为b>0>a,所以①正确;由倒数法则知②④正确,故选C.6.(2018·阜阳模拟)若1<a<3,-4<b<2,则a-|b|的取值范围是(　C　)(A)(-1,3)(B)(-3,6)(C)(-3,3)(D)(1,4)解析:因为-4<b<2,所以0≤|b|<4,所以-4<-|b|≤0,又因为1<a<3,所以-3<a-|b|<3.7.x2+y2+1与2(x+y-1)的大小关系是　.解析:因为(x2+y2+1)-2(x+y-1)=(x-1)2+(y-1)2+1>0,所以x2+y2+1>2(x+y-1).答案:x2+y2+1>2(x+y-1)8.若-1<a+b<3,2<a-b<4,则2a+3b的取值范围是 .解析:设2a+3b=x(a+b)+y(a-b),所以得因为-1<a+b<3,2<a-b<4,所以-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1.所以-<2a+3b<.答案:-,能力提升(时间:15分钟)9.(2018·咸阳模拟)已知0<a<b,且a+b=1,则下列不等式中正确的是(　C　)(A)log2a>0 (B)2a-b<(C)log2a+log2b<-2(D)<解析:由题意,得0<a<1,0<b<1,因此log2a<0,A错;-1<-b<0,又a<b,所以-1<a-b<0,所以<2a-b<1,B错;因为0<a<b,所以+>2=2.所以>22=4,D错;由a+b=1>2,得ab<,所以log2a+log2b=log2(ab)<log2=-2,C正确.故选C.10.(2018·江门模拟)已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0,->0(其中a,b,c,d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数为(　D　)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:①由ab>0,bc-ad>0,即bc>ad,得>,即->0;②由ab>0,->0,即>,得bc>ad,即bc-ad>0;③由bc-ad>0,->0,即>0,得ab>0.故可组成3个正确的命题.11.(2018·芜湖模拟)甲、乙两位采购员同去一家粮食销售公司买了两次粮食(同一品种),两次粮食的价格不同,两位采购员的购粮方式也不同.其中,甲每次购买1 000 kg,乙每次购粮用去1 000元钱,则购粮方式更合算的是 (选填“甲”或“乙”).解析:设两次价格分别为a元,b元,则甲的平均价格为m=元,乙的平均价格为n==,所以m-n=-=>0,所以m>n,所以乙更合算.答案:乙12.(2018·襄阳模拟)若x>y,a>b,则在①a-x>b-y,②a+x>b+y,③ax>by,④x-b>y-a,⑤>这五个式子中,恒成立的不等式的序号是 .解析:令x=-2,y=-3,a=3,b=2,符合题设条件x>y,a>b,因为a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5,所以a-x=b-y,因此①不成立.因为ax=-6,by=-6,所以ax=by,因此③也不成立.因为==-1,==-1,所以=,因此⑤不成立.由不等式的性质可推出②④成立.答案:②④13.(2018·遵义模拟)若-1≤lg≤2,1≤lg(xy)≤4,则lg的取值范围是 .解析:由1≤lg(xy)≤4,-1≤lg≤2得1≤lg x+lg y≤4,-1≤lg x-lg y≤2,而lg =2lg x-lg y=(lg x+lg y)+(lg x-lg y),所以-1≤lg≤5.答案:[-1,5]14.在a>0,b>0的情况下,下面四个结论:①≤;②≤;③≤;④+≥a+b.其中正确的是 .解析:①中-==-≤0,所以≤;②正确;③中()2-=≤0,所以≤;④中(+)-(a+b)===≥0,所以+≥a+b.答案:①②③④。

第4节基本不等式【选题明细表】知识点、方法题号基本不等式的理解1,2利用基本不等式求最值3,4,5,8基本不等式的实际应用7综合应用6,9,10,11,12,13,14基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·衡水周测)下列不等式一定成立的是(　C　)(A)lg(x2+)>lg x(x>0)(B)sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z)(C)x2+1≥2|x|(x∈R)(D)>1(x∈R)解析:当x>0时,x2+≥2·x·=x,所以lg(x2+)≥lg x(x>0),故A错误;运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”,当x≠kπ,k∈Z时,sin x的正负不定,故B错误;当x=0时,有=1,故D错误.故选C.2.(2018·黄石月考)设0<a<b,则下列不等式中正确的是(　B　)(A)a<b<<(B)a<<<b(C)a<<b<(D)<a<<b解析:法一　由a=,b==,0<a<b,及均值不等式知< <<.故选B.法二　特殊值法,令a=1,b=2,代入验证即可.3.(2015·湖南卷)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为(　C　)(A)(B)2 (C)2 (D)4解析:由题设易知a>0,b>0,所以=+≥2,即ab≥2,当且仅当b=2a时等号成立,故选C.4.(2018·白城模拟)若x>,则f(x)=4x+的最小值为(　D　)(A)-3 (B)2 (C)5 (D)7解析:f(x)=4x+=4x-5++5.因为x>,所以4x-5>0,所以4x-5+≥2.故f(x)≥2+5=7,等号成立的条件是x=.5.(2018·孝感模拟)已知a>0,b>0,2a+b=1,则+的最小值是(　D　)(A)4(B)(C)8(D)9解析:因为2a+b=1,又a>0,b>0,所以+=(+)·(2a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即a=b=时等号成立.故选D.6.(2018·西宁模拟)设a>0,b>0,且不等式++≥0恒成立,则实数k的最小值等于(　C　)(A)0 (B)4 (C)-4 (D)-2解析:由++≥0得k≥-,而=++2≥4(a=b时取等号),所以-≤-4,因此要使k≥-恒成立,应有k≥-4,即实数k的最小值等于-4.7.(2018·南阳模拟)某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距车站10公里处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 公里处.解析:设x为仓库与车站距离,由已知y1=;y2=0.8x费用之和y=y1+y2=0.8x+≥2=8,当且仅当0.8x=,即x=5时“=”成立.答案:58.(2017·天津卷)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为 .解析:因为a,b∈R,ab>0,所以≥=4ab+≥2=4,当且仅当即时取得等号.故的最小值为4.答案:4能力提升(时间:15分钟)9.(2018·大连一模)已知首项与公比相等的等比数列{a n}中,若m,n∈N*满足a m=,则+的最小值为(　A　)(A)1(B)(C)2(D)解析:设{a n}的公比为q,由题意得a m=q m,a n=q n,a4=q4,所以q m+2n=q8.所以m+2n=8,所以=1,又因为m,n∈N*,所以+=+=+++≥+2=1.当且仅当=,即m=2n=4时取“=”.故选A.10.(2018·信阳模拟)已知两个正数x,y满足x+4y+5=xy,则xy取最小值时,x,y的值分别为(　B　)(A)5,5(B)10,(C)10,5 (D)10,10解析:因为x>0,y>0,所以xy=x+4y+5≥4+5.令=t,则t2≥4t+5,即t2-4t-5≥0.解得t≥5或t≤-1(舍去),所以≥5.由解得所以x=10,y=.11.(2018·太原模拟)设x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为1,则+的最小值为(　D　)(A)(B)(C)(D)4解析:作出可行域如图中阴影部分所示.因为a>0,b>0,所以由图知,当直线z=ax+by过点A(1,1)时,z取得最大值1,所以a+b=1.所以+=+=2++≥2+2=4.当且仅当a=b=时取等号.12.(2018·南昌二中月考)在△ABC中,D为AB的中点,点F在线段CD(不含端点)上,且满足=x+y,若不等式+≥a2+at对t∈[-2,2]恒成立,则a的最小值为(　B　)(A)-4(B)-2(C)2(D)4解析:根据图象知道点D,F,C三点共线,故=x+y=2x+y,由共线定理得到2x+y=1,则(+)(2x+y)=4++≥8,故问题转化为8≥a2+at 对t∈[-2,2]恒成立,当a=0时0≤8恒成立,因为y=at+a2-8(a≠0)是关于t的一次函数,故直接代入端点即可,⇒a∈[-2,2],故a 的最小值为-2.13.(2018·唐山模拟)规定记号“⊗”表示一种运算,即a⊗b=+a+b(a,b为正实数).若1⊗k=3,则k的值为 ,此时函数f(x)=的最小值为 .解析:1⊗k=+1+k=3,即k+-2=0,所以=1或=-2(舍),所以k=1.f(x)===1++≥1+2=3,当且仅当=即x=1时等号成立.答案:1　314.(2018·常州模拟)已知a>b>0,则a2+的最小值是 .解析:因为a>b>0,所以b(a-b)≤()2=,当且仅当a=2b时等号成立.所以a2+≥a2+=a2+≥2=16,当且仅当a=2时等号成立.所以当a=2,b=时,a2+取得最小值16.答案:16。

2020高三数学一轮复习单元练习题：不等式（Ⅴ）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．若实数a 、b 满足a +b =2，则3a+3b的最小值是 （ ）A ．18B ．6C ．23D ．2432．不等式组⎩⎨⎧<-<-030122x x x 的解集是（ ）A ．{x |－1<x <1}B ．{x |0<x <3}C ．{x |0<x <1}D ．{x |－1<x <3} 3．若0＜a ＜1，则下列不等式中正确的是（ ）A ．（1－a ）31＞（1－a ）21 B ．log 1－a （1＋a ）＞0 C ．（1－a ）3＞（1＋a ）2D ．（1－a ）)1(a +＞14．若a ＞b ＞1，P ＝b a lg lg ⋅，Q ＝21（lg a ＋lg b ），R ＝lg （2b a +），则 （ ）A ．R ＜P ＜QB ．P ＜Q ＜RC ．Q ＜P ＜RD ．P ＜R ＜Q5．当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）A ．2B ．32C ．4D ．346．设10<<a ，函数)22(log )(2--=xx a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（ ）A ．)0,(-∞B ．),0(+∞C ．)3log ,(a -∞D ．),3(log +∞a7．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥131x y x y 所表示的平面区域的面积为（ ）A ．2B ．23 C ．223 D ．28．目标函数y x z +=2，变量y x ,满足43035251x y x y x -+<⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则有（ ）A ．3,12min max ==z zB ．,12max =z z 无最小值C ．z z ,3min =无最大值D ．z 既无最大值，也无最小值9．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式342-+>+p x px x 都成立的x 的取值范围 （ ）A ．13-<>x x 或B ．13-≤≥x x 或C ．31<<-xD ．31≤≤-x 10．若a <b <0，则下列结论中正确的命题是（ ）A ．b a 11>和||1||1b a >均不能成立B ．bb a 11>-和||1||1b a >均不能成立 C ．不等式a b a 11>-和（a +b 1）2>（b +a1）2均不能成立D ．不等式||1||1b a >和（a +a1）2>（b +b 1）2均不能成立11．设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27- 12．已知22sin sin =+y x ，因式cos x +cos y 的最大值为（ ） A ．2 B ．0 C ．1414 D ．214 第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

