12.2.8三个“一次”的关系

12.2.8 全等专题-一线三等角模型三垂直模型 知识点管理 归类探究 1.基本图形（“K 型”三垂直模型）题型特征：图形的某条线段上出现三个直角，如图中∠B=∠AED=∠C=90°解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=EC 或BE=DC 或AE=DE ），必证△ABE ≌△ECD （AAS 或ASA ） 证明过程：∵∠B=∠AED=90°，∴∠1+∠2=90°，∠2+∠A=90°，∴∠1=∠A ，∵∠B=∠C=90°，若AB=EC 或BE=DC 或AE=DE ，则△ABE ≌△ECD （AAS 或ASA ）.2.三种变化图形（1）“交叉型”三垂直模型 （2）“L 型”三垂直模型 （3）“旋转”三垂直模型证∠1+∠2=°，∠2+∠A=°，∴∠1=∠A 又∠B=∠C ，若AB ≅EC 若AB ~EC21AB C E D证∠1+∠2=°，∠2+∠A=°，∴∠1=∠A 又∠B=∠C ，若AB ≅FC若AB ~FC 21AB F E DC (1(2ED C B A【模型1】（2021·湖南株洲市·八年级期末）如图1，已知AB ＝AC ，AB⊥AC ．直线m 经过点A ，过点B 作BD⊥m 于D ， CE⊥m 于E ．我们把这种常见图形称为“K”字图．（1）悟空同学对图1进行一番探究后，得出结论：DE ＝BD ＋CE ，现请你替悟空同学完成证明过程．【分析】（1）先证∠ABD=∠EAC ，再证∠ABD ∠ ∠CAE （AAS ）即可；【详解】证明：（1）∠AB∠AC,BD∠DE,CE∠DE,∠∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°,∠∠DAB+∠ABD=∠EAC+∠DAB=90°,∠∠ABD=∠EAC,在∠ABD 和 ∠CAE 中，ABD EAC BDA AEC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠ ∠ABD ∠ ∠CAE （AAS ），∠ BD ＝ AE ，AD ＝ CE ，∠ DE ＝ AE ＋ DA ；【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，掌握三角形全等的判定与性质是解题关键．【模型2】（2020·宜兴市丁蜀实验中学八年级月考）已知AD⊥AB 于A ，BE⊥AB 于B ，点C 在线段AB 上，DC⊥EC ，且DC=CE ．试问：AD ，BE ，AB 又怎样的数量关系？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）BE= AB+AD ，理由见解析．【分析】根据∠ACD∠∠BEC ，得到AD=BC ，AC=BE ，从而得到BE=AC=AB+BC=AB+AD ．【详解】解：∠BE∠AB ，∠∠BCE+∠BEC=90°，∠DC∠EC ，∠∠ACD+∠BCE=90°，∠∠ACD=∠BEC ，在∠ACD 和∠BEC 中，A B ACD BEC CD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ACD∠∠BEC （AAS ），∠AD=BC ，AC=BE ，∠BE=AC=AB+BC=AB+AD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，找出条件，证明全等，利用全等的性质得到线段的数量关系是本题考查的内容．【模型3】（2020·河南濮阳市·油田十中八年级期中）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，l 是过A 的一条直线，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于E ．若直线l 绕点A 旋转到如图2位置时，试说明：DE BD CE =-．【分析】可证明∠ABD ∠∠CAE ，再结合线段的和差可得出结论；【详解】如图2，∠BD ∠l ，CE ∠l ，∠∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∠∠ABD +∠DAB ＝90°．∠∠BAC ＝90°，∠∠DAB +∠CAE ＝90°，∠∠ABD ＝∠CAE ．在∠ABD 和∠CAE 中，BDA CEA ABD CAE AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD ∠∠CAE （AAS ），∠AD ＝CE ，BD ＝AE∠DE ＝AE ﹣AD ，∠DE ＝BD ﹣CE ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键，判定三角形全等的方法有SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．一线三等角模型【模型1】（2020·全国九年级专题练习）如图，在ABC中，2AB AC==，40B∠=︒，点D在线段BC 上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作40ADE∠=︒．