高一(上学期)数学第七单元等差数列同步练习

《第二节等差数列》同步练习（等差数列的前n项和公式）一、选择题1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,S nn ),Q(n+2,S n+2n+2)(n∈N*)的直线的斜率为( )A.4B.3C.2D.12.[2022辽宁名校高三上联考]已知数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,若a1+a2+a3+a4=3,a17+a18+a19+a20=5,则S20=( )A.10B.15C.20D.403.[2022四川成都七中高一下期中]已知等差数列{a n}的公差d<0,a5a7=35,a4+a8=12,前n 项和为S n,则S n的最大值为( )A.66B.72C.132D.1984.(多选)[2022湖南高三上联考]两个等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n与T n,且S2n T n =8n3n+5,则( )A.a3+a8=2b3B.当S n=2n2时,b n=6n+2C.a4+a11b4<2D.∀n∈N*,使得T n>05.(多选)[2022安徽临泉一中高二期末]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S2 021>0,S2 022<0,则( )A.数列{a n}是递增数列B.|a1 012|>|a1 011|C.当S n取得最大值时,n=1 011D.S1 012<S1 0096.[2022山东潍坊高二调研]在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安四百二十里,良马初日行九十七里,日增一十五里;驽马初日行九十二里,日减一里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )A.4日B.3日C.5日D.6日7.如果有穷数列a1,a2,…,a n(n∈N*)满足a i=a n-i+1(i=1,2,3,…,n),那么称该数列为“对称数列”.设{a n}是项数为2k-1(k∈N,k≥2)的“对称数列”,其中a k,a k+1,…,a2k-1是首项为50,公差为-4的等差数列,记{a n }的各项之和为S 2k -1,则S 2k -1的最大值为( ) A.622B.624C.626D.6288.(多选)[2022江苏南京高三月考]如图的形状出现在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,…….设第n 层有a n 个球,从上往下n 层球的总数为S n ,则( )A.S 5=35B.a n +1-a n =nC.S n -S n -1=n(n+1)2,n ≥2 D.1a 1+1a 2+1a 3+…+1a 100=200101二、非选择题9.如图所示,八个边长为1的小正方形拼成一个长为4,宽为2的矩形,A ,B ,D ,E 均为小正方形的顶点,在线段DE 上有 2 020个不同的点P 1,P 2,…,P 2 020,且它们等分DE.记M i =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1,2,…,2 020).则M 1+M 2+…+M 2 020的值为 .10.已知数列{a n }满足2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *),它的前n 项和为S n ,且a 3=10,S 6=72,则{a n }的通项公式a n = ;若数列{b n }满足b n =12a n -30,其前n 项和为T n ,则T n 的最小值为 .11.[2022辽宁阜新高二上期末]在等差数列{a n }中,S n 是数列{a n }的前n 项和,已知a 2=4,S 4=20.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =(-1)n·a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .12.[2022河北唐山一中高二上月考]记S n是等差数列{a n}的前n项和,若S5=-35,S7=-21.(1)求数列{a n}的通项公式,并求S n的最小值;(2)设b n=|a n|,求数列{b n}的前n项和T n.参考答案一、选择题1.C设d为数列{a n}的公差,则{S nn }是公差为d2的等差数列.2.C由题易知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,又S4=3,S20-S16=5,则S20=(S20-S16)+(S16-S12)+(S12-S8)+(S8-S4)+S4=(5+3)×52=20.3.A因为d<0,a5a7=35,a4+a8=a5+a7=12,所以a5=7,a7=5,则d=-1,所以a n=a7+(n-7)d=-n+12,所以a12=0,所以当n=11或12时,S n取得最大值,最大值为S11=S12=12(a1+a12)2= 12×(11+0)2=66.4.AB由S2nT n =8n3n+5,知S10T5=10(a1+a10)25(b1+b5)2=a1+a10b3=a3+a8b3=4020=2,即a3+a8=2b3,故A正确;同理可得a4+a11b4=S14T7=2813>2,故C错误;当S n=2n2时,有S2n=8n2,则T n=n(3n+5),易得b n=6n+2,故B正确;当S n=-2n2时,有S2n=-8n2,则T n=-n(3n+5)<0,则不存在n∈N*,使得T n>0,故D错误.5.BC因为S2 021=2021(a1+a2021)2=2 021a1 011>0,S2 022=2022(a1+a2022)2=1 011(a1 011+a1 012)<0,所以a1 011>0,a1 011+a1 012<0,所以a1 012<0,且|a1 012|>|a1 011|,所以数列{a n}是递减数列,且当n=1 011时,S n取得最大值,故B,C正确,A错误.又S1 012-S1 009=a1 010+a1 011+a1 012=3a1 011>0,所以S1 012>S1 009,故D错误.故选BC.6.A记良马第n日行程为a n,驽马第n日行程为b n,则由题意知数列{a n}是首项为97,公差为15的等差数列,数列{b n}是首项为92,公差为-1的等差数列,则a n=97+15(n-1)=15n+82,b n=92-(n-1)=93-n.因为数列{a n}的前n项和为n(97+15n+82)2=n(179+15n)2,数列{b n}的前n项和为n(92+93−n)2=n(185−n)2,所以n(179+15n)2+n(185−n)2=420×2,整理得n2+26n-120=0,解得n=4或n=-30(舍去),即4日相逢.7.C易知a k+a k+1+…+a2k-1=50k+k(k−1)×(−4)2=-2k2+52k,S2k-1=a1+…+a k+a k+1+…+a2k-1=2(a k+a k+1+…+a2k-1)-a k=-4k2+104k-50=-4(k-13)2+626,当k=13时,S2k-1取到最大值,且最大值为626.故选C.8.ACD因为a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,……,a n-a n-1=n,以上n个式子相加可得a n=1+2+3+…+n=n(n+1)2,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35,故A正确;由递推关系可知a n+1-a n=n+1,故B 不正确;当n ≥2时,S n -S n -1=a n =n(n+1)2,故C 正确;因为1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1),所以1a 1+1a 2+…+1a 100=2[(1-12)+(12−13)+…+(1100−1101)]=2(1-1101)=200101,故D 正确.故选ACD.二、非选择题9.14 140 解析如图,设C 为DE 的中点,则AC =72.因为P 1,P 2,…,P 2 020等分DE ,所以AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 021−i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又M 1+M 2+…+M 2 020=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),令S =M 1+M 2+…+M 2 020,则2S =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·[(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+…+(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]=(2×2 020)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4 040×√5×72×√5=28 280,所以S =14 140.10.4n -2 -225 解析因为2a n +1=a n +a n +2,所以a n +1-a n =a n +2-a n +1,故数列{a n }为等差数列.设数列{a n }的公差为d.由a 3=10,S 6=72,得{a 1+2d =10,6a 1+15d =72,解得{a 1=2,d =4,所以a n =4n -2,所以b n =12a n -30=2n -31.令{b n ≤0,b n+1≥0,即{2n −31≤0,2(n +1)−31≥0,解得292≤n ≤312.因为n ∈N *,所以数列{b n }的前15项均为负值且第16项为正值,所以T 15最小.因为数列{b n }的首项为-29,公差为2,所以T 15=15(−29+2×15−31)2=-225,所以数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为-225.11.(1)设首项为a 1,公差为d ,由题意知 {a 1+d =4,4a 1+4×32d =20,解得{a 1=2,d =2,故a n =2n. (2)由(1)得b n =(-1)n·a n =(-1)n·2n.当n 为偶数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -1)+2n ]=n2·2=n ;当n 为奇数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -2)+2(n -1)]-2n =(n -1)-2n =-n -1, 所以T n ={n,n 为偶数,−n −1,n 为奇数.12.(1)设{a n }的公差为d ,则{5a 1+5×42d =−35,7a 1+7×62d =−21,解得{a 1=−15,d =4, 所以a n =-15+4(n -1)=4n -19.由a n=4n-19≥0,得n≥194,所以当n=1,2,3,4时,a n<0,当n≥5时,a n>0,所以S n的最小值为S4=4a1+4×32d=-36.(2)由(1)知,当n≤4时,b n=|a n|=-a n;当n≥5时,b n=|a n|=a n.又S n=na1+n(n−1)2d=2n2-17n,所以当n≤4时,T n=-S n=17n-2n2,当n≥5时,T n=S n-2S4=2n2-17n-2×(-36)=2n2-17n+72,即T n={17n−2n2,n≤4, 2n2−17n+72,n≥5.。

