2016-2017学年上海交大附中高三（下）开学数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）函数y＝tan3x的最小正周期为．2．（5分）计算＝．3．（5分）＝．4．（5分）若集合M＝{y|y＝﹣x2+5，x∈R}，N＝{y|y＝，x≥﹣2}，则M∩N＝．5．（5分）二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为．6．（5分）现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有种．7．（5分）若cos（π+α）＝﹣，π＜α＜2π，则sinα＝．8．（5分）若一个球的体积为，则它的表面积为．9．（5分）三棱锥O﹣ABC中，OA＝OB＝OC＝2，且∠BOC＝45°，则三棱锥O﹣ABC体积的最大值是．10．（5分）如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2，AB＝AE＝1，M为矩形AEHD 内一点，若∠MGF＝∠MGH，MG和平面EFGH所成角的正切值为，则点M到平面EFGH的距离为．11．（5分）若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称（A1，A2）为集合A的一种分析，并规定：当且仅当A1＝A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分析，则集合A＝{a1，a2，a3}的不同分析种数是．12．（5分）已知函数y＝a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），则的最小值为．13．（5分）已知函数f（x）是R上的减函数，且y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．若u，v满足不等式组，则u2+v2的最小值为．14．（5分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数，如，若x＞0且A（2x•A（x））＝5，则x的取值范围为．二、选择题：15．（5分）在△ABC中，若，则△ABC一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形16．（5分）已知z∈C，“”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件17．（5分）下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：p1：数列{a n}是递增数列；p2：数列{na n}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{a n+3nd}是递增数列；其中真命题是（）A．p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p418．（5分）某工厂今年年初贷款a万元，年利率为r（按复利计算），从今年末起，每年年末偿还固定数量金额，5年内还清，则每年应还金额为（）万元．A．B．C．D．三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 19．（10分）某地区有800名学员参加交通法规考试，考试成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，规定90分及以上为合格：（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率；（3）若三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率．20．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，AB⊥BC，AB＝P A＝BC＝2．D，E分别为AB，AC的中点，过DE的平面与PB，PC相交于点M，N（M与P，B不重合，N与P，C不重合）．（Ⅰ）求证：MN∥BC；（Ⅱ）求直线AC与平面PBC所成角的大小；（Ⅲ）若直线EM与直线AP所成角的余弦值时，求MC的长．21．（10分）在平面直角坐标系中xOy中，动点E到定点（1，0）的距离与它到直线x＝﹣1的距离相等．（Ⅰ）求动点E的轨迹C的方程；（Ⅱ）设动直线l：y＝kx+b与曲线C相切于点P，与直线x＝﹣1相交于点Q．证明：以PQ为直径的圆恒过x轴上某定点．22．（15分）已知函数（a＞0，a≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）当x∈（n，a﹣2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．23．（15分）已知二次函数y＝f（x）的图象的顶点坐标为，且过坐标原点O，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）在二次函数y＝f（x）的图象上．（1）求数列{a n}的表达式；（2）设b n＝a n•a n+1cos（n+1）π（n∈N*），数列{b n}的前n项和为T n，若T n≥m2对n∈N*恒成立，求实数m的取值范围；（3）在数列{a n}中是否存在这样的一些项，，，，…，…（1＝n1＜n2＜n3＜…＜n k＜…k∈N*），这些项能够依次构成以a1为首项，q（0＜q＜5，q∈N*）为公比的等比数列{}？若存在，写出n k关于k的表达式；若不存在，说明理由．2016-2017学年上海交大附中高三（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．【解答】解：函数y＝tan3x的最小正周期为T＝＝．故答案为：．2．【解答】解：＝2×3﹣1×4＝2，故答案为：2．3．【解答】解：＝＝（+）＝，故答案为：4．【解答】解：由M中y＝﹣x2+5≤5，得到M＝（﹣∞，5]，由N中y＝，x≥﹣2，得到y≥0，即N＝[0，+∞），则M∩N＝[0，5]，故答案为：[0，5]5．【解答】解：二项式（x+1）10的展开式中，x4的系数为C104＝210，故答案为：106．【解答】解：先把甲乙二人捆绑在一起，看作一个复合元素，再和其他4人进行全排，故有＝240种，故答案为：2407．【解答】解：∵cos（π+α）＝﹣cosα＝﹣，∴cosα＝，又π＜α＜2π，∴sinα＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．8．【解答】解：由得，所以S＝4πR2＝12π．9．【解答】解：将△BOC作为三棱锥的底面，∵OA＝OB＝OC＝2，且∠BOC＝45°，∴△BOS的面积为定值S＝＝，∴当OA⊥平面BOC时，该棱锥的高最大，体积就最大，此时三棱锥O﹣ABC体积的最大值V＝×S×h＝＝．故答案为：．10．【解答】解：取FG的中点N，作MO⊥EH于O，连接MN，ON，MH，OG，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝2，AB＝AE＝1，M为矩形AEHD内一点，若∠MGF ＝∠MGH，可得△MNG≌△MGH，则△ONG≌△OGH，所以ON＝GH＝AB＝1，因为N是FG的中点，所以NG＝FG＝AD＝×2＝1，所以在Rt△ONG中，OG＝＝＝MG和平面EFGH所成角的正切值为，可得＝，则MO＝＝．则点M到平面EFGH的距离为：．故答案为：．11．【解答】解：当A1＝∅时必须A2＝A，分析种数为1；当A1有一个元素时，分析种数为C31•2；当A1有2个元素时，分析总数为C32•22；当A1＝A时，分析种数为C33•23．所以总的不同分析种数为1+C31•21+C32•22+C33•23＝（1+2）3＝27．故答案为：2712．【解答】解：∵函数y＝a x+b（b＞0）是定义在R上的单调递增函数，图象经过点P（1，3），∴a＞1，3＝a+b．∴＝（a﹣1+b）＝≥＝，当且仅当a＝，b＝时取等号．故答案为：13．【解答】解：∵y＝f（x﹣2）的图象关于点（2，0）成中心对称．∴y＝f（x）的图象关于点（0，0）成中心对称．即函数f（x）是奇函数，则不等式组，等价为，即，作出不等式组对应的平面区域如图，则u2+v2的几何意义为区域内的点到原点距离的平方，则由图象知原点到直线u＝1﹣v，即v+u﹣1＝0的距离最小，此时d＝，故u2+v2的最小值为d2＝，故答案为：14．【解答】解：当A（x）＝1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）＝2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）＝2，当A（x）＝3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）＝2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，]二、选择题：15．