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小学三年级奥数精品讲义目录第一讲加减法的巧算（一）第二讲加减法的巧算（二）第三讲乘法的巧算第四讲配对求和第五讲找简单的数列规律第六讲图形的排列规律第七讲数图形第八讲分类枚举第九讲填符号组算式第十讲填数游戏第十一讲算式谜（一）第十二讲算式谜（二）第十三讲火柴棒游戏（一）第十四讲火柴棒游戏（二）第十五讲从数量的变化中找规律第十六讲数阵中的规律第十七讲时间与日期第十八讲推理第十九讲循环第二十讲最大和最小第二十一讲最短路线第二十二讲图形的分与合第二十三讲格点与面积第二十四讲一笔画第二十五讲移多补少与求平均数第二十六讲上楼梯与植树第二十七讲简单的倍数问题第二十八讲年龄问题第二十九讲鸡兔同笼问题第三十讲盈亏问题第三十一讲还原问题第三十二讲周长的计算第三十三讲等量代换第三十四讲一题多解第三十五讲总复习第一讲加减法的巧算森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。
选手们为争夺冠军，都在舞台上发挥着自己的最好水平。
台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。
由于他们对每个选手分数的及时通报，台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌，同时，观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。
观众的情绪也影响着两位分数统计者。
只见分数一到小白兔手中，就像变魔术般地得出了答案。
等小熊满头大汗地算出来时，小白兔已欣赏了一阵比赛，结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。
小熊不禁问：“白兔弟弟，你这么快就算出了答案，有什么决窍吗？”小白兔说：“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91，去掉最高分98，去掉最低分87，剩下的都接近90为基准数，超过90的表示成90+‘零头数’，不足90的表示成90－‘零头数’。
于是（93+95+96+88+89+91+93+91）÷8=90+（3+5+6―2―1+1+3+1）÷8=90+2=92。
你可以试一试。
”小熊照着小白兔说的去做，果然既快又对。
奥数知识点速算和巧算奥数是指奥林匹克数学竞赛，是一项国际性的数学竞赛。
在竞赛中，学生需要运用数学知识进行问题求解，并且通常要在短时间内给出答案。
因此，在奥数竞赛中，速算和巧算是非常重要的技巧。
下面是一些奥数中常用的速算和巧算的知识点。
一、速算速算是指在有限的时间内，用快捷的方法得到近似值或精确值。
速算在奥数竞赛中非常有用，可以帮助学生快速计算出结果。
以下是一些常用的速算技巧：1.快速乘法：快速乘法是一种用于快速计算两个数乘积的方法。
其中一种常用的方法是竖式乘法，即将两个数分别按位相乘，然后将结果相加。
另外，还有一些其他的快速乘法方法，比如俄式乘法、中国乘法等。
2.快速除法：快速除法是一种用于快速计算两个数商的方法。
其中一种常用的方法是长除法，即将除数和被除数进行竖式计算。
另外，还有一些其他的快速除法方法，比如不动小数点法、移位法等。
3.快速开方：快速开方是一种用于快速计算一个数的平方根的方法。
其中一种常用的方法是牛顿迭代法，即通过迭代求解来逼近平方根的值。
4.快速三角函数计算：在奥数竞赛中，需要经常计算三角函数的值。
为了节省时间，可以使用一些快速计算三角函数的公式，比如正弦和余弦的半角公式、正弦和余弦的和差公式等。
二、巧算巧算是指用巧妙的方法解决问题的技巧。
巧算可以使解题过程更加简洁和高效。
以下是一些常用的巧算技巧：1.数字规律：在奥数竞赛中，许多问题都存在一定的数字规律。
通过观察数字的规律，可以快速求解问题。
比如，找出数列中的规律、发现数字的对称性等。
2.圆与方的关系：圆和正方形是两个常见的图形。
在解决与这两个图形相关的问题时，可以利用圆与正方形的特性进行巧算。
比如，利用圆的对称性和正方形的边长等。
3.分解与组合：一些数学问题可以通过分解与组合的方法进行巧算。