心尺引州丑巴孔市中潭学校高一数学等差数列前n 项和同步练习一．选择题1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=〔 〕A. 12B. 24C. 36D. 482、等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s 〔 〕A.有最小值且是整数B. 有最小值且是分数C. 有最大值且是整数D. 有最大值且是分数3、等差数列{}n a 的公差2/1=d ，8010042=+++a a a ，那么=100SA ．80，B ．120，C ．135，D ．160．4、等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13SA ．390B ．195C ．180D ．1205、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为〔 〕A. 0B. 90C. 180D. 3606、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，那么它的前3m 项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 2607、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，假设数列{}n a 的前n 项和为n S ，那么〔 〕A.54S S <B.54S S =C. 56S S <D. 56S S =8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，那么这个数列的项数为〔〕A. 13B. 12C. 11D. 10二．填空题1、等差数列{}n a 中，假设638a a a =+，那么9s = .2、等差数列{}n a 中，假设232n S n n =+，那么公差d = .3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是 .4、等差数列{a n }的公差是正整数，且a 4,126473-=+-=⋅a a a ，那么前10项的和S 10=____ ． *5、两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，假设337++=n n T S n n ，那么88a b = . 三．解答题1、 在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.2、 等差数列{a n }中，a 7,152==a ,前n 项的和S n =24，求n 的值．3、 数列{a n }，假设132+-=n a n ，求S n 到达最大值时n 的值，并求S n 的最大值．4、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，312a =，12S >0，13S <0， ①求公差d 的取值范围；②1212,,,S S S 中哪一个值最大？并说明理由.参考答案一． 选择题BACB CCBA二．填空题1、0．2、6．3、1650．4、10-．5、631531572215151511518888=++⋅==++==T S b b a a b a b a 三．解答题1、n a n2.0=，393805251=+++a a a ． 2、32-=n a n ，∵()242=-=n n S n ，∴6=n ．3、∵016>=a ，017<-=a ，∴当6=n 时，n S 有最大值36． 4、.①∵121126767713113712()6()002130()1302S a a a a a a a S a a a ⎧=+=+>⎪+>⎧⎪⇔⎨⎨<⎩⎪=+=<⎪⎩,∴111211060212a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪+=⎩ 解得,2437d -<<-,②由67700a a a +>⎧⎨<⎩6700a a >⎧⇒⎨<⎩,又∵2437d -<<-∴{}n a 是递减数列, ∴1212,,,S S S 中6S 最大.。

1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × )(4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．6答案 B解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，故选B.2．(教材改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )A ．31B ．32C ．33D ．34 答案 B解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎨⎧ a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32. 3．(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( )A ．100B ．99C ．98D ．97答案 C解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1， ∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.4．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．35答案 C∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大.题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52 D.54(2)(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.答案 (1)C (2)6解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12， 所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列， 所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52. (2)∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0.又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2.∴S 6＝6×6＋6×(6－1)2×(－2)＝6. 思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．63(2)(2016·江苏)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________． 答案 (1)C (2)20∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3， 则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)， b n ＝1a n －1(n ∈N *)， 所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列． (2)解 由(1)知b n ＝n －72， 则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7. 设f (x )＝1＋22x －7， 则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数． 所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式． 解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列， ∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n . 思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A解析 由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得 1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n . (2)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；②求{a n }的通项公式．①证明 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2.又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列．②解 由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑n k ＝1 (a k ＋1－a k )＝∑nk ＝1(2k －1)， 所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.题型三 等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.(2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________.答案 (1)10 (2)21解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21.命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝________.(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( ) A ．－2 018B ．－2 016C ．－2 019D ．－2 017 答案 (1)114 (2)A解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3.又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114.(2)由题意知，数列{S n n}为等差数列，其公差为1， ∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1.∴S 2 018＝－2 018.思维升华 等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a n m －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 2n －1＝(2n －1)a n .(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A ．58B ．88C ．143D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( ) A.3727B.3828C.3929D.4030答案 (1)B (2)A解析 (1)S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13 ＝3×13－22×13＋1＝3727.6．等差数列的前n 项和及其最值考点分析 公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现.题型有小题，也有大题，难度不大.典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( )A ．45B ．60C ．75D ．90 (2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45. (2)方法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧ a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110. 方法二 因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90， 所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110. 答案 (1)A (2)－110典例2 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．规范解答解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ， ∴d ＝－53. 方法一 由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653， 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53 ＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53 ＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.方法三 由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0.∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．(2016·重庆一诊)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则{a n }的前4项和为( )A ．9B ．22C ．24D ．32 答案 C解析 由a n ＋1－a n ＝2，知{a n }为等差数列且公差d ＝2，∴由a 2＝5，得a 1＝3，a 3＝7，a 4＝9，∴前4项和为3＋5＋7＋9＝24，故选C.2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.53钱C.32钱D.43钱 答案 D解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，⎩⎨⎧ a 1＝43，d ＝－16，故选D.3．(2017·佛山调研)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案 C解析 由S n －S n －3＝51，得a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10. 4．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于( ) A ．24B ．48C ．66D ．132 答案 D解析 方法一 由a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋6，得a 1＋5d ＝12，∴a 1＝12－5d .又S 11＝11a 1＋11×102d ＝11a 1＋55d ＝11(12－5d )＋55d ＝132.方法二 由a 9＝12a 12＋6，得2a 9－a 12＝12. 由等差数列的性质得，a 6＋a 12－a 12＝12，a 6＝12，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝132，故选D. 5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( )A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9答案 C解析 由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或n ＝8，故选C.*6.设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( )A ．310B ．212C ．180D ．121 答案 D解析 设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ， 化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2， 所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝(n ＋102n －1)2 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12 ＝14⎝⎛⎭⎫1＋212n －12≤121， 故选D.7．(2015·安徽)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．答案 27解析 由题意知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.8．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，故a 10＝14.9．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案 130解析 由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.10．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 答案1941解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941. 11．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35， 即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.12．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2， 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.*13.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4， 即a 21－2a 1－3＝0， 解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5， 又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a2n－2a n＋1＝a2n－1，也即(a n－1)2＝a2n－1，因此a n－1＝a n－1或a n－1＝－a n－1.若a n－1＝－a n－1，则a n＋a n－1＝1.而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{a n}的各项均为正数相矛盾，所以a n－1＝a n－1，即a n－a n－1＝1，因此数列{a n}是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{a n}的通项公式a n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即a n＝n＋2.第2讲 等差数列及其前n 项和一、选择题1． {a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24解析 由S 10＝S 11得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20. 答案 B2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )．A ．6B ．7C ．8D ．9解析 由a 4＋a 6＝a 1＋a 9＝－11＋a 9＝－6，得a 9＝5，从而d ＝2，所以S n ＝－11n ＋n (n －1)＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，因此当S n 取得最小值时，n ＝6. 答案 A3．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )． A ．－1B ．1C ．3D ．7解析 两式相减，可得3d ＝－6，d ＝－2.由已知可得3a 3＝105，a 3＝35，所以a 20＝a 3＋17d ＝35＋17×(－2)＝1. 答案 B4．在等差数列{a n }中，S 15>0，S 16<0，则使a n >0成立的n 的最大值为( )． A ．6B ．7C ．8D ．9解析 依题意得S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，即a 8>0；S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，即a 8＋a 9<0，a 9<－a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8，选C. 答案 C5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )．A ．8B ．7C ．6D ．5解析 由a 1＝1，公差d ＝2得通项a n ＝2n －1，又S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2，所以2k ＋1＋2k ＋3＝24，得k ＝5. 答案 D6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数的个数是( )． A ．2B ．3C ．4D ．5解析 由A n B n ＝7n ＋45n ＋3得：a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，要使a n b n 为整数，则需7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共有5个． 答案 D 二、填空题7．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.解析 a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案 38．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．解析 依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案 69．在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________．解析 (直接法)设公差为d ，则11(－3＋4d )＝5(－3＋7d )－13， 所以d ＝59，所以数列{a n }为递增数列．令a n ≤0，所以－3＋(n －1)·59≤0，所以n ≤325，又n ∈N *，前6项均为负值， 所以S n 的最小值为－293. 答案 －29310．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析 设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，∴项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． 答案 11 7 三、解答题11．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围． 解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.12．在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S n n ＋c (n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0， 则由⎩⎨⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎨⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S nn ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c ，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n . ∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列． 13．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .解 (1)由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列， 且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－83＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10. (2)令a n ≥0，得n ≤5.即当n ≤5时，a n ≥0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ； 当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5) ＝－(－n 2＋9n )＋2×(－52＋45) ＝n 2－9n ＋40，∴S n ＝⎩⎨⎧－n 2＋9n ，n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥6.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立． (1)求a 1，a 2的值；(2)设a 1＞0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 的前n 项和为T n .当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．解 (1)取n ＝1，得a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，① 取n ＝2，得a 22＝2a 1＋2a 2，② 由②－①，得a 2(a 2－a 1)＝a 2，③(i)若a 2＝0，由①知a 1＝0， (ii)若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1.④由①、④解得，a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2.综上可得a 1＝0，a 2＝0；或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2. (2)当a 1＞0时，由(1)知a 1＝2＋1，a 2＝2＋2.当n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ，(2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1， 所以(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)， 所以a n ＝a 1(2)n －1＝(2＋1)·(2)n －1. 令b n ＝lg 10a 1a n，则b n ＝1－lg(2)n －1＝1－12(n －1)lg 2＝12lg 1002n －1，所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为－12lg 2)， 从而b 1＞b 2＞…＞b 7＝lg 108＞lg 1＝0， 当n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128＜12lg 1＝0， 故n ＝7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为 T 7＝7(b 1＋b 7)2＝7(1＋1－3lg 2)2＝7－212lg 2.。