【解答】解：∵＝cos＝sin，⇒，则△ABC是等腰三角形，故选：A．16．【解答】解：对于复数z，若z+＝0，z不一定为纯虚数，可以为0，反之，若z为纯虚数，则z+＝0．∴“z+＝0”是“z为纯虚数”的必要非充分条件．故选：B．17．【解答】解：∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1﹣a n＝d＞0，∴命题p1：数列{a n}是递增数列成立，是真命题．对于数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n+1﹣na n＝（n+1）d+a n，不一定是正实数，故p2不正确，是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣＝＝，不一定是正实数，故p3不正确，是假命题．对于数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+1+3（n+1）d﹣a n﹣3nd＝4d＞0，故命题p4：数列{a n+3nd}是递增数列成立，是真命题．故选：D．18．【解答】解：假设每年偿还x元，由题意可得a（1+r）5＝x（1+r）4+x（1+r）3+…+x（1+r）+x，化为a（1+r）5＝x•，解得x＝．故选：B．三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 19．【解答】解：（1）由频率分布直方图，知：（0.01+a+0.07+0.06+0.02）×5＝1，解得a＝0.04．（2）规定90分及以上为合格，根据频率分布直方图估计该地区学员交通法规考试合格的概率：p1＝（0.06+0.02）×5＝0.4．（3）三个人参加交通法规考试，估计这三个人至少有两人合格的概率：p2＝＝．20．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点；∴DE∥BC，BC⊂平面PBC，DE⊄平面PBC；∴DE∥平面PBC，平面DENM∩平面PBC＝MN；∴DE∥MN；∴MN∥BC；（Ⅱ）如图，在平面P AB内作BZ∥P A，则根据：P A⊥底面ABC，及AB⊥BC即知，BC，BA，BZ两两垂直；∴以B为坐标原点，BC，BA，BZ所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，则：B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），P（0，2，2）；∴，；设平面PBC的法向量为；则由得：，令z1＝1，得x1＝0，y1＝﹣1；∴；设直线AC和平面PBC所成角为α，则：sinα＝＝；又；∴；即直线AC和平面PBC所成角为；（Ⅲ）设M（0，y，z），M在棱PB上，则：；∴（0，y，z）＝λ（0，2，2）；∴M（0，2λ，2λ），E（1，1，0）；∴；因为直线EM与直线AP所成角的余弦值；设直线EM和直线AP所成角为θ；所以cosθ＝；∴8λ2﹣18λ+9＝0；解得，或（舍去）；∴M（0，）；∴．21．【解答】（Ⅰ）解：设动点E的坐标为（x，y），由抛物线定义知，动点E的轨迹是以（1，0）为焦点，x＝﹣1为准线的抛物线，∴动点E的轨迹C的方程为：y2＝4x；（Ⅱ）证明：设直线l的方程为：y＝kx+b（k≠0），由，消去x得：ky2﹣4y+4b＝0．∵直线l与抛物线相切，∴△＝16﹣16kb＝0，即．∴直线l的方程为y＝kx+．令x＝﹣1，得，∴Q（﹣1，），设切点坐标P（x0，y0），则，解得：P（），设M（m，0），则＝＝．当m＝1时，．∴以PQ为直径的圆恒过x轴上定点M（1，0）．22．【解答】解：（1）∵函数（a＞0，a≠1）是奇函数．∴f（﹣x）+f（x）＝0解得m＝﹣1．（2）由（1）及题设知：，设，∴当x1＞x2＞1时，∴t1＜t2．当a＞1时，log a t1＜log a t2，即f（x1）＜f（x2）．∴当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（﹣∞，﹣1），∴①当n＜a﹣2≤﹣1时，有0＜a＜1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知（无解）；②当1≤n＜a﹣2时，有a＞3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a﹣2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知得，n＝1．23．【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（x）＝（x+1）2﹣，∴S n＝（n+1）2﹣＝n2+n（n∈N*），当n≥2时，a n＝s n﹣s n﹣1＝n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]＝，当n＝1时，a1＝s1＝1适合上式，∴数列{a n}的通项公式是：a n＝（n∈N*）；（Ⅱ）∵b n＝a n a n+1cos（n+1）π，（n∈N*），∴T n＝b1+b2+…+b n＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1，由（Ⅰ）得：数列{a n}是以1为首项，公差为的等差数列，①当n＝2m，m∈N*时，T n＝T2m＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1a n a n+1，＝a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）＝﹣（a2+a4+…+a2m）＝﹣••m＝﹣（8m2+12m）＝﹣（2n2+6n），②当n＝2m﹣1，m∈N*时，T n＝T2m﹣1＝T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2m a2m+1＝﹣（8m2+12m）+（16m2+16m+3）＝（8m2+4m+3）＝（2n2+6n+7），∴T n＝，要使T n≥tn2对n∈N*恒成立，只要使﹣（2n2+6n）≥tn2（n为正偶数）恒成立，即使﹣（2+）≥t对n为正偶数恒成立．∴t≤[﹣（2+）]min＝﹣；（Ⅲ）由a n＝知，数列{a n}中每一项都不可能是偶数，①如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{ank}，k∈N*，此时{ank}中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{ank}；②q＝1时，显然不存在这样的数列{ank}，q＝3时，若存在以a1为首项，公比为3的数列{ank}，k∈N*，则an1＝1，n1＝1，ank＝3k﹣1＝，n k＝，∴存在满足条件的数列{a nk}，且n k＝，（k∈N*）．。
四川省成都市2016-2017学年高三下学期入学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知复数z满足z=，那么z的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A={x|ax=1}，B={0，1}，若A⊆B，则由a的取值构成的集合为（）A．{1} B．{0} C．{0，1} D．∅3．设命题p：函数f（x）=tanx是其定义域上的增函数；命题q：函数g（x）=3x﹣3﹣x为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q4．最近，国家统计局公布：2015年我国经济增速为6.9%，创近25年新低．在当前经济增速放缓的情况下，转变经济发展方式，淘汰落后产能，寻找新的经济增长点是当务之急．为此，经济改革专家组到基层调研，由一幅反映某厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图初步了解到：某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则他们看到的图是（）A．B．C．D．5．在单位圆x2+y2=1内随机均匀产生一点（x，y），使得成立的概率是（）A．B．C．D．6．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为（）A．D、E、F B．F、D、E C．E、F、D D．E、D、F7．设a＞b＞1，c＜0，给出下列四个结论：①＞；②a c＞b c；③（1﹣c）a＜（1﹣c）b；④logb（a﹣c）＞loga（b﹣c）．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．命题：“∃b∈R，使直线y=﹣x+b是曲线y=x3﹣3ax的切线”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．9．恒过定点的直线mx﹣ny﹣m=0与抛物线y2=4x交于A，B，若m，n是从集合{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}中取出的两个不同元素，则使|AB|＜8的不同取法有（）A．