比如，将一个复杂的问题分解为多个简单的问题进行求解，然后将结果进行组合得到最终答案。
4.数量关系：在解决与数量关系相关的问题时，可以运用一些巧妙的方法进行巧算。
四年级奥数加减乘除中的巧妙规律应用奥数是指奥林匹克数学竞赛，是一项能够培养学生逻辑思维和解决问题能力的数学竞赛。
在四年级的奥数中，加减乘除是基础的运算内容。
本文将探讨在四年级奥数加减乘除中的巧妙规律应用。
一、加法中的规律应用在四年级奥数中，加法是最基础的运算之一。
除了熟练掌握加法的计算方法外，还可以应用一些巧妙的规律来简化计算过程。
1. 同位数相加的规律当两个数的个位、十位等位数相同，只有个位数不同时，可以利用同位数相加的规律简化计算。
例如，计算487+473时，可将个位的7与3相加得到10，这个10与十位数的8相加得到18，最终结果为960。
2. 逆序数相加的规律逆序数相加的规律是指将两个逆序排列的数相加，结果的个位数与十位数也是逆序排列。
这个规律可以帮助我们更快地计算出结果。
例如，计算346+643时，个位的6与3相加得到9，十位的4与4相加等于8，最终结果为989。
二、减法中的规律应用减法是四年级奥数中另一个重要的运算内容。
在减法中，也有一些规律可以帮助我们简化计算。
1. 借位减法的规律当两位数相减时，如果个位数小于被减数的个位数，就需要向十位借位。
这是一种常见的减法规律。
例如，计算325-98时，可以先将个位的5减去8，得到7，再将十位的2减1，得到1，最终结果为227。
2. 末位相等的规律当减数与被减数的个位数相等时，我们可以利用这个规律进行计算。
例如，计算976-276时，由于减数与被减数的个位数都是6，所以只需要将百位数的9减去2，得到7，最终结果为700。
三、乘法中的规律应用乘法是四年级奥数中较难的一个运算内容。
在乘法中，也有一些规律可以帮助我们简化计算。
1. 乘法交换律的应用乘法交换律是指数的顺序与乘积的顺序无关。
例如，计算7×8时，可以换算成8×7，这样计算起来更加简便。
这个规律在计算大数的乘法时尤为重要。
2. 同因数相乘的规律当两个数的因数相同时，可以利用同因数相乘的规律简化计算。
苏教版五年级上同步奥数培优第八讲小数乘法和除法（巧推妙算）知识概述：很多计算题，如果我们根据运算法则按部就班地计算，将会觉得很繁，也很耗费时间，有的甚至算不出结果，如果我们能够发现其中数据的特点，正确运用数的组成、运算规律，把复杂的计算转化为简便的计算将会节约很多时间。
学会巧算的一些基本方法，将有助于我们提高计算力，发展思维能力，增强注意力与记忆力。
例1：计算3.75×4.8+62.5×0.48练习一：用简便方法计算下面各题。
1. 1250×0.037+0.125×160+12.5×2.72. 0.45×72+45×0.18+4.53. 3.6×232-36×13.2-360例2：1994×19951995-1995×19941994练习二：1.计算:959595×96-969696×952.计算:9999×7777÷11113.例3：计算:(1+0.12+0.23)×(0.12+0.23+0.34)-(1+0.12+0.23+0.34)×(0.12+0.23)练习四：1.计算:(0.1+0.12+0.123+0.1234)×(0.12+0.123+0.1234+0.12345)-(0.1+0.12+0.123+0.1234+0.12345)×(0.12+0.123+0.1234)2.试比较0.1234×0.4321与0.1235×0.432的计算结果哪个大?3. 11×11=121111×111=123211111×1111=1234321那么:2222×2222=333×333=例4: 8.01×1.24+8.02×1.23+8.03×1.22的整数部分是多少?练习四：1.31.719×1.2798的整数部分是多少?2.根据7×11×13＝1001，求:123123÷0.7÷11÷1.3＝；0.7×2.5×13×5×11=。
四年级奥数加减乘除中的巧妙规律总结与应用近年来，奥数竞赛在小学生中越来越受欢迎。
对于四年级的学生而言，加减乘除是基础的数学运算，然而，要在奥数中取得好的成绩，仅仅掌握基本的运算是远远不够的。
在本文中，我将总结四年级奥数加减乘除中的巧妙规律，并且探讨如何应用这些规律来解决问题。