（1）当115BDA∠=︒时，EDC∠=______°，AED=∠______°；（2）线段DC的长度为何值时，ABD DCE△△≌，请说明理由．【答案】（1）25，65；（2）2DC=，见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠BAD=25°，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠B=40°，根据三角形内角和定理计算，得到答案；1.基本模型说明“一线三等角模型”题型特征：图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠2=∠C解题方法：只要题目再出现一组等边（BE=AC或EF=AE或BF=EC），必证△BEF≌△CAE（AAS或ASA）证明过程：∵∠1=180°-∠2-∠3，∠4=180°-∠C-∠3，∵∠2=∠C，∴∠1=∠4，∵∠B=∠C，若BE=AC 或EF=AE或BF=EC，则△BEF≌△CAE（AAS或ASA）2.几种变式模型（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，得到∠ADB=∠DEC ，根据AB=DC=2，证明∠ABD∠∠DCE ．【详解】解：（1）∠40ADE ∠=︒，115BDA ∠=︒，∠180EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠1801154025=︒-︒-︒=︒．又∠AB AC =，∠40C B ∠=∠=︒，254065AED EDC C ∠=∠+∠=︒+︒=︒．（2）当2DC =时，ABD DCE △△≌，理由：∠40C ∠=︒，∠140DEC EDC ∠+∠=︒，又∠40ADE ∠=︒，∠140ADB EDC ∠+∠=︒，∠ADB DEC ∠=∠，又∠2AB DC ==，在ABD △和DCE 中，ADB DEC B CAB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠()ABD DCE AAS △△≌， 即当2DC =时，ABD DCE △△≌．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．【模型2】（2019·浙江嘉兴市·嘉兴实验初中八年级月考）如图直线CD 是经过⊥BCA 顶点C 的一条直线，CA=CB ，点E 、F 分别是直线CD 上的两点，且⊥BEC=⊥CFA=⊥BCA,则BE 与CF 的数量关系是：______________，请证明【答案】BE=CF;【分析】根据三角形的外角定理可以得到：BCF BCA ACF B BEC ∠=∠+∠=∠+∠,而BEC AFC BCA ∠=∠=∠，由此可以得到B ACF ∠=∠，再结合已知条件AC BC =，可以证明BEC CFA ∆≅∆，所以BE CF =依然成立； 【详解】 BCF BCA ACF B BEC ∠=∠+∠=∠+∠，且BEC AFC BCA ∠=∠=∠∴ B ACF ∠=∠又 AC BC =∴ BEC CFA ∆≅∆∴ BE CF =【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质应用，利用三角形的内角和进行导角找出全等条件是解决本题的关键.【模型3】（2020·潮州市潮安区雅博学校）如图2，将（1）中的条件改为：在⊥ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有⊥BDA ＝⊥AEC ＝⊥BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．【分析】根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE ，证明∠ABD∠∠CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；【详解】（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE理由如下：在∠ABD 中，∠ABD=180°-∠ADB -∠BAD ，∠∠CAE=180°-∠BAC -∠BAD ，∠BDA=∠AEC ，∠∠ABD=∠CAE ，在∠ABD 和∠CAE 中，ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∠∠ABD∠∠CAE （AAS ）∠AE=BD ，AD=CE ，∠DE=AD+AE=BD+CE ；【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【模型4】（2018·浙江）如图，CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，且直线CD 经过BCA ∠的内部，点E ，F 在射线CD 上，已知CA CB =且BEC CFA α∠=∠=∠.