数学教材习题变式训练（数列）一、有关通项问题1、利用11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项．（北师大版第20页习题5）数列{}n a 的前n 项和21n S n =+．（1）试写出数列的前5项；（2）数列{}n a 是等差数列吗？（3）你能写出数列{}n a 的通项公式吗？ 变式题1、设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，求数列}{n a 的通项公式；解：（1）：当;2,111===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即的等差数列. 变式题2、数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，113n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．解：（I ）由a 1=1，113n n a S +=，n=1，2，3，……，得 211111333a S a ===，3212114()339a S a a ==+=，431231116()3327a S a a a ==++=，由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=（n ≥2），得143n n a a +=（n ≥2），又a 2=31，所以a n =214()33n -(n ≥2),∴ 数列{a n }的通项公式为21114()233n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪⎩≥变式题3、已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈， 证明数列{}1n a +是等比数列．解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当1n =时21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+故总有112(1)n n a a ++=+，*n N ∈又115,10a a =+≠从而1121n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；2、解方程求通项：（北师大版第17页习题3）在等差数列{}n a 中，（1）已知812148,168,S S a d ==求和；（2）已知658810,5,a S a S ==求和；(3)已知3151740,a a S +=求.变式题1、{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 分析：本题考查等差数列的通项公式，运用公式直接求出. 解：1(1)13(1)2005n a a n d n =+-=+-=，解得669n =，选C点评：等差等比数列的通项公式和前n 项和的公式是数列中的基础知识，必须牢固掌握.而这些公式也可视作方程，利用方程思想解决问题. 3、待定系数求通项：写出下列数列{}n a 的前5项：（1）111,41(1).2n n a a a n -==+> 变式题1、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式；解：*121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列． 12.n n a ∴+=即 *21().n n a n N =-∈ 4、由前几项猜想通项：（北师大版第8页习题1）根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.变式题1、如下图，第（1）个多边形是由正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ，（1） （4） （7） （ ） （ ）则6a = ；345991111a a a a +++⋅⋅⋅+＝.解：由图可得：22(1)n a n n n n n =+-=+，所以642a =；又211111(1)1n a n n n n n n ===-+++ 所以345991111a a a a +++⋅⋅⋅+=1111111197()()()3445991003100300-+-++-=-= 变式题2、（北师大版第9页习题2）观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（ ），其通项公式为 . A ．40个 B ．45个 C ．50个 D ．55个解：由题意可得：设{}n a 为n 条直线的交点个数，则21a =，1(1),(3)n n a a n n -=+-≥，因为11n n a a n --=-，由累加法可求得：(1)12(1)2n n n a n -=+++-=，所以10109452a ⨯==，选B.二、有关等差、等比数列性质问题1、（北师大版第31页习题3）一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为（ ）A ．83B ．108C ．75D ．63变式题1、一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 。

第七单元 │ 使用建议
(2)突出数学思想方法在解题中的指导作用．数列问题 中蕴含着极为丰富的数学思想方法，如由前 n 项和求数列 通项、等比数列求和的分类整合思想，数列问题可以通过 函数方法求解的函数思想，等差数列和等比数列问题中求 解基本量的方程思想，把一般的数列转化为等差数列或者 等比数列的等价转化思想等，要引导学生通过具体题目的 解答体会数列问题中的数学思想方法，并逐步会用数学思 想指导解题．
第31讲 │ 要点探究
[点评] 在数列中根据数列前 n 项和的定义得到的关系式 an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2 占有重要位置，很多数列试题就是以此为 出发点设计的．在使用这个关系式时，一定要注意分 n＝1，n≥2 两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．在 根据数列的通项 an 与前 n 项和的关系求解数列的通项公式时， 要考虑两个方面，一个是根据 Sn＋1－Sn＝an＋1 把数列中的和转 化为数列的通项之间的关系；一个是根据 an＋1＝Sn＋1－Sn 把数 列中的通项转化为和的关系，先求 Sn 再求 an.如下面的变式．
第七单元 │ 使用建议
(3)强化数列求和：数列求和在高考的数列的解答题中占 有突出位置，除了等差数列、等比数列的求和外，还会涉及 裂项求和、错位相减求和等求和方法，在本单元的编写中专 门设置一讲强化数列求和．
(4)适度考虑数列和函数、不等式等知识的综合和数列的 实际应用：考虑到高考对数列的考查具有交汇性的特点，编 写中适度加入了数列和函数、数列和不等式的交汇等题目； 等差数列和等比数列的实际应用是考试大纲明确要求的，在 第 35 讲设置了探究点数列的实际应用．
第七单元 │ 命题趋势
第三个方向是以简单的数列递推式给出数列，通过转化把 数列转化为等差数列或者等比数列，求出这个数列的通项，然 后再涉及数列求和、不等式等综合问题；第四个方向是数列以 实际应用题的方式进行呈现，通过对实际问题的分析列出数列 模型，得出实际问题的答案．从考试大纲要求和近几年课标区 高考的实际情况看，数列解答题以前两个方向为主．