一、加法的巧妙规律在四年级奥数中，加法的巧妙规律是一个重要的技巧。
以下是一些常见的加法规律：1. 交换律：加法满足交换律，即a + b = b + a。
这意味着，无论数字的顺序如何，结果都是一样的。
通过利用交换律，我们可以改变计算的顺序，使得计算更简单。
2. 连加：在计算多个数的和时，可以通过数的重新排序，使得计算变得更简单。
例如，对于数字1、2、3、4的求和，我们可以先计算1+4=5，然后再计算2+3=5，最后将两个和相加得到最终结果，即5+5=10。
3. 加零律：任何数加上0等于它本身。
这个规律在解决加法问题时非常有用。
无论多复杂的加法题目，只要有0参与运算，都可以利用加零律简化计算。
二、减法的巧妙规律减法是四年级奥数中较为复杂的运算之一，但是通过运用以下巧妙规律，可以极大地简化减法的计算：1. 差的加减律：减法可以转化为加法来解决。
例如，对于算式9 - 3，我们可以转化为求差的加减律，即9 + (-3)。
通过将减法问题转化为加法问题，可以更方便地计算。
2. 迭代减法：迭代减法是指重复使用减法的过程，逐渐逼近最终的差值。
例如，对于22 - 7，我们可以先减去7，得到15。
然后再减去7，得到8。
最后再减去7，得到1。
通过多次迭代减法，我们可以得到准确的差值。
3. 减零律：任何数减去0等于它本身。
这个规律在解决减法问题时非常有用。
无论多复杂的减法题目，只要有0参与运算，都可以利用减零律简化计算。
三、乘法的巧妙规律乘法是四年级奥数中相对较为简单的运算，但是通过以下巧妙规律，可以更快速地解决乘法问题：1. 乘法交换律：乘法满足交换律，即a * b = b * a。
第八讲：运算法则或方法（技巧与规律）一、繁分数化简方法繁分数化简的方法，一般有以下两种方法。
（1）利用分数基本性质，把繁分数的分子、分母同乘以所有分母的最小公倍数，从而化简繁分数。
（2）利用分数与除法的关系，将繁分数化简。
这是因为繁分数实际上是分数除法的另一种表示形式的缘故。
例如【求连分数的值的方法】由数列a 0，a 1，……及b 1，b 2，……所组成的表达式称为“连分数”。
它可简记为为连分数的值。
连分数有两种，一是有限连分数，二是无限连分数。
例如，求有限连分数的值，也称化简连分数，它的化简方法与繁分数的化简方法基本相同。
一般是从最下面的分母运算开始，逐步向上计算。
例如上面的这个有限连分数：求无限连分数的值，就是求它的有限层的值作为它的近似值。
当层次愈多时，就愈接近它的值。
注意：繁分数和连分数，都不是“分数”定义里所定义的一种分数。
分解为两个单位分数的和，可按以下步骤去完成：的任意两个约数a 1，a 2；（2）扩分：将单位分数的分子、分母同乘以两约数的和（a 1+a 2），（3）拆分：将扩分后所得的分数，按照同分母分数相加的法则反过来（4）约分：将拆开后的两个分数约分，便得到两个单位分数。
注意：（1）因大于1的自然数的约数有时不止2个，有多个，从中任取两个约数的取法也有多种，只要每次取出的两个约数之间不成比例，则将一个单位分数拆成两个单位分数的和的结果也各不相同。
例如，15的约数有1，3，5，15四个，从中任取两个的取法有（1，3）、（1，5）、（1，15）、（3，5）、（3，15）、（5，15）六种，而取（1，3）和（5，15）、（1，5）和（3，15）是成比例（2）若要将单位分数拆成两个相等的单位分数之和，那只要在扩分时，分子、分母同乘以分母的任何一个约数的2倍或乘以2即可。
拆成n 个单位分数的和的方法和步骤与拆成两个单位分数的方法和步骤相同，不同点只在扩分时，分子、分母同乘以分母A 的n 个约数的和（a 1+a 2+…+a n ）。
速算与巧算速算与巧算知识背景：速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。
我们先学习加、减法的巧算方法，这些方法主要根据加、减法的运算定律和运算性质，通过对算式适当变形从而使计算简便。
在巧算方法里，蕴含着一种重要的解决问题的策略。
转化问题法即把所给的算式，根据运算定律和性质，或改变运算顺序，或减整从而变成一个易于算出结果的算式。