（1）如图1，若80BCA ︒∠=，100a ︒∠=，问EF BE AF =-，成立吗？说明理由.【分析】）首先求出∠A=∠BCE ，然后利用AAS 证明∠BCE∠∠CAF ，即可解决问题；【详解】解：（1）∠80BCA ︒∠=，100a ︒∠=，∠∠FCA+∠A=180°-∠α=180°-100°=80°，∠BCE+∠FCA=80°，∠∠A=∠BCE ，∠BEC CFA ∠=∠，CA CB =，∠∠BCE∠∠CAF （AAS ），∠BE=CF ，CE=AF ，∠EF CF CE BE AF =-=-；【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用判定定理是解题关键.【模型5】（2011·广东汕头市·）⊥ABC 为正三角形，点M 是射线BC 上任意一点，点N 是射线CA 上任意一点，且BM=CN ，BN 与AM 相交于Q 点，求⊥AQN 的度数．【答案】60º【分析】先根据已知利用SAS 判定∠ABM∠∠BCN ，再根据全等三角形的性质求得∠AQN=∠ABC=60°．【详解】∠∠ABC 为正三角形∠∠ABC=∠C=∠BAC=60°，AB=BC在∠AMB 和∠BNC 中AB BC ABC C BM CN ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∠AMB∠∠BNC （SAS ），∠∠ANB=∠C+∠NBC=60°+∠NBC ，∠MAN=∠BAC -∠MAB=60°-∠MAB ，又∠∠NBC=∠MAB （全等三角形对应角相等），∠∠ANB+∠MAN=120°，又∠∠ANQ+∠MAN+∠AQN=180°，∠∠AQN=180°-∠ANB -∠MAN ，∠AQN=180°-（∠ANB+∠MAN ），=180°-120°=60°，∠BQM=∠AQN=60°（全等三角形对应角相等）．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；三角形全等的证明是正确解答本题的关键．【拓展1】（2020·浙江八年级单元测试）在ABC中，90,ACB AC BC∠=︒=，直线MN经过点C，且AD MN⊥于D，BE MN⊥于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，显然有：DE AD BE=+（不必证明）；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE AD BE=-；（3）当直线MN MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）DE=BE-AD【分析】（1）由于∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD∠MN于D，BE∠MN于E，由此即可证明∠ADC∠∠CEB，然后利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）由于∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD∠MN于D，BE∠MN于E，由此仍然可以证明∠ADC∠∠CEB，然后利用全等三角形的性质也可以解决问题；（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，仍然∠ADC∠∠CEB，然后利用全等三角形的性质可以得到DE=BE-A D．【详解】解：（1）∠∠ABC中，∠ACB=90°，∠∠ACD+∠BCE=90°，又直线MN经过点C，且AD∠MN于D，BE∠MN于E，∠∠ADC=∠CEB=90°∠∠ACD+∠DAC=90°，∠∠BCE=∠DAC，在∠ADC和∠CEB中，满分冲刺ADC CEB DAC ECB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ADC ∠∠CEB （AAS ），∠CD =BE ，CE =AD ，∠DE =CD +CE =AD +BE ；（2）∠∠ABC 中，∠ACB =90°，直线MN 经过点C ，且AD ∠MN 于D ，BE ∠MN 于E ，∠∠ADC =∠CEB =90°，∠ACD +∠BCE =∠BCE +∠CBE =90°，而AC =BC ，∠∠ADC ∠∠CEB ，∠CD =BE ，CE =AD ，∠DE =CE -CD =AD -BE ；（3）如图3，∠∠ABC 中，∠ACB =90°，直线MN 经过点C ，且AD ∠MN 于D ，BE ∠MN 于E ，∠∠ADC =∠CEB =90°，∠ACD +∠BCE =∠BCE +∠CBE =90°，∠∠ACD =∠CBE ，∠AC =BC ，∠∠ADC ∠∠CEB ，∠CD =BE ，CE =AD ，∠DE =CD -CE =BE -AD ；DE 、A D 、BE 之间的关系为DE =BE -A D ．【点睛】此题需要考查了全等三角形的判定与性质，也利用了直角三角形的性质，是一个探究性题目，对于学生的能力要求比较高．