【名师解析】福建省三明市A片区高中联盟校2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项 是符合题目要求的.
1.设集合{A =-，{B =-，则A B =ð（ ）
A ．
{}0 B ．{- C ．{}1- D ．{-
3.若()1
cos 3
πα+=-
，则cos α的值为（ ）
A ．
13 B ．13- C ．3
D ．3-【答案】A 【解析】
试题分析：由()cos cos παα+=-，所以1
cos 3
α=，故选A. 考点：诱导公式.
4.已知幂函数
()f x x α=的图像过点(4,2)，若()3f m =，则实数m 的值为（ ）
A
． C ．9± D ．9
6.已知函数()y f x =的对应关系如下表，函数()y g x =的图像是如下图的曲线ABC ，其中(1,3),(2,1),(3,2)A B C 则的()2f g ⎡⎤⎣⎦值为（ ）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
7.若集合{
A x y ==
，{}22B y y x ==+，则A B =（ ）
A ．[)1,+∞0
B ．()1,+∞
C ．[)2,+∞
D ．()2,+∞ 【答案】C 【解析】
试题分析：由{
{}{}|10|1A x y x x x x ==
=-≥=≥，
{}{}22|2B y y x y y ==+=≥，所以[1,),[2,)A B =+∞=+∞，故[2,)A B ⋂=+∞，选
C.
考点：1.集合的交集运算；2.函数的定义域与值.
8.我国大西北某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数的图像大致为（ ）
【答案】D 【解析】
试题分析：设初始年份的荒漠化土地面积为(0)a a ≠，则1年后荒漠化土地面积为
(10.104)a +，2年后荒漠化土地面积为2[(10.104)](10.104)(10.104)a a +⨯+=+，3年
后荒漠化土地面积为2
3
[(10.104)](10.104)(10.104)a a +⨯+=+，所以x 年后荒漠化土地
面积为(10.104)x a +，依题意有(10.104)x y a a ⨯=+即 1.104x y =， 1.1041>，由指数函数的图像可知，选D.
考点：1.指数函数的图像与性质；2.函数模型及其应用.
9.已知sin15cos15a =︒︒，2
2
cos sin 6
6
b π
π
=-，2tan 301tan 30c ︒
=
-︒
，则,,a b c 的大小关系
是（ ）
A ．a b c <<
B ．a b c >>
C ．c a b >>
D ．a c b <<
11.已知函数()2
()cos 1f x x m =-+在cos 1x =-时取得最大值，在cos x m =时取得最小值，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．1m ≤-
B ．1m ≥
C ．0m 1≤≤
D ．10m -≤≤
12.函数()sin y x x R π=∈的部分图像如图所示，设O 为坐标原点，P 是图像的最高点，B 是图像与x 轴的交点，则tan OPB ∠的值为（ ）
A ．10
B ．8
C ．87
D ．4
7
【答案】B 【解析】
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
13.函数y
=
的定义域为 .
15.若1a =，2b =
，()
0a b a -=，则a 与b 的夹角为 .
16.函数()0a
y x x x
=+
>有如下性质：若常数0a >，则函数在(
上是减函数，在)
+∞ 上是增函数。

已知函数()m f x x x
=+（m R ∈为常数），当()0,x ∈+∞时，若对任意x N ∈，都有()()4f x f ≥，则实数m 的取值范围是 .
三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分，共2小题，每小题6分）
（1）计算：0
1
3
ln 8lg 2lg5
e ⎛
+++ ⎝
；
（2）已知tan 2α=，求下列各式的值： ①tan 4πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
②
sin cos sin cos αα
αα
+-.
【答案】（1）0；（2）①3-；②3. 【解析】
试题分析：（1）根据根式与分数指数幂的运算法则及对数的运算法则，即可算出答案；（2）①根据两角和的正切公式展开，代入tan 2=的值，可得结果；②在分子与分母同时除以
cos α可得
tan 1
tan 1
αα+-，然后代入tan 2=的值，可得结果.
（2）由A B ⊆知：122113m m m m ->⎧⎪
≤⎨⎪-≥⎩
…………6分
得2m ≤-，即实数m 的取值范围为(],2-∞-…………8分（做成为开区间者扣一分） （3）由A
B =∅得：
19.（本小题满分12分）已知向量()sin ,2a α=-与()1,cos b α=，其中0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
. （1）问向量,a b 能平行吗？请说明理由； （2）若a b ⊥，求sin α和cos α的值；
（3）在（2）的条件下，若
cos 0,102πββ⎛⎫
=
∈ ⎪⎝⎭
，求αβ+的值.
【答案】（1）不能平行；（2）sin α=cos α=；（3）34παβ+=.
【解析】
试题解析：解：（1）向量,a b 不能平行
若平行，需sin cos 20αα+=，即sin 24α=-，而[]41,1-∉- 则向量,a b 不能平行…………4分
20.（本小题满分12分）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图像，当(]0,12x ∈时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点(10,80)A ，过点(12,78)B ；当[]12,40x ∈时，图像是线段BC ，其中(40,50)C ，根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.
（1）试求()y f x =的函数关系式；
（2）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由.
试题解析：（1）当(]0,12x ∈时，设()()21080f x a x =-+ …………1分
因为这时图像过点(12,78)，代入得12a =-
所以()()2110802
f x x =--+…………3分 当[]12,40x ∈时，设y kx b =+，过点(12,78)(40,50)B C 、
得190
k b =-⎧⎨=⎩，即90y x =-+…………6分
故所求函数的关系式为()()(](]211080,0,12290,12,40x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩
…………7分
21.（本小题满分12
分）已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>.的周期为π.
（1）若[)0,x ∈+∞，求它的振幅、初相；
（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在[]0,x π∈的图像；
（3）当[]0,x π∈时，根据实数m 的不同取值，讨论函数()()g x f x m =-的零点个数.
【答案】（1）2A =，3π
ϕ=；（2）详见解析；（3）当2m <-或2m >时，函数()g x 无
零点；当2m =±时，函数(
)g x 仅有一个零点；当2
m -<<2m <<时，函数
()g x 有两个零点；当m =()g x 有三个零点.
【解析】
试题分析：（1）先由辅助角公式化简，然后由周期为2π
πω=确定ω，可确定
()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，从而可写出振幅、初相；（2）根据正弦函数的五点作图法进行作图即可；（3）将()()g x f x m =-的零点问题，转化为直线y m =与函数()y f x =的图像交点的个数问题，结合（2）中作出的函数()y f x =的图像，对直线的位置进行讨论，可得答案.
（3）函数()()g x f x m =-在[]0,x π∈的零点个数，即函数
()[]2sin 20,3f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝
⎭与函数y m =的交点个数，由（2）图像知： ①当2m <-或2m >时，函数()g x 无零点；
②当2m =±时，函数()g x 仅有一个零点；
③当2m -<<2m <<时，函数()g x 有两个零点；
④当m =时，函数()g x 有三个零点…………12分.
考点：1.辅助角公式；2.三角函数的图像与性质；3.方程的解与函数的零点.
22.（本小题满分14分）设函数()f x 的定义域是R ，对于任意的,x y ，有
()(
)()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >. （1）求()0f 的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）用函数单调性的定义证明函数()f x 为增函数；
（4）若()
()2cos 2sin 220f f m θθ++--≥恒成立，求实数m 的取值范围.
（3）证明：设12,x x R ∈且12x x <，则()()()()()212121f x f x f x f x f x x -=+-=-
由210x x ->知，()210f x x ->，则()()21f x f x > 则函数()f x 为R 上的增函数…………9分。