第2课时等差数列的前n项和的性质A级必备知识基础练1.(2022江苏镇江高二期中)已知等差数列{a n}的前11项和S11=88，则a2+a10=()A.16B.17C.18D.192.(2022天津滨海新区高二期末)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1=10，公差d=-，则S n取得最大值时n的值为()A.3B.4C.5D.63.等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=12，S10=48，则S15=()A.84B.108C.144D.1564.(2022河南创新发展联盟高二联考)记等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n与T n，若，则=()A. B. C. D.5.(多选题)(2022江苏南京金陵中学高二期末)已知等差数列{a n}是递增数列，其前n项和为S n，且满足a7=3a5，则下列结论正确的是()A.d>0B.a1<0C.当n=5时，S n最小D.当S n>0时，n的最小值为86.(多选题)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，下列选项可能是{S n}的图象的是()7.在等差数列{a n}中，a1>0，a10a11<0，若此数列的前10项和S10=36，前18项和S18=12，则数列{|a n|}的前18项和T18= .8.若等差数列{a n}的首项为a1=2 022，试写出一个使该数列的前n项和有最大值的数列的通项公式，该通项公式为.9.设{a n}为等差数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S7=7，S15=75，T n为数列的前n项和，求T n.B级关键能力提升练10.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=S10，S6=S k，则k的值是()A.6B.7C.8D.911.(2022河南南阳高二期中)已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和.若a1=2 024，且=3，则S2 021=()A.1×2 0212B.2×2 0212C.3×2 0212D.4×2 021212.(2022河南洛阳高二期中)已知等差数列{a n}是递减数列，且满足|a1|=|a9|，则数列{a n}的前n 项和最大时，n=()A.4或5B.5或6C.7D.813.(多选题)(2022江苏常州高二期末)设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d，已知a3=12，S12>0，S13<0，则下列结论正确的有()A.a6+a7<0B.a7<0C.d可以取负整数D.对任意n∈N+，有S n≤S614.(多选题)(2022山东济宁高二期末)已知等差数列{a n}是递减数列，且前n项和为S n，若S7=S11，则()A.a10>0B.当n=9时，S n最大C.S17>0D.S19>015.设数列{a n}的前n项和为S n，如果a1=-5，a n+1=a n+2，n∈N+，那么S1，S2，S3，S4中最小的为.16.在等差数列{a n}中，奇数项之和为44，偶数项之和为33，若此数列的项数为奇数，则这个数列的中间项是第项;若此数列的项数为偶数，且公差为-，则此数列的项数为.17.(2022江苏南京外国语学校高二期末)设S n是等差数列{a n}的前n项和，a3=7，.从①S6=51，②a n=a n-1-3，③S5=a3a5中任选一个，补充在问题中并作答.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n的最值.C级学科素养创新练18.(多选题)已知数列{a n}的前n项和为S n=33n-n2，则下列说法正确的是()A.a n=34-2nB.S16为S n的最小值C.|a1|+|a2|+…+|a16|=272D.|a1|+|a2|+…+|a30|=450参考答案第2课时等差数列的前n项和的性质1.A由等差数列{a n}的性质可得a1+a11=a2+a10.由于前11项和S11=88=，因此a1+a11=16，则a2+a10=16.故选A.2.A∵a1=10，d=-，∴S n=10n+×-=-n2+n.∵函数y=-x2+x的图象的对称轴为直线x=，且图象开口向下，∴当n=3时，S n取得最大值.故选A.3.B由等差数列前n项和的性质可知S5，S10-S5，S15-S10成等差数列.由等差中项性质可知2(S10-S5)=S5+(S15-S10)，解得S15=108，故选B.4.C由{a n}，{b n}均为等差数列，得.故选C.5.ABD设等差数列{a n}的公差为d，因为{a n}是递增数列，所以d>0.因为a7=3a5，所以a5+2d=3a5，所以d=a5，所以a1=a5-4d=-3d<0，故A，B正确;又因为a4=a5-d=d-d=0，所以S3=S4，且为S n的最小值，故C错误;又因为S8==4(a4+a5)=4a5=4d>0，S7==7a4=0，故D正确.故选ABD.6.ABC因为S n是等差数列{a n}的前n项和，所以S n=an2+bn(a，b为常数，n∈N+)，则其对应函数y=ax2+bx，当x∈N+时的函数值，函数的图象是过原点的一条曲线.当a=0时，该曲线是过原点的直线，如选项C;当a≠0时，该曲线是过原点的抛物线，如选项A，B;选项D中的曲线不过原点，不符合题意.故选ABC.7.60由a1>0，a10a11<0，知d<0，且a10>0，a11<0，所以T18=a1+a2+…+a10-a11-a12-…-a18=2S10-S18=60.8.a n=2 023-n(答案不唯一)9.解设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则S n=na1+n(n-1)d.因为S7=7，S15=75，所以解得所以S n=，所以n-，所以数列是等差数列，其首项为-2，公差为.所以T n=-2n+n2-n.10.B由题意可得{a n}的公差d≠0.∵等差数列的前n项和S n=n2+a1-n可看作二次函数y=x2+a1-x当x∈N+时的函数值，且S3=S10，∴二次函数的图象的对称轴为直线x=.又S6=S k，∴，解得k=7.11.D因为数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a1=2024，=3，所以数列是以=2024为首项，3为公差的等差数列，所以+2020×3=2024+2020×3=4×2021，所以S2021=4×20212.故选D.12.A∵等差数列{a n}是递减数列，且满足|a1|=|a9|，∴a1+8d=-a1，∴a1=-4d>0.∴a n=a1+(n-1)d=(n-5)d.令a n≥0，得n≥5.∴数列{a n}的前n项和最大时，n=4或n=5.故选A.13.BD因为S12=12a1+·d>0，S13=13a1+·d<0，所以2a1+11d>0，a1+6d<0，即a6+a7>0，a7<0，所以a6>0，所以d<0，所以对任意n∈N+，有S n≤S6.由a3=12得a1=12-2d，联立2a1+11d>0，a1+6d<0，解得-<d<-3，故d不能取负整数.故选BD.14.BC由S7=S11，得S11-S7=a8+a9+a10+a11=2(a9+a10)=0，则a9+a10=10.又因为{a n}是递减数列，所以a9>0，a10<0，故A错误，B正确;S17==17a9>0，故C正确;S19==19a10<0，故D错误.故选BC.15.S3∵数列{a n}的前n项和为S n，a1=-5，a n+1=a n+2，n∈N+，∴数列{a n}是首项为-5，公差为2的等差数列.∴a1=-5，a2=-3，a3=-1，a4=1.∴S1=-5，S2=-8，S3=-9，S4=-8.∴S1，S2，S3，S4中最小的为S3.16.444若此数列的项数为奇数，设项数为2n-1，则奇数项之和S1=a1+a3+…+a2n-1==na n，偶数项之和S2=a2+a4+a6+…+a2n-2==(n-1)a n，所以，解得n=4，所以第4项是此数列的中间项.若此数列的项数为偶数，设项数为2n，则S1-S2=nd，所以-11=-n，所以n=22，故此数列的项数为44.17.解若选①:(1)设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得解得所以a n=3n-2.(2)由(1)可知，a n=3n-2，所以数列{a n}是递增数列，故S n的最小值为S1=1，无最大值.若选②:(1)设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得d=a n-a n-1=-3，因为a3=a1+(3-1)×(-3)=7，解得a1=13，所以a n=-3n+16.(2)由(1)可得a n=-3n+16，令解得≤n≤，又n∈N+，所以n=5，故S n的最大值为S5==35，无最小值.若选③:(1)设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得S5==5a3=a3a5，解得a5=5，所以d==-1，所以a n=a3+(n-3)d=-n+10.(2)由(1)可知a n=-n+10，令a n=0，解得n=10，故S n的最大值为S9=S10==45，无最小值.18.AC数列{a n}的前n项和为S n=33n-n2.当n=1时，a1=32，当n≥2时，a n=S n-S n-1=33n-n2-33(n-1)+(n-1)2=-2n+34，当n=1时，a1=32也适合上式，则a n=34-2n，故A正确;S n=33n-n2=-n-2+，则当n=16或17时，S n取得最大值，故B错误;由a n=-2n+34≥0，解得n≤17，则|a1|+|a2|+…+|a16|=a1+a2+a3+…+a16==272，故C正确;|a1|+|a2|+…+|a30|=a1+…+a16-(a17+a18+…+a30)=272-=454，故D错误.故选AC.11。