【拓展2】（2020·山东济南市·七年级期中）CD 是经过⊥BCA 定点C 的一条直线，CA=CB ，E 、F 分别是直线CD 上两点，且⊥BEC =⊥CFA =⊥β．（1）若直线CD 经过⊥BCA 内部，且E 、F 在射线CD 上，⊥若⊥BCA=90°，⊥β=90°，例如左边图，则BE CF ，EF |BE - AF |（填“＞”，“＜”，“＝”）；⊥若0°＜⊥BCA＜180°，且⊥β＋⊥BCA=180°，例如中间图，⊥中的两个结论还成立吗？并说明理由；（2）如右边图，若直线CD经过⊥BCA外部，且⊥β=⊥BCA，请直接写出线段EF、BE、AF的数量关系（不需要证明）．【答案】（1）∠=，= ∠两结论依然成立，证明见解析（2）EF=BE+AF【分析】（1）∠本题考查全等三角形的判定，可利用AAS定理进行解答；∠本题考查全等三角形判定，可通过三角形内角和定理运用AAS解答．（2）本题考查全等三角形的判定，运用三角形内角和以及平角定义，通过AAS解答．【详解】（1）∠∠∠BCA=90°，∠β=90°∠∠FCA+∠BCF=90°，∠FCA+∠CAF=90°∠∠BCF=∠CAF又∠∠BEC=∠CFA，CA=CB∠∠BEC≅∠CFA(AAS)∠BE=CF，CE=AF=-=-∠EF CF CE BE AF∠在∠FCA中，∠CFA+∠FCA+∠CAF=180°又∠∠BEC=∠CFA=∠β，∠β＋∠BCA=180°∠∠FCA+∠CAF=∠BCA∠∠BCA=∠BCE+∠FCA∠∠CAF=∠BCE∠CA=CB∠∠BEC≅∠CFA(AAS)∠BE=CF，CE=AF∠EF CF CE BE AF=-=-（2）在∠BEC中，∠B+∠BEC+∠BCE=180°又∠∠BEC=∠CFA=∠β，∠BCE+∠BCA+∠ACF=180°，∠β=∠BCA∠∠B=∠ACF∠CA=CB∠∠BEC≅∠CFA(AAS)∠BE=CF，CE=AFEF=EC+CF=AF+BE【点睛】本题考查全等三角形证明以及性质的应用，并结合一定的探究思路，按照题目指引利用AAS判别定理解答即可．【拓展3】（2020·北京延庆区·八年级期中）如图1，⊥ABC是等边三角形，点D，E分别是BC，AB上的点，且BD=AE，AD与CE交于点F．（1）求⊥DFC的度数；（2）将CE绕着点C逆时针旋转120°，得到CP，连接AP，交BC于点Q．⊥补全图形（图2中完成）；⊥用等式表示线段BE与CQ的数量关系，并证明．【答案】（1）60°；（2）∠见解析，∠CQ=12BE，见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质和BD=AE证得∠ABD∠∠CAE，则有∠BAD=∠ACE，根据三角形外角性质即可解得∠DFC的度数；（2）根据旋转作图方法作出图形，如图，则有CE=CP，∠ECP=120º，进而证得AD∠CP，∠ADC=∠DCP，再由 AE=CD=CP 证明∠ADQ∠∠PCQ ，则有CQ=DQ=12CD ，又证得CD=BE ，即可得出CQ=12BE 的结论． 【详解】（1）∠∠ABC 是等边三角形,∠AB=AC=BC,∠BAC=∠B=∠ACB=60°,在∠ABD 和∠CAE 中 AB AC B BAC BD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ABD∠∠CAE （SAS ）,∠∠BAD=∠ACE,∠∠BAD+∠DAC=60°,∠∠DFC=∠ACE+∠DAC=60°；（2）补图CQ=12BE ， ∠CE 绕着点C 逆时针旋转120°，得到CP ，∠CE=CP ，∠ECP=120°，又∠DFC=60°，∠AD∠CP ，∠∠ADC=∠DCP ，∠∠ABD∠∠CAE ，∠CE=AD ，∠AD=CP ，在∠ADQ 和∠PCQ 中ADC DCP AQD PQC AD CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠∠ADQ∠∠PCQ （AAS ）， ∠CQ=DQ=12CD ， ∠AB=BC ，BD=AE ，∠BE=CD ， ∠CQ=12BE ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转作图与旋转性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握这些基本图形的判定与性质是解答的关键．【拓展4】（2020·辽宁鞍山市·八年级期中）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明． 已知：如图，点E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE ．求证：AB ＝CD ．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等，因此，要证AB ＝CD ，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．（1）现给出如下两种添加辅助线的方法，请任意选出其中一种，对原题进行证明．