30种B．24种C．18种D．12种10．如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则P﹣ABCD体积的最大值是（）A．B．16 C．48 D．144二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．二项式（2+x）n（n∈N*）的展开式中，二项式系数最大的是第4项和第5项，则n= ．12．已知sin（α+）=，则sin2α= ．13．双曲线的两渐近线与圆x2+y2﹣2ax+1=0没有公共点，则实数a的取值范围是．14．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…P 10，记m i =（i=1，2，3，…，10），则m 1+m 2+…+m 10的值为 ．15．函数f （x ）=min{2，|x ﹣2|}，其中min{a ，b}=，若动直线y=m 与函数y=f （x ）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3最大值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．数列{a n }的各项全为正数，且在如图所示的算法框图图中，已知输入k=2时，输出；输入k=5时，输出．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和T n ．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．18．某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；（Ⅱ）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6个产品．①已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；②某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X个产品被购买，求X的分布列和数学期望．19．将函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象，已知g（x）的部分图象如图所示，该图象与y轴相交于点F（0，1），与x轴相交于点P，Q，点M为最高点，且△MPQ的面积为．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，g（A）=1，且a=，求△ABC面积的最大值．20．如图，长为m+1（m＞0）的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，点M是线段AB上的一点，且=m．（1）求点M的轨迹Γ的方程，并判断轨迹Γ为何种圆锥曲线；（2）设过点Q（，0）且斜率不为0的直线交轨迹Γ于C，D两点．设点P在x轴上，且恒满足=，试求点P的坐标．21．已知函数f（x）=（x+2）ln（x+1）﹣ax2﹣x（a∈R），g（x）=ln（x+1）．（Ⅰ）若a=0，F （x ）=f （x ）﹣g （x ），求函数F （x ）的极值点及相应的极值；（Ⅱ）若对于任意x 2＞0，存在x 1满足x 1＜x 2且g （x 1）=f （x 2）成立，求a 的取值范围．四川省成都市2016-2017学年高三下学期入学试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知复数z 满足z=，那么z 的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义． 【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出【解答】解：∵z===1+i ，∴=1﹣i ，在复平面上对应的点（1，﹣1）位于第一象限．故选：D ．【点评】本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．2．已知集合A={x|ax=1}，B={0，1}，若A ⊆B ，则由a 的取值构成的集合为（ ）A ．{1}B ．{0}C ．{0，1}D ．∅ 【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】当a=0时，集合A={x|ax=1}=∅，满足A ⊆B ，当a ≠0时，集合A={x|ax=1}={}，则=0，或=1，解对应方程后，综合讨论结果，可得答案．【解答】解：当a=0时，集合A={x|ax=1}=∅，满足A ⊆B ；当a ≠0时，集合A={x|ax=1}={}， 由A ⊆B ，B={0，1}得：=0，或=1，=0无解，解=1得：a=1，综上由a的取值构成的集合为{0，1}故选：C．【点评】本题考查的知识点是集合的包谷关系判断及应用，其中易忽略a=0时，集合A={x|ax=1}=∅，满足A⊆B，而错选A．3．设命题p：函数f（x）=tanx是其定义域上的增函数；命题q：函数g（x）=3x﹣3﹣x为奇函数．则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∧q【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据正切函数的图象和性质，判断命题p的真假；根据函数奇偶性的定义，判断命题q的真假，进而根据复合函数真假判断的真值表可得答案．【解答】解：函数f（x）=tanx是其定义域上不连续，不是增函数，即命题p为假命题；函数g（x）=3x﹣3﹣x满足g（﹣x）=﹣g（x），即函数g（x）=3x﹣3﹣x为奇函数，即命题q为真命题；故p∧q，p∧（￢q），（￢p）∧（￢q）均为假命题；只有（￢p）∧q为真命题；故选：D．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了指数函数的图象和性质，正切函数的图象和性质，复合命题的真假判断，难度中档．4．最近，国家统计局公布：2015年我国经济增速为6.9%，创近25年新低．在当前经济增速放缓的情况下，转变经济发展方式，淘汰落后产能，寻找新的经济增长点是当务之急．为此，经济改革专家组到基层调研，由一幅反映某厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系图初步了解到：某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则他们看到的图是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据年产量的增速判断总产量的增速，根据曲线的切线斜率大小变化进行判断．【解答】解：由于前3年年产量的增长速度越来越快，故当t≤3时，曲线的切线斜率逐渐增大，由于后3年年产量保持不变，故当3＜t＜6时，曲线的切线斜率不变，且总产量在增大，故选：A．【点评】本题考查了函数图象的意义，属于基础题．5．在单位圆x2+y2=1内随机均匀产生一点（x，y），使得成立的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】在单位圆x2+y2=1内随机均匀产生一点（x，y），其面积为1，使得成立，其区域为单位圆的，即可得出结论．【解答】解：在单位圆x2+y2=1内随机均匀产生一点（x，y），其面积为1，使得成立，其区域为单位圆的，其面积为，∴所求概率为．故选A．【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N（A）÷N求解．6．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标出A、B、C、D、E、F这六个字母，现放成下面三种不同的位置，所看见的表面上的字母已表明，则字母A、B、C对面的字母依次分别为（）A．D、E、F B．F、D、E C．E、F、D D．E、D、F【考点】棱柱的结构特征．【分析】本题可从图形进行分析，结合正方体的基本性质，得到各个面上的字母，即可求得结果．【解答】解：第一个正方体已知A，B，C，第二个正方体已知A，C，D，第三个正方体已知B，C，E，且不同的面上写的字母各不相同，则可知A对面标的是E，B对面标的是D，C对面标的是F．故选D．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的字母问题，此类问题可以制作一个正方体，根据题意在各个面上标上字母，再确定对面上的字母，本题是一个基础题．7．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列四个结论：①＞； ②a c ＞b c ；③（1﹣c ）a ＜（1﹣c ）b ； ④log b （a ﹣c ）＞log a （b ﹣c ）． 其中正确结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接利用不等式的性质判断①；由已知结合幂函数的单调性判断②；由已知结合指数函数的单调性判断③；由已知结合对数函数的性质判断④．