高中学生学科素质练习高一数学同步测试〔12〕— 等差数列一、选择题：在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的,请把正确答案的代号填在题后的括号内. 1．假设a ≠b,数列a,x 1,x 2 ,b 和数列a,y 1 ,y 2 ,b 都是等差数列,那么 =--1212y y x x〔 〕A ．43 B ．32 C ．1 D ．34 2．在等差数列{}n a 中,公差d ＝1,174a a +＝8,那么20642a a a a ++++ ＝ 〔 〕A ．40B ．45C ．50D ．553．等差数列{}n a 的前三项为1,1,23x x x -++,那么这个数列的通项公式为 〔 〕A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．23n a n =-D ．25n a n =-4．在等差数列||,0,0}{10111110a a a a a n >><且中,那么在S n 中最大的负数为 〔 〕 A ．S 17 B ．S 18 C ．S 19 D ．S 205．等差数列的首项为31,假设此数列从第16项开始小于1,那么此数列的公差d 的取值范围是 〔 〕A ．(－∞,－2)B ．[－715, －2] C ．(－2, +∞) D ．(—715,－2) 6．在等差数列}{n a 中,假设30,240,1849===-n n a S S ,那么n 的值为 〔 〕A ．18 B17． C ．16 D ．157．等差数列}{n a 中,110052515021,2700,200a a a a a a a 则=+++=+++ 等于〔 〕A ．－20．5B ．－21．5C ．－1221D ．－208．某数列前n 项之和3n 为,且前n 个偶数项的和为)34(2+n n ,那么前n 个奇数项的和为 〔 〕A ．)1(32+-n nB ．)34(2-n nC ．23n -D ．321n 9．一个只有有限项的等差数列,它的前5项的和为34,最后5项的和为146所有项的和为234,那么它的第七项等于 〔 〕 A ．22 B ．21 C ．19 D ．18 10．等差数列{}n a 中,n a 2110m m m a a a -+-+=≠0,假设ｍ＞1且2110m m m a a a -+-+=,2138m S -=,那么ｍ的值是〔 〕A ． 10B ． 19C ．20D ．38 二、填空题：请把答案填在题中横线上.11．}{n a 是等差数列,且,13,77,57146541074==++++=++k a a a a a a a a 若 那么k = .12．在△ABC 中,A,B,C 成等差数列,那么=++2tan 2tan 32tan 2tanCA C A . 13．在等差数列}{n a 中,假设4681012120a a a a a ++++=,那么10122a a -= .14．n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,542,30n a a -==(n ≥5,*n N ∈),n S =336,那么n 的值是 .三、解做题：解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.15．己知}{n a 为等差数列,122,3a a ==,假设在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构成一个新的等差数列,求：〔1〕原数列的第12项是新数列的第几项？ 〔2〕新数列的第29项是原数列的第几项？16．数列{}n a 是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负. 〔1〕求数列公差；〔2〕求前n 项和n s 的最大值；〔3〕当0>n s 时,求n 的最大值.17．设等差数列}{n a 的前ｎ项的和为S n ,且S 4 =－62, S 6 =－75,求： 〔1〕}{n a 的通项公式a n 及前ｎ项的和S n ；〔2〕|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+……+|a 14 |.18．某渔业公司年初用98万元购置一艘捕鱼船,第一年各种费用12万元,以后每年都增加4万元,每年捕鱼收益50万元, 〔Ⅰ〕问第几年开始获利？〔Ⅱ〕假设干年后,有两种处理方案：〔1〕年平均获利最大时,以26万元出售该渔船； 〔2〕总纯收入获利最大时,以8万元出售该渔船.问哪种方案合算.19．数列{}n a ,首项a 1 =3且2a n+1=S n ·S n －1 (n ≥2).〔1〕求证：{nS 1}是等差数列,并求公差； 〔2〕求{a n }的通项公式；〔3〕数列{a n }中是否存在自然数k 0,使得当自然数k ≥k 0时使不等式a k >a k+1对任意大于等于k 的自然数都成立,假设存在求出最小的k 值,否那么请说明理由.20．等差数列{}n a 中,公差d ＞0,等比数列}{n b 中,b 1＞0,公比q ＞0且q ≠1,假设n a －1a ＞log 1log b b a n a -〔n ＞1,n ∈N,a ＞0,a ≠1〕,求a 的取值范围.高一数学上学期测试题〔12〕参考答案一、选择题：ABCCB DABDA二、填空题：11．8； 12．3； 13．24； 14．21. 三、解做题：15．分析：应找到原数列的第n 项是新数列的第几项,即找出新、旧数列的对应关系.解：设新数列为{},4,)1(,3,2,1512511d b b d n b b a b a b b n n +=-+=====有根据则即3=2+4d,∴14d=,∴172(1)44n n b n +=+-⨯= 1(43)7(1)114n n a a n n -+=+-⨯=+=又,∴43n n a b-=即原数列的第n 项为新数列的第4n －3项． 〔1〕当n=12时,4n －3=4×12－3=45,故原数列的第12项为新数列的第45项；〔2〕由4n －3=29,得n=8,故新数列的第29项是原数列的第8项. 说明：一般地,在公差为d 的等差数列每相邻两项之间插入m 个数,构成一个新的等差数列,那么新数列的公差为.1+m d 原数列的第n 项是新数列的第n+(n －1)m=(m+1)n －m 项．16．解： 〔1〕231=a , 06>a ,07<a ,∴ 115060a d a d +>⎧⎨+<⎩ ⇒623523-<<-d d 为整数, ∴ 4d =-.〔2〕)4(2)1(23-⨯-+=n n n s n =23)1(2--n n n=－2n n252+ =－2625)425(22+-n∴当6=n时n s 最大=78〔3〕02522>+-=n n s n时,0225<<n ,故n 最大值为12.17．分析：通过解方程组易求得首项和公差,再求a n 及S n ；解答②的关键在于判断项的变化趋势.解：设等差数列首项为a 1,公差为d,依题意得⎩⎨⎧-=+-=+75156626411d a d a解得：a 1=－20,d=3.⑴2)23320(2)(,233)1(11-+-=+=-=-+=n n n a a S n d n a a n n n 234322n n =-；⑵{}120,3,n a d a n =-=∴的项随着的增大而增大1202300,3230,3(1)230,(),7,733k k a a k k k k Z k +≤≥-≤+-≥∴≤≤∈=设且得且即第项之前均为负数 ∴123141278914||||||||()()a a a a a a a a a a ++++=-+++++++1472147S S =-=.18．解：〔Ⅰ〕由题设知每年费用是以12为首项,4为公差的等差数列, 设纯收入与年数的关系为f (n )∴[]9824098)48(161250)(2--=-++++-=n n n n n f 获利即为f (n )＞0 ∴04920,09824022<+->--n n nn 即解之得：1.172.251105110<<+<<-n n 即 又n ∈N ,∴n =3,4,…,17∴当n =3时即第3年开始获利〔Ⅱ〕〔1〕年平均收入=)49(240)(nn n n f +-= ∵n n 49+≥14492=⨯n n ,当且仅当n =7时取“=〞 ∴nn f )(≤40-2×14=12〔万元〕即年平均收益,总收益为12×7+26=110万元,此时n =7 ； 〔2〕102)10(2)(2+--=n n f ∴当102)(,10max ==n f n总收益为102+8=110万元,此时n =10比拟两种方案,总收益均为110万元,但第一种方案需7年,第二种方案需10年,应选择第一种.19．分析：证⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1为等差数列,即证d S S n n =--111〔d 是常数〕.解：⑴由当2n ≥时111111112()1112:2()(2).1(2)211111{},32n n n n n n n n n n n n n n S S a S S S S S S n n S S S S d S S a -------=⋅-=⋅≥⇒=⇒-=-≥⇒===-得是以为首项公差的等差数列。

