第9章 正交试验

第9章正交试验设计 (1)1 正交试验设计及其意义 (1)1.1 正交试验设计 (1)1.2 正交试验设计的意义 (2)2 正交表 (2)2.1 正交表的表示符号 (2)2.2 正交表的基本性质 (3)2.3 两列间的交互作用 (4)3 正交试验设计的基本步骤 (6)3.1 明确试验目的，确定考核指标 (6)3.2 挑因素，选水平 (6)3.3 选择合适的正交表 (7)3.4 进行表头设计 (7)3.5 排出试验方案 (8)4 正交试验的结果分析 (9)4.1 直观分析法（极差分析法） (9)4.1.1 不考虑交互作用的分析法 (9)4.1.2 考察交互作用的试验结果分析 (12)4.2 方差分析法与SSPS实现 (13)第9章正交试验设计本章学习目的与要求1．理解正交试验的基本原理和用途2．熟练掌握正交设计的基本方法和步骤3．学会正交试验分析的两种方法、熟练对不同模式的分析4．能正确进行表头设计1正交试验设计及其意义1.1 正交试验设计正交试验设计也称正交设计（orthogonal design），是用来科学地设计多因素试验的一种方法。

它利用一套规格化的正交表（orthogonal table）安排试验，得到的试验结果再用数理统计方法进行处理，使之得出科学结论。

正交表是试验设计的基本工具，它是根据均衡分布的思想，运用组合数学理论构造的一种数学表格，均衡分布性是正交表的核心。

19世纪20年代，英国统计学家R．A．Fisher首先在马钤薯肥料试验当中，运用排列均衡的拉丁方，解决了试验时的不均匀试验条件，获得成功，并创立了“试验设计”这一新兴学科。

“均衡分布”思想在20世纪50年代应用于工业领域，取得了显著的效果，60年代又应用到农业领域，使得这一数学思想在科研生产实际中获得了广泛的应用。

1.2 正交试验设计的意义正交试验属于试验设计方法的一种。

简单地讲，试验设计是研究如何科学安 排试验，以较少的人力物力消耗而取得较多较全面的信息。

试验安排得好，事半功倍；反之则事倍功半，甚至达不到预期目的。

因此，如何进行试验设计是一个至关重要的问题。

正交试验设计与回归设计是试验优化的常用技术。

所谓试验优化，是指在最优化思想的指导下，进行最优设计的一种优化方法。

它从不同的优良性出发，合理设计试验方案，有效控制试验干扰，科学处理试验数据，全面进行优化分析，直接实现优化目标，已成为现代优化技术的一个重要方面具体说，在设计试验方案时，应使方案具有一定的优良性，力求以尽可能少的试验点，获取足够丰富的试验信息，得出全面的结论；实施试验方案时，应有效控制干扰，提高试验精度；处理试验结果时，通过合理而又尽可能简便的计算及分析，直接获得较多的优化成果。

对于多快好省地进行多因素试验，在科学研究中发现新规律，在实际生产中探寻新工艺，产品开发中进行优质设计，管理科学中寻求最佳决策等，试验优化技术都是一种非常有效的数学工具。

因此，试验的设计与优化方法越来越受到人们的重视。

2 正交表2.1 正交表的表示符号（1）正交表记号所表示的含义归纳如下：)(qn t L 式中：L 为正交表符号，是Latin 的第一个字母；n 为试验次数，即正交表行数；t 为因素的水平数，即1列中出现不同数字的个数；q 为最多能安排的因素数，即正交表的列数。

（2）正交表中1列可以安排1个因素，因此它可安排的因素数可以小于或等于q ，但不能大于q 。

（3）括号内的qt 表示个q 个因素、每个因素t 个水平全面试验的水平组合数（即处理数）。

因为安排 因素个数不能大于q ，所以qt n 为最小部分实施。

显然，)2(34L 是最简单的正交表，有4列3行用它最多能安排3个2水平因素的试验。

部分试验为4次，全面试验为8次，最小部分实施为1／2，即用它安排试验可比全面试验少做l ／2。

所以，当试验因素数q 及每个因素的水平数t 增加时，qt n 则下降，节省试验次数的效果更明显。

（4）一般非等水平正交表表示为)(2121qqn t t L ⨯（21q q ≠），)(321321qq qn t t t L ⨯⨯（321q q q ≠≠），它们各代表一个具体的数字表格。

又称混合型正交表。

当用非等水平正交表如)(2121qqn t t L ⨯安排试验时。

则因素数应不大于21q q +，且1t 水平的因素数不大于1q ，2t 水平的因素数不大于2q ，最小部分实施为)(2121q q t t n 。

任何一个正交表n L 与其代表的具体表格，都是相互对应的。

2.2 正交表的基本性质（1）正交性。

正交表的正交性就是均衡分布的数学思想在正交表中的实际体现。

正交性的主要内容是：① 任何1列中各水平都出现，且出现次数相等。

② 任意2列间各种不同水平的所有可能组合都出现，且出现的次数相等。

我们来具体考察)2(78L 正交表的正交性。

由附录表中的)2(78L 正交表可l 看到 ：①表中每列的不同数字1，2都出现，且在每列中都重复出现4次。

这种重复称为隐藏重复。

正是这种隐藏重复，增强了试验结果的可比性。

②第一，第二2列间各水平所有可能的组合为11，12，21，22共4种。

这就是该2列因素全面试验 的水平组合，它们都出现且都分别出现2次。

显然任意2列间情况都是如此。

上述正交性的2条内容，是判断一个正交表是否具有正交性的条件。

由上述分析可断定)2(78L 正交表具有正交性。

由正交表的正交性可以看出：① 正交表各列的地位是平等的，表中各列之间可以互相置换，称为列间置换；② 正交表各行之间也可相互置换，称行间置换；③ 正交表中同一列的水平数字也可以相互置换，称水平置换。

