玩转一副三角板（2）陈煜④．绕一斜边中点旋转之找相似阅读：如图1把两块全等的含45°的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点D旋转，两边分别与线段AB、BC 相交于点P、Q，易说明△APD∽△CDQ．猜想（1）：如图2，将含30°的三角板DEF（其中∠EDF=30°）的锐角顶点D与等腰三角形ABC（其中∠ABC=120°）的底边中点O重合，两边分别与线段AB、BC相交于点P、Q．写出图中的相似三角形（直接填在横线上）；验证（2）：其它条件不变，将三角板DEF旋转至两边分别与线段AB的延长线、边BC相交于点P、Q．上述结论还成立吗？请你在图3上补全图形，并说明理由．连接PQ，△APD与△DPQ是否相似？为什么？探究（3）：根据（1）（2）的解答过程，你能将两三角板改为一个更为一般的条件，使得（1）成立？图1 图2 图3变式1：△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，O是BC的中点，小敏拿着含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点O，三角板绕O点旋转．（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证：△BOE∽△CFO；（2）操作：将三角板绕点O旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于E、F．①探索：△BOE与△CFO还相似吗？（只需写结论）：连接EF，△BOE与△OFE是否相似？请说明理由．②设EF＝x，△EOF图a 图b变式:2：等腰△ABC ，AB ＝AC ＝8，∠BAC ＝120°，P 为BC 的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P ，三角板绕P 点旋转．（1）如图a ，当三角板的两边分别交AB 、AC 于点E 、F 时．求证：△BPE ∽△CFP ；（2）操作：将三角板绕点P 旋转到图b 情形时，三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点E 、F ． ①探究1：△BPE 与△CFP 还相似吗？（只需写出结论）②探究2：连接EF ，△BPE 与△PFE 是否相似？请说明理由；③设EF ＝m ，△EPF 的面积为S ，试用m 的代数式表示S ．变式3：如图1，一副直角三角板满足AB ＝BC ，AC ＝DE ，∠ABC ＝∠DEF =90°，∠EDF ＝30°操作：将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q ．探究一：在旋转过程中，（1）如图2，当CE EA＝1时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系，并给出证明． （2）如图3，当CE EA＝2时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系，并说明理由． （3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEEA =m （6）时，EP 与EQ 满足的数量关系式为 ，其中m 的取值范围是 ．（直接写出结论，不必证明）探究二：若，AC ＝30cm ，连接PQ ，设△EPQ 的面积为S （cm 2），在旋转过程中：（1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由．（2）随着S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化，求出相应S 值的取值范围．图a 图b变式4：现有一副直角三角板，按下列要求摆放：（1）如图1，固定等腰直角三角板ABC ，AO ⊥BC 于点O ，另一个直角三角板DEF 的直角顶点D 与点O 重合，现让三角板DEF 绕点O 旋转，使DF 、DE 分别交AB 、AC 于点M 、N ，试求AN BM的值； （2）如图2，交换两块直角三角板的位置，固定直角三角板ABC ，AO ⊥BC 于点O ，另一个等腰直角三角板DEF 的直角顶点D 与点O 重合，DF 、DE 分别交AB 、AC 于点M 、N ，试求出AN BM的值．⑤．绕一斜边中点旋转之找定点如图①是一副三角板，其中∠B ＝∠E ＝90°，∠A ＝∠C ＝45°，∠F ＝30°，AC ＝EF ＝2．把两个三角板ABC 和DEF 叠放在一起（如图②），且使三角板DEF 的直角顶点E 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，DE 和OC 重合．现将三角板DEF 绕O 点顺时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形BGEH 是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图③）．（1）当旋转角度为45°时，EG 和AB 之间的数量关系为 ．（2）当DF 经过三角板ABC 的顶点B ，求旋转角α的度数．（3）在三角板DEF 绕O 点旋转的过程中，在DF 上是否存在一点P ，使得∠APC ＝90°，若存在，请利用直尺和圆规在DF 上画出这个点，并说明理由，若不存在，请说明理由．（4）在射线EF 上取一点M ，过M 作DF 的平行线交射线ED 于点N （如图⑤），若直线MN 上始终存在两个点P 、Q ，使得∠APC ＝∠AQC ＝90°，求EM 的取值范围．图1 图2 图① 图② 图③ 备用图1 图④ 图⑤ 备用图2⑥．两块全等三角板1．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A 1B 1C ．（1）如图1，当AB ∥CB 1时，设A 1B 1与BC 相交于D ．证明：△A 1CD 是等边三角形；（2）如图2，连接AA 1、BB 1，设△ACA 1和△BCB 1的面积分别为S 1、S 2．求证：S 1：S 2＝1：3；（3）如图3，设AC 中点为E ，A 1B 1中点为P ，AC ＝a ，连接EP ，当θ＝ °时，EP 长度最大，最大值为 ．2．如图1，我们将相同的两块含30°角的直角三角板Rt △DEF 与Rt △ABC 叠合，使DE 在AB 上，DE 过点C ，已知AC ＝DE ＝6．（1）将图1中的△DEF 绕点D 逆时针旋转（DF 与AB 不重合），使边DF 、DE 分别交AC 、BC 于点P 、Q ， 如图2．①求证：△CQD ∽△APD ；②连接PQ ，设AP ＝x ，求面积S △PCQ 关于x 的函数关系式；（2）将图1中的△DEF 向左平移（点A 、D 不重合），使边FD 、FE 分别交AC 、BC 于点M 、N 设AM ＝t ，如图3．①判断△BEN 是什么三角形？并用含t 的代数式表示边BE 和BN ；②连接MN ，求面积S △MCN 关于t 的函数关系式；（3）在旋转△DEF 的过程中，试探求AC 上是否存在点P ，使得S △PCQ 等于平移所得S △MCN 的最大值？说明你的理由．图1 图2 图3。