一、加减法简单例题例题：例1:1234+5678+8766+4322分析:请仔细观察后,发现:1234+8766=10000,5678+4322=10000,如果两数相加,恰好凑成10,100,1000,……就把其中的一个数叫做另一个数的补数，这两个数为互为补数。
这类题的速算方法是:运用加法交换律、结合律,把互为补数的两数先加,然后,再把所得的和相加。
解:1234+5678+8766+4322=(1234+8766)+(5678+4322)=1000+1000=2000例2:2000-70-40-60-30分析:请仔细观察后,发现:70+30=100,40+60=100方法:把几个互为”补数”的减数先加起来,再从被减数中减去。
解:2000-70-40-60-30=2000-(70+30+40+60)=2000-(100+100)=2000-200=1800例3:58+56+63+62+57+60+59+65+61分析:请仔细观察后,发现:题中的这些加数,都接近于”60”。
方法:当几个加数都比较接近于某一整数时,就选这个整数为”基准数”。
解:58+56+63+62+57+60+59+65+61=60×9-2-4+3+2-3+0-1+5+1=540+1=541例4:16×125×25×5×4分析：请仔细观察后，发现：题中有些特殊的因数(125、25、5)，125×8=1000, 25×4=100, 5×2=10方法：把这些两数的乘积是10,100,1000……的,先乘。
幻灯片1小学奥数解题方法完整版幻灯片2解题方法1--分?类分类是一种很重要的数学思考方法，特别是在计数、数个数的问题中，分类的方法是很常用的。
幻灯片3可分为这样几类：（1）以A为左端点的线段共4条，分别是：AB，AC，AD，AE；（2）以B为左端点的线段共3条，分别是：BC，BD，BE；（3）以C为左端点的线段共2条，分别是：CD，CE；（4）以D为左端点的线段有1条，即DE。
一共有线段4+3+2+1=10（条）。
幻灯片4还可以把图中的线段按它们所包含基本线段的条数来分类。
（1）只含1条基本线段的，共4条：AB，BC，CD，DE；（2）含有2条基本线段的，共3条：AC，BD，CE；（3）含有3条基本线段的，共2条：AD，BE；（4）含有4条基本线段的，有1条，即AE。
幻灯片5有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（单位：厘米）的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。
如果所围成的三角形的一条边长为11厘米，那么，共可围成多少个不同的三角形提示：要围成的三角形已经有一条边长度确定了，只需确定另外两条边的长度。
设这两条边长度分别为a，b，那么a，b的取值必须受到两条限制：①a、b只能取1～11的自然数；②三角形任意两边之和大于第三边。
幻灯片61、11 一种2、11 2、10 二种3、11 3、10 3、9 三种4、11 4、10 4、9 4、8 四种5、11 5、10 5、9 5、8 5、7 五种6、11 6、10 6、9 6、8 6、7 6、6 六种7、11 7、10 7、9 7、8 7、7 五种8、11 8、10 8、9 8、8 四种9、11 9、10 9、9 三种10、11 10、10 二种11、11 一种1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36种幻灯片7解题方法2--化大为小找规律对于一些较复杂或数目较大的问题，如果一时感到无从下手，我们不妨把问题尽量简单化，在不改变问题性质的前提下，考虑问题最简单的情况（化大为小），从中分析探寻出问题的规律，以获得问题的答案。
小学五年级奥数全册讲义第1讲数字迷(一)第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。
分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。
当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。
（5÷13-7）×（17+9）。
当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。