第2节　一元二次不等式及其解法1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、　一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.[考纲展示]考点专项突破知识链条完善 把散落的知识连起来知识梳理1.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系相异-2ba2b a{x|x 1<x<x 2}2.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解过程用程序框图表示为3.分式不等式与一元二次不等式的关系(x-a)(x-b)>0对点自测B1.不等式x(2-x)>0的解集是( )(A)(-∞,0) (B)(0,2)(C)(-∞,0)∪(2,+∞)(D)(2,+∞)解析:由x(2-x)>0,得x(x-2)<0,即0<x<2,所以不等式x(2-x)>0的解集为{x|0<x<2}.DD4.(2018·湛江模拟)不等式4x2-mx+1≥0对一切x∈R恒成立,则实数m的取值范围是 .解析:因为不等式4x2-mx+1≥0对一切x∈R恒成立,所以Δ=m2-16≤0,解得-4≤m≤4.答案:[-4,4]5.下列命题:①若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0;②若不等式ax2+bx+c>0的解集为(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两根是x1和x2;③若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R;④不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.其中正确的命题有 .(填所有正确命题的序号)解析:①,②正确;对于③,若a<0,则不等式ax2+bx+c>0的解集为⌀,故③错误;对于④,若a=b=0,c≤0,则ax2+bx+c≤0在R上也恒成立,故④错误.答案:①②考点专项突破 在讲练中理解知识考点一　一元二次不等式的解法(多维探究)考查角度1:不含参的一元二次不等式的解法【例1】 解下列不等式:(1)-x2+8x-3>0;(2)-4x2+12x-9<0;(3)x2+2x+8<0.反思归纳解一元二次不等式的一般步骤(1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式;(2)计算对应方程的判别式;(3)求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根;(4)写出不等式的解集.【跟踪训练1】 解下列不等式: (1)2x2+4x+3<0;(2)-3x2-2x+8≤0;(3)8x-1≥16x2.考查角度2:含参数的一元二次不等式的解法【例2】 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.解:原不等式可化为(x-1)(ax-1)<0,①当a=0时,可解得x>1.反思归纳解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项系数若含有参数应讨论二次项系数是小于零,还是大于零,若小于零将不等式转化为二次项系数为正的形式.(2)判断方程的根的个数,讨论判别式Δ的符号.(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.【跟踪训练2】 解关于x的不等式:x2-(a2+a)x+a3>0.解:原不等式化为(x-a)(x-a2)>0,①当a2-a>0,即a>1或a<0时,原不等式的解集为{x|x>a2或x<a}.②当a2-a<0,即0<a<1时,原不等式的解集为{x|x<a2或x>a};③当a2-a=0,即a=0或a=1时,原不等式的解集为{x|x≠a}.综上①②③得a>1或a<0时不等式解集为{x|x>a2或x<a};当0<a<1时,不等式解集为{x|x<a2或x>a};当a=0或a=1时,不等式解集为{x|x≠a}.考点二　一元二次不等式恒成立问题(典例迁移)【例3】 已知函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于x∈R,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围;(2)若对于x∈[1,3],f(x)<5-m恒成立,求实数m的取值范围.迁移探究1:本例中(1)变为若f(x)<0对于m∈[1,2]恒成立,求实数x的取值范围.迁移探究2:本例中(2)条件“f(x)<5-m恒成立”改为“f(x)<5-m无解”,求m 的取值范围?迁移探究3:本例中(2)条件“f(x)<5-m恒成立”改为“存在x,使f(x)<5-m成立”,求m的取值范围.反思归纳(1)解决恒成立问题一定要分清哪个为变量哪个为参数.一般地,知道范围的为变量,所求量为参数.(2)解决含参数的一元二次不等式恒成立问题,通常有两种方法:一是函数性质法,借助相应的函数图象,构造含参数的不等式(组);二是分离参数法,把不等式等价转化,使之转化为求函数的最值问题.(3)一元二次不等式恒成立的条件:考点三　一元二次不等式的实际应用(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(2)在政府补贴的前提下,该垃圾处理厂为了不亏损,每月最多可处理多少吨该类垃圾?反思归纳求解不等式应用题的方法(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.(2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学模型.(3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义.(4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.【跟踪训练3】 某工厂产品生产件数x与生产总成本y(万元)之间有函数关系为y=0.1x2-6x+300,若每件产品成本平均不超过7万元,且每件产品用料6吨.现有库存原料30吨,旺季可进料900吨,旺季最高产量是( )(A)150件(B)155件(C)200件(D)100件解析:若每件产品成本均不超过7万元,则y=0.1x2-6x+300≤7x,即x2-130x+3 000≤0,所以30≤x≤100,又因为每件产品用料6吨,现有库存原料30吨,旺季可进料900吨,即产品产量最多生产155件,所以x≤100.故选D.备选例题【例2】(2018·营口模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)>x的解集用区间表示为 .答案:(-5,0)∪(5,+∞)(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.点击进入应用能力提升。

第1节集合【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·全国Ⅰ卷)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B等于( A )(A){0,2} (B){1,2}(C){0} (D){-2,-1,0,1,2}解析:A∩B={0,2}∩{-2,-1,0,1,2}={0,2}.故选A.2.已知集合A={x|lg x>0},B={x|x≤1},则( B )(A)A∩B≠∅(B)A∪B=R(C)B⊆A (D)A⊆B解析:由B={x|x≤1},且A={x|lg x>0}=(1,+∞),所以A∪B=R.3.(2018·西安一模改编)已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},则集合M与集合N的关系是( B )(A)M=N (B)N M(C)M⊆N (D)M∩N=∅解析:因为M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},所以N={-1,0},于是N M.4.若x∈A,A,就称A是伙伴关系集合,集合M=｛｝的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( B )(A)1 (B)3 (C)7 (D)31解析:具有伙伴关系的元素组是所以具有伙伴关系的集合有3个:{-1},｛｝,｛｝.5.(2018·石家庄模拟)设全集U={x|x∈N*,x<6},集合A={1,3},B= {3,5},则∁U(A∪B)等于( D )(A){1,4} (B){1,5}(C){2,5} (D){2,4}解析:由题意得A∪B={1,3}∪{3,5}={1,3,5}.又U={1,2,3,4,5},所以∁U(A∪B)={2,4}.6.试分别用描述法、列举法两种方法表示“所有不小于3,且不大于200的奇数”所构成的集合.(1)描述法 ;(2)列举法 . 答案:(1){x|x=2n+1,n∈N,1≤n<100}(2){3,5,7,9, (199)7.(2017·江苏卷)已知集合A={1,2},B={a,a2+3},若A∩B={1},则实数a的值为.解析:因为A∩B={1},A={1,2},所以1∈B且2∉B.若a=1,则a2+3=4,符合题意.又a2+3≥3≠1,故a=1.答案:18.(2018·成都检测)已知集合A={x|x2-2 018x-2 019≤0},B={x|x< m+1},若A⊆B,则实数m的取值范围是.解析:由x2-2 018x-2 019≤0,得A=[-1,2 019],又B={x|x<m+1},且A⊆B.所以m+1>2 019,则m>2 018.答案:(2 018,+∞)9.集合A={x|x<0},B={x|y=lg[x(x+1)]},若A-B={x|x∈A,且x∉B},则A-B= .解析:由x(x+1)>0,得x<-1或x>0.