第39卷第3期应用科技V ol.39, No.3 2012年6月 Applied Science and Technology Jun. 2012 doi:10.3969/j.issn.1009-671X.201112015基于HHT的线性调频信号分析与参数估计甄浩川1，申丽然2，张晓林11. 哈尔滨工程大学信息与通信工程学院, 黑龙江哈尔滨 1500012. 大连海事大学信息科学技术学院, 辽宁大连 116026摘要：基于Hilbert-Huang变换（HHT），提出一种有效的线性调频（LFM）信号的分析与参数估计的方法. 首先对LFM信号进行HHT得到其Hilbert谱，并根据能量的准则提取其中的主成分，完成LFM信号分析. 对利用能量型主成分提取法得到的LFM信号主成分进行最小二乘直线的拟合，计算直线的斜率与截距，得到LFM信号的参数的估计值. 实验证明，能量型主成分提取方法，在较高的信噪比范围内具有一定的LFM信号估计效果.关键词：线性调频信号; 经验模态分解; Hilbert-Huang变换; 主成分提取; 本征模态函数; 参数估计中图分类号：X75 文献标志码：A 文章编号：1009-671X（2012）03-0045-06HHT-Based linear frequency modulated signal analysisand parameter estimationZHEN Haochuan1, SHEN Liran2, ZHANG Xiaolin11. College of Information and Communication Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China2. College of Information Science and Technology, Dalian Maritime University, Dalian 116026, ChinaAbstract:Based on Hilbert-Huang transform (HHT), an effective method is proposed to analyze the linear frequency modulated (LFM) signal and estimate the parameters. The signal was processed through HHT first to get its Hilbert spectrum. According to a criterion of energy, the principal components were extracted for analysis of LFM signal. The principal components of LFM signal obtained by the energy-oriented principal component extraction method were processed by the least-squares line fitting method, then the gradient and intercept of the line were computed to get the estimated value of the parameters of the LFM signal. Experiments prove that the energy-oriented principal component extraction has a good effect on LFM signal estimation within a higher SNR range.Keywords:LFM signal; empirical mode decomposition（EMD）; HHT; principal component extraction; intrinsic mode function（IMF）; parameter estimation线性调频信号（LFM）作为一种常见的非平稳信号，具有较大的时宽和带宽积、频率随着时间线性变化等特点，广泛应用于雷达、声纳和地质探测等领域. 因此，LFM的参数估计是一项同时具有理论价值与实用价值的研究课题，向来备受关注. 有很多方法可以对信号的瞬时频率进行估计，但是均有一定的局限性. 例如相位差分法只适合于几乎没有噪声的情况；用线性回归的方法估计得到的瞬时频率[1]在信噪比（SNR）较低的时候效果也会恶化甚至无效.Hilbert-Huang变换[2]（HHT）是由N.E.Huang于1998年提出的一种适合于非平稳非线性信号处理的收稿日期：2011-12-08.作者简介：甄浩川（1986-），男，硕士研究生，主要研究方向：语音信号处理. E-mail: zhenhaochuan@.新理论. 