∠如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ；∠如图2，分别过点B 、C 作BF ∠DE ，CG ∠DE ，垂足分别为点F ，G ．（2）请你在图3中添加不同于上述的辅助线，并对原题进行证明．【答案】（1）∠见解析；∠见解析；（2）见解析；【分析】（1）∠如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ，∠BEF ∠∠CED ，∠BAE ＝∠F ， AB ＝CD ； ∠如图2，分别过点B 、C 作BF ∠DE ，CG ∠DE ，垂足分别为点F ，G ，∠BEF ∠∠CEG∠BAF ∠∠CDG ，AB ＝CD ；（2）如图3，过C 点作CM ∠AB ，交DE 的延长线于点M ，则∠BAE ＝∠EMC ，∠BAE ∠∠CFE （AAS ），∠F ＝∠EDC ，CF ＝CD ，AB ＝CD ；【详解】（1）∠如图1，延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接BF ，∠点E 是BC 的中点，∠BE ＝CE ，在∠BEF 和∠CED 中，BE CE BEF CED EF ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BEF ∠∠CED （SAS ），∠BF ＝CD ，∠F ＝∠CDE ，∠∠BAE ＝∠CDE ，∠∠BAE ＝∠F ，∠AB ＝BF ，∠AB ＝CD ；∠如图2，分别过点B 、C 作BF ∠DE ，CG ∠DE ，垂足分别为点F ，G ，∠∠F ＝∠CGE ＝∠CGD ＝90°，∠点E 是BC 的中点，∠BE ＝CE ，在∠BEF 和∠CEG 中，90F CGF BEF CEG BE CE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BEF ∠∠CEG （AAS ），∠BF ＝CG ，在∠BAF 和∠CDG 中，90BAE CDE F CGD BF CG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∠∠BAF ∠∠CDG （AAS ），∠AB ＝CD ；（2）如图3，过C 点作CM ∠AB ，交DE 的延长线于点M ，则∠BAE ＝∠EMC ，∠E 是BC 中点，∠BE ＝CE ，在∠BAE 和∠CME 中，BAE CME BEA CEM BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠BAE ∠∠CFE （AAS ），∠CF ＝AB ，∠BAE ＝∠F ，∠∠BAE ＝∠EDC ，∠∠F ＝∠EDC ，∠CF ＝CD ，∠AB ＝CD ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角相等，平行线的性质，构造出全等三角形是解本题的关键．【拓展5】（2018·安徽铜陵市·八年级期末）已知ABC ∆和CEF ∆是两个等腰直角三角形，90ABC CEF ∠=∠=︒.连接AF ，M 是AF 的中点，连接MB 、ME ．(1)如图1，当CB 与CE 在同一直线上时，求证：BM ME ⊥；(2)如图2，当45BCE ∠=︒时，求证：BM ME =．【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解【分析】（1）如图所示，延长BM 交EF 于点D ，延长AB 交CF 于点H ，证明为∠BED 是等腰直角三角形和M 是BD 的中点即可求证结论；（2）如图所示，做辅助线，推出BM 、ME 是中位线进而求证结论．【详解】证明（1）如图所示，延长BM 交EF 于点D ，延长AB 交CF 于点H易知：∠ABC 和∠BCH 均为等腰直角三角形∠AB ＝BC ＝BH∠点B 为线段AH 的中点又∠点M 是线段AF 的中点∠BM 是∠AHF 的中位线∠BM∠HF即BD∠CF∠∠EDM ＝∠EFC ＝45°∠EBM ＝∠ECF ＝45°∠∠EBD 是等腰直角三角形∠∠ABC ＝∠CEF ＝90°∠AB∠EF∠∠BAM ＝∠DFM又M 是AF 的中点∠AM ＝FM在∠ABM 和∠FDM 中BAM DFM AM FMAMB FMD ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝ ∠∠ABM∠∠FDM(ASA)∠BM ＝DM ，M 是BD 的中点∠EM 是∠EBD 斜边上的高∠EM∠BM（2）如图所示，延长AB 交CE 于点D ，连接DF ，易知∠ABC 和∠BCD 均为等腰直角三角形∠AB ＝BC ＝BD ，AC ＝CD∠点B 是AD 的中点，又∠点M 是AF 的中点∠BM ＝12DF 延长FE 交CB 于点G ，连接AG ，易知∠CEF 和∠CEG 均为等腰直角三角形∠CE ＝EF ＝EG ，CF ＝CG∠点E 是FG 的中点，又∠点M 是AF 的中点∠ME ＝12AG 在∠ACG 与∠DCF 中，45AC CD ACG DCF CG CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∠∠ACG∠∠DCF （SAS ）∠DF ＝AG∠BM ＝ME【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质：两锐角都是45°，两条直角边相等、三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半、全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．