当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。
例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。
第8讲一般应用题（二）一、知识要点较复杂的一般应用题，往往具有两组或两组以上的数量关系交织在一起，但是，再复杂的应用题都可以通过“转化”向基本的问题靠拢。
因此，我们在解答一般应用题时要善于分析，把复杂的问题简单化，从而正确解答。
二、精讲精练【例题1】工程队要铺设一段地下排水管道，用长管子铺需要25根，用短管子铺需要35根。
已知这两种管子的长相差2米，这段排水管道长多少米？练习1：1.生产一批零件，甲单独生产要用6小时，乙单独生产要用8小时。
如果甲每小时比乙多生产10个零件，这批零件一共有多少个？2.一班的小朋友在操场上做游戏，每组6人。
玩了一会儿，他们觉得每组人数太少便重新分组，正好每组9人，这样比原来减少了2组。
参加游戏的小朋友一共有多少人？3.甲、乙二人同时从A地到B地，甲经过10小时到达了B地，比乙多用了4小时。
已知二人的速度差是每小时5千米，求甲、乙二人每小时各行多少千米？【例题2】甲、乙、丙三人拿出同样多的钱买一批苹果，分配时甲、乙都比丙多拿24千克。
结帐时，甲和乙都要付给丙24元，每千克苹果多少元？练习2：1.甲和乙拿出同样多的钱买相同的铅笔若干支，分铅笔时，甲拿了13支，乙拿了7支，因此，甲又给了乙6角钱。
每支铅笔多少钱？2.春游时小明和小军拿出同样多的钱买了6个面包，中午发现小红没有带食品，结果三人平均分了这些面包，而小红分别给了小明和小军各2.2元钱。
每个面包多少元？3.“六一”儿童节时同学们做纸花，小华买来了7张红纸，小英买来了和红纸同样价格的5张黄纸。
老师把这些纸平均分给了小华、小英和另外两名同学，结果另外两名同学共付给老师9元钱。
老师把9元钱怎样分给小华和小英？【例题3】甲城有177吨货物要跑一趟运到乙城。
大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是10升和5升。
用多少辆大卡车和小卡车来运输时耗油最少？练习3：1.五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相同，并且都是整数。
8、运算法则或方法【四则运算法则】整数、小数、分数的加、减、乘、除四则运算法则，见小学数学课本，此处略。
【四则运算顺序】见小学数学课本，略。
【繁分数化简方法】繁分数化简的方法，一般有以下两种方法。
（1）利用分数基本性质，把繁分数的分子、分母同乘以所有分母的最小公倍数，从而化简繁分数。
（2）利用分数与除法的关系，将繁分数化简。
这是因为繁分数实际上是分数除法的另一种表示形式的缘故。
例如【求连分数的值的方法】由数列a0，a1，……及b1，b2，……所组成的表达式称为“连分数”。
它可简记为为连分数的值。
连分数有两种，一是有限连分数，二是无限连分数。
例如，求有限连分数的值，也称化简连分数，它的化简方法与繁分数的化简方法基本相同。
一般是从最下面的分母运算开始，逐步向上计算。
例如上面的这个有限连分数：求无限连分数的值，就是求它的有限层的值作为它的近似值。
当层次愈多时，就愈接近它的值。
注意：繁分数和连分数，都不是“分数”定义里所定义的一种分数。
分解为两个单位分数的和，可按以下步骤去完成：的任意两个约数a1，a2；（2）扩分：将单位分数的分子、分母同乘以两约数的和（a1+a2），（3）拆分：将扩分后所得的分数，按照同分母分数相加的法则反过来（4）约分：将拆开后的两个分数约分，便得到两个单位分数。
注意：（1）因大于1的自然数的约数有时不止2个，有多个，从中任取两个约数的取法也有多种，只要每次取出的两个约数之间不成比例，则将一个单位分数拆成两个单位分数的和的结果也各不相同。
例如，15的约数有1，3，5，15四个，从中任取两个的取法有（1，3）、（1，5）、（1，15）、（3，5）、（3，15）、（5，15）六种，而取（1，3）和（5，15）、（1，5）和（3，15）是成比例（2）若要将单位分数拆成两个相等的单位分数之和，那只要在扩分时，分子、分母同乘以分母的任何一个约数的2倍或乘以2即可。