玩转一副三角板（1） 陈煜Ⅰ．专题精讲：三角板是最常见的学习工具．而以三角板为道具，以常见的、熟悉的几何图形为载体，并辅之以平移、旋转、翻折等变换手段衍生的一系列问题，能为大家动手实践与操作联想提供了思考的空间．也能提高对基本图形的性质掌握程度以及观察、实验、比较、联想、类比、归纳的能力和图形运动变化、分类讨论思想等综合运用的能力．Ⅱ．典型例题剖析:①求拼接的角度1.一次数学活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠α等于_______．2.将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为_______．3.一副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠α的度数是_______．4. 把一幅三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α＝______度．5．一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE 固定不动，把含30°角的三角板ABC 绕顶点A 顺时针旋转∠α（α＝∠BAD 且0°＜α＜180°），使两块三角板至少有一组边平行．（1）如图①，α＝ °时，BC ∥DE ；（2）请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空： 图②中α＝ °时， ∥ ；图③α＝ °时， ∥ ．6．一副直角三角板由一块含30°的直角三角板与一块等腰直角三角板组成，且含30°角的三角板的较长直角边与另一三角板的斜边相等（如图1）（1）如图1，这副三角板中，已知AB ＝2，AC ＝ ，A′D ＝ ．（2）这副三角板如图1放置，将△A′DC′固定不动，将△ABC 通过旋转或者平移变换可使△ABC 的斜边BC 经过△A′DC′′的直角顶点D ．方法一：如图2，将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°）方法二：如图3，将△ABC 沿射线A′C′方向平移m 个单位长度方法三：如图4，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转角度β（0°＜β＜180°）请你解决下列问题：①根据方法一，直接写出α的值为： ；②根据方法二，计算m 的值；③根据方法三，求β的值．图① 图② 图③ 第1题 第2题 第3题 第4题30°45° 图1 图2 图3 图4（3）若将△ABC 从图1位置开始沿射线A′C′平移，设AA′＝x ，两三角形重叠部分的面积为y ，请直接写出y 与x 之间的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围．②．绕一斜边中点旋转之等线段1．如图1，已知△ABC 中，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝90°，把一块含30°角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．（1）在图1中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N ．证明DM =DN ；（2）继续旋转至如图2的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM ＝DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）继续旋转至如图3的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM ＝DN 是否仍然成立？ 答： （请写出结论，不用证明．）变式1：操作：在△ABC 中，AC =BC =2，∠C =90°．将一块足够大的等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB 的中点P 处，将三角板绕点P 旋转，三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于D 、E 两点．如图①②③是旋转三角板得到的图形中的3种情况．（1）三角板绕点P 旋转，当PD ⊥AC 时，如图①，四边形PDCE 是正方形，则PD =PE ．当PD 与AC 不垂直时，如图②、③，PD =PE 还成立吗？并选择其中的一个图形证明你的结论．（2）三角板绕点P 旋转，△PEB 是否成为等腰三角形？若能，求出此时CE 的长；若不能，请说明理由．（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB 上的M 处，且AM ：MB =1：3，和前面一样操作，如图④，试问线段MD 和ME 之间有什么数量关系？并结合图形加以证明．图1 图2 图3 图4D C'A'D C'A'D C'A'D C'A'备用图1 备用图2 备用图3 备用图 4图1 图2图3变式2：图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A＝30°，∠E＝45°，∠EDF＝∠ACB＝90°，DE交AC于点G，GM⊥AB于M．图①图②（1）如图①，当DF经过点C时，作CN⊥AB于N，求证：AM＝DN；（2）如图②，当DF∥AC时，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．③．绕一斜边中点旋转之算面积已知△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处．（1）如图①，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积（直接写出结果）．（2）如图②，若BD＝CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB 的延长线于点F，设AE=x，重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）若BD＝2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F，另一条直角边交射线AB于点E．设CF＝x（x＞1），重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．变式：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D是AB中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点D上，使三角板绕点D旋转．（1）如图1，当三角板两边分别交边AC、BC于F、E时，线段EF与AF、BE有怎样的关系并加以证明．（2）如图1，设AF＝x，四边形CEDF的面积为y．求y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围．（3）在旋转过程中，当三角板一边DM经过点C时，另一边DN交CB延长线于点E，连接AE与CD延长线交于H，如图2，求DH的长．【练习】将两块直角三角板如图1放置，等腰直角三角板ABC的直角顶点是点A，AB=AC=3，直角板EDF的直角顶点D在BC上，且CD：BD=1：2，∠F=30°．三角板ABC固定不动，将三角板EDF绕点D逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．(1)当α=_________°时，EF∥BC；(2)当α=45°时，三角板EDF绕点D逆时针旋转至如图2位置，设DF与AC交于点M，DE交AB于点N，求四边形ANDM的面积．(3)如图3，设CM=x，四边形ANDM的面积为y，求y关于x的表达式（不用写x的取值范围）．(未完待续)。