所以B=(-∞,-1)∪(0,+∞),所以A-B=[-1,0).答案:[-1,0)能力提升(时间:15分钟)10.(2016·全国Ⅲ卷改编)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则(∁R S)∩T等于( C )(A)[2,3](B)(-∞,-2)∪[3,+∞)(C)(2,3)(D)(0,+∞)解析:易知S=(-∞,2]∪[3,+∞),所以∁R S=(2,3),因此(∁R S)∩T= (2,3).11.设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|x-y=3},则满足M⊆(A∩B)的集合M的个数是( C )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:所以A∩B={(2,-1)}.由M⊆(A∩B),知M= 或M={(2,-1)}.12.(2018·江西省红色七校联考)如图,设全集U=R,集合A,B分别用椭圆内图形表示,若集合A={x|x2<2x},B={x|y=ln(1-x)},则阴影部分图形表示的集合为( D )(A){x|x≤1} (B){x|x≥1}(C){x|0<x≤1} (D){x|1≤x<2}解析:因为A={x|x2<2x}={x|0<x<2},B={x|y=ln(1-x)}={x|1-x>0}={x|x<1},所以∁U B={x|x≥1},则阴影部分为A∩(∁U B)={x|0<x<2}∩{x|x≥1}={x|1≤x<2}.故选D.13.若集合A={-1,1},B={x|mx=1},且A∪B=A,则m的值为( D )(A)1 (B)-1(C)1或-1 (D)1或-1或0解析:由A∪B=A,可知B A,故B={1}或{-1}或 ,此时m=1或-1或0.故选D.14.(2017·山东卷改编)设函数A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,全集U=R,则∁U(A∩B)= .解析:因为4-x2≥0,所以-2≤x≤2,所以A=[-2,2].因为1-x>0,所以x<1,所以B=(-∞,1),因此A∩B=[-2,1),于是∁U(A∩B)=(-∞,-2)∪[1,+∞).答案:(-∞,-2)∪[1,+∞)。

第五节合情推理与演绎推理知识点一合情推理1．归纳推理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．(2)特点：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．2．类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．(2)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．1．已知数列{a n}中，a1＝1，n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是(C)A ．a n ＝3n －1B ．a n ＝4n －3C ．a n ＝n 2D ．a n ＝3n －1解析：a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2.2．在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为1 4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为18.解析：由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的底面积之比为14，对应高之比为12，所以体积比为18.知识点二 演绎推理1．模式：三段论(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．2．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．3．“因为指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)是增函数(大前提)，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是指数函数(小前提)，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 是增函数(结论)”，上面推理的错误在于(A)A．大前提错误导致结论错B．小前提错误导致结论错C．推理形式错误导致结论错D．大前提和小前提错误导致结论错解析：当a>1时，y＝a x为增函数；当0<a<1时，y＝a x为减函数，故大前提错误．4．正弦函数是奇函数，因为f(x)＝sin(x＋1)是正弦函数，所以f(x)＝sin(x ＋1)是奇函数，以上推理的错误原因是小前提错误．解析：由三角函数的定义可知f(x)＝sin(x＋1)不是正弦函数，即小前提错误．1．类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．2．合情推理的关注点(1)合情推理是合乎情理的推理．(2)合情推理既可以发现结论也可以发现思路与方向．3．演绎推理的特征演绎推理是由一般到特殊的推理．它常用来证明和推理数学问题，解题时应注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．考向一归纳推理【例1】(1)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为() A．2 017×22 013B．2 017×22 014C．2 017×22 015D．2 016×22 016(2)(2019·湖南五市十校联考)图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为()A．n B．n2C．n－1D．n＋1【解析】(1)如图，12345 63579118 12 16 2020 28 364864112当第一行3个数时，最后一行仅一个数，为8＝23－2×(3＋1)；当第一行4个数时，最后一行仅一个数，为20＝24－2×(4＋1)；当第一行5个数时，最后一行仅一个数，为48＝25－2×(5＋1)；当第一行6个数时，最后一行仅一个数，为112＝26－2×(6＋1)．归纳推理，得当第一行2 016个数时，最后一行仅一个数，为22 016－2×(2 016＋1)．故选B.(2)最大的正方形面积为1，当n＝1时，由勾股定理知正方形面积的和为2，依次类推，可得所有正方形面积的和为n＋1，故选D.【答案】(1)B(2)D归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与数学式子有关的推理，观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(1)(2019·山东淄博模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，则按照以上规律，若88n＝88n具有“穿墙术”，则n＝(C)A．35 B．48C．63 D．80(2)(2019·河南安阳一模)如图，将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，……，以此类推，则标2 0172的格点的坐标为( A )A ．(1 009,1 008)B ．(1 008,1 007)C ．(2 017,2 016)D ．(2 016,2 015)解析：(1)根据规律得3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，所以n ＝7×9＝63，故选C.(2)点(1,0)处标1，即12；点(2,1)处标9，即32；点(3,2)处标25，即52；……，由此推断点(n ＋1，n )处标(2n ＋1)2，当2n ＋1＝2 017时，n ＝1 008，故标2 0172的格点的坐标为(1 009，1 008)．故选A.考向二 类比推理【例2】 (2019·湖北孝感模拟)二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr 3，则其四维测度W ＝( )A ．2πr 4B ．3πr 4C ．4πr 4D ．6πr 4【解析】 二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，(πr 2)′＝2πr ，三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫43πr 3′＝4πr 2，四维空间中，“超球”的三维测度V ＝8πr 3，∵(2πr 4)′＝8πr 3，∴“超球”的四维测度W ＝2πr 4，故选A.【答案】 A类比推理的应用类型类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解．(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键．(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．(1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，T 8T 4，T 12T 8成等比数列．(2)如图甲所示，在直角三角形ABC 中，AC ⊥AB ，AD ⊥BC ，D 是垂足，则有AB 2＝BD ·BC ，该结论称为射影定理．如图乙所示，在三棱锥A -BCD 中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在△BCD 内，类比直角三角形中的射影定理，则有S 2△ABC ＝S △BCO ·S △BCD .解析：(1)由等差数列的特征和等比数列的特征，运用类比推理的思维方法可得T 4，T 8T 4，T 12T 8成等比数列，应填答案T 8T 4. (2)从题中条件不难发现：图甲中的AC ⊥AB 对应图乙中的AD ⊥平面ABC ，图甲中的AD ⊥BC 对应图乙中的AO ⊥平面BCD ，因此在类比的结论中，图甲中的边AB 对应图乙中的△ABC ，图甲中的BC 对应图乙中的△BCD ，图甲中的BD 对应图乙中的△BOC .故有S 2△ABC ＝S △BCO ·S △BCD . 考向三 演绎推理【例3】 (2019·山西孝义模拟)有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个．若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是()A．甲B．乙C．丙D．丁【解析】若1号是第1名，则甲错，乙对，丙对，丁对，不符合题意；若2号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；若3号是第1名，则甲对，乙对，丙错，丁错，不符合题意；若4号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；若5号是第1名，则甲对，乙对，丙对，丁错，不符合题意；若6号是第1名，则甲错，乙错，丙对，丁错，符合题意．故猜对者是丙．【答案】 C这种形式的推理近年在高考中出现的频率很高，应引起重视.解决这类问题可以通过对选项进行一一检验即可找出正确答案，也可以通过列表格找出正确答案.