同步练习册及答案### 同步练习册及答案#### 第一章：数学基础练习题1：解决以下方程：\[ 3x + 7 = 22 \]答案：首先，将方程两边减去7：\[ 3x = 22 - 7 \]\[ 3x = 15 \]然后，将两边除以3得到x的值：\[ x = \frac{15}{3} \]\[ x = 5 \]练习题2：找出下列数列的下一个数字：2, 4, 6, 8, ...答案：这是一个等差数列，公差为2。

下一个数字是当前最后一个数字加上公差：\[ 8 + 2 = 10 \]#### 第二章：语言艺术练习题1：用至少三个不同的形容词描述“春天”。

答案：春天可以被描述为“温暖”、“生机勃勃”和“多彩”。

练习题2：改写以下句子，使其更加正式：“他昨天去了图书馆。

”答案：他于昨日前往图书馆。

#### 第三章：科学探索练习题1：解释什么是光合作用。

答案：光合作用是植物、某些细菌和藻类利用阳光能量，将水和二氧化碳转化为葡萄糖和氧气的过程。

这是地球上生命能量的主要来源之一。

练习题2：列举三种常见的化石燃料。

答案：常见的化石燃料包括煤炭、石油和天然气。

#### 第四章：历史回顾练习题1：简述工业革命的三个主要影响。

答案：工业革命导致了生产力的显著提高，城市化进程的加速，以及社会结构和工作方式的根本变化。

练习题2：列举两位对现代科学有重大影响的科学家。

答案：艾萨克·牛顿和阿尔伯特·爱因斯坦是两位对现代科学有重大影响的科学家。

#### 第五章：地理知识练习题1：描述地球的五个主要气候带。

答案：地球的五个主要气候带包括热带、亚热带、温带、寒带和极地气候带。

练习题2：解释什么是板块构造论。

答案：板块构造论是地球科学中的一个理论，它认为地球的外壳被分割成几个大的板块，这些板块在地幔的流动作用下相互移动，导致地震、火山活动和山脉的形成。

#### 结束语：通过本练习册，我们复习了数学、语言艺术、科学、历史和地理等不同领域的基础知识。

高一数学同步练习：数列与等差数列p高一数学同步测试―数列与等差数列高一数学同步测试——序列与等差序列一、选择题：1.有限序列1，23，26，29，。

，23na。

3n+7＋6项目数量为D.N+2（）b、 3n＋6c.n＋32．已知数列?an?的首项a1?1，且an?2an?1?1?n?2?，则a5为a．7b．15c．30d．31（）3．某数列第一项为1，并且对所有n≥2，n∈n*，数列的前n项之积n2，则这个数列的通项公式是（）a．an=2n－1b、 an=n2．an2cn=(n?1).a（n？1）22dn=N24。

如果{an}是算术序列，且a1+A4+A7=45，A2+A5+A8=39，则A3+A6+A9的值为（）a、 39b．20c、 19.5d．335.如果算术序列{an}的前三项为X-1，X+1，2x+3，则该序列的一般项公式为（）a、 an=2n－5b．an=2n－3c、 an=2n－1d．an=2n＋16.如果第一项为-24的等差序列，且与第10项为正，则公差的值范围为（）a、 d＞83b．d＜3c．83≤ d<3d。

83<D≤ 37.算术序列{an}的前n项和Sn=2n2+n，则其通式为（）a、 an=2n－1b．an=2n＋1c、 an=4n－1d．an=4n＋18．? 一中安？氮气？9n？100，最小值为（）a．第4项b．第5项c．第6项d．第4项或第5项9.知道A1N吗？N1.NNn*然后呢？a2A10的值是（）a．10?1b、 11岁？1c.12？1d。

210.在算术序列{an}中，如果A3+A9+A15+A21=8，A12等于（）a、一,b．－1c、二,d．－211．在等差数列{an}中，a3＋a7－a10=8，a1－a4=4，则s13等于（）a．168b、 156c．78d、 15212．数列{an}的通项an=2n＋1，则由bn=a1？a2安（n）∈ n*），确定序列{BN}的前n项之和为（1））高一数学同步测试——序列与等差序列a．n(n＋1)二、填空题：b。