拆成n个单位分数的和的方法和步骤与拆成两个单位分数的方法和步骤相同，不同点只在扩分时，分子、分母同乘以分母A的n个约数的和（a1+a2+…+a n）。
解∵15=3×5∴15的约数有1，3，5，15。
有限个分数的和的形式。
【近似数的加减法】在一般情况下，近似数相加减，和或差精确到哪一位，与已知数中精确度最低的一个相同。
计算法则有以下三条：（1）确定结果精确到哪一个数位（已知数中精确度最低的精确到了哪一个数位，则计算的结果就精确到这个数位）；（2）把已知数中超过这一最低精确度这个数位的数字，四舍五入到这个数位的下一位；（3）进行计算，并且把算得的数的末位数字四舍五入。
例如，求近似数25.4、0.456、8.738和56的和。
25.4+0.456+8.738+56≈91又如，求近似数0.095减0.002153的差。
解：0.095-0.002153≈0.093【近似数的乘除法】在一般情况下，近似数相乘除，积或者商取几个有效数字，与已知数中有效数字最少的相同。
具体法则有以下三条：（1）确定结果有多少个有效数字（已知数中有效数字最少的有多少个，结果就取同样多个有效数字）；（2）把已知数中有效数字的个数多的，四舍五入到只比结果中有效数字的个数多一个；（3）进行计算（除法要比结果多算出一位），并把算得的数四舍五入到应该有的有效数字的个数。
例如，（1）求近似数26.79与0.26的积。
（2）求近似数9.7除以近似数25.78的商。
因24只有两个有效数字，故可把各数分别四舍五入到三个有效数字以后去计算；得出中间结果仍保留三个有效数字，即比法则规定的多保留一个；得出最后的结果，再四舍五入到两个有效数字。
再如，量得一个圆的周长约是3.73厘米，求这个圆的直径。
题目要求直径长度，需用“3.73÷π”去计算。
其中3.73是近似数，有三个有效数字；π是个准确数，它有任意多个有效数字，计算时，π取四个有效数字：解3.73÷π≈3.73÷3.142≈1.19（厘米）答：这个圆的直径约是1.19厘米。
【近似数混合运算方法】近似数的混合运算，要分步来做。
运算的中间步骤的计算结果，所保留的数字要比加、减、乘、除计算法则规定的多取一个。
例如，作近似数的混合计算：57.71÷5.14+3.18×1.16-4.6307×1.6。
解原式=11.23+3.689-7.41≈7.5说明：（1）57.71÷5.14，3.18×1.16，4.6307×1.6，所得的中间结果11.23，3.689，7.41，都比法则规定应当取的有效数字多取了一个。
（2）11.23+3.689-7.41是加减法，各数中精确度最低的是7.41，这个数实际上只有两个有效数字，就是只精确到十分位。
因此，最后求得的结果应当四舍五入到十分位，得7.5。
又如，“有一块梯形土地，量得上底约为68.73米，下底约为104.20米，高约为9.57米。
求这块土地的面积。
≈86.47×9.57≈828（平方米）（答略）说明：（1）68.73+104.20，所得的中间结果172.93，精确到0.01，没有多取的数位。
果四舍五入到三个有效数字，得828。
【预定精确度的计算法则】已给出计算结果所要求达到的精确度，要求确定原始数据的精确度，通常称其为“预定精确度的计算”。
预定精确度的计算法则，一般有：（1）预定结果的精确度用有效数字给出的问题。
如果预定结果有n个有效数字，那么原始数据一般取到n+1个有效数字。
例如，圆形面积大约是140平方米，要使算出的结果具有两个有效数字，那么测量半径r应达到怎样的精确度？π应取几个有效数字的近似值？解：为了使面积S具有两个有效数字，π和r就都要有三个有效数字。
因为r应该有一位整数，所以测量半径时，应该精确到0.01米。
π应该取三个有效数字的近似值--3.14。
（2）对于加法和减法，由于计算结果的精确度是按小数的位数来确定的，所以当预定结果的精确度用有效数字个数给出，那么就要先估计出和或差里最高一位数在哪一位上。
例如，梯形上底a约50米，下底b约60米，高h约40米。
测量时，应达到怎样的精确度，才能使算出的面积S有两个有效数字？要使S有两个有效数字，则（a+b）与h都应该有三个有效数字。
所以，测量h应精确到0.1米，而测量上底和下底，只需要精确到1米（因a+b有三个整数数位。