其核心在于经验模态分解（EMD）部分，无需任何先验知识，完全自适应的根据信号本身的局部特征，得到本征模态函数（IMF），再对IMF进行Hilbert变换，即可得到被分解信号的Hilbert谱. IMF 的获得保证了瞬时频率的物理意义及完整性，也保证了Hilbert谱的实用性. HHT自出现以来，就受到了学术界的广泛关注，从其最早使用于地震数据和海洋潮汐数据的分析，扩展到现在的语音增强[3]、语音端点检测[4]、合成孔径雷达[5]和故障检测[6]等领域.文中对LFM信号的HHT分析，从提取主成分的角度对文献[7]所提方法称之为直接型主成分提取法. 通过进行深入研究和分析，进而提出能量型主成分提取法，提取LFM信号Hilbert谱主成分，实现对LFM·46·应用科技第39卷信号的分析. 能量型主成分提取法可以作为一种有效的LFM 信号参数估计方法使用，且其在各种信噪比环境下均具有较好的LFM 信号参数估计效果.1 Hilbert-Huang 变换HHT 分为2大步骤：EMD 和Hilbert 变换. 1.1 经验模态分解（EMD ）EMD 的处理过程是简单的，它最主要的目的是将信号分解成一些平稳的、线性的数据序列. 每一个序列被称为一个本征模态函数（IMF ）. 作为HHT 重要且创新的部分，EMD 是服务于Hilbert 变换的，即IMF 是最适合进行Hilbert 变换的. 因此关于IMF 的定义，需要满足以下2个条件：1）在全部数据集中，极值点的数目与过零点的数目必须相等或者至多相差一个；2）在任意点，上下包络的均值为零，这里的上下包络分别是由局部最大值和局部最小值定义的.给定一个信号()s t ，通过IMF 的定义，将EMD 算法表述如下：1）提取信号()s t 的全部的局部极值点. 2）分别通过对全部的局部极大值点和局部极小值点使用三次样条插值函数，得到上包络线()max e t 和下包络线()min e t . 计算上下包络线的均值()()()()max min 2.m t e t e t =+ （1）3）计算1h :()1()h s t m t =−. 如果1h 满足IMF 的2个条件，就得到了1个IMF 、1h .4）如果1h 不是1个IMF ，需要将1h 视为待处理的信号，并且重复步骤1）~3）. 这个过程就叫做筛选. 筛选不会停止，除非第k 次的时候，1k h 满足了IMF 的2个条件，就得到了第1个IMF ，记做1c : 11k c h =. 实际上，严格满足IMF 定义的2个条件是非常不容易的，因为Huang 等人提出利用一种标准差SD 作为另一个判据，满足SD 的1k h 也可以称之为1个IMF ：()21(1)1201(1)()().()Tk k t k h t h t SD h t −=−⎡⎤−=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑ （2） 5）将1c 从数据中剔除：()11r s t c =−.6）定义1r 为新的数据，使其通过步骤1）~5）获得2c ;7）最终，全部的IMF 被筛选出来，筛选后的余项为n r ，原始信号可以表达为各IMF 与余项的和1(),ni n i X t c r ==+∑ （3）至此，信号被分解完毕.可以看出，信号在EMD 分解过程之前和之中几乎无需人为干涉，完全由数据驱动，得到的分解结果是自适应的，是反应信号内在物理意义的，尤其是IMF 保证了Hilbert 变换中瞬时频率的物理意义.1.2 Hilbert 变换对所有IMF 分别进行Hilbert 变换，求得各IMF 的瞬时频率和瞬时幅度，再联合时间轴，得到一种时频分析方式.对于给定信号()x t ，由各IMF 构成：()().Ni i x t c t ==∑1（4）对()x t 做Hilbert 变换，并将式（4）代入得 ()()()()()()()()()()()d d ππ...d πd d ...d πππd .πNi i N N N Ni i i i c x y t t t c c c t t t c c c t t t c d t t τττττττττττττττττττττττττ======−−⎛⎞ +++=⎜⎟−−−⎝⎠+++=−−− =−∑∫∫∫∫∫∫∑∑∫11212111111111（5）相当于对各IMF 分量()i c t 做Hilbert 变换；所以，各IMF 分量的解析信号为()()()j ,i i i e t c t d t=+ （6）各IMF 分量的瞬时幅度为()i a t = （7）各IMF 分量的瞬时相位为()()()arctan ,i i i d t t c t θ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠（8）则各IMF 分量的瞬时频率为()d ;d i i t tθω=（9）因此原信号可以表示为()()j ()Re e.i N t i ix t a t θ=∑ （10）式中Re 表示取实部. 又由于瞬时频率的定义，此时可以将信号()x t 写做()()()()Re exp j d ,Ni i ix t a t t t ω=∑∫ （11）并将其看作既是时间的函数，又是瞬时频率的函数.