1.2.3 等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和A级必备知识基础练1.(2022江苏常州中学高二期中)记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a6=31，S7=77，则数列{a n}的公差为()A.2B.3C.4D.62.(2022广东东莞高二期末)在等差数列{a n}中，S3=6，S5=20，则a4=()A.2B.4C.6D.83.(2022江西景德镇一中高二期中)等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a3=2，a4-a2=2，则S5=()A.21B.15C.10D.64.在等差数列{a n}中，若S10=4S5，则等于()A. B.2C. D.45.(2022贵州瓮安第二中学高一月考)一百零八塔，因塔群的塔数而得名，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，….若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有() A.10层 B.11层C.12层D.13层6.(多选题)已知等差数列{a n}，S n是其前n项和，若S10=a10=10，则()A.a1=-8B.a5=0C.S5=18D.S5=-207.某公司经销一种数码产品，第1年获得的利润为200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，若该公司不调整经营策略，则a n(a n为第n 年获得的利润)与n的关系为，S n(S n为前n年获得利润的总和)与n的关系为.8.为了参加学校的长跑比赛，某学校高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3 600米，最后三天共跑了10 800米，求这15天小李同学总共跑的路程.B级关键能力提升练9.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=4n2-10n，则a2a6=()A.52B.68C.96D.10810.(2022江苏连云港高二期末)《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为()A. B. C. D.11.(多选题)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0，a5=5，则()A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=n2-4nD.S n=n2-2n12.(多选题)(2022山东滨州高二期末)在等差数列{a n}中，已知a3=10，a11=-6，S n是其前n项和，则()A.a7=2B.S10=54C.d=-2D.13.(2022江西重点中学协作体高二联考)汉代将1 000枚铜钱用缗(丝绳或麻绳)串起来，称为一“缗”(mīn，音岷)，再放在一起成为一堆.为清点一批铜钱的数目，工作者先将其串成缗，并在最底层放置70缗，然后一层一层往上码，每层递减一缗，最上面一层为31缗，则这堆铜钱共有缗.14.已知等差数列110，116，122，…，则该数列共有项位于区间[450，600]内.15.(2022广东广州高二期末)从①a4+a5=-4，②a2+a6=-6，③S7=14这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求k的值;若k不存在，说明理由.问题:已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a7=3.若，则是否存在k，使得S k-1>S k且S k<S k+1?C级学科素养创新练16.记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知S9=-a5.(1)若a3=4，求{a n}的通项公式a n;(2)若a1>0，求使得S n≥a n的n的取值范围.参考答案1.2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和1.B∵a5+a6=31，S7=77，∴解得d=3，故选B.2.C设等差数列{a n}的公差为d，则解得所以a4=a1+3d=6，故选C.3.C设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a3=2，a4-a2=2，∴2a1+2d=2，2d=2，解得a1=0，d=1，则S5=0+×1=10.故选C.4.A由题意得10a1+×10×9d=45a1+×5×4d，即10a1+45d=20a1+40d，即10a1=5d，则.5.C设塔群共有n层，依山势自上而下各层的塔数构成的数列为{a n}，前n项和为S n.依题意，得a5，a6，…，a n成等差数列，且公差为2，a5=5，所以S n=1+3+3+5+5(n-4)+×2=108，解得n=12或n=-8(舍).6.ABD设数列{a n}的公差为d，由题意可得解得所以a5=a1+4d=-8+4×2=0，S5=5a1+d=5×(-8)+10×2=-20，故选ABD.7.a n=-20n+220S n=-10n2+210依题意，每年获得的利润依次排成一列构成等差数列{a n}，且首项a1=200，公差d=-20，于是得a n=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=-20n+220.S n==-10n2+210.8.解设小李第n天跑a n米，则数列{a n}是等差数列，设{a n}的公差为d.∵小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，∴a1+a2+a3+a13+a14+a15=3600+10800=14400，∴a1+a15=4800.∴这15天小李同学总共跑的路程为S15=(a1+a15)=×4800=36000米.9.B由题意，数列{a n}满足S n=4n2-10n，当n≥2时，a n=S n-S n-1=4n2-10n-[4(n-1)2-10(n-1)]=8n-14，所以a2a6=(8×2-14)×(8×6-14)=68.故选B.10.A设5人分到的面包数量从小到大记为{a n}，{a n}的公差为d，依题意可得S5==5a3=100，得a3=20.∵a3+a4+a5=7(a1+a2)，∴60+3d=7(40-3d)，解得d=.∴a5=a3+2d=20+.故选A.11.AC设等差数列{a n}的公差为d，由S4=0，a5=5，得解得所以a n=2n-5，S n=n2-4n，故选AC.12.ACD设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=10，a11=-6，∴a1+2d=10，a1+10d=-6，解得a1=14，d=-2.∴S n=14n+×(-2)=15n-n2.∴a7=14-2×6=2，S10=15×10-102=50，=15-7-(15-8)=1>0，即.故选ACD.13.2 020由题意知，这堆铜钱的缗数从上到下构成以31为首项、以1为公差的等差数列，且末项为70，设这堆铜钱摆放了n层，故70=31+(n-1)×1，解得n=40，所以共有40层，故这堆铜钱共有=2020缗.14.25设所求等差数列为{a n}，由题意可知数列{a n}的首项为110，公差为116-110=6，则a n=110+6(n-1)=6n+104.解不等式450≤6n+104≤600，得≤n≤，因此，该数列位于[450，600]内的项从第58项起直至第82项，共有25项.15.解若存在k，使得S k-1>S k且S k<S k+1，则a k<0，a k+1>0.设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.若选择条件①:由解得所以a n=-9+2(n-1)=2n-11.令a n<0，得n<，所以当k=5时，满足a5<0，a6>0，所以k=5满足题意.若选择条件②:由解得所以a n=-9+2(n-1)=2n-11.由a n<0，得n<.所以当k=5时，满足a5<0，a6>0，所以k=5满足题意.若选择条件③:由解得所以a n=1+(n-1)=n+.易知a n>0恒成立，所以不存在满足条件的k.16.解(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为S9=-a5，所以=-a5，可得a5=0.因为a3=4，所以d==-2.故a n=a3+(n-3)d=-2n+10.(2)若S n≥a n，则na1+d≥a1+(n-1)d.当n=1时，不等式成立;当n≥2时，有≥d-a1，变形可得(n-2)d≥-2a1.又a5=0，即a1+4d=0，则有(n-2)≥-2a1.因为a1>0，所以n≤10.则有2≤n≤10.综上可得，n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N+}.。

(2)在(1)的结论下，设bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是数列{cn}的前n项和， 求Tn.
由(1)可得an＝4n－1，an＋1＝4n， 所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n， 那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn ＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n) ＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n) ＝4n－3 1＋nn2＋1.
⑧(－1)nlog3[n(n＋1)]＝(－1)n[log3n＋log3(n＋1)]；
⑨(－1)n2n－14n2n＋1＝(－1)n2n1－1＋2n1＋1.
【例7】已知数列{an}的前n项和为Sn，满足S2＝2，S4＝16，{an＋1}是等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
设等比数列{an＋1}的公比为q，其前n项和为Tn，
A.4
B.5
C.6
D.7
设等差数列的公差为d，则a＝1＋d，b＝19－d，从而a＋b＝20，
由题意知，d>0，故a>0，b>0， 所以(a＋b)1a＋1b6＝1＋16＋ba＋1b6a≥17＋2 ba·1b6a＝25， 即1a＋1b6≥2250＝54，当且仅当ba＝1b6a， 即b＝4a时取“＝”，又a＝1＋d，b＝19－d，解得d＝3，所以19＝1
题型突破
题型一：等差数列的有关计算
等差数列的计算技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为 d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可解决等差数列的有关问题.另外 亦可用等差中项及性质找到项与项之间的关系进行解题，此种解法计算量较小. (2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d.若有5项、7 项、…时，可同理设出. (3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d.若 有6项、8项、…时，可同理设出.

必修5《数列》同步训练（共7份）含答案2．1 数列的概念与简单表示法一、选择题：1．下列解析式中不．是数列1，-1，1，-1，1，-1…，的通项公式的是 （ ） A.(1)n n a =- B.1(1)n n a +=- C.1(1)n n a -=- D.{11n n a n =-，为奇数，为偶数2，的一个通项公式是 （ ）A. n aB. n a =C. n a =D.n a =3．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第 （ ）项. A. 9 B. 10 C. 11 D. 124．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则它的定义域为 （ ）A. 非负整数集B. 正整数集C. 正整数集或其子集D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n5．已知数列{}n a ，22103n a n n =-+，它的最小项是 （ ）A. 第一项B. 第二项C. 第三项D. 第二项或第三项6．已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（ ）A. 6B. 3-C. 12-D. 6-二.填空题：7、观察下面数列的特点，用适当的数填空（1），14，19，116，； （2）32，54，，1716，3332，。

8.已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且，则17a =.9.根据下列数列的前几项的值，写出它的一个通项公式。