【解答】解：a ＞b ＞1，c ＜0，对于①、由a ＞b ＞1，得，又c ＜0，得＞，故①正确；对于②、∵c ＜0，∴幂函数y=x c 在第一象限为减函数，又a ＞b ＞1，∴a c ＜b c ，故②错误；对于③、∵c ＜0，∴1﹣c ＞1，又a ＞b ，由指数函数的单调性可得（1﹣c ）a ＞（1﹣c ）b ，故③错误；对于④、∵c ＜0，∴﹣c ＞0，又a ＞b ＞1，则a ﹣c ＞b ﹣c ＞1， ∴log b （a ﹣c ）＞log b （b ﹣c ）＞log a （b ﹣c ），故④正确．∴正确的结论有2个． 故选：B ．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了不等式的性质，考查基本初等函数的单调性，是中档题．8．命题：“∃b ∈R ，使直线y=﹣x+b 是曲线y=x 3﹣3ax 的切线”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意，存在实数a ，满足对任意的实数b ，直线y=﹣x+b 都不是曲线y=x 3﹣3ax 的切线．由直线y=﹣x+b 得直线斜率为﹣1，直线y=﹣x+b 不与曲线f （x ）相切知曲线f （x ）上任一点斜率都不为﹣1，即f′（x）≠﹣1，求导函数，并求出其范围[﹣3a，+∞），得不等式﹣3a＞﹣1，即得实数a的取值范围．【解答】解：由题意，存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线．设f（x）=x3﹣3ax，求导函数，可得f′（x）=3x2﹣3a∈[﹣3a，+∞），∵存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=﹣x+b都不是曲线y=x3﹣3ax的切线，∴﹣1∉[﹣3a，+∞），∴﹣3a＞﹣1，即实数a的取值范围为a＜故选：A．【点评】本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9．恒过定点的直线mx﹣ny﹣m=0与抛物线y2=4x交于A，B，若m，n是从集合{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}中取出的两个不同元素，则使|AB|＜8的不同取法有（）A．30种B．24种C．18种D．12种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】直线mx﹣ny﹣m=0恒过定点（1，0），为抛物线y2=4x的焦点，直线mx﹣ny﹣m=0与抛物线y2=4x联立，可得m2x2+（﹣2m2﹣4n2）x+m2=0，|AB|＜8时， +1＜8，结合条件列举，即可得出结论．【解答】解：直线mx﹣ny﹣m=0恒过定点（1，0），为抛物线y2=4x的焦点，直线mx﹣ny﹣m=0与抛物线y2=4x联立，可得m2x2+（﹣2m2﹣4n2）x+m2=0，∴|AB|＜8时， +1＜8，∴n2＜m2，∴n=﹣3时，m=±3，n=﹣2时，m=±3，±2，n=﹣1时，m=±3，±2，±1，n=0时，m=±3，±2，±1，共18种．故选：C．【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．10．如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则P﹣ABCD体积的最大值是（）A．B．16 C．48 D．144【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】本题需要借助直二面角的相关知识研究三角形的几何特征，由题设条件知两个直角三角形△PAD与△PBC是相似的直角三角形，可得出PB=2PA，作PD⊥AB，垂足为D，令AD=t，将四棱锥的体积用t表示出来，由二次函数求最值可得出正确选项．【解答】解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．作PM⊥AB，垂足为M，则PM⊥β，令AM=t∈R，在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，PM是公共边及PB=2PA，∴PA2﹣t2=4PA2﹣（6﹣t）2 ，解得PA2=12﹣4t．∴PM=，即四棱锥的高为，底面为直角梯形，S==36∴四棱锥P﹣ABCD的体积V==12=48，即四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为48，故选C．【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解答本题，关键是将由题设条件得出三角形的性质、：两邻边的值有2倍的关系，第三边长度为6，引入一个变量，从而利用函数的最值来研究体积的最值，是将几何问题转化为代数问题求解的思想，属中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．二项式（2+x）n（n∈N*）的展开式中，二项式系数最大的是第4项和第5项，则n= 7 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项式系数的性质，可得展开式共有8项，从而求得n的值．【解答】解：由于二项式（2+x）n（n∈N*）的展开式中，二项式系数最大的是第4项和第5项，故展开式共有8项，故n=7，故答案为：7．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于基础题．12．已知sin（α+）=，则sin2α= ．【考点】二倍角的正弦．【分析】首先利用两角和与差公式将已知条件展开，然后两边平方和sin2α+cos2α=1，得出2sinαcosα的值，从而由二倍角公式得出答案．【解答】解：∵sin（α+）=（sinα+cosα）=∴两边平方得， =∴2sinαcosα=﹣故sin2α=故答案为：﹣【点评】本题主要考查了两角和与差公式和二倍角公式，熟练掌握相关公式是解题的关键．13．双曲线的两渐近线与圆x2+y2﹣2ax+1=0没有公共点，则实数a的取值范围是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的两渐近线方程、圆x2+y2﹣2ax+1=0的圆心坐标、半径，利用点到直线的距离公式，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：双曲线的两渐近线方程为y=±x，圆x2+y2﹣2ax+1=0的圆心坐标为（a，0），半径为，∵双曲线的两渐近线与圆x 2+y 2﹣2ax+1=0没有公共点，∴圆心到直线的距离d=＞，∴a ∈，故答案为．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．14．如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一条直线上，边B 3C 3上有10个不同的点P 1，P 2，…P 10，记m i =（i=1，2，3，…，10），则m 1+m 2+…+m 10的值为180 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以A 为坐标原点，AC 1所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得B 2（3，），B 3（5，），C 3（6，0），求出直线B 3C 3的方程，可设P i （x i ，y i ），可得x i +y i =6，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．【解答】解：以A 为坐标原点，AC 1所在直线为x 轴建立直角坐标系，可得B 2（3，），B 3（5，），C 3（6，0），直线B 3C 3的方程为y=﹣（x ﹣6），可设P i （x i ，y i ），可得x i +y i =6，即有m i ==3x i +y i=（x i +y i ）=18，则m 1+m 2+…+m 10=18×10=180． 故答案为：180．【点评】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．15．函数f （x ）=min{2，|x ﹣2|}，其中min{a ，b}=，若动直线y=m 与函数y=f （x ）的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3最大值为 1 ．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由f （x ）表达式作出函数f （x ）的图象，由图象可求得符合条件的m 的取值范围，不妨设0＜x 1＜x 2＜2＜x 3，通过解方程可用m 把x 1，x 2，x 3分别表示出来，利用基本不等式即可求得x 1x 2x 3的最大值．