）在实际测量时，a、b、h都有两个整数数位，测量工具一样，因此常采用相同的精确度。
【一般验算方法】（1）加减法的验算方法。
加法的验算方法有二：一是利用加法交换律，把加数位置交换后再相加，所得的结果必须与原计算的结果相同，说明计算才是正确的。
二是利用加法和减法的逆运算关系，把所得的和减去一个加数，所得的差必须等于另一个加数，计算才是正确的。
减法的验算也有两种方法：一是利用加减互逆的关系进行验算，把所得的差与减数相加，所得的和必须等于被减数，计算才是正确的。
二是利用被减数、减数、差三者之间的关系进行验算，用被减数减去差，所得的结果必须等于减数，计算才是正确的。
（2）乘除法的验算方法。
乘法有两种验算方法：①利用乘法交换律进行验算，把因数位置交换后再相乘，所得的结果必须和原来的计算结果相同，计算才是正确的。
②利用乘除互逆关系，把所得的积除以一个因数，结果必须等于另一个因数，计算才是正确的。
除法也有两种验算方法：①利用乘除互逆关系，把除数和商相乘（如有余数，还要加上余数），所得的结果必须等于被除数，计算才是正确的。
②利用被除数、除数、商、余数之间的关系，把被除数减去余数所得的差（没有余数的不必去减），除以商，所得的结果必须等于除数，计算才是正确的。
（3）四则混合运算式题的验算。
四则混合运算式题的验算，虽然可采用上述加、减、乘、除法的验算方法去验算，但非常麻烦，不如采用重算的办法。
由于计算中最易错的是运算顺序、分小数互化等，所以重算可分三步走：①检查运算顺序；②检查分小数互化情况；③检查每步计算结果是否正确。
（4）解方程、解比例的验算方法。
解方程、解比例的验算，可将求得的解代入原方程或原比例，看等号两边的数值是否相等。
（5）应用题的验算方法。
应用题的验算可以采用下面三种方法：①用“一题多解”验算。
有多种解法的应用题，可用不同的解法去再解一遍。
若解得的结果一致，说明解法是正确的。
②用“还原法”验算。
将计算结果作为题目中的已知条件，根据其数量关系，若算得其他已知条件和数据都是成立的（即能“还原”），则表明题目的解法是正确的。
③用分析、估算方法验算。
根据生活经验等，可知：求总数，结果不应小于部分数；求人数、植树棵树等，得数通常为整数；计算出油率、合格率等，得数不会大于100％；计算各种速度、农作物单位面积产量，得数应基本符合实际情况；……否则，题目的解答便可能是错误的。
不过，分析、估算办法只能检验出大致的情况，大致情况检验出来后，还得用其他方法验算。
【弃九验算法】利用被9除所得余数的性质，对四则运算进行检验的一种方法，称为“弃九验算法”，简称“弃九法”。
用“弃九法”验算，首先要找出一个数的“去九数”（或称“弃九数”）。
把一个数各位数字相加，如果和大于9，又再将和的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9的要减去9得0），这个数我们便称它为原数的“去九数”。
例如8693：8+6+9+3=26-→2+6=8（去九数是8）；721：7+2+1=10-→1+0=1（去九数是1）。
去九数也可以这样得到：把一个数中的数字9，或者相加得9的几个数字都划去，将剩下来的数字相加，得到一个小于9的数，这个数就是原数的去九数。
例如：“弃九验算法”也可以说，是利用“去（弃）九数”去进行验算的一种验算方法。
例如，验算下面的加减法，可先求出等号左右每个数的去九数，然后将等号左边的去九数相加减，若去九数的和（或差），与等号右边和（或差）的去九数不相等，则可以肯定，原来的计算是错误的。
例如（如果两个加数的去九数之和大于9，则应减去9）所以，可以肯定，原式的计算是错误的。
的确，正确的答案是70168。
假如最后的两个去九数之和或差，与等号右边和（或差）的去九数相等，那么在一般情况下，可以认为原来的计算大致没有错误。
例如所以，可以认为原来的计算大致没有错误。
减法的验算如所以，可以肯定，原计算是错误的。
事实上，原式的差应该是146410。
用弃九法验算乘法如下面的两个例子：（1）可以肯定，原来的计算是错误的。
确实，正确的答案应该是716478。
（2）可以认为，这道题大致没有错误。
用弃九法验算除法，可利用下面的关系式来进行：除数×商=被除数；除数×商+余数=被除数。
例如：（1）可以认为，这道题的计算大致没有错误。