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则(D)A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩解析：由甲说不知道自己成绩且看过乙和丙的成绩，可推出乙和丙一优一良，又因为乙看过丙的成绩，所以乙可以推测出自己的成绩．因为已经推出乙和丙一优一良，所以甲和丁也是一优一良，并且条件已给出丁看过甲的成绩，所以丁也可以推测出自己的成绩．故选D.以一类多项式为背景的研究性学习随着数学新课程改革的不断推进，数学研究性学习已成为学生学习的主要方式，研究性学习不仅有助于发挥学生学习的主动性，激发学生的学习兴趣，还能使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程，让学生经历数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识．笔者这学期任教高三，也在不断努力尝试进行数学研究性学习的教学，本文介绍笔者在教学中使用过的一个案例．【案例】由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cos x 的二次多项式．对于cos3x，我们有cos3x＝cos(2x＋x)＝cos2x cos x－sin2x sin x＝(2cos2x －1)cos x－2(sin x cos x)sin x＝2cos3x－cos x－2(1－cos2x)cos x＝4cos3x－3cos x，可见cos3x可以表示为cos x的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式P n(t)，使得cos nx＝P n(cos x)，这些多项式P n(t)称为切比雪夫(P.L.Tschebyscheff)多项式．(1)请尝试求出P4(t)，即用一个cos x的四次多项式来表示cos4x；(2)利用结论：cos3x＝4cos3x－3cos x，求出sin18°的值(3×18°＝90°－2×18°)．本例是一道阅读题，给出切比雪夫多项式的定义，由定义可知：任意一个cos nx都可以表示为cos x的n次多项式．第(1)问利用二倍角公式和完全平方公式即可解决：cos4x＝2cos22x－1＝2(2cos2x－1)2－1＝8cos4x－8cos2x＋1.第(2)问根据所给提示3×18°＝90°－2×18°，自然想到对x进行赋值．令x＝18°，可得cos(3×18°)＝4cos318°－3cos18°.另一方面cos(3×18°)＝cos54°＝sin36°＝sin(2×18°)＝2sin18°cos18°.所以4cos318°－3cos18°＝2sin18°cos18°化简后可得：2sin18°＝4cos218°－3＝4(1－sin218°)－3，解得sin18°＝5－1 4.【评价】以切比雪夫多项式为背景命制的高考试题不在少数，一些试题容易看出是以切比雪夫多项式作为背景的，而有一些试题虽然表面上看不出与多项式有何关联，但细想，仍与切比雪夫多项式有着紧密的联系．观察下列等式：①cos2α＝2cos2α－1；②cos4α＝8cos4α－8cos2α＋1；③cos6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；④cos8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；⑤cos10α＝m cos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋n cos4α＋p cos2α－1.可以推测，m－n＋p＝962.解析：本题考查的是学生合情推理的能力，命题的基本着力点是切比雪夫多项式，归纳易得m＝29＝512，p＝5×10＝50，本题的难点在于无法归纳出n的值，需要抓住多项式的整体结构特征cos0＝1，得到各项的系数和为常数1，从而m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，得到n＝－400，所以m －n＋p＝962.。

第六章 不等式、推理与证明第一节 不等关系与不等式1．设b ＜a ，d ＜c ，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a －c ＜b －dB ．ac ＜bdC ．a ＋c ＞b ＋dD ．a ＋d ＞b ＋c解析：由同向不等式具有可加性可知C 正确．答案：C 2．(2013·汕头检测)已知a<0，－1<b<0，那么下列不等式成立的是( )A ．a>ab>ab 2B ．ab 2>ab>aC ．ab>a>ab 2D ．ab>ab 2>a解析：∵a <0，－1<b <0，∴ab 2－a ＝a (b 2－1)>0，ab －ab 2＝ab (1－b )>0，∴ab >ab 2>a .也可利用特殊值法，取a ＝－2，b ＝－12，则ab 2＝－12，ab ＝1，从而ab >ab 2>a .故选D.答案：D3．(2013·东北三校高三第四次联考)若p ⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1， q ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞2，xy ＞1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＞1且y ＞1时，由不等式的基本性质，能推出x ＋y ＞2，且xy ＞1.反过来取x ＝12，y ＝3，满足x ＋y ＞2，且xy ＞1，但推不出x ＞1且y＞1.所以p 是q 成立的充分不必要条件.答案：A4．若a ＞1＞b ，下列不等式中不一定成立的是( )A ．a －b ＞1－bB ．a －1＞b －1C ．a －1＞1－bD ．1－a ＞b －a解析：由a ＞1知a －b ＞1－b ，故A 正确；由a ＞b 知a －1＞b －1，故B 正确；由1＞b 知1－a ＞b －a ，故D 正确，C 项错误，如当a ＝3，b ＝－3时，不成立．答案：C5．(2014·梅州模拟)已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( )A .c a ＜b aB .b －a c＞0 C .b 2c ＜a 2c D .a －c ac＜0 解析：因为c ＜b ＜a ，且ac ＜0，所以c ＜0，a ＞0，所以c a ＜b a ，b －a c ＞0，a －c ac ＜0，但b 2与a 2的关系不确定，故b 2c ＜a 2c不一定成立．答案：C6．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c答案：C7．甲、乙两人同时驾车从A 地出发前往B 地，他们都以速度v 1或v 2行驶，在全程中，甲的时间速度关系如图甲，乙的路程速度关系如图乙，那么下列说法中正确的是( )A ．甲先到达B 地 B ．乙先到达B 地C ．甲乙同时到达B 地D ．无法确定谁先到达B 地答案：A8．如果a ＞b ，则下列各式正确的是________(填序号)．①a·lg x ＞b·lg x(x ＞0)；②ax 2＞bx 2；③a 2＞b 2；④a·2x ＞b·2x .解析：当lg x ≤0时①错，当x ＝0时②错，当b ＜a ＜0时a 2＜b 2，③错，只有④正确．答案：④9．(2013·临沂模拟)若x>y ，a>b ，则在①a －x>b －y ，②a ＋x>b ＋y ，③ax>by ，④x －b>y －a ，⑤a y >b x这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝b x，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④成立．答案：②④10．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a ，b ，c 之间的大小关系为______________．解析：a ＝2－5＝4－5＜0，∴b ＞0.c ＝5－25＝25－20＞0.b －c ＝35－7＝45－49＜0.∴c ＞b ＞a .答案：c ＞b ＞a11．已知a ＞2，b ＞2，试比较a ＋b 与ab 的大小．解析：∵ab －(a ＋b )＝(a －1)(b －1)－1，又a ＞2，b ＞2，∴a －1＞1，b －1＞1.∴(a －1)(b －1)＞1，(a －1)(b －1)－1＞0.∴ab ＞a ＋b .12．(2013·大庆调研)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时比较c n 与a n ＋b n 的大小．解析：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a n ，b n ，c n >0，而a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n . ∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1， ∴0<a c <1，0<b c<1. ∵n ∈N ，n >2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2， ∴a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <a 2＋b 2c 2＝1， ∴a n ＋b n <c n .。

2020年高考文科数学一轮总复习：不等式知识点考纲下载与简单的会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.abb了解基本不等式的证明过程.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.第1讲不等关系与不等式1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c．(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc，a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)．(6)可开方：a ＞b ＞0⇒n a ＞nb (n ∈N ，n ≥2)．常用知识拓展倒数性质(1)a >b ，ab >0⇒1a <1b .(2)a <0<b ⇒1a <1b .(3)a >b >0，d >c >0⇒a c >bd.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( ) (2)若ab>1，则a >b .( )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (4)同向不等式具有可加性和可乘性．( )(5)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)设A ＝(x －3)2，B ＝(x －2)·(x －4)，则A 与B 的大小关系为( ) A ．A ≥B B ．A ＞B C ．A ≤BD ．A <B解析：选B.A －B ＝(x 2－6x ＋9)－(x 2－6x ＋8)＝1＞0，所以A ＞B .故选B. 设a >b ，a ，b ，c ∈R ，则下列结论正确的是( ) A ．