第3期 甄浩川，等：基于HHT 的线性调频信号分析与参数估计 ·47·这样构成的时频平面称为Hilbert 谱. 严格意义上讲，只有经过EMD 分解后，利用IMF 做Hilbert 变换得到的谱才叫Hilbert-Huang 谱.2 LFM 信号的Hilbert 谱主成分提取与 参数估计设LFM 信号的模型为()()()20exp j2π12.x t A f t at =+⎡⎤⎣⎦ (12)式中：A 是幅度，0f 和a 分别是其调频斜率和初始频率，文中重点关注0f 和a 的估计，默认1A =. 仿真信号的采样频率为1kHz s f = ，调频斜率050Hz f = ，初始频率250Hz/s a = ，采样点数为1 000个，时间长度为1s .直接型主成分提取法是由文献[7]提出，即对LFM 信号进行EMD 分解得到众IMF ，将第一阶IMF 在Hilbert 谱上进行最小二乘直线拟合，得到LFM 信号的估计. 但文献[7]只给出了在无噪声情况下的实验结果. 鉴于此，对直接型主成分提取法做更进一步的讨论，从原理上进行分析和实验，并提出具有估计能力的能量型主成分提取法.2.1 直接型主成分提取法图1是LFM 信号的时域波形，图2是LFM 信号经过EMD 分解后得到的各IMF.图1 LFM 信号的时域波形学者Rilling 等[8]通过对EMD 算法的研究和其与高斯白噪声的相关实验，得到EMD 分解与滤波器组等价的结论. 这种滤波器组将输入信号由高频到低频，逐层分解并输出，滤波器组的参数由信号自身的时域局部表现决定，因此是自适应的信号分解方法. 可以看出，第一阶IMF 在时域的波形直观看上去与LFM 信号的时域波形有些相似之处，频率逐渐增快. 图3是LFM 信号的Hilbert 谱，图4是对LFM 信号进行HHT 后的Hilbert 谱.（a ）第1至第5阶IMF（b ）第6阶至第7阶IMF图2 LFM信号经EMD 分解后得到的IMF图3 LFM信号的Hilbert 谱图4 LFM 信号的Hilbert-Huang 谱·48·应用科技第39卷可以从LFM 信号的数学模型推导出，其瞬时频率与时间是呈线性关系的，但经过HHT 后却出现了一些LFM 原本并不含有的能量非常微弱的瞬时频率成分，这些成分都是偏离那条理论的直线的而且自身无线性可言. 关于瞬时频率，Cohen [9]在其书中提到瞬时频率的定义方法，可能会导致所求瞬时频率可能不是理论频谱中的频率甚至是负值. 经过EMD 分解得到的IMF 保证了瞬时频率非负，但是无法避免另一个问题的出现. 仔细观察图3可以发现，LFM 信号在Hilbert 谱上是有很小一部分散乱的点，但都聚集在直线附近，发散的不严重. 而图4所示经过EMD 分解后的Hilbert 谱中，散乱的点分布在更广的频谱范围. 这样的结果是因为EMD 分解过程使得Cohen 所提的现象得到了扩散. 虽然直觉上认为这是不好的现象，但是文中却恰恰是研究并利用这一特性. 将2幅Hilbert 谱对比，发现只有其中由第一阶IMF 构成的分量从频率覆盖范围看与LFM 信号本身的Hilbert 谱最为接近，且其所含能量最高，瞬时频率点也比较聚集在直线附近；因此，完全有理由相信第一阶IMF 就是使用EMD 算法得到的LFM 信号在Hilbert 谱的主成分，文中称之为直接型主成分提取法，也就是文献[7]所提方法. 这种主成分的获得是通过对时域波形和Hilbert 谱的直接观察得到的.图5 无噪声时直接型提取到的LFM 信号主成分图6 无噪声时利用直接型提取到的主成分拟合的直线图5是从纯净的LFM 中提取出来的第一阶IMF 的Hilbert 谱，将这些瞬时频率点拟合后的直线如图6所示，效果非常不错，=2496422a .ˆ、0=502147f ˆ.，与真实值的误差都非常小. 但是进一步实验发现，直接型主成分提取法几乎不具备抗噪性能.图7是SNR=10dB 时，对LFM 信号进行HHT 后的Hilbert 谱. 图8是使用直接型主成分提取法得到的LFM 的主成分的Hilbert 谱.图7 SNR=10dB 时LFM 信号的Hilbert-Huang 谱图8 SNR=10 dB 时直接型提取到的LFM 信号主成分图9 SNR=10 dB 时利用直接型提取到的主成分拟合的直线图9是拟合得到的直线，此时，估计效果恶劣，=64.6261a -ˆ，0=2848324f ˆ.，与真实值相差甚远. 将图5和8对比可以知道，在加入高斯白噪声后，即便是SNR 不低的情况下，直接型主成分提取法得到的第3期 甄浩川，等：基于HHT 的线性调频信号分析与参数估计 ·49·信号主成分已经被高斯白噪声严重的污染，瞬时频率成分扩散到了更宽的频谱上，这直接导致直线拟合不准确，估计性能急剧恶化. 2.2 能量型主成分提取考虑EMD 分解的特性，即每个分量都具备与原信号相同的时间轴长度；因此，各IMF 均保留了原信号在时间轴上的信息并分别在不同频带给予表达. 