【拓展6】（2018·黑龙江七台河市·九年级期末）如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90º，∠ABC ＝45 º，点O 是AB 的中点，过A 、C 两点向经过点O 的直线作垂线，垂足分别为E 、F.（1）如图∠，求证：EF ＝AE+CF.（2）如图∠，图∠，线段EF 、AE 、CF 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.【答案】（1）见解析；（2）图∠：EF＝AE+CF 图∠：EF＝AE-CF，见解析【分析】（1）连接OC，运用AAS证∠AOE∠∠OCF即可；（2）按（1）中的方法，连接OC，证明∠AOE∠∠OCF，即可得出结论【详解】（1）连接OC，∠∠ABC是等腰直角三角形，∠∠AOC=90°，AO=CO，∠∠AOE+∠COF=90°，∠EAO+∠AOE=90°，∠∠EAO=∠COF，又∠AO=CO，∠AEO=∠CFO，∠∠AOE∠∠OCF（AAS）∠OE＝CF，AE＝OF ∠EF＝AE+CF（2）如图∠，连接OC，∠∠ABC是等腰直角三角形，∠∠AOC=90°，AO=CO，∠∠AOE+∠COF=90°，∠EAO+∠AOE=90°，∠∠EAO=∠COF，又∠AO=CO，∠AEO=∠CFO，∠∠AOE∠∠OCF（AAS）∠OE＝CF，AE＝OF∠EF ＝AE+CF.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．【拓展7】（2019·河北保定市·八年级期末）如图（1）AB ＝9cm ，AC ∠AB ，BD ∠AB ，AC ＝BD ＝7cm ，点P 在线段AB 上以2cm /s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动，它们运动的时间为t （s ）．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t ＝1时，∠ACP 与∠BPQ 是否全等，请说明理由； （2）在（1）的前提条件下，判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系，并证明；（3）如图（2），将图（1）中的“AC ∠AB ，BD ∠AB ”为改“∠CAB ＝∠DBA ＝50°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为xcm /s ，是否存在实数x ，使得∠ACP 与∠BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∠ACP 与∠BPQ 全等，理由见解析；（2）PC ∠PQ ，证明见解析；（3）存在，当t ＝1s ，x ＝2cm /s 或t ＝94s ，x ＝289cm /s 时，∠ACP 与∠BPQ 全等． 【分析】（1）利用SAS 定理证明ACP BPQ ∆≅∆；（2）根据全等三角形的性质判断线段PC 和线段PQ 的位置关系；（3）分ACP BPQ ∆≅∆，ACP BQP ∆≅∆两种情况，根据全等三角形的性质列式计算．【详解】（1）∠ACP 与∠BPQ 全等，理由如下：当t ＝1时，AP ＝BQ ＝2，则BP ＝9﹣2＝7，∠BP ＝AC ，又∠∠A ＝∠B ＝90°，在∠ACP 和∠BPQ 中，AP BQ A B CA PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACP ∠∠BPQ （SAS ）；（2）PC ∠PQ ，证明：∠∠ACP ∠∠BPQ ，∠∠ACP ＝∠BPQ ，∠∠APC +∠BPQ ＝∠APC +∠ACP ＝90°．∠∠CPQ ＝90°，即线段PC 与线段PQ 垂直；（3）∠若∠ACP ∠∠BPQ ，则AC ＝BP ，AP ＝BQ ，∠9﹣2t ＝7，解得，t ＝1（s ），则x ＝2（cm /s ）；∠若∠ACP ∠∠BQP ，则AC ＝BQ ，AP ＝BP ，则2t ＝12×9， 解得，t ＝94（s ），则x ＝7÷94＝289（cm /s ）， 故当t ＝1s ，x ＝2cm /s 或t ＝94s ，x ＝289cm /s 时，∠ACP 与∠BPQ 全等． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分 类讨论思想的灵活运用是解题的关键．。