ac 2>bc 2 B.ab >1 C ．a －c >b －cD ．a 2>b 2解析：选C.当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以选项A 错误；当b ＝0时，ab 无意义，所以选项B 错误；因为a >b ，所以a －c >b －c 恒成立，所以选项C 正确；当a ≤0时，a 2<b 2，所以选项D 错误．故选C.12－1________3＋1(填“>”或“<”)． 解析：12－1＝2＋1<3＋1. 答案：<下列不等式中恒成立的是__________． ①m －3＞m －5；②5－m ＞3－m ； ③5m ＞3m ；④5＋m ＞5－m .解析：m －3－m ＋5＝2＞0，故①恒成立； 5－m －3＋m ＝2＞0，故②恒成立；5m －3m ＝2m ，无法判断其符号，故③不恒成立； 5＋m －5＋m ＝2m ，无法判断其符号，故④不恒成立． 答案：①②比较两个数(式)的大小(典例迁移)(1)已知a >b >0，m >0，则( ) A.b a ＝b ＋m a ＋m B.b a >b ＋m a ＋m C.b a <b ＋m a ＋mD.b a 与b ＋m a ＋m的大小关系不确定 (2)若a ＝ln 33，b ＝ln 22，比较a 与b 的大小．【解】 (1)选C.b a －b ＋m a ＋m ＝b （a ＋m ）－a （b ＋m ）a （a ＋m ）＝m （b －a ）a （a ＋m ）.因为a >b >0，m >0.所以b －a <0，a ＋m >0，所以m （b －a ）a （a ＋m ）<0.即b a －b ＋m a ＋m <0.所以b a <b ＋ma ＋m . (2)因为a ＝ln 33＞0，b ＝ln 22＞0，所以a b ＝ln 33·2ln 2＝2ln 33ln 2＝ln 9ln 8＝log 89＞1， 所以a ＞b .[迁移探究] 若本例(1)的条件不变，试比较b a 与b －ma －m 的大小．解：b a －b －m a －m ＝b （a －m ）－a （b －m ）a （a －m ）＝m （a －b ）a （a －m ）.因为a >b >0，m >0. 所以a －b >0，m (a －b )>0. (1)当a >m 时，a (a －m )>0，所以m （a －b ）a （a －m ）>0，即b a －b －m a －m >0，故b a >b －m a －m .(2)当a <m 时，a (a －m )<0.所以m （a －b ）a （a －m ）<0，即b a －b －m a －m <0，故b a <b －m a －m.比较大小常用的方法[提醒] 用作差法比较大小的关键是对差进行变形，常用的变形有通分、因式分解、配方等．1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <BD ．A >B解析：选B.由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 2．比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b (a >0，b >0)两个代数式的大小．解：因为a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2（a －b ）＋b 2（b －a ）ab ＝（a －b ）（a 2－b 2）ab＝（a －b ）2（a ＋b ）ab.又因为a >0，b >0，所以（a －b ）2（a ＋b ）ab ≥0，故a 2b ＋b 2a≥a ＋b .不等式的性质(师生共研)(1)(特值法)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(2)若a ＞0＞b ＞－a ，c <d <0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc <0；③a －c ＞b －d ；④a (d－c )＞b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 (1)当b <0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |； 当b ＝0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |；当b >0时，由a >b 有|a |>|b |，所以a >b ⇔a |a |>b |b |.综上可知a >b ⇔a |a |>b |b |，故选C. (2)因为a ＞0＞b ，c <d <0， 所以ad <0，bc ＞0， 所以ad <bc ，故①错误．因为0＞b ＞－a ，所以a ＞－b ＞0， 因为c <d <0，所以－c ＞－d ＞0， 所以a (－c )＞(－b )(－d )，所以ac ＋bd <0，所以a d ＋b c ＝ac ＋bdcd <0，故②正确．因为c <d ，所以－c ＞－d ，因为a ＞b ，所以a ＋(－c )＞b ＋(－d )， 即a －c ＞b －d ，故③正确．因为a ＞b ，d －c ＞0，所以a (d －c )＞b (d －c )， 故④正确，故选C. 【答案】 (1)C (2)C判断关于不等式的命题的真假的方法(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．(2)利用函数的单调性：当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．(3)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断．1．若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a d >b c B.a d <b c C.a c >b dD.a c <b d解析：选B.因为c <d <0，所以1d <1c <0，所以－1d >－1c >0.而a >b >0，所以－a d >－bc >0，所以a d <bc.故选B. 2．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2<b 2<c 2 B ．a |b |<c |b | C ．ba <caD ．ca <cb解析：选D.因为a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，b 的符号不定，对于b >a ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变．不等式性质的应用(典例迁移)已知－1<x <4，2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．【解析】 因为－1<x <4，2<y <3， 所以－3<－y <－2， 所以－4<x －y <2.由－1<x <4，2<y <3，得－3<3x <12， 4<2y <6， 所以1<3x ＋2y <18.【答案】 (－4，2) (1，18)[迁移探究1] (变条件)若将本例条件改为“－1<x <y <3”，求x －y 的取值范围． 解：因为－1<x <3，－1<y <3， 所以－3<－y <1，所以－4<x －y <4.又因为x ＜y ，所以x －y <0，所以－4<x －y <0， 故x －y 的取值范围为(－4，0)．[迁移探究2] (变条件)若将本例条件改为“－1<x ＋y <4，2<x －y <3”，求3x ＋2y 的取值范围．解：设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2，所以⎩⎨⎧m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又因为－1<x ＋y <4，2<x －y <3， 所以－52<52(x ＋y )<10，1<12(x －y )<32，所以－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232，所以3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232.求代数式取值范围的方法利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．1．设α∈⎝⎛⎫－π6，π2，β∈[0，π]，那么2α－β3的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，2π3B.⎝⎛⎭⎫－π3，2π3C.⎣⎡⎭⎫－π3，2π3D.⎝⎛⎭⎫－2π3，π解析：选D.由题设得－π3<2α<π，0≤β3≤π3，所以－π3≤－β3≤0，所以－2π3<2α－β3＜π. 2．(2019·长春市质量检测一)已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)＝(m ＋n )α＋(n －m )β，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.因为－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.答案：(－π，2π)[基础题组练]1．已知a ，b ∈R ，若a >b ，1a <1b 同时成立，则( )A ．ab >0B ．ab <0C ．a ＋b >0D ．a ＋b <0解析：选A.因为1a <1b ，所以1a －1b ＝b －aab <0，又a >b ，所以b －a <0，所以ab >0.2．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是( ) A ．－n <m <n <－m B ．－n <m <－m <n C ．m <－n <－m <nD ．m <－n <n <－m解析：选D.法一(取特殊值法)：令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验即可． 法二：m ＋n <0⇒m <－n ⇒n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立． 3．设a <b <0，c >0，则下列不等式中不成立的是( ) A.c a >cb B.c a －b >c a C ．|a |c >－bcD.－a c >－b c解析：选B.由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a ⇒c a －b <ca ，所以B 中式子不成立．4．(2019·湖北黄冈检测)已知x >y >z ，且x ＋y ＋z ＝0，下列不等式中成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C.因为x >y >z ，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，3z <x ＋y ＋z ＝0， 所以x >0，z <0，由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >z 得xy >xz .故选C. 5．(2019·扬州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)， 因为a 1<a 2，b 1<b 2， 所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0， 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 16．