上述3种置换即正交表的3种初等置换。

经过初等置换所能得到的一切正交表，称为原正交表的同构表或等价表，显然，实际应用时，可以根据不同需要进行变换。

（2）代表性。

代表性的含义之一，在于正交表的正交性中：① 任一列的各水平都出现，使得部分试验中包含所有因素的所有水平。

② 任意2列间的所有组合全部出现，使任意两因素间都是全面试验。

因此，在部分试验中，所有因素的所有水平信息及两两因素间的所有组合信息都无一遗漏。

这样，虽然安排的是部分试验，却能够了解全面试验的情况，从这个意义上讲可以代表全面试验。

另外，因为正交性，使部分试验点必然均衡地分布在全面试验的试验点中。

正交试验点的代表性立体方块图所有9个面上，每个面上均有3个试验点；所有24条棱线，每条线上均有1个试验点，所有的9个试验点不偏不倚，具有很强的代表性。

因此，部分试验的优化结果与全面试验的优化结果，应有一致的趋势。

（3）综合可比性。

反映在正交性当中：① 任一列各水平出现的次数都相等。

② 任2列间所有可能的组合出现的次数都相等。

因此使任一因素各水平的试验条件相同。

这就保证了在每列因素各个水平的效果中，最大限度地排除其他因素的干扰，突出本列因素的作用，从而可以综合比较该因素不同水平对试验指标的影响。

这种性质称为综合可比性或整齐可比性。

正交表的3个基本性质中，正交性即均衡性是核心，是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然结果，从而使正交表得以具体应用。

正交表集其3个性质于一体，成为正交试验设计的有效工具，用它来安排试验，也必然具有“均衡分散，整齐可比”的特性，代表性强，效率也高。

因而，实际应用越来越广。

2.3 两列间的交互作用在常用正交表中，有些只能考察因素的主效应，不能用来考察因素间交互效应，但有些正交表则能够分析因素间的交互效应。

由于多因素试验的因素间总是存在着交互作用，对考察指标的影响往往不是各因子单独效应的简单相加，而是由各因素的单独作用和因素间联合作用（互作）共同影响的结果，它反映了因素之间互相促进或互相抑制，这是客观存在的普遍现象。

因此，在某些设计中就应考虑因素间交互作用的问题。

（1）交互作用。

指因素间的联合搭配而产生对试验指标的影响作用，它是试验设计中一个重要概念。

试验设计中，交互作用记作A ×B ，A ×B ×C ，…A ×B 称为l 级交互作用，表明因素A ，B 之间有交互作用。

A ×B ×C 称为2级交互作用，表明因素A ，B ，C 三者之间有效互作用。

同样，若1+P 个因素间有交互作用，就称为户级交互作用，记作A ×B ×C ×…（1+P 个）2级和2级以上的交互作用统称为高级交互作用。

（2）交互作用的处理。

在试验设计中，交互作用一律当做因素看待，这是处理交互作用的一条总原则．作为因素，各级交互作用都可以安排在能考察交互作用的正交表的相应列上；它们对试验指标的影响情况都可以分析清楚，而且计算非常简便。

但交互作用又与因素不同，表现在：① 用于考察交互作用的列不影响试验方案及实施。

② 一个交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有p t )1(-列。

因此，在作表头设计时，交互作用所占正交表的列数与因素水平数t 有关、与交互作用级数P 有关，而且t 越大、P 越大，交互作用所占用的列数就越多。

例如对于一个52因素试验，作表头设计时，如果要考察因素间的所有各级交互作用，那么，连同因素本身。

总计应占有的列数为：315545352515=++++C C C C C （9-1）那么非选)2(3132L 不可，而52试验的全面试验次数n ＝52＝32。

所以多因素试验中要考虑所有各项交互作用的话，所用正交表的试验号将等于全面试验的次数，这显然是不可取的。

在满足试验要求的条件下，如何突出正交设计可以大量减少试验次数的优点，有选择地合理考察交互作用是应当妥善处理的问题。

但它并不是一个纯粹的数字，而是一个需要综合考察试验目的、专业知识、以往研究经验以及现有试验条件等多方面情况的复杂问题。

一般的处理原则是： ① 高级交互作用通常不予考虑。

实际上高级交互作用的影响一般都很小，可以忽略。

因此，式（9-1）中后3项全部可以略去，此时实际占有正交表的列数仅为2515C C +＝5+10＝15② 试验设计时，因素间1级交互作用也不必全部考察（尤其是根据专业知识知道两因素间没有交互作用或者交互作用不大时），通常仅考虑那些作用效果较明显的，或试验要求必须考察的。

上述的52试验中，如果仅考察1～2个l 级交互作用，那么选用)2(78L 即可，实际的部分实施等于1／4，减少了大量的试验次数。

③ 允许的情况下尽量选用二水平表，以减少交互作用所占列数。

若因素必须多选水平时，也可以设法将一张多水平表化为2张或多张2水平正交表来完成试验。

（3）正交表的交互作用列 在)2(34L 表中，第一列是将4个试验分成两部分，前半部分是水平1，后半部分是水平2，这一列称为二分列（表9-1）。

第二列是将第一列的2个水平1，2个水平2，再分成1个水平l ，1个水平2，称为四分列；这种列称为基本列。