第4课时分段函数及其应用【知识与技能】1.能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式.2.能将简单的实际问题转化为数学问题，从而解决实际问题.【过程与方法】通过分析实际问题，体会数形结合的思想，提高解决实际问题的能力.【情感与态度】通过寻找变量间的关系，确定一次函数关系式，让学生体会自行思考解决问题的过程，激发学习兴趣.【教学重点】重点是根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的关系式.【教学难点】难点是根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的关系式.一、创设情境前面我们学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式，如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢？这将是我们这节课要解决的主要问题.二、导入新课例1为节约用水，某城市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8 m3时，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过8 m3时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费.设一户每月用水量为x m3，应缴水费y元.（1）给出y关于x的函数关系式；（2）画出上述函数图象；（3）该市一户某月若用水量为x=5 m3或x=10 m3时，求应缴的水费;（4）该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量.【解】（1）y关于x的函数关系式为：（2）如下图，函数图象是一段折线.（3）当x=5m3×5=6.5(元)；当x=10m3×10-11.2=15.8(元).即当用水量为5m3时，该户应缴水费6.5元；当用水量为10m3时，该户应缴水费15.8元.×8,可见该户这月用水超过8m3,因此： 2.7x-11.2=26.6，解得x=14.即这户本月用水14m3.【教学说明】本例给出的是在自变量的不同取值X围内表示函数关系的解析式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，分段函数在生活中也是常见的.跟踪练习课本第42页练习1、2.【教学说明】确定一次函数关系式时为何要分段？如何分段？三、运用新知，深化理解（某某中考）小李从某某通过某快递公司给在某某的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分按每千克10元加收费用.设该公司从某某到某某快递樱桃的费用为y（元），所寄樱桃为x （kg）.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）已知小李给外婆快寄了2.5kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？【参考答案】解：（1）由题意，得当0＜x≤1时，y=22x+6当x＞1时y=28+10（x-1）=10x+18；（2）当x=2.5时，y=10×2.5+18=43.∴这次快寄的费用是43元.四、师生互动，课堂小结用函数的思想解决实际问题的关键在于用运动和变化的观点，去观察、分析具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种函数关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决.完成练习册中的相应作业.本节课通过由学生自行分析问题，构建函数关系式，激发学生学习的主动性，通过分析、归纳、总结，提高解决实际问题的能力.。