【解答】解：作出函数f （x ）的图象如图所示：由，解得A （4﹣2，2﹣2），由图象可得，当直线y=m 与f （x ）图象有三个交点时m 的范围为：0＜m ＜2﹣2．不妨设0＜x 1＜x 2＜2＜x 3，则由2=m 得x 1=，由|x 2﹣2|=2﹣x 2=m ，得x 2=2﹣m ，由|x 3﹣2|=x 3﹣2=m ， 得x 3=m+2，且2﹣m ＞0，m+2＞0，∴x 1x 2x 3=（2﹣m ）（2+m ）=m 2（4﹣m 2）≤==1，当且仅当m 2=4﹣m 2．即m=时取得等号，∴x 1x 2x 3存在最大值为1． 故答案为：1．【点评】本题考查函数与方程的综合运用，考查基本不等式在求函数最值中的应用，考查数形结合思想，考查学生综合运用知识分析解决新问题的能力，难度较大．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．数列{a n }的各项全为正数，且在如图所示的算法框图图中，已知输入k=2时，输出；输入k=5时，输出．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n }的前n 项和T n ．【考点】程序框图．【分析】（Ⅰ）模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的S 是什么，然后由已知，利用S 的表达式，列出方程组求出a 1和d ，即可求出a n ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可求b n ，利用等比数列的求和公式即可得解．【解答】（本题满分12分）解：（Ⅰ）由框图知：当k=2时， ⇒a 1a 2=3①；当k=5时，，即==，所以a 1a 5=9②由①②得，所以，可得：．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，也考查了数列求和的应用问题，考查了方程组的解法与应用问题，是综合题．17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，且∠DAB=60°．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．（Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若PA=PD=AD ，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）推导出AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB∥EF．（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以AB∥CD．又因为AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，所以AB∥面PCD．又因为A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，所以AB∥EF．…解：（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB．因为PA=PD，所以PG⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PG⊥平面ABCD．所以PG⊥GB．在菱形ABCD中，因为AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，所以AD⊥GB．如图，以G为原点，GA为x轴，GB为y轴，GP为z轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz．设PA=PD=AD=2a，则G（0，0，0），A（a，0，0），．又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以，．所以，．设平面AFE的法向量为n=（x，y，z），则有所以令x=3，则平面AFE的一个法向量为．因为BG⊥平面PAD，所以是平面PAF的一个法向量．因为，所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为．…【点评】本题考查线线平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．某个团购网站为了更好地满足消费者需求，对在其网站发布的团购产品展开了用户调查，每个用户在使用了团购产品后可以对该产品进行打分，最高分是10分．上个月该网站共卖出了100份团购产品，所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值，将这些产品按照得分分成以下几组：第一组[0，2），第二组[2，4），第三组[4，6），第四组[6，8），第五组[8，10]，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）分别求第三，四，五组的频率；（Ⅱ）该网站在得分较高的第三，四，五组中用分层抽样的方法抽取6个产品．①已知甲产品和乙产品均在第三组，求甲、乙同时被选中的概率；②某人决定在这6个产品中随机抽取2个购买，设第4组中有X个产品被购买，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图能分别求出第三，四，五组的频率．（Ⅱ）①由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到=3个，而第三组共有30个，由此能求出甲乙两产品同时被选中的概率．②第四组共有X个产品被购买，由题意知X的取值为0，1，2，分别求出P（X=0），P（X=1），P（x=2），由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（Ⅰ）解：第三组的频率是0.150×2=0.3，第四组的频率是0.100×2=0.2，第五组的频率是0.050×2=0.1．…（Ⅱ）①由题意可知，在分层抽样的过程中第三组应抽到6×0.5=3个，而第三组共有100×0.3=30个，∴甲乙两产品同时被选中的概率为p==．…②第四组共有X个产品被购买，∴X的取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（x=2）==，∴X的分布列为：X 0 1 2P…EX==．…【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合的合理运用．19．将函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象，已知g（x）的部分图象如图所示，该图象与y轴相交于点F（0，1），与x轴相交于点P，Q，点M为最高点，且△MPQ的面积为．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，g（A）=1，且a=，求△ABC面积的最大值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）由题意可知g（x）=2sin[ω（x﹣）+φ]，根据三角形的面积公式，即可求出T，再根据于g（0）=1，求出φ，问题得以解决，（Ⅱ）先根据g（A）=1，求出A，再根据余弦定理和三角形面积公式，即可求出答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知g（x）=2sin[ω（x﹣）+φ]，=2|PQ|=，则|PQ|==，由于S△ABC∴T=π，即ω=2，又由于g（0）=2sin（φ﹣）=1，且﹣＜φ﹣＜，则φ﹣=，∴φ=，即g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x+）．（Ⅱ）g（A）=2sin（2A+）=1，2A+∈（，）则2A+=，∴A=，由余弦定理得b2+c2﹣2bccos A=a2=5，∴5=b2+c2﹣bc≥bc，∴S△ABC=bcsin A≤，当且仅当b=c=时，等号成立，故S△ABC的最大值为．【点评】本题考查了三角形函数的解析式的求法和余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题．20．如图，长为m+1（m＞0）的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，点M是线段AB上的一点，且=m．（1）求点M的轨迹Γ的方程，并判断轨迹Γ为何种圆锥曲线；（2）设过点Q（，0）且斜率不为0的直线交轨迹Γ于C，D两点．设点P在x轴上，且恒满足=，试求点P的坐标．【考点】轨迹方程．【分析】（1）先确定A，B满足的方程，再利用=m，确定M与A，B坐标之间的关系，代入可求点M 的轨迹Γ的方程，分类讨论，可判断轨迹Γ为何种圆锥曲线；（2）设直线CD的方程为x=ty+，代入轨迹Γ的方程为x2+=1消去x并化简整理，利用韦达定理，利用=，可得kPC +kPD=0，即可得出结论．