（1）数列0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式为.（2）数列4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为.（3）数列1524354863,,,,,,25101726的一个通项公式为.10.已知数列{}n a 满足12a =-，1221n n na a a +=+-，则4a =.三.解答题11.已知数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数，①求{}n a 的通项公式，并求2005a ；②若{}n b 是由2468,,,,,a a a a 组成，试归纳{}n b 的一个通项公式.12.已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+，试写出该数列的前5项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.2.2等差数列一.选择题：1、等差数列｛a n ｝中，a 1=60,a n+1=a n+3则a 10为………………………………（ ） A 、-600 B 、-120 C 、60 D 、-602、若等差数列中，a 1=4,a 3=3,则此数列的第一个负数项是……………………（ ）A 、a 9B 、a 10C 、a 11D 、a 12 3.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是 （ ）A.公差为2的等差数列B. 公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D. 公差为n 的等差数列4.已知｛a n ｝是等差数列，a 7+a 13=20，则a 9+a 10+a 11=……………………（ ） A 、36 B 、30 C 、24 D 、185.等差数列3,7,11,,---的一个通项公式为 （ ）A.47n -B.47n --C.41n +D.41n -+6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，，32313n n n a a a --++，是 （ ）A.一定不是等差数列B.一定是递增数列C.一定是等差数列D.一定是递减数列二.填空题：7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a =.8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a =.9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a =.10.若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8=.三.解答题11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,---中的项，若是，是第几项？12.等差数列｛a n｝中，a1=23，公差d为整数，若a6>0,a7<0.（1）求公差d的值;（2）求通项a n.13、若三个数a-4,a+2,26-2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列.2.3等差数列的前n 项和一.选择题：1.等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a += （ ）A.12B.24C.36D.482.从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为 （ ）A.0B.90C.180D.3603.已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ）A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数D.有最大值且是分数4.等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A.130B.170C.210D.2605.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为 （ ）A.0B.100C.1000D.100006.若关于x 的方程20x x a -+=和20x x b -+=()a b ≠的四个根组成首项为14的等差数列，则a b += （ ） A.38B.1124C.1324D.3172二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s =.8.等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d =.9.有一个 凸n 边形，各内角的度数成等差数列，公差是100，最小角为1000，则边数n=.10.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足733n n S n T n +=+，则88a b =. 三.解答题11.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.12.已知等差数列｛a n｝的项数为奇数，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。

由题意可知{ }为等差数列，
则数列首项1 = 2，公差 = 3，
所以 = 1 + − 1 = 2 + − 1 × 3 = 3 − 1，
1 +
(3−1+2)
由求和公式有 =
=
= 222，解得 = 12，
2
2
故选：C．
题型剖析
题型七
等比数列的定义
1
3
【例8】已知数列{ }中，1 = ，+1 =
=
．
举一反三
【变式】已知等差数列 的前项和为 ，且28 = 56，则12 + 13 + 14 + 15 +
16 + 17 =
．
【答案】12
【解析】由28 =
1 +28 ×28
2
= 56，得1 + 28 = 4，
则12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 = 3 1 + 28 = 12．
天飞行任务．运送“神十八”的长征二号F运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2km，以
后每秒钟通过的路程都增加3km，在达到离地面222km的高度时，火箭开始进入转弯程序．则
从点火到进入转弯程序大约需要的时间是（ ）秒．
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】C
【解析】设出每一秒钟的路程为数列{ }，
技巧点拨
求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）函数法，将数列视为函数 ，即当 ∈ ∗ 时所对应的一列函数值，
根据 的类型作出相应的函数图象或利用求函数最值的方法，求出
的最值，进而求出数列的最大（小）项.

数学 等差数列 等差数列的前n 项和【同步达纲练习】一、选择题1．在等差数列}a {n 中，公差是21，且60a a a 10042=+++ ，则10021a a a +++ 等于( ) A ．120 B ．95 C ．150 D ．1252．设等差数列前n 项和为n S ．400S 100S 2010==，，则30S 等于( )A ．800B ．900C ．1000D ．11003．已知421a a a a ，，，3成等差数列，且41a a 、是方程03x 6x 22=+-的根，则32a a +等于( )A ．1B ．2C ．3D ．44．如果f(n ＋1)＝f(n)＋1，且f(100)＝101，那么f(1)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．45．}a {n 是等差数列，且48a a a a 111032=+++，则76a a +等于( )A ．12B ．16C ．20D ．246．在首项是31，公差是－4的等差数列中，与0最靠近的项是第( )A ．8项B ．9项C ．10项D ．11项7．在等差数列}a {n 中，m a n a n m ==，，则n m a +等于( )A ．m －nB ．m ＋nC ．22n m -D ．08．设x 是a 、b 的等差中项，2x 是22b a -与的等差中项，则( )A ．a ＋b ＝0B ．a －3b ＝0C ．0b a 22=+D ．(a ＋b)²(a －3b)＝0 9．}a {n 中，4a a 32a n 1n 1-==+，，n S 是其前n 项和，则n S 的最大值是( )A ．144B ．148C ．152D ．15610．设M ＝{m|m ＝7n ，n ∈N ，且100<m<200}，则集合M 中所有元素的和是( )A ．2100B ．2101C ．2105D ．2107二、填空题1．已知1＋4＋7＋…＋x ＝117．则x ＝_____________．2．一个等差数列的前4项之和为26，最后4项之和为110，所有项之和为187，则此数列的项数是_____________．3．若a 、b 、c 成等差数列，a ＋b ＋c ＝9，35c b a 222=++，则公差d ＝_____________．4．两个等差数列54321a a a a a ，，，，和654321b b b b b b ，，，，，中21b a =，55b a =，则2346a a b b --＝_____________．5．在等差数列}a {n 中，21a a a 642=++，231a a a 642=⋅⋅，则8a ＝_____________．6．}a {n 是等差数列，10S 100S 10010==，，则110S ＝_____________．7．}a {n 是等差数列，公差是21，且145S 100=，则99531a a a a ++++ ＝_____________． 8．在凸多边形中，各内角的度数成等差数列，最小角为60°，公差为20°，它的边数是_____________．9．在三位数中，7的倍数的数总和是_____________．10．}a {n 是等差数列，5a a a 321=++，10a a a 543=++，则987a a a ++＝_____________．三、问答题1．已知：}a {n 是等差数列．求证： ，，，765543321a a a a a a a a a ++++++也是等差数列．2．已知：数列}a {n 的前n 项和2n )a a (S n 1n ⋅+=． 求证：}a {n 是等差数列．3．在100和300之间，既不是2的倍数，也不是3的倍数的整数有多少个？求它们的和．4．}a {n 是等差数列，m1a n 1a n m ==，．n S 是前n 项和，求n m S +．5．在等差数列2，5，8，…，(3n －1)中，每相邻两项间插入3个数，构成新的等差数列．(1)原数列的第12项是新数列的第几项？(2)新数列的第29项是原数列的第几项？(3)求新数列的通项公式．6．已知数列{2n －14}，求前n 项和的最小值．7．数列}a {n 中， ，，，，10987a 654a 32a 1a 4321+++=++=+==求这个数列的通项公式．8．公差为4的等差数列}a {n 中，首项的平方与其余各项的和不大于100．试求该数列最多有多少项？参考答案【同步达纲练习】一、1．B 提示：d 5060a a a 9931⨯-=+++ ． 2．B 提示：注意10S ，1020S S -，2030S S -成等差．3．C 提示：注意3241a a a a +=+ 4．B 5．D 6．B 7．D8．D 提示：消去x ，建立a 、b 关系式．9．A 10．D 提示：求出最小元素和最大元素．二、1．25 提示：x ＝3n －2．2．11 3．d ＝±2 4．38 提示：列出两个数列的公差满足的关系． 5．15或－1 提示：列出1a 和d 的方程．6．－110 7．60 8．4 9．70336 10．20三、1．证明：)a a a ()a a a (1n 2n 21n 23n 22n 21n 2+-+++++-++是常数2．先求出n a ，再证明1n n a a --是常数3．共77个．其和为23217提示：先求出2的倍数的个数及其和；再求出3的倍数的个数及其和；再求出6的倍数的个数及其和． 4．mn2)1n m )(n m (S n m +++=+ 5．(1)45项；(2)8项；(3)45n 43a n +=6．－42 提示：求前6项的和．7．2)1n (n a 2n += 提示：搞清n a 中的第一个数与最后一个数． 8．最多8项。