12.2全等三角形的性质与判定的综合运用(第一课时)教案人教版数学八年级上册教学目标1.通过图形演示，感知、理解、整合全等三角形的概念、性质及其判定方法。

2.通过图形演示，理解为什么SSA不能作为三角形全等的判定条件。

教学重点通过图形演示，感知、理解、整合全等三角形的概念、性质及其判定方法；教学难点通过图形演示，理解为什么SSA不能作为三角形全等的判定条件。

创新设计方案微课用几何画板作为演示软件，通过图形及其动态演示，形象地展示几何图形的关系及其变化过程，有利于学生深化理解全等三角形的概念和判定方法。

教学过程一、全等三角形的概念1.两个三角形全等的定义是什么？答：形状、大小完全相同的两个三角形，叫做全等三角形。

请看图形演示。

移动图形，当两个三角形的三个顶点分别对应重合时，三条边也分别对应重合，这时候，就说两个三角形是全等的。

反过来，如果两个三角形全等，那么对应边相等、对应角相等，这就是全等三角形的性质。

2.根据定义，两个全等三角形是可以完全重合的。

那么，通过哪些图形变换方式，可以由一个三角形得到与它全等的另一个三角形呢？一是通过平移；二是通过旋转；三是通过翻转或者轴对称。

当然，也可以是两种或三种变换的依次进行得到。

二、三角形全等的判定方法3. 两个三角形全等的判定方法有哪些？（1）边边边SSS （2）边角边SAS（3）角角边AAS （4）角边角ASA这四种全等判定方法，对于任何形状的三角形都是适用的，包括直角三角形。

也就是说，直角三角形是可以用SSS、SAS、AAS、ASA来判定全等的。

三、SSA能判定两个三角形全等吗？4.两个直角三角形全等的判定方法再探究。

首先给两个直角三角形的顶点标上字母，如果它们的斜边和一条直角边分别对应相等，则这两个直角三角形是全等的。

但是我们不能把推理过程写成SSA的形式，而要写成HL（斜边直角边）的形式。

并且把直角三角形（即Rt△）作为前提条件来书写。

有的同学就很疑惑，明明就是SSA的关系，为什么偏要写成HL呢？我们知道，判断两个三角形全等的条件，就是确定唯一三角形的条件。

第6课时一次函数与一元一次方程、一元一次不等式教材分析：本节课教学内容是数形结合思想的又一体现，引导学生从函数的角度来思考方程与不等式的问题，体会数学思维的多元性。

主要教学一元一次方程的解、一元一次不等式的解集与一次函数图象的对应关系，从而根据图象求解一元一次方程和一元一次不等式。

初步感知方程、不等式、函数三个数学模型间的关系，以及他们各自能够解决的问题类型，为后续学习打下基础。

教学目标：知识与技能：1、理解一元一次方程的解，一元一次不等式的解集与一次函数图象间的对应关系。

2、会用图象法解一元一次方程和一元一次不等式。

3、初步感知方程、不等式、函数三个数学模型间的关系。

过程与方法：1、通过观察、联想、思考等数学活动，得出一元一次方程的解、一元一次不等式的解集与一次函数的图象之间的对应关系，发展学生的合情推理能力。

2、体验数学结合思想的意义，逐步提高学生借助这一思想分析问题和解决问题的能力。

情感、态度与价值观：增强学生合作交流的意识，培养学生思考的习惯，同时让学生感受到数学与实际生活的联系。

教学重、难点：重点：1、理解一元一次方程，不等式与一次函数的转化关系及本质联系。

2、学会利用图象法解一元一次方程和一元一次不等式。

难点：用图象法求一元一次不等式的解集教学过程：一、复习导入1、复习直线x=a和=b以及借助他们如何把坐标系划分成三部分。

2、通过转化解决问题：（1）、已知函数y=2x+6,当x=1时，求y的值。

（2）、已知函数y=2x+6,当y=4时，求x的值。

（3）、已知函数y=2x+6,当y>4时，求x的取值范围。

3、明晰课题并板书：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式二、探究新知1、一元一次方程与一次函数问题①：（1）解方程：2x+6=0（2）已知一次函数y=2x+6，问x取何值时，y=0?（1）、学生活动1：用自己的方法解决，并做简单的比较。

（2）、学生活动2：画出一次函数y=2x+6的图象，观察图象与x轴的交点，看看它的坐标与方程2x+6=0的解有什么关系？（3）、学生活动3：由此你能得到什么结论？引导：我们把一元一次方程都写成kx+b=0(k≠0)的形式，看看他的解与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点坐标有什么联系？（4）、教师明晰：一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解，从图象上看就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。