【解答】解：（1）设A 、B 、M 的坐标分别为（x 0，0）、（0，y 0）、（x ，y ），则x 02+y 02=（m+1）2，①由=m，得（x ﹣x 0，y ）=m （﹣x ，y 0﹣y ），∴x ﹣x 0=﹣mx ，y=m （y 0﹣y ），∴x 0=（m+1）x ，y 0=y②…将②代入①，得（m+1）2x 2+（）2y 2=（m+1）2，化简即得点M 的轨迹Γ的方程为x 2+=1（m ＞0）．… 当0＜m ＜1时，轨迹Γ是焦点在x 轴上的椭圆； 当m=1时，轨迹Γ是以原点为圆心，半径为1的圆； 当m ＞1时，轨迹Γ是焦点在y 轴上的椭圆． …（2）依题意，设直线CD 的方程为x=ty+，代入轨迹Γ的方程为x 2+=1消去x 并化简整理，得（m 2t 2+1）y 2+m 2ty ﹣m 2=0，△=m 4t 2+3m 2（m 2t 2+1）＞0，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则y 1+y 2=﹣，y 1y 2=﹣． ③…设定点P （a ，0），若=，则=，∴sin ∠CPQ=sin ∠DPQ ， 即直线PC 、PD 的倾斜角互补，∴k PC +k PD =0，…即=0，∵x 1=ty 1+，x 2=ty 2+，∴=0， 化简，得4ty 1y 2+（1﹣2a ）（ y 1+y 2）=0． ④…将③代入④，得=0，即2m 2t （2﹣a ）=0，∵m ＞0，∴t （2﹣a ）=0， ∵上式对∀t ∈R 都成立，∴a=2． 故定点P 的坐标为（2，0）．…【点评】本题考查代入法求轨迹方程，考查向量知识，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，考查韦达定理的运用，属于难题．21．已知函数f （x ）=（x+2）ln （x+1）﹣ax 2﹣x （a ∈R ），g （x ）=ln （x+1）． （Ⅰ）若a=0，F （x ）=f （x ）﹣g （x ），求函数F （x ）的极值点及相应的极值；（Ⅱ）若对于任意x 2＞0，存在x 1满足x 1＜x 2且g （x 1）=f （x 2）成立，求a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求函数F （x ）的极值点及相应的极值；（Ⅱ）问题转化为，在（0，+∞）上恒成立，再分类讨论，即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）F （x ）=f （x ）﹣g （x ）=（x+1）ln （x+1）﹣x ，F′（x ）=ln （x+1），x ∈（﹣1，0）F′（x ）＜0，F （x ）为减函数；x ∈（0，+∞），F′（x ）＞0，F （x ）为增函数，所以F （x ）只有一个极小值点x=0，极小值为0．…（Ⅱ） 设依题意即求 G （x ）在（﹣1，x 2）上存在零点时a 的取值范围． 又当x→﹣1时，G （x ）→﹣∞，且G （x ）在定义域内单调递增， 所以只需要G （x 2）＞0在（0，+∞）上恒成立．即，在（0，+∞）上恒成立．即，在（0，+∞）上恒成立．…1°若a=0，显然不成立，因为由第一问知F（x）=（x+1）ln（x+1）﹣x在（0，+∞）为增函数，故F（x）＞F（0）=0；2°∵x+1＞0，即在（0，+∞）恒成立，不妨设，x∈（0，+∞），，…若a＜0，则，若x＞0，h′（x）＞0，所以h（x）为增函数，h（x）＞h（0）=0（不合题意），若，若，h′（x）＞0，h（x）为增函数，h（x）＞h（0）=0（不合题意），若，若x∈（0，+∞），h′（x）＜0，h（x）为减函数，h（x）＜h（0）=0（符合题意），综上所述，若x＞0时，h（x）＜0f（x）＜0恒成立，则．…【点评】本小题主要考查函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想。
四川省成都市2016-2017学年高三下学期入学试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i2．已知，，则sin（α+π）等于（）A．B． C．D．3．已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），与的夹角为60°，则直线与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．随α，β的值而定4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．10 B．24 C．44 D．705．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若a=c=+，且∠A=75°，则b=（）A．2 B．4+2C．4﹣2 D．﹣6．函数y=log（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，a其中m ＞0，n ＞0，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．4+2D ．7．一个四面体的三视图如右图，在三视图中的三个正方形的边长都是，则该多面体的体积、表面积、外接球面的表面积分别为（ ）A ．2，12，4πB ．，4，6πC ．，6，πD ．，2，π8．已知f （x ）=﹣x+sinx ，命题p ：∀x ∈（0，），f （x ）＜0，则（ ）A ．p 是假命题，￢p ：∀x ∈（0，），f （x ）≥0B ．p 是假命题，￢p ：∃x 0∈（0，），f （x ）≥0C ．p 是真命题，￢p ：∀x ∈（0，），f （x ）≥0D ．p 是真命题，￢p ：∃x 0∈（0，），f （x ）≥09．已知定义在R 上的奇函数y=f （x ）的图象关于直线x=1对称，当﹣1≤x ＜0时，f （x ）=﹣log （﹣x ），则方程f （x ）﹣=0在（0，6）内的零点之和为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．1610．设动直线x=m 与函数f （x ）=x 2，g （x ）=lnx 的图象分别于点M 、N ，则|MN|的最小值为（ ）A ．B ．C ．1+ln2D ．ln2﹣111．已知数列{a n }满足a n =若对于任意的n ∈N *都有a n ＞a n+1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（，） C ．（，1）D ．（，1）12．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y=（x ＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量与的夹角为120°，且||=3，||=2．若=λ+，且⊥，则实数λ= ．14．设若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是．15．已知a=cosxdx，则x（x﹣）7的展开式中的常数项是．（用数字作答）16．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．已知{an }是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{an }和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn =anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．18．[已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c满足．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若AB是最大边，求cosC的取值范围．19．如图所示，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，P 是O的中点，O是PQ的中点，EC与平面ABCD成30°角．（1）求证：EG⊥平面ABCD；（2）求证：HF∥平面EAD；（3）若AD=4，求三棱锥D﹣CEF的体积．20．我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号，本小题满分10分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．四川省成都市2016-2017学年高三下学期入学试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2﹣i B．﹣2﹣i C．2+i D．﹣2+i【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】化简复数为a+bi的形式，然后利用对称性求解即可．【解答】解： ==﹣2﹣i．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：A．2．已知，，则sin（α+π）等于（）A．B． C．