观察发现，并不是每个IMF 在每一时刻的瞬时频率都落在了纯净LFM 信号在Hilbert 谱中的那条直线上，而且Huang [2]也指出各IMF 不会在同一时间位置包含相同的瞬时频率，那么可以认为在每一时刻只有一个IMF 对LFM 信号的时频性质起主要作用. 由此，提出一种以幅度最大即能量最高为判据的主成分提取法：对于同一时刻τ，选出各IMF 在时刻τ对应的瞬时幅度最大值k A ，()arg max ,j jt k A t τ== （13）并将其对应的瞬时频率k f 记录下来. 将所有这样的瞬时幅度的集合及其对应的瞬时频率的集合，作为LFM 信号的主成分，这种方法称为能量型主成分提取法.图10 SNR=10 dB 时能量型提取到的LFM 信号主成分图11 SNR=10 dB 时利用能量型提取到的主成分拟合的直线图10是SNR=10dB 时，使用能量型主成分提取得到LFM 的主成分的Hilbert 谱. 图11是拟合得到的直线，此时效果非常不错，0=2526399=480699a f 、ˆ..ˆ，与真实值的误差非常小，证明能量型主成分提取法具备抗噪性能，性能的分析将在下一节详述.3 实验与分析仍使用之前的仿真信号模型及参数，并加入不同SNR 的加性高斯白噪声，对文中所提方法的估计效果进行实验并分析. 为了评价2种方法对调频斜率a 和起始频率0f 的估计效果，定义估计偏差δ，在某SNR 条件下为()11ˆ=100%.N i i N δααα=⎛⎞−×⎜⎟⎝⎠∑ （14） 式中：α是参数的设定值，ˆα是参数的估计值，N 为在某SNR 条件下对某一参数的重复估计次数，在这里设定100N =. 另外，文中所有的直线拟合均采用的是最小二乘直线拟合，利用该准则拟合得到的直线在坐标系上与数据点之间的距离平方和最小. 理想的高斯白噪声是覆盖全部频谱的，其功率谱密度是常数，而且与信号是不相关的；因此，最小二乘准则使得主分量中离散的数据点聚集起来，在很大程度上降低了高斯白噪声的影响.图12 斜率的估计偏差图13 起始频率的估计偏差图12、13是2种方法对2个参数在不同SNR 下的估计效果，步长为1 dB. 通过求取直线的斜率与截·50·应用科技第39卷距来完成LFM信号对于起始频率0f和调频斜率a的估计，部分SNR下的估计结果列于表1、2.表1 调频斜率的估计（标准250 Hz/s，100次的平均值）方法 5 dB 10 dB 15 dB 20 dB直接型-76.337 0 -56.618 214.228 0 111.373 7能量型211.425 0 250.862 3253.069 0 252.169 3表2 初始频率的估计（标准50 Hz/s，100次的平均值）方法 5 dB 10 dB 15 dB 20 dB直接型323.372 1 281.573 9217.412 8 145.552 6能量型87.268 5 49.463 047.420 3 48.310 9可以看出，在5~20 dB，虽然直接型提取法的起始频率估计误差曲线随着SNR的升高，趋势是下降的，但是无论对f还是a的估计误差都相对过大. 相比之下，能量型提取法则效果好得多，2条误差曲线均是随SNR的升高而下降，且均在SNR为10 dB位置附近估计性能达到最佳. 当SNR>10dB时，虽然误差有所上升，但依然是很小的.同时可以看出，随着SNR的降低，直接型主成分提取法效果不断恶化. 实验发现，在SNR较低的时候，如0 dB，由于所获得的主成分的点过于分散，甚至于人眼都已经很难判断LFM信号是否存在；此外，该方法提取出的主成分随着SNR的降低，其主成分的意义也在下降，表现是LFM在某些时刻的理论频率值出现在了2阶甚至3阶的IMF中，换句话说，集中在1阶IMF中的主成分在随着SNR的下降而不断向高阶IMF扩散，这也是提出能量型主成分提取法的主要依据. 能量型主成分提取法的效果也在随着SNR的降低而降低，但是其所获得的主成分的点相对来说是集中的，且拟合得到的直线更接近纯净的LFM信号的理论时频特性.4结束语介绍了HHT变换，并研究了LFM信号的HHT 分析，通过对文献[7]方法的研究和分析，得出通过EMD得到LFM信号主成分的这样一种本质思想，进而提出了一种LFM信号的主成分提取方法并进行信号的分析，且具备一定的参数估计性能. 在相同SNR 条件下：SNR非常高时，能量型提取法和直接型提取法的估计效果相差不多；随着SNR的降低，能量型提取法的估计效果依然较好，而直接型提取法却逐渐失效. 此外，加性高斯白噪声的随机性，对能量型主成分提取法的影响使得本方法缺乏一定的稳定性.综上所述，直接型主成分提取法基本只适用于对纯净LFM的分析；能量型主成分提取法却具备较好的估计性能，适用于较宽的信噪比范围，具有一定的实用价值.参考文献:[1] TRETTER S. 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![基于综合算法的多分量线性调频信号参数估计方法及系统[发明专利]](https://img.taocdn.com/s1/m/44623849284ac850ac024288.png)