已知a ，b ∈R ，则a <b 和1a <1b 同时成立的条件是________．解析：若ab <0，由a <b 两边同除以ab 得，1b ＞1a ，即1a <1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b. 所以a <b 和1a <1b 同时成立的条件是a <0<b .答案：a <0<b7．若角α，β满足－π2<α<β<π，则α－β的取值范围是________．解析：因为－π2<α<π，－π2<β<π，所以－π<－β<π2，所以－3π2<α－β<3π2.又因为α<β，所以α－β<0，从而－3π2<α－β<0.答案：⎝⎛⎭⎫－3π2，08．已知12<a <60，15<b <36，求a －b ，ab 的取值范围．解：因为15<b <36，所以－36<－b <－15. 又12<a <60，所以12－36<a －b <60－15， 所以－24<a －b <45，即a －b 的取值范围是(－24，45)． 因为136<1b <115，所以1236<a b <6015，所以13<ab<4，即ab的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，4. [综合题组练]1．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.2．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝⎛⎭⎫12x－⎝⎛⎭⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0解析：选C.1x －1y ＝y －x xy <0；当x ＝π，y ＝π2时，sin x －sin y <0；函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上单调递减，所以⎝⎛⎭⎫12x<⎝⎛⎭⎫12y，即⎝⎛⎭⎫12x－⎝⎛⎭⎫12y<0.当x ＝1，y ＝12时，ln x ＋ln y <0. 3．设a >b ，有下列不等式：①a c 2>b c 2；②1a <1b ；③|a |>|b |；④a |c |≥b |c |，其中一定成立的有________．(填正确的序号)解析：对于①，1c 2>0，故①成立；对于②，a >0，b <0时不成立； 对于③，取a ＝1，b ＝－2时不成立； 对于④，|c |≥0，故④成立． 答案：①④4．(综合型)已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________． 解析：因为ab 2>a >ab ， 所以a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1无解． 综上可得b <－1. 答案：(－∞，－1)第2讲 一元二次不等式及其解法1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集 (1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x >b a． (2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <b a ． 2．三个“二次”间的关系常用知识拓展 1．分式不等式的解法(1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)． (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0. 2．绝对值不等式的解法 (1)|f (x )|>|g (x )|⇔[f (x )]2>[g (x )]2.(2)|f (x )|>g (x )⇔f (x )>g (x )或f (x )<－g (x )． (3)|f (x )|<g (x )⇔－g (x )<f (x )<g (x )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√已知A ＝{x |－4<x <1}，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∪B 等于( ) A ．(－3，1) B ．(－2，1) C ．(－4，2) D ．(－4，3)解析：选D.因为A ＝{x |－4<x <1}＝(－4，1)，B ＝{x |x 2－x －6<0}＝(－2，3)，所以A ∪B＝(－4，3)．故选D.|x |·(1－2x )>0的解集为( ) A ．(－∞，0)∪⎝⎛⎫0，12 B.⎝⎛⎫－∞，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：选 A.原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，x ≠0，解不等式组可得实数x 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12. 设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <13，则ab 的值为________． 解析：由不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <13，知a <0且ax 2＋bx ＋1＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝13，由根与系数的关系知⎩⎨⎧－1＋13＝－b a，－13＝1a ，所以a ＝－3，b ＝－2，ab ＝6. 答案：6若不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是__________． 解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， 所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. 所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)一元二次不等式的解法(多维探究) 角度一 解不含参数的一元二次不等式(1)解不等式：－x 2－2x ＋3≥0；(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0，解不等式f (x )>3.【解】 (1)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0. 方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1.而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(2)由题意⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x >3或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2＋2x >3，解得x >1.故原不等式的解集为{x |x >1}． 角度二 解含参数的一元二次不等式(分类讨论思想)解关于x 的不等式：12x 2－ax >a 2(a ∈R )．【解】 因为12x 2－ax >a 2，所以12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0. 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.①当a >0时，－a 4<a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－a 4，或x >a 3； ②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}； ③当a <0时，－a 4>a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 3，或x >－a 4. 综上所述：当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－a 4，或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 3，或x >－a 4.(1)解一元二次不等式的方法和步骤(2)解含参数的一元二次不等式的步骤①二次项若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；②判断相应方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；③确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．1．已知集合M ＝{x |3x －x 2>0}，N ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，则M ∩N ＝( )A ．(0，1)B ．(1，3)C ．(0，3)D ．(3，＋∞)解析：选A.将M 中不等式变形，得x (x －3)<0，解得0<x <3，即M ＝(0，3)．将N 中不等式变形，得(x －1)(x －3)>0，解得x <1或x >3，即N ＝(－∞，1)∪(3，＋∞)．则M ∩N ＝(0，1)．故选A.2．不等式0<x 2－x －2≤4的解集为________． 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． 答案：[－2，－1)∪(2，3]3．解不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)． 解：因为a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0无解； ②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0得1a <x <1； ③当0<a <1时，1a >1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a . 综上所述：当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a <x <1.一元二次不等式恒成立问题(多维探究) 角度一 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈R )确定 参数的范围若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0， 对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0， 即⎩⎪⎨⎪⎧a <2－2<a <2，解得－2<a <2.所以实数a 的取值范围是(－2，2]． 【答案】 (－2，2]角度二 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(x ∈[a ，b ])确定参数的范围(2019·江苏海安高级中学调研)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．