D．【考点】诱导公式的作用；同角三角函数间的基本关系．【分析】根据α的范围，由tanα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而求出sinα的值，原式利用诱导公式化简后，将sinα的值代入计算即可求出值．【解答】解：∵α∈（，π），tanα=﹣，∴cosα=﹣=﹣，sinα==，则sin（α+π）=﹣sinα=﹣．故选：B．3．已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），与的夹角为60°，则直线与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．随α，β的值而定【考点】平面向量数量积的运算．【分析】只要求出圆心到直线的距离，与半径比较，可以判断直线与圆的位置关系．【解答】解：由已知得到||=2，||=3，•=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β）=6cos60°=3，所以cos（α﹣β）=，圆心到直线的距离为： =|cos（α﹣β）+|=1，圆的半径为，1＞，所以直线与圆相离；故选C．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．10 B．24 C．44 D．70【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序是累加求和的循环运算，当i＞12时，终止程序，计算输出S的值即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；i=1，S=0，S=0+2×1=2，i=1+3=4；i≤12，S=2+2×4=10，i=4+3=7；i≤12，S=10+2×7=24，i=7+3=10；i≤12，S=24+2×100=44，i=10+3=13；i＞12，终止程序，输出S的值为44．故选：C．5．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．若a=c=+，且∠A=75°，则b=（）A．2 B．4+2C．4﹣2 D．﹣【考点】正弦定理．【分析】先根据三角形内角和求得B的值，进而利用正弦定理和a的值以及sin75°的值，求得b．【解答】解：如图所示．在△ABC中，由正弦定理得： =4，∴b=2．故选A（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，6．函数y=loga其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．B．C．4+2D．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；对数函数的图象与性质．【分析】根据对数函数的性质先求出A的坐标，代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．【解答】解：∵x=﹣2时，y=log1﹣1=﹣1，a（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点（﹣2，﹣1）即A（﹣2，﹣1），∴函数y=loga∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵mn＞0，∴m＞0，n＞0， =（）（2m+n）=2+1++≥3+2•=，当且仅当m=1﹣，n=1时取等号．故选：A7．一个四面体的三视图如右图，在三视图中的三个正方形的边长都是，则该多面体的体积、表面积、外接球面的表面积分别为（）A．2，12，4πB．，4，6πC．，6，πD．，2，π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是一个正方体去掉四个角后剩下的正四面体．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个正方体去掉四个角后剩下的正四面体．∴该多面体的体积==，表面积==4．外接球面的表面积==6π．故选：B．8．已知f（x）=﹣x+sinx，命题p：∀x∈（0，），f（x）＜0，则（）A ．p 是假命题，￢p ：∀x ∈（0，），f （x ）≥0B ．p 是假命题，￢p ：∃x 0∈（0，），f （x ）≥0C ．p 是真命题，￢p ：∀x ∈（0，），f （x ）≥0D ．p 是真命题，￢p ：∃x 0∈（0，），f （x ）≥0【考点】全称命题；特称命题．【分析】先判断命题P 的真假性，再写出该命题的否定命题即可． 【解答】解：∵f （x ）=﹣x+sinx ，∴f′（x ）=﹣1+cosx ≤0 ∴f （x ）是定义域上的减函数， ∴f （x ）≤f （0）=0∴命题P ：∀x ∈（0，），f （x ）＜0，是真命题；∴该命题的否定是 ¬P ：∃x 0∈（0，），f （x 0）≥0．故选：D ．9．已知定义在R 上的奇函数y=f （x ）的图象关于直线x=1对称，当﹣1≤x ＜0时，f （x ）=﹣log （﹣x ），则方程f （x ）﹣=0在（0，6）内的零点之和为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．16【考点】函数零点的判定定理．【分析】推导出f （x ）是以4为周期的周期函数，由当﹣1≤x ＜0时，f （x ）=﹣log（﹣x ），作出f （x ）在（0，6）内的图象，数形结合能求出方程f （x ）﹣=0在（0，6）内的零点之和．【解答】解：∵定义在R 上的奇函数y=f （x ）的图象关于直线x=1对称， ∴f （x ）=f （2﹣x ）=﹣f （﹣x ），即f （x ）=﹣f （x+2）=f （x+4）， ∴f （x ）是以4为周期的周期函数，∵当﹣1≤x ＜0时，f （x ）=﹣log（﹣x ），∴f （x ）在（0，6）内的图象如右图： ∴结合图象得：方程f（x）﹣=0在（0，6）内的零点之和为：x 1+x2+x3+x4=2+10=12．故选：C．10．设动直线x=m与函数f（x）=x2，g（x）=lnx的图象分别于点M、N，则|MN|的最小值为（）A．B．C．1+ln2 D．ln2﹣1【考点】两点间距离公式的应用．【分析】将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值，即可得到结论．【解答】解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx（x＞0），求导数得y′=2x﹣=（x＞0）令y′＜0，∵x＞0，∴0＜x＜∴函数在（0，）上为单调减函数，令y′＞0，∵x＞0，∴x＞∴函数在（，+∞）上为单调增函数，∴x=时，函数取得唯一的极小值，即最小值为： ln=故所求|MN|的最小值即为函数y 的最小值：故选A ．11．已知数列{a n }满足a n =若对于任意的n ∈N *都有a n ＞a n+1，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（，） C ．（，1）D ．（，1）【考点】数列递推式．【分析】，若对于任意的n ∈N *都有a n ＞a n+1，可得＜0，a 5＞a 6，0＜a ＜1．解出即可得出．【解答】解：∵满足a n =，若对于任意的n ∈N *都有a n ＞a n+1，∴＜0，a 5＞a 6，0＜a ＜1．∴a ＜0，+1＞a ，0＜a ＜1，解得．故选：B ．12．如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y=（x ＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】定积分；几何概型．【分析】先由积分的知识求解阴影部分的面积，然后可求试验的区域所对应的矩形的面积，由几何概率的求解公式代入可求【解答】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S=2×=1+=1﹣ln=1+ln2∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为 1+ln2，矩形的面积为2由集合概率的求解可得P=故选C二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知向量与的夹角为120°，且||=3，||=2．若=λ+，且⊥，则实数λ= ．【考点】数量积表示两个向量的夹角；向量的模．【分析】利用，，表示向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．【解答】解：由题意可知：，因为，所以，所以===﹣12λ+7=0解得λ=．故答案为：．14．设若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是 1 ．【考点】函数的值．【分析】分段函数f（x）在不同区间有不同对应法则，可先计算f（1）=lg1=0，再相应代入进行计算即可．