【解析】 设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a .因为对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a >0，所以Δ<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，1≤a －2≤5，f （1）≥0，f （5）≥0，解得1<a <4或4≤a ≤5，即1<a ≤5.【答案】 (1，5]角度三 形如f (x )≥0(f (x )≤0)(参数m ∈[a ，b ]) 确定x 的范围求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围．【解】 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，则－1≤a ≤1. 因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以(1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去． (2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.则实数x 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(如例2－3)[注意] 解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．1．若函数y ＝mx 2－（1－m ）x ＋m 的定义域为R ，则m 的取值范围是________． 解析：要使y ＝mx 2－（1－m ）x ＋m 有意义，即mx 2－(1－m )x ＋m ≥0对∀x ∈R 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，（1－m ）2－4m 2≤0，解得m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞ 2．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1，3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解：要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1，3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]． 当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0， 所以m <6， 所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0， 所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫m <67.转化与化归思想在不等式中的应用(2019·内蒙古包头模拟)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y＝f (－x )的图象为( )【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2＋1＝1a ，－2×1＝－c a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝－2，则函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，结合选项可知选C.【答案】 C本例利用了转化思想，其思路为(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根(如本例)，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象在x 轴上方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c >0的x 的值构成的；图象在x 轴下方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c <0的x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．设a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个实根，则(a －1)2＋(b －1)2的最小值是( )A ．－494B ．18C ．8D ．－6解析：选C.因为关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个根为a ，b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2m ，ab ＝m ＋6，且Δ＝4(m 2－m －6)≥0，解得m ≥3或m ≤－2.所以y ＝(a －1)2＋(b －1)2＝(a ＋b )2－2ab －2(a ＋b )＋2＝4m 2－6m －10＝4⎝⎛⎭⎫m －342－494. 由二次函数的性质知，当m ＝3时，函数y ＝4m 2－6m －10取得最小值，最小值为8.故选C.[基础题组练]1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1，2)B ．[1，2]C ．[1，2)D ．(1，2]解析：选D.A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．若不等式ax 2＋bx ＋2<0的解集为{x |x <－12，或x >13}，则a －b a 的值为( )A.56 B.16 C ．－16D ．－56解析：选A.由题意得方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12与13，所以－b a ＝－12＋13＝－16，则a －b a ＝1－b a ＝1－16＝56. 3．(2019·安徽淮北一中模拟)若(x －1)(x －2)<2，则(x ＋1)(x －3)的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．[－4，－3) C ．[－4，0)D ．(－3，4]解析：选C.由(x －1)(x －2)<2解得0<x <3，函数y ＝(x ＋1)(x －3)的图象的对称轴是直线x ＝1，故函数在(0，1)上单调递减，在(1，3)上单调递增，在x ＝1处取得最小值，最小值为－4，在x ＝3处取值为0，在x ＝0处取值为－3，故(x ＋1)(x －3)的取值范围为[－4，0)．4．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1，4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2，5]解析：选A.x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4即可，解得－1≤a ≤4. 5．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. 答案：{x |0<x <2}6．不等式2x ＋1<1的解集是________．解析：2x ＋1<1⇒2－（x ＋1）x ＋1<0 ⇒x －1x ＋1>0⇒x >1或x <－1. 答案：{x |x >1或x <－1}7．若关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a 的取值范围为________．解析：令f (x )＝x 2－ax ＋1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0f （2）＞0，解得2≤a ＜52.答案：[2，52)8．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ∈(－3，2)时，f (x )>0.(1)求f (x )在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围． 解：(1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0， 当x ∈(－3，2)时，f (x )>0.所以－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根， 所以⎩⎨⎧－3＋2＝8－b a，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5. 所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18 ＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋122＋754. 因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f (x )在[0，1]上为减函数， 所以f (x )max ＝f (0)＝18，f (x )min ＝f (1)＝12，故f (x )在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－2512. [综合题组练]1．(综合型)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．(－1，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定解析：选C.由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2， f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立， 解得b <－1或b ＞2.2．若关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，5)B ．(－3，－2)∪(4，5)C ．(4，5]D ．[－3，－2)∪(4，5]解析：选D.将不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0化为(x －1)(x －a )<0.当a >1时，得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3，4，则4<a ≤5；当a <1时，得a <x <1，此时解集中的整数为0，－1，－2，则－3≤a ＜－2.故实数a 的取值范围是[－3，－2)∪(4，5]．故选D.3．(创新型)(2019·湖南长沙模拟)定义运算：x ⊗y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，xy ≥0，y ，xy <0，例如：3⊗4＝3，(－2)⊗4＝4，则函数f (x )＝x 2⊗(2x －x 2)的最大值为________．解析：由已知得f (x )＝x 2⊗(2x －x 2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x 2（2x －x 2）≥0，2x －x 2，x 2（2x －x 2）<0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤2，2x －x 2，x <0或x >2，易知函数f (x )的最大值为4.答案：44．(2019·云南昆明适应性检测)关于x 的不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________．解析：画出函数f (x )＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1的图象，如图，可得f (x )min ＝f (2)＝1，由图象可知，若a >1，则不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集分两段区域，不符合已知条件，因此a ≤1，此时a ≤34x 2－3x ＋4恒成立．又不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b ]，所以a ≤1<b ，f (a )＝f (b )＝b ，可得⎩⎨⎧34a 2－3a ＋4＝b ，34b 2－3b ＋4＝b ，由34b 2－3b ＋4＝b ，化为3b 2－16b ＋16＝0， 解得b ＝43或b ＝4.当b ＝43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝83，不符合题意，舍去， 所以b ＝4，此时a ＝0，所以b －a ＝4. 答案：45．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， 因为a >0，且0<x <m <n <1a ，所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m . 6．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x ∈[－2，2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a ∈[4，6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解：(1)因为当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 所以实数a 的取值范围是[－6，2]．(2)当x ∈[－2，2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图①，当g (x )的图象恒在x 轴或x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图②，g (x )的图象与x 轴有交点， 但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g （－2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4（3－a ）≥0，－a2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅.③如图③，g (x )的图象与x 轴有交点， 但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0.。

第2节一元二次不等式及其解法【选题明细表】一元二次不等式恒成立问题4,8,10,12,13基础巩固(时间:30分钟)1.(2018·安庆模拟)函数f(x)=的定义域是( D )(A)(-∞,1)∪(3,+∞)(B)(1,3)(C)(-∞,2)∪(2,+∞)(D)(1,2)∪(2,3)解析:由题意知即故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3).2.(2018·宣城模拟)不等式≥0的解集为( B )(A)[-2,1](B)(-2,1](C)(-∞,-2)∪(1,+∞)(D)(-∞,-2]∪(1,+∞)解析:由≥0,得解得-2<x≤1,所以不等式≥0的解集为{x|-2<x≤1}.3.(2018·呼伦贝尔模拟)在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围是( B )(A)(0,2) (B)(-2,1)(C)(-∞,-2)∪(1,+∞) (D)(-1,2)解析:由题意,得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0,即x2+x-2<0,得-2<x<1.4.(2018·漳州模拟)若不等式kx2-kx+1>0对任意x∈R都成立,则k的取值范围是( B )(A)(0,4) (B)[0,4)(C)(0,+∞) (D)[0,+∞)解析:因为kx2-kx+1>0对任意x∈R都成立,所以当k=0时,1>0显然成立,当k≠0时,应有解得0<k<4.综上知,0≤k<4.5.(2018·汕头模拟)已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x2+bx+a<0的解集为( A )(A){x|-1<x<}(B){x|x<-1或x>}(C){x|-2<x<1}(D){x|x<-2或x>1}解析:由题意知x=-1,x=2是方程ax2+bx+2=0的两个根,且a<0.由根与系数关系得⇒所以不等式2x2+bx+a<0,即2x2+x-1<0,解得-1<x<.故选A.6.(2018·湘潭模拟)某产品的总成本y(万元)和产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( C )(A)100台(B)120台(C)150台(D)180台解析:依题意,得25x≥3 000+20x-0.1x2,整理,得x2+50x-30 000≥0,解得x≥150或x≤-200,因为0<x<240,所以150≤x<240,即最低产量是150台.7.(2018·衢州模拟)若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范围是.解析:原不等式即(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a ≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1<a≤3.综上可得-4≤a≤3. 答案:[-4,3]8.(2018·厦门模拟)在R上定义运算:=ad-bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为.解析:原不等式等价于x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1,即x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意x恒成立,x2-x-1=(x-)2-≥-,所以-≥a2-a-2,解得-≤a≤.所以实数a的最大值为.答案:能力提升(时间:15分钟)9.(2018·濮阳模拟)若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集为( B )(A)(-1,2)(B)(-∞,-1)∪(2,+∞)(C)(1,2)(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)解析:因为关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),所以a>0,且=1,即a=b.所以不等式可等价于>0,解得x>2或x<-1,所以解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).10.(2018·茂名模拟)已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是( C )(A)(1,0) (B)(2,+∞)(C)(-∞,-1)∪(2,+∞) (D)不能确定解析:由f(1-x)=f(1+x)成立,知f(x)图象的对称轴为x==1,故a=2.又f(x)图象开口向下,所以当x∈[-1,1]时,f(x)为增函数,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2.f(x)>0恒成立,即f(x)min=b2-b-2>0恒成立,解得b<-1或b>2.11.(2018·乐山模拟)设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是( A )(A)(-3,1)∪(3,+∞) (B)(-3,1)∪(2,+∞)(C)(-1,1)∪(3,+∞) (D)(-∞,-3)∪(1,3)解析:因为f(1)=1-4+6=3,所以f(x)>f(1)等价于或解得0≤x<1或x>3或-3<x<0.所以不等式的解集为{x|-3<x<1或x>3}.12.不等式≥m对任意实数x都成立,则实数m的取值范围是( A )(A)(-∞,2] (B)(-∞,2)(C)(-∞,3] (D)(-∞,3)解析:因为x2+x+1=(x+)2+>0恒成立,所以不等式≥m等价于3x2+2x+2≥m(x2+x+1),即(3-m)x2+(2-m)x+2-m≥0对任意实数x都成立,①当3-m=0,即m=3时,不等式为-x-1≥0,对任意实数x不恒成立;②当3-m≠0,即m≠3时,有解得m≤2,综上可得,实数m的取值范围是(-∞,2].故选A.13.(2018·株洲模拟)若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为.解析:因为4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,所以4x-2x+1≥a在[1,2]上恒成立.令y=4x-2x+1=(2x)2-2×2x+1-1=(2x-1)2-1.因为1≤x≤2,所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知:当2x=2,即x=1时,y有最小值0,所以a的取值范围为(-∞,0].答案:(-∞,0]14.(2018·徐州模拟)若关于x的不等式x2+mx-4≥0在区间[1,4]上有解,则实数m的最小值是.解析:由题知,原题等价于m≥-x在区间[1,4]上有解,令f(x)=-x(x∈[1,4]),则m≥f(x)min.因为f(x)=-x在区间[1,4]上单调递减,所以f(x)min=f(4)=-4=-3,所以m≥-3,故实数m的最小值是-3.答案:-315.(2018·盘锦模拟)已知函数f(x)=若f(-a)+f(a)≤2f(1),则实数a的取值范围是.解析:f(1)=12+2×1=3,当a>0时,-a<0,原不等式可化为(-a)2-2(-a)+a2+2a≤2×3,即2a2+4a-6≤0,解得-3≤a≤1,又a>0,所以0<a≤1;当a=0时,-a=0,f(-a)=f(a)=f(0)=0,此时不等式0≤2×3恒成立;当a<0时,-a>0,原不等式可化为(-a)2+2(-a)+a2-2a≤2×3,即2a2-4a-6≤0,解得-1≤a≤3,又a<0,所以-1≤a<0.综上,实数a的取值范围为[-1,1].答案:[-1,1]。