【解答】解：∵1＞0，∴f（1）=lg1=0，∴f（0）=0+3t2dt==a3，又f（f（1））=1，∴a3=1，∴a=1，故答案是1．15．已知a=cosxdx，则x（x﹣）7的展开式中的常数项是﹣128 ．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】利用微积分基本定理可得a，再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】解：a=cosxdx==，=x=（﹣2）r x7﹣r，则x的展开式中的通项公式：Tr+1令7﹣r=0，解得r=7．∴常数项=﹣=﹣128．故答案为：﹣128．16．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．【考点】函数的值；函数恒成立问题．【分析】由已知得﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立，上由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：依据题意得﹣1﹣4m2（x2﹣1）≤（x﹣1）2﹣1+4（m2﹣1）在x∈[，+∞）上恒定成立，即﹣4m2≤﹣﹣+1在x∈[，+∞）上恒成立．当x=时，函数y=﹣﹣+1取得最小值﹣，∴﹣4m2≤﹣，即（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，解得m≤﹣或m≥，故答案为：．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．已知{an }是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{an }和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn =anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）设出数列{an }的公比和数列{bn}的公差，由题意列出关于q，d的方程组，求解方程组得到q，d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得到，然后利用错位相减法求得数列{cn}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{an }的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意，q＞0，由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．∵q＞0，解得q=2，∴d=2，∴数列{an}的通项公式为，n∈N*；数列{bn }的通项公式为bn=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）有，设{cn }的前n项和为Sn，则，，两式作差得： =2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n﹣3）×2n ﹣3．∴．18．[已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c满足．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若AB是最大边，求cosC的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由条件利用二倍角的余弦公式，两角和差的三角公式，求得sinBcosA=2sinAcosA，再利用正弦定理求得的值．（Ⅱ）由条件利用余弦定理，求得cosC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵，且，∴sin（A+B）+sin（B﹣A）=2sin2A，∴sinBcosA=2sinAcosA，因△ABC为锐角三角形，则cosA≠0，由正弦定理有：．（Ⅱ）∵b=2a，且a＜b≤c，则，即，又因，∴cosC的取值范围是．19．如图所示，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，P 是O的中点，O是PQ的中点，EC与平面ABCD成30°角．（1）求证：EG⊥平面ABCD；（2）求证：HF∥平面EAD；（3）若AD=4，求三棱锥D﹣CEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明EG⊥AD，利用平面与平面垂直的判定定理以及性质定理推出EG⊥平面ABCD．（2）取ED的中点I，连HI，AI，证明AFHI是平行四边形，FH∥AI，然后证明HF∥平面EAD．（3）连CG，说明∠ECG是EC与平面ABCD成角，通过解三角形以及，转化求解即可．【解答】（1）证明：∵△ADE是等边三角形，且G是AD的中点∴EG⊥AD，又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，EG⊂平面EAD∴EG⊥平面ABCD（2）证明：取ED的中点I，连HI，AI，∵H是CE的中点∴∵ABCD是矩形，F是AB的中点∴∴AF∥CD，AF=CD，则AFHI是平行四边形∴FH∥AI，则AI ⊂平面EAD，FH⊄平面EAD∴HF∥平面EAD（3）解：连CG，由（1）知EG⊥平面ABCD，则∠ECG是EC与平面ABCD成角，即∠ECG=30°，且EG⊥CG而△ADE是等边三角形，当AD=4时，，在Rt△CEG中，又∵∠ECG=30°，则又ABCD是矩形，且G是AD的中点，则∴∴所以三棱锥D﹣CEF的体积为20．我国是世界上严重缺水的国家．某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）．将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）估计居民月均水量的中位数．【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；（II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．（Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2=1.4+2a，∴解得：a=0.3．（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5，0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5，解得x=0.04；∴中位数是2+0.04=2.04．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出a的范围即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式求出h（x）的单调区间，从而求出h（x）的最大值即可；（Ⅲ）构造函数f（x）=ln（1+x）﹣x，利用导数法可证得ln（1+x）≤x（当x≠0时，ln（1+x）＜x），令x=，利用对数函数的运算性质及累加法求和即可证得结论成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx﹣ax，f′（x）=cosx﹣a，若对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，即a＜cosx在（0，1）恒成立，故a≤0；（Ⅱ）a=1时，h（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）=﹣1=，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，∴h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴h（x）的最大值是h（1）=0；证明：（Ⅲ）构造函数g（x）=ln（1+x）﹣x，则g′（x）=﹣1=，当﹣1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；所以，当x=0时，g（x）=ln（1+x）﹣x取得极大值，也是最大值，所以，g（x）≤g（0）=0，即ln（1+x）≤x，当x≠0时，ln（1+x）＜x．令x=，则ln（1+）=ln（n+1）﹣lnn＜，即ln（n+1）﹣lnn＜，∴ln2﹣ln1＜1，ln3﹣ln2＜，…，lnn﹣ln（n﹣1）＜，ln（n+1）﹣lnn＜，以上n个不等式相加得：ln（n+1）﹣ln1＜1+++…+，即．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号，本小题满分10分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得 [2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．。
